数学(文)一轮教学案：第二章第9讲 函数模型及函数的综合应用 Word版含解析
(江苏专版)2020版高考数学一轮复习第二章第九节函数模型及其应用教案文(含解析)苏教版
第九节 函数模型及其应用1．几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 反比例函数模型 f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0)二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型f (x )＝ba x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a ＞0且a ≠1)对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a ＞0且a ≠1)幂函数模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)2(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题． 以上过程用框图表示如下：[小题体验]1．(2019·徐州诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为________立方米．解析：设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，0≤x ≤10，30＋5x －10，x ＞10，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，0≤x ≤10，5x －20，x ＞10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15. 答案：152．用18 m 的材料围成一块矩形场地，中间有两道隔墙．若使矩形面积最大，则能围成的最大面积是________m 2.解析：设隔墙长为x m ，则面积S ＝x ·18－4x 2＝－2x 2＋9x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋818.所以当x ＝94时，能围成的面积最大，为818 m 2.答案：8181．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数 模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性． [小题纠偏]1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是__________．答案：y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)2．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．解析：各年产量为a n ＝f (n )－f (n －1)＝12n (n ＋1)(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1)＝3n 2(n ∈N *)，令3n 2≤150，得1≤n ≤5 2.又n ∈N *，所以1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．答案：7考点一 二次函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领]某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB 长为2 m ，跳水板距水面CD 的高BC 为3 m ．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A 处水平距h m(h ≥1)时达到距水面最大高度4 m ，规定：以CD 为横轴，BC 为纵轴建立直角坐标系．(1)当h ＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h 的取值范围． 解：由题意，最高点为(2＋h,4)，h ≥1. 设抛物线方程为y ＝a [x －(2＋h )]2＋4. (1)当h ＝1时，最高点为(3,4)， 方程为y ＝a (x －3)2＋4.(*) 将点A (2,3)代入(*)式得a ＝－1. 即所求抛物线的方程为y ＝－x 2＋6x －5.(2)将点A (2,3)代入y ＝a [x －(2＋h )]2＋4，得ah 2＝－1. 由题意，方程a [x －(2＋h )]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解． 令f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1h2[x －(2＋h )]2＋4，则⎩⎪⎨⎪⎧f 5＝－1h 23－h 2＋4≥0，f6＝－1h24－h2＋4≤0.解得1≤h ≤43.故达到比较好的训练效果时的h 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43. [由题悟法]二次函数模型问题的3个注意点(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域；(2)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．[即时应用](2019·启东中学高三检测)某企业实行裁员增效，已知现有员工a 人，每人每年可创利润1万元，据评估，在生产条件不变的情况下，每裁员1人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给每个下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的34，设该企业裁员x 人后纯收益为y 万元．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；(2)当140＜a ≤280时，问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(在保证能获得较大经济效益的情况下，应尽量少裁员)解：(1) 由题意，y ＝(a －x )(1＋0.01x )－0.4x ＝－1100x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 100－75x ＋a ，因为a －x ≥3a 4，所以x ≤a4.故x 的取值范围为0≤x ≤a4且x ∈N *.(2)由(1)知y ＝－1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－702＋1100⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－702＋a ，当140＜a ≤280时，0＜a 2－70≤a4，当a 为偶数时，x ＝a2－70，y 取最大值； 当a 为奇数时，x ＝a ＋12－70或x ＝a －12－70，y 取最大值，因尽可能少裁员，所以x ＝a －12－70，所以当a 为偶数时，应裁员⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－70 人；当a 为奇数时，应裁员⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12－70人．考点二 函数y ＝x ＋a x模型的应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解：(1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40， 因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥26x ＋10·8003x ＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．[由题悟法]应用函数y ＝x ＋a x模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝b x叠加而成的． (2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋b x的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f (x )＝ax ＋b x的形式．(3)利用模型f (x )＝ax ＋b x求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．[即时应用]某隧道长2 150 m ，通过隧道的车速不能超过20 m/s.一列有55辆车身长都为10 m 的同一车型的车队(这种型号的车能行驶的最高速为40 m/s)，匀速通过该隧道，设车队的速度为x m/s ，根据安全和车流的需要，当0＜x ≤10时，相邻两车之间保持20 m 的距离；当10＜x ≤20时，相邻两车之间保持⎝ ⎛⎭⎪⎫16x 2＋13x m 的距离．自第1辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用的时间为y (s)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)求车队通过隧道的时间y 的最小值及此时车队的速度．(3≈1.73) 解：(1)当0＜x ≤10时，y ＝2 150＋10×55＋20×55－1x＝3 780x，当10＜x ≤20时，y ＝2 150＋10×55＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16x 2＋13x ×55－1x＝2 700x＋9x ＋18，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 780x ，0＜x ≤10，2 700x ＋9x ＋18，10＜x ≤20.(2)当x ∈(0,10]时，在x ＝10时，y min ＝3 78010＝378(s)．当x ∈(10,20]时，y ＝2 700x＋9x ＋18≥18＋2×9x ×2 700x＝18＋1803≈329.4(s)，当且仅当9x ＝2 700x，即x ≈17.3(m/s)时取等号．因为17.3∈(10,20]，所以当x ＝17.3(m/s)时，y min ＝329.4(s)， 因为378＞329.4，所以当车队的速度为17.3 m/s 时，车队通过隧道的时间y 有最小值329.4 s. 考点三 指数函数与对数函数模型重点保分型考点——师生共研 [典例引领]已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律是：θ＝m ·2t＋ 21－t(t ≥0，并且m ＞0)．(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．解：(1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t＝2⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t＋12t ＝52，令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ＝m ·2t＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝x ，则0＜x ≤1，所以m ≥－2x 2＋2x ， 因为－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，所以m ≥12，因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. [由题悟法]指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．[即时应用]候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位， 故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2， 所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为________元/件时，利润最大．解析：设单价为6＋x ，日均销售量为100－10x ， 则日利润y ＝(6＋x －4)(100－10x )－20 ＝－10x 2＋80x ＋180＝－10(x －4)2＋340(0＜x ＜10)．所以当x ＝4时，y max ＝340. 即单价为10元/件，利润最大． 答案：102．(2018·盐城中学检测)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝R －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为________．(用常数a 表示)解析：D ＝R －A ＝a A －A ，令t ＝A (t ＞0)，则A ＝t 2，所以D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2.所以当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．答案：14a 23．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶x km 时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0＜x ≤3，8＋2.15x －3＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85x －8＋1，x ＞8，由y ＝22.6，解得x ＝9. 答案：94．(2019·盐城调研)一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202km ，那么这批物资全部运到B市，最快需要________ h(不计货车的身长)．解析：设这批物资全部运到B 市用的时间为y ， 因为不计货车的身长，所以设列车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16×⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202时，时间最快．则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202×16＋400v＝v 25＋400v ≥2 v25×400v＝8， 当且仅当v 25＝400v，即v ＝100时等号成立，y min ＝8.答案：85．(2019·南通模拟)用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．解析：设矩形场地的宽(即隔墙的长度)为x ，则长为24－4x 2，其面积S ＝24－4x2·x ＝12x－2x 2＝－2(x －3)2＋18，当x ＝3时，S 有最大值18，所以隔墙的长度为3.答案：36．有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m 分钟的电话费由函数f (m )＝1.06×(0.5[m ]＋1)(元)决定，其中m ＞0，[m ]是大于或等于m 的最小整数．则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为________元．解析：因为m ＝5.5，所以[5.5]＝6.代入函数解析式，得f (5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.答案：4.24二保高考，全练题型做到高考达标1．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．解析：依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ， 又s A (100)＝s B (100)， 所以100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2，于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10， 即两种方式电话费相差10元． 答案：102．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．解析：设售价提高x 元，利润为y 元，则依题意得y ＝(1 000－5x )×(100＋x )－80×1 000＝－5x 2＋500x ＋20 000＝－5(x －50)2＋32 500，故当x ＝50时，y max ＝32 500，此时售价为每件150元．答案：1503．(2019·海安中学检测)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________．(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)解析：设2017年后的第n 年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n ＞200，得1.12n＞2013，两边取常用对数，得n ＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，所以n ≥4，所以从2021年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．答案：2021年4．(2019·启东中学检测)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：由题意设仓库在离车站x 千米处，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，其中x ＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧ k 110＝2，10k 2＝8得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝20k 2＝45，即y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8， 当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时等号成立．答案：55．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8，则m ＝________.解析：根据题意知12＝e 5n，令18a ＝a e nt ，即18＝e nt， 因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10. 答案：106．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．解析：设每小时的总费用为y 元，则y ＝kv 2＋96， 又当v ＝10时，k ×102＝6，解得k ＝0.06，所以每小时的总费用y ＝0.06v 2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为10v小时，故总费用为W ＝10v y ＝10v (0.06v 2＋96)＝0.6v ＋960v≥20.6v ×960v ＝48，当且仅当0.6v ＝960v，即v ＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时． 答案：407．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．解析：依题意知：20－x 20＝y －824－8，即x ＝54(24－y )，所以阴影部分的面积S ＝xy ＝54(24－y )·y ＝54(－y 2＋24y )＝－54(y －12)2＋180.所以当y ＝12时，S 有最大值为180. 答案：1808．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为______(万元)．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1，a log 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4.解得a ＝2，b ＝－2.所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，即2log 4x －2＝8.x ＝1 024(万元)．答案：1 0249．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w (单位：百千克)与肥料费用x (单位：百元)满足如下关系：w ＝4－3x ＋1，且投入的肥料费用不超过5百元，此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x 百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L (x )(单位：百元)．(1)求L (x )的函数关系式，并写出定义域；(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)L (x )＝16⎝⎛⎭⎪⎫4－3x ＋1－x －2x ＝64－48x ＋1－3x ，x ∈(0,5]． (2)法一：L (x )＝64－48x ＋1－3x ＝67－⎣⎢⎡⎦⎥⎤48x ＋1＋3x ＋1≤67－248x ＋1·3x ＋1＝43，当且仅当48x ＋1＝3(x ＋1)，即x ＝3时取等号． 故L (x )max ＝43.答：当投入的肥料费用为300元时，该水密桃树获得的利润最大，为4 300元． 法二：L ′(x )＝48x ＋12－3，令L ′(x )＝0，得x ＝3.故当x ∈(0,3)时，L ′(x )＞0，L (x )在(0,3)上单调递增； 当x ∈(3,5]时，L ′(x )＜0，L (x )在(3,5]上单调递减． 故L (x )max ＝L (3)＝43.答：当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，为4 300元． 10．(2019·镇江调研)如图，政府有一个边长为400 m 的正方形公园ABCD ，在以四个角的顶点为圆心，以150 m 为半径的四分之一圆内都种植了花卉．现在中间修建一块长方形的活动广场P Q MN ，其中P ，Q ，M ，N 四点都在相应的圆弧上，并且活动广场边界与公园边界对应平行，记∠Q BC ＝α，长方形活动广场的面积为S .(1)请把S 表示成关于α的函数关系式； (2)求S 的最小值．解：(1)过Q 作Q E ⊥BC 于E ，连结B Q(图略)．在Rt △B Q E 中，BE ＝150cos α，Q E ＝150sin α，0≤α≤π2，可得矩形P Q MN 的P Q ＝400－300sin α，Q M ＝400－300cos α， 则S ＝P Q ·Q M ＝(400－300sin α)(400－300cos α)＝10 000(4－3sin α)(4－3cos α)，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(2)由(1)知，S ＝10 000[16－12(sin α＋cos α)＋9sin αcos α]， 设t ＝sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，则π4≤α＋π4≤3π4，可得1≤t ≤2，sin αcos α＝t 2－12，∴S ＝10 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤16－12t ＋92t 2－1＝5 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤9⎝ ⎛⎭⎪⎫t －432＋7. ∴当t ＝43时，S 取得最小值5 000×7＝35 000 m 2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校某辆汽车以x 千米/时的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x ≤120)时，每小时的耗油量(所需要的汽油量)为15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k ＋4 500x 升，其中k 为常数，且60≤k ≤100.(1)若汽车以120千米/时的速度行驶时，每小时的耗油量为11.5升，欲使每小时的耗油量不超过9升，求x 的取值范围；(2)求该汽车行驶100千米的耗油量的最小值． 解：(1)由题意知，当x ＝120时， 15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k ＋4 500x ＝11.5，∴k ＝100， 由15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －100＋4 500x ≤9，得x 2－145x ＋4 500≤0，∴45≤x ≤100. 又60≤x ≤120，∴60≤x ≤100. 故x 的取值范围为[60,100]．(2)设该汽车行驶100千米的耗油量为y 升，则y ＝100x ·15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k ＋4 500x ＝20－20k x ＋90 000x 2(60≤x ≤120)． 令t ＝1x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1120，160， ∴y ＝90 000t 2－20kt ＋20＝90 000⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 9 0002＋20－k 2900， ∴该函数图象的对称轴为直线t ＝k9 000.∵60≤k ≤100，∴k 9 000∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1150，190.①若k 9 000≥1120，即75≤k ≤100，则当t ＝k9 000，即x ＝9 000k 时，y min ＝20－k2900.②若k 9 000＜1120，即60≤k ＜75，则当t ＝1120，即x ＝120时，y min ＝1054－k6.答：当75≤k ≤100时，该汽车行驶100千米的耗油量的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫20－k 2900升；当60≤k＜75时，该汽车行驶100千米的耗油量的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫1054－k 6升．命题点一 基本初等函数(Ⅰ)1．(2017·全国卷Ⅰ改编)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z，则2x,3y,5z 的大小关系为________．解析：设2x ＝3y ＝5z＝k ＞1， 所以x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k . 因为2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k98log k 2·log k 3＞0， 所以2x ＞3y ；因为3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k125243log k 3·log k 5＜0， 所以3y ＜5z ；因为2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k 2532log k 2·log k 5＜0， 所以5z ＞2x .所以5z ＞2x ＞3y . 答案：5z ＞2x ＞3y2．(2018·天津高考改编)已知a ＝log 372，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：∵c ＝log 1315＝log 35，a ＝log 372，又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 35＞log 372＞log 33＝1，∴c ＞a ＞1.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在(－∞，＋∞)上是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1413＜⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝1，即b ＜1. ∴c ＞a ＞b . 答案：c ＞a ＞b3．(2015·江苏高考)不等式22x x －＜4的解集为________． 解析：因为2x 2－x ＜4，所以22x x－＜22，所以x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，所以－1＜x ＜2. 答案：(－1,2)4．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：因为f (x )为偶函数，所以f (－x )－f (x )＝0恒成立，所以－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，所以x ln a ＝0恒成立，所以ln a ＝0，即a ＝1.答案：15．(2018·上海高考)已知常数a ＞0，函数f (x )＝2x2x ＋ax 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65，Q ⎝⎛⎭⎪⎫q ，－15，若2p ＋q＝36pq ，则a ＝________.解析：因为函数f (x )的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ，－15，所以f (p )＋f (q )＝2p2p ＋ap ＋2q2q ＋aq ＝2p ＋q＋aq 2p＋2p ＋q＋ap 2q2p ＋q ＋aq 2p ＋ap 2q ＋a 2pq ＝65－15＝1，化简得2p ＋q ＝a 2pq .因为2p ＋q ＝36pq ，所以a 2＝36且a ＞0，所以a ＝6.答案：66．(2016·江苏高考)已知函数f (x )＝a x＋b x(a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值． (2)若0＜a ＜1，b ＞1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值． 解：(1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x.①方程f (x )＝2，即2x ＋2－x＝2， 亦即(2x )2－2×2x＋1＝0，所以(2x －1)2＝0，即2x＝1，解得x ＝0. ②由条件知f (2x )＝22x＋2－2x＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2.因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )＞0，所以m ≤f x2＋4f x 对于x ∈R 恒成立．而f x 2＋4f x＝f (x )＋4f x≥2f x ·4f x ＝4，且f 02＋4f 0＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )＝f (x )－2＝a x＋b x－2有且只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0，所以0是函数g (x )的唯一零点．因为g ′(x )＝a xln a ＋b xln b ，又由0＜a ＜1，b ＞1知ln a ＜0，ln b ＞0，所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln a ln b .令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a x ln a ＋b x ln b )′＝a x (ln a )2＋b x (ln b )2， 从而对任意x ∈R ，h ′(x )＞0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数． 于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )＜g ′(x 0)＝0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )＞g ′(x 0)＝0.因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数． 下证x 0＝0.若x 0＜0，则x 0＜x 02＜0，于是g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02＜g (0)＝0.又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2＞a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在x 02和log a 2之间存在g (x )的零点，记为x 1.因为0＜a ＜1，所以log a 2＜0.又x 02＜0，所以x 1＜0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾． 若x 0＞0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾．因此，x 0＝0.于是－ln a ln b＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.7．(2016·上海高考)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋a .(1)当a ＝5时，解不等式f (x )＞0；(2)若关于x 的方程f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围；(3)设a ＞0，若对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．解：(1)由log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋5＞0，得1x＋5＞1，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14∪(0，＋∞)． (2)由原方程可得1x＋a ＝(a －4)x ＋2a －5，即(a －4)x 2＋(a －5)x －1＝0.①当a ＝4时，x ＝－1，经检验，满足题意． ②当a ＝3时，x 1＝x 2＝－1，经检验，满足题意． ③当a ≠3且a ≠4时，x 1＝1a －4，x 2＝－1，x 1≠x 2. 若x 1是原方程的解，则1x 1＋a ＞0，即a ＞2；若x 2是原方程的解，则1x 2＋a ＞0，即a ＞1. 由题意知x 1，x 2只有一个为方程的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞2，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ＞1，于是满足题意的a ∈(1,2]．综上，a 的取值范围为(1,2]∪{3,4}． (3)易知f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t ＋1)．f (t )－f (t ＋1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋a －log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋1＋a ≤1， 即at 2＋(a ＋1)t －1≥0对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1恒成立．因为a ＞0，所以函数y ＝at 2＋(a ＋1)t －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，当t ＝12时，y 有最小值34a －12.由34a －12≥0，得a ≥23.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.命题点二 函数与方程1.(2017·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．解析：由于f (x )∈[0,1)，因此只需考虑1≤x ＜10的情况，在此范围内，当x ∈Q 且x ∉Z 时，设x ＝qp，q ，p ∈N *，p ≥2且p ，q 互质． 若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝n m，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质， 因此10n m ＝q p，则10n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ， 故lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期内x ∉D 部分的交点．画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x ∉D 的部分，且x ＝1处(lg x )′＝1x ln 10＝1ln 10＜1，则在x ＝1附近仅有一个交点， 因此方程f (x )－lg x ＝0的解的个数为8.答案：82．(2015·江苏高考)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．解析：①当0＜x ≤1时，方程为－ln x ＝1，解得x ＝1e.②当1＜x ＜2时，f (x )＋g (x )＝ln x ＋2－x 2单调递减，值域为(ln 2－2,1)，方程f (x )＋g (x )＝1无解，方程f (x )＋g (x )＝－1恰有一解．③当x ≥2时，f (x )＋g (x )＝ln x ＋x 2－6单调递增，值域为[ln 2－2，＋∞)，方程f (x )＋g (x )＝1恰有一解，方程f (x )＋g (x )＝－1恰有一解．综上所述，原方程有4个实根． 答案：43．(2018·全国卷Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是________．解析：令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a ＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a ＞－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)4．(2018·天津高考)已知a ＞0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x ＞0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________．解析：法一：作出函数f (x )的大致图象如图所示．l 1是过原点且与抛物线y ＝－x 2＋2ax －2a 相切的直线，l 2是过原点且与抛物线y ＝x 2＋2ax ＋a 相切的直线．由图可知，当直线y ＝ax 在l 1，l 2之间(不含直线l 1，l 2)变动时，符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ，y ＝－x 2＋2ax －2a ，消去y ，整理得x 2－ax ＋2a ＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，得a ＝8(a ＝0舍去)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ，y ＝x 2＋2ax ＋a ，消去y ，整理得x 2＋ax ＋a ＝0.由Δ＝a 2－4a ＝0，得a ＝4(a ＝0舍去)． 综上可得a 的取值范围是(4,8)．法二：当x ≤0时，由x 2＋2ax ＋a ＝ax ，得a ＝－x 2－ax ；当x ＞0时，由－x 2＋2ax －2a ＝ax ，得2a ＝－x 2＋ax .令g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax ，x ≤0，－x 2＋ax ，x ＞0.作出直线y ＝a ，y ＝2a ，函数g (x )的图象如图所示，g (x )的最大值为－a 24＋a 22＝a 24，由图象可知，若f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a ＜a 24＜2a ，解得4＜a ＜8. 答案：(4,8)命题点三 函数模型及其应用1．(2018·浙江高考)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝______，y ＝_______.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋81＝100，5x ＋3y ＋13×81＝100，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11.答案：8 112．(2015·江苏高考)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l .如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为 20千米和2.5千米．以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy .假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型．(1)求a ，b 的值．(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域． ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度． 解：(1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5,40)，(20，2.5)．将其分别代入y ＝a x 2＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 25＋b ＝40，a 400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x2(5≤x ≤20)， 则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1 000t 2. 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 两点，y ′＝－2 000x3， 则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t )， 由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2. 故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32 t 2＋4×106t 4，t ∈[5,20]． ②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5,102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数；当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数．从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值，所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3.故当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．3．(2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6.所以当a 不超过6(千米)时，可击中目标．。
2020版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第2章函数、导数及其应用 2.9 函数模型及其应用 Word版含解析
2.9函数模型及其应用[知识梳理]1．七类常见函数模型2．指数、对数、幂函数模型的性质3．解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：特别提醒：(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．[诊断自测]1．概念思辨(1)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．()(2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．()(3)当a>1时，不存在实数x0，使a x0<x a0<log a x0.()(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．()答案(1)√(2)√(3)√(4)√2．教材衍化(1)(必修A1P59T6)如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771，lg 109＝2.0374，lg 0.09＝－2.9543)()A．2015年B．2011年C．2010年D．2008年答案 B解析设1995年总值为a，经过x年翻两番，则a·(1＋9%)x＝4a.∴x＝2lg 2lg 1.09≈16.故选B.(2)(必修A1P107T1)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()A ．y ＝2x －2B ．y ＝12(x 2－1) C ．y ＝log 2x D ．y ＝log 12x答案 B解析 由题意得，表中数据y 随x 的变化趋势，函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大越来越快．∵A 中函数是线性增加的函数，C 中函数是比线性增加还缓慢的函数，D中函数是减函数，∴排除A ，C ，D ，∴B 中函数y ＝12(x 2－1)符合题意．故选B. 3．小题热身(1) (2018·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2016年春节前后，从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月30日大约卖出了西红柿 ________千克．答案 1909解析 前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1，10)和点(10,30)代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909. (2)(2017·朝阳区模拟)某商场2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f (x )＝p ·q x (q >0，q ≠1)； ②f (x )＝log p x ＋q (p >0，p ≠1)； ③f (x )＝x 2＋px ＋q .能较准确反映商场月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x )＝________.答案 ③ x 2－8x ＋17解析 (ⅰ)因为f (x )＝p ·q x ，f (x )＝log q x ＋q 是单调函数，f (x )＝x 2＋px ＋q 中，f ′(x )＝2x ＋p ，令f ′(x )＝0，得x ＝－p2，f (x )出现一个递增区间和一个递减区间，所以模拟函数应选f (x )＝x 2＋px ＋q .(ⅱ)∵f (1)＝10，f (3)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋p ＋q ＝10，9＋3p ＋q ＝2，解得p ＝－8，q ＝17， ∴f (x )＝x 2－8x ＋17 故答案为③；x 2－8x ＋17.题型1 二次函数及分段函数模型典例 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80000，x ∈[144，500]，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？本题用函数法，再由均值定理解之．解 (1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000＝－12x 2＋400x －80000＝－12(x－400)2，所以当x ∈[200,300]时，S <0，因此该单位不会获利． 当x ＝300时，S 取得最大值－5000，当x ＝200时，S 取得最小值－20000，故国家每月补偿数额的范围是[5000,20000]．(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 yx ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 2－80x ＋5040，x ∈[120，144)，12x ＋80000x －200，x ∈[144，500].①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5040＝13(x －120)2＋240， 所以当x ＝120时，yx 取得最小值240. ②当x ∈[144,500]时， y x ＝12x ＋80000x －200≥212x ×80000x －200＝200，当且仅当12x ＝80000x ，即x ＝400时，yx 取得最小值200.因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．方法技巧一次函数、二次函数及分段函数模型的选取与应用策略 1．在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．2．实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．见典例．3．实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解，但应关注以下两点：(1)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；(2)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值． 提醒：(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域． (2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解．冲关针对训练(2017·广州模拟)某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解 (1)f (x )＝0.25x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0)．(2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6，所以总利润y ＝8.25万元．②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元．则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18. 令x ＝t ，t ∈[0,3 2 ]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172. 所以当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，此时x ＝16,18－x ＝2，所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．题型2 指数函数模型典例 (2017·西安模拟)我国加入WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品的关税与市场供应量P 的关系近似满足：y ＝P (x )＝2(1－kt )(x －b )2(其中t 为关税的税率，且t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，x 为市场价格，b ，k为正常数)，当t ＝18时的市场供应量曲线如图：(1)根据图象求b ，k 的值； (2)若市场需求量为Q ，它近似满足Q (x )＝211－x2.当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t 的最小值．本题用函数思想，采用换元法．解 (1)由图象知函数图象过(5,1)，(7,2)．所以⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 8(5－b )2＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 8(7－b )2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6，b ＝5.(2)当P ＝Q 时，2(1－6t )(x －5) 2＝211－x 2 ，即(1－6t )(x －5)2＝11－x 2，化简得1－6t ＝11－x 2(x －5)2＝12·22－x(x －5)2＝12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤17(x －5)2－1x －5. 令m ＝1x －5(x ≥9)，所以m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.设f (m )＝17m 2－m ，m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14，对称轴为m ＝134，所以f (m )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1316，所以，当m ＝14，即x ＝9时，1－6t 取得最大值为12×1316，即1－6t ≤12×1316，解得t ≥19192，即税率的最小值为19192. 方法技巧构建指数函数模型的关注点1．指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．2．应用指数函数模型时关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．3．y ＝a (1＋x )n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解． 冲关针对训练某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y (单位：万人)与年份x (单位：年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)． (1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210，log 1.0121.2≈15.3) 解 (1)1年后该城市人口总数为y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，2年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，3年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3，……x 年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)x .所以该城市人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式是y ＝100×(1＋1.2%)x (x ∈N )．(2)10年后该城市人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)． 所以10年后该城市人口总数约为112.7万人．(3)设x 年后该城市人口将达到120万人，即100(1＋1.2%)x ≥120，于是1.012x ≥120100，所以x ≥log 1.012120100＝log 1.0121.2≈15.3≈15(年)，即大约15年后该城市人口总数将达到120万人．题型3 对数函数模型典例 某企业根据分析和预测，能获得10万～1000万元的投资收益，企业拟制定方案对科研进行奖励，方案：奖金y (万元)随投资收益x (万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金也不超过投资收益的20%，并用函数y ＝f (x )模拟此方案．(1)写出模拟函数y ＝f (x )所满足的条件；(2)试分析函数模型y ＝4lg x －3是否符合此方案要求，并说明理由．用函数思想，采用导数法．解 (1)由题意，y ＝f (x )所满足的条件是：①f (x )在[10,1000]上为增函数，②f (x )≤9，③f (x )≤15x .(2)对于y ＝4lg x －3，显然在[10,1000]上是增函数，满足条件①.当10≤x ≤1000时，4lg 10－3≤y ≤4lg 1000－3，即1≤y ≤9，满足条件②.证明如下：f (x )≤15x ，即4lg x －3≤15x ，对于x ∈[10,1000]恒成立．令g (x )＝4lg x －3－15x ，x ∈[10,1000]，g ′(x )＝20 lg e －x 5x，∵e<10，∴lg e<lg 10＝12， ∴20lg e<10，又∵x ≥10，∴20lg e －x <0，∴g ′(x )<0对于x ∈[10,1000]恒成立，∴g (x )在[10,1000]上是减函数．∴g (x )≤g (10)＝4lg 10－3－15×10＝－1<0，即4lg x －3－15x ≤0，即4lg x －3≤15x ，对x ∈[10,1000]恒成立，从而满足条件③.方法技巧本例属奖金分配问题，奖金的收益属对数增长，随着投资收益的增加，奖金的增加会趋向于“饱和”状态，实际中很多经济现象都是这种规律，并注意掌握直接法、列式比较法、描点观察法．冲关针对训练候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q 10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．1．(2015·北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升答案 B 解析 因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35600－35000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升．故选B.2．(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B ．(p ＋1)(q ＋1)－12 C.pqD ．(p ＋1)(q ＋1)－1 答案 D解析 设两年前的年底该市的生产总值为a ，则第二年年底的生产总值为a (1＋p )(1＋q )．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则a (1＋x )2＝a (1＋p )(1＋q )，由于连续两年持续增加，所以x >0，因此x ＝(1＋p )(1＋q )－1.故选D.3．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．答案 24解析 依题意有192＝e b,48＝e 22k ＋b ＝e 22k ·e b ，所以e 22k＝48e b ＝48192＝14，所以e 11k ＝12或－12(舍去)，于是该食品在33 ℃的保鲜时间是e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)． 4．(2017·江西九江七校联考)某店销售进价为2元/件的产品A ，该店产品A 每日的销售量y (单位：千件)与销售价格x (单位：元/件)满足关系式y ＝10x －2＋4(x －6)2，其中2<x <6.(1)若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；(2)试确定产品A 的销售价格x 的值，其使该店每日销售产品A 所获得的利润最大．(保留1位小数)解 (1)当x ＝4时，y ＝102＋4×(4－6)2＝21千件，此时该店每日销售产品A 所获得的利润为(4－2)×21＝42千元．(2)该店每日销售产品A 所获得的利润f (x )＝(x －2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －2＋4(x －6)2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，易知在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，6上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/件时，利润最大．[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·福州模拟)在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：则y 关于x 的函数关系与下列函数最接近的(其中a ，b 为待定系数)是( )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋b x答案 B 解析 由x ＝0时，y ＝1，排除D ；由f (－1.0)≠f (1.0)，排除C ；由函数值增长速度不同，排除A.故选B.2．(2017·云南联考)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系可用图象表示的是( )答案 A解析 由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A ；后三年产量保持不变，总产量直线上升．故选A.3．某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4000本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是( )A ．2.4元B ．3元C ．2.8元D ．3.2元答案 B解析 设每本定价x 元(x ≥2)，销售总收入是y 元，则y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×104－x －20.2×4×103·x ＝104·x (9－2x )≥9×104. ∴2x 2－9x ＋9≤0⇒32≤x ≤3.故选B.4．(2017·南昌期末)某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处答案 A解析 设仓库与车站距离为x ，土地费用为y 1，运输费用为y 2，于是y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，∴⎩⎨⎧ 2＝k 110，8＝10k 2，解得k 1＝20，k 2＝45.设总费用为y ，则y ＝20x ＋4x 5≥220x ·4x5＝8. 当且仅当20x ＝4x 5，即x ＝5时取等号．故选A.5．(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析 对于A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L ，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A 错误；对于B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少；对于C 选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L ，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L 汽油，所以C 错误；对于D 选项，当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D 正确．故选D.6．(2017·北京朝阳测试)将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e n t ．假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a 8，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 D解析 根据题意知12＝e 5n ，令18a ＝a e n t ，即18＝e n t ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.故选D.7．(2016·天津模拟)国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( )A ．560万元B ．420万元C ．350万元D ．320万元答案 D解析 设该公司的年收入为x 万元，纳税额为y 万元，则由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ×p %，x ≤280，280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%，x >280， 依题有280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%x＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320.故选D.8．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是( )A ．投资3天以内(含3天)，采用方案一B ．投资4天，不采用方案三C ．投资6天，采用方案一D ．投资12天，采用方案二答案 D解析 由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A 正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B 正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C 正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D 错误．故选D.9．(2017·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案 C解析 设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <11000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.10．(2017·北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( )A ．3000元B ．3300元C ．3500元D ．4000元答案 B解析 由题意，设利润为y 元，租金定为3000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N )．则y ＝(3000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2900＋50x )·(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝ ⎛⎭⎪⎫58＋x ＋70－x 22， 当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300(元)时，公司获得最大利润．故选B.二、填空题11．(2017·金版创新)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)答案 14a 2解析 令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，∴D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2. ∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．12．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，若经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案 16解析 当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e－8b ＝12a ， ∴e－8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt＝18a .e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.13．(2014·北京高考改编)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，右图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________．答案 3.75分钟解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a ＋3b ＋c ＝0.7，16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2， ∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，∴当t ＝154＝3.75时p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量不大于0.25毫克时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．答案 (1)y ＝⎩⎨⎧ 10t ，0≤t ≤0.1，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1，t >0.1 (2)0.6解析 (1)设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)．由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a 过点(0.1,1)，得1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160.1－a ，解得a ＝0.1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1(t >0.1)．(2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．三、解答题15．(2017·济宁期末)已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量增加收益．据估算，若今年的实际销售单价为x 元/件(1≤x ≤2)，则新增的年销量P ＝4(2－x )2(万件)．(1)写出今年商户甲的收益f (x )(单位：万元)与x 的函数关系式；(2)商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？请说明理由．解 (1)由题意可得：f (x )＝[1＋4(2－x )2](x －1)，1≤x ≤2.(2)甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，可得收益为1万元．f ′(x )＝8(x －2)(x －1)＋1＋4(2－x )2＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)，可得当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32时，函数f (x )单调递增； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，116时，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤116，2时，函数f (x )单调递增． ∴x ＝32时，函数f (x )取得极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1；又f (2)＝1.∴当x ＝32或x ＝2时，函数f (x )取得最大值1(万元)．因此商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，不能获得比往年更大的收益．16．(2017·北京模拟)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x 之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f (x )＝a 1x 2－4x ＋6，g (x )＝a 2·3x ＋b 2(a 1，a 2，b 2∈R )．(1)求函数f (x )与g (x )的解析式；(2)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；(3)在同一直角坐标系下画出函数f (x )与g (x )的草图，并根据草图比较今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润的大小情况．解 (1)依题意：由f (1)＝6，解得a 1＝4，所以f (x )＝4x 2－4x ＋6.由⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝6，g (2)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋b 2＝6，9a 2＋b 2＝8， 解得a 2＝13，b 2＝5，所以g (x )＝13×3x ＋5＝3x －1＋5.(2)由(1)知甲厂在今年5月份的利润为f (5)＝86万元，乙厂在今年5月份的利润为g (5)＝86万元，故有f (5)＝g (5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．(3)作函数图象如下：从图中可以看出今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润：当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)；当x＝2,3,4时，有f(x)>g(x)；当x＝6,7,8,9,10时，有f(x)<g(x)．海阔天空专业文档。
高三数学一轮复习精品教案9：2.9 函数的应用教学设计
2.9 函数的应用课型复习课教法讲练结合教学目标（知识、能力、教育）1.通过复习学生能掌握解函数应用题来解题的一般方法和步骤2.会综合运用函数、方程、几何等知识解决与函数有关的综合题以及函数应用问题。
教学重点函数应用题的审题和分析问题能力教学难点函数应用题的审题和分析问题能力。
教学媒体教案教学过程一『课前预习』（一）：『知识梳理』1.解决函数应用性问题的思路面→点→线。
首先要全面理解题意，迅速接受概念，此为“面”；透过长篇叙述，抓住重点词句，提出重点数据，此为“点”；综合联系，提炼关系，建立函数模型，此为“线”。
如此将应用性问题转化为纯数学问题。
2.解决函数应用性问题的步骤（1）建模：它是解答应用题的关键步骤，就是在阅读材料，理解题意的基础上，把实际问题的本质抽象转化为数学问题。
（2）解模：即运用所学的知识和方法对函数模型进行分析、运用、，解答纯数学问题，最后检验所得的解，写出实际问题的结论。
（注意：①在求解过程和结果都必须符合实际问题的要求；②数量单位要统一。
）3.综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，运用二次函数的性质，选取适当的变量，建立目标函数。
求该目标函数的最值，但要注意：①变量的取值范围；②求最值时，宜用配方法。
（二）『课前练习』1．下列函数中，随x(x＞0)的增大，增长速度最快的是()A．y＝1，x∈Z B．y＝xC．y＝2x D．y＝e x2．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙，如图所示，那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面3．某学校开展研究性学习活动，某组同学获得了下面的一组实验数据：x 1.99 3 4 5.1 6.12 y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A ．y ＝2x －2B ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1)4．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时) 高峰电价(单位：元/千瓦时)低谷月用电量(单位：千瓦时) 低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下部分 0.56850及以下部分 0.288超过50至200的部分 0.598 超过50至200的部分 0.318超过200的部分0.668 超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付电费为 元(用数字作答)．5．(2014·武昌高三调研)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100kg )与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间t 60 100 180 种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，求：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是__________； (2)最低种植成本是____________元/100kg .二『经典考题剖析』1．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：min)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( )A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，162．已知A 、B 两地相距150 km ，某人开汽车以60 km /h 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1 h 后再以50 km /h 的速度返回A 地．把汽车离A 地的距离x (km )表示为时间t (h )的函数表达式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150－50t ，t >3.5D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150，2.5<t ≤3.5，150－50（t －3.5），3.5<t ≤6.53．(2014·陕西)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A．y＝12x3－12x2－x B．y＝12x3＋12x2－3xC．y＝14x3－x D．y＝14x3＋12x2－2x4．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角(阴影三角形)被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的定义域．(2)求矩形BNPM面积的最大值．5．有一家公司准备裁减人员．已知这家公司现有职员2m(160＜2m＜630，且m为偶数)人，每人每年可创利n(n>0)万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.02n万元，但公司需付下岗职员每人每年0.8n万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的34.为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？三『课后训练』几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元．假设该产品的月销售量t(x)(件)与销售价格x(元/件)(x∈N*)之间满足如下关系：①当34≤x≤60时，t(x)＝－a(x＋5)2＋10050；②当60≤x≤70时，t(x)＝－100x＋7600.设该店月利润为M(元)，月利润＝月销售总额－月总成本．(1)求M关于销售价格x的函数关系式；(2)求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格．(参考数据：461≈21.47)四：『课后小结』布置作业教后记答案（二）『课前练习』 1．『解析』指数函数模型增长速度最快，并且e ＞2，因而y ＝e x 增长速度最快，故选D. 2．『解析』由图象可知，曲线v 甲比v 乙在0～t 0，0～t 1与t 轴所围成的图形面积大，则在t 0，t 1时刻，甲车均在乙车前面．故选A. 3．『解析』通过描点可知，y ＝12(x 2－1)最符合要求．故选D .4．『解析』高峰时段电费a ＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)；低谷时段电费b ＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．故该家庭本月应付的电费为a ＋b ＝148.4(元)．故填148.4. 5．『解析』∵随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t ＝60和t ＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q ＝a (t －120)2＋m 描述，将表中数据代入可得⎩⎪⎨⎪⎧a （60－120）2＋m ＝116，a （100－120）2＋m ＝84， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.01，m ＝80， ∴Q ＝0.01(t －120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100kg .故填120；80.二『经典考题剖析』 1．『解析』由⎩⎪⎨⎪⎧f （4）＝30，f （A ）＝15，即⎩⎨⎧c2＝30，cA ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝60，A ＝16.故选D.2．『解析』∵15060＝2.5，∴当0≤t ≤2.5时，汽车离A 地的距离x ＝60t ；然后在B 地停留1h ，故当2.5<t ≤3.5时，x ＝150；又知返回速度为50 km /h ，且15050＝3，所以当3.5<t ≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5)．故选D. 3．『解析』由题意可知，该三次函数的图象过原点，则其常数项为0，不妨设其解析式为y ＝f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∴f ′(0)＝－1，f ′(2)＝3，可得c ＝－1，3a ＋b ＝1. 又y ＝ax 3＋bx 2＋cx 过点(2，0)，∴4a ＋2b ＝1， ∴a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，∴y ＝f (x )＝12x 3－12x 2－x .故选A.4．『解析』(1)如图，作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4， 在△EDF 中，EQ PQ ＝EFFD， 即x －48－y ＝42，所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，(4≤x ≤8) 所以S (x )是关于x 的二次函数，当x ∈『4，8』时S (x )单调递增，所以当x ＝8米时，矩形BNPM 面积最大，最大值为48平方米．答：矩形BNPM 面积的最大值为48平方米． 5．『解析』设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元， 则y ＝(2m －x )(n ＋0.02nx )－0.8nx . 整理得y ＝－n50『x 2－2(m －45)x 』＋2mn ，其图象的对称轴方程为x ＝m －45. ∵－n50＜0，∴当x ＜m －45时，函数y 是递增的； 当x ＞m －45时，函数y 是递减的．∵该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的34，∴2m －x ≥34×2m ，∴0＜x ≤m2.∵m 为偶数，∴m2为整数．又∵160＜2m ＜630，∴80＜m ＜315. (1)当0＜m －45≤m2，解得45＜m ≤90，∴80＜m ≤90时，x ＝m －45时，y 取最大值． (2)当m －45＞m2，即90＜m ＜315时，x ＝m2时，y 取到最大值．综上所述，当80＜m ≤90时，应裁员(m －45)人；当90＜m ＜315时，应裁员m2人，公司才能获得最大的经济效益．三『课后训练』『解析』(1)当x ＝60时，t (60)＝1600， 代入t (x )＝－a (x ＋5)2＋10050，解得a ＝2. M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（－2x 2－20x ＋10000）（x －34）－20000，34≤x <60，x ∈N *，（－100x ＋7600）（x －34）－20000，60≤x ≤70，x ∈N *. 即M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 3＋48x 2＋10680x －360000，34≤x <60，x ∈N *，－100x 2＋11000x －278400，60≤x ≤70，x ∈N *. (2)①当34≤x ＜60时，设g (u )＝－2u 3＋48u 2＋10680u －360000，34≤u ＜60，u ∈R . 则g ′(u )＝－6u 2＋96u ＋10680＝－6(u 2－16u －1780)． 令g ′(u )＝0得u 1＝8－2461(舍去)，u 2＝8＋2461≈50.94. 当34<u <50时，g ′(u )>0，g (u )单调递增； 当51<u <60时，g ′(u )<0，g (u )单调递减． ∵x ∈N *，M (50)＝44000，M (51)＝44226， ∴M (x )的最大值为44226. ②当60≤x ≤70时，M (x )＝－100(x 2－110x ＋2784)单调递减， 故此时M (x )的最大值为M (60)＝21600.综上所述，当x ＝51时，月利润M (x )有最大值44226元．答：该打印店月利润最大为44226元，此时产品的销售价格为51元/件．。
高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第9课时 函数的应用教案(1)
函数的应用1.几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型(2)2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( √)(2)幂函数增长比直线增长更快.( ×)(3)不存在x0，使ax0<xn0<log a x0.( ×)(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度.( √)(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( ×)(6)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题.( √)1.(2015·北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )A.6升B.8升C.10升D.12升答案 B解析由表知：汽车行驶路程为35 600－35 000＝600千米，耗油量为48升，∴每100千米耗油量8升.2.如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间函数关系的图像，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )答案 D解析由图可知，张大爷开始匀速离家直线行走，中间一段离家距离不变，说明在以家为圆心的圆周上运动，最后匀速回家.故选D.3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p＋q2B.p＋q＋－12C.pqD.p＋q＋－1答案 D解析设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝＋p＋q－1.4.一水池有2个进水口，1个出水口，两个进水口的进水速度如图甲、乙所示，出水口的排水速度如图丙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丁所示.给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则一定正确的论断序号是________.答案①②解析从0点到3点，两个进水口的进水量为9，故①正确；由排水速度知②正确；4点到6点可以是不进水，不出水，也可以是开一个进水口(速度快的)、一个排水口，故③不正确.5.(2015·四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e kx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.答案24解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e22k ＋b＝48，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k ＝12，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·e b ＝18×192＝24.题型一 用函数图像刻画变化过程例1 (1)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图像是( )(2)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )答案 (1)C (2)B解析 (1)小明匀速运动时，所得图像为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.(2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图像应一直是下凹的，故选B.思维升华 判断函数图像与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像.(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动.设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图像是( )答案 D解析 依题意知当0≤x ≤4时，f (x )＝2x ；当4<x ≤8时，f (x )＝8；当8<x ≤12时，f (x )＝24－2x ，观察四个选项知，选D.题型二 已知函数模型的实际问题例 2 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a 、b 是实数).据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a 、b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位. 思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题.某般空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图像确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.答案 19解析 由图像可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19.题型三 构造函数模型的实际问题命题点1 构建二次函数模型例3 某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A.10.5万元 B.11万元 C.43万元 D.43.025万元答案 C解析 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1(x －212)2＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0,16]，且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元. 命题点2 构建指数函数、对数函数模型例 4 (1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.0075≈1.017)( )A.1.5%B.1.6%C.1.7%D.1.8%(2)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况答案 (1)C (2)B解析 (1)设每年人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40 lg(1＋x )＝lg 2，所以lg(1＋x )＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x ，得1＋x ≈1.017，所以x ≈1.7%.(2)设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝a ×1.1n元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n×(1－10%)n＝a ×1.1n×0.9n＝a ×(1.1×0.9)n＝0.99n·a <a ，故该股民这支股票略有亏损.命题点3 构建分段函数模型例5 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km. 答案 9解析 设出租车行驶x km 时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋x －＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋x －＋1，x >8，由y ＝22.6，解得x ＝9.思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，此人至少经过________小时才能开车.(精确到1小时) (2)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( ) A.10B.11C.13D.21答案 (1)5 (2)A解析 (1)设经过x 小时才能开车. 由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x ≥log 0.750.3≈4.19.∴x 最小为5. (2)设该企业需要更新设备的年数为x ， 设备年平均费用为y ，则x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)， 所以x 年的平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x x ＋x＝x ＋100x＋1.5，由基本不等式得y ＝x ＋100x＋1.5≥2x ·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号，所以选A.2.函数应用问题典例 (12分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.思维点拨 根据题意，要利用分段函数求最大利润.列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论. 规范解答解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－6x 2＋384x －40，当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－40 000x－16x ＋7 360.[2分]所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.[4分](2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W (32)＝6 104；[6分]②当x >40时，W ＝－40 000x－16x ＋7 360，由于40 000x ＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600，当且仅当40 000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号， 所以W 取最大值为5 760.[10分]综合①②知，当x＝32时，W取得最大值6 104万元.[12分]解函数应用题的一般程序第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.温馨提醒(1)此类问题的关键是正确理解题意，建立适当的函数模型.(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.[方法与技巧]1.认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础.2.实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.3.解函数应用题的五个步骤：①审题；②建模；③解模；④还原；⑤反思.[失误与防范]1.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型.2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.3.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1.下表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是( )A.一次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型答案 A解析 根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型. 2.某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( ) A.118元 B.105元 C.106元 D.108元答案 D解析 设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.3.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图像正确的是( )答案 A解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A ，C 图像符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.4.设函数f 1(x )＝x ，f 2(x )＝log 2 015x ，a i ＝i2 015 (i ＝1,2，…，2 015)，记I k ＝|f k (a 2)－f k (a 1)|＋|f k (a 3)－f k (a 2)|＋…＋|f k (a 2 015)－f k (a 2 014)|，k ＝1,2，则( ) A.I 1<I 2 B.I 1＝I 2 C.I 1>I 2D.I 1与I 2的大小关系无法确定 答案 A解析 依题意知，f 1(a i ＋1)－f 1(a i )＝a i ＋1－a i ＝i ＋12 015－i 2 015＝12 015，因此I 1＝|f 1(a 2)－f 1(a 1)|＋|f 1(a 3)－f 1(a 2)|＋…＋|f 1(a 2 015)－f 1(a 2 014)|＝2 0142 015.因为f 2(a i ＋1)－f 2(a i )＝log 2 015a i ＋1－log 2 015a i ＝log 2 015i ＋12 015－log 2 015i2 015>0，所以I 2＝|f 2(a 2)－f 2(a 1)|＋|f 2(a 3)－f 2(a 2)|＋…＋|f 2(a 2 015)－f 2(a 2 014)|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 01522 015－log 2 01512 015＋⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 01532 015－log 2 01522 015＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 0152 0152 015－log 2 0152 0142 015＝log 2 0152 0152 015－log 2 01512 015＝1，因此I 1<I 2，选A.5.我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税.已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x 元(叫做税率x %)，则每年销售量将减少10x 万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x 的最小值为( ) A.2 B.6 C.8 D.10答案 A解析 由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104·(100－10x )·70·x100，令104·(100－10x )·70·x100≥112×104， 解得2≤x ≤8.故x 的最小值为2.6.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.答案 20解析 设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0<x <40)， 当x ＝20时，S max ＝400.7.一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一. 答案 16解析 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b＝12a ， 所以e－8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24，所以再经过16 min.8.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润f (x )(万元)与机器运转时间x (x ∈N ＋)(年)的函数关系式为f (x )＝－x 2＋18x －25，则每台机器运转________年时，年平均利润最大，为________万元. 答案 5 8解析 设每台机器的年平均利润为g (x )万元，根据已知条件得，每台机器的年平均利润g (x )关于运转时间x 的函数关系式为g (x )＝f x x ＝－x 2＋18x －25x＝18－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，则g (x )＝18－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤18－2x ·25x＝8，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时等号成立， 则g (x )max ＝g (5)＝8.故每台机器运转5年时，年平均利润最大，为8万元.9.某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与(x －0.4)(元)成反比例.又当x ＝0.65时，y ＝0.8. (1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)] 解 (1)∵y 与(x －0.4)成反比例， ∴设y ＝kx －0.4(k ≠0).把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式， 得0.8＝k0.65－0.4，k ＝0.2.∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2， 即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2.(2)根据题意，得(1＋15x －2)·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%). 整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0， 解得x 1＝0.5，x 2＝0.6.经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根. ∵x 的取值范围是0.55～0.75，故x ＝0.5不符合题意，应舍去.∴x ＝0.6.∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.10.某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间.解 (1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4 得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时). B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11.有浓度为90%的溶液100 g ，从中倒出10 g 后再倒入10 g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( ) A.19 B.20 C.21 D.22答案 C解析 操作次数为n 时的浓度为⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1<10%，得n ＋1>－1lg 910＝－12lg 3－1≈21.8，∴n ≥21.12.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 应为()A.x ＝15，y ＝12B.x ＝12，y ＝15C.x ＝14，y ＝10D.x ＝10，y ＝14答案 A解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.13.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt(其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝___，经过5小时，1个病毒能繁殖为____个. 答案 2ln 2 1 024解析 当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝12e k ， ∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2，当t ＝5时，y ＝e10ln 2＝210＝1 024.14.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a ).这里，x 被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________. 答案5－12解析 依题意得x ＝c －a b －a，(c －a )2＝(b －c )(b －a )， ∵b －c ＝(b －a )－(c －a )，∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )， 两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0， 解得x ＝－1±52.∵0<x <1，∴x ＝5－12.15.已知一家公司生产某品牌服装有年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10.8－130x 2x ，108x －1 0003x2x(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本) 解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x ) ＝98－1 0003x－2.7x .∴W ＝⎩⎪⎨⎪⎧8.1x －x 330－x ，98－1 0003x－2.7x x(2)①当0<x ≤10时，令W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，可知当x ∈(0,9)时，W ′>0，当x ∈(9,10]时，W ′<0，∴当x ＝9时，W 取极大值，即最大值， 且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6.②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎪⎫1 0003x ＋2.7x≤98－21 0003x·2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38(当1 000x 取整数时，W 一定小于38).综合①②知，当x ＝9时，W 取最大值，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中所获年利润最大.。
数学一轮复习第二章函数2.9函数模型及其应用学案理
2.9函数模型及其应用必备知识预案自诊知识梳理1.常见的函数模型（1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0)；(2)二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c（a，b,c为常数,a≠0）；(3）反比例函数模型:f（x）=kk（k为常数，k≠0)；（4）指数型函数模型：f(x)=ab x+c（a，b,c为常数,a≠0，b〉0，b≠1）；（5)对数型函数模型：f(x）=m log a x+n（m,n，a为常数,m≠0,a〉0,a≠1);（6)幂型函数模型：f(x）=ax n+b(a,b，n为常数,a≠0）；(7）分段函数模型：y={k1(k),k∈k1,k2(k),k∈k2,k3(k),k∈k3;（8）对勾函数模型:y=x+kk（a为常数，a>0）。
2。
指数、对数、幂函数模型的性质比较性质函数y=a x(a>1）y=log a x（a〉1)y=xα（α〉0）在(0，+∞)内的增减性增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与平行随x的增大逐渐表现为与平行随α值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当x〉x0时，有log a x<xα〈a x考点自诊1。
判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×"。
(1）幂函数增长比一次函数增长更快。
（) (2）在（0，+∞）内,随着x的增大，y=a x（a〉1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α〉0)的增长速度.（）(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题。
()（4)f（x)=x2,g(x)=2x,h（x）=log2x,当x∈（4,+∞）时，恒有h(x）〈f(x)〈g(x）。
（）(5)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b x+c(a>0，b>1)增长速度越来越快的形象比喻。
(）2。
(2020山东潍坊临朐模拟二,3）某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况。
高三数学一轮复习精品教案2：2.9函数模型及其应用教学设计
第九节 函数模型及其应用(见学生用书第32页)1．三种函数模型之间增长速度的比较2.常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)． (2)反比例函数模型：y ＝kx(k ≠0)．(3)指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c (b ＞0，b ≠1，a ≠0)型． (4)对数函数模型：y ＝m log a x ＋n (a ＞0，a ≠1，m ≠0)型． (5)幂函数模型：y ＝a ·x n ＋b (a ≠0)型． (6)分段函数模型．1．(人教A 版教材习题改编)一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为图中的( )『解析』 由题意知h ＝20－5t ，故选B. 『答案』 B2．拟定甲地到乙地通话m 分钟的电话费f (m )＝0.5×『m 』＋1(单位：元)，其中m >0，『m 』表示不大于m 的最大整数(如『3.62』＝3，『4』＝4)，当m ∈『0.5，3.2』时，函数f (m )的值域是( )A ．{1，2，3，4}B ．{1，1.5，2，2.5}C ．{1，1.5，2.5，3}D ．{1.5，2，2.5}『解析』 当m ∈『0.5，3.2』时，『m 』所有可能值为0，1，2，3共四个，故f (m )的值域为{1，1.5，2，2.5}．『答案』 B3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件『解析』 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值． 『答案』 B4．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a 元，每期利率为r ，存期是x ，本利和(本金加利息)为y 元，则本利和y 随存期x 变化的函数关系式是________．『解析』 已知本金为a 元，利率为r ，则 1期后本利和为y ＝a ＋ar ＝a (1＋r )，2期后本利和为y ＝a (1＋r )＋a (1＋r )r ＝a (1＋r )2， 3期后本利和为y ＝a (1＋r )3， …x 期后本利和为y ＝a (1＋r )x ，x ∈N . 『答案』 y ＝a (1＋r )x ，x ∈N5．(2013·武汉模拟)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中．测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级，9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．『解析』 由题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则M ＝lg A －lg A 0＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅是x ，5级地震的最大振幅是y ，9＝lg x ＋3，5＝lg y ＋3，解得x ＝106，y ＝102. 所以x y ＝106102＝10 000.『答案』 6 10 000(见学生用书第32页)(2013·聊城模拟)西部大开发是中华人民共和国中央政府的一项政策，提高了西部的经济和社会发展水平．西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投入x 万元，可获得利润P ＝－1160(x －40)2＋100万元．当地政府借助大开发拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每年投入x 万元，可获利润Q ＝－159160(60－x )2＋1192(60－x )万元．问从10年的总利润看，该规划方案是否具有实施价值？『审题视点』 计算实施规划前后10年总利润，通过比较可知该规划方案是否具有实施价值．『尝试解答』 在实施规划前，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100(万元)知，每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元．则10年的总利润为 W 1＝100×10＝1 000(万元)． 实施规划后的前5年中，修建公路的费用为30×5＝150(万元)，又由题设P ＝－1160(x －40)2＋100知，每年投入30万元时，利润P ＝7958(万元)．前5年的利润和为7958×5－150＝2 7758(万元)． 设在公路通车的后5年中，每年用x 万元投资于本地的销售，而用剩下的(60－x )万元投资于外地的销售，则其总利润为W 2＝『－1160(x －40)2＋100』×5＋(－159160x 2＋1192x )×5＝－5(x －30)2＋4 950. 当x ＝30时，(W 2)max ＝4 950(万元)． 从而10年的总利润为2 7758＋4 950(万元)．∵2 7758＋4 950＞1 000， 故该规划方案有极大实施价值．1．本题在求规划实施前最大利润时，易忽视二次函数的特性，直接把x ＝60代入求解，造成错误答案．2．(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．(2)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图2－9－1(1)；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2－9－1(2)(注：利润和投资单位：万元)．(1) (2)图2－9－1(1)分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？『解析』 (1)设A 、B 两种产品分别投资x 万元(x ≥0)，所获利润分别为f (x )、g (x )万元，由题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，∴根据图象可解得f (x )＝0.25x (x ≥0)， g (x )＝2x (x ≥0)．(2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6， ∴总利润y ＝8.25(万元)．②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元， 则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18.令x ＝t ，t ∈『0，32』，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋344.∴当t ＝4时，y max ＝344＝8.5，此时x ＝16，18－x ＝2. ∴当A 、B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润8.5万元.已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律是：θ＝m ·2t＋21－t (t ≥0，并且m ＞0)．(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． 『思路点拨』 (1)解关于2t 的一元二次方程求解． (2)转化为恒成立问题求解．『尝试解答』 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2(2t ＋12t )，当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立， 亦m ·2t ＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2(12t －122t )恒成立．令12t ＝x ，则0＜x ≤1， ∴m ≥2(x －x 2)， 由于x －x 2≤14，∴m ≥12因此， 当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是『12，＋∞)．,1．解答本题的关键是把所求解问题转化为一元二次方程或二次函数问题求解． 2．(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示．(2)应用指数函数模型时，先设定模型将有关已知数据代入计算验证，确定参数．(2013·广州模拟)一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？『解析』 (1)设每年降低的百分比为x (0＜x ＜1)．则 a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12.解得x ＝1－(12)110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m ＝22a ，即(12)m 10＝(12)12，m 10＝12，解得m ＝5.故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，以后砍了n 年， 则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， (12)n 10≥(12)32，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年.(2013·杭州模拟)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)『思路点拨』 (1)当20≤x ≤200时，运用待定系数法求v (x )的解析式，进而确定当0≤x ≤200时，分段函数v (x )．(2)根据(1)求出f (x )，根据函数的单调性与基本不等式求最值．『尝试解答』 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b .再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60.解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0≤x ≤20，13×（200－x ）， 20＜x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， 0≤x ≤20，x 3（200－x ），20＜x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数．故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13『x ＋（200－x ）2』2＝10 0003.当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间(20，200』上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间『0，200』上取得最大值10 0003≈3 333.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．,1．理解题意，由待定系数法，准确求出v (x )，是求解本题的关键．要注意分段函数各段变量的取值范围，特别是端点值．2．实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．图2－9－2为了预防甲型H1N1流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝(116)t －a (a 为常数)，如图2－9－2所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少个小时后，学生才能回到教室？『解析』 (1)从图中可以看出线段的端点分别为(0，0)，(0.1，1)．所以在0≤t ≤0.1时，表达式y ＝10t . 点(0.1，1)也在y ＝(116)t －a 上，故a ＝0.1.t ≥0.1时，y ＝(116)t －0.1.∴函数的解析式为y ＝⎩⎨⎧10t ，0≤t ≤110，（116）t －110，t ＞110.(2)依题意，学生进入教室，则有y ＜0.25， ∴(116)t －0.1＜14即(14)2t －0.2＜14， 又y ＝(14)x 是减函数，∴2t －0.2＞1，∴t ＞0.6.因此至少要经过0.6个小时后，学生才能回到教室．一个防范特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 一个程序解决实际应用题的一般步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题； (3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题； (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．(见学生用书第34页)从近两年高考试题看，对函数的实际应用问题的考查，更多地以社会实际生活为背景，设问新颖，灵活；题型以解答题为主，难度中等偏上，常与基本不等式、导数等知识交汇，考查学生分析问题、解决问题的能力．规范解答之二函数建模在实际问题中的应用)(14分)(2012·江苏高考)如图2－9－3，建图2－9－3立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程．(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．『规范解答』(1)令y＝0，得kx－120(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，3分故x＝20k1＋k2＝20k＋1k≤202＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米.6分(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2＝ka－120(1＋k2)a2成立9分⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根11分⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6千米时，可击中目标.14分『解题程序』第一步：根据题意建立方程，确定x、k的范围；第二步：建立炮的射程的函数模型，并求最大值；第三步：把所求问题转化为方程有解问题；第四步：把方程有解问题转化为一元二次方程有正根问题；第五步：列不等式求解，用数学结果回答实际问题．易错提示：(1)未读懂题意，不能建立x 与k 的函数关系．(2)不能把炮弹击中目标转化为关于k 的一元二次方程有正根问题．(3)不能正确列不等式求解．防范措施：(1)求解函数实际问题，审题是关键，要弄清相关“名词”准确寻求各量之间的关系．(2)在求解过程中应分清变量之间的辨证关系，结合所求，合理转化．(3)根据一元二次方程列不等式(组)时，首先判断两根之和与两根之积的正负，根据它们的正负确定如何列不等式(组)．1．(2013·宜春模拟)某市原来居民用电价为0.52元/kw ·h ，换装分时电表后，峰时段(早上8点到晚上9点)的电价0.55元/kw ·h ，谷时段(晚上9点到次日早上8点)的电价为0.35/kw ·h ，对于一个平均每月用电量为200 kw ·h 的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为( )A ．110 kw ·hB ．114 kw ·hC ．118 kw ·hD ．120 kw·h『解析』 设在峰时段的平均用电量为x kw ·h ，由题意知0.52×200－『0.55x ＋0.35(200－x )』≥0.52×200×10%，解得x ≤118，故选C.『答案』 C2．(2013·烟台模拟)小孟进了一批水果，如果他以每斤1.2元的价格出售，那他就会赔4元；如果他以每斤1.5元的价格出售，一共可赚8元，现在小孟想将这批水果尽快出手，以不赔不赚的价格卖出，那么每千克水果应定价为( )A ．2.6元B ．2.2元C ．2.8元D ．1.3元『解析』 设水果的成本价为x 元/斤，共有a 斤，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（x －1.2）a ＝4，（1.5－x ）a ＝8，解得x ＝1.3，则每千克水果应定价2.6元，故选A.『答案』A。
2018届高三数学一轮复习 第二章 函数 第九节 函数模型及应用教案 理
1-2 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进 行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品. 已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)
3.(2016山东淄博模拟)某城市客运公司确定客票价格的方法是:如果行
程不超过100 km,票价是0.5元/km,如果超过100 km,超过100 km的部分
按0.4元/km定价,则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系
式是
.
答案 解析
y=
0.5x,0 x 100 0.4x 10, x 100
由题意可得y=00..54xx,010,xx110000, .
4.用长度为24的材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图),要使矩形
的面积最大,则隔墙的长度为
.
答案 3 解析 设隔墙的长度为x,矩形的面积为S, 则S=(12-2x)x=-2x2+12x=-2(x-3)2+18, ∴当x=3时,S取最大值.
2.(2016山东济宁模拟)某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递 减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是 ( ) A.减少7.84% B.增加7.84% C.减少9.5% D.不增不减 答案 A 设某商品原来价格为a,依题意得: a(1+0.2)2(1-0.2)2=a×1.22×0.82=0.921 6a, (0.921 6-1)a=-0.078 4a, 所以四年后的价格与原来价格比较,减少7.84%.
高三数学一轮复习精品教案3：2.9函数模型及其应用教学设计
第9课时函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．『梳理自测』一、常见的函数模型1．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()A．y＝2x－2 B．y＝12(x2－1)C．y＝log3x D．y＝2x－23．(教材改编)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．4．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．『答案』A 2.B 3.y＝a(1＋r)x，x∈N* 4.2 500◆以上题目主要考查了以下内容：二、三种增长型函数之间增长速度的比较(教材改编)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x)『答案』B◆此题主要考查了以下内容：(1)指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因而总存在一个x0，当x＞x0时有a x＞x n．(2)对数函数y＝log a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)对数函数y＝log a x(a＞1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会慢于y＝x n的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x＞x0时有log a x＜x n．由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x＞x0时有a x＞x n＞log a x(a＞1，n ＞0)．『指点迷津』1．一个防范特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．2．二个关键一个关键是正确选择自变量，第二个关键是抓住某些量之间的相等关系列函数式．3．四个步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质，初步选择模型；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到实际问题，检验结果的实际意义，给出结论．考向一由函数图象模拟实际问题如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不．正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个『审题视点』等速度注入水，即等容量注入水，当时间t等量变化时，可考虑水面高度h的变化快慢．『典例精讲』①中，平行于底面的横截面处处相等，水面高度h随着时间t的等量增加，h也等量增加，故h是t的一次函数关系，其对应图象是错的．②中，随着时间等量增加，横截面越来越大，水面高度h增加的也越来越小，其图象符合题意．③中，在中截面以下，h随t等量增加，其增加量越来越小，在中截面以上，其增加量越来越大，其图象符合题意．④中，随着t等量增加，h变化先是越来越大后又越来越小，其图象符合题意．『答案』A『类题通法』将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．1．如图所示，向高为H的容器A，B，C，D中同时以等速注水，注满为止：(1)若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的(a )，则容器的形状是________；(2)若水量v 与水深h 的函数图象是下图中的(b )，则容器的形状是________；(3)若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的(c )，则容器的形状是________；(4)若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图中的(d )，则容器的形状是________．『解析』(1)若h (t )的图象是(a )，h (t )是t 的正比例函数，h 随t 等比例增，其容器为C.(2)若v (h )的图象是(b )即指数型，v 随h 的变化越来越大，所以容器是A.(3)若h (t )的图象是(c )，h 随t 的变化是先快后缓再快，呈对称变化为容器D.(4)若t (h )的图象是(d )，当同样深度的水所用时间的变化由大到小，即相对于前一次注水的容量越来越少，时间的变化越来越小，容器为B.『答案』(1)C (2)A (3)D (4)B考向二 利用已知函数模型解决实际问题(2014·山东高考命题原创卷)随着全球债务危机的深化，中国某陶瓷厂为了适应发展，制定了以下生产计划，每天生产陶瓷的固定成本为14 000元，每生产一件产品，成本增加210元．已知该产品的日销售量f (x )(单位：件)与产量x (单位：件)之间的关系式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1625x 2（0≤x ≤400）x －144（400＜x ＜500），每件产品的售价g (x )(单位：元)与产量x 之间的关系式为 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－58x ＋750（0≤x ≤400）－x ＋900（400＜x ＜500）. (1)写出该陶瓷厂的日销售利润Q (x )(单位：元)与产量x 之间的关系式；(2)若要使得日销售利润最大，则该陶瓷厂每天应生产多少件产品，并求出最大利润． 『审题视点』 利用f (x )与g (x )及成本函数l (x )之间的关系构造Q (x )，并按分段函数求最值．『典例精讲』 (1)设总成本为c (x )(单位：元)，则c (x )＝14 000＋210x ，所以日销售利润Q (x )＝f (x )g (x )－c (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－11 000x 3＋65x 2－210x －14 000（0≤x ≤400）－x 2＋834x －143 600（400＜x ＜500）. (2)由(1)知，当0≤x ≤400时，Q ′(x )＝－31 000x 2＋125x －210. 令Q ′(x )＝0，解得x ＝100或x ＝700(舍去)．易知当x ∈『0，100)时，Q ′(x )＜0；当x ∈(100，400』时，Q ′(x )＞0.所以Q (x )在区间『0，100)上单调递减，在区间(100，400』上单调递增．因为Q (0)＝－14 000，Q (400)＝30 000，所以Q (x )在x ＝400时取到最大值，且最大值为30 000.当400＜x ＜500时，Q (x )＝－x 2＋834x －143 600.当x ＝－8342×（－1）＝417时，Q (x )取得最大值，最大值为 Q (x )max ＝－4172＋834×417－143 600＝30 289.综上所述，若要使得日销售利润最大，则该陶瓷厂每天应生产417件产品，其最大利润为30 289元．『类题通法』 若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题．2．某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在下图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；(3)在(2)的结论下，用y 表示该股票日交易额(万元)，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？『解析』(1)P ＝⎩⎨⎧15t ＋2，0＜t ≤20，－110t ＋8，20＜t ≤30.(t ∈N *) (2)设Q ＝at ＋b (a ，b 为常数)，把(4，36)，(10，30)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝36，10a ＋b ＝30.∴a ＝－1，b ＝40. 所以日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式为Q ＝－t ＋40，0＜t ≤30，t ∈N *.(3)由(1)(2)可得y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫15t ＋2×（40－t ），0＜t ≤20，⎝⎛⎭⎫－110t ＋8×（40－t ），20＜t ≤30.即y ＝⎩⎨⎧－15（t －15）2＋125，0＜t ≤20.110（t －60）2－40，20＜t ≤30，(t ∈N *) 当0＜t ≤20时，y 有最大值y max ＝125万元，此时t ＝15；当20＜t ≤30时，y 随t 的增大而减小，y max ＝110(20－60)2－40＝120万元． 所以，在30天中的第15天，日交易额取得最大值125万元．考向三 自建函数模型应用题诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：2013年诺贝尔奖金发放后基金总额约为26 136万美元．设f (x )表示第x (x ∈N *)年诺贝尔奖发放后的基金总额(2013年记为f (1)，2014年记为f (2)，……依次类推)(1)用f (1)表示f (2)与f (3)，并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式；(2)试根据f (x )的表达式计算2023年度诺贝尔奖各项奖金的数目．(参考数据：1.0 3129＝1.32)『审题视点』 当年奖金发放后的总数就是该年的本息之和去掉该年利息的一半．『典例精讲』 由题意知：f (2)＝f (1)(1＋6.24%)－12f (1)×6.24%＝f (1)(1＋3.12%) f (3)＝f (2)(1＋6.24%)－12f (2)×6.24% ＝f (2)(1＋3.12%)＝f (1)(1＋3.12%)2∴f (x )＝26 136×(1＋3.12%)x －1(x ∈N *)(2)2022年诺贝尔奖发放后基金总额为f (10)＝26 136×(1＋3.12%)9＝34 499.52(万美元)故2023年各项奖金为16×12f (10)×6.24%≈179.4(万美元) 2023年诺贝尔奖各项奖金为179.4万美元．『类题通法』 (1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．3．某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f (x )元(15≤x ≤40)，乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g (x )元(15≤x ≤40)．试求f (x )和g (x )；(2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？『解析』(1)f (x )＝5x ，15≤x ≤40，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90，15≤x ≤302x ＋30，30＜x ≤40. (2)由f (x )＝g (x )得，⎩⎪⎨⎪⎧15≤x ≤305x ＝90，或⎩⎪⎨⎪⎧30＜x ≤405x ＝2x ＋30， 即x ＝18或x ＝10(舍)．当15≤x ＜18时，f (x )－g (x )＝5x －90＜0，∴f (x )＜g (x )，即选甲家；当x ＝18时，f (x )＝g (x )，既可以选甲家，也可以选乙家；当18＜x ≤30时，f (x )－g (x )＝5x －90＞0，∴f (x )＞g (x )，即选乙家；当30＜x ≤40时，f (x )－g (x )＝5x －(2x ＋30)＝3x －30＞0，∴f (x )＞g (x )，即选乙家．综上所述，当15≤x ＜18时，选甲家，当x ＝18时，可以选甲家，也可以选乙家，当18＜x ≤40时，选乙家．函数实际应用题的解答方法(2014·郑州市高三质检)如图所示，一辆汽车从O 点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O 点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M 点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？『方法分析』 ①弄清条件是什么，解题目标是什么：题目条件：汽车行驶方向及速度，人所在位置M 及到公路的垂直距离．解题目标：人至少提前到达公路与汽车会合时所应有的速度．②关于探索：M 到公路的垂直距离隐含了直角三角形，可求角的余弦值．当摩托车行驶的距离到达公路时，恰好与汽车会合，形成三角形，是摩托车的最小速度转化为三角形的余弦定理，研究三角形边的关系．『解答过程』 作MI 垂直公路所在直线于点I ，则MI ＝3，∵OM ＝5，∴OI ＝4，∴cos ∠MOI ＝45. 设骑摩托车的人的速度为v 公里/小时，追上汽车的时间为t 小时，由余弦定理得(vt )2＝52＋(50t )2－2×5×50t ×45， 即v 2＝25t 2－400t ＋2 500＝25(1t－8)2＋900≥900， ∴当t ＝18时，v 取得最小值为30， ∴其行驶距离为vt ＝308＝154公里． 故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了154公里． 『回归反思』 ①此题大胆构造三角形(直角三角形和一般三角形)是解题的入手点，从此可发现速度v 与时间t 的关系．②此题目标是求v 的最小值，故利用二次函数求最小值．1．(2013·高考陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位：m)的取值范围是()A．『15，20』B．『12，25』C．『10，30』D．『20，30』『解析』选C.利用三角形相似求出矩形的边长，再利用面积关系求解自变量的取值范围．设矩形的另一边长为y m，则由三角形相似知，x40＝40－y40，∴y＝40－x.∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.2．(2013·高考湖北卷)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是()『解析』选C.距学校的距离应逐渐减小，由于小明先匀速运动，故前段是直线段，途中停留距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.3．(2012·高考江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．『解析』(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0， 故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立 ⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6.所以当a 不超过6(千米)时，可击中目标．4．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)『解析』(1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20＜x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b .再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0≤x ≤20，13（200－x ）， 20＜x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， 0≤x ≤20，13x （200－x ）， 20＜x ≤200. 当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎡⎦⎤x ＋（200－x ）22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间『20，200』上取得最大值10 0003.高三数学一轮复习教案11 综上，当x ＝100时，f (x )在区间『0，200』上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．。
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第9讲 函数模型及其应用课件
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根据该折线图，下列结论错误的是( ) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳
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A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽 油最多 C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升 汽油 D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油
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5．[2018·抚顺模拟]某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年) 的关系为 y＝alog3(x＋1)，设这种动物第 2 年有 100 只，则 到第 8 年它们发展到的只数为___2_0_0___．
解析 ∵alog33＝100，∴a＝100，y＝100log39＝200.
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【变式训练 3】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能
源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要
建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为
6 万元．该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔
热层厚度 x(单位：cm)满足关系 C(x)＝3x＋k 5(0≤x≤10)，若
Hale Waihona Puke 2021/12/11第二十页，共四十五页。
解析 对于 A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速 度大于 40 km/h 时的燃油效率大于 5 km/L，故乙车消耗 1 升汽油的行驶路程可大于 5 千米，所以 A 错误．对于 B 选 项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于 C 选项，甲车以 80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为 10 km/L，故行驶 1 小时 的路程为 80 千米，消耗 8 L 汽油，所以 C 错误．对于 D 选 项，当最高限速为 80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大 于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以 D 正 确．
高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 9 第9讲 函数模型及其应用教学案
第9讲函数模型及其应用1．几种常见的函数模型判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数增长比直线增长更快．( )(2)不存在x0，使ax0<x n0<log a x0.( )(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>1)的增长速度．( )(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×[教材衍化]1．(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x解析：选D.根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．2．(必修1P102例3改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( ) A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元解析：选D.由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为16×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D 错误．3．(必修1P107A 组T4改编)用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______．解析：设隔墙的长度为x (0<x <6)，矩形面积为y ，则y ＝x ×24－4x 2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，y 最大．答案：3 [易错纠偏](1)对三种函数增长速度的理解不深致错； (2)建立函数模型出错；(3)分段函数模型的分并把握不准．1．已知f (x )＝x 2，g (x )＝2x，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A ．f (x )>g (x )>h (x )B ．g (x )>f (x )>h (x )C ．g (x )>h (x )>f (x )D ．f (x )>h (x )>g (x )解析：选B.由函数性质知，当x ∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g (x )>f (x )>h (x )．故选B.2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件．解析：利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．答案：183．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行程千米数x (km)之间的函数关系式是________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100应用所给函数模型解决实际问题某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170 p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元【解析】 设毛利润为L (p )元，则由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8 300－170p －p 2)(p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000， 所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．当p ∈(0，30)时，L ′(p )>0，当p ∈(30，＋∞)时，L ′(p )<0，故L (p )在p ＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L (30)＝23 000.【答案】 D应用所给函数模型解决实际问题的关键点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．1．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋B （x －A ），x ＞A .已知某家庭2019年前三个月的煤气费如表：月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 34元 二月份 25 m 3 14元 三月份35 m 319元A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A.根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x ≤5，4＋12（x －5），x ＞5，所以f (20)＝4＋12(20－5)＝11.5.2．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t ＝0时，y ＝a ； 当t ＝8时，y ＝a e－8b＝12a ，故e －8b＝12. 当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e－bt＝18a ，e－bt＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24，所以再经过16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案：16构建函数模型解决实际问题(高频考点)构建函数模型是每年高考的重点，难度中等．主要命题角度有： (1)构建二次函数模型；(2)构建指数函数、对数函数模型； (3)构建分段函数模型；(4)构建y ＝x ＋ax(a >0)模型．角度一 构建二次函数模型某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若年销售量为(30－52R )万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( )A ．[4，8]B ．[6，10]C ．[4%，8%]D ．[6%，10%]【解析】 根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R %≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8， 即R ∈[4，8]． 【答案】 A角度二 构建指数函数、对数函数模型某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年【解析】 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.【答案】 B角度三 构建分段函数模型提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)【解】 (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20<x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13（200－x ），20<x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x （200－x ），20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20<x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（200－x ）22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以当x ＝100时，f (x )在区间(20，200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[]0，200上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．角度四 构建y ＝x ＋ax(a >0)模型要建造一个容积为2 400 m 3，深为6 m 的长方体无盖水池．池底造价为100元/m 2，池壁造价为80元/m 2，则最低造价为________(元)．【解析】 设水池长为x ，则宽为2 4006x ＝400x .则总造价y ＝(12x ＋4 800x)×80＋400×100＝960(x ＋400x)＋40 000≥960×2x ×400x＋40 000＝78 400(元)． 当且仅当x ＝400x，即x ＝20时，最低造价为78 400元． 【答案】 78 400构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为：y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元，则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋300x －80 000 ＝－12(x －300)2－35 000， 因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．核心素养系列4 数学建模——函数建模在实际问题中的妙用 某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y (百万元)与年投资成本x (百万元)变化的一组数据： 年份2008 2009 2010 2011 … 投资成本x3 5 9 17 … 年利润y 1 2 34 …给出以下3个函数模型：①y ＝kx ＋b (k ≠0)；②y ＝ab x(a ≠0，b ＞0，且b ≠1)；③y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)．(1)选择一个恰当的函数模型来描述x ，y 之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．【解】 (1)将(3，1)，(5，2)代入y ＝kx ＋b (k ≠0)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝3k ＋b ，2＝5k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝－12，所以y ＝12x －12. 当x ＝9时，y ＝4，不符合题意； 将(3，1)，(5，2)代入y ＝ab x (a ≠0，b ＞0，且b ≠1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝ab 3，2＝ab 5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝24，b ＝2，所以y ＝24·(2)x ＝2x －32. 当x ＝9时，y ＝29－32＝8，不符合题意；将(3，1)，(5，2)代入y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧1＝log a （3＋b ），2＝log a （5＋b ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，所以y ＝log 2(x －1)． 当x ＝9时，y ＝log 28＝3；当x ＝17时，y ＝log 216＝4.故可用③来描述x ，y 之间的关系．(2)令log 2(x －1)>6，则x >65. 因为年利润665＜10%，所以该企业要考虑转型．解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．――――→读题（文字语言） ――――→建模（数学语言） ――――→求解（数学应用） 反馈（检验作答）某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f (x )＝p ·q x ；②f (x )＝px 2＋qx ＋1；③f (x )＝x (x －q )2＋p (以上三式中p ，q 均为常数，且q ＞1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f (0)＝4，f (2)＝6.①求出所选函数f (x )的解析式(注：函数定义域是[0，5]，其中x ＝0表示8月1日，x ＝1表示9月1日，以此类推)；②为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )＝x (x －q )2＋p .(2)①对于f (x )＝x (x －q )2＋p ，由f (0)＝4，f (2)＝6，可得p＝4，(2－q)2＝1，又q＞1，所以q＝3，所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．②因为f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，所以f′(x)＝3x2－12x＋9，令f′(x)＜0，得1＜x＜3.所以函数f(x)在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．[基础题组练]1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y＝2x－2 B．y＝(x2－1)2xC．y＝log2x D．y＝log12解析：选B.由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是( )解析：选A.前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A 、C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.3．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )A ．5.2B ．6.6C ．7.1D ．8.3解析：选B.设这种放射性元素的半衰期是x 年，则(1－10%)x ＝12，化简得0.9x ＝12，即x ＝log 0.912＝lg 12lg 0.9＝－lg 22lg 3－1＝－0.301 02×0.477 1－1≈6.6(年)．故选B. 4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( )A ．13 m 3B ．14 m 3C ．18 m 3D ．26 m 3解析：选A.设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx （0<x ≤10），10m ＋（x －10）·2m （x >10），则10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.5.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )A．40万元B．60万元C．120万元D．140万元解析：选C.甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40万元，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80万元，共获利40＋80＝120万元，故选C.6.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的范围为( )A．[2，4] B．[3，4]C．[2，5] D．[3，5]解析：选B.根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ， 所以93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x 2>0，得2≤x <6. 所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x 2(2≤x <6)，由y ＝18x ＋3x 2≤10.5，解得3≤x ≤4.因为[3，4]⊆[2，6)，所以腰长x 的范围是[3，4]．7．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升． 解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．答案：88．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0＜x ≤3，8＋2.15（x －3）＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85（x －8）＋1，x ＞8，由y ＝22.6，解得x ＝9.答案：99．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析：M ＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A 1，A 2，则9＝lg A 1－lg A 0＝lg A 1A 0，则A 1A 0＝109， 5＝lg A 2－lg A 0＝lg A 2A 0，则A 2A 0＝105，所以A 1A 2＝104. 即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．答案：6 10 00010．(2020·杭州八校联考)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．解析：设每小时的总费用为y 元，则y ＝kv 2＋96，又当v ＝10时，k ×102＝6，解得k ＝0.06，所以每小时的总费用y ＝0.06v 2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为10v 小时，故总费用为W ＝10v y ＝10v (0.06v 2＋96)＝0.6v ＋960v ≥20.6v ×960v ＝48，当且仅当0.6v ＝960v， 即v ＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时．答案：4011．A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 解：(1)x 的取值范围为10≤x ≤90.(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)． (3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝ ⎛⎭⎪⎫x －10032＋50 0003，所以当x ＝1003时，y min ＝50 0003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使供电总费用y 最少． 12.如图，GH 是一条东西方向的公路，现准备在点B 的正北方向的点A 处建一仓库，设AB ＝y 千米，并在公路旁边建造边长为x 千米的正方形无顶中转站CDEF (其中边EF 在公路GH 上)．若从点A 向公路和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB ＝AC ＋1，且∠ABC ＝60°.(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米，道路的造价为30万元/千米，问x 取何值时，修建中转站和道路的总造价M 最低？解：(1)由题意易知x >1，BC ＝2x ，又AB ＝y ，AC ＝y －1，在△ABC 中，由余弦定理得，(y －1)2＝y 2＋4x 2－2y ·2x ·cos 60°，所以y ＝4x 2－12（x －1）(x >1)．(2)M ＝30(2y －1)＋40x ＝120x 2－30x －1－30＋40x ，其中x >1，设t ＝x －1，则t >0， 所以M ＝120（t ＋1）2－30t －30＋40(t ＋1)＝160t ＋90t＋250≥2160t ·90t＋250＝490，当且仅当t ＝34时等号成立，此时x ＝74.所以当x ＝74时，修建中转站和道路的总造价M 最低．[综合题组练]1．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时解析：选C.由已知得192＝e b，① 48＝e22k ＋b＝e 22k ·e b，②将①代入②得e 22k＝14，则e 11k＝12，当x ＝33时，y ＝e33k ＋b＝e 33k ·eb＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C.2．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C.由题意，当生产第k 档次的产品时，每天可获利润为y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10，k ∈N *)，配方可得y ＝－6(k －9)2＋864，所以当k ＝9时，获得利润最大．选C.3．拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．解析：因为m ＝6.5，所以[m ]＝6，则f (m )＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.答案：4.244．某汽车销售公司在A 、B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元．解析：设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎪⎫x －2122＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0，16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．答案：435．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a ，t ＞1，当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ＞1.(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25， 解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．6．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a＋120，设甲大棚的投入为x (单元：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？解：(1)由题意知甲大棚投入50万元， 则乙大棚投入150万元，所以f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5(万元)．(2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20⇒20≤x ≤180，故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)．令t ＝x ，则t ∈[25，65]，y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t－82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝282. 所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．。
高考数学一轮复习 第二章 函数概念及基本初等函数Ⅰ第9节 函数模型及其应用教学案(含解析)新人教A版
第9节函数模型及其应用考试要求 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知识梳理1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关的模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关的模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关的模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0)[常用结论与微点提醒]1.“直线上升〞是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长〞先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸〞来形容；“对数增长〞先快后慢，其增长量越来越小.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.诊 断 自 测1.判断以下结论正误(在括号内打“√〞或“×〞)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，假设按九折出售，那么每件还能获利.( )(2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大.( ) (3)不存在x 0，使a x 0<x n0<log a x 0.( )(4)在(0，＋∞)上，随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x a(a >0)的增长速度.( )解析 (1)9折出售的售价为100(1＋10%)×910＝99(元).∴每件赔1元，(1)错.(2)中，当x ＝2时，2x＝x 2＝4.不正确.(3)中，如a ＝x 0＝12，n ＝14，不等式成立，因此(3)错.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(老教材必修1P107A1改编)在某个物理实验中，测得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00那么对x ，y 最适合的拟合函数是( ) A.y ＝2x B.y ＝x 2－1 C.y ＝2x －2D.y ＝log 2x解析 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意. 答案 D3.(新教材必修第一册P149例4改编)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期〞.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.假设某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，那么它经过的“半衰期〞个数至少是( ) A.8B.9C.10D.11解析 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，那么经过n 个“半衰期〞后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<11 000，得n ≥10.所以，假设某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，那么它至少需要经过10个“半衰期〞. 答案 C4.(2020·西安一中月考)f (x )＝x 2，g (x )＝2x，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，以下选项中正确的选项是( ) A.f (x )>g (x )>h (x ) B.g (x )>f (x )>h (x ) C.g (x )>h (x )>f (x )D.f (x )>h (x )>g (x )解析 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x ∈(4，＋∞)时，增长速度大小排列为g (x )>f (x )>h (x ).答案 B5.(多填题)(2018·浙江卷)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？〞设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x ，y ，z ，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝________，y ＝________.解析 把z ＝81代入方程组，化简得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得x ＝8，y ＝11. 答案 8 116.(多填题)(2019·北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，那么x 的最大值为________.解析 (1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60＋80＝140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x ＝10时，顾客需要支付140－10＝130(元).(2)由题意知，当x 确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120－x )元，所以(120－x )×80%≥120×0.7，所以x ≤15.即x 的最大值为15.答案 (1)130 (2)15考点一 利用函数的图象刻画实际问题[例1] (2017·全国Ⅲ卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，以下结论错误的选项是( )A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，那么A选项错误.答案 A规律方法 1.当根据题意不易建立函数模型时，那么根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案.2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.[训练1] 高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如下图，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，假设鱼缸水深为h时水的体积为v，那么函数v＝f(h)的大致图象是( )解析由题意知，水深h越大，水的体积v就越大.当h＝0时，v＝0，故可排除A，C；当h∈[0，H]时，不妨将水“流出〞设想为“流入〞.每当h增加一个单位增量Δh时，根据鱼缸形状可知，函数v的变化，开始其增量越来越大，经过中截面后增量越来越小，故v＝f(h)的图象是先凹后凸的，应选B.答案 B考点二函数模型求解实际问题[例2] 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数)，假设不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值. 解 (1)当x ＝0时，C ＝8，∴k ＝40， ∴C (x )＝403x ＋5(0≤x ≤10)，∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10).(2)由(1)得f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10.令3x ＋5＝t ，t ∈[5，35]， 那么y ＝2t ＋800t－10≥22t ·800t －10＝70(当且仅当2t ＝800t，即t ＝20时等号成立)，此时x ＝5，因此f (x )的最小值为70.∴隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元. 规律方法 1.求解函数模型解决实际问题的关注点. (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据利用待定系数法，确定模型中的待定系数.2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.[训练2] (2019·全国Ⅱ卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥〞，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行.L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1〔R ＋r 〕2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R3.设α＝r R .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5〔1＋α〕2≈3α3，那么r 的近似值为( )A.M 2M 1R B.M 22M 1R C.33M 2M 1R D.3M 23M 1R 解析 由α＝r R，得r ＝αR ， 代入M 1〔R ＋r 〕2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3，整理得3α3＋3α4＋α5〔1＋α〕2＝M 2M 1. 又3α3＋3α4＋α5〔1＋α〕2≈3α3，即3α3≈M 2M 1，所以α≈3M 23M 1， 故r ＝αR ≈3M 23M 1R . 答案 D考点三 构建函数模型的实际问题多维探究角度1 构建二次函数、分段函数模型[例3－1] (2020·济南一中月考)响应国家提出的“大众创业，万众创新〞的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x2＋2x .在年产量不小于8万件时，W (x )＝7x ＋100x－37.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.(1)写出年利润P (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 解 (1)因为每件商品售价为6元，那么x 万件商品销售收入为6x 万元.依题意得 当0<x <8时，P (x )＝6x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋2x －2＝－13x 2＋4x －2，当x ≥8时，P (x )＝6x －⎝⎛⎭⎪⎫7x ＋100x－37－2＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .故P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －2，0<x <8，35－x －100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，P (x )＝－13(x －6)2＋10.此时，当x ＝6时，P (x )取最大值，最大值为10万元.当x ≥8时，P (x )＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时，取等号.此时，当x ＝10时，P (x )取得最大值，最大值为15万元.因为10<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.角度2 构建指数(对数)型函数模型[例3－2] 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)， 那么a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.故每年砍伐面积的百分比为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22， 那么a (1－x )m ＝22a ，把x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110代入，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12m10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，即m 10＝12，解得m ＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年.规律方法 1.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点：(1)分段要简洁合理，不重不漏；(2)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.2.指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.[训练3] (1)(角度1)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，假设该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，那么能获得的最大利润是( )A.10.5万元B.11万元C.43万元D.43.025万元(2)(角度2)一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用P A＝lg n A来记录A菌个数的资料，其中n A为A菌的个数.现有以下几种说法：①P A≥1；②假设今天的P A值比昨天的P A值增加1，那么今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；③假设科学家将B菌的个数控制为5万，那么此时5<P A<5.5(注：lg 2≈0.3).那么正确的说法为________(写出所有正确说法的序号).(3)(角度2)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.假设该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，那么该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)()A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年解析(1)设在A地销售该品牌的汽车x辆，那么在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1(x －10.5)2＋0.1×10.52＋32.因为x ∈[0，16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元. (2)当n A ＝1时，P A ＝0，故①错误.假设P A ＝1，那么n A ＝10；假设P A ＝2，那么n A ＝100，故②错误. 设B 菌的个数为n B ＝5×104，∴n A ＝10105×104＝2×105，那么P A ＝lg(n A )＝5＋lg 2.又lg 2≈0.3，因此5<P A <5.5，③正确. (3)设经过n 年资金开始超过200万元， 即130(1＋12%)n>200.两边取对数，得n ·lg1.12>lg 2－lg 1.3， 所以n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，又n ∈N *，所以n ≥4，所以从2023年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元. 答案 (1)C (2)③ (3)DA 级 基础巩固一、选择题1.一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (小时)的函数关系用图象表示为( )解析 由题意得关系式为h ＝20－5t (0≤t ≤4).图象应为B 项. 答案 B2.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.那么以下各数中与M N最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48) A.1033B.1053C.1073D.1093解析 由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈93.所以MN≈1093，故与M N最接近的是1093. 答案 D3.汽车的“燃油效率〞是指汽车每消耗1 L 汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.以下斜述中正确的选项是( )A.消耗1 L 汽油，乙车最多可行驶5 kmB.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h 的速度行驶1小时，消耗10 L 汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h ，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析 对于A ，消耗1 L 汽油，乙车行驶的最大距离大于5 km ，故A 错；对于B ，以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故B 错；对于C ，甲车以80 km/h 行驶1小时，里程为80 km ，燃油效率为10 km/L ，消耗8 L 汽油，故C 错；对于D ，因为在速度低于80 km/h 时，丙车的燃油效率高于乙车，故D 正确. 答案 D4.(2020·武汉模拟)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1 000元，存入银行，年利率为2.25%，假设放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1 000元选择合适方式存满5年，可以多获利息( )(参考数据：1.022 54≈1.093，1.022 55≈1.118，1.040 15≈1.217) A.176元B.99元C.77元D.88元解析 将1 000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，那么存满5年后的本息和为1 000×(1＋4.01%)5≈1 217(元)，故共得利息1 217－1 000＝217(元).将1 000元存入银行，那么存满5年后的本息和为1 000×(1＋2.25%)5≈1 118(元)，即获利息1 118－1 000＝118(元).故可以多获利息217－118＝99(元). 答案 B5.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg II 0(其中I 0是人耳能听到声音的最低声波强度)，那么70 dB 的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的( ) A.76倍 B.1076倍C.10倍D.ln 76倍解析 由η＝10lg I I 0得I ＝I 010η10，所以I 1＝I 0107，I 2＝I 0106，所以I 1I 2＝10，所以70 dB 的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的10倍. 答案 C二、填空题6.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x 的值是________. 解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x＋4x ＝3 600x＋4x ≥23 600x×4x ＝240，当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240.答案 307.“好酒也怕巷子深〞，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.某品牌商品广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________(用常数a 表示). 解析 令t ＝A (t ≥0)，那么A ＝t 2，∴D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2，∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值.答案 14a 28.一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，那么再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一. 解析 当t ＝8时，y ＝a e－8b＝12a ，所以e －8b＝12. 容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b，那么t ＝24.所以再经过16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一. 答案 16 三、解答题9.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a ，b 的值；(2)假设这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，那么其耗氧量至少要多少个单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位， 故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 故有a ＋b log 39010＝1，即a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，那么有v ≥2， 即－1＋log 3Q10≥2，解得Q ≥270.所以假设这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s 时，其耗氧量至少要270个单位. 10.某医药机构测定，某种药品服用后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如下图的曲线.(1)写出服用药品后y 与t 之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.50微克时治疗有效，求服用药品后的有效时间.解 (1)由题中图象，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a ，t >1.当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4；当⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4，得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.50，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.50或⎩⎪⎨⎪⎧t >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.50，解得18≤t ≤4，因此服用药品后的有效时间为4－18＝318(小时).B 级 能力提升11.将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，假设再过m min 甲桶中的水只有a4L ，那么m 的值为( ) A.5B.8C.9D.10解析 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14， ∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5. 答案 A12.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，那么该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况解析 设该股民购这支股票的价格为a 元，那么经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝a ×1.1n元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n×(1－10%)n＝a ×1.1n×0.9n＝a ×(1.1×0.9)n＝0.99n·a ＜a ，故该股民这支股票略有亏损. 答案 B13.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t (单位：min)后的温度是T ，那么T －T a ＝(T 0－T a )⎝ ⎛⎭⎪⎫12th ，其中T a 称为环境温度，h 称为半衰期.现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min ，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要________ min. 解析 由题意知T a ＝21 ℃. 令T 0＝85 ℃，T ＝37 ℃，得37－21＝(85－21)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1216h，解得h ＝8.令T 0＝37 ℃，T ＝29 ℃，那么29－21＝(37－21)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t8，解得t ＝8. 答案 814.(2020·佛山一中月考)近年来，“共享单车〞的出现为市民“绿色出行〞提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入a (单位：万元)满足P ＝42a －6，乙城市收益Q 与投入a (单位：万元)满足Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋2，80≤a ≤120，32，120<a ≤160，设甲城市的投入为x (单位：万元)，两个城市的总收益为f (x )(单位：万元). (1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？ 解 (1)当x ＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元， 所以f (128)＝4×2×128－6＋14×112＋2＝88(万元).因此，此时公司的总收益为88万元.(2)由题意知，甲城市投资x 万元，那么乙城市投资(240－x )万元，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥80，240－x ≥80，解得80≤x ≤160，当80≤x <120，即120<240－x ≤160时，f (x )＝42x －6＋32＝42x ＋26<26＋1615.当120≤x ≤160，即80≤240－x ≤120时，f (x )＝42x －6＋14(240－x )＋2＝－14x ＋42x ＋56.令t ＝x ，那么t ∈[230，410]，所以y ＝－14t 2＋42t ＋56＝－14(t －82)2＋88.当t ＝82，即x ＝128时，y 取最大值88. 因为88－(26＋1615)＝2×(31－815)>0， 故f (x )的最大值为88.因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元.C 级 创新猜想15.(多项选择题)(2020·济南月考)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x－1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，那么以下结论正确的选项是( )A.当x >1时，甲走在最前面B.当x >1时，乙走在最前面C.当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲解析 甲、乙、丙、丁的路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型. 当x ＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝4，所以A 不正确；当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，所以C正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确.答案CD。
(通用版)2021版高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数9第9讲函数模型及其应用教案理
第9讲函数模型及其应用1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)幂函数增长比一次函数增长更快．( )(2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．( )(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( )(4)不存在x0，使ax0<x n0<log a x0.( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )答案：B生产一定数量商品的全部费用称为生产本钱，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产本钱为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( ) A ．36万件 B ．18万件 C ．22万件D ．9万件解析：选B.设利润为L (x )，那么利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18 时，L (x )有最大值．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，km ，如果超过100 km ，超过100 kmkm 定价，那么客运票价y (元)与行驶千米数x (km)之间的函数关系式是________． 解析：由题意可得y ＝错误!答案：y ＝错误!(教材习题改编)某公司为了业务开展制定了一个鼓励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．假设公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，那么他的销售额应为________万元．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1a log 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4.解得a ＝2，b ＝－2. 所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，即2log 4x －2＝8.x ＝1 024(万元)．答案：1 024一次函数与二次函数模型(高频考点)高考对函数应用的考察，常与二次函数、根本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现．高考对一次函数、二次函数模型的考察主要有以下两个命题角度： (1)单一考察一次函数或二次函数模型的建立及最值问题； (2)以分段函数的形式考察一次函数和二次函数．[典例引领]角度一 单一考察一次函数或二次函数模型的 建立及最值问题某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1xx 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，假设该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，那么能获得的最大利润是( ) 万元 B ．11万元 C ．43万元D ．万元【解析】 该公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，那么在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆， 所以可得利润yxx 2＋2(16－xx 2x ＋32＝－0.1(x －212)2＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0，16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元，应选C . 【答案】 C角度二 以分段函数的形式考察一次函数和二 次函数(2021·山西孝义二轮模考)为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经历，假设每辆自行车的日租金不超过6元，那么自行车可以全部租出；假设超出6元，那么每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的局部)． (1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解】 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115>0，解得x ，因为x 为整数，所以3≤x ≤6.当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115>0，有3x 2－68x ＋115<0，结合x 为整数得6<x ≤20.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115〔3≤x ≤6，x ∈Z 〕－3x 2＋68x －115〔6<x ≤20，x ∈Z 〕. (2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，显然当x ＝6时，y max ＝185，对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6<x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.因为270>185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．一次函数、二次函数及分段函数模型的选取与应用策略(1)在实际问题中，假设两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一局部)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一局部)等一般选用二次函数模型，根据条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．但应关注以下两点： ①构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏； ②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值． [提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解．[通关练习]1．某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如下图为函数y ＝f (x )的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，那么第二次服药最迟的时间应为( )A ．上午10：00B ．中午12：00C ．下午4：00D ．下午6：00解析：选C.当x ∈[0，4]时，设y ＝k 1x ， 把(4，320)代入，得k 1＝80，所以y ＝80x .当x ∈[4，20]时，设y ＝k 2x ＋b .把(4，320)，(20，0)分别代入可得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－20，b ＝400.所以y ＝400－20x .所以y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ，0≤x ≤4，400－20x ，4<x ≤20.由y ≥240，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，80x ≥240或⎩⎪⎨⎪⎧4<x ≤20，400－20x ≥240. 解得3≤x ≤4或4<x ≤8，所以3≤x ≤8. 故第二次服药最迟应在当日下午4：00.2．某跳水运发动在一次跳水训练时的跳水曲线为如下图的抛物线的一段．跳水板AB 的长为2 m ，跳水板距水面CD 的高BC 为3 m ．为平安和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A 处水平距离h m(h ≥1)时到达距水面最大高度4 m ．规定：以CD 为横轴，BC 为纵轴建立直角坐标系．(1)当h ＝1时，求跳水曲线所在抛物线的方程；(2)假设跳水运发动在区域EF 内入水时才能到达比拟好的训练效果，求此时h 的取值范围． 解：由题意知抛物线的最高点为(2＋h ，4)，h ≥1，故设抛物线的方程为y ＝a [x －(2＋h )]2＋4.(1)当h ＝1时，最高点为(3，4)，方程为y ＝a (x －3)2＋4.将A (2，3)代入，得3＝a (2－3)2＋4，解得a ＝－h ＝1时，跳水曲线所在抛物线的方程为y ＝－(x －3)2＋4.(2)将A (2，3)代入y ＝a [x －(2＋h )]2＋4，整理得ah 2＝－1.① 由题意，方程a [x －(2＋h )]2＋4＝0在区间[5，6]内有一解． 由①得，y ＝f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1h2[x －(2＋h )]2＋4，那么⎩⎪⎨⎪⎧f 〔5〕＝－1h 2〔3－h 〕2＋4≥0，f 〔6〕＝－1h 2〔4－h 〕2＋4≤0，解得1≤h ≤43.故到达较好的训练效果时h 的取值范围是[1，43]．函数y ＝x ＋a x(a >0)模型[典例引领]小王大学毕业后，决定利用所学专业进展自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定本钱为3万元，每生产x 万件，需另投入流动本钱为W (x )万元，在年产量缺乏8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定本钱－流动本钱)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】 (1)因为每件商品售价为5元，那么x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋100x－38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元，当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15，此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．应用函数y ＝x ＋a x(a >0)模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝b x叠加而成的．(2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋b x的模型，有时可以将所列函数解析式转化为f (x )＝ax ＋b x的形式．[提醒] (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f (x )＝ax ＋b x求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．某村方案建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室，在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保存1 m 宽的通道，沿前侧内墙保存3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？ 解：设矩形温室的左侧边长为x m ，那么后侧边长为800xm ，所以蔬菜种植面积y ＝(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x <400)．因为x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，所以y ≤808－2×80＝648.当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时取等号，此时800x＝20，y max ＝648 m 2.即当矩形温室的边长各为40 m ，20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m 2.指数、对数函数模型[典例引领](1)(2021·高考四川卷)某公司为鼓励创新，方案逐年加大研发资金投入．假设该公司2021 年全年投入研发资金130万元．在此根底上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，那么该公司全年投入的研发资金开场超过200万元的年份是( ) (参考数据：≈≈0.11，lg 2≈) A ．2021年 B ．2021年 C ．2021年D ．2021年(2)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，，那么此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．【解析】 (1)设经过x 年后该公司全年投入的研发资金开场超过200万元，那么130(1＋12%)x >200，x>21.3⇒x >lg 21.3lg 1.12＝lg 2－lg 1.12≈错误!，所以该公司全年投入的研发资金开场超过200万元的年份是2021年． (2)M ＝lg 1 000－＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A 1，A 2，那么9＝lg A 1－lg A 0＝lg A 1A 0，那么A 1A 0＝109，5＝lg A 2－lg A 0＝lg A 2A 0，那么A 2A 0＝105，所以A 1A 2＝104. 即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍． 【答案】 (1)B (2)6 10 000指数型、对数型函数模型(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1＋p )x(其中N 为根底数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与表格中给定的值对应求解．(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值答复其实际意义．(2021·湛江模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙沉着器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，那么再经过________min ，容器中的沙子只有开场时的八分之一． 解析：当t ＝0时，y ＝a ； 当t ＝8时，y ＝ae－8b＝12a ，故e －8b＝12. 当容器中的沙子只有开场时的八分之一时，即y ＝ae－bt＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b，那么t ＝24，所以再经过16 min 容器中的沙子只有开场时的八分之一． 答案：16解决实际应用问题的四大步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)复原：将数学问题复原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：“对勾〞函数的性质 函数f (x )＝x ＋a x(a >0)．(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减．(2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ； 当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a . 易错防范(1)易无视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．(2)注意问题反应．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．1.如图，在不规那么图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把图形ABCD 分成两局部，设AE ＝x ，左侧局部面积为y ，那么y 关于x 的大致图象为( )解析：选D.因为左侧局部面积为y ，随x 的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D 选项适合．2．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如表：x y那么对x ，y 最适合的拟合函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D.根据x ，y ，代入计算，可以排除A ；根据x ，y ，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总本钱y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4 000，那么每吨的本钱最低时的年产量为( )A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选 B.依题意，得每吨的本钱为y x＝x10＋4 000x－30，那么y x ≥2x10·4 000x－30＝10，当且仅当x 10＝4 000x， 即x ＝200时取等号，因此，当每吨本钱最低时，年产量为200吨．4．(2021·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期〞．当死亡生物体内的碳14含量缺乏死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．假设某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，那么它经过的“半衰期〞个数至少是( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：选C.设死亡生物体内原有的碳14含量为1，那么经过n (n ∈N *)个“半衰期〞后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<11 000得n ，假设探测不到碳14含量，那么至少经过了10个“半衰期〞．应选C.5．汽车的“燃油效率〞是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．以下表达中正确的选项是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以一样速度行驶一样的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，一样条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油 解析：选D.根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，应选项A 错；以一样速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以一样速度行驶一样路程时，甲车消耗汽油最少，应选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，应选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此一样条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，应选项D 对． 6.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如下图)，那么围成矩形的最大面积为________．(围墙厚度不计) 解析：设矩形的长为x m ，宽为200－x4m ，那么S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )．当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2. 答案：2 500 m 27．(2021·上海宝山区模拟)王先生购置了一部手机，欲使用中国移动“神州行〞卡或参加联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)网络 月租费 本地话费长途话费甲：联通130 12元 乙：移动“神州行〞无假设王先生每月拨打本地 的时间是拨打长途 时间的5倍，假设用联通130应最少打________秒长途 才合算．解析：设王先生每月拨打长途 的时间为x 分钟，所需话费为y 元，假设使用联通130，那么所需话费y 元与通话时间x 分钟的函数关系式为y ＝12＋0.36×5xxx ＋12；假设使用移动“神州行〞，那么所需话费y 元与通话时间x 分钟的函数关系式为y ＝0.6×5xxx .假设用联通130合算，xx ，解得x ≥203(分钟)＝400(秒)． 答案：4008．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，那么y (万元)与x (件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．解析：当0＜x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *)．当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *) 169．A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市平安，核电站距城市距离不得小于10 km.供电费用等于供电距离(km ，假设A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度． (1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 解：(1)x 的取值范围为10≤x ≤90. (2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝ ⎛⎭⎪⎫x －10032＋50 0003，所以当x ＝1003时，y min ＝50 0003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使供电总费用y 最少．10．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，x )万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进展价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两局部，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问： (1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书的供货价格为30＋105＝32(元)，故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎪⎨⎪⎧15x >0，x >0，得0<x <150.设单套丛书的利润为P 元，那么P ＝x －(30＋1015x )＝x －100150－x －30，因为0<x <150，所以150－x >0，所以P ＝－[(150－x )＋100150－x ]＋120，又(150－x )＋100150－x≥2〔150－x 〕·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x＝100150－x，即x＝140时等号成立，所以P max＝－20＋120＝100.故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．1．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如下图．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )A．40万元B．60万元C．120万元D．140万元解析：选C.甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)，共获利40＋80＝120(万元)，应选C. 2．我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数〞；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数〞；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．假设李刚停车时间为x小时，那么李刚应付费为(单位：元)( )A．2[x＋1] B．2([x]＋1)C．2{x} D．{2x}解析：选C.如x＝1时，应付费2元，此时2[x＋1]＝4，2([x]＋1)＝4，排除A，B；当x，付费为2元，此时{2x}＝1排除D，应选C.3．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e kx＋b(e＝…为自然对数的底数，k，b为常数)．假设该食品在 0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，那么该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．解析：由条件，得192＝e b，所以b＝ln 192.又因为 48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，所以e 11k＝(48192)12＝(14)12＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，那么t ＝e 33k ＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×(12)3＝24. 答案：244．某超市2021年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型．①f (x )＝p ·q x(q >0，q ≠1)； ②f (x )＝log p x ＋q (p >0，p ≠1)； ③f (x )＝x 2＋px ＋q .(1)能较准确反映超市月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为________． (2)假设所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，那么f (x )min ＝________．解析：(1)因为f (x )＝pq x ，f (x )＝log p x ＋q 是单调函数，f (x )＝x 2＋px ＋q 中，f ′(x )＝2x ＋p ，令f ′(x )＝0，得x ＝－12p ，f (x )有一个零点，可以出现一个递增区间和一个递减区间，所以应选③f (x )＝x 2＋px ＋q 模拟函数． (2)因为f (1)＝10，f (3)＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋p ＋q ＝10，9＋3p ＋q ＝2，解得，p ＝－8，q ＝17，所以f (x )＝x 2－8x ＋17＝(x －4)2＋1，所以f (x )min ＝f (4)＝1. 答案：(1)③ (2)15．声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg ⎝⎛⎭⎪⎫I 10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)． (1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m 2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？(3)比拟理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝，熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7W/m 2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？解：(1)当声强为10－6W/m 2时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12得Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－610－12＝10lg 106＝60(分贝)．(2)当Y ＝0时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12得10lg ⎝⎛⎭⎪⎫I 10－12＝0.所以I10－12＝1，即I ＝10－12W/m 2，那么最低声强为10－12W/m 2.(3)当声强为5×10－7W/m 2时，声强级Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫5×10－710－12＝10lg (5×105)＝50＋10lg 5，因为50＋10lg 5>50，所以这两位同学会影响其他同学休息．6．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%. (1)假设建立函数模型y ＝f (x )制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；(2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y ＝120x ＋1；(ⅱ)y ＝log 2x －2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求． 解：(1)设奖励函数模型为y ＝f (x )， 那么该函数模型满足的条件是： ①当x ∈[10，100]时，f (x )是增函数； ②当x ∈[10，100]时，f (x )≤5恒成立． ③当x ∈[10，100]时，f (x )≤x5恒成立．(2)(a)对于函数模型(ⅰ)y ＝120x ＋1， 它在[10，100]上是增函数，满足条件①；但当x ＝80时，y ＝5，因此，当x >80时，y >5，不满足条件②； 故该函数模型不符合公司要求．(b)对于函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2，它在[10，100]上是增函数，满足条件①，x ＝100时，y max ＝log 2100－2＝2log 25<5，即f (x )≤5恒成立．满足条件②，设h (x )＝log 2x －2－15x ，那么h ′(x )＝log 2e x －15，又x ∈[10，100]， 所以1100≤1x ≤110，所以h ′(x )<log 2e 10－15<210－15＝0，所以h (x )在[10，100]上是递减的，因此h (x )<h (10)＝log 210－4<0，即f (x )≤x5恒成立，满足条件③，故该函数模型符合公司要求．综上所述，函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2符合公司要求．关于函数y ＝ax ＋b x(a ≠0，b ≠0)性质的推广 关于函数y ＝ax ＋b x(a ≠0且b ≠0)性质的讨论．当a >0，b >0时[特例] 当a ＝b ＝1时，函数化为f (x )＝x ＋1x.①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－x ＋1－x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝－f (x )，函数为奇函数．之后只需讨论x >0时的情况.当x >0时，③单调性：Δy ＝x 2－x 1x 1x 2(x 1x 2－1)，令x 1＝x 2＝x ，x 1x 2－1＝0，解得x ＝1，当0<x 1<x 2<1时，f (x )为减函数；当1<x 1<x 2时，f (x )为增函数．④渐近线：当x →0＋时，y →1x；当x →＋∞时，y →x ＋.⑤作出函数图象，如图1.⑥值域：当x ＝1时，f (x )有最小值2，值域为(2，＋∞)．[推广] y ＝ax ＋bx.①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋b x ＝－f (x )，函数为奇函数.当x >0时，③单调性：Δy ＝ax 2＋b x 2－ax 1－b x 1＝x 2－x 1x 1x 2·(ax 1x 2－b )，令x 1＝x 2＝x ，ax 1x 2－b ＝0解得x ＝ab a ，当0<x 1<x 2<ab a 时，f (x )为减函数；当aba<x 1<x 2时，f (x )为增函数．④渐近线：当x →0＋时，y →bx；当x →＋∞时，y →ax ＋.⑤图象略．⑥值域：当x ＝ab a 时，f (x )＝a ab a ＋ab ab＝2ab ，即为最小值2ab ，值域为()2ab ，＋∞.当a <0，b <0时此情况与情况1根本一样，作出函数图象，f (x )＝－ax －b x(此时a >0，b >0)①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－f (x )，函数为奇函数.当x >0时，③单调性：Δy ＝x 1－x 2x 1x 2(ax 1x 2－b )，同情况1，x ＝ab a ，得f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，ab a 上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ab a ，＋∞上为减函数．④渐近线：当x →0＋时，y →－b x ；当x →＋∞时，y →－ax ＋.⑤图象略．⑥值域：当x ＝ab a 时，f (x )＝－a ab a －ab ab＝－2ab ，即为最大值－2ab ，值域为()－∞，－2ab . 当a >0，b <0时[特例] 当a ＝1，b ＝－1时，函数化为f (x )＝x －1x.①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝－f (x )，函数为奇函数.当x >0时，③单调性：Δy ＝x 2－x 1x 1x 2(x 1x 2＋1)，得Δy >0，f (x )为增函数．④渐近线：当x →0＋时，y →－1x；当x →＋∞时y →x ＋.⑤作出函数图象，如图3.⑥值域为(－∞，＋∞)．[推广] 改函数为f (x )＝ax －b x(此时b >0)．①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－⎝⎛⎭⎪⎫ax －b x＝－f (x )，函数为奇函数.当x >0时，③单调性：Δy ＝x 2－x 1x 1x 2(ax 1x 2＋b )，得Δy >0，f (x )为增函数．④渐近线：当x →0＋时，y →－b x；当x →＋∞时，y →ax ＋.⑤图象略．⑥值域为(－∞，＋∞)．当a <0，b >0时此情况与情况3根本一样，作出函数图象，f (x )＝－ax ＋bx(此时a >0)．①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－f (x )，函数为奇函数．③单调性：Δy ＝x 1－x 2x 1x 2·(ax 1x 2＋b )(x >0)，得Δy <0，f (x )为减函数．④渐近线：当x →0＋时，y →bx；当x →＋∞时，y →－ax ＋.⑤图象略．⑥值域为()－∞，＋∞.1.如图，在不规那么图形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把图形ABCD分成两局部，设AE＝x，左侧局部面积为y，那么y关于x的大致图象为( )解析：选D.因为左侧局部面积为y，随x的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D选项适合．2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：xy那么对x，y最适合的拟合函数是( )A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x解析：选D.根据x，y，代入计算，可以排除A；根据x，y，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总本钱y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y＝x210－30x＋4 000，那么每吨的本钱最低时的年产量为( ) A．240吨B．200吨C．180吨D．160吨解析：选 B.依题意，得每吨的本钱为yx＝x10＋4 000x－30，那么yx≥2x10·4 000x－30＝10，当且仅当x10＝4 000x，即x＝200时取等号，因此，当每吨本钱最低时，年产量为200吨．4．(2021·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期〞．当死亡生物体内的碳14含量缺乏死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．假设某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，那么它经过的“半衰期〞个数至少是( )A．8 B．9C ．10D ．11解析：选C.设死亡生物体内原有的碳14含量为1，那么经过n (n ∈N *)个“半衰期〞后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<11 000得n ，假设探测不到碳14含量，那么至少经过了10个“半衰期〞．应选C.5．汽车的“燃油效率〞是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．以下表达中正确的选项是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以一样速度行驶一样的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，一样条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油 解析：选D .根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，应选项A 错；以一样速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以一样速度行驶一样路程时，甲车消耗汽油最少，应选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，应选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此一样条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，应选项D 对． 6.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如下图)，那么围成矩形的最大面积为________．(围墙厚度不计) 解析：设矩形的长为x m ，宽为200－x 4m ，那么S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )．当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2. 答案：2 500 m 27．(2021·上海宝山区模拟)王先生购置了一部手机，欲使用中国移动“神州行〞卡或参加联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒。
【全国通用高考数学一轮导学案】第二章 2.9 函数及其模型应用
题型二 指数函数模型
解析
例2 (1)一个人喝了少量酒后，血 液 中 的 酒 精 含 量 迅 速 上 升 到 0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的
酒精含量以每小时25%的速度减少，
为了保障交通安全，某地根据《道
路交通安全法》规定：驾驶员血液
中 的 酒 精 含 量 不 得 超 过 0.09
mg/mL ， 那 么 ， 此 人 至 少 经 过
基础知识·自主学习
以上过程用框图表示如下：
知识梳理
基础知识·自主学习
知识梳理
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.( × ) (2)幂函数增长比直线增长更快.( × ) (3)不存在x0，使 ax0 x0n loga x0 .( × )
m酒g精/m含L量，以在每停小止时喝2酒5后%的，速血度液减中少的，题等，都可以考虑用指数函
为了保障交通安全，某地根据《道 数的模型求解.求解时注意
路交通安全法》规定：驾驶员血液 指数式与对数式的互化，指
中 的 酒 精 含 量 不 得 超 过 0.09
mg/mL ， 那 么 ， 此 人 至5 少 经 过 数函数的值域的影响以及实 ________小时才能开车.(精确到1小 际问题中的条件限制.
则 lgAA21＝lg A1－lg A2 ＝(lg A1－lg A0)－(lg A2－
测震仪记录的最大振幅是1 000，此 时 标 准 地 震 的 振 幅 为 0.001 ， 则 此 次 地震的震级为________级；9级地震 的最大振幅是5级地震最大振幅的
lg A0)
＝9－5＝4. ∴AA12＝104＝10 000，
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第9讲函数模型及函数的综合应用考纲展示命题探究考点一函数的实际应用1常见的函数模型2指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质(1)审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择模型；(2)建模：将文字语言、图形(或数表)等转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，将实际问题化为数学问题；(3)求解：求解数学问题，得出数学结论；(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的答案．注意点解决函数应用题常见错误(1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面．(2)在求解过程中忽略实际问题对参变量的限制条件.1．思维辨析(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()(2)幂函数增长比直线增长更快．()(3)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中．()(4)美缘公司2013年上市的一种化妆品，由于脱销，在2014年曾提价25%,2015年想要恢复成原价，则应降价25%.()(5)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利. () 答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√2．某种细胞，每15分钟分裂一次(1→2)这种细胞由1个分裂成4096个需经过()A．12小时B．4小时C．3小时D．2小时答案 C解析212＝4096，分裂了12次，12×15(分钟)＝180(分钟)＝3(小时)，故选C.3．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．答案 2500解析 由已知得L (Q )＝K (Q )－10Q －2000＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40Q －120Q 2－10Q －2000＝－120(Q －300)2＋2500， 所以当Q ＝300时，L (Q )max ＝2500(万元)．[考法综述] 对函数应用问题的考查多以二次函数、指数函数、分段函数为模型，考查学生处理问题，建立函数模型的能力．此类问题多以选择题、填空题形式出现，也有解答题．属于中高档题．命题法 函数模型在实际问题中的应用典例 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．[解析] 依题意知：20－x x ＝y －824－y，即x ＝54(24－y )，∴阴影部分的面积S ＝xy ＝54(24－y )y ＝54(－y 2＋24y )，∴当y ＝12时，S 有最大值为180.[答案] 180【解题法】 函数模型的应用技巧(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)与幂函数、指数函数、对数函数三类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(3)在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案 C解析 由题意可得：y min ＝－3＋k ＝2.解得k ＝5，故这段时间水深的最大值为3＋5＝8(m)，选C.2．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.(p ＋1)(q ＋1)－12C.pqD.(p ＋1)(q ＋1)－1 答案 D解析 设两年前的年底该市的生产总值为a ，则第二年年底的生产总值为a (1＋p )(1＋q )．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则a (1＋x )2＝a (1＋p )(1＋q )，由于连续两年持续增加，所以x >0，因此x ＝(1＋p )(1＋q )－1，故选D.3．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费S (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元答案 A解析 依题意可设S A (t )＝20＋kt ，S B (t )＝mt . 又S A (100)＝S B (100)，∴100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2，于是S A (150)－S B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元，选A.4. 如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)答案539解析 由于AB ⊥BC ，AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，所以BC ＝ 252－152＝20 m ．过点P 作PN ⊥BC 交BC 于N ，连接AN (如图)，则∠P AN ＝θ，tan θ＝PNAN .设NC ＝x (x >0)，则BN ＝20－x ， 于是AN ＝AB 2＋BN 2＝152＋(20－x )2＝x 2－40x ＋625， PN ＝NC ·tan30°＝33x ， 所以tan θ＝33xx 2－40x ＋625＝331－40x ＋625x 2＝33625x 2－40x ＋1，令1x ＝t ，则625x 2－40x ＋1＝625t 2－40t ＋1， 当t ＝4125时，625t 2－40t ＋1取最小值925， 因此625x 2－40x ＋1的最小值为925＝35，这时tan θ的最大值为33×53＝539⎝⎛⎭⎪⎫此时x ＝1254.5．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l .如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米．以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy .假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型．(1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度． 解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)． 将其分别代入y ＝ax 2＋b，得⎩⎨⎧a25＋b＝40，a400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1000x 2(5≤x ≤20), 则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1000t 2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2000x 3， 则l 的方程为y －1000t 2＝－2000t 3(x －t )， 由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3000t 2.故f (t )＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3000t 22 ＝32t 2＋4×106t 4，t ∈[5,20]．②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t 5.令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5,102)时， g ′(t )<0，g (t )是减函数； 当t ∈(102，20)时，g ′(t )>0，g (t )是增函数；从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值，所以g (t )min＝300，此时f (t )min ＝15 3.故当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．6．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段．已知跳水板AB 的长为2 m ，跳水板距水面CD 的高BC 为3 m ．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A 处水平距h m(h ≥1)时达到距水面最大高度4 m ．规定：以CD 为横轴，BC 为纵轴建立直角坐标系．(1)当h ＝1时，求跳水曲线所在抛物线的方程；(2)若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h 的取值范围．解 (1)由题意知抛物线的最高点为(2＋h,4)，h ≥1，故设抛物线的方程为y ＝a [x －(2＋h )]2＋4.当h ＝1时，最高点为(3,4)，方程为y ＝a (x －3)2＋4.将A (2,3)代入，得3＝a (2－3)2＋4，解得a ＝－1.所以当h ＝1时，跳水曲线所在抛物线的方程为y ＝－(x －3)2＋4.(2)将A (2,3)代入y ＝a [x －(2＋h )]2＋4，整理得ah 2＝－1'①. 由题意，方程a [x －(2＋h )]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解． 由①得，y ＝f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1h 2[x －(2＋h )]2＋4，则⎩⎪⎨⎪⎧f (5)＝－1h2(3－h )2＋4≥0f (6)＝－1h 2(4－h )2＋4≤0，解得1≤h ≤43.故达到较好的训练效果时h 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43.考点二函数的综合应用函数的综合问题所涉及到的数学知识、思想、方法综合性较强，都是高中教材和大纲中所要求掌握的概念、公式、法则、定理等．解题时要处理好各种关系，正确运用函数的性质，利用函数知识与方法解决问题．注意点数学思想在函数综合应用问题中的使用(1)注意应用数形结合思想，将问题进行等价转化．(2)注意应用函数与方程思想，解决函数问题.1．思维辨析(1)不存在x0，使ax0<x n0<log a x0.()(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度．()(3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．()(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f(x)<g(x)．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．下列函数中随x的增大而增大速度最快的是()A．v＝1100·ex B．v＝100ln x C．v＝x100D．v＝100×2x 答案 A解析只有v＝1100·ex和v＝100×2x是指数函数，并且e>2，所以v＝1100·ex的增大速度最快，故选A.3．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3，数列{a n }满足a 1＝－1，且S n n ＝2×a nn ＋1(其中S n 为{a n }的前n 项和)，则f (a 5)＋f (a 6)＝( )A ．－3B ．－2C ．3D ．2答案 C解析 由题意可知f (x )是以3为周期的周期函数．又x ∈R ，∴f (0)＝0.∵S n n ＝2×a nn ＋1，∴S n ＝2a n ＋n ，S n －1＝2a n －1＋(n －1)(n ≥2)．两式相减并整理得出a n ＝2a n －1－1，即a n －1＝2(a n －1－1)，∴数列{a n －1}是以2为公比的等比数列，首项为a 1－1＝－2，∴a n －1＝－2·2n －1＝－2n ，a n ＝－2n ＋1，∴a 5＝－31，a 6＝－63.∴f (a 5)＋f (a 6)＝f (－31)＋f (－63)＝f (2)＋f (0)＝f (2)＝－f (－2)＝3，故选C.[考法综述] 函数的综合问题的考查一般与不等式、数列、方程、解析几何等综合考查，考查的知识点多，思想方法多，难度适中，多以选择、填空题形式出现，也有解答题形式．命题法 函数的综合应用典例 (1)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，a ＋bc －1＝0，求a 的取值范围；(2)设不等式2x －1>m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围．[解] (1)由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，a ＋bc －1＝0得b ＋c －bc ＋1＝0，如果c ＝1，则b ＋1－b ＋1＝0,2＝0， 因此c ≠1，所以b ＝c ＋1c －1，a ＝1＋c1－c－c ，令f (c )＝1＋c 1－c －c ＝－2＋(1－c )＋21－c ，当1－c >0时，f (c )≥－2＋2 (1－c )21－c ＝－2＋22；当1－c <0时，f (c )≤－2－2(c －1)2c －1＝－2－2 2.所以a 的范围是a ≥－2＋22或a ≤－2－2 2. (2)原不等式为(x 2－1)m －(2x －1)<0，设f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)，则问题转化为求一次函数(或常函数)f (m )的值在[－2,2]内恒为负时应满足的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧f (2)<0，f (－2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2(x 2－1)－(2x －1)<0，－2(x 2－1)－(2x －1)<0，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12. 【解题法】 函数综合性问题的解题思路(1)与不等式联系：利用函数的单调性解不等式，利用函数的最值求不等式中有关参数问题．(2)与数列联系：数列是一种特殊的函数，以函数的观点解决数列的最值问题是常用的解题方法，要注意自变量取值为正整数这一限制条件．(3)与解析几何联系：利用题设条件得到的等量关系，确定函数关系式，明确自变量，借助曲线本身对自变量的限定，确定函数的定义域，然后求解函数的值域，从而明确一些范围问题的解决．(4)函数与方程的综合问题：研究方程的解实质是确定函数图象与x 轴交点的位置问题，可以看作是函数图象的一种特殊状态，这类问题考查的热点是方程解的讨论或方程解的条件，常以二次方程或对数方程中含有参数的问题出现，关键是运用相关知识和方法把问题转化为混合组处理，尤其注意等价转化．1．设函数f (x )＝a x ＋b x －c x ，其中c >a >0，c >b >0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①∀x ∈(－∞，1)，f (x )>0；②∃x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1,2)，使f (x )＝0. 答案 (1){x |0<x ≤1} (2)①②③解析 (1)由已知条件(a ，b ，c )∈M ，c >a >0，c >b >0，a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b 得2a ≤c ，即ca ≥2.a x ＋b x －c x＝0时，有2a x＝c x，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a x ＝2，解得x ＝log c a 2，1x ＝log 2c a ≥1，∴0<x ≤1，即f (x )＝a x ＋b x －c x 的零点的取值集合为{x |0<x ≤1}．(2)对于①，∵c >a >0，c >b >0，∴0<a c <1,0<bc <1.此时函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x 在(－∞，1)上为减函数，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x >a c ＋b c ，又a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，∴a ＋b >c ，即a c ＋bc >1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x>1，∴a x ＋b x >c x ，∴∀x ∈(－∞，1)，f (x )＝a x ＋b x －c x >0，故①正确；对于②，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x 在x ∈R 上为减函数，∴当x →＋∞时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x 与⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x 无限接近于零，故∃x ∈R ，使⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x <1，即a x ＋b x <c x，所以a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长，故②正确；对于③，若△ABC 为钝角三角形，c 为最大边，则a ＋b >c ，a 2＋b 2<c 2，构造函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x －1.又g (1)＝a c ＋bc －1＝a ＋b －c c >0，g (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2－1＝a 2＋b 2－c 2c 2<0，∴y ＝g (x )在(1,2)上存在零点，即∃x ∈(1,2)，使⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x －1＝0，即f (x )＝a x ＋b x －c x ＝0，故③正确．综上所述，结论正确的是①②③.2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－15x 35的展开式中的常数项为T ，f (x )是以T 为周期的偶函数，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 解析 由T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k ·⎝⎛⎭⎪⎫－15x 3k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15k C k 5x 10－5k，常数项为10－5k ＝0，即k ＝2，所以T 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－152C 25＝2.函数f (x )是周期为2的偶函数，其图象如图所示．函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，说明函数y ＝f (x )与直线y ＝kx ＋k 有四个交点，直线y ＝kx ＋k 是过定点(－1,0)的直线．如图可知当直线y ＝kx ＋k 为图中直线l 位置时符合题意，当直线y ＝kx ＋k 过点A (3,1)时，k ＝14，故满足条件k 的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.3．如图为某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数v ＝v (t )的图象，则该质点运动的总路程为________cm.答案 11解析 总路程为(2＋4)×1×12＋4×1＋12×2×4＝11. 4.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )． (1)试讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝c －a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求c 的值．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a3. 当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2>0(x ≠0)，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0上单调递减；当a <0时，x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞时，f ′(x )>0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3上单调递减．(2)由(1)知，函数f (x )的两个极值为f (0)＝b ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3＝427a 3＋b ，则函数f (x )有三个不同的零点等价于f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫427a 3＋b <0， 从而⎩⎨⎧a >0，－427a 3<b <0或⎩⎨⎧a <0，0<b <－427a 3.又b ＝c －a ，所以当a >0时，427a 3－a ＋c >0或当a <0时，427a 3－a ＋c <0.设g (a )＝427a 3－a ＋c ，因为函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，则在(－∞，－3)上g (a )<0，且在⎝⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞上g (a )>0均恒成立，从而g (－3)＝c －1≤0，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝c －1≥0，因此c ＝1.此时，f (x )＝x 3＋ax 2＋1－a ＝(x ＋1)[x 2＋(a －1)x ＋1－a ]， 因函数有三个不同的零点，则x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0有两个异于－1的不等实根，所以Δ＝(a －1)2－4(1－a )＝a 2＋2a －3>0，且(－1)2－(a －1)＋1－a ≠0，解得a ∈(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞.综上c ＝1.请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？[错解][错因分析]在求函数的最大值时错误使用均值定理，而使结果错误．[正解]设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.由已知得a＝2x，h＝60－2x2＝2(30－x)，0<x<30.解法一：S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．解法二：S ＝4ah ＝8x (30－x )≤8×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋30－x 22＝8×9004＝1800， 当且仅当x ＝30－x ，即x ＝15时等号成立，∴当x ＝15时S 取得最大值．[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：90分钟基础组1.[2016·衡水二中猜题]汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )答案 A解析 汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与t 的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的，故选A.2．[2016·衡水中学月考]某种电热水器的水箱的最大容积是200升，加热到一定温度可以浴用，浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水2t 2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现在假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供( )A ．3人洗澡B ．4人洗澡C ．5人洗澡D ．6人洗澡答案 B解析 设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝172时，y 有最小值，此时共放水34×172＝289升，可以供4人洗澡．3．[2016·枣强中学预测]若函数f (x )＝a ＋|x |＋log 2(x 2＋2)有且只有一个零点，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2 答案 B解析 将函数f (x )＝a ＋|x |＋log 2(x 2＋2)的零点问题转化为函数f 1(x )＝－a －|x |的图象与f 2(x )＝log 2(x 2＋2)的图象的交点问题．因为f 2(x )＝log 2(x 2＋2)在[0，＋∞)上单调递增，且为偶函数，因此其最低点为(0,1)，而函数f 1(x )＝－a －|x |也是偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，因此其最高点为(0，－a )，要满足题意，则－a ＝1，因此a ＝－1.4．[2016·冀州中学模拟]某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，所以最少需要下的订单张数为3张，选C.5. [2016·武邑中学预测]已知函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a 的值为( )A.15B.25C.12 D ．1答案 A解析 (x －a )2＋(ln x 2－2a )2表示点P (x ，ln x 2)与点Q (a ，2a )距离的平方．易知点P 在曲线g (x )＝2ln x 上，点Q 在直线y ＝2x 上． 因为g ′(x )＝2x ，且直线y ＝2x 的斜率为2， 所以令2x ＝2，解得x ＝1. 又当x ＝1时，g (x )＝0，从而与直线y ＝2x 平行的曲线g (x )＝2ln x 的切线方程为y ＝2(x －1)，如图所示．因为直线y ＝2(x －1)与直线y ＝2x 间的距离为222＋(－1)2＝255. 故|PQ |的最小值为255，即f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝45. 又当|PQ |最小时，P 点的坐标为(1,0)，所以由题意知x 0＝1，且2a －0a －1×2＝－1，解得a ＝15.6. [2016·衡水二中一轮检测]函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象如图所示，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1,2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2,3)答案 C解析 由图象得，a ＋b ＋1＝0,0<b <1，∴－2<a <－1，∵g (x )＝lnx ＋2x ＋a 在(0，＋∞)上是增函数，且g (1)＝a ＋2>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a ＋1－ln 2<0，∴函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 7．[2016·枣强中学猜题]某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：h)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正的常数)．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%.那么，至少还需过滤________才可以排放( )A.12 hB.59 hC．5 h D．10 h答案 C解析设原污染物数量为a，则P0＝a.由题意有10%a＝a e－5k，所以5k＝ln 10.设t h后污染物的含量不得超过1%，则有1%a≥a e－tk，所以tk≥2ln 10，t≥10.因此至少还需过滤10－5＝5 h才可以排放．8．[2016·枣强中学周测]如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客x之间的关系图象，由于目前该条公路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议如图(2)(3)所示．以下说法：①图(2)的建议是：提高成本，并提高票价；②图(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变；③图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图(3)的建议是：提高票价，并降低成本．其中正确的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④答案 C解析根据题意和题图(2)知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0，但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变，故②正确；由题图(3)知，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故③正确．故选C.9．[2016·衡水二中周测]有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m 分钟的电话费由函数f (m )＝1.06×(0.5[m ]＋1)(元)决定，其中m >0，[m ]是大于或等于m 的最小整数．则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为________．答案 4.24元解析 ∵m ＝5.5，∴[5.5]＝6.代入函数解析式，得f (5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24元．10．[2016·衡水二中模拟]对于任意两个实数x 1，x 2，定义max(x 1，x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 1， x 1≥x 2，x 2， x 1<x 2.若f (x )＝x 2－2，g (x )＝－x ，则max(f (x )，g (x ))的最小值为________．答案 －1解析 f (x )－g (x )＝x 2－2－(－x )＝x 2＋x －2，令x 2＋x －2≥0，解得x ≥1或x ≤－2.当－2<x <1时，x 2＋x －2<0，即f (x )<g (x )，所以max(f (x )，g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2<x <1，x 2－2， x ≥1或x ≤－2，作出图象，如图，由图象可知函数的最小值为－1.11．[2016·冀州中学周测]某厂去年的产值为1，若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年这五年内，这个厂的总产值约为________．(保留一位小数，取1.15≈1.6)答案 6.6解析 第一年产值为1×(1＋10%)＝1.1，第二年产值为1×(1＋10%)2＝1.12，…，第五年的产值为 1.15，故前5年总产值为1.1×(1－1.15)1－1.1≈6.6. 12. [2016·衡水中学期中]某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：万元)与日产量x (单位：吨)满足函数关系式C ＝3＋x ，每日的销售额S (单位：万元)与日产量x 的函数关系式S ＝⎩⎨⎧ 3x ＋k x －8＋5(0<x <6)，14(x ≥6)，已知每日的利润L ＝S －C ，且当x ＝2时，L ＝3.(1)求k 的值； (2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．解 (1)由题意可得，L ＝⎩⎨⎧ 2x ＋k x －8＋2(0<x <6)，11－x (x ≥6)，因为x ＝2时，L ＝3，所以3＝2×2＋k 2－8＋2. 解得k ＝18.(2)当0<x <6时，L ＝2x ＋18x －8＋2， 所以L ＝2(x －8)＋18x －8＋18 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(8－x )＋188－x ＋18 ≤－22(8－x )·188－x＋18＝6. 当且仅当2(8－x )＝188－x，即x ＝5时取得等号． 当x ≥6时，L ＝11－x ≤5.所以当x ＝5时，L 取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元．13．[2016·武邑中学一轮检测]随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解 设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则y ＝(2a －x )(b ＋0.01bx )－0.4bx ＝－b 100[x 2－2(a －70)x ]＋2ab .依题意2a －x ≥34·2a ，∴0<x ≤a 2.又140<2a <420，70<a <210.(1)当0<a －70≤a 2，即70<a ≤140时，x ＝a －70，y 取到最大值；(2)当a －70>a 2，即140<a <210时，x ＝a 2，y 取到最大值；所以当70<a ≤140，公司应裁员a －70人，经济效益取到最大值；当140<a <210，公司应裁员a 2人，经济效益取到最大值．能力组14.[2016·枣强中学仿真]国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为( )A ．3000元B ．3800元C ．3818元D ．5600元答案 B解析 由题意可建立纳税额y 关于稿费x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，x ≤8000.14(x －800)，800<x ≤4000，0.11x ，x >4000显然由0.14(x －800)＝420，可得x＝3800. 15．[2016·枣强中学期末]已知函数f (x )的定义域为R .若存在常数c >0，∀x ∈R ，有f (x ＋c )>f (x －c )，则称函数f (x )具有性质P .给出下列三个函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝sin x ；③f (x )＝x 3－x .其中，具有性质P 的函数的序号是________．答案 ①③解析 ①若f (x )＝2x ，则由f (x ＋c )>f (x －c )得2x ＋c >2x －c ，即x ＋c >x －c ，所以c >0恒成立，所以①具有性质P .②若f (x )＝sin x ，则由f (x ＋c )>f (x －c )得sin(x ＋c )>sin(x －c )，整理得cos x sin c >0，所以不存在常数c >0，∀x ∈R ，有f (x ＋c )>f (x －c )成立，所以②不具有性质P .③若f (x )＝x 3－x ，则由f (x ＋c )>f (x －c )得(x ＋c )3－(x ＋c )>(x －c )3－(x －c )，整理得3x 2＋c 2>1，所以只要c >1，则f (x ＋c )>f (x －c )成立，所以③具有性质P ，所以具有性质P 的函数的序号是①③.16. [2016·冀州中学热身]已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2，n ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2.现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0；③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ；④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n .其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．答案 ①④解析 因为f (x )＝2x 在R 上是单调递增的，所以对于不相等的实数x 1，x 2，m ＝2x 1－2x 2x 1－x 2>0恒成立，①正确；因为g (x )＝x 2＋ax ，所以n ＝x 21＋ax 1－(x 22＋ax 2)x 1－x 2＝x 1＋x 2＋a ，正负不定，②错误；由m ＝n ，整理得f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)．令函数p (x )＝f (x )－g (x )＝2x －x 2－ax ，则p ′(x )＝2x ln 2－2x －a ，令t (x )＝p ′(x )，则t ′(x )＝2x (ln 2)2－2，又t ′(1)＝2(ln 2)2－2<0，t ′(3)＝8(ln 2)2－2>0，从而存在x 0∈(1,3)，使得t ′(x 0)＝2x 0(ln 2)2－2＝0，于是p ′(x )有极小值p ′(x 0)＝2x 0ln 2－2x 0－a ＝2ln 2－2log 22(ln 2)2－a ，所以存在a ＝－2log 22(ln 2)2，使得p ′(x 0)＝2ln 2>0，此时p (x )在R 上单调递增，故不存在不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，不满足题意，③错误；由m ＝－n ，得f ′(x )＝－g ′(x )，即－a ＝2x ln 2＋2x .设h (x )＝2x ln 2＋2x ，则h ′(x )＝2x (ln 2)2＋2>0，所以h (x )在R 上是单调递增的，且当x →＋∞时，h (x )→＋∞；当x →－∞时，h (x )→－∞，所以对于任意的a ，y ＝－a 与y ＝h (x )的图象一定有交点，④正确．17．[2016·枣强中学周测]如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解 (1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝(8－y )米，EQ ＝(x －4)米．又△EPQ ∽△EDF ，所以EQ PQ ＝EF FD ，即x －48－y ＝42. 所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米，则S (x )＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50， S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增．所以当x ＝8米时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米．。