电动力学第4章第3-5节

二、导体内的电磁波
方程（3.11）形式上也有平面波解
E(x) = E0 eik⋅x
由于k是一个复矢量，因而它的分量一般为复数，设
k =β+iα
E(x,t) =E0 e−α⋅xei( β⋅x−ωt)
β和α都是实数矢量。
(3.14) (3.15)
二、导体内的电磁波
说明： （1）相位常数与衰减常数 β称为相位常数 相位常数，把α称为衰减常数 衰减常数。 相位常数 衰减常数 （2）导体中的电场E是衰减的，并且按指数 规律衰减
∇×E = iω H µ
H =− i
ω µ
∇×E
E = E ei(k⋅x−ωt) 0 ∇×E = ik×E
三、趋肤效应和穿透深度
H=
1
ω µ
k×E =
1
ω µ
(β +iα)n×E
（3.23）
垂直入射的情况，α和β都沿z方向，在良导体情况下
α =β =
ωσ µ
2
1 2 2 i π 4 1 2 i π 4
R=
σ σ = 2 ε0 2 ε0 ω ω 1+2 +1 1+ σ σ
ω 2 ε0
（3.28）
1 =1− x + x2 − x3 +L 1+ x
（|x|<1）
四、电磁波在导体表面上的反射
R =( − 1
2 ε0 ω
σ
) =1−2
2
2 ε0 ω
σ
（3.28）
若把金属看成是理想导体σ→∞，R→1 例1、书上P.126 例2、书上P.127
二、导体内的电磁波
在导体内部，ρ=0，J =σE ，Maxwell方程转化为
∂ B ∇×E = − ∂ t ∂ D ∇×H = +J ∂ t ∇⋅ D = 0 ∇⋅ B = 0
(3.7)
二、导体内的电磁波 对于一定频率ω的时谐电磁波D＝εE，B＝µH，
E = E(x)e−iωt B = B(x)e−iωt
四、电磁波在导体表面上的反射
σ σ E ( +i −1 + 1 ) ( +i +1 E′ =0 1 ) ω ω 2 ε0 2 ε0 2 ε0 σ ω 2 ε0 σ ω ′( +i + E 1 ) = − +i− E1 σ 2 ε0 ω σ 2 ε0 ω
σ ε′ =ε +i ω ∇×H = −iω ′ εE
∇×E =iω H µ ∇×H = −iω ′E ε ∇⋅E =0 ∇⋅B =0
（3.8′）
二、导体内的电磁波
式中ε′称为复电容率 复电容率。 复电容率
2 ∇ E+k2E =0
∇ B+k B =0
2 2
(3.11)
k = ω µε′
(3.12)
四、电磁波在导体表面上的反射
n×(E2 −E ) =0 1 n×(H2 −H ) =0 1
（3.26）
′ E +E′ =E′ ′ H −H′ = H′
四、电磁波在导体表面上的反射
H=
ω µ
1
k×E
在真空中
ε0 H= E µ0
ε0 H′ = E′ µ0
四、电磁波在导体表面上的反射
′ H′ =
1
ω µ 1 ω σ µ ′ = ( +i n×E′ 1 ) ω µ 2 ε0 σ ′ = ⋅ ( +i n×E′ 1 ) 2 ε0 µ0 ω σ ( +i E′ 1 ) ′ 2 ε0 ω
一、导体内的自由电荷分布
∇⋅ D = ρ
ε∇⋅ E = ρ
（3.1）
J =σ E
E= J
（3.2）
ε ∇⋅ J = ρ, σ
σ
,
一、导体内的自由电荷分布
σ ∇⋅J = ρ ε
(3.3)
(3.3)式表明，在导体内凡是有正电荷存在的地方， 在导体内凡是有正电荷存在的地方， 在导体内凡是有正电荷存在的地方 就有电流向外流出，直到流完为止 就有电流向外流出，直到流完为止。
2 2 2
因而
β −α ≈ 0
2 2
（3.30）
r r 1 1 2 σ α⋅ β =αzβz = ω = ω µε0 µσ 0 ω0 ε 2 2
由（3.29）式和（3.31）式得
1 (0)2 k （3.31） 2
αzβz
β
2 x
略去 β
2 x ，解（3.30）式和（3.31）式得
αz ≈ βz ≈
ωσ µ
2
, βx
βz
r
因此，在任意入射角情形下， 垂直于表面， 接 β 近法线方向。穿透深度 δ 仍为
α
r
δ=
1
α
=
2
ωµσ
例2、计算高频下良导体的表面电阻。 解：由于趋肤效应，高频下仅在导体表面薄层内有电 流通过。取 电流密度为
z 轴沿指向导体内部的法线方向，导体内
r r r r r −α z + i β z −iωt J ( x , t ) = σ E ( x , t ) = σ E0 ( x, y )e
2
β2 =
ω2µε ± (ω2µε)2 +(ω )2 µσ
2
σ2 1 =ω2µε[ (1± 1+ 2 2 )] εω 2
三、趋肤效应和穿透深度 由于β为实数，β2>0，所以
1 σ2 2 2 β =ω µ 1+ 1+ 2 2 ε ε ω 2
1 σ2 β =ω µε 1+ 1+ 2 2 ε ω 2
例1、证明在良导体内，非垂直入射情形有
αz ≈ βz ≈
ωσ µ
2
, βx
βz
r(0) 解：设空间中入射波矢为 k ，由边值关系
k
得
(0) x
= kx = βx + iαx
(0) x
αx =0, βx = k
（3.29）
σ 由 k =ω µε′ =ω µ(ε +i )知，对于良导体 ω r r 2 2 2 k ≈iω = β −α +2iα⋅ β µσ
2 ε0 ω 1+i− E′ σ =− E 2 ε0 ω 1+i+
（3.27）
σ
四、电磁波在导体表面上的反射
定义反射系数 反射能流与入射能流之比叫做反 反射系数：反射能流与入射能流之比叫做反 反射系数 射系数，记为R 射系数
E′ E′ = 2 = R= E E
2 2
σ ω 2 ε0 2 ( + 1 ) +1 σ
∇×E =iω H µ ∇×H = −iω E +σ ε E ∇⋅ E = 0 ∇⋅ B = 0
(3.8)
二、导体内的电磁波 与书上的(1.11)式比较
∇×E =iω H µ ∇×H = −iω E ε ∇⋅ E = 0 ∇⋅ H = 0
（1.11）
σ ∇×H = − ω(ε +i )E i ω
二、导体内的电磁波 令
第四章 平面电磁波的传播
§1 平面电磁波 §2 电磁波在介质面上的反射和折射 §3 有导体存在时电磁波的传播 §4 谐振腔 §5 波导
§3 有导体存在时电磁波的传播
一、导体内的自由电荷分布 二、导体内的电磁波 三、趋肤效应和穿透深度 四、电磁波在导体表面上的反射
一、导体内的自由电荷分布
一、导体内的自由电荷分布
σ ω<<τ = (T >>τ) ε σ > 1 > εω
−1
ε τ= σ
(3.6)
这样的导体可以看成良导体 良导体，(3.6)式称为良导体 良导体 良导体 条件，满足良导体条件，可认为ρ(t)=0。 条件
一、导体内的自由电荷分布
结论： 只要电磁波的频率不太高，一般金属导体都可 只要电磁波的频率不太高， 看成良导体。 看成良导体。不论在良导体内部存在稳恒电流还是 交变电流，均匀导体内部处处一定无电荷， 交变电流，均匀导体内部处处一定无电荷，电荷只 能分布在导体的表面上。 能分布在导体的表面上。
三、趋肤效应和穿透深度
δ=
1
α
=
2
ωσ µ
(3.22)
由此可见，穿透深度与电导率和频率的平方根成 反比。 对于金属铜来说，σ～5×107西门子/米，当 f =50Hz时，δ～0.9cm f =100MHz时，δ～0.7×10-7cm
三、趋肤效应和穿透深度 (2)趋肤效应
当频率比较高时，电磁场以及和它相互作用的电流仅集中 于导体表面的很薄的一层内，这种现象叫做趋肤效应 趋肤效应。 趋肤效应
∞
导体内的平均损耗功率密度为
r* r 1 1 Re( J ⋅ E ) = σ E02e−2α z 2 2
导体表面的平均损耗功率密度为
1 2 PL = σ E0 ∫ 0 2
∞
σ E02 −2α z e dz = 4α
二、导体内的电磁波
（3）α和β满足的关系 kk= β+iα β+iα kk=(β+iα) (β+iα) k2=β2–α2+2iαβ k2 =ω2µε′=ω2µ(ε+iσ/ω)
二、导体内的电磁波
β2-α2+2iαβ=ω2µε+iωµσ β2 -α2 =ω2µε αβ=(½)ωµσ (3.17)
2
1 2
1 σ α =ω µε (−1+ 1+ 2 2 ) εω 2
1 2
（3.20）
三、趋肤效应和穿透深度 对于良导体的情况下，（σ/εω）>>1，故