-质点在有心力场中的运动
高二物理竞赛课件：质心(center of mass) 质心运动定理
一、质点对定点的角动量
说角动量时，
t 时刻， 如图 ，
必须指明是对 哪个固定点的
定义 L r P 为质点对固定点o 的角动量
大小：L rP 方向：垂直于
sri，nP
rmv sin
组成的平面
[SI] kgm 2/s
o r
L
P
m
力对定点的力矩
说力矩时，也
t 时 刻,如图,
必须指明是对 哪个固定点的
例 已知1/4圆M, m由静止下滑,求
t1→t2 过程中M移动的距离 S。 解： 选（M+m）为体系
水平方向: 合外力=0，质心静止
t1时刻
m
t2时刻
Mபைடு நூலகம்
M
m
x -R O
体系质心
X1
MxmR Mm
x-S -S O
体系质心
X
2
M
x
M
SmS
m
质心静止 X1 X 2
M
移动的距离
S
m Mm
R
思路:与处理动量定理 动量守恒问题相同
等于质点角动量的增量。
M 和L 是对惯性系中的同一固定点的。
角动量定理 Mdt dL
t2
Mdt ΔL
t1
若 M 0 则 L 0 角动量守恒定律
讨论
1）动量守恒与角动量守恒
是相互独立的定律。 如行星运动
2）有心力—力始终指向一点
直升飞机
动量不守恒 角动量守恒
质点在有心力作用下运动时角动量守恒
M r F 0 角动量守恒
o
F
mi
ri c质心
rc
o
重心是指各质点所受重力的合力作用点。
《中山大学902普通物理历年考研真题及答案解析》
子平均动能的增量为γNQA式中γ为比热容比，NA 为阿伏伽德罗常数。
3.半径为
a
的＞0
的匀强磁场。一直导线弯成等腰梯形
ABCDA，
上上底长为 a，下底长为 2a。回路总电阻为 R.。求： （1）AD 段，BC 段和闭合回路中的感应电动势; （2）B，C 两点间的电位差。 4.一玻璃劈类的尖端的厚度为 0.05mm，折射率为 1.50。今用波长为 700nm 的平行单色
3.在两平行导线的平面内，有一矩形线圈，如图所示。如导线中电流 I 随时间变化，试 计算线圈中的感生电动势。
《中山大学 898 普通物理历年考研真题及答案解析》
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4.用波长λ1=400nm 和λ2=700nm 的混合光垂直照射单缝，在衍射图样中，λ1 的第 k1 级明 纹中心位置恰与λ2 的第 k2 级暗纹中心位置重合。求 k1 和 k2；试问λ1 的暗纹中心位置能否与 k2 的暗纹中心位置重合并指出重合的级数？
三、实验题（每题 15 分）
1.在单摆实验中，测量小振幅时摆动 50 个周期所需的时间 50T 和摆长 L 的关系时，得 到以下结果：当 L=60.30cm,50T=77.90s；当 L=70.30cm,50T=84.30s；当 L=79.80cm，50T=89.75s； 当 L=90.20cm，50T=95.45s；当 L=100.20cm，50T=100.55s.
（1）求速度 v 对时间的变化规律。 （2）求路程 x 对时间的变化规律。 （3）证明速度 v 与路程 X 之间有如下关系：V = V0e-k’x （式中的 k’=k/m。） （4）如果 v0=20m/s，经 15s 后，速度降为 vt=lOm/s，求 k'。 2.某气体如图（温熵图）所示的循环，求该循环的效率。
利用圆锥曲线性质巧解有心力运动问题
利用圆锥曲线性质巧解有心力运动问题厉守清摘要：质点在有心力作用下的运动轨迹是圆、椭圆、抛物线或双曲线，本文从这四种圆锥曲线的性质出发，巧妙的求解物理竞赛中的运动时间、射程、运动方向等问题。
关键词：质点有心力圆椭圆抛物线双曲线运动时间射程运动方向运动质点在某力场中运动时始终受到来自某定点的力的作用，且力的作用线为运动质点和该定点的连线，运动质点所受的这种力统称为有心力，这个定点则称作力心。
质点在这样的有心力作用下的运动就叫做有心力运动。
有心力运动的现象，在自然界中是大量存在的。
例如行星绕太阳的运动，人造卫星绕地球的运动，以及小到我们肉眼直接看不到的原子内部的电子绕原子核的运动和a粒子的散射等等都属于有心力运动。
有心力运动的基本特点：在有心力场中，对力心的角动量守恒；在有心力场中质点作平面运动；有心力运动的面积速度是恒定的；有心力存在势能。
运动质点在在有心力场中的运动轨迹为圆锥曲线：圆、椭圆、抛物线或双曲线。
物理竞赛中常常涉及这四中圆锥曲线的运动问题，我们可以利用它们的性质，巧妙的求解运动时间、射程、运动方向等问题。
一、利用椭圆的性质，巧解时间问题天体运动轨迹往往是圆或着是椭圆，求解运动时间的问题，对于圆或椭圆半个周期的整数倍，利用开普勒第三定律是比较容易求解的，但对于椭圆运动中一般时间的求解往往要用高等数学求解，比较麻烦，这里我们介绍一种利用圆和椭圆的性质，用初等数学来巧妙求解椭圆冠的面积，根据开普勒第二、第三定律求解椭圆轨道中的运动时间问题。
例1．竖直上抛中，以T表示到达最高点所需时间，以H表示最高点离地球表面的距离，R为地球半径，M为地球质量，G为万有引力常数，不计阻力，从考虑万有引力是“平方反比力”出发，确定时间T的数学表达式。
【解析】通常在H 比较小时，我们将竖直上抛运动看作加速度为g 的匀变速运动，上升高度H 历时：GMHR g H t 222== 从考虑万有引力出发，物体在“平方反比力”作用下的“竖直上抛运动”，其轨迹应是以地心为焦点的一个狭长的椭圆上的一部分，该椭圆的长轴可取为R+H ，假设该椭圆是许多绕地卫星可能的开普勒轨道中的一个，如图1所示。
理论力学填空与单选题集
第一章 质点力学填空1. 已知某质点沿x 轴的运动学方程为) cos()(t A t x ω=，其中ω ,A 为常数, 则其沿x 轴的速度分量为v x (t ) =__________, 加速度分量a x (t ) =______________.2. 质量为m 的质点受力F的作用沿x 轴的负方向运动，若已知力沿x 正向的分量为)(x F , 则质点的沿x 轴的运动微分方程为_____________.3. 质量为m 的质点在空中下落时，受到空气阻力的大小正比于其速率的平方，比例系数为k. 现采用竖直向上为正方向的一维x 坐标系描述该质点的运动，则其下落的运动微分方程为_________.4. 杆AB 的两端分别被限制在水平和竖直的导槽Ox 和Oy 上滑动（如图）。
M 为杆上一点，且已知AM=a, BM=b. 设θ=∠OBA 。
则在图示坐标系下，M 点的轨道方程为_________________.5. 质点在平面内运动，采用平面极坐标),(θr 描述，则其速度的径向分量表示为=r v _______，横向分量表示为=θv _________.6. 质点在平面内运动，采用平面极坐标),(θr 描述，则其加速度的径向分量表示为=r a _________，横向分量表示为=θa __________.7. 质点在平面内运动，采用平面极坐标描述，已知其运动学方程为Bt e r At==θ,，其中A , B 为常数, 则其速度的大小v =_________., 加速度的大小a =____________.8. 质点在空间运动，其速率保持为常数v . 在轨道上某处曲率半径为ρ，则在该处质点的切向加速度分量=τa _______, 法向加速度分量=n a ___________.9. 已知河流速率为1v ，且沿河宽不变. 一小船以相对于水的速率2v 始终朝着岸上A 点行驶. 如图所示，采用平面极坐标描述，则小船的绝对速度的径向分量为__________，横向分量为__________.10. 某船向东航行，速率为15km/h. 另一船以同样的速度向北航行. 两船的相对速率是__________km/h.11. 光滑楔子以匀加速度0a沿水平面向右运动，同时质量为m 的质点在其斜面上运动，则该质点所受惯性力可表示为___________.12. 力的作用线如果恒通过空间某一定点，则此力称为 有心力 , 该定点称为 力心 13. 质点在有心力场中的势能为r k r V /)(=，k 为常数. 则质点所受有心力=)(r F ______.14. 质点受到引力2)(r kr F =作用，k 是常数. 取无穷远处为势能零点，则势能=)(r V __________. 单选1. 在极坐标系下，下列哪一式表示的是质点的运动学方程( )A. )(θθf d dr= B. )(θr r = C. ⎩⎨⎧==)()(t t r r θθ D. 0),(=θr f 2. 采用极坐标系),(θr 描述质点的运动，其加速度的横向分量表达式为( )A. r a r =B. 2θ r r a r -= C. θθr a = D. θθθ r r a 2+= 3. 采用极坐标系),(θr 描述质点的运动，其加速度的径向分量表达式为( )A. r a r =B. 2θ r r a r -= C. θ r a r = D. θθ r r a r2+=4. 以下关于自然坐标系的说法错误的是( ) A. 自然坐标系的坐标变量称为弧坐标B. 自然坐标系只能描述质点运动轨道上的点C. 內禀方程是只能在自然坐标系下成立的方程D. 弧坐标随时间变化，只会增大，不会减小5. 对于一个相对于惯性参考系作匀速直线运动的参考系，它的内部所发生的一切力学过程，都不受参考系本身匀速直线运动的影响. 这一原理称为( )A. 爱因斯坦相对性原理B. 伽利略相对性原理C. 牛顿相对性原理D.惯性定律6. 若某场力F 是保守力，则F必定满足( )A. 0=∇FB. 0=⨯∇FC. 0=⋅∇FD. 02=∇F7. 下列哪一条，不是场力F为保守力的判据( )A. 该场力沿任何闭合路径做功为零B. 该场力沿任何路径所做功的大小，只取决于路径的初末位置.C. 该场力构成的力场的梯度F∇为零.D. 存在某标量函数)(r V , 满足F r V=∇)(.8. 质点在有心力作用下运动，下列哪一条描述是错误的( ) A. 质点的机械能必定守恒.B. 质点对力心的动量矩必定守恒.C. 质点做的必定是平面运动.D. 质点的运动轨道必是圆锥曲线.9. 下列哪一条不是质点在有心力作用下运动的基本性质( )A. 机械能守恒.B. 动量矩守恒.C. 动量守恒.D. 做平面运动10. 行星绕太阳做椭圆运动，太阳视为静止不动，无穷远处为势能零点，下列说法错误的是( )A. 行星的机械能0<E ，且守恒B. 太阳位于椭圆的一个焦点上C. 在远日点行星的速度达到最大D. 行星对太阳中心的动量矩是守恒的.11. 质量为m 的质点在空中下落时，受到空气阻力的大小正比于其速率的平方，比例系数为k . 现采用竖直向上为正方向的一维x 坐标系描述该质点的运动，则其下落的运动微分方程为( )A. mg x k x m +=2B. mg x k xm -=2C. mg x k x m --=2D. mg x k xm +-=212. 某质点在平面极坐标系下的运动方程为cte r =，bt =θ，其中b, c 均为常数. 则其加速度的横向分量为( )A ．r b c )(22- B. r b c )(22+ C. bcr 2 D. br13. 下列关于惯性系的说法错误的是( )A. 牛顿定律能成立的参考系是惯性参考系B. 相对于惯性系做匀速直线运动的参考系都是惯性系C. 惯性系的定义隐含在牛顿第一定律中D. 惯性系中的物体还受到惯性力 *******************************第二章 质点组力学填空1. 含N 个质点的质点组，质点i 的质量记为i m ，位矢记为i r，N i ,...,2,1=. 则质心的位矢=C r_________2. 两质点的质量分别为1m 和2m ，速度分别是1v 和2v，则由此两质点构成的质点组的质心的速度为=C v________.3. 两质点的质量分别为1m 和2m ，构成质点组，相对于质心的速度分别为1v ' 和2v ', 则='+'2211v m v m________. 4. 含N 个质点的质点组，质点i 的质量记为i m ，位矢记为i r ，速度记为i v，N i ,...,2,1=,则该质点组对参考点的总动量矩=J_________.5. 柯尼希定理说的是：质点组的动能等于_______的动能与________的动能之和.6. 质量分别为M 和m 的两质点构成两体系统，此系统的折合质量=μ .7. 质点组中质点i 与质点j 之间的内力记为ij f , 相对位矢记为ij r，则=⨯ij ij r f _______.8. 两体碰撞，若动能守恒，则这种碰撞称为_______碰撞.9. 均匀扇形薄片，半径为a ，所对圆心角为θ2，则其质心C 到圆心O 的距离为______.单选1. 关于质点组的内力，所述正确的是( ) A. 质点组的内力做功之和必为零 B. 质点组的内力之和为零C. 质点组的内力对质点组的动能没有影响D. 质点组的内力对质点组的势能没有影响2. 下列关于质点组质心的说法错误的是( )A. 质心即质量中心，它是质点组内确实存在的一个的质点.B. 质心的动量等于整个质点组的动量C. 质心相当于是在质点组外力之和的作用下运动D. 根据质心的运动定理，质心相当于一个集中了质点组总质量的质点3. 对质点组的总动量描述错误的是 ( ) A 是所有质点的动量的矢量和 B. 等于质点组质心的动量C. 对时间的变化率等于质点组所受外力之和D. 质点组的内力对总动量也有影响.4. 如果一个质点组不受任何外力，则下列描述错误的是( ) A. 质点组的质心做惯性运动 B. 质点组动量守恒 C. 质点组的角动量守恒 D. 质点组机械能守恒5. 在质心系中观察质点组的运动，则下列说法错误的是( )A. 质点组的总动量为零B. 惯性力对质点组的动量矩定理有影响C. 惯性力对质心的总力矩无贡献D. 惯性力对质点组的动能定理无影响6. 若质点组所受外力矢量和为零，则下列说法错误的是( ) A. 质心做惯性运动 B. 质点组动量守恒C. 质点组动量矩守恒D. 质点组动量是个常矢量*************************************************第三章 刚体力学填空1. 刚体以角速度ω 绕某定点O 转动，其上某质点P 相对于O 的位矢为r，则该质点P 的线速度为=v________.2. 若某空间矢量G 大小不变，而方向以角速度ω绕空间某定点O 转动，则=dtG d__________.3. 作用在刚体上的任意力系总可简化为通过某定点P 的一个单力F 及一力偶矩为M的力偶. 此定点P 叫做__________,4. 把作用在刚体上A 点的力F平移到其作用线外另一点B , 则与原作用效果相比，会多出一个附加力偶，设r是A 相对于B 的位矢，则此力偶的力偶矩=M_________. 5. 一轮的半径为r ，以匀速0v 沿一直线做纯滚动，则轮缘上最高点的速率为_________. 单选1. 下列关于描述刚体运动所需的独立坐标变量数目，叙述错误的是 ( ) A. 一般运动需要六个独立坐标变量 B. 平动只需要一个独立坐标变量 C. 定点转动需要三个独立坐标变量 D. 定轴转动只需要一个独立坐标变量2. 若某空间矢量G 大小不变，而方向以角速度ω绕空间某定点O 转动，则dtG d等于( )A. G ⋅ωB. ω ⋅GC. G⨯ω D. ω ⨯G3. 下列对力偶描述错误的是( )A. 力偶是一对大小相等、方向相反、但作用线不同的力构成的B. 构成力偶的两力的矢量和为零C. 力偶矩的大小依赖于矩心的选择D. 力偶矩的方向总是垂直于力偶面4. 在主轴坐标系下研究刚体的动力学，下列哪一条叙述是错误的( ) A. 对坐标轴的转动惯量均为常数 B. 对坐标轴的惯量积均为零 C. 惯量系数均为常数.D. 惯量张量被简化为单位矩阵5. 某时刻平面平行运动的平板上，如果有一质点的速度为零，则该点是( ) A. 基点 B. 简化中心 C. 质心 D. 瞬心***********************************第四章 转动参考系填空1. 科里奥利加速度是由______运动与________运动相互影响所产生的.2. 一平板绕通过定点O 且垂直于板面的轴线以角速度ω转动，某一时刻一个小虫爬到板上P 点，相对于板面的速度为v ' . 已知P 点相对于O 的位矢为r，则小虫的绝对速度为________.3. 当质点在非惯性系中处于平衡时，主动力、约束反力和由牵连运动而引起的惯性力的矢量和为零，我们通常把这种平衡叫做___________.4. 北半球一条河流自南向北流，根据科里奥利力判断， 岸的冲刷程度较大.5. 一平板绕垂直于板面的轴以角速度ω 转动，一个质量为m 的小物体以相对速度v '在板面上移动，则该物体所受科里奥利力为 .6. 在南半球地面附近自南向北的气流，受科里奥利力影响，有朝_____的偏转. 单选1. 一个平板绕通过板上O 点、且垂直于自身板面的固定轴以角速度ω转动，一只蚂蚁在平板面上爬动，它相对于平板的速度为v ' ，相对于O 点的位矢为r，则蚂蚁的绝对速度为( )A. ω ⨯+'=r v vB. r v v ⨯+'=ωC. ω ⨯=r vD. r v v⨯-'=ω2. 转动参考系以角速度ω转动，一小物体相对转动参考系的速度为v '，则该物体的科氏加速度为( )A. v '⨯ ω2B. ω ⨯'v 2C. v '⋅ ω2D. ω⋅'v 23. 转动参考系以角速度ω转动，一质量为m 小物体相对转动参考系的速度为v '，则该物体所受的科氏力为( )A. v m '⨯ ω2B. ω ⨯'v m 2C. v m '⨯- ω2D. ω ⨯'-v m 24. 一个平板绕通过板上O 点、且垂直于自身板面的固定轴以角速度ω转动，一个蚂蚁在 平板面上爬动，则蚂蚁的绝对速度为r ωv v ⨯+'=，对此问题描述错误的是( ) A. r 是蚂蚁相对于转动定点O 的位矢, 绝对速度dt d /r v =B. 牵连点是平板上被蚂蚁占据的点, r 是牵连点相对于转动定点O 的位矢 C v '是相对速度，r ω⨯是牵连速度D. dt d /v '是相对加速度，dt d /)(r ω⨯是牵连加速度.5. 一质点在转动参考系中处于相对平衡状态，则以下判断错误的是( ) A. 该质点的相对速度为零 B. 该质点不受科里奥利力 C. 该质点的相对加速度为零D. 该质点的绝对加速度这时等于科里奥利加速度6. 北半球原本由北向南的贸易风，由于受到科氏力的作用，产生了偏移而变成了 ( ) A. 东风； B. 东北风； C. 西北风； D. 西南风。
有心力场中的运动
但:开普勒不知道行星和太阳之间有平方反比引力. 牛顿:由开普勒三定律 万有引力定律
任务:弄清这一推证过程. 行星运动三定律 第一定律: 第一定律:行星绕太阳作椭圆运动,并以太阳为椭圆 的一个焦点; 第二定律: 第二定律:从太阳引向行星的矢径在相等时间内扫过 相等的面积;
第三定律: 第三定律:行星公转周期的平方和轨道半长轴的立方 成正比.
几何关系:
:与行星无关的常量,只可能与太阳的性质 (太阳的质量)有关.
显然: 行星与太阳之间的引力应该正比于而不是反 比于太阳的质量M 令 (G:普适常量)
——万有引力定律
�
由于已知 将 代入比耐公式得: ,所以由比耐公式可求运动轨道.
令: 则: ——谐振动方程
其解为:
令:
,有:
又:
将r的表达式代入得到:
E<0: e<1 E=0: e=1 E>0: e>1
椭圆轨道
(束缚运动)
抛物线轨道 (无限运动) 双曲线轨道 (无限运动)
三,行星的运动
开普勒问题
运动规律
已讲:已知平方反比引力
一,运动形式的分类
设:平方反比引力为 质点移动 ,F做功: F ;
对dw积分,得势能:
设:
时,
,则
等效势能:
又:
则 :
——限制了质点的运动区域 中运动
由图:E<0: 质点限制在有限区域 E E>0: 运动区域
E=0: 过渡情况,质点也能运动到无穷远 即运动形式分两类: 束缚运动 无限运动
二,轨道运动
一,守恒量 在有心力场中,角动量 守恒
运动过程中,
:质点的位置始终在一个垂直于L
的平面上.即:有心力场中的运动是平面运动. 设:质点运动所在的平面为xz平面( 则: )
有心力场中的运动
引向
的矢量)
(
用一个变量r表示 )
系统的拉格朗日为:
——与质量为m,矢径为r的质点在有心力场中的拉格朗 日函数一样.即:二体问题可转化为在有心力场中 运动的单体问题.
讨论:若
,则
重的 m2 固定在质心位置上不动,成为力心; 轻的 m1 在 m2 产生的有心力场中运动. 例子:地球绕太阳的运动.
§1.3.2 有心力场中运动的一般分析
碰撞: a,在另一些初始条件下,它们也可能相互飞开,无限 远离.如果两个质点先互相飞近,然后再飞开,就 称为碰撞; b,两个质点之间是排斥力,则它们不可能形成束缚体 系,而只能发生碰撞. 6.数学上看两体问题: 对N个无约束的质点系统,当 N ≥ 3时求解运动方程 很困难,N=2(两体问题),运动方程易于求解. 7.有心力场中的运动:归结为两体问题.
一,守恒量 在有心力场中,角动量 守恒
运动过程中,
:质点的位置始终在一个垂直于L
的平面上.即:有心力场中的运动是平面运动. 设:质点运动所在的平面为xz平面( 则: )
L不包含变量 与
:循环变量
对应的广义动量(角动量)守恒
2.L不显含t
能量守恒
上式说明:两维(平面)运动能量等效一维运动的能量 (一维运动最简单)
一,运动形式的分类
设:平方反比引力为 质点移动 ,F做功: F ;
对dw积分,得势能:
设:
时,
,则
等效势能:
又:
则 :
——限制了质点的运动区域 中运动
由图:E<0: 质点限制在有限区域 E E>0: 运动区域
E=0: 过渡情况,质点也能运动到无穷远 即运动形式分两类: 束缚运动 无限运动
大物力学第五章 角动量
θˆ
ˆ r
ˆ r
θˆ
方向 方向
z方向
& m( && − rθ 2 ) = f ( r ) r & && m( 2rθ + rθ&) = 0 && & mz = 0 z = 0
v F
Ｏ
２、角动量守恒。 角动量守恒。
v v v v ˆ Q M = r × F = r × f ( r )r = 0
v &ˆ & ˆ ˆ &ˆ &ˆ ˆ L = rr × m( rr + rθθ ) = mr 2θ ( r × θ ) = mr 2θ z
2
r θ& =
1 2 l2 & mr + +U(r) = E(常数 ） 2 2 2mr
定义有效势能
l2 U eff ( r ) = + U (r) 2 2mr
1 2 & mr +Ueff (r) = E(常数） 2
1 2 & mr +Ueff (r) = E(常数） 2
万有引力场中的有效势能： 万有引力场中的有效势能：
v r
行列式表示：
θ
v F
O
Lx = ypz − zp y Ly = zpx − xpz Lz = xp y − yp x
3、角动量依赖 、 于参考点的选择。 于参考点的选择。
iˆ ˆ ˆ Lxi + Ly ˆ + L z k = x j v Px
ˆ j y Py
ˆ k z Pz
L v L
O’
v v
角动量守恒：
v &ˆ &ˆ v = rr + rθθ
理论力学期末前复习题-3.填空选择
一、填空题 1、质点运动方程为 r = a t ，θ= bt ，则极坐标下的轨道方程为 ，加速度大小为 。
[θbar =；224t b ab +；221t b a +] 1、质点运动方程为t b y t a x ωωsin ,cos ==（b a ,为常数）其轨道方程为 ，速度大小为 。
[t b t a v by a x ωω22222222cos sin ;1+==+] 2、单位质量的两个质点位于xy 平面上运动，在某时刻其位矢、速度分别为j i v j i v j i r j i r52,,32,32121+=-=+=+= 则此时质心位矢=c r ，质心速度为=c v ，质系动量=p，质系动能T= ，质系对原点的角动量=J。
[)43(21j i r c+=)43(21j i v c +=；j i p43+= ；T=31/2；k J 2=] 3、质量均为1的三个质点组成一质系，若其瞬时速度分别为i v k v j v3,2,2321==-=，则质系的动量为 ，质心速度为 。
[k j i223+- ；k j i3232+-]3、质量均为1的三个质点组成一质系，某时刻它们的位矢分别为,2,,32321k j r j i r k j i r+=+=++=，则质系的质心位矢为 。
[k j i r c322++=] 4、已知质点势能为)(2122y x V +=，则保守力=F 。
[j y i x F --=]5、当质点受有心力作用时，其基本守恒律的数学表达式为 和 。
[h r =θ2；E r V r rm =++)()(2122θ ] 6、一个圆盘半径为r ，质量为m ，沿直线作纯滚动，盘心速度为c v，则圆盘的转动角速度=ω ，圆盘的绝对动能T= 。
[r v c /=ω；2224121ωmr mv T c +=] 7、标出下列两图中作平面运动刚体的转动瞬心的位置：7、标出下列两图中作平面运动刚体的转动瞬心的位置：V AV BV V B VV B V A V BcV AV B VV B c V A V BcV V B c8、作用在刚体上的力可沿力的作用线任意移动而不影响它的作用效果，这叫 ，因此作用在刚体上的力是 矢量。
第十讲 质点的有心运动和两体问题
第四章 质点的有心运动和两体问题第十讲 有心力和质点的有心运动教学时间：1学时教学目的要求：1、使学生掌握有心力，质点有心运动的概念及基本特征。
2、使学生熟练掌握质点有心运动的基本方程和比耐公式并能利用这两套方程求解实际问 题。
重点：质点有心运动的基本方程和比耐公式及其应用。
难点：比耐公式的推导。
教学方法：数学推导结合典型实例分析。
讲授要点及内容：（一） 有心力和质点的有心运动一、基本概念1、有心力：若质点在运动过程中所受力的作用线始终通过某一定点，则该质点所受的力称 为有心力，定点称为力心。
2、质点的有心运动：质点在有心力作用下的运动。
二、有心力及质点有心运动的特征1、有心力的特征1）有心力的量值一般为矢径r （质点到力心的距离）的函数，其方向与r r 共线，指向力心为引力（负值），背离力心为斥力（正值）。
在极坐标系下，有心力表示为 ( ) 0 F F r r = uu r u r （力心为极点）2）有心力对力心的力矩为零（r r 与F u r 共线）3）有心力是保守力证明：在极坐标系下，质点在有心力作用下沿曲线L 从 A B ® ，有心力所做功为 ( ) ( ) ( ) 00 BB B A A Aw F d r F r r d rr F r dr =×=×= òòò uu r uu r u r r ——与路径无关，故有心力为保守力。
2、质点有心力运动的特征根据质点有心力的特征，可得出质点有心运动的特征1）质点作有心运动是对力心的动量矩守恒，质点必作平面曲线运动。
在柱坐标系下， 质点对力心的动量矩 ( )0002 J r mv m rr r r r mr k q q q ××× æö =´=´+= ç÷ èø uu r uu r uu r u r r r r 为恒矢量 J u r 的量值： 2 J mr q × ==常数， 2 r q × ——速度矩，也为常数。
the 1 质点在有心力场中运动的一般规律第十章有心力guide download
（A）
因而可得
t=∫
r (t )
dr 2 L2 [E − V (r )] − 2 2 m m r
r ( t =0 )
原则 上从这个积分可求出 r = r (t ) . 再将 求 得 的 r 代入角动量守恒式, 可得积分 Ldt θ = ∫ 2 +C （B） mr 式中 C 为积分常数, 原则上通过积分可求得 θ 与 t 的关系: θ = θ (t ) .
(1) 由于 r 和 v 始 终在 垂 直 于角动量 LO 的平
面内, 所以质点必做平面曲线运动; (2) 从角动量 大 小 为 常 数可 得出 位矢 的 掠面 速度为常量. 用极坐标表示得 =h r 2θ h 是两倍的掠面速度.
通 常 有 重 要 意义 的有心力的大 小 都是质点 到 力心距离的函数, 故力可写成 r F = F (r ) r
第十章
有心力
万有引力, 两荷电质点间的库仑引力或斥力, 都是有心力 . 两种力与两质点间距离的关系是平 方反比关系, 是非线性的， 给求解问题带来困难. 单体问题——二体问题； 三体问题是 19 世纪 经典力学中两大难题之一 , 最终证明它的解不可 能表达为解析形式 . 实际问题大多要用计算机数 值计算解决. 在数值计算研究中, 20 世纪 80 年代 发现了圆型限制性三体问题中也有混沌现象. 经典力学理论虽很古老, 但在现代宇航中仍然 创造着令人惊叹的辉煌成就.
§10.1 质点在有心力场中运动的一般规律
一、单体问题 最 简 单最 基本 的问题是单体问题 , 即 研究一 个 质点的 运动 , 它 所受 的 作 用力的 作 用线 始 终都 通过惯 性系中一 固定 点 , 即 力心是 固定 的 . 这 种 力 ( 力 场 ) 称 为有心力 ( 有心力 场 ). 行星绕太阳运 动时受到 的万有引力 , 电 子绕原子核转动时受到 的库仑引力, 都可近似看做有心力. ——模型 二、质点在有心力场中运动具有的守恒律、 动力
理论力学(周衍柏第三版)思考题习题答案
阿第一章思考题解答1.1答：平均速度是运动质点在某一时间间隔t t t ∆+→内位矢大小和方向改变的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿t ∆对应的轨迹割线方向；瞬时速度是运动质点在某时刻或某未知位矢和方向变化的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向。
在0→∆t 的极限情况，二者一致，在匀速直线运动中二者也一致的。
1.2答：质点运动时，径向速度r V 和横向速度θV 的大小、方向都改变，而r a 中的r 只反映了r V 本身大小的改变，θa 中的θθ r r +只是θV 本身大小的改变。
事实上，横向速度θV 方向的改变会引起径向速度r V 大小大改变，2θ r -就是反映这种改变的加速度分量；经向速度rV 的方向改变也引起θV 的大小改变，另一个θr 即为反映这种改变的加速度分量，故2θ r r a r -=，.2θθθr r a +=。
这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才能完整地描述质点的运动变化情况1.3答：内禀方程中，n a 是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于a 恒位于密切面内，速度v 总是沿轨迹的切线方向，而n a 垂直于v 指向曲线凹陷一方，故n a 总是沿助法线方向。
质点沿空间曲线运动时，0,0≠=b b F a z 何与牛顿运动定律不矛盾。
因质点除受作用力F ，还受到被动的约反作用力R ，二者在副法线方向的分量成平衡力0=+b b R F ，故0=b a 符合牛顿运动率。
有人会问：约束反作用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。
有人也许还会问：某时刻若b b R F 与大小不等，b a 就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来b a 所在的方位，又有了新的副法线，在新的副法线上仍满足00==+b b b a R F 即。
这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。
有心力场中质点运动的研究—数学竞赛论文
解该微分方程得：
arccos
2 E0 m GMm 2 2 ( ) M 02 M 02
,
2 E0 m GMm2 2 GMm2 ,b ( ) , 得： 令a M 02 M 02 M 02
1 1 a r , a b cos 1 b cos a
x2 y 2 z 2 ,
因此 curl = 0 ，即有心力场为无旋力场。
r r
1.2
有心力场中的动量矩定理 设在有心力场运动质点的质量为 m ，其速度为 v ，则其动量 m v 关于定点 O 的动量矩
r
r
为：
uu r r r r M O (mv) r mv,
作用在质点上的有心力关于 O 点的力矩为：
故在此三维直角坐标系中，设此有心力场为：
vx g i v y gj vz gk ( f (r ) i f (r )
则该有心力场的旋度：
r
u u rr u u r r
u u r r
xr r
yr zr j f (r ) k ), r r
r y r x z r y x r curl ( z )i ( )j( )k y z z x x y z y x z y x [ f (r ) ] [ f (r ) ] r [ f (r ) ] [ f ( r ) ] r [ f ( r ) ] [ f ( r ) ] r r r )i ( r r ) j( r r )k , ( y z z x x y
2
1
有心力场中质点运动特性研究
1.1 有心力场无旋性
旋度是向量分析中的一个向量算子，是从流体力学、电动力学、热传学等学科中抽象出 来的场论中的四个重要概念（梯度、散度、旋度和调和量）之一，可以表示三维向量场对某 一点附近的微元造成的旋转程度。 这个向量提供了向量场在这一点的旋转性质。 在三维直
有心力
目录内容摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)1 引言 (2)2 质点在有心力场中的运动性质 (2)2.1 有心力的意义 (2)2.2 质点在有心力场中的运动性质 (2)3 质点在有心力场中运动的求解方法 (4)3.1 牛顿定律法 (4)3.2 比耐公式 (5)3.3 守恒定律法 (5)3.4 分析力学法 (5)4 应用举例 (7)结束语 (11)参考文献 (12)内容摘要：本题目分析了质点在有心力场中的运动性质和有心力场中质点动力学问题求解方法，并以质点在平方反比引力场中运动为例进行分析比较，以加深对有心力场的理解和对各类方法的合理应用。
关键词：有心力运动性质求解方法Abstract：The title of the particle motion in the nature of the central force field and particle dynamics in the central field problem solving methods,and the inverse square gravitational field of the particle in the case of motion were analyzed and compared in order to deepen the understanding of the central field and the rational application of various methods.Key words：Central force The nature of sports Solution1 引言质点在有心力场中的运动是自然界中的运动之一。
有心力不仅在天文学上有着非常重要的应用，而且在近代物理上也促进了一些新的发现。
对于有心力场中质点动力学问题求解方法在各类教材中介绍了一些不同的方法,其中最常用的是比耐公式法。
质点在有心力场中的运动
学特 征 为动 量矩 守 恒 为 计算 方便
,
机 械 能守 恒
所 以有 心 力对 力 心 的力矩
以
后.Βιβλιοθήκη =尸又户=
0
,
[s]
:
了一
由 力矩 与 动量 矩 的关 系
:
_ -
m 司 ( ( r l 司 r
: “
;
1
掠 面 速度或 面 积
U
由 上式 知
、
夕=
h 为速 度矩 (
二 一
f
盯_
滋 . 伙
t d
-
勒 定律 对椭 圆 进行 面 积分 和周 期 积 分导 出 牛顿 万 有 引 力定律
一
、
,
户
=
( h 为常 数 ) (
,
5
)
或 任意位 置 它 的动 能 与势 能 之和 是 一 个 恒 定不 变 的 常 数 质点 的 动能 和 势能 之和 叫做 质点 的机 械 能
用 符号 E 来表 示
, ,
通 过实 例加 以说 明
布 句 昨
_
、
,
司_
-
。 U
[1] 求
u
( 和
7
) ) 和 (刀 由 (3
因 此运 动 质 点 在 有心 力 场 中 动 量矩 为一 恒 量
即: J
=
一一
t d
又
-
速度 ) 【 ] 所 以通 过 上 述 对 质点 在 有 心 力 场 中 运 Z 动形 式
,
代替 r
。
夕的 微分 方 程
、
运 动 规律 分 析可 知 质点 在 有心 力场 中的 运
。
在 进
角动量
内力对体系的总力矩为零，上式变为
dL ri Fi M i M dt i i
体系角动量定理的微分形式
8
体系角动量定理的积分形式
t L L0 Mdt
0
体系对给定点角动量的增量等于外力对该点的总冲量矩 质点系角动量定理指出，只有外力矩才对体系的角动量变化 有贡献.内力矩对体系角动量变化无贡献，但对角动量在体系内 的分配是有作用的.
解：⑴ 对于由两个质点构成的质点系，引入相对速度u
v2 u v12 v1 v2 v1
考虑到质心系是零动量参考系，即 可得
m2v2 0 m1v1
v2 m1 u m1 m2
15
v1
m2 u m1 m2
7
㈡
质点系角动量定理
一、质点系角动量定理
质点系对给定点的角动量等于各质点对该点的矢量和：
L li ri pi ri mi vi
i i i
对t求导，利用质点角动量定理，则得
dL dli ri Fi fi dt i dt i
1,开普勒行星运动定律 (1)轨道定律：行星沿椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一
个焦点上；
(2)面积定律：对任一行星，它的矢径在相等的时间内扫过 的面积相等；
(3)周期定律：行星绕太阳运动轨道半长轴a的立方正比 于公转周期T的平方.即 T a 3 2 22
利用角动量守恒定律证明开普勒面积定律
有心力对原点的力矩为零，故质点对原点的角动量守恒. 对②式两边乘r，再对时间积分得
r m 2rr r 2 0 mr 2r d 0 mr 2 dt Lconst mr 2
功和能_第9讲_有心力场中质点的运动简介2
v0 r0
E<0
椭圆
E>0 双曲线
E=0 抛物线
E = E1 > 0 ，双曲轨道
rmin = r1 ≤ r < ∞
E = E2 = 0 ，抛物轨道
rmin = r2 ≤ r < ∞
E = E3 < 0 ，椭圆轨道
r3min ≤ r ≤ r3max
近地点、远地点
E = E0 = Veff min ，圆轨道
§4.9 有心力场中质点的运动简介2**
一. 有效势和轨道特征
1 2
m r& 2
+
L2 2mr
2
+V (r)
=
E
径向动能： 1 mr&2 离心势能：等效斥力势能
2
有效势能：
Veff
(r)
=
L2 2mr 2
+V (r)
在径向 r 方向，质点相当于在保守场 Veff (r ) 中运动，径向动能和有效势能相互转化。
对万有引力场：
1 2
mr&
2
+
L2 2mr
2
− GMm r
=E
近、远地点： r& = 0
r 2 + GMm r − L2 = 0 E 2mE
rr vr
E < 0 时 2 根，椭圆轨道 — 束缚态。
E = 0 时 1 根，抛物轨道，刚好逃逸， 动能全部转化为势能。
E > 0 时 1 根，双曲轨道，不受约束。
r = r0
【思考】由势能曲线求椭圆轨道周期
二. 变轨 改变初始条件 rr0 , vr0 可改变轨道特征。 【例】宇宙飞船变轨：圆 → 椭圆轨道
【VIP专享】关于质点在有心力场中运动问题的讨论
• 故发射后探测器的速度为
u+v2’ = [mv2+(m-m0)u]/m
= v2+(1-m0/m)u
(6)
式中的相对速度 u前已求出，
利用已知的关系
v1 = (r2/r1)v2
r1/r2 = (1-a)/a
可将u用v2表示，得：
u=
2 -1 r2 v2 = 2a r1
2 -1 a 2a 1-a
v2
mr1v1 = mr2v2 即 v2=(r1/r2)v1 设飞船在远地点以上述相对速度 u发射探测 器后，飞船得速度变为v2’,则探测器得速度应 该为v2’+u,由动量守恒得：
mv2 = (m-m0)v2’+m0(v2’+u) 即
mv2 = (m-m0)(u+v2’)-(m-m0)u+m0(u+v2’)
2GM r
• 对于椭圆轨道，E<0,b<1；对于抛物线轨道 E=0,故b=1;对于双曲线轨道，E>0,b>1.因此 探测器轨道得类型可由b的值来判断。 由前1/2<a<1,可用对y的定义判别
当 y<0, b<1, 为椭圆轨道 y=0, b=1, 为抛物线轨道 y>0,b>1, 为双曲线轨道
• 把（7）展开并化简
a r2
r2
故
v2'+u = 1-2a + a 2GM = 2bGM
1-a
r2
r2
式中
b = (1-2a + a )2 1-a
•令
y = (1-2a + a)2 -(1-a)
探测器轨道得类型可根据其总能量E来判断
E=1/2mv2-GMm/r
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E mv 1
2的机械能
G0
R
r
12
Mm
卫星在轨道上时系
E mv G 2
2 1 统的机械能
0r
12
Mm
v0
o R
v
环绕 速度
宇宙速度
由机械能守恒 E1 E2 得
v2
v12 2G0M
(
1 R
1 r
)
(1)
因卫星作圆周运动
G0 M
m
1 r2
m
v2 r
v
G0 M r
(2)
卫星在地球表面时
16.7103(m s1)
第三宇宙 速度
G0
Mm
1 R2
mg
(2) (3)
v
G0 M
1 R2
g
(3)
gR2 环绕速度 (4)
r
宇宙速度
将 (4) 代入 (1)
v1
2Rg
(1
R 2r
)
发射速度
r
v0
当r R时
第一宇宙 速度
v1 Rg 6.37106 9.81 7.91103(m s1)
宇宙速度
第二宇宙速度（逃逸速度）
物体在地面发射时系统的机械能为：
16.7103(m s1)
第三宇宙 速度
地球 相对太阳的速度 v 29.8103 m / s
物体相对于地球的发射速度 v3 v3 v
从地面发射物体要飞出太阳系，既要克服地球
引力，又要克服太阳引力，所以发射时物体的动能
必须满足12 m
v3 2
2 1
m
v2 2
2 1
mv3 2
v3 v22 v32 v22 (v3 v)2
§3-7 质点在有心力场中的运动
1. 有心力
有心力的定义：运动质点所受的力的作用线始 终通过某个给定点，而且力的大小也只依赖于质点 对该给定点的距离，这种力叫做有心力。这个给定 点叫做力心。
有心力场中质点运动的性质：（1）质点在有 心力作用下，它的角动量守恒；（2）质点在有心力 作用下，它的机械能守恒； （3）有心力是保守力。
2. 轨迹方程
A2
远日点
r
o
A1
近日点
1 1 (1 cos)
圆锥 曲线
rp
1 圆或椭圆 1 双曲线 1 抛物线
式中 p是个决定图形尺寸的常数，半正焦
弦， 是偏心率
3. 宇宙速度
第一宇宙速度（环绕速度）
以卫星和地球为研究
对象，忽略大气阻力，系
统机械能守恒。取无穷远
处为引发射力卫星势时能系统零点。
E1
2 1
mv2 2
G0
பைடு நூலகம்
R Mm
物体脱离地球引力时，系统机械能最小
E2 0
2 1
mv2 2
G0
r Mm
0
第二宇宙速度
v2
2G0M r
2Rg 11.2 103 (m s1)
宇宙速度
第三宇宙速度
物体脱离太阳引力所需的最小速度 v3 应满足
2 1
mv3 2
G
r Msm
物体相对太阳的速度
v3
2GMs 42.2103(m s1) r
宇宙速度
地球 相对太阳的速度 v 29.8103 m / s
物体相对于地球的发射速度 v3 v3 v
从地面发射物体要飞出太阳系，既要克服地球
引力，又要克服太阳引力，所以发射时物体的动能
必须满足12 m
v3 2
2 1
m
v2 2
2 1
mv3 2
v3 v22 v32 v22 (v3 v)2