1.4角的平分线的性质导学案(1)
湘教版数学八年级下册1.4《角平分线的性质》教学设计
湘教版数学八年级下册1.4《角平分线的性质》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级下册1.4《角平分线的性质》是初中数学的重要内容，主要介绍了角平分线的性质。
本节课的内容是学生学习几何知识的基础，也是学生进一步学习圆的知识的前提。
通过本节课的学习，学生可以掌握角平分线的性质，并能够运用角平分线的性质解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、线的概念等基础知识，对几何图形有一定的认识。
但是，学生对角平分线的性质还没有接触过，对于如何运用角平分线的性质解决实际问题还需要引导。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解角平分线的性质，并能够运用角平分线的性质解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过学生自主探究、合作交流的方式，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.角平分线的性质的推导过程。
2.如何运用角平分线的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、学生自主探究法、合作交流法等教学方法。
通过引导学生提出问题、自主探究、合作交流的方式，激发学生的学习兴趣，培养学生的几何思维能力。
六. 教学准备教师准备PPT、黑板、粉笔等教学工具。
学生准备课本、笔记本等学习工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引导学生思考：“如何找到一个角的平分线？”学生可以自由发言，教师引导学生提出问题，引出本节课的主题——角平分线的性质。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示角平分线的性质，让学生初步了解角平分线的性质。
然后，教师引导学生自主探究，让学生通过观察、思考、推理等过程，推导出角平分线的性质。
3.操练（10分钟）教师通过PPT展示一些练习题，让学生运用角平分线的性质解决问题。
学生在纸上完成练习题，教师选取部分学生的作业进行讲解和评价。
4.巩固（10分钟）教师通过PPT展示一些巩固题，让学生再次运用角平分线的性质解决问题。
1.4 角平分线(1)性质定理与逆定理
老师期望: 老师期望:
驶向胜利 的彼岸
独立作业
2
习题1.8
如图,求作一点P, PC=PD,并且点 P,使 并且点P 2. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB 的两边的距离相等. 的两边的距离相等.
B
D● C● O A
驶向胜利 的彼岸
老师期望: 老师期望: 养成用数学解释生活的习惯. 养成用数学解释生活的习惯.
A D 1 2 E B P C
定理 角平分线上的点到这个角的两边 距离相等. 距离相等. 的平分线,P ,P是 ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一 ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已 垂足分别是D,E( 点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已 知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边 ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边 距离相等). 距离相等). 在一个角的内部, 逆定理 在一个角的内部,且到角的两O 边距离相等的点,在这个角的平分线上. 边距离相等的点,在这个角的平分线上. PD⊥OA,PE⊥ B,垂足分别 A,PE⊥OB, ∵PA=PB, PD⊥ A,PE⊥ B,垂足分别 D,E(已知 已知), 是D,E(已知), AOB的平分线上.(在一个角 的平分线上.( ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角 的内部,且到角的两边距离相等的点, 的内部,且到角的两边距离相等的点, 在这个角的平分线上). 在这个角的平分线上). 用尺规作角的平分线. 用尺规作角的平分线. 邻补角的角平分线之间的关系. 邻补角的角平分线之间的关系.
D
B
3.作射线O 3.作射线OC. 作射线 则射线O 就是∠ 的平分线. 则射线OC就是∠AOB的平分线. 请你说明O 为什么是∠ 的平分线,并与同伴进行交流. 请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.
角的平分线的性质(1)
11．3．1角的平分线的性质执笔人：王金梅审核人：董介文孙秀云【学习内容】教材P19－20【学习目标】1.掌握作已知角的平分线的方法，并掌握角平分线的性质。
2.在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。
3.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力。
4.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用。
5.在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。
【学习重点】利用尺规作已知角的平分线，角的平分线的性质的证明及运用。
【学习难点】角的平分线性质的探究；运用角平分线的性质解决相关的实际问题。
【教学准备】平分角的仪器（自制）、三角尺、圆规、多媒体课件。
【学习过程】[知识回顾]1、全等三角形的性质：若△ABC≌△DEF，则有。
2、三角形全等的判定方法有：。
3、如图，AB＝AD，BC＝DC，求证AC是∠DAB的平分线[自主探究]【活动1】问题：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？学生实验：通过折纸的方法作角的平分线。
教师展示课件，并展示学生作品。
[设计意图]回忆角的平分线的定义，掌握角的平分线的简易作法。
让学生体验成功。
【活动2】 ( 体会平分角的仪器道理)议一议：如何将一个角平分是一个有趣的实验课题，有一个简易平分角的仪器，如图，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？（教师演示，并介绍“平分角的仪器”的特点。
学生将实物图抽象出数学图形，思考后组内交流.）本次活动中，教师重点关注：(1)学生是否能从简易角平分仪器中抽象出两个三角形；(2)学生能否运用三角形全等的条件证明两个三角形全等，从而说明线段AE 是∠BAD 的平分线。
（师生共同分析讨论，探究问题的解答.）分析：要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB 。
角平分线 优秀教案
学习环节 学习目标 学习评价
学习活动
设计意图
目标 1：
通过 自主学习 能够用数
1. 学 生 的 合
探究活动二：
作探究是否
真 正 合 作 是 １. 已经证明角平分线的性质定让学
否充分交流.
生自己说出这个定理的逆命题大
致有两种情况,然后引导学生分析
1.本探究活动 是对上一探究 活动的进一巩 固和练习，老
分钟完成！显示 活动要求具体明 确，组织有序.
5. 关 注 学 生 在定理证明 后用来解决 实际问题时 能否记住不
思路.
4.出示活动要求：同桌合作３分钟完成！ 完成后学生以组为单位，代表发言， 最后出示整理的证明过程以供同学们
4.写出角平分 线性质定理的 几何语言让学 生感知数学语 言简洁明了的
再写出定理 证明环节而 直接利用这 个现成的结 论进行推理 和计算.
决实际问题。
五、教法、学法：
本节课充分运用多媒体和几何画板直观生动的优势，引导学生操作、观察、思考、归纳。 适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习 的积极性。体现新课程标准的要求，让学生成为学习的主体，而教师是学习的组织者、引导 者与合作者。学生始终处于积极、主动、有趣的学习状态中，从而实现教与学的最优化，最 终达成本节课的学习目标。
角的平分线上
空间，进一体
(2) 如果一个点到角的两边的距离相 等 ，那么它就在这个角的平分线上.
现学生的主体 地位和老师的 主导作用.
3.经过上一个
探究活动让学
生在老师的参
与和引导下获
取一定的经验
用于本次活动
中，让学生学
2.展示第二个探索活动的要求和完成 任务内容，引导、组织学生以小组为 单位进行探索、合作、交流.
湘教版八下数学1.4.1《角平分线的性质》教学设计
湘教版八下数学1.4.1《角平分线的性质》教学设计一. 教材分析《角平分线的性质》是湘教版八年级下册数学第1.4.1节的内容。
本节主要让学生了解角平分线的性质，学会用角平分线判定角的相等和边的垂直平分关系。
教材通过生活实例引入角平分线的概念，接着引导学生探究角平分线的性质，最后通过角平分线的应用，使学生感受数学与生活的紧密联系。
二. 学情分析八年级的学生已具备一定的几何知识，对图形的性质有一定的了解。
但在探究角平分线的性质过程中，需要学生具备较强的观察能力、分析能力和推理能力。
此外，学生可能对角平分线与边的关系理解不够深入，因此在教学过程中需要引导学生反复探究、总结。
三. 教学目标1.理解角平分线的性质，并能运用角平分线判断角的相等和边的垂直平分关系。
2.培养学生的观察能力、分析能力和推理能力。
3.激发学生学习数学的兴趣，感受数学与生活的紧密联系。
四. 教学重难点1.角平分线的性质2.运用角平分线判断角的相等和边的垂直平分关系五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究角平分线的性质。
2.运用几何画板软件，动态展示角平分线的性质，增强学生的直观感受。
3.采用合作交流法，让学生在小组内讨论、分享解题心得，提高学生的合作能力。
4.运用实例分析法，让学生感受数学与生活的紧密联系。
六. 教学准备1.准备相关课件，展示角平分线的性质。
2.准备几何画板软件，用于动态展示角平分线的性质。
3.准备生活实例，使学生感受数学与生活的联系。
4.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入角平分线的概念，引导学生思考：如何判断一个角是否为另一个角的平分线？2.呈现（10分钟）展示几何画板软件，动态展示角平分线的性质。
引导学生观察、分析，总结角平分线的性质。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试运用角平分线判断角的相等和边的垂直平分关系。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成。
湘教版八下数学1.4角平分线的性质第1课时角平分线的性质和判定教学设计
湘教版八下数学1.4角平分线的性质第1课时角平分线的性质和判定教学设计一. 教材分析湘教版八下数学第1.4节角平分线的性质，主要讲述了角平分线的性质和判定。
本节课的内容是学生学习几何知识的重要组成部分，也是学生进一步学习圆的性质和线段平分线性质的基础。
通过本节课的学习，学生可以掌握角平分线的性质和判定方法，为以后的学习打下坚实的基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的定义、角的计算等基本知识，同时也学习了线段的性质和判定。
但是，对于角平分线的性质和判定，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、思考、操作等活动，自主探索角平分线的性质和判定方法，从而达到理解掌握的目的。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解角平分线的性质，掌握角平分线的判定方法。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考等活动，培养自己的逻辑思维能力和空间想象力。
3.情感态度与价值观：学生通过对角平分线性质的学习，增强对数学的兴趣和好奇心，培养自己的探索精神。
四. 教学重难点1.重点：角平分线的性质。
2.难点：角平分线的判定方法。
五. 教学方法采用问题驱动法、引导发现法、合作交流法等教学方法，引导学生通过观察、操作、思考等活动，自主探索角平分线的性质和判定方法。
六. 教学准备教师准备多媒体教学课件、角平分线的模型、练习题等教学资源。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已学过的角和线段的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件呈现角平分线的性质和判定方法，引导学生观察、思考，引导学生发现角平分线的性质和判定方法。
3.操练（10分钟）教师学生进行小组合作交流，让学生通过实际操作，进一步理解和掌握角平分线的性质和判定方法。
4.巩固（10分钟）教师通过出示一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）教师出示一些拓展题，引导学生思考，进一步深化对角平分线性质和判定方法的理解。
角平分线的性质导学案
1.4角的平分线的性质（1）学习目标：1、通过探究理解角平分线的性质并会运用2、掌握尺规作图作角平分线 学习重点：角平分线的性质及尺规作图【学习过程】 一、预习导学：基本定理的学习：（阅读课文P22-25的内容）角的平分线性质定理和判定定理： 二、讨论展示：（1）知识回顾： 如图，已知AB ＝AD ，BC ＝DC ，求证：AC 是∠DAB 的平分线（2）学习新知：1、 如图，已知∠BAC ，用尺规作图的方法作出∠BAC 的角平分线AD ，写出作法，并说明这种作法的依据。
2、OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点，操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB,点D 、E 为垂足，测量PD 、PE 的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段3、你能用所学知识证明以上你发现的结论吗？ 已知：AD 平分∠BAC ，P 为AD 上的一点，PM ⊥AB ，PN ⊥AC 求证： 证明：4、 反过来，如图，若P 为∠BAC 内的一点，且点P 到边AB 、AC 的距离相等，即PM=PN ，你认为经过点P 的射线AD 平分∠BAC 吗？为什么？5、 小结：通过以上探索和证明，我们得出了角平分线的性质是：（1） ； （2） 。
仔细比较分析，以上两条定理有什么关系：一般情况下，我们要证明一个几何中的命题时，会按照类似的步骤进行，即：（1） ；（2） ；（3） 。
三、新知应用：（1）如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，且D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， 求证：BE=CFA B D C A B C C A B CN M P D A B C N M P D。
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教案
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教案一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1章“几何变换”中的一个重要内容。
本节课主要介绍了角平分线的性质及其在几何图形中的应用。
学生通过学习角平分线，可以进一步理解几何图形的性质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了线段的中垂线、垂直平分线的性质，对几何图形的变换有一定的了解。
但部分学生对角平分线的概念和性质理解不够深入，运用角平分线解决实际问题的能力较弱。
三. 教学目标1.理解角平分线的定义及其性质；2.学会运用角平分线解决简单几何问题；3.培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.角平分线的定义及其性质；2.运用角平分线解决实际问题。
五. 教学方法采用讲授法、示范法、讨论法、实践法等多种教学方法，引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，掌握角平分线的性质和应用。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材；2.准备角平分线的模型或实物；3.准备练习题和拓展题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件或实物展示，引导学生回顾线段的中垂线、垂直平分线的性质。
提问：线段的垂直平分线和中垂线有什么关系？它们在几何图形中有什么作用？2.呈现（10分钟）展示角平分线的模型或实物，引导学生观察并思考：角平分线是什么？它有什么特点？通过示范和讲解，阐述角平分线的定义及其性质。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试运用角平分线解决简单几何问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成。
教师选取部分学生的作业进行点评，指出错误并讲解原因。
5.拓展（10分钟）出示拓展题，引导学生运用所学知识解决实际问题。
学生分组讨论，教师巡回指导。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调角平分线的性质及其在几何图形中的应用。
7.家庭作业（5分钟）布置适量的作业，让学生巩固所学知识。
8.板书（5分钟）设计简洁明了的板书，突出角平分线的性质和应用。
角平分线的性质导学案
1.4 角平分线的性质与判定导学案（一）【导学目标】1、掌握角平分线的性质定理及判定定理；2、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
【导学重点】掌握角平分线的性质定理及判定定理；【导学难点】掌握角平分线的性质定理及判定定理；【强基导学】1、判定三角形全等的方法有哪些？判定直角三角形全等的方法呢？2、斜边、直角边定理的内容是什么？3、什么是角平分线？4、点到直线的距离的定义，完成任务1：【自主探学】阅读教材P22【任务1】如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA ，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？请写出证明过程。
【归纳】角平分线的性质定理：角平分线上的点到。
几何语言描述角平分线的性质定理：∵∴，完成任务2：【带问自学】阅读教材P23【任务2】如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E. 若PD= PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？请说明理由。
【归纳】角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点 。
用几何语言描述角平分线的判定定理：∵∴【互动帮学】例1 如图，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2. （1）求证：点B 在∠ADC 的平分线上； （2）求证：BD 是∠ABC 的平分线.【知识梳理】1、角平分线的性质定理是 。
2、角平分线的判定定理是 。
【达标评学】1． 如图，在△ABC 中，∠B =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，BC =10cm ，CD =6cm ，则点D 到AC 的 距离是： 。
2、如图，在Rt △ABC 中，AC =4，BC =3，AB =5， 点D 是三角形内角平分线的交点，则点D 到AB 的 距离是： 。
A3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于E，且DC＝DE，∠CBD:∠A＝2:1，则∠A的度数为。
【布置作业】教材P26A组1、2题BEADC第3题图。
湘教版八下数学1.4.1《角平分线的性质(一)》教学设计
湘教版八下数学1.4.1《角平分线的性质（一）》教学设计一. 教材分析湘教版八下数学1.4.1《角平分线的性质（一）》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握角平分线的性质。
本节课的内容是在学生已经掌握了角的概念、角的计算等基础知识的基础上进行学习的，为后续学习角平分线的应用打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、角的计算等基础知识，对于图形的性质也有了一定的了解。
但学生的几何直观能力、逻辑推理能力还有待提高，因此，在教学过程中，需要注重培养学生的几何直观能力和逻辑推理能力。
三. 教学目标1.让学生理解角平分线的性质，并能运用角平分线的性质解决一些简单的问题。
2.培养学生的几何直观能力和逻辑推理能力。
3.激发学生学习数学的兴趣，提高学生自主学习的能力。
四. 教学重难点1.角平分线的性质的推导过程。
2.如何运用角平分线的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、推理等过程，发现角平分线的性质。
2.运用几何画板等软件，动态展示角平分线的性质，增强学生的直观感受。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中提高自己的逻辑推理能力。
4.通过典型例题的讲解，引导学生运用角平分线的性质解决实际问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件、几何画板软件等。
2.准备一些典型的例题和练习题。
3.准备一些关于角平分线的实际问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习角的概念、角的计算等基础知识，引导学生进入本节课的学习。
2.呈现（15分钟）利用几何画板软件，动态展示角平分线的性质，引导学生观察、思考，发现角平分线的性质。
3.操练（15分钟）让学生通过自主学习、小组合作学习的方式，掌握角平分线的性质。
在此过程中，教师引导学生运用逻辑推理能力，解决一些相关问题。
4.巩固（10分钟）通过一些典型的例题和练习题，让学生巩固所学知识，提高运用角平分线的性质解决实际问题的能力。
2024北师大版数学八年级下册1.4.1《角平分线的性质定理及逆定理》教学设计
2024北师大版数学八年级下册1.4.1《角平分线的性质定理及逆定理》教学设计一. 教材分析《角平分线的性质定理及逆定理》是北师大版数学八年级下册第1章第4节的内容。
本节课主要介绍了角平分线的性质定理及逆定理，并通过实例让学生了解这两个定理在实际问题中的应用。
教材通过探究活动，引导学生发现角平分线的性质定理及逆定理，培养学生的观察、思考、推理能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、线段中点的性质等知识。
但由于角平分线的性质定理及逆定理较为抽象，学生可能难以理解和运用。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，通过直观演示、实例分析等方式，帮助学生理解和掌握角平分线的性质定理及逆定理。
三. 教学目标1.理解角平分线的性质定理及逆定理；2.学会运用角平分线的性质定理及逆定理解决实际问题；3.培养学生的观察、思考、推理能力；4.培养学生的合作交流意识。
四. 教学重难点1.角平分线的性质定理及逆定理的理解和运用；2.引导学生发现角平分线的性质定理及逆定理的过程。
五. 教学方法1.启发式教学：通过问题引导，激发学生的思考，培养学生解决问题的能力；2.直观演示：利用教具演示，让学生直观地理解角平分线的性质定理及逆定理；3.实例分析：通过实际问题，让学生学会运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题；4.合作交流：引导学生分组讨论，培养学生的合作交流意识。
六. 教学准备1.教具：角平分线演示教具；2.实例：选取一些实际问题，用于练习和巩固角平分线的性质定理及逆定理；3.课件：制作课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件或教具，引导学生回顾角的概念和线段中点的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）展示角平分线的性质定理及逆定理的定义，引导学生观察和思考。
通过演示教具，让学生直观地理解角平分线的性质定理及逆定理。
3.操练（15分钟）分组让学生进行讨论，分析教材中的实例，运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题。
角的平分线的性质
“角的平分线的性质”导学案（第一课时）姓名：_____课时目标：1.掌握角平分线的画法2.理解并掌握角平分线的性质3.了解证明几何命题的一般步骤自学目标：1.动手画任意已知角的平分线2.填空，如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE.证明：∵PD⊥OAPE⊥OB∴_____=_____=90°在△PBO和△PEO中∠PDO=∠PEO________=_________OP=OP∴△PDO≌△PEO（_________）∴PD=PE用语言描述以上的结论为：角的平分线的性质：________________________________________________.3.如图，点P、D、E分别在OC、OA、OB上，判断下列推理：A①∵OC平分∠AOB∴PD=PE( ) D C②∵OC平分∠AOBPD⊥OAPE⊥OB∴PD=PE( ) P③∵PD⊥OAPE⊥OB∴PD=PE( )O E B4.证明几何命题的一般步骤是怎样的？①明确几何命题中的__________________;②根据题意，画出图形，并用符号表示_________________;③写出____________。
解读目标：1.运用角平分线性质定理的条件及要注意的问题；2.条件中已知角平分线时常见辅助线的作法。
巩固目标：1.如图，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM上一动点，若P A=2，则PQ的最小值为_________2.如图，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是________3.如图，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，BC=8cm，AC=6cm，AB=10cm，则△BDE的周长=______. M CPDO A N（第1题图）（第2题图）（第3题图）4.如图，已知OA平分∠BAC，OB=OC，求证AB=AC. AOB C提升目标：△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，AC=10，∠BAC、∠ACB的平分线交于点O，OD⊥AC于D①求OD②求AD、CD的长ADOB C回顾目标：1、掌握角平分线的画法2、理解并掌握角平分线的性质3、了解证明几何命题的一般步骤作业：长江学案P34 1~7。
角平分线的性质-导学案
【MeiWei 81重点借鉴文档】12.3 角平分线的性质（1）导学案、学习目标1、 能用三角形全等的知识，解释角平分线的原理;2、 会用尺规作已知角的平分线.二、 温故知新如图1，在/ AOB 的两边 0A 和0B 上分别取 OM=ONMC L OA NCL OB MC 与NC 交于C 点. 求证：（1） Rt △ MO © Rt △ NOC（2） / MOC M NOC三、 自主探究 合作展示探究（一）1、 依据上题我们应怎样平分一个角呢？2、 思考：把上面的方法改为“在已知/ AOB 的两边上分别截取 OM=QN 使MC=NC 连接OC 则OC 即为/ AOB 的平分线。
”结论是否仍然成立呢?件行吗?OA 是/ BAC 的平分线，点 O 是射线 取点 O 的三个不同的位置，分别过点 AM 上的任意一点. O 作OE 1 AB, OD 丄AC,点D E 为垂足，测四、学习反思请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。
【MeiWei 81重点借鉴文档】 3、受上题的启示，我们可以制作一个如图 2所示的平分角的仪器： 其中AB=AD BC=DC 将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE AE 就是角平分线•你能说明它的道理吗？ 探究 思考 已知 求作 作法 二）如何作出一个角的平分线呢？/ AOB / AOB 勺平分线.（1 ）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 OA OB 于 M N 1 M N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧.两弧在 2（2）分别以 C. OC 射线OC 即为所求./ AOB 内部交于点 （3）作射线 请同学们依据以上作法画出图形。
议一议: 在上面作法的第二步中，去掉“大于 1 丄MN 的长”这个条 2 E1 第二步中所作的两弧交点一定在/ AOB 的内部吗?探究（三）如图 操作测量： 量OD OE 的长.将三次数据填入下表： 3,ODOE第次 卜面用我们学过勺 知:女第二次 AO 平 寸知识证明发现： 乙分 / RAC OEI A B ODI AC 'H ♦丿'口 1 ' 1 1 ：图1观察测量结果，猜想线段 OD 与OE 的大小关系，写出结论:。
1.4角平分线的性质1
在合作中学习 在学习中合作 在竞争中协作 在
陬市镇中学八年级 《数学》科<<导学案>>
备课日期：2014-2-19 上课日期：__月__日 第____周 设 计： 刘芬 星期____第 节 上课教师： 第 课时（总节数）
课题： 1.4 角平分线的性质 教 学 目 标 1、利用三角形全等得出、掌握角平分线的性质并运用性质进行证明 2、掌握角的平分线判定定理的的内容、证明及应用．
二、 合作交流 解决探究
归纳：角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角的两边的距离相等
在合作中学习 在学习中合作 在竞争中协作 在协作中竞争
。桃源县陬市镇中学《导学案》 。
归纳：角平分线的判定定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
三、 范例讲解
四、 练习 五、 小结
见书 P24
教 学 反 思
教学重点： 角平分线的性质定理和判定定理的推导 教学难点： 角平分线的性质定理和判定定理的应用 教 教学要求 学 程 序 二次备课
教 学 内 容 与 方 法
一、 创设情境 激情导入
活动：画一个角 AOB 的角平分线 OC，在射线 OC 上任取一个点 分别向两边做垂线，沿角平分线 OC 折叠后，你能发现哪些相等的 线段？
1.4角平分线的性质(1)
桃 源 县 漆 河 镇 中 学 教 师 电 子 教 案NO年 月 日 第 周 星 期 第 节课 题 1.4角平分线的性质(1)课 型新授教学目标知 识与技能 让学生通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理.过 程与方法 经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法.情 感 态 度 价值观激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．教 学 重 点 领会角的平分线的两个互逆定理. 教 学 难 点 两个互逆定理的实际应用. 教 具 准 备多媒体课件教 学 过 程教 师 活 动学 生 活 动 一、创设情境、引入课题拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？ 二、互动学习、验证定理角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论？已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E ，试问：PD 与PE 相等吗？ （学生自己证明、归纳）已知事项：OC 平分∠AOB ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， D 、E 为垂足．由已知事项推出的事项：PD=PE ．于是我们得角的平分线的性质：思考回答 口答21OBA P CEDA BD21桃 源 县 漆 河 镇 中 学 教 师 电 子 教 案教 学 过 程教 师 活 动学 生 活 动 角平分线性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. 提出问题：那么到角的两边距离相等的点 是否在角的平分线上呢？已知：如图，P 是∠AOB 内部任意一点，作PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D 、E 。
若PD =PE ，那么点P 在∠AOB 的平分线上吗?(提示：运用三角形全等的判定公理的推论来证明) 通过证明得出OC 为∠AOB 的角平分线. 即点P 在∠AOB 的平分线上.于是我们得出了角平分线的判定定理. 角平分线判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上.例1，如图∠BAD=∠BCD=90°,∠1=∠2.求证：(1)点B 在∠ADC 的平分线上；(2)BD 是∠ABC 的平分线.三、角平分线的性质定理及其逆定理的应用例2、如图所示，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DF ⊥AC ，垂足为F ，且BD =DC ， 求证：BE =CF .（提示：证明线段相等的常见方法有： ① ② ③ 而本题只能用：具体的条件有：① ；② . 请同学吗结合提示给出证明过程： 四、巩固练习教材P24 练习 1、2 （补充）1．如图，在△ABC 中，∠B =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，BC =10cm ，CD =6cm ，则点D 到AC 的距离是： .自主探究加强理解师生共同完成E A C DF B第1题B C A A B C D D E 第2题桃源县漆河镇中学教师电子教案教学过程教师活动学生活动2．如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，点P是三角形内桑内角平分线的交点，则点P到AB的距离是：。
1.4 角平分线 第1课时 教案
一、情境导入问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的性质定理【类型一】 应用角平分线的性质定理证明线段相等如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD ＝DF .求证：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB .解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即CD ＝DE .再根据Rt △CDF ≌Rt △EBD ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行证明．证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .在Rt △DCF 和Rt △DEB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝DF ，DC ＝DE ，∴Rt △CDF ≌Rt △EBD (HL)．∴CF ＝EB ； (2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴CD ＝DE .在△ADC 与△ADE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝DE ，AD ＝AD ，∴△ADC ≌△ADE (HL)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等．【类型二】 角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC ＝12×4×2＋12×AC ×2＝7，解得AC ＝3.故选D. 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．【类型三】 角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用如图所示，D 是△ABC 外角∠ACG 的平分线上的一点．DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，垂足分别为E ，F .求证：CE ＝CF .解析：由角平分线上的性质可得DE ＝DF ，再利用“HL ”证明Rt △CDE 和Rt △CDF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．证明：∵CD 是∠ACG 的平分线，DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，∴DE ＝DF .在Rt △CDE 和Rt △CDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CD ，DE ＝DF ，∴Rt △CDE ≌Rt △CDF (HL)，∴CE ＝CF . 方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．探究点二：角平分线的判定定理 【类型一】 角平分线的判定如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是∠BAC的平分线．解析：先判定Rt △BDE 和Rt △CDF 全等，得出DE ＝DF ，再由角平分线的判定可知AD 是∠BAC 的平分线．证明：∵DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴∠BED ＝∠CFD ，∴△BDE 与△CDF 是直角三角形．在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，BD ＝CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF (HL)，∴DE ＝DF .∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 是∠BAC 的平分线．方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．【类型二】 角平分线的性质和判定的综合如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F .下面给出四个结论，①AD 平分∠EDF ；②AE ＝AF ；③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等；④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：由AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 可得DE ＝DF ，由此易得△ADE ≌△ADF ，故∠ADE ＝∠ADF ，即①AD 平分∠EDF 正确；②AE ＝AF 正确；中垂线上的点到两端点的距离相等，故③正确；∵④到AE 、AF 距离相等的点，在∠BAC 的角平分线AD 上，到DE 、DF 的距离相等的点在∠EDF 的平分线DA 上，两者同一条直线上，所以到DE 、DF 的距离也相等正确，故④正确；①②③④都正确．故选D.方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题TQ PN M如图，△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点D .求证：AD 是∠BAC 的平分线．解析：分别过点D 作DE 、DF 、DG 垂直于AB 、BC 、AC ，垂足分别为E 、F 、G ，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE ＝DG ，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上来证明．证明：分别过D 作DE 、DF 、DG 垂直于AB 、BC 、AC ，垂足分别为E 、F 、G .∵BD 平分∠CBE ，DE ⊥BE ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF .同理DG ＝DF ，∴DE ＝DG ，∴点D 在∠BAC 的平分线上，∴AD 是∠BAC 的平分线．方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．【类型四】 线段垂直平分线与角平分线的综合运用如图，在四边形ADBC 中，AB 与CD 互相垂直平分，垂足为点O .(1)找出图中相等的线段；(2)OE ，OF 分别是点O 到∠CAD 两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可证明△AOC ≌△AOD ，可得AO 平分∠DAC ，根据角平分线的性质可得OE ＝OF .解：(1)∵AB 、CD 互相垂直平分，∴OC ＝OD ，AO ＝OB ，且AC ＝BC ＝AD ＝BD ；(2)OE ＝OF ，理由如下：在△AOC 和△AOD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AD ，OC ＝OD ，AO ＝AO ，∴△AOC ≌△AOD (SSS)，∴∠CAO＝∠DAO .又∵OE ⊥AC ，OF ⊥AD ，∴OE ＝OF .方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．三、板书设计1．角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 2．角平分线的判定定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，AB=4，则D 到BC 的距离是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6（第1题） （第2题）OED CBAFE DCB A2．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△NMP 的角平分线，MT ＝MP ，连结TQ ，则下列结论不正确的是（ ） （A ）TQ ＝PQ ． （B ）∠MQT ＝∠MQP ．（C ）∠QTN ＝90o． （D ）∠NQT ＝∠MQT ． 3．如图，AB ＝AC ，AE ＝AD ，则①△ABD ≌△ACE ；②△BOE ≌△COD ；③O 在∠BAC 的平分线上，以上结论（ ）（A ）都正确． （B ）都不正确． （C ）只有一个正确． （D ）只有一个不正确．（第3题） （第4题）4．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD 为∠ABC 的平分线，∠BDC ＝60o，则∠A 的度数是（ ） （A ）10o． （B ）20o． （C ）30o． （D ）40o． 5．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是（ ） （A ）直角三角形． （B ）等腰三角形． （C ）等边三角形． （D ）等腰直角三角形． 6．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是（ ）（A ）DE ＝DF ． （B ）ME ＝MF ． （C ）AE ＝AF ． （D ）BD ＝DC ．7．已知：如图，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，BE 、CF 相交于D ，∠A ＝50o ，则∠BDC 的度数是（ ） （第6题）（A ）70o． （B ）120o． （C ）115o． （D ）130o．二、填空题 8．到一个角的两边距离相等的点在 ．9．直角三角形中，两锐角的角平分线所成的锐角等于 ．10．如下图，已知AB ∥CD ，O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则两平行线间AB 、CD 的距离等于 .11.已知△ABC 中，AD 是角平分线，AB=5，AC=3，且S △ADC =6，则S △ABD = .三、解答题DCBAMF ED CB A。
1.4角平分线(教案)
此外，学生小组讨论的部分，我发现有些学生在主题探讨上稍显拘谨，可能是因为他们对角平分线在实际生活中的应用还不够熟悉。为了提高讨论效果，我计划在下一节课前，先让学生们预习一些与角平分线应用相关的实例，以便他们在讨论时有更多的思路和素材。
-在解决综合性问题时，教师应引导学生通过画图、分析图形关系来发现角平分线的作用，并教授如何将问题简化，以便更好地应用所学知识。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“1.4角平分线”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将角平均分成两个相等角的情况？”比如，在分割一块饼干时，我们可能需要确保两个部分完全一样大。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索角平分线的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调角平分线的定义和尺规作图这两个重点。对于难点部分，比如尺规作图的步骤பைடு நூலகம்技巧，我会通过举例和逐步演示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与角平分线相关的实际问题，如如何在三角形中找到角平分线。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的尺规作图实验操作。这个操作将演示如何画出一个角的平分线。
3.增强学生的实践操作能力：通过尺规作图画角平分线的实践操作，让学生动手实践、积累经验，提高解决实际问题的能力，并培养创新意识和合作精神。
课题：角平分线(1)
课题1.4角平分线（一）教师二备 一、问题引入：1．点到直线的距离：由这点向直线引____，这点到垂足间线段的___叫做这点到直线的距离．2．角平分线的性质定理：角平分线上的____到这个角的两边的距离________． 符号语言：∵ 点P 在∠AOB 的角平分线上，．∴ ．3．角平分线的判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离 的点，在这个角的 上符号语言：∵ PE ⊥OA ，PD ⊥OB ，且 ，∴ 点P 在∠AOB 的 上．二、基础训练： 1．如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC=3cm ，那么AE+DE 等于 ．2．如图2，∠AOB = 70°，QC ⊥OA 于C ，QD ⊥OB 于D ，若QC = QD ，则 ∠AOQ= °3．如图3所示，D 是∠AOB 平分线上的一点，DE ⊥OA ，DF ⊥OB ，垂足分别是E ，F ．下列结论不一定成立的是（ ） A ．DE=DF B ．OE=OF C ．∠ODE=∠ODF D ．OD=DE+DF 三、例题展示： 例 如图4，在△ABC 中，∠BAC = 60°，点D 在BC 上，AD=10，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，且DE=DF ，求DE 的长．O EDA BP 图1 图2 图3 图4四、课堂检测：1．OM 平分∠BOA ，P 是OM 上的任意一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D.E ，下列结论中错误的是（ ）A ．PD=PEB ．OD=OEC ．∠DPO=∠EPOD ．PD=OD 2．如图5，OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，垂足分别为A ，B ，下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA=PB B ．PO 平分∠APBC ．OA=OBD ．AB 垂直平分OP3．如图6，∠BAC=60°，AP 平分∠BAC ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC 垂足分别为D 、E ，若AD=3，则PE= ．4．如图7，已知MP ⊥OP 于P ，MQ ⊥OQ 于Q ， POM S =6 cm 2，OP=3 cm ，则MQ=__________cm ．5．如图8，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ． （1）求证：△ACD ≌△AED ； （2）若∠B=30°，CD=1，求BD 的长6．如图9，已知AD 为△ABC 的角平分线，∠ABC=90°，EF ⊥AC ，交BC于点D ，垂足为F ，DE=DC ，求证：BE=CF.教学反思图5图6图7图8 F EDCB A图9。
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(6)1.4角的平分线的性质导学案（1）
学习目标：
1、掌握角平分线的性质
2、会用尺规作一个已知角的平分线． 教学重点：角平分线的性质
教学难点：探索作角平分线的过程 一、知识链接
1、角平分线是以一个角的顶点为端点的一条 ，它把这个角分成两个 的角。
2、你能用尺规作图的方法做出一个角的角平分线么？
二、自主学习
已知：如上图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E. 求证：PD=PE
归纳：
归纳角平分线的性质： 用几何语言表述：
PE
PD OB PE OA PD AOB OC AOB P =∴⊥⊥∠∠,)(平分或的平分线上在点 进一步思考，若PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E. PD=PE ，那么点P 在∠AOB 的角平分线上么？
归纳角平分线的逆定理：
三、合作探究
1、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，AB=AC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于 F. 求证：DE=DF.
O
B
A
C
P
D
E
D
C
B A E
F
2
1O
B
A
C
P
D
E
D
C
A
E
B
2..如图,在△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E ,F 在
AC 上,BD=DF ;求证:CF=EB.
四、课堂检测
1、已知：如图，BM ，ABC 的角平分线 P ，CN 相交于点
求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等。
2、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为？
3、已知：如图，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，∠1=∠2. 求证：OB=OC
2.如图,四边形ABCD 中AB=AD ,CB=CD ,点P 是对角线AC 上一点,PE ⊥BC 于E ,PF ⊥CD 于F ,求证:PE=PF
D
A
C
E O
65
4
321
B
P A
B C M
N
.。