有心力作用下物体运动的稳定性研究

有心力作用下物体运动的稳定性的研究

摘要稳定是物体或系统在外干扰的作用下偏离其运动后返回该运动的性质。若逐渐返回原运动则称此运动是稳定的，否则就是不稳定的。通过推导有心力势场中粒子的运动轨道方程，以及利用等效势能曲线对中心力场中运动轨道的闭合性、封闭性条件以及中心力场中圆轨道运动的稳定性条件作出了定性的判断。对于轨道的有界性、封闭性以作出定性研究，具有实际意义。本文在此基础上进一步讨论有心力运动中的稳定性条件和封闭性条件。通过查阅各种资料，我对宇宙多种天体的运动有了很深刻的认识。

关键词稳定性;封闭性；有心势场

The study of the stability of the movement under the affection

of centripetal force

School of Physics and Electronic Information, Huai Bei Normal University, Anhui Huaibei, 235000 Abstract S tability is a object or system under the condition of outside interference from its campaign to return to the nature of the movement . If gradually returned to the original movement called the motion is stable, otherwise it is not stable. Motion orbit equation derived by central force of particle in potential field, and the use of equivalent potential energy curves of motion in central force field closed, closed conditions as well as the central force field in circular motion stability conditions made a qualitative judgment. The orbit of the bounded closed, in order to make a qualitative research, practical significance. In this paper, on the basis of further discussion of stability conditions of central force motion and closed condition. Through access to a variety of materials, I have a very profound understanding of the movements of celestial bodies. Keywords S tability; Closed; Centripetal force

目次

1 引言 (1)

2 中心势场中粒子运动的轨道 (1)

2.1由运动方程消去参数t导出轨道方程 (1)

3 r的幂律中心势场中粒子运动轨道的闭合性 (2)

3.1 和r的变化对轨道的影响 (2)

4 r的幂律中心势场中粒子运动圆轨道的稳定性 (3)

5 非r的幂律函数势场中粒子运动轨道的稳定性和封闭性 . 6

6 结论 (8)

参考文献 (8)

致谢 (9)

1 引 言

开普勒第一定律[1,2]认为行星运动的轨道是一个椭圆，同样根据牛顿万有引力和理论力学[1,2]可以得出，地日系统也是一个椭圆轨道，太阳在椭圆的一个焦点之上。这个椭圆轨道是稳定的。地球和太阳这个地日系统的稳定性是一件可喜可贺的事情。

稳定是物体或系统在外干扰的作用下偏离其运动后返回该运动的性质。若逐渐返回原运动则称此运动是稳定的，否则就是不稳定的。

关于有心力运动轨道，根据前人得出的结论，理论上可以由运动微分方程、等效一维运动方程或轨道微分方程解得[1,2]。对于有心力场轨道稳定性的问题，已先后有许多文章利用不同方法对圆形轨道、平方反比力场中的轨道[48]-、立方反比引力场中的个别轨道

[5]

的稳定性做了十分有益的讨论。实际上由于解的繁复性，

也并非是十分容易的，甚至很难获得精确解。因此，对于轨道的有界性、封闭性以作出定性研究，具有实际意义。本文在此基础上进一步讨论有心力运动中的稳定性条件和封闭性条件。

2 中心势场中粒子运动的轨道

2.1 由运动方程消去参数t 导出轨道方程

有心力运动具有角动量守恒和机械能守恒两大运动特征。它的两个运动微分式为：

2mr l θ= （2.1.1）

()2()m r r F r θ-= （2.1.2） 引进变换

1

u r

= （2.1.3）

则有 2l u m θ= , dr du l du r du d m d θθθ==- , 22

222

d l du l d u r u dt m d m d θθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 将它们代入（2.1.2）式，得到轨道微分方程

22

22

d u m

u u F d l θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭

（2.1.4）

3 r 的幂律中心势场中粒子运动轨道的闭合性

3.1 θ和r 的变化对轨道的影响

对于在一般有心力场中运动的质点而言，运动轨道还因r 变化的同时，θ也是在变化，现在讨论θ和r 的变化对轨道的影响。

由（2.1.1）式知道，2

1

l m r

θ= ，θ 是随时间单调地变化的，θ 的值和2r 成反比，远离中心时粒子绕中心旋转得慢，近时旋转得快。把2

1

l m r θ= 代入（2.2.1）

式，化为等效一维问题得方程[2]：

()()222

211222

off l E mr V r mr V r mr =++=+ （3.1.1） （3.1.1）式指出，中心势场中粒子的运动可以等效为粒子在有效势场

()2

2

2off

l V V r mr =+中沿径向r 的一维运动，222l mr 称为离心势能，r 变化的范围由

（3.1.1）式中0r

= 的条件决定，即