浙江省高考数学一轮复习 专题：01 集合与充要条件特色训练
三年高考两年模拟(浙江版)高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题与充要条件知能训练
§1.2命题与充要条件Ａ组基础题组1.(2015浙江延安中学段考)命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是( )A.若a≠b≠0,a,b∈R,则a2+b2=0B.若a=b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0C.若a≠0且b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0D.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠02.(2015湖南,2,5分)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2015四川文,4,5分)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.(2015浙江文,3,5分)设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件5.(2015杭州学军中学第五次月考,1,5分)>1的一个充分不必要条件是( )A.x>yB.x>y>0C.x<yD.y<x<06.(2015桐乡一中等四校联考,3,5分)设a,b为非零实数,命题甲:ab>b2,命题乙:<<0,则甲是乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.(2016浙江新高考研究联盟一联,2,5分)已知m>0且m≠1,则log m n>0是(1-m)(1-n)>0的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.(2014广东文,7,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sinA ≤sinB”的( )A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件9.(2015青岛诊断)“0≤m≤1”是“函数f(x)=sinx+m-1有零点”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件B组提升题组1.(2015安徽,3,5分)设p:1<x<2,q:2x>1,则p是q成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.(2015湖北文,5,5分)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线;q:l1,l2不相交,则( )A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件3.(2015浙江金华一中期中检测)在△ABC中,“·>0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2015四川,8,5分)设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.(2015金华十校一模,2,5分)若a,b∈R,则>的一个充要条件是( )A.a>bB.ab(a-b)<0C.a<b<0D.a<b6.(2015金华一中全真模拟考,1,5分)设a,b∈R,则“0<a<1且0<b<1”是“ab+1>a+b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.(2015宁波一模,2,5分)在△ABC中,“A>”是“sinA>”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.(2016领航高考冲刺卷二,3,5分)已知p:x>k,q:≥1,若p是q的必要不充分条件,则实数k 的取值范围是( )A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,-1]9.(2016领航高考冲刺卷六,3,5分)设x、y是两个实数,命题“x、y中至少有一个大于1”成立的充分不必要条件是( )A.x+y=2B.x+y>2C.x2+y2>2D.xy>110.(2015嘉兴一模,5,5分)已知p:x2-3x-4≤0,q:x2-6x+9-m2≤0.若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是( )A.[-1,1]B.[-4,4]C.(-∞,-4]∪[4,+∞)D.(-∞,-1]∪[4,+∞)11.(2016超级中学原创预测卷六,3,5分)已知a,b∈R,则“a2+b2<1”是“ab+1>a+b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件Ａ组基础题组1.D “若p,则q”的逆否命题为“若¬q,则¬p”,又a=b=0的实质为a=0且b=0,故其否定为a≠0或b≠0.故选D.2.C 若A∩B=A,任取x∈A,则x∈A∩B,∴x∈B,故A⊆B;若A⊆B,任取x∈A,都有x∈B,∴x∈A∩B,∴A⊆(A∩B),又A∩B⊆A显然成立,∴A∩B=A.综上,“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件,故选C.3.A ∵y=log2x是增函数,∴当a>b>1时,有log2a>log2b>log21=0.另一方面,当log2a>log2b>0=log21时,有a>b>1.故选A.4.D 当a=2,b=-1时,a+b=1>0,但ab=-2<0,所以充分性不成立;当a=-1,b=-2时,ab=2>0,但a+b=-3<0,所以必要性不成立,故选D.5.B >1⇔x>y>0或x<y<0,知>1的一个充分不必要条件是x>y>0.6.B 命题甲等价于:若b>0,则a>b,若b<0,则a<b,命题乙等价于a<b<0,所以甲是乙的必要不充分条件,故选B.7.A log m n>0等价于m>1,且n>1,或0<m<1,且0<n<1,此时有(1-m)(1-n)>0,即充分性成立.当0<m<1,n≤0时,有(1-m)(1-n)>0,此时log m n无意义,即必要性不成立,故选A.8.A 设R为△ABC外接圆的半径.由正弦定理可知,若a≤b,则2RsinA≤2RsinB⇒sinA≤sinB,故“a≤b”是“sinA≤sinB”的充分条件;若sinA≤sinB,则≤⇒a≤b,故“a≤b”是“sinA≤sinB”的必要条件.综上所述,“a≤b”是“sinA≤sinB”的充要条件.故选A. 9.A 函数f(x)=sinx+m-1有零点,则m-1=-sinx∈[-1,1],所以0≤m≤2,故选A.B组提升题组1.A 由2x>1,得x>0.∵{x|1<x<2}⫋{x|x>0},∴p是q成立的充分不必要条件.2.A 在空间中,两条直线的位置关系有平行、相交、异面.直线l1、l2是异面直线,一定有l1与l2不相交,因此p是q的充分条件;若l1与l2不相交,那么l1与l2可能平行,也可能是异面直线,所以p不是q的必要条件.故选A.3.B ·>0只能说明△ABC中的角A是锐角,不能说明△ABC为锐角三角形;但反过来,若△ABC 为锐角三角形,则角A一定是锐角,从而·>0,故选B.4.B “3a>3b>3”等价于“a>b>1”,“log a3<log b3”等价于“a>b>1或0<a<1<b或0<b<a<1”,从而“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的充分不必要条件.故选B.5.B >⇔->0⇔<0⇔ab(a-b)<0,故选B.6.A ab+1>a+b⇔(a-1)(b-1)>0,则a>1,且b>1,或a<1,且b<1,故选A.7.B △ABC中,由A>得不到sinA>.由sinA>可推出A>.故选B.8.D ∵≥1,∴≥0,∴-1<x≤2,又p是q的必要不充分条件,即q能推出p,但p不能推出q,∴k∈(-∞,-1],选D.9.B 命题“x、y中至少有一个大于1”等价于“x>1或y>1”,若x+y>2,则必有x>1或y>1,否则x+y≤2;而当x=2,y=-1时,2-1=1<2,所以由x>1或y>1不能推出x+y>2.当x=1,且y=1时,满足x+y=2,不能推出x>1或y>1,所以A错;对于x2+y2>2,当x<-1,y<-1时,满足x2+y2>2,不能推出x>1或y>1,故C错;对于xy>1,当x<-1,y<-1时,满足xy>1,不能推出x>1或y>1,故D错.综上知选B.10.C p:-1≤x≤4;在x2-6x+9-m2≤0中,当m>0时,解得3-m≤x≤3+m,要满足条件应满足且两个等号不能同时取到,解得m≥4.当m<0时,解得m≤-4.当m=0时,不满足条件.故m的取值范围是(-∞,-4]∪[4,+∞).11.A a2+b2<1⇒-1<a<1,-1<b<1⇒(a-1)·(b-1)>0⇒ab+1>a+b,反之,取a=2,b=2,满足ab+1>a+b,但不能得出a2+b2<1,故选A.。
2023年新高考数学大一轮复习专题01 集合(原卷版)
专题01 集合【考点预测】 1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：∈和∉. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（venn 图）. （4）常见数集和数学符号①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合{1,2,3,4,5}A =，可知1A ∈,在该集合中，6A ∉,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合{,,}A a b c =应满足a b c ≠≠.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。
集合{1,2,3,4,5}A =和{1,3,5,2,4}B =是同一个集合. ④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 2、集合间的基本关系（1）子集（subset ）：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（2）真子集（proper subset ）：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）.读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.（3）相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆，且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =.（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B ，即{|,}AB x x A x B =∈∈且．（2）并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B ，即{|,}AB x x A x B =∈∈或．（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且． 4、集合的运算性质 （1）A A A =，A ∅=∅，A B B A =． （2）A A A =，A A ∅=，A B BA =．（3）()U AC A =∅，()U A C A U =，()U U C C A A =．【方法技巧与总结】（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．（2）空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集． （3）U U A B A B A A B B C B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆．（4）()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =．【题型归纳目录】题型一：集合的表示：列举法、描述法 题型二：集合元素的三大特征 题型三：集合与集合之间的关系 题型四：集合的交、并、补运算 题型五：集合与排列组合的密切结合 题型六：集合的创新定义【题型一】集合的表示：列举法、描述法 【典例例题】例1．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））已知集合{}24A x x =≤，集合{}*1B x x N x A =∈-∈且，则B =（ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,4【方法技巧与总结】1.列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.2.描述法，注意代表元素.例2．（2022·山东聊城·二模）已知集合{}0,1,2A =，{},B ab a A b A =∈∈，则集合B 中元素个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5例3．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））设集合{}2|60A x x x x =--<∈Z ，，(){}2|ln 1B y y x x A ==+∈，，则集合B 中元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．无数个例4．（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，若{}1,0A =-，{}1,2B =，则A B ⊗中的元素个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例5．（2022·山东济南·二模）已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，{},,y C z z x x A y B ==∈∈ ，则C 中元素的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例6．（2022·全国·高三专题练习）用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩，已知集合{}2|0A x x x =+=，()(){}22|10B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【题型二】 集合元素的三大特征 【典例例题】例7．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知集合{}1,0,1A =-，{},B a b a A b A =+∈∈，则集合B =（ ） A ．{}1,1- B ．{}1,0,1-C ．{}2,1,1,2--D ．{}2,1,0,1,2--【方法技巧与总结】1.研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。
浙江专用高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系充分条件与必要条件课件
p 是 q 的_充__分__不__必__要___条件
p⇒q 且 q⇒/ p
p 是 q 的_必__要__不__充__分___条件
p⇒/ q 且 q⇒p
p 是 q 的__充__要__条件
p⇔q
p 是 q 的_既__不__充___分__也__不__必__要__条件
p⇒/ q 且 q⇒/ p
常用结论 集合与充要条件的关系
已知条件 p：|x－4|≤6，条件 q：(x－1)2－m2≤0(m>0)．若﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，则 m 的取值范围为______． 【解析】 条件 p：－2≤x≤10，条件 q：1－m≤x≤1＋m，又﹁p 是﹁q
m>0，
的充分不必要条件，则 q 是 p 的充分不必要条件．故有1－m≥－2 ，所以 1＋m≤10，
[诊断自测] 1．命题“若 a2＋b2＝0，a，b∈R，则 a＝b＝0”的逆否命题是________． 答案：若 a≠0 或 b≠0，a，b∈R，则 a2＋b2≠0
2．已知命题“对任意 a，b∈R，若 ab>0，则 a>0”，则它的否命题是________． 答案：对任意 a，b∈R，若 ab≤0，则 a≤0
设 p，q 成立的对象构成的集合分别为 A，B， (1)p 是 q 的充分不必要条件⇔A B；
(2)p 是 q 的必要不充分条件⇔A B； (3)p 是 q 的充要条件⇔A＝B.
[思考辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件．( √ ) (2)q 不是 p 的必要条件时，“p⇒/ q”成立．( √ )
1－m≤1＋m， 则1－m≥－2， 所以 0≤m≤3.
1＋m≤10， 所以当 0≤m≤3 时，p 是 q 的必要条件， 即所求 m 1．(变问法)本例条件不变，若 x∈P 的必要条件是 x∈S，求 m 的取值范围． 解：由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}，若 x∈P 的必要条件是 x∈S，即 x∈S 是
高考数学大一轮复习配套课时训练：第一篇 集合与常用逻辑用语 第2节 命题及其关系、充分条件和必要条件
第2节命题及其关系、充分条件和必要条件课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.“若b2-4ac<0,则ax2+bx+c=0没有实根”,其否命题是( C )(A)若b2-4ac>0,则ax2+bx+c=0没有实根(B)若b2-4ac>0,则ax2+bx+c=0有实根(C)若b2-4ac≥0,则ax2+bx+c=0有实根(D)若b2-4ac≥0,则ax2+bx+c=0没有实根解析:由原命题与否命题的关系知选C.2.(2013潮州市质检)不等式x-1>0成立的充分不必要条件是( D )(A)-1<x<0或x>1 (B)0<x<1(C)x>1 (D)x>2解析:x-1>0⇔x>1,故x>2是x>1的一个充分不必要条件,故选D.3.(2013年高考安徽卷)“(2x-1)x=0”是“x=0”的( B )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:设p:(2x-1)x=0,q:x=0;则p:x=0或x=,∴p是q的必要不充分条件,故选B.4.(2012年高考山东卷)设a>0且a≠1,则“函数f(x)=a x在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的( A )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:∵函数f(x)=a x在R上递减,∴0<a<1,∵函数g(x)=(2-a)x3在R上递增,∴2-a>0,得a<2,即0<a<2且a≠1,0<a<1是0<a<2且a≠1的充分不必要条件.故选A.5.(2012年高考四川卷)设a、b都是非零向量.下列四个条件中,使=成立的充分条件是( D )(A)|a|=|b|且a∥b (B)a=-b(C)a∥b (D)a=2b解析:由=可知向量a与b的单位向量相等,故其充分条件为D项,故选D.6.(2013湛江测试(一))“a2-a=0”是“函数f(x)=x3-x+a是奇函数”的( C )(A)充要条件 (B)充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件解析:因为a2-a=0⇒a=0或a=1.而函数f(x)为奇函数的充要条件为a=0,故a2-a=0是函数f(x)为奇函数的必要但不充分条件.故选C. 7.(2013佛山质检)设等比数列{a n}的前n项和为S n,则“a1>0”是“S3>a2”的( C )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若S3>a2,则a1+a2+a3>a2,得a1(1+q2)>0,即得a1>0,反之也成立,即可得“a1>0”是“S3>a2”的充分必要条件,故应选C.二、填空题8.在命题“若m>-n,则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是.解析:原命题为假命题,逆否命题也为假命题,逆命题也是假命题,否命题也是假命题.故假命题个数为3.答案:39.(2013年高考湖南卷改编)“1<x<2”是“x<2”成立的条件.解析:{x|1<x<2}⫋{x|x<2},所以“1<x<2”是“x<2”成立的充分不必要条件.答案:充分不必要10.下列命题:①若ac2>bc2,则a>b;②若sin α=sin β,则α=β;③“实数a=0”是“直线x-2ay=1和直线2x-2ay=1平行”的充要条件;④若f(x)=log2x,则f(|x|)是偶函数.其中正确命题的序号是.解析:对于命题②,sin 0=sin π,但0≠π,命题②不正确;命题①③④均正确.答案:①③④三、解答题11.写出命题“若a≥0,则方程x2+x-a=0有实根”的逆命题,否命题和逆否命题,并判断它们的真假.解:逆命题:“若方程x2+x-a=0有实根,则a≥0”.否命题:“若a<0,则方程x2+x-a=0无实根.”逆否命题:“若方程x2+x-a=0无实根,则a<0”.其中,原命题的逆命题和否命题是假命题,逆否命题是真命题.12.已知集合A=,B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x ∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.解:y=x2-x+1=+,∵x∈,∴≤y≤2,∴A=,由x+m2≥1,得x≥1-m2,∴B={x|x≥1-m2},∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件,∴A⊆B,∴1-m2≤,解得m≥或m≤-,故实数m的取值范围是∪.B组13.已知p:≥1,q:|x-a|<1,若p是q的充分不必要条件,则实数a 的取值范围为( C )(A)(-∞,3] (B)[2,3](C)(2,3] (D)(2,3)解析:由≥1得2<x≤3;由|x-a|<1得a-1<x<a+1.由p是q的充分不必要条件得解得2<a≤3,∴实数a的取值范围为(2,3],选C.14.若方程x2-mx+2m=0有两根,其中一根大于3一根小于3的充要条件是.解析:方程x2-mx+2m=0对应二次函数f(x)=x2-mx+2m,若方程x2-mx+2m=0有两根,其中一根大于3一根小于3,则f(3)<0,解得m>9,即方程x2-mx+2m=0有两根,其中一根大于3一根小于3的充要条件是m>9.答案:m>915.(2013江苏无锡市高三期末)已知p:|x-a|<4;q:(x-2)(3-x)>0,若⫋p是⫋q的充分不必要条件,则a的取值范围为.解析:∵⫋p是⫋q的充分不必要条件,∴q是p的充分不必要条件.对于p,|x-a|<4,∴a-4<x<a+4,对于q,2<x<3,∴(2,3)⫋(a-4,a+4),∴(等号不能同时取到),∴-1≤a≤6.答案:[-1,6]16.设p:2x2-3x+1≤0,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若⫋p是⫋q的必要不充分条件,求实数a的取值范围. 解:p为,q为{x|a≤x≤a+1},⫋p对应的集合A=,⫋q对应的集合B={x|x>a+1或x<a},∵⫋p是⫋q的必要不充分条件,∴B⫋A,∴a+1>1且a≤或a+1≥1且a<,∴0≤a≤.。
专题1集合与常用逻辑用语(必刷1~60题)【一轮必刷600题】高三数学一轮复习专项训练(含答案)
专题一集合与常用逻辑用语（必刷1~60题）考点1：集合与元素（1）集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．（2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．（3）集合的表示法：列举法、描述法、V enn 图法．（4）常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN ＋（或N *）ZQR（5）集合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．考点2：集合间的基本关系关系自然语言符号语言V enn 图子集集合A 中所有元素都在集合B 中（即若x ∈A ，则x ∈B ）A ⊆B （或B ⊇A ）真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A （B （或B （A ）集合相等集合A ，B 中元素完全相同或集合A ，B 互为子集A ＝B（1）、子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.（2）、若有限集A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ，真子集的个数为2n －1.【必刷1】设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A ．2M∈B ．3M∈C ．4M∉D ．5M∉【必刷2】已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．5D ．4【必刷3】已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【必刷4】已知集合{}0,1,2A =，{}32B x x =-<<，则A B 子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【必刷5】已知集合(){}2,A x y y x ==，(){,B x y y ==，则A B 的真子集个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【必刷6】已知集合{}15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<，则A B 的子集个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．9【必刷7】已知集合}{{}2|23,9,,A x Z x B x x M A B =∈-<≤=<=⋂则M 的子集的个数为（）A ．16B ．7C ．4D ．3【必刷8】已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝{（x ，y ）|y ＝x +1}，则集合A ∩B 中元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【必刷9】设集合{}1,0,1,2A =-，{}2230B x x x =+-<，则A B 的子集个数为（）A ．2B ．4C ．8D ．16【必刷10】设集合{}22A x x =≤，Z 为整数集，则集合A ⋂Z 子集的个数是（）A ．3B ．6C ．7D ．8【必刷11】已知集合{}2,0,1M =-，{}220N x x ax =+-=，若N M ⊆，则实数a ＝（）A ．2B ．1C ．0D ．-1【必刷12】集合{}22log 2x Z x ∈≤的子集个数为（）A ．4B ．8C ．16D ．32【必刷13】已知集合{2,0,2}A =-，π1sin ,4B y y x x A ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则集合A B 的真子集的个数是（）A ．7B ．31C ．16D ．15【必刷14】已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B xx A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（）A ．3B ．4C ．8D ．16【必刷15】已知集合{}21,S s s n n Z ==+∈，{}3T x x =<，则S T 的真子集的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【必刷16】已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，集合{(,)|||1}B x y y x ==-，则集合A B 的真子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【必刷17】若集合{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}3,4,5B =，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8考点3：集合的运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U 表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }【必刷18】若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N = （）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【必刷19】集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N = （）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}【必刷20】设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【必刷21】已知集合{}23log 1,02x P x x Q xx -⎧⎫=>=≤⎨⎬+⎩⎭，则()P Q =R I ð（）A ．[2,2]-B ．(2,2]-C ．[0,2]D ．(0,2]【必刷22】已知集合204x A xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，{}0,1,2,3,4,5B =，则()R A B ⋂=ð（）A ．{}5B ．{}4,5C ．{}2,3,4D ．{}0,1,2,3【必刷23】设集合{}2120A x x x =--≤，12416x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B 等于（）A ．(]3,4-B ．[)3,2-C ．(]4,4-D ．[]3,4-【必刷24】若集合{}4A y y x ==-，{}3log 2B x x =≤，则A B = （）A ．(]0,9B ．[)4,9C ．[]4,6D ．[]0,9【必刷25】已知集合(){}0.2log 20A x x =->，{}24B x x =≤，则A B ⋃=（）A ．[]22-,B ．(]2,1-C ．[)2,3-D ．∅【必刷26】已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，{1,3,5,8,9}A =，{2,3,4,6}B =，则()U A B = ð（）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{1,3,5,7}D ．{3}【必刷27】已知集合{}12M x x =-≤≤，{}ln N x y x ==，则M N = （）A ．[]1,2-B ．(]1,2-C ．(]0,2D ．()[),12,-∞-⋃+∞【必刷28】已知集合{}{}Z 33,2e xA x xB y y =∈-<<==-，则A B = （）A ．{2,1,0,1,2}--B ．(,2)-∞C ．{2,1,0,1}--D ．(3,2)-【必刷29】若全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}0,1,2A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2,3C ．{}0D ．{}0,1,2,4,5【必刷30】设集合{}{}11,124x M x x N x =-≤≤=<<∣∣，则M N = （）A ．{10}xx -≤<∣B ．{01}xx <≤∣C ．{12}xx ≤<∣D ．{12}xx -≤<∣【必刷31】如图，全集U =R ，集合{}1,0,2,3,6A =-，集合{}2,3,5,7B =，则阴影部分表示集合（）A ．{}1,0,5,7-B ．{}1,0,2,3,5,6,7-C ．{}2,3D ．{}1,0,5,6,7-【必刷32】设集合{}2|log ,4A y y x x ==>，{}2|320B x x x =-+<，则()A B =R U ð（）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(,2]-∞D ．(,2)-∞【必刷33】已知全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}0,2,4,5A =，集合{}2,3,4,6B =，用如图所示的阴影部分表示的集合为（）A ．{2，4}B ．{0，3，5，6}C ．{0，2，3，4，5，6}D ．{1，2，4}【必刷34】已知集合{}2A x x =<，(){}2ln 3B x y x x==-，则A B ⋃=（）A ．()0,2B ．()0,3C ．()2,3D ．()2,3-【必刷35】若集合{}{}21,0,1,2A x Z x B =∈-<<=，则A B ⋃=（）A ．(2,1)-B ．{1,0}-C ．(2,1]{2}-⋃D ．{1,0,1,2}-【必刷36】已知集合{}234|0A x x x =--=，{}2|B x a x a =<<，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．[)4,+∞C ．()(),12,4-∞-⋃D ．[][)1,24,-⋃+∞【必刷37】已知集合(){}22240,(1)2101x A xB x x a x a a x ⎧⎫-==-+++<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．{}()12,∞⋃+C ．{}[)12,+∞U D ．[)2,+∞【必刷38】设{}28120A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值不可以是（）A ．0B ．16C ．12D ．2【必刷39】已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【必刷40】已知集合{}21,Z A x x n n ==+∈，{}2B =<，则A B = （）A ．{}1,3B ．{}1,3,5,7C ．{}3,5,7D ．{}3,5,7,9考点4．四种命题及其相互关系（1）四种命题间的相互关系（2）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；考点5．全称量词和存在量词（1）全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”用符号简记为：∀x ∈M ，p (x )．（3）含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M 中元素x 0，使p (x 0)成立”用符号简记为：∃x 0∈M ，p (x 0)．【必刷41】下列四个命题中真命题的个数是（）①“x =1”是“2320x x -+=”的充分不必要条件；②命题“R x ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“R x ∃∈，sin 1x >”；③命题p ：[)1,x ∀∈+∞，lg 0x ≥，命题q ：R x ∃∈，210x x ++<，则p q ∧为真命题；④“若2ϕπ=，则()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的否命题为真命题.A ．0B ．1C ．2D ．3【必刷42】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题:R p x ∃∈，210x x +-<，则:R p x ⌝∀∈，210x x +->C ．已知:12p x -<<，()12:2log 210x q x +++<，则p 是q 的充分必要条件D ．若p q ∨为假命题，则p ，q 都为假命题【必刷43】下列说法错误的是（）A ．命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”B ．在△ABC 中，sin sin A B ≥是A B ≥的充要条件C ．若a ，b ，R c ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“0a >，且240b ac -≤”D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题【必刷44】命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为（）A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠【必刷45】下列说法正确的是（）A ．若2000:,2310p x R x x ∃∈++>，则2:,2310p x R x x ⌝∀∈++<B ．“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件C ．(0,)∀∈+∞x ，都有22x x >D ．在ABC 中，若A B >，则sin sin A B >【必刷46】已知下列命题：①x ∀∈R ，210x x ++>；②“2a >”是“5a >”的充分不必要条件；③已知p 、q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题；④若x 、y ∈R 且2x y +>，则x 、y 至少有一个大于1．其中真命题的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【必刷47】设命题0:p x R ∃∈，2010x +=，则命题p 的否定为（）A ．x R ∀∉，210x +=B ．x R ∀∈，210x +≠C ．0x R ∃∉，2010x +=D ．0x R ∃∈，2010x +≠【必刷48】命题“x R ∀∈，sin x x >”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00sin x x <B ．0x R ∃∉，00sin x x ≤C ．x R ∀∈，sin x x≤D ．0x R ∃∈，00sin x x ≤【必刷49】命题“π,02x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是（）A ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤B ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x<C ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤D ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x<【必刷50】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题p ：x ∃∈R ，210x x +-<，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x +->C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 都为假命题D ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件考点6：充分条件、必要条件与充要条件的概念若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 是q 的充分不必要条件p ⇒q 且q ⇏p p 是q 的必要不充分条件p ⇏q 且q ⇒p p 是q 的充要条件p ⇔q p 是q 的既不充分也不必要条件p ⇏q 且q ⇏p【必刷51】若x ，y 为实数，则“11x y<”是“22log log x y >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷52】在ABC 中，“sin 2sin 2A B =”是“A B =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【必刷53】下列四个命题中正确的是（）A ．若函数()y f x =的定义域为[]1,1-，则()1y f x =+的定义域为[]0,2B ．若正三角形ABC 的边长为2，则2AB BC ⋅=C ．已知函数()()2log 11f x x =+-，则函数()y f x =的零点为()1,0D ．“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件【必刷54】不等式1133x⎛⎫> ⎪⎝⎭成立是不等式21x <成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷55】设x ∈R ，则“|1|4x -<”是“502x x -<-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷56】已知条件:p 直线210x y +-=与直线()2110a x a y ++-=平行，条件:q 1a =，则p 是q 的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【必刷57】已知命题2:log 1p x >，命题2:20q x x ->，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷58】设a 、b都是非零向量，下列四个条件中，使a a b b = 成立的充分条件是（）A ．a b =r r 且a b∥B ．a b=-r r C ．a b∥D ．2a b= 【必刷59】已知向量a 和b ，则“||||a b a b ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【必刷60】设实数0x >，则“2log 1x <”成立的一个必要不充分条件是（）A ．122x <<B ．12x <<C ．1x <D ．2x <专题一集合与常用逻辑用语（必刷1~60题）考点1：集合与元素（1）集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．（2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．（3）集合的表示法：列举法、描述法、V enn 图法．（4）常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN ＋（或N *）ZQR（5）集合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．考点2：集合间的基本关系关系自然语言符号语言V enn 图子集集合A 中所有元素都在集合B 中（即若x ∈A ，则x ∈B ）A ⊆B （或B ⊇A ）真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A （B （或B （A ）集合相等集合A ，B 中元素完全相同或集合A ，B 互为子集A ＝B（1）、子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.（2）、若有限集A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ，真子集的个数为2n －1.【必刷1】设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A ．2M ∈B ．3M∈C ．4M∉D ．5M∉【答案】A【解析】先写出集合M ，然后逐项验证即可；【详解】由题知{2,4,5}M =，对比选项知，A 正确，BCD 错误，故选：A【必刷2】已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A【解析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.【详解】223x y +≤ ，23,x ∴≤x Z ∈ ，1,0,1x ∴=-当1x =-时，1,0,1y =-；当0x =时，1,0,1y =-；当1x =时，1,0,1y =-；所以共有9个，故选：A.【必刷3】已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】集合中的元素为点集，由题意可知，集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点⎝⎭，⎛ ⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【必刷4】已知集合{}0,1,2A =，{}32B x x =-<<，则A B 子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】B【解析】先求得A B ，然后求得A B 子集的个数.【详解】{}0,1A B = ，所以A B 子集的个数为224=个.故选：B【必刷5】已知集合(){}2,A x y y x ==，(){,B x y y ==，则A B 的真子集个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】解方程组可求得A B ，根据A B 元素个数可求得真子集个数.【详解】由2y xy ⎧=⎪⎨=⎪⎩00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，()(){}0,0,1,1A B ∴= ，即A B 有2个元素，A B ∴ 的真子集个数为2213-=个.故选：C.【必刷6】已知集合{}15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<，则A B 的子集个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】C【解析】根据集合交集的定义，结合子集的个数公式进行求解即可.【详解】因为{}15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<，所以{}2,3,4A B = ，因此A B 中有三个元素，所以A B 的子集个数为328=，故选：C【必刷7】已知集合}{{}2|23,9,,A x Z x B x x M A B =∈-<≤=<=⋂则M 的子集的个数为（）A ．16B ．7C ．4D ．3【答案】A【解析】化简,A B ，进而根据交集的定义，计算A B ，然后利用子集的概念即可求解.【详解】因为{}{}{}293310123B x |x x |x ,A ,,,,,=<=-<<=-所以{}1012M A B ,,,,==- 所以M 的子集共有42=16（个）.故选：A【必刷8】已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝{（x ，y ）|y ＝x +1}，则集合A ∩B 中元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】联立=+12+2=1可得=0=1或=−1=0，故集合A ∩B 中元素的个数为2，故选：C ．【必刷9】设集合{}1,0,1,2A =-，{}2230B x x x =+-<，则A B 的子集个数为（）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】B【解析】求出集合B ，可求得集合A B ，确定集合A B 的元素个数，利用集合子集个数公式可求得结果.【详解】因为{}{}223031B x x x x x =+-<=-<<，所以，{}1,0A B ⋂=-，则集合A B 的元素个数为2，因此，A B 的子集个数为224=.故选：B.【必刷10】设集合{}22A x x =≤，Z 为整数集，则集合A ⋂Z 子集的个数是（）A ．3B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】解不等式求得A ，然后求得A ⋂Z ，进而求得正确答案.【详解】222x x ≤⇒≤，所以A ⎡=⎣，所以{}1,0,1A ⋂=-Z ，所以A ⋂Z 子集的个数是328=.故选：D【必刷11】已知集合{}2,0,1M =-，{}220N x x ax =+-=，若N M ⊆，则实数a ＝（）A ．2B ．1C ．0D ．-1【答案】B【解析】对于集合N ，元素x 对应的是一元二次方程的解，根据判别式得出必有两个不相等的实数根，又根据韦达定理以及N M ⊆，可确定出其中的元素，进而求解.【详解】对于集合N ，因为280a ∆=+>，所以N 中有两个元素，且乘积为-2，又因为N M ⊆，所以{}2,1N =-，所以211a -=-+=-．即a ＝1．故选：B.【必刷12】集合{}22log 2x Z x ∈≤的子集个数为（）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】C【解析】求出集合A 后可得其子集的个数.【详解】{}{}2224|log 2|2,1,1,20x x Z x x Z x ⎧⎫⎧≤⎪⎪∈≤=∈=--⎨⎨⎬≠⎪⎪⎩⎩⎭，故该集合的子集的个数为：4216=.故选：C.【必刷13】已知集合{2,0,2}A =-，π1sin ,4B y y x x A ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则集合A B 的真子集的个数是（）A ．7B ．31C ．16D ．15【答案】D【解析】先求得集合B ，然后求得A B ，从而求得A B 的真子集的个数.【详解】{0,1,2}B = ，{2,0,1,2}A B ∴⋃=-，A B 的真子集的个数为42115-=个.故选：D【必刷14】已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B xx A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（）A ．3B ．4C ．8D ．16【答案】C【解析】先求出集合B ，再根据子集的定义即可求解.【详解】依题意{}2,3,4B =，所以集合B 的子集的个数为328=，故选：C.【必刷15】已知集合{}21,S s s n n Z ==+∈，{}3T x x =<，则S T 的真子集的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】先求出集合T ，然后根据交集的定义求出S T ，最后根据真子集的定义求出真子集的个数.【详解】∵{}21,S s s n n Z ==+∈，{}33T x x =-<<，∴{}1,1S T =- ，∴S T 的真子集个数为2213-=，故选：C .【必刷16】已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，集合{(,)|||1}B x y y x ==-，则集合A B 的真子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】C【解析】利用数形结合法得到圆与直线的交点个数，得到集合A B 的元素个数求解.【详解】如图所示：，集合A B 有3个元素，所以集合A B 的真子集的个数为7，故选：C【必刷17】若集合{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}3,4,5B =，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】根据题意求得阴影部分表示的集合，结合集合子集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}13,5A =,，{}3,4,5B =，可得{}3,5A B = ，可得{}()1,2,4U A B = ð，即阴影部分表示的集合为{}1,2,4，所以阴影部分表示的集合的子集个数为328=.故选：D.考点3：集合的运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U 表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }【必刷18】若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N = （）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】求出集合,M N 后可求M N ⋂.【详解】1{16},{}3M xx N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D 【必刷19】集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N = （）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}【答案】A【解析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为{}2,4,6,8,10M =，{}|16N x x =-<<，所以{}2,4M N = ．故选：A.【必刷20】设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【解析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð，故选：B.【必刷21】已知集合{}23log 1,02x P x x Q xx -⎧⎫=>=≤⎨⎬+⎩⎭，则()P Q =R I ð（）A ．[2,2]-B ．(2,2]-C ．[0,2]D ．(0,2]【答案】B【解析】利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合,P Q ，结合集合的补集及交集的定义即可求解.【详解】由2log 1x >，得2x >，所以{}2,P x x =>{}R 2P x x =≤ð.由302x x -≤+，得23x -<≤，所以{}23x x Q =-<≤，所以(){}{}{}R 23222P Q x x x x x x -<=≤=≤-<≤ ð，故选：B.【必刷22】已知集合204x A xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，{}0,1,2,3,4,5B =，则()R A B ⋂=ð（）A ．{}5B ．{}4,5C ．{}2,3,4D ．{}0,1,2,3【答案】B【解析】首先化简集合A ，再根据补集的运算得到R A ð，再根据交集的运算即可得出答案.【详解】因为20(2,4)4x A xx ⎧⎫+=<=-⎨⎬-⎩⎭，所以{R |2A x x =≤-ð或}4x ≥，所以(){}R 4,5A B = ð，故选：B.【必刷23】设集合{}2120A x x x =--≤，12416x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B 等于（）A ．(]3,4-B ．[)3,2-C ．(]4,4-D ．[]3,4-【答案】C【解析】先解出集合A 、B ，再求A B .【详解】由题意{}{}212034A x x x x x =--≤=-≤≤，{}1244216x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭，所以(]4,4A B =- .故选：C.【必刷24】若集合{A y y ==，{}3log 2B x x =≤，则A B = （）A ．(]0,9B ．[)4,9C ．[]4,6D ．[]0,9【答案】A【解析】先解出集合A 、B ，再求A B .【详解】因为{{}0A y y y y ==≥，{}{}3log 209B x x x x =≤=<≤，所以{}09A B x x ⋂=<≤.故选：A ．【必刷25】已知集合(){}0.2log 20A x x =->，{}24B x x =≤，则A B ⋃=（）A ．[]22-,B ．(]2,1-C ．[)2,3-D ．∅【答案】C【解析】解对数不等式确定集合A ，解二次不等式确定集合B ，然后由并集定义计算．【详解】由题意{|021}{|23}A x x x x =<-<=<<，{|22}B x x =-≤≤，所以{|23}[2,3)A B x x =-≤<=- ．故选：C ．【必刷26】已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，{1,3,5,8,9}A =，{2,3,4,6}B =，则()U A B = ð（）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{1,3,5,7}D ．{3}【答案】B【解析】应用集合的交补运算求()U A B I ð.【详解】由题设{2,4,6,7}U A =ð，又{2,3,4,6}B =，所以()={2,4,6}U A B = ð，故选：B【必刷27】已知集合{}12M x x =-≤≤，{}ln N x y x ==，则M N = （）A ．[]1,2-B ．(]1,2-C ．(]0,2D ．()[),12,-∞-⋃+∞【答案】C【解析】先化简集合N ，再去求M N ⋂即可解决【详解】{}{}ln 0N x y x x x ===>，则{}{}{}12002M N x x x x x x ⋂=-≤≤⋂>=<≤，故选：C【必刷28】已知集合{}{}Z 33,2e xA x xB y y =∈-<<==-，则A B = （）A ．{2,1,0,1,2}--B ．(,2)-∞C ．{2,1,0,1}--D ．(3,2)-【答案】C【解析】求出函数2e x y =-的值域，再利用交集的定义求解作答.【详解】因e 0x >，则22e x -<，即(,2)B =-∞，而{}Z 33A x x =∈-<<，所以{2,1,0,1}A B =-- .故选：C【必刷29】若全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}0,1,2A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2,3C ．{}0D ．{}0,1,2,4,5【答案】D【解析】先求解集合B 的补集，再利用并集运算即可求解.【详解】由题得{}0,4,5U B =ð，又{}0,1,2A =，所以(){}0,1,2,4,5U B A ⋃=ð，故选：D.【必刷30】设集合{}{}11,124x M x x N x =-≤≤=<<∣∣，则M N = （）A ．{10}xx -≤<∣B ．{01}x x <≤∣C ．{12}x x ≤<∣D ．{12}xx -≤<∣【答案】B【解析】解指数不等式得到{}02N x x =<<，进而求出交集.【详解】因为124x <<，所以02x <<，所以{}02N x x =<<，所以M N = {}01x x <≤，故选：B【必刷31】如图，全集U =R ，集合{}1,0,2,3,6A =-，集合{}2,3,5,7B =，则阴影部分表示集合（）A ．{}1,0,5,7-B ．{}1,0,2,3,5,6,7-C ．{}2,3D ．{}1,0,5,6,7-【答案】D【解析】求出,A B A B ，阴影表示集合为()A B A B ð，由此能求出结果.【详解】矩形表示全集U =R ，集合{}1,0,2,3,6A =-，集合{}2,3,5,7B =，{}{}2,3,1,0,2,3,5,6,7A B A B ∴⋂=⋃=-，则阴影表示集合为(){}1,0,5,6,7A B A B ⋃⋂=-ð.故选：D.【必刷32】设集合{}2|log ,4A y y x x ==>，{}2|320B x x x =-+<，则()A B =R U ð（）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(,2]-∞D ．(,2)-∞【答案】C【解析】利用对数函数的单调性求得集合A ，解一元二次不等式求得B ，即可根据集合的补集以及并集运算求得答案.【详解】由题意得{}2|log ,4{|2}A y y x x y x ==>=>，则{|2}A y y =≤R ð，而{}2|320{|12}B x x x x x =-+<=<<，故()(,2]A B =-∞R ðU ，故选：C.【必刷33】已知全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}0,2,4,5A =，集合{}2,3,4,6B =，用如图所示的阴影部分表示的集合为（）A ．{2，4}B ．{0，3，5，6}C ．{0，2，3，4，5，6}D ．{1，2，4}【答案】B【解析】根据文氏图求解即可.【详解】{2,4}A B ⋂=，{}0,2,3,4,5,6A B ⋃=，阴影部分为{}0,3,5,6.故选：B ．【必刷34】已知集合{}2A x x =<，(){}2ln 3B x y x x==-，则A B ⋃=（）A ．()0,2B ．()0,3C ．()2,3D ．()2,3-【答案】D【解析】解出集合A 、B ，利用并集的定义可求得结果.【详解】{}{}222A x x x x =<=-<<，(){}{}{{}22ln 33003B x y x xx x xx x ==-=->=<<.所以，()2,3A B =- .故选：D.【必刷35】若集合{}{}21,0,1,2A x Z x B =∈-<<=，则A B ⋃=（）A ．(2,1)-B ．{1,0}-C ．(2,1]{2}-⋃D ．{1,0,1,2}-【答案】D【解析】根据已知条件求出集合A ，再利用并集的定义即可求解.【详解】由题意可知{}}{211,0A x Z x =∈-<<=-，又{}0,1,2B =，所以}{{}1,00,1,2{1,0,1,2}A B =-=- ，故选：D ．【必刷36】已知集合{}234|0A x x x =--=，{}2|B x a x a =<<，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．[)4,+∞C ．()(),12,4-∞-⋃D ．[][)1,24,-⋃+∞【答案】D【解析】由题知{}1,4A =-，进而分B =∅和B ≠∅空集两种情况讨论求解即可.【详解】由题知{}{}2|3401,4A x x x =--==-，因为A B =∅ ，所以，当{}2|B x a x a =<<=∅时，2a a ≥，解得01a ≤≤，当{}2|B x a x a =<<≠∅时，2241a a a a ⎧≤⎪≥-⎨⎪>⎩或24a a a ≥⎧⎨>⎩，解得[)(][)1,01,24,a ∈-+∞ ，综上，实数a 的取值范围是[][)1,24,-⋃+∞.故选：D【必刷37】已知集合(){}22240,(1)2101x A xB x x a x a a x ⎧⎫-==-+++<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．{}()12,∞⋃+C ．{}[)12,+∞U D ．[)2,+∞【答案】C【解析】先解出集合A ，考虑集合B 是否为空集，集合B 为空集时合题意，集合B 不为空集时利用24a或211a +- 解出a 的取值范围.【详解】由题意(]40141x A x x ⎧⎫-==-⎨⎬+⎩⎭， ，(){}()(){}2222(1)210210B x x a x a a x x a x a ⎡⎤=-+++<=--+<⎣⎦，当B =∅时，221a a =+，即1a =，符合题意；当B ≠∅，即1a ≠时，()22,1B a a =+，则有24a或211a +- ，即 2.a 综上，实数a 的取值范围为{}[)12,+∞U .故选：C.【必刷38】设{}28120A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值不可以是（）A ．0B ．16C ．12D ．2【答案】D【解析】根据题意可以得到B A ⊆，进而讨论0a =和0a ≠两种情况，最后得到答案.【详解】由题意，{}2,6A =，因为A B B = ，所以B A ⊆，若0a =，则B =∅，满足题意；若0a ≠，则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，所以12a =或16a =，则12a =或16a =.综上：0a =或12a =或16a =.故选：D.【必刷39】已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】由题知{}1,0,1A =-，进而根据题意求解即可.【详解】因为{}{}231,0,1A x Z x =∈<=-，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则13012a a <-⎧⎪⎨<+≤⎪⎩或10312a a -≤<⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得312a -<<-或102a -<<，所以，实数a 的取值范围是31,122⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D ．【必刷40】已知集合{}21,Z A x x n n ==+∈，{}2B =<，则A B = （）A ．{}1,3B ．{}1,3,5,7C ．{}3,5,7D ．{}3,5,7,9【答案】A【解析】先求出集合[)1,5B =，再根据集合的交集运算求得答案.【详解】由题意得[){2}1,5B x =<=，其中奇数有1，3，又{}21,Z A x x n n ==+∈，则{}1,3A B = ，故选：A ．考点4．四种命题及其相互关系（1）四种命题间的相互关系（2）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；考点5．全称量词和存在量词（1）全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”用符号简记为：∀x ∈M ，p (x )．（3）含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M 中元素x 0，使p (x 0)成立”用符号简记为：∃x 0∈M ，p (x 0)．【必刷41】下列四个命题中真命题的个数是（）①“x =1”是“2320x x -+=”的充分不必要条件；②命题“R x ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“R x ∃∈，sin 1x >”；③命题p ：[)1,x ∀∈+∞，lg 0x ≥，命题q ：R x ∃∈，210x x ++<，则p q ∧为真命题；④“若2ϕπ=，则()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的否命题为真命题.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】①由2320x x -+=解得1x =或2x =，根据充分、必要条件定义理解判断；②根据全称命题的否定判断；③根据题意可得命题p 为真命题，命题q 为假命题，则p q ∧为假命题；④先写出原命题的否命题，取特值2πϕ=-，代入判断．【详解】①2320x x -+=，则1x =或2x =“1x =”是“1x =或2x =”的充分不必要条件，①为真命题；②根据全称命题的否定判断可知②为真命题；③命题p ：[)1,x ∀∈+∞，lg lg10x ≥=，命题p 为真命题，22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，命题q 为假命题，则p q ∧为假命题，③为假命题；④“若2ϕπ=，则()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的否命题为“若2πϕ≠，则()sin 2y x ϕ=+不是偶函数”若2πϕ=-，则sin 2cos 22y x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭为偶函数，④为假命题故选：C ．【必刷42】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题:R p x ∃∈，210x x +-<，则:R p x ⌝∀∈，210x x +->C ．已知:12p x -<<，()12:2log 210x q x +++<，则p 是q 的充分必要条件D ．若p q ∨为假命题，则p ，q 都为假命题【答案】D【解析】根据否命题，命题的否定，充分必要条件的定义，复合命题真假判断各选项．【详解】命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+≠，则2x ≠”，A 错；命题:R p x ∃∈，210x x +-<的否定是R x ∀∈，210x x +-≥，B 错；易知函数12()2log (2)x f x x +=++在定义域内是增函数，()11f -=，(2)10f =，所以12x -<<时，()1212log 210x x +<++<满足()122log 210x x +++<，但()122log 210x x +++<时，22x -<<不满足12x -<<，因此题中应不充分不必要条件，C 错；p q ∨为假命题，则p ，q 都为假命题，若,p q 中有一个为真，则p q ∨为真命题，D 正确．故选：D ．【必刷43】下列说法错误的是（）A ．命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”B ．在△ABC 中，sin sin A B ≥是A B ≥的充要条件C ．若a ，b ，R c ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“0a >，且240b ac -≤”D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题【答案】C【解析】利用全称命题的否定可判断A ，由正弦定理和充要条件可判断B ，通过举特例可判断C ，通过特殊角的三角函数值可判断D .【详解】A.命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”，正确；B.在△ABC 中，sin sin A B ≥，由正弦定理可得22a bR R≥（R 为外接圆半径），a b ≥，由大边对大角可得A B ≥；反之，A B ≥可得a b ≥，由正弦定理可得sin sin A B ≥，即为充要条件，故正确；C.当0,0a b c ==≥时满足20ax bx c ++≥，但是得不到“0a >，且240b ac -≤”，则不是充要条件，故错误；D.若1sin 2α≠，则6πα≠与6πα=则1sin 2α=的真假相同，故正确；故选：C【必刷44】命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为（）A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠【答案】D【解析】同时否定条件和结论即可，注意x =0且y =0，的否定为0x ≠或0y ≠.【详解】命题“若220x y +=，则0x y ==”即为“若220x y +=，则0x =且0y =”所以否命题为：若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠.故选：D【必刷45】下列说法正确的是（）A ．若2000:,2310p x R x x ∃∈++>，则2:,2310p x R x x ⌝∀∈++<B ．“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件C ．(0,)∀∈+∞x ，都有22x x >D ．在ABC 中，若A B >，则sin sin A B >【答案】D【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断A ，根据奇函数的定义判断B ，利用特殊值判断C ，根据三角形的性质及正弦定理判断D ；【详解】对于A ：2000:,2310p x R x x ∃∈++>则2:,2310p x R x x ⌝∀∈++≤，故A 错误；对于B ：由(0)0f =，得不到函数()f x 是奇函数，如2()f x x =满足(0)0f =，但是2()f x x =为偶函数，由函数()f x 是奇函数也不一定得到(0)0f =，如()1f x x=为奇函数，当时函数在0处无意义，故B 错误；对于C ：当2x =时22x x =，故C 错误；对于D ：因为A B >根据三角形中大角对大边，可得a b >，再由正弦定理可得sin sin A B >，故D 正确；故选：D【必刷46】已知下列命题：①x ∀∈R ，210x x ++>；②“2a >”是“5a >”的充分不必要条件；③已知p 、q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题；④若x 、y ∈R 且2x y +>，则x 、y 至少有一个大于1．其中真命题的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】利用配方法可判断①的正误；利用集合的包含关系可判断②的正误；利用复合命题的真假可判断③的正误；利用反证法可判断④的正误.【详解】对于①，因为22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，①对；对于②，因为{}2a a >（{}5a a >，故“2a >”是“5a >”的必要不充分条件，②错；对于③，“p q ∨”为假命题，则p 、q 均为假命题，所以，p q ⌝∧⌝为真命题，③对；对于④，假设1x ≤且1y ≤，则2x y +≤，与2x y +>矛盾，假设不成立，④对.故选：B.【必刷47】设命题0:p x R ∃∈，2010x +=，则命题p 的否定为（）A ．x R ∀∉，210x +=B ．x R ∀∈，210x +≠C ．0x R ∃∉，2010x +=D ．0x R ∃∈，2010x +≠【答案】B【解析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到答案.【详解】利用含有一个量词的命题的否定方法可知，特称命题0:p x R ∃∈，2010x +=的否定为：x R ∀∈，210x +≠.故选：B.【必刷48】命题“x R ∀∈，sin x x >”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00sin x x <B ．0x R ∃∉，00sin x x ≤C ．x R ∀∈，sin x x ≤D ．0x R ∃∈，00sin x x ≤【答案】D【解析】根据命题否定的定义即可求解.【详解】对于全称量词的否定是特称量词，并对结果求反，即000,sin x R x x ∃∈≤；故选：D.【必刷49】命题“π,02x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是（）A ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤B ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x<C ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤D ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x<【答案】C【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】由全称命题的否定是存在量词命题，所以命题“,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是“,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x ≤”，故选：C ．【必刷50】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题p ：x ∃∈R ，210x x +-<，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x +->C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 都为假命题D ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件【答案】D【解析】A 选项直接否定条件和结论即可；B 选项存在一个量词的命题的否定，先否定量词，后否定结论；C 选项“且”命题是一假必假；D 选项，利用“小集合”是“大集合”的充分不必要条件作出判断.【详解】对于A ，命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“2320x x -+≠，则2x ≠”，A 错误；对于B ，命题p ：x ∃∈R ，210x x +-<，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x +-≥，B 错误；对于C ，若p q ∧为假命题，则p ，q 有一个假命题即可；C 错误；对于D ， 2320x x -+>1x ∴<或2x >11x x ∴<⇒<或2x >，即“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件，D 正确.故选：D考点6：充分条件、必要条件与充要条件的概念若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 是q 的充分不必要条件p ⇒q 且q ⇏p p 是q 的必要不充分条件p ⇏q 且q ⇒p p 是q 的充要条件p ⇔q p 是q 的既不充分也不必要条件p ⇏q 且q ⇏p【必刷51】若x ，y 为实数，则“11x y<”是“22log log x y >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分必要条件的定义及对数不等式即可求解；【详解】由题意可知当2,1x y =-=时，满足11x y<，但不满足22log log x y >；由22log log x y >，得0x y >>，满足11x y <，所以“11x y<”是“22log log x y >”的必要不充分条件，故选：B ．【必刷52】在ABC 中，“sin 2sin 2A B =”是“A B =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义求解作答.【详解】在ABC 中，A B =，则22A B =，必有sin 2sin 2A B =，而,63A B ππ==，满足sin 2sin 2A B =，此时ABC 是直角三角形，不是等腰三角形，所以“sin 2sin 2A B =”是“A B =”的必要不充分条件.故选：B【必刷53】下列四个命题中正确的是（）A ．若函数()y f x =的定义域为[]1,1-，则()1y f x =+的定义域为[]0,2B ．若正三角形ABC 的边长为2，则2AB BC ⋅=C ．已知函数()()2log 11f x x =+-，则函数()y f x =的零点为()1,0D ．“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件【答案】D【解析】利用抽象函数的定义域可判断A 选项；利用平面向量数量积的定义可判断B 选项；利用函数零点的定义可判断C 选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若函数()y f x =的定义域为[]1,1-，对于函数()1y f x =+，则有111x -≤+≤，解得20x -≤≤，即函数()1y f x =+的定义域为[]2,0-，A 错；对于B 选项，若正三角形ABC 的边长为2，则cos1202AB BC AB BC ⋅=⋅=-，B 错；对于C 选项，已知函数()()2log 11f x x =+-，令()0f x =，解得1x =，所以，函数()y f x =的零点为1，C 错；对于D 选项，若2παβ==，则tan α、tan β无意义，即“αβ=”⇒“tan tan αβ=”；若tan tan αβ=，可取4πα=，54πβ=，则αβ≠，即“αβ=”⇐/“tan tan αβ=”.因此，“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件，D 对.故选：D.【必刷54】不等式1133x⎛⎫> ⎪⎝⎭成立是不等式21x <成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据指数不等式和一元二次不等式的解法解出对应的不等式，结合必要不充分条件的概念即可得出结果.【详解】解不等式1133x⎛⎫> ⎪⎝⎭，得1x <，解不等式21x <，得11x -<<，。
高考数学一轮复习 第1章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件课后作业 文-
1．2 命题及其关系、充分条件与必要条件[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．下列命题中是真命题的是( )①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题；③“若x －3 12是有理数，则x 是无理数”的逆否命题． A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③答案 B解析 对于①，其否命题是“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”，这显然是正确的，故①为真命题；对于②，其逆命题是“若两多边形相似，则它们一定是正多边形”，这显然是错误的，故②为假命题；对于③，原命题为真，故逆否命题也为真．因此是真命题的是①③.故选B.2．(2018·某某八市联考)命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b D ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c答案 A解析 否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”．故选A.3．(2018·曲阜模拟)已知p ：函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，q ：函数g (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 易知p 成立⇔a ≤1，q 成立⇔a >1，所以綈p 成立⇔a >1，则綈p 是q 的充要条件．故选C.4．下列命题正确的是( )A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．“a >0，b >0”是“b a ＋ab≥2”的充分必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”D ．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x －1≥0 答案 D解析 若p ∨q 为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，那么p ∧q 可能为真，也可能为假，故A 错误；若a >0，b >0，则b a ＋ab ≥2，又当a <0，b <0时，也有b a ＋a b≥2，所以“a >0，b >0”是“b a ＋a b≥2”的充分不必要条件，故B 错误；命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，故C 错误，由此可知D 正确．故选D.5．(2018·某某某某质检)已知p ：∃x >0，e x－ax <1成立，q ：函数f (x )＝－(a －1)x在R 上是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 若∃x >0，e x－ax <1成立，则∃x >0，使得e x<ax ＋1.由于直线y ＝ax ＋1恒过点(0,1)，且y ＝e x在点(0,1)处的切线方程为y ＝x ＋1，因此p ：a >1；若函数f (x )＝－(a －1)x是减函数，则a －1>1，则a >2，则q ：a >2.故由q 可以推出p ，由p 推不出q ，故p 是q 的必要不充分条件．故选B.6．(2018·某某模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 设命题a ：“若p ，则q ”，可知命题a 是祖暅原理的逆否命题，则a 是真命题．故p 是q 的充分条件．设命题b ：“若q ，则p ”，若A 比B 在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b 是假命题， 即p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件．故选A.7．(2017·某某联考)“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，当a ＝0时，f (x )＝sin x －1x，f (－x )＝sin(－x )－1－x ＝－sin x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －1x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数； 反之，当f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0，又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x ＋a ＝2a ，故a ＝0，所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的充要条件．故选C.8．(2018·某某模拟)已知f (x )＝2x ＋3(x ∈R )，若|f (x )－1|<a 的必要条件是|x ＋1|<b (a ，b >0)，则a ，b 之间的关系是( )A ．b ≥a 2B ．b <a 2C ．a ≤b2D ．a >b2答案 A解析 ∵f (x )＝2x ＋3，且|f (x )－1|<a ， ∴|2x ＋2|<a .∴－a <2x ＋2<a ， ∴－2－a 2<x <－2＋a2. ∵|x ＋1|<b ，∴－b <x ＋1<b ， ∴－b －1<x <b －1.∵|f (x )－1|<a 的必要条件是|x ＋1|<b (a ，b >0)， ∴⎝⎛⎭⎪⎫－2－a 2，－2＋a 2⊆(－b －1，b －1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－b －1≤－2－a2，b －1≥－2＋a2，解得b ≥a2.故选A.9．(2018·某某一联)已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >0”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 复数z ＝(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2－2a i ＋i ＝a ＋2＋(1－2a )i 在复平面内对应的点为M (a ＋2,1－2a )．若a >0，则a ＋2>0，但1－2a 的正负不确定，所以点M 是否在第四象限也是不确定的；若点M 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，1－2a <0，解得a >12，此时可推出a >0.所以“a >0”是“点M 在第四象限”的必要不充分条件．故选B.10．(2017·某某七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．设p ：0<r <3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆上没有到直线的距离为1的点；当r＝1时，直线与圆相离，圆上只有一个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆上有两个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆上有两个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆上有两个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆上至多有两个点到直线的距离为1可得0<r <3，故p 是q 的充分必要条件．故选C.二、填空题11．(2017·某某模拟)已知集合A ＝{x| log 12x ＋2<0}，集合B ＝{x |(x －a )(x －b )<0}，若“a ＝－3”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值X 围是________．答案 (－1，＋∞) 解析 A ＝{x| log 12x ＋2<0}＝{x |x >－1}，B ＝{x |(x －a )(x －b )<0}＝(－3，b )或(b ，－3)，由“A ∩B ≠∅”，得b >－1，故b 的取值X 围为(－1，＋∞)．12．已知条件p ：x ∈A ，且A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，条件q ：x ∈B ，且B ＝{x |y ＝x 2－3x ＋2}．若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值X 围是________．答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)解析 易得B ＝{x |x ≤1或x ≥2}，且A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，由p 是q 的充分条件，可知A ⊆B ，故a ＋1≤1或a －1≥2，即a ≤0或a ≥3.即所某某数a 的取值X 围是(－∞，0]∪[3，＋∞)．13．(2018·某某模拟)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值X 围是________．答案 (1,2]解析 ∵p 是q 的必要不充分条件， ∴q ⇒p ，且p ⇒/ q .设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B A . 又B ＝{x |2<x ≤3}，当a >0时，A ＝{x |a <x <3a }； 当a <0时，A ＝{x |3a <x <a }．故当a >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3<3a ，解得1<a ≤2；当a <0时，显然A ∩B ＝∅，不符合题意． 综上所述，实数a 的取值X 围是(1,2]．14．(2017·某某模拟)r (x )：已知r (x )＝sin x ＋cos x >m ；s (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果∀x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题，则实数m 的取值X 围是________．答案 (－∞，－2]∪[－2，2)解析 由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，得sin x ＋cos x 的最小值为－ 2.若∀x ∈R 时，命题r (x )为真命题，则m <－ 2.若命题s (x )为真命题，即∀x ∈R ，不等式x 2＋mx ＋1>0恒成立，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.若命题r (x )为真命题，命题s (x )为假命题，则m ≤－2；若命题r (x )为假命题，命题s (x )为真命题，则－2≤m <2.综上所述，实数m 的取值X 围是(－∞，－2]∪[－2，2)． 三、解答题15．(2017·沂水模拟)已知f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论． 解 (1)逆命题：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ， 若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.是真命题． (用反证法证明)假设a ＋b <0，则有a <－b ，b <－a . ∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，这与题设中f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛盾，故假设不成立．从而a ＋b ≥0成立．逆命题为真． (2)逆否命题：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ， 若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0.是真命题． 原命题为真，证明如下： ∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )． ∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．∴原命题为真命题，∴其逆否命题也为真命题．16．(2017·某某兴化月考)已知命题：“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题．(1)某某数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，某某数a 的取值X 围．解 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在(－1,1)上有解，即m 的取值X 围就为函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域，易知M ＝{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－14≤m <2.(2)因为x ∈N 是x ∈M 的必要条件，所以M ⊆N .当a ＝1时，解集N 为空集，不满足题意； 当a >1时，a >2－a ，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }， 则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，解得a >94；当a <1时，a <2－a ，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }， 则⎩⎪⎨⎪⎧a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上，a >94或a <－14.。
高考数学一轮复习名师首选练习题：第1章 第2节《命题及其关系、充分条件与必要条件》.pdf
第一章 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 一、选择题 1．设集合A＝{xR|x－2＞0}，B＝{xR|x＜0}，C＝{xR|x(x－2)＞0}，则“xA∪B”是“xC”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．命题“若－1＜x＜1，则x2＜1”的逆否命题是( ) A．若x≥1或x≤－1，则x2≥1 B．若x2<1，则－1<x1，则x>1或x0与a2x＋b2>0的解集相同”的( ) A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．“a＝0”是“函数y＝ln|x－a|为偶函数”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 5．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( ) A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 6．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“NM”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件二、填空题 7．给出命题：已知实数a、b满足a＋b＝1，则ab≤.它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________． 8．已知直线l1：ax－y＋2a＋1＝0和直线l2：2x－(a－1)y＋2＝0(a∈R)，则l1l2的充要条件是a＝________. 9．p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是q：“a·b>0”的________条件． 三、解答题 10．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若命题“A∩B＝”是假命题，求实数m的取值范围． 11．(1)是否存在实数p，使“4x＋p0”的充分条件？如果存在求出p的取值范围； (2)是否存在实数p，使“4x＋p0”的必要条件？如果存在求出p的取值范围． 12．(2012·日照模拟)设p：实数x满足x2－4ax＋3a20与a2x＋b2>0的解集相同”“＝”，但“＝” “不等式a1x＋b1>0与a2x＋b2>0的解集相同”，如：a1＝1，b1＝－1，a2＝－1，b2＝1. 答案：C 4．解析：当a＝0时，函数y＝ln|x|为偶函数；当函数y＝ln|x－a|为偶函数时，有ln|－x－a|＝ln|x－a|，a＝0. 答案：A 5．解析：否命题是既否定题设又否定结论． 答案：B 6．解析：当a＝1时，N＝{1}，此时有NM，则条件具有充分性；当NM时，有a2＝1或a2＝2得到a1＝1，a2＝－1，a3＝，a4＝－，故不具有必要性，所以“a＝1”是“NM”的充分不必要条件． 答案：A 二、填空题 7．解析：a＋b＝11＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2≥4abab≤.∴原命题为真，从而逆否命题为真；若ab≤，显然得不出a＋b＝1，故逆命题为假，因而否命题为假．答案：1 8．解析：l1l2?2a＋(a－1)＝0，解得a＝. 答案： 9．解析：若向量a与向量b的夹角θ为锐角，则cos θ＝>0，即a·b>0；由a·b>0可得cos θ＝>0，故θ为锐角或θ＝0°，故p是q的充分不必要条件． 答案：充分不必要 三、解答题 10．解：因为“A∩B＝”是假命题，所以A∩B≠. 设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}， 则U＝{m|m≤－1或m≥}． 假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则有 ?m≥.又集合{m|m≥}．关于全集U的补集是{m|m≤－1}， 所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}． 11．解：(1)当x>2或x0，由4x＋p<0得x<－，故－≤－1时，“x<－”“x0”．p≥4时，“4x＋p0”的充分条件． (2)不存在实数p，使“4x＋p0”的必要条件． 12．解：(1)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)(x－a)<0， 当a＝1时，解得1<x<3，即p为真时实数x的取值范围是1<x<3. 由，得2<x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.若pq为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2<x0时，A＝(a,3a)； a0时，有解得1。
专题01 集合的概念 学案——2023届高考数学一轮复习重难点突破
2023年高考一轮复习重难点突破专题01 集合的概念【知识归纳】1.集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R【题型分类】与集合中元素有关问题的求解步骤步骤一：确定集合的元素是什么，集合是数集还是点集.步骤二：看这些元素满足什么限制条件.步骤三：根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性.题型一．集合的含义1．现规定：A是一些点构成的集合，若连接点集A内任意两点的线段，当该线段上所有点仍在点集A内时，则称该点集A是连通集，下列点集是连通集的是() A．函数2xy 图象上的点构成的集合B．旋转体表面及其内部点构成的集合C．扇形边界及其内部点构成的集合D．正四面体表面及其内部点构成的集合2．下列命题正确的有( ) （1）很小的实数可以构成集合；（2）集合2{|1}y y x =-与集合2{(,)|1}x y y x =-是同一个集合； （3）3611,,,||,0.5242-这些数组成的集合有5个元素；（4）集合{(,)|0x y xy ，x ，}y R ∈是指第二和第四象限内的点集． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．定义集合A ，B 的一种运算“*”， *{|A B p p x y ==+，x A ∈，}y B ∈．若{1A =，2，3}，{1B =，2}，则集合*A B 中所有元素的和 ．4．记集合{0T =，1，2，3，4，5，6}，3124234|,1,2,3,47777i a a a a M a T i ⎧⎫=+++∈=⎨⎬⎩⎭，将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2009个数是 ．题型二．元素与集合关系的判断5．已知集合{0A =，1，2}，那么( ) A ．0A ⊆B ．0A ∈C ．{1}A ∈D ．{0，1，2}A6．若集合{1}A =，则下列关系错误的是( ) A ．1A ∈B ．A A ⊆C ．A ∅⊆D ．A ∅∈7．若集合{|2020}A x N x =∈，22a =，则下列结论正确的是( )A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉8．已知集合{|14A x x =-<，)x Z ∈，则集合A 中元素的个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．69．已知集合{|0}M x x =，{|x N y y e ==，}x R ∈，那么正确的一项是( ) A e NB ．0N ∈C ．N M ⊆D ．M N =10．若集合2{|1}A x N x =∈，1a =-，则下列结论正确的是( ) A ．a A ∉B ．a A ∈C ．{}a A ∈D ．{}a A ⊆11．已知i 是虚数单位，则集合{|n A x x i ==，}n Z ∈中元素的个数为 ．12．设集合{1A =-，0，1，2}，{1B =，2}，{|C x x ab ==，a A ∈，}b B ∈，则集合C 中元素的个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．813．已知集合{|(3)(7)0A x x x =--，}x Z ∈，则集合A 中元素个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．614．已知集合{|(3)(7)0}A x Z x x =∈--，则集合A 中元素个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．615．设集合{|31}A x x m =-<，若1A ∈且2A ∉，则实数m 的取值范围是( ) A ．(2,5)B ．[2，5)C ．(2，5]D ．[2，5]16．已知实数集合{1，2，3，}x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x = ． 17．已知集合{|1}kM x x=>-，且3M -∈，则k 的取值范围是 ． 18．若集合{|(3)(2)6}A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．619．已知集合2{|45}A x x x =-<，则( ) A ． 1.2A -∈ B ．0.93A ∉C ．2log 30A ∈D ．{1A N =，2，3，4}20．设A ，B 是R 中两个子集，对于x R ∈，定义：0,,0,1,,1,x A x Bm n x A x B∉∉⎧⎧==⎨⎨∈∈⎩⎩．①若A B ⊆．则对任意x R ∈，(1)m n -= ； ②若对任意x R ∈，1m n +=，则A ，B 的关系为 ．题型三．集合的确定性、互异性、无序性21．已知集合2{|210A x ax x =++=，}a R ∈只有一个元素，则a 的值( ) A ．0B ．1C ．0或1D ．1-22．由实数a ，a -，||a ，所组成的集合里，所含元素个数最多有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个23．定义集合运算：*{|A B z z xy ==，x A ∈，}y B ∈．设{1A =，2}，{0B =，2}，则集合*A B 的所有元素之和为( ) A ．0B ．2C ．3D ．624．已知集合{1A =，2}，{|B x x a b ==+，a A ∈，}b A ∈，则集合B 中元素个数为() A ．1B ．2C ．3D ．425．已知集合{1A =，2}，{1B =，2，3}，{|P x x a b ==+，a A ∈，}b B ∈，则集合P 的元素个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．626．若集合{M a =，b ，}c 中的元素是ABC ∆的三边长，则ABC ∆一定不是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形27．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．1228．集合{1A =，}t 中实数t 的取值范围是 ．29．已知集合{1A =-，0}，集合{0B =，1，2}x +，且A B ⊆，则实数x 的值为 ． 30．已知数集{1M =-，0，2}x -中有3个元素，则实数x 不能取的值构成的集合为 ．题型四．集合的表示法31．若集合2{|10}A x ax ax =-+=∅，则实数a 的取值集合为( ) A ．{|04}a a <<B ．{|04}a a <C ．{|04}a a <D ．{|04}a a32．已知集合2{|1log }A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则( ) A ．8k >B ．8kC ．16k >D ．16k33．已知集合{|(1)}A x y lg x ==-，{|21}x B y y ==+，则( ) A ．{|0}AB x x =< B ．AB R =C ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅34．已知集合{|(1)}A x y lg x ==-，{|10}B x x =->，则( ) A ．{|0}AB x x =< B ．AB R =C ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅35．已知集合{|1}M x x =<，2{|0}N x x x =-<，则( ) A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．{|1}MN x x =<D ．{|0}MN x x =>36．已知集合2{|0}A x x x =->，2{|log 0}B x x =<，则( ) A ．{|0}AB x x =< B ．AB R =C ．A B =∅D ．{|1}A B x x =>37．已知单元素集合2{|(2)10}A x x a x =-++=，则(a = ) A ．0B ．4-C ．4-或1D ．4-或038．已知集合2{|30A x x x =-<，*}x N ∈，则用列举法表示集合A = ．参考答案1．【解析】解：函数2x y =图象上连接任意两点的线段上的其它点不在函数2x y =图象上的，A ∴不正确．如果旋转体内部是空腔时，内表面上连接任意两点的线段上的其它点不在旋转体表面或其内部．，B ∴不正确如果扇形的圆心角大于180︒时，会出现连接某些点的线段上的其它点不在扇形边界或其内部，C ∴不正确∴利用排除法，应该选D故选：D ．2．【解析】解：（1）中很小的实数没有确定的标准，不满足集合元素的确定性； （2）中集合2{|1}y y x =-的元素为实数，而集合2{(,)|1}x y y x =-的元素是点； （3）有集合元素的互异性这些数组成的集合有3个元素； （4）集合{(,)|0x y xy ，x ，}y R ∈中还包括实数轴上的点． 故选：A ． 3．【解析】解：*{|A B p p x y ==+，x A ∈，}y B ∈．{1A =，2，3}，{1B =，2}， *{2A B ∴=，3，4，5}， 234514+++=．故答案为：14．4．【解析】解：解法一：3124234|,1,2,3,47777i a a a a M a T i ⎧⎫=+++∈=⎨⎬⎩⎭中的元素为 444444012371,,,,77777-，故从大到小排列第2009个数是3928240149=． 解法二：根据题意，发现M 是关于类似7进制的转换问题，从大到小排序的第一个是 6666（7）[1-（7）1]- 所以第2009个数就是： 6666（7）[5566-（7）1]- 即1100（7）392(10)= 故本题的答案即为3928240149=； 故答案为：849． 5．【解析】解：因为集合{0A =，1，2}，所以0A ∈，选项A 不正确，选项B 正确， 选项C 是集合与集合之间的关系，错用元素与集合关系，选项D 两个集合相等，所以D 错误． 故选：B ．6．【解析】解：A 、B 、C 显然正确，∅与集合的关系不能是∈， 故选：D ．7．【解析】解：因为{|2020}A x N x =∈，所以A 中元素全是整数， 因为22a =， 所以a A ∉， 故选：D ．8．【解析】解：14x -<，x z ∈，1x ∴=-，0，1，2，3∴集合{1A =-，0，1，2，3}共有5个元素． 故选：C ．9．【解析】解：{|0}M x x =，{|0}N y y =>，∴,0,e N N N M ∉⊆，M N ≠．故选：C ．10．【解析】解：集合{|11}{0A x N x =∈-=，1}，1a =-， 故A 、1A -∉，故本选项正确；B 、1A -∉，故本选项错误；C 、{1}A -⊂/，故本选项错误；D 、{1}A -⊂/，故本选项错误；故选：A ．11．【解析】解：当4n k =，*k N ∈时，1n i =；当41n k =+，*k N ∈时，n i i =；当42n k =+，*k N ∈时，1n i =-；当43n k =+，*k N ∈时，n i i =-；所以集合{1A =-，i -，1，}i ．故答案为：4．12．【解析】解：当1a =-，1b =时，1ab =-，当1a =-，2b =时，2ab =-， 当0a =，1b =时，0ab =，当0a =，2b =时，0ab =， 当1a =，1b =时，1ab =，当1a =，2b =时，2ab =， 当2a =，1b =时，2ab =，当2a =，2b =时，4ab =，、 故{2C =-，1-，0，1，2，4}，即C 中元素的个数为6个． 故选：B ．13．【解析】解：已知集合{|(3)(7)0A x x x =--，}{3x Z ∈=，4，5，6，7}， 则集合A 中元素个数为5个，故选：C ．14．【解析】解：已知集合{|(3)(7)0}{3A x Z x x =∈--=，4，5，6，7}， 则集合A 中元素个数为5个， 故选：C ．15．【解析】解：因为集合{|31}A x x m =-<，若1A ∈且2A ∉， 311m ∴⨯-<且321m ⨯-；解得25m <；故选：C ．16．【解析】解：因为实数集合{1，2，3，}x 的最大元素等于该集合的所有元素之和， 所以123x x +++=（无解）或者1233x +++=， 解之得3x =-． 故答案为3-． 17．【解析】解：因为10()0k k xx x k x x+>-⇒>⇒+>， 3M -∈，(3)(3)03k k ∴--+>⇒<， k ∴的取值范围是：(,3)-∞．故答案为：(,3)-∞．18．【解析】解：集合{|(3)(2)6}{|05}{1A x N x x x N x =∈--<=∈<<=，2，3，4}，则集合A 中的元素个数为4， 故选：B ．19．【解析】解：2{|45}{|15}A x x x x x =-<=-<<， 220log 30log 325<<=， 2log 30A ∴∈故选：C ． 20．【解析】解：①A B ⊆．则x A ∉时，0m =，(1)0m n -=．x A ∈时，必有x B ∈，1m n ∴==，(1)0m n -=．综上可得：(1)0m n -=．②对任意x R ∈，1m n +=，则m ，n 的值一个为0，另一个为1，即x A ∈时，必有x B ∉，或x B ∈时，必有x A ∉，A ∴，B 的关系为RA B =．故答案为：0，RA B =．21．【解析】解：若集合2{|210A x ax x =++=，}a R ∈只有一个元素，则方程2210ax x ++=有且只有一个解当0a =时，方程可化为210x +=，满足条件； 当0a ≠时，二次方程2210ax x ++=有且只有一个解 则△440a =-=，解得1a = 故满足条件的a 的值为0或1 故选：C ．22．【解析】解：根据题意，分三种情况讨论， ①0a =，有||a a a =-=，组成的集合中有一个元素； ②0a >，有||a a =，组成的集合中有两个元素； ③0a <，有||a a -=，组成的集合中有两个元素； 故在其组成的集合里，所含元素个数最多有2个； 故选：C ．23．【解析】解：根据题意，设{1A =，2}，{0B =，2}， 则集合*A B 中的元素可能为：0、2、0、4， 又有集合元素的互异性，则*{0A B =，2，4}， 其所有元素之和为6； 故选：D ．24．【解析】解：集合{1A =，2}，{|B x x a b ==+，a A ∈，}b A ∈， {2B ∴=，3，4}，∴集合B 中元素个数为3．故选：C ．25．【解析】解：集合{1A =，2}，{1B =，2，3}，{|P x x a b ==+，a A ∈，}{2b B ∈=，3，4，5}，则集合P 的元素个数为：4． 故选：B ．26．【解析】解：根据集合元素的互异性，在集合{M a =，b ，}c 中，必有a 、b 、c 互不相等， 故ABC ∆一定不是等腰三角形； 故选：D ．27．【解析】解：由题意，集合*12{|}x N Z x∈∈中的元素满足 x 是正整数，且12x是整数，由此列出下表x 1 2 3 4 6 12 12x1264321根据表格，可得符合条件的x 共有6个，即集合*{|}x N Z x∈∈中有6个元素 故选：B ．28．【解析】解：集合{1A =，}t 由集合元素的互异性可得1t ≠ 故实数t 的取值范围是{|1}t t ≠ 故答案为：{|1}t t ≠29．【解析】解：由分析知21x +=-，3x ∴=-． 故答案为3-．30．【解析】解：由集合中元素的互异性可得21x -≠-，20x -≠，解得1x ≠，且2x ≠， 故实数x 不能取的值构成的集合为{1，2}．31．【解析】解：当0a =时，不等式等价于10<，此时不等式无解； 当0a ≠时，要使原不等式无解，应满足 00a >⎧⎨<⎩， 即2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<；综上，a 的取值范围是[0，4)． 故选：B ．32．【解析】解：集合2{|1log }A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素， {2A ∴=，3，4}， 2log 4k ∴>，16k ∴>．故选：C ．33．【解析】解：集合{|(1)}{|1}A x y lg x x x ==-=<，{|21}{|1}x B y y y y ==+=>， AB ∴=∅．故选：D ．34．【解析】解：集合{|(1)}{|1}A x y lg x x x ==-=<，{|10}{|1}B x x x x =->=>， AB ∴=∅．故选：D ．35．【解析】解：集合{|1}M x x =<，2{|0}{|01}N x x x x x =-<=<<，N M ∴⊆．故选：B ．36．【解析】解：集合2{|0}{|0A x x x x x =-><或1}x >， 2{|log 0}{|01}B x x x x =<=<<， AB ∴=∅，{|0AB x x =≠且1}x ≠，故选：C ．37．【解析】解：单元素集合2{|(2)10}A x x a x =-++=，∴△2[(2)]4110a =-+-⨯⨯=，解得4a =-或0a =． 故选：D ．38．【解析】解：由集合2{|30A x x x =-<，*}x N ∈可得， 条件等价于集合{|03A x x =<<，*}{1x N ∈=，2}． 故填：{1，2}．。
专题01集合(原卷版)
2023高考一轮复习讲与练01 集合练高考 明方向1、【2022年新高考I 卷】若集合{4}M x x =<，{31}N x x =≥，则MN =A. {|02}x x ≤<B. 1{|2}3x x ≤<C. {|316}x x ≤<D. 1{|16}3x x ≤<2、【2022年新高考II 卷】3、【2022年全国甲卷理科】4、【2022年全国甲卷文科】设集合5{2,1,0,1,2},02A B xx ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（ ）A. {}0,1,2B. {2,1,0}--C. {0,1}D. {1,2}5、【2022年全国乙卷文科】6. 集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则MN =（ ）A. {2,4}B. {2,4,6}C. {2,4,6,8}D. {2,4,6,8,10}7．(2021年高考全国乙卷理科)已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则ST( )A ．∅B ．SC ．TD ．Z8．(2021年高考全国甲卷理科)设集合{}104,53M x x N xx ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N = ( )A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤< D ．{}05x x <≤9．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a( )A ．–4B ．–2C ．2D ．410．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ⋃=( )A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}11．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则AB中元素的个数为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．6讲典例 备高考类型一、集合的含义(1)元素的特性: 确定性、互异性、无序性(2)注意集合元素的互异性，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．(3)解决集合含义问题的关键点：确定构成集合的元素；确定元素的限制条件． 1．现有以下说法，其中正确的是（ ）①接近于0的数的全体构成一个集合； ②正方体的全体构成一个集合； ③未来世界的高科技产品构成一个集合； ④不大于3的所有自然数构成一个集合． A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④2．以方程x 2﹣5x +6＝0和方程x 2﹣x ﹣2＝0的解为元素的集合为（ ） A ．{2，3，1}B ．{2，3，﹣1}C ．{2，3，﹣2，1}D ．{﹣2，﹣3，1}3．（多选题）已知集合{}22133A a aa =+++,,，且1A ∈，则实数a 的可能值为（ ）集合集合含义集合之间的关系集合的运算集合的新定义问题由集合关系求参数范围件集合中的分类讨论集合中的数形结合集合与充要条件交汇集合的表示A ．0B ．1-C ．1D ．2-4．已知a ，b ，c 均为非零实数，集合a b ab A x x a b ab ⎧⎫⎪⎪==++⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则集合A 的元素的个数有_______个.类型二、集合的表示(1)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(2)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(3)五个特定的集合：1①{}3,1M =-，(){}3,1P =-； ②(){}3,1M =，(){}1,3P =；③{}21M y y x ==-，{}21P t t x ==-；④{}21M y y x ==-，(){}2,1P x y y x ==-.A ．①B ．②C ．③D ．④2．用列举法可以将集合{A a a =使方程221=0ax x ++有唯一实数解}表示为（ ）A ．{}1A =B ．{}0A =C ．{}0,1A =D ．{}0A =或{}13．由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是（ ）A ．{x|﹣3＜x ＜11，x ∈Q}B ．{x|﹣3＜x ＜11}C ．{x|﹣3＜x ＜11，x=2k ，k ∈N}D ．{x|﹣3＜x ＜11，x=2k ，k ∈Z} 4．（多选题）下列说法中不正确的是（ ）A ．0与{}0表示同一个集合B ．集合M ＝{}3,4与N ＝(){}3,4表示同一个集合C ．方程()2(1)2x x --＝0的所有解的集合可表示为{}1,1,2 D ．集合{|45}x x <<不能用列举法表示5．集合6{|3P x x =∈-Z 且}x ∈Z ，用列举法表示集合P =________ 类型三、集合之间的关系 (1)集合之间的基本关系A B 或B A穷举法：将集合的子集一一列举出来，从而得到子集的个数，适用于集合中元素个数较少的情况． 公式法：含有n 个元素的集合的子集个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.(3)判断集合间关系的常用方法1．已知集合{M m m x y z xyz==+++∣，x 、y 、z 为非零实数}，则M 的子集个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．82．（多选题）下面给出的几个关系中正确的是（ ）A ．{}{},a b ∅⊆B ．(){}{},,a b a b ⊆C ．{}{},,b a a b ⊆D ．{}0∅⊆3．（多选题）已知集合{}23180A x x x =∈--<R ，{}22270B x x ax a =∈++-<R ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若AB =，则3a =- B ．若A B ⊆，则3a =-C ．若B =∅，则6a ≤-或6a ≥D ．若BA 时，则63a -<≤-或6a ≥4．满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ≠⊂⊆的集合M 有______个. 5．含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则20212020a b +=_______．类型四、集合的运算 (1)集合的运算(2)集合的基本运算问题的解题策略①看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提． ②对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．③数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有：数轴、坐标系和Venn 图．1．已知集合(){}2log 21A x x =-<，{}223B x x x =-<，则A B =（ ）A ．{}14x x -<<B ．{}13x x -<<C ．{}24x x <<D ．{}23x x <<2．若集合{(,)30}M x y x y =-=∣，()22,}0{|N x y x y =+=，则（ ） A ．M N M ⋂= B ．M N M ⋃=C ．M N N ⋃=D ．M N ⋂=∅3．（多选题）已知集合2{|log 0}A x x =≤，集合1{|0}1y B y y +=≥-，集合1{|3}9z D z =≥，则（ ） A ．A D R ⋃= B ．A B =∅ C ．()R A B ⋃ DD ．R D B4．（多选题）已知U =R ，集合2{|20},{|10},A x x x B x mx =--==+=B ∩(∁U A)=∅，则m 的值可以是（ ）A ．12B ．12-C ．0D ．15．（多选题）已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足(∁U A )∪B =B ，则下列关系一定正确的是（ ）A ．AB =∅ B ．A B B =C ．A B U ⋃=D ．(∁U B )∪A =A6．已知全集U =Z ，集合{}210,A x x x =+≥∈Z ，{}1,0,1,2B =-，则下列说法正确的是____．（填序号）①{}0,1,2AB =②{}0A B x x ⋃=≥ ④(∁U A )∩B ={−1} ④AB 的真子集个数是7类型五、集合的新定义问题1．已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3A =，{B x y ==，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}0,1B ．{}1,2C ．{}0D ．{}0,1,22．（多选题）若集合A 具有以下性质：（1）0A ∈，1A ∈；（2）若x 、y ∈A ，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈.则称集合A 是“完美集”.下列说法正确的是（ ） A ．集合{}1,0,1B =-是“完美集” B ．有理数集Q 是“完美集”C ．设集合A 是“完美集”，x 、y ∈A ，则x y A +∈D ．设集合A 是“完美集”，若x 、y ∈A 且0x ≠，则yA x∈ 3．（多选题）给定数集M ，若对于任意a ，b M ∈，有a bM ，且a b M -∈，则称集合M 为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）A ．集合{}4,2,0,2,4M =--为闭集合B ．正整数集是闭集合C ．集合{|3,}M n n k k Z ==∈为闭集合D ．若集合12,A A 为闭集合，则12A A ⋃为闭集合4．规定⊕与⊗是两个运算符号，其运算法则如下，对任意实数a b 、有: a b ab ⊗=,22()1a b b a b ⊕=++.若22a b -<<<且,,a b Z ∈)22|(A x x a b b a b ⊕⎧⎫+=⊗⎨⎩=⎬⎭,则用列举法表示集合A =__________． 类型六、由集合关系求参数范围根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的的四个注意点： (1)注意两个转化：A∩B＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A. (2)注意空集的特殊性①若B ⊆A ，则分B ＝∅和B≠∅两类进行讨论． ②若A∩B＝∅，则集合A ，B 可能的情况有：A ，B 均为空集；A 与B 中只有一个空集；A ，B 虽然均为非空集合但无公共元素．(3)注意结合数轴分析端点值的大小．(4)注意对结果进行检验，以避免集合中元素重复．1．（多选题）已知集合{}23180A x R x x =∈--<，{}22270B x R x ax a =∈++-<，则下列命题中正确的是（ ）A ．若AB =，则3a =- B ．若A B ⊆，则3a =-C ．若B =∅，则6a ≤-或6a ≥D ．若3a =，则{}36A B x x ⋂=-<<2．已知集合{}2{123},280A x a x a B x x x =-<<+=--≤，若()R A B A ⋂=，求实数a 的取值范围是_______.3．已知全集U =R ，集合{}2|450A x x x =--≤，{}|24B x x =≤≤.（1）求()U A C B ⋂；（2）若集合{}|4,0C x a x a a =≤≤>，满足CA A =，CB B =，求实数a 的取值范围.4．已知全集U R =，集合{}01A x x =<<，{}3927xB x =≤≤，{}224C x a x a =-<<-. （1）求(∁U A )∩B ；（2）若A C C =，求a 的取值范围.类型七、集合的中的分类讨论在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如若A ⊆B ，则要考虑A ＝∅和A ≠∅两种可能．1．已知集合{A =，集合{}1,B a =，若{}AB a =，则a =（ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或32．（多选题）设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =+=，若AB B =，则实数a 的值可以为（ ）A ．15-B ．0C ．3D ．13-3．已知全集U =R ，集合{}2|11180A x x x =-+->，B ={x |−5≤−x ≤2}， （1）求AB ，B ∪(∁U A )；（2）已知集合{|2}M x a x a =≤≤-，若B ∪(∁U M )=R ，求实数a 的取值范围． 4．已知集合{}2430A x x x =-+=，{}230B x x ax =-+=． （1）若A B B ⋃=，求实数a 的值； （2）若AB B =，求实数a 的取值范围．5．设集合A ={x ∣2x −3x +2=0}，B ={x ∣2x +2(a +1)x +2a −5=0} （1）若A ∩B ={2}，求实数a 的值；（2）若U =R ，A ∩(∁U B )=A .求实数a 的取值范围. 类型八、集合的中的数形结合1．下图中矩形表示集合U ，A ，B 是U 的两个子集，则不能表示阴影部分的是（ ）A ．(∁U A )∩B B ．∁B (A ∩B )C ．()()UUA B ⋂D ．A BA ⋃2．已知集合{}2{47},60M xx N x x x =-≤≤=-->∣∣，则M N =（ ）A ．{|42x x -≤<-或37}x <≤B ．{|42x x -<≤-或37}x ≤<C ．{|2x x ≤-或3}x >，D ．{|2x x <-或3}x >，3．（多选题）已知集合A ，B ，全集为U ，下列结论正确的有（ ）A ．若AB ⊆，则A B A =，且A B B ⋃=； B ．若A B A B ⋃=⋂，则A B =；C ．()()AB A B ⊆ D ．集合{},,A a b c =的真子集有6个.4．集合U =R ，{}2|20A x x x =--<，B x y ⎧⎫==⎨⎩，则图中阴影部分所表示的集合是_________．5．已知集合{2A xx =<-∣或}6x >，{}12B x m x m =+≤≤∣ （1）若3m =，求A B ，(∁R A )∩(∁R B )；（2）若AB B =，求m 值范围.类型九、集合与充要条件交汇1．（多选题）已知集合{|13}A x x =-<<，集合{|1}B x x m =<+，则A B =∅的一个充分不必要条件是（ ）A ．2m ≤-B ．2m <-C ．2m <D ．43m -<<-2．（多选题）已知P ={x |−2≤x ≤10}，集合{}11S x m x m =-≤≤+．若x P ∈是x S ∈的必要条件，则实数m 的取值可以是（ ）A ．1-B ．1C ．3D ．53．已知集合4{|0}3x A x x -=>+，集合{|221}B x a x a =-≤≤+． （1）当3a =时，求A 和()R A B ；（2）若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．4．已知命题“关于x 的方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是假命题. （1）求实数m 的取值集合A ；（2）设集合{|121}B x a x a =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.新预测 破高考1．（多选题）已知全集U =R ，集合1|02x A x x -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则关于UA 的表达方式正确的有（ ）A ．][(),12,-∞⋃+∞B ．()(){}210xx x --≥∣ C ．102x xx -⎧⎫≥⎨⎬-⎩⎭∣ D ．()(),12,-∞+∞2．设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3M =，{}3,4,5N =，则()()UU M N ⋂=（ ）A ．{}2,3,4,5B ．{}1,2,4,5,6C ．{}1,2,6D ．{}63．集合{|3}U x Z x =∈≤ {}1,0,1,2A =-，{}3,0,2,3B =-，则()UAB =（ ）A ．{}3,3-B ．{}0,2C ．{}1,1-D ．{}3,2,1,1,3---4．下列说法正确的是（ ）A 20y +=的解集为{}2,2-B ．集合(){},1x y y x =-与{}1|x y x =-是相等的C ．若{}11A x Z x =∈-≤≤，则 1.1A -∈ D ．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为(){},0x y xy >5．已知集合A ＝{a ，|a |，a －2}，若2∈A ，则实数a 的值为（ ）A ．－2B ．2C ．4D ．2或46．已知P ={x |a -4<x <a +4}，Q ={x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．-1≤a ≤5B ．-1<a ≤5C ．-2≤a ≤3D ．-2≤a <37．已知集合1122A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，{}0B x x a =<<，若A B ⊆，则实数a 的范围是（ ）A．0,1B ．(]0,1C ．1,D ．[)1,+∞8．（设集合{{},1,2,4a b =，则a b +=（ ）A ．2B ．3C ．5D ．69．若集合3|01x A x x -=≥+⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{|10}B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．1,13⎛-⎤ ⎥⎝⎦C ．(,1)[0,)-∞-+∞D ．1[,0)(0,1)3-⋃10．集合{}2*70,A x x x x N =-<∈，则集合*6,B y N y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭的子集个数为（ ）A ．4个B ．8个C ．15个D ．16个11．已知全集U R =,集合{|08,}A x x x R =<<∈和{|35,}B x x x Z =-<<∈关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有A ．3个B ．4个C ．5个D ．无数个12．设集合2,1,0,1,2U，若{}1A B ⋂=-，{}()1U B A ⋂=，(∁U A )∩(∁U B )={−2,2}，则下列结论正确（ ）A ．1A -∉且2B ∈ B ．0A ∉且0B ∈C ．0A ∈且0B ∉D ．2A ∉且1B ∉13．集合2{|40}A x x x =+=，22{|2(1)10}B x x a x a =+++-=，{|4,}M x x k k N ==-∈.如果A B A ⋃=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1≤aB ．11或<-=a aC ．1≤-aD ．11或≤-=a a14．已知集合1{|,Z}24k M x x k ==+∈,*1{|,N }42k N x x k ==+∈,若0x M ∈,则0x 与N 的关系是（ ） A ．0x N ∈或0x N ∉ B ．0x N ∈C ．0x N ∉D ．不能确定15．如图所示，A ，B 是非空集合，定义集合A #B 为阴影部分表示的集合.若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ，B ＝{y |y ＝3x ,x >0}，则A #B 为（ ）A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |x =0或x >2}16. 已知集合S ＝{0,1,2,3,4,5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个。
2023年高考数学一轮考点复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第2讲充分条件与必要条件
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[解析] (4)当 α＝β＝π2时，tan α、tan β 都无意义．因此不能推出 tan α ＝tan β，当 tan α＝tan β 时，α＝β＋kπ，k∈Z，不一定 α＝β，因此是既不 充分也不必要条件．
(5)在△ABC 中，由 A>B，则 a>b，由正弦定理 sin A>sin B，反之也 成立．
p 是 q 的__充__分__不__必__要___条件
p⇒q 且 q p
p 是 q 的__必__要__不__充__分___条件
p q 且 q⇒p
p 是 q 的__充__要___条件
p⇔q
p 是 q 的__既__不__充__分__也__不__必__要___条件
p q且q p
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
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题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”) (1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．( √ ) (2)已知集合A，B，则(A∪B)⊆(A∩B)的充要条件是A＝B.( √ ) (3)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．( √ ) (4)“α＝β”是“tan α＝tan β”的充分不必要条件．( × ) (5)在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件．( √ )
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
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[解析] 解法一：由 sin x＝1，得 x＝2kπ＋π2(k∈Z)，则 cos2kπ＋π2＝ cos π2＝0，故充分性成立；又由 cos x＝0，得 x＝kπ＋π2(k∈Z)，而 sinkπ＋π2 ＝1 或－1，故必要性不成立．所以“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不 必要条件，故选 A.
浙江省高考数学一轮复习 专题01 集合与充要条件特色训
一、集合与充要条件一、选择题1．【2018届深圳中学高三年级第一次阶段性测试】已知全集{}1,2,3,4,5,6U =, 集合{}1,3,5A =, {}1,2B =, 则()U A C B ⋂=A. ∅B. {}5C. {}3D. {}3,5 【答案】D【解析】∵{}1,2,3,4,5,6U =， {}1,2B =， ∴{}3,4,5,6U B =ð，∴(){}{}{}1,3,53,4,5,63,5U A B ⋂=⋂=ð.选D. 2．【2018届山东省临沂市临沭第一中学高三10月测试】若集合{|1}A x y x ==-，且A B B ⋂=，集合B 的可能是（ ）A. {-1,0}B. {1,2}C. {|1}x x ≥-D. R 【答案】B故答案选B ．3．【2018届山西省河津三中高三一轮复习阶段性测评】设集合{}{}21,0,1,2,|1A B x y x =-==-，则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {}1B. {}0C. {}1,0-D. {}1,0,1- 【答案】B【解析】由题意得图中阴影部分表示的集合为()R A B ⋂ð.∵22{|1}{|10}{|1B x y x x x x x ==-=-≥=≥或1}x ≤-，∴{|11}R B x x =-<<ð， ∴(){}0R A B ⋂=ð.选B.4．【2018届江苏省南宁市高三摸底联考】设集合，集合，则下列关系中正确的是（ ） A. B.C.D.【答案】D 【解析】由题意可得，，所以D 对.5．【2018届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上第一次联考】设集合,,则（ ）A. B.C. D.【答案】B6．【2018届湖北省黄冈市高三9月检测】设全集U R =，集合{}21xA x =，{|23}B x x =-≤，则()U C A B ⋂=（ ）A. [)1,0-B. (]0,5C. []1,0-D. []0,5 【答案】C【解析】{}{}210,{|23}{|15}xA x x xB x x x x ===-≤=-≤≤，{|0}U C A x x =≤，(){|10}U C A B x x ∴⋂=-≤≤，选C.7．【2018届河南省天一大联考高三上10月联考】已知函数，若，，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件． 8．【2017北京市东城区东直门中学高三上期中】已知集合，，则（ ）．A.B.C.D.【答案】C 【解析】因为，，∴．故选．9．【2017届山西省大同市第一中学高三11月月考】在等差数列{a n }中，a 1=2，公差为d ，则“d=4”是“a 1，a 2，a 3成等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】∵123,,a a a 成等比数列，∴2213a a a =，即()()22222d d +=⨯+，解得0d =。
浙江专版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合学案含解析050657.doc
第一节集合1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：A B或B A3．集合的基本运算4．集合问题中的几个基本结论 (1)集合A 是其本身的子集，即A ⊆A ； (2)子集关系的传递性，即A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ；(3)A ∪A ＝A ∩A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∩∅＝∅，∁U U ＝∅，∁U ∅＝U . (4)A ∩B ＝A ⇒A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇒A ⊆B . [小题体验]1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N}，则满足A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：D2．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________． 答案：53．(2018·江苏高考)已知集合A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1,1,6,8}，那么A ∩B ＝________. 解析：A ∩B ＝{0,1,2,8}∩{－1,1,6,8}＝{1,8}． 答案：{1,8}1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身． 4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[小题纠偏]1．(2019·浙江名校联考)已知∁R M ＝{x |ln|x |＞1}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝1x ，x ＞0，则M ∪N ＝( )A ．(0，e]B ．[－e ，＋∞)C ．(－∞，－e]∪(0，＋∞)D ．[－e ，e]解析：选B 由ln|x |＞1得|x |＞e ，∴M ＝[－e ，e]．N ＝(0，＋∞)，∴M ∪N ＝[－e ，＋∞)．故选B.2．若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，则由m 的可能取值组成的集合为________．解析：当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，所以2≤m ≤3.故m ＜2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}．答案：{m |m ≤3}3．已知集合A ＝{0, x ＋1，x 2－5x }，若－4∈A ，则实数x 的值为________． 解析：∵－4∈A ，∴x ＋1＝－4或x 2－5x ＝－4. ∴x ＝－5或x ＝1或x ＝4.若x ＝1，则A ＝{0, 2，－4}，满足条件； 若x ＝4，则A ＝{0, 5，－4}，满足条件； 若x ＝－5，则A ＝{0，－4,50}，满足条件． 所以x ＝1或x ＝4或－5. 答案：1或4或－5考点一 集合的基本概念基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．下列命题正确的有( ) ①很小的实数可以构成集合；②(易错题)集合{}y |y ＝x 2－1与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合；③1，32，64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12，0.5这些数组成的集合有5个元素；④集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R}是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选A 由题意得，①不满足集合的确定性，故错误；②两个集合，一个是数集，一个是点集，故错误；③中⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝0.5，出现了重复，不满足集合的互异性，故错误；④不仅仅表示的是第二、四象限的点，还可表示原点，故错误．综上，没有正确命题，故选A.2．已知a ＞0，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，4，b a ＝{a －b,0，a 2}，则a 2＋b 2的值为( ) A ．2 B ．4C ．6D ．8解析：选B 由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝4，即a ＝2或a ＝－2，因为a ＞0，所以a ＝2，故a 2＋b 2＝22＋02＝4.3．若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A.92 B.98 C ．0D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98.4．(易错题)(2019·江西重点中学协作体联考)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4} ，M ＝{x |x ＝ab ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为________．解析：结合题意列表计算M 中所有可能的值如下：观察可得：M ＝{2,3,4,6,8,9,12}，据此可知M 中的元素个数为7. 答案：7[谨记通法]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．考点二 集合间的基本关系重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M 且2x ∉M }的子集有( )A ．8个B ．4个C ．3个D ．2个解析：选B 由题意，得P ＝{3,4}，所以集合P 的子集有22＝4个． 2．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若B ⊆A ，则a ＝( ) A ．－12或1B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0解析：选D 集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}．当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当x ＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D. [由题悟法]集合间基本关系的两种判定方法和一个关键[即时应用]1．集合{a ，b ，c ，d ，e }的真子集的个数为( ) A ．32 B ．31 C ．30D ．29解析：选B 因为集合有5个元素，所以其子集的个数为25＝32个，其真子集的个数为25－1＝31个．2．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．解析：当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m ＞0时，∵A ＝{x |－1＜x ＜3}．当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .∴0＜m ≤1.综上所述m 的取值范围为(－∞，1]． 答案：(－∞，1]考点三 集合的基本运算题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．常见的命题角度有： (1)集合的运算； (2)利用集合运算求参数； (3)新定义集合问题．[题点全练]角度一：集合的运算1．(2018·北京高考)已知集合A ＝{x ||x |＜2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：选A ∵A ＝{x ||x |＜2}＝{x |－2＜x ＜2}，B ＝{－2,0,1,2}，∴A ∩B ＝{0,1}．故选A.2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＞0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x ＜－1}∪{x |x ＞2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}解析：选B ∵x 2－x －2＞0，∴(x －2)(x ＋1)＞0， ∴x ＞2或x ＜－1，即A ＝{x |x ＞2或x ＜－1}． 则∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}．故选B. 角度二：利用集合运算求参数3．(2019·浙江联盟校联考)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜a }，若P ∪Q ＝{x |－1＜x ＜2}，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．32解析：选B 因为P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜a }，所以当a ≤1时，P ∪Q ＝{x |－1＜x ＜1}，不符合题意；当a ＞1时，P ∪Q ＝{x |－1＜x ＜a }，结合P ∪Q ＝{x |－1＜x ＜2}，可得a ＝2.角度三：新定义集合问题4．如果集合A ，B ，同时满足A ∪B ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{1}，A ≠{1}，B ≠{1}，就称有序集对(A，B)为“好集对”．这里有序集对(A，B)是指当A≠B时，(A，B)和(B，A)是不同的集对，那么“好集对” 一共有( )个( )A．5个 B．6个C．7个 D．8个解析：选B 因为A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝{1}，A≠{1}，B≠{1}，所以当A＝{1,2}时，B＝{1,3,4}；当A＝{1,3}时，B＝{1,2,4}；当A＝{1,4}时，B＝{1,2,3}；当A＝{1,2,3}时，B＝{1,4}；当A＝{1,2,4}时，B＝{1,3}；当A＝{1,3,4}时，B＝{1,2}．所以满足条件的“好集对”一共有6个，故选B.[通法在握]解集合运算问题4个技巧[演练冲关]1．(2019·浙江十校联盟适考)已知集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x∈Z|x2－6x＜0}，则(∁R A)∩B＝( )A．{1,4} B．{4,5}C．{1,4,5} D．{2,3}解析：选C 法一：由x2－6x＜0可得0＜x＜6，所以B＝{1,2,3,4,5}，又∁R A＝{x|x≤1或x≥4}，所以(∁R A)∩B＝{1,4,5}．法二：因为求的是(∁R A)∩B，故排除D，又1,5∈∁R A,1，5∈B，故选C.2．(2019·长沙模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为( )A．1 B．2C．3 D．1或2解析：选B 当a＝1时，x2－3x＋1＝0，无整数解，则A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，A∩B＝∅.因此实数a＝2.3．(2019·杭州高三四校联考)设集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－1)(x－4)＝0}，则A∪B的子集个数最多为( )A．2 B．4C．8 D．16解析：选D 由题意可知，要使A∪B的子集个数最多，则需A∪B中的元素个数最多，此时a≠1，a≠3，且a≠4，即集合A＝{3，a}，B＝{1,4}，A∪B＝{1,3,4，a}，故A∪B的子集最多有24＝16个．4．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x，x ＞0}，则A B为( )A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x＞2}解析：选D 因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，所以A B＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}，故选D.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·浙江考前热身联考)已知集合M＝{x|y＝2x－x2}，N＝{x|－1＜x＜1}，则M∪N＝( )A．[0,1) B．(－1,2)C．(－1,2] D．(－∞，0]∪(1，＋∞)解析：选C 法一：易知M＝{x|0≤x≤2}，又N＝{x|－1＜x＜1}，所以M∪N＝(－1,2]．故选C.法二：取x＝2，则2∈M，所以2∈M∪N，排除A、B；取x＝3，则3∉M,3∉N，所以3∉M ∪N，排除D，故选C.2．(2019·浙江三地联考)已知集合P＝{x|||x＜2}，Q＝{x|－1≤x≤3}，则P∩Q＝( )A．[－1,2) B．(－2,2)C．(－2,3] D．[－1,3]解析：选A 由|x|＜2，可得－2＜x＜2，所以P＝{x|－2＜x＜2}，所以P∩Q＝[－1,2)．3．(2018·嘉兴期末测试)已知集合P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞0}，则( )A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．∁R P⊆Q解析：选D 由已知可得∁R P＝[1，＋∞)，所以∁R P⊆Q.故选D.4．(2018·浙江吴越联盟第二次联考)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{2,4,6}，P＝M∩N，则P的子集有________个．解析：集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{2,4,6}，P ＝M ∩N ＝{2,4}，则P 的子集有∅，{2}，{4}，{2,4}，共4个.答案：45．已知集合A ＝{x |x ≥3}，B ＝{x |x ≥m }，且A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是________． 解析：因为集合A ＝{x |x ≥3}，B ＝{x |x ≥m }，且A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，如图所示，所以m ≥3. 答案：[3，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·杭州七校联考)已知集合A ＝{x |x 2＞1}，B ＝{x |(x 2－1)(x 2－4)＝0}，则集合A ∩B 中的元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B A ＝{x |x ＜－1或x ＞1}，B ＝{－2，－1,1,2}，A ∩B ＝{－2,2}，故选B. 2．(2019·浙江六校联考)已知集合U ＝{x |y ＝3x }，A ＝{x |y ＝log 9x }，B ＝{y |y ＝－2x }则A ∩(∁U B )＝( )A ．∅B ．RC ．{x |x ＞0}D ．{0}解析：选C 由题意得，U ＝R ，A ＝{x |x ＞0}，因为y ＝－2x＜0，所以B ＝{y |y ＜0}，所以∁U B ＝{x |x ≥0}，故A ∩(∁U B )＝{x |x ＞0}．故选C.3．(2019·永康模拟)设集合M ＝{x |x 2－2x －3≥0}，N ＝{x |－3＜x ＜3}，则( ) A ．M ⊆N B ．N ⊆M C ．M ∪N ＝RD ．M ∩N ＝∅解析：选C 由x 2－2x －3≥0，解得x ≥3或x ≤－1，所以M ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，所以M ∪N ＝R.4．(2019·宁波六校联考)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＜0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(0,1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选B ∵A ∩B 有4个子集，∴A ∩B 中有2个不同的元素，∴a ∈A ，∴a 2－3a ＜0，解得0＜a ＜3且a ≠1，即实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.5．(2018·镇海中学期中)若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪y ＝lg2－x x ，N ＝{x |x ＜1}，则M ∪N ＝( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(－∞，2)D ．(0，＋∞)解析：选C 集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪y ＝lg 2－x x ＝{x |0＜x ＜2}，N ＝{x |x ＜1}．M ∪N ＝{x |x ＜2}＝(－∞，2)．故选C.6．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x ＜1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________. 解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1，x ∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}7．(2018·嘉兴二模)已知集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－4x ≤0}，则A ∪B ＝________，A ∩(∁R B )＝________.解析：因为B ＝{x |x 2－4x ≤0}＝{x |0≤x ≤4}，所以A ∪B ＝{x |－1≤x ≤4}；因为∁R B ＝{x |x ＜0或x ＞4}，所以A ∩(∁R B )＝{x |－1≤x ＜0}．答案：{x |－1≤x ≤4} {x |－1≤x ＜0}8．设集合A ＝{(x ，y )|y ≥|x －2|，x ≥0}，B ＝{(x ，y )|y ≤－x ＋b }，A ∩B ≠∅. (1)b 的取值范围是________；(2)若(x ，y )∈A ∩B ，且x ＋2y 的最大值为9，则b 的值是________． 解析：由图可知，当y ＝－x 往右移动到阴影区域时，才满足条件，所以b ≥2；要使z ＝x ＋2y 取得最大值，则过点(0，b )，有0＋2b ＝9⇒b ＝92.答案：(1)[2，＋∞) (2)929．已知集合A ＝{x |4≤2x≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]10．已知集合A ＝{x |(x ＋2m )(x －m ＋4)＜0}，其中m ∈R ，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－xx ＋2＞0. (1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－x x ＋2＞0＝{x |－2＜x ＜1}．当A ＝∅时，m ＝43，不符合题意． 当A ≠∅时，m ≠43. ①当－2m ＜m －4，即m ＞43时，A ＝{x |－2m ＜x ＜m －4}， 又因为B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞43，－2m ≤－2，m －4≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞43，m ≥1，m ≥5，所以m ≥5.②当－2m ＞m －4，即m ＜43时，A ＝{x |m －4＜x ＜－2m }， 又因为B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜43，－2m ≥1，m －4≤－2，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜43，m ≤－12，m ≤2，所以m ≤－12. 综上所述，实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞)． (2)由(1)知，B ＝{x |－2＜x ＜1}．当A ＝∅时，m ＝43，符合题意． 当A ≠∅时，m ≠43. ①当－2m ＜m －4，即m ＞43时，A ＝{x |－2m ＜x ＜m －4}， 又因为A ∩B ＝∅，所以－2m ≥1或者m －4≤－2，即m ≤－12或者m ≤2，所以43＜m ≤2. ②当－2m ＞m －4，即m ＜43时，A ＝{x |m －4＜x ＜－2m }， 又因为A ∩B ＝∅，所以m －4≥1或者－2m ≤－2，即m ≥5或者m ≥1，所以1≤m ＜43. 综上所述，实数m 的取值范围为[1,2]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b 2＝1，c 2＝b时，b ＋c ＋d 等于( ) A ．1B ．－1C ．0D ．i解析：选B ∵S ＝{a ，b ，c ，d }，由集合中元素的互异性可知当a ＝1时，b ＝－1，c2＝－1，∴c ＝±i，由“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”知±i∈S ，∴c ＝i ，d ＝－i 或c ＝－i ，d ＝i ，∴b ＋c ＋d ＝(－1)＋0＝－1.2．对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≥－94，x ∈R ，B ＝{x |x ＜0，x ∈R}，则A ⊕B ＝( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－94∪(0，＋∞) 解析：选C 依题意得A －B ＝{x |x ≥0，x ∈R}，B －A ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－94，x ∈R ，故A ⊕B＝⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞)．故选C. 3．已知函数f (x )＝x －3－17－x 的定义域为集合A ，且B ＝{x ∈Z|2＜x ＜10}，C ＝{x ∈R|x ＜a 或x ＞a ＋1}．(1)求：A 和(∁R A )∩B ；(2)若A ∪C ＝R ，求实数a 的取值范围．解：(1)要使函数f (x )＝x －3－17－x ， 应满足x －3≥0，且7－x ＞0，解得3≤x ＜7，则A ＝{x |3≤x ＜7}，得到∁R A ＝{x |x ＜3或x ≥7}，而B ＝{x ∈Z|2＜x ＜10}＝{3,4,5,6,7,8,9}，所以(∁R A )∩B ＝{7,8,9}．(2)C ＝{x ∈R|x ＜a 或x ＞a ＋1}，要使A ∪C ＝R ，则有a ≥3，且a ＋1＜7，解得3≤a ＜6.故实数a 的取值范围为[3,6)．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
浙江专用2022高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算学案(含答案)
高考数学一轮复习学案：第1讲集合的概念与运算知识点最新考纲集合了解集合、元素的含义及其关系．理解集合的表示法．了解集合之间的包含、相等关系．理解全集、空集、子集的含义．会求简单集合间的并集、交集．理解补集的含义并会求补集.命题及其关系、充分条件与必要条件了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.第1讲集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R [注意] N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中元素相同A＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁U A＝{x|x∈U且x∉A }常用结论1．并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.2．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.3．补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．[思考辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．( )(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.( )(3)若A B，则A⊆B且A≠B.( )(4)N*N Z.( )(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×[诊断自测]1．(2020·高考浙江卷)已知集合P＝{x|1<x<4}，Q＝{x|2<x<3}，则P∩Q＝( ) A．{x|1<x≤2} B．{x|2<x<3}C．{x|3≤x<4} D．{x|1<x<4}解析：选B．因为P＝{x|1<x<4}，Q＝{x|2<x<3}，所以P∩Q＝{x|2<x<3}，故选B．2．已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是( ) A．1 B．3C．6 D．9解析：选C．当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.故集合B ＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B 中有6个元素．3．已知集合U ＝{－1，0，1}，A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }，则∁U A ＝________． 解析：因为A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }＝{0，1}，所以∁U A ＝{－1}． 答案：{－1}4．已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 解析：由题易得M ＝{a }．因为M ∩N ＝N ， 所以N ⊆M ， 所以N ＝∅或N ＝M ， 所以a ＝0或a ＝±1. 答案：0或1或－1集合的含义及表示(自主练透)1．设集合A ＝{x ∈Z ||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则B 中的元素有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个D ．无数个解析：选C ．依题意有A ＝{－2，－1，0，1，2}，代入y ＝x 2＋1得到B ＝{1，2，5}，故B 中有3个元素．2．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C ．因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则b a ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.3．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．92 B ．98 C ．0D ．0或98解析：选D ．若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等的实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.4．已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.答案：－32与集合中元素有关问题的求解策略集合间的基本关系(师生共研)(1)已知集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝n 2＋1，n ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝m ＋12，m ∈Z ，则两集合M ，N 的关系为( )A ．M ∩N ＝∅B ．M ＝NC ．M ⊆ND ．N ⊆M(2)已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)【解析】 (1)由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则x ＝k ＋1(k ∈Z )；当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1(k ∈Z )，则x ＝k ＋1＋12(k ∈Z )，所以N ⊆M ，故选D ．(2)集合A ＝{x |y ＝4－x 2}＝{x |－2≤x ≤2}，因为B ⊆A ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－2，a ＋1≤2，所以－2≤a ≤1.【答案】(1)D (2)C(1)判断两集合关系的3种常用方法(2)根据两集合的关系求参数的方法[提醒] 题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论．1．已知集合A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为( )A．7 B．8C．15 D．16解析：选A．方法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．方法二：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．2．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是( )A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}解析：选D．由A∩B＝A，可得A⊆B，又A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，所以a≥2.故选D．集合的基本运算(多维探究)角度一集合的运算(1)已知集合A＝{－2，0，1，2}，B＝{y|y＝－x－1}，则A∩B＝( )A．{1，2} B．{－2，0}C．{－2，0，1} D．{－2}(2)(2020·高考全国卷Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B ＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝( )A．{－2，3} B．{－2，2，3}C ．{－2，－1，0，3}D ．{－2，－1，0，2，3}【解析】 (1)因为y ＝－x －1≤0，所以B ＝{y |y ≤0}．因为A ＝{－2，0，1，2}，所以A ∩B ＝{－2，0}．故选B ．(2)方法一：由题意，得A ∪B ＝{－1，0，1，2}，所以∁U (A ∪B )＝{－2，3}，故选A ． 方法二：因为2∈B ，所以2∈A ∪B ，所以2∉∁U (A ∪B )，故排除B ，D ；又0∈A ，所以0∈A ∪B ，所以0∉∁U (A ∪B )，故排除C ，故选A ．【答案】 (1)B (2)A集合基本运算的求解策略角度二 利用集合的运算求参数(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4(2)集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4【解析】 (1)方法一：易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.故选B ．方法二：由题意得A ＝{x |－2≤x ≤2}．若a ＝－4，则B ＝{x |x ≤2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤2}，不满足题意，排除A ；若a ＝－2，则B ＝{x |x ≤1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，满足题意；若a ＝2，则B ＝{x |x ≤－1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}，不满足题意，排除C ；若a ＝4，则B ＝{x |x ≤－2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |x ＝－2}，不满足题意．故选B ．(2)根据集合并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故a ＝4. 【答案】 (1)B (2)D利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒] 在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．1．已知集合A＝{x|(x－3)(x＋1)>0}，B＝{x||x－1|>1}，则(∁R A)∩B＝( )A．[－1，0)∪(2，3]B．(2，3]C．(－∞，0)∪(2，＋∞)D．(－1，0)∪(2，3)解析：选A．通解：因为集合A＝{x|(x－3)(x＋1)＞0}＝{x|x＞3或x＜－1}，B＝{x||x －1|＞1}＝{x|x＞2或x＜0}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤3}，(∁R A)∩B＝{x|2＜x≤3或－1≤x ＜0}，故选A．优解：因为3∉A，且3∈B，所以3∈(∁R A)∩B，故排除D；因为－1∉A，且－1∈B，所以－1∈(∁R A)∩B，故排除B；因为－2∈A，且－2∈B，所以－2∉(∁R A)∩B，故排除C．故选A．2．若全集U＝R，集合A＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B＝{x||x|≤2}，则如图阴影部分所示的集合为( )A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}解析：选D．∁U A＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|－2≤x≤2}，记所求阴影部分所表示的集合为C，则C＝(∁U A)∩B＝{x|－1≤x≤2}．3．已知集合P＝{x|x2－2x－8>0}，Q＝{x|x≥a}．若P∪Q＝R，则实数a的取值范围是________；若P∩Q＝Q，则实数a的取值范围是________．解析：由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2，所以P＝{x|x＞4或x＜－2}．若P∪Q＝R，因为Q＝{x|x≥a}，所以a≤－2.若P∩Q＝Q，因为Q＝{x|x≥a}，所以a＞4.答案：a≤－2 a＞4核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查学生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．(1)定义集合的商集运算为AB ＝{x |x ＝m n，m ∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9(2)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，下列命题中正确的是( ) A ．数域必含有0，1两个数 B ．整数集是数域C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域D ．数域必为有限集【解析】 (1)由题意知，B ＝{0，1，2}，B A ＝{0，12，14，16，1，13}，则B A ∪B ＝{0，12，14，16，1，13，2}，共有7个元素，故选B ． (2)当a ＝b 时，a －b ＝0，a b ＝1∈P ，故可知A 正确．当a ＝1，b ＝2时，12∉Z 不满足条件，故可知B 不正确．当M 比Q 多一个元素i 时，则会出现1＋i ∉M ，所以它也不是一个数域，故可知C 不正确．根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D 不正确． 【答案】 (1)B (2)A解决集合的新定义问题的两个关键点(1)准确转化，即解决新定义问题时，首先要读懂题意，对题目进行恰当的转化，切忌与已有概念混淆；(2)方法选取，即对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法等方法，并结合集合的相关性质求解．1．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝{－1，0，12，2，3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31解析：选B ．因为x ∈A ，且1x ∈A ，所以－1∈A ，2∈A 且12∈A ，所以集合M 的非空子集中具有伙伴关系的集合有{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2，共3个．故选B ． 2．设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________．解析：由已知A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}， 又由新定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }， 结合数轴得A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞)． 答案：{0}∪[2，＋∞)。
浙江省高考数学一轮复习第一章集合常用逻辑用语第2节命题及其关系充分条件与必要条件课件
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分且必要件条
D.既不充分也不必要条件
解析 (1)∵|a－3b|＝|3a＋b|，∴(a－3b)2＝(3a＋b)2，∴a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b ＋b2，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0，∴a⊥b；反之也成立.故选C. (2)由不等式的性质，知|x＋y|≥|x－y|⇔(x＋y)2≥(x－y)2⇔xy≥0，则“xy≥0”是 “|x＋y|≥|x－y|”的充分且必要条件.故选C. 答案 (1)C (2)C
的取值范围. 解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}. ∵“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，∴P S. ∴[－2，10] [1－m，1＋m]. ∴11－＋mm≤>1－0 2，或11－ ＋mm<≥－102，， ∴m≥9，则m的取值范围是[9，＋∞).
规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需 注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间 的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解； (2)要注意区间端点值的检验.
【训练3】 ax2＋2x＋1＝0只有负实根的充要条件是________.
解析 当 a＝0 时，原方程为一元一次方程 2x＋1＝0，有一个负实根 x＝－12.
当a≠0时，原方程为一元二次方程，
又ax2＋2x＋1＝0只有负实根，
Δ＝4－4a≥0，
所以有－2a＜0，
即 0＜a≤1.
1a＞0，
综上，方程只有负根的充要条件是0≤a≤1.
【训练2】 (1)(2018·北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是
“a⊥b”的( )
A.充分不必要条件
浙江专用高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合及其运算练习含解析
浙江专用高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合及其运算练习含解析[基础达标]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6，8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.因为集合A 和集合B 有共同元素2，4，所以A ∩B ＝{2，4}，所以A ∩B 中元素的个数为2.2．(2019·温州十五校联合体联考)已知集合A ＝{}x |e x≤1，B ＝{}x |ln x ≤0，则A ∪B＝( )A ．(－∞，1]B ．(0，1]C ．[1，e]D ．(0，e]解析：选A.因为A ＝{}x |e x≤1＝{}x |x ≤0，B ＝{}x |ln x ≤0＝{}x |0＜x ≤1，所以A ∪B ＝(－∞，1]，故选A.3．(2019·宁波高考模拟)已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}，A ∩(∁U B )＝{1，3，5}，则B ＝( )A ．{2，4，6}B ．{1，3，5}C ．{0，2，4，6}D ．{x ∈Z |0≤x ≤6}解析：选C.因为全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A ∩(∁U B )＝{1，3，5}，所以B ＝{0，2，4，6}，故选C.4．(2017·高考天津卷)设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2}B ．{1，2，4}C ．{1，2，4，6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}解析：选B.因为A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，所以A ∪B ＝{1，2，4，6}，又C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，所以(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}．故选B.5．(2019·宜春中学、新余一中联考) 已知全集为R ，集合A ＝{x |x 2－5x －6<0}，B ＝{x |2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |x <－1}解析：选C.由x 2－5x －6<0， 解得－1<x <6，所以A ＝{x |－1<x <6}． 由2x<1，解得x <0，所以B ＝{x |x <0}． 又图中阴影部分表示的集合为(∁R B )∩A ， 因为∁R B ＝{x |x ≥0}，所以(∁R B )∩A ＝{x |0≤x <6}，故选C.6．已知集合A ＝{x |x 2－3x <0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，3)B ．(0，1)∪(1，3)C ．(0，1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选B.因为A ∩B 有4个子集， 所以A ∩B 中有2个不同的元素， 所以a ∈A ，所以a 2－3a <0， 解得0<a <3且a ≠1，即实数a 的取值范围是(0，1)∪(1，3)，故选B.7．设U ＝{x ∈N *|x ＜9}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．{1，2，3} B ．{4，5，6} C ．{6，7，8}D ．{4，5，6，7，8}解析：选B.因为U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}， 所以∁U A ＝{4，5，6，7，8}，所以(∁U A )∩B ＝{4，5，6，7，8}∩{3，4，5，6}＝{4，5，6}．故选B.8．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，ba，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{－1，2，3，5}B ．{－1，2，3}C ．{5，－1，2}D ．{2，3，5}解析：选A.由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.此时B ＝{2，3，－1}，所以A ∪B ＝{－1，2，3，5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去．9．已知集合P ＝{n |n ＝2k －1，k ∈N *，k ≤50}，Q ＝{2，3，5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，y ∈Q }中元素的个数为( )A ．147B ．140C ．130D ．117解析：选B.由题意得，y 的取值一共有3种情况，当y ＝2时，xy 是偶数，不与y ＝3，y ＝5有相同的元素，当y ＝3，x ＝5，15，25，…，95时，与y ＝5，x ＝3，9，15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B.10．(2019·温州质检)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D.因为x 2－3x ＋2>0，所以x >2或x <1. 所以A ＝{x |x >2或x <1}，因为B ＝{x |x ≤a }， 所以∁U B ＝{x |x >a }．因为∁U B ⊆A ，借助数轴可知a ≥2，故选D.11．集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________． 解析：根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故只能是a ＝4. 答案：412．(2019·宁波效实中学模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |log 2(x －2)<1}，则A ∪B ＝________；A ∩(∁U B )＝________．解析：log 2(x －2)<1⇒0<x －2<2⇒2<x <4⇒B ＝(2，4)，所以A ∪B ＝[－1，4)，A ∩(∁U B )＝[－1，2]．答案：[－1，4) [－1，2]13．设集合A ＝{n |n ＝3k －1，k ∈Z }，B ＝{x ||x －1|>3}，则B ＝________，A ∩(∁R B )＝________．解析：当k ＝－1时，n ＝－4；当k ＝0时，n ＝－1；当k ＝1时，n ＝2；当k ＝2时，n ＝5.由|x －1|>3，得x －1>3或x －1<－3，即x >4或x <－2，所以B ＝{x |x <－2或x >4}，∁R B ＝{x |－2≤x ≤4}，A ∩(∁R B )＝{－1，2}．答案：{x |x <－2或x >4} {－1，2}14．(2019·浙江省杭州二中高三年级模拟)设全集为R ，集合M ＝{x ∈R |x 2－4x ＋3>0}，集合N ＝{x ∈R |2x>4}，则M ∩N ＝________；∁R (M ∩N )＝________．解析：M ＝{x ∈R |x 2－4x ＋3>0}＝{x |x <1或x >3}，N ＝{x ∈R |2x>4}＝{x |x >2}，所以M ∩N ＝(3，＋∞)，所以∁R (M ∩N )＝(－∞，3]．答案：(3，＋∞) (－∞，3]15．已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＝________，n ＝________．解析：由x 2－4x <0得0<x <4，所以M ＝{x |0<x <4}．又因为N ＝{x |m <x <5}，M ∩N ＝{x |3<x <n }，所以m ＝3，n ＝4.答案：3 416．设全集U ＝{x ∈N *|x ≤9}，∁U (A ∪B )＝{1，3}，A ∩(∁U B )＝{2，4}，则B ＝________． 解析：因为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}， 由∁U (A ∪B )＝{1，3}，得A ∪B ＝{2，4，5，6，7，8，9}，由A ∩(∁U B )＝{2，4}知，{2，4}⊆A ，{2，4}⊆∁U B . 所以B ＝{5，6，7，8，9}． 答案：{5，6，7，8，9}17．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．解析：因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.综上，可得a 的取值范围是(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1][能力提升]1．(2019·金华东阳二中高三调研)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( )A ．A ∪B ＝R B ．A ∪(∁U B )＝RC ．(∁U A )∪B ＝RD ．A ∩(∁U B )＝A解析：选D.因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >4}， 所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D.2．集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( ) A ．{x |x ＜－1或x ≥1} B ．{x |1≤x ≤3或x ＜－1}C ．{x |x ≤－1或x ＞1}D ．{x |1＜x ≤3或x ≤－1}解析：选B.集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x ＞0}＝{x |x ＜1}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |(x ＋1)(x －3)≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，所以U ＝A ∪B ＝{x |x ≤3}，所以A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}；所以∁U (A ∩B )＝{x |1≤x ≤3或x ＜－1}． 故选B.3．(2019·浙江新高考联盟联考)已知集合A ＝{1，2，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________，∁A B ＝________．解析：由题意，当m ＝2时，A ＝{1，2，2}，B ＝{1，2}，满足B ⊆A ；当m ＝m ，即m ＝0或1时，若m ＝0，则A ＝{1，2，0}，B ＝{1，0}，满足B ⊆A .若m ＝1，则A ＝{1，3，1}，B ＝{1，1}，不满足集合中元素的互异性，所以m ＝1舍去．当m ＝2时，∁A B ＝{2}；当m＝0时，∁A B ＝{2}．答案：0或2 {2}或{2}4．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈P ，－x ，x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，规定f (P )＝{y |y＝g (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }．给出下列四个命题：①若P ∩M ＝∅，则f (P )∩f (M )＝∅； ②若P ∩M ≠∅，则f (P )∩f (M )≠∅； ③若P ∪M ＝R ，则f (P )∪f (M )＝R ； ④若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R . 其中命题不正确的有________．解析：①若P ＝{1}，M ＝{－1}，则f (P )＝{1}，f (M )＝{1}，则f (P )∩f (M )≠∅，故①错．②若P ＝{1，2}，M ＝{1}，则f (P )＝{1，2}，f (M )＝{－1}，则f (P )∩f (M )＝∅.故②错． ③若P ＝{非负实数}，M ＝{负实数}， 则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{正实数}， 则f (P )∪f (M )≠R ，故③错． ④若P ＝{非负实数}，M ＝{正实数}， 则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{负实数}， 则f (P )∪f (M )＝R ，故④错．答案：①②③④5．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，求A ∩B .解：不等式18<2x<8的解为－3<x <3，所以B ＝(－3，3)．若x ∈A ∩B ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2[x ]＝3－3<x <3，所以[x ]只可能取值－3，－2，－1，0，1，2.若[x ]≤－2，则x 2＝3＋2[x ]<0，没有实数解；若[x ]＝－1，则x 2＝1，得x ＝－1； 若[x ]＝0，则x 2＝3，没有符合条件的解； 若[x ]＝1，则x 2＝5，没有符合条件的解；若[x ]＝2，则x 2＝7，有一个符合条件的解，x ＝7. 因此，A ∩B ＝{}－1，7.6．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}， 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。
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一、集合与充要条件一、选择题1．【2018届深圳中学高三年级第一次阶段性测试】已知全集{}1,2,3,4,5,6U =, 集合{}1,3,5A =, {}1,2B =, 则()U A C B ⋂=A. ∅B. {}5C. {}3D. {}3,5 【答案】D【解析】∵{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2B =， ∴{}3,4,5,6U B =ð，∴(){}{}{}1,3,53,4,5,63,5U A B ⋂=⋂=ð.选D.2．【2018届山东省临沂市临沭第一中学高三10月测试】若集合{|A x y ==，且A B B ⋂=，集合B 的可能是（ ）A. {-1,0}B. {1,2}C. {|1}x x ≥-D. R 【答案】B故答案选B ．3．【2018届山西省河津三中高三一轮复习阶段性测评】设集合{}{1,0,1,2,|A B x y =-==，则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {}1B. {}0C. {}1,0-D. {}1,0,1- 【答案】B【解析】由题意得图中阴影部分表示的集合为()R A B ⋂ð.∵2{|{|10}{|1B x y x x x x ===-≥=≥或1}x ≤-，∴{|11}R B x x =-<<ð， ∴(){}0R A B ⋂=ð.选B.4．【2018届江苏省南宁市高三摸底联考】设集合，集合，则下列关系中正确的是（ ） A. B.C.D.【答案】D 【解析】由题意可得，，所以D 对.5．【2018届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上第一次联考】设集合,,则（ ）A. B. C. D.【答案】B6．【2018届湖北省黄冈市高三9月检测】设全集U R =，集合{}21xA x =，{|23}B x x =-≤，则()U C A B ⋂=（）A. [)1,0-B. (]0,5C. []1,0-D. []0,5 【答案】C【解析】{}{}210,{|23}{|15}xA x x xB x x x x ===-≤=-≤≤，{|0}U C A x x =≤，(){|10}U C A B x x ∴⋂=-≤≤，选C.7．【2018届河南省天一大联考高三上10月联考】已知函数，若，，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件． 8．【2017北京市东城区东直门中学高三上期中】已知集合，，则（ ）．A.B.C.D.【答案】C 【解析】因为，，∴．故选．9．【2017届山西省大同市第一中学高三11月月考】在等差数列{a n }中，a 1=2，公差为d ，则“d=4”是“a 1，a 2，a 3成等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】∵123,,a a a 成等比数列，∴2213a a a =，即()()22222d d +=⨯+，解得0d =。
∴“4d =”是“123,,a a a 成等比数列”的既不充分也不必要条件.选D.10．【2018届重庆市巴蜀中学高三9月月考】已知集合，，则（ ） A.B.C.D.【答案】C【解析】求解分式不等式可得：， 求解函数的定义域可得：，结合交集的定义可得：.本题选择C 选项.11．【2018届山东省济宁市微山县第二中学高三上第一次月考】“函数在区间内单调递减”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B12．【2018届湖北省枣阳市高级中学高三十月月考】已知函数()f x 的图形如图所示，设集合(){}20,{|4}A x f x B x x ==<，则A B ⋂= （ ）A. ()()2,10,2--⋃B. ()1,1-C. ()()2,11,2--⋃D. (),3-∞ 【答案】C【解析】由图可知：()()(),11,3,2,2A B =-∞-=-.所以()()2,11,2A B ⋂=--⋃. 故选C. 二、填空题13．【2017届江苏省泰兴中学高三12月检测】“1x >”是“__________条件.(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”选择一个填写) 【答案】充分不必要14．【2018届山东省济宁市微山县第二中学高三上第一次月考】集合A=,B=，若,则实数__________ .【答案】【解析】,,故答案为.15．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的条件．（横线上填“充分不必要”，“必要不充分条件”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个） 【答案】必要不充分 【解析】试题分析：,m αβα⊥⊂推不出m β⊥；,m m βααβ⊥⊂⇒⊥，所以“αβ⊥”是“m β⊥” 必要不充分条件.16．【2017届河南新乡一中高三12.18()()2:2110q x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是．因为p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，q ∴是p 的必要不充分条件三、解答题17．【2018届江苏省常熟中学高三10（1）当1a =时，求A B ⋂；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)[]2,3；(2)0a =或3a >. 【解析】试题分析：(1)结合题意可得[]0,3A =，[]2,4B =，则[]2,3A B ⋂=；（2）∵A B A ⋃=∴B A ⊆.1°当B =∅，即23a a >+，即3a >时，B A ⊆成立，符合题意； 2°当B ≠∅，即23a a ≤+，即3a ≤时，由B A ⊆，有02{ 33aa ≤+≤，得0a =；综上：0a =或3a >.18．【2018（1）若1a =，求A B ⋂；（2）若A B R ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】（1（2）13a <<【解析】试题分析：（1）当1a =时，解出绝对值不等式及对数不等式，可求得集合A ，B 从而可得A B ⋂；（2）由A B R ⋃=，可得到关于a 的不等式组，解之即可. 试题解析：（1）当1a =时，{|35}A x x =-<<，{|1B x x =<-或5}x >，∴{|31}A B x x ⋂=-<<-（2）∵{|44}A x a x a =-<<+，A B R ⋃=，∴41{45a a -<-+>，∴13a <<，∴实数a 的取值范围是()1,3.19．【2018届山西省45校高三第一次联考】设集合，.（Ⅰ）若且，求实数的值；（Ⅱ）若是的子集，且，求实数的取值范围. 【答案】(1) A B =，，,(2).试题解析：（Ⅰ），∵0a b +<，∴a b <-，∴()(){}{}|0 | B x x a x b x a x b =-+≤=≤≤-， ∵A B =，，.（Ⅱ）∵2a b +=，∴{}2B b x b =-≤≤-，∵B 是的真子集，∴1b -≥-且，解得.20．【2018届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知p ：（a 为常数）；q ：代数式（1）若1a =，求使“p q ∧”为真命题的实数x 的取值范围； （2）若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[1-，4)；（2）[]2,3.【解析】试题分析：（1）通过解不等式得到p ：33a x a -<<+，q ：16x -≤<，求两个不等式的交集即可；（1）1a =时，p 即为24x -<<若“p q ∧”为真命题，则24{16x x -<<-≤<，得：14x -≤<故1a =时，使“p q ∧”为真命题的实数x 的取值范围是[1-，4) （2）记集合{|33}A x a x a =-<<+，{|16}B x x =-≤< 若p 是q 成立的充分不必要条件，则A B ⊂，因此：31{36a a -≥-+≤， ∴23a ≤≤，故实数a 的取值范围是[]2,3.21．【2017届湖北省浠水县实验高级中学高三测试】已知()()0,:230m p x x >+-≤，:11q m x m -≤≤+.（Ⅰ）若q ⌝是p ⌝的必要条件，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若7m =，“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数x 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）02m <≤；（Ⅱ）62x -≤<-或38x <≤.【解析】试题分析：（I ）m ＞0，p ：（x+2）（x-3）≤0，q ：1-m≤x≤1+m，分别求出命题p 和q ，根据￢q 是￢p 的必要条件，可得q ⇒p ，从而求出m 的范围；（II ）m=7，代入命题q ，求出m 的范围，“p 或q ”为真命题，“p 且q”为假命题，可知p 与q 一真一假，分类讨论进行求解； 试题解析：（Ⅰ）()()0,:230m p x x >+-≤，:11q m x m -≤≤+，∴:23p x -≤≤，:11q m x m -≤≤+，∵q ⌝是p ⌝的必要条件，13,{ 12m q p m +≤⇒∴-≥-，解得2m ≤，当2m =时，:13q x -≤≤，满足题意；综上：02m <≤；22．【2018届广东省茂名市高三五大联盟学校9月联考】已知函数的定义域为，，函数的值域为.(1)当时，求；(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）存在实数，使得；（2）。
【解析】【试题分析】（1）先求出时的集合，再计算；（2）先求出集合，再依据建立方程求；解：(1)由，解得，即.当时，因为，所以，即.所以.(2)因为，若存在实数，使，则必有，解得. 故存在实数，使得.。