第十五章小结与复习
人教版八年级数学上册第十五章小结与复习
第15章分式一、选择题：（每小题3分，共30分）二、1．下列各式2ba -，x x 3+，πy +5，()1432+x ，b a b a -+，)(1y x m -中，是分式的共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2．如果分式242--x x 的值等于0，那么（ ）A.2±=xB.2=xC.2-=xD.2≠x3．与分式b a ba --+-相等的是（ ） A.b a b a -+ B.b a b a +- C.b a b a -+- D.b a ba+--4．若把分式xy yx 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）A ．扩大3倍B ．不变C ．缩小3倍D ．缩小6倍5．化简2293m mm --的结果是（ ） A.3+m m B.3+-m m C.3-m m D.m m-36．下列算式中，你认为正确的是( )A ． 1-=---a b a b a b B. 11=⨯÷ba ab C ．3131a a -= D ． b a b a b a b a +=--⋅+1)(1222 7．甲乙两个码头相距s 千米，某船在静水中的速度为a 千米/时，水流速度为b 千米/时，则船一次往返两个码头所需的时间为（ ）小时. A.b a s +2 B.b a s -2 C.b s a s + D.ba sb a s -++ 8．甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树x 棵，则根据题意得出的方程是（ ）A ．80705x x =- B ．80705x x =+ C ．80705x x =+ D ．80705x x =- 9．分式方程214111x x x +-=--若有增根，则增根可能是（ ） A ．1 B ．1- C ．1或1- D ．010．若三角形三边分别为a 、b 、c ，且分式ca b bc ac ab --+-2的值为0，则此三角形一定是（ ） A. 不等边三角形 B. 腰与底边不等的等腰三角形C. 等边三角形D. 直角三角形二、填空题：（每空2分，共18分）11．当x ________时,分式x x2121-+有意义．12．利用分式的基本性质填空：（1）())0(,10 53≠=a axy xy a （2）() 1422=-+a a13．计算：=+-+3932a a a __________．14. 计算：ab ba b ab -÷-)(2＝ .15. 分式ab b a 65,43,322的最简公分母是 ．16. 当x= 时，分式x x+-51的值等于21 .17. 生物学家发现一种病毒的长度约为0.000 043毫米，用科学记数法表示为_____________米. 18. 已知311=-y x ，则分式y xy x yxy x ---+2232的值为 ___ ．三、解答题：（每题5分，共25分）19.计算：（1） x y y x y x y x -+-+-+2122 （2） 22222)(ab a ab b ab a a ab -⋅+-÷-（3） 1111-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--x xx（4）32232)()2(b a c ab ---÷20. 先化简，再求值：x x x x x x11132-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--，其中2=x ．四、解分式方程：（每题6分，共12分） 21. 87176=-+--x x x 22. 1412112-=-++x x x五、列方程解应用题：（每题6分，共12分）23. 某工人原计划在规定时间内恰好加工1500个零件，改进了工具和操作方法后，工作效率提高为原来的2倍，因此加工1500个零件时，比原计划提前了5小时，问原计划每小时加工多少个零件？24. 学校在假期内对教室内的黑板进行整修，需在规定期限内完成．如果由甲工程小组做，恰好如期完成；如果由乙工程小组做，则要超过规定期限3天．结果两队合作了2天，余下部分由乙组独做，正好在规定期限内完成，问规定期限是几天？六、解答题：（共3分）25．m 为何值时，关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根．答案：1、C2、C3、B4、C5、B6、D7、D8、D9、C 10、B11、21≠x 12、（1）26a （2）2-a 13、3-a 14、2ab 15、b a 212 16、 -117、8103.4-⨯ 18、 5319、 （1）0 （2）b - （3） 1 （4） 7644b c a20、 42+x 21、822、 7=x 是增根，原方程无解。
八年级数学上册 第15章 数据的收集与表示小结与复习课件
针对训练 u数形结合(jiéhé)思想
例5 某课题小组为了解某品牌电动自行车的销售情况，对某专
卖店第一季度该品牌A 、B、C、D四种(sì zhǒnɡ)型号电动自行车的销量
做了统计，绘制成如下两幅统计图（均不完整）．
（1）该店第一季度售出这种品牌的电动自行车共多少辆？
（2）把两幅统计图补充完整；
（3）若该专卖店计划订购(dìnggòu)这四款型号的电动自行车2400辆， 求
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考点四 本章数学思想和解题方法
u转化(zhuǎnhuà)思想
例4 某校对某班45名学生初中三年中戴近视眼镜人数进行了跟踪 调查，统计数据如图①所示．
（1）如果(rúguǒ)用整个圆代表该班人数，请在图②圆中画出该班七年级初 戴近视眼镜人数和未戴近视眼镜人数的扇形统计图，并标出百分比；
并绘制成不完整的条形图．已知最喜欢篮球的人数占调查人
数的32%，最喜欢排球的人数是最喜欢足球人数的1.5倍．
（1）最喜欢排球的人数是
，12
被调查的学生数是 50 ；
（2）将条形图补充完整；
（3）若用扇形图表示(biǎoshì)统计结果，
则最喜欢羽毛球的人数所对应扇 形的圆心角为 100.8 度．
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解： （1）210÷35%=600（辆）． 答：该店第一季度售出这种品牌(pǐn pái)的电动自行车共600辆．
（2）补全条形(tiáo xínɡ)统计图．
（3）2400×30%=720（辆）．
答：C型电动(diàn dònɡ)自行车应订购720辆．
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5．扇形统计图的特点
《护理学基础》皮下注射教案
抚顺市卫生学校教案复习提问1. 皮内注射常用部位在哪里？（学生举例子）2. 皮内注射的操作要点（学生边说边演示） 导入课程1. 为病人做皮内注射（也就是皮试）在哪里注射的？（ 学生回答切身体会）2. 在临床上，减轻疼痛的技术有哪些？（学生回答旧知识点） 讲授新课第十五章药疗技术第四节注射给药法 四、常用注射技术 （二）皮下注射（H一、 定义 将少量的药液注入皮下组织的方法。
（了解）二、 ※常用部位上臂三角肌下缘、两侧腹壁、后背、大腿外侧方等部位。
‘ 1.操作前：核对、准备。
检查药物（先看瓶签），抽吸药物教师演示，学生记忆 2. 操作中：核对、体位（坐或站）、定位、手势为侧握式 解决方法：师生互动：教具为简单实用的笔, 学生跟随教师一起做动作角度（30-40 °）、绷紧皮肤深度（针梗的2/3 ）、 抽回血（无回血再推药）等。
解决方法：影像播放，形象生动3. 操作后：核对、整理1. 进针角度不宜超过45°。
2. 刺激性强的药物不宜用皮下注射。
3. 长期皮下注射者，应有计划的更换注射部位，以免局部产生硬结。
4. 注射不足1ml 的药液时，应用1ml 的注射器抽吸药液，以保证药物剂量 的准确性。
授课小结探1.皮下注射的部位和注意事项，同时也是每年执考的重点探2.操作要点，比如持针手势、进针方法、角度等，同时也是 护士操作的基本功之一。
布置作业操作步骤※※要点精讲 四、1.皮下注射的部位和注意事项2.皮下注射法的操作要点板书设计第十五章药疗技术第四节注射给药法四、常用注射技术（二）皮下注射（H一、定义二、※常用部位上臂三角肌下缘、两侧腹壁、后背、大腿外侧方等部位。
三、操作步骤※厂1.操作前：核对、准备。
检查药物（先看瓶签），抽吸药物※要点精讲J 2. 操作中：核对、侧握式2/3、角度（30-40 °）、绷紧皮肤、针梗的抽无回血再推药。
3.操作后：核对、整理四、※注意事项1.进针角度不宜超过45 °。
人教版八年级上册数学《第十五章 小结与复习》
第十五章 分 式
小结与复习
人教版·八年级上 册
要点梳理
一、分式 1.分式的概念：
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称 A
B
为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母.
2.分式有意义的条件： 对于分式 ：BA 当__B_≠_0___时分式有意义； 当__B__=_0__时无意义.
3.分式值为零的条件：
A. 90 90 3 x x1
C. 90 90 3 x x1
B. 90 903 x1 x
D. 90 903
x1 x
8. 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该
款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 5 倍，购进数量比第一次
4
少了30支.求第一次每支铅笔的进价是多少元？
解：设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程，得
谢谢 大家
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解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整 式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
针对训练
6.解 方 程 ： x x 2 21x2 1 64.
解：最简公分母为（x+2）（x﹣2）， 去分母得（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）=16，
整理得﹣4x+8=16，解得x=﹣2， 经检验x=﹣2是增根，故原分式方程无解．
当_A_=_0_且___B_≠_0__时，分式
2022年人教版八年级上第15章《分式》全章教案
第十五章分式15．1分式15．从分数到分式1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念．2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件．重点理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件．难点能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．一、复习引入1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？2．判断以下各式中，哪些是整式？哪些不是整式？①8m ＋n 3；②1＋x ＋y 2；③a 2b ＋ab 23；④a ＋b 2；⑤2x 2＋2x ＋1；⑥3a 2＋b 2；⑦3x 2－42x . 二、探究新知1．分式的定义(1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v 千米/时．轮船顺流航行90千米所用的时间为9030＋v 小时，逆流航行60千米所用时间为6030－v小时，所以9030＋v ＝6030－v. (2)学生完成教材第127页“思考〞中的题．观察：以上的式子9030＋v ，6030－v ，S a ，V s，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？可以发现，这些式子都像分数一样都是A B(即A÷B)的形式．分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A ，B 都是整式，并且B 中都含有字母．归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式． 稳固练习：教材第129页练习第2题．2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B才有意义． 学生自学例1.例1以下分式中的字母满足什么条件时分式有意义？(1)23x ；(2)x x －1；(3)15－3b ；(4)x ＋y x －y.解：(1)要使分式23x有意义，那么分母3x ≠0，即x ≠0； (2)要使分式x x －1有意义，那么分母x －1≠0，即x ≠1； (3)要使分式15－3b有意义，那么分母5－3b ≠0，即b ≠53； (4)要使分式x ＋y x －y有意义，那么分母x －y ≠0，即x ≠y. 思考：如果题目为：当x 为何值时，分式无意义．你知道怎么解题吗？稳固练习：教材第129页练习第3题．3．补充例题：当m 为何值时，分式的值为0(1)m m －1；(2)m －2m ＋3；(3)m 2－1m ＋1. 思考：当分式为0时，分式的分子、分母各满足什么条件？分析：分式的值为0时，必须同时满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零． 答案：(1)m ＝0；(2)m ＝2；(3)m ＝1.三、归纳总结1．分式的概念．2．分式的分母不为0时，分式有意义；分式的分母为0时，分式无意义．3．分式的值为零的条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零．四、布置作业，3题．在引入分式这个概念之前先复习分数的概念，通过类比来自主探究分式的概念，分式有意义的条件，分式值为零的条件，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培养学生利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力．15．分式的根本性质(2课时)第1课时分式的根本性质1．了解分式的根本性质，灵活运用分式的根本性质进行分式的变形．2．会用分式的根本性质求分式变形中的符号法那么．重点理解并掌握分式的根本性质．难点灵活运用分式的根本性质进行分式变形．一、类比引新1．计算：(1)56×215；(2)45÷815. 思考：在运算过程中运用了什么性质？教师出示问题．学生独立计算后答复：运用了分数的根本性质．2．你能说出分数的根本性质吗？分数的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的数，分数的值不变．3．尝试用字母表示分数的根本性质：小组讨论交流如何用字母表示分数的根本性质，然后写出分数的根本性质的字母表达式．a b ＝a·c b·c ，a b ＝a÷c b÷c.(其中a ，b ，c 是实数，且c ≠0) 二、探究新知1．分式与分数也有类似的性质，你能说出分式的根本性质吗？分式的根本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变． 你能用式子表示这个性质吗？A B ＝A·C B·C ，A B ＝A÷C B÷C.(其中A ，B ，C 是整式，且C ≠0) 如x 2x ＝12，b a ＝ab a 2，你还能举几个例子吗？ 回忆分数的根本性质，让学生类比写出分式的根本性质，这是从具体到抽象的过程． 学生尝试着用式子表示分式的性质，加强对学生的抽象表达能力的培养．2．想一想以下等式成立吗？为什么？－a －b ＝a b ；－a b ＝a －b＝－a b . 教师出示问题．学生小组讨论、交流、总结．例1不改变分式的值，使以下分式的分子与分母都不含“－〞号：(1)－2a －3a；(2)－3x 2y ；(3)－－x 2y . 例2不改变分式的值，使以下分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数：(1)x ＋1－2x －1；(2)2－x －x 2＋3；(3)－x －1x ＋1. 引导学生在完成习题的根底上进行归纳，使学生掌握分式的变号法那么．例3填空：(1)x 3xy ＝〔〕y ，3x 2＋3xy 6x 2＝x ＋y 〔〕； (2)1ab ＝〔〕a 2b ，2a －b a 2＝〔〕a 2b.(b ≠0) 解：(1)因为x 3xy的分母xy 除以x 才能化为y ，为保证分式的值不变，根据分式的根本性质，分子也需除以x ，即x 3xy ＝x 3÷x xy ÷x ＝x 2y. 同样地，因为3x 2＋3xy 6x 2的分子3x 2＋3xy 除以3x 才能化为x ＋y ，所以分母也需除以3x ，即3x 2＋3xy 6x 2＝〔3x 2＋3xy 〕÷〔3x 〕6x 2÷〔3x 〕＝x ＋y 2x . 所以，括号中应分别填入x 2和2x.(2)因为1ab的分母ab 乘a 才能化为a 2b ，为保证分式的值不变，根据分式的根本性质，分子也需乘a ，即1ab ＝1·a ab·a ＝a a 2b. 同样地，因为2a －b a 2的分母a 2乘b 才能化为a 2b ，所以分子也需乘b ，即 2a －b a 2＝〔2a －b 〕·b a 2·b＝2ab －b 2a 2b . 所以，括号中应分别填a 和2ab －b 2.在解决例题1，2的第(2)小题时，教师可以引导学生观察等式两边的分母发生的变化，再思考分式的分子如何变化；在解决例2的第(1)小题时，教师引导学生观察等式两边的分子发生的变化，再思考分式的分母随之应该如何变化．三、课堂小结1．分式的根本性质是什么？2．分式的变号法那么是什么？3．如何利用分式的根本性质进行分式的变形？学生在教师的引导下整理知识、理顺思维．四、布置作业，5题．通过算数中分数的根本性质，用类比的方法给出分式的根本性质，学生接受起来并不感到困难，但要重点强调分子分母同乘(或除)的整式不能为零，让学生养成严谨的态度和习惯．第2课时分式的约分、通分1．类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义，理解最简公分母的概念．2．类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步骤．重点运用分式的根本性质正确地进行分式的约分与通分．难点通分时最简分分母确实定；运用通分法那么将分式进行变形．一、类比引新1．在计算56×215时，我们采用了“约分〞的方法，分数的约分约去的是什么？分式a 2＋ab a 2b，a ＋b ab相等吗？为什么？ 利用分式的根本性质，分式a 2＋ab a 2b约去分子与分母的公因式a ，并不改变分式的值，可以得到a ＋b ab. 教师点拨：分式a 2＋ab a 2b 可以化为a ＋b ab，我们把这样的分式变形叫做__分式的约分__． 2．怎样计算45＋67？怎样把45，67通分？ 类似的，你能把分式a b ，c d变成同分母的分式吗？ 利用分式的根本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，我们把这样的分式变形叫做__分式的通分__．二、探究新知1．约分：(1)－25a 2bc 315ab 2c ；(2)x 2－9x 2＋6x ＋9； (3)6x 2－12xy ＋6y 23x －3y. 分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式．解：(1)－25a 2bc 315ab 2c ＝－5abc ·5ac 25abc ·3b＝－5ac 23b ； (2)x 2－9x 2＋6x ＋9＝〔x ＋3〕〔x －3〕〔x ＋3〕2＝x －3x ＋3； (3)6x 2－12xy ＋6y 23x －3y ＝6〔x －y 〕23〔x －y 〕＝2(x －y )． 假设分子和分母都是多项式，那么往往需要把分子、分母分解因式(即化成乘积的形式)，然后才能进行约分．约分后，分子与分母没有公因式，我们把这样的分式称为__最简分式__．(不能再化简的分式)2．练习：约分：2ax 2y 3axy 2；－2a 〔a ＋b 〕3b 〔a ＋b 〕；〔a －x 〕2〔x －a 〕3；x 2－4xy ＋2y ；m 2－3m 9－m 2；992－198. 学生先独立完成，再小组交流，集体订正．3．讨论：分式12x 3y 2z ，14x 2y 3，16xy 4的最简公分母是什么？ 提出最简公分母概念．一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．学生讨论、小组交流、总结得出求最简公分母的步骤：(1)系数取各分式的分母中系数最小公倍数；(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；(3)相同字母(或因式)的幂取指数最大的；(4)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积(其中系数都取正数)即为最简公分母．4．通分：(1)32a 2b 与a －b ab 2c ；(2)2x x －5与3x x ＋5. 分析：为通分，要先确定各分式的公分母．解：(1)最简公分母是2a 2b 2c .32a 2b ＝3·bc 2a 2b ·bc ＝3bc 2a 2b 2c， a －b ab 2c ＝〔a －b 〕·2a ab 2c ·2a＝2a 2－2ab 2a 2b 2c . (2)最简公分母是(x －5)(x ＋5)．2x x －5＝2x 〔x ＋5〕〔x －5〕〔x ＋5〕＝2x 2＋10x x 2－25， 3x x ＋5＝3x 〔x －5〕〔x ＋5〕〔x －5〕＝3x 2－15x x 2－25. 5．练习：通分：(1)13x 2与512xy ；(2)1x 2＋x 与1x 2－x ；(3)1〔2－x 〕2与x x 2－4.教师引导：通分的关键是先确定最简公分母；如果分式的分母是多项式那么应先将分母分解因式，再按上述的方法确定分式的最简公分母．学生板演并互批及时纠错．6．思考：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？ 教师让学生讨论、交流，师生共同作以小结．三、课堂小结1．什么是分式的约分？怎样进行分式的约分？什么是最简分式？2．什么是分式的通分？怎样进行分式的通分？什么是最简公分母？3．本节课你还有哪些疑惑？四、布置作业，7题．本节课是在学习了分式的根本性质后学的，重点是运用分式的根本性质正确的约分和通分，约分时要注意一定要约成最简分式，熟练运用因式分解；通分时要将分式变形后再确定最简公分母．15．2分式的运算15．分式的乘除(2课时)第1课时分式的乘除法1．理解并掌握分式的乘除法那么．2．运用法那么进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题．重点掌握分式的乘除运算．难点分子、分母为多项式的分式乘除法运算．一、复习导入1．分数的乘除法的法那么是什么？2．计算：35×1512；35÷152. 由分数的运算法那么知35×1512＝3×155×12；35÷152＝35×215＝3×25×15. 3．什么是倒数？我们在小学学习了分数的乘除法，对于分式如何进行计算呢？这就是我们这节要学习的内容．二、探究新知问题1：一个水平放置的长方体容器，其容积为V ，底面的长为a ，宽为b 时，当容器的水占容积的m n时，水面的高度是多少？ 问题2：大拖拉机m 天耕地a hm 2，小拖拉机n 天耕地b hm 2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？问题1求容积的高V ab ·m n ，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的a m ÷b n倍．根据上面的计算，请同学们总结一下对分式的乘除法的法那么是什么？分式的乘法法那么：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 分式的除法法那么：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． a b ·c d ＝a·c b·d ；a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a·d b·c. 三、举例分析例1计算：(1)4x 3y ·y 2x 3；(2)ab 32c 2÷－5a 2b 24cd. 分析：这道例题就是直接应用分式的乘除法法那么进行运算．应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，再计算结果．解：(1)4x 3y ·y 2x 3＝4xy 6x 3y ＝23x 2； (2)ab 32c 2÷－5a 2b 24cd ＝ab 32c 2·4cd －5a 2b 2＝－4ab 3cd 10a 2b 2c 2＝－2bd 5ac. 例2计算：(1)a 2－4a ＋4a 2－2a ＋1·a －1a 2－4； (2)149－m 2÷1m 2－7m. 分析：这两题是分子与分母是多项式的情况，首先要因式分解，然后运用法那么．解：(1)原式〔a －2〕2〔a －1〕2·a －1〔a ＋2〕〔a －2〕＝a －2〔a －1〕〔a ＋2〕； (2)原式1〔7－m 〕〔7＋m 〕÷1m 〔m －7〕＝1〔7－m 〕〔7＋m 〕·m 〔m －7〕1＝－m m ＋7. 例3“丰收1号〞小麦试验田边长为a 米(a ＞1)的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的局部，“丰收2号〞小麦的试验田是边长为(a －1)米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克．(1)哪种小麦的单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？分析：此题的实质是分式的乘除法的运用．解：(1)略．(2)500〔a －1〕2÷500a 2－1＝500〔a －1〕2·a 2－1500＝a ＋1a －1. “丰收2号〞小麦的单位面积产量是“丰收1号〞小麦的单位面积产量的a ＋1a －1倍． 四、随堂练习1．计算：(1)c 2ab ·a 2b 2c ；(2)－n 22m ·4m 25n 3；(3)y 7x ÷(－2x)； (4)－8xy÷2y 5x ；(5)－a 2－4a 2－2a ＋1·a 2－1a 2＋4a ＋4；(6)y 2－6y ＋9y ＋2÷(3－y)． 答案：(1)abc ；(2)－2m 5n ；(3)－y 14；(4)－20x 2；(5)－〔a ＋1〕〔a －2〕〔a －1〕〔a ＋2〕；(6)3－y y ＋2. 2．教材第137页练习1，2，3题．五、课堂小结(1)分式的乘除法法那么；(2)运用法那么时注意符号的变化；(3)因式分解在分式乘除法中的应用；(4)步骤要完整，结果要最简．最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式，也可以写成一个多项式，如〔a －1〕2a 或a 2－2a ＋1a. 六、布置作业，2题．本节课从两个具有实际背景的问题出发，使学生在解决问题的过程中认识到分式的乘除法是由实际需要产生的，进而激发他们学习的兴趣，接着，从分数的乘除法那么的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘法法那么．有利于学生接受新知识，而且能表达由数到式的开展过程．第2课时分式的乘方及乘方与乘除的混合运算1．进一步熟练分式的乘除法法那么，会进行分式的乘、除法的混合运算．2．理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算． 重点分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混合运算．难点分式的乘除法、乘方混合运算，以及分式乘法、除法、乘方运算中符号确实定．一、复习引入1．分式的乘除法法那么．分式的乘法法那么：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母． 分式的除法法那么：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．2．乘方的意义：a n ＝a·a·a·…·a(n 为正整数)．二、探究新知例1(教材例4) 计算2x 5x －3÷325x 2－9·x 5x ＋3. 解：2x 5x －3÷325x 2－9·x 5x ＋3＝2x 5x －3·25x 2－93·x 5x ＋3(先把除法统一成乘法运算) ＝2x 23.(约分到最简公式) 分式乘除运算的一般步骤：(1)先把除法统一成乘法运算；(2)分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；(3)确定分式的符号，然后约分；(4)结果应是最简分式．1．由整式的乘方引出分式的乘方，并由特殊到一般地引导学生进行归纳．(1)(a b )2＝a b ·a b ＝a 2b 2； ↑↑由乘方的意义由分式的乘法法那么(2)同理：(a b )3＝a b ·a b ·a b ＝a 3b 3； (a b )n ＝a b ·a b ·…·a b n 个＝a ·a ·…·an 个b ·b ·…·bn 个＝a n b n . 2．分式乘方法那么：分式：(a b )n ＝a nb n .(n 为正整数) 文字表达：分式乘方是把分子、分母分别乘方．3．目前为止，正整数指数幂的运算法那么都有什么？(1)a n ·a n ＝a m ＋n ；(2)a m ÷a n ＝a m －n ；(3)(a m )n ＝a mn ；(4)(ab)n ＝a n b n ；(5)(a b )n ＝a nb n . 三、举例分析例2计算：(1)(－2a 2b 3c)2； (2)(a 2b －cd 3)3÷2a d 3·(c 2a )2. (3)(－x 2y )2·(－y 2x )3÷(－y x)4； (4)a 2－b 2a 2＋b 2÷(a －b a ＋b)2. 解：(1)原式＝〔－2a 2b 〕2〔3c 〕2＝4a 4b 29c 2； (2)原式＝a 6b 3－c 3d 9·d 32a ·c 24a 2＝－a 3b 38cd 6； (3)原式＝x 4y 2·(－y 6x 3)·x 4y 4＝－x 5； (4)原式＝〔a ＋b 〕〔a －b 〕a 2＋b 2·〔a ＋b 〕2〔a －b 〕2＝〔a ＋b 〕3〔a －b 〕〔a 2＋b 2〕. 学生板演、纠错并及时总结做题方法及应注意的地方：①对于乘、除和乘方的混合运算，应注意运算顺序，但在做乘方运算的同时，可将除变乘；②做乘方运算要先确定符号．例3计算：(1)b 3n －1c 2a 2n ＋1·a 2n －1b 3n －2；(2)(xy －x 2)÷x 2－2xy ＋y 2xy ·x －y x 2； (3)(a 2－b 2ab )2÷(a －b a)2. 解：(1)原式＝b 3n －2·b ·c 2a 2n －1·a 2·a 2n －1b3n －2＝bc 2a 2； (2)原式＝－x 〔x －y 〕1·xy 〔x －y 〕2·x －y x 2＝－y ； (3)原式＝〔a ＋b 〕2〔a －b 〕2a 2b 2·a 2〔a －b 〕2＝a 2＋2ab ＋b 2b 2. 本例题是本节课运算题目的拓展，对于(1)指数为字母，不过方法不变；(2)(3)是较复杂的乘除乘方混合运算，要进一步让学生熟悉运算顺序，注意做题步骤．四、稳固练习教材第139页练习第1，2题．五、课堂小结1．分式的乘方法那么．2．运算中的本卷须知．六、布置作业．分式的乘方运算这一课的教学先让学生回忆以前学过的分数的乘方的运算方法，然后采用类比的方法让学生得出分式的乘方法那么．在讲解例题和练习时充分调动学生的积极性，使大家都参与进来，提高学习效率．15．分式的加减(2课时)第1课时分式的加减理解并掌握分式的加减法那么，并会运用它们进行分式的加减运算．重点运用分式的加减运算法那么进行运算．难点异分母分式的加减运算．一、复习提问1．什么叫通分？2．通分的关键是什么？3．什么叫最简公分母？4．通分的作用是什么？(引出新课)二、探究新知1．出示教材第139页问题3和问题4.教材第140页“思考〞．分式的加减法与分数的加减法类似，它们的实质相同．观察以下分数加减运算的式子：15＋25＝35，15－25＝－15，12＋13＝36＋26＝56，12－13＝36－26＝16.你能将它们推广，得出分式的加减法法那么吗？教师提出问题，让学生列出算式，得到分式的加减法法那么．学生讨论：组内交流，教师点拨．2．同分母的分式加减法． 公式：a c ±b c ＝a±b c.文字表达：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．3．异分母的分式加减法． 分式：a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad±bcbd.文字表达：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 三、典型例题例1(教材例6) 计算：(1)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2；(2)12p ＋3q ＋12p －3q . 解：(1)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2＝5x ＋3y －2x x 2－y 2＝3x ＋3y x 2－y 2＝3x －y；(2)12p ＋3q ＋12p －3q ＝2p －3q 〔2p ＋3q 〕〔2p －3q 〕＋2p ＋3q〔2p ＋3q 〕〔2p －3q 〕＝2p －3q ＋2p ＋3q 〔2p ＋3q 〕〔2p －3q 〕＝4p4p 2－9q 2.小结：(1)注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号． (2)把分子相加减后，如果所得结果不是最简分式，要约分． 例2计算：m ＋2n n －m ＋n m －n －2mn －m. 分析：(1)分母是否相同？(2)如何把分母化为相同的？(3)注意符号问题． 解：原式＝m ＋2n n －m －n n －m －2mn －m＝m ＋2n －n －2mn －m＝n －mn －m＝1.四、课堂练习1．教材第141页练习1，2题． 2．计算：(1)56ab －23ac ＋34abc ；(2)12m 2－9＋23－m ； (3)a ＋2－42－a；(4)a 2－b 2ab －ab －b 2ab －ab 2.五、课堂小结1．同分母分式相加减，分母不变，只需将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号．2．对于整式和分式之间的加减运算，那么把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分．3．异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否为最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化．4．作为最后结果，如果是分式那么应该是最简分式． 六、布置作业 ，5题．从直观的分数加减运算开始，先介绍同分母分式的加减运算的具体方法，通过类比的思想方法，由数的运算引出式的运算规律，表达了数学知识间具体与抽象、从特殊到一般的内在联系．而后，利用同样的类比方法，安排学习异分母的分式加减运算，这样由简到繁、由易到难，符合学生认知的开展规律，有助于知识的层层落实与掌握．第2课时分式的混合运算1．明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算． 2．能灵活运用运算律简便运算．重点熟练地进行分式的混合运算． 难点熟练地进行分式的混合运算． 一、复习引入回忆：我们已经学习了分式的哪些运算？ 1．分式的乘除运算主要是通过( )进行的，分式的加减运算主要是通过( )进行的．2．分数的混合运算法那么是( )，类似的，分式的混合运算法那么是先算( )，再算( )，最后算( )，有括号的先算( )里面的．二、探究新知 1．典型例题 例1计算：(x ＋2x －2＋4x 2－4x ＋4)÷x x －2. 分析：应先算括号里的． 例2计算：x ＋2y ＋4y 2x －2y －4x 2yx 2－4y 2.分析：(1)此题应采用逐步通分的方法依次进行； (2)x ＋2y 可以看作x ＋2y1.例3计算：12x －1x ＋y ·(x ＋y 2x－x －y)．分析：此题可用分配律简便计算．例4 [1〔a ＋b 〕2－1〔a －b 〕2]÷(1a ＋b －1a －b)．分析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分．例5(教材例7) 计算(2a b )2·1a －b －a b ÷b4.解：(2a b )2·1a －b －a b ÷b4＝4a 2b 2·1a －b －a b ·4b＝4a 2b 2〔a －b 〕－4a b 2＝4a 2b 2〔a －b 〕－4a 〔a －b 〕b 2〔a －b 〕 ＝4a 2－4a 2＋4ab b 2〔a －b 〕＝4ab b 2〔a －b 〕＝4aab －b 2. 点拨：式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减． 例6(教材例8) 计算： (1)(m ＋2＋52－m )·2m －43－m； (2)(x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4)÷x －4x .解：(1)(m ＋2＋52－m )·2m －43－m＝〔m ＋2〕〔2－m 〕＋52－m ·2m －43－m＝9－m 22－m ·2〔m －2〕3－m ＝〔3－m 〕〔3＋m 〕2－m ·－2〔2－m 〕3－m＝－2(m ＋3)；(2)(x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4)÷x －4x＝[x ＋2x 〔x －2〕－x －1〔x －2〕2]·xx －4 ＝〔x ＋2〕〔x －2〕－〔x －1〕x x 〔x －2〕2·xx －4＝x 2－4－x 2＋x〔x －2〕2〔x －4〕 ＝1〔x －2〕2.分式的加、减、乘、除混合运算要注意以下几点：(1)一般按分式的运算顺序法那么进行计算，但恰当地使用运算律会使运算简便．(2)要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子，以备约分或通分时用，可防止运算烦琐．(3)注意括号的“添〞或“去〞、“变大〞与“变小〞． (4)结果要化为最简分式．强化练习，引导学生及时纠正在例题中出现的错误，进一步提高运算能力．三、稳固练习1．(1)x 2x －1－x －1；(2)(1－2x ＋1)2÷x －1x ＋1；(3)2ab 〔a －b 〕〔a －c 〕＋2bc 〔a －b 〕〔c －a 〕； (4)(1x －y ＋1x ＋y )÷xy x 2－y 2. 2．教材第142页第1，2题．四、课堂小结1．分式的混合运算法那么是先算( )，再算( )，最后算( )，有括号先算( )里的．2．一些题应用运算律、公式能简便运算．五、布置作业 1．．2．先化简再求值1x ＋1－1x 2－1·x 2－2x ＋1x ＋1，其中x ＝2－1.分式的混合运算是分式这一章的重点和难点，涉及到因式分解和通分这两个较难的知识点，可根据学生的具体情况，适当增加例题、习题，让学生熟练掌握分式的运算法那么并提高运算能力．15．整数指数幂1．知道负整数指数幂a －n ＝1a n .(a ≠0，n 是正整数)2．掌握整数指数幂的运算性质．3．会用科学记数法表示绝对值小于1的数．重点掌握整数指数幂的运算性质，会有科学记数法表示绝对值小于1的数． 难点负整数指数幂的性质的理解和应用． 一、复习引入1．回忆正整数指数幂的运算性质：(1)同底数的幂的乘法：a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 是正整数)； (2)幂的乘方：(a m )n ＝a mn (m ，n 是正整数)；(3)积的乘方：(ab)n ＝a n b n (n 是正整数)；(4)同底数的幂的除法：a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n)； (5)分式的乘方：(a b )n ＝a nb n (n 是正整数)．2．回忆0指数幂的规定，即当a ≠0时，a 0＝1. 二、探究新知(一)≠0时，a 3÷a 5＝a 3a 5＝a 3a 3·a 2＝1a2，再假设正整数指数幂的运算性质a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n)中的m ＞n 这个条件去掉，那么a 3÷a 5＝a 3－5＝a －2.于是得到a －2＝1a 2(a ≠0)．总结：负整数指数幂的运算性质：一般的，我们规定：当n 是正整数时，a －n ＝1a n (a ≠0)．2．练习稳固：填空：(1)－22＝________， (2)(－2)2＝________， (3)(－2)0＝________，(4)20＝________，(5)2－3＝________，(5)(－2)－3＝________． 3．例1 (教材例9) 计算： (1)a－2÷a 5；(2)(b 3a 2)－2； (3)(a －1b 2)3；(4)a －2b 2·(a 2b －2)－3. 解：(1)a －2÷a 5＝a－2－5＝a －7＝1a7；(2)(b 3a 2)－2＝b －6a －4＝a 4b －6＝a 4b 6；(3)(a －1b 2)3＝a －3b 6＝b 6a 3； (4)a－2b 2·(a 2b －2)－3＝a －2b 2·a －6b 6＝a －8b 8＝b 8a 8. [分析] 本例题是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式．4．练习：计算：(1)(x 3y －2)2；(2)x 2y －2·(x －2y)3；(3)(3x 2y －2)2÷(x －2y)3.5．例2判断以下等式是否正确？ (1)a m ÷a n ＝a m ·a －n ；(2)(a b)n ＝a n b －n .[分析] 类比负数的引入使减法转化为加法，得到负指数幂的引入可以使除法转化为幂的乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来，然后再判断等式是否正确．(二)因为0.1＝110＝10－1；0.01＝________＝________；0．001＝________＝________……××10－5.我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a ×10－n的形式，其中n 是正整数，1≤|a|＜10.2．例3(教材例10) 纳米是非常小的长度单位，1纳米＝10－9米，把1纳米的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体？(物体之间的间隙忽略不计)[分析] 这是一个介绍纳米的应用题，是应用科学记数法表示小于1的数． 3．用科学记数法表示以下各数： 0．0004，，00045，009.4．计算：(1)(3×10－8)×(4×103)；(2)(2×10－3)2÷(10－3)3. 三、课堂小结1．引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍然成立． 2．科学记数法不仅可以表示一个值大于10的数，也可以表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意a 必须满足1≤|a|＜10，其中n 是正整数．四、布置作业 ，8，9题．本节课教学的主要内容是整数指数幂，将以前所学的有关知识进行了扩充．在本节的教学设计上，教师重点挖掘学生的潜在能力，让学生在课堂上通过观察、验证、探究等活动，加深对新知识的理解．15．3分式方程(2课时) 第1课时分式方程的解法1．理解分式方程的意义．2．理解解分式方程的根本思路和解法．3．理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法．重点解分式方程的根本思路和解法． 难点理解解分式方程时可能无解的原因． 一、复习引入问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 km /h ，它以最大航速沿江顺流航行90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？[分析]设江水的流速为x 千米/时，根据题意，得9030＋v ＝6030－v.① 方程①有何特点？[概括]方程①中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程． 提问：你还能举出一个分式方程的例子吗？ 辨析：判断以下各式哪个是分式方程．(1)x ＋y ＝5；(2)x ＋25＝2y －z 3；(3)1x ；(4)y x ＋5＝0；(5)1x ＋2x ＝5.根据定义可得：(1)(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程． 二、探究新知1．思考：怎样解分式方程呢？为了解决本问题，请同学们先思考并答复以下问题：(1)回忆一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？ (2)有没有方法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？ [可先放手让学生自主探索，合作学习并进行总结] 方程①可以解答如下：方程两边同乘以(30＋v)(30－v)，约去分母，得90(30－v)＝60(30＋v)． 解这个整式方程，得v ＝6.所以江水的流度为6千米/时．[概括]上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解．所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母．2．例1解方程：1x －5＝10x 2－25.②解：方程两边同乘(x 2－25)，约去分母，得x ＋5＝10. 解这个整式方程，，当x ＝5时，原分式方程左边和右边的分母(x －5)与(x 2－25)都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x ＝5不是分式方程的根，应当舍去，所以原分式方程无解．解分式方程的步骤：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根．因此，在解分式方程时必须进行检验．3．那么，可能产生“增根〞的原因在哪里呢？解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母)．方程①两边乘(30＋v)(30－v)，得到整式方程，它的解v ＝6.当v ＝6时，(30＋v)(30－v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同．方程②两边乘(x －5)(x ＋5)，得到整式方程，它的解x ＝5.当x ＝5时，(x －5)(x ＋5)＝0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解．4．验根的方法： 解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零．有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分母)，看它的值是否为零．如果为零，即为增根．如例1中的x ＝5，代入x 2－25＝0，可知x ＝5是原分式方程的增根．三、举例分析 例2(教材例1) 解方程2x －3＝3x. 解：方程两边乘x(x －3)，得2x ＝3x －9. 解得x ＝9.检验：当x ＝9时，x(x －3)≠0. 所以，原分式方程的解为x ＝9. 例3(教材例2) 解方程x x －1－1＝3〔x －1〕〔x ＋2〕. 解：方程两边乘(x －1)(x ＋2)，得x(x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝3.解得x ＝1.检验：当x ＝1时，(x －1)(x ＋2)＝0，因此x ＝1不是原分式方程的解． 所以，原分式方程无解．四、课堂小结1．分式方程：分母中含有未知数的方程． 2．解分式方程的一般步骤如下：。
思南县第八中学八年级数学上册第十五章分式15.3分式方程第2课时分式方程的应用教案新版新人教版8
第2课时 分式方程的应用1．进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程．2．使学生能较熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解应用题．重点在不同的实际问题中审明题意设未知数，列分式方程，解决实际问题． 难点在不同的实际问题中，设未知数列分式方程．一、复习引入 1．解下列方程：(1)3－x x ＋1＝4＋x x ＋1－2；(2)2x ＋3＋32＝72x ＋6. 2．列方程解应用题的一般步骤：(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．[概括] 这些解题方法与步骤，对于解分式方程应用题也适用．这节课，我们将学习列分式方程解应用题．二、探究新知例 1 某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2 640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用了2小时输完．问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？[分析] (1)如何设元？(2)题目中有几个相等关系？(3)怎样列方程？ 本题有两个相等关系： (1)甲速＝2乙速 (2)甲时＋120＝乙时其中(1)用来设，(2)用来列方程．[概括] 列分式方程解应用题的一般步骤： (1)审清题意；(2)设未知数(要有单位)；(3)根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程； (4)解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意； (5)写出答案(要有单位)．例2 A ，B 两地相距135千米，两辆汽车从A 开往B ，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5∶2，求两车的速度．练习：(1)甲乙两人同时从A 地出发，骑自行车到B 地，已知AB 两地的距离为30 km ，甲每小时比乙多走3 km ，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走x km ，则可列方程为( )A .30x －30x －3＝23B .30x －30x ＋3＝23C .30x ＋3－30x ＝23 D .30x －3－30x ＝23(2)我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必须是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度．例3(教材例3) 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？分析：甲队1个月完成工程的13，设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x ，那么甲队半个月完成总工程的________，乙队半个月完成总工程的________，两队半个月完成总工程的________．本题是工程问题，注意基本公式是：工作量＝工时×工效． 等量关系为：甲、乙两个工程总量总工程量．列方程：13＋16＋12x＝1.例4(教材例4) 某次列车平均提速v km /h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50 km ，提速前列车的平均速度为多少？分析：这里的字母v ，s 表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km /h ，那么提速前列车行驶s km 所用时间为________h ，提速后列车的平均速度为________km /h ，提速后列车运行(s ＋50)km 所用时间为________h .本题是列含字母系数的分式方程，解这个方程并且检验是难点，在解题过程中注意把s ，v 当作已知数．等量关系：提速前行驶50 km 所用的时间＝提速后行驶(s ＋50) km 所用的时间．列方程：sx＝错误!.练习：教材第154页练习第1，2题． 三、课堂小结1．列分式方程解应用题的一般步骤： (1)审：审清题意；(2)设：设未知数(要有单位)；(3)列：根据题目中的数量关系找出相等关系，列出方程； (4)解：解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意； (5)答：写出答案(要有单位)． 2．几种基本题型： (1)行程问题； (2)数字问题； (3)工程问题； (4)顺水逆水问题； (5)利润问题． 四、布置作业教材第154～155页习题15.3第3，4，5题．本节课结合具体的数学内容采用“问题情境——建立数学模型——解释应用与拓展”的模式展开，选择有现实意义的，对学生具有一定挑战性的内容，使学生在自主探索和合作交流的过程中建立数学模型，让学生能够自觉的用数学的眼光观察世界，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力．第2课时 线段的垂直平分线的有关作图1．作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图．(重点)2．依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴．(重点)一、情境导入有时我们感觉两个平面图形成轴对称，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？二、合作探究探究点一：作线段的垂直平分线【类型一】 作某条线段的垂直平分线如图，点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？(注：作一对对应点的对称轴就是作线段AB 的垂直平分线)解析：本题其实就是作线段AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的作法作出即可． 解：作法：(1)分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于E 、F两点；(2)作直线EF ，EF 即为所求的直线．同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．方法总结：要熟练掌握线段垂直平分线的作法，作出的图形中的作图痕迹要保留．【类型二】 垂直平分线的作法与垂直平分线的性质的综合如图，已知点A 、点B 以及直线l .(1)用尺规作图的方法在直线l 上求作一点P ，使PA ＝PB .(保留作图痕迹，不要求写出作法)；(2)在(1)中所作的图中，若AM ＝PN ，BN ＝PM ，求证：∠MAP ＝∠NPB .解析：(1)利用线段垂直平分线的作法作出即可；(2)利用全等三角形的判定方法以及利用其性质得出即可．解：(1)如图所示：(2)在△AMP 和△BNP 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝PN ，PM ＝BN ，AP ＝BP ，∴△AMP ≌△PNB (SSS)，∴∠MAP ＝∠NPB .方法总结：解决此类问题首先要正确作出图形，然后运用相关的知识解决其他问题．【类型三】 垂直平分线作法的应用如图，某地由于居民增多，要在公路l 边增加一个公共汽车站，A ，B 是路边两个新建小区，这个公共汽车站C 建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)?解析：作线段AB 的垂直平分线，由垂直平分线的定理可知，垂直平分线上的点到A ，B 的距离相等．解：连接AB ，作AB 的垂直平分线交直线l 于O ，交AB 于E .∵EO 是线段AB 的垂直平分线，∴点O 到A ，B 的距离相等，∴这个公共汽车站C 应建在O 点处，才能使到两个小区的路程一样长．方法总结：对于作图题首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．【类型四】 线段垂直平分线与角平分线作法的综合运用如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M ，N 表示大学，OA ，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)解析：到两条公路的距离相等，在这两条公路的夹角的平分线上；到两所大学的距离相等，在这两所大学两个端点的连线的垂直平分线上，所画两条直线的交点即为所求的位置．解：如图，点P为所求．方法总结：通过本题要熟练地掌握角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法．探究点二：对称轴的画法【类型一】画出已知图形的对称轴画出下列轴对称图形的所有对称轴(不考虑颜色)．解析：利用轴对称图形的性质分别得出其对称轴即可．解：如图所示：方法总结：画轴对称图形的对称轴，先找出对称点，然后作对称点的垂直平分线即可．【类型二】补全图形，并画出对称轴如图，在4×3的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在如图方格内填涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴．解析：根据轴对称的性质画出图形即可．解：如图所示：方法总结：解答此类问题，一般要先设计出轴对称图形，然后根据图形的特点，画出对称轴．三、板书设计线段的垂直平分线的有关作图1．线段垂直平分线的作法．2．作轴对称图形的对称轴的方法．本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高．[菱形]说课稿一、教材分析1、在教材中的作用与地位[菱形]紧接[矩形]一节之后。
第十五章分式教材分析
2 x y
1
x
x
代数式： x 、 5 、 2 a 、 1 、 2x 1 中
其中属于分式的有（ ）
A、1 个 B、 2 个 C、 3 D、4 个
例 1：当 m 取何值时，下列分式有意义？
（1） 2
（2） m2 1
（3） m 1
m
m 1
m2 1
例 2：当 x 为何值时，下列分式的值为 0？
列式得到解决：40x00＝（142050%0）x ＋10
（三）与数的发展类比
——整数扩展为分数，整式拓展为分式
❖ 分式是对分数的进一步抽象------字母的意义 ❖ 分数的讨论框架的继承------小学时分数都研究哪
些性质？ ❖从实际意义或者问题解决上，分式也是分数的实际
意义的抽象------列方程解应用题 ❖需要了解学生对于小学分数的了解情况，特别是是
§15.2.2 分式的混合运算 §15.2.3 负整数指数幂 §15.2.3 科学记数法 §15.3 分式方程 §15.3 分式方程的应用（1 ） §15.3 分式方程的应用（2）
第13课时 《分式》小结与复习（1）
第14课时 《分式》小结与复习（2）
课标要求
1.抽象出分式概念；
2.类比分数的基本性质，了解分式的基本性质；掌 握分式的约分和通分法则
4 2a
1
a
2
a2 1 4a
4
（2）
x2
x2
4y2 y 2 2xy
2y x x2 xy
注意：一是因式分解要正确， 二是化除为乘不能忘， 三是运算结果要最简。
8xy
2y 5x
=
8xy
人教版数学七年级至九年级目录
七年级上册第一章有理数1．1 正数和负数阅读与思考用正负数表示加工允许误差1．2 有理数1．3 有理数的加减法实验与探究填幻方阅读与思考中国人最先使用负数1．4 有理数的乘除法观察与思考翻牌游戏中的数学道理1．5 有理数的乘方数学活动小结复习题1第二章整式的加减2．1 整式阅读与思考数字１与字母Ｘ的对话2．2 整式的加减信息技术应用电子表格与数据计算数学活动小结复习题2第三章一元一次方程3．1 从算式到方程阅读与思考“方程”史话3．2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项实验与探究无限循环小数化分数3．3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母3．4 实际问题与一元一次方程数学活动小结复习题3第四章图形认识初步4．1 多姿多彩的图形阅读与思考几何学的起源4．2 直线、射线、线段阅读与思考长度的测量4．3 角4．4 课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒数学活动小结复习题4部分中英文词汇索引七年级下册第五章相交线与平行线5．1 相交线5．2 平行线5．3 平行线的性质5．4 平移数学活动小结复习题5第六章平面直角坐标系6．1 平面直角坐标系6．2 坐标方法的简单应用数学活动小结复习题6第七章三角形7．1 与三角形有关的线段7．2 与三角形有关的角7．3 多边形及其内角和7．4 课题学习镶嵌数学活动小结复习题7第八章二元一次方程组8．1 二元一次方程组8．2 消元8．3 再探实际问题与二元一次方程组数学活动小结复习题8第九章不等式与不等式组9．1 不等式9．2 实际问题与一元一次不等式9．3 一元一次不等式组9．4 课题学习利用不等关系分析比赛（1）数学活动小结复习题9第十章实数10．1 平方根10．2 立方根10．3 实数数学活动小结复习题10部分中英文词汇索引八年级上册第十一章一次函数11．1 变量与函数信息技术应用用计算机画函数图象11．2 一次函数阅读与思考科学家如何测算地球的年龄11．3 用函数观点看方程（组）与不等式数学活动小结复习题11第十二章数据的描述12．1 几种常见的统计图表12．2 用图表描述数据信息技术应用利用计算机画统计图阅读与思考作者可能是谁12．3 课题学习从数据谈节水数学活动小结复习题12第十三章全等三角形13．1 全等三角形13．2 三角形全等的条件阅读与思考为什么要证明13．3 角的平分线的性质数学活动小结复习题13第十四章轴对称14．1 轴对称14．2 轴对称变换信息技术应用探索轴对称的性质14．3 等腰三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系数学活动小结复习题14第十五章整式15．1 整式的加减15．2 整式的乘法15．3 乘法公式阅读与思考杨辉三角15．4 整式的除法15．5 因式分解观察与猜想x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解数学活动小结复习题15八年级下册第十六章分式16．1 分式16．1 分式的运算阅读与思考容器中的水能倒完吗16．1 分式方程数学活动小结复习题16第十七章反比例函数17．1 反比例函数17．1 实际问题与反比例函数阅读与思考生活中的反比例关系数学活动小结复习题17第十八章勾股定理18．1 勾股定理18．2 勾股定理的逆定理数学活动小结复习题18第十九章四边形19．1 平行四边形19．1 特殊的平行四边形实验与探究巧拼正方形19．1 梯形观察与猜想平面直角坐标系中的特殊四边形数学活动小结复习题19第二十章数据的分析20．1 数据的代表20．2 数据的波动信息技术应用用计算机求几种统计量阅读与思考数据波动的几种度量20．3 课题学习体质健康测试中的数据分析数学活动小结复习题20九年级上册第二十一章二次根式21．1 二次根式21．2 二次根式乘除阅读与思考海伦──秦九韶公式数学活动小结复习题21第二十二章一元二次方程22．1 一元二次方程22．2 降次──解一元二次方程阅读与思考黄金分割数22．3 实际问题与一元二次方程观察与猜想发现一元二次方程根与系数的关系数学活动小结复习题22第二十三章旋转23．1 图形的旋转23．2 中心对称信息技术应用探索旋转的性质23．3 课题学习图案设计数学活动小结复习题23第二十四章圆24．1 圆24．2 与圆有关的位置关系24．3 正多边形和圆阅读与思考圆周率π24．4 弧长和扇形面积实验与研究设计跑道数学活动小结复习题24第二十五章概率初步25．1 概率25．2 用列举法求概率阅读与思考概率与中奖25．3 利用频率估计概率阅读与思考布丰投针实验25．4 课题学习键盘上字母的排列规律数学活动小结复习题25九年级下册第二十六章二次函数26．1 二次函数实验与探究推测植物的生长与温度的关系26．2 用函数观点看一元二次方程信息技术应用探索二次函数的性质26．3 实际问题与二次函数数学活动小结复习题26第二十四章相似27．1 图形的相似27．2 相似三角形观察与猜想奇妙的分形图形27．3 位似信息技术应用探索位似的性质数学活动小结复习题27第二十八章锐角三角函数28．1 锐角三角函数阅读与思考一张古老的三角函数28．2 解直角三角形数学活动小结复习题28第二十九章投影与视图29．1 投影29．2 三视图阅读与思考视图的产生与应用29．3 课题学习制作立体模型数学活动小结复习题29。
八年级数学上册听课记录：第十五章分式《分式：分式的基本性质》
新2024秋季八年级人教版数学上册第十五章分式《分式：分式的基本性质》听课记录一、教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解并掌握分式的基本性质，包括分式有意义的条件、分式相等的条件以及分式的约分与通分。
2.过程与方法：通过实例分析和讨论，引导学生探索分式基本性质的规律，培养学生的观察、归纳和推理能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的数学态度和探究精神，以及合作学习的意识。
二、导入教师行为：•教师首先复习上节课关于分式概念的内容，提问学生：“谁能说说什么是分式？分式与分数有什么不同？”•接着，教师展示两个简单的分式，如32x和6x4x2，提问：“这两个分式相等吗？为什么？”引导学生思考分式相等的条件。
•由此引出本节课的主题：“为了更深入地理解分式，我们需要掌握分式的基本性质。
那么，分式有哪些基本性质呢？这就是我们今天要学习的内容。
”学生活动：•学生回忆并回答教师关于分式概念的提问，巩固上节课所学内容。
•认真观察教师给出的分式例子，思考并尝试回答分式相等的条件，为学习分式基本性质做铺垫。
过程点评：•教师通过复习旧知和提出问题，自然过渡到新课内容，激发了学生的学习兴趣和求知欲。
•学生积极参与思考，为学习分式基本性质奠定了良好的基础。
三、教学过程3.1 分式有意义的条件教师行为：•教师明确指出：“分式有意义的条件是分母不能为0。
”•通过具体例子说明，如x−1x，当x=1时，分母为0，分式无意义。
•引导学生思考并总结分式有意义的条件。
学生活动：•认真听讲，理解分式有意义的条件。
•分析教师给出的例子，尝试自己总结分式有意义的条件，并与同学交流讨论。
过程点评：•教师通过具体例子和清晰讲解，使学生明确了分式有意义的条件。
•学生通过思考和讨论，加深了对这一性质的理解。
3.2 分式相等的条件教师行为：•教师给出两个分式相等的例子，如ba=dc（b=0,d=0），并指出：“如果两个分式相等，那么它们的交叉相乘也相等，即ad=bc。
通用版2021秋九年级物理全册第十五章电流和电路小结与复习作业课件新版新人教版
14 (1)
(2)
(3)干路电流等于各支路电流之和
教材知识整合
一、概念 1．摩擦起电：用__摩___擦___的方法使物体带电，叫作摩擦 起电。 2．两种电荷：自然界只有两种电荷，用丝绸摩擦过的 玻璃棒带的电荷叫作___正_____电荷，用毛皮摩擦过的橡 胶棒带的电荷叫作____负____电荷。
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2．串联电路中电流的规律：串联电路中电流_处___处__相__等__。 表达式：I＝I1＝I2＝…＝In。 3．并联电路中电流的规律：并联电路干路中的电流等于 各支路中的电流___之__和_____。 表达式：I＝I1＋I2＋…＋In。
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三、方法 1．电路图的绘制方法： (1)电路元件要用统一规定的符号，不能自己创造符号； (2)要注意所画符号和实物的对应性； (3)合理安排电路元件符号，使之均匀分布在电路中，具 有对称性，特别注意元件符号一定不能画在电路的拐角 处，且导线尽量避免交叉；
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热点三 电路图设计与分析
9.(2020·金华中考改编)高铁轨道中的螺丝会因震动而松动 ，检修工作非常艰苦且重要。青少年科技创新大赛的获奖 作品(5G高铁轨道螺丝警报器)设计了检测螺丝松动的报警 方案。其主要的科学原理：螺丝(螺丝在电路图中用虚线框 表示，相当于导线)连接在电路中，当螺丝松动时，它会与 下端的导线分离而断开，此时电灯亮起而发出警报，及时 提醒工人修理。下列符合题意的电路图是( )
(2)连接电路注意事项：①开关要断开；②明确电流表测
量对象，选择合适量程，电流“正进负出”。
(3)闭合开关后电流表指针异常偏转的原因：①反向偏转
：正负接线柱接反；②正向偏转幅度过小：量程选择过
第十五章分式教材分析
例：已知分式 ｘ 3 的值为０，求x
的值。
ｘ 3
易犯错误
3、利用分式基本性质把分子、分母都乘以（或除以 ）非零整式M时，只乘（或除）其中某些项，有漏乘 （或漏除）的项。
例：下列各式从左到右的变形是否正确：
（１）
ｍ ＝－ ｍ －ｍ－ｎ ｍ－ｎ
ａ＋ｘ＝ａ＋１
（２） ｂ＋ｘ ｂ＋１
易犯错误
4、化为通分母的分式后的符号容易出错，从而导致 结果错误。
例：计算：
４ －ｘ＋２ ｘ－２ ｘ－２
容易忽视分数线具有括号的作用。
易犯错误
5、混合运算时，运算顺序易出错。
例：计算
容易先运算乘法，后运算除法,同级运 算，在没有括号的情况下，按顺序进行。
易犯错误
6．对于 a0 常常会忽视 a 0 ；在进行 an 变换 时易把负号写到分式的前面去；在10n 中会
生活小常识
用科学记数法填空： （1）1微秒＝_1_×__1_0_-6___秒； （2）1毫克＝_1_×__1_0_-3___克＝_1_×__1_0_-6___千克； （3）1微米＝_1_×__1_0_-4___厘米＝_1_×_1_0_-_6 ___ 米； （4）1纳米＝_1_×__1_0_-3___微米＝_1_×_1_0_-_9 ___米； （5）1平方厘米＝_1_×__1_0_-4___平方米； （6）1毫升＝ _1_×__1_0_-_3__ 升=_1_×__1_0_-_6__立方米.
本章难点
１、分式的四则混合运算－－－它是整式运算、 因式分解和分式运算的综合运用； ２、分式方程的增根问题； ３、列分式方程解决实际问题－－－与列整式方 程相比，尽管涉及的基本数量关系相同，但是由 于含有未知数的式子可以是整式或分式，所以更 具灵活性，学生会感到困难。
八年级数学上册 第十二章全等三角形小结与复习课件2_6-10
∵∠ACB=∠ECD，CB=CD，
∠ABC=∠EDC， ∴△EDC≌△ABC（ASA）．
CD
∴DE=BA．
E
答：测出DE的长就是A、B之间的距离．
花瓶里的纸花与笔筒中毛笔同时被主人摆放在案桌上。之后，蚂蚁逢人便说：“当你遇到无法逾越的障碍时，不妨换一种方式。玛茨亚很机灵，不过还是被吓了一跳。 电影在线观看 /tv/29.html 它倒还能挺直身子走路。
AD=AD， AB=AC，
∴ Rt△ADB ≌ Rt△ADC(HL). ∴BD=CD.
A
B
D
C
方法总结
利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些 因素作出判断，一般采用以下步骤： （1）先明确实际问题；
（2）根据实际抽象出几何图形；
（3）经过分析，找出证明途径； （4）书写证明过程.
考点四 利用全等三角形解决实际问题 例4 如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面 垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的 距离相等吗？
A
【分析】将本题中的实际问题转化为数学问题
就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC，
AD⊥BC.
B
D
C
解：相等，理由如下：
∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ADB和Rt△ADC中，
针对训练
5.如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不 能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间 的距离吗？
解：要测量A、B间的距离，可用如下方法：
D=BC，
再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直
线上，
“现在我再来匀一匀。，
华师大版八年级数学上册教案：第15章 小结与复习
第15章小结与复习1．让学生了解调查问题的方法过程，会收集相关数据，并进行初步整理；2．能用简单的统计表、折线图、条形图、扇形图来表示你所收集到的数据，并能识别它们各自有的优点；3．通过对数据的学习掌握分类比较的思考方式，理解数据与图表之间的联系；4．通过实例试图让学生经过观察、归纳猜想的过程，发展学生的数、形结合的数学思想方法．制作统计图表、条形统计图、折线统计图和扇形统计图，并能从图表中获取信息．制作统计图表、条形统计图、折线统计图和扇形统计图．一、情境导入整体感知本章知识结构思维导图：二、自学互研回顾新知【自主探究】活动：基础知识梳理1．频数与频率在统计调查中，每个对象出现的次数叫做频数，每个对象出现的次数与总次数的百分比叫做频率，所有对象的频率之和为1.2．数据的表示(1)数据的表示常用的统计图有扇形统计图、条形统计图、折线统计图；(2)扇形统计图反映出各部分数量的百分比；条形统计图直观地反映出数据的数量特征；折线统计图直观地反映出数量的变化趋势．【师生活动】①明了学情：关注学生对本章各知识点的掌握情况；②差异指导：对学生遗忘的知识及时引导、点拨，帮助学生查漏补缺；③生生互助：学生小组内交流讨论，相互释疑，相互查漏补缺．三、典例剖析再探新知【合作探究】例1：已知30个数据被分成4个小组，各小组数据频数之比为2∶4∶3∶1，则第二小组和第三小组的频数分别是__12__和__9__，第四小组的频率是__130__．例2：某校课外兴趣小组在本校学生中开展”感动中国2015年度人物”先进事迹知晓情况专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为A、B、C、D四类，其中A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，划分类别后的数据整理如下表：类别 A B C D频数30 40 24 b频率 a 0.4 0.24 0.06(1)表中的a＝__0.3__，b＝__6__；(2)根据表中数据，求扇形统计图中类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数．解：(1)问卷调查的总人数是：40÷0.4＝100(名)，∴a＝30100＝0.3，b＝100×0.06＝6(名)；(2)类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数是：360°×0.4＝144°.四、课堂小结回顾新知通过本节课的复习，你对本章知识又有了哪些新的认识？还存在哪些疑惑？请说出你的想法和同学们一起分享！五、检测反馈落实新知在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查(每位同学只选一类)，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：(1)本次调查中，一共调查了__200__名同学；(2)条形统计图中，m＝__40__，n＝__60__；(3)在扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是__72°__；(4)学校计划购买课外读物6000册，请根据调查结果，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？解：(1)70÷35%＝200(人)；(2)n＝200×30%＝60(人)，m＝200－(70＋60＋30)＝40(人)；(3)40200×360°＝72°；(4)艺术类读物所占百分数为：错误!×100%＝20%，6000×(1－35%－30%－20%)＝900(册)．购买其他类读物900册比较合理．六、课后作业巩固新知见学生用书．。
人教版八年级数学上册 第十五章分式小结与复习(共26张PPT)
⑶约分: 把一个分式的分子与分母的 公因式 约去， 叫做分式的约分.
⑷通分: 把几个异分母的分式化成 同分母的分式， 注 然意 后：再叫约分做分式.分的分式子的、通分分母. 是多项式的，应先分解因式，
-A ( -B )
-A A
=
=
-B ( B )
( -A ) =
B
-A (B )
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 1:33:24 AM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
分式小结与复习
一、本章知识结构图
列式
实
分式
际
问 题 列方程
目标
类比分数
性质
分式的基本
性质
类比分数 运算
分式的运算
分式方程
去分母
目标
整式方程
解整 式方 程
实际问 题的解
分式方程的解
人教版九年级物理(初中)第十五章电流和电路(共5节)
第1节两种电荷第十五章电流和电路人教版九年级物理（初中）课堂导入小实验：用塑料直尺在头发上摩擦后；气球在墙上摩擦后；都能吸引纸屑演示实验橡胶棒和毛皮摩擦玻璃棒和丝绸摩擦一些物体被摩擦后，能够吸引轻小物体，称为物体带了电，或者说带了“电荷”摩擦起电：用摩擦的方法使物体带电，叫摩擦起电。
课堂活动一、两种电荷观察与思考跟毛皮摩擦后的橡胶棒与跟丝绸摩擦后的玻璃棒。
带的电荷是否一样呢？橡胶棒和玻璃棒吸引两橡胶棒相互排斥两玻璃棒相互排斥自然界只有两种电荷用丝绸摩擦过的玻璃棒带的电荷叫作正电荷，用“+”表示；用毛皮摩擦过的橡胶棒带的电荷叫作负电荷，用“-”表示。
2.电荷间的作用规律：同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引。
（1）带电体能吸引轻小物体。
怎样判断物体是否带电？问题与讨论（2）验电器1.正电荷负电荷：两种电荷3.验电器：（2）原理：同种电荷相互排斥（1）构造:（3）作用：检验物体是否带电想一想：验电器张角的大小不同，说明什么？金属球绝缘垫金属杆金属箔金属罩接线柱两种电荷两种电荷4．电荷量（Q）（１）.电荷的多少叫做电荷量，简称电荷。
（２）.电荷的单位：库仑，简称库，符号是C。
一根摩擦过的玻璃棒或橡胶棒所带的电荷，大约只有10-7C。
一片雷雨云带电的电荷，大约有几十库仑。
（3）元电荷电子是带有最小电荷的粒子。
叫做元电荷，常用符号e表示。
e=1.6×10-19C任何带电体所带电荷量都是e的整数倍。
原子及其结构问题与讨论物体摩擦后为什么会带电，任意两个物体摩擦后都会带电？原子核外电子原子核质子中子电中性带正电带负电不带电带正电1．原子结构束缚电子能力弱束缚电子能力强电子带正电带负电核外电子原子核+++–––不同物质的原子核束缚电子的本领不同，摩擦后发生了电子得失3．摩擦起电的原因失去电子的物体带正电；得到电子的物体带等量的负电.原子及其结构导体和绝缘体油罐车常常有一条铁链做的尾巴拖在地上，为什么？实验1用橡胶棒连接验电器验电器A、B金属箔的张角没有变化验电器A的电荷量没有变化，验电器B仍不带电A B实验现象实验分析实验结论电荷没有发生移动，说明橡胶棒不容易导电。
人教版九年级数学上册《圆》小结与复习教学案
小结与复习(一)素质教育目标1,系统地归纳总结本章的知识内容．2,通过系统地归纳总结本章的知识内容，培养学生阅读理解能力；整理归纳所学知识使其条理化、系统化的能力;通过系列练习题的完成培养学生的理解能力、记忆能力。
3,通过圆与各种图形位置关系的复习，认识事物之间是相互联系的，通过运动和变化，事物之间可以互相转化;由于本章内容较多因而显得零散，通过系统归纳，向学生渗透了抓主要矛盾，“纲举目张”的辩证唯物主义观点．教学重点、难点1．重点：系统地归纳总结本章知识内容．2．难点：使所学知识结构化．教法学法和教具1．教法：引导学生探索研究发现法。
2．学法：学生主动探索研究发现法。
3．教具：三角尺、圆规、投影仪（或小黑板）。
教学过程教师谈话引入：经过近50课时的学习，第七章圆的全部内容已经学完了，今天我们这节课的任务就是回顾一下这50课时学习内容，将其整理归纳，使之结构化．圆是最常见的几何图形之一，在生活、生产实践中应用十分广泛．“圆”又是初中几何最后一章，与前面所学的知识又有着千丝万缕的联系．本章的内容又较多，为了便于学生掌握这些内容，安排一节课将本章内容归纳整理，使之结构化，就显得十分有必要．课堂探练部分：同学们请看书，回顾一下第七章圆，你都学了有关圆的哪些知识．[安排学生读书，讨论研究，然后回答这个问题．学生的回答必然零散，或读目录．] 教师引导学生总结：第七章的内容可概括为三大部分：其一，是它本身的概念和性质；其二是它与其它几何图形的位置关系及性质、判定和应用；其三，圆柱、圆锥侧面展示图．课堂讲练部分第一部分圆的概念和性质：提出如下问题让学生先看书后回答．[提问的重点是中下学生] 1．什么是圆？2．圆心确定圆的什么？半径确定圆的什么？3．满足什么条件的三点可以确定一个圆．4．圆是轴对称图形，它的对称轴是谁？它有多少条对称轴？5．圆的轴对称性主要体现在哪个定理上？6．圆是中心对称图形吗？它的对称中心是谁？7．圆的旋转不变性，主要体现在哪个定理上？什么是圆的旋转不变性？8．弧长公式、扇形面积公式？中下生答：[1．圆是与定点的距离等于定长的点的集合；2．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；3．经过不在同一直线上的三点可以确定一个圆；4．它的任意一条直径所在的直线都是对称轴，它有无数条对称轴；5．垂经定理；6．圆是中心对称图形，它的圆心就是对称中心；7．在同圆或等圆中，两个圆心角、圆心角所对的弧、弦、弦心距的相等关系定理．圆绕圆心旋转任意大小的角度都能够与原图形重合称为圆的旋转不变性；8，L=n R180π，S 扇形 =2n360Rπ=1LR2第一大部分知识间的关系可如下表：第二大部分知识间的关系可如下表：第二部分拟提出以下问题让学生看书，然后回答，重点仍然是中下学生．1．点与圆有哪几种位置关系？2．点到圆心的距离d跟点与圆的位置关系是怎样对应的？3．直线与圆有哪几种位置关系？4．圆心到直线的距离d跟直线与圆的位置关系是怎样对应的？5．圆与圆有哪几种位置关系？6．两圆的圆心距d与两圆的位置关系又是怎样对应的？7．与圆有关的角都有哪些？8．圆心角的度数和它所对弧的度数有什么关系？9．一条弧所对的圆周角与圆心角具有什么数量关系？10．弦切角与它所夹的弧所对的圆周角具有什么数量关系？11．三角形的三边中垂线的交点是三角形的什么心？三角形的内心是三角形的什么特殊线段的交点？12．圆内接四边形有哪些性质？13．正多边形和圆有哪些关系定理？14．与圆有关的成比例线段定理有哪些？[答案：1．点在圆内，点在圆上，点在圆外．2．设圆的半径为R，线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离．4．设圆的半径为R，则离．5．两圆外离、外切、相交、内切、内含．6．设一圆半径为R，的度数等于它所对的弧的度数．9．一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半．10．弦切角等于它所夹弧对的圆周角．11．外心；两角平分线的交点．12．圆内接四边形对角互补、外角等于它的内对角．13．n等分圆周，(n≥3)，(1)顺次连结各分点得圆内接正n边形，(2)过各分点作切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是圆的外切正n边形．(3)正n边形(n≥3)一定有一个内切圆且有一个外接圆，并且这两个圆是同心圆．14．相交弦定理、切割线定理、割线定理．]第三部分：通过圆柱、圆锥的直观展开图进行有关计算．第三部分拟提出以下问题，由幻灯片形式给出，让学生观察直观图并回答．[重点：提问中下生]1．在圆1中的h与m分别表示圆柱的什么？h与m有何数量关系？2．图1中圆柱展开图矩形的一边是高或母线，另一边是圆柱的什么？3．在图2中的h与m分别表示圆锥的什么？m、h、r，具有什么关系？4．图2中的∠θ和∠α分别表示什么角？5．圆锥展开图的弧长与圆锥底面圆有何联系？[答案：1．h是高，m是母线，h=m．2．另一边是圆柱底面圆的周长．3．h是高，m是母线，m2=h2+r2，4．∠θ是圆锥的锥角，∠α是圆锥展开图扇形的圆心角．5．圆锥展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长．]总结、扩展（教师引导学生对本课进行学习反思）本节课将第七章圆的知识内容进行系统归纳整理．布置作业（学生可根据自己的实际情况选做）教材P．67中1；P．84中1；P．100中1；P．118中1；P．137中1；P．157中1；P．179中1；P．192中1．板书设计教学札记本节课面广量大综合性强，要求学生自己整理成知识网络，实行分层教学，分类作业，以激发学生的学习积极性，切实减轻学生的课业负担。
最新人教版初中八年级数学上册第十五章《分式》精品教案(小结复习)
重点解析 1
解下列方程：
（1） x 3 - 2 x -1 2x - 2
（2）
x2
3
2x
-
x2
1 - 2x
0
解：（1）方程两边同时乘2(x-1)，得2x=3-4(x-1)，
整理得：6x=7，解得 x 7 . 6
检验：当 x 7 时，2(x-1)≠0， 6
所以原分式方程的解是 x 7 . 6
知识梳理
列分式方程解决实际问题的一般步骤 审：审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已知量、未知量； 设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性； 列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程； 解：解所列分式方程； 验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的解，又要检验所得的解是否符合 实际问题的要求； 答：写出答案.
本题源自《教材帮》
重点解析 3
班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有 90公里，队伍8:00从学校出发，苏老师因有事情，8:30从学校自驾小车以大巴1.5 倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地. 问： （1）大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
根据题意，得：5 20 (1 20%) 2400 2400 2400 ，
y
10 - 2
解得：y=480.
经检验：y=480是原分式方程的解，且符合题意.
答：原计划安排的工人有480人.
课堂小结
1.同学们，今天你学到了什么呀？ 和同桌说说有什么收获。
2.师生共同总结反思学习情况。
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
重点解析 2
若分式方程： 3x - a x2 - 2x
第15章 轴对称图形与 小结与复习
考点一 轴对称图形与轴对称
例1 如图所示，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A″B″C″ 和△A′B′C′关于直线EF对称.
(1)画直线EF;
(2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB′与直线MN，EF所夹 锐角α的数量关系. 【分析】连接△A′B′C′和△A″B″C″中 的任意一对对应点，作所得线段的垂 B 直平分线即为直线EF，根据轴对称 的性质可求角的数量关系. C C′ C″ N M A′ B′ B″ A″
考点三 等腰（等边）三角形的性质与判定
例3 如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求证：
∠BAC = 2∠DBC. A
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的
性质，可作顶角∠BAC的平分线，来获取
角的数量关系. B
12 D C
E
证明：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示，则
1 1=2= BAC. 2
联系
4.轴对称的性质： ①如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任
何一对对称点所连线段的垂直平分线；
②如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分， 那么这两个图形关于这条直线对称.
二、线段的中垂线
1.线段中垂线的性质定理：
线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等. 2.逆定理： 到线段两端点的距离相等的点在线段的中垂线上.
三、等腰（边）三角形
1.性质①：
等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角）
推论： 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°.
2.性质②： 等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边. （三线合一）.
3.等腰（边）三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质： 判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对
人教版数学八年级上册第十五章《分式》复习教案
第15章分式单元要点分析教材内容本单元教学的主要内容：本单元主要内容是分式的概念、根本性质、分式运算以及分式方程的应用．本单元知识构造图．本单元教材分析：本单元是继整式之后对代数式的进一步研究，主要从三个方面展开讨论：1．密切分式与现实生活的联系，突出分式、分式方程的模型作用，•分式也是表示具体问题情境中数量关系的工具；分式方程那么是将具体问题“数学化〞的重要模型．本单元首先通过从分数到分式，以适移的手法引入分式概念，在分式的运算中安排了丰富的实际问题，让学生在这些实际问题中，学习法那么、应用法那么，感受分式运算的意义，理解算理．在学习分式方程时，教材设置了现实中的速度问题、工程问题等，让学生经历“建立分式方程模型〞这一数学化的过程，体会分式方程的意义与使用，培养抽象、概括能力．在分式方程应用方面，力求使应用问题贴近学生生活实际，增强学生解决问题的能力，激发学生的学习兴趣．2．注意数学思想方法的应用，突出培养学生的合情推理能力．•教材十分重视观察、类比、归纳、猜测等思维方法的应用．在分式根本性质的探索过程中，采用观察、类比的方法，让学生在讨论、交流中获得结论，在分式加减乘除运算法那么的探索中，与分数进展类比，得到有关结论；分式方程的概念也是通过抽象、概括获得的．这样，既渗透了常用的数学思维方法，又培养了学生的合情推理能力．3．适当降低分式运算的难度，注重对算理的理解、分式的化简、求值、•运算，是代数运算的根底，但它与分数非常类似．因此，适当控制难度、注意对算理的理解是本单元的特点．在分式运算方面，教材的例、习题难度都不大，运算步骤不多，注意一题多解，对分式方程，注重对解的合理性的讨论．三维目标1．知识与技能〔1〕熟练掌握分式的根本性质，会进展分式的约分、•通分和加减乘除混合运算，会解可化为一元一次方程的分式方程〔方程中分式不超过两个〕，会检验分式方程的根．〔2〕能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题，具有一定的分析问题、•解决问题的能力和应用意识．2．过程与方法〔1〕经历用字母表示现实情境数量关系〔分式、分式方程〕的过程，•了解分式、分式方程的概念，体会分式、分式方程的模型思想，进一步开展符号感．〔2〕经历通过观察、归纳、类比、猜测，获得分式的根本性质、•分式乘除运算法那么、分式加减运算法那么的过程；开展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力．3．情感、态度与价值观通过学习，获取代数知识的常用方法，感受代数学习的实际应用价值．重难点、关键1．重点：分式的混合运算以及分式方程的应用．2．难点：异分母的分式的通分，特别是分母是多项式的分式的通分，另一个是分式方程的“建模〞问题．3．关键：把握分式的根本性质，在通分中的充分应用．抓住最简公分母的寻找方法是解决通分这一难点的关键．复习与交流教学内容本节课主要内容是对本单元进展回忆．教学目标1．知识与技能会进展分式的根本运算〔加、减、乘、除、乘方〕，熟练掌握分式方程的解法，能应用“建模〞思想解决实际问题．2．过程与方法经历回忆分式概念、计算、应用的过程，提高观察、类比归纳、猜测等能力，．领会其算理．3．情感、态度与价值观培养学生的自主、合作、交流的意识，和严谨的学习态度，让学生体会知识的内在价值．重难点、关键1．重点：通过理解分式的根本性质，掌握分式的运算、应用．2．难点：分式的通分以及分式方程的“建模〞．3．关键：把握分式的根本性质，领会算理．教学准备教师准备：投影仪，制作与本节课有关的投影片，图片等．学生准备：做一份本单元知识小结．学法解析1．认知起点：在学习了不等式根本性质、约分、通分、混合运算，•以及分式方程、应用内容后进展反思．2．知识线索：3．学习方式：采用知识体系梳理，•合作交流的学习方式到达稳固提高本单元知识的目的．教学过程一、回忆交流，稳固反应【组织交流】教师活动：翻开投影机，先将学生分成四人小组，交流各自准备的单元小结，然后开展小组汇报．学生活动：小组合作交流，交流内容是〔1〕单元知识构造图；〔2〕课本P41“回忆与思考〞的5个问题；〔3〕自己的单元小结．活动形式：先小组合作交流，再小组汇报，师生互动．媒体使用：学生汇报中，可借用投影仪，辅助讲解．教师归纳：本章主要内容是分式的概念；分式的根本性质；分式混合运算和可化为一元一次方程的分式方程及其应用，这些内容在今后进一步学习方程、函数等知识时占有重要地位和作用．〔投影显示本单元知识体系，见课本P157〕1．分式的根本性质是分式恒等变形的依据，•正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键，因此学习中要注意以下三点：〔1〕根本性质中的字母表示整数，〔,A A M A A M B B M B B M⨯÷==⨯÷，M≠0〕 〔2〕要特别强调M≠0，且是一个整式，由于字母的取值可以是任意的，所以M•就有等于零的可能性，因此，应用根本性质时，重点要考察M 的值是否为零．2．约分，约分的目的是化简，关键是找分子和分母的最高公因式，•即系数的最大公约数、一样因式的最低次幂．3．通分，通分关键是确定n 个分式的公分母，•通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫最简公分母．4．分式的乘除法本质就是〔1〕因式分解，〔2〕约分．5．分式的加减法本质就是〔1〕通分，〔2〕分解因式，〔3〕约分．6．解分式方程的本质就是将分式方程化成整式方程，但要注意验根．【设计意图】让学生掌握课堂的主动权，以自主、合作、交流的手法调动学生的主观能动性．二、寓思与练，讨论交流【显示投影片1】演练题1：当x 取什么数时，以下分式有意义？〔1〕22461;(2);(3)512x x x x m-++． 思路点拨：〔1〕令5x+1=0，相应求出x 的值，然后x 不取这个值时分式必有意义．〔 x≠-15〕；〔2〕由于无论x 取何值x 2+2的值均大于零，因此，x 取任何实数，此分式都有意义；〔3〕因为任何数的平方均为非负数，那么m 2≥0，所以m≠0即可．演练题2：当x 取什么数，以下分式的值为零？〔1〕23||2;(2)47(2)(5)x x x x x +-++-． 思路点拨：令分子等于零，由此求出x 的值，此时应考虑分母是否等于零，•假设等于零，那么分式无意义，应舍去．〔1〕x=-32；〔2〕x=2． 【活动方略】教师活动：操作投影仪，引导学生训练，并请学生上台板演．学生活动：独立完成演练题1，2，以练促思．三、随堂练习，稳固深化1．x 为何值时，2||5x x-的值为零；〔x±5〕 2．x 为何值时，259x x +-没有意义；〔x=9〕 3．x 为何值时，6721a a -+的值等于1．〔a=2〕 4．课本P158复习题15第6题．四、范例学习，提高认知例1 计算．2244222815(1);(2)()(66).583()[:(1),(2)]6x y a b xy x y x y ab xy x y ax xy x y b -÷-++答案 思路点拨：按法那么进展分式乘除法运算，应注意，如果运算结果不是最简分式，一定要约分，对于分式的乘除混合运算，按乘除的顺序依次进展；当分子、分母是多项式时，一般先分解因式，并在运算过程中约分，使运算简化． 例2 计算．222222222(1);11112(2)()().4444224xy y x x y y x x y b a ab b a ab b a b a b a b -+--+-÷+-+++-+- 思路点拨：〔1〕•分式的加减运算就是把异分母的加减化成同分母的分式的加减，因此，在通分过程中找出最简公分母是关键．〔2〕对于分式的混合运算，•应注意运算顺序．【活动方略】教师活动：通过分析例1、例2的算理，增强学生的运算能力，提高运算的准确性．学生活动：参与例1、例2的分析，同教师一道领会算理，掌握正确的学习方法．五、随堂练习，稳固深化1．计算．22225(1)221(2)1111(3)1();()121x xx x x x a a a a a a a a +----+-+--÷-+--+ 2．先化简，再求值：()(2)(1)x y x y y y x y x x -÷+-÷+，其中x=115,.[]253y = 六、联系实际，实践应用【显示投影片2】例3 解分式方程：1-6351x x x+=-+ [x=2] 思路点拨：解分式方程根本思路是方程两边都乘以各分母的最简公分母，使方程化为整式方程，但解后必须验根．例4 某水泵厂在一定天数内生产4 000台水泵，工人为了支援祖国现代化建立，每天比原方案增加25%，可提前10天完成任务，问原方案每天生产多少台？〔80台〕思路点拨：工程问题常用的关系式是时间＝总工作量日产量，设原方案每天生产x台，•列式4000400014x x x-+＝10．【活动方略】教师活动：操作投影仪，启发引导学生弄清题意，正确解答．学生活动：利用例3、例4，复习分式方程解法，以及应用题“建模〞方法，并归纳小结．七、继续演练，反复认识【显示投影片3】1．解方程：8177xx x----=8〔无解〕2．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因出现特殊情况多停一些，耽误30分钟，后来把速度提高了倍，结果准时到达目的地，•求这列火车原来的速度．[提示：设火车原速为x千米/小时，列车450314531.22xx x-+=，x=75]3．课本P159“复习题15〞第9,10题．八、布置作业，专题突破1．课本P158“复习题15〞第1，2〔3〕〔4〕〔6〕，3〔2〕〔4〕〔6〕〔8〕，4，5，8题．2．选用课时作业设计．九、课后反思。
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课堂小结
（1）通过对本章的学习，你认为本章的核心知识是 什么？ （2）在学习过程中，还有哪些需要注意的地方？ （3）在解决问题的过程中，运用到哪些数学思想？
布置作业
教科书复习题15第5、6、8、9、11题．
例说明分式的约分、通分与分数的约分、通分有 什么相同和不同之处. （5）如何用式子的形式表示分式的运算法则？在分式 四则运算中要注意什么？ （6）你能举例说明解分式方程的基本步骤吗？解分式 方程需要注意什么？为什么解分式方程要检验？
体系建构
问题2 请同学们整理一下刚才回顾的主要知识， 根据它们之间的联系画本章的知识结构图.
八年级上册第十五章 结与复习课件说明• 对本章内容进行梳理、总结、建立知识体系，综合 应用本章知识解决问题．
课件说明
• 学习目标： 1．复习整理本章的知识结构，形成知识体系．解决 生活中的实际问题． 2．掌握列分式方程解决实际问题的基本方法，深化 数学思想的认识． • 学习重点： 建立本章知识结构，准确、熟练、灵活地进行分式的 四则运算．
5 x+ 2 3 2x 2 （） 2 = 1 ；（2） =1． 2 x -5 2 x 5 x +x x+1
典型例题
例3 列方程解应用题： 一辆汽车开往距离出发地180 km的目的地，出发后 第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来 速度的1.5 倍匀速行驶，并比原计划提前40 min到达目 的地，求前一小时的行驶速度．
知识梳理
问题1 请同学们回答下列问题： （1）本章都学习了哪些知识？ （2）什么是分式？分式与分数有什么区别与联系？你 能举例说明吗？ （3）如何用式子的形式表示分式的基本性质？分式与 分数的基本性质相同吗？你能举例说明吗？
知识梳理
问题1 请同学们回答下列问题： （4）怎样进行分式的约分和通分？依据是什么？请举
分式基本性质 分式 实 际 问 列方程 去分母 题 分式方程 整式方程
目标 目标 解整式方程 列式 类比分 数性质 类比分 数运算
分式的运算
实际 问题 的解
分式方程的解
检验
整式方程的解
体系建构
问题3 结合本章知识结构图，再思考以下问题： （1）本章研究的重点内容是什么，它们之间有什么 联系？在分式的运算和解分式方程的过程中需要 注意什么？解分式方程为什么要检验？ （2）如何列分式方程解决实际问题？
典型例题
例1 计算：
-2 （2）a 2b3 （ab 2）；
2m 3n 2 mn （） 1 （ ） 2 ； 3n p p
a -b 2ab-b 2 a -b a 2 -b 2 （3） （a ）；（4） 1 2 ． 2 a a a+ 2b a + 4ab+ 4b
典型例题
例2 解下列分式方程：