三角函数的概念_同角三角函数关系式与诱导公式
2024年高考数学---三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
例1 (2011课标,5,5分)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴
重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=( )
A.- 4
5
解析
B.- 3 C. 3 D. 4
5
5
5
解法一:由三角函数定义知,tan
θ=2,则cos
2θ=
cos2θ cos2θ
sin 2θ sin 2θ
1
=1
tan 2θ tan 2θ
(x,y),它与原点的距离为r,则sin α= y ,cos α= x ,tan α= y (x≠0).
r
r
x
2)三角函数值在各象限内的符号
记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 二、同角三角函数的基本关系 1.平方关系:sin2α+cos2α=1.
2.商数关系:tan
α=
sin α cos α
基础篇
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 一、三角函数的概念 1.象限角
第一象限角 的集合
第二象限角 的集合
第三象限角 的集合
第四象限角 的集合
|
2kπ
π 2
2kπ,
k
Z
α
|
2k
2
α
2k
,k
Z
α
|
2k
α
2k
3 2
,k
Z
α
|
2k
3 2
α
2k
2 , k
Z
2.终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是{β|β=k·360+α, k∈Z}或{β|β=α+2kπ,k∈Z}. 3.弧长与扇形面积公式 1)弧长公式:l=|α|r;
同角三角函数基本关系式、三角函数的诱导公式
一、知识概述1、同角三角函数的基本关系式同角三角函数基本关系可概括为平方关系，商数关系和倒数关系，如考虑sinα，cos α，tanα，cotα与secα，cscα六个函数，还可借助如下图表形象记忆：（1）对角线上两个函数的积为1（倒数关系）（2）任一顶点的函数等于与其相邻两个顶点的函数的积（商数关系）（3）阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方（平方关系）由此图可得出公式的变形形式或其他同角函数关系式．平方关系：sin2α＋cos2α=1，sec2α=1＋tan2α，csc2α=1＋cot2α.商数关系：倒数关系：tanα·cotα=1，sinα·cscα=1，cosα·secα=1.注：课本上只介绍了其中两个重要的关系式，事实上，掌握好其余的五个关系式能在有关解题中节省过程，带来方便.2、三角函数的诱导公式公式一：sin(α＋k·)=sinαcos(α＋k·)=cosαtan(α＋k·)=tanα其中k∈Z．公式二：sin(＋α)=－sinαcos(＋α)=－cosαtan(＋α)=tanα公式三：sin(－α)=－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanα公式四：sin(－α)=sinαcos(－α)=－cosαtan(－α)=－tanα总结：α＋k·2（k∈Z），－α，±α的三角函数，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
公式五：sin(－α)=cosαcos(－α)=sinα公式六：sin(＋α)=cosαcos(＋α)=－sinα总结：±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．二、重、难点知识归纳及讲解（一）利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即：例1、求值：.分析：运用诱导公式，对于cot，可先求出sin，cos，然后由商数关系可求出cot.解：原式例2、设的值为（）A．B．C．－1 D．1分析：利用诱导公式将条件等式和欲求式都化到α的同名三角函数上去，再利用同角三角函数基本关系式求解.解答：（二）同角三角函数关系式在求值、化简、证明中的应用.1、已知角α的某一三角函数值，可求出α的其余三角函数值.例3、已知tanα=2，求2sin2α－3sinαcosα－2cos2α的值.分析：由平方关系知1=sin2α＋cos2α，可把式子的分母看成sin2α＋cos2α，然后分子分母同除以cos2α，可得.解：2、利用同角三角函数关系式进行化简：化简结果的基本要求：（1）函数个数尽可能少；（2）次数尽可能低；（3）项数尽可能少；（4）尽可能地去掉根号；（5）尽可能地不含分母；（6）能求出值的要求出值来.例4、若sinαcosα<0，sinαtanα<0，化简：.分析：要想去掉根号，就应考虑将被开方数配成完全平方的形式.解：∵sinαcosα<0，sinαtanα<0.∴α是第二象限角.故是第一或第三象限角.原式若是第一象限角，此时1±sin>0，cos>0. 原式=若是第三象限角，此时1±sin>0，cos<0. 原式=.3、利用同角关系式进行三角恒等式的证明.证明三角恒等式的方法较多，既可由一边证向另一边，也可先证得另一个等式成立，从而得出要证的等式，还可用比较法证明等，关键是要依题而定。
三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结
三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结知识点精讲一、基本概念角的概念包括正角、负角和零角。
其中正角是逆时针旋转而成的角，负角是顺时针旋转而成的角，零角是射线没旋转而成的角。
角α的弧度范围为(−∞,+∞)。
角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，α就叫做第几象限角，终边在坐标轴上的角不是象限角，称之坐标角（或象限界角、轴线角等）。
弧度制度是半径为r的圆心角α所对弧长为l，则α=l/r（弧度或rad）。
与角α（弧度）终边相同的角的集合为β=α+2kπ，k∈Z，其意义在于α的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变。
弧度或rad可省略。
两制互化时，只需记忆π=180，1=π/180两个换算单位即可。
6）弧长公式：l=αr(α∈(0,2π])，扇形面积公式：S=1/2lr=αr2/2.底高=lr，如图4-1所示。
注：关于扇形面积公式的记忆,可以采用类似三角形面积公式的方法，把扇形的弧长类比成三角形的底，半径类比成三角形的高，则有S=l*r/2.二、任意角的三角函数1.定义已知角α终边上的任一点P(x,y)（非原点O），则P到原点O的距离r=OP=sqrt(x^2+y^2)。
sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。
此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广。
类比，对∠y，邻∠x，斜∠r，如图4-2所示。
2.单位圆中的三角函数线以α为第二象限角为例。
角α的终边交单位圆于P，PM垂直x轴于M，α的终边或其反向延长线交单位圆切线AT于T，如图4-3所示，由于取α为第二象限角，sinα=MP>0，cosα=OM<0，tanα=AT<0.3.三角函数象限符号与单调性在单位圆中r=sqrt(x^2+y^2)=1，则sinα=y，cosα=x，tanα=y/x。
在第一、二象限，三角函数值为正；在第三、四象限，sinα为负，cosα和tanα为正。
高三第一轮复习--同角三角函数的关系式及诱导公式
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开咯万丈光芒.东舌闭目凝神感受着万物,壹切都变得那么の清新整齐,没什么半分の紊乱否均.正自思绪纷飞之时,身后响起咯壹阵轻快の脚步声,东舌本能の回过头去长望.走来の否是别人,正是吐茂公.东舌淡然壹笑,转而问道:"吐军师,有什么事情吗？"吐茂公轻摇手中羽扇,掀起无数尘 埃飘散开来,在阳光の耀射之下格外の显眼,沉静如水地说道:"殿下,在下已经召集咯全部人在正堂集中,还望殿下无事の话速速前去."听咯吐茂公の话,东舌心中突然有种否好の预感,旋即问道:"军师,莫否是出咯什么事情？"吐茂公警觉地环扫四周,点咯点头,匆匆转身离去.从吐茂公の表 现,东舌便猜测出咯事情の重要性.也否多问什么,随着吐茂公壹起朝正堂走去..半响过后,钱塘王府正堂.东舌端坐在王座之上,台下文武按顺序摆开,已经颇有壹番******の样子.右侧武将之中走出壹人,只见身高七尺有余.身挂金甲,背披紫袍,长得却是有些异于常人.此人便是日行千里,神 驹子马灵,马灵早在半个月前就被东舌派出到各地搜罗情报,如今归来定是情况有变.马灵上前壹步,拱手说道:"殿下,末将在隋朝廷打听到咯壹个消息."东舌否假思索の问道:"什么消息,尽管说来便是.""北方罗艺军团全线崩溃.被其部下完颜阿骨打所杀,如今完颜阿骨打拥兵五万坐守幽州, 罗艺之子罗成报仇心切,领着七万兵力投降北方の神秘人,否过北方突降数百年否遇の大雪,怕是壹年半载否能作战."马灵将北方情况壹壹道来.东舌思酌着情报,用手抚着下颚の须绒,点咯点头说道:"那汤广有没什么什么动静？"马灵顿咯顿语气.旋即说道:"汤广派高颎带兵十五万出兵北方, 平定幽州之乱.并派出十万大军企图企图."马灵说到另外壹支大军之时,突然语气变得迟钝起来,好像有点难以启齿壹般.东舌眼
七 三角函数的概念及同角三角函数关系式与诱导公式
七 三角函数的概念及同角三角函数关系式与诱导公式知识要点：1．三角函数的概念（1）角的概念：角的定义，正角、负角和零角，象限角，轴线角，终边相同的角.（2）弧度制：弧度制的概念，弧度与角度的互换，弧长公式、扇形面积公式.（3）任意角的三角函数：三角函数的定义，三角函数的符号.2．同角三角函数的关系式：αααααcos sin tan ,1cos sin 22==+ 3．正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 θθπ→+2k任意角的三角函数→正角的三角函数→︒0~︒360角的三角函数→锐角的三角函数.基础题例：例1．（1）如果α是第三象限的角，那么-α，2α的终边落在何处？（2）写出终边在直线x y 3=上的角的集合；（3）若角θ的终边与76π角的终边相同，求在[0，2π）内终边与3θ角的终边相同的角.例2已知一扇形的周长为C(C>0)，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积？并求出这个最大值.例3解答下列问题（1）若θ在第四象限，试判断)cos(sin )sin(cos θθ⋅的符号；（2）若0)tan(sin )tan(cos >⋅θθ，试指出θ所在象限，并用图形表示出2θ所取值的范围.例4化简下列各式（1）)3tan()cos()tan()2sin(απαπαπαπ--+-（2）︒︒+︒-⋅︒+︒⋅︒1050tan 120tan )870cos(930cos 150sin 690sin例5已知11tan tan -=-αα，求下列各式的值：（1）ααααcos sin cos 3sin +-（2）2cos sin sin 2++ααα练习：1．已知1)21(2sin <θ，则θ所在的象限是 .2．已知角α的终边在直线x y 43-=上，则ααcos sin 2+的值是 .3．（08高考四川卷）设πα20<≤，若ααcos 3sin >，则α的取值范围是 .4．（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？5．若524cos ,53sin +-=+-=m m m m θθ（其中πθπ≤≤2），则m 的值等于 .6．已知),0( ,51cos sin πθθθ∈=+，求值：（1）θtan ； （2）θθcos sin -； （3）θθ33cos sin +7．（08高考浙江卷）若5sin 2cos -=+αα，则=αtan .七 三角函数的概念及同角三角函数关系式与诱导公式参考答案： 例1 （1）第二象限； 第一、二象限及y 轴的非负半轴（2）},3|{Z k k ∈+=ππαα （3）πππ2134,2120,72 例2 θ=2， 162c 例3（1） + （2）第一、三象限 例4 （1）-tan α (2)23例5 （1）-513)2(,35练习1．第一、三象限2．52或 - 523．)34,3(ππ４．（１）21（２）θ＝２，１００５．ｍ＝０（舍），ｍ＝８６．（１）12537)3(,57)2(,34-７．２。
高考数学理科 复习 第四章三角函数 §4.1三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式
A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b
(2)(2014成都一模)已知sin(π-α)=log8
1 4
,且α∈
2
,
0
,则tan(2π-α)的值为
.
25
答案 (1)C (2) 5
解析 (1)∵b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,∴b>a.
∵c=tan
35°=
、 R、
α α≠ 2 +kπ,k∈Z .
5.三角函数线 设角α的终边与单位圆交于点P,过点P作PM⊥x轴于点M,则有向线段MP 叫做角α的正弦线,有向线段 OM 叫做 角α的余弦线;过点A(1,0)作单位圆的切线交 角α的终边或其反向延长线于点T,则有向线 段AT叫做角α的 正切 线.
6.三角函数的符号规律 第一象限全“+”,第二象限正弦“+”,第三象限正切“+”,第四象限余 弦“+”.简称:一全、二正、三切、四余. 7.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系: sin2α+cos2α=1 ;
(2)商数关系: 8.诱导公式
sin α =tan α .
cos α
组数 角
正弦
一 2kπ+α (k∈Z)
sin α
余弦
cos α
二 π+α
-sin α -cosα
三 -α
-sin α cos α
正切
tan α
tan α -tan α
四 π-α
sin α -cos α -tan α
五
六
-α
+α
α的值为
(
三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结
三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结知识点精讲一、基本概念（1）任意角---------⎧⎪⎨⎪⎩正角逆时针旋转而成的角；负角顺时针旋转而成的角；零角射线没旋转而成的角.角α（弧度）(,)∈-∞+∞.（2）角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，α就叫做第几象限角，终边在坐标轴上的角不是象限角，称之坐标角（或象限界角、轴线角等） （3）弧度制度：半径为r 的圆心角α所对弧长为l ，则lrα=（弧度或rad ）. （4）与角α（弧度）终边相同的角的集合为{}2,k k Z ββαπ=+∈，其意义在于α的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变. 注：弧度或rad 可省略（5）两制互化：一周角=036022rrππ==（弧度），即0180π=. 1（弧度）00018057.35718π⎛⎫'=≈= ⎪⎝⎭故在进行两制互化时，只需记忆0180π=，01180π=两个换算单位即可：如：005518015066π=⨯=；036361805ππ=⨯=. （6）弧长公式：l r α=((0,2])απ∈， 扇形面积公式：21122S lr r α==. 注：关于扇形面积公式的记忆,可以采用类似三角形面积公式的方法，把扇形的弧长类比成三角形的底，半径类比成三角形的高，则有11=22S lr =底高，如图4-1所示.二、任意角的三角函数1.定义已知角α终边上的任一点(,)P x y （非原点O ），则P到原点O的距离0r OP ==>.sin ,cos ,tan y x y r r xααα===.此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对y ↔，邻x ↔，斜r ↔， 如图4-2所示.2.单位圆中的三角函数线以α为第二象限角为例.角α的终边交单位圆于P ，PM 垂直x 轴于M ， α的终边或其反向延长线交单位圆切线AT 于T ，如图4-3所示，由于取α为第二象限角，sin α=MP>0, cos α=OM<0, tan α=AT<0.3.三角函数象限符号与单调性在单位圆中1r ==，则：（1）sin yy rα==，即α终边与单位圆交点的纵坐标y 即为α的正弦值sin α. 如图4-4（a ）所示，sin α的特征为：01101111.⎧⎪-⎪⎨⎪⎪--⎩上正、下负；上（90），下（270），左、右都为；按逆时针方向旋转，向上（一、四）象限为增，从增到，向下（二，三象限）为减，从减到 （2）cos xx rα==，即α终边与单位圆交点的横坐标x 即为的余弦值cos α. 如图4-4（b ）所示，cos α的特征为：01101111.⎧⎪-⎪⎨⎪⎪--⎩右正、左负；右（0），左（180），上、下都为；按逆时针方向旋转，向右（三、四）象限为增，从增到，向左（一，三象限）为减，从减到 （3）tan yxα=.如图4-4（c ）所示，tan α的特征为： 0.⎧⎪⎨⎪⎩一、三正，二、四负；上、下是（即不存在），左、右都是；逆时针方向旋转，各象限全增三、同角三角函数的基本关系、诱导公式 1. 同角三角函数的基本关系 平方关系：22sin cos 1αα+= 商数关系：sin tan cos ααα=2. 诱导公式（1）sin ()sin()sin ()n n n ααπα⎧+=⎨-⎩为偶数；为奇数cos ()cos()cos ()n n n ααπα⎧+=⎨-⎩为偶数；为奇数tan()tan ()n n απα+=为整数.（2）奇偶性.()()()sin -=-sin cos -=cos tan -=-tan αααααα，，.（3）1sin -=cos cos -=sin tan -=222tan πππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， 奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n πα⋅±；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n πα⋅±所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可. 例如（1）sin +2πα⎛⎫⎪⎝⎭,因为+22ππαπ<<，所以sin +>02πα⎛⎫⎪⎝⎭，即sin +=cos 2παα⎛⎫⎪⎝⎭， （2）()sin +πα，因为3+2ππαπ<<，所以()sin +<0πα，即()sin +=-cos παα， 简而言之即“奇变偶不变，符号看象限”.题型归纳及思路提示题型1终边相同的角的集合的表示与区别 思路提示（1） 终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决.（2） 注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角.例4.1终边落在坐标轴上的角的集合为（ ） A. {},k k Zααπ=∈ B. ,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭C. ,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D.,2k k N παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭分析 表示终边相同的角的集合，必有k Z ∈，而不是k N ∈.解析 解法 一：排除法.终边在坐标轴上的角有4种可能，x 轴正、负半轴，y 轴正、负半轴，取1,2,3,4,,k =可知只有选项B占有4条半轴，故选B. 解法二;推演法.终边在坐标轴上的角的集合为3113",2,,,,0,,,,2,",2222ππππππππ----可以看作双向等差数列，公差为2π，取初始角0α=，故0()2k k Z πα=+∈，故0()2k k Z πα=+∈⇒,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭故选B. 评注 终边在x 轴的角的集合，公差为π，取初始角0α=⇒{},k k Z ααπ=∈；终边在y 轴的角的集合，公差为π，取初始角2πα=⇒,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.例4.2 请表示终边落在图4-5中阴影部分的角的集合.分析 本题是关于区域角的表示问题，需要借助终边相同角的集合表示知识求解，只需要把握区域角初始角的范围和终边相同角的集合的公差的大小即可顺利求解.解析 （1）如图4-5（a ）所示阴影部分的角的集合表示为22,63k k k N ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；（2）如图4-5（b ）所示阴影部分的角的集合表示为222,63k k k N ππαπαπ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭； （3）如图4-5（c ）所示阴影部分的角的集合表示为21122,36k k k N ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭； （4）如图4-5（d ）所示阴影部分的角的集合表示为,63k k k N ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 评注 任一角α与其终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和，正确理解终边相同的角的集合中元素组成等差数列，公差为2π，即集合的周期概念，是解决本题的关键.变式1设集合M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A ．M ⊆N B ． N ⊆M C ．M ＝ND ．M ∩N ＝∅例4.3 下列命题中正确的是（ ）A. 第一象限角是锐角B. 第二象限角是钝角C.()0,απ∈，是第一、二象限角D. ,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，α是第四象限角，也叫负锐角 解析 第一象限角的集合为022,2k k k Z παπαπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭，锐角的集合是是其真子集（即当0k =时）故选项A 错；同理选项B 错；选项C 中(0,)2ππ∈，但2π不是象限角，选项C 也错，故选D. 题型2 等分角的象限问题 思路提示先从α的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）nα的象限分布图示. 例4.4 α 是第二象限角，2α是第 象限角解析 解法一：α与终边相同的角的集合公差为2π，该集合中每个月的一半组成的集合公差为π，取第二象限的一个初始集合,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得2α的初始集合,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，对比集合以π公差旋转得2α的分布，如图4-6所示，得2α是第一、三象限角.解法二：如图4-7所示，α是第二象限角，2α是第一、三象限角，又若α是第四象限角，2α是第二、四象限角.解法三：取α=0120，000012036060,2402α+⇒=，即2α是第一、三象限角.评注 对于2α是第几象限角的问题，做选填题以记住图示最为便捷，解法三是一种只要答案的特值方法；解法一能准确找出2α的分布. 对于3α是第几象限角可使用象限分布图示的规律，如图4-8所示，那么对于“nα是第几象限角”的象限分布图示规律是什么？只需要把第一个象限平均分成n 部分，并从x 轴正向起，逆时针依次标注1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4…..，则数字（α终边所在象限）所在象限即为nα终边所在象限.例如：3α的象限分布图示如图4-8所示，若α为第一象限角，则3α为第一、二、三象限角.变式1 若α是第二象限角，则3α是第 象限角；若α是第二象限角，则3α的取值范围是 题型3 弧长与扇形面积公式的计算 思路提示（1） 熟记弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2（弧度制(0,2]απ∈）（2） 掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法例4.5 有一周长为4的扇形，求该扇形面积的最大值和相应圆心角的大小. 解析：设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α（弧度），扇形面积S.依题意0024r l r l >⎧⎪>⎨⎪+=⎩，12S lr =，则12S lr =11(42)(42)224r r r r =-=-32π 2π4π O yx 54π 图 4-62 3 1 4 x 4 13 2 y图 4-7O21422()142r r -+≤=，（当且仅当422r r -=时，即1r =时取“=”，此时2l =）故扇形的面积最大值为1，此时lrα==2（弧度）.评注本题亦可解作21112212442l r S lr l r +⎛⎫==⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当22l r ==，即2l =，1r =时“=”成立，此时lr α==2.本题可改为扇形面积为1，求周长的最小值，2C l r =+≥且112lr =得2lr =，故4C ≥（当且仅当22l r ==时“=”成立），扇形周长的最小值为4.变式1 扇形OAB 的圆心角∠OAB=1（弧度），则AB =（） A. 1sin2 B. 6π C. 11sin 2D. 21sin 2变式2 扇形OAB ，其圆心角∠OAB=0120，其面积与其内切圆面积之比为 题型4 三角函数定义题 思路提示（1） 任意角的正弦、余弦、正切的定义； （2） 诱导公式；（3） 理解并掌握同角三角函数基本关系.例4.6 角α终边上一点(2sin 5,2cos5)P -，(0,2)απ∈，则α=（ ） A. 52π-B. 35π-C. 5D.5+2π 解析 解法一：排队法. 005557.3286.5≈⨯=，是第四象限角，2sin50x =<，2cos50y =-<，2r ==，α是第三象限角.选项C 中，5是第四象限角，选项D 中，5+2π是第一象限角，故排除C 、D ；选项B 中， ()cos cos 35cos5απ=-=-，与cos sin 5xrα==矛盾，排除B ，故选A.解法二：推演法.由解法一，35,2πθαπθ'=+=+，,(0,)2πθθ'∈（这样设的原因是cos sin5α=），cos cos()απθ'=+=cos θ'-，3sin 5sin()cos 2πθθ=+=-⇒cos cos θθ'-=-⇒cos cos θθ'=，,(0,)2πθθ'∈⇒352πθθ'==-， ⇒35522ππαπ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭故选A.变式1 已知角α终边上一点(2sin 2,2cos 2)P -，(0,2)απ∈，则α=（ ）A.2B.-2C.22π-D. 22π- 变式2 已知角α终边上一点22(2sin ,2cos )77P ππ-，则α=变式3 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ） A. 45-B. 35-C. 35D. 45题型5 三角函数线及其应用 思路提示正确作出单位圆中正弦、余弦、正切的三角函数线 一，利用三角函数线证明三角公式 例4.7 证明（1）()sin -=sin παα， （2）sin -=cos 2παα⎛⎫⎪⎝⎭（3）31tan =-2tan παα⎛⎫+⎪⎝⎭解析 （1）如图4-9所示，角-πα与α的终边关于y 轴对称，MP MP '=⇒()sin -=sin παα. （2）如图4-10所示，角-2πα与α的终边关于直线y x =对称.OM M P ''=⇒sin -=cos 2παα⎛⎫⎪⎝⎭（3） 如图4-11所示，.2311tan =k =--2tan tan OT πααα⎛⎫+=⎪⎝⎭评注 用单位圆中的三角函数线证明诱导公式是新课标的要求，必须掌握，重点在(),,2ππααα±-±.在（1）证明中易得()cos -=-cos παα，，相除得()tan -=-tan παα，，在（2）证明 中易得cos -=sin 2παα⎛⎫⎪⎝⎭，相除得1tan =2tan παα⎛⎫-⎪⎝⎭.角α与-πα的终边关于终边（即y 轴）对称，角-2πα与α的终边关于终边所在的直线y x =轴对称.一般地，角α,β的终边关于终边所在直线2αβ+轴对称二.利用三角函数线比较大小 例4.8 ,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，比较sin ,cos ,tan ααα的大小. 解析 如图4-12所示，,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，在单位圆中作出α的正弦线MP ，余弦线OM 和正切线AT ，显然有OM<MP<A T,故cos sin tan ααα<<.评注 由本例可看出，三角函数线可直观、形象地处理三角函数中的大小比较问题变式1 求证：（1）当角α的终边靠近y 轴时，cos sin αα<及tan 1α>； （2）当角α的终边靠近x 轴时，cos sin αα>及tan 1α<；变式2 （1）α为任意角，求证：cos sin 1αα+>； （2）0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，比较sin ,cos ,tan ααα的大小 变式3 比较大小 （1）sin 2,sin 4,sin 6 （2）cos 2,cos 4,cos6（3）tan 2,tan 4,tan 6 变式4 1sin tan ()tan 22ππαααα>>-<< ，则α∈（） A. ,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B. ,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 0,4π⎛⎫⎪⎝⎭D. ,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、利用三角函数线求解特殊三角方程例4.9 利用单位圆中的三角函数线求解下列三角方程： （1）1sin 22x =；（2）2cos 22x =；（3）tan 23x =.解析 （1）在单位圆中作为正弦为12的正弦线，如图4-13所示，得正弦为12的两条终边，即16πα=，256πα=，故226x k ππ=+或5226x k ππ=+，k Z ∈. 解得12x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈.（2）如图4-14所示14πα=，24πα=-，故224x k ππ=+或224x k ππ=-+，k Z ∈，解得8x k ππ=+或8x k ππ=-+，k Z ∈.（3）如图4-15所示，得13πα=，243πα=，公差为π，故23x k ππ=+，k Z ∈. 解得6x k ππ=+，k Z ∈.评注（1）sin 1α≤ ，cos 1α≤，tan x R ∈；（2）当1k <时，方程sin ,cos x k x k ==在[0,2)π有两解. 四、利用三角函数线求解特殊三角不等式例4.10利用单位圆，求使下列不等式成立 的角的集合. （1）1sin 2x ≤；（2）2cos 2x ≥；（3）tan 1x ≤.分析 这是一些较简单的三角函数不等式，在单位圆中，利用三角函数线作出满足不等式的角所在的区域，由此写出不等式的解集.解析 （1）如图4-16所示，作出正弦线等于12的角：5,66ππ，根据正弦上正下负，得在图4-16中的阴影区域内的每一个角均满足1sin 2x ≤，因此所求的角x 的集合为 51322,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.（2）如图4-17所示，由余弦左负右正得满足2cos 2x ≥的角的集合为 22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. （3）如图4-18所示，在[0,2]π内，作出正切线等于1的角5,44ππ：则在如图4-18所示的阴影区域内（不含y 轴）的每一个角均满足tan 1x ≤，因此所求的角的集合为,24x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.评注 解简单的三角不等式，可借助于单位圆中的三角函数线，先在[0,2]π内找出符合条件的角，再利用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合，借助关于单位圆中的三角函数线，还可以比较三角函数值的大小.例4.11利用单位圆解下列三角不等式： （1）2sin 10α+>； （2）23cos 30α+≤； （3）sin cos αα>；（4）若02απ≤<，sin 3cos αα>，则则α∈（） A. ,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B. ,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C. 4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D. 3,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭解析 （1）由题意1sin 2α>-，令1sin 2α=-，如图4-19所示，在单位圆中标出第三、四象限角的两条终边，这两条终边将单位圆分成上、下两部分，根据正弦上正下负，取α终边上面的部分，按逆时针从小到大标出16πα=-，2766ππαπ=+=，故不等式的解集为 722,66k k k Z ππαπαπ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.（2）如图4-20所示，3cos α≤标出3cos α=的角在单位圆中第二、三象限的两条终边，这两条终边将单位圆分成左，右两部分，根据余弦左负右正，取α终边在左侧的部分，按逆时针从小到大标出1566ππαπ=-=，2766ππαπ=+=，.故不等式的解集为 5722,66k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. （3）sin cos αα>y x y x r r ⇒>⇒>.如图4-21所示，在单位圆中作出y x =所对的两个角14πα=，254πα=.这两个角的终边将单位圆分成上、下两部分.在上面的部分取2πα=，sin cos 22ππ>成立 ，故不等式的解集为522,44k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 注 本题也可通过线性规划的知识直接判断出表示y x >的平面区域为如图4-21所示的阴影部分.（4）sin 3cos αα>，得33y x y x r r>⇒>，如图4-22所示，在单位圆中标出3y x =所对的角13πα=，243πα=.，.这两个角的终边把单位圆分为上、下两部分，因为02απ≤<，在上面的部分取2πα=，sin 3cos αα>成立 ，所以取α终边上面的部分，故不等式的解集为433ππαα⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭，故选C.评注 三角函数线的应用(1)证明 三角公式；(2)比较大小；(3)解三角方程；(4)求解三角不等式. 变式1 已知函数()3cos ,,()1f x x x x R f x =-∈≥若,则x 的取值范围（） A. ,3xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B. 22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ C. 5,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭D. 522,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭题型6 象限符号与坐标轴角的三角函数值思路提示正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；. 余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；. 正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负.例4.12（1）若()0,2απ∈，sin cos 0αα<，则α的取值范围是 ； （2）3tan 0sincos sincos 222ππππ+---= ； 解析：（1）由sin cos 0αα<得sin 0cos 0αα>⎧⎨>⎩或sin 0cos 0αα<⎧⎨<⎩，得α为第二象限角或第四象限角⇒α的取值范围是3,,222ππππ⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）01(1)(1)12+-----=.变式1 sin 0α>是α为第一、二象限的（ ）A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 变式2 ，43sin,cos 2525αα==-,2α是第 象限角，α是第 象限角. 变式3若sin cos 1=-，则α的取值范围是 .变式4 已知tan cos 0αα<，则α是第（ ）象限角.A.一或三B. 二或三C.三或四D.一或四 变式5 若α为第二象限角，则tan2α的符号为变式6 若点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第 象限角变式7 函数cos sin tan sin tan x x xy x cox x=++的值域为 . 题型7 同角求值-----条件中出现的角和结论中出现的角是相同的思路提示（1） 若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值.（2） 若无象限条件，一般“弦化切”. 例4.13 （1）已知3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 3α=-，cos α= , tan α=（2）已知tan α=2， 1. 3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,sin α= , cos α= 2.2sin cos 3sin 4cos αααα-+= ,3. 22sin 2sin cos 3cos αααα--= , （3）已知2sin cos αα-= 1. sin cos tan ααα+= ； 2. sin cos αα-= . 解析 （1）因为3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,cos 0,tan 0αα><,故cos α==.sin tan cos ααα==（2）1.因为3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0,cos 0αα<<，22sin tan cos sin cos 1ααααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩， 得22sin 2cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，得21cos 5α=.cos 5α=-,sin 5α=-2.无象限条件，弦化切.2sin cos 3sin 4cos αααα-+=2tan 122133tan 432410αα-⨯-==+⨯+3. 22sin 2sin cos 3cos αααα--=2222sin 2sin cos 3cos sin cos αααααα--=+22tan 2tan 3tan 1ααα--=+35- （3）无象限条件，弦化切.，两边平方，得()()2222sin cos 5sin cos αααα-=+222sin 4sin cos 4cos (sin 2cos )0αααααα⇒++⇒+=sin 2cos 0αα⇒+=,tan 20α+=⇒tan 2α=-.1. sin cos tan ααα+=22sin cos tan sin cos ααααα+=+2tan 12tan tan 15ααα+=-+2. 2sin cos αα-=()αϕ+=可知当x α=时，2sin cos x x -取最小值.()2sin cos sin 2cos 0x x x ααα='-=+=.2sin cos sin 2cos 0αααα⎧-=⎪⎨+=⎪⎩⇒cos 5sin αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，sin cos αα-=5-. 评注 本题给出同角求值的几种基本题型..（1）及（2）中的1体现了有象限条件的任意角三角函数与锐角三角函数的本质联系（只多了一个象限符号）；（2）中的2体现了无象限条件弦化切的解题策略.（3）中无象限条件，2sin cos αα-=()αϕ+=表示函数2sin cos y x x =-在处取得极小值，导数0x y α='=，故有更简便做法：()2sin cos sin 2cos 0x x x ααα='-=+=.如已知sin cos αα-=()0,απ∈，则tan α= .答案为-1，与本题（3）同理可解.变式1 若tan α=2，则2212sin cos cos sin αααα+=-=（ ） A. 13 B.3 C. 13- D.-3变式2 当x θ=时，函数sin 2cos y αα=-取得最大值，则cos θ= ； 例4.14 已知1sin cos 5αα+=-时，,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则tan α=（ ）A. 34-B. 43-C. 34D.- 43解析 解法一：已知角的象限条件，将方程两边平方得112sin cos 25αα+=12sin cos 025αα⇒=-<，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，tan 0α<，排除C 和D.， sin 0,cos 01sin cos 05αααα<>⎧⎪⎨+=-<⎪⎩⇒sin cos ,αα>tan 1α>，故排除A ，故选B. 解法二：将方程两边平方得，()22221sin 2sin cos cos sin cos 25αααααα++=+ 2212sin 25sin cos 12cos 0αααα⇒++=212tan 25tan 120αα⇒++=43tan 34α⇒=--或由解法一知tan 1α>，得4tan 3α=-，故选B. 变式1 已知R α∈，sin 2cos αα+=，则tan 2α=（ ） A.43 B. 34 C. 34- D. 43- 变式2 已知3sin cos 8αα=，42ππα<<，则cos sin αα-=（ ）A. 12B. 12-C. 14D. 14-题型8 诱导求值与变形 思路提示（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与2π整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数. （2）通过2,,2πππ±±±等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数.（3）2,,2παβππ±=±±±等可利用诱导公式把,αβ的三角函数化例4.15 求下列各式的值.（1）0sin(3000)-； （2）41cos 3π⎛⎫-⎪⎝⎭； （3）51tan 4π⎛⎫-⎪⎝⎭解析 （1）0sin(3000)-=0sin(8360120)sin120-⨯+=-000sin(18060)sin 602=--=-=-；（2）41cos 3π⎛⎫-⎪⎝⎭=411cos cos 14cos 3332ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）5151tan tan tan(13)tan 14444πππππ⎛⎫-=-=--== ⎪⎝⎭. 评注 利用诱导公式化简或求值，可以参照口决“负角化正角，大角化小角，化为锐角，再计算比较”.变式1 若()cos 2-3πα=，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()sin -πα= ； 变式2 若3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，()3tan 74απ-=，则cos sin αα+=（ ） A. 15± B. 15- C.15 D. 75- 变式3 若cos-80°= k ,则tan 100°的值为（ ）A.B. D.变式4 已知1sin 64x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25sin sin ()63x x ππ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭= ； 最有效训练题A. 15± B. 15- C. 15 D. 75-2.已知点33(sin ,cos )44P ππ落在角θ的终边上，且[]0,2θπ∈，则θ的值为（ ）A. 4πB. 34πC. 54πD. 74π3.若角α的终边落在直线0x y +==（ ）A. 2B. 2-C. 1D. 0 4.若角A 是第二象限角，那么2A 和2A π-都不是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5.已知sin -=cos ,cos -=sin 22ππαααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，对于任意角α均成立.若(sin )cos 2f x x =，则(cos )f x =（ ）A. cos2x -B. cos2xC. sin 2x -D. sin 2x6.已知02x π-<<，1cos sin 5αα+=-，则sin cos 1αα-+=（ ） A. 25- B. 25 C. 15 D. 15-7.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若(4,)P y 是角θ终边上一点，且25sin 5θ=-，则y = .8.函数2lgsin 29y x x =+-的定义域为 .9.如图4-23所示，已知正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交BA 的延长线于1P ，然后以B 为圆心，1BP 长为半径画弧，交CB 的延长线于2P ，再以C 为圆心，2CP 长为半径画弧，交DC 的延长线于3P ，再以D 为圆心，3DP 长为半径画弧，交AD 的延长线于4P ，再以A 为圆心，4AP 长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是 ，画出第n 道弧时，这n 道弧的弧度之和为 .10.在平面直角坐标系xOy 中，将点3,1)A 绕点O 逆时针旋转090到点B ，那么点B 的坐标为 ；若直线OB 的倾斜角为α，则sin 2α的值为 . 11.一条弦的长度等于半径r ，求： （1）这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所围成的弓形的面积.12.已知001tan(720)3221tan(360)θθ++=+--. 求2221cos ()sin()cos()2sin ()cos (2)πθπθπθπθθπ⎡⎤-++-++⎣⎦--的值.。
§51三角函数的概念同角三角函数的基本关系及诱导公式
§51三角函数的概念同角三角函数的基本关系及诱导公式1.一个角的正弦，定义为该角的对边长度与斜边长度的比值。
2.一个角的余弦，定义为该角的临边长度与斜边长度的比值。
3.一个角的正切，定义为该角的对边长度与临边长度的比值。
4.一个角的余切，定义为该角的临边长度与对边长度的比值。
5.同角三角函数之间存在基本关系：正弦是余切的倒数，余弦是正切的倒数，正切是正弦的商，余切是余弦的商。
6.弧度制和角度制之间的转换关系：弧度制角度=弧度数×180°/π，角度制角度=角度/180°×π。
7.弧度制下的同角三角函数诱导公式：- 正弦的诱导公式：sin(x) = sin(x + 2kπ) = sin(-x) = -sin(x+ (2k + 1)π) (k∈Z)- 余弦的诱导公式：cos(x) = cos(x + 2kπ) = cos(-x) = cos(x + (2k + 1)π) (k∈Z)- 正切的诱导公式：tan(x) = tan(x + kπ) (k∈Z，但要注意除去x + (2k + 1)π/2，其中k∈Z)- 余切的诱导公式：cot(x) = cot(x + kπ)(k∈Z，但要注意除去x + kπ/2，其中k∈Z)8.角度制下的同角三角函数诱导公式：- 正弦的诱导公式：sin(x) = sin(x + 360°k) = sin(-x) = -sin(x + (360°k + 180°)) (k∈Z)- 余弦的诱导公式：cos(x) = cos(x + 360°k) = cos(-x) = cos(x + (360°k + 180°)) (k∈Z)- 正切的诱导公式：tan(x) = tan(x + 180°k) (k∈Z，但要注意除去x + (360°k + 90°)，其中k∈Z)- 余切的诱导公式：cot(x) = cot(x + 180°k) (k∈Z，但要注意除去x + 180°k，其中k∈Z)9. 三角函数的周期性：sin(x)和cos(x)的周期为2π（或360°），tan(x)和cot(x)的周期为π（或180°）。
高考复习数学B版考点考法讲解：三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式
三角函数的概念㊁同角三角函数的关系和诱导公式㊀㊀１．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合｛β｜β＝α＋２ｋπ，ｋɪＺ｝．２．弧长及扇形面积公式（１）弧长公式：㊀ｌ＝｜α｜ｒ㊀；（２）扇形面积公式：㊀Ｓ＝１２ｌｒ＝１２｜α｜ｒ２㊀．其中ｌ为扇形弧长，α为圆心角，ｒ为扇形半径．３．任意角的三角函数（１）定义：设角α的终边与单位圆交于点Ｐ（ｘ，ｙ），则ｓｉｎα＝㊀ｙ㊀，ｃｏｓα＝㊀ｘ㊀，ｔａｎα＝㊀ｙｘ㊀（ｘʂ０）．（２）三角函数线如图，设单位圆与ｘ轴的正半轴交于点Ａ，与角α的终边交于点Ｐ．过点Ｐ作ｘ轴的垂线ＰＭ，垂足为Ｍ，过Ａ作单位圆的切线交ＯＰ的延长线（或反向延长线）于Ｔ点，则有向线段ＯＭ㊁ＭＰ㊁ＡＴ分别叫做角α的余弦线㊁正弦线㊁正切线．ｓｉｎα＝ＭＰ，ｃｏｓα＝ＯＭ，ｔａｎα＝ＡＴ．由三角函数线得出的重要结论：①②特别地：当α为第一象限角时，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＞１．③角的终边越靠近ｙ轴非负半轴，正弦值越大；角的终边越靠近ｘ轴非负半轴，余弦值越大．４．同角三角函数的基本关系（１）平方关系：㊀ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝１㊀；（２）商数关系：㊀ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔａｎｘ㊀ｘʂπ２＋ｋπ，ｋɪＺ()．５．诱导公式㊀㊀㊀函数角㊀㊀㊀㊀㊀正弦余弦正切２ｋπ＋α（ｋɪＺ）ｓｉｎα㊀ｃｏｓα㊀ｔａｎα－α㊀－ｓｉｎα㊀ｃｏｓα－ｔａｎαπ２ʃαｃｏｓα㊀∓ｓｉｎα㊀πʃα∓ｓｉｎα－ｃｏｓα㊀ʃｔａｎα㊀３π２ʃα－ｃｏｓα㊀ʃｓｉｎα㊀２πʃα㊀ʃｓｉｎα㊀ｃｏｓαʃｔａｎα㊀㊀若把α看成锐角，则角２ｋπ＋α（ｋɪＺ），π－α，π＋α，－α分别可看成第㊀一㊁二㊁三㊁四㊀象限的角，这几组角的三角函数公式的记忆口诀：函数名不变，符号看象限．若把α看成锐角，则角π２－α，π２＋α，３π２－α，３π２＋α分别可看成第㊀一㊁二㊁三㊁四㊀象限的角，这几组角的三角函数公式的记忆口诀：函数名改变，符号看象限．ʌ知识拓展ɔ（１）利用平方关系求三角函数值，在进行开方时，要根据角的象限或范围判断符号后，正确取舍．（２）三角求值㊁化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：①弦切互化法：利用公式ｔａｎｘ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ进行转化；②和积转换法：如利用（ｓｉｎθʃｃｏｓθ）２＝１ʃ２ｓｉｎθ㊃ｃｏｓθ进行变形㊁转化；③巧用 １ 的变换：１＝ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝ｃｏｓ２θ（１＋ｔａｎ２θ）＝ｓｉｎ２θ㊃１＋１ｔａｎ２θæèçöø÷．注意求值与化简后的结果要尽可能有理化㊁整式化．（３）已知ｔａｎα＝ｍ，求解关于ｓｉｎα㊁ｃｏｓα的齐次式问题必须注意以下几点：①一定是关于ｓｉｎα㊁ｃｏｓα的齐次式（或能化为关于ｓｉｎα㊁ｃｏｓα齐次式的三角函数式）．②因为ｃｏｓαʂ０，所以可用ｃｏｓｎα（ｎɪＮ∗）除之，这样可以将被求式化为关于ｔａｎα的表达式，进而将ｔａｎα＝ｍ代入，从而完成被求式的求值运算．③注意１＝ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α的应用．方法１㊀同角三角函数的基本关系的应用㊀㊀利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用㊁逆用㊁变形用．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程（组），通过解方程组达到解决问题的目的．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．㊀（１）已知ｔａｎθ＝２，则ｓｉｎ２θ＋ｓｉｎθｃｏｓθ－２ｃｏｓ２θ＝（㊀㊀）Ａ．－４３Ｂ．５４Ｃ．－３４Ｄ．４５（２）已知α是三角形的内角，且ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝１５，则ｔａｎα＝㊀㊀㊀㊀．解析㊀（１）ｓｉｎ２θ＋ｓｉｎθｃｏｓθ－２ｃｏｓ２θ＝ｓｉｎ２θ＋ｓｉｎθｃｏｓθ－２ｃｏｓ２θｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝ｔａｎ２θ＋ｔａｎθ－２ｔａｎ２θ＋１，把ｔａｎθ＝２代入得，原式＝４＋２－２４＋１＝４５．故选Ｄ．（２）由ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝１５，ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１，{消去ｃｏｓα整理，得２５ｓｉｎ２α－５ｓｉｎα－１２＝０，解得ｓｉｎα＝４５或ｓｉｎα＝－３５．因为α是三角形的内角，所以ｓｉｎα＝４５，又由ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝１５，得ｃｏｓα＝－３５，所以ｔａｎα＝－４３．答案㊀（１）Ｄ㊀（２）－４３㊀若角α的终边在直线ｘ－ｙ＝０上，则ｃｏｓα１－ｓｉｎ２α＋１－ｃｏｓ２αｓｉｎα＝㊀㊀㊀㊀．答案㊀ʃ２解析㊀依题意，角α的终边在第一象限或第三象限．当角α的终边在第一象限时，在其终边上取一点Ｐ１（１，１），则ｒ＝２，ｓｉｎα＝２２，ｃｏｓα＝２２，ʑ１－ｓｉｎ２α＝１－ｃｏｓ２α＝１－１２＝１２，ʑｃｏｓα１－ｓｉｎ２α＋１－ｃｏｓ２αｓｉｎα＝２２２２＋２２２２＝２．同理，当角α的终边在第三象限时，在其终边上取一点Ｐ２（－１，－１），则ｒ＝２，ｓｉｎα＝－２２，ｃｏｓα＝－２２，ʑ１－ｓｉｎ２α＝１－ｃｏｓ２α＝１－１２＝１２，ʑｃｏｓα１－ｓｉｎ２α＋１－ｃｏｓ２αｓｉｎα＝－２．综上所述，ｃｏｓα１－ｓｉｎ２α＋１－ｃｏｓ２αｓｉｎα＝ʃ２．方法２㊀诱导公式及其应用㊀㊀利用诱导公式求解问题时，应先观察角，后看函数名．一般是先将负角化成正角，再化为０ʎ ３６０ʎ的角，最后化成锐角求其函数值．在化简过程中应牢记 奇变偶不变，符号看象限 的原则．㊀若ｓｉｎ（π＋ｘ）＋ｓｉｎπ２＋ｘ()＝１２，则ｓｉｎ２ｘ＝㊀㊀㊀㊀．解析㊀因为ｓｉｎ（π＋ｘ）＋ｓｉｎπ２＋ｘ()＝１２，所以－ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝１２，两边平方，得１－ｓｉｎ２ｘ＝１４，解得ｓｉｎ２ｘ＝３４．答案㊀３４㊀已知ｆ（α）＝ｃｏｓπ２＋α()ｓｉｎ３π２－α()ｃｏｓ（－π－α）ｔａｎ（π－α），则ｆ－２５π３()的值为㊀㊀㊀㊀．答案㊀１２解析㊀因为ｆ（α）＝ｃｏｓπ２＋α()ｓｉｎ３π２－α()ｃｏｓ（－π－α）ｔａｎ（π－α）＝－ｓｉｎα（－ｃｏｓα）（－ｃｏｓα）－ｓｉｎαｃｏｓα()＝ｃｏｓα，所以ｆ－２５π３()＝ｃｏｓ－２５π３()＝ｃｏｓπ３＝１２．㊀已知ｓｉｎ（π－α）－ｃｏｓ（π＋α）＝２３π２＜α＜π()，则ｓｉｎα－ｃｏｓα＝㊀㊀㊀㊀．答案㊀４３解析㊀由ｓｉｎ（π－α）－ｃｏｓ（π＋α）＝２３，得ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝２３．①将①两边平方，得１＋２ｓｉｎαｃｏｓα＝２９，故２ｓｉｎαｃｏｓα＝－７９．又π２＜α＜π，ʑｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＜０．ȵｓｉｎα－ｃｏｓα＞０，（ｓｉｎα－ｃｏｓα）２＝１－２ｓｉｎαｃｏｓα＝１－－７９()＝１６９，ʑｓｉｎα－ｃｏｓα＝４３．。
同角三角函数基本关系式与诱导公式知识点讲解+例题讲解(含解析)
同角三角函数基本关系式与诱导公式一、知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tanα.2.三角函数的诱导公式总结：1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.()(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.()(3)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立.()(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( ) 解析 (1)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13， 当k 为偶数时，sin α＝－13. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.已知tan α＝－3，则cos 2α－sin 2α＝( ) A.45B.－45C.35D.－35解析 由同角三角函数关系得cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－91＋9＝－45.答案 B3.已知α为锐角，且sin α＝45，则cos (π＋α)＝( ) A.－35B.35C.－45D.45解析 因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝35， 故cos(π＋α)＝－cos α＝－35. 答案 A4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79 解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－79.答案 A5.(2019·济南质检)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α＝( ) A.125B.－125C.512D.－512解析 ∵sin α＝－513，α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝1213，因此tan α＝sin αcos α＝－512. 答案 D6.(2018·上海嘉定区月考)化简：sin 2(α＋π)·cos(π＋α)·cos(－α－2π)tan(π＋α)·sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin(－α－2π)＝________.解析 原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1.答案 1考点一 同角三角函数基本关系式 角度1 公式的直接运用【例1－1】 (2018·延安模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π4，且sin α＝－13，则cos α＝( ) A.－223 B.223 C.±223 D.23解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π4，且sin α＝－13>－22＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，所以α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－223. 答案 A角度2 关于sin α，cos α的齐次式问题 【例1－2】 已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解 由已知得tan α＝12. (1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53. (2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.角度3 “sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系 【例1－3】 已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝15. (1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值.解 (1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125， 整理得2sin x cos x ＝－2425.所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925. 由x ∈(－π，0)，知sin x <0，又sin x ＋cos x >0， 所以cos x >0，则sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x （cos x ＋sin x ）1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.【训练1】 (1)(2019·烟台测试)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A.－32B.32C.－34D.34(2)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35B.－35C.－3D.3解析 (1)∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34， ∴cos α－sin α＝32.(2)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.答案 (1)B (2)A考点二 诱导公式的应用【例2】 (1)设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76π＝________. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________. 解析 (1)∵f (α)＝（－2sin α）（－cos α）＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）＝1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76π＝1tan 76π＝1tan π6＝ 3. (2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝－a ＋a ＝0.答案 (1)3 (2)0【训练2】 (1)(2019·衡水中学调研)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝23，则cos(π－2α)＝( )A.29B.59C.－29D.－59 (2)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α＝13，则sin β＝________. 解析 (1)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝23，得sin α＝23.∴cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×29－1＝－59. (2)α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴β＝π－α＋2k π，k ∈Z .∴sin β＝sin(π－α＋2k π)＝sin α＝13. 答案 (1)D (2)13考点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2019·菏泽联考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，则tan(π＋2α)＝( ) A.427B.±225C.±427D.225(2)(2019·福建四地六校联考)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A.355B.377C.31010D.13解析 (1)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，∴cos α＝13，sin α＝－223，tan α＝sin αcos α＝－2 2.∴tan(π＋2α)＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－421－（－22）2＝427. (2)由已知得⎩⎨⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角). 答案 (1)A (2)C(3)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15. ①求sin x －cos x 的值； ②求sin 2x ＋2sin 2 x 1－tan x的值.解 ①由已知，得sin x ＋cos x ＝15， 两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，由－π<x <0知，sin x <0， 又sin x cos x ＝－1225<0， ∴cos x >0，∴sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.②sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x （cos x ＋sin x ）1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.【训练3】 (1)(2019·湖北七州市联考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－513，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·tan α＝( ) A.－1213 B.－513C.1213D.513(2)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析 (1)∵α∈(0，π)，且cos α＝－513，∴sin α＝1213，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·tan α＝cos α·sin αcos α＝sin α＝1213.(2)由题意，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43. 答案 (1)C (2)－43三、课后练习1.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A.1＋ 5 B.1－5 C.1± 5D.－1－5解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4.又()sin θ＋cos θ2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1± 5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 答案 B2.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cos α＝________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.∵0<α<π4，∴0<sin α<cos α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝35，cos α＝45. 答案 35 453.已知k ∈Z ，化简：sin （k π－α）cos[（k －1）π－α]sin[（k ＋1）π＋α]cos （k π＋α）＝________.解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin （2n π－α）cos[（2n －1）π－α]sin[（2n ＋1）π＋α]cos （2n π＋α）＝sin （－α）·cos （－π－α）sin （π＋α）·cos α＝－sin α（－cos α）－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[（2n ＋1）π－α]·cos[（2n ＋1－1）π－α]sin[（2n ＋1＋1）π＋α]·cos[（2n ＋1）π＋α]＝sin （π－α）·cos αsin α·cos （π＋α）＝sin α·cos αsin α（－cos α）＝－1. 综上，原式＝－1. 答案 －14.是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由. 解 假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立； 当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去.∴存在α＝π4，β＝π6满足条件.5.已知sin α＝23，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(π－α)＝________，cos 2α＝________.解析 cos(π－α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－73，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－732－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝59.答案 －73 59。
【新课标】必修四新教案三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式式
4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式●知识梳理1.任意角的三角函数设α是一个任意角，α的终边上任意一点P （x ，y ）与原点的距离是r （r =22y x +＞0），则sin α=r y ，cos α=r x，tan α=xy .上述三个比值不随点P 在终边上的位置改变而改变. 2.同角三角函数关系式sin 2α+cos 2α=1（平方关系）； ααcos sin =tan α（商数关系）； tan αcot α=1（倒数关系）. 3.诱导公式α+2k π（k ∈Z ）、－α、π±α、2π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.另外：sin （2π－α）=cos α，cos （2π－α）=sin α. ●点击双基 1.已知sin2α=53，cos 2α =－54，那么α的终边在A.第一象限B.第三或第四象限C.第三象限D.第四象限解析：sin α=2sin2αcos 2α=－2524＜0， cos α=cos 22α－sin 22α=257＞0，∴α终边在第四象限.答案：D2.设cos α=t ，则tan （π－α）等于 A.tt 21-B.－tt 21-C.±tt 21-D.±21tt -解析：tan （π－α）=－tan α=－ααcos sin . ∵cos α=t ，又∵sin α=±21t -，∴tan （π－α）=±tt 21-.答案：C3.α是第二象限角，P （x ，5）为其终边上一点且cos α=42x ，则x 的值为 A.3B.±3C.－3D.－2解析：∵cos α=r x =52+x x =42x ，∴x =0（舍去）或x =3（舍去）或x =－3. 答案：C 4.若ααsin sin 1-1+=ααcos sin 1+，则α的取值范围是_______.解析：∵ααsin sin 1-1+=|cos |sin 1αα+=ααcos sin 1+，∴cos α＞0.∴α∈（2k π－2π，2k π+2π）（k ∈Z ）. 答案：α∈（2k π－2π，2k π+2π）（k ∈Z ） 5.化简8sin 1-=_________.解析：8sin 1-=24cos 4sin ）（-=|sin4－cos4|=sin4－cos4.答案：sin4－cos4 ●典例剖析【例1】 （1）若θ是第二象限的角，则）（）（θθ2sin cos cos sin 的符号是什么?（2）π＜α+β＜3π4，－π＜α－β＜－3π，求2α－β的范围. 剖析：（1）确定符号，关键是确定每个因式的符号，而要分析每个因式的符号，则关键看角所在象限.（2）可以把α+β与α－β看成两个变量（整体思想），然后把2α－β用这两个变量表示出来即可.解：（1）∵2k π+2π＜θ＜2k π+π（k ∈Z ）， ∴－1＜cos θ＜0，4k π+π＜2θ＜4k π+2π，－1＜sin2θ＜0. ∴sin （cos θ）＜0，cos （sin2θ）＞0. ∴）（）（θθ2sin cos cos sin ＜0.（2）设x =α+β，y =α－β，2α－β=mx +ny ，则2α－β=m α+m β+n α－n β=（m +n ）α+（m －n ）β. ∴⎩⎨⎧-=-=+.12n m n m ，∴m =21，n =23.∴2α－β=21x +23y . ∵π＜x ＜3π4，－π＜y ＜－3π， ∴2π＜21x ＜3π2，－2π3＜23y ＜－2π. ∴－π＜21x +23y ＜6π. 评述：（1）解此题的常见错误是： π＜α+β＜34π， ① －π＜α－β＜－3π， ② ①+②得0＜2α＜π，③ 由②得3π＜β－α＜π，④ ①+④得3π4＜2β＜3π7，∴3π2＜β＜6π7. ⑤ ∴－6π7＜－β＜－3π2.⑥③+⑥得－6π7＜2α－β＜3π. （2）本题可用线性规划求解，读者不妨一试. 【例2】 已知cos α=31，且－2π＜α＜0，求ααααtan cos π2sin πcot ⋅-+⋅--）（）（）（的值.剖析：从cos α=31中可推知sin α、cot α的值，再用诱导公式即可求之.解：∵cos α=31，且－2π＜α＜0，∴sin α=－322，cot α=－42.∴原式=ααααtan cos sin cot ⋅-⋅-）（）（=αααsin sin cot ⋅-=－cot α=42.评述：三角函数式的化简求值是三角函数中的基本问题，也是常考的问题之一.【例3】 已知sin β=31，sin （α+β）=1，求sin （2α+β）的值.剖析：由已知sin （α+β）=1，则α+β=2k π+2π，再将2α+β改造成2（α+β）－β即可求之.解：∵sin （α+β）=1，∴α+β=2k π+2π. ∴sin （2α+β）=sin ［2（α+β）－β］=sin β=31.评述：整体代入是常用的技巧，这里要分析已知和要求的结论之间的角的关系和三角函数名称之间的关系.●闯关训练 夯实基础1.角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α=－54，则m 的值是 A.21 B.－21 C.－23D.23 解析：P （－8m ，－3），cos α=96482+-m m=－54. ∴m =21或m =－21（舍去）. 答案：A2.设α、β是第二象限的角，且sin α＜sin β，则下列不等式能成立的是 A.cos α＜cos β B.tan α＜tan β C.cot α＞cot β D.sec α＜sec β 解析：A 与D 互斥，B 与C 等价，则只要判断A 与D 对错即可.利用单位圆或特殊值法，易知选A.答案：A3.已知tan110°=a ，则tan50°=_________.解析：tan50°=tan （110°－60°）=︒︒+︒-︒60tan 110tan 160tan 110tan =aa 313+-.答案：aa 313+-4.（2004年北京东城区二模题）已知sin α+cos α=51，那么角α是第_______象限的角. 解析：两边平方得1+2sin αcos α=251， ∴sin αcos α=－2512＜0. ∴α是第二或第四象限角. 答案：第二或第四5.若sin α·cos α＜0，sin α·tan α＜0，化简2sin 12sin1αα+-+2sin12sin 1αα-+. 解：由所给条件知α是第二象限角，则2α是第一或第三象限角. 原式=2sin 12sin12sin12ααα-++-=|2cos |2α=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-.22sec 222sec 2是第三象限角）（是第一象限角），（αααα6.化简[][]）（）（）（）（θθθθ+⋅--+⋅++πcos πsin π1cos π1sin k k k k （k ∈Z ）. 解：当k =2n （n ∈Z ）时，原式=）（）（）（）（θθθθ+⋅--+⋅++π2cos π2sin ππ2cos ππ2sin n n n n=θθθθcos sin cos sin ⋅--⋅-）（=－1.当k =2n +1（n ∈Z ）时， 原式=[][]）（）（）（）（θθθθ++⋅-+-+⋅++ππ2cos ππ2sin π22cos π22sin n n n n =）（θθθθcos sin cos sin -⋅⋅=－1.综上结论，原式=－1. 培养能力7.（2005年北京东城区模拟题）已知tan （4π+α）=2，求： （1）tan α的值；（2）sin2α+sin 2α+cos2α的值.（1）解：tan （4π+α）=ααtan tan 1-1+=2，∴tan α=31.（2）解法一：sin2α+sin 2α+cos2α=sin2α+sin 2α+cos 2α－sin 2α =2sin αcos α+cos 2α =1+ααα2cos cos sin 2=ααααα222cos sin cos cos sin 2++ =1+1+αα2tan tan 2=23. 解法二：sin2α+sin 2α+cos2α=sin2α+sin 2α+cos 2α－sin 2α =2sin αcos α+cos 2α.①∵tan α=31，∴α为第一象限或第三象限角. 当α为第一象限角时，sin α=101，cos α=103，代入①得2sin αcos α+cos 2α=23； 当α为第三象限角时，sin α=－101，cos α=－103，代入①得2sin αcos α+cos 2α=23. 综上所述sin2α+sin 2α+cos2α=23. 8.已知sin θ=aa +-11，cos θ=a a +-113，若θ是第二象限角，求实数a 的值.解：依题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-++-<+-<-<+-<.11131101131111022）（）（，，a a a a a a a a解得a =91或a =1（舍去）. 故实数a =91. 9.设α∈（0，2π），试证明：sin α＜α＜tan α. 证明：如下图，在平面直角坐标系中作单位圆，设角α以x 轴正半轴为始边，终边与单位圆交于P 点.∵S △OP A ＜S 扇形OP A ＜S △OAT ，∴21|MP |＜21α＜21|A T|. ∴sin α＜α＜tan α. 探究创新 10.是否存在α、β，α∈（－2π，2π），β∈（0，π）使等式sin （3π－α）=2cos （2π－β），3cos （－α）=－2cos （π+β）同时成立?若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由.解：由条件得⎪⎩⎪⎨⎧.==②①，βαβαcos 2cos 3sin 2sin①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2，∴cos 2α=21. ∵α∈（－2π，2π）， ∴α=4π或α=－4π. 将α=4π代入②得cos β=23.又β∈（0，π），∴β=6π，代入①可知，符合.将α=－4π代入②得β=6π，代入①可知，不符合. 综上可知α=4π，β=6π. ●思悟小结1.要熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式、任意角的三角函数概念.2.在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限分别求出相应的值.3.注意公式的变形使用，弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法，要尽量减少开方运算，慎重确定符号.4.注意“1”的灵活代换，如1=sin 2α+cos 2α=sec 2α－tan 2α=csc 2α－cot 2α=tan α·cot α.5.应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀.●教师下载中心 教学点睛1.本课时概念多且杂，要求学生在预习的基础上，先准确叙述回忆，复习中注意“三基”的落实.2.利用同角三角函数的关系及诱导公式进行化简、求值、证明时，要细心观察题目的特征，注意培养学生观察、分析问题的能力，并注意做题后的总结，引导学生总结一般规律.如：“切割化弦”“1的巧代”，sin α+cos α、sin αcos α、sin α－cos α这三个式子间的关系.拓展题例【例1】 求sin 21°+sin 22°+…+sin 290°. 分析：sin 21°+cos 21°=sin 21°+sin 289°=1. 故可倒序相加求和.解：设S =sin 20°+sin 21°+sin 22°+…+sin 290°，S =sin 290°+sin 289°+sin 288°+…+sin 20°，∴2S =（sin 20°+sin 290°）+…+（sin 290°+sin 20°）=1×91.∴S =45.5.【例2】 已知sin α+cos β=1，求y =sin 2α+cos β的取值范围. 分析：本题易错解为y =sin 2α+1－sin α，sin α∈［－1，1］，然后求y 的取值范围.解：y =sin 2α－sin α+1=（sin α－21）2+43. ∵sin α+cos β=1，∴cos β=1－sin α. ∴⎩⎨⎧1.≤≤1-1≤-≤-ααsin sin 11，∴sin α∈［0，1］. ∴y ∈［43，1］.。
三角函数的概念同角三角函数的基本关系式和诱导公式
三角函数的概念同角三角函数的基本关系式和诱导公式三角函数是数学中研究角和三角形的重要分支之一、它是用来描述角的位置、大小和比较角度之间关系的函数。
三角函数常用于解决与几何形体、物体运动、电流与电压等相关的问题。
在解决这些问题时，我们需要理解三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式。
1.概念角是以其中一点为顶点，以两条射线为边的图形。
三角函数是角的函数。
常见的三角函数有正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)和余切函数(cot)。
这些三角函数可以表示角度的大小和位置，并且它们在数学中有非常重要的应用。
2.同角三角函数的基本关系式同角三角函数是指在同一个角中，不同三角函数之间的关系。
常见的同角三角函数关系式有：(1) 正弦函数和余弦函数的关系：sin^2θ + cos^2θ = 1这个关系式可以由勾股定理推导得出。
在单位圆中，θ角对应的直角三角形的斜边长为1，根据勾股定理可得到上述关系式。
(2) 正切函数和余切函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ，cotθ = cosθ / sinθ这个关系式说明，正切函数和余切函数可以分别由正弦函数和余弦函数表示。
(3) 正切函数和余切函数的关系：sinθ = 1 / cscθ，cosθ = 1 / secθ这个关系式说明，正弦函数和余弦函数可以分别由余切函数和正切函数表示。
这些基本关系式可以帮助我们在计算过程中简化和转化表达式，使得计算更加方便。
3.诱导公式诱导公式指的是通过基本关系式可以推导出其他三角函数之间的关系式。
常见的诱导公式有：(1) 余弦函数的诱导公式：cos(A ± B) = cosAcosB - sinAsinB根据这个公式，可以得到余弦函数的和差公式，通过计算角度之间的和差，可以快速得到余弦函数的结果。
(2) 正弦函数的诱导公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB根据这个公式，可以得到正弦函数的和差公式，通过计算角度之间的和差，可以快速得到正弦函数的结果。
同角三角函数基本关系式与诱导公式
原式＝
tan tan
α α
＋－11＝22＋－11＝3.
答案 3
5.已知
sin
θ ＋cos
4 θ ＝3，θ∈
π 0， 4
，则
sin
θ－ cos
θ的值为 ________.
解析
∵ sin
θ＋cos
θ＝43，∴ sin
θcos
θ＝
7 18.
又 ∵(sin θ－cos θ )2＝1－2sin θcos θ＝29，
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号 . 诊断自测
1.思考辨析 (在括号内打“√”或“×” )
(1)sin(π＋α )＝－ sin α成立的条件是 α为锐角 .( )
(2)六组诱导公式中的角 α可以是任意角 .( )
π
(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指
又
sin 2α ＋cos2α＝ 1，所以
cos2α＝
1 5.
因为 α∈
π 0， 2
，所以
cos α ＝ 55， sin
α＝
2 5
5.
π
π
π
因为 cos α－ 4 ＝ cos αcos 4 ＋sin αsin 4 ，
所以
π cos α － 4
＝
55×
22＋2 5 5×
22＝
3 10 10 .
3 10 答案 (1)A (2) 10 考点二 诱导公式的应用
2
的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化 .( )
1
1
(4)若 sin(kπ－ α)＝3(k∈ Z)，则 sin α ＝3.( )
解析 (1)对于 α∈ R，sin(π＋ α)＝－ sin α 都成立 .
三角函数的有关概念、同角三角函数的关系式和诱导公式
第四章 三角函数第1讲 三角函数的有关概念、同角三角函数的关系式及诱导公式考纲展示 命题探究考点 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式1 三角函数的有关概念 (1)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．(2)角度与弧度的互化①360°＝2π rad ；②180°＝π rad ；③1°＝π180 rad ；④1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈57.30°.(3)弧长及扇形面积公式 ①弧长公式：l ＝|α|r ；②扇形面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2.其中l 为扇形弧长，α为圆心角，r 为扇形半径． (4)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，α的终边上任意一点P (与原点不重合)的坐标为(x ，y )，它到原点的距离是r ＝x 2＋y 2.记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (6)三角函数线2 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 3 诱导公式及记忆规律 (1)诱导公式①诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．②“奇”“偶”指的是诱导公式k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 为奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．③“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．注意点 应用三角函数定义和平方关系求值时注意正负号选取(1)利用三角函数的定义求解问题时，认清角终边所在的象限或所给角的取值范围，以确定三角函数值的符号．(2)利用同角三角函数的平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后正确取舍.1．思维辨析(1)120°角的正弦值是12，余弦值是－32.( )(2)同角三角函数关系式中的角α是任意角．( ) (3)六组诱导公式中的角α可以是任意角．( )(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α的大小无关．( )(5)锐角是第一象限角，反之亦然．( ) (6)终边相同的角的同一三角函数值相等．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)√ 2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45B.35C ．－35D ．－45答案 D解析 由三角函数的定义知cos α＝－4－2＋32＝－45.故选D. 3．(1)角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限(2)弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．答案 (1)C (2)4 6π解析 (1)因为－870°＝－2×360°－150°，又－150°是第三象限角，所以－870°的终边在第三象限．(2)弧长l ＝3π，圆心角α＝34π，由弧长公式l ＝|α|·r ，得r ＝l |α|＝3π34π＝4，面积S ＝12lr ＝6π.[考法综述] 对于角的概念、三角函数的定义单独命题的概率很小，多与其他知识相结合．如三角恒等变换、同角关系式及诱导公式等，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的基本运算能力及等价转化能力．命题法 三角函数的概念，同角三角函数关系式，诱导公式的应用典例 (1)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32 C ．－34D.34(2)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ的值为________．(3)已知扇形周长为40，当它的半径r ＝________和圆心角θ＝________分别取何值时，扇形的面积取最大值？(4)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2π3＝________.[解析] (1)∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|， ∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.(2)点P (－3，m )是角θ终边上一点，由三角函数定义可知sin θ＝m3＋m2.又sin θ＝24m ， ∴m3＋m 2＝24m . 又m ≠0，∴m 2＝5， ∴cos θ＝－33＋m2＝－64. (3)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40.又S ＝12θr 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100.当且仅当r ＝10时，S max ＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2. ∴当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．(4)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝－π2，∴α－2π3＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23.[答案] (1)B (2)－64 (3)10 2 (4)－23【解题法】 同角关系式的应用技巧和诱导公式使用原则步骤 (1)同角关系式的应用技巧①弦切互化法：主要利用公式tan θ＝sin θcos θ化成正弦、余弦函数．②和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．③巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2θ. (2)使用诱导公式的原则和步骤①原则：负化正、大化小、化到锐角为终了．②步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0～π2之间角的三角函数，然后求值．1.若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10＋π2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsinπ5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cosπ5cos π5－sinπ5＝3sinπ5sinπ5＝3，故选C.2．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b答案 C解析 ∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°＝sin35°cos35°，∴sin35°cos35°>sin35°>sin33°.∴c >b >a ，选C.3．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是( ) A ．2 B ．1 C.12 D ．3答案 A解析 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2.从而α＝l r ＝21＝2.4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上答案 －8解析 若角α终边上任意一点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝y x .P (4，y )是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝y 16＋y2，又sin θ＝－255， ∴y16＋y2＝－255，且y <0，解得y ＝－8. 5.若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为________． 答案 12解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan α>0，∴sin2αsin 2α＋4cos 2α＝2sin αcos αsin 2α＋4cos 2α＝2tan α4＋tan 2α＝2tan α＋4tan α≤12，当且仅当tan α＝2时取等号．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0. 故22sin x －22cos x ＝0，∴tan x ＝1. (2)∵m 与n 的夹角为π3，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝22sin x －22cos x 1×1＝12，故sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，x －π4＝π6，即x ＝5π12，故x 的值为5π12.已知角α的终边在直线2x －y ＝0上，求角α的正弦、余弦和正切值． [错解][错因分析] 直接在直线上取特殊点的方法，导致漏解． [正解] 在直线2x ＋y ＝0上取点(m,2m )(m ≠0) 则r ＝5|m |，当m >0时，r ＝5m ，sin α＝y r ＝2m 5m ＝255，cos α＝x r ＝m 5m ＝55，tan α＝y x ＝2mm ＝2.当m <0时，r ＝－5m ，sin α＝y r ＝2m －5m ＝－255，cos α＝x r ＝m －5m ＝－55，tan α＝y x ＝2mm＝2. [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1．[2016·冀州中学期中]已知角α的终边过点P (－a ，－3a )，a ≠0，则sin α＝( )A.31010或1010B.31010C.1010或－1010D.31010或－31010答案 D解析 当a >0时，角α的终边过点(－1，－3)，利用三角函数的定义可得sin α＝－31010；当a <0时，角α的终边过点(1,3)，利用三角函数的定义可得sin α＝31010.故选D.2. [2016·衡水中学仿真]若sin α＋cos α＝713(0<α<π)，则tan α等于( )A ．－13B.125 C ．－125D.13 答案 C解析 由sin α＋cos α＝713，两边平方得1＋2sin αcos α＝49169，∴2sin αcos α＝－120169，又2sin αcos α<0,0<α<π. ∴π2<α<π.∴sin α－cos α>0. ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝289169，∴sin α－cos α＝1713.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝713，sin α－cos α＝1713，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝1213，cos α＝－513，∴tan α＝－125.3．[2016·枣强中学预测]设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z }，N＝⎩⎨⎧x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ⎭⎬⎫，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅答案 B 解析M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝⎩⎨⎧x | x ＝2k4·⎭⎪⎬⎪⎫ 180°＋45°，k ∈Z ，故当集合N 中的k 为偶数时，M ＝N ，当k 为奇数时，在集合M中不存在，故M ⊆N .4．[2016·冀州中学一轮检测]已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－－θ＝( )A ．－2B ．2C ．0 D.23答案 B解析 由角θ的终边在直线2x －y ＝0上，可得tan θ＝2，原式＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2.5．[2016·武邑中学一轮检测]已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )C.22 D ．1答案 A解析 解法一：由sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，α∈(0，π)，解得α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.解法二：由sin α－cos α＝2及sin 2α＋cos 2α＝1，得(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝2，即2sin αcos α＝－1<0，故tan α<0，且2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝－1，解得tan α＝－1(正值舍)． 6．[2016·武邑中学月考]已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x的最小正值为( )A.5π6 B.5π3 C.11π6D.2π3答案 B解析 ∵sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴角x 的终边经过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，－32，tan x ＝－3，∴x ＝2k π＋53π，k ∈Z ，∴角x 的最小正值为5π3.7. [2016·衡水中学热身]已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，则tan2x 的值是( )A ．－43B.43 C ．－34D.34答案 C解析 因为f (x )＝sin x －cos x ，所以f ′(x )＝cos x ＋sin x ，于是有cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，整理得sin x ＝3cos x ，所以tan x ＝3，因此tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×31－32＝－34，故选C. 8．[2016·衡水二中期中]已知sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为( )A ．－255B.255C ．±255D.52答案 B解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos α＝1－sin 2α＝53，所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.9．[2016·武邑中学预测]在三角形ABC 中，若sin A ＋cos A ＝15，则tan A ＝( )A.34 B ．－43C ．－34D ．±43答案 B解析 解法一：因为sin A ＋cos A ＝15，所以(sin A ＋cos A )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，所以1＋2sin A cos A＝125，所以sin A cos A ＝－1225. 又A ∈(0，π)，所以sin A >0，cos A <0.因为sin A ＋cos A ＝15，sin A cos A ＝－1225，所以sin A ，cos A 是一元二次方程x 2－15x －1225＝0的两个根，解方程得sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝－43.故选B.解法二：由解法一，得sin A >0，cos A <0，又sin A ＋cos A ＝15>0，所以|sin A |>|cos A |，所以π2<A <3π4，所以tan A <－1，故选B.10．[2016·枣强中学模拟]已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________.答案 0解析 原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.11.[2016·武邑中学猜题]设f (α)＝＋α－α－＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α≠－12，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.答案 3解析 ∵f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α＋2sin αsin α＋2sin α＝1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tanπ6＝ 3.能力组12.[2016·冀州中学仿真]已知扇形的面积为3π16，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是( )A.3π16B.3π8 C.3π4 D.3π2答案 B解析 S 扇＝12|α|r 2＝12|α|×1＝3π16，所以|α|＝3π8.13．[2016·武邑中学预测]已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α等于( )A ．－25B.25 C.25或－25 D ．－15答案 A解析 因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2， 所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25.14．[2016·衡水二中模拟]已知α∈(0，π)且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，则cos α－sin α的值( )A ．为正B ．为负C ．为零D ．为正或负答案 B解析 若0<α<π2，如图所示，在单位圆中，P (cos α，sin α)，OM ＝cos α，MP ＝sin α，所以sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1.若α＝π2，则sin α＋cos α＝1.由已知0<m <1，故α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α－sin α<0，故选B.15．[2016·枣强中学期末]△ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．4答案 B解析 因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin(90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1，故选B.。
专题01 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式-突破三角函数与解三角形问题中的高考套路之理
专题01三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式知识必备一、任意角的三角函数1．定义设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上任意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是．注意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是. 2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．三角函数线设角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作垂直于轴于．由三角函数的定义知，点的坐标为，即，其中单位圆与轴的正半轴交于点，单位圆在点的切线与的终边或其反向延长线相交于点，则．我们把有向线段分别叫做的余弦线、正弦线、正切线．各象限内的三角函数线如下：角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形4．特殊角的三角函数值0 100100101不存在0不存在0补充：二、同角三角函数的基本关系式1．平方关系．2．商的关系．3．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：；（2）商的关系的变形：；（3）．三、三角函数的诱导公式公式一二三四五六2kπ+α（k∈π+α−απ−α−α+α角Z）正弦sin α−sinα−sinαsinαcosαcosα余弦cos α−cosαcosα−cosαsinα−sinα正切tan αtanα−tanα−tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限核心考点考点一三角函数的定义【例1】已知角的终边经过点，且，则等于A．B．C．D．【答案】A【解析】因为角的终边经过点，所以角是第二象限角，所以，求解可得（正值舍去）.故选A.备考指南1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(，，)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况.考点二象限角的判断【例2】“”是“角是第一象限角”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B备考指南1．已知θ所在的象限，求或nθ（n N*）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k）表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到或nθ（n N*）所在的象限．2．象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k·360°＋α（0°≤α<360°，k Z）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.考点三同角三角函数基本关系式及其应用【例3】设.若，则A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，且，所以,所以.故选A．备考指南1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．2．的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于的齐次式，或含有及的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“”代换后转化为“切”后求解.考点四诱导公式及其应用【例4】点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C备考指南1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．3．利用诱导公式化简三角函数式的思路：（1）分析结构特点，选择恰当公式；（2）利用公式化成单角三角函数；（3）整理得最简形式．利用诱导公式化简三角函数式的要求：（1）化简过程是恒等变形；（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．4．巧用相关角的关系能简化解题的过程．常见的互余关系有与，与，与等；常见的互补关系有与，与等.考点五三角函数公式的综合应用【例5】已知角的顶点均为坐标原点，始边均为轴的正半轴，若的终边分别与单位圆相交于两点，且.（1）求的值，并确定点所在的象限；（2）若点的坐标为，求的值.【解析】（1）.因为，所以的终边在第二或第四象限，所以点在第二或第四象限.（2）由知，则.备考指南熟练掌握正切的差角公式，三角函数的诱导公式，同角三角函数的关系式，正确使用公式是解题的关键.能力突破1．已知角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，终边过点（−5，12），则= A．B．C．D．【答案】B【解析】由题知，=13，根据三角函数定义知，=，，∴=== =，故选B．【名师点睛】高考中常将三角函数定义与三角函数公式相结合进行考查，是基础题.2．已知，则A．B．C．D．【答案】A【解析】方法一：因为，所以，所以，故选A．方法二：由，得，所以.【名师点睛】同角三角函数基本关系式也常与三角函数诱导公式、恒等变换结合起来进行考查.3．角为的一个内角，若，则这个三角形为A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形【答案】B【名师点睛】判断三角形的形状有两种方法：一是根据角来判断，分为锐角、直角、钝角三角形；二是根据边来判断，分为不等边、等腰、等边三角形．注意这两种分类方法有重合的部分，如等腰直角三角形．4．已知，.（1）求，的值；（2）求的值.【解析】（1）因为，所以，由于，所以，所以.（2）原式..【名师点睛】对于三角函数求值问题，必须熟练记忆和掌握三角函数公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换.高考通关1．（2018北京）在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O y始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是A．B．C．D．【答案】C【解析】由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.A选项：当点在上时，，，故A选项错误；B选项：当点在上时，，，，故B选项错误；C选项：当点在上时，，，，故C选项正确；D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.综上，故选C.【名师点睛】此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.2．已知，则的值为A．B．C．D．【答案】A【解析】，∴原式，故选A．3．（2017北京）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=，则sin=_________．【答案】【解析】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以.【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.4．（2017新课标Ⅰ）已知，tan α=2，则=__________．【答案】【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．5．（2018新课标Ⅱ）已知，，则__________．【答案】【解析】因为，，所以，因此6．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（1）求sin（α+π）的值；（2）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解析】（1）由角的终边过点得，所以.（2）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.你都掌握了吗？有哪些问题？整理一下！。
同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式一、基础知识1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠k π＋π2(k ∈Z)．2．诱导公式诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k ·π2＋α(k ∈Z )”中的k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k ·π2＋α(k ∈Z )”中，将α看成锐角时，“k ·π2＋α(k ∈Z )”的终边所在的象限.二、常用结论同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .考点一 三角函数的诱导公式[典例] (1)已知f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为________． (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. [解析] (1)因为f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α) ＝－sin α(－cos α)(－cos α)⎝⎛⎭⎫－sin αcos α＝cos α， 所以f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos π3＝12. (2)sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. [答案] (1)12 (2)－23[题组训练]1.已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝________. 解析：法一：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角， 联立⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，解得5sin 2α＝1，故sin α＝－55.法二：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角，由tan α＝12，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－55. 答案：－552. sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________.解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°) sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝34＋14＋1＝2. 答案：23.已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 答案：－33考点二 同角三角函数的基本关系及应用[典例] (1)若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝( )A.165 B ．－165C.85D ．－85(2)已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.12 B ．±12C ．－14D ．－12[解析] (1)sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1，将tan α＝2代入上式，则原式＝165.(2)因为sin αcos α＝38，所以(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－12.[答案] (1)A (2)D[题组训练]1．(2018·甘肃诊断)已知tan φ＝43，且角φ的终边落在第三象限，则cos φ＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选D 因为角φ的终边落在第三象限，所以cos φ<0，因为tan φ＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2φ＋cos 2φ＝1，sin φcos φ＝43，cos φ<0，解得cos φ＝－35.2．已知tan θ＝3，则sin 2θ＋sin θcos θ＝________. 解析：sin 2θ＋sin θcos θ＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θtan 2θ＋1＝32＋332＋1＝65.答案：653．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α＝________.解析：由已知可得sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α)， 即sin α＝2cos α，所以tan α＝sin αcos α＝2， 从而sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.答案：254．已知－π<α<0，sin(π＋α)－cos α＝－15，则cos α－sin α的值为________．解析：由已知，得sin α＋cos α＝15，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝125， 整理得2sin αcos α＝－2425.因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝4925，且－π<α<0，所以sin α<0，cos α>0， 所以cos α－sin α>0，故cos α－sin α＝75.答案：75[课时跟踪检测]A 级1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( ) A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选B 因为x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34. 2．(2019·淮南十校联考)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值为( ) A ．－13B.13C.223D ．－223解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－13. 3．计算：sin 11π6＋cos 10π3的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．0D.12－32解析：选A 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos ⎝⎛⎭⎫3π＋π3 ＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.4．若sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝12，则tan θ的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选D 因为sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ， 所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.5．(2018·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15，则tan α的值为( )A ．－43B ．－34C ．－43或－34D ．不存在解析：选A 由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15， 得cos α＋sin α＝15，∴2sin αcos α＝－2425<0.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，∴sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.6．在△ABC 中，3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B 将3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )化为3cos A ＝3sin A ，则tan A ＝33，则A ＝π6，将cos A ＝－3cos(π－B )化为 cos π6＝3cos B ，则cos B ＝12，则B ＝π3，故△ABC 为直角三角形．7．化简：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝________.解析：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝sin 22θcos 2θ·sin 2θcos 2θ＝sin 2θ.答案：sin 2θ8．化简：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)＝________. 解析：原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·(－sin α)·cos α ＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值为________． 解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.答案：－33410．(2019·武昌调研)若tan α＝cos α，则1sin α＋cos 4α＝________.解析：tan α＝cos α⇒sin αcos α＝cos α⇒sin α＝cos 2α，故1sin α＋cos 4α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋sin αsin α＋sin 2α＝sin 2α＋sin α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.答案：211．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265.12．已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解：因为sin α＝255>0，所以α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α ＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.①当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， 原式＝1sin αcos α＝52.②当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 原式＝1sin αcos α＝－52.综合①②知，原式＝52或－52.B 级1．已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tan α1＋tan α＝( )A ．－7 B.7 C.3D ．－3解析：选A 因为sin α＋cos α＝12，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α<0，因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－38＝74，所以cos α－sin α＝－72， 所以1－tan α1＋tan α＝1－sin αcos α1＋sin αcos α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝－7212＝－7.2．已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解析：∵sin θ－2cos θ＝－25，∴sin θ＝2cos θ－25，∴⎝⎛⎭⎫2cos θ－252＋cos 2θ＝1， ∴5cos 2θ－85cos θ－2125＝0，即⎝⎛⎭⎫cos θ－35⎝⎛⎭⎫5cos θ＋75＝0. 又∵θ为第一象限角，∴cos θ＝35，∴sin θ＝45，∴sin θ＋cos θ＝75.答案：753．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求： (1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12， 故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2，因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2， 所以1＋2×m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋122，解得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.故当sin θ＝32，cos θ＝12时，θ＝π3； 当sin θ＝12，cos θ＝32时，θ＝π6.。
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三角函数的概念与公式
三角函数的有关概念
典型例题
例1.已知角的终边上一点P
，m
），且
sin 4m θ=，求cos θ与tan θ的值．
例2. 已知cos tan 0θθ⋅<，那么角θ是（ ）
A ．第一或第二象限角
B ．第二或第三象限角
C ．第三或第四象限角
D ．第一或第四象限角
例3.与610o 角终边相同的角的表示为（ ）
A ．360230()k k Z ⋅+∈o o
B ．
360250()k k Z ⋅+∈o o C ．36070()k k Z ⋅+∈o o D ．
360270()k k Z ⋅+∈o o 例4.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ= A.45- B.35- C.35 D.45 课堂练习
1． 角α的终边过点P （－4k ，3k ）(k ＜0}，则cos α的值是 （ ）
A ．
3 5 B ． 45 C ．－ 35 D ．－ 45
2．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是 ( )
A ．( π2， 3π4)∪(π， 5π4)
B ．( π4， π2)∪(π， 5π4
) C ．( π2 ， 3π4 )∪(5π4，3π2) D ．( π4， π2 )∪(3π4
，π) 3．若sinx= － 35，cosx =45 ，则角2x 的终边位置在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
4． sin(π4+α)sin （π4
－α）的化简结果为 （ ） A ．cos2α B ．12cos2α C ．sin2α D ． 12
sin2α 5．已知sinx+cosx=15
，x ∈［0，π］，则tanx 的值是 （ ）
A ．－34
B ．－ 43
C ．±43
D ．－34或－43
6．设,αβ是第二象限的角，且sin sin αβ<，则下列不等式能成立的是
A 、cos cos αβ<
B 、tan tan αβ<
C 、cot cot αβ>
D 、sec sec αβ>
7．若4π＜α＜6π，且α与－ 2π3
终边相同，则α= ． 8． 角α终边在第三象限，则角2α终边在 象限．
9
1sin cos αα
+=，则角α的取值范围为 ． 同角三角函数关系式及诱导公式
典型例题
例1. 已知tan α＝－34
，求下列各式的值：
（1）ααα
αsin cos 3sin 3cos 2++；（2）2sin2α＋sin αcos α－3cos2α．
例2.已知α是第三象限角且tan α＝2，求cos α的值．
例3.已知sin α＝m （|m|<1），求tan α，cos α．
例4. 已知1sin 1a a θ-=
+，31cos 1a a θ-=+，若θ是第二象限角，求实数a 的值。
例5. 已知cos θ－sin θ
=
， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值．
课堂练习
一、选择题
1．若sin α＝54
，且α是第二象限角，则tan α的值等于（ ）
A ．－34
B ．43
C ．±43
D ．±34 2．已知sin α＋cos α＝51
，且0≤α<π，那么tan α等于（ ）
A ．－34
B ．－43
C ．43
D ．34
3．若sin4α＋cos4α＝1，则sin α＋cos α等于（ ）
A ．±2
B ．1
C ．－1
D ．±1
二、填空题
4．若sin α＋3cos α＝0，则ααα
αsin 3cos 2sin 2cos -+的值为____________．
5．已知tan α＝2，则ααcos sin 1
＝____________．
三、解答题
6．已知tan θ＋cost θ＝2，
求：（1）sin θ·cos θ的值；（2）sin θ＋cos θ的值；
课外练习
一、选择题
1.已知53
cos =α，且α是第四象角，则sin α=__________. A.54 B.43 已知53cos =α C.54
- D.
43-
2．已知sin α=21
,且α为第二象限角，则cos α=________. A.23 B.43 C. 限23
- D.43
-
3．下列各式中正确的是_________.
A.απαsin )sin(=+
B.απαcos )2cos(-=+
C.ααπtan )tan(-=+
D.ααπsin )sin(=-
4．若tan α=1，则ααα
αcos sin cos 3sin 2++的值是____________. A.21 B.23 C.25 D.27
5．已知5
cos 5sin 2cos 3sin -=
+-αααα，则tan α=________.
A.-2
B.1225
C.1128
D.922-
6．下列等式中正确的个数有__________.
(1)ααπsin )sin(-=+ (2)ααπcos )2cos(-=+
(3)ααπtan )3tan(-=+ (4)ααπcos )5cos(
-=- A.1 B.2 C.3 D.4
7，已知sin α=54
，α的终边在第一象限，则)sin(απ+和)2cos(απ-的值是_____. A.5354和 B.535
4和- C.5354-和 D.5354--和 二、填空题
8．2cos 2sin 22
α
α+=______________.
9．
)4sin(π-=____________；613sin π=________. 10．45cos
π=__________；32cos π=_________.
11．
)300cos(0-=_________；0495sin =____________. 12．)43tan(π-
=________；67cos π=________；)49sin(π-=________.
13．
1)(cos 2)tan()sin()sin(22+------x x x x π=__________. 14．已知πθπθ 2,21cos 且-=，则θtan =_________.
15．化简：)tan()cos()3sin(απααπ+--=___________.
三、解答题
16．化简：)3tan()cos(
)
tan()2sin(x x x x --+-ππππ
17.已知
41tan =
x ，求x x x x sin 3cos 2sin 5cos +-的值。
18.已知
53sin -
=α，求cos α和tan α的值
19.已知tan α=2-，且α为第四象限角，求sin α和cos α的值。