第8讲 二维随机变量
概率论-二维随机变量
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,
称上式为二维离散型随机变量( X , Y )的联合分布律, 或称
为随机变量 ( X , Y ) 的分布律.
(X,Y)的分布律也可用表格形式表示
Y X
y1
y2 …
yi
…
x1 x2 . . xi
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … . . . . . . . . . . . . . . . . . . pi1 pi2 … pij …
一、二维随机变量和联合分布函数 定义3.1: 设E是一个随机试验,它的样本空间是 {}. 设X = X (ω)与Y = Y(ω)是定义在Ω上的两个随机变量, 由 它们构成一个向量(X, Y), 叫做的二维随机向量或二维随 机变量。 定义3.2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x, y,
在几何上 z f ( x, y ) 表示空间的一张曲面。由性 质（2）知，介于该曲面和 xOy 平面之间空间区域的 体积为 1 ，由性质（4）知，概率 P{( X , Y ) D} 的值 等于以 G 为底，以曲面 z f ( x, y ) 为顶的曲顶柱体
的体积。
例1 设
0, x y 1, F ( x, y ) 1, x y 1,
对于任意的y, F ( , y ) lim F ( x, y ) 0
对于任意的x, F ( x, ) lim F ( x, y ) 0
y
x
F (, ) lim F ( x, y ) 0，
F (, ) lim F ( x, y ) 1.
P{ X 2, Y 0} C / C
二维随机变量
fY
(
y)
d dy
FY
(
y)
f (x, y) d x.
离散随机变量的独立性
设 X 与Y 为离散随机变量，如果对于它们的任意一对
可能值 xi 及 y j，事件 X xi 与 Y y j 是独立的，则称随机
变量 X 与Y 是独立的.
由概率乘法定理有：
[定理1] 若离散随机变量X 与Y 独立,则
2.二维随机变量的联合分布函数
定义
设 ( X ,Y )表示二维随机变量. 二元函数
F(x, y) P( X x,Y y )
称为二维随机变量(X ,Y )联合分布函数.
将 ( X ,Y ) 视为平面上的随机点，
y
F ( x, y) 是 ( X ,Y ) 落在以( x, y)
为顶点而位于该点左下方 X x,Y y
P( X
xi )
P
(X
xi ,Y
y j )
j1
P( X xi ,Y y j )
j 1
p(xi , y j ), i 1, 2, , m, .
j 1
于是X 的边缘分布表为：
X
x1
x2
xm
P( X xi ) pX (x1) pX (x2 ) pX (xm )
由 p(2,2) 1 9 pX (2) pY (2) 1 3 (a 1 9), p(3,2) 1 18 pX (3) pY (2) (b 1 18) 1 3,
解得 a 2 9, b 1 9. 容易验证 a 2 9,b 1 9满足其余5个等式.
概率论与数理统计第八讲
[(2
z)x
1
z 1
x2]
1
( z 2
4z
3)
20 2
2 z 3时 ，z 2 x 1;即 ：
1
1
fz (z)
z2 f X ( x) fY (z x)dx
(2 z x)dx
z2
1 z2 3z 9
2
2
第八讲 二维变量函数的分布与期望
因 为1 z 2的 区 域 有2块 ， 根 据fZ (z)
z
1 2
z2
z2
3z
3 2
综合以上几步，得：
f
Z
(z)
1 2
z2 z2
,
3z
3 2
,
0 z 1 1 z2
1 2
z
2 0,
3z
9 2
,
2 z 3 其它
第八讲 二维变量函数的分布与期望
例8-1-2（07数学一，11分）
已 知(
X ,Y
)的 概 率 密 度 为f
( x,
y)
2
x 0,
z 1
z1
2z z2
即：fZ (z) (2 z)2
0,
0 z 1 1 z2
其它
第八讲 二维变量函数的分布与期望
2. 平方和的分布
设二维连续随机变量 (X ,Y ) 的概率密度为 f (x, y), 寻求
Z X 2 Y 2 的分布。
考虑 Z 的分布函数：
FZ z PZ z PX 2 Y 2 z
第八讲 二维变量函数的分布与期望
FY1 ( y) P(Y1 y) P[min(X11, X12 , X13 ) y] 由 最 小 大 于 号 ：FY1 ( y) 1 P[min(X11, X12 , X13 ) y]
概率论课件第8讲
正态分布的边缘分布仍为正态分布
fX (x)
fY ( y)
1
e
(
x1 212
)2
,
x
2 1
1
e
(
y2
2
2 2
)2
,
y
2 2
在这一讲中，我们与一维情形相对照， 介绍了二维随机变量的联合分布、边缘分布.
请注意联合分布和边缘分布的关系:
由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
(
x,
y
)
cy(
2 0
x ), ,
0 x 1,0 y x 其它
求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。
解：(1)
f ( x,x)dy]dx
0
c
1
[
x2
(2
x)
/
2]dx
=5c/24=1,
0
y=x
1
x
c =24/5
f
(
x,
y)
cy(2
f (x, y)dy
1 r 2 x2
dy
r r 2 x2
2
2
r2 x2
r 2
故X的边缘密度函数为
r xr
f
X
(x)
2
r2 x2
r 2
0
r xr 其他
由对称性可得Y的边缘密度函数为
fY
(
x)
2
r2 y2
r 2
0
r yr 其他
(5) 若二维随机变量（X,Y）具有概率密度
(4) P{X 2 Y};
e(x y) , x 0, y 0
f (x, y)
二维随机变量的函数的分布
2 数值方法
根据函数的定义和已知分布，可以通过 求解方程来得到函数的分布。
当方程难以求解时，可以使用数值方法 如蒙特卡洛模拟来近似计算函数的分布。
常见的二维随机变量函数的分布
介绍一些常见的二维随机变量函数和它们的分布，以及它们在实际问题中的应用。
线性变换
对于服从正态分布的二维随机变量，经过线性 变换后，其分布也将趋于正态分布。
介绍二维随机变量函数的定义和应用场景，以及一些常见的例子。
定义
二维随机变量函数是将一个或多个随机变 量映射到另一个随机变量的数学函数。
例子
一个常见的二维随机变量函数的例子是计 算两个变量之间的相关性。
二维随机变量函数的分布求解方法
讲解如何通过求解方程或使用数值方法得到二维随机变量函数的分布。
1 方程求解
其他函数示例
还有许多其他类型的二维随机变量函数，如指 数函数、对数函数等。
函数转换法的应用与实例
通过实际应用案例，展示函数转换法在解决二维随机变量函数的分布问题中的应用。
1
应用实例
以金融市场中的投资组合优化问题为例，展示如何使用函数转换法来计算最优投 资组合的分布。
2
优势与局限
介绍函数转换法的优势和局限性，以及如何在实际问题中准确应用。
3
实用案例
分享其他实用案例，如信用评级、股票市场分析等，来展示函数转换法的广泛应 用。
二维随机变量的函数的分 布
随机变量及其函数的定义和性质介绍
二维随机变量的概念和例子
通过实际例子，介绍二维随机变量的定义和特点，以及它们在现实生活中的应用。
定义
二维随机变量是由两个随机变量构成，表示两 个相关事件的联合概率分布。
例子
二维随机变量表述
二维随机变量表述为两个相互独立的随机变量的组合。
二维随机变量描述的是两个随机事物之间的联合概率分布，反映了两个变量之间在可能取值上的相关依赖关系，这种相关性可以是正相关、负相关或无相关。
无相关的二维随机变量即两个独立的随机变量。
二维随机变量可以通过联合概率质量函数或联合概率密度函数来定义和描述。
二维随机变量的本质是描述两个随机变量之间的联合概率分布，以及反映两个变量之间的相关性与相互依存关系。
概率论二维随机变量及其分布课件
边缘分布函数. 联合分布函数的性质
完12
联合分布函数的性质
随机变量 ( X ,Y )的联合分布函数
F ( x, y) P{ X x,Y y}.
联合分布函数的性质：
(1) 0 F ( x, y) 1, 且
y
(x, y)
对任意固定的 y, F (, y) 0,
O
x
对任意固定的 x, F ( x,) 0,
F (,) 0, F (,) 1;
注：以上四个等式可从几何上进行说明.
（2）F ( x, y) 关于 x 和 y 均为单调非减函数，即
13
联合分布函数的性质
是定义在 S 上的两个随机变量，称( X ,Y )为定义在 S
上的二维随机变量或二维随机向量.
注： 一般地，称 n 个随机变量的整体 X ( X1, X2 , , Xn )为 n 维随机变量或随机向量.
完
3
二、二维随机变量的分布函数
二维随机变量 ( X ,Y )的性质不仅与 X 及 Y 有关，
而且还依赖于这两个随机变量的相互关系, 故需
F(x, y) P{X x,Y y} 就是随机点 ( X ,Y ) 落入区域
{(t, s) | t x, s y}
的概率(如图1).
由概率的加法法则，随机点( X ,Y ) 落入矩形域
{ x1 x x2 , y1 y y2 }
的概率
P{ x1 x x2 , y1 y y2 } F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 )
4
二维随机变量的分布函数
概率论二维随机变量
对于连续型随机变量，可以通过联合概率密度函数积分计算边缘分布的概率密 度函数。
边缘分布的应用场景
统计推断
在统计分析中，常常需要利用边缘分布来推断另 一个随机变量的统计性质，如均值、方差等。
概率模型简化
在复杂概率模型中，可以通过计算边缘分布来简 化模型，便于分析和计算。
数据处理
在处理多维数据时，可以利用边缘分布来提取单 维数据，进行进一步的分析和处理。
条件概率与条件期望
条件概率
在概率论中，条件概率是指在某个条件下的概率。对于二维随机变量，条件概率是指在给定某个变量的条件下， 另一个变量的概率分布。
条件期望
条件期望是指在给定某个变量的条件下，另一个变量的期望值。在二维随机变量中，条件期望是指在给定某个变 量的条件下，另一个变量的加权平均值。
05
例如温度和压力的联合分布。
02
二维随机变量的定义与性质
二维随机变量的定义
1 2
定义
二维随机变量是两个随机变量的组合，通常表示 为 (X, Y)，其中 X 和 Y 都是随机变量。
定义域
二维随机变量的定义域是 X 和 Y 的取值范围的 组合，通常表示为 D，D 是实数域 R 的子集。
3
概率空间
二维随机变量是概率空间的一个元素，概率空间 由样本空间、事件域和概率函数组成。
联合概率分布满足概率的基本性质，即非 负性、归一性和可加性。
03
二维随机变量的期望与方差
二维随机变量的期望
01
02
03
定义
二维随机变量的期望是所 有可能取值的概率加权和。
计算公式
E(X,Y)=∫−∞∞∫−∞∞(x,y )f(x,y)dxdy，其中f(x,y)是 联合概率密度函数。
《二维随机变量》课件
二维随机变量是概率论中的一个概念 ，它由两个随机变量组成，每个随机 变量都可以取不同的值，这些值之间 有一定的概率分布关系。
性质
总结词
二维随机变量具有独立性、对称性、可加性等性质。
详细描述
独立性是指两个随机变量之间没有相互影响，一个随机变量的取值不会影响到另一个随机变量的取值。对称性是 指两个随机变量的取值概率相同，即P(X=x, Y=y) = P(X=y, Y=x)。可加性是指两个随机变量的和仍然是一个随 机变量，其概率分布可以通过两个随机变量的概率分布计算得出。
CHAPTER 03
二维随机变量的函数
Z变换
定义
Z变换是数学中的一种变换方法，用于将离散信号或序列转换为复 平面上的函数。在二维随机变量的背景下，Z变换可以用于分析两
个随机变量之间的关系。
应用
通过Z变换，我们可以研究两个随机变量之间的依赖关系，例如相 关性、条件概率等。此外，Z变换还可以用于信号处理、控制系统
线性变换在统计学、概率论和数据分 析等领域有广泛应用，例如在回归分 析和主成分分析中常用到线性变换。
标准化变换
标准化变换的定义
标准化变换是将二维随机变 量的每个分量分别减去其均 值并除以其标准差，从而将 原始变量转换为标准正态分
布的随机变量。
标准化变换的性质
标准化变换将原始变量的均 值为0、标准差为1的标准正 态分布，保持了变量的方差 、协方差等统计特性不变。
03
当相关系数为0时，协方差也 为0，表示两个随机变量之间 没有线性相关性。
CHAPTER 06
二维随机变量的函数变换
线性变换
01
线性变换的定义
线性变换是二维随机变量的变换方式 之一，它通过一个线性方程组将原始 变量转换为新的变量。
二维随机变量(PPT课件)教学文稿
P { X x 2 , Y y 2 } P { X x 2 , Y y 1 }
P { X x 1 , Y y 2 } P { X x 1 , Y y 1 } 0, 故 F ( x 2 , y 2 ) F ( x 2 , y 1 ) F ( x 1 , y 1 ) F ( x 1 , y 2 ) 0 .
p 1 j p 2 j p ij
例1 设随机X变 在1量 ,2,3,4四个整数中等
地取一个值, 另一个随Y机 在1~变 X中 量等可能 地取一整数值. 试求 (X,Y)的分布. 律 解 用乘法公式容(X 易,Y求 )的得 分布. 易律知 {Xi,Yj}的取值情:i况 1,2 是 ,3,4, j取不大 于i的正整数 . 且
P {X i,Yj} P { Y jX i} P { X i} 1 1 , i4
i1,2,3,4, j i.
于是(X,Y)的分布律为
X Y
1
1
1
4
2
0
3
0
4
0
2 34
1
11
8
12 16
1
11
8
12 16
11
0 12 16
1 0 0 16
三、二维连续型随机变量
1.定义
对于二维(X 随 ,Y)机 的变 分量 布 F(x 函 ,y)数 , 如果存在非负 f(x可 ,y)使 积对 函于 数x任 ,y有 意
第一节 二维随机变量
一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、小结
一、二维随机变量及其分布函数
1.定义
8二维随机变量
概率论与数理统计北京大学第2版数学系信息与计算科学教研室GCG@第三章二维随机变量第一节二维随机变量及其分布第二节随机变量独立性第一节二维随机变量及其分布在随机现象中，试验结果有时要用几个随机变量来描述。
如在打靶时,命中点的位置是由一对r .v (两个坐标)来确定的.研究钢成分，需要同时指出它的含碳量、含硫量、含磷量等，要研究它们之间的联系，就应当同时考虑若干个随机变量（即多维随机变量）及其取值规律---多维分布。
本章着重介绍二维情况，至于多维情况可由二维类似推得。
一般地，设E是一个随机试验，它的样本空间是S，再设X和Y是定义在S上两个随机变量。
由它们构成的一个二维向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。
二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关, 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。
因此，逐个地研究X和Y的性质是不够的，还需将(X,Y)作为一个整体来进行研究。
若二维随机变量(X ,Y )所有可能取的值是有限对或无限可列对，则称(X ,Y )是二维离散型随机变量。
设二维离散型随机变量(X ,Y )所有可能取的值为),2,1,(),( =j i y x j i ),2,1,(,},{ ====j i p y Y x X P ij j i 记则称上述一系列等式为二维离散型随机变量(X ,Y )的概率分布律，或随机变量X 和Y 的联合概率分布律。
显然有：,0≥ij p .1=∑∑ijij p 第一节二维离散型随机变量（一）联合概率分布随机变量X 和Y 的联合概率分布律也可用表格表示j y y y 21YXj p p p x 112111jp p p x 222212ij i i i p p p x 21例1：袋中装有5只白球，2只红球，现从袋中随机抽取1球，观察颜色后放回，再从袋中随机抽取1球，如果定义下列随机变量：；第一次取得红球第一次取得白球⎩⎨⎧=01X ；第二次取得红球第二次取得白球⎩⎨⎧=01Y 试写出(X ,Y )的联合分布律。
二维随机变量的置信区间
二维随机变量的置信区间什么是二维随机变量的置信区间以及如何计算它？在统计学中，我们常常需要研究两个随机变量之间的关系。
这就引出了二维随机变量的概念，也就是由两个随机变量共同组成的向量。
在实际应用中，我们通常关心这些二维随机变量的参数估计以及参数的置信区间。
那么，什么是置信区间呢？简单来说，置信区间是用于估计参数范围的一种统计手段，即我们基于样本数据给出的一个区间，该区间内有一定的概率包含着真实的参数值。
置信区间的计算可以辅助我们对参数进行推断和决策，从而使我们对参数的估计更加准确可靠。
对于一维随机变量，计算置信区间相对简单。
我们可以利用样本均值、标准差以及样本的大小等信息来估计总体参数，并计算出相应的置信区间。
但当我们面对二维随机变量时，情况就变得复杂了。
因为此时我们需要考虑两个随机变量之间的相关性。
为了计算二维随机变量的置信区间，我们首先需要从一个总体中抽取一个样本。
假设我们有两个二维随机变量X和Y，我们希望计算X和Y的均值μX和μY的置信区间。
为了简化问题，我们假设X和Y之间的相关性为零，即它们是相互独立的。
步骤一：计算样本的均值首先，我们需要计算出样本的均值X̄和Ȳ。
分别为X和Y的n个样本的平均值之和再除以样本的大小n。
步骤二：计算样本的方差和协方差我们需要计算出X和Y的样本方差S^2X和S^2Y，以及X和Y的样本协方差SXY。
它们分别是对样本数据的变化程度和两个随机变量之间关系的度量。
步骤三：计算样本均值的标准差我们需要计算出样本均值X̄和Ȳ的标准差σX̄和σȲ。
它们可以通过样本方差和样本大小n来计算。
步骤四：计算置信区间的临界点在计算置信区间时，我们需要考虑两个随机变量之间的相关性。
我们可以使用t分布作为样本均值的分布来计算置信区间，其中t值与样本大小和所需置信水平有关。
步骤五：计算置信区间最后，我们可以根据样本的大小、样本均值的标准差、临界点和所需的置信水平来计算置信区间。
置信区间的范围表示了我们对总体均值的估计的不确定性。
第八讲(二维随机变量的分布)
第八讲
二维随机变量
2
一、二维随机变量及其分布
定义 1 设 E 是一个随机试验，样本空间为 ，设 X X ( ) 和 Y Y ( ) 是 定 义 在 上 的 随 机 变 量，则称向量 X ( ), Y ( ) 为 上的二维随机 变量或二维随机向量， 简记为 X ,Y 。 (如图 3-1)
3
2
P{X=0, Y=3} 1 2 1 8
X 3 1 1 P{X=1, Y=1} =3/8 0 1 2 2 1 2 3 1 1 P{X=2, Y=1} =3/8 2 2 2 2 3 3 P{X=3, Y=0} 1 2 1 8.
X
x
x
3.
， F ( x , y ) F ( x 0, y ) F ( x , y ) F ( x , y 0) 即 F ( x , y ) 关于 x 右连续，关于 y 也右连续。
例1 设
0, x y 1 F ( x, y ) 1, x y 1 讨论F (x, y)能否成为二维随机变量的分布 函数？ y (0,2)• •(2,2) 解
F f ( x, y) xy P{ x X x x , y Y y y } f ( x , y )xy
2
f (x,y) 反映了( X ,Y ) 在(x,y) 附近单位面积的 区域内取值的概率
4、P{ X = a ,Y = b} = 0 P{ X = a ,- < Y < + } = 0 P{- < X < + , Y= a } = 0 若G 是平面上的区域，则
反之，已知分布函数也可以求出其联合分布律
二维随机变量
y
例 设(X,Y)的联合概率密度是
cy( 2 x ), 0 x 1,0 y x f ( x, y ) 0 , 其它
求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。
解：(1) f ( x, y )dxdy
由
[ cy (2 x )dy ]dx
1 1
( 2) x 0或y 0时，F ( x, y ) 0 x 1，y 1时，F ( x, y ) 1
例 设(X,Y)的联合概率密度是 cxy, 0 x 1, 0 y 1 f ( x, y ) 其它 0 , 求 (1) c的值; (2) 联合分布函数 解:
先利用f ( x, y )的性质确定常数c 21 1 x 2 cx ydy 1得c 4 1 21 21 2 2 1 x 1时，f X ( x) 2 x ydy x (1 x 4 ) x 4 8 其它，f X ( x) 0 0 y 1时，f Y ( y ) 其它，f Y ( y ) 0
y y
21 2 7 5/ 2 x ydx y 4 2
前面，我们与一维情形相对照，介绍了 二维随机变量的联合分布、边缘分布。 请注意联合分布和边缘分布的关系: 由联合分布可以确定边缘分布;
但由边缘分布一般不能确定联合分布。
那么，在什么情况下，由边缘分布可以 唯一确定联合分布呢？
2.9.1 随机变量的独立性
y
y=x
1
fX ( x)
x
x
0
24 y( 2 x )dy 5
12 2 x (2 x ), 5
0 x 1
注意取值范围
0
例 设(X,Y)的联合概率密度是 cy ( 2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y ) 0 , 其它
8.二维随机变量
y
y=x
1
0
x
注意取值范围
例2 设(X,Y)的概率密度是
求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 注意积分限 .
解: (2)
y y=x
1
0
x
注意取值范围
即
例5 设(X,Y)在区域G内服从均匀分布，其中G 是由y=x, 所围成的区域，求边缘概率 密度.
例6 若（ X,Y）～N( 求 )
在这一讲中，我们与一维情形相对照， 介绍了二维随机变量的联合分布、边缘分布. 请注意联合分布和边缘分布的关系: 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布. 那么要问，在什么情况下，由边缘分布 可以唯一确定联合分布呢？ 我们下面就来回答这个问题.
到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其 分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述 还不够，而需要用几个随机变量来描述.
在打靶时,命中点的位置是由 一对r.v(两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三 个坐标）来确定的等等.
一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
定理2 若X1, …,Xn相互独立,而 Y1=f (X1, …,Xm), Y2=g (Xm+1, …,Xn) 则Y1与Y2独立 . 若(X1, …,Xn) 与(Y1, …,Yn)相互独立,而 Y1=f (X1, …,Xm), Y2=g (Y1, …,Yn) 则Y1与Y2独立 . 特别地，若X与Y相互独立，则 Y1=g1(X)，Y2=g2 (Y), 则Y1与Y2独立 .
(X,Y) 的联合联合分布函数为
【例1】一个口袋里装有三个球，分别标有标有号码 1，1，2，从中先后任取两个球，第一次取出球的标 号X，第二次取出球的标号Y，求 ( X, Y )的联合分布 律.
40第八次课(二维随机变量)
练习（X, Y）的联合分布函数为
F
(
x,
y)
(1
e2
x
)(1
e3
y
),
0,
x 0, y 0 其他
1 e2 x x 0
FX (x)
0
其他
1 e3 y y 0
FY ( y)
0
其他
联合分布函数的性质
概率值与区域 D 的形状、位置等均无关,
只与 D的面积有关。
2. 设X ~U( a , b )， ( c , d ) ( a , b ) 则
P{c
X
d}
d c ba
(c,d )的长度 (a , b)的长度
借助于几何度量指标(长度, 面积, 体积等) 计算概率, 可建立 “几何概型” .
F(x2, y2) F(x1, y2) F(x2, y1) F(x1, y1) 0
y y2
y1
0
x1
x2
x
二.联合分布律
定义 设二维随机变量( X , Y )至多取可列对
数值：( xi , y j ), i, j 1,2,....
P{ X xi ,Y y j } pij i, j 1,2, .... (*)
f ( x, y) dx
求Y 的边缘概率密度, 需固定 y 对 x 求积分.
实质上是求含参变量的积分.
f
(
x,
y)
2
1 x2
y
,
1 x , 1 y x; x
第八单元 二维随机变量
经济数学基础 第10章 随机变量与数字特征第八单元 二维随机变量一、学习目标通过本节课的学习，知道全概率公式是加法公式和乘法公式的综合，是概率论中的重要公式，要求会用它计算有关的概率问题.二、内容讲解1.离散型随机变量的联合分布 离散型的二维随机变量(X ,Y )也可以用矩阵]),(jiijy Y x X P p ===，称矩阵为二维离散型随机变量的联合概率分布.2.二维随机变量的联合分布函数F (x ,y )=P (X ≤x ，Y ≤y )，称F (x ,y )为二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数.3.二维连续型随机变量联合密度函数 二维随机变量(X ，Y )，若⎰⎰∞-∞-=xyxy y x y x F d d ),(),(ϕ，称),(y x ϕ为二维随机变量(X ,Y )的联合分布密度函数，或简称联合密度．联合分布密度函数),(y x ϕ为应有性质： (1)),(y x ϕ≥0； (2)⎰⎰+∞∞-+∞∞-yx y x d d ),(ϕ＝14.随机变量的独立性随机变量的独立性是概率统计中的重要概念．在研究随机现象时经常遇到这经济数学基础 第10章 随机变量与数字特征样的随机随机变量：其中一些随机变量的取值对其余随机变量没有什么影响． 若二维随机变量(X ,Y )的联合分布密度函数为)()(),(21y x y x ϕϕϕ=，则有),(y Y x X P ≤≤＝⎰⎰∞-∞-xyx y y x d d )()(21ϕϕ＝⎰⎰∞-∞-yxyy x x d )(d )(21ϕϕ＝)()(y Y P x X P ≤≤称随机变量X 与Y 相互独立的.问题思考：二维随机变量的边缘分布与一维随机变量的分布是一回事吗？ 答案不完全是一回事．边缘分布看作某个分量的分布时就是一维随机变量的分布，它具有一维分布的性质，但从整体来看，边缘分布在三维空间考虑，而一维分布只在平面上考虑．例如F (x )是X 的分布函数，它表示X 的值落在区间(－∞,x ]上的概率．若X 是连续型随机变量，F (x )表示面积．如果X 是二维随机变量的一个分量，则它的分布函数F X (x )表示(X ,Y )的取值落在区域(－∞<X ≤x ，－∞<Y <+∞)上的概率．当(X ,Y )是连续型时，F X (x )表示某个面积．三、例题讲解例1 设在袋中有8只球，4红，1白，3黑，从袋中不放回地随机摸4个球，用X 表示其中的红球数，Y 表示其中的白球数.(1)写出(X ,Y )的联合概率分布． (2)求红球比白球多2的概率.解 (1) 显然X 可能取值是0，1，2，3，4．Y 的可能取值是0，1.(X ，Y )是二维离散型随机变量．于是其联合概率分布为经济数学基础 第10章 随机变量与数字特征具体计算如下；P (X =0，Y =0)=0P (X =1，Y =0)=704!8)!4(42483314==C C C P (X =2，Y =0)=7018!4567812231234482324=⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯=C C CP (X =3，Y =0)=7012!4567834481334=⨯⨯⨯⨯=C C C P (X =4，Y =0)= 701!4567814844=⨯⨯⨯=C CP (X =0，Y =1)=701，P (X =1，Y =1)=7012，P (X =2，Y =1)=7018，P (X =3，Y =1)=704，P (X =4，Y =1)=0(2) 所求为P (X －Y ＝2).P (X －Y ＝2)＝P (X =2,Y =0)+P (X =3，Y =1)＝351170227047018==+例2设二维随机变量(X ,Y )的联合密度函数为⎩⎨⎧≥≥=--其它0,06e ),(23y x y x yx ϕG经济数学基础第10章随机变量与数字特征求概率P((X,Y)∈G)，其中G是平面区域(右图)．解：P((X,Y)∈G)＝⎰⎰∈Gyxyxyx),(dd),(ϕ＝⎰⎰-+-1123d6ed yx x yx＝⎰⎰----x yx yx1213de)3(de＝⎰----1123d][ee3xxyx＝⎰----132d]e-[e3xxx＝132]e313[-e-xx---+=32e2e31--+-四、课堂练习练习1 已知二维随机变量(X，Y)的联合概率分布为求：(1) 概率值P(X<2,Y≤2)；(2) 随机变量X与Y的边缘概率分布；(3) 概率值P(Y<2)，P(X≥1)；(4)问随机变量X与Y独立吗？分析：随机变量X只能取值1，2，而随机变量Y只能取值1，2，3．X<2与Y≤2，都包括哪些X和Y的取值．(1)P(X<2,Y≤2)=P(－∞<X<2，－∞<Y≤2)＝P({－∞<X<1}⋃{X＝1}⋃{1<X<2},{－∞<Y<1}⋃{Y=1}⋃{!<Y<2}⋃{Y=2})=P({X=1},{Y=1}⋃{Y=2})经济数学基础 第10章 随机变量与数字特征已知联合概率分布，求概率值，要弄清X ，Y 的取值哪些在所指定的范围内，这些联合概率分布的概率值相加．求X 的边缘概率分布，是对Y 的取值求和．判断独立性用定理的充分必要条件．练习2已知二维随机变量(X ,Y )的联合分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他020,10)2(41),(y x y x y x f求：(1)概率值P (－1<X ≤103，Y ≥1) (2)概率值P (0.5≤Y <1.8)；(3)随机变量X 和Y 的边缘分布密度； (4)试问随机变量X 与Y 独立吗？分析：这是二维连续型随机变量求概率值的问题，根据定义式，就是求二重积分.所有积分都是在使联合分布密度非0的区域上积分，而求X 的边缘分布密度是联合分布密度对y 的积分，Y 的边缘分布密度是对x 的积分．判断独立性用定理．要弄清联合分布密度在哪个区域，将概率值的式子化为二重积分．五、课后作业经济数学基础 第10章 随机变量与数字特征1. 设二维离散型随机变量(X ,Y )的联合概率分布如下：求X 和Y 的边缘概率分布，并判断X 与Y 是否独立．2.如二维随机变量(X ,Y )在矩形区域D ={(x ,y )∣a <x <b ,c <y <d }内服从均匀分布，试求其联合分布密度和各自的边缘分布密度，并问X 与Y 相互独立吗？3. 设二维随机变量(X ,Y )的联合分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他20,20)sin(),(ππy x y x A y x p求(1) 系数A ；(2)X ,Y 的边缘分布密度．4.已知随机变量X 与Y 相互独立，并且它们的密度函数分别为)(e21)(22+∞<<-∞=-x x x X πϕ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0ye )(22y y y y Y ϕ求(X ,Y )的联合分布密度和概率值P (－2<X <2,5，－3<Y ≤5)．经济数学基础 第10章 随机变量与数字特征5. 一台机器制造直径为X 的圆轴，另一台机器制造内径为Y 的轴衬．设(X ,Y )的联合分布密度为⎩⎨⎧<<<<=其他53.051.0,51.049.05002),(y x y x f轴衬的内径与轴的直径之差大于0.004且小于0.036时两者可以适衬．求任一轴与任一轴衬适衬的概率．1.X 与Y 不独立．经济数学基础第10章随机变量与数字特征5. 0.96．。
二维随机变量的方差
二维随机变量的方差二维随机变量的方差方差是统计学中常用的一个概念，用于衡量随机变量的离散程度。
对于一维随机变量，我们可以通过计算其方差来了解其取值的分散程度。
而对于二维随机变量，我们同样可以计算其方差来描述其取值的离散程度。
一、二维随机变量的定义二维随机变量是指由两个随机变量构成的组合。
设X和Y是两个随机变量，它们的取值分别为x和y，那么(X,Y)就构成了一个二维随机变量。
二、二维随机变量的方差定义对于二维随机变量(X,Y)，其方差的定义如下：Var(X,Y) = E[(X-E(X))^2(Y-E(Y))^2]其中，E表示期望值，E(X)和E(Y)分别表示X和Y的期望值。
三、二维随机变量方差的计算方法计算二维随机变量的方差可以通过以下步骤进行：1. 计算X和Y的期望值E(X)和E(Y)；2. 计算(X-E(X))^2和(Y-E(Y))^2的乘积；3. 将乘积的期望值相加，得到二维随机变量的方差。
四、二维随机变量方差的性质二维随机变量的方差具有以下性质：1. Var(X,Y) = Var(Y,X)，即方差的计算与变量的顺序无关；2. Var(aX,bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y)，即常数倍的变量的方差等于常数的平方乘以变量的方差之和；3. 如果X和Y相互独立，则Var(X,Y) = Var(X) + Var(Y)，即独立变量的方差等于各自方差之和。
五、二维随机变量方差的应用二维随机变量的方差在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在金融领域中，我们可以利用二维随机变量的方差来衡量不同投资组合的风险程度。
方差越大，表示投资组合的风险越高。
另外，在工程领域中，二维随机变量的方差可以用于评估产品的质量稳定性。
方差越小，表示产品的质量越稳定。
六、总结二维随机变量的方差是衡量其取值离散程度的重要指标。
通过计算方差，我们可以了解二维随机变量的分布特征，进而应用于实际问题中的风险评估、质量控制等方面。
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例3
设随机变量X在1，2，3，4四个数中等可能地
取一个值,另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一个整数 值，试求随机变量(X, Y) 的分布率. 解 由乘法公式容易求得(X, Y)的分布律.
P ( X i , Y j ) P ( X i ) P (Y j | X i )
1 1 , 4 i 0, j i; j i.
6 5 15 2 4 4 P{ X 0, Y 1} P{ X 0}P{Y 1 | X 0} 6 5 15 4 2 4 P{ X 1, Y 0} P{ X 1}P{Y 0 | X 1} 6 5 15 4 3 2 P{ X 1, Y 1} P{ X 1}P{Y 1 | X 1} 6 5 5
讨论随机变量(X, Y)取值的概率情况. 解 （1）无放回的情况 （2）有放回的情况 Y X 0 1 Y X 0 1
0
1
1/15
4/15
4/15
2/5
0
1
1/9
2/9
2/9
4/9
4 4 4 P{ X 1, Y 1} P{ X 1}P{Y 1} 6 6 9
三、二维离散型随机变量的概率分布
三、二维离散型随机变量的概率分布
1. 二维离散型随机变量的概率分布的概念 2. 二维离散型随机变量的概率分布的性质 3. 二维离散型随机变量的分布函数计算公式
F ( x , y ) P{ X x , Y Y }
xi x yi y
p
ij
其中和式是对一切满足 xi x , y j y 的i、j求和.
F ( , y ) lim F ( x , y ) 0
F ( , ) lim F ( x , y ) 0
F ( , ) lim F ( x , y ) 1.
x y )
y
x
x y
y
y
x
x
y
y
x
x
(5) 对任意的 x1 x2 , y1 y2 , 只要( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),
故F(x, y)不能作为某二维 随机变量的分布函数.
例2 在一盒中装有大小相同的2只黑球，4只白球， 现从盒中连续取球两次，每次任取一只.设随机变量
0, 表示第一次取黑球, 0, 表示第二次取黑球, X Y 1, 表示第一次取白球. 1, 表示第二次取白球.
讨论随机变量(X, Y)取值的概率情况. 解 （1）无放回的情况 2 1 1 P{ X 0, Y 0} P{ X 0}P{Y 0 | X 0}
例1
设
0, x y 2, F ( x, y) 1, x y 2,
讨论F (x, y)能否成为二维随 机变量的分布函数？ 解
y (0,2) •
• (2,2)
(0,0)
•
(2,0) •
x
F (2, 2) F (0, 2) F (2,0) F (0,0) 1 1 1 0 1 0
第8讲 多维随机变量概念及其分布
一、二维随机变量的概念 二、二维随机变量的分布函数 三、二维离散型随机变量的概率分布 四、二维连续型随机变量的概率分布
五、n维随机变量
六、边缘分布
一、二维随机变量的概念
在实际问题中,试验结果有时需要同时用两个或两个
以上的随机变量来描述. 例如, 用温度和风力来描述天气情况.通过对含碳、
例2 在一盒中装有大小相同的2只黑球，4只白球， 现从盒中连续取球两次，每次任取一只.设随机变量
0, 表示第一次取黑球, 0, 表示第二次取黑球, X Y 1, 表示第一次取白球. 1, 表示第二次取白球.
讨论随机变量(X, Y)取值的概率情况. 解 （1）无放回的情况 （2）有放回的情况 Y X 0 1 Y X 0 1/9 1
y
( x, y)
表示 (X , Y ) 的取值落入图所
示左下角区域的概率.
x
P [( X x ) (Y y )]=F ( x , y )
F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) P ( x1 X x2 , y1 Y y2 )
y ( x1 , y ) ( x2 , y )
o
x
固定 y , 对任意的 x1< x2 , F (x1, y) F (x2, y) 固定 x , 对任意的 y1< y2 , F (x, y1) F (x, y2)
[( X x1 ) (Y y )] [( X x2 ) (Y y )] P[( X x1 ) (Y y )] P[( X x2 ) (Y y )]
则 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 ) 0.
y
( x1 , y2 )
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
( x2 , y1 )
o
x
F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) P ( x1 X x2 , y1 Y y2 )
F(x, y)=P(Xx，Yy)
为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。
F ( x, y ) P [ ( X x) (Y y)] P ( X x , Y y )
F ( x) P( X x)
二、二维随机变量的分布函数
1. 分布函数的概念 2. 分布函数的几何意义 如果用平面上的点(x, y) 表示二维随机变量(X , Y ) 的 一组可能的取值，则 F (x, y)
0
1
1/15
4/15
4/15
2/5
0
1
2 2 1 P{ X 0, Y 0} P{ X 0}P{Y 0} 6 6 9
例2 在一盒中装有大小相同的2只黑球，4只白球， 现从盒中连续取球两次，每次任取一只.设随机变量
0, 表示第一次取黑球, 0, 表示第二次取黑球, X Y 1, 表示第一次取白球. 1, 表示第二次取白球.
硫、磷量的测定来研究钢
材的成分. 用身高、胸围、 腰围、臀围、体重等研究某 一时期儿童身体的发育状况. 要研究这些随机变量之间的
联系, 就需考虑多维随机变
量及其取值规律—多维分布.
一、二维随机变量的概念
定义1 设E是一个随机试验,它的样本空间是S={e}.
设X(e) 与Y(e) 是定义在本空间S上的两个随机变量,则称
1. 二维离散型随机变量的概率分布的概念 定义3 若二维随机变量(X, Y)的所有可能取值是有限 对或可列无限多对,则称(X, Y)为二维离散型随机变量. 定义4 设(X,Y)的一切可能值为(xi, yj)，（i=1, 2,…，
j=1，2，… ）， 则称 P{X=xi，Y=yj }=pij，（ i, j=1, 2,…）
0, 表示第一次取黑球, 0, 表示第二次取黑球, X Y 1, 表示第一次取白球. 1, 表示第二次取白球.
讨论随机变量(X, Y)取值的概率情况. 解 （1）无放回的情况 （2）有放回的情况 Y X 0 1 Y X 0 1/9 2/9 1 2/9
0
1
1/15
4/15
4/15
2/5
0
1
4 2 2 P{ X 1, Y 0} P{ X 1}P{Y 0} 6 6 9
例2 在一盒中装有大小相同的2只黑球，4只白球， 现从盒中连续取球两次，每次任取一只.设随机变量
Байду номын сангаас 0, 表示第一次取黑球, 0, 表示第二次取黑球, X Y 1, 表示第一次取白球. 1, 表示第二次取白球.
二、二维随机变量的分布函数
1. 分布函数的概念 2. 分布函数的几何意义 3. 分布函数的性质 (1) 0 F ( x , y ) 1. (2) F(x,y)是变量x, y的不减函数. (3) 函数F(x, y)关于变量x右连续, 关于变量y右连 续. F ( x, ) lim F ( x, y ) 0 (4)
的联合分布率.
为二维随机变量(X,Y)的概率分布或称为二维随机变量(X,Y)
(X,Y)的分布律也可用表格形式表示
Y
X x1 x2 … xi …
y1
p11 p21 … pi1 …
y2 …
p12 p22 … pi2 … … … … … …
yi
…
p1j … p2j … … … pij … … …
二维离散型随机变量(X,Y)的分布表.
y
F ( x 2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 )
( x1 , y2 )
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
( x2 , y1 )
o
x
F ( x, y ) P ( X x,Y y )
二、二维随机变量的分布函数
1. 分布函数的概念 2. 分布函数的几何意义 3. 分布函数的性质 (1) 0 F ( x , y ) 1. (2) F(x, y)是变量x, y的不减函数.
三、二维离散型随机变量的概率分布
1. 二维离散型随机变量的概率分布的概念 2. 二维离散型随机变量的概率分布的性质 (1) 非负性: pij≥0，i，j=1，2…； (2) 规范性:
p
i j
ij
1；
(3) 事件组 ( X x1 ),( X x2 ), ,( X xi ) 是样 本空间S的完备事件组. 事件组 (Y y1 ),(Y y2 ), ,(Y y j ) 也是样本 空间S的完备事件组. 事件组 ( X xi ) (Y y j ) ( i , j 1, 2,) 也是样本 空间S的完备事件组.