高三4月模拟考试理科数学试卷
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(全解全析)
2024年高考第三次模拟考试数学（理科）·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,6【答案】A【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由260x x -≥，即()60x x -≥，解得6x ≥或0x ≤，所以{}(][)260,06,B x x x ∞∞=-≥=-⋃+，又{}24A x x =-≤≤，所以[]2,0A B ⋂=-.故选：A 2．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】C【分析】运用复数代数运算及两复数相等的性质求解即可.【详解】由题意知，22231(i)i=i2422z a a=+=-+，所以23142a⎧-=⎪⎪=，解得12a=.故选：C.3．如图，已知AM是ABC的边BC上的中线，若AB a=，AC b=，则AM等于（）A．()12a b-B．()12a b--C．()12a b+D．()12a b-+【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】因为AM是ABC的边BC上的中线，所以12CM CB=，所以12AM AC CM AC CB=+=+()()()111222AC A CB A AC aBA b=+-=+=+.故选：C4．已知函数()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x=是()f x图象的一条对称轴，则()f x的单调递减区间为（）A．()π5π2π,2πZ66k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦B．()5π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦C．()4ππ2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦D．()π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期确定ω的值，根据函数的对称轴求出ϕ，结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.【详解】由于()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象是将()tan y x ωϕ=+的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，且()tan y x ωϕ=+π0,02ωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭仅有单调递增区间，故()()tan f x x ωϕ=+和()tan y x ωϕ=+的最小正周期相同，均为2π，则π12π,2ωω=∴=，即()1tan 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则1π1π,Z 232k k ϕ⋅+=∈，即1ππ,Z 26k k ϕ=-∈，结合π02ϕ<<，得π3ϕ=，故()1πtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π1πππ,Z 223k x k k -<+≤∈，则5π2π2π2π,Z 33k x k k -<≤-∈，即()f x 的单调递减区间为()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦，故选：B5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可.【详解】当直线的斜率等于0时，直线的方程为1y =，代入方程224x y +=中，得x =，显然CD =；当直线的不存在斜率时，直线的方程为1x =，代入方程224x y +=中，得y =CD =因此是必要而不充分条件，故选：A6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种【答案】B【分析】根据题意，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，丙丁都没有得到冠军，而丁不是最后一名，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有1863=⨯种名次排列情况；②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有23A 6=种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有6636⨯=种名次排列情况；则一共有361854+=种不同的名次情况，故选：B ．7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．【答案】C【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，排除BD ，再求出特殊点的函数值，得到答案.【详解】()πln sin ln cos 2x x x x f x x x⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭==定义域为()(),00,∞-+∞U ，且()()()ln cos ln cos x x x x f x f x x x-⋅-⋅-==-=--，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B 、D ．又()ln 2cos 2202f ⋅=<，故A 错误.故选：C ．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A ．3π24R B ．3π24R C ．3π12R D ．3π12R 【答案】C 【分析】分别求得面α截圆锥时所得小圆锥的体积和平面α与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖暅原理可求得结果.【详解】 平面α截圆柱所得截面圆半径2r =，∴平面α截圆锥时所得小圆锥的体积2311ππ3212V r R R =⋅=，又平面α与圆柱下底面之间的部分的体积为232πV R R R =根据祖暅原理可知：平面α与半球底面之间的几何体体积33321πππ21212V V V R R R =-=-=.故选：C.9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】B【分析】用定义证明函数()f x 的奇偶性及在()0,1上的单调性，利用函数()f x 的奇偶性及单调性，对数函数ln y x =的性质及对数运算可得结果.【详解】因为函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，又()()ln ln f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，当01x <<时，任取12x x >，()()12121221ln ln ln ln ln ln 0f x f x x x x x x x -=-=-=-<，即()()12f x f x <，所以()f x 在()0,1上为减函数，因为31ln2ln02>>>，所以()()()113ln ln2ln2ln2ln 22a f f f f f c-⎛⎫⎛⎫===-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c <，设3401,1x x <<<，则()4444ln ln ln f x x x x ===，()3333ln ln ln f x x x x ===-，若()()34f x f x =，则34ln ln x x -=，所以341x x =，因为2e ln 2ln212=->，所以22e 11ln e 22ln2ln 2b f f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，又()21ln21ln202ln22ln2--=>--，即11ln202ln2>>>-，所以()1ln22ln2f f ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，即b a <，故选：B.10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a=，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个【答案】B 【分析】由81a=，利用递推关系，分类讨论逆推出1a 的不同取值，进而可得答案.【详解】若81a =，又1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，根据上述运算法进行逆推，可得72a =，64a =，所以58a =或51a =；若58a =，则4316,32a a ==或35a =；当332a =时，2164,128a a ==或121a =；若35a =时，2110,20a a ==或13a =；当51a =，则4322,4,8a a a ===或21a =；当28a =时，116a =；当21a =时，12a =，故81a=时，1a 的所有可能的取值集合{}2,3,16,20,21,128M =即集合M 中含有6个元素．故选：B11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为C 的离心率是（）AB ．32CD ．3【答案】B【分析】根据斜率及双曲线的对称性得12BF F △为等边三角形，再根据同角间关系求解三角函数值，进而用正弦定理求出121410,33AF c AF c ==，由双曲线定义可得423c a =，从而得到离心率.【详解】由题意，直线1BF12π3BF F ∴∠=，又12BF BF =，所以12BF F △为等边三角形，故12122BF BF F F c ===，2112π2π,33BF F F F A ∠=∠=，在12AF F △中，21tan 0F F A ∠>，则21F F A ∠为锐角，则212111sin 14F F A F F A ∠=∠=，212πsin sin 3A F F A ⎛⎫=+∠= ⎪⎝⎭由正弦定理，12121221sin sin sin F F AF AF AF F AF F A==∠∠，=∴121410,33AF c AF c ==,由122AF AF a -=，得423c a =，32c e a ∴==.故答案选：B .12．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断()f x 很可能是周期函数，结合()()()(),f x g y g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令1y =-和1y =时可构建出两个式子，两式相加即可得出()()()11f x f x f x ++-=-，进一步得出()f x 是周期函数，从而可求()20231n f n =∑的值.【详解】解：对于A ，令0x y ==，代入已知等式得()()()()()000000f f g g f =-=，得()00f =，故A错误；对于B ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==，满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-及()()210f f -=≠，因为()3cos 2π10g ==≠，所以()g x 的图象不关于点()3,0对称，所以函数()21g x +的图象不关于点()1,0对称，故B 错误；对于C ，令0y =，1x =，代入已知等式得()()()()()11010f f g g f =-，可得()()()()110100f g g f ⎡⎤-=-=⎣⎦，结合()10f ≠得()100g -=，()01g =，再令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y -=-，将()00f =，()01g =代入上式，得()()f y f y -=-，所以函数()f x 为奇函数.令1x =，1y =-，代入已知等式，得()()()()()21111f f g g f =---，因为()()11f f -=-，所以()()()()2111f f g g =-+⎡⎤⎣⎦，又因为()()()221f f f =--=-，所以()()()()1111f f g g -=-+⎡⎤⎣⎦，因为()10f ≠，所以()()111g g +-=-，故C 错误；对于D ，分别令1y =-和1y =，代入已知等式，得以下两个等式：()()()()()111f x f x g g x f +=---，()()()()()111f x f x g g x f -=-，两式相加易得()()()11f x f x f x ++-=-，所以有()()()21f x f x f x ++=-+，即：()()()12f x f x f x =-+-+，有：()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x -+=++--+-+=，即：()()12f x f x -=+，所以()f x 为周期函数，且周期为3，因为()11f =，所以()21f -=，所以()()221f f =--=-，()()300f f ==，所以()()()1230f f f ++=，所以()()()()()()()2023111232023202311n f n f f f f f f ===++++===∑ ，故D 正确.故选：D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.【答案】3【分析】根据n S 求得n a ，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】因为2n S n n =+，则当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=，又当1n =时，112a S ==，满足2n a n =，故2n a n =；则9n n S a +29191222n n n n n ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，又9y x x=+在()1,3单调递减，在()3,+∞单调递增；故当3n =时，9n n+取得最小值，也即3n =时，9n n S a +取得最小值.故答案为：3.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.【答案】9542ω≤≤【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数()f x ，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】依题意，函数π()2sin(13f x x ω=+-，由()0f x =，得π1sin()32x ω+=，则ππ2π36x k ω+=+或π5π2π,Z 36x k k ω+=+∈，由[0,2π]x ∈，得πππ[,2π333x ωω+∈+，由()f x 在[0,2π]上恰有5个零点，得29ππ37π2π636ω≤+<，解得935412ω≤<，由3ππ22πx ω+≤-≤，得5ππ66x ωω-≤≤，即函数()f x 在5ππ[,66ωω-上单调递增，因此5ππ[,]ππ[,]41566ωω-⊆-，即45π6πω≤--，且π6π15ω≥，解得502ω<≤，所以正实数ω的取值范围为9542ω≤≤.故答案为：9542ω≤≤15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）【答案】15【分析】根据条件，两边求导得到12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，再取=1x -，即可求出结果.【详解】因为52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，两边求导可得12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，令=1x -，得到23454115(23)2345a a a a a -=-+-+，即12345234515a a a a a -+-+=，故答案为：15.16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数②(0,),()0x f x ∃∈+∞>③41(1)e f >④0x ∀>时，41()e xf x <【答案】②③【分析】根据构造函数的规律由令()()4e xg x f x =，再结合奇函数的性质可得①，求导分析单调性和极值可得②③④.【详解】令()()4e x g x f x =，则()()()()()4444e e e 4x x x g x f x f x f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，取0x =时，即()00f =，但(01f =），故①错误；因为4e 0,(0,)x x >∈+∞恒成立，且()4()0f x f x '+>，所以()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以()()()()()44110e 101e g g f f f >⇒>⇒>，故②正确；由②可知，③正确；因为()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以当0x >时有()()()()0,001g x g g f >==，所以()()441e 1e x xf x f x >⇒>，故④错误；故答案为：②③三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC 的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．【答案】(1)35；(2)4.【详解】（1）由()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =-- 垂直，得0m n ⋅=，...............1分即sin (5sin 6sin )(5sin 5sin )(sin sin )0B B C A C C A -++-=，整理得2226sin sin sin sin sin 5B C A B C +-=，...............2分在ABC 中，由正弦定理得22265b c a bc +-=，...............3分由余弦定理得2223cos 25b c a A bc +-==，所以cos A 的大小为35................5分（2）由（1）知，在ABC 中，3cos 5A =，则4sin 5A ==，...............6分由22265b c a bc +-=，得22266482555a b c bc bc bc bc ==+-≥-=，即10bc ≤，...................................................................................................8分当且仅当b c =时取等号，...................................................................................................9分因此ABC 的面积12sin 425ABC S bc A bc ==≤ ，..........................................................11分所以ABC 的面积的最大值是4.....................................................12分18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”；(2)35【详解】（1）依题意，关注流行语居民人数为81410638+++=，不关注流行语居民人数为81422+=，...................................................................................................2分所以22⨯列联表如下：男女合计关注流行语30838不关注流行语101222合计4020602K 的观测值2260(3012108)7.03 6.63540203822K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，................................................................4分所以有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”...................5分（2）依题意，男居民选出406660⨯=（人），.......................................6分记为a b c d ,,,，女居民选出2人，记为,E F ，从6人中任选3人的样本空间{,,,,,,,,,,abc abd abE abF acd acE acF adE adF aEF Ω=,,,,,,,,,}bcd bcE bcF bdE bdF bEF cdE cdF cEF dEF ，共20个，.................................9分选出的3人为2男1女的事件{,,,,,,,,,,,}A abE abF acE acF adE adF bcE bcF bdE bdF cdE cdF =，共12个，...........11分所以选出的3人为2男1女的概率123()205P A ==......................................12分19．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；4AP =-【详解】（1）证明：如图，设,M N 分别为,EF AB 边的中点，连接,,MN DM CN ，..1分因为⊥AE 平面,,5,4,3ABC AE CD BF AE CD BF ===∥∥，所以42AE BFMN CD +===，//MN BF ,进而MN CD ∥，即四边形CNMD 为平行四边形，可得MD CN ∥，......................................3分在底面正三角形ABC 中，N 为AB 边的中点，则CN AB ⊥，......................................4分又⊥AE 平面ABC ，且CN ⊂平面ABC ，所以AE CN ⊥．由于⋂=AE AB A ，且AE AB ⊂、平面ABFE ，所以CN ⊥平面ABFE ．.....................5分因为,MD CN CN ⊥∥平面ABFE ，则MD ⊥平面ABFE ，又MD ⊂平面DEF ，则平面DEF ⊥平面AEFB ．......................................6分（2）如图，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()())0,0,5,0,2,4,E D F ．设点()0,0,P t，则)()()1,1,0,2,1,0,2,4DF DE DP t =--=-=--．.................8分设平面PDF 的法向量为()1111,,n x y z = ，平面EDF 的法向量为()2222,,n x y z =．由题意知110,0,n DF n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()111110,240,y z y t z --=-+-=⎪⎩令12z =，则114,y t x =-=14,2n t ⎫=-⎪⎭ ，......................................9分220,0,n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222220,20,y z y z --=-+=⎪⎩取22z =，则)22n = ，...............................10分由121212π1cos ,cos 32n n n n n n ⋅===，28290t t +-=，解得：4t =±-，由于点P 为线段AE 上一点，故05t ≤≤，所以4t =-，......................................11分当4t =-时，二面角P DF E --所成角为锐角，即存在点P 满足，此时4AP =．......................................12分20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．【答案】(1)22143x y +=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）4【详解】（1）点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴，则有()1,0F 设椭圆C 的焦距为()20c c >，则1c =，.......................................................................1分点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，有()222219191441a b a a +=+=-，解得2a =，则222413b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=...................................................................................3分（2）（ⅰ）设直线l 的方程为y kx m =+，由22143y y k x x m =+⎧⎪⎨⎪+⎩=，消去y ，整理得()2223484120kxkmx m +++-=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()22Δ48430k m =-+>，设()()1122,,,A x y B x y ，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++， (5)分因为直线AF 和直线BF 关于PF 对称，所以()()()()12121212121212220111111AF BF kx x m k x x my y kx m kx m k k x x x x x x +-+-+++=+=+==------所以()()()21212224128222203434m kmkx x m k x x m k m k m k k --+-+-=⨯+-⨯-=++所以222282488860km k km k m mk m --+--=解得4m k =-................................................................................................................7分所以直线l 的方程为()44y kx k k x =-=-，所以直线l 过定点()4,0................................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.......8分（ⅱ）设直线l 的方程为4x ny =+，由224143x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得()223424360n y ny +++=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()()()222Δ241443414440n n n =-+=->，解得24n >，........................................................................................................9分1212222436,3434n y y y y n n +=-=++，所以12y y -=所以121331822ABFS y y =⨯-=⨯⨯ .............................10分令()24,0n t t -=>则18184ABC S ==≤，当且仅当163t =时取等号，所以ABF △面积的最大值为4......................................................................12分21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；极大值21(1)f e =，极小值(0)0f =；(2)(]0,2e 【详解】（1）当2a =时，()22=exx f x ()()2222222e e 22(1)=e e x x xxx x x x f x ⋅-⋅⋅--'=......................................2分令()=0f x '，解得0x =或1x =，......................................3分所以()()x f x f x '、、的关系如下表：x(,0)-∞0(0,1)1(1,)+∞()f x '-+-()f x 单调递减0单调递增21e 单调递减所以函数()f x 的单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；......................................4分极大值21(1)f e=，极小值(0)0f =；......................................5分（2）[]222()cos ln ()ln 4cos ln 2ln 4e eaa x xx x f x f x a x x a x x ⎛⎫-≥-⇔-≥- ⎪⎝⎭ln 2e 2(ln 2)cos(ln 2)0a x x a x x a x x -⇔----≥......................................6分令()e 2cos t g t t t =--，其中ln 2a x x t -=，设l (2)n a x x F x =-，0a >2()2a a x x xF x --='=令()0F x '>，解得：02ax <<，......................................8分所以函数()F x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，max ()ln 22a a F x F a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，且当0x +→时，()F x →-∞，所以函数()F x 的值域为,ln 2a a a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；......................................9分又()e 2sin t g t t '=-+，设()e 2sin t h t t =-+，,ln 2a t a a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则()e cos t h t t '=+，当0t ≤时，e 1,sin 1t t ≤≤，且等号不同时成立，即()0g t '<恒成立；当0t >时，e 1,cos 1t t >≥-，即()0h t '>恒成立，所以()h t 在(0,)+∞上单调递增，又(0)1g '=-，(1)e 2sin10g '=-+>，所以存在0(0,1)t ∈，使得0()0g t '=，当00t t <<时，()0g t '<，当0t t >时，()0g t '>，所以函数()g t 在0(,)t -∞上单调递减，在0(,)t +∞上单调递增，且(0)0g =......................................11分当ln 02aa a -≤即02e a <≤时，()0g t ≥恒成立，符合题意；当ln02a a a ->即2e a >时，取10min ln ,2a t a a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，必有1()0g t <，不符合题意.综上所述：a 的取值范围为(]0,2e ......................................12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C 与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.【答案】(1)C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=.(2)存在，坐标为33,,4444⎛⎛--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】（1）由题设曲线C 的参数方程，消参得()2214x y -+=，............................2分由cos ,sin x y ρθρθ==，且)πsin sin cos 4ρθρθρθ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭y =30x y -+=，......................................4分∴C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=...............................5分（2）当0y =时，()33,0x A =-⇒-，易知()12cos ,2sin B a a +，设(),M x y ，可得()()3,,2cos 1,2sin AM x y MB a x a y =+=-+-，......................................6分32cos 1cos 1,2sin sin x a x x a AM MB y a y y a +=-+=-⎧⎧=⇒⎨⎨=-=⎩⎩（a 是参数），消参得方程为()2211,x y ++=......................................8分且1,2,1,3E C C E C E r r r r r r ==-=+=，则圆心距离2,d ==得C E C E r r d r r -<<+，则两圆相交，故两圆存在公共点，联立方程组()()22221114x y x y ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，解得34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故坐标为33,,44⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭......................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】(1)113x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或(2)证明见解析【详解】（1）()2122f x x x x =-+-+，当0x <时，532x -+≥，解得0x <，......................................1分当102x ≤<时，332x -+≥，解得103x ≤≤，......................................2分当112x ≤<时，12x +≥，解得x ∈∅，......................................3分当1x ≥时，532x -≥，解得1x ≥，......................................4分综上所述，()2f x ≥的解集为13x x ⎧≤⎨⎩或}1≥x .......................................5分（3）由已知可得()5301330211<12531x x x x f x x x x x -+<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪+≤⎪⎪->⎩，所以当12x =时，()f x 的最小值为32...............................................................................................6分1a b ∴+=，211,24a b a b ab +⎛⎫+=∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==取等,......................................8分令t ab =，则104t <≤，211()212225224a b ab a b ab ab t a b ab ab ab t +-⎛⎫⎛⎫++=++=+-=+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当14t =取等，此时12a b ==.......................................10分。
高三数学理科4月模拟考试题及答案
黄浦区高考模拟考数学试卷(理科)(4月14日)考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数()f x =的定义域是 ． 2．已知全集{}2U =-，-1，0，1，2，集合2|1A x x x n Z n ⎧⎫==∈⎨⎬-⎩⎭，、，则U C A = ． 3．已知函数1()y fx -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= (要求写明自变量的取值范围)．4．双曲线22231x y -=的渐近线方程是 ． 5．若函数()2cos(4)17f x x π=+-与函数()5tan(1)2g x ax =-+的最小正周期相同，则实数a = ．6．已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，*()n S n N ∈是数列的前n 项和，则2lim1nn S n →∞-= ．7．直线110l y -+=，250l x +=：，则直线1l 与2l 的夹角为= ． 8．已知01()m m R <<∈，α是方程210x mx ++=的根，则||α= ． 9．2151()x x-的二项展开式中的常数项是 (用数值作答) ．10．已知12e e 、是平面上两个不共线的向量，向量122a e e =-，123b me e =+．若a b ，则实数m = ．11．已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= (用数值作答)．12．已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0)αβπ∈、，，角β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α= ．13．一个不透明的袋中装有白球、红球共9个(9个球除颜色外其余完全相同)，经充分混合后，从袋中随机摸出2球，且摸出的2球中至少有一个是白球的概率为56，现用ξ表示摸出的2个球中红球的个数，则随机变量ξ的数学期望E ξ= ．14．已知点1212(2)(2)x x A x B x ，、，是函数2xy =的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图像的上方，因此有结论121222222x x x x ++>成立．运用类比思想方法可知，若点1122(sin )(sin )A x x B x x ，、，是函数sin ((0))y x x =∈π，的图像上的不同两点，则类似地有 成立．二．选择题(本大题满分16分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 15．已知x a α≥：，1|1x β-<：|．若α是β的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是 [答]( ) A ．0a ≥． B ．0a ≤． C ．2a ≥． D ．2a ≤．16．在极坐标系中，圆C 过极点，且圆心的极坐标是()a π，(a 是正数)，则圆C 的极坐标方程是[答]( )A ．32cos ()22a ππρ=-θ≤θ<． B ．cos (0)a ρ=θ≤θ<π． C ．32sin ()22a ππρ=-θ≤θ<． D ．sin (0)a ρ=θ≤θ<π．17．已知直线1l ax by +=：，点()P a b ，在圆C ：221x y +=外，则直线l 与圆C 的位置关系是 ． [答]( )A 相交B 相切C 相离D 不能确定 18．现给出如下命题：(1)若直线l 与平面α内无穷多条直线都垂直，则直线l α⊥平面； (2)空间三点确定一个平面；(3) 先后抛两枚硬币，用事件A 表示“第一次抛出现正面向上”，用事件B 表示“第二次抛出现反面向上”，则事件A 和B 相互独立且()P AB =111()()224P A P B =⨯=； (4)样本数据11011--，，，，的标准差是1． 则其中正确命题的序号是 [答]( ) A ．(1)、(4)． B ．(1)、(3)． C ．(2)、(3)、(4)． D ．(3)、(4)．A B CD C 1 D 1 A 1B 1三．解答题(本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．在ABC ∆中，记BAC x ∠=(角的单位是弧度制)，ABC ∆的面积为S ，且8AB AC ⋅=≤≤，4S ．(1)求x 的取值范围；(2)就(1)中x 的取值范围，求函数22()()2cos 4f x x x π=++最小值．20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ． (1)求点1C 到平面11AB D 的距离；(2)求平面11CDD C 与平面11AB D 所成的二面角(结果用反三角函数值表示)．21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．已知函数42()(1)1x f x x x R x -=≠-∈+，，数列{}n a 满足 1(1)a a a a R =≠-∈，，*1()()n n a f a n N +=∈．(1)若数列{}n a 是常数列，求a 的值； (2)当14a =时，记*2()1n n n a b n N a -=∈-，证明数列{}n b 是等比数列，并求出通项公式n a ． 22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．已知函数21()log (01)1am mxf x a a x --=>≠+，是奇函数，定义域为区间D (使表达式有意义的实数x 的集合)．(1)求实数m 的值，并写出区间D ；(2)若底数1a >，试判断函数()y f x =在定义域D 内的单调性，并说明理由； (3)当[)x A a b ∈=，(A D ≠⊂，a 是底数)时，函数值组成的集合为[1)+∞，，求实数a b、的值．23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知点P 是直角坐标平面内的动点，点P 到直线12l x =-：的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d，且212d d =．(1)求动点P 所在曲线C 的方程；(2)直线l 过点F 且与曲线C 交于不同两点A 、B (点A 或B 不在x 轴上)，分别过A 、B 点作直线1:2l x =-的垂线，对应的垂足分别为M N 、，试判断点F 与以线段MN 为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；(3)记1FAM S S ∆=，2FMN S S ∆=，3FBN S S ∆=(A 、B 、M N 、是(2)中的点)，问是否存在实数λ，使2213S S S =λ成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．进一步思考问题：若上述问题中直线21:a l x c=-、点(0)F c -，、曲线C：22221(0x y a b c a b +=>>=，，则使等式2213S S S =λ成立的λ的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．黄浦区高考模拟考数学试卷(理科)(4月14日)参考答案和评分标准说明：1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分。
高三数学理科模拟练习4
高三数学（理）模拟试题4第Ⅰ卷 （共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1．设集合2{|560},{|57}A x x x B x x =--<=≤≤，则A B = （ ）A ．[5，7]B ．[5，6）C ．[5，6]D ．（6，7] 2．命题“2,20x R x x ∃∈-=”的否定是（ ）A ．2,20x R x x ∀∈-= B ． 2,20x R x x ∃∈-≠C ．2,20x R x x ∀∈-≠D ． 2,20x R x x ∃∈-> 3．如图所示，程序框图运行后输出k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．直线0x +-=与圆224x y +=交于A ，B 两点， 则OA ·OB =（ ） A ．4 B ． 3C ．2D ．－25．函数2cos ()4y x π=+的图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >，所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值为 （ ）A ．πB ．34πC ．2πD ．4π 6．已知函数21||()n x f x x x=-，则函数()y f x =的大致图象为（ ）7．数列{}n a 的首项为1，数列{}n b 为等比数列且1n n na b a +=，若b 4·b 5=2，则a 9= （ ） A ．4 B ． 8 C ．16 D ． 32 8．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b=0，则|a+b －c|的最小值为（ ）A1 B ．1 C1+ D9.双曲线22212:1(0,0)x y C m b b m -=>>与椭圆22222:1(0)x y C a b b a+=>>有相同的焦点，双曲线C 1的离心率是e 1，椭圆C 2的离心率是e 2，则221211e e +=（ ）A ．12B ． 1CD ． 210．已知函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且当(,0)()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立若a=（20.2）·0.2(2),(12)f b n =·)41(log )41(log ),2(ln 2121f c f ⋅=,则a,b,c 的大小关系是A ． a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a c b >>第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸的相应位置。
陕西省西安中学2024届高三模拟考试(一)数学(理科)试题含答案解析
西安中学高2024届高三模拟考试（一）数学（理科）（满分：150分时间：120分钟）命题人：李晶一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}2|20M x x x =-<，{}2|10N x x =-<，则M N ⋃=（）A.(1,2)- B.(1,1)- C.(0,2)D.(0,1)2.已知2i 1iz-=-+，则z =（）A.1i +B.1i -C.3i -D.3i+3.ABC 中，2DC BD =，P 为线段AD 中点，若BP BA BC λμ=+ ，则λμ+的值为（）A.13B.12C.23D.344.随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI 算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行155104⨯次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行1282次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（参考数据：lg 20.301≈，0.43110 2.698≈）（）A.222.69810⨯秒B.232.69810⨯秒C.242.69810⨯秒D.252.69810⨯秒5.已知,,a b c ∈R ，则下列选项中是“a b <”的充分不必要条件的是（）A.c c ab>B.22ac bc <C.22a b < D.33a b<6.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）①若//m α，//n α，则//m n②若//αβ，m α⊂，那么//m β③若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥④若m β⊥，//m α，则αβ⊥A.②④B.①②C.②③D.③④7.已知椭圆()222:1039x y C b b+=<<的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 上一点，若212PF F F =且121cos 4F PF ∠=，则b =（）A.B.C.2D.8.若1nx ⎫-⎪⎭的展开式的二项式系数之和为16，则21nx ⎫+⎪⎭的展开式中41x 的系数为（）A.8B.28C.56D.709.函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象经过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，将该函数的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，则ω的最小值是（）A.52B.83C.3D.7210.已知cos tan 1sin αβα=-，()1sin tan cos ααβα++=，若π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则β=（）A.π12 B.π6C.4π D.π311.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的离心率为，圆22()9x a y -+=与C的一条渐近线相交，且弦长不小于4，则a 的取值范围是（）A.(]0,1 B.30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C.(]0,2 D.50,2⎛⎤ ⎥⎝⎦12.若函数()21ln 22f x a x x x =+-有两个不同的极值点12,x x ，且()()1221t f x x f x x -+<-恒成立，则实数t 的取值范围为（）A.(),5-∞- B.(],5-∞- C.(),22ln2-∞- D.(],22ln2-∞-二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知数据15，14，14，a ，16的平均数为15，则其方差为______.14.函数()f x 是定义在R 上的函数，且()1f x +为偶函数，()2f x +是奇函数，当[]0,1x ∈时，()31x f x =-，则()567f =______.15.在ABC 中，2B A =，点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，ACD BCD ∠=∠，则cos A 等于________.16.如图，正方形1111D C B A 与正方形ABCD 的中心重合，边长分别为3和1，1P ，2P ，3P ，4P 分别为11A D ，11A B ，11B C ，11C D 的中点，把阴影部分剪掉后，将四个三角形分别沿AD ，AB ，BC ，CD 折起，使1P ，2P ，3P ，4P 重合于P 点，则四棱锥P ABCD -的高为________，若直四棱柱22223333A B C D A B C D -内接于该四棱锥，其上底面四个顶点在四棱锥侧棱上，下底面四个顶点在面ABCD 内，则该直四棱柱22223333A B C D A B C D -体积的最大值为________．三、解答题（本大题共7小题，第17-21题为必考题，第22、23题为选考题）（一）必考题（共60分）17.已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2．正项数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n n S b b =+．（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（2）若,2,n n n b a n c n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和．18.某班组织投篮比赛，比赛分为,A B 两个项目.比赛规则是：①选手在每个项目中投篮5次，每个项目投中3次及以上为合格；②第一个项目投完5次并且合格后才可以进入下一个项目，否则该选手结束比赛；③选手进入第二个项目后，投篮5次，无论投中与否均结束比赛.已知选手甲在A 项目比赛中每次投中的概率都是0.5.（1）求选手甲参加A 项目合格的概率；（2）已知选手甲参加B 项目合格的概率为0.6.比赛规定每个项目合格得5分，不合格得0分.设累计得分为X ，为使累计得分X 的期望最大，选手甲应选择先进行哪个项目的比赛（每个项目合格的概率与次序无关）？请说明理由.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，直线1C B ⊥平面ABC ，平面11AA C C ⊥平面11BB C C．（1）求证：1AC BB ⊥；（2）若12AC BC BC ===，在棱11A B 上是否存在一点P ，使二面角1P BC C --的余弦值为31010？若存在，求111B P A B 的值；若不存在，请说明理由．20.已知函数()()ln 2e xf x x x x =-+-.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程（2）若()f x b ≤对任意的1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭恒成立，求满足条件的实数b 的最小整数值.21.已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为,F E 上任意一点P 到F 的距离与到点(2,0)Q 的距离之和的最小值为3．（1）求抛物线E 的标准方程．（2）已知过点Q 且互相垂直的直线12,l l 与E 分别交于点,A C 与点,B D ，线段AC 与BD 的中点分别为,M N ．若直线,OM ON 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的取值范围．（二）选考题（共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.）22.在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），把1C 绕坐标原点逆时针旋转π2得到2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）写出1C ，2C 的极坐标方程；（2）若曲线3C 的极坐标方程为8sin ρθ=，且1C 与3C 交于点A ，2C 与3C 交于点B （A ，B 与点O 不重合），求AOB 面积的最大值．23.已知0,0,0a b c >>>，函数()2f x x a x =++-，不等式()5f x ≥的解集为{2x x ≤-或}3x ≥．（1）求实数a 的值；（2）若()f x 的最小值为,M b c M +=，求证：1111b c+≥+．西安中学高2024届高三模拟考试（一）数学（理科）（满分：150分时间：120分钟）命题人：李晶一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}2|20M x x x =-<，{}2|10N x x =-<，则M N ⋃=（）A.(1,2)- B.(1,1)- C.(0,2)D.(0,1)【答案】A 【解析】【分析】先求解两个一元二次不等式，再根据并集定义求解即得.【详解】因为{}220{02}M x x x x x =-<=<<∣，{}210{11}N x x x x =-<=-<<∣，所以{12}M N xx =-<< ∣．故选:A ．2.已知2i 1iz-=-+，则z =（）A.1i +B.1i- C.3i- D.3i+【答案】B 【解析】【分析】根据条件求出z 的代入形式，进而可得其共轭复数.【详解】2i 21i 1i 1izz z -=-⇒-=-⇒=++，所以1i z =-.故选：B ．3.ABC 中，2DC BD =，P 为线段AD 中点，若BP BA BC λμ=+ ，则λμ+的值为（）A.13B.12C.23D.34【答案】C 【解析】【分析】用BA ，BC表示BP ，求出λ、μ的值，进而求得结果.【详解】由2DC BD =，得13BD BC = ，又P 为线段AD 中点，所以()1111122326BP BA BD BA BC BA A BC B BC λμ⎛⎫=+=+=+⎪= ⎝⎭+，即12λ=，16μ=，所以112263λμ+=+=.故选：C4.随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI 算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行155104⨯次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行1282次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（参考数据：lg 20.301≈，0.43110 2.698≈）（）A.222.69810⨯秒B.232.69810⨯秒C.242.69810⨯秒D.252.69810⨯秒【答案】B 【解析】【分析】设所需时间为t 秒，则1512851024t ⋅⨯=，然后两边取对数化简计算即可【详解】设所需时间为t 秒，则1512851024t ⋅⨯=，lg lg52lg 215128lg 2t +-+=，∴lg 131lg 216t =-，lg 1310.3011623.431t ≈⨯-=，∴23.4310.4312323101010 2.69810t ≈=⨯=⨯∴秒，故选：B.5.已知,,a b c ∈R ，则下列选项中是“a b <”的充分不必要条件的是（）A.c c ab>B.22ac bc <C.22a b < D.33a b<【答案】B 【解析】【分析】根据不等式性质及指数函数的单调性，结合充分条件，必要条件的定义逐项判断即可.【详解】对于A ，当1,1a b =-=，满足a b <，但c c ab>不成立，当1,1,1a b c ==-=时，满足c c ab>，但a b <不成立，故A 错误；对于B ，当0c =时，a b <¿22ac bc <，但22ac bc a b <⇒<，故B 正确；对于C ，2,1a b =-=时，a b <，但22a b <不成立，1,2a b ==-时，22a b <，但a b <不成立，故C 错误；对于D ，因为指数函数3x y =在R 上单调递增，故33a b a b <⇔<，故D 错误.故选：B6.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）①若//m α，//n α，则//m n②若//αβ，m α⊂，那么//m β③若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥④若m β⊥，//m α，则αβ⊥A.②④ B.①②C.②③D.③④【答案】A 【解析】【分析】举例说明判断①③；利用面面平行的性质判断②；利用线面平行的性质、面面垂直的判定推理判断④即可得解.【详解】三棱柱一底面三角形两边所在直线都平行于另一底面，而这两边所在直线相交，①错误；若//αβ，m α⊂，由面面平行的性质得//m β，②正确；若αβ⊥，令,αβ的交线为l ，m α⊂，n β⊂，当//,//m l n l 时，//m n ，③错误；由//m α，知存在过m 与平面α相交的平面，令交线为c ，有//c m ，而m β⊥，则c β⊥，因此αβ⊥，④正确，所以正确命题的序号是②④.故选：A7.已知椭圆()222:1039x y C b b+=<<的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 上一点，若212PF F F =且121cos 4F PF ∠=，则b =（）A.B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】画出图形，根据椭圆的定义和性质及余弦定理的应用求解即可.【详解】由题意知该椭圆的焦点在x轴上，如图所示：由题意2122PF F F c ==，1226PF PF a +==，所以162PF c =-，由余弦定理得：222121212121cos 24PF PF F F F PF PF PF +-∠==，即()()2226244126224c c c c c-+-=-⨯，即2560c c -+=解得：2c =或3c =（舍去）由222a c b -=，所以25b b =⇒=故选：D.8.若1n x ⎫-⎪⎭的展开式的二项式系数之和为16，则21nx ⎫+⎪⎭的展开式中41x 的系数为（）A.8B.28C.56D.70【答案】C【解析】【分析】根据二项式系数和求得n ，根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】1nx ⎫-⎪⎭的展开式的二项式系数之和216,4n n ==，则821131nx x x -⎛⎫⎫+=+ ⎪⎪⎭⎝⎭展开式的通项公式为：()818413388C C rrr r r x x x ---⎛⎫⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭，令844,53rr -=-=，所以41x的系数为5388876C C 56321⨯⨯===⨯⨯.故选：C9.函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象经过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，将该函数的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，则ω的最小值是（）A.52B.83C.3D.72【答案】A 【解析】【分析】由()102f =-求ϕ，再根据平移变换求出平移后的解析式，然后根据对称性即可求解.【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象经过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭，所以()10sin 2f ϕ==-，又2πϕ<，所以π6ϕ=-，将()πsin 6f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象的解析式为ππππsin sin 3636y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为ππsin 36y x ωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的函数图象关于原点对称，所以πππ,36k k ω--=∈Z ，得13,2k k ω=--∈Z ，因为0ω>，所以当1k =-时，ω取得最小值15322-=.故选：A 10.已知cos tan 1sin αβα=-，()1sin tan cos ααβα++=，若π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则β=（）A.π12 B.π6C.4π D.π3【答案】C 【解析】【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角α，再利用已知条件即可求解.【详解】因为()tan()tan tan =tan 1tan()tan αββααββαββ+-+-=++⋅，又因为cos tan 1sin αβα=-，()1sin tan cos ααβα++=，所以(1sin )(1sin )cos cos 1sin cos cos (1sin )cos 1sin tan 1sin cos cos (1sin )cos (1sin )1cos 1sin cos (1sin )ααααααααααααααααααααα+⋅--⋅+---==+⋅-+⋅++⋅--，所以22(1sin )(1sin )cos cos 1sin cos tan cos (1sin )cos (1sin )2cos αααααααααααα+⋅--⋅--==⋅-+⋅+因为22sin cos 1αα+=，所以tan 0α=，所以π,Z k k α=∈，所以当k 为奇数时，cos 1α=-，sin 0α=，当k 为偶数时，cos 1α=，sin 0α=，因为cos tan 1sin αβα=-，所以tan 1β=±，因为π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π4β=.故选：C.11.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的离心率为，圆22()9x a y -+=与C的一条渐近线相交，且弦长不小于4，则a 的取值范围是（）A.(]0,1 B.30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C.(]0,2 D.50,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的离心率可得渐近线方程为2y x =±，结合弦长可得4≥，运算求解即可.【详解】设双曲线C 的半焦距为0c >，则c e a ===2b a =，且双曲线C 的焦点在x 轴上，所以双曲线C 的渐近线为2y x =±，因为圆22()9x a y -+=的圆心为(),0a ，半径3r =，可知圆22()9x a y -+=关于x 轴对称，不妨取渐近线为2y x =，即20x y -=，则圆心(),0a 到渐近线的距离3=<d ，可得3502<<a ，又因为圆22()9x a y -+=与双曲线C 的一条渐近线相交弦长为=，由题意可得4≥，解得502a <≤，所以a 的取值范围是50,2⎛⎤⎥⎝⎦.故选：D.12.若函数()21ln 22f x a x x x =+-有两个不同的极值点12,x x ，且()()1221t f x x f x x -+<-恒成立，则实数t 的取值范围为（）A.(),5-∞- B.(],5-∞- C.(),22ln2-∞- D.(],22ln2-∞-【答案】B 【解析】【分析】首先对()f x 求导，得()()220x x af x x x'-+=>，根据题意得到方程220x x a -+=有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系求得a 的取值范围，然后将不等式进行转化，结合根与系数的关系得到()()1212f x f x x x +--关于参数a 的表达式，从而构造函数，利用导数知识进行求解．【详解】依题意得()()2220a x x af x x x x x-+=+-=>'，若函数()f x 有两个不同的极值点12,x x ，则方程220x x a -+=有两个不相等的正实数根12,x x ，可得1212Δ440200a x x x x a =->⎧⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得01a <<，因为()()1221t f x x f x x -+<-，可得()()2212121112221211ln 2ln 222t f x f x x x a x x x a x x x x x <+--=+-++---()()()()()()2221212121212121211ln 3ln 322a x x x x x x a x x x x x x x x =++-+=++--+21ln 232ln 42a a a a a a =+⨯--⨯=--．设()()ln 401h a a a a a =--<<，则()ln 0h a a ='<，则()h a 单调递减，()()15h a h >=-，可知5t ≤-．所以实数t 的取值范围是(],5-∞-.故选：B ．【点睛】关键点睛：1.利用导数与极值点之间的关系及一元二次方程有两个不相等的正实数根，求得a 的取值范围是解决问题的前提；2.利用韦达定理二元换一元，通过构造函数解决问题.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知数据15，14，14，a ，16的平均数为15，则其方差为______.【答案】45##0.8【解析】【分析】先由平均数的公式计算出平均数，再根据方差的公式计算【详解】因为151********a ++++=，所以16a =，所以21111455s +++==.故答案为：4514.函数()f x 是定义在R 上的函数，且()1f x +为偶函数，()2f x +是奇函数，当[]0,1x ∈时，()31x f x =-，则()567f =______.【答案】2-【解析】【分析】先由函数的奇偶性确定函数的周期为4，再由奇偶性得到()()()()5674142111f f f f =⨯-=-=-，计算出结果即可.【详解】因为()1f x +为偶函数，则有()()11f x f x +=-，故()f x 的图像关于1x =对称，则有()()2f x f x +=-①，()2f x +是奇函数，则()()22f x f x -+=-+②，联立①②可得：()()2f x f x -+=--，变形为()()2f x f x +=-，所以()()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=，则()f x 是周期为4的周期函数，所以()()()()5674142111f f f f =⨯-=-=-，又当[]0,1x ∈时，()31xf x =-，所以()()()5671312f f =-=--=-.故答案为：2-.15.在ABC 中，2B A =，点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，ACD BCD ∠=∠，则cos A 等于________.【答案】34##0.75【解析】【分析】根据三角形的边角关系，结合角平分线定理、二倍角公式、正弦定理即可求得cos A 的值.【详解】在ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，所以332,555AD AB c BD c ===，又ACD BCD ∠=∠，所以由角平分线定理可得AC BC AD BD =，所以3255b ac c =，则32b a =，又2B A =，所以sin sin 22sin cos B A A A ==，则sin cos 2sin BA A=，由正弦定理得3sin 32cos 2sin 224a Bb A A a a ====.故答案为：34.16.如图，正方形1111D C B A 与正方形ABCD 的中心重合，边长分别为3和1，1P ，2P ，3P ，4P 分别为11A D ，11A B ，11B C ，11C D 的中点，把阴影部分剪掉后，将四个三角形分别沿AD ，AB ，BC ，CD 折起，使1P ，2P ，3P ，4P 重合于P 点，则四棱锥P ABCD -的高为________，若直四棱柱22223333A B C D A B C D -内接于该四棱锥，其上底面四个顶点在四棱锥侧棱上，下底面四个顶点在面ABCD 内，则该直四棱柱22223333A B C D A B C D -体积的最大值为________．【答案】①.2②.2327【解析】【分析】作出图形，可知四棱锥P ABCD -为正四棱锥，取AB 的中点E ，连接AC 、BD 交于点O ，连接PE 、EF 、PF ，则四棱锥的高为PF ，直四棱柱22223333A B C D A B C D -内接于该四棱锥，则底面2222A B C D 为正方形，作出截面PBD 的平面图，设2B F x =，计算得出四棱柱体积的函数关系式，运用导数研究可得其体积最大值.【详解】由题意可知，四棱锥P ABCD -为正四棱锥，PAB 边AB 上的高为1PE =，如下图所示：取AB 的中点E ，连接AC 、BD 交于点F ，连接PE 、EF 、PF ，则F 为AC 、BD 的中点，由正四棱锥的几何性质可知，PF ⊥平面ABCD ，因为E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则//EF BC 且1122EF BC ==，因为EF ⊂平面ABCD ，则PF EF ⊥，所以，2PF ===，在PEB △中，得52PB ==,1222BF BD ===作出四棱柱22223333A B C D A B C D -内接于该四棱锥在平面PBD 上的平面图如图所示：设2B F x =,0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则222BB BF B F x =-=-，因为23~BB B BPF ，所以232B B PF BB BF =，解得233622B B x =-，所以直四棱柱22223333A BCD A B C D -的体积()322222231···2V x A C B D B B ==,所以()2V x '=-+，当20,3x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时()0V x '>，当22,32x ⎛∈ ⎝⎭时()0V x '<，所以函数()V x在0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，,32⎛ ⎝⎭上单调递减，所以当23x =时体积最大，最大为327V ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：32，2327.三、解答题（本大题共7小题，第17-21题为必考题，第22、23题为选考题）（一）必考题（共60分）17.已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2．正项数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n n S b b =+．（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（2）若,2,nn n b a n c n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和．【答案】（1）21n a n =-，n b n=（2）()144213n n n +--+【解析】【分析】（1）直接得到{}n a 的通项公式，由11,1,2n nn S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩作差得到11n n b b --=，从而求出{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得21,2,n n n n c n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，利用分组求和法计算可得.【小问1详解】依题意可得()12121n a n n =+-=-，∵22n n n S b b =+①，当2n ≥时，21112n n n S b b ---=+②，()()()2211111 20n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b ------⇒=-+-⇒+--+=①②，()()1110n n n n b b b b --⇒+--=，()2n ≥，∵0n b >，∴11n n b b --=，且在①式中令111n b =⇒=或10b =（舍去），∴()111n b n n =+-⨯=，综上可得21n a n =-，n b n =．【小问2详解】由（1）可得,21,2,2,nn n b n a n n n c n n -⎧⎧==⎨⎨⎩⎩为奇数为奇数为偶数为偶数，∴()()1221321242n n n c c c c c c c c c -+++=+++++++ ()()2421543222n n =+++-++++ ()()()14144244212143nn n n n n +--⨯-=+=-+-．18.某班组织投篮比赛，比赛分为,A B 两个项目.比赛规则是：①选手在每个项目中投篮5次，每个项目投中3次及以上为合格；②第一个项目投完5次并且合格后才可以进入下一个项目，否则该选手结束比赛；③选手进入第二个项目后，投篮5次，无论投中与否均结束比赛.已知选手甲在A 项目比赛中每次投中的概率都是0.5.（1）求选手甲参加A 项目合格的概率；（2）已知选手甲参加B 项目合格的概率为0.6.比赛规定每个项目合格得5分，不合格得0分.设累计得分为X ，为使累计得分X 的期望最大，选手甲应选择先进行哪个项目的比赛（每个项目合格的概率与次序无关）？请说明理由.【答案】（1）0.5（2）选手甲应选择先进行B 项目，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意选手甲需要在5次投篮中投中3，4或5次及格，再求解概率和即可；（2）分别分析先进行A 项目和B 项目的得分数学期望，再判断即可.【小问1详解】由题意选手甲需要在5次投篮中投中3，4或5次，每次中与不中的概率均为0.5，故合格的概率为()354555545555C 0.5C 0.5C 0.510510.520.50.5++=++⨯=⨯=.【小问2详解】选手甲应选择先进行B 项目，理由如下：由题意，若选手甲先参加A 项目，则X 的所有可能取值为0，5，10，则()010.50.5P X ==-=，()()50.510.60.2P X ==⨯-=，()100.50.60.3P X ==⨯=.所以累计得分X 的期望()00.550.2100.34E X =⨯+⨯+⨯=；若选手甲先参加B 项目，则X 的所有可能取值为0，5，10，则()010.60.4P X ==-=，()()50.610.50.3P X ==⨯-=，()100.60.50.3P X ==⨯=.所以累计得分X 的期望()00.450.3100.3 4.54E X =⨯+⨯+⨯=>，所以为使累计得分的期望最大，选手甲选择先进行B 项目比赛.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，直线1C B ⊥平面ABC ，平面11AA C C ⊥平面11BB C C ．（1）求证：1AC BB ⊥；（2）若12AC BC BC ===，在棱11A B 上是否存在一点P ，使二面角1P BC C --的余弦值为31010？若存在，求111B P A B 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，13.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理即得.（2）作1//Cz C B ，建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】在三棱柱111ABC A B C -中，由1C B ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂平面ABC ，得11,C B BC C B AC ⊥⊥，在平面11BB C C 内过B 作1BO CC ⊥于O ，由平面11AA C C ⊥平面11BB C C ，平面11AA C C 平面111BB C C CC =，得BO ⊥平面11AA C C ，而AC ⊂平面11AA C C ，则有BO AC ⊥，显然11,,BO C B B BO C B =⊂ 平面11BB C C ，因此AC ⊥平面11BB C C ，又1BB ⊂平面11BB C C ，所以1AC BB ⊥.【小问2详解】过点C 作1//Cz C B ，由11,C B BC C B AC ⊥⊥，得,Cz CA Cz CB ⊥⊥，由（1）知AC ⊥平面11BB C C ，BC ⊂平面11BB C C ，则CA CB ⊥，即直线,,CA CB Cz 两两垂直，以点C 为原点，直线,,CA CB Cz 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由12AC BC BC ===，得11(2,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,4,2)A B C B ，(0,2,0),(2,2,0)CB BA ==-，假定在棱11A B 上存在一点P ，使二面角1P BC C --的余弦值为31010，令111(2,2,0),01B P B A BA λλλλλ===-<< ，则(2,42,2)P λλ-，(2,42,2)CP λλ=-，设平面PBC 的一个法向量(,,)n x y z = ，则2(42)2020n CP x y z n CB y λλ⎧⋅=+-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =，得(1,0,)n λ=- ，显然平面1BCC 的一个法向量(1,0,0)m =，依题意，310cos ,10m n 〈〉=，解得13λ=，即11113B P A B λ==，所以在棱11A B 上存在一点P ，使二面角1P BC C --的余弦值为31010，11113B P A B =.20.已知函数()()ln 2e xf x x x x =-+-.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程（2）若()f x b ≤对任意的1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求满足条件的实数b 的最小整数值.【答案】（1）1e 0y ++=.（2）3-.【解析】【分析】（1）求出()f x 在1x =处的导数值，求出()1f ，即可得出切线方程；（2）先由题意，将问题转化为：得到()()ln 2e xf x x x x b =-+-≤，对任意的1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立；()(2)e ln x f x x x x =-+-，求出其导数，得出存在01(,1)2x ∈，函数()y f x =在区间01(,)2x 上单调递增，在区间0(),1x 上单调递减，由隐零点的整体代换的处理方法可得出答案.【小问1详解】()()()ln 2e 11e x f x x x x f =-+-=-- ，，()()()()1111e 1e 10x x f x x x f x x ⎛⎫=-+-=--⎪⎭''= ⎝，，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()1e 0y ---=，即1e 0y ++=.【小问2详解】()()ln 2e x f x x x x b =-+-≤对任意的1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，()()()1111e 1e x x f x x x x x ⎛⎫=-+-=-- ⎝'⎪⎭，令()1e xh x x =-，则函数()h x 在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，()120,1e 102h h ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.∴在唯一01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得使得0()0h x =，即00001eln x x x x ==-，，且当012x x <<时，()0h x <，即()0f x '>；当01x x <<时，()0h x >，即()0f x '<.所以，函数()y f x =在区间01(,)2x 上单调递增，在区间0(),1x 上单调递减，∴()()0max0000001()2e ln 12x f x f x x x x x x ⎛⎫==-+-=-+ ⎪⎝⎭，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则00112()y x x =-+在1(,1)2上单调递增，所以00112()(4,3)x x -+∈--，∴满足条件的实数b 的最小整数值为3-.21.已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为,F E 上任意一点P 到F 的距离与到点(2,0)Q 的距离之和的最小值为3．（1）求抛物线E 的标准方程．（2）已知过点Q 且互相垂直的直线12,l l 与E 分别交于点,A C 与点,B D ，线段AC 与BD 的中点分别为,M N ．若直线,OM ON 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的取值范围．【答案】（1）24y x =（2）1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据题意结合抛物线的定义分析可得232+≥+=pPF PQ ，进而可得2p =；（2）设直线1l 的方程为2x my =+，直线2l 的方程为12x y m=-+，与抛物线方程联立，利用韦达定理整理得1222112-+=+k k m m，利用基本不等式运算求解.【小问1详解】抛物线E 的准线方程为2px =-，设点P 到准线的距离为d ．由抛物线的定义，得232pPF PQ d PQ +=+≥+=，解得2p =，当且仅当,,P Q F 三点共线时，等号成立，所以抛物线E 的标准方程为24y x =．【小问2详解】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，由题意可知，12,l l 的斜率存在且均不为0，设直线1l 的方程为2x my =+，将其代入24y x =，得2480y my --=，则有134y y m +=．同理可得：设直线2l 的方程为12x y m=-+，则244y y m +=-．所以132422,22M N y y y y y m y m++====-，所以2222M M x my m =+=+，21222=-+=+N N x y m m，所以12222222112122422N M M N y y m m k k x x m m m m -=⋅=⋅=-≥=-++++，当且仅当221m m=，即1m =±时取等号，又易知120k k <，所以12k k 的取值范围为1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法：（1）数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解；（2）构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解；（3）构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．（二）选考题（共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.）22.在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），把1C 绕坐标原点逆时针旋转π2得到2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）写出1C ，2C 的极坐标方程；（2）若曲线3C 的极坐标方程为8sin ρθ=，且1C 与3C 交于点A ，2C 与3C 交于点B （A ，B 与点O 不重合），求AOB 面积的最大值．【答案】22.π,02θαα=<<；ππ,022θαα=+<<.23.16【解析】【分析】（1）通过消参得到直线1C 的直角坐标方程，再利用极坐标方程和直角坐标方程之间的互化公式即可；（2）利用极坐标的几何意义结合二倍角公式求解即可.【小问1详解】直线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），故()tan y x α=，则()sin tan cos ρθαρθ=，即θα=；故1C 的极坐标方程为：π,02θαα=<<.把1C 绕坐标原点逆时针旋转π2得到2C ，故2C 的极坐标方程为：ππ,022θαα=+<<.【小问2详解】曲线3C 的极坐标方程为8sin ρθ=，且1C 与3C 交于点A ，2C 与3C 交于点B ，联立方程得，()ππ8sin ,,8sin ,22A B αααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故11ππsin 8sin 8sin sin 32sin cos 16sin 2162222AOB S OA OB AOB ααααα⎛⎫=∠=⨯⨯+⨯==≤ ⎪⎝⎭ .故AOB 面积的最大值为16.23.已知0,0,0a b c >>>，函数()2f x x a x =++-，不等式()5f x ≥的解集为{2x x ≤-或}3x ≥．（1）求实数a 的值；（2）若()f x 的最小值为,M b c M +=，求证：1111b c+≥+．【答案】（1）1a =（2）见解析【解析】【分析】（1）根据绝对值的定义，等价转化不等式，解得含参解集，建立方程，可得答案；（2）利用绝对值的三角不等式，结合基本不等式“1”的妙用，可得答案.【小问1详解】解法一：由()5f x ≥，得25x a x ++-≥∣∣，由0a >，则02a -<<，等价于225x a a x ≤-⎧⎨-+-≥⎩或225a x a -<<⎧⎨+≥⎩或2225x x a ≥⎧⎨+-≥⎩，得32x a a x ≤-⎧⎪⎨--≤⎪⎩或272x a x ≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩.因为不等式()5f x ≥的解集为{2xx ≤-∣或3}x ≥，所以732a-=，解得1a =，当1a =时，由32x a a x ≤-⎧⎪⎨--≤⎪⎩，解得2x ≤-，符合题意，故1a =.解法二：由()5f x ≥，得25x a x ++-≥，因为不等式()5f x ≥的解集为{2xx ≤-∣或3}x ≥，所以22253325a a -++--=++-=，，得1a =.经验证，1a =符合题意，故1a =.【小问2详解】因为()()1212f x x x x x =++-≥+--=3，当且仅当()()120x x +-≤时取等号，所以3M =，所以3b c +=.所以()111111111221141414b c c b b c c b c b ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫+=+++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当11b cc b +=+，即12b c ==，时取等号.。
2023年高三420理科数学模拟考试(学生版)——统考
绝密★启用前赤峰市高三年级4·20模拟考试试题理科数学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =,{}1,3U A B = ,(){}2,4U A B = ,则集合B 为（ ） A ．{}1,3,5,6,7,8 B ．{}2,4,5,6,7,8C ．{}5,6,7,8D ．{}1,2,3,42、棣莫弗公式()()cos sin cos ,sin nn r i r n i n θθθθ+=，（i 是虚数单位，0r >）是由法国数学家棣莫弗（16671754−）发现的.根据棣莫弗公式，在复平面内的复数112cos sin 44i ππ+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、在“万众创业”的大背景下，“直播电商”已经成为我国当前经济发展的新增长点，已知某电商平台的直播间经营化妆品和食品两大类商品，2022年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一个季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则（ ）A ．该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍；B ．该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的6倍；C ．该直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的3倍；D ．该直播间第三季度食品收入低于前两个季度的食品收入之和.4、函数()21sin f x x x x =−在()(),00,ππ− 上的图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ．5、九连环是中国杰出的益智游戏，九连环由9个相互连接的环组成，这9个环套在一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要将这9个环从柄上解下来(或套上)，规则如下:如果要解下(或套上)第n 环，则第1n −号环必须解下(或套上)，1n −往前的都要解下(或套上)才能实现.记解下n 连环所需的最少移动步数为n a ，已知()12121,2,213n n n a a a a a n −−===++≥，若要解下7环最少需要移动圆环步数为（ ） A ．42 B ．85 C ．170 D ．3416、下列选项中，命题p 是命题q 的充要条件的是（ ） A ．在ABC 中，:p A B >，:sin sin q A B >.B ．已知x ,y 是两个实数，2:230p x x −−≤，:02q x ≤≤.C ．对于两个实数x ,y ,:8p x y +≠，:3q x ≠或5y ≠.D ．两条直线方程分别是1:260l ax y ++=，()22:110l x a y a +−+−=,12:p l l ∥，:2q a =或1−.7、记函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ =+><< 的最小正周期为T .若()f T =,6x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．68、四叶草曲线是数学中的一种曲线，因形似花瓣，又被称为四叶玫瑰线(如右图)，其方程为()322228x y x y +=，玫瑰线在几何学、数学、物理学等领域中有广泛应用。
高三数学4月模拟考试试题理试题 2
2021届高三数学4月模拟考试试题 理全卷满分是150分，考试用时120分钟一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项 中，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1．i 是虚数单位，假设复数ii z -=123，那么z =〔 〕 A.i -1 B.i +1 C.i --1 D.i +-12．集合{})3lg(,11x y x B x x A -==⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=，那么〔 〕 A.)1,(-∞=B A B.)3,0(=B A C.φ=B C A R D.),1[+∞=B A C R3.等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且m a a a =++9513，那么9762S a a -=〔 〕 A.5m B.9m C.51 D.91 4．+∈R b a ,，那么“1>ab 〞是“2>+b a 〞的〔 〕A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．2021冠状病毒病〔 CoronaVirus Disease2021〔COVID-19〕〕是由新型冠状病毒〔2021-nCoV 〕引发的疾病，目前全球感染者以百万计，我国在HYHY 、国务院、HYHY 的坚强指导下，已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势仍然严峻，中小学仍然延期开学，所有学生按照停课不停学的要求，居家学习。
小李同学在居家学习期间，从网上购置了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员方案在下午4:00～5:00之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿效劳，按规定，他换班回家的时间是在下午4:30～5:00，那么小李父亲收到试卷无需等待的概率为〔 〕 A.81 B.41 C.43 D.876．][x 表示不超过x 的最大整数，〔如1]5.0[,1]2,1[-=-=〕，执行如下图的程序框图输出的结果为〔 〕A ，49850B ．49950 C. 50000 D ．50050 721)21(xx +的展开式中有理项的项数为〔 〕 8．函数x x x x f sin )(2+=的图像大致为〔 〕9．定义在R 上的函数y=f 〔x 〕是偶函数，且图像关于点〔1，0〕对称.假设当)1,0[∈x 时， x x f 2sin )(π=，那么函数x e x f x g --=)()(在区间]2020,2019[-上的零点个数为〔 〕A ．1009B ．202110．已函数],0[,cos sin )(2a x x x x f ∈+=的值域为]45,1[，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A.]6,0(π B.]3,0(π C.]2,6[ππ D.]2,3[ππ11．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，直线034=-y x 与双曲线右支交于点M ，假设OF OM =,|那么该双曲线的离心率为〔 〕 A.3 B.2 C.5 D.612．正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 是空间中任意一点，以下正确命题的个数是〔 〕①假设P 为棱1CC 中点，那么异面直线AP 与CD 所成角的正切值为25； ②假设P 在线段B A 1上运动，那么1PD AP +的最小值为226+； ③假设P 在半圆弧CD 上运动，当三棱锥ABC P -ABC P -的体积最大时，三棱锥ABC P -外接球的外表积为π2；④假设过点P 的平面α与正方体每条棱所成角相等，那么α截此正方体所得截面面积的最大值为433 A ．1个 B ．2个 C. 3个 D ．4个二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分13．)3,0(),2,1(-==b a ，那么向量b 在向量a 方向上的投影为 ．14．一般都认为?九章算术?是中国现存最古老的数学著作。
2019-2020年高三4月模拟数学(理)试题 含答案
12.定义域为R的函数满足，当时，则当时，函数恒成立，则实数的取值范围为（）
A.B.C.D.
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13.若函数在点处的切线为，则直线与轴的交点坐标为_________.
14.已知（为自然对数的底数），函数，则__________.
A.120种B.216种C.720种D.540种
4.已知向量若，则的最小值为（）
A．2B．4C．D．
5.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
6.已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）
A．32B．4C．8 D．2
7.已知数列满足，，，若数列满足，则（）
15.若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的系数为______.
16.对于函数和，下列说法正确的是.
（1）函数的图像关于直线对称；
（2）的图像关于直线对称；
（3）两函数的图像一共有10个交点；
（4）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于30；
（5）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于24.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
已知函数 ，其图象过点
（1）求的值；
（2）将函数图象上各点向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的单调递增区间.
18.（本小题满分12分）xx年10月莫言获得诺贝尔文学奖后，其家乡山东高密政府准备投资6.7亿元打造旅游带，包括莫言旧居周围的莫言文化体验区，红高粱文化休闲区，爱国主义教育基地等；为此某文化旅游公司向社会公开征集旅游带建设方案，在收到的方案中甲、乙、丙三个方案引起了专家评委的注意，现已知甲、乙、丙三个方案能被选中的概率分别为，且假设各自能否被选中是无关的.
高中毕业班4月份模拟试卷理科数学
绝密★启封并使用完毕前高中毕业班4月份模拟试卷理科数学(考试时间 120分钟 满分150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（1）已知集合{|(2)0},{2,1,0,1,2}A x x x B =-≤=--,则A B =A. {2,1}--B. {1,2}C. {1,0,1,2}-D. {0,1,2}（2）已知11zi i i =+-，则复数z 在复平面上所对应的点位于 A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限（3）已知向量(,),(1,2),a x y b ==- 且(1,3)a b += ，则|2|a b -=A.1B.3C.4D.5（4）已知命题:(0,),32x x p x ∀∈+∞>；命题:(,0),32q x x x ∃∈-∞>，则下列命题为真命题的是A. p q ∧B. ()p q ⌝∧C. ()p q ⌝∧D. ()()p q ⌝⌝∧（5）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,点F 到渐近线的距离为2a ,则该双曲线的离心率等于A.2B. 3C. 5D.3（6）已知函数()cos()(0)2f x x ππϕϕ=+<<的部分图像如图所示，0()(0)f x f =-，则正确的选项是 A.0,16x πϕ== B. 04,63x πϕ==C. 0,13x πϕ==D. 02,33x πϕ== （7）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为A. 2-B. 12C. 1-D. 2 （8）在长为2的线段AB 上任意取一点C ，以线段AC 为半径的圆面积小于π的概率为A.14B. 12C. 34D. 4π（9）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是 俯视图侧（左）视图1122正（主）视图。
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高三4月模拟考试理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在指定位置上） 1．=++2)3(31i i [ B ]A ．41B ．21C ．i 4341--D ．i 4321--2．下列命题中，正确的个数是[ B ]①若|a →|＋|b →|＝0，则a →＝b →＝o →； ②在△ABC 中，若OA →＋OB →＋OC →＝O →，则O 为△ABC 的重心；③若a →，b →是共线向量，则a →·b →＝|a →|·|b →|，反之也成立；④若a →，b →是非零向量，则a →＋b →＝o →的充要条件是存在非零向量C →，使a →·c →＋b →·c →＝0． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．若命题P ：x ∈A ∩B ，则﹁P [ B ]A ．x ∈A 且x ∈B B ．x ∈A 或x ∈BC ．x ∈A 且x ∈BD ．x ∈A ∪B4．已知函数f(x)＝log 2|ax －1| (a ≠0)满足关系式f(－2＋x)＝f(―2―x)，则a 的值为[ C ]A ．1B ． 14C ．－12 D ．－15．已知f(x)＝2x ＋3,(x ∈R)，若|f(x)－1|＜a 的必要条件是|x ＋1|＜b ，(a 、b ＞0)．则a 、b 之间的关系是[ C ]A ．a ≤b 2B ．b ＜a 2C ．b ≥a 2D ．a ＞b26．已知)2(),1(3)(2f f x x x f ''+=则=[ A ] A ．0B ．2C ．4D ．87．如图，在∠AOB 的两边上分别为A 1、A 2、A 3、A 4和B 1、B 2、B 3、B 4、B 5共9个点，连结线段A i B i （1≤i≤4,1≤j≤5），如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则图中共有[ A ]对“和睦线” （ ）A ．60B ．62C ．72D ．1248．函数y ＝－3sinx ＋cosx 在x ∈[－π6,π6]时的值域是[ C ]A ．[0,62] B ．[－3,0]C ．[0, 3]D ．[0,1]9．在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是[ C ]A ．15B ．14C ．13D ．1210．已知椭圆12222=+by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，且|F 1F 2|=2c ，点A 在椭圆上，211F F ⋅=0221c AF =⋅，则椭圆的离心率e=[ C ]A ．33 B ．213- C ．215- D ．22第Ⅱ卷（非选择题，共计100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确的答案填在指定位置上）11．若数列x,a 1,a 2,y 成等差数列，x,b 1,b 2,y 成等比数列，则(a 1＋a 2)2b 1·b 2的取值范围是 (－∞,0)∪[4,＋∞] ．12．将函数y ＝x 2的图象F 按向量a →＝(3,－2)平移到F ′，则F ′的函数解析式为 y ＝x 2－6x ＋7 ． 13．设随机变量ξ服从正态分布N(1,22)，若P(ξ≤c)＝43P(ξ＞c)，则常数c= 5 (参考数据：φ(2)＝0.9773)14．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“○＋”如下：当a ≥b 时，a ○＋b ＝a ；当a ＜b 时，a ○＋b ＝b 2；则函数f(x)＝(1○＋x)·x ―(2○＋x)，x ∈[―2,2]的最大值等于 6 (“·”与“－”分别为乘法与减法)． 15．设,)1(log )1(2)(2⎩⎨⎧>≤+=x x x a x x f 若)(lim 1x f x →存在，则常数=a __－2 .三．解答题（本大题共6个小题，共75分）．16．(本小题满分12分)已知向量OA →＝(cos 4x,－1)，OB →＝(1,cin 4x ＋3sin2x)，x ∈R ，f(x)＝OA →·OB →．(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若x ∈[0,π2]，求f(x)的最值及相应的x 值． 解：f(x)＝OA →·OB →＝cos 4x ―sin 4x ―3sin2x ＝cos2x －3sin2x ＝2cos(2x ＋π3)．(1)函数f(x)的最小正周期T ＝π．(2)．∵x ∈[0,π2]∴2x ＋π3∈[π3,4π3]． ∴当2x ＋π3＝π3即x ＝0时，f(x)mox ＝1．当2x ＋π3＝π即x ＝π3时，f(x)min ＝－2．17． (本小题满分12分)某校的一个研究性学习小组进行一种验证性实验，已知该种实验每次实验成功的概率为12． （1）求他们做了5次这种实验至少有2次成功的概率；（2）如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，但实验的总次数最多不超过5次，求该小组做实验的次数ξ的概率分布列和期望．解：（1）设5次实验中，只成功一次为事件A ，一次都不成功为事件B ，至少2次成功为事件C ，则P(C)=1－P(A+B)=1－P(A)－P(B)------------------2分 =1-55515)21()21(C C -=1613 所以5次实验至少2次成功的概率为1613.---------------------5分 (2) ξ的可能取值为2,3,4,5. 又∵41)21()2(2===ξP ；41)21()3(312===C P ξ 163)21()4(413===C P ξ 165)21()21()21()5(515505514=++==C C C P ξ-----------9分（每对一个得1 分） ∴ξ的分布列为：----------------------------10分∴E ξ=41×2+41×3+163×4+165×5=1657-------------------------12分18．(本小题满分12分)平面内有向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，OP →＝(2,1)，点Q 为直线OP 上的一个动点．(1)当QA →·QB →取最小值时，求OQ →的坐标；(2)当点Q 满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AQB 的值．解：设OQ →＝(x.y)，∵OQ →与OP →共线⇒x ＝2y ． ∴OQ →＝(2y,y)，又QA →＝OA →－OQ →＝(1―2y,7―y)，QB →＝OB →－OQ →＝(5―2y,1―y)．∴QA →·QB →＝(1―2y)(5―2y)＋(7―y)(1―y) ＝5y 2－20y ＋12 ＝5(y ―2)2―8≥―8．此时y ＝2，OQ →＝(4,2)． (2)当OQ →＝(4,2)时，QA →＝(－3,5)，QB →＝(1,－1)， QA →·QB →＝－8．∴cos ∠AQB ＝QA →·QB →|QA →|·|QB →|＝－8 34·2＝－41717．19． (本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCD P -中，侧棱PA ⊥底面ABCD ， AD ∥BC ，∠ABC=2π，a AD PA AB ===31，52arccos =∠ADC ． （Ⅰ） 求点D 到平面PBC 的距离； （Ⅱ） 求二面角A PD C --的大小．解：（Ⅰ）如图，在四棱锥ABCD P -中，∵BC ∥AD ，从而点D 到平面PBC 间的距离等于点A 到平面PBC 的距离.∵∠ABC=2π，∴AB ⊥BC ， 又PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥BC ，∴BC ⊥平面 PAB ，………………2分∴平面PAB ⊥平面PBC ，交线为PB ，过A 作AE ⊥PB ，垂足为E ，则AE ⊥平面PBC ， ∴AE 的长等于点D 到平面PBC 的距离．而a PA AB ==，∴a AE 22=．………5分 x即点D 到平面PBC 的距离为a 22．………………6分 （Ⅱ） ∵PA ⊥底面ABCD ，∴平面PAD ⊥底面ABCD ， 引CM ⊥AD 于M ，MN ⊥PD 于N ，则CM ⊥平面PAD ， ∴MN 是CN 在平面PAD 上的射影， 由三垂线定理可知CN ⊥PD ，∴∠CNM 是二面角A PD C --的平面角．…………9分 依题意52arccos=∠ADC ，a AD PA AB ===31， ∴213tan =-=-=∠BC a a BC AD AB ADC ，∴a BC =，可知AD DM 32=，∴a a a a a PA AD PA AD MN 529332322222=+⋅=+⋅=，21052tan ===a a MNCMCMN ，∴二面角A PD C --的大小为210arctan …… 12分解法二：如图, A 为原点，分别以AD 、AB 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. （Ⅰ）依题意52arccos=∠ADC ，a AD PA AB ===31， ∴213tan =-=-=∠BC a a BC AD AB ADC ，∴a BC =. 则)0,,(a a C ，)0,,0(a B ，),00(a P ，)0,0,3(a D ，∴),,0(a a -=，)0,0,(a =，)0,,2a a -=. 设平面PBC 的一个法向量为),,(z y x n =，则⎩⎨⎧==-+.0,0ax az ay x 令1=z ，得)1,1,0(=， 则点D 到平面PBC ==2a a 22．……………6分 （Ⅱ） ∵AB ⊥PA ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥底面PDA ，∴平面PDA 的一个法向量为)0,1,0(1=n .设平面PDC 的一个法向量为),,(2z y x n =， ∵)0,,2(a a DC -=，),0,3(a a PD -=，∴⎩⎨⎧=-=+-.03,02az ax ay ax令1=x ，得)3,2,1(2=n ，∴7141412,cos 21=⨯>=<n n . ∵二面角A PD C --是锐二面角，∴二面角A PD C --的大小为714arccos ．……12分 20.（本小题满分13分）如图，F 是抛物线x y 42=的焦点，Q 是准线与x 轴的交点，直线 经过点Q 。
（1） 直线 与抛物线有唯一公共点，求 的方程； （2） 直线 与抛物线交于A ，B 两点，（Ⅰ）记FB FA ,的斜率分别为21,k k ，求21k k +的值； （Ⅱ）若点R 在线段AB 上，且满足||||||||QB AQ RB AR =，求点R 的轨迹方程。