第7章有心力场的运动

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物体在有心力场中运动的分析(毕业论文)

本科毕业论文题目：物体在有心力场中运动的分析目录1.引言 (1)2.有心力基本概念及它的性质： (1)3.推出动力学方程 (2)4.用开普勒定律推出引力公式 (6)5.两体问题 (7)6.结论 (9)7.参考文献 (10)8.致谢......................................................... - 10 -物体在有心力场中运动的分析摘要有心力场中的运动是经典力学和天体力学的一个重要问题.本文概括地介绍了有心力及其有关它的一些重要结论.首先研究质点和质点系在有心力作用下的运动，有心力的基本性质.用动力学方法推导关于有心力的公式,及在开普勒三定律的基础上推导万有引力方程.,介绍有心力场在物理学中的应用。

关键词有心力；动力学；开普勒定律；两体问题。

1.引言经典力学的发展是与对天体运行的观察和研究分不开的.早在17世纪初叶，开普勒（J.Kepler ）通过对太阳系各行星运动的观察，总结出行星运动的三个定律，于1620年发表在《论天体之协调》（On Celestial Harmonics ）一书中.在此基础上，牛顿建立了著名的万有引力定律.行星绕恒星的运动属于所谓“有心运动”一类的运动.有心运动是一类常见的运动，天体的运行，原子核外的电子运动都属于这类运动.火箭和人造卫星的发射和运行都离不开对有心运动的研究.首先我们介绍有心力的基本概念及它的性质，然后利用开氏三定律推导出引力公式并对公式进行分析.2.有心力基本概念及它的性质：一般来讲，如果运动质点所受力的作用线始终通过惯性系中某一个固定点，则我们就说这个质点所受的力是有心力，此固定点称为力心.有心力的量值，一般是矢径（即质点和力心之间的距离）r 的函数，而力的方向则始终沿着质点和力心的连线，凡是趋向定点的是引力，离开定点的是斥力。

行星绕太阳运动时受到的力，电子饶原子核转动时受到的库仑引力，近似看做有心力.有心力场是自然界中最普遍、最重要的力场之一.有心力构成的力场称为有心力场.我们平时假定力心不动研究有心力场问题.这时以力心作为坐标质点,变成一个平面问题.质点受变力作用而沿曲线运动时，变力所作的总功为d W B A .⎰= （1）在平面极坐标系中，力所做的功为θθd F dr F W B A r +=⎰ （2）因为有心力只具有径矢方向的分量)(r F F r =,而横向分量为0=θF ，故质点由A 点运动到B 点时有心力作的功是dr r F dr r F W B A r r ⎰⎰==21)()( (3)这个顶积分的值只取决于起点和终点的矢径，与质点运动的路径无关，这就证明了有心力是保守力.而平面力,力和位置坐标相互平行且应满足0=⨯∇,那么角动量守恒.这是有心力场的一个特点，根据有心力场的特点，下面推导有心力场的动力学方程及加讨论。

从开普勒三定律到有心力场

例1：从开普勒三定律推导万有引力定律：过焦点垂直于极轴半弦长为p，离心率为e的椭圆，取左焦点为极坐标原点，极轴指向右交点为初始方向，则椭圆上的点r⃗（r(t)，θ(t)）满足方程：r(t)=p1−ecosθ(t)(1)一些符号的意义：角速度公式：ω =dθ(t)dt(2)速度公式：v⃗⃗=ds⃗⃗⃗⃗⃗dt(3)加速度公式：a⃗⃗=dv⃗⃗⃗⃗⃗⃗dt(4)面积微分:dA =12r2d(θ(t))(5)两边除dt，并可得：dA dt =12r2ω根据开普勒第二定律，上式应该为常数，即dA dt =12r2ω=C1(6)因为mr2ω是角动量，从上面这个关系式上看，开普勒第二定律就是角动量守恒。

椭圆面积为：A=πab=∫dAdt dtT 0=∫C1dtT=C1T=12r2ωT所以：πab T =C1=12r2ω(7)(7)式再对t求导，能够得到下面等式：d(r2ω) dt =2rωdrdt+r2dωdt=0即：2ωṙ+rω=0(8) (8)是与径向垂直方向上的加速度，说明行星只受径向的向心力。

极坐标下的弧长公式为ds2=dr2+ r2dθ2同除dt2，注意到角速度公式(2)及速度公式(3)，有：v⃗⃗∙v⃗⃗=ṙ2+ r2ω2(9) (9)式再次对t求导，注意到加速度公式(4)以及矢量点积的可交换性质，有：2v v⃗⃗v ∙a a⃗⃗a=2ṙr+ 2rṙω2+ 2r2ωω利用(8)式，得：v(v⃗⃗v ∙a⃗⃗a)a=ṙ(r̈−rω2)+rω(2ωṙ+ rω)=ṙ(r̈−rω2)因为a⃗⃗与r⃗在同一直线上，容易看出v (v⃗⃗v ∙a⃗⃗a)就是v⃗⃗在r⃗上的投影，也就是ṙ，即：a⃗⃗=(r̈−rω2)e⃗⃗r⃗(10) (1)式可变为：Pr= 1−ecosθ(11) 对t求导，得：−pr2ṙ= ωesinθ同除ω得：−pr2ωṙ= esinθ因r2ω也是常数，继续对t求导，得：−pr2ωr̈= ωecosθ将（11）代入，消去ecosθ，注意到：p=b2a整理得：r̈−rω2=−1r2a(r2ω)2b2=−1r2(4π2a3T2)（12）由于开普勒第三定律：a3T2=C2（13）因此，(4π2a3T2)也是常数，记作k。

-质点在有心力场中的运动

E mv 1
2的机械能
G0
R
r
12
Mm
卫星在轨道上时系
E mv G 2
2 1 统的机械能
0r
12
Mm
v0
o R
v
环绕速度
宇宙速度
由机械能守恒 E1 E2 得
v2
v12 2G0M
(
1 R
1 r
)
(1)
因卫星作圆周运动
G0 M
m
1 r2
m
v2 r
v
G0 M r
(2)
卫星在地球表面时
16.7103(m s1)
第三宇宙速度
G0
Mm
1 R2
mg
(2) (3)
v
G0 M
1 R2
g
(3)
gR2 环绕速度 (4)
r
宇宙速度
将 (4) 代入 (1)
v1
2Rg
(1
R 2r
)
发射速度
r
v0
当r R时
第一宇宙速度
v1 Rg 6.37106 9.81 7.91103(m s1)
宇宙速度
第二宇宙速度（逃逸速度）
物体在地面发射时系统的机械能为：
16.7103(m s1)
第三宇宙速度
地球相对太阳的速度 v 29.8103 m / s
物体相对于地球的发射速度 v3 v3 v
从地面发射物体要飞出太阳系，既要克服地球
引力，又要克服太阳引力，所以发射时物体的动能
必须满足12 m
v3 2
2 1
m
v2 2
2 1
mv3 2
v3 v22 v32 v22 (v3 v)2

有心力轨道方程怎么积分

有心力轨道方程怎么积分
有心力轨道方程是描述质点在中心力场中运动的方程。

一般来说，有心力场是指力的大小只与质点到场中心的距离有关的力场。

在这种力场中，质点的运动可以由有心力方程描述，一般形式为：
μ(d²r/dt²) = -∇U + μv²/r.
其中，μ是质点的质量，r是质点到场中心的距离，U是势能函数，v是质点的速度。

这个方程可以通过积分来求解。

首先，我们可以将有心力方程化为极坐标系下的形式，然后利用角动量守恒等方法简化方程。

接着，我们可以利用分离变量的方法，将方程分解为径向方程和角向方程。

径向方程可以通过变量代换或者适当的技巧化为一阶微分方程，然后进行积分。

角向方程也可以通过类似的方法进行求解。

在实际应用中，具体的积分方法会根据具体的力场和势能函数的形式而有所不同。

一般来说，需要运用微分方程的解法、变量代换、积分技巧等数学方法来对有心力轨道方程进行积分求解。

总的来说，对有心力轨道方程进行积分求解是一个复杂而繁琐的过程，需要根据具体情况采用不同的数学方法和技巧来完成。

希望这个回答能够帮助你对这个问题有一个初步的了解。

大学物理学(A1-A2)教学大纲

《大学物理学(A1-A2)》教学大纲学时：144 总学分：8学分理论教学：144（两学期）实验学时：54学时（另开）面向专业：电子信息科学与技术课程代码：BB-2大纲执笔人：姜黎霞大纲审稿人：鲍钢飞一、大纲说明1、教学目的和基本要求：本课程是专业基础课，同时还具有自然科学素质教育的意义，因此，要求学生熟练掌握物理学的基本概念和基本规律，正确认识各种物理现象的本质；还应掌握物理学研究问题的思想方法，能对实际问题建立简化的物理模型，并对其进行正确的数学分析。

通过对本课程的学习，学生应养成科学的思维习惯，并为理解专业知识打下良好的基础。

2、内容提要：本课程分在两个学期内讲授。

前一学期内容分为四部分：第一部分是“力学的物理基础”，包括质点运动的描述方法，质点动力学和刚体定轴转动的基本规律和概念，以及量纲和非惯性系问题的一般处理方法等；第二部分是“分子物理学和热力学”，介绍热平衡态、热量和内能等基本概念，以及气体状态方程、分子的速率分布、热力学基本定律、卡诺定理等；第三部分是“静电场与稳恒电流”，介绍静电场的基本概和基本原理，并讨论导体和电介质在静电场中的基本性质，进而引出电路理论的基本关系式。

后一学期内容分为三部分：第一部分是“磁场与电磁感应、电磁场”，介绍磁场的基本性质，讨论磁场与电流间的联系以及电磁感应现象的物理内涵，进而建立起电磁场的基本概念；第二部分是“波动光学”，从波动的角度认识光的干涉和衍射现象，讨论光的偏振和双折射，由此深化对电磁波基本性质的理解；第三部分是“近代物理学基础”，包括狭义相对论的基本假设和主要结论，量子物理学基础知识，以及激光原理和固体的能带等。

根据实际情况，教学内容的次序可作适当调整。

二、大纲内容第一章质点运动学§1.1 参照系和坐标系质点质点的概念，参考系坐标系，时间和空间，运动方程§1.2 位置矢量位移位矢，位移，速度，加速度，匀速直线运动§1.3 圆周运动圆周运动的切向加速度和法向加速度，圆周运动的角量描述，角量和线量的关系§1.4 曲线运动的矢量形式运动阶家原理，圆周运动的矢量形式，抛体运动的方程的矢量形式§1.5 相对位移和相对速度伽利略变换式，速度变换公式，加速度变换公式本章重点：参照系的概念，位置矢量、位移矢量、速度矢量、加速度矢量及其在不同坐标系中的分量表达式，质点的运动方程，相对运动的概念。

普通物理目录(程守洙第五版)

大学普通物理（第五版）目录（程守洙）第一篇力学第一章质点的运动§1.1质点参考系运动方程§1.2位移速度加速度§1.3圆周运动及其描述§1.4曲线运动方程的矢量形式§1.5运动描述的相对性伽利略坐标变换第二章牛顿运动定律第二章牛顿运动定律§2.1牛顿第一定律和第三定律§2.2常见力和基本力§2.3牛顿第二定律及其微分形式§2.4牛顿运动定律应用举例§2.5牛顿第二定律积分形式之一：动量定理§2.6牛顿第二定律积分形式之二：动能定理§2.7非惯性系惯性力阅读材料A 混沌和自组织现象第三章运动的守恒定律第三章运动的守恒定律§3.1保守力成对力作功势能§3.2功能原理§3.3机械能守恒定律能量守恒定律§3.4质心质心运动定理动量守恒定律火箭飞行§3.5碰撞§3.6质点的角动量和角动量守恒定律§3.7质点在有心力场中的运动§3.8对称性和守恒定律阅读材料B 宇宙的膨胀第四章刚体的转动第四章刚体的运动§4.1刚体的平动、转动和定轴转动§4.2刚体的角动量转动动能转动惯量§4.3 力矩刚体定轴转动定律§4.4定轴转动的动能定理§4.5刚体的自由度刚体的平面平行运动§4.6定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律§4.7进动第五章相对论基础第五章相对论基础§5.1伽利略相对性原理经典力学的时空观§5.2狭义相对论基本原理洛伦兹坐标变换式§5.3相对论速度变换公式§5.4狭义相对论时空观§5.5狭义相对论动力学基础§5.6广义相对论简介阅读材料C 超新星爆发和光速不变性第六章气体动理论第二篇热学第六章气体动理论§6.1 状态过程理想气体§6.2分子热运动和统计规律§6.3气体动理论的压强公式§6.4理想气体的温度公式§6.5能量均分定理理想气体的内能§6.6麦克斯韦速率分布律§6.7玻尔兹曼分布律重力场中粒子按高度的分布§6.8分子的平均碰撞次数及平均自由程§6.9气体内的迁移现象§6.10真实气体范德瓦耳斯方程§6.11物态和相变阅读材料D 非常温和非常压第七章热力学基础第七章热学基础§7.1热力学第一定律§7.2热力学第一定律对于理想气体等值过程的应用§7.3绝热过程多方过程§7.4焦耳－汤姆孙实验真实气体的内能§7.5循环过程卡诺循环§7.6热力学第二定律§7.7可逆过程与不可逆过程卡诺定理§7.8熵§7.9熵增加原理热力学第二定律的统计意义阅读材料E 熵与能源第三篇电场和磁场第八章真空中的静电场§8-1 电荷库仑定律§8-2 电场电场强度§8-3 高斯定理§8-4 静电场的环路定理电势§8-5 等势面电场强度与电势梯度的关系§8-6 带电粒子在静电场中的运动阅读材料F电子的发现和电子电荷量的测定第九章导体和电介质中的静电场§9-1 静电场中的导体§9-2 空腔导体内外的静电场§9-3 电容器的电容§9-4 电介质及其极化§9-5 电介质中的静电场§9-6 有电介质时的高斯定理电位移§9-7 电场的边值关系§9-8 电荷间的相互作用能静电场的能量§9-9 铁电体压电体永电体阅读材料G静电现象的应用第十章恒定电流和恒定电场§10-1 电流密度电流连续性方程§10-2 恒定电流和恒定电场电动势§10-3 欧姆定律焦耳一楞次定律§10-4 一段含源电路的欧姆定律。

有心力场中的运动

引向
的矢量)
(
用一个变量r表示 )
系统的拉格朗日为:
——与质量为m,矢径为r的质点在有心力场中的拉格朗日函数一样.即:二体问题可转化为在有心力场中运动的单体问题.
讨论:若
,则
重的 m2 固定在质心位置上不动,成为力心; 轻的 m1 在 m2 产生的有心力场中运动. 例子:地球绕太阳的运动.
§1.3.2 有心力场中运动的一般分析
碰撞: a,在另一些初始条件下,它们也可能相互飞开,无限远离.如果两个质点先互相飞近,然后再飞开,就称为碰撞; b,两个质点之间是排斥力,则它们不可能形成束缚体系,而只能发生碰撞. 6.数学上看两体问题: 对N个无约束的质点系统,当 N ≥ 3时求解运动方程很困难,N=2(两体问题),运动方程易于求解. 7.有心力场中的运动:归结为两体问题.
一,守恒量在有心力场中,角动量守恒
运动过程中,
:质点的位置始终在一个垂直于L
的平面上.即:有心力场中的运动是平面运动. 设:质点运动所在的平面为xz平面( 则: )
L不包含变量与
:循环变量
对应的广义动量(角动量)守恒
2.L不显含t
能量守恒
上式说明:两维(平面)运动能量等效一维运动的能量 (一维运动最简单)
一,运动形式的分类
设:平方反比引力为质点移动 ,F做功: F ;
对dw积分,得势能:
设:
时,
,则
等效势能:
又:
则 :
——限制了质点的运动区域中运动
由图:E<0: 质点限制在有限区域 E E>0: 运动区域
E=0: 过渡情况,质点也能运动到无穷远即运动形式分两类: 束缚运动无限运动

经典力学概论李书民

经典力学概论内容简介:《经典力学概论》是根据作者在中国科学技术大学讲授理论力学的讲义整理而成的，采用了较传统教科书更加自然的逻辑体系和简单易记的符号系统，从基本定律出发，循序渐进地引入抽象的数学方法，充分展示了物理理论简洁、抽象的美，在不删减课程主要内容，甚至较传统内容略丰的前提下，大大缩减了授课学时。

全书共分6章：牛顿力学、拉格朗日力学、小振动、刚体力学、哈密顿力学、有心力场，每章后附有一定数量难度适中的习题，《经典力学概论》论述严谨、精练，并对多个问题有独到的见解，可作为综合性大学和师范院校物理类专业的本科生教材，同时也适合有关专业研究人员和工程师阅读。

[1]图书目录前言第1章牛顿力学1.1 质点运动的描写1.2 坐标系1.3 质点力学1.4 运动参考系1.5 质点组力学1.6 变质量物体的运动习题1第2章拉格朗日力学2.1 约束2.2 虚功原理2.3 力学变分原理2.4 拉格朗日方程2.5 运动积分2.6 全变分习题2第3章小振动3.1 单自由度体系的小振动3.2 多自由度体系的小振动. 习题3第4章刚体力学4.1 刚体运动分析4.2 正交变换与张量4.3 欧拉角4.4 凯利-克莱茵参量4.5 惯量张量4.6 欧拉陀螺4.7 拉格朗日陀螺4.8 拉莫尔进动4.9 定轴转动与平面平行运动习题4第5章哈密顿力学5.1 哈密顿正则方程5.2 劳斯方法5.3 泊松括号5.4 相空间中的哈密顿原理5.5 正则变换5.6 哈密顿一雅可比方程5.7 作用变量与作用角变量5.8 正则微扰论习题5第6章有心力场6.1 质点在有心力场中的运动6.2 轨道6.3 平方反比力6.4 胡克力6.5 经典散射6.6 两体问题习题6习题参考答案。

“有心力”及其做功特点的简介

“有心力”及其做功特点的简介
作者：马剑
来源：《中小学实验与装备》 2017年第4期
１有心力
质点受力通常与质点的位置、速度和时间有关.如果一确定的质点所受的力仅与质点位置有关,即:
F ＝F(r)
则称作场力,存在场力的空间称为力场.如图１所示,一点电荷受到另一固定电荷的静电力仅取决于该电荷相对于固定电荷的距离和方位,静电力为场力;将弹簧一端固定,另一端与质点相连,质点所受之力仅与弹簧受压情况相关,亦为场力.以上两种情况中,质点受力作用线总是通过某一固定点,则将该场力称为有心力.
图１(a)为正点电荷周围引入另一正点电荷受到的场力.图１(b)为弹簧固定于O点,运动质点A受到弹性场力;黑点处表示弹簧自由伸展,弹性力为零.
高中物理知识体系中,除静电力外万有引力也是有心力,其大小是距离的单值函数.在课堂教学的过程中,也会时常遇到有心力做功的问题.例如:①(只考虑中心天体的万有引力作用)按椭圆轨道运行的行星机械能守恒问题;②库伦力做功时的电势能改变问题.
２有心力做功的理论推导
鉴于教师的长足发展,很有必要去弄清楚有心力做功的过程.不难证明,所有有心力场所做的功都与路径无关.在此作如下证明.
如图２所示,设想把质点沿任意路径L 从点P搬运到点Q,计算有心力F 所做的功.由于有心力的大小和方向沿路径L 逐点变化,在此将L 分割成许多小线元.考虑其中任一线元dl,在其上的元功为:
只考虑中心天体的万有引力作用,绕椭圆轨道运行的行星机械能守恒得证.
收稿日期:２０１７－０５－３０。

(完整版)第五章有心力场中的运动

p3 d 0 (1 cos )2
此式就是质点的运动方程。
式中积分常数为 0，即矢径r与e重合的时刻，称为
过近地点时间。
轨道平面方位（，i）和偏心率矢量e的方位确定后，轨道
方程和时间积分即完全确定二体问题的运动规律。
以上积分过程中出现8个积分常数，E，L，，i，，p，e，
，称为轨道根数，由于有关系式e
mr v F (r) r r 0 r
d (r v) 0
dt
r v L(常矢量）
称为动量矩积分（守恒）。L为单位质量的质点对O的动
量矩。常矢量L垂直于r与v构成的平面，因此质点必永远在此
平面内运动，此平面称为轨道平面。
因此可以采用极坐标来研究问题。
动量矩积分在极坐标中的的标量形式：
上节讨论的二体问题是多体问题中唯一可导出解析积分的最简单情况。三体问题，即三个相互以万有引力吸引的质点运动，不存在解析积分。
若三体问题中有一体质量m远小于另外两体的质量m1，m2，以至于它对后两者运动的影响可以忽略不计，则可以认为m1， m2作为独立的二体运动，只需要讨论m在m1，m2的共同引力场中的运动。这种简化的三体问题称为限制性三体问题。考虑地球和月球引力共同作用的航天器运动就是典型的限制性三体问题。
可以看出e在轨道面内且与速度方向垂直。在近地点e与e
方向一致，在远地点e与e方向相反，在其它位置e与e有夹角。
由此可以得出结论：在近地点或远地点施加冲量对改变偏心率有最好的效果。
在近地点，e与e一致，使e增
加，轨道椭圆更扁。相反在远地点，
e与e相反，e减小，轨道椭圆更圆。
利用此原理，同步地球卫星的发射过程设计为先进入近地圆轨道，然后施加冲量，转移至远地点为同步卫星高度的椭圆轨道(称为霍曼转移轨道)，然后在远地点施加冲量使偏心率减为0，变成以远地点为半径的同步圆轨道。

质点在有心力场中的运动

、
学特征为动量矩守恒为计算方便
,
机械能守恒
所以有心力对力心的力矩
以
后.Βιβλιοθήκη =尸又户=
0
,
[s]
:
了一
由力矩与动量矩的关系
:
_ -
m 司 ( ( r l 司 r
: “
;
1
掠面速度或面积
U
由上式知
、
夕=
h 为速度矩 (
二一
f
盯_
滋 . 伙
t d
-
勒定律对椭圆进行面积分和周期积分导出牛顿万有引力定律
一
、
,
户
=
( h 为常数 ) (
,
5
)
或任意位置它的动能与势能之和是一个恒定不变的常数质点的动能和势能之和叫做质点的机械能
用符号 E 来表示
, ,
通过实例加以说明
布句昨
_
、
,
司_
-
。 U
[1] 求
u
( 和
7
) ) 和 (刀由 (3
因此运动质点在有心力场中动量矩为一恒量
即: J
=
一一
t d
又
-
速度 ) 【 ] 所以通过上述对质点在有心力场中运 Z 动形式
,
代替 r
。
夕的微分方程
、
运动规律分析可知质点在有心力场中的运
。
在进

普通物理学第二版第七章课后习题答案

第七章刚体力学7.1.1 设地球绕日作圆周运动.求地球自转和公转的角速度为多少rad/s 估算地球赤道上一点因地球自转具有的线速度和向心加速度.估算地心因公转而具有的线速度和向心加速度（自己搜集所需数据）.[解答]7.1.2 汽车发动机的转速在12s 内由1200rev/min 增加到3000rev/min.（1）假设转动是匀加速转动，求角加速度.(2)在此时间内，发动机转了多少转[解答]（1）22(30001200)1/601.57(rad /s )t 12ωπβ⨯-⨯===V V（2）222220()(30001200)302639(rad)2215.7πωωθβ--===⨯所以转数=2639420()2π=转7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔t 内的角位移为球t 时刻的角速度和角加速度.[解答]7.1.4 半径为0.1m 的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立O-xy 坐标系，原点在轴上.x 和y 轴沿水平和铅直向上的方向.边缘上一点A 当t=0时恰好在x 轴上，该点的角坐标满足21.2t t (:rad,t :s).θθ=+求（1）t=0时，（2）自t=0开始转45o 时，（3）转过90o时，A 点的速度和加速度在x 和y 轴上的投影.[解答]（1） A ˆˆt 0,1.2,R j 0.12j(m/s).0,0.12(m/s)x y ωνωνν====∴==v（2）45θ=o时，由2A 1.2t t ,t 0.47(s)42.14(rad /s)v R πθωω=+==∴==⨯v v v得（3）当90θ=o时，由7.1.5 钢制炉门由两个各长1.5m 的平行臂AB 和CD 支承，以角速度10rad/s ω=逆时针转动，求臂与铅直45o 时门中心G 的速度和加速度.[解答]因炉门在铅直面内作平动，门中心G 的速度、加速度与B 或D点相同。

所以：7.1.6 收割机拔禾轮上面通常装4到6个压板.拔禾轮一边旋转，一边随收割机前进.压板转到下方才发挥作用，一方面把农作物压向切割器，另一方面把切割下来的作物铺放在收割台上，因此要求压板运动到下方时相对于作物的速度与收割机前进方向相反. 已知收割机前进速率为1.2m/s ，拔禾轮直径1.5m ，转速22rev/min,求压板运动到最低点挤压作物的速度.[解答]取地面为基本参考系，收割机为运动参考系。

有心力

6
理论力学
质点力学
此时必有：此时必有：
B
F = −∇V
B r2 A r1
W = ∫ F ⋅ dr = ∫ Fr i ⋅ (dri +rdθ j ) = ∫ Fr dr = −(V2 − V1 )
A
机械能守恒： ∴ 机械能守恒：
1 & & m(r 2 + r 2θ 2 ) + V(r) = E 2 1 & & m(r 2 + r 2θ 2 ) + V(r) = E 2
哈雷慧星
第一章质点力学
1
理论力学
本节教学目的：本节教学目的：
质点力学
(1) 掌握有心力的概念和基本性质；掌握有心力的概念和基本性质； (2) 掌握有心力作用下质点运动轨道满足的方程；掌握有心力作用下质点运动轨道满足的方程； (3) 掌握两种重要的有心力与距离平方成反比的引力和掌握两种重要的有心力:与距离平方成反比的引力和斥力作用下质点的运动规律及动力学性质. 斥力作用下质点的运动规律及动力学性质 (4) 掌握行星运动规律掌握行星运动规律——开普勒定律。开普勒定律。开普勒定律
1 1 k 2m & E = mv 2 + V ( r ) = m ( r 2 + r 2θ& 2 ) − 2 2 r
k 2m V ( r ) = − r
& r 2θ = h
dr du dθ 1 du du & r= ⋅ ⋅ = - 2 ⋅ hu 2 ⋅ =-h du dθ dt u dθ dθ
c p , ⇒ p = a(1 − e2 ), e < 1 B点： = a − c = a(1 − ) = a(1 − e) = 点 r a 1+ e 13

有心力场势能公式

有心力场势能公式
心力场是一个力场，它是由一个中心点向外扩散的力场。

心
力场势能是指在心力场中，物体由一个位置移动到另一个位置
时所具有的势能变化。

它可以通过以下公式来求解：
U(r)=GmM/r
其中，U(r)表示位于距离中心点r处的物体在心力场中所具
有的势能，G是引力常数，m和M分别是物体和中心点的质量，r表示物体距离中心点的距离。

这个公式可以解释为，物体距离中心点越远，势能越小；物
体与中心点的质量越大，势能越大。

心力场势能的计算是基于引力的作用，它描述了物体在心力
场中的位置与势能之间的关系。

通过计算势能的变化，我们可
以推导出物体在心力场中的运动轨迹和力的大小。

需要注意的是，心力场势能公式只适用于描述心力场中的势
能变化。

对于其他类型的力场，如电场或磁场，存在其他对应
的势能公式。

行星的运动课件-高一物理人教版(2019)必修第二册

2.对于某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度（或线速度）不变，即行星做匀速圆周运动
在中学阶段，我们将椭圆轨道按照圆形轨道处理，则开普勒定律描述为： 3.所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等即r³/T²=k
r 轨道半径
R 星球半径
3.所有行星的轨道半径的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等
(C)
A．所有行星的轨道的半长轴的二次方跟它的公转周期的三次方的比值都相等
B．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上 C．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 D．行星绕太阳运动的速度大小不变
2．(多选)如图所示是行星 m 绕恒星 M 运动的示意图，下
Ac 列说法正确的是( )
1.94×107 3.16×107 5.94×107 3.74×108 9.30×108 2.66×109
3.36×1018 3.36×1018 3.36×1018 3.36×1018 3.36×1018
3.37×1018
海王星
4.50×1012
5.20×109
3.37×1018
二、开普勒三大定律
a 长轴短轴
在中学阶段，我们将椭圆轨道按照圆形轨道处理，则开普勒定律描述为： 1.所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上
1.行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心
在中学阶段，我们将椭圆轨道按照圆形轨道处理，则开普勒定律描述为： 2. 对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积
踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地
球公转半径的18倍，并预言这颗彗星每隔一定时间就会

有心力场

v1=7.9km/s
E<0 初动能判据 E=0 E>0
椭圆抛物线双曲线
四.椭圆轨道总能量及角运动周期
四.椭圆轨道总能量及角运动周期
每个能级简并度为 2
周期
开普勒第三定律
Summary:
椭圆轨道总能量只与半长轴有关, 而与半短轴有关当E与a确定后,半长轴不确定
证明: Runge—Lenz为守恒量
α粒子
电子
α粒子散射实验
質子與中子的發現
質子：1919年拉塞福以α粒子撞擊氮原子而發現
中子：1932年查兌克以α粒子撞擊鈹原子而發現
P41,8-6答案
P43,8-14答案
有效质量是考虑了约束效应后的等效质量如果me=me(r) me(rm ) 扰动沿径向,故受扰前后相对z轴角动量守恒
§6.两体问题两体问题: 两个有相互作用的质点组成的封闭系统在惯性系中的运动束缚运动散射或碰撞质心运动两体问题: 相对质心运动
demonstration
匀速直线运动
由图可知
r1
思路:
关键
两体相对质心角动量
折合质量（等效概念）
力心固定情形
力心不固定情形
两体在不变面内相对质心运动
Summary:
两体相对质心角动量
两体在不变面内相对质心运动
在考虑力心运动后,只要用折合质量代替运动物体质量就还原为力心不动情形
两质量均为m的质点用一长为a,弹性系数为k的轻弹簧连接,静止在光滑水平面上.今有一质量为m的另一质点在水平面上以速度v,与弹簧垂直的方向碰撞并粘在一起.试求欲使弹簧伸长到最大长度3 a, v应为多少?
由以上二式得到重要结论：
由于E是个守恒量，所以上式处处成立。另外还可以得到直角坐标系中椭圆轨道方程：

有心力作用下质点的守恒量

有心力作用下质点的守恒量在物理学中，心力是指质点受到的向心力或者引力的做功。

当一个质点在一个中心力场中运动时，心力是其能量守恒的重要量之一、本文将详细讨论有心力作用下质点的守恒量。

首先，我们考虑质点在一个中心力场中运动的情况。

一个中心力场是一个向心力场，它使得质点向力场的中心运动。

这种力场是非常常见的，例如：地球的引力场、行星围绕太阳的引力场等。

在这种情况下，质点受到的力可以表示为F=-k/r²，其中k是常数，r是质点与力场中心的距离。

当质点沿着力场的中心向心运动时，根据力学中的能量守恒原理，质点的机械能守恒，即质点的动能和势能之和保持不变。

在没有外力作用的情况下，质点的机械能守恒可以表示为E = T + V = const，其中T是质点的动能，V是质点的势能。

质点的动能可以表示为T=(1/2)m*v²，其中m是质点的质量，v是质点的速度。

因此，质点运动的动能与速度的平方成正比。

而质点的势能可以表示为V=-k/r，势能与质点与力场中心的距离r成反比。

由此得出质点的机械能守恒方程为E = (1/2)m*v² - k/r = const。

这个方程描述了有心力作用下质点机械能的守恒特性。

此外，在有心力作用下，还存在另外一个守恒量，即角动量。

角动量是质点运动的一个重要物理量，表示质点绕力场中心旋转的倾向。

角动量的大小可以表示为L = m*r*v*sinθ，其中θ是质点速度与力场切线方向的夹角。

由于质点的角动量是一个守恒量，即L = m*r*v*sinθ = const。

这个方程表示了绕着力场中心运动的质点的角动量守恒。

可以看出，有心力作用下质点的机械能和角动量都是守恒量。

这两个守恒量在物理学中具有重要的应用和意义。

例如，当质点在重力场中运动时，重力是一个向心力，质点的机械能和角动量都是守恒量。

这解释了为什么行星围绕太阳的轨道是椭圆形的，因为机械能守恒方程和角动量守恒方程可以确定行星的轨道参数。

大学物理学之角动量守恒

对于由两个质点构成的质点系引入相对速度uvvu?考虑到质心系是零动量参考系即可得21121212mmv?u?v?u?mmmm?由此可得每个质点相对于质心的动量分别为212112v?v?v?????02211v?mv?m22两质点的约化质量利用质心表达式每个质点相对于质心的位矢分别为????1m故两个质点系统相对于其质心的角动量为????112212r?clrpr?p?u???????22u1v?mp?u?u?mmmmv?mp????2212111??????mmr??m?1r2112r?12121222112r?22?12121mmrmr?r?r?mmmmr?r?mr?r?cc?23四两体问题对于质量可以比拟的孤立两体问题总可以把其中一个物体看作固定力心另一物体的质量用约化质量代替
h
m' v m
v
例6.5：在图示装置中，盘与重物的质：在图示装置中，量均为m，胶泥的质量为m’, 原来重量均为，胶泥的质量为物与盘静止，让胶泥从h高处自由落物与盘静止，让胶泥从高处自由落求胶泥粘到盘上后获得速度。下，求胶泥粘到盘上后获得速度。
vo 6.8、 6.5图图6.8、题6.5图
o
F
mg
图6.4、题6.1图、图
5
例6.2：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为，：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为m，速率为v，求圆锥摆对点点轴的角动量。速率为，求圆锥摆对o点,o’点,oo’轴的角动量。轴的角动量在讨论质点的角动量时，在讨论质点的角动量时，必须指明是对那点或那个轴的角动量
守恒条件: 守恒条件
M x = 0 ⇒ Lx = const M y = 0 ⇒ Ly = const M z = 0 ⇒ Lz = const