2012年辽宁省高考压轴卷数学理试卷
2012年辽宁高考试题(理数,word解析版)
【解析】 2+i = 2+i2-i=
5
= - i ，故选 A. 55
3. 已知两个非零向量 a,b 满足 a+b = a-b ，则下面结论正确
A． a//b B． a b C． a = b
D． a+b=a-b
【命题意图】 本题主 要 考查平面向量运算，是简单题.
【解析 2】已知得 a+b = a-b ，即 a -2ab+ b = a +2ab+ b ab=0a b ，
故选 B.
4. 已知命题 p:x1,x2 R, f x2 -f x1 x2 -x1 0 ，则 p 是
A． x1,x2 R, f x2 -f x1 x2 -x1 0
【解析】全称命题的否定形式为将“ ”改为“ ”，后面的加以否定，即将“
f x2 -f x1 x2 -x1 0 ”改为“ f x2 -f x1 x2 -x1 <0 ”，故选 C.
5. 一排 9 个座位坐了 3 个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为
D．1
=11a6
=88
，故选
B.
档题.
【解析】如图所示，令 AC=x,CB=y ，则 x+y=12x>0,y>0，矩形面积设为 S ，则
S =xy=x 12-x 32 ，解得 0<x 4或8 x<12 ，该矩形面积小于 32 cm2 的概率为
8 = 2 ，故选 C. 12 3
A．58
B．88
C．143
【命题意图】本题主要考查等差数列通项公式和前 n 项和公式，是简单题.
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(辽宁卷)
辽宁理科1.(2012辽宁,理1)已知全集U ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A ={0,1,3,5,8},集合B ={2,4,5,6,8},则(∁U A )∩(∁U B )=( ). A .{5,8} B .{7,9} C .{0,1,3} D .{2,4,6}B 由已知条件可得∁U A ={2,4,6,7,9},∁U B ={0,1,3,7,9},所以(∁U A )∩(∁U B )={7,9},故选B . 2.(2012辽宁,理2)复数2i 2i -+=( ). A .35-45iB .35+45iC .1-45iD .1+35iA 2i 2i-+=2(2i)(2i)(2i)-+-=244i i 5-+=35-45i ,故选A .3.(2012辽宁,理3)已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是( ). A .a ∥b B .a ⊥b C .|a |=|b | D .a +b =a -bB |a +b |2=|a |2+2a ·b +|b |2,|a -b |2=|a |2-2a ·b +|b |2,因为|a +b |=|a -b |,所以|a |2+2a ·b +|b |2=|a |2-2a ·b +|b |2,即2a ·b =-2a ·b , 所以a ·b =0,a ⊥b .故选B .4.(2012辽宁,理4)已知命题p :∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0,则p 是( ). A .∃x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 B .∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 C .∃x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 D .∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0C 命题p 是一个全称命题,其否定为存在性命题,p :∃x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0,故选C .5.(2012辽宁,理5)一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( ). A .3×3! B .3×(3!)3 C .(3!)4 D .9!C 完成这件事可以分为两步,第一步排列三个家庭的相对位置,有33A 种排法;第二步排列每个家庭中的三个成员,共有333333A A A 种排法.由乘法原理可得不同的坐法种数有33333333A A A A ,故选C . 6.(2012辽宁,理6)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11=( ). A .58 B .88 C .143D .176 B 因为数列{a n }为等差数列,所以S 11=11111(a a )2+,根据等差数列的性质,若p +q =m +n ,则a p +a q =a m +a n 得,a 1+a 11=a 4+a 8=16,所以S 11=11162⨯=88,故选B .7.(2012辽宁,理7)已知sin α-cos α∈(0,π),则tan α=( ).A .-1B 2C 2D .1A 将sin α-cos sin 2α-2sin αcos α+cos 2α=2,即sin αcos α=-12,则22ααααsin cos sin cos +=2αα1tan tan +=-12,整理得2tan α+tan 2α+1=0,即(tan α+1)2=0, 所以tan α=-1.故选A .8.(2012辽宁,理8)设变量x ,y 满足x y 10,0x y 20,0y 15,-≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩则2x +3y 的最大值为( ).A .20B .35C .45D .55D 不等式组表示的平面区域如图所示,则2x +3y 在A (5,15)处取得最大值,故选D .9.(2012辽宁,理9)执行如图所示的程序框图,则输出的S 值是( ). A .-1 B .23C .32D .4 D 当i =1时,S =224-=-1; i =2时,S =221+=23; i =3时,S =2223-=32;i =4时,S =2322-=4;i =5时,S =224-=-1;i =6时,S =23;i =7时,S =32;i =8时,S =4;i =9时,输出S ,故选D .10.(2012辽宁,理10)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ,现作一矩形,邻边长分别等于线段AC ,CB 的长,则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( ). A .16B .13C .23D .45C 设AC =x cm (0<x <12),则CB =12-x (cm ),则矩形面积S =x (12-x )=12x -x 2<32,即(x -8)(x -4)>0,解得0<x <4或8<x <12,在数轴上表示为由几何概型概率公式得,概率为812=23,故选C .11.(2012辽宁,理11)设函数f (x )(x ∈R )满足f (-x )=f (x ),f (x )=f (2-x ),且当x ∈[0,1]时,f (x )=x 3.又函数g (x )=|x cos (πx )|,则函数h (x )=g (x )-f (x )在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为( ).A .5B .6C .7D .8 B 由f (-x )=f (x ),f (x )=f (2-x )可知,f (x )是偶函数,且关于直线x =1对称,又由f (2-x )=f (x )=f (-x )可知,f (x )是以2为周期的周期函数.在同一坐标系中作出f (x )和g (x )在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图,可知f (x )与g (x )的图象在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有6个交点,即h (x )的零点个数为6.12.(2012辽宁,理12)若x ∈[0,+∞),则下列不等式恒成立的是( ). A .e x ≤1+x +x 2 B1-12x +14x 2C .cos x ≥1-12x 2D .ln (1+x )≥x -18x 2C 对于e x 与1+x +x 2,当x =5时,e x >32,而1+x +x 2=31,所以A 选项不正确;1-12x +14x 2,当x =14时51-12x +14x 2=5764<5所以B 选项不正确;令f (x )=cos x +12x 2-1,则f '(x )=x -sin x ≥0对x ∈[0,+∞)恒成立,f (x )在[0,+∞)上为增函数,所以f (x )的最小值为f (0)=0,所以f (x )≥0,cos x ≥1-12x 2,故C 正确;令g (x )=ln (1+x )-x +18x 2,则g '(x )=1x 1++14x -1,令g '(x )=0,得x =0或x =3.当x ∈(0,3)时,g '(x )<0,当x ∈(3,+∞)时,g '(x )>0,g (x )在x =3时取得最小值g (3)=ln 4-3+98<0,所以D 不正确.13.(2012辽宁,理13)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 .38 由三视图可以看出该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱,长方体表面积为2×(4×3+3×1+4×1)=38,圆柱的侧面积为2π,上下两个底面积和为2π,所以该几何体的表面积为38+2π-2π=38.14.(2012辽宁,理14)已知等比数列{a n }为递增数列,且25a =a 10,2(a n +a n +2)=5a n +1,则数列{a n }的通项公式a n = .2n 设数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则21a ·q 8=a 1·q 9,a 1=q ,由2(a n +a n +2)=5a n +1,得2q 2-5q +2=0,解得q =2或q =12,因为数列{a n }为递增数列,所以q =2,a 1=2,a n =2n .15.(2012辽宁,理15)已知P ,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,过P ,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的纵坐标为.-4 由已知可设P (4,y 1),Q (-2,y 2),∵点P ,Q 在抛物线x 2=2y 上,∴212242y ,(-2)2y ,⎧=⎨=⎩①② ∴12y 8,y 2,=⎧⎨=⎩ ∴P (4,8),Q (-2,2).又∵抛物线可化为y =12x 2,∴y '=x ,∴过点P 的切线斜率为y 'x 4==4. ∴过点P 的切线为:y -8=4(x -4),即y =4x -8. 又∵过点Q 的切线斜率为y 'x 2 =-=-2, ∴过点Q 的切线为y -2=-2(x +2), 即y =-2x -2. 联立y 4x 8,y 2x 2,=-⎧⎨=--⎩得x =1,y =-4,∴点A 的纵坐标为-4.16.(2012辽宁,理16)已知正三棱锥P -ABC ,点P ,A ,B ,C,若PA ,PB ,PC 两两相互垂直,则球心到截面ABC 的距离为.3正三棱锥P -ABC 可看作由正方体PADC -BEFG 截得,如图所示,PF 为三棱锥P -ABC 的外接球的直径,且PF ⊥平面ABC .设正方体棱长为a ,则3a 2=12,a =2,AB =AC =BC =S △ABC =12×2由V P -ABC =V B -PAC ,得13·h ·S △ABC =13×12×2×2×2,所以h3因此球心到平面ABC317.(2012辽宁,理17)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列. (1)求cos B 的值;(2)边a ,b ,c 成等比数列,求sin A sin C 的值.解:(1)由已知2B =A +C ,A +B +C =180°,解得B =60°,所以cos B =12.(2)解法一:由已知b 2=ac ,及cos B =12,根据正弦定理得sin 2B =sin A sin C ,所以sin A sin C =1-cos 2B =34.解法二:由已知b 2=ac ,及cos B =12,根据余弦定理得cos B =22a c ac 2ac+-,解得a =c ,所以A =C =B =60°,故sin A sin C =34.18.(2012辽宁,理18)如图,直三棱柱ABC -A 'B 'C ',∠BAC =90°,AB =AC =λAA ',点M ,N 分别为A 'B 和B 'C '的中点. (1)证明:MN ∥平面A 'ACC ';(2)若二面角A '-MN -C 为直二面角,求λ的值.解:(1)证法一:连结AB ',AC ',由已知∠B AC =90°,AB =AC ,三棱柱ABC -A 'B 'C '为直三棱柱,所以M 为AB '中点. 又因为N 为B 'C '的中点, 所以MN ∥AC '.又MN ⊄平面A 'A CC ',AC '⊂平面A 'ACC ', 因此MN ∥平面A 'ACC '.证法二:取A 'B '中点P ,连结MP ,NP , 而M ,N 分别为AB '与B 'C '的中点, 所以MP ∥AA ',PN ∥A 'C ',所以MP ∥平面A 'ACC ',PN ∥平面A 'ACC '. 又MP ∩NP =P ,因此平面MPN ∥平面A 'A CC '. 而MN ⊂平面MPN ,因此MN ∥平面A 'ACC '.(2)以A 为坐标原点,分别以直线AB ,AC ,AA '为x 轴,y 轴,z 轴建立直角坐标系O -xyz ,如图所示. 设AA '=1,则AB =AC =λ,于是A (0,0,0),B (λ,0,0),C (0,λ,0),A '(0,0,1),B '(λ,0,1),C '(0,λ,1),所以M λ1,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭,N λλ,,122⎛⎫⎪⎝⎭.设m =(x 1,y 1,z 1)是平面A 'MN 的法向量,由m '0,m 0A M M N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得111110,2210,22x z y z λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可取m =(1,-1,λ).设n =(x 2,y 2,z 2)是平面MNC 的法向量,由n 0,n 0N C M N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得222220,2210,22x y z y z λλλ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可取n =(-3,-1,λ).因为A '-MN -C 为直二面角,所以m ·n =0,即-3+(-1)×(-1)+λ2=0,解得19.(2012辽宁,理19)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望E (X )和方差D (X ).附:χ2=211221221n (n n n n )n n n n -,将2×2列联表中的数据代入公式计算,得χ2=2112212211212n (n n n n )n n n n ++++-=2100(30104515)75254555⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=10033≈3.030.因为3.030<3.841,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意X ~B 13,⎛⎫ ⎪,从而X 的分布列为E (X )=np =3×14=34,D (X )=np (1-p )=3×14×34=916.20.(2012辽宁,理20)如图,椭圆C 0:22x a+22y b=1(a >b >0,a ,b 为常数),动圆C 1:x 2+y 2=21t ,b <t 1<a .点A 1,A 2分别为C 0的左,右顶点,C 1与C 0相交于A ,B ,C ,D 四点.(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程; (2)设动圆C 2:x 2+y 2=22t 与C 0相交于A ',B ',C ',D '四点,其中b <t 2<a ,t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A 'B 'C 'D '的面积相等,证明:21t +22t 为定值. (1)解:设A (x 1,y 1),B (x 1,-y 1),又知A 1(-a ,0),A 2(a ,0),则直线A 1A 的方程为y =11y x a+(x +a ),①直线A 2B 的方程为y =11y x a--(x -a ).②由①②得y 2=21221y x a--(x 2-a 2).③由点A (x 1,y 1)在椭圆C 0上,故212x a+212y b=1.从而21y =b 2212x 1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,代入③得22x a-22y b=1(x <-a ,y <0).(2)证明:设A '(x 2,y 2),由矩形ABCD 与矩形A 'B 'C 'D '的面积相等,得4|x 1||y 1|=4|x 2||y 2|,故2211x y =2222x y . 因为点A ,A '均在椭圆上,所以b 222112x x 1a ⎛⎫-⎪⎝⎭=b 222222x x 1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 由t 1≠t 2,知x 1≠x 2,所以21x +22x =a 2. 从而21y +22y =b 2, 因此21t +22t =a 2+b 2为定值.21.(2012辽宁,理21)设f (x )=ln (x +1ax +b (a ,b ∈R ,a ,b 为常数),曲线y =f (x )与直线y =32x 在(0,0)点相切.(1)求a ,b 的值;(2)证明:当0<x <2时,f (x )<9x x 6+.(1)解:由y =f (x )过(0,0)点,得b =-1.由y =f (x )在(0,0)点的切线斜率为32,又y '|x =0=1ax 1⎛⎫+⎪+⎝⎭|x =0=32+a ,得a =0.(2)证法一:由均值不等式,当x >0时,x +1+1=x +2,故x 1+<x 2+1.记h (x )=f (x )-9x x 6+,则h '(x )=1x 1++2x 1+-254(x 6)+=2x 12(x 1)+++-254(x 6)+<x 64(x 1)++-254(x 6)+=32(x 6)216(x 1)4(x 1)(x 6)+-+++.令g (x )=(x +6)3-216(x +1),则当0<x <2时,g '(x )=3(x +6)2-216<0. 因此g (x )在(0,2)内是递减函数, 又由g (0)=0,得g (x )<0, 所以h '(x )<0.因此h (x )在(0,2)内是递减函数, 又h (0)=0,得h (x )<0. 于是当0<x <2时,f (x )<9x x 6+.证法二:由(1)知f (x )=ln (x +1)+x 1+-1.由均值不等式,当x >0时,2(x 1) 1+<x +1+1=x +2, 故x 1+<x 2+1.①令k (x )=ln (x +1)-x ,则k (0)=0,k '(x )=1x 1+-1=x x 1-+<0,故k (x )<0,即ln (x +1)<x .② 由①②得,当x >0时,f (x )<32x .记h (x )=(x +6)f (x )-9x ,则当0<x <2时, h '(x )=f (x )+(x +6)f '(x )-9 <32x +(x +6)1x 12x 1⎛+⎪++⎝⎭-9 =12(x 1)+[3x (x +1)+(x +6)(2+x 1+)-18(x +1)]<1x 3x (x 1)(x 6)318(x 1)2(x 1)2⎡⎤⎛⎫++++-+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ =x 4(x 1)+(7x -18)<0.因此h (x )在(0,2)内单调递减, 又h (0)=0,所以h (x )<0,即f (x )<9x x 6+.22.(2012辽宁,理22)选修4-1:几何证明选讲如图,☉O 和☉O '相交于A ,B 两点,过A 作两圆的切线分别交两圆于C ,D 两点,连结DB 并延长交☉O 于点E .证明:(1)AC ·BD =AD ·AB ; (2)AC =AE .证明:(1)由AC 与☉O '相切于A ,得∠CAB =∠ADB ,同理∠ACB =∠DAB , 所以△ACB ∽△DAB .从而A C A D=A B B D,即AC ·BD =AD ·AB .(2)由AD 与☉O 相切于A ,得∠AED =∠BAD , 又∠ADE =∠BDA ,得△EAD ∽△ABD . 从而A E A B=A D BD,即AE ·BD =AD ·AB .结合(1)的结论,AC =AE .23.(2012辽宁,理23)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,圆C 1:x 2+y 2=4,圆C 2:(x -2)2+y 2=4.(1)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C 1,C 2的极坐标方程,并求出圆C 1,C 2的交点坐标(用极坐标表示);(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程. (1)解:圆C 1的极坐标方程为ρ=2,圆C 2的极坐标方程为ρ=4cos θ.解ρ2,ρ4θcos =⎧⎨=⎩得ρ=2,θ=±3π,故圆C 1与圆C 2交点的坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭,2,-3π⎛⎫ ⎪⎝⎭.注:极坐标系下点的表示不唯一.(2)解法一:由x ρθ,y ρθcos sin =⎧⎨=⎩得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(11故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为x 1,y t,=⎧⎨=⎩t(或参数方程写成x 1,y y,=⎧⎨=⎩y 解法二:将x =1代入x ρθ,y ρθcos sin =⎧⎨=⎩得ρcos θ=1,从而ρ=1θcos .于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为x 1,y θ,tan =⎧⎨=⎩-3π≤θ≤3π.24.(2012辽宁,理24)选修4—5:不等式选讲已知f (x )=|ax +1|(a ∈R ),不等式f (x )≤3的解集为{x |-2≤x ≤1}. (1)求a 的值;(2)若x f (x)-2f 2⎛⎫ ⎪⎝⎭≤k 恒成立,求k 的取值范围. 解:(1)由|ax +1|≤3得-4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |-2≤x ≤1}, 所以当a ≤0时,不合题意.当a >0时,-4a≤x ≤2a,得a =2.(2)记h (x )=f (x )-2f x 2⎛⎫ ⎪⎝⎭,则h(x)=1,x1,1 4x3,-1x,211,x,2⎧⎪≤-⎪⎪--<<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩所以|h(x)|≤1,因此k≥1.。
2012高考辽宁理科数学试题及答案(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(辽宁卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1，3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(U A )∩(U B )＝()A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}2．复数2i2i -=+( ) A ．34i 55- B ．34i 55+ C ．41i 5- D ．31i 5+3．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．a ＋b ＝a －b 4．已知命题p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则p 是( ) A ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0D ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜05．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A ．3×3！ B ．3×(3！)3 C ．(3！)4 D ．9！6．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 7．已知sin α－cos α2，α∈(0，π)，则tan α＝( )A ．－1B ．2C 2D ．1 8．设变量x ，y 满足10,020,015,x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．559．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是( )A ．－1B ．23 C ．32D ．4 10．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A ．16 B ．13 C ．23 D ．4511．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈［0,1］时，f (x )＝x 3．又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在［12-，32］上的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．812．若x ∈［0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( )A ．e x ≤1＋x ＋x 2B 211124x x ≤-+C ．cos x ≥1－12x 2D ．ln(1＋x )≥x －18x 2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__________．14．已知等比数列{a n }为递增数列，且2510a a ＝，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝__________．15．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．16．已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C P A ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角A ，B ，C 成等差数列． (1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值． 18．如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)若二面角A ′－MN －C 为直二面角，求λ的值．19．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X ．若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E (X )和方差D (X )．附：2211221221121()n n n n n n n n n χ+++-=，20．如图，椭圆C 0：2221x y a b+=(a ＞b ＞0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 12，b ＜t 1＜a ．点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b ＜t 2＜a ，t 1≠t 2．若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 12＋t 22为定值．21．设f (x )＝ln(x ＋1)ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线32y x =在(0,0)点相切．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当0＜x ＜2时，9()6xf x x <+．22．选修4－1：几何证明选讲如图，O 和O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交O 于点E ．证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE ．23．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4．(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 24．选修4—5：不等式选讲已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若()2()2x f x f k -≤恒成立，求k 的取值范围．1． B 由已知条件可得U A ＝{2,4,6,7,9}，U B ＝{0,1,3,7,9}，所以(U A )∩(U B )＝{7,9}，故选B ．2． A222i (2i)44i i 34i 2i (2i)(2i)555---+===-++-，故选A ． 3． B |a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，因为|a ＋b |＝|a －b |， 所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2， 即2a ·b ＝－2a ·b ， 所以a ·b ＝0，a ⊥b ．故选B ． 4． C 命题p 是一个全称命题，其否定为存在性命题，p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0，故选C ．5． C 完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有33A 种排法；第二步排列每个家庭中的三个成员，共有333333A A A 种排法．由乘法原理可得不同的坐法种数有33333333A A A A ，故选C ．6． B 因为数列{a n }为等差数列， 所以1111111()2a a S +=，根据等差数列的性质，若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ＋a q ＝a m ＋a n 得，a 1＋a 11＝a 4＋a 8＝16，所以111116882S ⨯==，故选B ． 7． A 将sin α－cos α2两边平方得sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝2，即sin αcos α＝12-，则222sin cos tan 1sin cos tan 12αααααα==-++， 整理得2tan α＋tan 2α＋1＝0， 即(tan α＋1)2＝0，所以tan α＝－1．故选A ．8． D 不等式组表示的平面区域如图所示，则2x ＋3y 在A (5,15)处取得最大值，故选D ． 9． D 当i ＝1时，2124S ==--； i ＝2时，22213S ==+； i ＝3时，232223S==-；i ＝4时，24322S==-；i ＝5时，2124S ==--； i ＝6时，23S =； i ＝7时，32S=； i ＝8时，S ＝4；i ＝9时，输出S ，故选D ． 10． C 设AC ＝x cm(0＜x ＜12)， 则CB ＝12－x (cm)，则矩形面积S ＝x (12－x )＝12x －x 2＜32，即(x －8)(x －4)＞0，解得0＜x ＜4或8＜x ＜12，在数轴上表示为由几何概型概率公式得，概率为82123=，故选C ．11． B 由f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )可知，f (x )是偶函数，且关于直线x ＝1对称， 又由f (2－x )＝f (x )＝f (－x )可知，f (x )是以2为周期的周期函数． 在同一坐标系中作出f (x )和g (x )在［12-，32］上的图象如图，可知f(x)与g(x)的图象在［12-，32］上有6个交点，即h (x )的零点个数为6．12．C对于e x与1＋x＋x2，当x＝5时，e x＞32，而1＋x＋x2＝31，所以A项不正确；211124x x-+，当14x==，21157124645x x-+=<，所以B项不正确；令f(x)＝cos x＋12x2－1，则f′(x)＝x－sin x≥0对x∈［0，＋∞)恒成立，f(x)在［0，＋∞)上为增函数，所以f(x)的最小值为f(0)＝0，所以f(x)≥0，cos x≥1－12x2，故C 项正确；令g(x)＝ln(1＋x)－x＋18x2，则11()114g x xx'=+-+，令g′(x)＝0，得x＝0或x ＝3．当x∈(0,3)时，g′(x)＜0，当x∈(3，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在x＝3时取得最小值g(3)＝ln 4－3＋98＜0，所以D项不正确．13．答案：38解析：由三视图可以看出该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱，长方体表面积为2×(4×3＋3×1＋4×1)＝38，圆柱的侧面积为2π，上下两个底面积和为2π，所以该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38．14．答案：2n解析：设数列{a n}的首项为a1，公比为q，则a12·q8＝a1·q9，a1＝q，由2(a n＋a n＋2)＝5a n ＋1，得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或12q=，因为数列{a n}为递增数列，所以q＝2，a1＝2，a n＝2n．15．答案：－4解析：由已知可设P(4，y1)，Q(－2，y2)，∵点P，Q在抛物线x2＝2y上，∴()212242,22,yy⎧=⎪⎨-=⎪⎩①②∴128,2,yy=⎧⎨=⎩∴P(4,8)，Q(－2,2)．又∵抛物线可化为212y x=，∴y′＝x，∴过点P的切线斜率为44xy='=．∴过点P的切线为y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8．又∵过点Q 的切线斜率为22x y =-'=-，∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)， 即y ＝－2x －2． 联立48,22,y x y x =-⎧⎨=--⎩解得x ＝1，y ＝－4，∴点A 的纵坐标为－4． 16．答案：3 解析：正三棱锥P －ABC 可看作由正方体P ADC －BEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥P －ABC 的外接球的直径，且PF ⊥平面ABC ．设正方体棱长为a ，则3a 2＝12，a ＝2，AB ＝AC ＝BC ＝22．1322222322ABC S ∆=⨯⨯⨯=．由V P －ABC ＝V B －P AC ，得111222332ABC h S ∆⋅⋅=⨯⨯⨯⨯，所以23h =，因此球心到平面ABC 的距离为3．17．解：(1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°， 所以1cos 2B =． (2)解法一：由已知b 2＝ac ，及1cos 2B =， 根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ， 所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34． 解法二：由已知b 2＝ac ，及1cos 2B =， 根据余弦定理得22cos 2a c acB ac+-=，解得a ＝c ，所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝34．18．解：(1)证法一：连结AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点， 所以MN ∥AC ′．又MN 平面A ′ACC ′，AC ′平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′．证法二：取A ′B ′中点P ，连结MP ，NP ， 而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点， 所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′， PN ∥平面A ′ACC ′． 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′． 而MN 平面MPN ， 因此MN ∥平面A ′ACC ′．(2)以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA ′为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系O －xyz ，如图所示．设AA ′＝1，则AB ＝AC ＝λ，于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，C (0，λ，0)，A ′(0,0,1)，B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1)， 所以M (2λ，0，12)，N (2λ，2λ，1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量，由0,0A M MN ⎧⋅'=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u rm m 得111110,2210,22x z y z λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可取m ＝(1，－1，λ)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量，由0,0NC MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u rn n 得222220,2210,22x y z y z λλλ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可取n ＝(－3，－1，λ)．因为A ′－MN －C 为直二面角，所以m ·n ＝0，即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得=2λ． 19．解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100将2×2222112212211212()100(30104515)100 3.0307525455533n n n n n n n n n χ++++-⨯⨯-⨯===≈⨯⨯⨯．因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14．由题意X ～B (3，14)，从而X 的分布列为E (X )＝np ＝13344⨯＝， D (X )＝np (1－p )＝13934416⨯⨯=． 20．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为11()y y x a x a=++，① 直线A 2B 的方程为11()y y x a x a-=--．② 由①②得22221221()y y x a x a-=--．③ 由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故2211221x y a b +=．从而y 12＝b 2(1－212x a )，代入③得22221x y a b-=(x ＜－a ，y ＜0)．(2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得 4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|， 故x 12y 12＝x 22y 22．因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 12(1－212x a )＝b 2x 22(1－222x a)．由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 12＋x 22＝a 2． 从而y 12＋y 22＝b 2，因此t 12＋t 22＝a 2＋b 2为定值．21．解：(1)由y ＝f (x )过(0,0)点，得b ＝－1．由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32， 又y ′|x ＝0＝(11x +＋a )|x ＝0＝32＋a ，得a ＝0． (2)证法一：由均值不等式，当x ＞0时，x ＋1＋1＝x ＋2，12x<+． 记h (x )＝f (x )－96xx +，则2154()1(6)h x x x '=+-++2254654(6)4(1)(6)x x x x +-<-+++＝32(6)216(1)4(1)(6)x x x x +-+++． 令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1)，则当0＜x ＜2时，g ′(x )＝3(x ＋6)2－216＜0． 因此g (x )在(0,2)内是递减函数， 又由g (0)＝0，得g (x )＜0， 所以h ′(x )＜0．因此h (x )在(0,2)内是递减函数， 又h (0)＝0，得h (x )＜0．于是当0＜x ＜2时，9()6xf x x <+． 证法二：由(1)知f (x )＝ln(x ＋1)＋1x +－1．由均值不等式，当x ＞0时，2(1)1x +⋅＜x ＋1＋1＝x ＋2， 故112xx +<+．① 令k (x )＝ln(x ＋1)－x ， 则k (0)＝0，1()1011x k'x x x -=-=<++， 故k (x )＜0，即ln(x ＋1)＜x ．② 由①②得，当x ＞0时，3()2f x x <． 记h (x )＝(x ＋6)f (x )－9x ，则当0＜x ＜2时， h ′(x )＝f (x )＋(x ＋6)f ′(x )－9＜32x ＋(x ＋6)(11121x x +++)－9 ＝12(1)x +［3x (x ＋1)＋(x ＋6)(2＋1x +)－18(x ＋1)］ ＜12(1)x +［3x (x ＋1)＋(x ＋6)(3＋2x )－18(x ＋1)］ ＝4(1)x x +(7x －18)＜0． 因此h (x )在(0,2)内单调递减， 又h (0)＝0，所以h (x )＜0，即9()6xf x x <+． 22．证明：(1)由AC 与O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ， 所以△ACB ∽△DAB ． 从而AC ABAD BD=，即AC ·BD ＝AD ·AB ． (2)由AD 与O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ， 又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD ． 从而AE ADAB BD=，即AE ·BD ＝AD ·AB ． 结合(1)的结论，AC ＝AE ．23．解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．解2,4cos ρρθ=⎧⎨=⎩得ρ＝2，π3θ=±， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为(2，π3)，(2，π3-)． 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)解法一：由cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，(1，)． 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为1,,x t y t =⎧≤⎨=⎩ (或参数方程写成1,,x y y y =⎧≤≤⎨=⎩解法二：将x ＝1代入cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得ρcos θ＝1，从而1cos ρθ=． 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为1,ππtan ,33x y θθ=⎧-≤≤⎨=⎩． 24．解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2．又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a ＞0时，42x a a-≤≤，得a ＝2． (2)记h (x )＝f (x )－2()2x f ， 则()1,1,143,1,211,,2x h x x x x ⎧⎪≤-⎪⎪---<<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩＝ 所以|h (x )|≤1，因此k ≥1．。
2012年高考真题——理科数学(辽宁卷)
2012年高考真题——理科数学（辽宁卷）复数(A)(B)(C) (D)【答案解析】A，故选A【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。
复数的运算要做到细心准确。
已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是(A) a∥b(B) a∥b(C){0,1,3}(D)a+b=ab【答案解析】B一、由|a+b|=|ab|，平方可得ab=0, 所以a∥b，故选B二、根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|ab|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a+b|=|ab|，所以该平行四边形为矩形，所以a∥b，故选B【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。
解析一是利用向量的运算来解，解析二是利用了向量运算的几何意义来解。
已知命题p：x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0，则p是(A) x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0(B) x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0(C) x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)0(D) x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)0【答案解析】C命题p为全称命题，所以其否定p应是特称命题，又(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0否定为(f(x2)f(x1))(x2x1)0，故选C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于容易题。
一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(A)3×3！(B) 3×(3！)3 (C)(3！)4(D) 9！【答案解析】C此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有种排法，三个家庭共有种排法；再把三个家庭进行全排列有种排法。
因此不同的坐法种数为，答案为C【点评】本题主要考查分步计数原理，以及分析问题、解决问题的能力，属于中档题。
在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=(A)58(B)88(C)143 (D)176【答案解析】B在等差数列中，，答案为B【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式，同时考查运算求解能力，属于中档题。
2012年辽宁高考数学理科试卷(带详解)
2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)答案与解析数学(供理科考生使用)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集{}=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U ，集合{}=0,1,3,5,8A ，集合{}=2,4,5,6,8B ，则()()=UUA B 痧 ( )A ．{}5,8B ．{}7,9C ．{}0,1,3D ．{}2,4,6 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】通过列举法给出全集与子集，求两集合的交集. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】()()U UA B痧即为在全集U 中去掉集合A 和集合B 中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案,()()(){}==7,9U UU A B A B 痧?.2.复数2i=2i -+ （ ） A ．34i 55- B ．34+i 55 C ．41i 5- D ．31+i 5【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的除法形式，考查复数的代数形式的四则运算.【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】()()()22i 2i 34i 34===i 2+i 2+i 2i 555----- 3. 已知两个非零向量a,b 满足+=-a b a b ，则下面结论正确 （ ） A ．a b B ．⊥a bC ．=a bD ．+=-a b a b【测量目标】向量的线性运算.【考查方式】给出两个非零向量满足的关系式，求两向量的线性关系. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】+=-a b a b ，可以从几何角度理解，以非零向量a,b 为邻边做平行四边形，对角线长分别为,+-a b a b ，若=+-a b a b ，则说明四边形为矩形，所以⊥a b ；也可由已知得22+=-a b a b ，即22222+=+2+=0-∴∴⊥a ab b a ab b ab a b 4. 已知命题()()()()122121:,,0p x x f x f x xx ∀∈--R …，则p ⌝是 （ ）A ．()()()()122121,,0x x f x f x xx ∃∈--R … B ．()()()()122121,,0x x f x f x xx ∀∈--R … C ．()()()()122121,,<0x x f x f x xx ∃∈--R D ．()()()()122121,,<0x x f x f x xx ∀∈--R【测量目标】简单的逻辑联结词，全称量词与存在量词. 【难易程度】容易【考查方式】给出命题形式求其非命题形式. 【参考答案】C【试题解析】全称命题的否定形式为将“∀”改为“∃”，后面的加以否定，即将“()()()()21210f x f x xx --…”改为“()()()()2121<0f x f x x x --”.5. 一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 （ ） A ．33!⨯ B ．()333!⨯ C ．()43! D ．9!【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】给出排列组合的条件，求不同的方案数量. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】每家3口人坐在一起，捆绑在一起3!，共3个3!，又3家3个整体继续排列有3!种方法，总共有()43!6. 在等差数列{}n a 中，已知48+=16a a ，则该数列前11项和11=S （ ） A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 【测量目标】等差数列的性质，等差数列前n 项和.【考查方式】给出等差数列中两项的和，利用等差数列的性质求数列的前几项和. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】4866+=2=16=8a a a a ∴，而()11111611+==11=882a a S a 7.已知()sin cos 0,πααα-∈，则tan α= （ ） A ．1- B．2-C．2D ．1【测量目标】同角三角函数的基本关系.【考查方式】给出sin α与cos α满足的关系，求tan α的值. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】方法一：()sin cos 0,πααα-∈，两边平方得1sin 2=2,α-()sin 2=1,20,2π,αα-∈3π3π2=,=,24ααtan =1α∴- 方法二：由于形势比较特殊，可以两边取导数得cos +sin =0,tan =1ααα∴-8. 设变量,x y 满足100+20015x y x y y -⎧⎪⎨⎪⎩…剟剟，则2+3x y 的最大值为 （ ）A ．20B ．35C ．45D ．55 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最大值.【考查方式】给出不等式组，画出不等式表示的范围，求解目标函数的最值. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】如图所示过点()5,15A ，2+3x y 的最大值为55第8题图9. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是 （ ） A ．1- B ．23 C ．32D ．4第9题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】考查循环结构的流程图，注意循环条件的设置，最后输出. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】当=1i 时，经运算得2==124S --；（步骤1） 当=2i 时，经运算得()22==213S --；（步骤2） 当=3i 时，经运算得23==2223S -；（步骤3） 当=4i 时，经运算得2==4322S -；（步骤4） 当=5i 时，经运算得2==124S --；（步骤5） 从此开始重复，每隔4一循环，所以当=8i 时，经运算得=4S ；接着=9i 满足输出条件，输出=4S10. 在长为12cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段,AC CB 的长，则该矩形面积小于322cm 的概率为 （ ） A ．16B ．13 C ．23D ．45【测量目标】几何概型.【考查方式】给出围成长方形的方式，求其面积大于一定值时的概率. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】如图所示，令=,=AC x CB y ，则()+=12>0,y>0x y x ，矩形面积设为S ，则()==1232S xy x x -….解得0<48<12x x 或剟，该矩形面积小于322cm 的概率为82=123第10题图11. 设函数)(x f ()x ∈R 满足()()()(),=2f x f x f x f x -=-，且当[]0,1x ∈时，()3=f x x .又函数()()=cos πg x x x ，则函数()()()=h x g x f x -在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为 （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【测量目标】偶函数的性质，函数的周期性，函数零点的求解与判断，函数图象的应用. 【考查方式】给出函数式，求复合函数在某区间上的零点数. 【难易程度】较难 【参考答案】B【试题解析】()(),f x f x -=所以函数)(x f 为偶函数，所以()()()=2=2f x f x f x --，所以函数)(x f 为周期为2的周期函数(步骤一) 且()()0=0,1=1f f ，而()()=c o s πg x x x 为偶函数， 且()1130====0222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在同一坐标系下作出两函数（步骤二）在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，发现在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内图象共有6个公共点，（步骤三） 则函数()()()=h x g x f x -在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为6.（步骤四）第11题图12. 若[)0,+x ∈∞，则下列不等式恒成立的是 ( ) A ．2e 1++xx x …B2111+24x x -…C ．21cos 12x x -… D ．()21ln 1+8x x x -… 【测量目标】不等式比较大小.【考查方式】给出未知数的范围，判断不等式的正确性. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】验证A ，当332=3e >2.7=19.68>1+3+3=13x 时，，故排除A ；（步骤一） 验证B ，当1=2x，而111113391+===<=22441648484848-⨯⨯，故排除B ；（步骤二）验证C ，令()()()21=cos 1+,=sin +,=1cos 2g x x x g x x x g x x '''---，显然()>0g x ''恒成立 所以当[)0,+x ∈∞，()()0=0g x g ''…，所以[)0,+x ∈∞，()21=cos 1+2g x x x -为增函数，所以()()0=0g x g …，恒成立，故选C ；（步骤三）验证D ，令()()()()()2311=ln 1++,=1+=8+144+1x x x h x x x x h x x x -'--， 令()<0h x '，解得0<<3x ，所以当0<<3x 时，()()<0=0h x h ，显然不恒成立（步骤四）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．第13题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积.【考查方式】给出几何体的三视图，求其表面积. 【难易程度】容易 【参考答案】38【试题解析】由三视图知，此几何体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体，中心去除一个半径为1的圆柱，所以表面积为()243+41+31+2π2π=38⨯⨯⨯⨯-14.已知等比数列{}n a 为递增数列，且()2510+2+1=,2+=5n n n a a a a a ，则数列{}n a 的通项公式=n a ____________．【测量目标】等比数列的的通项，等比数列的性质.【考查方式】给出等比数列通项之间满足的关系，求等比数列的通项公式 【难易程度】容易 【参考答案】2n【试题解析】令等比数列{}n a 的公比为q ，则由()+2+12+=5n nn a a a 得，222+2=5,25+2=0q q q q -，解得1=22q q =或，（步骤一） 又由2510=a a 知，()24911=a qa q ，所以1=a q ，（步骤二）因为{}n a 为递增数列，所以1==2a q ，=2n n a （步骤三）15. 已知,P Q 为抛物线2=2x y 上两点，点,P Q 的横坐标分别为4,2-，过,P Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为 ．【测量目标】直线与抛物线的位置关系.【考查方式】给出抛物线方程，求抛物线上两点的切线交点的纵坐标. 【难易程度】容易 【参考答案】4- 【试题解析】21=,=2y x y x '，所以以点P 为切点的切线方程为=48y x -，以点Q 为切点的切线方程为=22y x --，联立两方程的=1y=4x ⎧⎨-⎩16. 已知正三棱锥P ABC -，点,,,PABC若,,PA PB PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为 ． 【测量目标】正三棱锥的性质.【考查方式】通过球内接正三棱锥的性质，求球心到截面的距离.【参考答案】3【试题解析】如图所示，O 为球心，'O 为截面ABC 所在圆的圆心，令===PA PB PC a ，,,PA PB PC 两两相互垂直，==AB BC CA ，（步骤一）所以'=3CO a ，'=3PO a ，22+=333a ⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎝⎭，解得=2a ，（步骤二）所以PO a ，OO （步骤三）第16题图三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，角,,A B C 成等差数列. （1）求cos B 的值；（2）边,,a b c 成等比数列，求sin sin A C 的值【测量目标】利用正余弦定理解决有关角度问题.【考查方式】通过角成等差，求角的余弦值；在给出边成等比数列，求两角正弦的乘积. 【难易程度】容易【试题解析】（1）由已知π12=+,++=π,=,cos =32B AC A B C B B ∴（步骤一） （2）解法一：2=b ac ，由正弦定理得23sin sin =sin =4A CB （步骤二）解法二：2=b ac ，222221++=cos ==222a c b a c acB ac ac--，由此得22+=,a c ac ac -得=a c （步骤二）所以π===3A B C ，3sin sin =4A C （步骤三） 18. （本小题满分12分）如图，直三棱柱'''ABC A B C -，=90BAC ∠，=='AB AC AA λ，点,M N 分别为'A B 和''B C 的中点（1）证明：''MNAACC 平面 ；（2）若二面角'--A MN C 为直二面角，求λ的值第18题图【测量目标】线面平行的判定，二面角，空间直角坐标系，空间向量及其运算. 【考查方式】给出线段的关系，用线线平行推导线面平行，根据二面角为之二面角求未知数. 【难易程度】中等 【试题解析】（1）连结','AB AC ，由已知=90,=BAC AB AC ∠ 三棱柱-'''ABC A B C 为直三棱柱，所以M 为'AB 中点.又因为N 为''B C 中点（步骤一） 所以'MN AC ，又MN ⊄平面''A ACC'AC ⊂平面''A ACC ，因此''MN AACC 平面 （步骤二）（2）以A 为坐标原点，分别以直线,,'AB AC AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系-O xyz ，如图所示，设'=1,AA 则==AB AC λ，于是()()()()()()0,0,0,,0,0,0,,0,'0,0,1,',0,1,'0,,1A B C A B C λλλλ， 所以1,0,,,,12222M N λλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（步骤三） 设()111=,,x y z m 是平面'A MN 的法向量，由'=0,=0A M MN ⎧⎪⎨⎪⎩ m m 得11111=0221+=022x z y z λλ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩，可取()=1,1,λ-m （步骤四）设()222=,,x y z n 是平面MNC 的法向量，由=0,=0NC MN ⎧⎪⎨⎪⎩ n n 得22222+=0221+=022x y z y z λλλ⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩，可取()=3,1,λ--n （步骤五） 因为'--A MN C 为直二面角，所以()()2=0,3+11+=0λ--⨯- 即m n，解得λ（步骤六）第18题图19. （本小题满分12分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷“22⨯抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷“人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X附：()21122122121+2++1+2=n n n n n n n n n χ-，第19题图【测量目标】频率分布直方图,用样本估计总体，离散型随机变量的期望与方差.【考查方式】通过频率分布直方图，完成联表，判断相关性；给出随机抽样的方式求分布列期望与方差.【难易程度】中等 【试题解析】22⨯将列联表中的数据代入公式计算，得()()221122122121+2++1+210030104515100=== 3.0307525455533n n n n n n n n n χ-⨯⨯-⨯≈⨯⨯⨯（步骤一）因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.（步骤二） 由题意13,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而X 的分布列为()==3=44E X np ⨯，()()=1=3=4416D X np p -⨯⨯.（步骤三）20. （本小题满分12分）如图，椭圆()22022:+=1>b>0,,x y C a a b a b为常数，动圆222111:+=,<<C x y t b t a .点12,A A 分别为0C 的左、右顶点,1C 与0C 相交于,,,A B C D 四点（1）求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程；（2）设动圆22222:+=C x y t 与0C 相交于',',','A B C D 四点，其中2<<b t a ，12t t ≠.若矩形ABCD 与矩形''''A B C D 的面积相等，证明：2212+t t 为定值第20题图【测量目标】圆锥曲线中的轨迹问题，圆锥曲线中的定值问题.【考查方式】给出椭圆与动圆的函数表达式，求其上两直线交点的轨迹方程；再根据两动圆形成的矩形面积相等，证明两未知数的平方之和为定值. 【难易程度】较难 【试题解析】（1）设()()1111,,,A x y B x y -，又知()()12,0,,0A a A a -，则 直线1A A 的方程为 ()11=++y y x a x a① 直线2A B 的方程为()11=y y x a x a--- ②（步骤一） 由①②得 ()22221221=y y x a x a--- ③（步骤二） 由点()11,A x y 在椭圆0C 上，故可得221122+=1x y a b ，从而有222112=1x y b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入③得()2222=1<,<0x y x a y a b--（步骤三）（2）证明：设()22',A x y ，由矩形ABCD 与矩形''''A B C D 的面积相等，得2222112211224=4,=x y x y x y x y ∴，因为点,'A A 均在椭圆上，所以2222221212221=1x x b x b x a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（步骤四）由12t t ≠，知12x x ≠，所以22212+=x x a .（步骤五）从而22212+=y y b ，因而222212+=+t t a b 为定值（步骤六） 21. （本小题满分12分）设()()()=ln +1+,,,f x x ax b a b a b ∈R 为常数，曲线()=y f x 与直线3=2y x 在()0,0点相切.（1）求,a b 的值；（2）证明：当0<<2x 时，()9<+6xf x x 【测量目标】导数的几何意义，均值不等式，利用导数解决不等式问题.【考查方式】通过曲线与直线相切求函数表达式中未知数；再限定x 的定义域证明不等式. 【难易程度】较难 【试题解析】（1）由()=y f x 的图象过()0,0点，代入得=1b - 由()=y f x 在()0,0处的切线斜率为32，又=0=013'==++12x x y a a x ⎛⎫⎪⎝⎭，得=0a （步骤一）（2）（证法一）由均值不等式，当>0x 时，+1+1=+2xx +12x（步骤二）记()()9=+6xh x f x x -， 则()()()()()22215454+654=<+14+1+6+6+6x h x x x x x x '-- ()()()()32+6216+1=4+1+6x x x x -，（步骤三） 令()()()3=+6216+1g x x x -，则当0<<2x 时，()()2=3+6216<0g x x '-因此()g x 在()0,2内是减函数，又由()0=0g ，得()<0g x ，所以()<0h x '（步骤四） 因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，于是当0<<2x 时，()9<+6xf x x （步骤五） （证法二）由（1）知()()=ln +1+1f x x ，由均值不等式，当>0x 时，+1+1=+2x x，故+12x（步骤一）令()()=ln +1k x x x -，则()()10=0,'=1=<0+1+1xk k x x x --，故()<0k x ，即()l n +1<x x ，由此得，当>0x 时，()3<2f x x ，记()()()=+69h x x f x x -，（步骤二） 则当0<<2x 时，()()()()()31=++69<++692+1h x f x x f x x x x ⎛''-- ⎝()()()(()()()()()11=3+1++618+1<3+1++63+18+12+12+12x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦()()=718<04+1xx x -（步骤三）因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，即()9<+6xf x x （步骤四） 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，O 和'O 相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于,C D 两点，连结DB 并延长交O 于点E .证明：（1）=AC BD AD AB ； （2）=AC AE第22题图【测量目标】圆的性质的应用. 【考查方式】给出两圆中直线位置关系，证明直线的比例关系. 【难易程度】中等 【试题解析】 证明：（1）由AC 与O 相切于A ，得=CAB ADB ∠∠，同理=ACB DAB ∠∠，（步骤一）所以ACB DAB △∽△.从而=AC ABAD BD，即=AC BD AD AB （步骤二） （2）由AD 与O 相切于A ，得=A E D B A D ∠∠，又=A D E B D A ∠∠，得EA D AB D △∽△（步骤三）从而=AE ADAB BD，即=AE BD AD AB ，（步骤四） 综合（1）的结论，=AC AE （步骤五）23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆221:+=4C x y ，圆()222:2+=4C x y -（1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的交点坐标（用极坐标表示）（2）求圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程【测量目标】极坐标与参数方程.【考查方式】给出直角坐标系下两圆的方程，求极坐标方程，并求出两圆公共弦的参数方程. 【难易程度】容易 【试题解析】圆1C 的极坐标方程为=2ρ，圆2C 的极坐标方程为=4cos ρθ，（步骤一） 解=2=4cos ρρθ⎧⎨⎩得π=2,=3ρθ±，故圆1C 与圆2C 交点的坐标为ππ2,,2,33⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（步骤二）注：极坐标系下点的表示不唯一（2）（解法一）由=cos =sin x y ρθρθ⎧⎨⎩，得圆1C 与圆2C 交点的直角坐标为((,1,故圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为=1=x t y t⎧⎨⎩（或参数方程写成=1=x y y y ⎧⎨⎩（步骤三） （解法二） 将=1x 代入=cos =sin x y ρθρθ⎧⎨⎩，得cos =1ρθ，从而1=cos ρθ（步骤三）于是圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为=1ππ=tan 33x y θθ⎧-⎨⎩剟（步骤四） 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()()=+1f x ax a ∈R ，不等式()3f x …的解集为{}21x x -剟（1）求a 的值 （2）若()22x f x f k ⎛⎫-⎪⎝⎭…恒成立，求k 的取值范围 【测量目标】不等式恒成立问题.【考查方式】给出不等式的函数表达式及其解集，求函数式中的未知数；给出不等关系求k 的取值范围.【难易程度】中等 【试题解析】（1）由+13ax …得42ax -剟，又()3f x …的解集为{}21x x -剟，所以当0a …时，不合题意当>0a 时，42x a a-剟，得=2a （步骤一） （2）记()()=22x h x f x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()1,11=43,1<<211,2x h x x x x ⎧⎪-⎪⎪----⎨⎪⎪--⎪⎩……，所以()1h x …，因此1k …（步骤二）。
2012年高考数学(理科)试卷辽宁卷(含答案)最完美最高清word版
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(辽宁卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1，3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(U A )∩(U B )＝()A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6} 2．复数2i 2i -=+( )A ．34i 55- B ．34i 55+ C ．41i 5-D ．31i 5+3．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．a ＋b ＝a －b 4．已知命题p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则p 是( ) A．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0D ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜05．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A ．3×3！ B ．3×(3！)3 C ．(3！)4 D ．9！6．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 7．已知sin α－cos αα∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B．2-C．2D ．18．设变量x ，y 满足10,020,015,x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．559．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是( )A ．－1B ．23C ．32D ．410．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A ．16B ．13C ．23D ．4511．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈［0,1］时，f (x )＝x 3．又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在［12-，32］上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．812．若x ∈［0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( )A ．e x ≤1＋x ＋x 2 B211124x x ≤-+C ．cos x ≥1－12x 2D ．ln(1＋x )≥x －18x 2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__________．14．已知等比数列{a n }为递增数列，且2510a a ＝，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝__________．15．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．16．已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，CPA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角A ，B ，C 成等差数列． (1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值． 18．如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)若二面角A ′－MN －C 为直二面角，求λ的值．19．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的(2)1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X ．若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E (X )和方差D (X )．附：22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=，20．如图，椭圆C 0：22221xya b+=(a ＞b ＞0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 12，b ＜t 1＜a ．点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b ＜t 2＜a ，t 1≠t 2．若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 12＋t 22为定值．21．设f (x )＝ln(x ＋1)ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线32y x =在(0,0)点相切．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当0＜x ＜2时，9()6x f x x <+．22．选修4－1：几何证明选讲如图，O 和O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交O 于点E ．证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE ．23．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4．(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．24．选修4—5：不等式选讲已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若()2()2x f x f k -≤恒成立，求k 的取值范围．1． B 由已知条件可得U A ＝{2,4,6,7,9}，U B ＝{0,1,3,7,9}，所以(U A )∩(U B )＝{7,9}，故选B ．2． A222i(2i)44i i34i 2i (2i)(2i)555---+===-++-，故选A ．3． B |a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2， 因为|a ＋b |＝|a －b |， 所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2， 即2a ·b ＝－2a ·b ， 所以a ·b ＝0，a ⊥b ．故选B ．4． C 命题p 是一个全称命题，其否定为存在性命题，p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0，故选C ．5． C 完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有33A 种排法；第二步排列每个家庭中的三个成员，共有333333A A A 种排法．由乘法原理可得不同的坐法种数有33333333A A A A ，故选C ． 6． B 因为数列{a n }为等差数列， 所以1111111()2a a S +=，根据等差数列的性质，若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ＋a q ＝a m ＋a n 得，a 1＋a 11＝a 4＋a 8＝16，所以111116882S ⨯==，故选B ．7． A 将sin α－cos αsin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝2，即sin αcos α＝12-，则222sin cos tan 1sin cos tan 12αααααα==-++，整理得2tan α＋tan 2α＋1＝0， 即(tan α＋1)2＝0，所以tan α＝－1．故选A ．8． D 不等式组表示的平面区域如图所示，则2x ＋3y 在A (5,15)处取得最大值，故选D ． 9． D 当i ＝1时，2124S ==--；i ＝2时，22213S ==+；i ＝3时，232223S ==-；i ＝4时，24322S ==-；i ＝5时，2124S ==--；i ＝6时，23S =； i ＝7时，32S =；i ＝8时，S ＝4；i ＝9时，输出S ，故选D ． 10． C 设AC ＝x cm(0＜x ＜12)， 则CB ＝12－x (cm)，则矩形面积S ＝x (12－x )＝12x －x 2＜32，即(x －8)(x －4)＞0，解得0＜x ＜4或8＜x ＜12，在数轴上表示为 由几何概型概率公式得，概率为82123=，故选C ．11． B 由f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )可知，f (x )是偶函数，且关于直线x ＝1对称， 又由f (2－x )＝f (x )＝f (－x )可知，f (x )是以2为周期的周期函数． 在同一坐标系中作出f (x )和g (x )在［12-，32］上的图象如图，可知f(x)与g(x)的图象在［12-，32］上有6个交点，即h (x )的零点个数为6．12． C 对于e x 与1＋x ＋x 2，当x ＝5时，e x ＞32，而1＋x ＋x 2＝31，所以A与211124x x -+，当14x =5=，21157124645x x -+=<，所以B 项不正确；令f (x )＝cos x ＋12x 2－1，则f ′(x )＝x －sin x ≥0对x ∈［0，＋∞)恒成立，f (x )在［0，＋∞)上为增函数，所以f (x )的最小值为f (0)＝0，所以f (x )≥0，cos x ≥1－12x 2，故C 项正确；令g (x )＝ln(1＋x )－x ＋18x 2，则11()114g x x x '=+-+，令g ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3．当x ∈(0,3)时，g ′(x )＜0，当x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在x ＝3时取得最小值g (3)＝ln 4－3＋98＜0，所以D 项不正确．13．答案：38解析：由三视图可以看出该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱，长方体表面积为2×(4×3＋3×1＋4×1)＝38，圆柱的侧面积为2π，上下两个底面积和为2π，所以该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38．14．答案：2n解析：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则a 12·q 8＝a 1·q 9，a 1＝q ，由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或12q =，因为数列{a n }为递增数列，所以q ＝2，a 1＝2，a n ＝2n．15．答案：－4解析：由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)，∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴()212242, 22, y y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩①②∴128,2,y y =⎧⎨=⎩ ∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为212y x =，∴y ′＝x ，∴过点P 的切线斜率为44x y ='=． ∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8． 又∵过点Q 的切线斜率为22x y =-'=-，∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)， 即y ＝－2x －2． 联立48,22,y x y x =-⎧⎨=--⎩解得x ＝1，y ＝－4，∴点A 的纵坐标为－4． 16．3解析：正三棱锥P －ABC 可看作由正方体P ADC －BEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥P －ABC 的外接球的直径，且PF ⊥平面ABC ．设正方体棱长为a ，则3a 2＝12，a ＝2，AB ＝AC ＝BC＝．122ABC S ∆=⨯=．由V P －ABC ＝V B －PAC ，得111222332A B C h S ∆⋅⋅=⨯⨯⨯⨯，所以3h =，因此球心到平面ABC3．17．解：(1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°， 所以1cos 2B =．(2)解法一：由已知b 2＝ac ，及1cos 2B =，根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ， 所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34．解法二：由已知b 2＝ac ，及1cos 2B =，根据余弦定理得22cos 2a c acB ac+-=，解得a ＝c ， 所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝34．18．解：(1)证法一：连结AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱， 所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点， 所以MN ∥AC ′．又MN 平面A ′ACC ′，AC ′平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′．证法二：取A ′B ′中点P ，连结MP ，NP ， 而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点， 所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′， 所以MP ∥平面A ′ACC ′， PN ∥平面A ′ACC ′． 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′． 而MN 平面MPN ， 因此MN ∥平面A ′ACC ′．(2)以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA ′为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系O －xyz ，如图所示．设AA ′＝1，则AB ＝AC ＝λ，于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，C (0，λ，0)，A ′(0,0,1)，B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1)，所以M (2λ，0，12)，N (2λ，2λ，1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量，由0,0A M M N ⎧⋅'=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得111110,2210,22x z y z λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可取m ＝(1，－1，λ)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量，由0,0N C M N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得222220,2210,22x y z y z λλλ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可取n ＝(－3，－1，λ)．因为A ′－MN －C 为直二面角，所以m ·n ＝0，即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ19．解：(1)人，从而2×2列联表如下：将2×2222112212211212()100(30104515)100 3.0307525455533n n n n n n n n n χ++++-⨯⨯-⨯===≈⨯⨯⨯．因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14．由题意X ～B (3，14)，从而X 的分布列为E (X )＝np ＝13344⨯＝，D (X )＝np (1－p )＝13934416⨯⨯=．20．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为11()y y x a x a=++，①直线A 2B 的方程为11()y y x a x a-=--．②由①②得22221221()y y x a x a-=--．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故2211221x y ab+=．从而y 12＝b 2(1－212x a)，代入③得22221x y ab-= (x ＜－a ，y ＜0)．(2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故x 12y 12＝x 22y 22．因为点A ，A ′均在椭圆上， 所以b 2x 12(1－212x a )＝b 2x 22(1－222x a)．由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 12＋x 22＝a 2．从而y 12＋y 22＝b 2，因此t 12＋t 22＝a 2＋b 2为定值．21．解：(1)由y ＝f (x )过(0,0)点，得b ＝－1．由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32，又y ′|x ＝0＝(11x ++＋a )|x ＝0＝32＋a ，得a＝0． (2)当x ＞0时，x ＋1＋1＝x ＋2， 12x <+． 记h (x )＝f (x )－96x x +， 则2154()1(6)h x x x '=+-++22546542(1)(6)4(1)(6)x x x x x +-<-++++＝32(6)216(1)4(1)(6)x x x x +-+++．令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1)，则当0＜x＜2时，g ′(x )＝3(x ＋6)2－216＜0． 因此g (x )在(0,2)内是递减函数， 又由g (0)＝0，得g (x )＜0，所以h ′(x )＜0．因此h (x )在(0,2)内是递减函数， 又h (0)＝0，得h (x )＜0． 于是当0＜x ＜2时，9()6x f x x <+．证法二：由(1)知f (x )＝ln(x ＋1)1．由均值不等式，当x ＞0时，x ＋1＋1＝x ＋2， 12x <+．①令k (x )＝ln(x ＋1)－x ，则k (0)＝0，1()1011x k'x x x -=-=<++，故k (x )＜0，即ln(x ＋1)＜x ．② 由①②得，当x ＞0时，3()2f x x <．记h (x )＝(x ＋6)f (x )－9x ，则当0＜x ＜2时， h ′(x )＝f (x )＋(x ＋6)f ′(x )－9 ＜32x ＋(x ＋6)(11x ++)－9 ＝12(1)x +［3x (x ＋1)＋(x ＋6)(2－18(x ＋1)］ ＜12(1)x +［3x (x ＋1)＋(x ＋6)(3＋2x )－18(x ＋1)］＝4(1)xx +(7x －18)＜0．因此h (x )在(0,2)内单调递减， 又h (0)＝0，所以h (x )＜0，即9()6x f x x <+．22．证明：(1)由AC 与O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ， 所以△ACB ∽△DAB ． 从而A C AB A DB D=，即AC ·BD ＝AD ·AB ．(2)由AD 与O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD ． 从而A E A D A BB D=，即AE ·BD ＝AD ·AB ．结合(1)的结论，AC ＝AE ．23．解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ． 解2,4cos ρρθ=⎧⎨=⎩得ρ＝2，π3θ=±，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为(2，π3)，(2，π3-)．注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)解法一：由cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1)，(1，．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为1,,x t y t =⎧-≤≤⎨=⎩(或参数方程写成1,,x y y y =⎧-≤≤⎨=⎩解法二：将x ＝1代入cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得ρcos θ＝1，从而1cos ρθ=．于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为1,ππtan ,33x y θθ=⎧-≤≤⎨=⎩．24．解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2．又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意． 当a ＞0时，42x a a-≤≤，得a ＝2．(2)记h (x )＝f (x )－2()2x f ，则()1,1,143,1,211,,2x h x x x x ⎧⎪≤-⎪⎪---<<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩＝所以|h (x )|≤1，因此k ≥1．。
2012年高考理数真题试卷(辽宁卷)
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2012 年高考理数真题试卷（辽宁卷）
第Ⅱ卷 主观题
评卷人 得分
一、填空题（共 4 题)
1. （2012•辽宁）已知 P，Q 为抛物线 x2=2y 上两点，点 P，Q 的横坐标为 4，﹣2，过 P，Q 分别作抛物
线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为
．
2. （ 2012• 辽 宁 ） 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 为
A . {5，8} B . {7，9} C . {0，1，3} D . {2，4，6}
2. （ 2012• 辽 宁 ） 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 则 输 出 的 S 值 是 （
）
A . ﹣1 B .
C.
D.4
3.（2012•辽宁）在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C．现做一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长， 则该矩形面积小于 32cm2 的概率为（ ）
C . ∃x1 ， x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D . ∀x1 ， x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）
＜0
9. （2012•辽宁）设函数 f（x）（x∈R）满足 f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），且当 x∈[0，1]时，f（x）
=x3 ． 又函数 g（x）=|xcos（πx）|，则函数 h（x）=g（x）﹣f（x）在
2012年高考理科数学辽宁卷有答案
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集0,1,2,3,4,5,6,7,{}8,9U =,集合0,1,3,8{}5,A =,集合2,4,5,8{}6,B =,则()()U U A B =（ ）A .{5,8}B .{7,9}C .{0,1,3}D .{2,4,6} 2.复数2i2i -=+（ ）A .34i 55-B .34i 55+C .41i 5-D .31i 5+3.已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是（ ）A .a ∥bB .a ⊥bC .|a |=|b |D .a +b =a -b4.已知命题p ：12,x x ∀∈R ,2121(()())()0f x f x x x --≥,则p ⌝是（ ）A .12,x x ∃∈R ,2121(()())()0f x f x x x --≤；B .12,x x ∀∈R ,2121(()())()0f x f x x x --≤；C .12,x x ∃∈R ,2121(()())()0f x f x x x --＜；D .12,x x ∀∈R ,2121(()())()0f x f x x x --＜；5.一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 （ ） A .33!⨯B .33(3!)⨯C .4(3!)D .9!6.在等差数列{}n a 中,已知4816a a +=,则该数列前11项和11S =（ ）A .58B .88C .143D .176 7.已知sin cos 2αα-=,(0,π)α∈,则tan α=（ ）A .1-B .22-C .22D .18.设变量x ,y 满足10,020,015,x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩则23x y +的最大值为（ ）A .20B .35C .45D .559.执行如图所示的程序框图,则输出的S 值是（ ） A .1-B .23C .32D .410.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形,邻边长分别等于线段AC ,CB 的长,则该矩形面积小于322cm 的概率为（ ） A .16 B .13 C .23D .4511.设函数()f x ()x ∈R 满足()()f x f x -=,()(2)f x f x =-,且当[0,1]x ∈时,3()f x x =.又函数()|cos(π)|g x x x =,则函数()()()h x g x f x =-在13[,]22-上的零点个数为（ ） A .5B .6C .7D .8 12.若[0,)x ∈+∞,则下列不等式恒成立的是（ ）A .2e 1x x x ++≤B .21111241x x x-++≤ C .21cos 12x x -D .21ln(1)8x x x +-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 .14.已知等比数列{}n a 为递增数列,且2510a a =,212()5n n n a a a +++=,则数列{}n a 的通项公式n a = .15.已知P ,Q 为抛物线22x y =上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,2-,过P ,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的纵坐标为 .16.已知正三棱锥P ABC -,点P ,A ,B ,C 都在半径为3的球面上,若PA ,PB ,PC 两两相互垂直,则球心到截面ABC 的距离为 . 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________18.（本小题满分12分）如图,直三棱柱ABC A B C'''-,90BAC∠=,AB=AC AAλ'=,点M,N分别为A B'和B C''的中点.（Ⅰ）证明：MN∥平面A ACC''；（Ⅱ）若二面角A MN C'--为直二面角,求λ的值.19.（本小题满分12分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.（Ⅰ）根据已知条件完成下面的22⨯列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望()E X和方差()D X.附：22112212211212()n n n n nn n n nχ++++-=,2()P kχ≥0.050.01k 3.841 6.63520.（本小题满分12分）如图,椭圆C：22221x ya b+=（0a b>>,a,b为常数）,动圆1C：2221x y t+=,1b t a<<.点1A,2A分别为C的左,右顶点,1C与C相交于A,B,C,D四点.（Ⅰ）求直线1AA与直线2A B交点M的轨迹方程；（Ⅱ）设动圆2C：2222x y t+=与C相交于A',B',C',D'四点,其中2b t a<<,12t t≠.若矩形ABCD与矩形A B C D''''的面积相等,证明：2212t t+为定值.21.（本小题满分12分）设()ln(1)1f x x x ax b=+++++（a,b∈R,a,b为常数）,曲线()y f x=与直线32y x=在(0,0)点相切.（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）证明：当02x<<时,9()6xf xx<+.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,O和O'相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连结DB并延长交O于点E.证明：（Ⅰ）AC BD AD AB=；（Ⅱ）AC AE=.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆1C：224x y+=,圆2C：22(2)4x y-+=.（Ⅰ）在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆1C,2C的极坐标方程,并求出圆1C,2C的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆1C与2C的公共弦的参数方程.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知()|1|f x ax=+()a∈R,不等式()3f x≤的解集为{|21}x x-.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若|()2()|2xf x f k-恒成立,求k的取值范围.2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)答案解析第Ⅰ卷【解析】()()UU A B 即为在全集集合，由此可快速得到答案，()()(){}7,9UUUA B A B ==．由题已知全集{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，集合{0,1,3,5,8A =可先求出两集合A ，B 的补集，再由交的运算求出()()U U A B【考点】集合． 【答案】Ba b a b +=-，可以从几何角度理解，以非零向量a ，b 为邻边做平行四边形，对角线长分别为a b +，a b -，若a b a b +=-，则说明四边形为矩形，所以a b ⊥；也可由已知得22=a b a b +-，即22222+=+2+a ab b a ab b -，a b ⊥【提示】由于a b +和a b -表示以a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，再由a b a b +=-可得此平行四边形的对角线相等，故此平行四边形为矩形，从而得出结论．【考点】向量的线性运算． 4.【答案】C【解析】全称命题的否定形式为将“∀”改“212(()())(f x f x x x --【解析】如图所示过点(5,15)A ，2+3x y 的最大值为5512322⎣⎦【提示】对于A ，取x=3，32e 123>++；对于B ，令1x =，12，计算可得结论；对于C ，构造函数()21=cos 1+2g x x x -，()=sin +g x x x '-，()=1cos g x x ''-，从而可得函数()21=cos 1+g x x x -在[)0,+∞上单调增，故成立；第Ⅱ卷333【提示】（1）在中，由角，，成等差数列可知，从而可得的值；（2）（解法一），由2=b ac ，1cosB =，结合正弦定理可求得sin sin A C 的值； =90，AB 中点．又因为设11=(,,m x y '=0,=0m A M m MN ⎧⎪⎨⎪⎩得可取=(1,1,m -（步骤四）22=(,,n x y z ，由=0,=0nNC n MN ⎧⎪⎨⎪⎩得2=0，可=(3,1,)n λ--因为'A MN -为直二面角，所以=0m n ，即()(3+1--⨯-六）第18题图【提示】（1）法一，连接'AB ，'AC ，说明三棱柱-'''ABC ABC 为直三棱柱，推出'MN AC ∥，然后证明MN ∥平面''AACC法二，取A B ''的中点P ，连接MP 、NP ，推出MP ∥平面A ACC ''，PN ∥平面A ACC ''，然后通过平面与平面平行，证MN ∥平面''AACC（2）以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA '为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系-O xyz ，设1AA '=，推出A ，B ，C ，A '，B '，C '坐标求出M ，N ，设()111=,,m x y z 是'AMN 的法向量，'=0,=0m A M m MN ⎧⎪⎨⎪⎩，取=(1,1,m -设22=(,,n x y z =0,=0n NC n MN ⎧⎪⎨⎪⎩，取=(3,1,)n λ--，利用'A MN -为直二面角，所以=0m n ，解λ【考点】线面平行的判定，二面角，空间直角坐标系，空间向量．19.【答案】（1）表格见解析，没有理由认为“体育迷”与性别有关．2）3()4E X =913,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，从而0276413=3=44np ⨯【提示】（1）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出2χ，与3.841比较即可得出结论．13,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可．【考点】频率分布直方图，用样本估计总体，离散型随机变量的期望，方差．【答案】（2）2212t t +=【提示】（1）设出线1A A 的方程、直线2A B 的方程，求得交点满足的方程，利用A 在椭圆0C 上，化简即可得到M 点的轨迹方程；（2）根据矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，可得A ，A '坐标之间的关系，利用A ，+1)1<+1+1=x x 254(+6)+1x -时，()=3(g x '【提示】（1）由()y f x =过(0,0)，可求b 的值，根据曲线()y f x =与直线2y x =在(0,0)点相切，利用导函数，可求a 的值；与O 相切于=ABBD，即=AC BD AD AB （步骤二）与O 相切于=AED BAD ∠∠，又=ADE BDA ∠∠，即=AE BD AD AB ，（步骤四） ）的结论，=AC AE （步骤五）【提示】（1）利用圆的切线的性质得=CAB ADB ∠∠，=ACB DAB ∠∠，从而有ACB DAB △∽△，=AC ABAD BD，由此得到所证． ）利用圆的切线的性质得=AED BAD ∠∠=AE BD AD AB ，再结合（=AC BD AD AB 可得，AC 【考点】圆的性质的应用．）π2,3⎛⎫⎪⎝⎭ππθ≤≤【提示】（1）利用=sin y ρθ⎧⎨⎩，以及222x y ρ+=，直接写出圆1C 与圆2C 的极坐标方程，求出圆1C 与圆2C 的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）．（2）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C 与圆C 的公共弦的参数方程． 【提示】（1）先解不等式+13ax ≤，再根据不等式()3f x ≤的解集为21x x -≤≤，分类讨论，即可得到结论．的取值范围．【考点】不等式恒成立问题．。
2012年辽宁高考理科数学(高清版含答案)
2012年辽宁高考理科数学（高清版含答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}(2)复数(A) (B) (C) (D)(3)已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a b|，则下面结论正确的是(A) a∥b (B) a⊥b(C){0,1,3} (D)a+b=a b(4)已知命题p：x 1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)≥0，则p是(A)x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)≤0(B)x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)≤0(C)x 1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)<0(D)x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)<0(5)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(A)3×3！(B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！(6)在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=(A)58 (B)88 (C)143 (D)176(7)已知，(0，π)，则=(A) 1 (B) (C) (D) 1(8)设变量x，y满足则2x+3y的最大值为(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55(9)执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是(A) 1 (B)(C) (D) 4(10)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm3的概率为(A) (B) (C) (D)(11)设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|x cos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为(A)5 (B)6 (C)7 (D)8(12)若，则下列不等式恒成立的是(A) (B)(C) (D)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2012年全国高考理科数学试题及答案-辽宁卷
2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(理)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝， 则)()(B C A C U U 为(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}【答案】B【解析一】因为全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，所以{}{}9,7,3,1,0,9,7,6,4,2==B C A C U U ，所以)()(B C A C U U 为{7,9}。
故选B【解析二】 集合)()(B C A C U U 为即为在全集U 中去掉集合A 和集合B 中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，选B【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于容易题。
采用解析二能够更快地得到答案。
(2)复数22i i-=+ (A)3455i - (B)3455i + (C) 415i - (D) 315i + 【答案】A【解析】2(2)(2)34342(2)(2)555i i i iii i i----===-++-，故选A【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。
复数的运算要做到细心准确。
(3)已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则下面结论正确的是(A) a∥b(B) a⊥b(C){0,1,3} (D)a+b=a-b【答案】B【解析一】由|a+b|=|a-b|，平方可得a⋅b=0, 所以a⊥b，故选B【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|a-b|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a+b|=|a-b|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b，故选B 【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。
2012年高考理科数学辽宁卷-答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 数学(供理科考生使用)答案解析第Ⅰ卷【解析】如图所示过点(5,15)A ，2+3x y 的最大值为5512322⎣⎦【提示】对于A，取x=3，32e123>++；对于B，令1x=，12，计算可得结论；对于C，构造函数()21=cos1+2g x x x-，()=sin+g x x x'-，()=1cosg x x''-，从而可得函数()21=cos1+2g x x x-在[)0,+∞上单调增，故成立；第Ⅱ卷333【提示】（1）在中，由角A ，B ，C 成等差数列可知60B =︒，从而可得cos B 的值；（2）（解法一），由2=b ac ，1cos B =，结合正弦定理可求得sin sin A C 的值；角形，从而可求得sin sin A C 的值． 【考点】正余弦定理18.【答案】（1）连结'AB ，'AC ，由已知=90BAC ∠o ，AB AC =三棱柱-'''ABC ABC为直三棱柱，所以M 为'AB 中点．又因为N 为''BC 中点（步骤一） 所以MN AC '∥，又MN ⊄平面'AACC ' 'AC ⊂平面''AACC ，因此MN ∥平面''AACC （步骤二）（2）以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA '为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系O xyz -，如图所【提示】（1）法一，连接'AB ，'AC ，说明三棱柱-'''ABC ABC 为直三棱柱，推出'MN AC ∥，然后证明MN ∥平面''AACC法二，取A B ''的中点P ，连接MP 、NP ，推出MP ∥平面A ACC ''，PN ∥平面A ACC ''，然后通过平面与平面平行，证MN ∥平面''AACC（2）以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA '为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系-O xyz ，设1AA '=，【提示】（1）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出2χ，与3.841比较即【提示】（1）设出线1A A 的方程、直线2A B 的方程，求得交点满足的方程，利用A 在椭圆0C 上，化简即可得到M 点的轨迹方程；（2）根据矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，可得A ，A '坐标之间的关系，利用A ，A '均在椭圆上，【提示】（1）由()y f x =过(0,0)，可求b 的值，根据曲线()y f x =与直线32y x =在(0,0)点相切，利用导函数，可求a 的值；【提示】（1）利用圆的切线的性质得=CAB ADB ∠∠，=ACB DAB ∠∠，从而有ACB DAB △∽△，=AC AB，由此得到所证．【提示】（1）利用=cos =sin x y ρθρθ⎧⎨⎩，以及222x y ρ+=，直接写出圆1C 与圆2C 的极坐标方程，求出圆1C 与圆2C 的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）． （2）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C 与圆C 的公共弦的参数方程．【提示】（1）先解不等式+13ax ≤，再根据不等式()3f x ≤的解集为{}21x x -≤≤，分类讨论，即可得到结论．【考点】不等式恒成立问题．。
(完整版)2012辽宁高考理科数学试卷(带答案)
2012年高考辽宁卷理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集{}=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U ，集合{}=0,1,3,5,8A ，集合{}=2,4,5,6,8B ，则()()=U U C A C B IA ．{}5,8B ．{}7,9C ．{}0,1,3D ．{}2,4,6难度 易 正确答案B ()()(){}=C =7,9U U U C A C B A B I U2.复数2-=2+ii A ．34-55iB ．34+55iC ．41-5iD ．31+5i难度 易 正确答案A()()()22-2-3-434===-2+2+2-555i i i i i i i 3. 已知两个非零向量,a b r r满足+=-a b a b r r r r ，则下面结论正确A ．//a b r rB ．a b ⊥r rC ．=a b r rD ．+=-a b a b r r r r难度 中 正确答案B+=-a b a b r r r r ，可以从几何角度理解，以非零向量,a b r r为邻边做平行四边形，对角线长分别为+,-a b a b r r r r ，若+=-a b a b r r r r，则说明四边形为矩形，所以a b ⊥r r ；也可由已知得22+=-a b a b r r r r ，即2222-2+=+2+=0a ab b a ab b ab a b ∴∴⊥r r r r r r r r r r r r4. 已知命题()()()()122121:,,--0p x x R f x f x x x ∀∈≥，则p ⌝是A ．()()()()122121,,--0x x R f x f x x x ∃∈≤B ．()()()()122121,,--0x x R f x f x x x ∀∈≤C ．()()()()122121,,--<0x x R f x f x x x ∃∈ D ．()()()()122121,,--<0x x R f x f x x x ∀∈难度 易 正确答案C全称命题的否定形式为将“∀”改为“∃”，后面的加以否定，即将“()()()()2121--0f x f x x x ≥”改为“()()()()2121--<0f x f x x x ”5. 一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 A ．33!⨯ B ．()333!⨯ C ．()43! D ．9!难度 中 正确答案C每家3口人坐在一起，捆绑在一起3!，共3个3!，又3家3个整体继续排列有3!种方法，总共有()43!6. 在等差数列{}n a 中，已知48+=16a a ，则该数列前11项和11=S A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 难度 中 正确答案B4866+=2=16=8a a a a ∴，而()11111611+==11=882a a S a 7.已知()sin -cos 0,αααπ∈，则tan α=A ．1-B ．22-C ．22D ．1难度 中 正确答案A方法一：()sin -cos =2,0,αααπ∈，两边平方得1-sin 2=2,α()sin 2=-1,20,2,ααπ∈332=,=,24ππααtan =-1α∴ 方法二：由于形势比较特殊，可以两边取导数得cos +sin =0,tan =-1ααα∴8. 设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y 的最大值为A ．20B ．35C ．45D ．55 难度 中 正确答案D如图所示过点()5,15A 时，2+3x y 的最大值为55 9. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是A ．-1B ．23 C ．32D ．4 难度 中 正确答案D 当=1i 时，经运算得2==-12-4S ； 当=2i 时，经运算得()22==2--13S ；当=3i 时，经运算得23==222-3S ； 当=4i 时，经运算得2==432-2S ； 当=5i 时，经运算得2==-12-4S ；从此开始重复，每隔4一循环，所以当=8i 时，经运算得=4S ；接着=9i 满足输出条件，输出=4S10. 在长为12cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于322cm 的概率为 A ．16B ．13 C ．23 D ．45难度 中 正确答案C如图所示，令=,=AC x CB y ，则()+=12>0,y>0x y x ，矩形面积设为S ，则()==12-32S xy x x ≤。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学辽宁卷(理)
数学辽宁卷(理)一、选择题1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A )∩(∁U B )＝()A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}2．复数2－i2＋i ＝( )A.35－45iB.35＋45i C ．1－45i D ．1＋35i3．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b|，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a|＝|b| D ．a ＋b ＝a －b4．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<05．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A ．3×3! B ．3×(3！)3 C ．(3！)4 D ．9!6．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．1767．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．18．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．559．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是( )A ．－1 B.23C.32 D ．410．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.4511．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在[－12，32]上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．812．若x ∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( ) A ．e x ≤1＋x ＋x 2 B.11＋x≤1－12x ＋14x 2C ．cos x ≥1－12x 2D ．ln (1＋x )≥x －18x 2二、填空题13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．14．已知等比数列{a n}为递增数列，且a25＝a10,2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1，则数列{a n}的通项公式a n＝________.15．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．16．已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若P A，PB，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．18.如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B 和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值．19．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E (X )和方差D (X )．附：χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2，20.如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 12，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 12＋t 22为定值．21．设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当0<x <2时，f (x )<9x x ＋6.22．如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E .证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .23．在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4， 圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．24．已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1|}． (1)求a 的值；(2)若|f (x )－2f (x2)|≤k 恒成立，求k 的取值范围．答案 数学辽宁卷(理)一、选择题1．解析：因为A ∪B ＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{7,9}． 答案：B2．解析：2－i 2＋i ＝(2－i )2(2＋i )(2－i )＝3－4i 5＝35－45i.答案：A3．解析：由|a ＋b |＝|a －b |，两边平方并化简得a ·b ＝0，又a ，b 都是非零向量，所以a ⊥b .答案：B4．解析：命题p 的否定为“∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0”． 答案：C5．解析：利用“捆绑法”求解．满足题意的坐法种数为A 33(A 33)3＝(3！)4.答案：C6．解析：因为{a n }是等差数列，所以a 4＋a 8＝2a 6＝16⇒a 6＝8，则该数列的前11项和为S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝88.答案：B7．解析：由sin α－cos α＝2sin (α－π4)＝2，α∈(0，π)，解得α＝3π4，所以tan α＝tan3π4＝－1. 答案：A 8．解析：作出不等式组对应的平面区域(如图所示)，平移直线y ＝－23x ，易知直线经过可行域上的点A (5,15)时，2x ＋3y 取得最大值55.答案：D9．解析：由程序框图可知，该循环体运行8次后结束，各次的S 的值分别是－1，23，32，4，－1，23，32，4，故输出S ＝4.答案：D10．解析：设AC ＝x cm ，CB ＝(12－x )cm,0<x <12，所以矩形面积小于32 cm 2即为x (12－x )<32⇒0<x <4或8<x <12，故所求概率为812＝23.答案：C 11．解析：由题意知函数f (x )是偶函数，且周期是2.作出g (x )，f (x )的函数图像，如图．由图可知函数y ＝g (x )，y ＝f (x )在[－12，32]图像有6个交点，故h (x )＝g (x )－f (x )在[－12，32]上的零点有6个．答案：B12．解析：对A ，因为e 3>1＋3＋32，故A 不恒成立；同理，当x ＝13时，11＋x >1－12x＋14x 2，故B 不恒成立；因为(cos x ＋12x 2－1)′＝－sin x ＋x ≥0(0∈[0，＋∞))，且x ＝0时，y ＝cos x ＋12x 2－1＝0，所以y ＝cos x ＋12x 2－1≥0恒成立，所以C 对；当x ＝4时，ln(1＋x )<x－18x 2，故D 不恒成立． 答案：C 二、填空题13．解析：由三视图可知，该几何体是一个长方体中间挖去一个圆柱，其中长方体的长、宽、高分别是4、3、1，中间被挖去的是底面半径为1，母线长为1的圆柱，所以几何体的表面积等于长方体的表面积减去圆柱两个底面的面积，再加上圆柱的侧面积，即为2(4×3＋4×1＋3×1)－2π＋2π＝38.答案：3814．解析：由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1⇒2q 2－5q ＋2＝0⇒q ＝2或12，由a 25＝a 10＝a 1q 9>0⇒a 1>0，又数列{a n }递增，所以q ＝2.a 25＝a 10>0⇒(a 1q 4)2＝a 1q 9⇒a 1＝q ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .答案：2n15．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－4 16．解析：如图，满足题意的正三棱锥P －ABC 可以是正方体的一部分，其外接球的直径是正方体的体对角线，且面ABC 与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以球心到平面ABC 的距离等于体对角线长的16，故球心到截面ABC 的距离为16×23＝33.答案：33三、解答题17．解：(1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°，所以cos B ＝12.(2)法一：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据正弦定理得sin 2 B ＝sin A sin C ， 所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34.法二：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－ac2ac ，解得a ＝c ，所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝34.18.解：(1)法一：证明：如图，连结AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点， 所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′， A ′C ⊂平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′.法二：证明：取A ′B ′ 中点P ，连结MP ，NP ，而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′， 所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′. 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′.而MN ⊂平面MPN ， 因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA ′为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系O －xyz ，如图所示．设AA ′＝1，则AB ＝AC ＝λ，于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，C (0，λ，0)，A ′(0,0,1)， B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1)， 所以M (λ2，0，12)，N (λ2，λ2，1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量，得⎩⎨⎧λ2x 1－12z 1＝0，λ2y 1＋12z 1＝0，可取m ＝(1，－1，λ)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量，得⎩⎨⎧－λ2x 2＋λ2y 2－z 2＝0，λ2y 2＋12z 2＝0，可取n ＝(－3，－1，λ)．因为A ′－MN －C 为直二面角，所以m·n ＝0， 即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝ 2.19．解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×(30×10－45×15)245×55×75×25＝10033≈3.030. 因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意X ～B (3，14)，从而X 的分布列为E (X )＝np ＝3×14＝34，D (X )＝np (1－p )＝3×14×34＝916.20.解：(1)设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a (x －a )．②由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③ 由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b 2＝1.从而y 21＝b 2(1－x 21a 2)，代入③得x 2a 2－y 2b2＝1(x <－a ，y <0)．(2)设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以 b 2x 21(1－x 21a2)＝b 2x 22(1－x 22a2)．由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2.从而y 21＋y 22＝b 2， 因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．21．解：(1)由y ＝f (x )过(0,0)点，得b ＝－1. 由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32，又y ′|x ＝0＝(1x ＋1＋12x ＋1＋a )|x ＝0＝32＋a ，得a ＝0.(2)证明：法一：由均值不等式，当x >0时， 2(x ＋1)·1<x ＋1＋1＝x ＋2，故x ＋1<x2＋1.记h (x )＝f (x )－9xx ＋6，则 h ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1－54(x ＋6)2＝2＋x ＋12(x ＋1)－54(x ＋6)2<x ＋64(x ＋1)－54(x ＋6)2 ＝(x ＋6)3－216(x ＋1)4(x ＋1)(x ＋6)2.令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1)，则当0<x <2时， g ′(x )＝3(x ＋6)2－216<0.因此g (x )在(0,2)内是递减函数，又由g (0)＝0，得 g (x )<0，所以h ′(x )<0.因此h (x )在(0,2)内是递减函数，又h (0)＝0， 得h (x )<0.于是当0<x <2时，f (x )<9xx ＋6.法二：由(1)知f (x )＝ln (x ＋1)＋x ＋1－1. 由均值不等式，当x >0时，2(x ＋1)·1<x ＋1＋1＝x ＋2，故x ＋1<x2＋1.①令k (x )＝ln (x ＋1)－x ，则k (0)＝0，k ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1<0，故k (x )<0，即ln(x ＋1)<x .② 由①②得，当x >0时，f (x )<32x .记h (x )＝(x ＋6)f (x )－9x ，则当0<x <2时， h ′(x )＝f (x )＋(x ＋6)f ′(x )－9 <32x ＋(x ＋6)(1x ＋1＋12x ＋1)－9 ＝12(x ＋1)[3x (x ＋1)＋(x ＋6)(2＋x ＋1)－18(x ＋1)]<12(x ＋1)[3x (x ＋1)＋(x ＋6)(3＋x 2)－18(x ＋1)]＝x4(x ＋1)(7x －18)<0.因此h (x )在(0,2)内单调递减，又h (0)＝0， 所以h (x )<0，即f (x )<9xx ＋6.22．证明：(1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD ，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝AD BD ，即AE ·BD ＝AD ·AB .结合(1)的结论，AC ＝AE .23．解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为(2，π3)，(2，－π3)．注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3. (或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3)． 法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1， 从而ρ＝1cos θ .于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝tan θ， －π3≤θ≤π3.24．解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2. (2)记h (x )＝f (x )－2f (x 2)， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1， x ≤－1，－4x －3， －1<x <－12，－1， x ≥－12， 所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.。
2012年全国高考理科数学试题及答案-辽宁卷
2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷)数学(理)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3。
回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集U=｛0，1,2，3，4,5,6,7,8，9｝，集合A={0，1，3,5，8｝，集合B=｛2，4,5,6，8｝， 则)()(B C A C U U 为(A)｛5,8} (B ）｛7,9｝ (C ）{0，1，3} (D ）｛2，4，6｝【答案】B【解析一】因为全集U=｛0，1，2，3,4，5，6，7,8，9｝，集合A={0，1,3，5，8｝，集合B=｛2，4，5,6，8｝，所以{}{}9,7,3,1,0,9,7,6,4,2==B C A C U U ，所以)()(B C A C U U 为{7,9}.故选B【解析二】 集合)()(B C A C U U 为即为在全集U 中去掉集合A 和集合B 中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案,选B【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于容易题。
采用解析二能够更快地得到答案。
(2)复数22i i-=+ (A ）3455i - （B ）3455i + （C ） 415i - （D ） 315i + 【答案】A 【解析】2(2)(2)34342(2)(2)555i i i i i i i i ----===-++-，故选A【点评】本题主要考查复数代数形式的运算,属于容易题。
复数的运算要做到细心准确。
(3）已知两个非零向量a，b满足｜a+b|=｜a-b|，则下面结论正确的是(A）a∥b(B) a⊥b（C)｛0，1,3} （D)a+b=a-b【答案】B【解析一】由｜a+b|=｜a-b|，平方可得a⋅b=0，所以a⊥b,故选B【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知｜a+b｜与｜a-b｜分别为以向量a,b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a+b｜=|a-b|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b,故选B 【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题.解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的几何意义来解.（4）已知命题p：∀x1，x2∈R，(f（x2）-f(x1)）(x2-x1）≥0，则⌝p是（A) ∃x1，x2∈R,（f（x2）-f（x1））（x2-x1)≤0(B）∀x1，x2∈R，（f（x2）-f(x1）)(x2-x1）≤0（C）∃x1,x2∈R，（f（x2）-f(x1))（x2-x1）〈0（D）∀x1,x2∈R,（f(x2）-f（x1))（x2-x1）〈0【答案】C【解析】命题p为全称命题，所以其否定⌝p应是特称命题，又(f(x2）-f(x1))(x2-x1)≥0否定为（f （x2）-f（x1））（x2-x1）〈0，故选C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于容易题。
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绝密★启用前2012年辽宁省高考压轴卷数学理注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合}4,3,2,1{=U ,}05|{2=+-=p x x x M ，若}3,2{=M C U ，则实数p 的值为A. 6-B. 4-C. 4D. 6 2．若复数ii a 213++（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为A. 6-B. 2-C. 4D. 6 3．已知}{n a 为等差数列，若π=++951a a a ，则)cos(82a a +的值为A. 21-B. 23-C.21 D.234．已知函数,0,)21(0,)(21⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x x f x则=-)]4([f f A. 4- B. 41- C. 4 D. 65．下列命题错误的是A. 命题“若022=+y x ，则0==y x ”的逆否命题为“若y x ,中至少有一个不为0，则022≠+y x ”；B. 若命题01,:0200≤+-∈∃x x R x p ，则01,:2>+-∈∀⌝x x R x p ；C. ABC ∆中，B A sin sin >是B A >的充要条件；D. 若向量b a ,满足0<⋅b a ，则a 与b 的夹角为钝角.6. 执行下面的程序框图，如果输入30,72==n m ，则输出的n 是A . 12B . 6 C. 3 D . 07. 从5,4,3,2,1中不放回地依次取2个数，事件=A “第一次取到的是奇数”，=B “第二次取到的是奇数”，则=)|(A B P A.51 B.103 C.52 D.218. 函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，只需把)(x f y =的图象上所有点 A. 向右平移6π个单位长度 B. 向右平移12π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向左平移12π个单位长度9． 曲线c bx x y ++=2在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 到该曲线对称轴距离的取值范围为 A. ]1,0[ B. ]21,0[ C. ]2||,0[b D. ]2|1|,0[-b10. 若圆2221:240,()C x y ax a a R +++-=∈与2222:210,()C x y by b b R +--+=∈外切，则a b +的最大值为A. 23-B. 3-C. 3D. 2311．若不重合的四点C B A P ,,,，满足0PA PB PC ++= ，AB AC m AP +=，则实数m 的值为A. 2B. 3C. 4D. 512. 函数)(x f y =的最小正周期为2，且)()(x f x f =-．当]1,0[∈x 时，1)(+-=x x f ，那么在区间]4,3[-上，函数)(x f y =的图像与函数||)21(x y =的图像的交点个数是A. 8B. 7C. 6D. 5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 与抛物线x y82=有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5||=PF ，则双曲线方程为 ． 14．设等比数列}{n a 的前n 项之和为n S ，已知20111=a ，且)(0221∙++∈=++N n a a a n n n ，则=2012S ．15．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤a x x y xy 表示的平面区域S 的面积为4，点S y x P ∈),(，则y x z +=2 的最大值为 .16. 一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表 面积是 .三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）如图，AB 是底部B 不可到达的一个塔型建筑物，A 为塔的最高点．现需在对岸测出塔高A B ，甲、乙两同学各提出了一种测量方法，甲同学的方法是：选与塔底B 在同一水平面内的一条基线CD ，使B D C ,,三点不在同一 条直线上，测出DCB ∠及CDB ∠的大小（分别 用βα,表示测得的数据）以及D C ,间的距离（用 s 表示测得的数据），另外需在点C 测得塔顶A 的仰角（用θ表示测量的数据），就可以求得塔高A B ．乙同学的方法是：选一条水平基线EF ，使B F E ,,三点在同一条直线上．在F E ,处分别测得塔顶A 的仰角（分别用βα,表示测得的数据）以及F E ,间的距离（用s 表示测得的数据），就可以求得塔高A B ．请从甲或乙的想法中选出一种测量方法，写出你的选择并按如下要求完成测量计算：①画出测量示意图；②用所叙述的相应字母表示测量数据，画图时B D C ,,按顺时针方向标注，F E ，按从左到右的方向标注；③求塔高AB ．EDCBA如图，四边形DCBE 为直角梯形， 90=∠DCB ，CB DE //，2,1==BC DE ，又1=AC ， 120=∠ACB ， AB CD ⊥，直线AE 与直线CD 所成角为 60．（Ⅰ）求证：平面⊥ACD 平面ABC ； （Ⅱ）求BE 与平面ACE 所成角的正弦值． 19．（本小题满分12分）现有B A ,两个项目，投资A 项目100万元，一年后获得的利润为随机变量1X （万元），根据市场分析，1X 的分布列为：X 1 1211.811.7P61 21 31投资B 项目100万元，一年后获得的利润2X (万元)与B 项目产品价格的调整(价格上调或下调)有关, 已知B 项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，且在每次调整中价格下调的概率都是)10(<≤p p .经专家测算评估B 项目产品价格的下调与一年后获得相应利润的关系如下表：B 项目产品价格一年内下调次数X （次）0 1 2 投资100万元一年后获得的利润2X （万元） 135.122（Ⅰ）求1X 的方差)(1X D ； （Ⅱ）求2X 的分布列；（Ⅲ）若3.0=p ，根据投资获得利润的差异，你愿意选择投资哪个项目？ （参考数据：555.909.08.942.07.049.02.1222=⨯+⨯+⨯）．20．（本小题满分12分）如图椭圆134:22=+yxC 的右顶点是A ，上下两个顶点分别为D B ,，四边形OANB 是矩形（O 为原点），点M E ,分别为线段AN OA ,（Ⅰ）证明：直线DE 与直线BM 的交点在椭圆C 上；（Ⅱ）若过点E 的直线交椭圆于S R ,两点，K为R 关于x 轴的对称点（E K R ,,不共线）， 问：直线KS 是否经过x 求这个定点的坐标，如果不是，说明理由．F EDCBA设函数a ae x x f x -++=-)1ln()(，R a ∈． （Ⅰ）当1=a 时，证明)(x f 在),0(+∞是增函数； （Ⅱ）若),0[+∞∈x ，0)(≥x f ，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在 BA 的延长线上．（Ⅰ）若21,31==EA ED EBEC ，求ABDC的值； （Ⅱ）若FB FA EF ⋅=2，证明：CD EF //．23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程．在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线1C 上的点)23,1(M 对应的参数3πϕ=，射线3πθ=与曲线2C 交于点)3,1(πD ．（I ）求曲线1C ，2C 的方程； （II ）若点),(1θρA ，)2,(2πθρ+B 在曲线1C 上，求222111ρρ+的值．24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．设不等式1|12|<-x 的解集是M ，M b a ∈,． （I ）试比较1+ab 与b a +的大小； （II ）设max 表示数集A 的最大数．⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+=b ab ba ah 2,,2max 22,求证：2≥h ．参考答案一、选择题1、C2、A3、A4、C5、D6、B7、D8、A9、B 10、D 11、B 12、C 二、填空题13.x 2- y 23 =1 14. 0 15. 6 16. 16π三、解答题：解答应写成文字说明。
证明过程或演算步骤 17.（本题满分12分） 解：选甲：示意图1图1 ----------4分 在BC D △中，πCBD αβ∠=--．由正弦定理得sin sin B C C D B D CC B D=∠∠．所以sin sin sin sin()C D BDC s BC CBDβαβ∠==∠+·．在ABC Rt ∆中，)sin(sin tan tan βαβθ+⋅=∠=s ACB BC AB ．---------12分选乙：图2图2----------4分在AEF ∆中，αβ-=∠EAF ，由正弦定理得ααβsin )sin(AF EF =-，所以)sin(sin )sin(sin αβααβα-⋅=-⋅=s EF AF ．在ABF Rt ∆中，)sin(sin sin sin αββαβ-⋅⋅=⋅=s AF AB ．---------12分由直线AE 与直线CD 所成角为60，得60cos ||||CD AE CD AE =⋅，即3222+=aa a，解得1=a ．∴)1,1,0(=CE ，)0,21,23(-=CA，)1,1,0(-=BE ，设平面ACE 的一个法向量为),,(z y x =n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0CE CA n n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-002123z y y x ，取,3=x 则3,3-==z y ，得)3,3,3(n -=，设BE 与平面ACE 所成角为θ，则742sin ==θ，于是BE 与平面ACE 所成角的正弦值为742．---------12分19．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）1X 的概率分布为则8.11317.11218.116112)(1=⨯+⨯+⨯=X E .01.031)8.117.11(21)8.118.11(61)8.1112()(2221=⨯-+⨯-+⨯-=X D .---------4分（Ⅱ）解法1: 由题设得),2(~p B X ,则X 的概率分布为故2X 的概率分布为分解法2: 设i A 表示事件”第i 次调整,价格下调”()2,1=i ,则)0(=X P = 212()()(1)P A P A p =-;)1(=X P =1212()()()()2(1)P A P A P A P A p p +=-; )2(=X P =212()()P A P A p =故2X 的概率分布为（Ⅲ）当3.0=p 时. 8.11)()(12==X E X E ,由于01.0)(1=X D . 555.9)(2=X D .所以)()(12X D X D >,当投资两个项目的利润均值相同的情况下,投资B 项目的风险高于A 项目.从获得稳定收益考虑, 当3.0=p 时应投资A 项目. ---------12分20．（本小题满分12分）解：（1）由题意，得)23,2(),0,1(),3,0(),3,0(),0,2(M E D B A -，所以直线DE 的方程33-=x y ，直线BM 的方程为343+-=x y ，------2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=34333x y x y ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==53358y x ， 所以直线DE 与直线BM 的交点坐标为)533,58(，---------------4分因为13)533(4)58(22=+，所以点)533,58(在椭圆134:22=+y x C 上．---------6分 （2）设RS 的方程为)1(-=x k y ，代入134:22=+yxC ，得01248)43(2222=-+-+k x k x k ， 设),(),,(2211y x S y x R ，则),(11y x K -， 2221222143124,438k kx x kkx x +-=+=+，直线SK 的方程为)(212122x x x x y y y y --+=-，令,0=y 得121221y y x y x y x ++=，将)1(11-=x k y ，)1(22-=x k y 代入上式得 （9设42)(2212121=-++-=x x x x x x x ，所以直线SK 经过x 轴上的点)0,4(．---------12分21．（本小题满分12分）解：（1）)1()1(11)('x e x a e ea xx f xxx++-=-+=，当1=a 时, )1()1()('x e x e x f xx++-=, ---------2分令x e x g x--=1)(，则1)('-=xe x g ，当),0(+∞∈x 时，01)('>-=xe x g ，所以)(x g 在),0(+∞为增函数， 因此),0(+∞∈x 时，0)0()(=>g x g ，所以当),0(+∞∈x 时，0)('>x f ，则)(x f 在),0(+∞是增函数. ---------6分 (2)由)1()1()('x e x a e x f xx++-=,由(1)知,,1x e x +≥当且仅当0=x 等号成立. 故)1()1)(1()1()1(1)('x e x a x e x a x x f xx++-=++-+≥,从而当01≥-a ,即1≤a 时, 对),0[+∞∈x ,0)('≥x f ,于是对),0[+∞∈∀x 0)0()(=≥f x f .由),0(1≠+>x x e x 得)0(1≠->-x x e x , 从而当1>a 时, )1())(()1(2)1()(22222'x ea a a e a a a e x e aaeex e aaea e x f xxx xxxxxx +----+-=++-=+-+-<-故当))ln(,0(2a a a x -+∈时,)('<x f ,于是当))ln(,0(2a a a x -+∈时,0)0()(=<f x f ,综上, a 的取值范围是]1,(-∞.---------12分请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲． FEDCBA证明：（1） D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，又 AEB CED ∠=∠， ∴C E D ∆∽AEB ∆，ABDC EBED EA EC ==∴，21,31==EA ED EBEC ， ∴66=ABDC ．（2） FB FA EF ⋅=2，∴ FEFB FAEF =，又 BFE EFA ∠=∠， ∴FAE ∆∽FEB ∆， ∴EBF FEA ∠=∠， 又 D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠， ∴EDC FEA ∠=∠，∴CD EF //.23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程．解：（I ）将)23,1(M 及对应的参数3πϕ=，代入⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3sin 233cos 1ππb a ， 即⎩⎨⎧==12b a ，所以曲线1C 的方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos 2y x （ϕ为参数），或1422=+y x . 设圆2C 的半径为R ,由题意,圆2C 的方程为θρcos 2R =,(或222)(R y R x =+-).将点)3,1(πD 代入θρcos 2R =,得3cos21πR =,即1=R .(或由)3,1(πD ,得)23,21(D ,代入222)(R yR x =+-,得1=R ),所以曲线2C 的方程为θρcos 2=,或1)1(22=+-y x . （II ）因为点),(1θρA ，)2,(2πθρ+B 在在曲线1C 上,所以1sin 4cos 221221=+θρθρ,1cos 4sin 222222=+θρθρ,所以45)cos 4sin ()sin 4cos (1122222221=+++=+θθθθρρ.。