第五章 有心力场中的运动..

解：航天器m在半径为a和2a的圆轨道速度 vc1 a，vc 2 (2a ) 霍曼转移轨道近地点远 地点距离分别为 a和 2a，利用(5.2.20)可得： 4 1 p a，e 3 3 利用(5.2.24)计算霍曼转移轨道近地 点和远 地点速度： v 4 3a，v 3a
§5-3 限制性三体问题
上节讨论的二体问题是 多体问题中唯一可导出 解析积分 的最简单情况。三体问 题，即三个相互以万有 引力吸引的质 点运动，不存在解析积 分。 若三体问题中有一体质 量m远小于另外两体的质量 m1，m2， 以至于它对后两者运动 的影响可以忽略不计， 则可以认为m1， m2 作为独立的二体运动， 只需要讨论m在m1，m2的共同引力场 中的运动。这种简化的 三体问题称为限制性三 体问题。考虑 地球和月球引力共同作 用的航天器运动就是典 型的限制性三 体问题。
设航天器射入轨道的起 始位置和速度为 r0 和v 0，两者垂直。则积分常 数E，L为：
2 v0 E 2 r0
L r0 v0 v0 2 p r0 ( ) vc
v0 2 e 1 ( ) vc vc r0 (圆速度)
抛物线速度v p 2 r0 2vc
在质点m上作用冲量，使速度产生突变，则轨道根数发生 改变，质点m转移至另一轨道。
r
3. 面积积分
r mr F (r ) 0 r 0 r v

mr v
F (r ) rr 0 r
d (r v ) 0 dt r v L(常矢量）
称为动量矩积分（ 守恒）。L为单位质量的质点对 O的动 量矩。常矢量 L垂直于r与v构成的平面，因此质点 必永远在此 平面内运动，此平面称 为轨道平面。 因此可以采用极坐 标来研究问题。
e 1 e 1 e 1
椭圆 抛物线 双曲线
将轨道方程代人动量矩 积分并分离变量，得到 dt t p3 d (1 cos ) 2 p3



0
d (1 cos ) 2
此式就是质点的运动方 程。 式中积分常数为 0，即矢径r与e重合的时刻，称为 过近地点时间。

p
(1 e cos )

p
e sin
速度v : v v v
2 r 2

p
1 e 2 2e cos
太阳系中的行星，地球 附近的航天器轨道都是 椭圆轨道。 p rmin r (0) 记为r，称为近地点（ 点） 1 e p rmax r ( ) 记为r，称为远地点（ 点） 1 e 由于p r ( / 2)，p的几何意义为 2 时，质点到O点的距离。 1 p 椭圆长半轴： a (r r ) 2 1 e2 椭圆短半轴： b a 2 (ae) 2 a 1 e 2
动量矩积分在极坐标中 的的标量形式： L r 2 (5.1.9)
质点的矢径扫过的面积 为： 1 2 dA r d 2 1 2 1 A r L 2 2 因此，动量矩积分又称 为面积积分。
将能量积分也用极坐标 表示： 1 2 2 2 1 r ) V (r ) E (r (5.1.12) 2 m (5.1.9)与(5.1.12)组成封闭方程组，可用 来求解此类问题。
代人时间积分： t a3


0
(1 e cos )d
a3

( e sin )
令 2，导出质点椭圆运动周 期T0： T0 2 a3

从而证明了开普勒第三 定律，即行星运动周期 的平方与轨道 长半轴的立方成正比。
4. 轨道的射入与转移
设冲量沿速度v方向，引起速度增量 v，引起速率增量 v，
v v 0v，其中v 0为速度v方向单位矢量。引起偏 心率矢量e变化 1 e，利用偏心率公式 e (v L r )： r
e 1 v v 1 0 2 0 0 [ L v (r )] [v L v L] v L v v v e 2v 0 e v v L v 可以看出e在轨道面内且与速度方 向垂直。在近地点 e与e 方向一致，在远地点 e与e方向相反，在其它位置 e与e有夹角。
§5-1 有心力场的普遍性质
1. 有心力场 质点受力F的作用线始终 通过惯性空间的固定点O，则 称此力我有心力，点O为力心， 有心力构成的力场称为有心 力场。O至质点的矢径记为r， 有心力F的作用线与r共线。
2-3
r F (r ) F (r ) r r m r F ( r ) 0 r
由此可以得出结论：在 近地点或远地点施加冲 量对改变偏 心率有最好的效果。 在近地点，e与e一致，使e增 加，轨道椭圆更扁。相 反在远地点，
e与e相反，e减小，轨道椭圆更圆。
利用此原理，同步地球 卫星的 发射过程设计为先进入 近地圆轨道， 然后施加冲量，转移至 远地点为同 步卫星高度的椭圆轨道 (称为霍曼转 移轨道 )，然后在远地点施加冲 量使 偏心率减为0，变成以远地点为半径 的同步圆轨道。
椭圆轨道与双曲线轨道 的根本区别在于：前者 有界而后者 无界。与E 0对应的抛物线轨道介于 两种类型轨道之间的临 界 情形，对应的速度称为 抛物线速度或逃逸速度 ，记作vp 2 vp r
将速度v分解为周向速度 v 和径向速度vr。 由动量矩积分得： L L v r (1 e cos ) rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱp dr dr L 则vr r 2 d d r
由偏心率矢量e可确定角， 称为近地点幅角。 偏心率矢量e与矢径r点积： 1 1 r e r ( v L r) r L
2

r re cos
从而导出极坐标形式的 轨道方程： p r 1 e cos 式中参数p L
2

称为半轴参数。
此轨道方程显然是以 O为焦点，且相对于 e为对称轴的圆锥曲线。
近地点速度：vπ v(0) vmax (1 e) p 远地点速度：vα v( ) vmin (1 e) p 当e 0时，轨道为圆形， r r r a b p，此时速度

称为圆速度vC，矢径的角速度 C： vC
me＞＞m，可足够精确地认为系统的质心O与地球的球心Oe重合。 二体问题简化为只需研究质点m在静止的地球万有引力作用下 的运动。
me 5.9761024 kg， Gme 3.986105 km3 /s 2
称为地球引力参数
m me m F (r ) G 2 2 m g r r 地球表面处g 9.82m / s 2。 m V (r ) r
轨道平面方位（ ，i）和偏心率矢量 e的方位确定后，轨道 方程和时间积分即完全 确定二体问题的运动规 律。 以上积分过程中出现 8个积分常数， E，L，，i，，p，e， 2 EL2 L2
，称为轨道根数，由于 有关系式e 1

2
，p

的存在，
其中有6个是独立的。通常选择 ，i，，p，e，作为独立的轨 道根数。
高等动力学
中国矿业大学力建学院力学系 李毅
2-1
目 录
第五章 有心力场中的运动
§5-1 有心力场的普遍性质 §5-2 二体问题 §5-3 限制性三体问题
2-2
有心力场是自然界中最普遍的力场。天体或航天器的 运动可简化为质心运动和绕质心的转动，即轨道运动和姿 态运动。忽略轨道运动和姿态运动的耦合作用，可分别独 立研究这两种运动。
3. 开普勒运动
二体问题描述的运动称为开普勒运动。从轨道方程：
p r 1 e cos 可以看出轨道曲线是以 O为焦点，且相对偏心率 矢量e为对称轴 的圆锥曲线。曲线的类 型取决于偏心率 e的值 : e 1 e 1 e 1 椭圆 抛物线 双曲线
从 (5.2.10)判断，e 1 ，e 1 ，e 1等价于 E 0, E 0，E 0


r
r e (常矢量)
(5.2.9)
vL

r 称为拉普拉斯积分。 1
r e (常矢量)
(5.2.9)
积分常数矢量e称为偏心率矢量。 e
2
2
(v L L2

r
r )2
1 1
2
(v 2
2 ) r (5.2.10)
2 EL2
2
面积积分表明质点的轨 道为平 面，该平面在惯性空间 中是固定的。 为确定轨道平面的位置 ，以O为原 点建立惯性参考系 (OX 0Y0 Z 0 )，其中 Z 0沿地球的极轴， X 0Y0为赤道平面。 轴X 0沿地球公转轨道的春分 点，在 轨道与赤道平面相交的 两个交点中， 对应于航天器上升的交 点称为升交 点，记作N，ON与OX 0的夹角称 为升交点赤经，轨道面 与赤道面的 倾角i称为轨道面倾角。 与i是确定 轨道面的空间方位的两 个独立的广义坐标。
1. 地月轨道
上节讨论的二体问题是 多体问题中唯一可导出 解析积分 的最简单情况。三体问 题，即三个相互以万有 引力吸引的质 点运动，不存在解析积 分。 若三体问题中有一体质 量m远小于另外两体的质量 m1，m2， 以至于它对后两者运动 的影响可以忽略不计， 则可以认为m1， m2 作为独立的二体运动， 只需要讨论m在m1，m2的共同引力场 中的运动。这种简化的 三体问题称为限制性三 体问题。考虑 地球和月球引力共同作 用的航天器运动就是典 型的限制性三 体问题。

r
vC C 3 r r
为了积分时间积分，引入椭圆中心坐标系，如图所示。
x a cos
y b sin
r cos x ae a (cos e) 2 r sin y a 1 e sin 上式平方和得以 为自变量的 轨道方程： r a (1 e cos ) 2 1 e sin sin 1 e cos 1 e2 d d 1 e cos cos e cos 1 e cos
§5-2 二体问题
1. 万有引力场
m me r ( ) 2 r r G 6.67 1011 m 3 /kg s 2，万有引力常数。 F G m me V (r ) G r 两质点组成的系统，无 外力作用，仅在 两者的万有引力作用下 的运动，称为二体问题 。
将地球和航天器均视作均值球体，根据上例的分析，可以 质量集中于球心的质点me和m分别表示地球和航天器。由于
二体问题的能量积分和 面积积分可由上节得出 ： v2 E 2 r r v L (5.2.6) (5.2.7)
此外。二体问题还存在 另一个初积分。由 (5.2.5) d d L 3 r L (v L) 3 (r (r r )) (v L r ) 0 v r dt r dt r vL
2. 动力学方程与初积分 r 由上节mr F (r ) 0知， r 二体问题的动力学方程 为： r 3 r 0 (5.2.5) r 此方程为二阶矢量微分 方程，
可化为三个二阶标量微 分方程组， 应有六个积分常数。如 图所示。 我们不直接使用积分的 方法 求解此问题，而是使用 初积分与 直接积分相结合的方法 来求解。
2. 能量积分
r v F (r ) v 0 mv r 1 d F (r ) 1 d m (v v ) (r r ) 0 2 dt r 2 dt d 1 2 0 ( m v ) F (r )r dt 2 1 2 1 v V (r ) E 称为能量积分（守恒） 2 m V (r ) F (r )dr， 称为势能