八数下第二章 §2.1 不等关系
专题2-1 不等关系与不等式性质(知识讲解)-八年级数学下册(北师大版)
专题2.1 不等关系与不等式性质（知识讲解）【学习目标】1．理解不等式的意义，能用不等关系符号刻画现实世界中的数量关系.3. 掌握不等式的三条基本性质，并能简单应用.【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．特别说明：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．要点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c )．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．特别说明：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．用不等式表示：（1）a与2的和是正数．（2）x与y的差小于3．（3）x，y两数和的平方不小于4．（4）x的一半与y的2倍的和是非负数．【答案】（1）a+2＞0 （2）x-y＜3 （3）(x+y)2≥4 （4）12x+2y≥0【分析】结合不等式的定义以及题意列不等式即可．（1）因为正数都大于0，所以“a与2的和是正数”可表示为：a+2＞0（2）“x与y的差小于3”可表示为：x-y＜3（3）因为“不小于3”就是“大于或等于”，所以“x，y两数和的平方不小于4”可表示为：(x+y)2≥4（4）因为“非负数”就是“正数或0”，所以“x的一半与y的2倍的和是非负数”可表示为：12x+2y≥0【点拨】本题考查了列不等式，用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式．如5x>，像3x≠这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式．注意①常见的符号有“＞、＜、≠、≥、≤”，分别读作“大于、小于、不等于、大于或等于、小于或等于”．其中“≥”又读作“不小于”，“≤”又读作“不大于”．①在不等式“a b>”或“a b<”中，a叫不等式的左边，b叫不等式的右边．①在列不等式时，一定要注意表示不等式关系的关键词，如：正数、非负数、不大于、至少等．举一反三：【变式1】有两种商品其单价总和超过100元，且甲商品的单价是乙商品单价的2倍少10元，设未知数，并用不等式表示出上述关系；【答案】设乙商品的价格为x元，x+2x-10＞100【分析】设乙商品的价格为x元，表示出甲商品的价格，然后根据两商品的单价总和超过100元，列不等式即可．解：设乙商品的价格为x元，则甲商品的价格为（2x-10）元，由题意得，x+2x-10＞100．即不等式为：x+2x-10＞100．【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．【变式2】通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄；通常规定以树干离地面1.5米的地方作为测量的部位，某棵树栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm，这棵树至少生长多少年，其树围才能超过2.4m？根据题意，完成下面填空：（1）题目涉及的两个有关系的量，分别是：_____________________________；（2）设生长年份为x，则树围用x表示为：__________________；（3）用文字叙述生长年份与树围满足的不等关系是：______________________________；（4）用适当的不等号表示（3）中的不等关系：___________________________；【答案】（1）生长年份，树围；（2）5+3x；（3）这棵树生长x年，其树围才能超过2.4m；（4）5+3x>240【分析】（1）由题可知两个有关系的量分别是生长年份和树围；（2）栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm，可知x年后，树围为(5+3x)m；（3）这棵树生长x年，其树围才能超过2.4m；（4）由题意可得5+3x>2.4×100.解：（1）由题可知两个有关系的量分别是生长年份和树围；故答案为生长年份，树围；（2）栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm，可知x年后，树围为(5+3x)cm；故答案为5+3x；（3）用文字叙述生长年份与树围满足的不等关系是：这棵树生长x 年，其树围才能超过2.4m ；故答案为这棵树生长x 年，其树围才能超过2.4m ；（4）用适当的不等号表示（3）中的不等关系为：5+3x>2.4×100，故答案为5+3x>240【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．类型二、不等式的性质2．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式． （1）15x -<； （2）413x -≥； （3）1142x -+≥； （4）410x -<-．【答案】（1）6x < （2）1≥x （3）6x ≤- （4）52x > 【分析】（1）根据不等式的性质1解答即可；（2）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质2解答； （3）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质3解答； （4）根据不等式的性质3解答即可；（1）解：15x -<，两边加上1得：1151x -+<+， 解得：6x <； （2）解：413x -≥，两边加上1得：41131x -+≥+，即44x ， 两边除以4得：1≥x ； （3）解：1142x -+≥，两边减去1得：111412x -+-≥-，即132x -≥，两边除以12-得：6x ≤-；（4）解：410x -<-，两边除以4-得：52x >． 【点拨】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．举一反三：【变式1】已知x y >，下列不等式一定成立吗？（1）66x y -<-；（2）33x y <；（3）22x y -<-；（4）2121x y +>+． 【答案】（1）不成立；（2）不成立；（3）成立；（4）成立． 【分析】根据不等式的性质，对选项逐个判断即可． 解：（1）①x y >①66x y ->-，不等式两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变； 不等式66x y -<-不成立； （2）①x y >①33x y >，不等式两边同时乘以一个大于零的数，不等号方向不变； 不等式33x y <不成立； （3）①x y >①22x y -<-，不等式两边同时乘以一个小于零的数，不等号方向改变； 不等式22x y -<-成立； （4）①x y >①22x y > ①2121x y +>+ 不等式2121x y +>+成立【点拨】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的有关性质是解题的关键． 【变式2】说明：（1）由314x -≤，得43x ≥-，是如何变形的？依据是什么?（2）由a b >，得ax bx >的条件是什么？为什么？ （3）由a b >，得ax bx ≤的条件是什么？为什么？【答案】（1）不等式两边同时乘以43-，依据是不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；（2）条件是0x >，理由是不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向；（3）条件是0x ≤，当0x <时，理由是当0x <时，不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；当0x =时，左边=右边0=．【分析】（1）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向即可得； （2）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得； （3）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向、以及等式的性质即可得．解：（1）不等式两边同时乘以43-，依据是不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；（2）条件是0x >，理由是不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向； （3）条件是0x ≤，理由如下：当0x <时，不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；当0x =时， 左边=右边0=．【点拨】本题考查不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键．类型三、不等式性质的应用3．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若0a b ->，则a b >；若0a b -=，则a b =；若0a b -<，则a b <．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请运用这种方法尝试解决下面的问题：（1）比较22432a b b +-+与2321a b -+的大小； （2）若223a b a b +>+，比较a 、b 的大小． 【答案】（1）222432321a b b a b +-+>-+；（2）a b < 【分析】（1）直接用22432a b b +-+减去2321a b -+得出的结果与0进行比较即可得到答案；（2）直接解不等式即可.解：（1）()222243232130a b b a b b +-+--+=+>，①222432321a b b a b +-+>-+；（2）①223a b a b +>+，①()()2230a b a b a b +-+=-+>， ①a b <．【点拨】本题主要考查了整式的减法运算，解不等式，不等式的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.举一反三：【变式1】阅读材料：形如2213x <+<的不等式，我们就称之为双连不等式，求解双连不等式的方法一，转化为不等式组求解，如221213x x <+⎧⎨+<⎩；方法二，利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去1，得122x <<，然后同时除以2，得112x <<． 解决下列问题：（1）请你将双连不等式534x -≤-<转化为不等式组． （2）利用不等式的性质解双连不等式2235x ≥-+>-．【答案】（1）5334x x -≤-⎧⎨-<⎩；（2）142x ≤<【分析】（1）根据阅读材料中的方法将双连不等式化为不等式组即可； （2）利用不等式的基本性质求出所求即可．解：（1）534x -≤-<转化为不等式组为5334x x -≤-⎧⎨-<⎩．（2）2235x ≥-+>-，不等式的左、中、右同时减去3， 得128x -≥->-，同时除以2-，得142x ≤<【点拨】此题考查了解一元一次不等式组，以及不等式的定义，弄清阅读材料中的转化方法是解本题的关键．【变式2】在△ABC 中，AB ＝9，BC ＝2，AC ＝x ． （1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 的周长为偶数，则△ABC 的周长为多少？ 【答案】（1）7＜x ＜11；（2）20【分析】（1）根据三角形的三边关系列出不等式求解即可．（2）根据第三边取值范围和三角形周长表达式列式计算即可．解：（1）由题意知，9﹣2＜x＜9+2，即7＜x＜11；（2）①7＜x＜11，①x的值是8或9或10，①①ABC的周长为：当x=8时，9+2+8＝19(舍去)；当x=9时，9+2+9＝20符合题意当x=10时，9+2+10＝21(舍去)；即该三角形的周长是20．【点拨】本题主要考查了三角形的三边关系，不等式的性质，利用三角形三边关系建立不等式是解题的关键．。
2.1《不等关系》习题含解析北师大八年级下
《不等关系》习题一、选择题1．下面给出了5个式子：①3＞0，②4x+3y＞O，③x=3，④x﹣1，⑤x+2≤3，其中不等式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．若m是非负数，则用不等式表示正确的是（）A．m＜0B．m＞0C．m≤0 D．m≥03．某市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（）A．18＜t＜27B．18≤t＜27 C．18＜t≤27 D．18≤t≤274．无论x取什么数，下列不等式总成立的是（）A．x+5＞0B．x+5＜0 C．x2＜0 D．x2≥05．高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙≥150毫克”，它的含义是指（）A．每100克内含钙150毫克B．每100克内含钙不低于150毫克C．每100克内含钙高于150毫克D．每100克内含钙不超过150毫克6．在下列式子中，不是不等式的是（）A．2x＜1B．x≠﹣2C．4x+5＞0D．a=37．“a＜b”的反面是（）A．a≠b B．a＞b C．a≥b D．a=b二、填空题8．用不等号“＞、＜、≥、≤”填空：a2+10．11．k的值大于﹣1且不大于3，则用不等式表示k的取值范围是．（使用形如a≤x≤b的类似式子填空．）三、解答题12．在生活中不等关系的应用随处可见．如图表示机动车驶入前方道路的最低时速限制．此标志设在高速公路或其他道路限速路段的起点，你会表示这些不等关系吗？13．一种药品的说明书上写着：“每日用量120～180mg，分3～4次服完．”一次服用这种药的剂量在什么范围？14．在数轴上有A，B两点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是1．已知A，B两点的距离小于3，请你利用数轴．（1）写出a所满足的不等式；（2）数﹣3，0，4所对应的点到点B的距离小于3吗？15．用适当的符号表示下列关系：（1）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；（2）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；（3）明天下雨的可能性不小于70%；参考答案一、选择题1．答案：B解析：【解答】根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以①②⑤为不等式，共有3个．故选B．【分析】主要依据不等式的定义用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．2．答案：D解析：【解答】非负数即正数或0，即＞或等于0的数，则m≥0．故选D．【分析】根据非负数的定义．3．答案：D解析：【解答】∵贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，某一天的气温为t℃，∴27≤t≤18．故选D．【分析】用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式是解答此题的关键．4．答案：D解析：【解答】A、当x≤﹣5时，不等式不成立，故此选项错误；B、当x≥﹣5时，不等式不成立，故此选项错误；C、当x=0时，不等式不成立，故此选项错误；D、无论x为何值，不等式总成立，故此选项正确；故选：D．【分析】根据题意，找出能使不等式成立的条件即可．5．答案：B解析：【解答】根据≥的含义，“每100克内含钙≥150毫克”，就是“每100克内含钙不低于150毫克”，故选：B．【分析】“≥”就是不小于，在本题中也就是“不低于”的意思．6．答案：D解析：【解答】A、B、C是不等式，D是等式，故选：D．【分析】根据不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式可得答案．7．答案：C解析：【解答】a＜b的反面是a=b或a＞b，即a≥b．故选C．【分析】a与b有三种关系：a=b，a＞b，a＜b，所以a＜b的反面是a=b或a＞b，明确“a＜b”的反面的意义是解题的关键．二、填空题8．答案：＞解析：【解答】根据a2≥0，∴a2+1＞0，故答案为：＞．【分析】根据非负数的性质可得a2≥0，进而得到a2+1＞0．9．答案：﹣4．解析：【解答】因为x≥2的最小值是a，a=2；x≤﹣6的最大值是b，则b=﹣6；则a+b=2﹣6=﹣4，所以a+b=﹣4．故答案为：﹣4．【分析】解答此题要明确，x≥2时，x可以等于2；x≤﹣6时，x可以等于﹣6．10．答案：x2﹣a2≤0．解析：【解答】由题意得：x2﹣a2≤0．故答案是：x2﹣a2≤0．【分析】解决本题的关键是理解“不是正数”用数学符号应表示为：“≤0”．11．答案：﹣1＜k≤3．解析：【解答】根据题意，得﹣1＜k≤3．故填﹣1＜k≤3．【分析】此题考查了不等式的定义，解题时要读懂题意，抓住关键词语，弄清不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式，不大于意思是小于或等于以及大于的意思．三、解答题12．答案：见解答过程．解析：【解答】①设时速为a千米/时，则a≥50；②设车高为bm，则b≤3.5；③设车宽为xm，则x≤3；④设车重为yt，则y≤10．【分析】先要了解图标的含义，然后根据含义列出不等式即可．图①表示最低时速限制；图②表示车辆过桥洞时限制车高的标志；图③表示车辆过桥时限制车宽的标志；图④车辆过桥时限制车重的标志．13．答案：30≤x≤60．解析：【解答】∵120÷3=40，120÷4=30，180÷3=60，180÷4=45，∴一次服用这种药的剂量在30mg～60mg之间，即30≤x≤60．【分析】用120÷3，120÷4得到每天服用100mg时3次或4次每次的剂量；180÷3，180÷4即可得到每天服用180mg时3次或4次每次的剂量，找到最少的剂量和最多的剂量即可．14．答案：（1）﹣2＜a＜4，（2）0所对应的点到B点的距离小于3．解析：【解答】（1）根据题意得：|a﹣1|＜3，得出﹣2＜a＜4，（2）由（1）得：到点B的距离小于3的数在﹣2和4之间，∴在﹣3，0，4三个数中，只有0所对应的点到B点的距离小于3．【分析】根据数轴上两点之间的距离为这两个数差的绝对值，列出不等式并解出结果．15．答案：（1）有r≥300；（2）3a+4b≤268；（3）P≥70%．解析：【解答】（1）设炮弹的杀伤半径为r，则应有r≥300；（2）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有3a+4b≤268；（3）用P表示明天下雨的可能性，则有P≥70%；【分析】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠．（1）、（3）不小于就是大于等于，用“≥”来表示；（2）不高于就是等于或低于，用“≤”表示．。
北师大版数学八年级下册2.1《不等关系》教案
北师大版数学八年级下册2.1《不等关系》教案一. 教材分析《不等关系》是北师大版数学八年级下册第2.1节的内容，主要介绍不等式的概念和基本性质。
这一节内容是学生学习不等式的重要基础，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习这一节内容前，已经学习了有理数、方程等基础知识，对于数学符号和运算有一定的了解。
但他们对不等式的概念和性质可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
三. 教学目标1.了解不等式的概念和基本性质。
2.学会用不等式表示实际问题中的不等关系。
3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.不等式的概念和基本性质。
2.如何用不等式表示实际问题中的不等关系。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法，引导学生通过观察、思考、讨论和操作，自主探索不等式的概念和性质，提高学生的参与度和实践能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学案例和练习题3.小组讨论材料七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，展示一些实际问题中的不等关系，如身高、体重、温度等，引导学生思考如何用数学符号表示这些不等关系。
2.呈现（10分钟）介绍不等式的概念和基本性质，通过示例和讲解，让学生理解不等式的含义和运用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，选取一些实际问题，尝试用不等式表示不等关系，并互相交流分享。
4.巩固（10分钟）针对每组的问题，选取几个进行讲解和分析，引导学生正确理解和运用不等式。
5.拓展（10分钟）让学生尝试解决一些不等式相关的应用题，提高学生解决实际问题的能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调不等式的概念和性质，提醒学生注意运用时的细节。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关不等式的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
8.板书（课后整理）总结本节课的主要内容和知识点，方便学生复习和回顾。
教学过程每个环节所用的时间如上所示，供您参考。
新北师大版八年级数学下册第2章教案
第二章一元一次不等式和一元一次不等式组单元教学目标：1、知识与技能：理解不等式（组）的解及解集的含义，会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示一元一次不等式的解集；会解一元一次不等式组，并会用数轴确定其解集。
2、过程与方法：经历将一些简单的实际问题抽象为不等式的过程，进一步体会模型思想，建立符号意识。
3、情感、态度与价值观：进一步感受数学与生活的紧密联系，体会数学的价值。
单元教学重点：1、能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。
2、解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示一元一次不等式的解集；会解一元一次不等式组，并会用数轴确定其解集。
3、能够根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式或一元一次不等式组，解决简单的实际问题。
单元教学难点：1、求不等式的解集和不等式组的解集，以及正确运用不等式的基本性质。
2、列一元一次不等式组解决实际问题。
单元课时安排：1、不等关系 1课时2、不等式的基本性质 1课时3、不等式的解集 1课时4、一元一次不等式 2课时5、一元一次不等式与一次函数 2课时6、一元一次不等式组 2课时7、一元一次不等式组应用 1课时回顾与思考 1课时§2.1 不等关系知识与技能目标理解不等式的意义；能根据条件列出不等式.过程与方法目标通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力.情感态度与价值观目标通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用，并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.教学重点用不等关系解决实际问题.教学难点正确理解题意列出不等式.教法与学法讨论探索法教具准备多媒体课件教学过程一、创设问题情境，引入新课我们学过等式，知道利用等式可以解决许多问题.同时，我们也知道在现实生活中还存在许多不等关系，利用不等关系同样可以解决实际问题.本节课我们就来了解不等关系，以及不等关系的应用.二、新课讲授既然不等关系在现实生活中并不少见，大家肯定接触过不少，能举出例子吗？那么，如何用式子表示不等关系呢？请看例题.(课件)例1：用两根长度均为l cm的绳子，分别围成一个正方形和圆.（1）如果要使正方形的面积不大于25 cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？（2）如果要使圆的面积不小于100 cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式？（3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？l=12呢？（4）你能得到什么猜想？改变l的取值，再试一试.本题中大家首先要弄明白两个问题，一个是正方形和圆的面积计算公式，另一个是了解“不大于”“大于”等词的含意.两数比较有大于、等于、小于三种情况，“不大于”就是等于或小于.下面请大家互相讨论，按照题中的要求进行解答.猜想:用长度均为l cm 的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l 取何值，圆 的面积总大于正方形的面积，即 42l ＞162l . 做一做：课件通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5 m 的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5 cm ，以后树围每年增加约为 3 cm.这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4 m ？（只列关系式）.［师］请大家互相讨论后列出关系式.议一议：观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式.［例］用不等式表示（1）a 是正数；（2）a 是负数；（3）a 与6的和小于5；（4）x 与2的差小于－1；（5）x 的4倍大于7；（6）y 的一半小于3.三、随堂练习当x =2时，不等式x +3＞4成立吗？当x =1.5时，成立吗？当x =－1呢？四、课时小结能根据题意列出不等式，特别要注意“不大于”，“不小于”等词语的理解.通过不等关系的式子归纳出不等式的概念.五、课后作业习题2.1 第1、2、3、4题.六、板书设计2.1 不等关系不等式：用来表示不等关系的式子叫不等式。
北师大数学八年级下册第二章-含参数一元一次不等式(组)经典讲义
第03讲_含参数一元一次不等式（组）知识图谱含参数一元一次不等式（组）知识精讲含字母的一元一次不等式（组）未知数的系数含有字母或常数项含有字母的一元一次不等式（组） 未知数的系数含有字母若0a >，axb >的解为b x a >； 若0a <，ax b >的解为bx a<；若0a =，则当0b ≥时，ax b >无解， 当0b <时，ax b >的解为任何实数已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<-- 原不等式化为：()()13214a x a x +--<--()325a x -<-（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-参数取值范围首先把不等式的解集用含有字母的代数式表示出来，然后把它与已知解集联系起来求解，在求解过程中可以利用数轴进行分析.五．易错点1.注意参数取值范围导致的变号问题．2.分清参数和未知数，不要混淆.3.解连续不等式时要注意拆分为不等式组.三点剖析一．考点：含参的一元一次方程（组）．二．重难点：参数与解集之间的关系，整数解问题，不等式与方程综合． 三．易错点：注意参数取值范围导致的变号问题．解含参一元一次不等式（组）例题1、 解关于x 的不等式：ax ﹣x ﹣2＞0． 【答案】 当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -【解析】 ax ﹣x ﹣2＞0． （a ﹣1）x ＞2，当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -．例题2、 已知a 、b 为常数，解关于x 的不等式22ax x b ->+ 【答案】 2a >时，()212b x a +>- 2a <时，()212b x a +<-2a =时，①如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数 【解析】 原不等式可化为()()221a x b ->+，（1）当20a ->，即2a >时，不等式的解为()212b x a +>-； （2）当20a -<，即2a <时，不等式的解为()212b x a +<-；（3）当20a -=，即2a =时，有 ①：如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数．例题3、 已知a 、b 为常数，若0ax b +>的解集为23x >，则0bx a -<的解集是（ ） A.32x >B.32x <C.32x >-D.32x <-【答案】 C 【解析】 该题考查的是解不等式．0ax b +>的解集为23x >，化简得2=3b a - 且a>00bx a -<的解集为a x b >，32x >-．所以该题的答案是C ．例题4、 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--【答案】 当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为：()()13214a x a x +--<-- ()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数.（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a>-例题5、 已知关于x 的不等式22m mx -＞12x ﹣1．（1）当m=1时，求该不等式的解集；（2）m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．【答案】 （1）x ＜2（2）当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2；当x ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2【解析】 （1）当m=1时，不等式为22x -＞2x﹣1，去分母得：2﹣x ＞x ﹣2， 解得：x ＜2；（2）不等式去分母得：2m ﹣mx ＞x ﹣2， 移项合并得：（m+1）x ＜2（m+1）， 当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2； 当m ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2．随练1、 解关于x 的不等式22241x x a a a-≥+．【答案】当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立； 当2a <-时，有2x a ≥-【解析】 因为0a ≠，所以20a >，将原不等式去分母，整理得()224a x a +≤-．当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立；当2a <-时，有2x a ≥-．随练2、 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--．【答案】 当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为：()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数. （1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-随练3、 解下列关于x 的不等式组：()23262111x a x x x +⎧->⎪⎨⎪+>-⎩；【答案】 13a >时，32x a >+；13a ≤时，3x >【解析】 原不等式组可化为323x a x >+⎧⎨>⎩．当323a +>，即13a >时，不等式组的解集为32x a >+．当323a +≤，即13a ≤时，不等式组的解集为3x >随练4、 已知a ，b 为实数，若不等式ax ＋b ＜0的解集为12x >，则不等式b （x －1）－a ＜0的解集为（ ）A.x ＞－1B.x ＜－1C.a b x b +>D.a b x b+< 【答案】 B【解析】 暂无解析随练5、已知关于x 的不等式()2340a b x a b -+->的解集是1x >.则关于x 的不等式()4230a b x a b -+->的解集是____________.【答案】 13x <-【解析】 ()2340a b x a b -+->， 移项得：()232a b x a b ->-，由已知解集为1x >，得到20a b ->，变形得：322a bx a b ->-，可得：3212a ba b-=-，整理得：a b =， ()4230a a x a a ∴-+->，即0a >，∴不等式()4230a b x a b -+->可化为()4230a a x a a -+->. 两边同时除以a 得：31x ->，解得：13x <-.随练6、 已知实数a 是不等于3的常数，解不等式组2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（）＜ ，并依据a 的取值情况写出其解集． 【答案】 当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3，当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a【解析】 2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（①②）＜， 解①得：x ≤3，解①得：x ＜a ，∵实数a 是不等于3的常数，∴当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3， 当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a ．随练7、 关于x 的不等式组2131x a x +>⎧⎨->⎩．（1）若不等式组的解集是1＜x ＜2，求a 的值；（2）若不等式组无解，求a 的取值范围． 【答案】 （1）a=3；（2）a≤2【解析】 （1）解不等式2x+1＞3得：x ＞1， 解不等式a ﹣x ＞1得：x ＜a ﹣1， ∵不等式组的解集是1＜x ＜2，∴a ﹣1=2， 解得：a=3；（2）∵不等式组无解， ∴a ﹣1≤1， 解得：a≤2．参数与解集之间的关系例题1、 若关于x 的一元一次不等式组011x a x x ->⎧⎨->-⎩无解，则a 的取值范围是 ．【答案】 a≥2．【解析】 由x ﹣a ＞0得，x ＞a ；由1﹣x ＞x ﹣1得，x ＜1， ∵此不等式组的解集是空集， ∴a≥1．例题2、 已知关于x 的不等式组301(2)342x a x x -≥⎧⎪⎨->+⎪⎩有解，求实数a 的取值范围，并写出该不等式组的解集．【答案】 a ＜﹣6，3a≤x ＜﹣2．【解析】 解不等式3x ﹣a≥0，得：x≥3a，解不等式12（x ﹣2）＞3x+4，得：x ＜﹣2，由题意得：3a＜﹣2，解得：a ＜﹣6，∴不等式组的解集为3a≤x ＜﹣2．例题3、 如果关于x 的不等式（a+1）x ＞a+1的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（ ） A.a ＜﹣1 B.a ＜0 C.a ＞﹣1 D.a ＞0或a ＜﹣1 【答案】 A【解析】 （a+1）x ＞a+1， 当a+1＞0时，x ＞1， 当a+1＜0时，x ＜1， ∵解集为x ＜1， ∴a+1＜0， a ＜﹣1． 故选：A ．例题4、 当1≤x≤4时，mx ﹣4＜0，则m 的取值范围是（ ） A.m ＞1 B.m ＜1 C.m ＞4 D.m ＜4 【答案】 B【解析】 设y=mx ﹣4，由题意得，当x=1时，y ＜0，即m ﹣4＜0， 解得m ＜4，当x=4时，y ＜0，即4m ﹣4＜0， 解得，m ＜1，则m 的取值范围是m ＜1，例题5、 若不等式（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -，则a 的取值范围是 ．【答案】 a ＜3．【解析】 ∵（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -， ∴不等式两边同时除以（a ﹣3）时不等号的方向改变， ∴a ﹣3＜0， ∴a ＜3．故答案为：a ＜3．例题6、 如果关于x 的不等式()122a x a +>+的解集是2x <，则a 的取值范围是（ ） A.0a < B.1a <-C.1a >D.1a >-【答案】 B【解析】 将原不等式与其解集进行比较，在不等式的变形过程中利用了不等式的性质三，因此有10a +<，故1a <-例题7、 若不等式组()322110b x x a -<--⎧⎨->⎩的解集为﹣2＜x ＜4，求出a 、b 的值．【答案】 a=﹣10，b=3．【解析】 解不等式10﹣x ＜﹣（a ﹣2），得：x ＞a+8，解不等式3b ﹣2x ＞1，得：x ＜312b -，∵解集为﹣2＜x ＜4， ∴314282a b ⎧⎪⎨-=+=-⎪⎩，解得：a=﹣10，b=3．随练1、 已知关于x 的不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2，则m 的取值范围是________． 【答案】 m ＜2【解析】 不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2， ∴m －2＜0，m ＜2．随练2、 关于x 的不等式组()3141x x x m ⎧->-⎪⎨<⎪⎩的解集为x ＜3，那么m 的取值范围是 ．【答案】 m≥3【解析】 ()3141x x x m ->-⋅⋅⋅⎧⎪⎨<⋅⋅⋅⎪⎩①②，解①得x ＜3，∵不等式组的解集是x ＜3， ∴m≥3．故答案是：m≥3．随练3、 若关于x 的一元一次不等式组202x m x m -<⎧⎨+>⎩有解，则m 的取值范围为（ ）A.23m >-B.23m ≤C.23m >D.23m ≤-【答案】 C【解析】 202x m x m -<⎧⎨+>⎩①②，解不等式①得，x ＜2m ， 解不等式②得，x ＞2－m ， ∵不等式组有解， ∴2m ＞2－m ，∴23m >．随练4、 若不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，则实数a 的取值范围是（ ）A.a≥－2B.a ＜－2C.a≤－2D.a ＞－2【答案】 D【解析】 0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥，解不等式x ＋a≥0得，x≥－a ，由不等式4－2x ＞x －2得，x ＜2，∵不等式组：不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，∴a ＞－2，随练5、 已知不等式31（x ﹣m ）＞2﹣m ． （1）若上面不等式的解集为x ＞3，求m 的值．（2）若满足x ＞3的每一个数都能使上面的不等式成立，求m 的取值范围． 【答案】 （1）23（2）m≥23 【解析】 （1）解不等式可得x ＞6﹣2m ，∵不等式的解集为x ＞3， ∴6﹣2m=3，解得m=23；（2）∵原不等式可化为x ＞6﹣2m ，满足x ＞3的每一个数都能使不等式成立， ∴6﹣2m≤3，解得m≥23．整数解问题例题1、 关于x 的不等式－1＜x≤a 有3个正整数解，则a 的取值范围是________． 【答案】 3≤a ＜4【解析】 ∵不等式－1＜x≤a 有3个正整数解， ∴这3个整数解为1、2、3， 则3≤a ＜4．例题2、 关于x 的不等式0x b ->恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ） A.32?b -<<- B.32?b -<≤- C.32b -≤≤- D.32b -≤<- 【答案】 D【解析】 本题主要考查一元一次不等式及其解法。
2023-2024学年八年级数学北师大版下册名师教学设计：第二章课题 不等式的解集
2023-2024学年八年级数学北师大版下册名师教学设计：第二章课题不等式的解集一. 教材分析北师大版八年级数学下册第二章《不等式的解集》的内容包括不等式的概念、不等式的性质、解不等式、不等式的解集等。
本章主要让学生理解不等式的概念，掌握不等式的性质和解不等式的方法，能求出不等式的解集。
通过本章的学习，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本章之前已经掌握了实数、方程、函数等基础知识，具备了一定的逻辑思维和运算能力。
但部分学生对不等式的概念和性质理解不深，解不等式的技巧有待提高。
因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，引导学生理解不等式的本质，培养学生的动手操作能力和思维能力。
三. 教学目标1.理解不等式的概念，掌握不等式的性质；2.学会解不等式，能求出不等式的解集；3.培养学生解决实际问题的能力；4.培养学生的合作交流能力和创新意识。
四. 教学重难点1.不等式的概念和性质；2.解不等式的方法；3.不等式的解集。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入不等式，激发学生的学习兴趣；2.启发式教学法：引导学生发现不等式的性质，培养学生的思维能力；3.案例教学法：分析典型例题，让学生掌握解不等式的方法；4.小组合作学习：培养学生合作交流能力，提高学生的动手操作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示不等式的概念、性质、解法等；2.例题和练习题：挑选具有代表性的例题和练习题，巩固所学知识；3.教学道具：准备实物道具，辅助讲解不等式的概念和性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入不等式的概念，如“小明比小红高”、“这个苹果的重量大于那个苹果”等，让学生感受到不等式的实际应用。
2.呈现（10分钟）讲解不等式的概念和性质，引导学生发现不等式的特点，如“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等。
同时，利用实物道具辅助讲解，让学生更直观地理解不等式的概念。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析典型例题，引导学生掌握解不等式的方法。
(完整版)北师大版八年级下册数学复习知识点及例题相结合
一. 不等关系第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1. 一般地,用符号“<”(或“ ≥”), “>”(或“ ≤”)连接的式子叫做不等式.2.区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。
3.准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数⇔ 非正数⇔ 大于等于0( ≥ 0) ⇔小于等于0( ≤ 0) ⇔0 和正数0 和负数⇔不小于0⇔不大于0二. 不等式的基本性质1.掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, a >b .c c(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, a <bc c2.比较大小:(a、b 分别表示两个实数或整式) 一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即:a>b ⇔ a-b>0 a=b ⇔ a-b=0 a<b ⇔ a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要作差即可)例下列各式一定成立的是( )A．7a﹥4a B. a﹥-a C. a+1﹥a－1 D. a≤a2例若a﹥b,且a、b 同号，以下不等式中一定成立的有①a2﹥b2 ②a3＜b3 ③1/a＜1/b ④a/b﹥1A. 0B. 1C. 2D. 3三. 不等式的解集:1.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2.不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3.不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心点,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1.只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3.解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4.一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0 时,解为x >b;②当a=0 时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0 时,且b≥0,则a无解;③当a<0 时, 解为x <b ;a5.不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.例不等式mx﹥n(m≠0)的解集是( )A．x﹥n/m B.当m﹥0 时，x﹥n/m，当m＜0 时，x＜-n/mC．x＜n/m D．当m﹥0 时，x﹥n/m，当m＜0 时，x＜n/m例如果不等式(a+1) x﹥(a+1)的解集为x＜1，则a 必须满足的的条件是：A. a＜0B. a≤-1C. a﹥-1D. a＜-1例已知关于x 的不等式(2a－b)x+a－5b ﹥0 的解集为x＜10/7,则ax+b﹥0 的解集为例若不等式组x﹥a 无解，则不等式组x﹥2－a 的解集是例水果店进了某中水果1t，进价是7 元/kg。
八年级数学下册（新版北师大版）精品导学案【第二章_一元一次不等式和一元一次不等式组】
⼋年级数学下册（新版北师⼤版）精品导学案【第⼆章_⼀元⼀次不等式和⼀元⼀次不等式组】第⼆章⼀元⼀次不等式和⼀元⼀次不等式组第⼀节不等关系【学习⽬标】1．理解不等式的概念，感受⽣活中存在的不等关系。
2．能根据条件列出不等式，增强学⽣的符号感，发展其数学化的能⼒。
3．通过观察、分析、猜想、独⽴思考的过程感受不等式这个重要的过程，发展学⽣归纳、猜想能⼒。
【学习⽅法】⾃主探究与⼩组合作交流相结合．【学习重难点】重点：对不等式概念的理解。
难点：怎样建⽴量与量之间的不等关系。
【学习过程】模块⼀预习反馈⼀．学习准备1．⼀般地，⽤符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连成的式⼦叫做。
注意：⽤符号“≠”连接的式⼦也叫不等式。
2．列不等式：列不等式类似于列⽅程，列⽅程依据的是等量关系，列不等式依据的是不等关系，列不等式的关键是找不等关系。
⼤于⽤符号表⽰，⼩于⽤符号表⽰；不⼤于⽤符号表⽰，不⼩于⽤符号表⽰。
3.阅读教材：第⼀节不等关系⼆．教材精读4.例题：如图，⽤两根长度均为l cm的绳⼦，分别围成⼀个正⽅形和圆，（1）如果要使正⽅形的⾯积不⼤于25cm2，那么绳长l应满⾜怎样的关系式？（2）如果要使圆的⾯积不⼩于100 cm2，那么绳长l应满⾜怎样的关系式？（3）当l=8时，正⽅形和圆的⾯积哪个⼤？l=12呢？（4）你能得到什么猜想？改变l的取值再试⼀试？分析：正⽅形的⾯积等于边长的平⽅.圆的⾯积是πR2，其中R是圆的半径.两数⽐较有⼤于、等于、⼩于三种情况，“不⼤于”就是等于或⼩于. “不⼩于”就是⼤于或等于。
做⼀做：通过测量⼀棵树的树围（树⼲的周长），可以计算出它的树龄，通常规定以树⼲离地⾯1.5m的地⽅作为测量部位。
某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树⾄少⽣长多少年其树围才能超过2.4m？（只列关系式）归纳⼩结：⼀般地，⽤符号“〈”（或“≤”），“〉”（或“≥”）连接的式⼦叫做不等式。
实践练习：判断下列各式哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式。
北师版数学八年级下册不等关系
5＋3x ＞ 240
1 不等关系
2.请设计不同的实际背景来表示 下列不等式
x+y ≤5
a 、b两个实数在数轴上的对应点如 图所示：
我们可以猜想，用长度均为ℓcm的两根绳子分别围成 一个正方形和圆，无论ℓ取何值，圆的面积总大于正 方形的面积， 2 2 l l 即 ＞ 4 16
4. 如图，用一根 长度为ℓ cm 的绳 子，围成一个正方 形. 如果要使正方形的面积不大于25cm2,那么绳长 ℓ 应满足怎样的关系式？
要使正方形的面积不大于25cm2，就是
§1.1
1
如图，用两根长度均为8 cm 的绳子， 分别围成一个正方形和圆. 问:正方形和圆的面积会有怎样的关系?
2
如图，用两根长度均为12 cm 的绳子，分别 围成一个正方形和圆。
问:正方形和圆的面积哪个大?
3
如图，用两根长度均为l cm 的绳子， 分别围成一个正方形和圆. 你能得到什么猜想?
l 4
2
2
(2)
2
l2 4
≥ 100
l ＞ 16
(4)
4<5.1
一般地，用符号“＜”(或 “≤”）,“＞”（或“≥”）连 接的式子叫做不等式.
1 不等关系 1 用适当的符号表示下列关系：
(1) a是非负数.
a ≥0
(2)直角三角形斜边c比它的两直角边a 、b都长.
c＞a
c＞b
(3) x与17的和比它的5倍小.
b
0
a
请找出图中的不等关系，并用不等 式表示.
北师大版八年级下册数学《2.1 不等关系》教案
北师大版八年级下册数学《2.1 不等关系》教案一. 教材分析北师大版八年级下册数学《2.1 不等关系》这一节主要介绍不等式的概念和基本性质。
通过这一节的学习，使学生了解不等式的定义，理解不等式中的基本概念如解、解集等，掌握不等式的基本性质，为后续的不等式计算和应用打下基础。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了有理数、方程等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
但他们对不等式的概念和性质可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐渐理解和掌握。
三. 教学目标1.了解不等式的定义，理解不等式中的基本概念。
2.掌握不等式的基本性质，能运用不等式解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.不等式的定义和基本性质。
2.如何运用不等式解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过实例和练习引导学生理解和掌握不等式的概念和性质，培养学生运用不等式解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的实例和练习题。
2.准备课件和教学素材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入不等式的概念，如“小明比小红高，请问小明和小红的身高关系是什么？”引导学生思考和表达不等式。
2.呈现（10分钟）呈现不等式的定义和基本性质，通过课件和讲解使学生理解和掌握。
同时，给出相关的实例和练习题，让学生巩固所学知识。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）通过一些选择题和填空题，检验学生对不等式的理解和掌握程度。
5.拓展（5分钟）引导学生思考和探讨不等式在实际生活中的应用，如比较物品的价格、判断比赛的名次等。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调不等式的定义和基本性质。
7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生课后巩固所学知识。
8.板书（5分钟）总结本节课的主要知识点，方便学生复习和记忆。
2024北师大版数学八年级下册2.1《不等关系》教学设计
2024北师大版数学八年级下册2.1《不等关系》教学设计一. 教材分析《不等关系》是北师大版数学八年级下册第2.1节的内容，主要介绍不等式的概念和性质，以及不等关系的基本形式。
本节内容是在学生已经掌握了实数、函数等基础知识的基础上进行讲解的，为后续的不等式运算和不等式组的学习打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于实数和函数等基础知识有一定的掌握。
但是，对于不等式的概念和性质的理解还需要通过具体的例子和练习来进行巩固。
此外，学生对于实际问题中的不等关系还需要进一步的引导和培养。
三. 教学目标1.了解不等式的概念和性质，掌握不等关系的基本形式。
2.能够运用不等关系解决实际问题，提高解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.不等式的概念和性质的理解。
2.不等关系在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过具体的例子和练习来引导学生理解和掌握不等式的概念和性质，以及如何运用不等关系解决实际问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备课件和教学素材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入不等关系的概念，例如：小明比小红高，如何用数学表达式来表示这个关系？2.呈现（15分钟）通过具体的例子和练习，引导学生理解和掌握不等式的概念和性质。
例如，给出两个实数a和b，如何判断a是否大于b？如何表示a大于b？3.操练（15分钟）让学生通过练习来巩固对不等式的理解和掌握。
例如，给出一些不等式，让学生判断其真假，并解释原因。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生应用不等关系来解决实际问题。
例如，给出一个实际问题，让学生用不等式来表示问题的条件，并求解。
5.拓展（10分钟）引导学生思考不等关系在实际问题中的应用，如何运用不等关系来解决实际问题。
例如，给出一个实际问题，让学生用不等式来表示问题的条件，并求解。
八年级下册数学目录
八年级下册数学目录第一章代数与方程1.1 一元一次方程1.1.1 解一元一次方程的基本步骤1.1.2 一元一次方程的应用1.2 平方根与二次根式1.2.1 平方根的性质1.2.2 二次根式的性质1.2.3 平方根与二次根式的应用1.3 二次方程1.3.1 标准形式二次方程的解法1.3.2 一元二次方程的判别式1.3.3 二次方程的应用1.4 不等式与不等关系1.4.1 一元一次不等式的解集与图像1.4.2 二次不等式的解集与图像 1.4.3 不等关系的性质及应用第二章几何2.1 三角形与相似2.1.1 三角形的性质与分类2.1.2 相似三角形的判定条件2.1.3 相似三角形的性质应用2.2 二次根式与勾股定理2.2.1 直角三角形与勾股定理2.2.2 二次根式与勾股定理的应用2.3 圆的基本性质2.3.1 圆的定义与基本术语2.3.2 圆心角与弧度制2.3.3 角平分线与弦的性质2.3.4 弧长与扇形面积计算2.4 平移、旋转和翻转2.4.1 平移的定义与平移变换2.4.2 旋转的定义与旋转变换2.4.3 翻转的定义与翻转变换2.4.4 平移、旋转和翻转的组合变换第三章数据与统计3.1 连续统计3.1.1 连续统计的基本概念3.1.2 频率直方图的制作与解读3.1.3 频率分布表的制作与解读3.1.4 数据的分析与统计3.2 课题研究与折线图3.2.1 课题研究的提出与设定3.2.2 折线图的制作与解读3.2.3 数据的比较与分析3.3 概率与事件3.3.1 实验、样本空间和事件的定义 3.3.2 随机事件的概率计算3.3.3 事件的相互关系与应用3.4 等可能性与互斥事件3.4.1 样本空间的等可能性3.4.2 互斥事件的概率计算3.4.3 等可能性与互斥事件的应用第四章分析与应用4.1 函数的概念4.1.1 函数的定义与性质4.1.2 函数的表示与应用4.2 函数的图像与变换4.2.1 函数图像的基本性质4.2.2 函数的平移与翻转4.2.3 函数的伸缩与压缩4.3 线性函数与一次函数4.3.1 线性函数与斜率的关系4.3.2 一次函数的图像与性质4.3.3 一次函数的应用4.4 指数与对数函数初步4.4.1 指数函数的概念与性质4.4.2 对数函数的概念与性质4.4.3 指数函数与对数函数的应用总结通过本教材的学习，学生将对八年级下册数学的重要知识点进行全面的了解和掌握。
八年级下册数学各章节知识梳理
八年级下册数学各章节知识梳理教学目标：经历探究、猜想过程能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理能够利用尺规作已知线段的垂直平分线重难点：重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。
难点是两者的应用上的区别及各自的作用易错点：精确理解线段垂直平分线的性质定理，解题时要考虑全面，防止漏解整体分析【一】教学目标八年级是初中学习过程中的关键时期，学生根底的好坏，直接影响到将来是否能升学。
优生不多，思想不够活泼，有少数学生不上进，思维跟不上。
要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，充分发挥学生是学习的主体，教师是教的主体作用，注重方法，培养能力。
【二】教材分析本学期教学内容共计六章：《三角形的证明》、《一元一次不等式和一元一次不等式组》、《图形的平移与旋转》、《因式分解》、《分式与分式方程》、《平行四边形》。
《三角形的证明》：本章将证明与等腰三角形和直角三角形的性质及判定有关的一些结论，证明线段垂直平分线和角平分线的有关性质，将研究直角三角形全等的判定，进一步体会证明的必要性。
《一元一次不等式和一元一次不等式组》：本章通过具体实例建立不等式，探究不等式的根本性质，了解一般不等式的解、解集、解集在数轴上的表示，一元一次不等式的解法及应用；通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系．最后研究一元一次不等式组的解集和应。
《图形的平移与旋转》：本章将在小学学习的根底上进一步认识平面图形的平移与旋转，探究平移，旋转的性质，认识并观赏平移，中心对称在自然界和现实生活中的应用。
《因式分解》：本章通过具体实例分析分解因式与整式的乘法之间的关系揭示分解因式的实质，最后学习分解因式的几种根本方法。
《分式与分式方程》：本章通过分数的有关性质的回忆建立了分式的概念、性质和运算法则，并在此根底上学习分式的化简求值、解分式方程及列分式方程解应用题，能解决简单的实际应用问题。
《平行四边形》：本章将研究平行四边形的性质与判定，以及三角形中位线的性质，还将探究多边形的内角和，外角和的规律；经历操作，实验等几何发觉之旅，享受证明之美。
北师大版八年级下册 第二单元 2.1 不等关系 课件 (共26张PPT)
如果要使正方形的面积不大于25cm2,那么绳长 ℓ 应满足怎样的关系式？
要使正方形的面积不大于25cm2，就是
l 4
2
≤25
即
l2 16
≤25
2、 如图，用一根长度为 ℓ cm 的绳子，围成一个圆.
如果要使圆的面积不小于100cm2，那么绳长 ℓ 应满足怎样的关系式？
要使圆的面积不小于100cm2，就是
(1)分析题意，找出问题中的各种量； (2)弄清各种量之间的数量关系； (3)用代数式表示各种量； (4)用适当的不等号将具有不等关系的量连接起来．
练习1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路 段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h； 不等词为__不__超__过__，写成不等式就是：__v___4_0__.
3
4x≤7
2
解： 安排x人种甲种蔬菜，那么有(10－x)人种乙种蔬菜， 则0.5×3x＋0.8×2×(10－x)≥15.6.
随堂练习
3 (中考·乐山)如图，A，B两点在数轴上表示的数
分别为a，b，下列式子成立的是( C )
A．ab＞0
B．a＋b＜0
C．(b－1)(a＋1)＞0
D．(b－1)(a－1)＞0
讲授新课
练习2：有将销售，凡一次性消费金额a不低于60元
的顾客，可凭收银条参加抽奖活动；
不等词为_不__低__于__，写成不等式是：_a____6_0_.
练习3：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的 含量m应不少于2.5%，蛋白质的含量n应不少于2.3%； 不等词为__不__少__于____， 用不等式组来表示：___mn___2_2._.35_%%___.
课堂小结课堂小结
1、定义：用不等号（＜、＞、≤、≥、≠） 连接表示不等关系的式子叫不等式．
北师大版八下数学《不等关系》典型例题(含答案)
《不等关系》典型例题例题1 小林到水果摊上称了24橘子，摊主称了几只橘子说：“你看秤，高高的．”这个“高高的”，是什么意思？你能用不等式把它表示出来吗？例题2 用不等式表示：（1）a 是正数； （2）x 与5的和是负数；（3）m 的一半不大于10； （4）x 的21与1的差是非负数．例题3 判断下列式子哪些是不等式?哪些不是?为什么?①32>-, ②12-≤x ,③12-x ,④vt s =,⑤28m m <-⑥1235-=-x x ,⑦042≥+x ⑧222c b a ≠+例题4 用不等式表示：（1）a 的绝对值是非负数；（2） x 的3倍与2的差是负数；（3）m 与n 的平方和不小于m 与n 的积的2倍；（4） 老师的年龄比你的年龄的2倍还大.例题5 根据题意列不等式：（1）a 与34的和小于－2； （2）x 的相反数与1的差不小于2；（3）y 的一半比y 的2倍大；（4）a 与b 的和是负数．例题6 小明和小华都在看同本长篇小说，到今天为止，小明看到第28页，小华看到第83页，如果从现在起，小明每天看16页，小华每天看10页，问至少几天后小明看的比小华看的页数多？请你根据题意列出不等式，并用列表的方法找出不等式的解．同伴之间交流、讨论．例题7用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量如下表：原料甲种原料乙种原料维生素C（单位/千克）600 100现用这两种原料共10千克配制这种饮料，要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x（千克）应满足的不等式．例题8设“●”、“▲”、“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么●、▲、■这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（）A．■、●、▲ B．■、▲、● C．▲、●、■ D．▲、■、●参考答案例题1 解答 设水果的实际质量为x kg ，“高高的”意思是：2>x ．说明 生活中有许多不等关系的例子，教学中可以根据学生的实际情况选取一些让学生用不等式来表达，但问题不易过难，只要能让学生感受不等式在生活中的存在性即可。
八年级下册数学各章节知识点总结
八年级下册数学各章节知识点总结第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。
3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,c bc a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,cb c a < 2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式) 一般地: 如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b; 如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b; 如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b; 即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0 (由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了. 三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题) 4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0时,解为a bx >;②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0时,且b ≥0,则无解;③当a<0时, 解为abx <;5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题) 列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义; ②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式; ④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意. 五. 一元一次不等式组1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定. 3. 解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a 、b 为实数,且a<b) 一元一次不等式解集 图示叙述语言表达⎩⎨⎧>>b x ax x>bba 两大取较大 ⎩⎨⎧<<b x ax x>aba两小取小⎩⎨⎧<>b x ax a<x<bba大小交叉中间找 ⎩⎨⎧><bx ax 无解ba在大小分离没有解(是空集)第二章 分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系。
2.1等式性质与不等式性质
第一课时
一、不等关系普遍存在
1、今天的天气预报说：明天早晨最低温度为 7℃，明天白天的最高温度为13℃；
7℃≤t≤13℃
2、三角形ABC的两边之和大于第三边；
AB+AC>BC或……
3、a是一个非负实数. a≥0
不等式的定义：用不等号表示不等关系的式子.
, , , , .
证明： a b a c b c
c
d
b
c
b
d
ac bd
性质6： 如果 a b 0 且 c d 0，那么
ac bd （同向同正可乘性）
a
证明：
c
b，c d，b
0 0
ac bc
bc
bd
ac
bd
性质7： 如果 a b 0，那么 an bn.
(n N且n 1)
(可乘方性 )
1.右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方 路段行驶时，应使汽车的速度v不超过
40 40km/h ，写成不等式是：__v_≤_4__0___
2.这是某酸奶的质量检查规定
脂肪含量（f）
蛋白质含量（p）
不少于2.5％
不少于2.3％
f≥2.5%
p≥2.3%.
例、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可 以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1 元销售量就可能相应减少2000本.若把提价后 杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售 的总收入仍不低于20万元呢？ 分析：若杂志定价为x元，则销售总收入为
(1)a b b a; (对称性) (2)a b,b c a c; (传递性) (3)a b a c b c; (可加性) (4)a b, c 0 ac bc; (可乘性) a b, c 0 ac bc;
八年级不等关系知识点总结
八年级不等关系知识点总结关于八年级不等关系的知识点总结
八年级是初中学习中一个重要的环节，也是学生初步接触不等关系的年级。
不等关系能够培养学生善于观察与思考的能力，同时也能够提升学生的逻辑思维和数学技巧。
因此，对于八年级的学生来说，掌握不等关系的知识点是至关重要的。
下面就来总结一下八年级不等关系的重点知识。
一、不等式的基本性质
1.1 传递性质
不等式的传递性是指，若a<b,b<c，则a<c。
1.2 对称性质
不等式的对称性是指，若a<b，则b>a。
1.3 反称性质
不等式的反称性是指，若a<b，则不可能有b<=a。
二、不等式的解法
2.1 联立法
联立法是指，将不等关系联立到一起，通过消元的方法求出不
等式的解。
2.2 分类讨论法
分类讨论法是指，将不等式中的未知数按照大小关系分成几类，分别讨论每一类的解法，最后将结果合并起来。
2.3 取绝对值法
取绝对值法是指，将不等式中的未知数都取绝对值，通过比较
绝对值之间的大小关系来判断不等式的解。
三、不等式的应用
3.1 引理
引理是指，通过不等关系的性质，推导出一些结论，可以用来
简化不等式的求解。
3.2 应用
在生活中，不等关系也有着广泛的应用，如货币兑换、失业率、贷款等方面。
综上所述，不等关系的知识点对于八年级学生来说是至关重要的。
通过深入理解不等关系的基本性质、掌握不等式的解法和应用，可以提升学生的数学思维和问题解决能力。
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胶州市第二十五中学八年级数学下册教学案
主备人__________复备人 审核
授课班级__________ 课型 授课时间_______年___月＿日
课题：§2.1不 等 关 系
【学习目标】1.感受生活中存在着大量的不等关系，能够从现实问题中抽象出不等式，了解不等式的意义，会根据给定条件列出不等式； 2.正确理解“非负数”、“不大于”、“不小于”等数学术语。
一【课前自学】表示不等关系的符号有： 1．“不大于”指的是“ ”，通常用符号“ ”表示． 2．“不小于” 指的是“ ”，通常用符号“ ”表示．
3．一般地，用符号“ ”或（“ ”）， “ ” 或（“ ”）连接的式子叫做不等式． 练习1： 下列各式中的不等式有 个。
（1）8＜9； （2）a+b=0； （3）a 2
+1＞0； （4）3x-1≤x ； （5）x-y ≠1； （6）3-x=0； （7）4-2x ； （8）x 2
+y 2
＞0。
二、常用的表示不等关系的关键词语及对应的不等号:
练习2：请用适当的符号表示下列关系：
（1）x 的一半小于－1； （2）y 与4的和大于0.5； （3）x 与17的和比它的5倍小；
（4）直角三角形斜边c 比它的两直角边a ，b 都长； （5）y 的3倍与8的和比x 的5倍大；
（6）a 是负数； （7）x 2
是非负数。
三、例题展示
例1：合作学习课本第37页
【小试牛刀】
请用适当的符号表示下列关系： （1）老师的年龄比你年龄的2倍还大； （2）地球上海洋面积大于陆地面积； （3）铅球的质量比篮球的质量大；
（4）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄。
通常规定以树干离地面1.5米的地方作为测量部位。
某棵树栽种时的树围为5cm ，以后树围每年增加约3cm 。
这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4m ？ 例1：用不等式表示：
（1）x 与－3的和是负数； 解：
（2）x 与5的和的28%不大于－6； 解： （3）m 除以4的商加上3至多为5； 解： （4）a 与b 两数和的平方不小于3； 解： （5）三角形的两边a 、b 的和大于第三边c 。
解：
例2：某次数学测验，共有16道选择题，评分方法是:答对一题得6分，不答或答错一题扣2分，某同学要想得分为60
分以上，他至少应答对多少道题?(只列关系式)
关键词语
第一类：明确表明数量的不等关系
第二类：明确表明数量的范围特征
①大 于 ②比…大 ③超 过
①小 于 ②比…小 ③低 于
①不大于 ②不超过 ③至 多
①不小于 ②不低于 ③至 少
正数
负数
非负数
非正数
不等号 ＞ ＜ ≤ ≥ ＞0 ＜0 ≥0 ≤0
四、基础训练：
1．下面给出了5个式子：①3＞0，②4x+3y ＞O ，③x=3，④x －1，⑤x+2≤3，其中不等式有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
2．小林在水果摊上称了2斤苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的。
”如果设苹果的实际质量为x 斤，用不等式
把这个“高高的”的意思表示出来是（ ）
A ．x ≤2
B ．x ≤2
C ．x ＞2
D ．x ＜2 3．a 是非负数的表达式是（ ）
A ．a ＞0
B ．
a ≥0 C ．a ≤0 D ．a ≤0
4．用不等号连接下列各对数：21415(1)_____,(2)1____01516
x -
-+； 5．用不等式表求：a 是正数 ． 五、【拓展与延伸】
1、 用适当的符号表示下列关系:
（1）x 的5倍与3的差比x 的4倍大； （2）a 的4
1
的相反数是非负数；
（3）x 的3倍不小于y 的8倍。
2、下列不等式中，总能成立的是 （ ） A ．2
a ＞0 B ．02
≤-a
C ．2a ＞a
D ．2a ＞a
六、课堂检测：1．下列不等关系一定正确的是（ ）
A ．
a ＞0 B ．－x 2＜0 C ．
（x+1）2≥0 D ．a 2＞0 2．a 、b 两数在数轴上的位置如图所示，
下列结论中正确的是（ ）
A ．a ＞0，b ＜0
B ．a ＜0，b ＞0
C ．ab ＞0
D ．以上均不对
3．（2007年安顺市）如图所示，对a ，b ，c 三种物体的重量判断不正确的是（ ）
A ．a ＜c
B ．a ＜b
C ．a ＞c
D ．b ＜c
4．（2012福建厦门）“x 与y 的和大于1”用不等式表示为____________；
5．（2013新疆乌鲁木齐）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分要超过90分，
设她答对了x 道题，则根据题意可列不等式 ； 6．3≥x
的最小值是a ，1≤x 的最大值是b ，则=+b a ；
七、【小结】1、理解不等式的意义，能正确列出不等式；2、准确应用不等号。
八、【今日作业本】 1、P38 习题2.1，1、3
九、【教学反思】
a a a
b b
c c
b b b
b
0 a。