一元二次不等式及其解法(含参数)
一元二次不等式及含参问题的解法
若a<0呢?
函数： 方程： a＞0 ax2+bx+c=0 y=ax2+bx+c 的图象 的解情况 y 当⊿＞0时， 方程有两不 等的根x1 ， x1 o x2 x x2 当⊿＝0 时， 方程有两相 等的根 X1=X2=x0 当⊿＜0 时， 方程无解 o x y 不等式的解集 ax2+bx+c＞0 ax2+bx+c＜0
方法三：
x 2 x 3 ( x 1)( x 3 ) 0 , x 1 1, x 2 3
2
复习一元二次函数
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时图像
0
0
0
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
当a<0时图像
0
综上得 {a|0≤a≤4}.
解下列不等式：
(1 ) x 2 x
2
2 3
0 ; ( 2 ) 8 x 1 16 x .
2
含参数的一元二次不等式
例1 解关于 x 的不等式
ax
2
5 ax 6 a 0 a 0
分析: 因为 a 0 且 数的正负.
∴(1)当 a ∴当 a
k x
4
(2)当 k (3)当
8
时,不等式解集为 x 时,不等式解集为
x 2
8 k 0
(4)当 k 0 时,不等式解集为 x
x 0
例4:解关于
x 的不等式：
ax
2
( a 1) x 1 0 .
{ 解: （一）当 a 0 时, 原不等式即为 x 1 0 解 集 为 ：x | x 1} .
含参数的一元二次不等式及其解法
3.2.2含参数的一元二次不等式及其解法一．自主学习以上结论是针对a>0的情形给出相应的解，a<0时请同学们自行分析。
解一元二次不等式的步骤：1：确定二次项系数符号（一般将二次系数化为正）;2:计算△,求相应一元二次方程的根(能用十字相乘法的则不需用公式）;3：根据二次函数的图像,写出不等式的解集二．自主探究在解关于含参数的一元二次不等式时，往往都要对参数进行分类讨论。
分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点。
下面举例说明解题时如何做到分类“不重不漏”。
【题型一】对根的大小讨论例1． 解关于x 的不等式0)1(2<+++a x a x .(a R ∈ ).对应练习：解关于的不等式2x a x a--<0 (a R ∈ ).【题型二】对所对应方程根的个数进行讨论例2、 解不等式02>+-a x x ，R a ∈对应练习：012<+-ax x【题型三】对首项系数a 的讨论例3、 2(1)10、x ax a x +-->解关于的不等式，R a ∈对应练习：（1）关于x 的不等式0122<+-ax ax ，R a ∈训练（2）：函数()f x =R ，则实数m 的取值范围.课堂小结：含参数的一元二次不等式需讨论一般分为1：对二次项系数进行讨论；2：对所对应方程根的个数进行讨论；3：对所对应方程根的大小进行讨论；注意：因不确定所以需要讨论，在讨论时需清楚在哪讨论；怎样讨论.讨论要不重不漏,通过讨论后化不确定为确定.三．巩固性练习及作业1．不等式x 2-ax-122a <0 (其中a<0)的解集为（ ）A.（-3a, 4a ）B.(4a , -3a)C.(-3, 4)D.(2a , 6a)2、22210x xx m -+->解关于的不等式32(1)10、x ax a x +-->解关于的不等式4.若不等式ax 2+bx+c>0 的解集为{x|-3<x<4}.，求不等式bx 2+2ax-c-3b<0的解集分析提示：给出了一元二次不等式的解集，则可知a 的符号和ax 2+bx+c=0的两根，由韦达定理可知a,b ，c 之间的关系。
含参数的一元二次不等式的解法高中数学
含参数的一元二次不等式的解法高中数学一元二次不等式是高中数学中重要的内容之一，它与一元二次方程不同，需要通过特定的方法来解决。
当一元二次不等式中出现参数时，解法也会有所不同。
本文将介绍含参数的一元二次不等式的解法。
首先，我们来看一个简单的例子，假设有不等式 f(x) =ax^2+bx+c > 0，其中a、b、c为实数且不为零。
我们的目标是确定x的取值范围使得不等式成立。
步骤一：将不等式化简为标准形式首先，我们需要将不等式化简为标准形式，即形如(ax^2+bx+c)>0的形式。
若不等式已经处于此形式，则可以直接进行下一步。
若不等式不满足此形式，则需要移项合并同类项，将不等式转化为标准形式。
步骤二：确定基本情况下的解法对于标准形式的一元二次不等式，我们可以利用图像法或代数法来解决。
对于a>0和a<0的两种情况，基本的解法如下：1. 当a>0时：- 如果a>0，二次函数的开口朝上，函数图像是一个开口朝上的抛物线。
此时的不等式解集为抛物线上方的实数集。
- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。
然后我们可以得到解集: x<x1 或x>x2- 若抛物线与x轴只有一个交点，我们可以求解的结果只有一个交点x0，此时解集为：x<x0 或 x>x0。
2. 当a<0时：- 如果a<0，二次函数的开口朝下，函数图像是一个开口朝下的抛物线。
此时的不等式解集为抛物线下方的实数集。
- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。
然后我们可以得到解集: x1<x<x2- 若抛物线与x轴没有交点，则解集为空集：ø步骤三：含参数时的解法当一元二次不等式中存在参数时，解法稍有不同。
我们以一个具体的例子来说明。
例题：对于不等式f(x) = (a+b)x^2+(b+c)x+c>0，其中a，b，c 为实数且不为零。
含参数的一元二次不等式
1 1 1 即 a 1时，原不等式的解集为： {x | x 1} a a 1 1即 a 1 时，原不等式的解集为： a
1 1 a
即
1 {x |1 x } 0 a 1 时，原不等式的解集为： a
含参数的一元二次不等式的解法
综上所述， (1)当 a 0 时，原不等式的解集为 (2)当 a 0 时，原不等式的解集为
2
又不等式即为 (x-2a)(x-3a)>0
故只需比较两根2a与3a的大小.
x 解: 原不等式可化为： 2a ( x 3a) 0
相应方程 x 2a ( x 3a) 0 的两根为 x1 2a, x2 3a ∴(1)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 2a或x 3a
综上所述： a 0时，原不等式解集为：x | x 2a或x 3a
a 0时，原不等式解集为： | x 3a或x 2a x
(2)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 3a或x 2a
两根大小的讨论
例题讲解
含参数的一元二次不等式的解法
2 ∴(a)当 k 0 时,原不等式即为 2 x 0
解集为：x x 0
解集为：x x 2
2 x 2 8x 8 0 ∴(b)当 k 8时,原不等式即为
k 2 8k 0 即 k 0 或 k 8 （３)当
时,
k k 2 8k k k 2 8k x x 4 4
例3： 解不等式
2
x ax 4 0
2
解：∵ a 16 ∴ 当a 4,4即 0时
一元二次不等式6种解法大全
一元二次不等式6种解法大全一元二次不等式是指形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c≥0的二次不等式，其中a、b、c为实数，a≠0。
这种不等式的解法有很多种，下面我将介绍其中的六种解法。
解法一：使用因式分解法。
对于形如(ax+b)(cx+d)>0或(ax+b)(cx+d)≥0的一元二次不等式，可以尝试将其因式分解为两个一次因式相乘的形式，然后根据不等式的性质讨论各个因式的取值范围，从而求得不等式的解。
解法二：使用它的图像解法。
将一元二次不等式对应的二次函数的图像画出来，然后根据图像的特点来确定使得函数大于0（或大于等于0）的x的取值范围，即为不等式的解。
解法三：使用开平方法。
对于形如x²+a≥0或x²+a>0的一元二次不等式，可以通过开平方的方法来求解。
首先将不等式移到一边，得到一个完全平方的形式，然后对不等式两边同时开平方，得到关于x的两个二次方程，根据二次方程的性质来求解。
解法四：使用代数求解法。
对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c≥0，可以将其转化为一个关于x的二次方程ax²+bx+c=0的解的范围问题。
求得这个二次方程的解，然后根据这些解的范围来确定不等式的解。
解法五：使用数轴法。
将一元二次不等式对应的二次函数的图像画在数轴上，然后根据函数的凸性来确定函数取正值的x的取值范围，即为不等式的解。
解法六：使用区间法。
将一元二次不等式移项，化成形如ax²+bx+c<0或ax²+bx+c≤0的不等式，然后求出二次函数的零点，并根据二次函数的凸性来确定函数小于0（或小于等于0）的x的取值范围，即为不等式的解。
以上是关于一元二次不等式的六种解法，每种解法都有其独特的思路和方法。
在实际的解题过程中，可以根据具体的题目情况选择合适的解法来求解，以提高解题效率和准确性。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。
例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。
当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。
当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。
所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。
例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。
解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。
3.2.3含参数的一元二次不等式的解法
2
.
.
3
x
（1）数形结合思想
例3. 关于x的不等式 2 x 9 x m ≤ 0 在区间[ 2, m≤9 3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.
2
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g ( x) 2 x2 9 x, x [2,3],
gmin ( x) g(3) 9, m ≤ 9. （2）变量分离法(分离参数)
6.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根， 则a的取值范围是_________. -1<a<1
解析
令f(x)=x2+ax+a2-1,
∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，
则只需f(0)<0,即a2-1<0,
∴-1<a<1.
7.已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若当x∈[-1,1]
三、解答题 8.解不等式：
log 1 (3x 2 2 x 5) log 1 (4 x 2 x 5).
2 2
解
原不等式等价于
2 2 3 x 2 x 5 4 x x 5, ① 2 ② 4 x x 5 0, 解①得x2+3x≤0,即-3≤x≤0. 5 解②得x>1或x< . 4 5 故原不等式的解集为 {x | 3 x }. 4
a 0 2 b 4ac 0
(4)二次不等式 ax2 +bx +c ≤ 0 恒成立
a 0 2 b 4ac 0
注：“不等式ax2+bx+c>0恒成立”即是 “不 等式ax2+bx+c>0的解集是R”
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集概念方法微思考1.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集与其对应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像有什么关系？提示 ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集就是其对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像在x 轴上方的部分所对应的x 的取值范围.2.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件是什么？提示 显然a ≠0.ax 2＋bx ＋c >0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集.( √ ) 题组二 教材改编2.已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( ) A.{x |－2<x <3} B.{x |－2≤x ≤3} C.{x |x <－2}∪{x |x >3} D.{x |x ≤－2}∪{x |x ≥3} 答案 B解析 ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0，∴x >3或x <－2，即A ＝{x |x >3或x <－2}.在数轴上表示出集合A ，如图所示.由图可得∁R A ＝{x |－2≤x ≤3}. 故选B.3.y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞ 解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞. 题组三 易错自纠4.不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________.(用区间表示) 答案 (－4,1)解析 由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0， 得－4<x <1.5.若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b ＝________. 答案 －14解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎨⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.6.不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－2,2] C.(－2,2) D.(－∞，2)答案 B解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，∴－2<a <2，另a ＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立， ∴－2<a ≤2.故选B.题型一 一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1 (2018·合肥模拟)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B 等于( ) A.(－1,2) B.(－2,1) C.(0,1) D.(0,2)答案 D解析 由题意得A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，B ＝{y |y ＝2x }＝{y |y >0}， ∴ A ∩B ＝{x |0<x <2}＝(0,2).故选D. 命题点2 含参不等式例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0). 解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0， 因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0.所以当a >1时，解为1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解为1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1. 思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ判断根的个数.(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 跟踪训练1 解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R ). 解 原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞.题型二 一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R 上的恒成立问题例3 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围. 解 当m ＝0时，f (x )＝－1<0恒成立.当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0， 即－4<m <0.综上，－4<m ≤0，故m 的取值范围是(－4,0]. 命题点2 在给定区间上的恒成立问题例4 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围. 解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立， 即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立. 方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]. 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)， 即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)， 即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0， 所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67， 所以只需m <67即可.所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 引申探究1.若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“f (x )<5－m 无解”，如何求m 的取值范围？ 解 若f (x )<5－m 无解，即f (x )≥5－m 恒成立， 即m ≥6x 2－x ＋1恒成立，又x ∈[1,3]，得m ≥6，即m 的取值范围为[6，＋∞).2.若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“存在x ，使f (x )<5－m 成立”，如何求m 的取值范围？ 解 由题意知f (x )<5－m 有解， 即m <6x 2－x ＋1有解，则m <⎝⎛⎭⎫6x 2－x ＋1max ，又x ∈[1,3]，得m <6， 即m 的取值范围为(－∞，6).命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 若mx 2－mx －1<0对于m ∈[1,2]恒成立，求实数x 的取值范围.解 设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图像是直线，当m ∈[1,2]时，图像为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)<0，g (2)<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0，解得1－32<x <1＋32，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.思维升华 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数. 跟踪训练2 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围. 解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， ∴实数a 的取值范围是[－6,2].(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图①，当g (x )的图像与x 轴不超过1个交点时， 有Δ＝a 2－4(3－a )≤0， 即－6≤a ≤2.②如图②，g (x )的图像与x 轴有2个交点， 但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x ＝－a2<－2，g (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4(3－a )>0，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a >4，a ≤73，解得a ∈∅.③如图③，g (x )的图像与x 轴有2个交点， 但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x ＝－a2>2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )>0，－a2>2，7＋a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a <－4，a ≥－7.∴－7≤a <－6，综上，实数a 的取值范围是[－7,2].(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立.只需⎩⎪⎨⎪⎧h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0， 解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6. ∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞).一、选择题1.已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |(x ＋1)(x －5)<0}，则A ∩B 等于( ) A.[－1,4) .[0,5)C.[1,4] .[－4，－1)∪ [4,5)答案 B解析 由题意得B ＝{x |－1<x <5}，故A ∩B ＝{x |x ≥0}∩{x |－1<x <5}＝[0,5).故选B. 2.若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12 C.{x |－2<x <1} D.{x |x <－2或x >1} 答案 A解析 ∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，∴ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1,2，且a <0，即－1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a ，解得a ＝－1，b ＝1，则所求不等式可化为2x 2＋x －1>0，解得x <－1或x >12，故选A.3.若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A.(－3,0)B.[－3,0]C.[－3,0)D.(－3,0]答案 A解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0， 解得－3<k <0.4.若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值范围为( ) A.(13，＋∞) B.(5，＋∞) C.(4，＋∞) D.(－∞，13)答案 B解析 m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2,4]，当x ＝2时，f (x )min ＝5，存在x ∈[2,4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.故选B.5.若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A.[－4,1] B.[－4,3] C.[1,3] D.[－1,3] 答案 B解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3. 6.若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C.(1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 答案 A解析 由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x 1x 2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图像的示意图如图.所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故选A.7.在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值范围是( ) A.(－3,5) B.(－2,4) C.[－1,3] D.[－2,4]答案 C解析 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }， 当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}， 当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或1>a ≥－1， 所以实数a 的取值范围是a ∈[－1,3]，故选C.8.设a <0，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为( ) A.12 B.13 C.14 D.22答案 C解析 当a <b <0时，任意x ∈(a ，b )，2x ＋b <0， 所以(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立， 可转化为任意x ∈(a ，b )，a ≤－4x 2， 所以a ≤－4a 2，所以－14≤a <0，所以0<b －a <14；当a <0<b 时，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立， 当x ＝0时，(4x 2＋a )(2x ＋b )＝ab <0，不符合题意； 当a <0＝b 时，由题意知x ∈(a,0)，(4x 2＋a )2x ≥0恒成立， 所以4x 2＋a ≤0，所以－14≤a <0，所以b －a ≤14.综上所述，b －a 的最大值为14.二、填空题9.(2018·重庆模拟)不等式x 2－2ax －3a 2<0(a >0)的解集为________. 答案 {x |－a <x <3a }解析 x 2－2ax －3a 2<0⇔(x －3a )(x ＋a )<0， ∵a >0，∴－a <3a ，不等式的解集为{x |－a <x <3a }. 10.不等式x >1x 的解集为________.答案 (－1,0)∪(1，＋∞)解析 当x >0时，原不等式等价于x 2>1，解得x >1；当x <0时，原不等式等价于x 2<1，解得－1<x <0.所以不等式x >1x的解集为(－1,0)∪(1，＋∞). 11.若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－4,0)解析 因为x 2－ax －a >0的解集为R ，所以Δ＝(－a )2－4(－a )<0，解得－4<a <0，故实数a 的取值范围是(－4,0).12.(2019·开封模拟)不等式x x ＋1≤0的解集为________. 答案 (－1,0]解析 由x x ＋1≤0得x (x ＋1)≤0(x ≠－1)， 解得－1<x ≤0.13.若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围为________.答案 [－5，＋∞)解析 由题意，分离参数后得，a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋4x . 设f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，x ∈(0,1]， 则只要a ≥[f (x )]max 即可.由于函数f (x )在区间(0,1]上单调递增，所以[f (x )]max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5.14.(2018·郑州模拟)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________.答案 (1,5]解析 设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，当Δ＝4(a －2)2－4a <0时，即1<a <4 时，f (x )>0 对x ∈R 恒成立；当a ＝1时，f (－1)＝0，不合题意；当a ＝4时，f (2)＝0 符合题意；当Δ>0 时，由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，1<a －2<5，f (1)≥0，f (5)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a <1或a >4，3<a <7，a ≤5，a ≤5，即4<a ≤5.综上所述，实数a 的取值范围是(1,5].三、解答题15.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值.解 (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0，即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}.(2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，∴⎩⎨⎧ －1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3. 16.已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5).(1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围.解 (1)f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，即2x 2＋bx ＋c <0的解集是(0,5)， ∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系知，－b 2＝5，c 2＝0，∴b ＝－10，c ＝0，f (x )＝2x 2－10x . (2)f (x )＋t ≤2恒成立等价于2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立，∴2x 2－10x ＋t －2在x ∈[－1,1]上的最大值小于或等于0.设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，x ∈[－1,1]，则由二次函数的图像可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1,1]上是减少的，∴g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ，∴10＋t ≤0，即t ≤－10.。
一元二次不等式的解法(含参不等式)
（第三课时）
含参数的不等式
1、分式不等式
1 、
f (x) g ( x)
0
f (x) 0 g(x)
2、指数、对数不等式
①当 a 1时
a f (x) ag(x) f (x) g(x)
loga f (x) loga g(x) f (x) g(x) 0
求出 a,b.
题型与解法
（三）逆向问题
例2.已知不等式 ax2 bx 2 0 的解集为
11
( , ), 求a-b 的值.
23
解法一：∵不等式
∴方程 ax2
ax2
bx
bx 2 0的解集为 (
2 0 的两根为 1 , 1
1 2
,
,
1 3
),
23
1
66 a b 10.
题型与解法
（三）逆向问题
变式训练2
若不等式 ax2 bx c 0 的解 集是{x | 1 x 2}，求不等式
3 cx2 bx a 0 的解集.
{x | 3 x 1} 2
课堂练习
1.下列不等式中，解集为实数集R的是（D ）
(A) (x 1)2 0 (B) | x3 8 | 0
(C) | x | 0
(D) x2 2x 3 0
2.当 a 0时,不等式x2 ax 12a2 0 的解是（C）
(A) x 3a或x 4a (B) 3a x 4a
(C) 4a x 3a (D) 3a x 4a
4 a
a1 2
1b
b 2 0, 2 0.
含参数的一元二次不等式的解法
小结：
1.含参数的一元二次不等式解法，通常情况 下均分类讨论，分类主要依据因素： （1）二次项系数; （2）△; (3)两根大小。 2.分类讨论思想，数形结合思想，转化化归 思想。
作业：
P87，B组1、2.
谢谢光临指导
例2.
解关于x的不等式 解关于 的不等式. 的不等式 x2- (2m+1)x+m2+m<0.
解：方程x2- (2m+1)x+m2+m=0解集为 x1=m,x2=m+1,且m<m+1. 二次函数y= x2- (2m+1)x+m2+m的图 像开口向上，且与x轴有两个交点。 所以，不等式x2- (2m+1)x+m2+m<0 的解集为｛x ︱m<x<m+1｝
例4：解关于x的不等式： x2+(1-a)x-a<0
解：方程x2+(1-a)x-a<0的解为x1=1,x2=a. (1)当a<-1时，原不等式的解集为(a,-1); (2)当a=-1时，原不等式的解集为￠; (3)当a>-1时，原不等式的解集为(-1,a).
课堂练习:
1.P81中1、2、4. 2.若不等式ax2+5x+b>0的解为｛x︱ 1/3<x<1/2｝,则 a,b的值分别是——。 a=-6 b=-1
x∈ R
Φ
ax2 +bx+c < 0(a > 0)
的解集
{x / x1 < x < xB分别是不等式3x2+6≤19x与不等式2x2+3x+5>0解集。试求A∩B,A∪B. 解：由3x2+6≤19x，得3x2-19x+6≤0. 方程3x2-19x+6=0的解为 x1=1/3,x2=6. 函数y=3x2-19x+6的图像开口向上且与x轴有两个 交点(1/3,0)和(6,0)。 所以原不等式的解集为A=｛x︱1/3≤x≤6｝。 同理可得，不等式B的解集为A=｛x︱ - 1<x＜ 5/2｝ 所以A∩B= ｛x︱1/3≤x<5/2｝, A∪B= ｛x︱-1＜ x≤6｝
含参数一元二次不等式的解法
含参数一元二次不等式的解法我们把只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是2的不等式, 称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是/ 或/ （其中/ 均为常数, / ）.解含参一元二次不等式的相关问题对于基础薄弱的同学来说是一个难点.为了帮助这些同学解决此类问题, 本文将相关解题方法进行简化、总结, 帮助同学们理解和学习.下面我们通过例举进行具体的分析说明.类型一解二次项前不带参数的一元二次不等式1.对应方程/ （其中/ 均为常数, / ）可以进行因式分解.方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程/ 可因式分解为/ （/ 为方程的实数根）的形式, 则分类讨论的关键在于通过比较两根/ 的大小, 确定参数讨论的界限, 进而解出/ 的取值范围.例1 解关于的不等式 .分析: 对应方程/ 可因式分解为/ 的形式, 讨论两根/ 的大小, 即可解出/ 的取值范围.解: 原不等式等价于/ , 所对应方程/ 的两根是/当/ 时, 不等式的解集为/ .当/ 时, 不等式的解集为/ .当/ 时, 不等式的解集为/ .2.对应方程/ （其中/ 均为常数, / ）不能进行因式分解.方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程/ 不能进行因式分解, 则分类讨论的关键在于判别式, 此时根据判别式确定参数讨论的界限, 解出/ 的取值范围.例2 解关于的不等式 .分析: 对应方程/ 不能进行因式分解, 此时根据判别式确定参数讨论的界限, 求出/ 的取值范围.解: 原不等式对应方程/ 的判别式为/（1）当/ , / 时, / 的两根为/ 或/ , 不等式的解集为/ .（2）当/ , / 时, / 的根为/ ,不等式的解集为 .1.当/ , / 时, 不等式的解集为/ .综上所述：当/ 时, 不等式的解集为.当/ 时, 不等式的解集为/ .当/ 时, 不等式的解集为/ .类型二解二次项前带参数的一元二次不等式1.对应方程/ （其中/ 均为常数, / ）可以进行因式分解.方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程/ 可因式分解为/ （/ 为方程的实数根）的形式，则分类讨论的关键仍然在于通过比较两根/ 的大小确定参数讨论的界限.另外，需要注意的问题是二次项前带参数与二次项前不带参数不同，参数的范围决定对应二次函数/ 的开口方向，影响对应一元二次不等式的解集.例3 解关于的不等式 .分析: 对应方程/ 可因式分解为/ 的形式, 讨论两根/ 的大小, 即可确定参数讨论的界限, 根据参数的不同取值范围, 求出不等式相应解集。
7.2__一元二次不等式及其解法
(1)2x2+4x+3<0; (2)-3x2-2x+8≤0; (3)8x-1≥16x2. 思维启迪 首先将二次项系数转化为正数，再看二 次三项式能否因式分解，若能,则可得方程的两根, 大于号取两边,小于号取中间,若不能,则再看“Δ”, 利用求根公式求解方程的根,而后写出解集.
由题意知该直线当-2≤m≤2时线段在x轴下方，
f f
((2)2)00,即2x22x2
2x 2x
3 1
0
0
① ②
9分
解①, 得x 1 7 或x 1 7 ,
2
2
解②, 得 1 3 x 1 3 .
2
2
由①②得 -1 7 x 1 3 .
2
2
x的 取 值 范 围 为{ x | -1 7 x 1 3 }.
A. ( 1 , 1) 32
B. (, 1) (1 ,) 32
C. ( 1 , 1) 23
D. (, 1) (1 ,) 23
（）
解析 不等式 ( 1 x)(x 1) 0,
2
3
同解于( x 1 )(x 1) 0,
23
又∵相应方程 ( x 1 )(x 1) 0 的两根为 23
x1
2
2
11分 12分
探究提高 （1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自 变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变 量，求谁的范围，谁就是参数. （2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应 的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒 小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全 部在x轴下方.
当a=1时,有x≠1, 此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}. 综上可知:当a<0或a>1时, 原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}; 当0<a<1时,原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}; 当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠0}; 当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠1}.
含参的一元二次不等式的解法
含参的一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的二次函数的不等式，其中a, b, c是实数，且a ≠ 0。
解一元二次不等式的方法与解一元二次方程类似，但是需要注意的是，不等式的解是满足不等式条件的解集。
下面将介绍一元二次不等式的解法，包括图像法、开方法、配方法、代数法等。
一、图像法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以首先绘制二次函数y = ax^2 + bx + c的图像，并找出函数图像在x轴上方（或下方）的区间。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以绘制出y = x^2 - 4x + 3的图像。
首先，找到抛物线的顶点，顶点就是不等式解的中心点。
顶点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为y = f(-b/(2a))。
在这个例子中，a = 1，b = -4，c = 3，所以顶点的横坐标为x = -(-4)/(2*1) = 2，纵坐标为y = f(-4/(2*1)) = f(2) = 2^2 - 4*2 + 3= -1。
然后，可以找到函数图像在x轴上方的区间，即函数图像在x < 1和x > 3时，都在x轴上方。
根据图像可知，在x < 1和x > 3时，x^2 - 4x + 3 > 0。
所以，不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解为x < 1或x > 3。
二、开方法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以考虑将不等式转化为以x为未知数的一元二次方程，并求解方程的根，在不等式的根之间的区间满足不等式。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以通过因式分解或配方法得到方程(x - 1)(x - 3) > 0。
根据求解一元二次方程的方法，可以得到方程的两个根为x = 1和x = 3。
含参数一元二次不等式的解法
（b）当 （c）当
1 1 a 1 1 a 1 1 a
1
1 {x | x 1} 即 a 1 时，原不等式的解集为： a
即
a 1
时，原不等式的解集为：
1 } a
即
0 a 1时，原不等式的解集为： {x | 1 x
例： 解不等式 x 2 ax 4 0
含参数一元二次不等式的解法
解含参数一元二次不等式的步骤：
解含参数一元二次不等式，须对参数进行讨论， 讨论顺序为： （1）一看二次项系数a>0,a=0,a<0 （2）如果二次项系数不含参数，二看判别式 △ > 0, △=0,△<0 （3）如果△ > 0,三看一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的大 小， x1>x2 ，x1=x2，x1<x2
解：∵
a 2 16
原不等式解集为R ∴(1) 当a 4, 4即 0时 a (2) 当a 4即 0时, 原不等式解集为 x x R且x
，
2
此时两根分别为 (3) 当a 4或a 4即 0时， 2 a a 2 16 a a 16 x1 x2 2 2 显然 x1 x 2
例:解关于x 的不等式：ax2 (a 1) x 1 0.
{x | x 1 }. 解:（一）当a 0 时, 原不等式即为 x 1 0 解集为：
（二）当 a 0 时, 原不等式变形为：(ax 1)(x 1) 0
{ x | x 或x 1} （1)当 a 0 时，原不等式的解集为： a a 0 （2)当 时，有：
∴原不等 16 a a 2 16 或x〈 2 2
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按X 2项的系数a 的符号分类，即a 〉0,a=0,a<0; 例1解不等式： ax 2a 2x 1 0分析：本题二次项系数含有参数， A=(a +2f_ 4a = a 2+4》0,故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：•, A = (a +2 2 —4a = a 2+4》0 解得方程 ax 2 +(a +2 X +1=0 两根为=—'—2；；京*4, X2 = -'-2*带 八心 臣”兀 —a -2 +而2 +4 y _a -2 - da 2 +4 .•当 a 》0时,解集为』x | x > ----------------------- 或x < ---------------------2a 2a当a =0时，不等式为2x+1》0，解集为』x|x 〉；？— a —2+y a 2+4_a_2_Ja 2+4当a<0时，解集为Jx|一 <x <一 .2例2解不等式ax —5ax + 6a 》0(a 孝0 )分析 因为a #0 , A >0,所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解a(x 2 -5x 6) = a x - 2 x -3 )〉0,二当a a 0时，解集为<x | x < 2或x a 3"当a < 0时，解集为 k | 2 <x < 3}2、(1 — ax )2<1.【解】 由(1 - ax)2<1 得 a 2x 2 - 2ax+ 1<1.即 ax(ax —2)<0. (1)当a=0时，不等式转化为0<0,故原不 等式无解.(2)当a<0时，不等式转化为 x(ax 一2)>0,2即 x(x — )<0.a2<0 , 不等式的解集为 {x|2aa<x<0}.变式：解关于x 的不等式1、(x —2)(ax —2) A0 ; ⑴当a ：：：0时,{x|2:::x<2} a(2) 当 a =0 时,{x|x =:: 2)2 (3) 当0 <a C 1 时,{ x| x <2,或xA —)a (4) 当a =1 时,{x | x =2) 2工(5) 当a A 1 时,{x | x 〈一,或x A2)a(3)当a>0时，不等式转化为 x(ax — 2)<0 ,一 2 又>0, a2...不等式的解集为{x|0<x<a }.综上所述：当a= 0时，不等式解集为 空集；2 当a<0时，不等式解集为{x|2<x<0}; a2当a>0时，不等式解集为{x|0<x< }.a二、按判别式 △的符号分类，即 A A 0,A=0,A<0; 例3解不等式x 2 +ax +4>0分析 本题中由于x 2的系数大于0,故只需考虑△与根的情况。
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含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：
一、按2
x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;
例1 解不等式：()0122>+++x a ax
分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；
例2 解不等式042>++ax x
分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
例3解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122
三、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<； 例4解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x a a x 分析：此不等式可以分解为：()0)1(<-
-a x a x ，故对应的方程必有两解。
本题 只需讨论两根的大小即可。
考向二 含参数的一元二次不等式的解法
【例2】►求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．
解含参数的一元二次不等式的一般步骤：
(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
【训练2】 解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.
考向三 不等式恒成立问题
【例3】►已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．
[审题视点] 化为标准形式ax 2＋bx ＋c ＞0后分a ＝0与a ≠0讨论．当a ≠0时，
不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，
b ＝0，
c ＞0；当a ≠0时，⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＜0；
不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩
⎨⎧
a ＜0，Δ＜0. 【训练3】 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．
规范解答12——怎样求解含参数不等式的恒成立问题
【解决方案】解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题.
【试一试】设函数f(x)＝ax3－3x＋1，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，求实数a的值．。