第五章 有心力场中的运动..
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-质点在有心力场中的运动
E mv 1
2的机械能
G0
R
r
12
Mm
卫星在轨道上时系
E mv G 2
2 1 统的机械能
0r
12
Mm
v0
o R
v
环绕 速度
宇宙速度
由机械能守恒 E1 E2 得
v2
v12 2G0M
(
1 R
1 r
)
(1)
因卫星作圆周运动
G0 M
m
1 r2
m
v2 r
v
G0 M r
(2)
卫星在地球表面时
16.7103(m s1)
第三宇宙 速度
G0
Mm
1 R2
mg
(2) (3)
v
G0 M
1 R2
g
(3)
gR2 环绕速度 (4)
r
宇宙速度
将 (4) 代入 (1)
v1
2Rg
(1
R 2r
)
发射速度
r
v0
当r R时
第一宇宙 速度
v1 Rg 6.37106 9.81 7.91103(m s1)
宇宙速度
第二宇宙速度（逃逸速度）
物体在地面发射时系统的机械能为：
16.7103(m s1)
第三宇宙 速度
地球 相对太阳的速度 v 29.8103 m / s
物体相对于地球的发射速度 v3 v3 v
从地面发射物体要飞出太阳系，既要克服地球
引力，又要克服太阳引力，所以发射时物体的动能
必须满足12 m
v3 2
2 1
m
v2 2
2 1
mv3 2
v3 v22 v32 v22 (v3 v)2
有心力场中的运动
引向
的矢量)
(
用一个变量r表示 )
系统的拉格朗日为:
——与质量为m,矢径为r的质点在有心力场中的拉格朗 日函数一样.即:二体问题可转化为在有心力场中 运动的单体问题.
讨论:若
,则
重的 m2 固定在质心位置上不动,成为力心; 轻的 m1 在 m2 产生的有心力场中运动. 例子:地球绕太阳的运动.
§1.3.2 有心力场中运动的一般分析
碰撞: a,在另一些初始条件下,它们也可能相互飞开,无限 远离.如果两个质点先互相飞近,然后再飞开,就 称为碰撞; b,两个质点之间是排斥力,则它们不可能形成束缚体 系,而只能发生碰撞. 6.数学上看两体问题: 对N个无约束的质点系统,当 N ≥ 3时求解运动方程 很困难,N=2(两体问题),运动方程易于求解. 7.有心力场中的运动:归结为两体问题.
一,守恒量 在有心力场中,角动量 守恒
运动过程中,
:质点的位置始终在一个垂直于L
的平面上.即:有心力场中的运动是平面运动. 设:质点运动所在的平面为xz平面( 则: )
L不包含变量 与
:循环变量
对应的广义动量(角动量)守恒
2.L不显含t
能量守恒
上式说明:两维(平面)运动能量等效一维运动的能量 (一维运动最简单)
一,运动形式的分类
设:平方反比引力为 质点移动 ,F做功: F ;
对dw积分,得势能:
设:
时,
,则
等效势能:
又:
则 :
——限制了质点的运动区域 中运动
由图:E<0: 质点限制在有限区域 E E>0: 运动区域
E=0: 过渡情况,质点也能运动到无穷远 即运动形式分两类: 束缚运动 无限运动
(完整版)第五章有心力场中的运动
p3 d 0 (1 cos )2
此式就是质点的运动方程。
式中积分常数为 0，即矢径r与e重合的时刻，称为
过近地点时间。
轨道平面方位（，i）和偏心率矢量e的方位确定后，轨道
方程和时间积分即完全确定二体问题的运动规律。
以上积分过程中出现8个积分常数，E，L，，i，，p，e，
，称为轨道根数，由于有关系式e
mr v F (r) r r 0 r
d (r v) 0
dt
r v L(常矢量）
称为动量矩积分（守恒）。L为单位质量的质点对O的动
量矩。常矢量L垂直于r与v构成的平面，因此质点必永远在此
平面内运动，此平面称为轨道平面。
因此可以采用极坐标来研究问题。
动量矩积分在极坐标中的的标量形式：
上节讨论的二体问题是多体问题中唯一可导出解析积分 的最简单情况。三体问题，即三个相互以万有引力吸引的质 点运动，不存在解析积分。
若三体问题中有一体质量m远小于另外两体的质量m1，m2， 以至于它对后两者运动的影响可以忽略不计，则可以认为m1， m2作为独立的二体运动，只需要讨论m在m1，m2的共同引力场 中的运动。这种简化的三体问题称为限制性三体问题。考虑 地球和月球引力共同作用的航天器运动就是典型的限制性三 体问题。
可以看出e在轨道面内且与速度方向垂直。在近地点e与e
方向一致，在远地点e与e方向相反，在其它位置e与e有夹角。
由此可以得出结论：在近地点或远地点施加冲量对改变偏 心率有最好的效果。
在近地点，e与e一致，使e增
加，轨道椭圆更扁。相反在远地点，
e与e相反，e减小，轨道椭圆更圆。
利用此原理，同步地球卫星的 发射过程设计为先进入近地圆轨道， 然后施加冲量，转移至远地点为同 步卫星高度的椭圆轨道(称为霍曼转 移轨道)，然后在远地点施加冲量使 偏心率减为0，变成以远地点为半径 的同步圆轨道。
第五章 有心力场中的运动
§5-1 有心力场的普遍性质
1. 有心力场
质点受力F的作用线始终 通过惯性空间的固定点O，则 称此力我有心力，点O为力心， 有心力构成的力场称为有心 力场。O至质点的矢径记为r， 有心力F的作用线与r共线。
2-3
F (r) F(r) r r
mr F (r) r 0 r
2. 能量积分
mv v F (r) r v 0 r
1. 万有引力场
F
G
mme r2
(r r
)
G 6.67 1011m3/kg s2，万有引力常数。
V (r) G mme r
两质点组成的系统，无外力作用，仅在
两者的万有引力作用下的运动，称为二体问题。
将地球和航天器均视作均值球体，根据上例的分析，可以 质量集中于球心的质点me和m分别表示地球和航天器。由于
高等动力学
中国矿业大学力建学院力学系 李毅
2-1
目录 第五章 有心力场中的运动
§5-1 有心力场的普遍性质 §5-2 二体问题 §5-3 限制性三体问题
2-2
有心力场是自然界中最普遍的力场。天体或航天器的 运动可简化为质心运动和绕质心的转动，即轨道运动和姿 态运动。忽略轨道运动和姿态运动的耦合作用，可分别独 立研究这两种运动。
r
2. 动力学方程与初积分
由上节mr F (r) r 0知， r
二体问题的动力学方程为：
r
r3
r
0
(5.2.5)
此方程为二阶矢量微分方程，
可化为三个二阶标量微分方程组，
应有六个积分常数。如图所示。
我们不直接使用积分的方法
求解此问题，而是使用初积分与
直接积分相结合的方法来求解。
二体问题的能量积分和面积积分可由上节得出：
1. 有心力场
质点受力F的作用线始终 通过惯性空间的固定点O，则 称此力我有心力，点O为力心， 有心力构成的力场称为有心 力场。O至质点的矢径记为r， 有心力F的作用线与r共线。
2-3
F (r) F(r) r r
mr F (r) r 0 r
2. 能量积分
mv v F (r) r v 0 r
1. 万有引力场
F
G
mme r2
(r r
)
G 6.67 1011m3/kg s2，万有引力常数。
V (r) G mme r
两质点组成的系统，无外力作用，仅在
两者的万有引力作用下的运动，称为二体问题。
将地球和航天器均视作均值球体，根据上例的分析，可以 质量集中于球心的质点me和m分别表示地球和航天器。由于
高等动力学
中国矿业大学力建学院力学系 李毅
2-1
目录 第五章 有心力场中的运动
§5-1 有心力场的普遍性质 §5-2 二体问题 §5-3 限制性三体问题
2-2
有心力场是自然界中最普遍的力场。天体或航天器的 运动可简化为质心运动和绕质心的转动，即轨道运动和姿 态运动。忽略轨道运动和姿态运动的耦合作用，可分别独 立研究这两种运动。
r
2. 动力学方程与初积分
由上节mr F (r) r 0知， r
二体问题的动力学方程为：
r
r3
r
0
(5.2.5)
此方程为二阶矢量微分方程，
可化为三个二阶标量微分方程组，
应有六个积分常数。如图所示。
我们不直接使用积分的方法
求解此问题，而是使用初积分与
直接积分相结合的方法来求解。
二体问题的能量积分和面积积分可由上节得出：
大学物理 第5节 角动量守恒定律
5-2-2 质点角动量定理
质量为m的质点，在力F 的作用下运动，质点相对 于参考点Ｏ的位矢为r，速度为v ，则质点对O点的 角动量对时间的微分：
dL d(r p) m r F r F M
dt
dt
M
dL
dt
0
---质点的角动量定理
作用在质点上的合力对任意固定点的力矩，等于 质点对该点的角动量对时间的变化率。
开普勒第一定律：所有行星沿各自的椭圆轨道绕太阳 运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：对任一行星来说，它与太阳的连线 （称为对太阳的矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。 开普勒第三定律：行星绕太阳运动运动周期 的平方正 比于其椭圆轨道长半轴的立方。
开普勒第一定律揭示了行星在平面内运动，其绕行方 向不变。如果我们要寻找一个守恒量，那么这个守恒
L Li 常矢量
这就是角动量守恒定律.它与动量守恒定律一样,也 是物理学中最基本的普适原理之一. 从现代物理来 看,角动量守恒定律是空间各向同性(空间旋转对称 性)的直接推论.
对于由相互作用的两个质点组成的孤立系统，角 动量等量地从一个质点转移到另一个质点。
§5-2 力矩 角动量定理
本节内容： 5-2-1 力矩 5-2-2 质点的角动量定理 5-2-3 质点系的角动量定理
(r2 r1 ) f2 r f2 0
一对作用力、反作用力对定点的力矩的矢量和等于零。
二 质点系 角动量定理 的
L dL
dt
o
ri
i
d[ dt
i
Pi
ri
Pi
]
i
Fi
d ri dt Pi
Pi ·
·i · ·
f ij
r·i ·
《力学篇》第1版和第2版的区别
本书第1版出版于2002年，定价为39.00元；第2版出版于2013年，定价为68.00元。
为方便读者选购不同的版本，特将第2版与第1版的区别总结如下：
1.第2版新增了40.2%的篇幅，新增内容主要为：①对第1版原有的部分例题、练习，增加了新的解法和分析；②增加了大量新的例题和练习，这部分有详细的分析和解答过程；③增加了一些章后的习题，这部分只有最终答案（2014年5月，将出版《力学篇》第2版的配套习题解析，将对全书各章后的习题进行多方法的完整解答和剖析，敬请期待）；④第二章增加了一节“刚体运动学简介”；⑤第五章增加了一节“变质量物理的运动”；⑥第六章增加了一节“有心力场”。
2.第2版中，少数小节对第1版进行了改写。
3.第2版对相关公式补充了微分形式的表述。
4.第2版对插图进行了优化，提升了清晰度和准确性。
5.第2版中，数学符号改用了与现行教材相符的表述，比如正切函数tg 改为tan，等等。
6.第2版订正了第1版的少数错漏，排版更讲究；数字和字母使用了更优美的字体，阅读体验更愉悦。
7.第2版的附录1更新为最新的《全国中学生物理竞赛内容提要》。
8.第2版的附录2中的“基本物理量和数据”也更新为国际最新的数据。
9.第2版是对第1版从“量”和“质”两方面的提升，是终极版，今后不会再改版。
10.程稼夫系列奥赛物理图书的出版计划：2014年6月，出版《电磁学篇》第2版和《力学篇习题解析》；2015年6月，出版《热学、光学、近代物理学篇》和《电磁学篇习题解析》；2016年6月，出版《中学奥林匹克竞赛物理讲座》第2版和《热学、光学、近代物理学配套习题解析》。
第九讲--第五章角动量变化定理与角动量守恒(1)
若质点所受的合力矩为零,则质点的角动量不随时间 改变。 因为 M r F
F 0 , M 0 F过O点：中心力（如行星受中 心恒星的万有引力）
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
理学院 物理系 陈强
例. 发射一宇宙飞船去考察一质量为M,半径为R的行星, 当飞船静止于空间距行星中心4R时,以速度v0 发射一质 量为m(m远小于飞船质量)的仪器。要使这仪器恰好掠 着行星的表面着陆, 角应是多少？着陆滑行初速度v多 大？ v=? v0
1.一对内力的力矩之和为零 如图示,一对内力 f ij 和f ji ( f ij ) M i M j ri f ij r j f ji
Fi
mi
ri fij O
( ri r j ) f ij
r﹣rj i fji rj
2 2
解得
V (1 2 ) 2
1 2 ( 1 2 ) 2 →两猴同时到达滑轮
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
理学院 物理系 陈强
§5-4.有心运动
一 质点在有心力场中的运动方程
(1) 有心力 有心力： 方向始终指向或背向一个固定中心的力。 有心力场： 有心力存在的空间。 (中心对称)有心力： 有心力的大小仅与参考点P到 力心O的距离r有关，即
y
F
v
30
30
r
P
0
2002年5月考
x
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
理学院 物理系 陈强
§5-2. 质点的角动量变化定理,角动量守恒 一.质点的角动量变化定理
角动量对t求导
dp dr dL d r p r p dt dt dt dt dr dr v , p mv p0 dt dt dp d dL r ( mv ) r F r dt dt dt
大物力学第五章 角动量
v dr v Q =v dt
v v dp F= dt
v dr v v v × p = v × mv = 0 dt
说明： 说明： 可以写成分量表示。 可以写成分量表示。
v dL v v v ∴ = r ×F = M dt
力矩引起角动量的变化！ 力矩引起角动量的变化！
微分形式
v v t2 v L2 − L = ∫ Mdt 1
面积ds=(r·v·dt·sin θ)/2
v r
θ
ds 1 1 v v 面积变化率 = r • v • sin θ = r × v = dt 2 2 2m 角动量守恒 面积变化率恒定
开普勒第二定律
v L
O
v v dt
v v r × v 的含义
面积ds=(r·v·dt·sin θ)/2
v r
θ
ds 1 1 v v 面积变化率 = r • v • sin θ = r × v = dt 2 2 2m 角动量守恒 面积变化率恒定
例：图中O为有心力场的力心，排斥力于距离平方成反 图中 为有心力场的力心， 为有心力场的力心 为一常量） 为一常量 比：f = k/r2（k为一常量） 求：(1) 此力场的势能 (2) 一质量为 的粒子以速度 0、瞄准距离 从远处 一质量为m的粒子以速度 的粒子以速度v 瞄准距离b从远处 入射，求他能达到的最近距离和此时的速度。 入射，求他能达到的最近距离和此时的速度。
v v v Q M内 = ∑ ( ri × f i内 ) i dt i
质点组角动量守恒： 质点组角动量守恒：
矢量，可以写成分量式表示。 矢量，可以写成分量式表示。 只有外力矩才对角动量有贡 内力矩为零， 献，内力矩为零，但会改变角 动量在体系内的分配。 动量在体系内的分配。
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me＞＞m，可足够精确地认为系统的质心O与地球的球心Oe重合。 二体问题简化为只需研究质点m在静止的地球万有引力作用下 的运动。
me 5.9761024 kg， Gme 3.986105 km3 /s 2
称为地球引力参数
m me m F (r ) G 2 2 m g r r 地球表面处g 9.82m / s 2。 m V (r ) r
由此可以得出结论：在 近地点或远地点施加冲 量对改变偏 心率有最好的效果。 在近地点，e与e一致，使e增 加，轨道椭圆更扁。相 反在远地点，
e与e相反，e减小，轨道椭圆更圆。
利用此原理，同步地球 卫星的 发射过程设计为先进入 近地圆轨道， 然后施加冲量，转移至 远地点为同 步卫星高度的椭圆轨道 (称为霍曼转 移轨道 )，然后在远地点施加冲 量使 偏心率减为0，变成以远地点为半径 的同步圆轨道。
二体问题的能量积分和 面积积分可由上节得出 ： v2 E 2 r r v L (5.2.6) (5.2.7)
此外。二体问题还存在 另一个初积分。由 (5.2.5) d d L 3 r L (v L) 3 (r (r r )) (v L r ) 0 v r dt r dt r vL
设冲量沿速度v方向，引起速度增量 v，引起速率增量 v，
v v 0v，其中v 0为速度v方向单位矢量。引起偏 心率矢量e变化 1 e，利用偏心率公式 e (v L r )： r
e 1 v v 1 0 2 0 0 [ L v (r )] [v L v L] v L v v v e 2v 0 e v v L v 可以看出e在轨道面内且与速度方 向垂直。在近地点 e与e 方向一致，在远地点 e与e方向相反，在其它位置 e与e有夹角。
3. 开普勒运动
二体问题描述的运动称为开普勒运动。从轨道方程：
p r 1 e cos 可以看出轨道曲线是以 O为焦点，且相对偏心率 矢量e为对称轴 的圆锥曲线。曲线的类 型取决于偏心率 e的值 : e 1 e 1 e 1 椭圆 抛物线 双曲线
从 (5.2.10)判断，e 1 ，e 1 ，e 1等价于 E 0, E 0，E 0
高等动力学
中国矿业大学力建学院力学系 李毅
2-1
目 录
第五章 有心力场中的运动
§5-1 有心力场的普遍性质 §5-2 二体问题 §5-3 限制性三体问题
2-2
有心力场是自然界中最普遍的力场。天体或航天器的 运动可简化为质心运动和绕质心的转动，即轨道运动和姿 态运动。忽略轨道运动和姿态运动的耦合作用，可分别独 立研究这两种运动。
§5-1 有心力场的普遍性质
1. 有心力场 质点受力F的作用线始终 通过惯性空间的固定点O，则 称此力我有心力，点O为力心， 有心力构成的力场称为有心 力场。O至质点的矢径记为r， 有心力F的作用线与r共线。
2-3
r F (r ) F (r ) r r m r F ( r ) 0 r
e 1 e 1 e 1
椭圆 抛物线 双曲线
将轨道方程代人动量矩 积分并分离变量，得到 dt t p3 d (1 cos ) 2 p3
0
d (1 cos ) 2
此式就是质点的运动方 程。 式中积分常数为 0，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ矢径r与e重合的时刻，称为 过近地点时间。
p
(1 e cos )
p
e sin
速度v : v v v
2 r 2
p
1 e 2 2e cos
太阳系中的行星，地球 附近的航天器轨道都是 椭圆轨道。 p rmin r (0) 记为r，称为近地点（ 点） 1 e p rmax r ( ) 记为r，称为远地点（ 点） 1 e 由于p r ( / 2)，p的几何意义为 2 时，质点到O点的距离。 1 p 椭圆长半轴： a (r r ) 2 1 e2 椭圆短半轴： b a 2 (ae) 2 a 1 e 2
动量矩积分在极坐标中 的的标量形式： L r 2 (5.1.9)
质点的矢径扫过的面积 为： 1 2 dA r d 2 1 2 1 A r L 2 2 因此，动量矩积分又称 为面积积分。
将能量积分也用极坐标 表示： 1 2 2 2 1 r ) V (r ) E (r (5.1.12) 2 m (5.1.9)与(5.1.12)组成封闭方程组，可用 来求解此类问题。
2. 动力学方程与初积分 r 由上节mr F (r ) 0知， r 二体问题的动力学方程 为： r 3 r 0 (5.2.5) r 此方程为二阶矢量微分 方程，
可化为三个二阶标量微 分方程组， 应有六个积分常数。如 图所示。 我们不直接使用积分的 方法 求解此问题，而是使用 初积分与 直接积分相结合的方法 来求解。
§5-2 二体问题
1. 万有引力场
m me r ( ) 2 r r G 6.67 1011 m 3 /kg s 2，万有引力常数。 F G m me V (r ) G r 两质点组成的系统，无 外力作用，仅在 两者的万有引力作用下 的运动，称为二体问题 。
将地球和航天器均视作均值球体，根据上例的分析，可以 质量集中于球心的质点me和m分别表示地球和航天器。由于
代人时间积分： t a3
0
(1 e cos )d
a3
( e sin )
令 2，导出质点椭圆运动周 期T0： T0 2 a3
从而证明了开普勒第三 定律，即行星运动周期 的平方与轨道 长半轴的立方成正比。
4. 轨道的射入与转移
r
r e (常矢量)
(5.2.9)
vL
r 称为拉普拉斯积分。 1
r e (常矢量)
(5.2.9)
积分常数矢量e称为偏心率矢量。 e
2
2
(v L L2
r
r )2
1 1
2
(v 2
2 ) r (5.2.10)
2 EL2
2
面积积分表明质点的轨 道为平 面，该平面在惯性空间 中是固定的。 为确定轨道平面的位置 ，以O为原 点建立惯性参考系 (OX 0Y0 Z 0 )，其中 Z 0沿地球的极轴， X 0Y0为赤道平面。 轴X 0沿地球公转轨道的春分 点，在 轨道与赤道平面相交的 两个交点中， 对应于航天器上升的交 点称为升交 点，记作N，ON与OX 0的夹角称 为升交点赤经，轨道面 与赤道面的 倾角i称为轨道面倾角。 与i是确定 轨道面的空间方位的两 个独立的广义坐标。
近地点速度：vπ v(0) vmax (1 e) p 远地点速度：vα v( ) vmin (1 e) p 当e 0时，轨道为圆形， r r r a b p，此时速度
称为圆速度vC，矢径的角速度 C： vC
§5-3 限制性三体问题
上节讨论的二体问题是 多体问题中唯一可导出 解析积分 的最简单情况。三体问 题，即三个相互以万有 引力吸引的质 点运动，不存在解析积 分。 若三体问题中有一体质 量m远小于另外两体的质量 m1，m2， 以至于它对后两者运动 的影响可以忽略不计， 则可以认为m1， m2 作为独立的二体运动， 只需要讨论m在m1，m2的共同引力场 中的运动。这种简化的 三体问题称为限制性三 体问题。考虑 地球和月球引力共同作 用的航天器运动就是典 型的限制性三 体问题。
解：航天器m在半径为a和2a的圆轨道速度 vc1 a，vc 2 (2a ) 霍曼转移轨道近地点远 地点距离分别为 a和 2a，利用(5.2.20)可得： 4 1 p a，e 3 3 利用(5.2.24)计算霍曼转移轨道近地 点和远 地点速度： v 4 3a，v 3a
椭圆轨道与双曲线轨道 的根本区别在于：前者 有界而后者 无界。与E 0对应的抛物线轨道介于 两种类型轨道之间的临 界 情形，对应的速度称为 抛物线速度或逃逸速度 ，记作vp 2 vp r
将速度v分解为周向速度 v 和径向速度vr。 由动量矩积分得： L L v r (1 e cos ) r p dr dr L 则vr r 2 d d r
2. 能量积分
r v F (r ) v 0 mv r 1 d F (r ) 1 d m (v v ) (r r ) 0 2 dt r 2 dt d 1 2 0 ( m v ) F (r )r dt 2 1 2 1 v V (r ) E 称为能量积分（守恒） 2 m V (r ) F (r )dr， 称为势能
由偏心率矢量e可确定角， 称为近地点幅角。 偏心率矢量e与矢径r点积： 1 1 r e r ( v L r) r L
2
r re cos
从而导出极坐标形式的 轨道方程： p r 1 e cos 式中参数p L
2
称为半轴参数。
此轨道方程显然是以 O为焦点，且相对于 e为对称轴的圆锥曲线。
r
3. 面积积分
r mr F (r ) 0 r 0 r v
mr v
F (r ) rr 0 r
d (r v ) 0 dt r v L(常矢量）
称为动量矩积分（ 守恒）。L为单位质量的质点对 O的动 量矩。常矢量 L垂直于r与v构成的平面，因此质点 必永远在此 平面内运动，此平面称 为轨道平面。 因此可以采用极坐 标来研究问题。
轨道平面方位（ ，i）和偏心率矢量 e的方位确定后，轨道 方程和时间积分即完全 确定二体问题的运动规 律。 以上积分过程中出现 8个积分常数， E，L，，i，，p，e， 2 EL2 L2
me 5.9761024 kg， Gme 3.986105 km3 /s 2
称为地球引力参数
m me m F (r ) G 2 2 m g r r 地球表面处g 9.82m / s 2。 m V (r ) r
由此可以得出结论：在 近地点或远地点施加冲 量对改变偏 心率有最好的效果。 在近地点，e与e一致，使e增 加，轨道椭圆更扁。相 反在远地点，
e与e相反，e减小，轨道椭圆更圆。
利用此原理，同步地球 卫星的 发射过程设计为先进入 近地圆轨道， 然后施加冲量，转移至 远地点为同 步卫星高度的椭圆轨道 (称为霍曼转 移轨道 )，然后在远地点施加冲 量使 偏心率减为0，变成以远地点为半径 的同步圆轨道。
二体问题的能量积分和 面积积分可由上节得出 ： v2 E 2 r r v L (5.2.6) (5.2.7)
此外。二体问题还存在 另一个初积分。由 (5.2.5) d d L 3 r L (v L) 3 (r (r r )) (v L r ) 0 v r dt r dt r vL
设冲量沿速度v方向，引起速度增量 v，引起速率增量 v，
v v 0v，其中v 0为速度v方向单位矢量。引起偏 心率矢量e变化 1 e，利用偏心率公式 e (v L r )： r
e 1 v v 1 0 2 0 0 [ L v (r )] [v L v L] v L v v v e 2v 0 e v v L v 可以看出e在轨道面内且与速度方 向垂直。在近地点 e与e 方向一致，在远地点 e与e方向相反，在其它位置 e与e有夹角。
3. 开普勒运动
二体问题描述的运动称为开普勒运动。从轨道方程：
p r 1 e cos 可以看出轨道曲线是以 O为焦点，且相对偏心率 矢量e为对称轴 的圆锥曲线。曲线的类 型取决于偏心率 e的值 : e 1 e 1 e 1 椭圆 抛物线 双曲线
从 (5.2.10)判断，e 1 ，e 1 ，e 1等价于 E 0, E 0，E 0
高等动力学
中国矿业大学力建学院力学系 李毅
2-1
目 录
第五章 有心力场中的运动
§5-1 有心力场的普遍性质 §5-2 二体问题 §5-3 限制性三体问题
2-2
有心力场是自然界中最普遍的力场。天体或航天器的 运动可简化为质心运动和绕质心的转动，即轨道运动和姿 态运动。忽略轨道运动和姿态运动的耦合作用，可分别独 立研究这两种运动。
§5-1 有心力场的普遍性质
1. 有心力场 质点受力F的作用线始终 通过惯性空间的固定点O，则 称此力我有心力，点O为力心， 有心力构成的力场称为有心 力场。O至质点的矢径记为r， 有心力F的作用线与r共线。
2-3
r F (r ) F (r ) r r m r F ( r ) 0 r
e 1 e 1 e 1
椭圆 抛物线 双曲线
将轨道方程代人动量矩 积分并分离变量，得到 dt t p3 d (1 cos ) 2 p3
0
d (1 cos ) 2
此式就是质点的运动方 程。 式中积分常数为 0，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ矢径r与e重合的时刻，称为 过近地点时间。
p
(1 e cos )
p
e sin
速度v : v v v
2 r 2
p
1 e 2 2e cos
太阳系中的行星，地球 附近的航天器轨道都是 椭圆轨道。 p rmin r (0) 记为r，称为近地点（ 点） 1 e p rmax r ( ) 记为r，称为远地点（ 点） 1 e 由于p r ( / 2)，p的几何意义为 2 时，质点到O点的距离。 1 p 椭圆长半轴： a (r r ) 2 1 e2 椭圆短半轴： b a 2 (ae) 2 a 1 e 2
动量矩积分在极坐标中 的的标量形式： L r 2 (5.1.9)
质点的矢径扫过的面积 为： 1 2 dA r d 2 1 2 1 A r L 2 2 因此，动量矩积分又称 为面积积分。
将能量积分也用极坐标 表示： 1 2 2 2 1 r ) V (r ) E (r (5.1.12) 2 m (5.1.9)与(5.1.12)组成封闭方程组，可用 来求解此类问题。
2. 动力学方程与初积分 r 由上节mr F (r ) 0知， r 二体问题的动力学方程 为： r 3 r 0 (5.2.5) r 此方程为二阶矢量微分 方程，
可化为三个二阶标量微 分方程组， 应有六个积分常数。如 图所示。 我们不直接使用积分的 方法 求解此问题，而是使用 初积分与 直接积分相结合的方法 来求解。
§5-2 二体问题
1. 万有引力场
m me r ( ) 2 r r G 6.67 1011 m 3 /kg s 2，万有引力常数。 F G m me V (r ) G r 两质点组成的系统，无 外力作用，仅在 两者的万有引力作用下 的运动，称为二体问题 。
将地球和航天器均视作均值球体，根据上例的分析，可以 质量集中于球心的质点me和m分别表示地球和航天器。由于
代人时间积分： t a3
0
(1 e cos )d
a3
( e sin )
令 2，导出质点椭圆运动周 期T0： T0 2 a3
从而证明了开普勒第三 定律，即行星运动周期 的平方与轨道 长半轴的立方成正比。
4. 轨道的射入与转移
r
r e (常矢量)
(5.2.9)
vL
r 称为拉普拉斯积分。 1
r e (常矢量)
(5.2.9)
积分常数矢量e称为偏心率矢量。 e
2
2
(v L L2
r
r )2
1 1
2
(v 2
2 ) r (5.2.10)
2 EL2
2
面积积分表明质点的轨 道为平 面，该平面在惯性空间 中是固定的。 为确定轨道平面的位置 ，以O为原 点建立惯性参考系 (OX 0Y0 Z 0 )，其中 Z 0沿地球的极轴， X 0Y0为赤道平面。 轴X 0沿地球公转轨道的春分 点，在 轨道与赤道平面相交的 两个交点中， 对应于航天器上升的交 点称为升交 点，记作N，ON与OX 0的夹角称 为升交点赤经，轨道面 与赤道面的 倾角i称为轨道面倾角。 与i是确定 轨道面的空间方位的两 个独立的广义坐标。
近地点速度：vπ v(0) vmax (1 e) p 远地点速度：vα v( ) vmin (1 e) p 当e 0时，轨道为圆形， r r r a b p，此时速度
称为圆速度vC，矢径的角速度 C： vC
§5-3 限制性三体问题
上节讨论的二体问题是 多体问题中唯一可导出 解析积分 的最简单情况。三体问 题，即三个相互以万有 引力吸引的质 点运动，不存在解析积 分。 若三体问题中有一体质 量m远小于另外两体的质量 m1，m2， 以至于它对后两者运动 的影响可以忽略不计， 则可以认为m1， m2 作为独立的二体运动， 只需要讨论m在m1，m2的共同引力场 中的运动。这种简化的 三体问题称为限制性三 体问题。考虑 地球和月球引力共同作 用的航天器运动就是典 型的限制性三 体问题。
解：航天器m在半径为a和2a的圆轨道速度 vc1 a，vc 2 (2a ) 霍曼转移轨道近地点远 地点距离分别为 a和 2a，利用(5.2.20)可得： 4 1 p a，e 3 3 利用(5.2.24)计算霍曼转移轨道近地 点和远 地点速度： v 4 3a，v 3a
椭圆轨道与双曲线轨道 的根本区别在于：前者 有界而后者 无界。与E 0对应的抛物线轨道介于 两种类型轨道之间的临 界 情形，对应的速度称为 抛物线速度或逃逸速度 ，记作vp 2 vp r
将速度v分解为周向速度 v 和径向速度vr。 由动量矩积分得： L L v r (1 e cos ) r p dr dr L 则vr r 2 d d r
2. 能量积分
r v F (r ) v 0 mv r 1 d F (r ) 1 d m (v v ) (r r ) 0 2 dt r 2 dt d 1 2 0 ( m v ) F (r )r dt 2 1 2 1 v V (r ) E 称为能量积分（守恒） 2 m V (r ) F (r )dr， 称为势能
由偏心率矢量e可确定角， 称为近地点幅角。 偏心率矢量e与矢径r点积： 1 1 r e r ( v L r) r L
2
r re cos
从而导出极坐标形式的 轨道方程： p r 1 e cos 式中参数p L
2
称为半轴参数。
此轨道方程显然是以 O为焦点，且相对于 e为对称轴的圆锥曲线。
r
3. 面积积分
r mr F (r ) 0 r 0 r v
mr v
F (r ) rr 0 r
d (r v ) 0 dt r v L(常矢量）
称为动量矩积分（ 守恒）。L为单位质量的质点对 O的动 量矩。常矢量 L垂直于r与v构成的平面，因此质点 必永远在此 平面内运动，此平面称 为轨道平面。 因此可以采用极坐 标来研究问题。
轨道平面方位（ ，i）和偏心率矢量 e的方位确定后，轨道 方程和时间积分即完全 确定二体问题的运动规 律。 以上积分过程中出现 8个积分常数， E，L，，i，，p，e， 2 EL2 L2