第32炼 解三角形中的不等问题
高中数学新人教B版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例
面内),求两目标A,B之间的距离.
分析:要求出A,B之间的距离,可在△ABC(或△ADB)中去找关系,
但不管在哪个三角形中,AC,BC这些量都是未知的,需要在三角形中
找出合适的关系式,求出它们的值,然后解斜三角形即可.
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
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题型一
题型二
题型三
题型四
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
,
,
∴a=CD=BC-BD=tan ∠ − tan ∠ .
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Z 知识梳理 Z 重难聚焦
HISHISHULI
D典例透析 S随堂演练
HONGNANJUJIAO
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
∴a=CD=BC-BD=tan ∠ − tan ∠ .
∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC=
180°-80°
2
=50°.
∴∠ABG=180°-∠CBH-∠CBA=180°-120°-50°=10°.故选B.
答案:B
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HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
2.三角形中的有关公式和结论
(1)直角三角形中各元素间的关系.
在△ABC中,若∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,则有:
HISHISHULI
D典例透析 S随堂演练
HONGNANJUJIAO
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
(2)斜三角形中各元素间的关系.
在△ABC中,若∠A,∠B,∠C为其内角,a,b,c分别表示∠A, ∠B,
解三角形说课稿
解三角形 说课稿一、说教材《解三角形》这一课是高中数学中的重要内容，它承接着初中阶段平面几何的知识，同时为后续学习立体几何、解析几何等内容打下基础。
本节课在教材中的作用和地位主要体现在以下几个方面：1. 知识体系：解三角形是平面几何中的一个重要组成部分，它涉及到三角形的基本性质、勾股定理、余弦定理等知识点，对于完善学生的几何知识体系具有重要意义。
2. 方法培养：解三角形的过程涉及到多种数学方法，如代数法、几何法、三角法等，有助于培养学生的解决问题的能力和逻辑思维能力。
3. 实际应用：解三角形在日常生活和工程实践中具有广泛的应用，如测量、制图、建筑设计等，有利于提高学生的实践操作能力。
主要内容：1. 三角形的分类：根据边长和角度关系，将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
2. 勾股定理：介绍勾股定理及其证明，掌握直角三角形的边长关系。
3. 余弦定理：推导余弦定理，并应用于任意三角形的边长和角度求解。
4. 解三角形的方法：代数法、几何法、三角法等。
二、说教学目标学习本课需要达到以下教学目标：1. 知识与技能：（1）理解三角形的分类，掌握勾股定理和余弦定理。
（2）能够运用代数法、几何法、三角法等方法解三角形。
2. 过程与方法：（1）通过自主探究、合作交流，培养解决问题的能力和逻辑思维能力。
（2）学会运用数学方法解决实际问题，提高实践操作能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对几何学的兴趣，增强数学学习的自信心。
（2）培养学生严谨、踏实的科学态度，提高团队协作能力。
三、说教学重难点1. 教学重点：（1）三角形的分类及特点。
（2）勾股定理和余弦定理的推导和应用。
（3）解三角形的方法及其适用范围。
2. 教学难点：（1）余弦定理的推导过程。
（2）解三角形的方法在实际问题中的应用。
在教学过程中，要注意引导学生掌握重点，突破难点，提高课堂学习效果。
四、说教法在教学《解三角形》这一课时，我计划采用以下几种教学方法，旨在激发学生的兴趣，提高课堂参与度，以及促进学生的深度理解。
人教新课标A版必修5第一章解三角形1.2第2课时 三角形中的几何计算课件
＝
3sinA＋π6≤
2π
30<A<
3
.
当A＝π3时，即△ABC为等边三角形时取等号，
所以sin A＋sin B的最大值为 3.
题点四：多边形面积问题 4．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA
＝4，求四边形ABCD的面积S. 解：如图，连接BD，则S＝S△ABD＋S△CBD ＝12AB·ADsin A＋12BC·CDsin C. ∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C， ∴S＝12sin A(AB·AD＋BC·CD)＝16sin A. 在△ABD中，由余弦定理得
(2)求sin A＋sin B的最大值． 解：(1)由题意可知
1 2absin
C＝
43×2abcos
C.
所以tan C＝ 3.
因为0<C<π，所以C＝π3.
(2)由(1)知sin A＋sin B＝sin A＋sinπ－A－π3
＝sin A＋sin23π－A
＝sin
A＋
ห้องสมุดไป่ตู้
3 2 cos
A＋12sin
A
(√ )
(2)三角形中已知三边无法求其面积
(×)
(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积 ( √ ) 解析：(1)正确，S＝12absin C适合求任意三角形的面积．
(2)错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正
弦值，进而求面积．
(3)正确．已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边
＝a2－c2 b2
＝左边，
所以a2－c2 b2＝sinsiAn－CB.
与三角形有关的综合问题 题点一：与三角形面积有关的综合问题 1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.
《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计
人教版八年级上册第十三章实验与探究《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计【教学目标】1.知识与技能：〔1〕通过实验探究发现：在一个三角形中边与角之间的不等关系；〔2〕能利用轴对称的性质进行探究三角形的边角不等关系，能利用三角形边角相等的转化解决边角之间的不等问题.2.过程与方法：通过实验探究和推理论证，开展学生的分析问题和解决问题的能力；通过探索、总结形成利用图形的翻折等变换是解决几何问题常见的策略；获得利用截长补短等方法来构造全等三角形的经验.3.情感与态度：提供动手操作的时机，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣，获得解决问题的成功体验.【教学重难点】重点：三角形中边与角之间的不等关系及其探究过程.难点：如何从实验操作中得到启示，写成几何证明的表达.【学情分析】学生在前面已经学习了全等三角形、轴对称以及等腰三角形，对全等三角形、轴对称以及等腰三角形的性质有一定的认识，同时在探究等腰三角形性质的过程中已经有了折纸的经验，所以对于本节课的探究学生应该拥有相应的知识和经验根底.但是，同时学生又普遍缺乏将动手过程转化为几何语言的能力.在教学过程中直接表达出来的难点便是学生很难用几何语言去表达辅助线的做法.【教学内容分析】本节课是新人教版八年级上册第13章的实验与探究内容.在教材的编排上是在学习了全等三角形、轴对称以及等腰三角形之后而设置的.整个探究过程充分利用了轴对称的性质，在动手翻折的过程中得到启发，从而构造全等三角形进行探究.所以本节课既是全等三角形、轴对称等知识的拓展，更是从特殊的等腰三角形性质的折纸探究到一般的不等边三角形折纸探究的思想方法上的拓展.同时本节课的探究过程中的转化思想又为将来解决几何问题提供了重要的经验和方法.因此本节课的教学对学生全面认识几何问题起着积极地作用，对培养学生综合运用几何知识的能力也起着重要的作用.【教学媒体与资源的选择与应用】根据本节课内容的特点，为了更直观、形象的突出重点、突破难点，提高课堂效率，采用以观察发现为主，多媒体演示为辅的教学组织方式，在教学过程中，通过设置一系列学生的折纸活动，几何画板配合演示，创设问题情境，启发学生思考，让学生亲身体验知识的产生、开展和形成的过程.【学具准备】三角形纸片数张、剪刀、三角板、圆规等.【课时安排】一课时【教学过程】活动一、温故知新，铺垫新知1、如图,在△ABC中,∠1=30°,∠2=20°,那么∠3= °,∠1 ∠3〔填“>〞“<〞〕2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，那么∠C= °3、如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，那么BD CD，∠1 ∠2〔填“>〞“<〞“=〞〕第1题图第2题图第3题图【设计意图】复习三角形的外角和等腰三角形的性质，为探究三角形中边与角之间的不等关系做好知识和经验铺垫.活动二、创设情境，引入新知问题1：我们知道，在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等。
高中数学知识点顺口溜速记口诀
高中数学知识点顺口溜速记口诀（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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课件解三角形中的最值及取值范围
边的取值范围
总结词
边的取值范围受到角度的取值范围以及三角形的性质影响。
详细描述
在任何三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。因此，边的取值范围受到角度的取值范 围以及三角形的形状的影响。对于直角三角形，斜边是最长边，其长度大于其他两边之和。对于钝角三角形，最 长边大于其他两边之和，但不能超过其他两边之和的两倍。
引入其他数学工具
为了更深入地研究三角形最值及取值范围问题，可以考虑引入其他数学工具，如微积分、 线性代数等，以期取得更多突破性成果。
拓展应用领域
除航海、航空、地理测量等领域外，三角形最值及取值范围还可以应用于其他领域，如建 筑设计、机械制造等。未来可以加强与其他学科的合作，拓展其应用领域。
THANKS
03
三角形中的取值范围问题
角度的取值范围
总结词
角度的取值范围是三角形中一个重要的问题，它受到三角形内角和为180度以及三角形的形状限制。
详细描述
在任何三角形中，三个内角的和总是等于180度。因此，每个角的取值范围是0度到180度。对于直角 三角形，一个角是90度，其他两个角的角度和为90度，所以每个角的角度范围是0度到90度。对于钝 角三角形，最大的角度大于90度，但不能超过180度。
高的取值范围
总结词
高的取值范围受到角度的取值范围以及 三角形的形状影响。
VS
详细描述
在任何三角形中，高是从顶点垂直到对边 的线段。因此，高的取值范围受到角度的 取值范围以及三角形的形状的影响。对于 锐角三角形，所有的高都大于零。对于直 角三角形，斜边上的高等于另一条直角边 。对于钝角三角形，有两条高在三角形内 部，另一条高在三角形外部。
感谢观看
04
高考数学难点突破难点(三角形中的三角函数式-不等式的证明策略)
4
1 cos
cos B ,
2 2.
2 cos2 3
4
整理得 4 2 cos2α+2cosα－3 2 =0(M)
(2cosα－ 2 )(2 2 cosα+3)=0，∵2 2 cosα+3≠0，
AC 2
∴2cosα－ 2 =0.从而得 cos
.
22
解法二：由题设条件知 B=60°，A+C=120°
7.解：由 a、b、3c 成等比数列，得：b2=3ac
∴sin2B=3sinC·sinA=3(－ 1 )［cos(A+C)－cos(A－C)］ 2
∵B=π－(A+C).∴sin2(A+C)=－ 3 ［cos(A+C)－cos ］
2
2
即 1－cos2(A+C)=－ 3 cos(A+C)，解得 cos(A+C)=－ 1 .
∠APB=180°－∠ABP－∠BAP=120°－θ，
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★★)给出四个命题：(1)若 sin2A=sin2B，则△ABC 为等腰三角形；(2)若 sinA=cosB，则△ABC 为直角三角形；(3)若 sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC 为钝角三角形；
(4)若 cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，则△ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是( )
三、解答题
4.(★★★★)已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边
形 ABCD 的面积.
5.(★★★★★)如右图，在半径为 R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，
三角形不等式
• 窍门1：在解决三角形不等式问题时，要学会观察题目中的条件，找到解决问题的关键。 • 窍门2：在解决三角形不等式问题时，要学会运用三角形不等式的性质，简化问题，提高解 题效率。 • 窍门3：在解决三角形不等式问题时，要学会运用代数方法，如代入法、因式分解法等，帮 助解决问题。
三角形不等式的实际 应用案例
CREATE TOGETHER
DOCS
谢谢观看
THANK YOU FOR WATCHING
三角形不等式的习题拓展
• 拓展1：已知三角形的三边长分别为a、b、c，求证a^2 + b^2 > c^2，b^2 + c^2 > a^2，a^2 + c^2 > b^2。 • 拓展2：已知三角形的三内角分别为A、B、C，求证sin(A + B) + sin(B + C) + sin(A + C) < 3。 • 拓展3：已知三角形的两边长分别为a、b，求证|a^2 - b^2| < c^2，|b^2 - c^2| < a^2， |a^2 - c^2| < b^2。
05
三角形不等式的习题与解答
三角形不等式的经典习题
• 三角形不等式的经典习题 • 题目1：已知三角形的三边长分别为a、b、c，求证a + b > c，b + c > a，a + c > b。 • 题目2：已知三角形的三内角分别为A、B、C，求证A + B + C < 180°，A + B > 90°，B + C > 90°，A + C > 90°。 • 题目3：已知三角形的两边长分别为a、b，求证|a - b| < c， |b - c| < a，|a - c| < b。
八年级数学上册《三角形中边与角之间的不等关系》教案、教学设计
2.提出问题：向学生展示一个不等边三角形和一个等腰三角形，提问：“这两个三角形有什么不同？”引导学生关注三角形边与角之间的关系。
3.创设情境：通过一个实际生活中的例子（如测量三角形土地的面积），让学生感受到三角形边角关系在实际问题中的应用，激发他们的学习兴趣。
5.教学资源：
-利用多媒体教学手段，如PPT、动画等，直观展示三角形边角不等关系，提高教学效果。
-结合实际生活中的例子，如建筑、艺术等领域的应用，让学生感受几何知识的实用价值。
-提供丰富的学习资料，如辅导书、网络资源等，方便学生课后复习和拓展。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在这一环节中，我们将通过以下步骤引导学生进入新课的学习：
3.不等关系的应用：结合实际例子，讲解如何运用三角形边角不等关系解决几何问题，如求三角形某一边或角的大小。
（三）学生小组讨论
在这一环节中，我们将组织学生进行以下讨论：
1.分组：将学生分成若干小组，每个小组针对一个或多个问题进行讨论。
2.讨论问题：如“如何判断一个三角形是锐角三角形还是钝角三角形？”“在解决实际问题中，如何运用三角形的边角不等关系？”
-鼓励学生利用网络资源、辅导书等，进行课后自主学习，拓宽知识面。
注意事项：
1.作业量要适中，避免过多增加学生负担。
2.作业难度要适中，既要让学生感到挑战，又要确保他们能够独立完成。
3.教师要及时批改作业，了解学生的学习情况，为下一节课的教学提供参考。
4.鼓励学生在完成作业过程中积极思考、主动提问，培养他们的自主学习能力。
2.提高作业：
-针对学有余力的学生，布置一些拓展性的题目，如求解三角形中某个角或边长的问题，培养学生的几何推理能力和解题技巧。
探究三角形中边与角之间的不等关系教案
三角形中边与角之间的不等关系教案在⊿ABC 中，边AC 对∠B ，边AB 对∠C ，同学们通过肉眼观察可得到∠C 大于∠B ，故猜想大边对大角.（二）验证猜想 量角器测量或折纸.① 叠合法：沿ＢＣ边的垂直平分线折叠. ② 沿角平分线折叠：作∠BAC 的角平分线AD ，将△ADC 沿AD 翻折（或将△ADB 沿AD 翻折）.③沿高翻折：作BC 边的高AD,将△ADC 沿AD 翻折（或将△ADB 沿AD 翻折）.追问：通过折纸，如何说明∠C > ∠B ？通过几何画板演示验证猜想的正确性,并归纳猜想.猜想：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大（简写成"大边对大角"）. （三）证明猜想师：我们通过折纸和几何画板验证了猜想是正确的，你能否用学过的知识来证明你的猜想？（1） 你能根据文字命题画出图形，写出已知、求证吗？ （2） 你认为证明两个角不等的方法是什么？ （3） 从折纸的过程中你能获得什么启发？ —猜想—验证—推理证明的过程.培养学生的动手操作能力,为后面证明时添加辅助线作铺垫.既对所需知识进行合理复习，也为后面学生添加辅助线构造基本图形奠定了基础. 验证猜想具有一般性.通过讲解，提高学生语言表达能力和归纳能力.会进行文字语言、图形语言、符号语言的转换.培养学生语言表达能力和归纳能力.让学生逐步实现由实验ABCC' DABCC'DABCEDB CA已知：如图，在△ABC 中，AB>AC . 求证：∠C > ∠B . 证法一:证明：作△ABC 中∠A 的平分线，与边BC 交于点D.在边AB 上截取AE ，使AE=AC,连接DE.∵AD 为∠BAC 的角平分线（已知） ∴∠BAD=∠CAD （角平分线定义） 在⊿EAD 和⊿CAD 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=（公共边）（已证）作图）AD AD CAD BAD AC AE ( ∴⊿EAD ≌⊿CAD （SAS ）∴∠C=∠AED （全等三角形的性质）又∵∠AED=∠B+∠BDE ∴∠AED>∠B.∴∠C>∠B （等量代换）.或作△ABC 中∠A 的平分线，与边BC 交于点D.在AC 延长线上截取AB’，使AB’=AB，连接B’D . 证法二过A 作BC 的垂线，垂足为D ，在BD 边上截取DC’，使DC’=DC，连接AC’ .小结：沿角平分线所在直线翻折，使∠B 或∠C 转移位置，利用三角形外角的性质证明了∠C > ∠B. 几何到论证几何的过渡.规范书写几何推理的过程，尤其是注意辅助线的说明和折纸方法对应结合，将无意识的操作变为有意识的添加辅助线.让学生在运用不同方法证明的过程中提高思维的深刻性和广阔性.EDABCB'DABCC' DAB CAB CE证法三：在边AB 上截取AD,使AD=AC ，连接CD. 由等边对等角可知∠ADC=∠ACD.又由三角形中外角的性质知∠ADC=∠B+∠DCB. 所以∠ADC ＞∠B ， 又因为∠ACB=∠ACD+∠DCB. 所以∠ACB ＞∠ACD 所以∠ACB ＞∠B.或：由于AB>AC ，故可延长AC 到E ，使AB=AE .归纳结论：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大. （简写成：在一个三角形中，大边对大角）. 符号表示：∵在⊿ABC 中，AB>AC ∴∠C > ∠B.从对“大边对大角”的探索过程中，你有何收获？（１）折纸对我们添加辅助线的启发（2）利用等腰三角形和轴对称的性质（截长补短）构造全等，将角进行转移.转化为“一个角为另一个角所在三角形的外角”. （四）巩固应用如图, ⊿ABC 中，AD 是中线，如果AB>AC ，判断∠BAD 与∠DAC 的大小关系， 并给予证明.学生充分利用边不等的已知条件添加辅助线.培养学生总结归纳的能力，和评价反思的意识.不同方法添加辅助线的本质是相同的.例题条件中没有角平分线、高等条件，区别于前面的题，学生经过尝试，翻折变换无法实现，为实现目标角的转移，引导学生关注中点条件. 通过此题让学生充分巩固和掌握利用旋转变换DABC。
高中数学讲义微专题32 解三角形中的不等问题
微专题32 解三角形中的不等问题一、基础知识： 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。
其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。
如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-变式：()()2221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值3、三角形面积公式：（1）12S a h =⋅ （a 为三角形的底，h 为对应的高） （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===（3）211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅=（其中R 为外接圆半径）4、三角形内角和：A B C π++=，从而可得到：（1）正余弦关系式：()()sin sin sin A B C B C π=-+=+⎡⎤⎣⎦ ()()cos cos cos A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦ （2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的 5、两角和差的正余弦公式：()sin sin cos sin cos A B A B B A ±=± ()cos cos cos sin sin A B A B A B ±=6、辅助角公式：()sin cos a A b B A ϕ+=+，其中tan b aϕ=7、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。
角形中边与角之间的不等关系
边与角的基本性质
边的基本性质
任意两边之和大于第三边，任意两边 之差小于第三边。
角的基本性质
角形的内角和等于180°，外角和等于 360°。
角形的内角和与外角和
1 2
内角和定理
角形的内角和等于180°。
外角和定理
角形的外角和等于360°。
3
内外角关系
一个内角与其相邻的外角互补，即一个内角加其 相邻的外角等于180°。
05
边与角之间不等关系的应 用
在几何问题中的应用
01
利用边与角之间的不等关系，可 以解决一些几何问题，如判断三 角形的形状、证明角平分线的性 质等。
02
在解决几何问题时，边与角之间 的不等关系可以帮助我们找到一 些关键的突破口，从而简化问题 的求解过程。
在三角函数中的应用
边与角之间的不等关系在三角函数中也有广泛的应用，如 在求解三角函数的值域、判断三角函数的单调性等问题中 。
研究目的和意义
探究角形中边与角之间的不等关系的性质和特点 为解决几何问题提供有效的思路和方法
促进几何学的发展和应用
02
角形的基本概念和性质
角形的定义和分类
角形的定义
由不在同一直线上的三条线段首 尾顺次连接所组成的封闭图形叫 做角形。
角形的分类
根据角的大小可分为锐角角形、 直角角形和钝角角形；根据边的 长短可分为不等边角形和等腰角 形。
应用正弦、余弦定理
在三角形中，正弦定理和余弦定理是连接边和角的重要工具。通过灵活运用这 两个定理，可以推导出边与角之间的不等关系。
分析法证明
逐步推导
从已知条件出发，逐步推导出边与角 之间的不等关系。这种方法需要仔细 分析每一步的推导过程，确保逻辑严 密。
解三角形中实用公式结论
解三角形中实用公式结论在咱们学习数学的过程中，解三角形可是个挺重要的部分。
这其中有好些实用的公式和结论，掌握了它们，解题就像有了一把把神奇的钥匙，能轻松打开难题的大门。
先来说说正弦定理吧。
正弦定理表示为：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 a/sinA = b/sinB = c/sinC 。
这个定理用处可大啦！比如说，有一道题告诉你一个三角形中两条边的长度和它们所对角的正弦值，让你求另一条边的长度。
这时候，正弦定理就能派上用场啦。
我记得之前有个同学，叫小李，他在做一道解三角形的题目时就卡壳了。
题目是这样的：在三角形 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 a = 3，b = 4，sinA = 3/5，求边 c 的长度。
小李一开始愣是没思路，愁眉苦脸的。
我就提醒他可以用正弦定理试试，他这才恍然大悟，先由正弦定理求出角 B 的正弦值，然后再算出角 C 的正弦值，最终求出了边 c 的长度。
解出来的那一刻，他脸上那兴奋的表情，就像发现了新大陆一样。
再讲讲余弦定理。
余弦定理有两个形式，一个是 a² = b² + c² - 2bc cosA ，另一个类似，分别对应角 B 和角 C 。
这个定理在判断三角形的形状、求边长或者角度的时候特别管用。
有一次课堂练习，有个三角形已知三边的长度，让大家判断它是什么形状。
好多同学都有点懵，不知道从哪儿下手。
这时候，咱们就可以用余弦定理求出三个角的余弦值，根据余弦值的正负来判断角是锐角、直角还是钝角，从而确定三角形的形状。
就像有个三角形三边分别是 5、6、7，通过余弦定理求出最大角的余弦值是正的，那就说明是个锐角三角形。
还有面积公式，三角形的面积 S = 1/2 × absinC 。
这个公式在已知两边和它们夹角的时候就能很快算出面积。
我之前在辅导我表妹做作业的时候，就碰到了这么一道题。
题目给了一个三角形的两条边和它们的夹角，让求面积。
等腰三角形中不确定性问题的解决
学习指导２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀等腰三角形中不确定性问题的解决◉甘肃省平凉市第七中学㊀朱小成㊀㊀摘要:等腰三角形的边分为两类,即腰和底边,而两腰相等．等腰三角形的角也分为两类,即顶角和底角,而两底角相等．因此,很多题目以此为切入点设计了诸多不确定性因素,这给学生解题带来了诸多困扰,其中最常见的错误就是漏解．本文中主要对等腰三角形中出现不确定性因素时该如何解决进行了研究．关键词:等腰三角形;不确定性;思维定势;分类讨论思想㊀㊀由于等腰三角形的边㊁角都有不同的类型,因此一些题目中的条件在设计之初就存在不确定性[１]．但是,由于学生的思维定势比较严重,他们在分析问题时往往表现得比较片面,进而会出现漏解的错误[２]．想要解决等腰三角形中的不确定性因素问题,需要学生突破思维定势,从多个角度分析问题存在几种可能性,然后逐一击破,这就是分类讨论思想．基于此,本文中将结合例题探究分类讨论思想在等腰三角形中的应用,尤其是在解决不确定性因素时的用法．１例析常见的不确定性问题等腰三角形中的不确定因素主要表现在边和角两个方面,但根据实际教学经验来看,不能排除三角形形状不确定的可能．因为等腰三角形的顶角有直角㊁锐角和钝角之分,而顶角的不同也会导致其形状有所不同．下面将从三个方面例析等腰三角形中常见的不确定性问题．１．１角的不确定例１㊀已知әA B C 是等腰三角形,øA ＝８０ʎ,求它的顶角度数．分析:虽然已知三角形的形状是等腰三角形,且øA ＝８０ʎ,但由于等腰三角形中的角有顶角与底角之分,而题中并未告知øA 为何种角,所以应分情况讨论．解:根据题意,应分两种情况．(１)当øA 为顶角时,әA B C 的顶角度数就是８０ʎ．(２)当øA 为底角时,әA B C 的顶角度数就是１８０ʎ－８０ʎˑ２＝２０ʎ．综上所述,әA B C 的顶角度数为８０ʎ或２０ʎ．反思:等腰三角形中的角有顶角和底角之分,在审题时切勿因思维定势贸然认为题中所给的角是顶角或底角,如此必然会导致漏解．１．２边的不确定例２㊀若一根长为２８m 的钢丝可以围成一个边长为６m 的等腰三角形支架(忽略交接处钢丝的长度),那么该等腰三角形支架的腰长为m ．分析:尽管已知支架的形状为等腰三角形,但并未明确长为６m 的边是其腰还是底边,所以本题也应分两种情况讨论．解:根据题意,应分两种情况．(１)当６m 长的边是等腰三角形的腰时,该等腰三角形支架的腰长为６m ．(２)当６m 长的边是等腰三角形的底边时,该等腰三角形支架的腰长就是(２８－６)ː２＝１１(m )．综上,等腰三角形支架的腰长是６m 或１１m ．反思:等腰三角形的边不只有腰这一种,还有底边．所以在分析问题时,应区分清楚等腰三角形边的情况,然后结合分类讨论思想解决问题．当然,如果求得的腰或底边不足以构成三角形,则另需说明并排除．如下面的变式:已知一等腰三角形的周长是１８,它的一边长为４,那么该等腰三角形的其他两边长分别是．题中长为４的边同样不确定,应分类讨论:当长为４的边是腰时,那么另一腰是４,底边长是１８－４－４＝１０．然而,此时的４,４,１０三边并不能构成三角形,所以排除．当长为４的边是底边,那么腰是(１８－４)ː２＝７,且三边为７,７,４,此时可构成三角形．综上,该等腰三角形的其他两边长分别是７,７．１．３形状的不确定例３㊀已知әA B C 为等腰三角形,一腰上的高和另一腰的夹角为６０ʎ,则该等腰三角形的顶角为．４６２０２３年１２月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀分析:本题无图,所以应先根据条件画图．但由于一腰上的高和另一腰的夹角存在两种情况,因此应该分类讨论．解:如图１所示,当该等腰三角形为锐角三角形时,øA B D＝６０ʎ,则øA＝３０ʎ．图１㊀㊀㊀图２如图２所示,当该等腰三角形为钝角三角形时,øA C D＝６０ʎ,则øB A C＝１２０ʎ．综上,本题的正确答案为３０ʎ或１２０ʎ．反思:学生普遍认为这样的三角形为锐角三角形,所以他们只是一味地在锐角等腰三角形中分析该问题,而忽略了该等腰三角形有可能为钝角三角形的情况,这就是典型的思维定势．２解决策略总结通过上面三道例题可以发现,解决等腰三角形中不确定性问题的方法就是分类讨论．接下来,笔者将具体的解决策略总结如下．(１)解决角的不确定性问题角的不确定性在等腰三角形中出现的几率较大,解决这类问题通常按照下面的思路解决:首先,应知晓题中所给条件中的 角 是否已经明确了其是顶角还是底角．如果已经确定,则按照题意直接分析即可;如果尚未确定,则需分 角是顶角 和 角是底角 两种情况进行讨论．最后,将分类讨论的结果进行综合,得到最终的解题结果．解决这类问题时,需注意两个方面:①在分类讨论过程中,应根据审题结果画出相应的图形;②解题的最后一定要将分类讨论计算的结果综合起来得到最终的解题结果,即 综上 这个步骤不能忽略[３]．(２)解决边的不确定性问题边的不确定性和角的不确定性一样,在等腰三角形中出现的几率也比较大．如果题目告知三角形为等腰三角形,但并未明确边的类型,即并未告知边是腰还是底边,那么应按照下面的思路解决这类问题:首先,应在认真审题的基础上知晓题中是否明确了边为腰还是底边．如果已经确定,那么只要直接根据题意进行分析和计算即可;如果尚未确定,则需分 边是腰 和 边是底边 两种情况进行讨论．同时,在分析之前一定要根据具体的情况和要求画出相应的图形,切勿在脑中天马行空．最后,将分类讨论的结果进行综合,得到最终的解题结果．在解决这类问题时,同样需注意两个方面:①根据审题结果画出相应的图形,是利用分类讨论思想解决该类问题的第一步．只有根据条件画出相应的图形,才能更准确地分析问题．切勿在未画图的情况下分析问题,这样极易出错,因为初中生的抽象思维还较弱．②既然是利用分类讨论思想解决该类问题,那么最后同样需要将分类讨论计算的结果综合起来．(３)解决形状不确定性的问题形状的不确定性虽然在等腰三角形中不多见,但是,只要一出现往往比较难以解决,且学生发现题目需要分类讨论的可能性极小．因此,形状不确定的问题需要教师和学生足够重视,教师要多呈现这类例题,以通过分析不断拓宽学生的视野,提升学生的解题能力．解决等腰三角形形状的不确定问题,应该按照如下步骤进行:首先,在画出符合题意的图形后,潜意识中一定要问 是这样的吗? 是只有这一种情况吗? 等问题,以此寻找突破思维定势的 点 ．一旦养成这样的习惯,那么这类问题漏解的可能性就会逐渐减小．其次,画图㊁综合等过程和前两种不确定性问题的解决方法一样．３结语总之,等腰三角形中的不确定因素较多,要想不漏解㊁不做错,就需要时刻小心．当然,这主要还是源于优质的数学素养．为此,在学生学习的过程中,教师有必要不断引导或指导学生利用分类讨论思想分析问题㊁解决问题并进行反思．参考文献:[１]方建文．对分类讨论思想的思考 以 等腰三角形中的问题 为例[J]．数学教学通讯,２０１６(１１):１４Ｇ１６．[２]黄立亮．基于分类讨论思想,解决存在性问题 以等腰三角形存在性问题为例[J]．中学数学,２０２１(１４):６７Ｇ６８,８９．[３]顾艳．分类讨论思想在数学教学中的渗透 以中考一轮复习课«等腰三角形问题»为例[J]．教育研究与评论(课堂观察),２０１９(４):６０Ｇ６３．Z５６。
高三数学备考冲刺140分问题12三角形中的不等问题含解析
问题12 三角形中的不等问题一、考情分析根据条件确定三角形中角、边、周长或面积的取值范围是解三角形中较难的一类问题,常作为客观题中的压轴题或解答题中的第二问. 二、经验分享(1)求角的范围或三角函数值的范围要注意三角形内角和为π这一限制条件．(2)求边的范围可利用正弦定理把边转化为三角函数,利用三角函数的有界性求范围．或根据角的范围利用余弦定理求边的范围,同时要注意两边之和大于第三边.(3)求周长或面积的范围与最值可转化为边与角的范围,也可利用基本不等式求范围． 三、知识拓展(1)若△ABC 是锐角三角形,则,、(2)若△ABC 中,若A 是锐角,则222a b c +>；若A 是钝角,则222a b c +<(3) △ABC 中,若π3A =,则, ,=.(4)若,,a b c 成等差数列,则π3B ≤. 四、题型分析(一) 角或角的三角函数的范围或最值 【例1】【湖北省2019届高三1月联考】在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由题意利用正弦定理化简已知等式，利用同角三角函数间基本关系可求tan A ＝3tan B ，进而利用正弦定理，基本不等式化简所求即可求解．【解析】∵a cos B ﹣b cos A，∴由正弦定理化简得：sin A cos B ﹣sin B cos Asin C sin （A +B ）sin A cos B cos A sin B，整理得：sin A cos B＝3cos A sin B，∴cos A cos B＞0，∴tan A＝3tan B；∴则222．∴可得的最小值为．故选D．【点评】求三角函数式的范围一般是先确定角的范围,利用利用三角函数的单调性及有界性求范围与最值,有时也利用基本不等式求最值.【点评】本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题,属于难题.求范围问题的常见方法有①配方法；②换元法；③不等式法；④图象法；⑤函数单调性法：将问题转化为关于某一参变量的函数后,首先确定函数的定义域,然后准确地找出其单调区间 ,最后再根据其单调性求凼数的值域；本题就是先将BE CF表示为关于t的函数,再根据方法⑤解答的.【小试牛刀】【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟】的内角所对的边分别为，已知，，则的最小值为__________．【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，由余弦定理，得，即.(三) 周长的范围或最值【例3】【2018届江西省K12联盟高三教育质量检测】在锐角ABC ∆中, 2c =,.（1）若ABC ∆求a 、b ； （2）求ABC ∆的周长的取值范围.【分析】（1）利用已知条件通过正弦定理集合三角形的面积,余弦定理转化求解即可； （2）利用正弦定理表示三角形的周长,利用三角函数的有界性求解即可．（2）由正弦定理得,,记ABC ∆周长为l ,则,又23A B π+=,,ABC ∆为锐角三角形,.【点评】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径.【小试牛刀】C ∆AB 中,角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ,且．（1）求角A ；（2）若2a =,求C ∆AB 的周长的最大值． 【答案】（1）60A =︒；（2）6．(四) 面积的范围与最值【例4】如图,在等腰直角三角形OPQ 中,∠POQ ＝90°,OP ＝,点M 在线段PQ 上．(1)若OM =求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上,且∠MON ＝30°,问：当∠POM 取何值时,△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值． 【分析】第(1)题利用余弦定理求MP 的长,难度不大；第(2)题求△OMN 的面积最小值,前面的要求也很明确：以∠POM 为自变量,因此,本题的中点就是如何将△OMN 的面积表示为∠POM 的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中,利用正弦定理将OM 和ON 的长表示为∠POM 的函数是关键.【解析】(1)在OMP ∆中,,OM =OP =由余弦定理得, ,得, 解得1MP =或3MP =．由31cos =A ,不妨设外接圆的半径R ＝3．则OA ＝OB ＝OC ＝3．∵cos ∠COD ＝13OD OC =,∴OD ＝1,DC ＝＝2．∴B (−2C (2,0),O (0,1),A (m ,n )． 则△ABC 外接圆的方程为：x 2＋(y －1)2＝9．(*) ∵,∴(－m ,1－n )＝x (−2−m ,−n )＋y (2−m ,−n ),∴’∵1x y +≠时,否则CO xCB =,由图可知是不可能的.∴可化为,代入(*)可得,化为18(x ＋y )＝9＋32xy ,【答案】D【点评】三角函数值也是一个实数,所以,它也可以与其他实数进行代数运算,也可以与其它知识点进行交汇,如向量、数列、不等式等等,解题中要综合这些知识和相关方法,灵活处理,才能既快又准的解决问题. 【小试牛刀】【山东省日照2019届高三上学期第二次检测】已知M 是△ABC 内的一点，且=4，∠BAC=30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为1，x ，y ，则的最小值是（ ）A ．20B ．18C ．16D ．9 【答案】D 【解析】因为=4，∠BAC=30°，所以。
2019届高三数学备考冲刺140分问题12三角形中的不等问题含解析20190426224
问题12 三角形中的不等问题一、考情分析根据条件确定三角形中角、边、周长或面积的取值范围是解三角形中较难的一类问题,常作为客观题中的压轴题或解答题中的第二问. 二、经验分享(1)求角的范围或三角函数值的范围要注意三角形内角和为π这一限制条件．(2)求边的范围可利用正弦定理把边转化为三角函数,利用三角函数的有界性求范围．或根据角的范围利用余弦定理求边的范围,同时要注意两边之和大于第三边.(3)求周长或面积的范围与最值可转化为边与角的范围,也可利用基本不等式求范围． 三、知识拓展(1)若△ABC 是锐角三角形,则,、(2)若△ABC 中,若A 是锐角,则222a b c +>；若A 是钝角,则222a b c +<(3) △ABC 中,若π3A =,则, ,=.(4)若,,a b c 成等差数列,则π3B ≤. 四、题型分析(一) 角或角的三角函数的范围或最值 【例1】【湖北省2019届高三1月联考】在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由题意利用正弦定理化简已知等式，利用同角三角函数间基本关系可求tan A ＝3tan B ，进而利用正弦定理，基本不等式化简所求即可求解．【解析】∵a cos B ﹣b cos A，∴由正弦定理化简得：sin A cos B ﹣sin B cos Asin Csin （A +B ）sin A cos B cos A sin B，整理得：sin A cos B＝3cos A sin B，∴cos A cos B＞0，∴tan A＝3tan B；∴则222．∴可得的最小值为．故选D．【点评】求三角函数式的范围一般是先确定角的范围,利用利用三角函数的单调性及有界性求范围与最值,有时也利用基本不等式求最值.【点评】本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题,属于难题.求范围问题的常见方法有①配方法；②换元法；③不等式法；④图象法；⑤函数单调性法：将问题转化为关于某一参变量的函数后,首先确定函数的定义域,然后准确地找出其单调区间 ,最后再根据其单调性求凼数的值域；本题就是先将BE CF表示为关于t的函数,再根据方法⑤解答的.【小试牛刀】【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟】的内角所对的边分别为，已知，，则的最小值为__________．【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，由余弦定理，得，即.(三) 周长的范围或最值【例3】【2018届江西省K12联盟高三教育质量检测】在锐角ABC ∆中, 2c =,.（1）若ABC ∆求a 、b ； （2）求ABC ∆的周长的取值范围.【分析】（1）利用已知条件通过正弦定理集合三角形的面积,余弦定理转化求解即可； （2）利用正弦定理表示三角形的周长,利用三角函数的有界性求解即可．（2）由正弦定理得,,记ABC ∆周长为l ,则,又23A B π+=,,ABC ∆为锐角三角形,.【点评】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径.【小试牛刀】C ∆AB 中,角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ,且．（1）求角A ；（2）若2a =,求C ∆AB 的周长的最大值． 【答案】（1）60A =︒；（2）6．(四) 面积的范围与最值【例4】如图,在等腰直角三角形OPQ 中,∠POQ ＝90°,OP ＝,点M 在线段PQ 上．(1)若OM =求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上,且∠MON ＝30°,问：当∠POM 取何值时,△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值． 【分析】第(1)题利用余弦定理求MP 的长,难度不大；第(2)题求△OMN 的面积最小值,前面的要求也很明确：以∠POM 为自变量,因此,本题的中点就是如何将△OMN 的面积表示为∠POM 的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中,利用正弦定理将OM 和ON 的长表示为∠POM 的函数是关键.【解析】(1)在OMP ∆中,,OM =OP =由余弦定理得, ,得, 解得1MP =或3MP =．由31cos =A ,不妨设外接圆的半径R ＝3．则OA ＝OB ＝OC ＝3．∵cos ∠COD ＝13OD OC =,∴OD ＝1,DC ＝＝2．∴B (−2C (2,0),O (0,1),A (m ,n )． 则△ABC 外接圆的方程为：x 2＋(y －1)2＝9．(*) ∵,∴(－m ,1－n )＝x (−2−m ,−n )＋y (2−m ,−n ),∴’∵1x y +≠时,否则CO xCB =,由图可知是不可能的.∴可化为,代入(*)可得,化为18(x ＋y )＝9＋32xy ,【答案】D【点评】三角函数值也是一个实数,所以,它也可以与其他实数进行代数运算,也可以与其它知识点进行交汇,如向量、数列、不等式等等,解题中要综合这些知识和相关方法,灵活处理,才能既快又准的解决问题. 【小试牛刀】【山东省日照2019届高三上学期第二次检测】已知M 是△ABC 内的一点，且=4，∠BAC=30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为1，x ，y ，则的最小值是（ ）A ．20B ．18C ．16D ．9 【答案】D 【解析】因为=4，∠BAC=30°，所以。
高考数学命题热点名师解密：专题(32)不等式的性质的解题技巧(理)(含答案).doc
专题32 不等式的性质的解题技巧一．【学习目标】1．了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用．二．【知识要点】1．不等式的定义用不等号“>，≥，＜，≤，≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫做不等式． 2．实数大小顺序与运算性质之间的关系a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b ．3．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b < a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(3)可加性：a >b ⇔a+c >b+c ；a >b ，c >d ⇒a+c >b +d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac < bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ； (5)倒数法则：a >b ，ab >0⇒11a b<； (6)乘方性质：a >b >0⇒nna b > (n ≥2，n ∈N *)；(7)开方性质：a >b >0⇒>n ≥2，n ∈N *)；(8)有关分数的性质：若a >b >0，m >0，则 ①真分数的性质：b a <b ＋ma ＋m； b a >b －m a －m(b －m >0)； ②假分数的性质：a b >a ＋mb ＋m； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．基本不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab ；变式：a 2＋b 22≥ab ；当且仅当a ＝b 时等号成立；(2)如果a ≥0，b ≥0，则a ＋b2≥ab ；变式：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．5．(1)若a >0，b >0，且a ＋b ＝P (定值)，则由ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝P 24可知，当a ＝b 时，ab 有最大值P 24；(2)若a >0，b >0且ab ＝S (定值)，则由a ＋b ≥2ab ＝2S 可知，当a ＝b 时，a ＋b 有最小值2S .三．典例分析（一）由已知条件判断不等式 例1．已知条件甲：，条件乙：且，则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件与必要条件，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 练习1．已知，有下列命题：①若，则；②若，则； ③若，则； ④若，则；其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】①取,则，但,故①错；②因,所以,因此；即②正确；③因,所以，故③正确；④因，由，得,所以,故④正确.练习2．有下列四个命题：①已知-1＜a＜b＜0，则0.3a＞a2＞ab；②若正实数a、b满足a+b=1，则ab有最大值；③若正实数a、b满足a+b=1，则有最大值；④∀x，y∈（0，+∞），x3+y3＞x2y+xy2．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】①已知﹣1＜a＜b＜0，则0.3a＞1，1＞a2＞ab＞0，即有0.3a＞a2＞ab正确；②若正实数a、b满足a+b＝1，则ab≤（）2，有最大值正确；③若正实数a、b满足a+b＝1，则，有最大值正确；练习3．设，给出下列三个结论：①；②；③．其中所有的正确结论的序号是 ( )A．①③ B．①② C．②③ D．①②③【答案】B【解析】逐一分析所给的不等式：由于，故，结合可得，说法①正确；由于，故幂函数在区间上单调递减，结合可得，说法②正确；由于，故，对数函数单调递减，故，说法③错误.综上可得：所有的正确结论的序号是①②.本题选择B选项.练习4．已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意在区间内有唯一实数解令，解得，∴函数在区间[1，e]上单调递增，则，则的取值范围为.故选A.（三）作差法比较大小例3．已知，，，则与的大小关系为A． B． C． D．【答案】D【解析】因为,所以,故选D.练习1．设，，，，则的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以可得因为，所以递减，所以可得，故选D.练习2．设且，则与的大小关系为( )A． B． C．与值有关,大小不定 D．以上都不正确【答案】A【解析】，，当时, ，；当时,；当时,，，综上可得，故选A.练习3．若则下列式子：（1），（2），（3），（4）.其中恒成立的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】(1) =,当a=1,b=-2.时不等式不成立；(2) =当a=1,b=-1时，不等式不成立；(3)恒成立.选项正确.(4),故不正确.故答案为：A.（四）作商法比较大小15．设＜＜＜1，则( )A．a a＜a b＜b a B．a a＜b a＜a b C．a b＜a a＜b a D．a b＜b a＜a a【答案】C【解析】∵＜＜＜1，∴0＜a＜b＜1.∴＝a a－b＞1.∴a b＜a a.∵＝，,0＜＜1，a＞0，∴＜1.∴a a＜b a.∴a b＜a a＜b a.故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查比较法和指数函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差. 练习1．若a ＞0，b ＞0，则p ＝与q ＝a b ·b a的大小关系是( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ＜q 【答案】A【解析】,若则，；若则，∴若则，∴p ≥q ，故选：A练习2．设ln22a =， ln33b =， ln55c =，则,,a b c 三个数从大到小的排列顺序为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c a b >> 【答案】B 【解析】由题意得．∵，∴b a >．又，∴a c >．∴ b a c >>．选B ．（五）利用不等式性质证明不等式 例5．已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”. （1）若是“一阶比增函数”，求实数a 的取值范围。
黄冈市二轮复习专题：三角形中的不等和最值问题
三角形中的不等和最值问题新课标下高考数学题中以三角形中的不等和最值问题为载体，不仅仅需要用到三角变换、正余弦定理，往往还需要涉及基本不等式以及求函数值域；因而三角形中的不等和最值问题已成为高考命题的一个热点。
纵观近几年高考三角形中的不等和最值问题的考查，重点放在正余弦定理与三角函数性质、基本不等式和向量知识的结合上；要求学生有较强的逻辑思维能力、三角恒等变形能力以及准确的计算能力，才能顺利解答。
从实际教学来看，这部分知识综合性大，涉及知识面广，学生解决感觉较困难，分析原因，除了这类题目本身有一定难度，主要是学生的三角恒等变形能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1 三角形中的不等关系三角形中的不等关系主要有：1.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；2.任一角都大于00而小于1800,任意两角之和也是大于00而小于1800;3.设角A是一三角形的内角,则1sin0≤<A;4.在锐角三角形中, 任意两角之和也是大于900而小于1800;5.在同一三角形中大边对大角,大角对大边等等.运用好这些不等关系,是解决与三角形有关问题的关键.例 1 【浙江省慈溪市、余姚市2015届高三上学期期中联考数学理试题】在ABC∆中，“sin sinA B>”是“A B>”的条件．思路分析：由正弦定理知sin sina bA B=，由sinA＞sinB，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可得结论．2 三角形的不等与三角变换：解三角形主要用到四点:一是正余弦定理;二是大边对大角,大角对大边;三是设角A是一三角形的内角,则1sin0≤<A;四是三角形的面积公式；用三恒等变形公式按目的进行变形化简是关键。
例 2【2014重庆高考理第10题】已知ABC∆的内角21)sin()sin(2sin,+--=+-+BACCBAACBA满足，，面积S满足CBAcbaS,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A.8)(>+cbbc B.()162ac a b+> C.126≤≤abc D.1224abc≤≤思路分析：首先注意到A+B+C=π,从而可知A-B+C=π-2B,C-A-B=2C-π结合诱导公式就可将已知等式转化为: 212sin 2sin 2sin =++C B A ,再利用三角恒等变形公式可化为81sin sin sin =C B A ;然后再注意由三角形面积公式及正弦定理得：C B A R s sin sin sin 4212⨯= 及已知21≤≤s 可求得248R ≤≤; 所以有abc acb abc c b bc >+⨯=+)(从而可获结论。
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第32炼 解三角形中的不等问题一、基础知识： 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。
其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。
如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-变式：()()2221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值3、三角形面积公式：（1）12S a h =⋅ （a 为三角形的底，h 为对应的高） （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===（3）211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅=（其中R 为外接圆半径）4、三角形内角和：A B C π++=，从而可得到：（1）正余弦关系式：()()sin sin sin A B C B C π=-+=+⎡⎤⎣⎦ ()()cos cos cos A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦ （2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的 5、两角和差的正余弦公式：()sin sin cos sin cos A B A B B A ±=± ()cos cos cos sin sin A B A B A B ±=6、辅助角公式：()sin cos a A b B A ϕ+=+，其中tan b aϕ=7、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。
由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 （2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效。
8、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域 （2）利用均值不等式求得最值 二、例题精析：例1：△ABC 各角的对应边分别为c b a ,,，满足1b c a c a b+≥++，则角A 的范围是 A ．(0,]3πB ．(0,]6πC ．[,)3ππD ．[,)6ππ思路：从所给条件入手，进行不等式化简：1b ca c a b+≥++ ()()()()222b a b c a c a c a b b c a bc ⇒+++≥++⇒+≥+，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示cos A ：222b c a bc +≥+2221cos 22b c a A bc +-⇒=≥，可解得：0,3A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦答案：A例2：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b csin cC = （1）求A 的大小（2）若6a =，求b c +的取值范围解：（1sin cC=可考虑使用正弦定理，将分子进行“边化角”sin1sin sin c CC C=⇔== t a nA ∴=3A π∴=（2）思路：考虑在ABC 中，已经已知,A a ，从而可求出外接圆半径R ，进而,B C 与,b c 也可进行边角互化。
若从边的角度考虑，则能够使用的不等关系只有“两边之和大于第三边”，但不易利用60A = 这个条件，考虑利用角来解决解：sin sin sin b c aB C A===,b B ∴= c C =3A π=2233B C C B ππ∴+=⇒=-)2sin sin sin sin 3b c B C B B π⎫⎛⎫∴+=+=+- ⎪⎪⎝⎭⎭11sin cos sin 12cos 12sin 22226B B B B B B π⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭203B π<<51,,sin ,166662B B ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎤∴+∈+∈ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦(]6,12b c ∴+∈例3：在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 2b C a c =-（1）求角B（2）求sin sin A C 的取值范围解：（1）方法一：使用余弦定理2222cos 2222a b c b C a c b a c ab+-=-⇒⋅=- 222222b c a ac b a c ac ∴--=-⇒=+-由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+- 1c o s 23B B π∴=⇒= 方法二：观察等式,,a b c 齐次，考虑使用正弦定理2cos 22sin cosC 2sinA sinC b C a c B =-⇒=-()2sin cos 2sin sin sin 2sin cos B C B C C C C B ⇒=+-⇒= 1cos 23B B π∴=⇒= （2）2233A C C A ππ+=⇒=-2211sin sin sin sin cos sin 322A A A A A A A A π⎫⎛⎫∴-=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1c o s 211i n 2s i n 24264A A A π-⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭ABC 为锐角三角形 ,,0,2A B C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ 02262032A A A πππππ⎧<<⎪⎪∴⇒<<⎨⎪<-<⎪⎩52,666A πππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭ 1s i n 2,162A π⎛⎫⎛⎤∴-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ 13sin sin ,24A C ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦小炼有话说：要注意对锐角三角形条件的运用：三个角均为锐角，而C 用A 代换，所以C 满足锐角的条件也由A 来承担，这也是在利用等式消元时所要注意的一点：若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。
例4：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()sin sin sin A C p B p R +=∈，且214ac b =（1）当5,14p b ==时，求,a c 的值（2）若角B 为锐角，求p 的取值范围解：（1）555sin sin sin 444A C B a c b +=⇒+== 14ac =5141144a a c c ac ⎧=+=⎧⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩或141a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ （2）思路：以“角B 为锐角”为突破口，联想到余弦定理，而21,4a c pb ac b +==也刚好得到p 与cos B 的关系式，再由0cos 1B <<可解得p 的范围解：考虑余弦定理()()22222cos 21cos b a c ac B a c ac B =+-=+-+()222211cos 2b p b b B ∴=-+ 231cos 22p B ∴=+B 为锐角，0cos 1B ∴<< 23,22p ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭0a c pb p +=⇒>p ∴∈⎝例5：若ABC ∆的内角满足sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是思路：所求cos C 的最值可想到余弦定理用边进行表示，222cos 2a b c C ab +-=，考虑sin sin 2sin A B C =角化边得到：2a c =，进而消去c 计算表达式的最值即可解：222cos 2a b c C ab +-=由sin 2sin A B C =可得：2a c +=c ∴=2222222231231422cos 222844a a b a b a b c a b C ab ab ab b a ⎛⎫++- ⎪++-⎝⎭∴====⋅+⋅-≥=例6：在锐角ABC ∆中2,A B ∠=∠B ∠、C ∠的对边长分别是b 、c ,则+bb c 的取值范围是( )A ．11(,)43B ．11(,)32C ． 12(,)23D ．23(,)34思路：本题所给条件为角的关系，不易从边入手，所以将所求进行边化角：s i n 1s i n +s i n s i n 1s i n b B C b c B C B==++，只需求出sin sin C B 的范围即可。
条件所给的是,A B 关系，从而sin sin cos sin cos sin sin C A B B A B B +=，利用2,A B ∠=∠减少角的个数：2sin sin22sin cos ,cos cos22cos 1A B B B A B B ====-，代入可得：2sin 4cos 1sin CB B=-，根据锐角三角形求出B 的范围即可。
解：sin 1sin +sin sin 1sin b B C b c B C B==++()sin sin sin cos sin cos sin sin sin A B C A B B AB B B++== 由22sin sin22sin cos ,cos cos22cos 1A B A B B B A B B ∠=∠⇒====-222sin 2sin cos sin cos22cos cos24cos 1sin sin C B B B B B B B B B+∴==+=- 因为ABC ∆为锐角三角形 02022032B A B C B ππππ⎧<<⎪⎪⎪∴<=<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩解得：64B ππ<<cos B ∴∈⎝⎭()2sin 4cos 11,2sin CB B ∴=-∈ 111,sin +321sin b C b c B⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭+ 答案：B小炼有话说：本题的关键点有两个，一个是解题系统的确定，由于题目中没有涉及到边的关系，只是给了角的条件，所以优先选择角的系统，从而进行角化边的处理，并进行了一个分式的常见变形，将变量集中在分母上。
另一个就是主元的确定：本题的主元是B ，所以在求表达式范围时将,A C 均用B 来进行表示，以便于求得值域。