11.3角平分线的性质(2)学案
人教初中数学八上《角平分线的性质(2)》教案 (公开课获奖)
角的平分线的性质课题12.3角的平分线的性质（第二课时）教科书第49——50页相关内容教学目标1．探索并证明角平分线性质定理的逆定理. 2．会用角平分线性质定理的逆定理解决问题．重点角平分线性质定理的逆定理及应用. 难点灵活应用两个性质解决问题．使用多媒体多媒体课件教学过程教师活动学生活动说明或设计意图复习旧知，导入新课1．角的平分线的性质定理是怎样叙述的？2．用数学语言怎样描述？师作出草图帮助理解．３．反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如右图（１）,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．这节课我们就来探究这个问题.出示课题并板书课题.1.集体回答：角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
２．看图说出数学语言：∵ OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA， PE⊥OB，∴ PD = PE３．讨论，证明．图（１）1．如上右图（１），点P是否在∠AOB的平分线上呢？首先我们要作出辅助线，怎么做呢？怎样证明呢？教师巡视，引导证明．1．前后桌同学讨论．并试着给出证明．证明: 经过点P作射线OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中PO＝PO，PD=PE，∴ Rt△PDO≌R t△PEO（HL）P合作探究，解决问题通过证明，你得到什么结论？这就是角的平分线的性质定理的逆定理，也叫做角的平分线的判定定理．这个定理用数学语言如何表示呢？２．角的平分线的性质定理与判定定理有什么区别呢？出示课件加以说明．老师点拨．３．随堂练习．填空：如右图（２）(1)∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB∴___________(__________________________)(２)∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE∴__________(______________________________)４．解决问题：（课本第49页思考题）如下图（3），要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）图（3）5.教学例1：已知：如右图（5）,在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。
初中数学教学课例《角的平分线的性质》教学设计及总结反思
证明后,教师强调经过证明正确的命题可作为定 理.同时强调文字命题的证明步骤.。
3.合作交流。 判断正误,并说明理由:： (1)如图 1,P 在射线 OC 上,PE⊥OA,PF⊥OB,则 PE=PF. (2)如图 2,P 是∠AOB 的平分线 OC 上的一点,E、F 分别在 OA、OB 上,则 PE=PF.。 (3)如图 3,在∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P,若 P 到 OA 的距离为 3cm,则 P 到 OB 的距离边为 3cm。 （4）例题讲解 例 1 如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,且 BD=CD, DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是 E,F.。 求证:EB=FC.。 变题 1:如图,△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平 分线,DE⊥AB 于 E,F 在 AC 上,且 BD=DF,求 证:CF=EB. 变题 2:如图,△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平 分线, DE⊥AB 于 E,BC=8,BD=5,求 DE.。 教师用多媒体展示问题,学生观察识图,独立思考,
整个教学过程中始终大包大揽,没有放手让学生自主合
作,在教学中总是以我在讲为主,没有培养学生的能力。
对课堂所用时间把握不够准确,由于在开始的尺规
作图中浪费了一部分时间,当然这一环节时间的浪费与
我讲授尺规作图的方式不够合理是分不开的,以至于在
后面所准备的习题没有时间去练习,给人感觉这节课不
够完整。再就是课堂上安排的内容过多,也是导致前面
利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种 数学情境,在这种情境下,通过思考和操作活动,研究数 学现象的本质和发现数学规律.根据如今各学校实际教 教学策略选 学环境及本节课的实际教学需要,我选择电脑及投影仪 择与设计 多媒体教学系统辅助教学,另外借助一定的教学软件, 如“几何画板”,“Powerpoint”等将有关教学内容用 动态的方式展示出来,让学生能够进行直观地观察,并 留下清晰的印象,从而发现变化之中的不变.这样,吸引
角平分线的性质教学设计
《角平分线的性质》教案——人教版《数学》八年级上册鞍山市二十六中学那琳11.3 《角平分线的性质》教案第二课时教学目标知识技能1、了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质；2、会利用角的平分线的性质进行证明与计算.解决问题1、提高综合运算三角形全等的有关知识解决问题的能力2、初步了解角平分线的性质及判定在生活、生产中的应用数学思考通过让学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，使学生学会理性思考，从而提高解决简单问题的能力。
情感态度探讨角平分线性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。
重点角平分线的性质的证明及运用。
难点角平分线性质的探究。
教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动1：情境引入：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2．比例尺为1：20000是什么意思？学生以小组为单位讨论，有部分学生疑惑，用以前学过的知识解决不了，引出新知识，等待学完再解决。
通过让学生动手画最短的路线，可以复习点到直线的距离这一概念，为探究角的平分线的性质作铺垫；同时也让学生感受到数学与实际生活是紧密相连的，从而激发学生的学习兴趣，体现人人学有价值的数学。
活动2：根据表中的图形和已知，猜想由已知可推出的结论，并用符号语言填写下表：1、学生可以讨论，独立思考，然后说出答案。
已知条件符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠POE=∠POD．由已知推出的结论：点P在∠AOB的平分线上．判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上[师]这样的话，我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．同学们思考一下，这两个性质有什么联系吗？[生]这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．[师]对，这是自己的语言，这一点在数学上叫“互逆性”．2、进一步引导学生用集合的观点概括两个性质，教师及时点拨讲解，让学生区别性质和判定两个的区别引导学生写出命题的已知、求证并加以证明，让学生熟悉证明文字命题的步骤，体会由实践活动得到的猜想,只能通过证明来验证,从而发展学生的理性思维。
角平分线的性质(2)最新版
《角平分线(二)》导学案
《角平分线(二)》导学案学习目标：掌握三角形三条角平分线的性质定理，会用这个定理解决一些简单问题.学习重难点：掌握三角形三条角平分线的性质定理并进行证明.学习过程：一、复习旧知：1.三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什么？性质：______________________________________.判定：_______________________________________.2.尺规作图：作∠AOB的平分线.作法：二、自主探究1.把准备好的三角形拿出来，分别折出三个角的角平分线，然后观察三条角平分线有什么性质。
2.动手用直尺和圆规画一个三角形，然后画出三条角平分线，观察这三条角平分线有什么性质，和折出来的三条角平分线是不是有类似的性质?3.说出你们的猜想，__________4.为了使你们的猜测站得住脚，还需要干什么? （学生讨论）5.写出完整的证明过程。
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P.求证：∠A的平分线经过点P，且PA=PA=PC.证明：三、自学例题1.读课本31页例题3，提出疑问。
2.学生解决疑问。
3.变式训练（1）将小（1）改为：已知AC=4cm ，求CD 的长；（2）将小（2）改为：已知AB=8cm ，求三角形DEB 的周长四、理解运用，巩固提高1.三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m ，三边长分别为a.b.c ，则三角形的面积S= .2.已知：△ABC 中，BP.CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且交于P,若P 到边AB 的距离为3cm ，△ABC 的周长为18cm ，则△ABC 的面积为 .3.到三角形三边距离相等的点是（ ）A.三条中线的交点；B.三条高的交点；C.三条角平分线的交点；D.不能确定4.△ABC 中，∠C=900,∠A 的平分线交BC 于D ，BC=21cm ，BD:DC=4:3，则D 到AB 的 距离为 .5.Rt △ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC于E ，AB=8cm ，则DE+DC= cm.6.△ABC 中，∠ABC 和∠BCA 的平分线交于O ，则∠BAO 和∠CAO 的大小关系为 .7.Rt △ABC 中，∠C=900，BD 平分∠ABC ，CD=n ，AB=m ，则△ABD 的面积是五、实践运用，巩固提高1.已知：如图∠C=090,∠B=030，AD 是ΔABC 的角平分线，求证：BD=2CD2.如图，在ΔABC 中，∠C=090,∠B=030，AB 的垂直平分线分别交AB,BC 于点D,E 求证：BE=2CE3.已知：OP 是∠MON 内的一条射线，AC ⊥OM ，AD ⊥ON ，BE ⊥OM ，BF ⊥ON ，垂足分别为C.D.E.F ，且AC=AD 求证：BE=BF中考真题：三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置.六、总结反思，归纳升华通过本节课的学习，你有哪些感悟和收获，与同学交流一下：①学到了哪些知识？②获得了哪些学习方法和学习经验？③与同学的合作交流中，你对自己满意吗？ ④在学习中，你受到的启发是什么？你认为应该注意的问题是什么？ C D A C B E D。
角平分线性质2
求证：
证明：
完成知识技能2：
1、认真阅读21页例题的解题过程并能独立完成。
2、思考点P在∠A的平分线上吗？你会证明吗？
3、由此说明三角形的三条角平分线有什么关系？
二、记录预习中存在的问题：
三、课堂学习：
（一）完善并整理自学内容
（二）以小组为单位合作交流自学中存在的问题
（三）汇报展示自学效果
（四）质疑与教师精讲
八年级数学导学案课题：11.3角的平分线的性质（2）
主备人：备课时间：月日学科领导签字：上课时间：月日
1分工预设
人员
分配
任务
2学情预设
3知识点：
学习目标：
1、掌握角平分线上点的判定。
2、能初步应用判定解决实际问题。
3、提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力。
4、初步了解角的平分线的判定在生活、生产中的应用。
4关键点：
5易错点
6.拓展变式
7.注意问题
8.反思提高
重点：角平分线上点的判定的证明及运用
难点：角平分线上点的判定的探究
学习过程：
一自主学习完成知识技能1：
1、阅读教材第21页思考你想怎么做？
2、操作（保留作图痕迹）：
3、从上述操作中你能发现什么结论？试加以证明：
4、结论（文字描述）：
几何语言：
已知：
（五）课堂练习课堂练习（12分钟）
1、教材22页1题：2、22页练习：
（六）课堂小结：八）课堂检测（10分钟）
1．如图ll．3—9， 且DE=CE，下列结论错误的是( )．
， ，
2．如图11．3—10，已知0为 的平分线的交点，0E_kAC于E，若0E=2
求0到AB与0到CD的距离之和．
人教版数学八年级上册11.3.2《角平分线的性质2》教学设计
人教版数学八年级上册11.3.2《角平分线的性质2》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级上册11.3.2《角平分线的性质2》是角平分线性质的进一步探究。
在前面的学习中，学生已经掌握了角平分线的定义和一些基本性质。
本节课通过探究角平分线的性质2，即角平分线上的点到角两边的距离相等，帮助学生更深入地理解角平分线的性质，并为后续学习三角形内心的性质奠定基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的探究能力，能够独立思考和解决问题。
但是，对于角平分线性质的理解还需加强。
学生在学习过程中容易混淆角平分线与角平分线的性质，需要在教学中进行重点引导和区分。
三. 教学目标1.知识与技能：理解和掌握角平分线的性质2，能够运用性质2解决相关问题。
2.过程与方法：通过自主探究、合作交流，培养学生的动手操作能力和推理能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：角平分线性质2的证明和理解。
2.难点：角平分线性质2在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.引导探究法：教师引导学生通过自主探究、合作交流，发现和证明角平分线的性质2。
2.案例分析法：教师通过典型例题，引导学生运用角平分线的性质2解决实际问题。
3.小组合作法：学生分组讨论，培养团队合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作角平分线性质2的相关课件，包括图片、动画和例题。
2.学习材料：准备相关的学习资料，如教材、练习题等。
3.教学工具：准备直尺、三角板等教学工具，便于学生动手操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习角平分线的定义和性质1，引导学生进入本节课的学习。
提问：我们已经学习了角平分线的哪些性质？你们想不想知道角平分线还有哪些性质呢？2.呈现（10分钟）教师呈现角平分线性质2的课件，引导学生观察和思考。
提问：你们能发现角平分线上的点到角两边的距离有什么关系吗？3.操练（10分钟）教师提出问题：如何证明角平分线上的点到角两边的距离相等？学生分组讨论，动手操作，尝试证明。
角平分线的性质(第二课时)教学设计
指导学生尝试推理：
分析：要证点P在∠AOB的平分线上，先连结OP,证明∠AOP=∠BOP,转证所在的两个三角形全等。
指导学生用文字和数学语言两种方式归纳结论。
引导学生规范书写推理过程。
注意数学建模思想的引导
鼓励学生大胆谈思法和问题，注意引导的方式
（三）新知探究
（1）论证：“到一个角两边的距离相等的点一定在角的平分线上”。
（2）文字表述与数学语言表述结论。
（3）结论的简单运用和应用。
同桌合作证一证:“到一个角两边的距离相等的点一定在角的平分线上”结论。进一步理解命题的论证基本步骤、掌握角平分线的性质的推论。
规范数学语言表达，形成基的数学推理逻辑。
在老师的引导下小组交流、猜测、尝试推理。
归纳结论：
按要求规范书写
畅所欲言
大胆质疑
（四）练习巩固
（五）总结、归纳、布置作业
（六）作业：《学习单》打“☆”的题和拓展题供选择
做。
巡查、个别指导，观察普遍性题
分层次合理布置作业
独立完成
（三）新知探究
按照上节课学习的“证明命题的步骤”，同桌合作“证一证”上述结论。
已知，如图，
求证：
P
证明：
归纳结论：
用数学语言表示：
（四）新知运用
1.阅读教材第21页“例题”，尝试独立写出证明过程。
2.独立完成教材第21页中的“思考”。
（五）知识小结
这节课你有什么收获或疑惑？请大胆与你的同伴进
行交流。
问题与情境
师生行为
设计意图
（一）课前预设
用尺规画出∠AOB的角平分线OC，在OC上任取一点P，并用数学语言描述“角平分线的性质”
角平分线性质(人教版八年级上数学)
人教版数学八年级上11.3.1角平分线的性质教学设计一、教学分析1、教学内容本节课是新人教版教材《数学》八年级上册第12章第3节第一课时的内容，是七年级学习角平分线的概念和前面刚学完三角形全等证明的基础上进行教学的，内容包括角平分线的作法，角平分线的性质及初步应用。
作角平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段相等或角相等开辟了新的途径。
因此，本节教学内容在数学学科体系中起到了承上启下的作用。
同时教材的安排由浅入深，由易到难，知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。
2、教学对象刚进入八年级的学生观察、操作、猜想有了一定的能力，但归纳、演绎推理能力、运用数学思想方法的意识还比较弱，思维的深度、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步引导和训练。
3、教学环境分析利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索数学环境，在这种情境下，通过操作活动、经历问题变化的过程，思考和研究实际现象的本质，发现其蕴含的数学规律。
根据本节课的实际需要，我选择PPT辅助教学，借助几何画板动态地展现研究知识的过程，发现变化中的不变，吸引学生的注意力，潜移默化地引导其数学思维方式的形成。
二、教学目标1、知识与技能：会用尺规作图画角平分线，并能用全等三角形的知识解释其原理，掌握角平分线的性质，运用性质解决线段相等、角相等的几何证明问题2、过程与方法：经历角平分线性质的探究过程，发展学生合情推理能力和演绎推理能力，3、情感态度与价值观：给学生创设实际问题情境，提高学生的学习兴趣，让他们在活动中体验应用数学知识解决实际问题的乐趣，培养学生应用数学的意识。
三、教学重难点教学重点：角平分线的尺规作图，掌握角平分线的性质教学难点：根据角的平分仪器提炼角平分线的画法，平分线性质的探究四、教学方法问题驱动式的研究性学习。
六、 教学过程活动1：创设情境，导入新课请你将一个角平均分成两个相等的角，你能有哪些方法？ （对折、测量计算量角器）活动2：角平分仪的实验与探究教师展示一个教具（平分角的仪器），演示平分角的使用方法。
角的平分线的性质2 教案
11.3 角的平分线的性质（第2课时）【课题】：角的平分线的性质（2）(平行班)【设计与执教者】：增城市新塘一中，刘宝芝，liu_baozhi@【教学时间】：45分钟【学情分析】：注重联系实际，通过确定集贸市场的位置的问题引出“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要。
同时注意学生应用结论进行证明时的严格性与规范性。
【教学目标】：（1）知识与技能目标：掌握角的平分线的两个性质；能应用角的平分线的性质解决一些简单的实际问题。
（2）过程与方法目标：通过探索集贸市场的位置加深学生对角的平分线的性质的理解。
引导学生从数学的视角观察客观世界，用数学的思维思考客观世界，以数学的语言描述客观世界。
（3）情感与态度目标：利用角的平分线的性质探索集贸市场的位置，使学生的求知欲望得到激发，使学生通过应用已学知识解决身边的问题，提高学生学习数学的兴趣。
【教学重点】：角的平分线的性质的运用及运用【教学难点】：角的平分线的性质的探究【教学突破点】：通过实际生活中的例子对比角的平分线的两个性质。
【教法、学法设计】：合作探究式分层次教学，讲授、练习相结合。
【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入问题1.一个S区有一个集贸市场，在公路与铁路所成的角平分线上的P点，要从P点建两条路，一条到公路上，另一条到铁路上，怎样修建距离最短？这两条路有什么关系？画出来看一看？问题2.以上我们运用了什么知识点？角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题3.那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠POE=∠POD．由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．利用所学的数学知识解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段。
123角平分线的性质教学设计
123角平分线的性质教学设计【教学设计】一、教学目标：1.理解和掌握角平分线的定义。
2.了解角平分线的性质。
3.能够运用角平分线的性质解决有关问题。
二、教学重点和难点：1.角平分线的性质。
2.运用角平分线的性质解决问题。
三、教学准备：教师准备：教学PPT，黑板，白板笔。
学生准备：课本、笔记本。
四、教学过程：第一步：导入新知1.归纳总结阶段知识：复习有关角的定义和性质，如角的顶点、边、度量等。
2.提出问题：从生活中引入角的平分线，比如钟表上的时针和分针。
第二步：学习角平分线的定义和性质1.角平分线的定义：介绍角平分线的概念，即将一个角平分为两个相等的角。
2.角平分线的性质：通过示意图和具体的例子来讲解。
（1）角平分线的两边可以延长。
（2）角平分线把原来的角分成两个相等的角。
（3）角平分线把原来的角分成两个互补的角。
第三步：巩固角平分线的性质1.给出一些具体的角，让学生找出它们的平分线，并补充相关的度量信息。
2.练习：设计一些练习题，让学生运用角平分线的性质解决问题。
（1）已知点O是线段AB的中点，直线DE是角ABC的平分线，求证：∠DBE=∠FBC。
（2）如图，已知∠ABC=70°，∠BCD=90°，试求∠DBE和∠EBC的度数。
（3）如图，A、B、C、D四点在同一直线上，点E不在这条直线上，连接AE、BE、CE、DE四线段，且∠AEC=∠BEC，∠AED=67°，求证：∠AED=∠CED。
（4）如图，点E是边AD的中点，DE与BC相交于点F，若∠AEB=45°，则求证：∠CDF=45°。
3.深化拓展：引导学生思考并讨论以下问题：（1）对于任意的角，是否一定存在角平分线？（2）是否存在一个角有两条或多条不同的角平分线？第四步：达成目标检测1.布置小组活动：让学生分成小组，自选一题，并讨论解决方法和过程。
2.小组展示和总结：各小组汇报解题思路和答案，教师进行点评和总结。
11.3角的平分线的性质(2) 导学案
11.3角的平分线的性质（第2课时）
主备：李淑媛审稿：何龙盘苏海军吕艳萍时间：2011.9.11 【预习内容】
课本P21
【学习目标】
1．知道角平分线性质定理的逆命题,并会进行应用；
2．注意区别这两个定理的条件和结论，熟练用来解题.
【活动方案】
活动一复习角平分线的性质定理
1．角平分线性质定理的内容是什么？
2．如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
（先独立思考解答，然后在组内交流。
）
想一想：我们知道：角平分线上的点到距离相等；那么到角两边距离相等的点是否也在这个角平分线上呢？活动二探究角平分线性质定理的逆命题
1．阅读教材P21 思考，并说明理由。
求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（画出图形，写出已知和求证，再加以证明）.
2．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，
BE、CD相交于点O，OB＝OC.
求证：∠OAB＝∠OAC.
小组交流解题思路，将错题展示在小黑板上，分析错因。
【检测反馈】
1.已知△ABC的外角平分线BD、CE相交于点P .
求证：点P在∠A的平分线上
2．如图：在△ABC中，∠B=∠C=50°，D是BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，求∠BAD的度数.
3．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE ⊥OB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF、EF，求证: DF＝EF。
角平分线的性质2教案
25`
1、 如图，AB＝AD，BC＝DC，求证AC是∠DAB的平分线
探究：教材P19
用尺规作一个角的平分线
1、已知：∠AOB，
2、练习，画出下列角的平分线
求作：∠AOB的平分线OC
3、练习，教材P19
角平分线的性质
1、探究，教材P20
2、归纳，角平分线的性质是：角平分线上的到角两边的相等。
3、用三角形全等证明性质，
角的平分线的性质是全等三角形知识的延续，它为后面的几何证明提供了一种新的证明方法。本节分为两课时：第一课时让学生动手探究角的平分线的画法；第二课时主要探究角的平分线的性质并在此基础上进行简单应用。本节内容不仅为学生动手操作、观察、交流等活动提供了良好的素材，同时也让学生学会在实际问题中建立数学模型。
，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识和基本技能，发展应用数学知识的意识与能力，增强学好数学的愿望和信心。
总体要求：1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问”；3.充实“心案”活化“文案
总体要求：1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问”；3.充实“心案”活化“文案”。
教学流程
分课时
环节Leabharlann 与时间师生活动△设计意图
◇资源准备
□评价○反思
总结
8`
作业
2`
1、作下列角的平分线
2、△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F,求证EB＝FC
教学设计
题目
11.3.2角平分线的性质2
总课时
3课时
学校
长岗中学
教者
年班
《角的平分线的性质(2)》教案
12.3 角的平分线的性质第二课时一、教学目标（一）学习目标1.了解角的平分线的判定定理；2.理解角平分线性质和判定的区别与联系；3.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.（二）学习重点角平分线的判定及其应用.（三）学习难点灵活应用角平分线的性质和判定解决问题.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）角平分线的判定定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上（2）角平分线判定定理的符号语言：∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）2.预习自测（1）到角的两边距离相等的点在上.（2）到三角形三边的距离相等的点是三角形（）A.三条边上的高线的交点B. 三个内角平分线的交点C.三条边上的中线的交点D.以上结论都不对（3）在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC，BC=5cm,BD=3cm,则D到AB的距离是________，∠B=40°，则∠CDA= .预习自测答案：（1）角平分线（2）B （3）2cm，65°(二)课堂设计1.知识回顾（1）角的平分线性质定理的内容是什么？其中题设、结论是什么？[生] 角的平分线上的点到角的两边的距离相等；题设是一个点在角平分线上，结论是这个点到角两边的距离相等.（2）角平分线性质定理的作用是证明什么？[生]证明垂线段相等（3）填空如图：∵OC平分∠AOB， OA⊥AC,OB⊥BC .∴AC=BC（角平分线性质定理）2. 问题探究探究一角平分线的判定●活动①（回顾旧知，回忆类活动）把角平分线性质定理的题设、结论交换后，得出什么命题？猜想：它正确吗？由学生抢答，然后师生归纳：到角两边距离相等的点在角平分线上；它是正确的. 【设计意图】由性质到判定强化二者的关系●活动②证明上面的猜想学生依据猜测写出已知、求证，并画图，而后独立写出证明过程.展示学生的学习成果：已知： OM⊥PA于A，ON⊥PB于B，AP=BP求证： OC平分∠MON证明：∵PA⊥OM，BP⊥ON∴∠OAP=∠OBP=90°在Rt△AOP和Rt△BOP中∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴∠1=∠2∴OC平分∠MON【设计意图】进一步巩固全等三角形的判定.●活动③归纳角平分线的判定定理：到一角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）【设计意图】培养学生的归纳概括能力.探究二角平分线性质和判定的区别与联系●活动①现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，他们的做法正确吗？哪一种方法好？已知： CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC求证： OC平分∠AOB证法1：∵CA⊥OA，BC⊥OB∴∠A=∠B在△AOC和△BOC中∴△AOC≌△BOC（HL）∴∠AOC=∠BOC ∴OC平分∠AOB证法2：∵CA⊥OA于A，BC⊥OB于B， AC=BC∴OC平分∠AOB（角平分线判定定理）先让学生回答，最后老师归纳：两种方法都正确，“方法2”好，证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出，可直接运用角平分线判定定理.【设计意图】让学生体会角平分线判定定理的作用.●活动②学生结合图形完善表中内容，教师对个别学生教学指导.●活动③提问：角平分线的性质和判定之间有什么关系？先让学生回答，最后由师生归纳：角平分线性质的题设是角平分线判定的结论，角平分线性质的结论是角平分线判定的题设；角平分线性质的作用是证明线段相等，角平分线判定的作用是证明平分角；角平分线性质定理和角平分线判定定理是互为逆定理.【设计意图】培养学生的归纳概括能力.探究三利用角平分线的判定进行证明与计算●活动①（基础性例题）今天我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．【知识点】角平分线的性质和判定.【思路点拨】由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路．【解题过程】证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．又∵AC＝AC′（已知），∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．∴∠ABC＝∠ABC′．（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．【设计意图】区别角平分线的性质和判定.练习：如图，已知AB=AC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF.求证：BD=DC【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定和性质.【思路点拨】由DE=DF，可得∠BAD=∠CAD（角平分线的判定），则△ADB≌△ADC，所以BD=CD【解题过程】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF∴∠BAD=∠CAD又∵AB=AC，AD=AD∴△ADB≌△ADC∴BD=CD【设计意图】进一步加深对角平分线判定的认识.●活动2 （提升型例题）例2．如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（）A．110°B．120°C．130°D．140°【知识点】角的平分线的判定；角平分线的定义；三角形内角和定理.【思路点拨】由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC=的度数.【解题过程】由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，即三角形角平分线交点，AO、BO、CO都是角平分线，所以有∠CBO=∠ABO=12∠ABC，∠BCO=∠ACO=12∠ACB，∠ABC+∠ACB=180°−40°=140°，∠OBC+∠OCB=70°，∠BOC=180°−70°=110°故选A.【答案】A【设计意图】利用角平分线的判定求有关的角.练习：如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=52°，则∠BOC=（）A．128°B．116°C．75°D．52°【知识点】角的平分线的判定；角平分线的定义；三角形内角和定理.【思路点拨】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=128°，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等判断出点O是△ABC角平分线的交点，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，然后在△OBC中，利用三角形内角和定理列式进行计算即可得解．【解答过程】解：如图，∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=180°-52°=128°，∵点O到△ABC三边的距离相等，∴点O是△ABC角平分线的交点，在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-64°=116°．故答案为：116°．【答案】B【设计意图】利用角平分线的判定求有关的角.例3. 已知：如图，AD、BE是△ABC的两个角平分线，AD、BE相交于O点.求证：O在∠C的平分线上.【知识点】角的平分线的性质与判定的综合应用.【思路点拨】由AD、BE是△ABC的两个角平分线，可以得到垂线段OG与ON相等，OG与OM相等，再由垂线段ON与OM相等，得到O在∠C的角平分线上. 【解题过程】证明：过O作OG⊥AB，OM⊥BC，ON⊥AC，∵AO平分∠BAC，∴OG=ON，∵BO平分∠ABC，∴OG=OM，∴ON=OM，∴O在∠C的平分线上.【设计意图】进一步理解角平分线的性质与判定的关系.练习：如图，BP是△ABC的外角平分线，点P在∠BAC的角平分线上．求证：CP 是△ABC的外角平分线．【知识点】角的平分线的性质与判定的综合应用.【思路点拨】根据角平分线的性质可得PD=PF，PD=PE，由此可得PE=PF，根据角平分线的判定可得PC平分∠BCE【解题过程】证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，∵BP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥BC，∴PD=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵点P在∠BAC的角平分线上，PD⊥AD，PE⊥AE，∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴PF=PE，PF⊥BC，PE⊥AE，∴CP是△ABC的外角平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．【设计意图】进一步理解角平分线的性质与判定的关系●活动3 （探究型例题）例4. 如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠BAC的平分线．【知识点】全等三角形的判定和性质；角平分线的判定定理.【思路点拨】由BE=CF， DB=DC，可得Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），所以DE=DF,根据平分线的判定定理可得AD是∠BAC的平分线．【解题过程】证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDF是直角三角形，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线．【设计意图】进一步体会用角平分线的判定定理证明角相等.练习：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，BE＝CF. 求证：AD 是△ABC的角平分线.【知识点】角平分线的判定；三角形全等.【思路点拨】由D是BC的中点，BE＝CF，可得Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）则DE=DF，所以AD是△ABC的角平分线.【解答过程】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE和△CDF是直角三角形．∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是角平分线．【设计意图】进一步体会用角平分线的判定证明角相等.3. 课堂总结知识梳理（以课堂内容为根据，结合教学目标的几点要求，对涉及到的知识细致梳理）（1）能证明角平分线判定定理；（2）理解角平分线的性质和判定的关系；（3）能利用角平分线的性质和判定进行证明和计算.重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）（1）理解角平分线性质与判定的关系；（2）灵活利用角平分线性质与判定解决线段和角有关的问题.（三）课后作业基础型自主突破1．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________. 【知识点】角平分线的判定【思路点拨】由CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，可得∠AOC=∠BOC=30°【解答过程】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，∴∠AOC=∠BOC∵∠AOB=60°，【答案】30°2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,∠A=40°，DE⊥AC且DB=DE,则∠BCD=______.【知识点】角平分线的判定；三角形内角和定理。
《角平分线的性质》教案、导学案、同步练习
《12.3 第1课时角平分线的性质》教学设计1.在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？2. 有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？作已知角的平分线的方法。
已知什么？求作什么？【已知：∠AOB求作：∠AOB的平分线】(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?【以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M，交OB于点N.】(3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画【分别以点M，N为圆心，大于二分之一MN长为半径画弧，两弧在角的内部交于点C.(4)OC与简易平分角的仪器中,AE是同一条射线吗?【是】(5)你能说明OC是∠AOB的平分线吗?【提示：利用全等的性质】思考：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？问题1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2．比例尺为1：20000是什么意思？结论：1．应该是用第二个性质．•这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．图中1cm•表示实际距离200m的意思．作图如下：第一步：作∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．例题讲解：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．巩固练习教材50页练习1,2《12.3 第1课时角平分线的性质》教学设计教学过程设计2.在角平分线作法的第二步中，去掉“大于12 MN的长”这个条件行吗3.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？巩固练习：教材第19页练习。
人教版-数学-八年级上册-：角平分线的性质(2)导学案
课型预习展示课学习目标：1、知道角平分线的判定定理；2、会用角平分线判定定理进行有关证明和计算。
学习重难点：角平分线性质定理和判定定理的应用。
学习过程：一、自主学习1、如图1，已知OC平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，则有结论_________，其根据是__________________________．2、如图2，OM平分∠AOB，P为OM上一点，PD交OA于D，PE交OB于E，利用角平分线的性质证明PD=PE时，必须补充的条件是___________________________.3、如图3，已知PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD＝PE，则点P在∠AOB的平分线上吗？为什么？（请写出证明过程）4、归纳：角的内部到角的两边的_________相等的点在_____ ________上．二、预习自侧1、如图4，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500m．这个集贸市场应建在何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？2、如图5，ΔABC的角平分线BM，CN相交于点P．求证：点P也在∠A的平分线上．3、如图6，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，BD＝CD．求证：AD平分∠BAC．教与学随笔图1 图2图3图4图6图5初中-数学-打印版初中-数学-打印版三、合作探究如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 的中点， DM 平分∠ADC ． 求证：AM 平分∠DAB ．四、课堂小结3．如图，在Rt ΔABC 与Rt ΔEDC 中，∠BAC ＝∠DEC ＝90°，CB ＝CD ，BA ＝DE ，AB 、ED 的延长线相交于点P ．求证：CP 平分∠APE ．提高题：如图，AD ∥BC ，∠DAB 的平分线与∠CBA 的平分线交于点P ，过点P 的直线垂直于AD ，垂足为点D ，交BC 于点C ．试问：（1）点P 是线段CD 的中点吗？为什么？ （2）线段AD 与线段BC 的和等于图中哪一条线段的长度？为什么？教与学随笔课后反思ABC D P初中-数学-打印版。
角平分线的性质与判定 学案
§11．３ 角平分线的性质 两课时 学案教学目标1、能够证明角平分线的性质定理、判定定理2、能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题教学重点和难点重点：角平分线的性质定理、判定定理难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题教学过程设计探究：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ．思考：１．用 可以截相等的线段２．在以上基础上，已知一角如何画出该角的平分线一、尺规作图1、已知：∠AOB ，2、练习，画出下列角的平分线求作：∠AOB 的平分线OC3、练习，教材P19３．已知 ∠AOB ，OC 平分线∠AOB ，你会利用此图构造全等三角形吗二、角平分线的性质（1）点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。
探究： 课本２０页如图：OP 平分∠AOB ，PE ⊥OA ，PD ⊥OB ，显然PD 的长度是 ， PE 的长度是 PE ，PD 有何关系？ 请加以证明证明：（2） 角平分线性质定理（ 即已知角的平分线，能推出什么样的结论）数学语言：用符号语言来翻译这句话．请填下表：B A P O D A BP C（老师在此补充命题证明的步骤）1）符号语言∵或∴思考：那么在角的内部，到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？根据下表中的图形写出已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并加以证明：证明:由此得角平分线的判定三、角平分线的判定定理定理：符号语言∵∴或思考：角平分线的判定和性质之间有什么联系？四、应用：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质和判定有关吗？用哪一个解决这个问题？2．比例尺为1：20000是什么意思？结论：1．应该用．•集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，常用厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，•这就涉及一个单位换算问题．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中表示实际距离的意思．作图如下：第一步：第二步：总结：应用角平分线的性质和判定，可以省去证明三角形全等的步骤，•使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•可以直接利用性质解决问题．五、练习1、如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ．求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等．思考：点P 在∠A 的平分线上吗？为什么？２、如图，△ABC 的∠B 的外角平分线BD 与∠C 的外角的平分组CE 相交于P,求证点P 到三边AB ，BC ，CA 所在直线的距离相等。
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11.3角平分线的性质(2)学案
班级姓名
一、复习导入
1、用数学语言来表述角的平分线的性质定理：
如图1，∵∠1=∠2，，
∴（）
2、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．
∴．
同理PE=PF．
∴．
即点P到三边AB、BC、CA的距离．
思考点P是否也在∠A的角平分线上呢？
二、出示学习目标：
1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
三、出示学习提示
1、如图1，在的内部有一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E ，PD=PE，
猜想∠1与∠2有何关系？点P在什么位置上？
试着证明你的猜想．
图1
2、归纳出角平分线的判定定理：
4、用数学语言来表述角的平分线的判定定理：
如图1，∵ PD ⊥OA ， ，
∴
四、精讲点拨
如图，已知，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ， 且BE ＝CF ，求证：AD 是△ABC 的角平分线。
五、用一用
如图所示，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m ，这个集贸市场应建于何处（在图上标
出它的位置，比例尺为1：20000）？
六、小结
七、布置作业 《导航》角的平分线性质第二课时。
C
小测试：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，
求证∠BAO＝∠CAO
小测试：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，
求证∠BAO＝∠CAO。