数学111任意角课件
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高中数学人教版必修四课件：1.1.1任意角 (共20张PPT)
定义 : 所有与角 终边相同的角，连同角 在内，
可构成一个集合：S { | k 360 ，k Z}. 即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角
与整数个周角的和。
注意：终边落在坐标轴上的角，不属于任何象限，
称为轴线角.
y
（1）终边在x轴上的角的集合：
{ | n 180 ，n Z}.
解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在 0°～360°范围 内，与－150°角终边相同的角是 210°角，它是第三象限角． (2)因为 650°＝360°＋290°，所以在 0°～360°范围内，与 650° 角终边相同的角是 290°角，它是第四象限角． (3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在 0°～ 360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是 129°45′角， 它是第二象限角． 小结 解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋ k·360°，k∈Z，把所给的角化归到 0°～360°范围内，然后利 用 0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角．
故
2
是第三象限的角 .
2
综上可知： 是第一或第三象限的角 .
2
0°
360° x
又 k 120 k 120 30 ，k Z .
3
y
90°
当 k 3n(n Z)时，
n 360 n 360 30 ，k Z ， 180°
故
3 是第一象限的角 .
O
当
3
k
3n 1(n Z)时，
跟踪训练 1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400°； (2)－2 010°.
解 (1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角， ∴1 400°也是第四象限角．
可构成一个集合：S { | k 360 ，k Z}. 即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角
与整数个周角的和。
注意：终边落在坐标轴上的角，不属于任何象限，
称为轴线角.
y
（1）终边在x轴上的角的集合：
{ | n 180 ，n Z}.
解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在 0°～360°范围 内，与－150°角终边相同的角是 210°角，它是第三象限角． (2)因为 650°＝360°＋290°，所以在 0°～360°范围内，与 650° 角终边相同的角是 290°角，它是第四象限角． (3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在 0°～ 360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是 129°45′角， 它是第二象限角． 小结 解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋ k·360°，k∈Z，把所给的角化归到 0°～360°范围内，然后利 用 0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角．
故
2
是第三象限的角 .
2
综上可知： 是第一或第三象限的角 .
2
0°
360° x
又 k 120 k 120 30 ，k Z .
3
y
90°
当 k 3n(n Z)时，
n 360 n 360 30 ，k Z ， 180°
故
3 是第一象限的角 .
O
当
3
k
3n 1(n Z)时，
跟踪训练 1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400°； (2)－2 010°.
解 (1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角， ∴1 400°也是第四象限角．
1.1.1 任意角 课件(共31张PPT)
栏目 导引
第一章 三角函数
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 任意角的概念 例1 下列命题： ①第二象限角大于第一象限角； ②小于180°的角是钝角、直角或锐角； ③正角大于负角；
栏目 导引
第一章 三角函数
④相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同． 其中真命题的序号为________(把你认为正确的命题的序号都写上)． 【解析】 ①120°角是第二象限角，390°角是第一象限角， 显然390°>120°，所以①不正确． ②0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角， 故②不正确． ③正角、负角是用来表示具有相反意义的旋转量，像正数、 负数的规定一样，正角大于负角，③正确． ④终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立， 故④不正确．
栏目 导引
(3)角的分类 按旋转方向，角可以分为三类：
名称 正角 负角
定义 按__逆__时__针___方向旋转形成的角 按__顺__时__针___方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转形成的角
第一章 三角函数
图形
栏目 导引
第一章 三角函数
想一想 1.理解角的概念要注意哪几个要素？ 提示：顶点，始边，终边和旋转方向． 做一做 1. 图 中 OA 为 始 边 ， 则 α ＝ ________ ， β ＝ ________.
栏目 导引
3. 如右图，
跟踪训练
第一章 三角函数
(1)终边落在OB位置，且在－360°≤β≤360°内的角β的集合 是________． (2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________． (3)终边落在阴影部分(含边界)且在0°≤β≤360°内的角β的 集合是________． (4)终边不落在阴影部分(含边界)的角的集合是________．
第一章 三角函数
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 任意角的概念 例1 下列命题： ①第二象限角大于第一象限角； ②小于180°的角是钝角、直角或锐角； ③正角大于负角；
栏目 导引
第一章 三角函数
④相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同． 其中真命题的序号为________(把你认为正确的命题的序号都写上)． 【解析】 ①120°角是第二象限角，390°角是第一象限角， 显然390°>120°，所以①不正确． ②0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角， 故②不正确． ③正角、负角是用来表示具有相反意义的旋转量，像正数、 负数的规定一样，正角大于负角，③正确． ④终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立， 故④不正确．
栏目 导引
(3)角的分类 按旋转方向，角可以分为三类：
名称 正角 负角
定义 按__逆__时__针___方向旋转形成的角 按__顺__时__针___方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转形成的角
第一章 三角函数
图形
栏目 导引
第一章 三角函数
想一想 1.理解角的概念要注意哪几个要素？ 提示：顶点，始边，终边和旋转方向． 做一做 1. 图 中 OA 为 始 边 ， 则 α ＝ ________ ， β ＝ ________.
栏目 导引
3. 如右图，
跟踪训练
第一章 三角函数
(1)终边落在OB位置，且在－360°≤β≤360°内的角β的集合 是________． (2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________． (3)终边落在阴影部分(含边界)且在0°≤β≤360°内的角β的 集合是________． (4)终边不落在阴影部分(含边界)的角的集合是________．
1.1.1任意角(第一课时)
方向ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ大小
初中角的概念
初中 B
O A
角——一点出发的两条射线所围成的 图形 00~3600
锐角 周角
钝角
平角
如何表示大于平角小于周角的角？
一、任意角的概念
B 角——一点出发的两条射线所围成的
O
图形
A
（静止地） 终边
始边
B
角——平面内一条射线绕着端点
O
A 从一个位置旋转到另一个位置所
（运动地） 形成的图形
第一章 三角函数 第二章 平面向量 第三章 三角恒等变换
第一章 解三角形 第二章 数列 第三章 不等式
地球自转引起的昼夜交 替变化
公转引起的四季交替变 化
月亮圆缺变化
必修4 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角(1)
思考?
你的手表慢了5分钟,你是怎样将它校准的?你 的手表快了1.25小时,你又是怎样将它校准的?当 时间校准后,分针旋转了多少度?
思考?
1：锐角是第几象限角，第一象限角一定是锐角吗？ y
锐角是第一象限角
300
第一象限角不一定是锐角
x
试想：都有哪些角的终边与300角的终边相同
300+3600 300+2*3600
3900
7500
300+3*3600 11100
300+4*3600 14700
300+（-3600） 300+（-2*3600）
在00~3600范围内，找出与角-950012’终边相 同的角，并判定它是第几象限角。 解：-950012’ =129048’ ﹣ 3×3600 角-950012’终边与129048’相同 角-950012’是第二象限角
初中角的概念
初中 B
O A
角——一点出发的两条射线所围成的 图形 00~3600
锐角 周角
钝角
平角
如何表示大于平角小于周角的角？
一、任意角的概念
B 角——一点出发的两条射线所围成的
O
图形
A
（静止地） 终边
始边
B
角——平面内一条射线绕着端点
O
A 从一个位置旋转到另一个位置所
（运动地） 形成的图形
第一章 三角函数 第二章 平面向量 第三章 三角恒等变换
第一章 解三角形 第二章 数列 第三章 不等式
地球自转引起的昼夜交 替变化
公转引起的四季交替变 化
月亮圆缺变化
必修4 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角(1)
思考?
你的手表慢了5分钟,你是怎样将它校准的?你 的手表快了1.25小时,你又是怎样将它校准的?当 时间校准后,分针旋转了多少度?
思考?
1：锐角是第几象限角，第一象限角一定是锐角吗？ y
锐角是第一象限角
300
第一象限角不一定是锐角
x
试想：都有哪些角的终边与300角的终边相同
300+3600 300+2*3600
3900
7500
300+3*3600 11100
300+4*3600 14700
300+（-3600） 300+（-2*3600）
在00~3600范围内，找出与角-950012’终边相 同的角，并判定它是第几象限角。 解：-950012’ =129048’ ﹣ 3×3600 角-950012’终边与129048’相同 角-950012’是第二象限角
任意角课件
y
328° o
－392° x
－32°
例1. 分别写出终边与45º的终边关于x轴、y轴、原点 对称的角的集合.
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S， 并把S中在－360º~720º间的角写出来：
(1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.
解：(1) S={β| β=k·360º+60º(k∈Z) }, S中在－360º～720º间的角是 －1×360º+60º=－280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º．
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}； 终边在y轴上：S={α|α=90°＋k·180°,k∈Z}.
思考3：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？
第一象限角的集合： S={α | k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}；
第二象限角的集合： S={α | 90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}；
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，这个角叫做零度角（0º）．
2．“象限角、轴线角”
角的顶点在坐标原点，角的始边与x轴的非负半轴重合。
y
y
x
x
o
o
－50° 405°
y
x o －200°
y －450°
x o
3．与终边相同的角的集合
所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合： {β| β=α+k·360º}(k∈Z)
任意角
1．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA，绕
着它的端点O旋转到另一位置OB， B 就形成角α．
旋转开始时的射线OA叫做角α
328° o
－392° x
－32°
例1. 分别写出终边与45º的终边关于x轴、y轴、原点 对称的角的集合.
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S， 并把S中在－360º~720º间的角写出来：
(1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.
解：(1) S={β| β=k·360º+60º(k∈Z) }, S中在－360º～720º间的角是 －1×360º+60º=－280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º．
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}； 终边在y轴上：S={α|α=90°＋k·180°,k∈Z}.
思考3：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？
第一象限角的集合： S={α | k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}；
第二象限角的集合： S={α | 90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}；
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，这个角叫做零度角（0º）．
2．“象限角、轴线角”
角的顶点在坐标原点，角的始边与x轴的非负半轴重合。
y
y
x
x
o
o
－50° 405°
y
x o －200°
y －450°
x o
3．与终边相同的角的集合
所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合： {β| β=α+k·360º}(k∈Z)
任意角
1．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA，绕
着它的端点O旋转到另一位置OB， B 就形成角α．
旋转开始时的射线OA叫做角α
高中数学1.1.1任意角优秀课件
200°,－450°分别是第几象限的角？
2、以下命题正确的选项是
〔C
〕
A、终边相同的角一定相等
B、第一象限角都是锐角
C、锐角都是第一象限角
D、小于90°的角都是锐角
E、第一象限角一定小于90度
课堂练习
练习3：〔快速作答〕
〔1〕锐角是第几象限的角？ 〔2〕第一象限的角是否都是锐角？举例说明
〔3〕第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
1.我们是如何定义角这个平面图形的？
具有公共端点的两条射线所组成的图形----角的静态定义
2.学习过哪些不同范围的角？
锐角
直角
钝角
平角
周角
3.学习的角的范围？
0º<α≤360º 生活中很多实例会不在该范围。
看一看
观察一组图片 1.钟表的指针旋转
2.自行车的车轮周而复始地 转动 一根辐条
3.在跳水运动中，
注意：
〔1〕K ∈ Z； 〔2〕α是一个具体的角； 〔3〕终边相同的角不一定相等，但相等的 角终边一定相同.终边相同的角有无数多个， 它们相差360º的整数倍.
四.典型例题
例1：在00~3600范围内，找出与角-950012’终边相 同的角，并判定它是第几象限角。
-950012’+3600 +3600 +3600 -590012’ -230012’ 129048’
而角的终边是一条射线，故应分别求出终边在一、三象限的角，再
求其并集.
【解析】在0°到360°的范围内， 终边在函数y=x的图象上的角有 两个，即45°和225°.
因此，所有与45°角终边相 同的角构成集合:
y y=x
0x
S1={β|β=45°+k·360°,k∈Z} ={β|β=45°+2k·180°,k∈Z},
高中数学第一章三角函数111任意角课件
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
由图可知: (1)780°角是第一象限角;780°=60°+360°×2,所以在0°~360°范围 内,与780°角终边相同的角是60°. (2)-75°角是第四象限角;-75°=285°-360°,所以在0°~360°范围内, 与-75°角终边相同的角是285°.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究三终边相同的角 【例3】 已知角α=2 016°. (1)把α改写成k· 360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第 几象限角; (2)求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ<720°.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
分析:先求出β,判断角α所在的象限;用终边相同的角表示θ满足的 不等关系,求出k和θ. 解:(1)由2 016°除以360°,得商为5,余数为216°. ∴取k=5,β=216°,α=5×360°+216°. 又β=216°是第三象限角,∴α为第三象限角. (2)与2 016°终边相同的角为k· 360°+2 016°(k∈Z). 令-360°≤k· 360°+2 016°<720°(k∈Z), 3 3 解得-6 ≤k<-3 (k∈Z). 5 5 所以k=-6,-5,-4. 将k的值代入k· 360°+2 016°中, 得角θ的值为-144°,216°,576°.
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练2 在0°到360°之间,找出与下列各角终边相同的角α,并指 出它们分别为第几象限角. (1)-1 154°; (2)2 428°. 解:(1)∵-1 154°=-4×360°+286°,∴在0°到360°之间,与-1 154°角终边 相同的角α=286°,-1 154°角为第四象限角. (2)∵2 428°=6×360°+268°,∴在0°到360°之间,与2 428°角终边相同 的角α=268°,2 428°角为第三象限角.
课件5：1.1.1 任意角
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合：
S={β| β=α+k·360º，k∈Z}，
即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
⑷注意以下四点： ① k∈Z， k> 0，表示逆时针旋转； k< 0，表示顺时针旋转.
②是任意角. ③k·360º与之间是“+”号，如角k·360º－30º，1.1.1 任意角
1.角的概念 初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形叫做角， 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的. 初中学过的角的范围是：0º至360º. 然而生活中有很多实例的角会不在该范围，例如： 体操运动员转体720º（即“转体2周”），跳水运动员 向内、向外转体1080º（即“转体3周”）. 这些例子中有的角不仅不在范围0º至360º内 ，而且方向 也各不相同.
例2 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在 －360º~720º之间的角写出来. (1)60º；(2)－21º；(3)363º14′.
解：(1)S={β| β=60º+k·360º，k∈Z}， S中在－360º～720º间的角包括： 0×360º+60º=60º； －1×360º+60º=－300º； 1×360º+60º=420º．
成(－30º)+k·360º. ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定 相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整 数倍.
例1 在0º~360º范围内，找出与下列各角终边相同的角， 并判断它是哪个象限的角. (1)－120º；(2)640º.
解：⑴∵－120º=240º+（-1）×360º， ∴－120º的角与240º的角终边相同， ∴它是第三象限角． ⑵ ∵640º=280º+1×360º， ∴640º的角与280º的角终边相同， ∴它是第四象限角．
S={β| β=α+k·360º，k∈Z}，
即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
⑷注意以下四点： ① k∈Z， k> 0，表示逆时针旋转； k< 0，表示顺时针旋转.
②是任意角. ③k·360º与之间是“+”号，如角k·360º－30º，1.1.1 任意角
1.角的概念 初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形叫做角， 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的. 初中学过的角的范围是：0º至360º. 然而生活中有很多实例的角会不在该范围，例如： 体操运动员转体720º（即“转体2周”），跳水运动员 向内、向外转体1080º（即“转体3周”）. 这些例子中有的角不仅不在范围0º至360º内 ，而且方向 也各不相同.
例2 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在 －360º~720º之间的角写出来. (1)60º；(2)－21º；(3)363º14′.
解：(1)S={β| β=60º+k·360º，k∈Z}， S中在－360º～720º间的角包括： 0×360º+60º=60º； －1×360º+60º=－300º； 1×360º+60º=420º．
成(－30º)+k·360º. ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定 相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整 数倍.
例1 在0º~360º范围内，找出与下列各角终边相同的角， 并判断它是哪个象限的角. (1)－120º；(2)640º.
解：⑴∵－120º=240º+（-1）×360º， ∴－120º的角与240º的角终边相同， ∴它是第三象限角． ⑵ ∵640º=280º+1×360º， ∴640º的角与280º的角终边相同， ∴它是第四象限角．
1.1.1 任意角 课件
六、终边相同的角的集合 y
-330° 390°
30°
o
30°=30°+0x360° 390° =30°+360°=30° +1x360° -330° =30° -360°=30° -1x360° …, …,
与30°终边相同的角的一般形式为30° ＋K· 360° ，K ∈ Z
x
与 终边相同的角的一般形式为： ＋K · 360° ，K ∈ Z
三、角的分类 逆时针 定义：
任 意 角
顺时针
正角：按逆时针方向旋转形成的角； 负角：按顺时针方向旋转形成的角； 零角：射线不作旋转时形成的角.
记法：角 或 ，可简记为 .
注意：
1.角的正负由旋转方向决定；
2.角可以任意大小，绝对值大小
由旋转次数及终边位置决定.
四、象限角的定义
终边
注意:（1）K ∈ Z；
（2） 是任意角； （3）K·360°与 之间是“+”号，如K·360°-30°, 应看成K·360°+ （-30°）； （4）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定 相同，终边相同的角有无 数多个，它们相差360°的 整数倍.
例2
写出终边落在y轴上的角的集合.
+K 360° 90° · y
顶 点 边
边
二、角的定义
新的定义：平面内一条射线绕着端点从一个 位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.
B 终边
顶 点
A 始边
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
角的大小都在范围[0º,360º]内吗 ?
体操运动员转体720º，跳水运动员向内、 向外转体1080º. 经过1小时时针、分针、秒针转了多少 度？
课件11：1.1.1 任意角
③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规 定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负， 就好象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量） （1）旋转中心：作为角的顶点.
⑶ ∵－950º12’=－3×360º+129º48’， ∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同，它是第二象限角．
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º~720º 间的角写出来：
(1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.
解：(1) S={β| β=k·360º+60º(k∈Z) }, S中在－360º～720º间的角是 －1×360º+60º=－280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º．
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这 是 一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相 反的 量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了； （3）旋转量： 当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度的绝对值可大于 360º.于是就会出现720º， － 540º等角度.
答：(1)第一象限角； (2)第四象限角， (3)第二象限角， (4)第三象限角.
2、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边在（ A ） A x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上
3、终边与坐标轴重合的角的集合是（ C ） A {β|β=k·360º(k∈Z) } B {β|β=k·180º(k∈Z) } C {β|β=k·90º(k∈Z) } D {β|β=k·180º+90º(k∈Z) }
1.1.1 任意角 课件
因此，需要对角的概念进行推广.
1. 角的概念的推广
“旋转”形成角
终边
如图：一条射线的端点O， B
它从起始位置OA按逆时
针方向旋转到终止位置
OB，形成了一个角α．
O 叫做角α的顶点， o 顶点
A
OA叫做角α的始边，
OB叫做角α的终边.
始边
我们规定： 逆时针 顺时针
未旋转
正角 负角 零角
角的记法：在不引起混淆的前提下，“角α” 或“∠α”可以简记成“α”.
如图: α=210°, β=－150°, γ =660°.
2100
-1500
6600
手表快了1.5小时，为了将它校准：
方案一：将分针旋转 360+180 = 540° 方案二：将分针旋转 10*(-360)+(-180 ) = -3780°
2．象限角
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标
系中来讨论角。
45-2×180= -315，45-1×180= -135，
45+0×180= 45， 45+1×180= 225，
45+2×180= 405， 45+3×180= 585.
正角 负角 零角
象限角
终边相同的 角的表示
P5 练习 1.2.3.4.5
谢谢大家！
（3）结论：与30终边相同的角可以表示为： {β| β= 30 +k·360º, k∈Z} ， 即30与整数个周角的和.
推广至一般性结论：
所有与终边相同的角,连同在内,可以构成 一个集合：S={β| β=α+k·360º, k∈Z}
即任何一个与角终边相同的角，都可以表 示成角与整数个周角的和.
1. 角的概念的推广
“旋转”形成角
终边
如图：一条射线的端点O， B
它从起始位置OA按逆时
针方向旋转到终止位置
OB，形成了一个角α．
O 叫做角α的顶点， o 顶点
A
OA叫做角α的始边，
OB叫做角α的终边.
始边
我们规定： 逆时针 顺时针
未旋转
正角 负角 零角
角的记法：在不引起混淆的前提下，“角α” 或“∠α”可以简记成“α”.
如图: α=210°, β=－150°, γ =660°.
2100
-1500
6600
手表快了1.5小时，为了将它校准：
方案一：将分针旋转 360+180 = 540° 方案二：将分针旋转 10*(-360)+(-180 ) = -3780°
2．象限角
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标
系中来讨论角。
45-2×180= -315，45-1×180= -135，
45+0×180= 45， 45+1×180= 225，
45+2×180= 405， 45+3×180= 585.
正角 负角 零角
象限角
终边相同的 角的表示
P5 练习 1.2.3.4.5
谢谢大家！
（3）结论：与30终边相同的角可以表示为： {β| β= 30 +k·360º, k∈Z} ， 即30与整数个周角的和.
推广至一般性结论：
所有与终边相同的角,连同在内,可以构成 一个集合：S={β| β=α+k·360º, k∈Z}
即任何一个与角终边相同的角，都可以表 示成角与整数个周角的和.
1.1.1 任意角 精品课件
第一章 三角函数
§1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角
本节知识目录
明目标、知重点
任
填要点、记疑点
意
角
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
1.1.1
探究点一 角的概念的推广 探究点二 象限角与终边落在坐标轴上的角 探究点三 终边相同的角
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
明目标、知重点
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点一 ：角的概念的推广
1.1.1
思考 3 如图已知角 α＝120°，根据角的定义，则 β、－α、－β、γ 分别等 于多少度？
答 －240°；－120°；240°；480°.
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
1.1.1
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点三 ：终边相同的角
1.1.1
思考 1 在同一直角坐标系中作出 390°，－330°，30°的角，并观察这三个 角终边之间的关系？ 角的大小关系？
答 终边相同．相差 360°的整数倍．
明目标、知重点
填要点、记疑点
到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类
类型 正角 负角
零角
定义
图示
按 逆时针方向旋转 形成的角
按 顺时针方向旋转 形成的角
§1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角
本节知识目录
明目标、知重点
任
填要点、记疑点
意
角
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
1.1.1
探究点一 角的概念的推广 探究点二 象限角与终边落在坐标轴上的角 探究点三 终边相同的角
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
明目标、知重点
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点一 ：角的概念的推广
1.1.1
思考 3 如图已知角 α＝120°，根据角的定义，则 β、－α、－β、γ 分别等 于多少度？
答 －240°；－120°；240°；480°.
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
1.1.1
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点三 ：终边相同的角
1.1.1
思考 1 在同一直角坐标系中作出 390°，－330°，30°的角，并观察这三个 角终边之间的关系？ 角的大小关系？
答 终边相同．相差 360°的整数倍．
明目标、知重点
填要点、记疑点
到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类
类型 正角 负角
零角
定义
图示
按 逆时针方向旋转 形成的角
按 顺时针方向旋转 形成的角
1.1.1任意角优秀课件
终边相同的角 所有与 终边相同的角,连同 在内都可以写
成 k 3600(k 是整数)的形式 .
| k 360, k Z
注意以下四点：
(1) k Z
(2) 是任意角；
(3) k 3600 与之间是“+”号， 如k 3600 -30°，应看成k 3600 +(-30°)
思考：锐角与第一象限的角是什么关系？ 钝角与第二象限的角是什么关系？ 直角与轴线角是什么关系？
锐角一定是第一象限的角，第一象限角不 一定是锐角. 钝角一定是第二象限的角，第二象限角不 一定是钝角.
直角一定是轴线角，轴线角不一定是直角.
思考：第二象限的角一定比第一象限 的角大吗？
象限角只能反映角的终边所在象限， 不能反映角的大小.
终边在坐标轴上角的取值
900+K*3600 y
1800 +K*3600
x 00 +K*3600 o 或3600＋K*3600
2700 +K*3600
思考：如何表示象限角？
象限角的表示:
1).第一象限角 0 90
S
| k 360 k 360 90 ,
kZ
2).第二象限角 90 180
•思考：一个角的终边确定，其角度可否确 定下来？
在同一个坐标系中画出下面一组角. 30°，-330°，390°
y
这些角的终边相同
390 30 1360
o -3300
390°
30º x
330 30 360 30 (1)360
归纳：（1）与 30 角终边相同的所有角记为 ，
如何表示成含有 30角的表达式？ 数量上： 30 k 360 , k Z
练习：课本5页 4（2）（3）
1.1.1任意角 课件
1800 +Kx360
0
x
00 +Kx3600 O
或3600＋KX3600
2700 +Kx3600
思考：如果终边落在x轴上，角应该如何
表示?
12
y
90
0 x
180
O
270
终边落在x轴上角的集合是 180 k, k Z
终边落在y轴上角的集合是 =90+180 k, k Z
终边落在坐标轴上角的集合是 =90 k, k Z
13
象限角的表示法
第一象限角 第二象限角
{x | k 360o x k 360o 90o,k Z}
{x | k 360o 90o x k 360o 180o,k Z}
第三象限角 {x | k 360o 180o x k 360o 270o,k Z}
1.1.1 任意角
1
现实中其它角
体操上有直体后空翻转体 720o的高难度动作,直体前 空翻转体360o接直体前空翻 转体540o,俄式挺身转体 1080o,“程菲跳”
2
生活中很多实例会不在该范围： 跳水运动员向内、向外转体两周半; 经过1小时，秒针、分针各转了多少度
这些例子不仅不在范围[0º,360º) 而且有方向，有必要将角的概念 推广到任意角，
第四象限角 {x | k 360o 270o x k 360o 360o,k Z}
14
小结：
正角：射线按逆时针方向旋
1.任意角
转形成的角 负角：射线按顺时针方向
的概念 旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
1)置角的顶点于原点 2.象限角 2)始边重合于X轴的非负半轴
【高中数学必修一ppt课件】1.1.1任意角
8
例1 在0°～360°范围内，找出与 －950°12′角终边相同的角，并判定 它是第几象限角.
例2 求与3900°终边相同的最小正 角和最大负角.
2021/6/18
9
思考1：终边在x轴正半轴、y轴负半 轴上的角分别如何表示？
思考2：终边在x轴、直线y=x上的角 的集合分别如何表示？并把S中适合 不等式-360°≤ a ＜720°的元素写 出来.
三角函数
2021/6/18
1
1.角的定义
角是由平面内一条射线绕其端点从一 个位置旋转到另一个位置所组成的图形.
终边
B
α O
始边
A
顶点
2021/6/18
2
本课研究的内容——任意角
2021/6/18
3
规定： 按逆时针方向旋转形成的角叫做
正角，按顺时针方向旋转形成的角叫 做负角．
如果一条射线没有作任何旋转， 则称它形成了一个零角.
2021/6/18
10
思考3：第一、二、三、四象限的角 的集合分别如何表示？
思考4：如果α是第二象限的角，那么 2α、α/2分别是第几象限的角？
2021/6/18
11
小结
你知道角是如何推广的吗? 象限角是如何定义的呢? 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?
2021/6/18
12问题Biblioteka 答?请用任意角的概念解释校正表的问 题和大家所举的例子
2021/6/18
4
能否以同一条射线为始边作出下列 角吗？
210 °， -150 °， -660 °
你能说说直角坐标系内讨论角的好
处吗？
y
2021/6/18
o
x
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0
【小结】 ：
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角 1.任意角 负角：射线按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角 （1）置角的顶点于原点 2.象限角 （2）始边重合于X轴的正半轴终边落在第几象
限就是第几象限角
3 . 终边与角a相同的角:
【作业】
1.P9习题1.1A组第1，2，3题。
2.（备选）写出终边在四个象限的角平分 线上的角的集合。
解：-950°12′=129 °48′－3×360°， 所以在0°~360°范围内，与 -950°12′角终边
相同的角是 129°48′，它是第二象限角。
练习3： 课本P5 第4题
例2 写出终边在y轴上的角的集合。
? 解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β| β=90°+k?360°， k∈Z} ={β| β=90 °+2k?180°,k∈Z} ={β| β=90 °+180° 的偶数倍}
B
正角
A A
负角
B
这样，我们就把角的概念推广到了 任意角。
【象限角】
y 第二象限角
0
【坐标轴上的角】
第一象限角
如果角的终边落在 了坐标轴上，就认 为这个角角α终不边属于任 何象限。
第四象限角
x0
α
角α始边
定义：我们使角的顶点与原点重合，角的
始边与X轴的非负半轴重合。那么，角的
第三象限角
终边在第几象限，我们就说这个角是第几 象限角。
第一章 三角函数
1.1.1任意角
【学习目标】：
? 1、掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握 “正角”“负角”“象限角”“终边相同的角” 的含义。
? 2、掌握所有与 α角终边相同的角 (包括α角)的表示 方法，能判断象限角 ,会书写终边相同角的集合； 掌握区间角的集合的书写。
? 3、体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的 概念；提高学生的推理能力；培养学生应用意识。
【复习回顾】： 1.角的定义是什么？ 2.角的范围是什么？
由一个顶点出发的两条射线所组成的图形。
锐角；钝角；直角；平角；周角；角的范围是 (0°，360°]
3.角的概念新的诠释：
角可以看成是平面内一条射线绕着端点 从一个位置旋转到另一个位置所成是怎样将它校准的？
S=S1∪S2 ={β| β=90 °+180° 的偶数倍} ∪{β| β=90 °+180° 的奇数倍} ={β| β=90 °+180° 的整数倍} ={β| β=90 °+K?180° ，K∈Z}
90°+k?360° y
0
x
270°+k?360°
练习4：写出终边在 x轴上的角的集合；终边在坐 标轴上的角的集合。
解：
S1={β| β=k?180°， k∈Z} S2={β| β=k?90°， k∈Z}
例3、写出终边在直线 y=x上的角的集合 ,并把S中适 合不等式-360°≤ β<720 °的元素β写出来。
解:终边在直线y=x 上的角的集合为: S={β| β=45 °+k?360°,k∈Z} ∪{β| β=225 °+k?360°,k∈Z} ={β| β=45 °+k?180°,k∈Z} 当K=-2，-1，0，1，2，3时符合件-360°≤ β<720°
所以适合条件的元素为-315 °； -135 °； 45 °； 225 °； 405 °； 585 °.
练习5： P5 第5题
例4：角a是第四象限角，那么a/3是第几象限角？
解:因为a是第四象限角，即 270°+ k?360° <a<360°+ k?360° （k∈Z）。 所以 90°+ k?120° <a/3<120°+ k120°分 别令k=0,1,2,3……..易得： a/3为第一，三或四象限。
y
B
30°
0
x
390°
与30°终边相同的角的集合可以表述为
S=｛β| β=30°+k·360°,k∈Z ｝
一般地，所有与角a终边相同的角，连 同角a在内，可构成一个集合.即任一与角 a终边相同的角,都可以表示成角a与整数 个周角的和.
S=｛β| β= a+k·360°,k∈Z ｝
例1 .在0°～360°范围内，找出与-950°12′ 角终边相同的角，并判定它是第几象限角。
终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为
｛偶数｝∪｛奇数｝ ＝｛整数｝
S2={β| β=270 °+k?360°,k∈Z} ={β| β=90 °+180°+2K?180°,K∈Z}
={β| β=90 °+（2K+1）180° ，K∈Z} ={β| β=90 °+180°的奇数倍}
所以，终边落在ｙ轴上的角的集合为
如果你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时 间校准后，分针旋转了多少度？
顺时针:30°
逆时针:450°
12
康巴斯
9
3
Kangbasi
Made in china
6
【角的概念的推广】
逆时针旋转： 正角
顺时针旋转： 负角
不发生旋转：
零角 O
注意：
O
1.角的正负由旋转方向决定
2.角可以任意大小，绝对值大 小 由旋转次数及终边位置决定
3. 若A={β|β=k?360°,k∈Z}；
B={β|β=k?180°,k∈Z}；
C={β|β=k?90°,k∈Z}则A，B，C的
关系为（
）。
平面直角坐标系
练习1：锐角、钝角分别是第几象限角？ 第一象限角一定是锐角吗？ 第四象限角一定是负角吗？
练习2：作出下列各角，并指出它们是第几象限角。 ⑴420°⑵-75°⑶-32°⑷-392°⑸328°⑹-752°
【探究】在直角坐标系中 ,给定一个角 ,就有唯一
的一条终边与之对应 .反之，对于直角坐标中任意 一条射线OB,以它为终边的角是否唯一 ?那么终边 相同的角在大小上有什么关系 ?
【小结】 ：
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角 1.任意角 负角：射线按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角 （1）置角的顶点于原点 2.象限角 （2）始边重合于X轴的正半轴终边落在第几象
限就是第几象限角
3 . 终边与角a相同的角:
【作业】
1.P9习题1.1A组第1，2，3题。
2.（备选）写出终边在四个象限的角平分 线上的角的集合。
解：-950°12′=129 °48′－3×360°， 所以在0°~360°范围内，与 -950°12′角终边
相同的角是 129°48′，它是第二象限角。
练习3： 课本P5 第4题
例2 写出终边在y轴上的角的集合。
? 解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β| β=90°+k?360°， k∈Z} ={β| β=90 °+2k?180°,k∈Z} ={β| β=90 °+180° 的偶数倍}
B
正角
A A
负角
B
这样，我们就把角的概念推广到了 任意角。
【象限角】
y 第二象限角
0
【坐标轴上的角】
第一象限角
如果角的终边落在 了坐标轴上，就认 为这个角角α终不边属于任 何象限。
第四象限角
x0
α
角α始边
定义：我们使角的顶点与原点重合，角的
始边与X轴的非负半轴重合。那么，角的
第三象限角
终边在第几象限，我们就说这个角是第几 象限角。
第一章 三角函数
1.1.1任意角
【学习目标】：
? 1、掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握 “正角”“负角”“象限角”“终边相同的角” 的含义。
? 2、掌握所有与 α角终边相同的角 (包括α角)的表示 方法，能判断象限角 ,会书写终边相同角的集合； 掌握区间角的集合的书写。
? 3、体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的 概念；提高学生的推理能力；培养学生应用意识。
【复习回顾】： 1.角的定义是什么？ 2.角的范围是什么？
由一个顶点出发的两条射线所组成的图形。
锐角；钝角；直角；平角；周角；角的范围是 (0°，360°]
3.角的概念新的诠释：
角可以看成是平面内一条射线绕着端点 从一个位置旋转到另一个位置所成是怎样将它校准的？
S=S1∪S2 ={β| β=90 °+180° 的偶数倍} ∪{β| β=90 °+180° 的奇数倍} ={β| β=90 °+180° 的整数倍} ={β| β=90 °+K?180° ，K∈Z}
90°+k?360° y
0
x
270°+k?360°
练习4：写出终边在 x轴上的角的集合；终边在坐 标轴上的角的集合。
解：
S1={β| β=k?180°， k∈Z} S2={β| β=k?90°， k∈Z}
例3、写出终边在直线 y=x上的角的集合 ,并把S中适 合不等式-360°≤ β<720 °的元素β写出来。
解:终边在直线y=x 上的角的集合为: S={β| β=45 °+k?360°,k∈Z} ∪{β| β=225 °+k?360°,k∈Z} ={β| β=45 °+k?180°,k∈Z} 当K=-2，-1，0，1，2，3时符合件-360°≤ β<720°
所以适合条件的元素为-315 °； -135 °； 45 °； 225 °； 405 °； 585 °.
练习5： P5 第5题
例4：角a是第四象限角，那么a/3是第几象限角？
解:因为a是第四象限角，即 270°+ k?360° <a<360°+ k?360° （k∈Z）。 所以 90°+ k?120° <a/3<120°+ k120°分 别令k=0,1,2,3……..易得： a/3为第一，三或四象限。
y
B
30°
0
x
390°
与30°终边相同的角的集合可以表述为
S=｛β| β=30°+k·360°,k∈Z ｝
一般地，所有与角a终边相同的角，连 同角a在内，可构成一个集合.即任一与角 a终边相同的角,都可以表示成角a与整数 个周角的和.
S=｛β| β= a+k·360°,k∈Z ｝
例1 .在0°～360°范围内，找出与-950°12′ 角终边相同的角，并判定它是第几象限角。
终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为
｛偶数｝∪｛奇数｝ ＝｛整数｝
S2={β| β=270 °+k?360°,k∈Z} ={β| β=90 °+180°+2K?180°,K∈Z}
={β| β=90 °+（2K+1）180° ，K∈Z} ={β| β=90 °+180°的奇数倍}
所以，终边落在ｙ轴上的角的集合为
如果你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时 间校准后，分针旋转了多少度？
顺时针:30°
逆时针:450°
12
康巴斯
9
3
Kangbasi
Made in china
6
【角的概念的推广】
逆时针旋转： 正角
顺时针旋转： 负角
不发生旋转：
零角 O
注意：
O
1.角的正负由旋转方向决定
2.角可以任意大小，绝对值大 小 由旋转次数及终边位置决定
3. 若A={β|β=k?360°,k∈Z}；
B={β|β=k?180°,k∈Z}；
C={β|β=k?90°,k∈Z}则A，B，C的
关系为（
）。
平面直角坐标系
练习1：锐角、钝角分别是第几象限角？ 第一象限角一定是锐角吗？ 第四象限角一定是负角吗？
练习2：作出下列各角，并指出它们是第几象限角。 ⑴420°⑵-75°⑶-32°⑷-392°⑸328°⑹-752°
【探究】在直角坐标系中 ,给定一个角 ,就有唯一
的一条终边与之对应 .反之，对于直角坐标中任意 一条射线OB,以它为终边的角是否唯一 ?那么终边 相同的角在大小上有什么关系 ?