第7章 有心力场的运动

（6）式的积分为变为

du km d A (u 2 ) 2 J0
2
d
cos 1 (
即
km km 1 (u 2 )) C u | A | cos( C ) 2 J0 J0 | A|
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北京大学信息科学技术学院周乐柱
r
1 km A cos( C ) 2 J0 p 1 e cos( C )
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（方法 II）
求出rmin , rmax p, e GMm GMm 1 2 2 mv0 r E0 4r 0 由基本方程 出发 4.5GMr0 mrv =m 2 2 2GM GM v r 2 r 0 0 4.5GMr0 1 v= r 2 4.5GMr0 1 1 GM 2 2GM 0 r r 2r0 4 4.5r0 2 8r0 r 2r 2 0 r 8r0 64 4 2 4.5r0 4 7 r0 4 2
d ˆ0 F Fr r F r Fr (r mv ) 0 dt J r mv r0 mv0 J 0 r,v J 0 r0 ,v0 J 0 r， r0共面 原点固定
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第七章 保守力场的运动
§7.1 保守立场的图示 – 势能曲线
1. 势能与保守力的关系
F v F dr c dV=F dr
垐 ˆ )V V F V ( x y z x y z
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第一宇宙速率（在地球表面附近作圆轨道运动时的速率）
(方法I) e 0, r
J 02 m2v 2 R 2 GM 0 1 e Re v12 m | k | mGMm Re
mv 2 GMm GM (方法II) 圆周运动， 1 v12 v1 7.9km / s Re Re Re
1 2 ) k E , k GMm 2 r 2 m( r 0 r 2 J mr 2 0
（1）
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2 E 2k 1 J 02 1 r 2 0 消去 m m r m2 r 2
（2）
自变量变换，由t . J dr dr d dr 2 = 02 r dt d d mr d J dr 2 2 E0 2k 1 J 0 2 1 2 ( 02 r ) mr d m m r m2 r 2
p 4 7 r0 rmin 1 e 4 7 1 7 / 4 2 1 e (1)两式相除 e 7/4 1 e 4 7 1 7 / 4 4 7 p r r0 max 2 1 e p 9 (2)两式相加 4r0 p r0 2 1 e 8 5．三种宇宙速度（率） 在离地心r0处，速度为v0的轨道 e 1 2 J 02 E0 G 2 M 2 m3 1 GMm 2 2 2 2 , J 0 m0 E0 mv 2 v0 r0 2 r0 GMm ，绝对值最大， r0
2 2
J 02 2 E0 J 0 2 GMm 2 2 b a c a (1 e ) ( ) ( 2 2 3 ) G M m 2 E0 2 E0 m b 不仅与|V0| r0有关，还与J 0即V0，r0的方向有关
[例] 已知：人造星体某时刻 r0，v0
r r ( ) ，求力 F 2 mr J 0
求r (t ), (t ) 求轨迹 理论力学课程 本课程
（2）已知 F（r） ，求运动
2. 求解有心运动轨道的一般方法
1 2 ) V (r ) E 2 ) 2 r 2 F (r ) m( r r m( r 0 从运动微分方程 或从基本方程 2 2 mr J 0 J mr2 0
特点 2.
T V E0
机械能守恒
有心运动基本方程
mrv J 动量矩守恒 J=mr2 0 1 1 2 ) V (r ) mv 2 V (r ) E 2 r 2 机械能守恒 E= m(r 0 2 2
有心运动基本问题 （1）已知运动
v0很小很小 0时，E0 a GMm r0 最小 2 E0 2
这时， 轨道为极扁的椭圆， 发射点为远地点。 随着发射速度的增加， 椭圆逐渐变圆， 当速度达到第一宇宙速率时，轨道变为圆。发射速度在增加，轨道又变为椭圆，但发射 点变为近地点。当速度达到第二宇宙速率时，轨道变为抛物线。当速度超过第二宇宙速 率时，轨道变为双曲线。
1.5GM , r0 , v0 120 ，求轨道方程。 r0
解：（方法I）E 0 ,J0 p, e
E0
GMm GMm 1 mv0 2 0.25 0 椭圆 r0 r0 2 4.5GMr0 1.5GM 3 m r0 2 2
J 0 r0 mv0 sin120 r0 m p J 0 2 / GMm 2
第二宇宙速率 （脱离地球引力在地球表面附近所需的最小速率）
e=1,E 0
1 GMm mv 2 0 2 2 Re 2GMm GM 2 v2 v2 2 2v1 11.2km / s Re Re
第三宇宙速率（脱离太阳引力在地球表面附近所需的最小速率）

rsE 23, 400 Re
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2 ˆr , v mrv J 0 因为共面，所以可取平面极坐标 J mr mrv sin e ˆr ,即力的大小只是r的函数，与 无关 一般而言， F F ( r )e
存在势能V V(r ) F (r )dr
为了能用形式为
d
(6)
dx d a2 x2
的积分，上式中分母作变换
2 E0 m 2E m km km km km 2km (u 2 2 u+( 2 ) 2 )+( 2 ) 2 [( 2 ) 2 02 ] (u 2 ) 2 2 J0 J0 J0 J0 J0 J0 J0 A2 (u ( km 2 )) J 02
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3. 势阱，势垒 金属表面的势能曲线如图，宏观 E Ek V Vmax ，不可能穿越 微观 有穿越的“概率” ，即“隧道效应”
§7.2 平方反比力场
1. 有心运动的一般特点 有心力 力的作用线始终通过空间某点 有心运动 质点在有心力作用下的运动 特点 1. 对力心的动量矩守恒 => 平面运动
2 104
M s 333， 400Me 3 105 太阳引力Fs M s Re2 3 105 1 3 在地面附近， 103 2 4 2 地球引力Fe M e rsE 1 (2 10 ) 4 此时可不考虑太阳引力。 离地面100Re高处，Fe下降为原来的104 Fs 3 105 10，此时可不考虑地球引力。 1 Fe (2 102 ) 2
出发，经变量变换 r 1/ u 最终得到 r r ( )
(r u ) 和和自变量变换
d d dt d
(t )
3. 平方反比力场轨道方程的导出
万有引力 F
平方反比力
库伦力
由基本方程
GMm k 2 , k GMm 0 2 r r Qq k Qq 0, Qq 0 F 2, k 2 r 4 0 r 4 0 0, Qq 0
2. 势能曲线 （1）万有引力势能 V
GMm r
（2）弹簧势能
V
1 2 kx 2
（3）双原子分子的势能
A B rm rn n>m, 例如n=3, m=2 dE p A B ＝ 2 3 F=F引 F斥 dr r r A B V= 2 r 2r B F 0 r0 A 当r>r0 ,| F引|>|F斥 |;当r<r0 ,| F引|<|F斥 | Ep
4．万有引力场中的轨道
F=-
GMm k - 2 , k GMm 2 r r p r 1 e cos J 02 p =J 02 / GMm 2 h 2 / GM m|k |
E0 J 02 G 2 M 2 m3 当 E0 0 时，e<1 椭圆轨道 e 1
=0，rmin =，rmax
1 1 2 ( ) 由于方程中包含 ， r r 1 作变量变换 u r dr d 1 1 du ( ) 2 d d u u d
（3）
（4） (5)
(4) (5)代入（3）得
J 0 2 du 2 2 E0 2k J2 ) ( ) u 02 u 2 m d m m m du 2 2 E0 m km 2 (u 2 2 u) 即( ) 2 d J0 J0 ( 2 E0 m du 2km (u 2 2 u) 2 d J0 J0 du 2 E0 m 2km (u 2 2 u) 2 J0 J0
4.5 9 r0 r0 4 8 1 9 9 7 e 1 2 1 4 8 16 4 轨道方程为 9 r0 8 r , 7 1 cos 4
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源自文库
为了画出t0时刻的位置，需求出r0 对应的 0 9 r0 1 7 1 8 由r0 cos 0 8 4 7 2 7 1 cos 0 4 7 cos 1 (0.188) 79 0 cos 1 14 9 9 r0 p 8 8 r0 2r0 a 2 7 9 1 e 1 16 16 p 9 9 b r0 / 1.5r0 16 1 e2 8 c a 2 b2 7 r0 2

1 km m | k | k cos( C ) e cos( C ) 2 2 J0 J0 |k| J 02 p m|k | e 1 2 E0 J 0 2 mk 2
J 02 m|k |
r
选取极轴为主轴 C=0 p r 1 e cos p k (a) 引力 k>0, V=- <0 r 轨道类型取决于E 0 e r 1 e cos <0, e<1 椭圆 （包括p 0,圆） 1 k 当E 0 =T+V= mv0 2 =0, e=1 抛物线 2 r0 >0, e>1 双曲线（近枝） k (b) 斥力 k<0,V =- >0, E 0 =T+V>0, e>1, 远枝双曲线 r p r 1 e cos
p 2p p 1 e a 2a rmin rmax 2 p 1 e 1 e2 1 e
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a
2

1 e2
2

2
J 0 / GMm 2 GMm a 仅与E0有关（仅与|V0| r0有关） 2 2 2 3 2 E0 J 0 / G M m 2 E0