北京市东城区2018届九年级上期末考试数学试题有答案-名师版
2017-2018学年北京市东城区2018届初三第一学期期末数学试题含答案
1东城区2017-2018学年度第一学期期末教学统一检测初三数学学校 班级 姓名 考号考生须知1•本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分•考试时间120分钟. 2 •在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号 3 •试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效 4 •在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答 •5•考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回、选择题（本题共16分，每小题2分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的2. 边长为2的正方形内接于-M ，则二M 的半径是A . 1B . 2C . 一2D . 2 “ 22 _ 23. 若要得到函数 y = x ，1+2的图象，只需将函数 y =x 的图象A . 先向右平移 1个单位长度，再向上平移 2个单位长度B . 先向左平移 1个单位长度，再向上平移 2个单位长度C . 先向左平移 1个单位长度，再向下平移 2个单位长度D.先向右平移 1个单位长度，再向下平移2个单位长度4.点 A , B x 2,y 2都在反比例函数y =-的图象上，若 xx 1< x 2v 0，则A .y 2> %>°B .y > y 2>0C . y 2V %<0D . y < y 2<05. A , B 是上的两点，OA=1 , AB 的长是1 n ,则/ AOB 的度数是3A . 30B . 60°C . 90°D . 1202A .①③B .①④ C.②③D .②④6 .△ DEF 和厶ABC 是位似图形，点 O 是位似中心，点 D , E , F 分别是OA,OB,OC 的中点，若△ DEF 的面积是2,则厶ABC 的面积是 A . 2 B . 4 C . 6D . 827.已知函数y =-x bx c ,其中b >0, c v 0，此函数的图象可以是&小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它 的成活率如移植棵数（n ）成活数（m ）成活率（m/n ） 移植棵数（n ） 成活数（m ） 成活率（m/n ）50470.940 15001335 0.890 2702350.870350032030.915 4003690.923 70006335 0.905 7506620.88314000126280.902下面有四个推断：① 当移植的树数是1 500时，表格记录成活数是 1 335，所以这种树苗成活的概率是0.890;② 随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在 0.900附近摆动，显示出一定的稳定性, 可以估计树苗成活的概率是 0.900;③ 若小张移植10 000棵这种树苗，则可能成活9 000棵；④ 若小张移植20 000棵这种树苗，则一定成活 18 000棵. 其中合理的是1 E 1/L、填空题（本题共16分，每小题2分）19 .在Rt △ ABC 中，/ C=90 ° COS A = —, AB=6，贝U AC 的长是3210.若抛物线y=x 2x c与x轴没有交点，写出一个满足条件的c的值：13.某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度•为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）•经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB,OA的长分别为0.7m,0.3m，观测点O到旗杆的距离OE为6 m,则旗杆MN的高度为 _____________ 11.如图，在平面直角坐标系xOy中，若点B与点A关于点O中心对称，则点B的坐标为11题图12题图12.如图，AB是、O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交、O于点D.若CD=1,AB=4,则、O的半径是_______________ .第13题图314.、O是四边形ABCD的外接圆，AC平分/ BAD，则正确结论的序号是.①AB=AD; ②BC=CD; ③ AB 二AD ;④/ BCA= / DCA;⑤ BC 二CD15.已知函数y =x2-2x-3，当-1< X W a时，函数的最小值是-4，则实数a的取值范围是16•如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A 8,0 ,C 0,6 ,矩形OABC的对角线交于点P,点M在经过k点P的函数y x>0的图象上运动，k的值X为 _____ , OM长的最小值为_______________ .三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27,每小题7分，第28题8分）417 •计算：2cos30 ^2sin 45 °+3tan 60°+ 1-J2 .18. 已知等腰厶ABC内接于点0, AB=AC,Z BOC=100 °求厶ABC的顶角和底角的度519. 如图，在四边形ABCD中，AD // BC, AB丄BC,点E在AB上，/ DEC =90 °(1) 求证：△ ADE BEC.(2) 若AD=1 , BC=3, AE=2,求AB 的长.20. 在△ ABC 中，/ B=135 ° AB = 2^2 , BC=1.(1)求厶ABC的面积；(2 )求AC的长.21•北京2018新中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）、体育九门课程.语文、数学、外语、体育为必考科目•历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参加考试，其中物理、生化须至少选择一门.（1）写出所有选考方案（只写选考科目）；（2 ）从（1）的结果中随机选择一种方案，求该方案同时包含物理和历史的概率6722. 如图，在Rt △ ABC 中，/ A=90° Z C=30。
{3套试卷汇总}2018年北京市九年级上学期期末联考数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．2x 2－5x+3B ．2x 2－y+1=0C ．x 2=0D ．21x + x=2 【答案】C【解析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是1；（1）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】A 、不是方程，故本选项错误；B 、方程含有两个未知数，故本选项错误；C 、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D 、不是整式方程，故本选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1．2．下列成语所描述的事件是不可能事件的是（ ）A ．日行千里B ．守株待兔C ．水涨船高D ．水中捞月 【答案】D【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．【详解】解：A 、日行千里是随机事件，故本选项错误；B 、守株待兔是随机事件，故本选项错误；C 、水涨船高是必然事件，故本选项错误；D 、水中捞月是不可能事件，故本选项正确．故选：D ．【点睛】此题考查是不可能事件的判断,掌握不可能事件的定义是解决此题的关键．3．如图，该几何体的主视图是( )A ．B ．C ．D ．【解析】试题分析：根据主视图是从正面看到的图形，因此可知从正面看到一个长方形，但是还得包含看不到的一天线（虚线表示），因此第四个答案正确．故选D考点：三视图4．反比例函数2k y x -=的图象，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（ ） A ．2k <B ．k 2≤C ．2k >D ．2k ≥ 【答案】C【分析】根据反比例函数的性质直接判断即可得出答案．【详解】∵反比例函数y=2k x -中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小， ∴k-1＞0，解得k ＞1．故选C ．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=k x（k≠0）中，当k ＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小是解答此题的关键．5．抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）A ．ab ＜0B ．a+b+2c ﹣2＞0C ．b 2﹣4ac ＜0D ．2a ﹣b ＞0【答案】D 【解析】利用抛物线开口方向得到a ＞0，利用抛物线的对称轴在y 轴的左侧得到b ＞0，则可对A 选项进行判断；利用x ＝1时，y ＝2得到a+b ＝2﹣c ，则a+b+2c ﹣2＝c <0，于是可对B 选项进行判断；利用抛物线与x 轴有2个交点可对C 选项进行判断；利用﹣1＜﹣2b a＜0可对D 选项进行判断． 【详解】∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，∴a 、b 同号，即b ＞0，∴ab ＞0，故A 选项错误；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∵x ＝1时，y ＝2，∴a+b+c ＝2，∴a+b+2c ﹣2＝2+c ﹣2＝c <0，故B 选项错误；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△＝b 2﹣4ac ＞0，故 C 选项错误；∵﹣1＜﹣2b a＜0， 而a ＞0，∴﹣2a ＜﹣b ，即2a ﹣b ＞0，所以D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数解析式的系数的几何意义，掌握二次函数解析式的系数与图象的开口方向，对称轴，图象与坐标轴的交点的位置关系，是解题的关键.6．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若直线PA 与⊙O 相切于点A ，则∠PAB=（ ）A ．30°B ．35°C ．45°D ．60°【答案】A 【解析】试题分析：连接OA ，根据直线PA 为切线可得∠OAP=90°，根据正六边形的性质可得∠OAB=60°，则∠PAB=∠OAP －∠OAB=90°－60°=30°．考点：切线的性质7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，若AD ＝4，DB ＝2，则EC ：AE 的值为（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．16【答案】A【分析】根据平行线截线段成比例定理，即可得到答案．【详解】∵DE∥BC，∴BD EC AD AE=，∵AD＝4，DB＝2，∴12 ECAE=，故选：A．【点睛】本题主要考查平行线截线段成比例定理，，掌握平行线截线段成比例，是解题的关键．8．某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任意两名同学都要握手一次．小张同学统计了一下，全班同学共握手了465次．你知道九年级（1）班有多少名同学吗？设九年级（1）班有x名同学，根据题意列出的方程是（）A．(1)2x x-=465 B．(1)2x x+=465 C．x（x﹣1）=465 D．x（x+1）=465【答案】A【解析】因为每位同学都要与除自己之外的（x﹣1）名同学握手一次，所以共握手x（x﹣1）次，由于每次握手都是两人，应该算一次，所以共握手x（x﹣1）÷2次，解此方程即可.【详解】解：设九年级（1）班有x名同学，根据题意列出的方程是(1)2x x-=465，故选A．【点睛】本题主要考查一元二次方程在实际生活中的应用，明白两人握手应该只算一次并据此列出方程是解题的关键.9．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据中心对称图形的定义“是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合的图形”和轴对称图形的定义“是指平面内，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形”逐项判断即可.【详解】A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，此项不符题意B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，此项符合题意C 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此项不符题意D 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此项不符题意故选：B.【点睛】本题考查了中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，这是常考点，熟记定义是解题关键.10．如图，AB 为O 的直径延长AB 到点P ，过点P 作O 的切线，切点为C ，连接,40AC P ∠=，D 为圆上一点，则D ∠的度数为（ ）A ．25B ．30C ．35D ．40【答案】A 【分析】连接OC,根据切线的性质和直角三角形两锐角互余求出COB ∠ 的度数，然后根据圆周角定理即可求出D ∠的度数．【详解】连接OC∵PC 为O 的切线∴90OCP ∠=︒∵40P ∠=︒90904050COB P ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒1252D COB ∴∠=∠=︒ 故选：A ．【点睛】本题主要考查切线的性质，直角三角形两锐角互余和圆周角定理，掌握切线的性质，直角三角形两锐角互余和圆周角定理是解题的关键．11．从一个装有3个红球、2个白球的盒子里（球除颜色外其他都相同），先摸出一个球，不再放进盒子里，然后又摸出一个球，两次摸到的都是红球的概率是（ ）A ．12B ．35C ．16D ．310【答案】D【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出两次都是红球的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：画树状图得：∵共有20种等可能的结果，两次摸到的球的颜色都是红球的有6种情况，∴两次摸到的球的颜色相同的概率为：310． 故选：D ．【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12．如图，⊙O 是正△ABC 的外接圆，点D 是弧AC 上一点，则∠BDC 的度数（ ）．A ．50°B ．60°C ．100°D ．120°【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质和圆周角定理的推论解答即可．【详解】解：∵△ABC 是正三角形，∴∠A=60°，∴∠BDC=∠A=60°．故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和圆周角定理的推论，属于基础题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．菱形ABCD 边长为4，60ABC ∠=︒，点E 为边AB 的中点，点F 为AD 上一动点，连接EF 、BF ，并将BEF ∆沿BF 翻折得BE F ∆'，连接E C '，取E C '的中点为G ，连接DG ，则122DG E C +'的最小值为_____．97【分析】取BC 的中点为H ，在HC 上取一点I 使~HIG HGC ，相似比为12，由相似三角形的性质可得12222()2DG CE DG GI DG GI '+=+=+，即当点D 、G 、I 三点共线时，DG GI +最小，由点D 作BC 的垂线交BC 延长线于点P ，由锐角三角函数和勾股定理求得DI 的长度，即可根据19722()22972DH CE DG GI DI '+=+≥== 【详解】取BC 的中点为H ，在HC 上取一点I 使~HIG HGC ，相似比为12 ∵G 为CE '的中点 ∴12CG CE '= ∵~HIG HGC 且相似比为12 2CG GI ∴=，1122HI HG == 得122CE GI '= 12222()2DG CE DG GI DG GI '∴+=+=+ 当点D 、G 、I 三点共线时，DG GI +最小 1,22HI CH == 13222CI CH HI ∴=-=-= 由点D 作BC 的垂线交BC 延长线于点P60ABC ︒∠=60DCP ︒∴∠=即3sin 604232DP DC ︒=⋅=⨯= 1cos60422CP DC ︒=⋅=⨯= 72PI PC CI ∴=+=由勾股定理得 2249971242DI DP PI =+=+= 19722()229722DH CE DG GI DI '∴+=+≥=⨯= 故答案为：97．【点睛】本题考查了线段长度的最值问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、锐角三角函数、勾股定理是解题的关键．14．已知反比例函数32m y x-=，当m _______时，其图象在每个象限内y 随x 的增大而增大． 【答案】23m < 【分析】根据反比例函数的性质求出m 的取值范围即可．【详解】∵反比例函数在每个象限内y 随x 的增大而增大∴320m -<解得23m < 故答案为：23m <． 【点睛】本题考查了反比例函数的问题，掌握反比例函数的性质是解题的关键．15．二次函数y ＝a （x+m ）2+n 的图象如图，则一次函数y ＝mx+n 的图象不经过第_____象限．【答案】一【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m 与n 的正负，即可作出判断．【详解】根据题意得：抛物线的顶点坐标为（﹣m ，n ），且在第四象限，∴﹣m ＞0，n ＜0，即m ＜0，n ＜0，则一次函数y ＝mx+n 不经过第一象限．故答案为：一．【点睛】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键．16．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为_____cm 2（结果保留π）．【答案】3π 【详解】212033360ππ⨯=． 故答案为：3π．17．设x 1，x 2是方程x 2+3x ﹣1＝0的两个根，则x 1+x 2＝_____．【答案】﹣1．【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵x 1，x 2是方程x 2+1x ﹣1＝0的两个根，∴x 1+x 2＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了根与系数的关系： x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝- b a ，x 1x 2＝c a． 18．一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当BDE ∆是直角三角形时，则CD 的长为_____．【答案】3或247【分析】依据沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当△BDE 是直角三角形时，分两种情况讨论：∠DEB=90°或∠BDE=90°，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到CD 的长【详解】分两种情况：①若90DEB ∠=，则90AED C ∠==∠， CD ED =，连接AD ，则()Rt ACD Rt AEAD HL ∆≅∆，6AE AC ∴==，1064BE =-=，设CD DE x ==，则8BD x =-，Rt BDE ∆中，222DE BE BD +=2224(8)x x ∴+=-，解得3x =，3CD ∴=；②若90BDE ∠=，则90CDE DEF C ∠=∠=∠=，CD DE =，∴四边形CDEF 是正方形，90AFE EDB ∴∠=∠=，AEF B ∠=∠，~AEF EBD ∴∆∆，AF EF ED BD∴=， 设CD x =，则EF DF x ==，6AF x =-，8BD x =-，68x x x x-∴=-， 解得247x =，247CD ∴=， 综上所述，CD 的长为3或247， 故答案为3或247． 【点睛】 此题考查折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于画出图形三、解答题（本题包括8个小题）19．（1）已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝2cm ，b ＝3cm ，d ＝6cm ，求线段c 的长； （2）已知234a b c ==，且a+b ﹣5c ＝15，求c 的值． 【答案】 (1)1;(2)-1【分析】（1）根据比例线段的定义得到a ：b=c ：d ，然后把a=2cm ，b=3cm ，d=6cm 代入进行计算即可； （2）设234a b c ===k ，得出a=2k ，b=3k ，c=1k ，代入a+b-5c=15，求出k 的值，从而得出c 的值． 【详解】（1）∵a ，b ，c ，d 是成比例线段∴a cb d =， 即236c =， ∴c=1；（2）设234a b c ===k ，则a=2k ，b=3k ，c=1k ， ∵a+b-5c=15∴2k+3k-20k=15解得：k=-1∴c=-1．【点睛】此题考查比例线段，解题关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质． 20．近年来，各地“广场舞”噪音干扰的问题倍受关注．相关人员对本地区15~65岁年龄段的市民进行了随机调查，并制作了如下相应的统计图．市民对“广场舞”噪音干扰的态度有以下五种：A ．没影响 B ．影响不大 C ．有影响，建议做无声运动 D ．影响很大，建议取缔 E ．不关心这个问题根据以上信息解答下列问题：（1）根据统计图填空：m = ，A 区域所对应的扇形圆心角为 度；(2)在此次调查中，“不关心这个问题”的有25人，请问一共调查了多少人？(3)将条形统计图补充完整；(4)若本地共有14万市民，依据此次调查结果估计本地市民中会有多少人给出建议．．．．？ 【答案】（1）32，1；（2）500人；（3）补图见解析；（4）5.88万人．【解析】分析：分析：（1）用1减去A ，D ，B ，E 的百分比即可，运用A 的百分比乘360°即可．（2）用不关心的人数除以对应的百分比可得．（3）求出25-35岁的人数再绘图．（4）用14万市民乘C 与D 的百分比的和求解．本题解析：（1）m%=1-33%-20%-5%-10%=32%，所以m=32，A 区域所对应的扇形圆心角为：360°×20%=1°，故答案为32，1．（2）一共调查的人数为：25÷5%=500(人).（3）(3)500×(32%+10%)=210(人)25−35岁的人数为：210−10−30−40−70=60(人)（4）14×(32%+10%)=5.88(万人)答：估计本地市民中会有5.88万人给出建议．21．在平面直角坐标系中，一次函数y ax b =+（a≠0）的图象与反比例函数(0)k y k x=≠的图象交于第二、第四象限内的A 、B 两点，与y 轴交于点C ，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为点H ，OH=3，tan ∠AOH=43，点B 的坐标为（m ，-2）.（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AHO 的周长.【答案】（1）一次函数为112y x =-+，反比例函数为12y x=-；（2）△AHO 的周长为12 【解析】分析：（1）根据正切函数可得AH=4，根据反比例函数的特点k=xy 为定值，列出方程，求出k 的值，便可求出反比例函数的解析式；根据k 的值求出B 两点的坐标，用待定系数法便可求出一次函数的解析式．（2）由（1）知AH 的长，根据勾股定理，可得AO 的长，根据三角形的周长，可得答案.详解：（1）∵tan ∠AOH=AH OH =43 ∴AH=43OH=4 ∴A （-4，3），代入k y x =，得 k=-4×3=-12 ∴反比例函数为12y x =-∴122m-=-∴m=6∴B （6，-2） ∴4362a b a b -+=⎧⎨+=-⎩∴a =12-，b=1 ∴一次函数为112y x =-+ （2）2222345OA AH OH +=+=△AHO 的周长为：3+4+5=12点睛：此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式． 22．已知，二次函数2y x bx c =-++的图象，如图所示，解决下列问题：（1）关于x 的一元二次方程20x bx c -++=的解为；（2）求出抛物线的解析式；y ．（3）x为何值时0【答案】（1）-1或2；（2）抛物线解析式为y=-x2+2x+2；（2）x＞2或x＜-1．【分析】（1）直接观察图象，抛物线与x轴交于-1，2两点，所以方程的解为x1=-1，x2=2．（2）设出抛物线的顶点坐标形式，代入坐标（2，0），即可求得抛物线的解析式．（2）若y＜0，则函数的图象在x轴的下方，找到对应的自变量取值范围即可．【详解】解：（1）观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x=-1和x=2两点，∴方程的解为x1=-1，x2=2，故答案为：-1或2；（2）设抛物线解析式为y=-（x-1）2+k，∵抛物线与x轴交于点（2，0），∴（2-1）2+k=0，解得：k=4，∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+4，即：抛物线解析式为y=-x2+2x+2；（2）抛物线与x轴的交点（-1,0），（2,0），当y＜0时，则函数的图象在x轴的下方，由函数的图象可知：x＞2或x＜-1；【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程、不等式的关系，以及求函数解析式的方法，能从图像中得到关键信息是解决此题的关键．23．东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？【答案】（1）第一批悠悠球每套的进价是25元；（2）每套悠悠球的售价至少是1元．【解析】分析：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据数量=总价÷单价结合第二批购进数量是第一批数量的1.5倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设每套悠悠球的售价为y 元，根据销售收入-成本=利润结合全部售完后总利润不低于25%，即可得出关于y 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．详解：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x 元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据题意得： 9005001.55x x=⨯+， 解得：x=25，经检验，x=25是原分式方程的解．答：第一批悠悠球每套的进价是25元．（2）设每套悠悠球的售价为y 元，根据题意得：500÷25×（1+1.5）y-500-900≥（500+900）×25%，解得：y≥1．答：每套悠悠球的售价至少是1元．点睛：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．24．已知二次函数y=﹣x 2+2x+m ．（1）如果二次函数的图象与x 轴有两个交点，求m 的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A （-1，0），与y 轴交于点C ，求直线BC 与这个二次函数的解析式； （3）在直线BC 上方的抛物线上有一动点D ，DE ⊥x 轴于E 点，交BC 于F ，当DF 最大时，求点D 的坐标，并写出DF 最大值．【答案】（1）m>-1；（2）y=-x+3，y=-x 2+2x+3；（3）D （315,24），DF=94 【分析】（1）利用判别式解答即可； （2）将点A 的坐标代入抛物线y=-x 2+2x+m 即可求出解析式，由抛物线的解析式求出点B （3,0），设直线BC 的解析式为y=kx+b ，将B(3，0)，C(0，3)代入y=kx+b 中即可求出直线BC 的解析式；（3）由点D 在抛物线上，设坐标为（x ，-x 2+2x+3），F 在直线AB 上，坐标为（x ，-x+3） ，得到DF=-x 2+2x+3-(-x+3)=-x 2+3x=239()24x --+，利用顶点式解析式的性质解答即可. 【详解】（1）当抛物线与x 轴有两个交点时，∆>0，即4+4m>0，∴m>-1；（2）∵点A(-1，0)在抛物线y=-x 2+2x+m 上，∴-1-2+m=0，∴m=3，∴抛物线解析式为y=-x 2+2x+3，且C(0，3)，当x=0时，-x 2+2x+3=0，解得x=-1，或x=3，∴B （3,0），设直线BC 的解析式为y=kx+b ，将B(3，0)，C(0，3)代入y=kx+b 中，得:303k b b +=⎧⎨=⎩ ， 解得13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为y=-x+3;（3）点D 在抛物线上，设坐标为（x ，-x 2+2x+3），F 在直线AB 上，坐标为（x ，-x+3） ，∴DF=-x 2+2x+3-(-x+3)=-x 2+3x=239()24x --+， ∴当32x =时，DF 最大，为94，此时D 的坐标为（315,24）. 【点睛】此题考查了利用判别式已知抛物线与坐标轴的交点个数求未知数的取值范围，利用待定系数法求函数解析式，利用顶点式解析式的性质求出线段的最值.25．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P 为边BC 上一个动点（可以包括点C 但不包括点B ），以P 为圆心PB 为半径作⊙P 交AB 于点D 过点D 作⊙P 的切线交边AC 于点E ，（1）求证：AE=DE ；（2）若PB=2，求AE 的长；（3）在P 点的运动过程中，请直接写出线段AE 长度的取值范围．【答案】（1）详见解析；（3）AE=194；（3）74≤AE ＜254． 【解析】（1）首先得出∠ADE+∠PDB=90°，进而得出∠B+∠A=90°，利用PD=PB 得∠EDA=∠A 进而得出答案；（3）利用勾股定理得出ED3+PD3=EC3+CP3=PE3，求出AE即可；（3）分别根据当D（P)点在B点时以及当P与C重合时，求出AE的长，进而得出AE的取值范围．【详解】（1）证明：如图1，连接PD．∵DE切⊙O于D．∴PD⊥DE．∴∠ADE+∠PDB=90°．∵∠C=90°．∴∠B+∠A=90°．∵PD=PB．∴∠PDB=∠B．∴∠A=∠ADE．∴AE=DE；（3）解：如图1，连接PE，设DE=AE=x，则EC=8-x，∵PB=PD=3，BC=1．∴PC=3．∵∠PDE=∠C=90°，∴ED3+PD3=EC3+CP3=PE3．∴x3+33=（8-x）3+33．解得x=194．∴AE=194；（3）解：如图3，当P点在B点时，此时点D也在B点，∵AE=ED，设AE=ED=x，则EC=8-x，∴EC3+BC3=BE3，∴（8-x）3+13=x3，解得：x=254，如图3，当P与C重合时，∵AE=ED，设AE=ED=x，则EC=8-x，∴EC3=DC3+DE3，∴（8-x）3=13+x3，解得：x=74，∵P为边BC上一个动点（可以包括点C但不包括点B），∴线段AE长度的取值范围为：74≤AE＜254．【点睛】本题主要考查圆的综合应用、切线的性质与判定以及勾股定理等知识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键．26．如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．【答案】（1）y ＝12x ，2y x=；（2）存在，Q 1（2，1）和Q 2（﹣2，﹣1）；（3）【分析】（1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M （-2，-1），待定系数法可求它们解析式； （2）由点Q 在y ＝12x 上，设出Q 点坐标，表示△OBQ ，由反比例函数图象性质，可知△OAP 面积为1，则根据面积相等可构造方程，问题可解；（3）因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP=CQ ，OQ=PC ，而点P （-1，-2）是定点，所以OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值．【详解】解：（1）设正比例函数解析式为y ＝kx ，将点M （﹣2，﹣1）坐标代入得k ＝12，所以正比例函数解析式为y ＝12x ， 同样可得，反比例函数解析式为2y x=； （2）当点Q 在直线OM 上运动时，设点Q 的坐标为Q （m ，12m ）， 于是S △OBQ ＝12OB •BQ ＝12×12m×m ＝14m 2， 而S △OAP ＝|12（﹣1）×（﹣2）|＝1， 所以有，14m 2＝1，解得m ＝±2， 所以点Q 的坐标为Q 1（2，1）和Q 2（﹣2，﹣1）；（3）因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP ＝CQ ，OQ ＝PC ，而点P （﹣1，﹣2）是定点，所以OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值，因为点Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点Q 的坐标为Q （n ，2n）， 由勾股定理可得OQ 2＝n 2+24n ＝（n ﹣2n ）2+1， 所以当（n ﹣2n ）2＝0即n ﹣2n ＝0时，OQ 2有最小值1， 又因为OQ 为正值，所以OQ 与OQ 2同时取得最小值，所以OQ 有最小值2，由勾股定理得OP所以平行四边形OPCQ 周长的最小值是2（OP+OQ ）＝2）＝．（或因为反比例函数是关于y ＝x 对称，所以当Q 在反比例函数时候，OQ 最短的时候，就是反比例与y ＝x 的交点时候，联立方程组即可得到点Q 坐标）【点睛】此题考查一次函数反比例函数的图象和性质，解答关键是运用数形结合思想解决问题．27．已知二次函数y＝x2+2mx+（m2﹣1）（m是常数）．（1）若它的图象与x轴交于两点A，B，求线段AB的长；（2）若它的图象的顶点在直线y＝12-x+3上，求m的值．【答案】AB=2；（2）m＝1．【分析】（1）令y＝0求得抛物线与x轴的交点，从而求得两交点之间的距离即可；（2）用含m的式子表示出顶点坐标，然后代入一次函数的解析式即可求得m的值．【详解】（1）令y＝x2+2mx+（m2﹣1）＝0，∴（x+m+1）（x+m﹣1）＝0，解得：x1＝﹣m﹣1，x2＝﹣m+1，∴AB＝|x1﹣x2|＝|﹣m﹣1﹣（﹣m+1）|＝2；（2）∵二次函数y＝x2+2mx+（m2﹣1），∴顶点坐标为（﹣2m，()22 4144m m--），即：（﹣2m，﹣1），∵图象的顶点在直线y＝12-x+3上，∴﹣12×（﹣2m）+3＝﹣1，解得：m＝1．【点睛】本题考查了解二次函数的问题，掌握二次函数的性质以及解二次函数的方法是解题的关键．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．计算：tan45°＋sin30°＝（）A．2B．23+C．32D．13+【答案】C【解析】代入45°角的正切函数值和30°角的正弦函数值计算即可．【详解】解：原式=13 122 +=故选C．【点睛】熟记“45°角的正切函数值和30°角的正弦函数值”是正确解答本题的关键．2．正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°【答案】B【分析】根据多边的外角和定理进行选择．【详解】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，所以正十边形的外角和等于360°，．故选B．【点睛】本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．3．如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3m，那么花圃的面积为（）A．6πm2B．3πm2C．2πm2D．πm2【答案】B【分析】利用扇形的面积公式计算即可．【详解】解:∵扇形花圃的圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3cm，∴花圃的面积为21203360π⨯＝3π，故选：B．【点睛】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式．4．已知反比例函数3m y x -=的图象在二、四象限，则m 的取值范围是（ ） A ．3m ≥B ．3m >C ．3m ≤D ．3m < 【答案】D【分析】由题意根据反比例函数的性质即可确定3m -的符号，进行计算从而求解．【详解】解：因为反比例函数3m y x -=的图象在二、四象限， 所以30m -<，解得3m <.故选：D.【点睛】本题考查反比例函数的性质，注意掌握反比例函数k y x=(0)k ≠，当 k ＞0时，反比例函数图象在一、三象限；当k ＜0时，反比例函数图象在第二、四象限内．5．已知2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，则y ax b =+和c y x=的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象可以得到a ＜0，b ＞0，c ＜0，由此可以判定y=ax+b 经过一、二、四象限，双曲线c y x=在二、四象限． 【详解】根据二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，可得a ＜0，b ＞0，c ＜0，∴y=ax+b 过一、二、四象限，双曲线c y x=在二、四象限， ∴C 是正确的．故选C ．【点睛】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．6．下列二次函数的开口方向一定向上的是（ ）A ．23y x =-B ．2y ax =C ．23y x =D ．2(1)y a x =- 【答案】C【分析】利用抛物线开口方向向上，则二次项系数大于0判断即可．【详解】二次函数的开口方向一定向上，则二次项系数大于0，故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当a ＞0，开口向上解题是解题关键．7．已知反比例函数y ＝﹣3x，下列结论不正确的是（ ） A ．图象必经过点（﹣1，3） B ．若x ＞1，则﹣3＜y ＜0C ．图象在第二、四象限内D ．y 随x 的增大而增大 【答案】D【解析】A . ∵(−1)×3=−3,∴图象必经过点(−1,3)，故正确；B . ∵k =−3<0，∴函数图象的两个分支分布在第二、四象限，故正确；C . ∵x=1时，y =−3且y 随x 的增大而而增大，∴x>1时，−3<y<0，故正确；D. 函数图象的两个分支分布在第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，故错误． 故选D.8．如图，从左边的等边三角形到右边的等边三角形，经过下列一次变化不能得到的是( )A ．轴对称B ．平移C ．绕某点旋转D ．先平移再轴对称 【答案】A 【分析】根据对称，平移和旋转的定义，结合等边三角形的性质分析即可．【详解】解：从左边的等边三角形到右边的等边三角形，可以利用平移或绕某点旋转或先平移再轴对称，只轴对称得不到，故选：A ．【点睛】本题考查了图形的变换：旋转、平移和对称，等边三角形的性质，掌握图形的变换是解题的关键． 9．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是（ ）x …… -3 -2 -1 0 1 ……y …… -17 -17 -15 -11 -5 ……A ．3x =-B ． 2.5x =-C ．2x =-D ．0x = 【答案】B 【分析】当3x =-和2x =-时，函数值相等，所以对称轴为 2.5x =-【详解】解：根据题意得，当3x =-和2x =-时，函数值相等，所以二次函数图象的对称轴为直线32 2.52x --==- 故选B【点睛】本题考查了二次函数的性质.10．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，将Rt △ABC 绕点C 按逆时针方向旋转42°得到Rt △A'B'C'，点A 在边B'C 上，则∠B'的大小为（ ）A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°【答案】B 【分析】先根据旋转的性质得出∠A ′＝∠BAC ＝90°，∠ACA ′＝42°，然后在直角△A ′CB ′中利用直角三角形两锐角互余求出∠B ′＝90°﹣∠ACA ′＝48°．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，将Rt △ABC 绕点C 按逆时针方向旋转42°得到Rt △A ′B ′C ′， ∴∠A ′＝∠BAC ＝90°，∠ACA ′＝42°，∴∠B ′＝90°﹣∠ACA ′＝48°．故选：B ．【点睛】此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知旋转的性质．11．某大学生创业团队有研发、管理和操作三个小组，各组的日工资和人数如下表所示．现从管理组分别抽调1人到研发组和操作组，调整后与调整前相比，下列说法中不正确的是（ ）A ．团队平均日工资不变B ．团队日工资的方差不变C ．团队日工资的中位数不变D ．团队日工资的极差不变【答案】B 【解析】根据平均数、方差、中位数和众数的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．。
北京市东城区2018届九年级上期末考试数学试题(有答案)-名师推荐
北京市东城区2018 届九年级上学期期末考试数学试题一、选择题（本题共16 分，每小题2 分）1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故正确；B、是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故错误．故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．2.边长为2的正方形内接于⊙M，则⊙M的半径是（）A．1 B．2 C．D．【分析】连接OB，CO，在Rt△BOC 中，根据勾股定理即可求解．解：连接OB，OC，则OC=OB，BC=2，∠BOC=90°，在Rt△BOC中，OC=．故选：C．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．3.若要得到函数y=（x+1）2+2的图象，只需将函数y=x2的图象（）A.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a 值不变即可找出结论．解：∵抛物线y=（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=x2 先向左平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度即可得出抛物线y=（x+1）2+2．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．4.点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0，则（）A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0【分析】由k=2＞0，可得反比例函数图象在第一，三象限，根据函数图象的增减性可得结果．解：∵k=2＞0，∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小，∵x1＜x2＜0，∴点A（x1，y1），B（x2，y2）位于第三象限，∴y2＜y1＜0，故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5.A，B是⊙O上的两点，OA=1，的长是，则∠AOB的度数是（）A．30 B．60°C．90°D．120°【分析】直接利用已知条件通过弧长公式求出圆心角的度数即可．解：∵OA=1，的长是，∴，解得：n=60°，∴∠AOB=60°，故选：B．【点评】本题考查扇形的弧长公式的应用，关键是通过弧长公式求出圆心角的度数．6.△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点知=，由位似图形性质得=（）2，即=，据此可得答案．解：∵点D，E，F 分别是OA，OB，OC 的中点，∴=，∴△DEF 与△ABC 的相似比是1：2，∴=（）2，即=，解得：S △ABC =8，故选：D ．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理、位似的定义及性质，掌握面积的比等于相似比的平方是解题的关键．7. 已知函数y=﹣x 2+bx+c ，其中b ＞0，c ＜0，此函数的图象可以是（）A .B ．C ．D ．【分析】根据已知条件“a＜0、b ＞0、c ＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y 轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．解：∵a=﹣1＜0，b ＞0，c ＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是x=﹣＞0，与y 轴的交点在y 轴的负半轴上；故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数．8. 小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：下面有四个推断：①当移植的树数是1 500 时，表格记录成活数是1 335，所以这种树苗成活的概率是0.890；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；③若小张移植10 000 棵这种树苗，则可能成活9 000 棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．其中合理的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，据此进行判断即可．解：①当移植的树数是1 500 时，表格记录成活数是1 335，这种树苗成活的概率不一定是0.890，故错误；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确；③若小张移植10 000 棵这种树苗，则可能成活9 000 棵，故正确；④若小张移植20 000 棵这种树苗，则不一定成活18 000 棵，故错误．故选：C．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）9.已知在△ABC中，∠C=90°，cosA=，AB=6，那么AC=2．【分析】根据三角函数的定义，在直角三角形ABC中，cosA=，即可求得AC的长．解：在△ABC 中，∠C=90°，∵cosA=，∵cosA=，AB=6，∴AC=AB=2，故答案为2．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．10.若抛物线y=x2+2x+c与x轴没有交点，写出一个满足条件的c的值：2 ．【分析】根据抛物线y=x2+2x+c 与x 轴没有交点得出b2﹣4ac=22﹣4×1×c＜0，求出不等式的解集，再取一个范围内的数即可．解：因为要使抛物线y=x2+2x+c 与x 轴没有交点，必须b2﹣4ac=22﹣4×1×c＜0，解得：c＞1，取c=2，故答案为：2．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点，能根据已知得出关于c 的不等式是解此题的关键．11.如图，在平面直角坐标系xOy中，若点B与点A关于点O中心对称，则点B的坐标为（2，﹣1）．【分析】根据中心对称定义结合坐标系确定B 点位置即可．解：∵A（﹣2，1），点B 与点A 关于点O 中心对称，∴点B的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．【点评】此题主要考查了中心对称，关键是掌握把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．12.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD=1，AB=4，则⊙O的半径是．【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC 的长，由勾股定理可得出OA 的长．解：连接OA，∵C 是AB 的中点，∴AC=AB=2，OC⊥AB，∴OA2=OC2+AC2，即OA2=（OA﹣1）2+22，解得，OA=，故答案为：．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解答此题的关键．13.某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度．为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）．经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB，OA的长分别为0.7m，0.3m，观测点O到旗杆的距离OE为6m，则旗杆MN的高度为15m．【分析】由平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABO∽△NEO，利用对应边成比例可得旗杆MN 的高度．解：∵AB∥NE，∴△ABO∽△NEO，∴，即，解得：NE=14，∴MN=14+1=15，故答案为：15【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应边成比例．14.⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论的序号是②⑤ ．①AB=AD；②BC=CD；③ ；④∠BCA=∠DCA；⑤ ．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对结论进行逐一判断即可．解：①∵∠ACB 与∠ACD 的大小关系不确定，∴AB 与AD 不一定相等，故本结论错误；②∵AC 平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本结论正确；③∵∠ACB 与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本结论错误；④∠BCA 与∠DCA 的大小关系不确定，故本结论错误；⑤∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴，故本结论正确．故答案为②⑤．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．15.已知函数y=x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是a≥1．【分析】结合函数y=x2﹣2x﹣3 的图象和性质，及已知中当﹣1≤x≤a 时函数的最小值为﹣4，可得实数a 的取值范围．解：函数y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4 的图象是开口朝上且以x=1 为对称轴的抛物线，当且仅当x=1 时，函数取最小值﹣4，∵函数y=x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a 时，函数的最小值是﹣4，∴a≥1，故答案为：a≥1【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（8，0），C（0，6），矩形OABC的对角线交于点P，点M在经过点P的函数y= 的图象上运动，k的值为12 ，OM长的最小值为．【分析】先根据P（4，3），求得k=4×3=12，进而得出y=，再根据双曲线的对称性可得，当点M在第一象限角平分线上时，O M最短，即当x=y时，x=，解得x=±2，进而得到OM的最小值．解：∵A（8，0），C（0，6），矩形OABC的对角线交于点P，∴P（4，3），代入函数y=可得，k=4×3=12，∴y=，∵点M在经过点P的函数y=的图象上运动，∴根据双曲线的对称性可得，当点M 在第一象限角平分线上时，OM 最短，当x=y时，x=，解得x=±2，又∵x＞0，∴x=2，∴M（2，2），∴OM==2 ，故答案为：12，2．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．三、解答题（本题共68 分，第17-24 题，每小题5 分，第25 题6 分，第26-27，每小题5 分，第28 题8 分）17．（5分）计算：2cos30°﹣2sin45°+3tan60°+|1﹣|．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算即可．解：原式=2×﹣2×+3+﹣1，=﹣+3+﹣1，=4﹣1．【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握特殊角的三角函数值．18．（5 分）已知等腰△A BC 内接于⊙O，AB=AC，∠BOC=100°，求△A BC 的顶角和底角的度数．【分析】画出相应图形，分△ABC 为锐角三角形和钝角三角形2 种情况解答即可．解：（1）圆心O 在△A BC 外部，在优弧BC 上任选一点D，连接BD，CD．∴∠BDC=∠BOC=50°，∴∠BAC=180°﹣∠BDC=130°；∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）÷2=25°；（2）圆心O在△ABC内部．∠BAC=∠BOC=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）÷2=65°．【点评】本题考查的是三角形圆周角定理及等腰三角形的性质，分情况探讨是解决本题的易错点；用到的知识点为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补．19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC=90°．（1）求证：△ADE∽△BEC．（2）若AD=1，BC=3，AE=2，求AB的长．【分析】（1）由AD∥BC、AB⊥BC 可得出∠A=∠B=90°，由等角的余角相等可得出∠ADE=∠BEC，进而即可证出△ADE∽△BEC；（2）根据相似三角形的性质即可求出BE 的长度，结合AB=AE+BE 即可求出AB的长度．（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∠A=∠B=90°，∴∠ADE+∠AED=90°．∵∠DEC=90°，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC．（2）解：∵△ADE∽△BEC，∴=，即=，∴BE=，∴AB=AE+BE=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理找出△A D E∽△BEC；（2）利用相似三角形的性质求出BE 的长度．20．（5分）在△A BC中，∠B=135°，AB=，BC=1．（1）求△ABC的面积；（2）求AC的长．【分析】（1）延长CB，过点A作AD⊥BC，利用三角函数求出AD，根据三角形的面积公式计算即可；（2）等腰直角三角形的判定与性质得到AD=DB=2，进一步得到DC，再根据勾股定理即可求解．解：（1）延长CB，过点A作AD⊥BC，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=45°，在Rt△ABD中，AB=，∠ABD=45°，∴AD=AB×sin45°=2，∴△ABC的面积=×BC×AD=1；（2）∵∠ABD=45°，∠D=90°，∴△ABD 是等腰直角三角形，∵AD=2，∴DB=2，DC=DB+BC=2+1=3，在Rt△ACD中，AC==．【点评】本题考查了解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．21．（5 分）北京2018 新中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）、体育九门课程．语文、数学、外语、体育为必考科目．历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参加考试，其中物理、生化须至少选择一门．（1）写出所有选考方案（只写选考科目）；（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，求该方案同时包含物理和历史的概率．【分析】（1）根据题意可以写出所有的可能性；（2）根据（1）中的所有可能即可求得从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率．解：（1）由题意可得，所有的可能性是：（物理、历史、地理）、（物理、历史、思想品德）、（物理、历史、生化）、（物理、地理、思想品德）、（物理、地理、生化）、（物理、思想品德、生化）、（历史、地理、生化）、（历史、思想品德、生化）、（地理、思想品德、生化）；（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率是，即从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率是．【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性，求出相应的概率．22．（5 分）如图，在Rt△A BC 中，∠A=90°，∠C=30°．将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△A'BC'，其中点A'，C'分别是点A，C 的对应点．（1）作出△A'BC'（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AA'，求∠C'A'A的度数．【分析】（1）直接利用等边三角形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用等边三角形的判定方法△ABA′为等边三角形，得出进而得出答案．解：（1）如图所示：△A'BC'即为所求；（2）在Rt△ABC 中，∵∠C=30°，∠A=90°，∴∠B=60°，∵△A′B′C′由△ABC 旋转所得，∴△A′B′C′≌△ABC，∴BA=BA′，∠BA′C′=∠BAC=90°，∴△ABA′为等腰三角形，又∵∠ABC=60°，∴△ABA′为等边三角形，∴∠BA′A=60°，∴∠C′A′A=∠BA′C′+∠BA′A=150°．【点评】此题主要考查了旋转变换以及等边三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解题关键．23．（5 分）如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t﹣5t2．（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？【分析】（1）将函数解析式配方成顶点式可得最值；（2）画图象可得t 的取值．解：（1）∵h=﹣5t2+20t=﹣5（t﹣2）2+20，∴当t=2 时，h 取得最大值20 米；答：小球飞行时间是2s 时，小球最高为20m；（2）由题意得：15=20t﹣5t2，解得：t1=1，t2=3，由图象得：当1≤t≤3 时，h≥15，则小球飞行时间1≤t≤3 时，飞行高度不低于15m．【点评】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+4与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点A（﹣3，a）和点B．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）直接写出不等式＜2x+4的解集．【分析】（1）把A（﹣3，a）代入y=2x+4，可得A（﹣3，﹣2），把A（﹣3，﹣2）代入y=，可得反比例函数的表达式为y=，再联立两个函数的解析式，解方程组即可得到B的坐标；（2）在平面直角坐标系中画出两个函数的图象，反比例函数落在一次函数图象下方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式＜2x+4的解集．解：（1）把A（﹣3，a）代入y=2x+4，可得a=﹣2，∴A（﹣3，﹣2），把A（﹣3，﹣2）代入y=，可得k=6，∴反比例函数的表达式为y=．解方程组，得或，∴B（1，6）；（2）在平面直角坐标系中画出直线y=2x+4与双曲线y=，如图．由图象可知，不等式＜2x+4的解集为﹣3＜x＜0或x＞1．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．由函数图象比较函数大小，利用数形结合是解题的关键．25．（6 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 与边BC，AC 分别交于点D，E．DF 是⊙O 的切线，交AC 于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若AE=4，DF=3，求tanA．【分析】（1）连接OD，作OG⊥AC 于点G，推出∠ODB=∠C；然后根据DF⊥AC，∠DFC=90°，推出∠ODF=∠DFC=90°，即可证明；（2）过O 作OG⊥AC，利用垂径定理和矩形的性质解答即可．（1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，，∵OB=OD，∴∠ODB=∠B，又∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴∠ODB=∠C，∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°，∴∠ODF=∠DFC=90°，∴DF⊥AC；（2） 过O 作OG⊥AC，由垂径定理可知：OG 垂直平分AE ，∴∠AGO=90°，AG=2，由（1）可知：四边形ODFG 为矩形，∴OG=DF=3，在Rt△AGO中，tanA=．【点评】此题主要考查了切线的性质和应用，等腰三角形的性质和应用，以及解直角三角形的应用，要熟练掌握．26．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx 2﹣2mx+n （m≠0）与x 轴交于点A ，B ，点A 的坐标为（﹣2，0）．（1） 写出抛物线的对称轴；（2） 直线y=x ﹣4m ﹣n 过点B ，且与抛物线的另一个交点为C ．①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；②点P 为抛物线对称轴上的动点，过点P 的两条直线l 1：y=x+a 和l 2：y=﹣x+b 组成图形G ．当图形G 与线段BC 有公共点时，直接写出点P 的纵坐标t 的取值范围．【分析】（1）由给定的抛物线的表达式，利用二次函数的性质即可找出抛物线的对称轴；（2）①根据抛物线的对称性可得出点B 的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m、n 的值，此问得解；②联立直线及抛物线的函数关系式成方程组，通过解方程组可求出点C 的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l过点B、C 时b 的值，进而可得出点P 的坐标，再结合函数2图象即可找出当图形G 与线段BC 有公共点时，点P的纵坐标t 的取值范围．解：（1）∵抛物线所对应的函数表达式为y=mx2﹣2mx+n，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1．（2）①∵抛物线是轴对称图形，∴点A、B 关于直线x=1 对称．∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点B的坐标为（4，0）．∵抛物线y=mx2﹣2mx+n过点B，直线y=x﹣4m﹣n过点B，，∴直线所对应的函数表达式为y=x﹣2，抛物线所对应的函数表达式为y=﹣x2+x+4．②联立两函数表达式成方程组， ，解得： ， ．∵点B 的坐标为（4，0）， ∴点C 的坐标为（﹣3，﹣）．当直线l 2：y=﹣x+b 1过点B 时，0=﹣4+b 1，解得：b 1=4，∴此时直线l 2所对应的函数表达式为y=﹣x+4，当x=1 时，y=﹣x+4=3， ∴点P 1的坐标为（1，3）；当直线l 2：y=﹣x+b 2过点C 时，﹣=3+b 2，解得：b 2=﹣，∴此时直线l 2所对应的函数表达式为y=﹣x ﹣，当x=1时，y=﹣x ﹣=﹣，∴点P 2的坐标为（1，﹣）．∴当图形G 与线段BC 有公共点时，点P 的纵坐标t 的取值范围为﹣≤t≤3．【点评】本题考查了二次函数的性质、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x 轴的交点，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴；（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于m、n 的二元一次方程组；②利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l过点B、C 时点P 的坐标．227．（7分）如图1，在△A BC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=2，以点B为圆心，为半径作圆．点P为⊙B上的动点，连接PC，作P'C⊥PC，使点P'落在直线BC的上方，且满足P'C：PC=1：，连接BP，AP'．（1）求∠BAC的度数，并证明△AP'C∽△BPC；（2）若点P在AB上时，①在图2 中画出△AP′C；②连接BP'，求BP'的长；（3）点P在运动过程中，BP'是否有最大值或最小值？若有，请直接写出BP'取得最大值或最小值时∠PBC的度数；若没有，请说明理由．【分析】（1）①利用锐角三角函数求出∠BAC，②先判断出= ，再判断出∠P'CA=PCB，即可得出结论；（2）①利用垂直和线段的关系即可画出图形；②先求出∠P'AC，进而得出∠P'AB=90°，再利用相似求出AP'，即可得出结论；（3）先求出AP'=1是定值，判断出点P'在以点A为圆心，1为半径的圆上，即可得出结论．解：（1）①在Rt△A BC中，AC=2，BC=2，∴tan∠BAC==，∴∠BAC=60°；②∵∴，==，，∵P'C⊥PC，∴∠PCP'=∠ACB=90°，∴∠P'CA=PCB，∴△AP'C∽△BPC；（2）①如图1 所示；②如图2，由（1）知，∠BAC=60°，∴∠ABC=90°﹣∠BAC=30°，∴AB=2AC=4，∵△AP'C∽△BPC，∴∠P'AC=∠PBC=30°，，∵点P 在AB 上，∴BP=，∴AP'=1；连接P'B，∠P'AB=∠CAP'+∠BAC=30°+60°=90°，在Rt△P'AB中，AP'=1，AB=4，根据勾股定理得，BP'= =；（3）由（1）知，△AP'C∽△BPC，∴，∴∴AP'=1 是定值，∴点P'是在以点A 为圆心，半径为AP'=1 的圆上，①如图3，点P'在BA 的延长线上，此时，BP'取得最大值，∴∠P'AC=180°﹣∠BAC=60°，∵△AP'C∽△BPC，∴∠P'AC=PBC=120°，∴BP'取得最大值时，∠PBC=120°；②如图4，点P'在线段AB 上时，BP'取得最小值，∵△AP'C∽△BPC，∴∠PBC=∠BAC=60°，∴BP'取得最小值时，∠PBC=60°．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形的判定和性质，圆的性质，判断出△AP'C∽△BPC 是解本题的关键．28．（8 分）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G，若在图形G 上存在一点N，使M，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当⊙O的半径为3时，在点P1（1，0），P2（，1），P3（，0），P4（5，0）中，⊙O的和睦点是P2、P3；（2）若点P（4，3）为⊙O的和睦点，求⊙O的半径r的取值范围；（3）点A在直线y=﹣1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点E（，），若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标xA的取值范围．【分析】（1）分别以点P1，P2，P3，P4为圆心，1 为半径画圆，若与⊙O 有交点，则P 是，⊙O的和睦点；（2）如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．满足条件的⊙O必须与以P为圆心半径为1的圆相交或相切，当OA=4时，得到r 的最小值为4，当OB=6时，得到r的最大值为6；（3）分两种情形画出图形分别求解即可解决问题；解：（1）如图1 中，分别以点P1，P2，P3，P4为圆心，1 为半径画圆，若与⊙O有交点，则P 是，⊙O 的和睦点，观察图象可知，⊙O 的和睦点是P2、P3．故答案为：P2、P3．（2）如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．∵P（4，3），∴OP=5，满足条件的⊙O必须与以P为圆心半径为1的圆相交或相切，当OA=4时，得到r的最小值为4，当OB=6时，得到r的最大值为6，∴4≤r≤6．（3）①如图3中，当点O到C′D′的距离OM=1时，此时点A′的横坐标为﹣3．当点E到CD的距离EN=1时，此时点A的横坐标为﹣5，≤﹣3时，满足条件；∴﹣5≤xA②）①如图3 中，当点O 到A′B′的距离OM=1 时，此时点A′的横坐标为1当点E到AB的距离EN=1时，点A的横坐标为﹣1，≤1时，满足条件；∴﹣1≤xA≤﹣3或﹣1综上所述，满足条件的当A的横坐标的取值范围为：﹣5≤xA≤1．≤xA【点评】本题考查一次函数综合题、圆、正方形的有关性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
2018-2019学年北京市东城区九年级(上)期末数学试卷含答案解析
2018-2019学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（2分）（2016•曲阜市校级自主招生）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）（2018秋•东城区期末）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（）A．B．C．D．3．（2分）（2018秋•东城区期末）反比例函数y的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限4．（2分）（2019•河北区模拟）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB＝72°，则∠ACB 的度数为（）A．18°B．30°C．36°D．72°5．（2分）（2018秋•东城区期末）在平面直角坐标系xoy中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（3，0），以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大，若B点的对应点B′的坐标为（﹣6，0），则A点的对应点A′坐标为（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣4，﹣2）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）6．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：1，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：17．（2分）（2018秋•东城区期末）将抛物线y1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣2x2+1B．y＝﹣2x2﹣1C．D．8．（2分）（2018秋•东城区期末）下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：下面有三个推断：①当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955；②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95；③若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒．其中推断合理的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2018秋•东城区期末）港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车．大桥在设计理念、建造技术、施工组织、管理模式等方面进行一系列创新，标志着我国岛隧工程设计施工管理水平走在了世界前列．大桥全长近55km．汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为10．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为米．11．（2分）（2018秋•东城区期末）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是．12．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD ＝8，OE＝3，则⊙O的半径为．13．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD的长为9cm，则的长为cm．14．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是．15．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB＝4，则阴影部分的面积是．16．（2分）（2019•武侯区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C 逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC ＝60°，则线段MN的最大值为．三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.0或117．（5分）（2018秋•东城区期末）计算：4sin30°cos45°tan30°+2sin60°18．（5分）（2018秋•东城区期末）下面是小明设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程已知：平行四边形ABCD．求作：AE⊥BC，垂足为点E．作法：如图，①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线PQ，交AB于点O；③以点O为圆心，OA长为半径做圆，交线段BC于点E；④连接AE．所以线段AE就是所求作的高．根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∵AP＝BP，AQ＝，∴PQ为线段AB的垂直平分线．∴O为AB中点．∵AB为直径，⊙O与线段BC交于点E，∴∠AEB＝°．（）（填推理的依据）∴AE⊥BC．19．（5分）（2018秋•东城区期末）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD，（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AD＝2，AB＝5．求AC的长．20．（5分）（2018秋•东城区期末）京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式．京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B）21．（5分）（2018秋•东城区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x的部分取值及对应的函数值y如表所示：（1）写出此二次函数图象的对称轴；（2）求此二次函数的表达式．22．（5分）（2018秋•东城区期末）如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．（1）求a，k的值及点B的坐标；（2）若点P在x轴上，且S△ACP S△BOC，直接写出点P的坐标．23．（6分）（2018秋•东城区期末）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA 喷出，OA长为1.5米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c（a≠0）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求水流喷出的最大高度．24．（6分）（2018秋•东城区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：AE＝AF；（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的长．25．（6分）（2018秋•东城区期末）有这样一个问题：探究函数y的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：（1）函数y的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值：则m的值为；（3）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；（4）观察图象，写出该函数的一条性质；（5）若函数y的图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为；26．（6分）（2018秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为y＝﹣2x2+4mx ﹣2m2+2m，线段AB的两个端点分别为A（1，2），B（3，2）．（1）若抛物线经过原点，求出m的值；（2）求抛物线顶点C的坐标（用含有m的代数式表示）；（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．27．（7分）（2018秋•东城区期末）如图，M为正方形ABCD内一点，点N在AD边上，且∠BMN＝90°，MN＝2MB．点E为MN的中点，点P为DE的中点，连接MP并延长到点F，使得PF＝PM，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）求证：DF＝BM；（3）连接AM，用等式表示线段PM和AM的数量关系并证明．28．（7分）（2018秋•东城区期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M及以原点为圆心，1为半径的⊙O，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为⊙O上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M到⊙O的“圆距离”，记作d（M﹣O）（1）记线段AB为图形M，其中A（﹣1，2），B（1，2），求d（M﹣O）；（2）记函数y＝kx+4（k＞0）的图象为图形M，且d（M﹣O）≥1，直接写出k的取值范围；（3）记△CDE为图形M，其中C（t﹣2，﹣2），D（t+2，﹣2），E（t，4），且d （M﹣O）＝1，直接写出t的值．2018-2019学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（2分）（2016•曲阜市校级自主招生）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、不是中心对称图形，本选项错误；D、是中心对称图形，本选项正确．故选：D．2．（2分）（2018秋•东城区期末）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由图可得，直角三角形的斜边长5，∴sinα ，故选：A．3．（2分）（2018秋•东城区期末）反比例函数y的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限【解答】解：∵反比例函数y中k＝6＞0，∴此函数的图象位于一、三象限．故选：B．4．（2分）（2019•河北区模拟）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB＝72°，则∠ACB 的度数为（）A．18°B．30°C．36°D．72°【解答】解：∵∠AOB＝72°，∴∠ACB＝36°．故选：C．5．（2分）（2018秋•东城区期末）在平面直角坐标系xoy中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（3，0），以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大，若B点的对应点B′的坐标为（﹣6，0），则A点的对应点A′坐标为（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣4，﹣2）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）【解答】解：如图所示：∵相似比为2，∴A'（﹣2，﹣4），故选：A．6．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：1，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：1【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴△DEF∽△BAF，∵DE：EC＝3：1，∴DE+DC＝DE：AB＝3：4，∴（）2．故选：B．7．（2分）（2018秋•东城区期末）将抛物线y1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣2x2+1B．y＝﹣2x2﹣1C．D．【解答】解：抛物线y1的顶点坐标为（0，1），点关于原点O的对称点的坐标为（0，﹣1），此时旋转后抛物线的开口方向相反，所以旋转后的抛物线的解析式为y x2﹣1．故选：D．8．（2分）（2018秋•东城区期末）下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：下面有三个推断：①当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955；②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95；③若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒．其中推断合理的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【解答】解：①当n＝400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率大约是0.955，此推断错误；②根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950，所以估计大豆发芽的概率是0.95，此推断正确；③若n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为4000×0.950＝3800粒，此结论正确．故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2018秋•东城区期末）港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车．大桥在设计理念、建造技术、施工组织、管理模式等方面进行一系列创新，标志着我国岛隧工程设计施工管理水平走在了世界前列．大桥全长近55km．汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为【解答】解：∵大桥全长近55km，∴汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为，故答案为：．10．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为 6.4米．【解答】解：∵同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，，∴，∴BC＝6.4米．故答案为6.4．11．（2分）（2018秋•东城区期末）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是y＝﹣x2+3（答案不唯一）．【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c．∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），∴c＝3．取a＝﹣1，b＝0时，二次函数的解析式为y＝﹣x2+3．故答案为：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．12．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD ＝8，OE＝3，则⊙O的半径为5．【解答】解：连接OD，∵CD⊥AB于点E，直径AB过O，∴DE＝CE CD8＝4，∠OED＝90°，由勾股定理得：OD5，即⊙O的半径为5．故答案为：5．13．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD的长为9cm，则的长为πcm．【解答】解：∵AB＝18cm，BD＝9cm，∴AD＝9cm，∴的长．故答案为．14．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是45°．【解答】解：∵∠AOC的度数为105°，由旋转可得∠AOD＝∠BOC＝40°，∴∠AOB＝105°﹣40°＝65°，∵△AOD中，AO＝DO，∴∠A（180°﹣40°）＝70°，∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣65°＝45°，由旋转可得，∠C＝∠B＝45°，故答案为：45°．15．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB＝4，则阴影部分的面积是．【解答】解：如图，连接OD，OE，DE．∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵OA＝OD＝OB＝OE＝2，∴△AOD，∠EOB都是等边三角形，∴∠AOD＝∠EOB＝60°，∴∠DOE＝60°，△DOE是等边三角形，∴∠DOE＝∠EOB，∴弓形DE与弓形BE的面积相等，∵CD＝DE＝CE＝2，∴△CDE是等边三角形，∴S阴＝S△CDE22，故答案为．16．（2分）（2019•武侯区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C 逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC ＝60°，则线段MN的最大值为6．【解答】解：连接CN．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝4，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝A′B′＝2BC＝8，∵NB′＝NA′，∴CN A′B′＝4，∵CM＝BM＝2，∴MN≤CN+CM＝6，∴MN的最大值为6，故答案为6．三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.0或117．（5分）（2018秋•东城区期末）计算：4sin30°cos45°tan30°+2sin60°【解答】解：4sin30°cos45°tan30°+2sin60°＝42＝2﹣1﹣1．18．（5分）（2018秋•东城区期末）下面是小明设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程已知：平行四边形ABCD．求作：AE⊥BC，垂足为点E．作法：如图，①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线PQ，交AB于点O；③以点O为圆心，OA长为半径做圆，交线段BC于点E；④连接AE．所以线段AE就是所求作的高．根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∵AP＝BP，AQ＝BQ，∴PQ为线段AB的垂直平分线．∴O为AB中点．∵AB为直径，⊙O与线段BC交于点E，∴∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）∴AE⊥BC．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）理由：连接AQ，BQ，AP，BP．∵AP＝BP，AQ＝BQ，∴PQ为线段AB的垂直平分线，∴O为AB中点，∵AB为直径，⊙O与线段BC交于点E，∴∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角），∴AE⊥BC．故答案为：BQ，90，（直径所对的圆周角是直角）．19．（5分）（2018秋•东城区期末）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD，（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AD＝2，AB＝5．求AC的长．【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD（2）解：△ABC∽△ACD∴，∵AD＝2，AB＝5，∴，∴AC．20．（5分）（2018秋•东城区期末）京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式．京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B）【解答】解：画树状图为：由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，所以P（两张都是“红脸”），答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是．21．（5分）（2018秋•东城区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x的部分取值及对应的函数值y如表所示：（1）写出此二次函数图象的对称轴；（2）求此二次函数的表达式．【解答】解：（1）∵当x＝﹣2时，y＝3；当x＝0时，y＝3，∴二次函数图象的对称轴为直线x，即x＝﹣1．（2）将（﹣1，2），（0，3），（1，6）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴此二次函数的表达式为y＝x2+2x+3．22．（5分）（2018秋•东城区期末）如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．（1）求a，k的值及点B的坐标；（2）若点P在x轴上，且S△ACP S△BOC，直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）把点A（﹣1，a）代入y＝x+4，得a＝3，∴A（﹣1，3）把A（﹣1，3）代入反比例函数y∴k＝﹣3；∴反比例函数的表达式为y联立两个函数的表达式得解得或∴点B的坐标为B（﹣3，1）；（2）当y＝x+4＝0时，得x＝﹣4∴点C（﹣4，0）设点P的坐标为（x，0）∵S△ACP S△BOC，∴3×|x+4|4×1解得x1＝﹣6，x2＝﹣2∴点P（﹣6，0）或（﹣2，0）．23．（6分）（2018秋•东城区期末）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA 喷出，OA长为1.5米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c（a≠0）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求水流喷出的最大高度．【解答】解：（1）由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：，解得：，则函数表达式为：y x2+x；（2）a＜0，故函数有最大值，∴当x＝1时，y取得最大值，此时y＝2，答：水流喷出的最大高度为2米．24．（6分）（2018秋•东城区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：AE＝AF；（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的长．【解答】证明：（1）连接OD，∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC，∴∠ODC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠F，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∴∠OED＝∠F，∴AE＝AF；（2）∵OD∥AC∴△BOD∽△BAC，∴，∵AE＝5，AC＝4，即，∴BE．25．（6分）（2018秋•东城区期末）有这样一个问题：探究函数y的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：（1）函数y的自变量x的取值范围是x≠3；（2）下表是y与x的几组对应值：则m的值为；（3）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；（4）观察图象，写出该函数的一条性质当x＞3时y随x的增大而减小（答案不唯一）；（5）若函数y的图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为y1＜y3＜y2；【解答】解：（1）∵x﹣3≠0，∴x≠3；（2）当x＝﹣1时，y；（3）如图所示：（4）由图象可得，当x＞3时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（5）由图象可得，当x1＜3时，y1＜1；当0＜x2＜x3时，1＜y3＜y2．∴y1、y2、y3之间的大小关系为y1＜y3＜y2．故答案为：x≠3；；当x＞3时，y随x的增大而减小；y1＜y3＜y2．26．（6分）（2018秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为y＝﹣2x2+4mx ﹣2m2+2m，线段AB的两个端点分别为A（1，2），B（3，2）．（1）若抛物线经过原点，求出m的值；（2）求抛物线顶点C的坐标（用含有m的代数式表示）；（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+4mx﹣2m2+2m经过原点，∴﹣2m2+2m＝0，解得m1＝0，m2＝1；（2）∵y＝﹣2x2+4mx﹣2m2+2m＝﹣2（x2﹣2mx+m2）+2m＝﹣2（x﹣m）2+2m，∴顶点C的坐标为（m，2m）；（3）由顶点C的坐标可知，抛物线的顶点C在直线y＝2x上移动．当抛物线过点A时，m＝2或1；当抛物线过点B时，m＝2或5．所以m＝2时，抛物线与线段AB有两个公共点，不符合题意．结合函数的图象可知，m的取值范围为1≤m≤5且m≠2．27．（7分）（2018秋•东城区期末）如图，M为正方形ABCD内一点，点N在AD边上，且∠BMN＝90°，MN＝2MB．点E为MN的中点，点P为DE的中点，连接MP并延长到点F，使得PF＝PM，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）求证：DF＝BM；（3）连接AM，用等式表示线段PM和AM的数量关系并证明．【解答】解：（1）如右图所示；（2）∵点P为线段DE的中点，∴DP＝EP在△MPE和△FPD中，∴△MPE≌△FPD（SAS），∴DF＝EM，∵E为MN的中点，∴MN＝2ME，∵MN＝2MB，∴MB＝ME＝DF，∴DF＝BM；（3）结论：，证明：连接AF，由（2）可知：△MPE≌△FPD，∴∠DFP＝∠EMP，∴DF∥ME，∴∠FDN＝∠MND，在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝90°，又∵∠BMN＝90°，∴∠MBA+∠MNA＝180°，又∵∠MNA+∠MND＝180°，∴∠MBA＝∠MND，∴∠FDN＝∠MBA，在△F AD和△MAB中，，∴△F AD≌△MAB（SAS），∴∠F AD＝∠MAB，F A＝MA，∴∠F AM＝∠DAB＝90°，∴△F AM为等腰直角三角形，∴又∵FM＝2PM，∴．28．（7分）（2018秋•东城区期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M及以原点为圆心，1为半径的⊙O，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为⊙O上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M到⊙O的“圆距离”，记作d（M﹣O）（1）记线段AB为图形M，其中A（﹣1，2），B（1，2），求d（M﹣O）；（2）记函数y＝kx+4（k＞0）的图象为图形M，且d（M﹣O）≥1，直接写出k的取值范围；（3）记△CDE为图形M，其中C（t﹣2，﹣2），D（t+2，﹣2），E（t，4），且d （M﹣O）＝1，直接写出t的值．【解答】解：（1）如下图所示由题意得：点A、点B关于y轴对称，则：PQ＝1，即：d（M﹣O）＝1；（2）如下图所示，当d（M﹣O）＝1时，过点O作OP⊥MN，交圆于点Q，由题意得：OM＝4，即：PQ＝1，则OP＝2，sin∠OMP，即：∠NMO＝30°，则ON＝OM•tan30°，点N的坐标为（，0），把点N的坐标代入直线表达式得：0k+4，解得：k，而k＞0，故：＜；（3）①当t＜0时，如下图所示，过点O作OP⊥ED交于点D，过点E作x轴的垂线交于点G、交CD于点N，则DN＝2，EN＝6，tan∠NED，即：∠DEN＝30°，∴∠EDN＝∠EHG＝60°＝∠OHP，由题意得：OP＝2，OH，则：HG t，GE＝4，tan∠EHG，解得：t，②当t＞0时，同理可得：t，③当t＝0时，d（M﹣O）＝1，即当d（M﹣O）＝1时，t的值为0或或．第31页（共31页）。
精选题库北京市东城区九年级上学期数学期末试卷【答案版】
4．（2 分）点 A（x1， y1）， B（ x2，y2）都在反比例函数
的图象上，若 x1＜ x2
＜ 0，则（ ） A．y2＞ y1＞0 B．y1＞y2＞0 C． y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜ 0 【解答】 解：∵ k=2＞ 0， ∴此函数图象的两个分支分别位于一、 三象限， 且在每一象限内 y 随 x 的增大而 减小， ∵ x1＜x2＜0， ∴点 A（x1， y1）， B（ x2，y2）位于第三象限， ∴ y2＜y1＜0， 故选： C．
则点 B 的坐标为
．
12．（ 2 分）如图， AB 是⊙ O 的弦， C 是 AB 的中点，连接 OC并延长交⊙ O 于点
D．若 CD=1，AB=4，则⊙ O 的半径是
．
13．（2 分）某校九年级的 4 位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度． 为
了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高 1m 的桌子上，且
（m/n ）
（n）
（ m/n ）
50
47
0.940
1500
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1335
0.890
270
235
0.870
3500
3203
0.915
400
369
0.923
7000
6335
0.905
750
662
0.883
14000
12628
0.902
下面有四个推断：
①当移植的树数是 1 500 时，表格记录成活数是 1 335，所以这种树苗成活的概
27．（ 7 分）如图 1，在△ ABC中，∠ ACB=90°，AC=2，BC=2 ，以点 B 为圆心， 为半径作圆．点 P 为⊙ B 上的动点，连接 PC，作 P'C⊥ PC，使点 P'落在直线
2018-2019学年北京市东城区九年级(上)期末数学试卷解析版
2018-2019学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是A.B.C. D.【答案】D【解析】解：A 、不是中心对称图形，本选项错误； B 、不是中心对称图形，本选项错误； C 、不是中心对称图形，本选项错误； D 、是中心对称图形，本选项正确． 故选：D ．根据中心对称图形的概念求解即可．本题考查了中心对称图形的概念 中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则 的值是A.B.C. D.【答案】A【解析】解：由图可得，直角三角形的斜边长 ， ，故选：A ．锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做 的正弦，即 的对边除以斜边．本题主要考查了锐角三角函数的定义，我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做 的正弦，记作 ．3. 反比例函数的图象位于A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、三象限D. 第二、四象限【答案】B【解析】解： 反比例函数中 ， 此函数的图象位于一、三象限． 故选：B ．直接根据反比例函数的性质进行解答即可．本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数的图象是双曲线；当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．4.如图，点A、B、C都在上，若，则的度数为A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，．故选：C．根据圆周角定理，由，即可推出结果．本题主要考查圆周角定理，关键在于运用数形结合的思想进行认真分析．5.在平面直角坐标系xoy中，各顶点的坐标分别为：，，，以原点O为位似中心，相似比为2，将放大，若B点的对应点的坐标为，则A点的对应点坐标为A.B.C.D.【答案】A【解析】解：如图所示：相似比为2，，故选：A．利用位似图形的性质得出对应点坐标，进而得出答案．此题主要考查了位似变换，根据图形变换的性质得出对应点坐标是解题关键．6.如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：：1，则的面积与的面积之比为A. 3：4B. 9：16C. 9：1D. 3：1【答案】B【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，，，∽ ，：：1，：：4，．故选：B．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：抛物线的顶点坐标为，点关于原点O的对称点的坐标为，此时旋转后抛物线的开口方向相反，所以旋转后的抛物线的解析式为．故选：D．先确定抛物线线的顶点坐标为，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点变换后所得对应点的坐标为，然后利用顶点式写出旋转后抛物线．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．8.当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为，所以大豆发芽的概率是；随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是；若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒．其中推断合理的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：当时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为，所以大豆发芽的概率大约是，此推断错误；根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于，所以估计大豆发芽的概率是，此推断正确；若n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为粒，此结论正确．故选：D．根据表中信息，当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于，由于试验次数较多，可以用频率估计概率．本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车大桥在设计理念、建造技术、施工组织、管理模式等方面进行一系列创新，标志着我国岛隧工程设计施工管理水平走在了世界前列大桥全长近汽车行驶完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的关系式为______【答案】【解析】解：大桥全长近55km，汽车行驶完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的关系式为，故答案为：．依据行程问题中的关系：时间路程速度，即可得到汽车行驶完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的关系式．本题主要考查了函数关系式，用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．10.如图，身高米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为______米【答案】【解析】解：同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，，，米．故答案为．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．11.请你写出一个二次函数，其图象满足条件：开口向下；与y轴的交点坐标为此二次函数的解析式可以是______．【答案】答案不唯一【解析】解：设二次函数的解析式为．抛物线开口向下，．抛物线与y轴的交点坐标为，．取，时，二次函数的解析式为．故答案为：答案不唯一．根据二次函数的性质可得出，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，取，即可得出结论．本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出，是解题的关键．12.如图，AB为的直径，弦于点E，已知，，则的半径为______．【答案】5【解析】解：连接OD，于点E，直径AB过O，，，由勾股定理得：，即的半径为5．故答案为：5．连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理求出OD即可．本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，能根据垂径定理求出DE的长是解此题的关键．13.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为，AB的长为18cm，BD的长为9cm，则的长为______cm．【答案】【解析】解：，，，的长．故答案为．利用弧长公式计算即可．本题考查弧长公式：为扇形的圆心角，r为扇形的半径，解题的关键是记住弧长公式，属于中考常考题型．14.如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且，则的度数是______．【答案】【解析】解：的度数为，由旋转可得，，中，，，中，，由旋转可得，，故答案为：．先根据的度数和的度数，可得的度数，再根据中，，可得的度数，进而得出中的度数，可得的度数．本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．15.如图，以等边的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若，则阴影部分的面积是______．【答案】【解析】解：如图，连接OD，OE，DE．是等边三角形，，，，都是等边三角形，，，是等边三角形，，弓形DE与弓形BE的面积相等，，是等边三角形，，阴故答案为．如图，连接OD，OE，证明阴即可解决问题．本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．16.如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是BC的中点，N是的中点，连接MN，若，，则线段MN的最大值为______．【答案】6【解析】解：连接CN．在中，，，，，，，，，的最大值为6，故答案为6．连接根据直角三角形斜边中线的性质求出，利用三角形的三边关系即可解决问题．本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）17.计算：【答案】解：．【解析】依据、、角的各种三角函数值，代入计算即可．本题主要考查了特殊角的三角函数值，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．18.如图，在中，点D在AB边上，，求证： ∽ ；若，求AC的长．【答案】解：，，∽解： ∽，，，，．【解析】根据相似三角形的判定即可求出答案．根据相似三角形的性质即可求出答案．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．四、解答题（本大题共10小题，共58.0分）19.下面是小明设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程已知：平行四边形ABCD．求作：，垂足为点E．作法：如图，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；作直线PQ，交AB于点O；以点O为圆心，OA长为半径做圆，交线段BC于点E；连接AE．所以线段AE就是所求作的高．根据小明设计的尺规作图过程使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹完成下面的证明证明：，______，为线段AB的垂直平分线．为AB中点．为直径，与线段BC交于点E，____________填推理的依据．【答案】BQ90 直径所对的圆周角是直角【解析】解：图形如图所示：理由：连接AQ，BQ，AP，BP．，，为线段AB的垂直平分线，为AB中点，为直径，与线段BC交于点E，直径所对的圆周角是直角，．故答案为：BQ，90，直径所对的圆周角是直角．根据要求画出图形即可解决问题；只要证明即可解决问题；本题考查线段垂直平分线的性质，作图复杂作图等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20.京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率图案为“红脸”的两张卡片分别记为、，图案为“黑脸”的卡片记为【答案】解：画树状图为：由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，所以两张都是“红脸”，答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是．【解析】根据题意画出树状图，求出所有的情况数和两次抽取的卡片上都是“红脸”的情况数，再根据概率公式计算即可．此题主要考查了概率的求法用到的知识点为数状图和概率，概率所求情况数与总情况数之比，关键是根据题意画出树状图．21.已知二次函数自变量x的部分取值及对应的函数值y如表所示：求此二次函数的表达式．【答案】解：当时，；当时，，二次函数图象的对称轴为直线，即．将，，代入，得：，解得：，此二次函数的表达式为．【解析】由当和时y值相等，利用二次函数的性质即可求出二次函数图象的对称轴；根据表格中的数据找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数表达式．本题考查了二次函数的性质以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：利用二次函数图象的对称性找出二次函数图象的对称轴；根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．22.如图，一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象交于，B两点，与x轴交于点C．求a，k的值及点B的坐标；若点P在x轴上，且，直接写出点P的坐标．【答案】解：把点代入，得，把代入反比例函数；反比例函数的表达式为联立两个函数的表达式得解得或点B的坐标为；当时，得点设点P的坐标为，解得，点或．【解析】利用点A在上求a，进而代入反比例函数求k，然后联立方程求出交点，设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标．本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过联立方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达．23.某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为米水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米建立平面直角坐标系，水流喷出的高度米与水平距离米之间近似满足函数关系．求y与x之间的函数关系式；求水流喷出的最大高度．【答案】解：由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：，解得：，则函数表达式为：；，故函数有最大值，当时，y取得最大值，此时，答：水流喷出的最大高度为2米．【解析】由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，即可求解；，故当时，y取得最大值．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．24.如图，已知中，，E为AB上一点，以AE为直径作与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．求证：；若，，求BE的长．【答案】证明：连接OD，切于点D，，，又，，，，，，；∽ ，，，，即，．【解析】连接OD，根据切线的性质得到，根据平行线的判定定理得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论；根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25.有这样一个问题：探究函数的图象与性质小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：函数的自变量x的取值范围是______；则的值为；如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；观察图象，写出该函数的一条性质______；若函数的图象上有三个点、、，且，则、、之间的大小关系为______；【答案】当时y随x的增大而减小答案不唯一【解析】解：，；当时，；如图所示：由图象可得，当时，y随x的增大而减小答案不唯一；由图象可得，当时，；当时，．、、之间的大小关系为．故答案为：；；当时，y随x的增大而减小；．依据函数表达式中分母不等于0，即可得到自变量x的取值范围；把代入函数解析式，即可得到m的值；依据各点的坐标描点连线，即可得到函数图象；依据函数图象，即可得到函数的增减性；依据函数图象，即可得到当时，；当时，．本题主要考查了反比例函数的图象与性质，用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表---描点---连线连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为，线段AB的两个端点分别为，．若抛物线经过原点，求出m的值；求抛物线顶点C的坐标用含有m的代数式表示；若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．【答案】解：抛物线经过原点，，解得，；，顶点C的坐标为；由顶点C的坐标可知，抛物线的顶点C在直线上移动．当抛物线过点A时，或1；当抛物线过点B时，或5．所以时，抛物线与线段AB有两个公共点，不符合题意．结合函数的图象可知，m的取值范围为且．【解析】将，代入，得到关于m的方程，解方程即可求出m的值；利用配方法将抛物线的一般式化为顶点式，进而求出顶点C的坐标；由所求顶点C的坐标可知，抛物线的顶点C在直线上移动分别求出抛物线过点A、点B时，m的值，画出此时函数的图象，结合图象即可求出m的取值范围．本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，直线与抛物线的位置关系，提现了转化思想和数形结合思想的应用．27.如图，M为正方形ABCD内一点，点N在AD边上，且，点E为MN的中点，点P为DE的中点，连接MP并延长到点F，使得，连接DF．依题意补全图形；求证：；连接AM，用等式表示线段PM和AM的数量关系并证明．【答案】解：如右图所示；点P为线段DE的中点，在和中，≌ ，，为MN的中点，，，，；结论：，证明：连接AF，由可知： ≌ ，，，，在正方形ABCD中，，，又，，又，，，在和中，，≌ ，，，，为等腰直角三角形，又，．【解析】根据题意可以画出完整的图形；由，点E为MN的中点可知，要证明，只要证明即可，要证明，只要证明 ≌ 即可，然后根据题目中的条件和全等三角形的判定即可证明结论成立；首先写出线段PM和AM的数量关系，然后根据题意作出合适的辅助线，利用全等三角形的判定和性质、正方形的性质即可证明结论成立．本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．28.对于平面直角坐标系xOy中的图形M及以原点为圆心，1为半径的，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M到的“圆距离”，记作记线段AB为图形M，其中，，求；记函数的图象为图形M，且，直接写出k的取值范围；记为图形M，其中，，，且，直接写出t的值．【答案】解：如下图所示由题意得：点A、点B关于y轴对称，则：，即：；如下图所示，当时，过点O作，交圆于点Q，由题意得：，即：，则，，即：，则，点N的坐标为，把点N的坐标代入直线表达式得：，解得：，而，故：；当时，如下图所示，过点O作交于点D，过点E作x轴的垂线交于点G、交CD于点N，则，，，即：，，由题意得：，，则：，，，解得：，当时，同理可得：，当时，，即当时，t的值为0或或．【解析】如下图所示，由题意得：点A、点B关于y轴对称，即可求解；如下图所示，当时，过点O作，交圆于点Q，则：，则，即可求解；分、、三种情况，求解即可．本题为圆的综合题，属于阅读理解型题目，关键是通过正确画图，确定图形间的位置关系．。
{3套试卷汇总}2018年北京市某中学九年级上学期期末达标检测数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知反比例函数k y x=图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．0k >B ．y 随x 的增大而减小C ．若矩形OABC 面积为2，则2k =D ．若图象上两个点的坐标分别是()12,M y -，()21,N y -，则12y y <【答案】D【分析】根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可．【详解】解：A.反比例函数的图象位于第二象限，∴k ﹤0故A 错误；B. 在第二象限内y 随x 的增大而增大，故B 错误；C. 矩形OABC 面积为2，∵k ﹤0,∴k=-2，故C 错误；D.∵图象上两个点的坐标分别是()12,M y -，()21,N y -，在第二象限内y 随x 的增大而增大，∴12y y <，故D 正确，故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，牢记反比例函数的比例系数的符号与其图象的关系是解决本题的关键． 2．如图，在33⨯的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若再任意涂灰2个白色小正方形（每个白色小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是（ ）A ．16B ．15C ．415D ．13【答案】C【分析】根据题目意思我们可以得出总共有15种可能，而能构成轴对称图形的可能有4种，然后根据概率公式可计算出新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率．【详解】解：如图所示可以涂成黑色的组合有：1，2；1，3；1，4；1，5；1，6；2，3；2，4；2，5；2，6；3，4；3，5；3，6；4，5；4，6；5，6；一共有15种可能构成黑色部分的图形是轴对称图形的：1，4；3，6；2，3；4，5；∴构成黑色部分的图形是轴对称图形的概率：4 15故选：C．【点睛】此题主要考查的是利用轴对称设计图案，正确得出所有组合是解题的关键．3．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点M，N分别为OB，OC的中点，则cos∠OMN的值为( )A．12B．22C3D．1【答案】B【详解】∵正方形对角线相等且互相垂直平分∴△OBC是等腰直角三角形，∵点M，N分别为OB，OC的中点，∴MN//BC∴△OMN是等腰直角三角形，∴∠OMN=45°∴cos∠OMN=2 24．如图是抛物线y＝a(x＋1)2＋2的一部分，该抛物线在y轴右侧部分与x轴的交点坐标是( )A ．(12，0)B ．(1，0)C ．(2，0)D ．(3，0)【答案】B【解析】根据图表，可得抛物线y=a(x+1)2+2与x 轴的交点坐标为(−3，0)；将(−3，0)代入y=a(x+1)2+2，可得a(−3+1)2+2=0，解得a=−12；所以抛物线的表达式为y=−12(x+1)2+2；当y=0时，可得−12(x+1)2+2=0，解得x 1=1，x 2=−3，所以该抛物线在y 轴右侧部分与x 轴交点的坐标是(1，0)．故选 B.5．已知如图ABC 中，点O 为BAC ∠，ACB ∠的角平分线的交点，点D 为AC 延长线上的一点，且AD AB =，CD CO =，若138∠=︒AOD ，则ABC ∠的度数是（ ）．A ．12︒B ．24︒C ．48︒D ．96︒【答案】C 【分析】连接BO ，证O 是△ABC 的内心，证△BAO ≌△DAO ，得∠D=∠ABO ，根据三角形外角性质得∠ACO=∠BCO=∠D+∠COD=2∠D ，即∠ABC=∠ACO=∠BCO ，再推出∠OAD+∠D=180°-138°=42°，得∠BAC+∠ACO=84°，根据三角形内角和定理可得结果.【详解】连接BO ，由已知可得因为AO,CO 平分∠BAC 和∠BCA所以O 是△ABC 的内心所以∠ABO=∠CBO=12∠ABC 因为AD=AB,OA=OA,∠BAO=∠DAO所以△BAO ≌△DAO所以∠D=∠ABO所以∠ABC=2∠ABO=2∠D因为OC=CD所以∠D=∠COD所以∠ACO=∠BCO=∠D+∠COD=2∠D所以∠ABC=∠ACO=∠BCO因为∠AOD=138°所以∠OAD+∠D=180°-138°=42°所以2（∠OAD+∠D ）=84°即∠BAC+∠ACO=84°所以∠ABC+∠BCO=180°-（∠BAC+∠ACO ）=180°-84°=96°所以∠ABC=12⨯96°=48°故选：C【点睛】考核知识点：三角形的内心.利用全等三角形性质和角平分线性质和三角形内外角定理求解是关键. 6．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边落在对角线 BD 上，点A 落在点A' 处，折痕为DG ，求AG 的长为（ ）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．3【答案】A 【分析】由在矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，可求得BD 的长，由折叠的性质，即可求得A′B 的长，然后设AG=x ，由勾股定理即可得：()22224x x +=-，解此方程即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ∠=︒， ∴225BD AD AB =+=， 由折叠的性质,可得：A′D=AD=3,A′G=AG,90DA G '∠=︒，∴A′B=BD−A′D=5−3=2，设AG=x ，则A′G=x ，BG=AB−AG=4−x ，在Rt △A′BG 中,由勾股定理得：222A G A B BG ''+=，∴()2244x x +=-，解得：3,2x =∴3.2AG = 故选：A ．【点睛】考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．7．下列说法错误的是A ．必然事件发生的概率为1B ．不可能事件发生的概率为0C ．有机事件发生的概率大于等于0、小于等于1D ．概率很小的事件不可能发生【答案】D【分析】利用概率的意义分别回答即可得到答案．概率的意义：必然事件就是一定发生的事件，概率是1；不可能发生的事件就是一定不发生的事件，概率是0；随机事件是可能发生也可能不发生的事件，概率＞0且＜1；不确定事件就是随机事件．【详解】解：A 、必然发生的事件发生的概率为1，正确；B 、不可能发生的事件发生的概率为0，正确；C 、随机事件发生的概率大于0且小于1，正确；D 、概率很小的事件也有可能发生，故错误，故选D ．【点睛】本题考查了概率的意义及随机事件的知识，解题的关键是了解概率的意义．8．如图，在O 中，37B ∠=，则劣弧AB 的度数为（ ）A ．1?06B ．1?26C ． 74?D ． 53【答案】A 【解析】注意圆的半径相等，再运用“等腰三角形两底角相等”即可解．【详解】连接OA ，∵OA=OB ，∠B=37°∴∠A=∠B=37°，∠O=180°-2∠B=106°．故选：A【点睛】本题考核知识点：利用了等边对等角，三角形的内角和定理求解 解题关键点：熟记圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理．9．如图，在正方形ABCD 中，E F ，分别为ADCD ，的中点，CE BF ，交于点G ，连接AG ，则:CFG ABG S S ∆∆=（ ）A ．1:8B ．2:15C ．3:20D ．1:6【答案】A 【分析】延长CE 交BA 延长线于点M ,可证AM CD =,12AGM ABG BMG S S S ==,CFG ABG ,2CFG MBG S CF S BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 【详解】解: 延长CE 交BA 延长线于点M在DCE 与AME △中90D EAM AE DEMEA DEC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩DCE AME ∴≅AM CD ∴=12AGM ABG BMG S S S ∴==//CD ABCFGABG 2116CFG MBG SCF S BM ⎛⎫== ⎪⎝⎭:1:8CFG ABG S S ∆∆=故选A【点睛】本题考查了相似三角形的性质.10．方程x 2﹣6x+5＝0的两个根之和为（ ）A ．﹣6B ．6C ．﹣5D ．5 【答案】B 【分析】根据根与系数的关系得出方程的两根之和为661--=，即可得出选项． 【详解】解：方程x 2﹣6x+5＝0的两个根之和为6，故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解决问题的关键是熟练正确理解题意，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.11．若抛物线y=x 2-2x-1与x 轴的一个交点坐标为（m ，0），则代数式2m 2-4m+2017的值为（ ） A ．2019B ．2018C ．2017D ．2015 【答案】A 【分析】将()0m ，代入抛物线的解析式中，可得2210m m --=，变形为2242m m -=然后代入原式即可求出答案．【详解】将()0m ，代入221y x x =--， ∴2210m m --=，变形得：2242m m -=，∴2242017220172019m m -+=+=，故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的与x 轴的交点，解题的关键是根据题意得出2242m m -=，本题属于基础题型． 12．如图，等边△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 中点，点M 在CB 的延长线上，△DMN 为等边三角形，且EN 经过F 点.下列结论：①EN=MF ②MB=FN ③MP·DP=NP·FP ④MB·BP=PF·FC ，正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】①连接DE 、DF ，根据等边三角形的性质得到∠MDF=∠NDE ，证明△DMF ≌△DNE ，根据全等三角形的性质证明；②根据①的结论结合点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 中点，即可得证；③根据题目中的条件易证得~MPN DPF ，即可得证； ④根据题目中的条件易证得~BDP FNP ，再则等量代换，即可得证．【详解】连接DE DF 、，∵ABC 和DMN 为等边三角形，∴DM DN =，60MDN ∠=︒，∵点D E F 、、分别为边AB AC BC ，，的中点，∴DEF 是等边三角形，∴DE DF =，60EDF ∠=︒，∵60MDF MDN NDF NDF ∠∠∠∠=+=︒+60NDE EDF NDF NDF ∠∠∠∠=+=︒+∴MDF NDE ∠∠=，在DMF 和DNE 中，DF DE MDF NDE DM DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DMF DNE SAS ≌，∴EN MF =，故①正确；∵点D E F 、、分别为等边三角形三边AB AC BC ，，的中点，∴四边形DEFB 为菱形，∴BF EF =，∵EN MF =，∴MB FN =，故②正确；∵点D F 、分别为等边三角形三边AB BC ，的中点，∴DF ∥AC ，∴60DFP C ∠=∠=︒，∵DMN 为等边三角形，∴60DFP MNP ∠=∠=︒，又∵MPN DPF ∠=∠，∴~MPN DPF ， ∴MP NP DP FP=， ∴MP FP NP DP =，故③错误；∵点D E F 、、分别为等边三角形三边AB AC BC ，，的中点，∴EF ∥AB ，BD FC =，∴~BDP FNP ， ∴BP BD PF FN=， 由②得MB FN =， ∴BP FC PF MB =， ∴··MB BP PF FC =，故④正确；综上：①②④共3个正确.故选：C【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理结合等量代换是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差S02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为S12，则S12__S02（填“＞”，“＝”或”＜”）【答案】=【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．【详解】∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，∴则S12＝S1．故答案为：＝．【点睛】本题考查方差的意义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为x，则方差S2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（x n-x）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．14．小杰在楼下点A处看到楼上点B处的小明的仰角是42度，那么点B处的小明看点A处的小杰的俯角等于_____度．【答案】1【解析】根据题意画出图形，然后根据平行线的性质可以求得点B处的小明看点A处的小杰的俯角的度数，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，∠BAO＝1°，∵BC∥AD，∴∠BAO＝∠ABC，∴∠ABC＝1°，即点B处的小明看点A处的小杰的俯角等于1度，故答案为：1．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．某小区2019年的绿化面积为3000m 2，计划2021年的绿化面积为4320m 2，如果每年绿化面积的增长率相同，设增长率为x ，则可列方程为______． 【答案】3000(1+ x)2=1【分析】设增长率为x ，则2010年绿化面积为3000（1+x ）m 2，则2021年的绿化面积为3000（1+x ）（1+x ）m 2，然后可得方程．【详解】解：设增长率为x ，由题意得： 3000（1+x ）2=1，故答案为：3000（1+x ）2=1． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．16．甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.12，乙的方差是0.05，这5次短跑训练成绩较稳定的是_____．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵甲的方差为0.14，乙的方差为0.06， ∴S 甲2＞S 乙2，∴成绩较为稳定的是乙； 故答案为：乙． 【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．17．如图，一次函数2y x =--与y kx b =+的图象交于点(),4P n -，则关于x 的不等式2kx b x +<--的解集为______.【答案】2x <【分析】先把(),4P n -代入2y x =--求出n 的值，然后根据图像解答即可.【详解】把(),4P n -代入2y x =--，得 -n-2=-4， ∴n=2，∴当x<2时，2kx b x +<--. 故答案为：x<2. 【点睛】本题主要考查一次函数图像上点的坐标特征，以及一次函数和一元一次不等式的关系、数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 18．如图，矩形ABCD 的顶点A ，C 在反比例函数(0,0)ky k x x=>>的图象上，若点A 的坐标为(3,4)，2AB =，//AD x 轴，则点C 的坐标为__．【答案】(6,2)．【分析】根据矩形的性质和A 点的坐标，即可得出C 的纵坐标为2，设(,2)C x ，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出234k x ==⨯，解得6x =，从而得出C 的坐标为(6,2)． 【详解】点A 的坐标为(3,4)，2AB =，(3,2)B ∴，四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，//AD x 轴， //BC x ∴轴，C ∴点的纵坐标为2，设(,2)C x ，矩形ABCD 的顶点A ，C 在反比例函数(0,0)ky k x x=>>的图象上， 234k x ∴==⨯，6x ∴=，(6,2)C ∴，故答案为(6,2)． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得C 的纵坐标为2是解题的关键． 三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，O 的直径AB 为20cm ，弦12AC cm =，ACB ∠的平分线交O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长．【答案】BC=16cm ，AD=BD=102cm ．【解析】利用圆周角定理及勾股定理即可求出答案. 解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∴BC=22AB AC - =16（cm ）； ∵CD 是∠ACB 的平分线， ∴AD BD =， ∴AD=BD ， ∴AD=BD=22×AB=102（cm ）． 20．如图，在ABC ∆中，67 30AB cm BC cm ABC ==∠=，，, 点P 从A 点出发,以1/cm s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2/cm s 的速度向C 点移动．如果P Q ，两点同时出发，经过几秒后PBQ ∆的面积等于24cm ?【答案】经过2秒后PBQ ∆的面积等于24cm【分析】首先构建直角三角形，求出各边长，然后利用面积构建一元二次方程，求解即可. 【详解】过点Q 作QE PB ⊥于E ，则90QEB ∠=︒，如图所示：30ABC ∠=︒，2QE QB ∴=12PQB S PB QE ∆∴=设经过t 秒后PBQ ∆的面积等于2 4cm ， 则62PB t QB t QE t =-==，，．根据题意，16 4.2t t -=（）212 680,24t t t t -+===，．当4t =时，28,87t =>，不合题意舍去，取2t =． 答：经过2秒后PBQ ∆的面积等于24cm . 【点睛】此题主要考查三角形中的动点问题，解题关键是利用面积构建一元二次方程. 21．已知关于x 的一元二次方程x 1 = 1（1－m ）x －m 1 有两个实数根为x 1，x 1． （1）求m 的取值范围；（1）设y = x 1 + x 1，求当m 为何值时，y 有最小值． 【答案】（1） m ≤12；（1）m=12【分析】（1）若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△=b 1-4ac ≥0，建立关于m 的不等式，可求出m 的取值范围；（1）根据根与系数的关系可得出x 1+x 1的表达式，进而可得出y 、m 的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y 有最小值时及对应的m 值． 【详解】解：（1）将原方程整理为x 1+1（m-1）x+m 1=0； ∵原方程有两个实数根，∴△=〔1（m －1）〕1－4m 1 =－8m + 4≥0， ∴m ≤12（1）∵ x 1，x 1为方程的两根， ∴ y=x 1+x 1 =－1m+1，∵-1＜0 ∴ y随m的增大而减小∵m≤1 2∴当m =12时，y有最小值．【点睛】此题是根的判别式、根与系数的关系与一次函数的结合题．牢记一次函数的性质是解答（1）题的关键．22．为增强中学生体质，篮球运球已列为铜陵市体育中考选考项目，某校学生不仅练习运球，还练习了投篮，下表是一名同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据，回答问题．投篮次数（n）50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m）28 60 78 104 124 153 252 （1）估计这名同学投篮一次，投中的概率约是多少？（精确到0.1）（2）根据此概率，估计这名同学投篮622次，投中的次数约是多少？【答案】（1）约0.5；（2）估计这名同学投篮622次，投中的次数约是311次．【分析】（1）对于不同批次的定点投篮命中率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法；（2）投中的次数＝投篮次数×投中的概率，依此列式计算即可求解．【详解】解：（1）估计这名球员投篮一次，投中的概率约是28+60+78+104+124+153+2520.5 50+100+150+200+250+300+500≈；（2）622×0.5＝311（次）．故估计这名同学投篮622次，投中的次数约是311次．【点睛】本题考查频率估计概率，解题的关键是掌握频率估计概率.23．将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，若AD＝4，则四边形BEGF的面积为_____．【答案】2 2【分析】设DG＝CG＝a，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝4，由勾股定理得出()22243a a+=，解得a2，证明△EDG∽△GCF，得出比例线段ED DGCG CF=，求出CF．则可求出EF．由四边形面积公式可求出答案．【详解】解：由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，∴E ，G 分别为AD ，CD 的中点，设DG ＝CG ＝a ，则AB ＝2a ＝OB ，DG ＝OG ＝CG ＝a ，BG ＝3a ，BC ＝AD ＝4， ∵∠C ＝90°，∴Rt △BCG 中，222CG BC BG +=， ∴()22243a a +=，∴a， ∴DG ＝CG，∴BG ＝OB+OG ＝＝， 由折叠可得∠EGD ＝∠EGO ，∠OGF ＝∠FGC ， ∴∠EGF ＝90°， ∴∠EGD+∠FGC ＝90°， ∵∠EGD+∠DEG ＝90°， ∴∠FGC ＝∠DEG ， ∵∠EDG ＝∠GCF ＝90°， ∴△EDG ∽△GCF ， ∴ED DGCG CF=，∴CF=． ∴CF ＝1， ∴FO ＝1， ∴EF ＝3，由折叠可得，∴∠BOE=∠A ＝90°，∵点B ，O ，G 在同一条直线上，点E ，O ，F 在另一条直线上， ∴EF ⊥BG ，∴S 四边形EBFG ＝12×BG×EF ＝12⨯×3故答案为：2． 【点睛】本题考查了矩形折叠的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键24．温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元.根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元， 每增加1件，当天平均每件利润减少2元.设每天安排x 人生产乙产品.()1根据信息填表：()2若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润.【答案】 (1)65-x ，130-2x ，130-2x ；(2)每件乙产品可获得的利润是110元. 【分析】（1）根据题意即可列出代数式； （2）根据题意列出方程即可求解.【详解】解:()1由己知，每天安排x 人生产乙产品时，生产甲产品的有()65x -人，共生产甲产品()2651302x x =--件.在乙每件120元获利的基础上，增加x 人，利润减少2x 元每件，则乙产品的每件利润为()120251302x x --=-.故答案为:65;1302;1302x x x --- ()2由题意()()152651302550x x x ⨯-=-+2807000x x ∴-+=解得1210,70x x ==(不合题意，舍去)1302110x ∴-=(元)答:每件乙产品可获得的利润是110元 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程.25．已知一次函数4y x =+的图象与二次函数(2)y ax x =-的图象相交于(1,)A b -和B ，点P 是线段AB 上的动点（不与,A B 重合），过点P 作PC x ⊥轴，与二次函数(2)y ax x =-的图象交于点C ． （1）求,a b 的值；（2）求线段PC 长的最大值；（3）当PAC ∆为90ACP ︒∠=的等腰直角三角形时，求出此时点P 的坐标．【答案】（1）1，3；（2）最大值为254；（3）()3,7P 【分析】（1）将点(1,)A b -分别代入一次函数解析式可求得b 的值，再将点A 的坐标代入二次函数可求出a 的值；（2）设(,4)P m m +，则()2,2C m m m -，根据平行于y 轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PC 的长关于m 的二次函数，根据二次函数的性质可得答案；（3）同（2）设出点P ，C 的坐标，根据题意可用含m 的式子表示出AC ，PC 的长，根据AC=PC 可得关于m 的方程，求得m 的值，进而求出点P 的坐标． 【详解】解：（1）∵(1,)A b -在直线4y x =+上， ∴143b =-+=， ∴(1,3)A -．又∵(1,3)A -在拋物线(2)y ax x =-上， ∴3(12)a =-⋅--， 解得1a =．（2）设(,4)P m m +，则()2,2C m m m -，∴()2(4)2PC m m m =+--234m m =-++232524m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∴当32m =时，PC 有最大值，最大值为254． （3）如图，∵PAC ∆为90ACP ︒∠=的等腰三角形且PC x ⊥轴， ∴连接AC ，AC y ⊥轴，∵()2(,4),2(1,3)P m m C m m m A +--，，， ∴(1)1C A AC x x m m =-=--=+，()22(4)234P C PC y y m m m m m =-=+--=-++．∵AC PC =，∴2134m m m +=-++， 化简，得2230m m --=，解得3m =，1m =-（不合题意，舍去）． 当3m =时，47m +=， ∴此时点P 的坐标为()3,7P ．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了求待定系数法求函数解析式，二次函数的最值以及等腰三角形的性质等知识，利用平行于y 轴的直线上两点间的距离建立出二次函数模型求出最值是解题关键．26．如图，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于C ，交弦AB 于D ．求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】见解析【分析】由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC 的中垂线交直线CD 于点O ，则点O 是弧ACB 所在圆的圆心．【详解】作弦AC 的垂直平分线交直线CD 于O 点，以O 为圆心OA 长为半径作圆O 就是此残片所在的圆，如图．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，熟知“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键．27．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8，tanB ＝12，点D 在BC 上，且BD ＝AD.求AC 的长和cos ∠ADC 的值．【答案】AC ＝1； cos ∠ADC ＝35【详解】解：在Rt △ABC 中，∵BC ＝8，1tan 2B =， ∴AC ＝1．设AD ＝x ，则BD ＝x ，CD ＝8－x ， 由勾股定理，得（8－x ）2＋12＝x 2． 解得x ＝3． ∴3cos 5DC ADC AD ∠==．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列事件中，为必然事件的是（ ）A ．抛掷10枚质地均匀的硬币，5枚正面朝上B ．某种彩票的中奖概率为10%，那么买100张这种彩票会有10张中奖C ．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的数字不大于6D ．打开电视机，正在播放戏曲节目【答案】C【分析】根据必然事件的概念答题即可【详解】A: 抛掷10枚质地均匀的硬币，概率为0.5，但是不一定5枚正面朝上，故A 错误； B: 概率是表示一个事件发生的可能性的大小，某种彩票的中奖概率为10%，是指买张这种彩票会有0.1的 可能 性 中奖，故B 错误；C:一枚质地均匀的骰子最大的数字是6，故C 正确；D: .打开电视机，正在播放戏曲节目是随机事件，故D 错误.故本题答案为：C【点睛】本题考查了必然事件的概念2．把抛物线()231y x =+先向左平移1个单位，再向上平移n 个单位后，得抛物线231214y xx =++，则n 的值是（ ）A ．-2B ．2C ．8D ．14 【答案】B【分析】将231214y x x =++改写成顶点式，然后按照题意将()231y x =+进行平移，写出其平移后的解析式，从而求解．【详解】解：222312143(44)23(2)2y x x x x x =++=+++=++由题意可知抛物线()231y x =+先向左平移1个单位，再向上平移n 个单位∴()()()2223131132y x x n x n =+=+++=++∴n=2故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的变化确定函数图象的变化可以使求解更加简便． 3．方程22320x x -+=的根的情况（ ）A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有两个实数根【答案】B 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝−7＜0，进而可得出该方程没有实数根．【详解】22320x x -+=a ＝2，b ＝-3，c ＝2，∵△＝b 2−4ac ＝9−4×2×2＝−7＜0，∴关于x 的一元二次方程22320x x -+=没有实数根．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．4．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，下列四个结论： ①△AEF ∽△CAB ；②CF=2AF ；③DF=DC ；④tan ∠CAD=2．其中正确的结论有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【解析】试题解析：如图，过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠ABC=90°，AD=BC ，∵BE ⊥AC 于点F ，∴∠EAC=∠ACB ，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF ∽△CAB ，故①正确；∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴AE AF BC CF=，∵AE=12AD=12BC ， ∴12AF CF =， ∴CF=2AF ，故②正确；∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形，∴BM=DE=12BC ， ∴BM=CM ，∴CN=NF ，∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ，∴DN ⊥CF ，∴DM 垂直平分CF ，∴DF=DC ，故③正确；设AE=a ，AB=b ，则AD=2a ，由△BAE ∽△ADC ，有2b a a b =，即b=2a ， ∴tan ∠CAD=22CD b AD a ==．故④不正确； 故选B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例． 5．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为1x =，有下列结论：①0abc <；②b a c <+；③420a b c ++<；④对任意的实数m ，都有()a b m am b +≥+，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、与x 轴、y 轴的交点）、二次函数与一元二次方程的关系逐个判断即可．【详解】抛物线的开口向下0a ∴<对称轴为1x =12b a∴-= 2b a ∴=-，,a b 异号，则0b >抛物线与y 轴的交点在y 轴的上方0c ∴>0abc ∴<，则①正确由图象可知，1x =-时，0y <，即0a b c -+<则b a c >+，②错误由对称性可知，2x =和0x =的函数值相等则2x =时，0y >，即420a b c ++>，③错误()a b m am b +≥+可化为20am bm a b +--≤关于m 的一元二次方程20am bm a b +--=的根的判别式224()(2)0b a a b a b ∆=++=+= 则二次函数2y am bm a b =+--的图象特征：抛物线的开口向下，与x 轴只有一个交点因此，0y ≤，即20am bm a b +--≤，从而④正确综上，正确的是①④故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、与x 轴、y 轴的交点）、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握函数的图象与性质是解题关键．6．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，且E 是CD 的中点，∠CDB=30°，CD=63，则阴影部分面积为（ ）A ．πB ．3πC ．6πD ．12π【答案】D 【解析】根据题意得出△COB 是等边三角形，进而得出CD ⊥AB ，再利用垂径定理以及锐角三角函数关系得出CO 的长，进而结合扇形面积求出答案．【详解】解：连接BC ，∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°，∴∠AOC=120°，又∵CO=BO ，∴△COB 是等边三角形，∵E 为OB 的中点，∴CD ⊥AB ，∵3∴3∴sin60°×3解得：CO=6， 故阴影部分的面积为：21206360π⨯=12π． 故选：D ．【点睛】此题主要考查了垂径定理以及锐角三角函数和扇形面积求法等知识，正确得出CO 的长是解题关键．7．由23x y =不能推出的比例式是（ ） A ．23x y = B ．53x y y += C ．13x y y -= D ．22333x y y +=≠-+（） 【答案】C【解析】根据比例的性质依次判断即可.【详解】设x=2a ，y=3a ， A. 23x y =正确，不符合题意； B. 23533x y a a y a ++==，故该项正确，不符合题意；C.23133x y a ay a，故该项不正确，符合题意；D.2222(1)233333(1)3x a ayy a a+++===≠-+++（）正确，不符合题意；【点睛】此题考查比例的基本性质，熟记性质并运用解题是解此题的关键.8．如图，CD⊥x轴，垂足为D，CO，CD分别交双曲线y＝kx于点A，B，若OA＝AC，△OCB的面积为6，则k的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B【分析】设A（m，n），根据题意则C（2m，2n），根据系数k的几何意义，k=mn，△BOD面积为12k，即可得到S△ODC=12•2m•2n=2mn=2k，即可得到6+12k=2k，解得k=1．【详解】设A（m，n），∵CD⊥x轴，垂足为D，OA＝AC，∴C（2m，2n），∵点A，B在双曲线y＝kx上，∴k＝mn，∴S△ODC＝12×2m×2n＝2mn＝2k，∵△OCB的面积为6，△BOD面积为12 k，∴6+12k＝2k，解得k＝1，故选：B．【点睛】本题考查了反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．9．下列二次函数的开口方向一定向上的是（）A ．23y x =-B ．2y ax =C ．23y x =D ．2(1)y a x =-【答案】C 【分析】利用抛物线开口方向向上，则二次项系数大于0判断即可．【详解】二次函数的开口方向一定向上，则二次项系数大于0，故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当a ＞0，开口向上解题是解题关键．10．如图示，二次函数2y x mx =-+的图像与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程20x mx t -+=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．53t -<<B ．5t >-C ．34t <≤D ．54t -<≤【答案】D 【分析】首先将()4,0代入二次函数，求出m ，然后利用根的判别式和求根公式即可判定t 的取值范围.【详解】将()4,0代入二次函数，得2440m -+=∴4m =∴方程为240x x t -+= ∴4164t x ±-= ∵15x <<∴54t -<≤故答案为D .【点睛】此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.11．已知二次函数243y x x =--，下列说法正确的是（ ）A ．该函数的图象的开口向下B ．该函数图象的顶点坐标是(2,7)--C ．当0x <时，y 随x 的增大而增大D ．该函数的图象与x 轴有两个不同的交点【答案】D【分析】根据二次函数的性质解题． 【详解】解：A 、由于y=x 2-4x-3中的a=1＞0，所以该抛物线的开口方向是向上，故本选项不符合题意． B 、由y=x 2-4x-3=（x-2）2-7知，该函数图象的顶点坐标是（2，-7），故本选项不符合题意．C 、由y=x 2-4x-3=（x-2）2-7知，该抛物线的对称轴是x=2且抛物线开口方向向上，所以当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，故本选项不符合题意．D 、由y=x 2-4x-3知，△=（-4）2-4×1×（-3）=28＞0，则该抛物线与x 轴有两个不同的交点，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，需要利用二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与x 轴交点的求法，配方法的应用等解答，难度不大．12．在一个不透明的布袋中装有9个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同。
〖汇总3套试卷〗北京市某中学2018年九年级上学期期末统考数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，分别交对角线BD于点F，交BC边延长线于点E．若FG＝2，则AE的长度为( )A．6 B．8C．10 D．12【答案】D【解析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出AF ABGF GD==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由AD∥BC，DG=CG，可得出AG=GE，即可求出AE=2AG=1．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴AF ABGF GD==2，∴AF=2GF=4，∴AG=2．∵AD∥BC，DG=CG，∴AG DGGE CG==1，∴AG=GE∴AE=2AG=1．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．2．如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE=3DE，则k的值为（）A．52B．154C．3 D．5【答案】B【分析】由已知，可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．【详解】过点D做DF⊥BC于F，由已知，BC=5，∵四边形ABCD是菱形，∴DC=5，∵BE=3DE，∴设DE=x，则BE=3x，∴DF=3x，BF=x，FC=5-x，在Rt△DFC中，DF2+FC2=DC2，∴（3x）2+（5-x）2=52，∴解得x=1，∴DE=1，FD=3，设OB=a，则点D坐标为（1，a+3），点C坐标为（5，a），∵点D、C在双曲线上，∴1×（a+3）=5a，∴a=34，∴点C 坐标为（5，34） ∴k=154. 故选B ．【点睛】本题是代数几何综合题，考查了数形结合思想和反比例函数k 值性质．解题关键是通过勾股定理构造方程． 3．如图，正比例函数y 1=k 1x 和反比例函数22k y =x的图象交于A （﹣1，2）、B （1，﹣2）两点，若y 1＜y 2，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＜﹣1或x ＞1B ．x ＜﹣1或0＜x ＜1C ．﹣1＜x ＜0或0＜x ＜1D ．﹣1＜x ＜0或x ＞1【答案】D 【解析】反比例函数与一次函数的交点问题．根据图象找出直线在双曲线下方的x 的取值范围：由图象可得，﹣1＜x ＜0或x ＞1时，y 1＜y 1．故选D ．4．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 、B 的坐标分别是（0，0），（2，0），则顶点C 的坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（﹣1，﹣1）C ．（1，﹣1）D ．（﹣1，1）【答案】C 【详解】解:由图可知，点B 在第四象限．各选项中在第四象限的只有C ．故选C ．5．下列事件中，是必然事件的是（ ）A ．明天太阳从西边出来B ．打开电视，正在播放《新闻联播》C ．兰州是甘肃的省会D ．小明跑完800m 所用的时间为1分钟【答案】C【分析】由题意根据必然事件就是一定发生的事件，依据定义依次判断即可．【详解】解：A. 明天太阳从西边出来，为不可能事件，此选项排除；B. 打开电视，正在播放《新闻联播》，为不一定事件，此选项排除；C. 兰州是甘肃的省会，为必然事件，此选项当选；D. 小明跑完800m 所用的时间为1分钟，为不一定事件，此选项排除.故选：C.【点睛】本题考查必然事件的概念．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．一种商品原价45元，经过两次降价后每盒26元，设两次降价的百分率都为x ，则x 满足等式（ ） A ．26(12)45x += B ．45(12)26x -= C ．245(1)26x -=D ．226(1)45x +=【答案】C【分析】等量关系为：原价×（1-下降率）2=26，把相关数值代入即可．【详解】解：第一次降价后的价格为45（1-x ），第二次降价后的价格为45（1-x ）·（1-x ）=45（1-x ）2，∴列的方程为45（1-x ）2=26，故选：C ．【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．7．已知抛物线y ＝﹣x 2+4x+3，则该抛物线的顶点坐标为（ ）A ．（﹣2，7）B ．（2，7）C ．（2，﹣9）D ．（﹣2，﹣9） 【答案】B【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标．【详解】∵抛物线y ＝﹣x 2+4x+3＝﹣（x ﹣2）2+7，∴该抛物线的顶点坐标是（2，7），故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的顶点式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．如图，AB ∥CD ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，若AB=5，CD=3，则EF 的长是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【详解】连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE．∵E是AC中点，∴DE=EH．∴△DCE≌△HAE（AAS）．∴DE=HE，DC=AH．∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线．∴EF=1BH．2∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2．∴EF=2．故选D．9．下列是随机事件的是( )A．口袋里共有5个球，都是红球，从口袋里摸出1个球是黄球B．平行于同一条直线的两条直线平行C．掷一枚图钉，落地后图钉针尖朝上D．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7【答案】C【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．【详解】A. 口袋里共有5个球，都是红球，从口袋里摸出1个球是黄球，是不可能事件，故不符合题意；B. 平行于同一条直线的两条直线平行，是必然事件，故不符合题意；C. 掷一枚图钉，落地后图钉针尖朝上，是随机事件，故符合题意；D. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7，是不可能事件，故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．10．要使式子5x -有意义，则x 的值可以是（ ）A ．2B ．0C ．1D ．9 【答案】D【解析】式子5x -为二次根式，根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可得x-5≥0，解不等式就可得到答案.【详解】∵式子5x -有意义，∴x-5≥0，∴x ≥5，观察个选项，可以发现x 的值可以是9.故选D.【点睛】 本题考查二次根式有意义的条件.11．如图，⊙O 是ABC 的外接圆，已知AD 平分BAC ∠交⊙O 于点D ，交BC 于点E ，若7AD =，2BD =，则DE 的长为（ ）A ．47B ．27C ．449D ．1649【答案】A【分析】先根据角平分线的定义、圆周角定理可得BAD EBD ∠=∠，再根据相似三角形的判定定理得出ABD BED ∆~∆，然后根据相似三角形的性质即可得．【详解】AD 平分BAC ∠BAD CAD ∴∠=∠∴弧BD 与弧CD 相等BAD EBD ∴∠=∠又ADB BDE ∠=∠ABD BED ∴∆~∆AD BD BD DE ∴=，即722DE= 解得47DE =【点睛】本题考查了角平分线的定义、圆周角定理、相似三角形的判定定理与性质，利用圆周角定理找到两个相似三角形是解题关键．12．已知反比例函数y=kx的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（）A．二、三象限B．一、三象限C．三、四象限D．二、四象限【答案】D【分析】此题涉及的知识点是反比例函数的图像与性质，根据点坐标P（﹣1，2）带入反比例函数y=kx中求出k值就可以判断图像的位置．【详解】根据y=kx的图像经过点P（-1,2），代入可求的k=-2，因此可知k＜0，即图像经过二四象限.故选D【点睛】此题重点考察学生对于反比例函数图像和性质的掌握，把握其中的规律是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．已知，⊙O的半径为6，若它的内接正n边形的边长为62，则n=_____．【答案】1【分析】根据题意作出图形，得到Rt△ADO，利用三角函数值计算出sin∠AOD=22，得出∠AOD=15°，通过圆周角360°计算即可得出结果．【详解】解：如图所示：连接AO，BO，过点O做OD⊥AB，∵⊙O的半径为6，它的内接正n边形的边长为62，∴AD=BD=32，∴sin∠AOD=326=22，∴∠AOD=15°，∴∠AOB=90°，∴n=36090︒︒=1．故答案为：1．本题考查了圆内接正多边形的性质，垂径定理的应用，三角函数值的应用，掌握圆的性质内容是解题的关键．14．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，AB ＝2，扇形EBF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】233π- 【分析】根据菱形的性质得出△DAB 是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG ≌△DBH ，得出四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，进而求出即可．【详解】解：如图，连接BD ．∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴∠ADC ＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∴△DAB 是等边三角形，∵AB ＝2，∴△ABD 3，∵扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，∴∠3＝∠4，设AD 、BE 相交于点G ，设BF 、DC 相交于点H ，在△ABG 和△DBH 中，234A AB BD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABG ≌△DBH(ASA)， ∴四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，∴图中阴影部分的面积是：S 扇形EBF ﹣S △ABD ＝26021223336023ππ⨯-⨯=-故答案是：233π-． 【点睛】 此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形EBFD 的面积等于△ABD 的面积是解题关键．15．如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺△ABC 的两个顶点A 、B 分别在OX ，OY 上移动，其中AB=10，那么点O 到顶点A 的距离的最大值为_____．【答案】102【分析】当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离的最大，则△ABC 是等腰直角三角形，据此即可求解．【详解】解：∵sin 45sin AB AO ABO=∠ ∴当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离最大．则OA=2AB=102．故答案是：102．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，正确确定点O 到顶点A 的距离的最大的条件是解题关键． 16．如图，点A 在双曲线y ＝4x上，点B 在双曲线y ＝k x （k ≠0）上，AB ∥x 轴，分别过点A ，B 向x 轴作垂线，垂足分别为D ，C ，若矩形ABCD 的面积是9，则k 的值为_____．【答案】1．【分析】过点A 作AE ⊥y 轴于点E ，首先得出矩形EODA 的面积为：4，利用矩形ABCD 的面积是9，则矩形EOCB 的面积为：4+9=1，再利用xy=k 求出即可．【详解】过点A 作AE ⊥y 轴于点E ，∵点A 在双曲线y ＝4x 上， ∴矩形EODA 的面积为：4，∵矩形ABCD 的面积是9，∴矩形EOCB 的面积为：4+9＝1，则k 的值为：xy ＝k ＝1．故答案为1．【点睛】此题主要考查了反比例函数关系k 的几何意义，得出矩形EOCB 的面积是解题关键． 17．一元二次方程x （x ﹣3）=3﹣x 的根是____．【答案】x 1=3，x 2=﹣1．【分析】整体移项后，利用因式分解法进行求解即可.【详解】x （x ﹣3）=3﹣x ，x （x ﹣3）-（3﹣x ）=0，（x ﹣3）（x+1）=0，∴x 1=3，x 2=﹣1，故答案为x 1=3，x 2=﹣1．18．关于x 的方程2x 2－ax ＋1＝0一个根是1，则它的另一个根为________．【答案】12． 【详解】试题分析：设方程的另一个根为m ，根据根与系数的关系得到1•m=12，解得m=12． 考点：根与系数的关系．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，在四边形ABCD 中，90DAB CBA ∠=∠=，点E 为BC 的中点，DE CE ⊥． （1）求证：AED ∆∽BCE ∆；（2）若3AD =，12BC =，求线段DC 的长．【答案】（1）见解析；（2）1．【分析】（1）由DE CE ⊥得出90DEC ∠=︒，从而有90DEA CEB ∠+∠=︒，等量代换之后有ADE CEB ∠=∠，再加上90DAB CBA ∠=∠=即可证明相似；（2）由相似三角形的性质可求出AE 的长度，进而求出AB 的长度，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，则四边形ABFD 是矩形，得出12,3DF AB BF AD ====，从而求出CF 的长度，最后利用勾股定理即可求解．【详解】（1）DE CE ⊥90DEC ∴∠=︒1801809090DEA CEB DEC ∴∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒90DEA ADE ∠+∠=︒ADE CEB ∴∠=∠90DAB CBA ∠=∠=AED BCE ∴（2）过点D 作DF ⊥BC 于点FAED BCE AD AE BE BC∴= ∵点E 为BC 的中点,2AE BE AB AE ∴==∵3AD =，12BC =，312AE AE ∴= 6,12AE AB ∴==90DAB CBA ∠=∠=，DF ⊥BC∴四边形ABFD 是矩形12,3DF AB BF AD ∴====1239CF BC BF ∴=-=-= 222212915CD DF CF ∴=+=+=【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键．20．已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m+3)x+m 2＝1有两根α，β(1)求m 的取值范围；(2)若α+β+αβ＝1．求m 的值．【答案】 (1)m ≥﹣；(2)m 的值为2．【解析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知△＞1，求出m 的取值范围即可；（2）根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可．【详解】(1)由题意知，(2m+2)2﹣4×1×m 2≥1，解得：m ≥﹣；(2)由根与系数的关系得：α+β＝﹣(2m+2)，αβ＝m 2，∵α+β+αβ＝1，∴﹣(2m+2)+m 2＝1，解得：m 1＝﹣1，m 1＝2，由(1)知m ≥﹣，所以m 1＝﹣1应舍去，m 的值为2．【点睛】本题考查的是根与系数的关系，熟知x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c ＝1（a ≠1）的两根时，x 1+x 2＝﹣，x 1x 2＝是解答此题的关键．21．如图，矩形ABCD 中，8AB =，7BC =，点P 为边BC 延长线上的一点，过DP 的中点E 作EM DP⊥交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N ，//EF BC ，交边AB 于F ，交边DC 于H（1）当4CP =时，求EM EN的值； （2）猜想MN 与DP 的数量关系，并证明你的猜想【答案】（1）29；（2）78MN DP =，证明见解析 【分析】（1）根据E 为DP 中点，//EF BC ，4CP =可得出EH=2，再利用平行线分线段对应成比例求解即可；（2）作//MQ BC 交AB 于点Q ，可求证Rt QMN ∆∽Rt CDP ∆，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴//AB CD ∴EM EH EN EF= ∵//EF BC ∴DH DE HC EP=，7FH BC == ∵DE EP =∴DH HC = ∴114222EH CP ==⨯= ∴279EF EH FH =+=+= ∴29EM EH EN EF == （2）答：78MN DP =证明：作//MQ BC 交AB 于点Q则7MQ BC ==，90MQN DCP QMC MED ∠=∠=∠=∠=︒∵90QMN NMC ∠+∠=︒，90CDP DME ∠+∠=︒，NMC DME ∠=∠，∴QMN CDP ∠=∠∴Rt QMN ∆∽Rt CDP ∆ ∴78MN QM DP CD == ∴78MN DP =【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理及其性质以及平行线分线段成比例定理，解此题的关键是利用矩形的性质求出EH 的长．22．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ． （1）如图（1），连接AF 、CE ．①四边形AFCE 是什么特殊四边形？说明理由；②求AF 的长；（2）如图（2），动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．【答案】（1） ①菱形，理由见解析；②AF ＝1；（2） 43秒． 【分析】（1）①先证明四边形ABCD 为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；②根据勾股定理即可求AF 的长；（2）分情况讨论可知，P 点在BF 上；Q 点在ED 上时；才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．【详解】（1）①∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠CAD ＝∠ACB ，∠AEF ＝∠CFE ．∵EF 垂直平分AC ，∴OA ＝OC ．在△AOE 和△COF 中，CAD ACB AEF CFE A C O O ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOE ≌△COF(AAS)，∴OE ＝OF(AAS)．∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 为菱形．②设菱形的边长AF ＝CF ＝xcm ，则BF ＝(8﹣x)cm ，在Rt △ABF 中，AB ＝4cm ，由勾股定理，得16+(8﹣x)2＝x 2，解得：x ＝1，∴AF ＝1．（2）由作图可以知道，P 点AF 上时，Q 点CD 上，此时A ，C ，P ，Q 四点不可能构成平行四边形； 同理P 点AB 上时，Q 点DE 或CE 上，也不能构成平行四边形．∴只有当P 点在BF 上，Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，∴以A ，C ，P ，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，∴PC ＝QA ，∵点P 的速度为每秒1cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，∴PC ＝1t ，QA ＝12﹣4t ，∴1t ＝12﹣4t ，解得：t ＝43． ∴以A ，C ，P ，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，t ＝43秒．【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，菱形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时分析清楚动点在不同的位置所构成的图形的形状是解答本题的关键．23．一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是黄色的概率．【答案】49【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是黄球的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：画树状图得：∵共有9种可能的结果，两次摸出的球都是黄球的有4种情况，∴两次摸出的球都是红球的概率为：49.【点睛】此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．解题关键是求出总情况和所求事件情况数．24．孝感商场计划在春节前50天里销售某品牌麻糖，其进价为18元/盒.设第x天的销售价格为y（元/盒），销售量为m（盒）.该商场根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当130x≤≤时，38y=；当3150x≤≤时，y与x满足一次函数关系，且当36x=时，37y=；40x=时，35y=.②m与x的关系为330m x=+．（1）当3150x≤≤时，y与x的关系式为；（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？【答案】（1）1552y x=-+;（2）32， 2646元.【分析】（1）设一次函数关系式为(0)y kx b k=+≠，将“当36x=时，37y=；40x=时，35y=”代入计算即可；（2）根据利润等于单件利润乘以销售量分段列出函数关系式，再根据一次函数及二次函数的性质得出最大利润即可.【详解】解：（1）设一次函数关系式为(0)y kx b k=+≠∵当36x=时，37y=；40x=时，35y=，即37363540k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得：1255kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴1552y x=-+（2）(18)W y m =-∴当130x ≤≤时，(3818)(330)60600W x x =-+=+ ∵60＞0∴当x=30时，W 最大=2400（元）当3150x ≤≤时 1(5518)(330)2W x x =-+-+ 239611102x x =-++ 23(32)26462x =--+ ∴当x=32时，当天的销售利润W 最大，为2646元.2646＞2400∴故当x=32时，当天的销售利润W 最大，为2646元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出函数关系式并熟知函数的基本性质是解题关键. 25．如图在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC ，过D 作DE⊥BD 交AB 于点E ，经过B ，D ，E 三点作⊙O ．（1）求证：AC 与⊙O 相切于D 点；（2）若AD=15，AE=9，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）1．【解析】试题分析：（1）连接OD ，则有∠1=∠2，而∠2=∠3，得到∠1=∠3，因此OD ∥BC ，又由于∠C=90°，所以OD ⊥AD ，即可得出结论．（2）根据OD ⊥AD ，则在RT △OAD 中，OA 2=OD 2+AD 2，设半径为r ，AD=15，AE=9，得到（r+9）2=152+r 2，解方程即可．（1）证明：连接OD ，如图所示：∵OD=OB ，∴∠1=∠2，又∵BD 平分∠ABC ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴OD∥BC，而∠C=90°，∴OD⊥AD，∴AC与⊙O相切于D点；（2）解：∵OD⊥AD，∴在RT△OAD中，OA2=OD2+AD2，又∵AD=15，AE=9，设半径为r，∴（r+9）2=152+r2，解方程得，r=1，即⊙O的半径为1．考点：切线的判定．26．一艘运沙船装载着5000m3沙子，到达目的地后开始卸沙，设平均卸沙速度为v（单位：m3/小时），卸沙所需的时间为t（单位：小时）．（1）求v关于t的函数表达式，并用列表描点法画出函数的图象；（2）若要求在20小时至25小时内（含20小时和25小时）卸完全部沙子，求卸沙的速度范围．【答案】（1）v＝5000t，见解析；（2）200≤v≤1【分析】(1)直接利用反比例函数解析式求法得出答案；(2)直接利用(1)中所求解析式得出v的取值范围．【详解】(1)由题意可得：v=5000t，列表得：v …10 11 625 …t … 2 4 6 …描点、连线，如图所示：；(2)当t =20时，v =500020=1， 当t =25时，v =500020=200， 故卸沙的速度范围是：200≤v≤1．【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．27． “早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“卓黑宝”的种植面积达到196亩.（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？【答案】（1）该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%.（2）售价应降低3元【分析】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x ，根据题意列出关于x 的一元二次方程，求解方程即可；（2）设售价应降低y 元，则每天售出（200+50y ）千克，根据题意列出关于y 的一元二次方程，求解方程即可.【详解】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x ，根据题意得2100(1)196x += 解得10.440%x ==，2 2.4x =-（不合题意，舍去）答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%.（2）设售价应降低y 元，则每天可售出(20050)y +千克根据题意，得(2012)(20050)1750y y --+=整理得，2430y y -+=，解得11y =，23y =∵要减少库存∴11y =不合题意，舍去，∴3y =答：售价应降低3元.【点睛】本题考查一元二次方程与销售的实际应用，明确售价、成本、销量和利润之间的关系，正确用一个量表示另外的量然后找到等量关系是列出方程的关键.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，点M 是CBD 上任意一点， 2,4AH CH ==,则cos CMD ∠的值为（ ）A ．12B ．34C ．45D ．35【答案】D【分析】只要证明∠CMD=△COA ，求出cos ∠COA 即可.【详解】如图1中，连接OC,OM.设OC=r,∴2224(2)r r =+- ,∴r=5,∵AB ⊥CD ，AB 是直径， ∴12AD AC CD ==， ∴∠AOC=12∠COM, ∵∠CMD=12∠COM ， ∴∠CMD=∠COA ，∴cos ∠CMD=cos ∠COA=CH OC =35. 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会转化的思想思考问题.2．已知一个单位向量e ，设a 、b 是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）．A ．1a e a =；B ．e a a =；C ．b e b =；D ．11a b a b =．【答案】B【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【详解】解：A 、左边得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；B 、符合向量的长度及方向，正确；C 、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；D 、左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误．故选：B ．【点睛】本题考查了向量的性质．3．如图，滑雪场有一坡角α为20°的滑雪道，滑雪道AC 的长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底垂直高度AB 的长为（ ）A ．200tan20°米B ．200sin 20︒米C ．200sin20°米D ．200cos20°米【答案】C 【解析】解：∵sin ∠C=AB AC，∴AB=AC•sin ∠C=200sin20°．故选C ． 4．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着原点旋转180，所得抛物线的解析式是（ ） A ．2(1)2y x =---B ．2(1)2y x =-+-C ．2(1)2y x =--+D ．2(1)2y x =-++【答案】A【解析】试题分析：先将原抛物线化为顶点式，易得出与y 轴交点，绕与y 轴交点旋转180°，那么根据中心对称的性质，可得旋转后的抛物线的顶点坐标，即可求得解析式．解：由原抛物线解析式可变为：， ∴顶点坐标为（-1，2），又由抛物线绕着原点旋转180°，∴新的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于点原点中心对称，∴新的抛物线的顶点坐标为（1，-2），∴新的抛物线解析式为：．故选A．考点：二次函数图象与几何变换．5．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为( )A．70°B．80°C．84°D．86°【答案】B【分析】由旋转的性质可知∠B＝∠AB1C1，AB＝AB1，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B＝∠BB1A＝∠AB1C1＝40°，从而可求得∠BB1C1＝80°.【详解】由旋转的性质可知：∠B＝∠AB1C1，AB＝AB1，∠BAB1＝100°.∵AB＝AB1，∠BAB1＝100°，∴∠B＝∠BB1A＝40°.∴∠AB1C1＝40°.∴∠BB1C1＝∠BB1A+∠AB1C1＝40°+40°＝80°.故选B.【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到△ABB1为等腰三角形是解题的关键.6．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x(x+1)=1035 B．x(x-1)=1035 C．12x(x+1)=1035 D．12x(x-1)=1035【答案】B【解析】试题分析：如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程．∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x-1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x-1）=1．故选B考点：由实际问题抽象出一元二次方程．7．若数据1x ，2x ，…，n x 的众数为a ，方差为b ，则数据12x +，22x +，…，2n x +的众数、方差分别是（ ）A ．a ，bB ．a ，2b +C ．2a +，bD ．2a +，2b +【答案】C【分析】根据众数定义和方差的公式来判断即可，数据12x +，22x +，…，2n x +原来数据相比都增加2，,则众数相应的加2，平均数都加2，则方差不变．【详解】解：∵数据1x ，2x ，…，n x 的众数为a ，方差为b ，∴数据12x +，22x +，…，2n x +的众数是a+2，这组数据的方差是b ．故选：C【点睛】本题考查了众数和方差，当一组数据都增加时，众数也增加，而方差不变．8．下列四幅图的质地大小、背面图案都一样，把它们充分洗匀后翻放在桌面上，则从中任意抽取一张，抽到的图案是中心对称图形的概率是（ ）A ．14B ．12C ．34D ．1【答案】C【分析】先判断出几个图形中的中心对称图形，再根据概率公式解答即可．【详解】解：由图形可得出：第1，2，3个图形都是中心对称图形，∴从中任意抽取一张，抽到的图案是中心对称图形的概率是：34． 故选：C ．【点睛】此题主要考查了概率计算公式，熟练掌握中心对称图形的定义和概率的计算公式是解题的关键． 9．如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，若8CD =，3OE =，则O 的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】根据题意，连接OC ，通过垂径定理及勾股定理求半径即可.【详解】如下图，连接OC ，∵CD AB ⊥，8CD =，∴CE=4，∵3OE =，222OC CE OE =+，∴5OC =，故选：C.【点睛】本题主要考查了圆半径的求法，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解决本题的关键.10．为了解某地区九年级男生的身高情况，随取了该区100名九年级男生，他们的身高x （cm ）统计如根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不高于180cm 的概率是（ ） 组别（cm ）x≤160 160＜x≤170 170＜x≤180 x ＞180 人数15 42 38 5 A ．0.05B ．0.38C ．0.57D ．0.95 【答案】D【分析】先计算出样本中身高不高于180cm 的频率，然后根据利用频率估计概率求解．【详解】解：样本中身高不高于180cm 的频率＝1005100-＝0.1， 所以估计他的身高不高于180cm 的概率是0.1．故选：D ．【点睛】本题考查了概率，灵活的利用频率估计概率是解题的关键.11．二次函数y ＝ax 2+bx+c 的部分对应值如下表 x﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 y ﹣12 ﹣5 0 3 4 3 利用二次函数的图象可知，当函数值y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A ．0＜x ＜2B ．x ＜0或x ＞2C ．﹣1＜x ＜3D ．x ＜﹣1或x ＞3【分析】函数值y=1对应的自变量值是:-1、3，在它们之间的函数值都是正数．由此可得y ＞1时,x 的取值范围．【详解】从表格可以看出,二次函数的对称轴为直线x ＝1,故当x ＝﹣1或3时,y ＝1;因此当﹣1＜x ＜3时,y ＞1．故选C ．【点睛】本题主要考查了二次函数与x 轴的交点、二次函数的性质等知识, 解题的关键是要认真观察,利用表格中的信息解决问题．12．不解方程，则一元二次方程22340x x +-=的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个不相等的实数根D ．以上都不对【答案】C【分析】根据∆值判断根的情况【详解】解：a=2 b=3 c= -4 22=4342(4)932410b ac∆-=-⨯⨯-=+=>∴有两个不相等的实数根故本题答案为：C【点睛】本题考查了通过根的判别式判断根的情况，注意a,b,c 有符号二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，D 为BC 边上一点，已知4=AD ，60ADB ∠=︒，45C ∠=︒，则AC =____________．【答案】6【分析】由题意直接根据特殊三角函数值，进行分析计算即可得出答案.【详解】解：∵在Rt ABC 中，90B ∠=︒，4=AD ，60ADB ∠=︒，∴s 0in 3sin 64AB AB ADB AD =︒==∠=， ∴23AB =，∵45C ∠=︒，∴232sin sin 45AB C AC ︒∠====, ∴26AC =.故答案为：26.【点睛】 本题考查锐角三角函数，熟练掌握三角函数定义以及特殊三角函数值进行分析是解题的关键.14．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为_____．【答案】13【分析】利用因式分解法解方程，得到14x =，29x =，再利用三角形的三边关系进行判断，然后计算三角形的周长即可.【详解】解：∵213360x x -+=，∴(4)(9)0x x --=，∴14x =，29x =，∵369+=，∴29x =不符合题意，舍去；∴三角形的周长为：36413++=；故答案为：13.【点睛】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系的应用，解题的关键是正确求出第三边的长度，以及掌握三角形的三边关系.15．一艘观光游船从港口A 以北偏东60的方向出港观光，航行60海里至C 处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东30方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，海警船到达事故船C 处所需的时间大约为________小时（用根号表示）．。
东城区2018届九年级上期末考试数学试题有答案精品-名校版
东城区2017-2018学年度第一学期期末检测初三数学学校班级姓名考号考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分.考试时间120分钟. 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.一、选择题(本题共16分，每小题2分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是A B C D 2. 边长为2的正方形内接于M ，则M 的半径是A ．1B ．2C ．2D ．223．若要得到函数21+2yx 的图象，只需将函数2yx 的图象A ．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B ．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C ．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D ．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度4．点11,y A x ，22,y B x 都在反比例函数2y x的图象上，若120x x ＜＜，则A ．210y y ＞＞B ．120y y ＞＞C ．210y y ＜＜D ．120y y ＜＜5．A ，B 是O 上的两点，OA=1，AB 的长是1π3，则∠AOB 的度数是A ．30B ．60° C．90° D ．120°6．△DEF 和△ABC 是位似图形，点O 是位似中心，点D ，E ，F 分别是OA,OB,OC 的中点，若△DEF 的面积是2，则△ABC的面积是A．2B．4C．6 D．87．已知函数2-y x bx c，其中00b c＞，＜，此函数的图象可以是8．小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：移植棵数（n）成活数（m）成活率(m/n)移植棵数（n）成活数（m）成活率(m/n)50 47 0.940 1500 1335 0.890270 235 0.870 3500 3203 0.915400 369 0.923 7000 6335 0.905750 662 0.883 14000 12628 0.902下面有四个推断：①当移植的树数是 1 500时，表格记录成活数是 1 335，所以这种树苗成活的概率是0.890；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；③若小张移植10 000棵这种树苗，则可能成活9 000棵；④若小张移植20 000棵这种树苗，则一定成活18 000棵.其中合理的是A．①③ B．①④ C. ②③ D．②④二、填空题(本题共16分，每小题2分)9．在Rt△ABC中，∠C=90°，1cos3A，AB=6，则AC的长是 .10．若抛物线22y x x c与x轴没有交点，写出一个满足条件的c的值： .11．如图，在平面直角坐标系xOy中，若点B与点 A 关于点O中心对称，则点 B 的坐标为 .11题图 12题图12. 如图，AB是O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交O于点D.若CD=1，AB=4,则O 的半径是 .13. 某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度. 为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）. 经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB,OA的长分别为0.7m,0.3m，观测点O到旗杆的距离OE为6 m，则旗杆MN的高度为m .第13题图第14题图14. O是四边形ABCD的外接圆,AC平分∠BAD，则正确结论的序号是 .①AB=AD; ②BC=CD; ③AB AD; ④∠BCA=∠DCA; ⑤BC CD15. 已知函数2-2-3≤≤时，函数的最小值是-4，则实数a的取值范围y x x，当-1x aBAC是 .8,0A ，16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知0,6C ，矩形OABC 的对角线交于点P ，点M 在经过点P 的函数0k yx x＞的图象上运动，k 的值为 ,OM长的最小值为 .三、解答题(本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27，每小题7分，第28题8分)17．计算：2cos30-2sin 45+3tan 60+1-2. 18．已知等腰△ABC 内接于O , AB=AC ，∠BOC=100°，求△ABC 的顶角和底角的度数.19. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，点E 在AB 上，∠DEC=90°．（1）求证：△ADE ∽△BEC.（2）若AD=1，BC=3，AE=2, 求AB 的长.20．在△ABC 中，∠B=135°，AB=22，BC=1. (1)求△ABC 的面积；（2）求AC 的长.21．北京2018新中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）、体育九门课程．语文、数学、外语、体育为必考科目.历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参加考试，其中物理、生化须至少选择一门．（1）写出所有选考方案（只写选考科目）；（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，求该方案同时包含物理和历史的概率.22.如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，∠C=30°.将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△A BC , 其中点A , C 分别是点A ，C 的对应点.(1) 作出△A BC (要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)连接AA ,求∠C A A 的度数.23．如图，以40 m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系2205htt ．（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？（2）小球飞行时间t 在什么范围时，飞行高度不低于15 m?24．在平面直角坐标系xOy 中，直线24yx与反比例函数kyx（k ≠0）的图象交于点3,A a和点B ．（1）求反比例函数的表达式和点B 的坐标；（2）直接写出不等式24k xx ＜的解集．25．如图，在△ABC 中，AB=AC,以AB 为直径的O 与边BC ，AC 分别交于点D ，E.DF 是O 的切线,交AC 于点F ．（1）求证：DF ⊥AC ；（2）若AE=4，DF=3，求tan A ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx 2﹣2mx+n （m ≠0）与x 轴交于点A, B ，点A 的坐标为（02-，）．（1）写出抛物线的对称轴；（2）直线n m x y-4-21过点B ，且与抛物线的另一个交点为C ．①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；②点P 为抛物线对称轴上的动点，过点P 的两条直线l 1 y=x+a 和l 2 y=-x+ b 组成图形G.当图形G 与线段BC 有公共点时，直接写出点P 的纵坐标t 的取值范围.27．如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2，BC=23，以点B 为圆心，3为半径作圆．点P 为B 上的动点，连接PC ，作P CPC ，使点P 落在直线BC 的上方，且满足:1:3P C P C ，连接BP ，AP ．（1）求∠BAC 的度数，并证明△AP C ∽△BPC ；（2）若点P 在AB 上时，①在图2中画出△AP ’C ；②连接BP ，求BP 的长；P'BACPBACP图1 图2（3）点P 在运动过程中，BP 是否有最大值或最小值？若有，请直接写出BP 取得最大值或最小值时∠PBC 的度数；若没有，请说明理由．BAC备用图28．对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G ，若在图形G 上存在一点N ，使M ，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当⊙O 的半径为3时，在点P 1（1,0），P 2（3,1），P 3（72,0），P 4（5,0）中，⊙O 的和睦点是________；（2）若点P （4,3）为⊙O 的和睦点，求⊙O 的半径r 的取值范围；（3）点A 在直线y=﹣1上，将点A 向上平移4个单位长度得到点B ，以AB 为边构造正方形ABCD ，且C ，D 两点都在AB 右侧．已知点E （2,2），若线段OE 上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点，直接写出点A 的横坐标A x 的取值范围．东城区2018九年级期末数学答案1-5：ACBCB 6-8：DDC 9、2 10、2 11、（2，－1）12、5213、1514、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、。
北京市东城区届九级上期数学期末数学试题(含答案)
北京市东城区届九级上期数学期末数学试题(含答案)北京市东城区2018— 2018 学年第一学期期末一致测试初三数学学校班级姓名考号1．本试卷共8 页，共三道大题，29 道小题，满分120 分 . 考试时间120 分钟 .考2．在试卷上正确填写学校名称、班级、姓名和考号.生3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上, 在试卷上作答无效.须4．在答题卡上选择题、作图题用2B 铅笔作答，其余试卷用黑色笔迹署名笔作答.知5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（此题共30 分，每题 3 分）下边各题均有四个选项，此中只有一个．．是切合题意的．1．若对于的x方程x23x a 0 有一个根为-1，则a的值为A．4B．2C．2D．42．二次函数yx22x 4 的最大值为A ．3B．4C．5 D．63．以下图形中，是中心对称图形的为A. 1 个 B．2个C．3个 D．4个4．一只不透明的袋子中装有 4 个黑球、 2 个白球，每个球除颜色外都同样，从中随意摸出3个球，以下事件为必定事件的是A ．起码有 1 个球是黑球B．起码有1个球是白球C．起码有 2 个球是黑球 D ．起码有 2个球是白球5．在 Rt △ ABC 中，∠ C＝90°，若 BC＝1， AC＝ 2，则 cosA 的值为5B．25D ．2A．5C．1522北京市东城区届九级上期数学期末数学试题(含答案)方程 x 2＋ bx =5 的解为A ． x 10, x 2 4 B ． x 1 1, x 2 5 C ． x 1 1, x 25 D ． x 11, x 2 5S △ADE17．如图，在△ABC 中， DE//BC ，AD6， DB3，则S △ABC的值为 A ．．B23C ． 4D ．45 98. 如图，⊙ O 的半径为 3，点 P 是弦 AB 延伸线上的一点，连结OP ，若OP=4 ，∠ P=30 °，则弦 AB 的长为A ．2 5B ．2 3 OC ． 5D ． 2AB P9. 如图，点 A, B, C 在⊙ O 上， CO 的延伸线交 AB 于点 D ，∠ A=50 °，∠ B=30 °，则∠ ADCA的度数为A ．70°B ．90°DOC ．110°D ． 120°BC如图， 在 △ABC 中， AB AC ，BAC 120点 是 第 10题 →.O BC 的中点，点D 沿10.1BA → C 方向从B 运动到 C. 设点 D 经过的路径长为 x ，图 1 中某条线段的长为 y ，若表示 y 与 x 的函数关系的图象大概如图 2 所示，则这条线段可能是图 1 中的Ayy yDBCOOxOxOx图 1图 2ABCA. BD B ． OD C ． AD D ． CD二、填空题 （此题共 18 分，每题3 分）11． 请你写出一个一元二次方程，知足条件：○1 二次项系数是1；○2 方程有两个相等的实数根 . 此方程能够是．12．将抛物线 y=x2﹣2x+3 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度后，获得的抛物线的解读式为．13.已知， AB 是⊙ O 的一条直径，延伸 AB 至 C 点，使 AC=3 BC，CD 与⊙ O 相切于 D 点，若 CD = 3 ,则⊙O半径的长为.14.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来丈量操场旗杆AB 的高度，他们经过调整丈量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆极点A 在同向来线上，已知DE =0.5M ， EF=0.25M ，目测点D 到地面的距离DG=1.5M ，到旗杆的水平距离DC=20M ，则旗杆的高度为M．15．如图，已知A（2 3 ，2），B（2 3，1），将△AOB 绕着点 O 逆时针旋转90°，获得△ A′O B′，则图中暗影部分的面积为．16．阅读下边资料：在数学课上，老师提出以下问题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线.已知：⊙ O 和点 P.PO求作：过点P 的⊙ O 的切线 .小涵的主要作法以下：如图：（ 1）连结 OP，作线段OP 的中点 A；（2）以 A 为圆心， OA 长为半径作圆，交⊙ O 于点 B， C；（3）作直线 PB 和 PC.BPOAC因此 PB 和 PC 就是所求的切线.老师说：“小涵的作法正确．”请回答：小涵的作图依照是．三、解答题（此题共72 分，第 17— 26 题，每题5 分，第27 题 7 分，第28 题 7 分，第29 题8分）17．计算：4cos45tan608( 1)2.18.解方程：x26x 10 .19．如图，△ ABC 中， D 为 BC 上一点，∠ BAD=∠ C，AB=6，BD =4，求 CD 的长 .20．已知：抛物线 y = x2+(2m－ 1)x + m2－ 1 经过坐标原点，且当x < 0 时， y 随 x 的增大而减小 .(1)求抛物线的解读式；(2)联合图象写出y < 0 时，对应的x 的取值范围；(3)设点 A 是该抛物线上位于x 轴下方的一个动点，过点A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 D，再作 AB ⊥x 轴于点 B， DC⊥ x 轴于点 C. 当 BC=1 时，直接写出矩形ABCD 的周长．21．列方程或方程组解应用题：某企业在2018 年的盈余额为200 万元，估计2018 年的盈余额将达到242 万元，若每年比上一年盈余额增加的百分率同样，求该企业这两年盈余额的年均匀增加率是多少？22．如图，在方格网中已知格点△ABC 和点 O．（ 1）画△ A′B′C′，使它和△ ABC 对于点 O 成中心对称；（ 2 ）请在方格网中标出全部的D 点，使以点A， O， C′，D 为极点的四边形是平行四边形．23．石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种发源于中国流传多年的猜拳游戏．游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．两人游戏时，若出现同样手势，则不分输赢游戏持续，直到分出输赢，游戏结束．三人游戏时，若三种手势都同样或都不同样，则不分输赢游戏持续；若出现两人手势同样，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则．比如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜．假设甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么：（ 1）直接写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分输赢的概率；（ 2 ）请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分输赢的概率．24.如图，△ ABC 中， AB=AC，以 AB 为直径的⊙ O 与BC 订交于点 D ，与 CA 的延伸线订交于点E，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F．（1）求证： DF 是⊙ O 的切线；（ 2）若sinC =3，半径OA=3，求AE的长．325. 以下图，某数学活动小组要丈量山坡上的电线杆PQ 的高度．他们采纳的方法是：先在地面上的点 A 处测得杆顶端点P 的仰角是45°，再向前走到 B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和 30°，这时只要要测出AB 的长度就能经过计算求出电线杆 PQ 的高度 .你赞同他们的丈量方案吗？若赞同，画出计算时的图形，简要写出计算的思路，不用求出详细值；若不一样意，提出你的丈量方案，并简要写出计算思路 .26.请阅读下边资料，并回答所提出的问题 .三角形内角均分线定理：三角形的内角均分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比率 .已知：如图，△ ABC 中， AD 是角均分线 .EAA123求证：AB BD.BCCDAC DC证明：过 C 作 CE ∥DA ，交 BA 的延伸线于E.∴ D1 = DE, D2 = D3. ○1AD 是角均分线， ∴ D1= D2.3 E .AC AE .. ○2又 AD//CE ，AB BD 3AE .○DC AB BDAC.DC（1）上述证明过程中，步骤○1 ○2○3处的原因是什么？（写出两条即可） （2）用三角形内角均分线定理解答：已知，△ ABC 中， AD 是角均分线， AB=7cm ，AC=4cm ， BC=6cm ，求 BD 的长；ABCD（ 3）我们知道假如两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请你经过研究△ ABD 和△ ACD 面积的比来证明三角形内角均分线定理．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y mx28mx 16m 1 （m＞0）与x轴的交点分别为 A（ x1， 0）， B（ x2， 0）．（1）求证：抛物线总与 x 轴有两个不一样的交点；（2）若AB=2，求此抛物线的解读式；（3）已知 x 轴上两点 C（ 2,0）， D（ 5,0），若抛物线y mx28mx 16m 1（m＞0）与线段 CD 有交点，请写出 m 的取值范围 .28.已知：在等边△ ABC 中， AB= 2 3， D ，E 分别是AB，BC 的中点（如图 1）．若将△ BDE 绕点 B 逆时AD针旋转，获得△BD 1E1，设旋转角为α（0°＜α＜180 °），记射线CE1与 AD1的交点为P．BE C（1）判断△ BDE 的形状；（ 2）在图 2 中补全图形，图 1①猜想在旋转过程中，线段CE1与 AD1的数目关系并证明；②求∠ APC 的度数；（3）点 P 到 BC 所在直线的距离的最大值为．（直接填写结果）AAB CB C图 2备用图29. 已知两个函数，假如对于随意的自变量 x ，这两个函数对应的函数值记为 y 1，y 2，都有 点（ x ， y 1）、（ x ， y 2）对于点（ x ，x ）对称，则称这两个函数为对于 y=x 的对称函数 .比如， y 11x 和 y 23x 为对于 y=x 的对称函数 .22（ 1 ） 判 断 ： ① y 1 3x 和 y 2x ； ② y 1x 1 和 y 2 x 1 ； ③ y 1 x 2 1 和y 2 x 2 1 ，此中为对于 y=x 的对称函数的是 __________（填序号） .（ 2）若 y 13x 2 和 y 2kx b （ k 0 ）为对于 y=x 的对称函数 .①求 k 、 b 的值 .②对于随意的实数x ，知足 x>m 时， y 1 y 2 恒建立，则 m 知足的条件为 ______.（3）若 y 1 ax 2bx c ( a 0) 和 y 2x 2n 为对于 y=x 的对称函数，且对于随意的实数 x ，都有 y ＜y ，请联合函数的图象，求n 的取值范围 .1 2。
2018东城初三期末统测答案
东城区2017-2018学年度第一学期期末教学统一检测初三数学、选择题（本题共16分，每小题2分） F 面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的下列图形中，是中心对称图形但不是 轴对称图形的是崂。
砂2.边长为2的正方形内接于e M ，则e M 的半径是D . 2八 22 2若要得到函数yx 1 +2的图象，只需将函数 x 的图象A.先向右平移 个单位长度，再向上平移B.先向左平移 个单位长度，再向上平移C.先向左平移个单位长度，再向下平移 D.先向右平移个单位长度，再向下平移B X 2, *都在反比例函数A. y2>yi>0B. yi> y2> 0A, B 是e O 上的两点，OA=1, A B 的长是 A. 30B. 60 02个单位长度 2个单位长度 2个单位长度2个单位长度y 2的图象上，若Xi<x 2vo,则XC. y2V yi<0D yv y2<01丄n,则/ AOB 的度数是 C ・ 90 °D ・ 12°5.数学试卷第1页（共8页）学校 考生须知 班级 姓名 孚口△ DEF和八ABC是位似图形，点0是位似中心，点D , E, F分别是OA,OB,OC的中他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它&小张承包了一片荒山，的成活率如下表所示:移植棵数（n ）成活数（m ）成活率 移植棵数（n ） 成活数（m ） 成活率50 47 0.940 1500 1335 0.890 270 235 0.870 3500 3203 0.915 400 369 0.923 7000 6335 0.905 7506620.88314000126280.902①当移植的树数是1 500时，表格记录成活数是 0.890 ；可以估计树苗成活的概率是 0.900;③若小张移植10 000棵这种树苗，则可能成活 9 000棵;④若小张移植20 000棵这种树苗，则一定成活 18 000棵. 其中合理的是 A .①③B .①④C.②③D .0X3）二、填空题（本题共16分，每小题2分）1 335 ‘所以这种树苗成活的概率是 ②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在 0.900附近摆动，显示出一定的稳定性,7.已知函数・X bx c ，其中b>0, cvo ，此函数的图象可以是19 .在 Rt A ABC 中，/ C=90 °COS A - AB=6，贝 U AC 的长是3210 .若抛物线y x 2xc 与x 轴没有交点，写出一个满足条件的c 的值：11・如图，在平面直角坐标系 xOy 中，若点B 与点A 尖于点0中心对称，则点B 的坐标为11题图12如图，AB 是e O 的弦，C 是AB 的中点，连接OC 并延 长交eO 于点D.若CD=1,AB=4,则e O 的半径是 _______________13.某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度 •为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高 1m 的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）•经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB,OA的长分别为0.7m,0.3m ，观测点0到旗杆的距离0E 为6 m,则旗杆MN 的高度为 _______________12题图第14题图第13题图14. eO是四边形ABCD的外接圆，AC平分/ BAD，则正确结论的序号是15. 已知函数y X 2-2X-3，当・K x< a 时，函数的最小值是16 .如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知A 8,0 , C0,6，矩形OABC 的对角线交于点P,点M 在经过 k点P 的函数y — x>o 的图象上运动，k 的值X,OM 长的最小值为 ________________ •解答题（本题共68分，第17・24题，每小题5分，第分，第28题8分)17. 计算：2COS30 ・2sin 45 +3tan 60 + 1-72 •18. 已知等腰人ABC 内接于eO, AB=AC,/ BOC=100 °求八ABC 的顶角和底角的度19. 如图，在四边形ABCD 中，AD // BC, AB 丄BC,点E 在AB 上，/ DEC =90 ° (1) 求证:△ ADE sA B EC.(2) 若 AD=1 , BC=3, AE=2,求 AB 的长.20 .在△ ABC 中，/ B=135 ° AB = 2V2 , BC=1.-4，则实数a 的取值范围25题6分，第26-27 ‘每小题7（1）求八ABC的面积;（2）求AC的长.21 •北京2018新中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）、体育九门课程•语文、数学、外语、体育为必考科目地理、历史、思想品德、物理、生化（生物和化学）五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参加考试，其中物理、生化须至少选择一门.（D写出所有选考方案（只写选考科目）（2 ）从（1 ）的结果中随机选择一种方案，求该方案同时包含物理和历史的概率22.如图，在Rt △ ABC中，/ A=90 ° / C=30。
北京市东城区2018-2019学年九年级数学上学期期末教学统一检测【word版】.docx
北京市东城区2018-2019学年九年级数学上学期期末教学统一检测一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个1.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是A．B．C．D．2. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．的图象位于3．反比例函数y=6xA．第一、第二象限 B. 第一、第三象限C. 第二、第三象限D. 第二、第四象限4．如图，点A、B、C都在⊙O上，若，则的度数是A．18°B．30°C．36°D．72°5.在平面直角坐标系xoy中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（3，0），以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大，若B 点的对应点B′的坐标为（﹣6，0），则A点的对应点A′坐标为A．（﹣2，﹣4）B．（﹣4，﹣2）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）6. 如图，在ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC=3：1，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：17．将抛物线绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为A．B．C．D．8.下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：每批粒数n100 300 400 600 1000 2000 3000发芽的粒数m96 282 382 570 948 1904 2850发芽的频率0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.952 0.950下面有三个推断：①当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955；②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95；③若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒．其中推断合理的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③日期二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车.大桥在设计理念、建造技术、施工组织、管理模式等方面进行一系列创新，标志着我国岛隧工程设计施工管理水平走在了世界前列.大桥全长近55km.汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为10.如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为米11. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与轴的交点坐标为.此二次函数的解析式可以是12. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=8，OE=3，则⊙O的半径为．13.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为̂的长为cm．18cm，BD的长为9cm，则DE14.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C=．15. 如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB=4，则阴影部分的面积是______.16.如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，N是的中点，连接MN，若BC=4,∠ABC=60°，则线段MN的最大值为________.三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题,每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算：18.下面是小明设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程已知：平行四边形ABCD..求作：,垂足为点E.作法：如图,①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P,Q两点；②作直线PQ，交AB于点O;③以点O为圆心，OA长为半径做圆，交线段BC于点E;④连接AE.所以线段AE就是所求作的高.根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形;（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：AP=BP, AQ= ,PQ为线段AB的垂直平分线.O为AB中点.AB为直径，⊙O与线段BC交于点E,．（）(填推理的依据).19. 如图，在△A BC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD，（1）求证：△A BC∽△ACD（2）若AD=2，AB=5.求AC的长．20.京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式.京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运.如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛.现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回．．，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B）A1红脸A2红脸B黑脸21. 已知二次函数自变量的部分取值及对应的函数值如下表所示：（2）求此二次函数的表达式22.如图，一次函数y＝x＋4的图象与反比例函数y＝(k为常数且k≠0)的图象交于A(－1，a)，B两点，与x轴交于点C．（1）求a，k的值及点B的坐标；（2）若点P在x轴上，且S△ACP＝S△BOC，直接写出点P的坐标．23.某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求水流喷出的最大高度．24. 如图，已知Rt△ABC中，∠A CB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：AE＝AF;（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的长．25.有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究.下面是小彤探究的过程，请补充完整：(1) 函数的自变量的取值范围是___________；(2) 下表是y与x的几组对应值:则m 的值为________；(3)如图所示，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；(4)观察图象，写出该函数的一条性质________________________；(5)若函数的图象上有三个点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，且x1<3<x2<x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为________；26 . 在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为，线段AB的两个端点分别为A（1，2），B（3，2）(1) 若抛物线经过原点，求出的值；(2)求抛物线顶点C的坐标（用含有m的代数式表示）；(3)若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求出m的取值范围.27．如图，M为正方形ABCD内一点，点N在AD边上，且∠BMN＝90°，MN ＝2MB．点E为MN的中点，点P为DE的中点，连接MP并延长到点F，使得PF＝PM，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）求证：DF＝BM；（3）连接AM，用等式表示线段PM和AM的数量关系并证明．28.对于平面直角坐标系中的图形M及以原点为圆心，1为半径的，给出如下定义:P为图形M上任意一点，Q为上任意一点，如果P,Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M到的“圆距离”，记作(1)记线段AB为图形M,其中A(-1,2),B(1,2),求;（2）记函数y=kx+4（）的图象为图形M，且，直接写出k的取值范围;(3)记△CDE为图形M，其中,且，直接写出t的值.东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测初三数学参考答案及评分标准2019.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）9. 10. 6.4 11.答案不唯一12.5π 14. 45° 15. 16. 613.152三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题每小题7分）18.(1)略……………..2分(2)BQ, 90°(直径所对的圆周角是直角)……………..5分19. 证明：（1）∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A∴△A BC∽△ACD ………………………2分（2）解：△A BC∽△ACD∴…………………………………….4 分AD=2, AB=5∴∴AC= …………………………………5分20. 解：画树状图为：………………………..3分由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，所以P （两张都是“红脸”）＝．………………………..5分 答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是．21. 解：（1）直线x=-1………………………..1分（2）∵当x=0时，y=3 ，∴这个二次函数的表达式为：y=a x 2+bx+3 ∵当x=-1时，y=2 ; 当x=1时，y=6,{2=a −b +36=a +b +3………………………………3分 ∴{a =1b =2∴这个二次函数的表达式为：y=x 2+2x+3………………………….5分22.解：（1）把点A (－1，a )代入y ＝x ＋4，得a ＝3，…………………………1分∴A (－1，3)把A (－1，3)代入反比例函数y ＝∴k ＝－3. ………………………………………………………………2分 ∴反比例函数的表达式为y ＝－ 联立两个函数的表达式得 解得或 ∴点B的坐标为B (－3，1). ………………………………………………………………3分（2）P (－6，0)或(－2，0) …………………………………………………………5分23.解：（1）由题意可得，抛物线经过（0，1.5）和（3，0），………3分（2）解：………………………..5分∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2.，………………………..6分答：水流喷出的最大高度为2米．24.证明：（1）连接OD∵BC切⊙O于点D∴OD⊥BC…………………………………………………………1分∴∠ODC＝90°又∵∠ACB＝90°∴OD∥AC∴∠ODE＝∠F…………………………………………………………2分∵OE＝OD∴∠OED＝∠ODE.∴∠OED＝∠F.∴AE＝AF…………………………………………………………3分（2）∵OD∥AC∴△BOD∽△BAC…………………………………………………………4分∴∵AE＝5，AC＝4即………………………………………………………5分∴BE＝…………………………………………………………6分25. 解：(1)x≠3；…………………1分(2)；…………………2分(3)如图所示；(4)当x>3时y随x的增大而减小等(答案不唯一)；…………………5分(5)y1<y3<y2．…………………6分26.解：（1）∵抛物线经过原点,（2）所以，顶点C的坐标为……………………4分（3）由顶点C的坐标可知，抛物线的顶点C在直线y=2x上移动．当抛物线过点A时，m=2或1；当抛物线过点B时，m=2或5．所以m=2时，抛物线与线段AB有两个公共点，不符合题意．结合函数的图象可知，m的取值范围为且…………………6分27.解：（1）…………………………………………………………1分（2）∵点P为线段DE的中点∴DP＝EP在△MPE和△FPD中∴△MPE≌△FPD（SAS） (2)分∴DF＝ME∵E为MN的中点∴MN＝2ME∵MN＝2MB∴MB＝ME＝D F．…………………………………………………………3分（3）结论：…………………………………………………………4分连接AF由（2）可知：△MPE≌△FPD∴∠DFP＝∠EMP.∴DF∥ME.∴∠FDN＝∠MND.在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝90°又∵∠BMN＝90°∴∠MBA＋∠MNA＝180°又∵∠MNA＋∠MND＝180°∴∠MBA＝∠MND∴∠FDN＝∠MBA…………………………………………………………5分在△FAD和△MAB中∴△F AD≌△MAB（SAS）∴∠FAD＝∠MABFA＝MA∴∠FAM＝∠DAB＝90°∴△FAM为等腰直角三角形…………………………………………………………6分∴又∵FM＝2PM ∴…………………………………………………………7分28.解：（1）∵A（﹣1,2），B（1,2）∴H（0,2）∴d（M-O）＝1…………………………………………………2分(2)………………………………………………4分。
[试卷合集5套]北京市2018年九年级上学期期末数学学业质量监测试题
![[试卷合集5套]北京市2018年九年级上学期期末数学学业质量监测试题](https://img.taocdn.com/s3/m/38800daf2e3f5727a4e9629c.png)
【详解】（1）抽查的人数＝8÷16%＝50（名）；
喜欢“戏曲”活动项目的人数＝50﹣12﹣16﹣8﹣10＝4（人）；
扇形统计图中“戏曲”部分对应的扇形的圆心角为360°× ＝28.8°；
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．正比例函数y＝2x和反比例函数 的一个交点为（1，2），则另一个交点为（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（1，2）D．（2，1）
【答案】A
【详解】∵正比例函数y=2x和反比例函数y= 的一个交点为（1，2），
【详解】解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4，∴BC=2，∠CBC′=120°，∠A′BA=120°，
由旋转知△A′BC′≌△ABC∴S△A′BC′=S△ABC，
∴S阴影=S△A′BC′+S扇形ABA′-S扇形CBC′-S△ABC= S扇形ABA′-S扇形CBC′= ×（42-22）=4π（cm2）．
【点睛】
本题考查概率公式．
12．抛物线 的图像与坐标轴的交点个数是（ ）
A．无交点B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】已知二次函数的解析式，令x=0，则y=1，故与y轴有一个交点，令y=0，则x无解，故与x轴无交点，题目求的是与坐标轴的交点个数，故得出答案．
【详解】解：∵
∴令x=0，则y=1，故与y轴有一个交点
【点睛】
本题考查切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据题意添加辅助线正确推理论证是本题的解题关键.
16．设 分别为一元二次方程 的两个实数根，则 ______．
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东城区2017-2018学年度第一学期期末教学统一检测初三数学
下面各题均有四个选项，其中只有一个
．．是符合题意的
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A B C D
2. 边长为2的正方形内接于M，则M的半径是
A．1B．2C D．
3．若要得到函数()21+2
y x
=+的图象，只需将函数2
y x
=的图象
A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
4．点()
11
,y
A x，()
22
,y
B x 都在反比例函数
2
y
x
=的图象上，若
12
x x
＜＜，则
A．
21
y y
＞＞B．
12
y y
＞＞C．
21
y y
＜＜D．
12
y y
＜＜
5．A，B是O上的两点，OA=1，AB的长是
1
π
3
，则∠AOB的度数是
A．30 B． 60° C．90° D．120°
6．△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA,OB,OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是
A．2B．4
C．6 D．8
7．已知函数2
-
y x bx c
=++，其中00
b c
＞，＜，此函数的图象可以是
8．小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有
①当移植的树数是1 500时，表格记录成活数是1 335，所以这种树苗成活的概率是0.890；
②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；
③若小张移植10 000棵这种树苗，则可能成活9 000棵； ④若小张移植20 000棵这种树苗，则一定成活18 000棵. 其中合理的是
A ．①③
B ．①④ C. ②③ D ．②④
二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9．在Rt △ABC 中，∠C =90°，1
cos 3
A =
，AB =6，则AC 的长是 . 10．若抛物线2
2y x x c =++与x 轴没有交点，写出一个满足条件的c 的值： .
11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，若点B 与点A 关于点O 中心对称，则点B 的坐标为 .
11题图 12题图
12. 如图，AB 是
O 的弦，C 是AB 的中点，连接OC 并延长交O 于点D .若CD =1，AB =4,则O 的半径
13. 某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度. 为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m 的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）. 经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB,OA 的长分别为0.7m,0.3m ，观测点O 到旗杆的距离OE 为6 m ，
第13题图 第14题图 14. O 是四边形ABCD 的外接圆,AC 平分∠BAD ，则正确结论的序号是 .
①AB =AD ; ②BC =CD ; ③AB AD =; ④∠BCA =∠DCA ; ⑤BC CD =
15. 已知函数2
-2-3y x x =，当-1x a ≤≤时，函数的最小值是-4，则实数a 的取值范围 是 .
16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()8,0A ，
()0,6C ，矩形
()0k
y x x
=＞的
OABC 的对角线交于点P ，点M 在经过点P 的函数
图象上运动，k 的值为 ,OM 长的最小值为 .
三、解答题(本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第
26-27，每小题7分，第28题8分)
17．计算：2cos30-2sin 45+3tan 60+1-︒︒︒. 18． 已知等腰△ABC 内接于O , AB =AC ，∠BOC =100°，求△ABC 的顶角和底角的度数.
19. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，点E 在AB 上，∠DEC =90°.
（1）求证：△ADE ∽△BEC .
（2）若AD =1，BC =3，AE =2, 求AB 的长.
20．在△ABC 中，∠B =135°，AB =，BC =1.
(1)求△ABC 的面积； （2）求AC 的长.
21．北京2018新中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）、体育九门课程．语文、数学、外语、体育为必考科目.历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参加考试，其中物理、生化须至少选择一门． （1）写出所有选考方案（只写选考科目）；
（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，求该方案同时包含物理和历史的概率.
22.如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，∠C=30°.将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△A BC '', 其中点A ',
C '分别是点A ，C 的对应点.
(1) 作出△A BC ''(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)连接AA ',求∠C A A ''的度数.
23．如图，以40 m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是 一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位： s ）之间具有函数关系2
205h t t =-． （1）小球飞行时间是多少时，小球 最高？最大高度是多少？
（2）小球飞行时间t 在什么范围时， 飞行高度不低于15 m?
24．在平面直角坐标系xOy 中，直线24y x =+与反比例函数k
y x
=（k ≠0）的图象交于点()3,A a -和点B ．
（1）求反比例函数的表达式和点B 的坐标； （2）直接写出不等式24k x x
+＜的解集．
25．如图，在△ABC 中，AB =AC ,以AB 为直径的O 与边BC ，AC 分别交于点D ，E .DF 是O 的切线,交AC
于点F ．
（1）求证：DF ⊥AC ；
（2）若AE =4，DF =3，求tan A ．
26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx 2
﹣
2mx+n （m ≠0）与
x 轴交于点A, B ，点A 的坐标为（02-，）． （1）写出抛物线的对称轴； （2）直线n m x y -4-2
1
=
过点B ，且与抛物线的另一个交点为C ． ①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；
②点P 为抛物线对称轴上的动点，过点P 的两条直线l 1: y=x+a 和l 2 : y=-x+ b 组成图形G .当图形G 与线段BC 有公共点时，直接写出点P 的纵坐标t 的取值范围.
27． 如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =2，BC =B 为圆
心，
P 为B 上的动点，连接PC ，作P C PC '⊥，使
点P '
落在直线BC 的上方，且满足:P C PC '=BP ，AP '． （1）求∠BAC 的度数，并证明△AP C '∽△BPC ； （2）若点P 在AB 上时，
①在图2中画出△AP’C ； ②连接BP '，求BP '的长；
图1 图2
（3）点P 在运动过程中，BP '是否有最大值或最小值？若有，请直接写出BP '取得最大值或最小值时∠PBC 的度数；若没有，请说明理由．
备用图
28．对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G ，若在图形G 上存在一点N ，使M ，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．
（1）当⊙O 的半径为3时， 在点P 1（
1,0），P 21），P 3（
7
2
,0），P 4（5,0）中，⊙O 的和睦点是________； （2）若点P （4,3）为⊙O 的和睦点，求⊙O 的半径r 的取值范围；
（3）点A 在直线y =﹣1上，将点A 向上平移4个单位长度得到点B ，以AB 为边构造正方形ABCD ，且C ，
D 两点都在AB 右侧．已知点E
），若线段OE 上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点，直接写出点A 的横坐标A x 的取值范围．
东城区2018九年级期末数学答案
1-5：ACBCB 6-8：DDC
9、2 10、2 11、（2，－1） 12、5
2
13、15
14、 15、
16、
17、
18、
19、
20、
21、
22、
23、
24、
25、
26、
27、
28、。