第18章 分析力学基础(动力学普遍方程 拉格朗日方程)
分析力学基础-拉格朗日方程
其他应用领域
要点一
机器人学
在机器人学中，拉格朗日方程被用于描述机器人的运动规 律。通过建立机器人运动的拉格朗日方程，可以求解出机 器人的关节角度和速度，为机器人的运动控制提供理论依 据。
要点二
生物力学
在生物力学中，拉格朗日方程也被应用于描述生物体的运 动规律。例如，在分析动物的运动行为或人体姿势控制时 ，可以使用拉格朗日方程来描述生物体的运动状态和变化 规律。
解析解法的优缺点分析
优点
解析解法可以得到系统的精确解，适用 于简单模型和特定条件下的复杂模型。
VS
缺点
对于复杂模型，解析解法可能非常困难甚 至无法求解，需要借助数值方法或其他近 似方法。
04
拉格朗日方程的数值解法
数值解法的概念和步骤
概念
数值解法是一种通过数学计算来求解数学问 题的方法，它通过将问题离散化，将连续的 问题转化为离散的问题，然后使用计算机进 行计算求解。
步骤
1.建立数学模型：根据实际问题建立数学模 型，将实际问题转化为数学问题。2.离散化 ：将连续的问题离散化，将连续的时间和空 间划分为若干个小的单元，每个单元称为一 个网格点或节点。3.求解离散化后的方程： 使用数值方法求解离散化后的方程，得到每 个网格点的数值解。4.后处理：对计算结果 进行后处理，提取所需的信息，并进行分析
分析力学基础-拉格 朗日方程
目录
• 引言 • 拉格朗日方程的推导 • 拉格朗日方程的解析解法 • 拉格朗日方程的数值解法 • 拉格朗日方程的应用领域
01
引言
拉格朗日方程的背景和重要性
背景
拉格朗日方程是分析力学中的基 本方程，它描述了系统的运动规 律。
重要性
拉格朗日方程在理论物理、工程 技术和科学研究等领域有着广泛 的应用，是理解和研究复杂系统 运动行为的关键工具。
第二类拉格朗日方程
[1/1页][返回]达朗伯原理能将动力学问题转化为静力学问题，虚位移原理是分析静力学的普遍原理；因而，两者结合就能导出分析动力学的普遍方程。
对完整系统，拉格朗日方程是实用的建立动力学方程的方法。
§18-1 动力学普遍方程质系由n 个质点组成。
根据达朗伯原理，在每个质点的主动力F i 、约束力及惯性力平衡。
再根据虚位移原理，它们在质系虚位移上元功之和应为零。
即对受理想约束系统有(18-1)上式称为达朗伯-拉格朗日原理或动力学普遍方程，其直角坐标表达式为(18-2)例18-1 动滑轮上悬挂重物质量为，另一重物质量为，忽略轮、绳的质量及轮轴摩擦，求下降的加速度。
解：（1）考虑整个系统为研究对象，系统具有理想约束，主动力为重力g及g。
引入假想的惯性力F g1及 F g2，方向如图，其大小为则系统平衡。
（2）给系统以虚位移及，则由动力学普遍方程(18-2) 有系统具有一个自由度，由约束关系代入上式，故有例18-2 二均质轮的，求在重力作用下轮Ⅱ中心的加速度。
解：（1）解法一：考虑整个系统，引入惯性力F g及惯性力偶，大小为, ,其中，，为轮Ⅱ中心的加速度及二轮的角加速度。
由动力学普遍方程由约束关系有,①代入上式系统有二自由度，与相互独立，故有,解之得（2）解法二：加惯性力后，按下法给虚位移。
令，，计算虚功(考虑约束关系)∴令，，计算虚功∴与前面一样可解出§18-2 拉格朗日方程1. 动力学普遍方程在广义坐标中的表达式设系统的广义坐标为,则有（18-3）（18-4）代入动力学普遍方程（18-1）引入 ,（18-5）其中按第十七章称为广义力；仿此，称为广义惯性力。
∴受完整约束的系统中，相互独立，上式中前的系数必为零。
∴（18-6）这就是动力学普遍方程在广义坐标中的表达式，其文字表达式为：广义力与广义惯性力相平衡。
2. 拉格朗日方程进一步研究的表达式（18-5）。
由式（18-3）得（18-7）用直接代入法可以证明下述关系式成立,（18-8）上二式称为拉格朗日关系式，它们在下面的推导中起重要作用。
动力学普遍方程及拉格朗日方程
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F
分析力学拉格朗日方程
分析力学拉格朗日方程拉格朗日方程是描述物体在力的作用下运动规律的一个重要工具，是分析力学中的核心内容之一、它由意大利科学家拉格朗日在17世纪末提出，是一种基于能量的方法，对于描述系统的运动非常方便和有效。
拉格朗日方程的形式为：d/dt(dL/dq) - ∂L/∂q = Q，其中L为系统的拉格朗日函数，q表示广义坐标，t表示时间，Q表示外力。
拉格朗日函数L通常由系统的动能和势能函数构成，即L = T - V，其中T表示动能，V表示势能。
拉格朗日方程的推导是基于广义坐标的变分原理，即作用量最小原理。
根据广义坐标的定义，系统的运动可以由广义坐标的函数关系描述。
在运动过程中，系统的作用量S定义为积分∫Ldt，即拉格朗日函数关于时间的积分。
根据变分原理，作用量的真实路径使得作用量的变分δS等于零。
通过变分运算可以得到拉格朗日方程。
拉格朗日方程的形式简洁、便于应用，可以用来描述各种复杂的物体和系统。
它可以用来研究刚体的转动、弹簧振子的运动、多体系统的动力学等。
拉格朗日方程的特点是将系统的动能和势能统一在一个函数中描述，因此能够非常清晰地反映出系统的能量变化情况。
拉格朗日方程的应用可以帮助我们解决物理问题和工程实践中的许多复杂情况。
例如，在机械系统中，可以根据拉格朗日方程求解刚体的绕定轴转动、杆塔的动力学问题等。
在电磁学中，可以使用拉格朗日方程来推导电磁场的变化规律，解决复杂电磁场的问题。
在天体力学中，拉格朗日方程可以用来计算行星、卫星和人造星的轨道运动。
总之，拉格朗日方程是分析力学中的一种重要工具，可以简洁明确地描述物体在力的作用下的运动规律。
它具有普适性和广泛的应用性，对于理解和解决物理问题有着重要的意义。
分析力学拉格朗日方程
分析力学拉格朗日方程分析力学是物理学中的一个重要分支，它主要研究物体的运动规律和力学系统的宏观性质。
拉格朗日力学是分析力学的基础，是分析力学发展过程中的一个重要理论。
它由意大利数学家拉格朗日于18世纪发展而来，利用广义坐标和拉格朗日方程来描述物体的运动学和动力学。
在拉格朗日力学中，系统的运动由极值原理来决定。
这个极值原理是“达朗贝尔原理”，即系统的运动满足使作用量(S)是极值的路径。
作用量是拉格朗日力学中的一个重要概念，它表示物体在运动过程中所受到的所有力的作用。
具体来说，作用量可以表示为：S = ∫ (L - T) dt其中，L是拉格朗日函数，表示系统的动能和势能之差；T是系统的动能，表示物体的运动能量。
积分表示对整个运动过程的积分求和。
根据达朗贝尔原理，系统的运动满足作用量的极值条件，即δS=0。
为了使作用量的变分δS等于零，我们可以通过拉格朗日方程来推导系统的运动方程。
假设系统有n个自由度，我们引入广义坐标q1, q2, ..., qn来描述系统的位置。
每个广义坐标都是关于时间的函数，即q(t)。
拉格朗日函数L也是广义坐标的函数，即L(q, dq/dt, t)。
其中dq/dt表示广义坐标的时间导数。
利用拉格朗日函数，我们可以定义拉格朗日方程：d/dt (∂L/∂(dq/dt)) - ∂L/∂q = 0这个方程就是拉格朗日方程。
其中∂L/∂(dq/dt)表示拉格朗日函数对广义速度的偏导数，∂L/∂q表示拉格朗日函数对广义坐标的偏导数。
该方程描述了系统在广义坐标下的运动规律。
拉格朗日方程的推导过程是基于变分法和哈密顿原理的。
通过对作用量进行变分，我们可以得到极值的条件，即达朗贝尔原理。
然后利用这个极值条件，我们可以推导出拉格朗日方程。
拉格朗日方程在物理学中有着广泛的应用，不仅可以用来描述质点的运动，还可以用来描述刚体的运动、连续介质的运动、以及相对论力学等。
它提供了一种统一的描述物体运动的方法，同时也为我们研究物体的宏观性质提供了一个有力的工具。
拉格朗日方程
程
dt x x
(3m1 4m2 8m3)x 2kx 0
即为系统的运动微分方程。
例5 如图，均质圆轮的质量为m1，半径为R，在
水平面上只滚动不滑动。杆长L质量为m2与轮在圆心
1.2 A铰接，试求系统的运动微分方程。
解：以系统为研究对象，
x
拉 系统具有两个自由度。取 x
格 和 为广义坐标。
朗 日
拉
L
3 4
m1 x2
1 2
m2 (x2
格
1 L22 Lxcos )
x
R A
朗
4
C
日 方 程
1 m L22 1 m gL cos
24 2
22
代入拉格朗日方程 d L L 0
dt x x
得
m2 g
3 2
m1x
m2
x
1 2
m2
L
d dt
(c
os
)
0
整理得 (3m1 2m2 )x m2Lcos m2L2 sin 0（1）
3、计算对应每个广义坐标的广义力 Q j；当主 动力为有势力时，需要写出用广义坐标表示的势能
1.2 及拉格朗日函数L T V。
4、计算诸导数：
拉 格 朗 日
T T d ( T ) 或 L L d ( L )
qk qjk dt qk
qk qk dt qk
5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二
阶常微分方程。由2 N个初始条件，解得运动方程。
设由n个质点组成的质点系，由达朗伯原理知，
1.1
动 力
在动成质 力 形点 式Fi ，系 上约运 的束动 平反的衡力任力F一系Ni瞬，及时即其，惯任性一力F质Ii点Mi上m作iai三用者的构主
动力学普遍方程及拉格朗日方程讲解
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
动力学普遍方程
考察由N个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有
Fi FRi mi ai 0
主动力
(i 1, 2, , N )
惯性力
令系统有任意一组虚位移
δri
系统的总虚功为
(i 1,2, , N )
2 aC g sin 3
0
mgsin x - FIR x M IC
x
R
例 题 2
离心调速器
已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求： － 的关系。
O1 l l FIA m1g l
C
如果将位矢对任意一个广义坐标 qj 求偏导数，再对时间求 导数，则得到
d ri dt q j
2 N 2 ri ri k q q t k 1 q j qk j
ri q j
＝
d ri dt q j
第二个拉格朗日关系式
N
ri d T mi ri q j dt i 1 q j
N
T q j
Q j mi ri
i 1
N
ri 0 ( j 1, 2, q j
, n)
ri d T mi ri q j dt i 1 q j
a1
C1
x
解：2、施加惯性力
y
A x OC a1
FI 2 r
MI2
D C2
m2 g FI 2 e
FI1 m1a1
动力学普遍方程
ai
xi , yi , zi ,
δ
ri
δ
xi ,δ
yi ,δ
zi
动力学普遍方程的直角坐标形式
(Fix mi xi ) δ xi (Fiy mi yi ) δ yi (Fiz mi zi ) δ zi 0
i
i 1,2, ,n
动力学普遍方程的意义和应用
动力学普遍方程是将达朗伯原理和虚位移原 理而得到的，可用来求解质点系的动力学问题。
Qk 称为与第j个广义坐标 qk 对应的广义主动力
特别地：有势力的广义力
Qk＝－
V qk
在势力场中，对应于第 j个广义坐标 qk 的广义力等
于系统势能对于这一广义坐标的偏导数的负数。
三、拉格朗日方程
Qk＝
d dt
T ( qk
)－
T qk
对于主动力为有势力的情况，拉格朗日方程可改写为：
d ( L )－ L ＝0 dt qk qk
利用理想约束条件
i
FNi δ ri 0 (i 1,2, , n)
i
得到
(Fi FIi ) δ ri 0 (i 1,2,, n)
i
(Fi FIi ) δ ri 0 (i 1,2,, n)
i
注意到：
FIi mai
动力学普遍方程
(Fi mi ai ) δ ri 0 (i 1,2, , n)
由n个质点所 组成的质点系
主 动 力 F1, F2 , , Fn
质点位置坐标 x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 , , xn , yn , zn ,
广义坐标
q1, q2 , , qN
第i个质 点的位矢
虚位移
N 3n S
动力学普遍方程及拉格朗日方程
y
A x OC
FI 2 r
MI2
D
C2
FI 2 e
FI1 m1a1
FI2e m2 a1
C1
FI1
m2 g
FI2r m2 ar
M I2 J 2 α 2
J2 1 m2 R 2 2
B
x
m1g
ar R 2
( FI1 FI 2e )x FI 2 r cos x 0
N
T q j
d T dt q j
T Qj q j
( j 1, 2,
, n)
此即拉格朗日方程，或称为第二类拉格朗日方程。 如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主 动力
V Qj q j
d T T V ( ) dt q j q j q j
3、应用动力学普遍方程 rA FIA m1g l
C
O1
x1
l l
A
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
根据几何关系，有
B
rC
rB FIB
l m1g
x A lsin y A lcos xB lsin y B lcos yC 2lcos
N
, n)
ri mi ri q j i 1
N N ri d d ri mi (ri ) mi ri ( ) dt q j dt q j i 1 i 1 N
ri n ri ri qj t j 1 q j
qj
dq j dt
广义速度
mi ai ) δri 0 (i 1, 2, , N )
分析力学拉格朗日方程
分析力学拉格朗日方程拉格朗日方程，也称为“拉格朗日原理”，是分析力学中最基本的基本原理，1809年由瑞士物理学家拉格朗日首先提出，被视为一种辩证又统一的基本原理，它给出了复杂系统的一般分析性解，指导着绝大多数物理学问题的研究与解决。
拉格朗日方程提供了一种基本的框架，用于理解物理系统的结构、量子力学，甚至预测物理系统的行为特性，可以说是物理学研究的基础。
拉格朗日方程是一种建立在求解力学问题的基本原理，从基本原理出发，它关注的是力学系统的最优状态。
它强调的是力学系统在力学活动中的最小能量，关注的是力学系统的有效性和稳定性，从而实现力学系统的优化。
拉格朗日方程有两个重要的概念，一个是最小能量原理（也叫拉格朗日能量原理），另一个是最小动力原理（也叫拉格朗日动力原理）。
拉格朗日方程可以用来描述物体在力学影响下的运动，在一定条件下，能够对某些特定物体的运动有判断性的解释，也可以用来求解物体在某特定力学环境下的运动规律。
拉格朗日方程的精髓在于通过研究力学系统的最小能量和最小动力原理，来求解整个力学系统的状态。
这种方法突出了拉格朗日方程求解力学问题的优点：在某一条件下，最小能量原则，可以有效地求解系统中粒子间的最小能量；最小动力原则，可以有效地求解物体在静力学中的最终状态，以及动力学中的力学规律。
拉格朗日方程可以用来推导描述包括机械系统的动力学，量子力学和电动力学等物理系统的最小能量状态和稳定性。
拉格朗日方程的使用对于研究物理系统的最小能量，有效性和稳定性至关重要，它可以帮助科学家们理解和探索物理系统的奥秘，使我们能够实现更精确、更有效地控制物体的运动。
此外，拉格朗日方程也可以用于研究复杂系统中的力学行为，从而推导出复杂系统的力学模型。
对于研究物理系统的运动规律有着关键作用。
总之，拉格朗日方程是一个非常重要的物理系统分析工具，是物理学研究的基础，是分析力学的基本原理。
它的求解可以有效地揭示复杂的力学系统的结构，获得系统的有效性和稳定性，提供物理系统的源泉，对于物理学的研究和理解提供了强有力的指导。
理论力学第十八章 拉格朗日方程 教学PPT
h
h
j
h
（2）
ri ri (q1, q2 ,...qk ; t) 对任 qh求偏导，再对时间t求导得
d
dt
( ri ) qh
k j1 q j
(
ri qh
)qj
2 ri tqh
k 2r
i
j1 q q
q j
2r i
tq
j
h
h
（3）
式（3）右边与式（2）右边比较可得关系式
i 1
以上二式称为动力学普遍方程 或 达朗贝尔——拉格朗日方程。
n
Fi miai δ ri 0
i 1
n
Fix mi xi δ xi Fiy mi yi δ yi Fiz mizi δ zi 0
i 1
动力学普遍方程
但是，如果改用广义坐标，来描述系统的运动，将动力 学普遍方程表达成广义坐标的形式，就可得到与广义坐标 数目相同的一组独立的运动微分方程，这就是著名的拉格 朗日方程，用它求解较复杂的非自由质点系的动力学问题 常很方便。
拉格朗日方程的推导
设由 n 个质点组成的质点系，受到 s 个理想、完整约束，因此该系统 具有k= 3m- s个自由度，可用 k 个广义坐标 q1 , q2 , … , qk 来确定该系统的 位形。
动力学普遍方程－例题1
动力学普遍方程－例题1
δrB F*B B
m1g δrC
解： 球简化为质点，除主动力外，图上画出了
d
O α δ x
ω dα
δrA A F*A
m1g
飞球的惯性力F*A和F*B，两力大小相等，方 向相反。
拉格朗日方程
QIi
n i 1
miai
ri q j
n i 1
mi
d ri dt
ri q j
式（15-7）中代入了 ai d vi / dt d ri / dt ， vi ri 。
（15-4） .（15-5）
（15-6）
下面来推导 QI j 的表达式。由于
d
dt
n i1
mi
ri
ri q j
n i 1
在应用质点系的达朗贝尔原理求解动力学的问题时，取投影 形式的平衡方程。若取直角坐标系，则对于平面任意力系有
F (e) x
FIx 0
F (e) y
FIy 0
MO (F (e) )
MO (FI ) 0
（13-6）
由第十四章第六节已经得到主动力的虚功表达式为
式中
n
n
WF Fi ri Qjqj
式写成
QI
j
d dt
i
n
miri
1
ri q j
i
n
mi
1
ri
ri q j
d dt
i
n 1
mivi
vi q j
i
n 1
mi
ri
vi q j
d dt
q j
n i 1
1 2
mivi2
q j
n i 1
1 2
mivi2
d dt
T q j
T q j
（15-12）
这里引入了质点系的动能表达式
理论力学
拉格朗日方程
在动力学普遍方程中采用了非独立的直角坐标，即在式（15-1）中的ri 或在 式（15-2）中的 xi ，yi ，zi 都不是彼此独立的，在解方程时还要联立求解 一系列的约束方程组；而且还要涉及到质点系的惯性力和虚位移的分析计 算。解决这一难点的方法是，考虑系统的约束条件，利用广义坐标和动能 的概念，将动力学普遍方程化为用广义坐标表示的微分方程组。这就是本 节要阐述的拉格朗日方程，又称第二类拉格朗日方程。
动力学普遍方程和拉格朗日方程PPT
n
) r i 0
(25.3)
若为理想约束，由虚位移和理想约束的条件知
N r
i 1 i
n
i
0
上式变为：
(F F
i 1 i
n
iq
) r i 0或者 （F i mi ai ) r i 0 (25.4)
i 1
n
动力学普遍方程或者达朗伯—拉格朗日原理
若质点系所受的全部的主动力为有势力 Q j
V q
j
系统的势能只是系统广义坐标的函数 q 可得
d (T V ) (T V） [ ] 0 dt q q
j j
V
0
j
引进L=T-V,成为拉格朗日函数，则上式为
d L L 0 dt q q
j
引入系统动能
q j , q j求偏导数 对q r T m r v v q q
n i 1 i i
T mi r v i v & i 1 i q j &
n
n 1 1 T mi v 2 mi vi vi i i 1 2 i 1 2
n
r
（6） 由拉氏方程
d L L 0 x dt x d L L 0 dt
j j
应用动力学普遍方程解题时的注意事项： （1）系统中各质点的加速度与各刚体 的角速度都必须是绝对加速度于绝对角 速度。
（2）计算主动力与惯性力的虚功时所 涉及到的虚位移必须是绝对虚位移。 拉格朗日方程得解题步骤 （1）以整个系统为研究对象，分析系统的 约束性质，确定系统的自由度数，并恰当选 取同样数目的广义坐标
j 1 i 1 j
0
拉格朗日动力学方程
拉格朗日动力学方程拉格朗日动力学方程是描述质点或系统的运动的数学方程，它是由法国数学家和物理学家约瑟夫·路易·拉格朗日于18世纪提出的。
拉格朗日动力学方程的基本原理是通过引入称为拉格朗日函数的函数，对基本的物理量进行数学建模和描述。
拉格朗日函数是一个函数表达式，由广义坐标和广义速度组成。
广义坐标是描述系统状态所需的独立变量，而广义速度则是广义坐标随时间的变化率。
拉格朗日函数用于定义系统的动能和势能之间的关系，从而用数学语言描述系统的动力学行为。
根据拉格朗日动力学方程的定义，我们有拉格朗日函数L=L(q_1,q_2,..., q_n, \dot{q_1}, \dot{q_2},..., \dot{q_n}, t)，其中q_i表示广义坐标，\dot{q_i}表示广义速度，而n表示系统的自由度数。
拉格朗日方程可以写成以下形式：\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0这个方程组成系统的拉格朗日动力学方程，通过求解这个方程，我们可以得到描述系统运动的解析解或数值解。
拉格朗日动力学方程的推导是基于哈密顿原理，也称为拉格朗日原理。
哈密顿原理的核心思想是系统的真实运动路径是使作用量最小的路径。
作用量是一个积分，由拉格朗日函数和时间的区间所确定。
通过最小化作用量，我们可以得到拉格朗日动力学方程。
拉格朗日动力学方程在各个科学领域中具有广泛的应用。
在物理学中，它被用于描述刚体的转动、粒子在电磁场中的运动、弹性体的振动等现象。
在工程学中，它被用于机械系统的设计和分析。
在生物学中，它被用于生物力学的研究。
此外，拉格朗日动力学方程也是数学物理的一个重要分支，它为建立系统的数学模型提供了一种优雅和统一的方法。
理论力学(Ⅱ)—拉格朗日方程
B
解：以系统为研究对象，系统所 受的主动力有圆柱的重力。设两轮的 角加速度为 1 、 2 ，轮B质心的加速 度为 a 。假想加上惯性力，如图。
1 其中 M mR 21 2
g A
C
2
yC
1 2
mg
g MB
a
2
g FBg ma M B mR 2 2
此系统具有两个自由度，取轮A、轮B的转 角1 、 2 为广义坐标。给系统一组虚位移，如图。
q (q1 , q2 , , q N )
ri ri (q1 , q2 , , qN , t )
由动力学普遍方程，得
F δ r m a δ r 0
i 1 i i i 1 i i i
(m1 m2 ) g m1lcos
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
求：1、三棱柱后退的加速度a1； 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 y D ae a1 C1
引
言
本章是将达朗伯原理和虚位移原理结合起来 推导出动力学普遍方程和拉格朗日方程。动力学 普遍方程中系统的运动是直角坐标来描述的，而 拉格朗日方程是用广义坐标来描述系统的运动， 两者都是用来解决非自由质点系的动力学问题， 它是用分析的方法解决动力学问题的出发点，因 此它是分析力学的基础。对于解决复杂的非自由 质点系的动力学问题，应用拉格朗日方程往往要 比用动力学普遍方程简便得多。
2 aC g sin 3
0
mgsin x - FIR x M IC
分析力学初步-拉格朗日方程
P
的虚位移，这一虚位移是两者共有的
（ii）在切平面不动时，两个刚体在各自切平面内的虚位移： r1
r r r 1 1 r r r 2 2
， r2
r1 r2 r1 r2
约束：限制力学体系中各点运动的条件，其方程成为约束方程用 约束的分类： （1） 稳定约束和非稳定约束： a． 稳定约束：约束方程中不显含时间即
f ( x1 , x2 , x3n , t ) 0 表示
f ( x1 , x2 , x3n ) 0
b. 非稳定约束：约束方程中显含时间即
f ( x1 , x2 , x3n , t ) 0
二． 非自由质点系的约束和广义坐标 1．虚位移：
矢量：
r r (t )
在
dt
时间内的位移为
dr
想象在某一时刻 t 质点发生了一个约束许可的无限小的位移
这个位移不是由于质点的实际运动所产生的，它不需要时间，这种位移称为虚位移用 r 表示
例：设 n 个质点组成的系统，受到一个约束（完整约束）约束方程为：
（∵ r r
ห้องสมุดไป่ตู้
）
（3） 两个光滑表面接触的刚体
若刚体有滑动则： r1 r2 可以证明 r1 r2 在刚体接触点的公切面内，而
F N 1 和 F N 2 垂直于公切面 W F N 1 r1 F N 2 r2 F N 1 ( r1 r2 ) 0
l 摆长 l 随时间变化：初始时刻为 0 ，以速度 v 拉动绳子的另一
端。 约束方程：
拉格朗日方程
朗 日
4
1 m L2 2 1 m gL cos
24 2
22
C
m2 g
方 代入拉格朗日方程 程
d dt
L x
L x
0
得
3 2
m1x
m2
x
1 2
m2
L
d dt
(
c
os
)
0
整理得 (3m1 2m2 )x m2Lcos m2L 2 sin 0（1）
拉
A
M
r
O
R
格
朗
解：以整个系统为研究对象，系统具有一个自由度，取曲柄转角 为广义坐
日 标。
方
由运动学关系知，动齿轮的角速度 与曲柄的角速度 的关系为
程
则系统的动能为
r R
r
T
1 2
1 3
Q g
(r
R)2 2
1 2
P g
(r
R)2 2
1 2
代入拉格朗日方程 1.2
d dt
L
L
0
得
m 1 L2 1 m L d (x cos) 1 m L2 1 m Lx sin
拉
24
2 2 dt
12 2
22
格
m g L sin 0
22
朗
日 整理后得 2L 3xcos 3g sin 0 （2）
Q1
其中
Q2
FI 1
Q1 g
a1
动力学方程 拉格朗日方程
dt
dt
dt
s
1
V q
q
dV dt
dT dV 0 dt dt
T＋V＝E＝恒量
这就是力学体系的能量积分。
可见拉格朗日方程具有能量积分的条件是：受稳定的理想约束的完整系 ，只受保守力而且T、V中不显含t，这时体系的能量守恒。
（3）对于完整的保守的力学体系，受不稳定约束而且T、V 中不显含t情况的分析。
d dt
n i 1
mi
ri
ri q
n i1
mi
ri
ri q
d dt
n i 1
q
1 2
mi
ri
2
n i 1
q
1 2
mi ri 2
令
T
n i 1
1 2
mi ri 2
显然 T 是体系的动能，则有
P
d dt
T
q
T q
即
d dt
T q
T q
Q ,
1, 2, , s
y
Fy
j'
rP
解 方法一：
o
从定义式计算。 将定义式用于极坐标，因 粒子数 n＝1，则
Qr
F
r r
r
Q F
F
i'
Fx
x
又因 x＝ r cos，y＝r sin
则
x cos , y sin
r
Qr
F
r r
r
Fx
x r
Fy
y r
y
Fy
j'
F
i'
r P Fx
o
Q＝ r F（是力矩）
F
r o
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C1 C2
W1 W2
P
各力作用点坐标为
x1 = l1 l cos 1 , x2 = l1 cos 1 + 2 cos 2 , 2 2 y3 = l1 sin 1 + l2 sin 2
代入广义力公式(过程略,你可以再详细些),得 代入广义力公式(过程略,你可以再详细些),得 ),
所有力在此虚位移上的虚功为: 所有力在此虚位移上的虚功为:
l2 sin 2δ 2 + Pl2δ 2 cos 2 2 W = ( P cos 2 2 sin 2 )l 2δ 2 2 = W2
C1
W1
δ r2
C2
δ r3
P
所以,对应2的广义力为 所以,
Q2 = ∑ δW F
δ 2
= ( P cos 2
MIO
B
δr
a
MIC FIC
C
Q
δr
δr
G
X
P
δr
FIP
∑δWF + ∑δWFI = 0
X δ r + FIC δ r = 0
α
Q
式代入上式,解得: ④ 将(1) 式代入上式,解得:
X = Q(Q sin α P ) cos α P + 2Q
由于使用动力学普遍方程较麻烦, 注:由于使用动力学普遍方程较麻烦,通常不用其直接求 解动力学问题.其意义在于导出拉格朗日方程. 解动力学问题.其意义在于导出拉格朗日方程. 作业:选做 自由度问题) 作业:选做18-5(试用动力学普遍方程求.注意为 自由度问题) (试用动力学普遍方程求.注意为2自由度问题
∑X , ∑Y , ∑mC ( F )
——虚功表达式中广义坐标的 虚功表达式中广义坐标的 变分的系数,称为广义力 广义力Q 变分的系数,称为广义力 i
可见,虚功方程等价于 Qi = 0 (i = 1, 2, ... , k) 可见,
1
注1: :
对单个自由刚体,该组方程等同于平衡方程;对非自由质点系, 对单个自由刚体,该组方程等同于平衡方程;对非自由质点系, 该组方程不同于平衡方程(见后面例1). 该组方程不同于平衡方程(见后面例 ).
3
5
解2:(几何法)选1,2为广义坐标,对应虚位移为δ1,δ2. :(几何法) 为广义坐标, :(几何法 ).所 ① 先令δ1≠0,δ2=0,如图(a).所 , ,如图( ). 有力在此虚位移上的虚功为
∑δWF = mO (W1 )δ1 + W2 δr2 + P δr2 l1 sin 1δ1 W2δr2 sin 1 + Pδr3 cos 1 2 W = P cos 1 ( 1 + W2 ) sin 1 l1δ1 2 = W1
x y z W Q1 = ∑ X i i + Yi i + Z i i = P cos 1 ( 1 + W2 ) sin 1 l1 1 1 2 i =1 1
3
xi yi zi W = ( P cos 2 2 sin 2 )l2 Q2 = ∑ X i + Yi + Zi 2 2 2 i =1 2
(3)
即,对动力学问题,给系统加上惯性力,再应用虚位移原理即可解题. 对动力学问题,给系统加上惯性力,再应用虚位移原理即可解题. 上式中∑不一定指质点,而一般可理解为力或力偶个数; 注:①上式中∑不一定指质点,而一般可理解为力或力偶个数; ∑ 当质点系静止时(静平衡), 退化为虚功方程: ②当质点系静止时(静平衡),δWFI = 0 ,退化为虚功方程: ∑δ W F = 0
10
II. 求地面水平反力. 求地面水平反力. 研究整体,解除地面的水平约束, ① 研究整体,解除地面的水平约束, 代之以水平反力X; 代之以水平反力 ;加惯性力和惯性 力偶,如图. 力偶,如图. 给系统虚位移,如图. ② 给系统虚位移,如图. 列动力学普遍方程: ③ 列动力学普遍方程:
ε
aC
ε
O A
个质点的质点系: 对n个质点的质点系: 个质点的质点系 虚位移原理 动力学普遍方程
形式上的平衡问题
∑ (F + N ) ≠ 0
i =1 i i
n
∑ (F + N
i =1 i
n
i
+ FIi ) = 0
∑ (F + N
i =1 i
n
i
+ FIi ) δ ri = 0
理想约束: 理想约束: ∑ N i δ ri = 0
C1
δ r1
δ rA δ r2
C2
W1
δ r3
P
W2 (a)
所以, 所以,对应1的广义力为
Q1 = ∑δWF
δ1
W = P cos 1 ( 1 + W2 ) sin 1 l1 2
6
② 再令δ2≠0,δ1=0,如图 . , ,如图(b).
∑δWF = m A (W2 )δ 2 + m A ( P)δ 2
k
δ ri =
∑
k
ri δq h qh h =1
k
i = 1,2, , n
ri δ Wi = Fi δ ri = Fi ( δq h ) = q h h =1
∑
∑
h =1
Fi
ri δq h q h
i = 1,2, , n
n
对应第 h 个广义坐 标的广义 标的广义 力
整个质点系上所有( 整个质点系上所有(主 力所作虚功: 动)力所作虚功:
A C P O Q B
α
Q
G
欲用动力学普遍方程求解三角块水平反力, 解除其水平约束, 欲用动力学普遍方程求解三角块水平反力,需解除其水平约束,研究 整体,给各运动物体加惯性力 惯性力偶,但有关加速度和角加速度 加惯性力和 整体,给各运动物体加惯性力和惯性力偶,但有关加速度和角加速度 未知; 未知; 欲求加速度和角加速度,研究整体(不去约束) 加惯性力和惯性力偶, 欲求加速度和角加速度,研究整体(不去约束),加惯性力和惯性力偶, 给系统虚位移,应用动力学普遍方程可求. 给系统虚位移,应用动力学普遍方程可求.
2
第18章 动力学普遍方程 拉格朗日方程 18章
§18-1 广义力 18一,广义力的概念 表示: 质点系任一质点坐标可用广义坐标 qh ( h = 1,2,…,k) 表示:
ri = ri (q1 , q2 , , q k ) i = 1,2, , n
求变分, 求变分,得用广义坐标 变分表示的虚位移: 变分表示的虚位移: 该质点上的力所作虚功: 该质点上的力所作虚功:
h h =1
h
若只给定第h个广义坐标的虚位移,其余广义坐标的虚位移为 , 若只给定第 个广义坐标的虚位移,其余广义坐标的虚位移为0,则 个广义坐标的虚位移
∑δ WF = Qhδqh
Qh =
∑δ W F δq h
4
书上例17-10) 例1 (书上例 ) 计算双摆的广义力,已知摆长各为 计算双摆的广义力,已知摆长各为l1,l2, 重量各为W .(2自由度 重量各为 1,W2,力P.( 自由度) .( 自由度) 解1:(解析法)建立坐标系如图.选1, :(解析法)建立坐标系如图. :(解析法 为广义坐标. 2为广义坐标. 各力在坐标轴上的投影为
9
2.
解:I. 求加速度和角加速度. : 求加速度和角加速度. 研究整体(不去约束, ① 研究整体(不去约束,因后面要用 虚位移原理),加惯性力和惯性力偶, ),加惯性力和惯性力偶 虚位移原理),加惯性力和惯性力偶, 如图.其中惯性力和惯性力偶: 如图.其中惯性力和惯性力偶:
P P FIP = a = aC g g Q FIC = aC g M IO M IC 1Q 2 = rε 2g
x
O
∑δ WF = ∑X δ x + ∑Y δ y + ∑mC ( F ) δ = 0
∑X = 0, ∑Y = 0, ∑mC ( F ) = 0
δ x δ y δ
——广义坐标的变分 广义坐标的变分
即,一个变分方程可对 应几个独立的代数方程: 应几个独立的代数方程: 独立代数方程数 = 广 义坐标数
注2: :
①对应每一个广义坐标,有一个广义力; 对应每一个广义坐标,有一个广义力; ②广义力是代数量而非矢量; 广义力是代数量而非矢量; ③广义力不作用在某个物体上,故也无法画出. 广义力不作用在某个物体上,故也无法画出. 在以下(拉格朗日方程)的讲解中,会用到广义力的概念, 在以下(拉格朗日方程)的讲解中,会用到广义力的概念,故下面首 先介绍广义力. 先介绍广义力.
Qh =
∑
i =1
n
Fi
ri qh
h = 1,2,, k
用直角坐标表示: 用直角坐标表示:
Qh =
∑
i =1
n
(Xi
xi y z + Yi i + Z i i ) q h qh q h
k
h = 1,2, , k
2. 几何法 几何法——由虚功求 由虚功求 质点系虚功: 质点系虚功:
∑δ WF =
∑ Q δq
ε
aC
ε
MIO
O B
δ
A
δ
MIC FIC
C
Q a
δr
P
1Q 2 = r ε 2g
(1)
δrC
α
Q
G
FIP
且
aC = rε
给系统虚位移,如图.其中虚位移的关系: ② 给系统虚位移,如图.其中虚位移的关系: δ r = δ rC = rδ 列动力学普遍方程: ③ 列动力学普遍方程:
(2)
∑δWF + ∑δWFI = 0