初一下数学讲义 -不等式及其性质(提高)知识讲解

不等式及其性质（提高）知识讲解

【学习目标】

1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.

2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.

3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.

【要点梳理】

知识点一、不等式的概念

一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．

要点诠释：

(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．

(2)

(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．

知识点二、不等式的解及解集

1.不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

2.不等式的解集：

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．

要点诠释：

3.不等式的解集的表示方法

（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．

(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：

要点诠释：

借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；二是确定方向，对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．

注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．

【高清课堂：一元一次不等式370042不等式的基本性质】

知识点三、不等式的基本性质

不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．

不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a b

c c >)．

不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a b

c c <)．

要点诠释：不等式的基本性质的掌握应注意以下几点：

(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．

(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】

类型一、不等式的概念

1．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是()

【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量＞5克，3个糖果的质量＜16克，依此求出1个糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的．

【答案】D

【解析】

解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于5克，由图(2)知：3个糖果的重量小于16克，即

每一个糖果的重量小于16

3

克．故A选项错；两个糖果的重量小于

322

10

33

=克故B选项错；

三个糖果的重量大于15克小于16克故C选项错，四个糖果的重量小于16641

421 333

⨯==

克故D选项对．

【总结升华】观察图示，确定大小．本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是数形结合思想，解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式．

举一反三：

【变式】

【答案】

类型二、不等式的解及解集

2.若关于x的不等式x≤a只有三个正整数解，求a的取值范围.

【思路点拨】首先根据题意确定三个正整数解，然后再确定a的范围．

【答案】3≤a＜4

【解析】

解：∵不等式x≤a只有三个正整数解，

∴三个正整数解为：1，2，3，

∴3≤a＜4，

【总结升华】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好三个正整数解．

3.（2015春•安县期末）如图所示，图中阴影部分表示x的取值范围，则下列表示中正确的是( )

A．-3≤x＜2 B．-3＜x≤2 C．-3≤x≤2 D．-3＜x＜2

【思路点拨】x表示-3右边的数，即大于-3，并且是2以及2左边的数，即小于或等于2的数．

【答案】B

【解析】

解： A、因为-3≤x＜2，在数轴上-3的点应该是实心的圆点；

C、因为-3≤x≤2，在数轴上-3和2的点应该都是实心的圆点；

D、因为-3＜x＜2，在数轴上-3和2的点应该都是空心的圆点；

故选B．

【总结升华】在数轴上表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示，“＞”，“≥”向右画；“＜”，“≤”向左画．

举一反三：

【变式】根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为________．

【答案】4

提示：由程序图可知，计算求值时所使用的数学表达式为224y x =-．把x ＝1输入求值，若求得的结果大于0，则直接得到输出值y ；若求得的结果小于0，则需要把得到的结果作为输入值再代入计算，循环往复，直到使最终的结果大于0为止．

类型三、不等式的基本性质

4.若关于x 、y 的二元一次方程组3133

x y a x y +=+⎧⎨+=⎩的解满足x+y ＜2，则a 的取值范围是

________．

【思路点拨】观察方程组不难发现只要把两个方程相加即能求出x+y 的值．因为x+y ＜2，故可以构建关于a 的不等式．然后利用不等式的性质就能求出a 的取值范围．

【答案】a ＜4

【解析】

解：将两方程相加得：4x+4y ＝4+a ．

将方程的两边同除以4得 44a x y ++=

． 依题意：424

a +<． 将不等式的两边同乘以4得4+a ＜8．

将不等式的两边同时减去4得a ＜4．

故a 的取值范围是a ＜4．

【总结升华】解关于x 的一元一次不等式，就是要将不等式逐步化为x ＞a 或x ＜a 的形式，化简的依据是不等式的性质．

举一反三：

【变式1】（2015春•沙河市期末）若关于x 的不等式（1﹣a ）x ＞3可化为

，则a

的取值范围是 ．

【答案】a ＞1．

解：关于x 的不等式（1﹣a ）x ＞3可化为，1﹣a ＜0，a ＞1. 【高清课堂：一元一次不等式370042 练习3】

【变式2】a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )．

A ．若a ＞b ，则a 2＞b 2；

B ．若a 2＞b 2，则a ＞b

C ．若a ≠b ，则｜a ｜≠|b|

D ．若｜a ｜≠|b|，则a ≠b