第九章 组合变形
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材料力学09组合变形_1斜弯曲_土
解： 梁为斜弯曲 作弯矩图 可见危险截面位于固定 端处，其上铅垂弯矩、 水平弯矩分别为
Mz 1.5 kN m
M y 2 kN m
1.5 kN m Mz
2 kN m
My
x x
9
抗弯截面系数
Wz
bh2 6
46875 mm3
Wy
hb2 6
31250
mm3
1.5 kN m
第九章 组合变形
第一节 引 言
主要任务： 解决组合变形杆件的强度问题 基本假设： 在线弹性、小变形条件下，假设组合变形中的每一
种基本变形彼此独立、互不影响。 基本方法： 叠加法，即将组合变形分解为几种基本变形，分别
计算每种基本变形的内力、应力；然后进行叠加， 确定构件的危险截面、危险点以及危险点的应力状 态；最终建立组合变形杆件的强度条件。
解： 大梁为斜弯曲 当小车行至梁跨度中点时，
梁的最大弯矩最大。
将 F 沿 y、z 主轴分解，有
Fy F cos 29 kN
Fz F sin 7.76 kN
作弯矩图， 可见跨中截面为危 x
险截面，其上铅垂弯矩、水平 M z
Mz
弯矩分别为 x
Mz Fy l / 4 29 kN m
max
M max Wz
Fl 4 43.3 MPa Wz
可见，载荷虽然只偏离了铅垂线 15°，但最大正应力却为原来的 3.5 倍。因此，当截面的 Wz 和 Wy 相差较大时，应尽量避免斜弯 曲。
8
[例2] 图示矩形截面梁，已知 l = 1m，b = 50 mm，h = 75 mm。试 求梁中最大正应力及其作用点位置。若截面改为直径 d = 65 mm 的 圆形，再求其最大正应力。
组合变形
Iy
32.2 MPa t
40.2 MPa c
※立柱不满足强度要求
例3：图示矩形截面钢杆,用应变片测得上下表面的 轴向正应变分别为a=1×10-3，b=0.4×10-3,材料的 弹性模量E=210GPa.(1)试绘制横截面上的正应力 分布图；(2)求拉力P及偏心距。 a P P a 25 b 5
S
F
M
a
C
y
1
F
1
Mz Wz
例1 工字梁两端简支，载 荷P=60KN ，若材料 的[σ]=160MPa，试选 择工字钢型号
解：1.分解载荷
Py P s in 2 0 .5 2 K N P Pz P c o s 5 6 .3 8 K N
弯曲(xoy平面) 弯曲(xoz平面)
5 6 .3 8 kN m
C
z
E
例5：短柱的形心为矩形，尺寸为bh，试确定截 面核心 若中性轴与AB边重合： z 中性轴在坐标轴的截距：
A
b B
D a h/6 h C
i
yP
2 z
2 z
ay
h 2
, az
ya y
IZ A
i
2 z
yP
，a z
bh
3
i
2 y
zP
2
12 2 bh 12 h
11.6
A
3
FN
M max WZ
0.2 0.3
FN A
(5.83 5.83) 11.66 MPa
350 10 0.2
2 3
8.75
350 50 6 0.2 0.3
32.2 MPa t
40.2 MPa c
※立柱不满足强度要求
例3：图示矩形截面钢杆,用应变片测得上下表面的 轴向正应变分别为a=1×10-3，b=0.4×10-3,材料的 弹性模量E=210GPa.(1)试绘制横截面上的正应力 分布图；(2)求拉力P及偏心距。 a P P a 25 b 5
S
F
M
a
C
y
1
F
1
Mz Wz
例1 工字梁两端简支，载 荷P=60KN ，若材料 的[σ]=160MPa，试选 择工字钢型号
解：1.分解载荷
Py P s in 2 0 .5 2 K N P Pz P c o s 5 6 .3 8 K N
弯曲(xoy平面) 弯曲(xoz平面)
5 6 .3 8 kN m
C
z
E
例5：短柱的形心为矩形，尺寸为bh，试确定截 面核心 若中性轴与AB边重合： z 中性轴在坐标轴的截距：
A
b B
D a h/6 h C
i
yP
2 z
2 z
ay
h 2
, az
ya y
IZ A
i
2 z
yP
，a z
bh
3
i
2 y
zP
2
12 2 bh 12 h
11.6
A
3
FN
M max WZ
0.2 0.3
FN A
(5.83 5.83) 11.66 MPa
350 10 0.2
2 3
8.75
350 50 6 0.2 0.3
最新9组合变形汇总
例9-5：图示Z形截面杆，在自由端作用一集中力F，该杆的变 形设有四种答案：
（A）平面弯曲变形； （B）斜弯曲变形； （C）弯扭组合变形； （D）压弯组合变形。
F
F
例9-6：具有切槽的正方形木杆，受力如 图。求：
（1）m-m截面上的最大拉应力σt 和最 大压应力σc；
（2）此σt是截面削弱前的σt值的几倍？
大小有关，而与外力的大小无关；②一般情况下，I y I z 中性轴不与外力作用平面垂直；③对于圆形、正方形和正
多边形，通过形心的轴都是形心主轴，Iy Iz,
此时梁不会发生斜弯曲。
〈四〉强度校核：
对矩形截面，可以直接断定截面的 LmaxYmax必发生在
' '' 具有相同符号的截面角点处。
max
y
zP z iy2
0
根据该方程式可知中性轴是不过形心的直线。
现令：应力零线N-N，它在y、z轴上的截距分别为 a y a z 分别将
ay,0 0, az 代入 k 表达式得：
ay
iZ 2 yP
aZ
iy2 zP
由ay、az就可把应力零线的位置确定下来，应力零线就是该 截面的中性轴。上式表明ay、az 均与yp 、 zp符号相反，所以中性 轴与偏心压力分别在坐标原点的两侧，以中性轴为界，一侧受
曲。
思考题
正方形，圆形，当外力作用线通过截面形心时，为平面弯曲还 是斜弯曲？
目录
§9-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
例1：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知 圆杆直径d=100mm，试求圆杆的最大拉应力σt 和最大压应力 σc 。
解： X A 3 kN
YA 4 kN
任 意 横 截 面 x上 的 内 力 :
《材料力学组合变形》课件
这种变形通常发生在承受轴向力 和弯矩的杆件中，其变形特点是 杆件既有伸长或缩短，又有弯曲 。
拉伸与压缩组合变形的分析方法
01
02
03
弹性分析方法
基于弹性力学的基本原理 ，通过求解弹性方程来分 析杆件内部的应力和应变 分布。
塑性分析方法
在材料进入塑性阶段后， 采用塑性力学的基本理论 来分析杆件的承载能力和 变形行为。
材料力学在组合变形中的应用实例
01
02
03
04
桥梁工程
桥梁的受力分析、桥墩的稳定 性分析等。
建筑结构
高层建筑、大跨度结构的受力 分析、抗震设计等。
机械工程
机械零件的强度、刚度和稳定 性分析，如轴、轴承、齿轮等
。
航空航天
飞机和航天器的结构分析、材 料选择和制造工艺等。
材料力学在组合变形中的发展趋势
特点
剪切与扭转组合变形具有复杂性和多样性，其变形行为受到多种因素的影响，如 材料的性质、杆件的长度和截面尺寸、剪切和扭转的相对大小等。
剪切与扭转组合变形的分析方法
1 2 3
工程近似法
在分析剪切与扭转组合变形时，通常采用工程近 似法，通过简化模型和假设来计算杆件的应力和 变形。
有限元法
有限元法是一种数值分析方法，可以模拟杆件在 剪切与扭转组合变形中的真实行为，提供更精确 的结果。
弯曲组合变形的分析方法
叠加法
刚度矩阵法
叠加法是分析弯曲组合变形的基本方 法之一。该方法基于线性弹性力学理 论，认为各种基本变形的应力、应变 分量可以分别计算，然后按照线性叠 加原理得到最终的应力、应变分布。
刚度矩阵法是通过建立物体内任意一 点的应力、应变与外力之间的关系， 来求解复杂变形问题的一种方法。对 于弯曲组合变形，可以通过构建系统 的刚度矩阵来求解。
拉伸与压缩组合变形的分析方法
01
02
03
弹性分析方法
基于弹性力学的基本原理 ，通过求解弹性方程来分 析杆件内部的应力和应变 分布。
塑性分析方法
在材料进入塑性阶段后， 采用塑性力学的基本理论 来分析杆件的承载能力和 变形行为。
材料力学在组合变形中的应用实例
01
02
03
04
桥梁工程
桥梁的受力分析、桥墩的稳定 性分析等。
建筑结构
高层建筑、大跨度结构的受力 分析、抗震设计等。
机械工程
机械零件的强度、刚度和稳定 性分析，如轴、轴承、齿轮等
。
航空航天
飞机和航天器的结构分析、材 料选择和制造工艺等。
材料力学在组合变形中的发展趋势
特点
剪切与扭转组合变形具有复杂性和多样性，其变形行为受到多种因素的影响，如 材料的性质、杆件的长度和截面尺寸、剪切和扭转的相对大小等。
剪切与扭转组合变形的分析方法
1 2 3
工程近似法
在分析剪切与扭转组合变形时，通常采用工程近 似法，通过简化模型和假设来计算杆件的应力和 变形。
有限元法
有限元法是一种数值分析方法，可以模拟杆件在 剪切与扭转组合变形中的真实行为，提供更精确 的结果。
弯曲组合变形的分析方法
叠加法
刚度矩阵法
叠加法是分析弯曲组合变形的基本方 法之一。该方法基于线性弹性力学理 论，认为各种基本变形的应力、应变 分量可以分别计算，然后按照线性叠 加原理得到最终的应力、应变分布。
刚度矩阵法是通过建立物体内任意一 点的应力、应变与外力之间的关系， 来求解复杂变形问题的一种方法。对 于弯曲组合变形，可以通过构建系统 的刚度矩阵来求解。
9.组合变形
2 y
2 z
设挠度 的方向与Y轴间的夹角 ，则：
z Iz tg tg y Iy
讨论：由上式可看出：要使得 必须：I z I y 即，只 有在 I z I y 的条件下，才是平面弯曲， 否则是斜弯 曲。
思考题
正方形，圆形，当外力作用线通过截面形心时，为平面弯曲还 是斜弯曲？
总目录
本章要点
（1）斜弯曲 （2）偏心压缩 （3）弯扭组合变形
重要概念
组合变形、斜弯曲、偏心压缩、弯扭组合
§9-1 概述
*工程中几种常见的组合变形：
斜弯曲 —————斜屋架上的檩条 拉弯组合 ————冻结管 偏心压缩 ————设有吊车的厂房柱子 弯扭组合变形——机床中靠齿轮传递的轴
由于组合变形是几种基本变形相互组合的结果， 因此，在进行组合变形下的强度和刚度计算时，只 需分别计算形成这种组合变形的几种基本变形下的 应力和变形，然后进行叠加即可得到组合变形下的 应力和变形。 计算组合变形强度问题的步骤如下：
可得中性轴的方程式为：
yP y z P z 1 2 2 0 iz iy
根据该方程式可知中性轴是不过形心的直线。
现令：应力零线N-N，它在y、z轴上的截距分别为 a y a z 分别将 a y ,0 0, az 代入 k 表达式得：
iZ 2 ay yP
aZ
2 1 2 2 1 2 2 3 3 1 2
将C式代入上式，简化整理后可得：
W 3
2
2 n
代入<a><b>式即可得：
1 W
M W 0.75Tn2
材料力学斜弯曲
Iy z1 Iz y1
y
中性轴
Fl
另一条类似。
四、挠度的方向
z F wy
l
x
y
w φ β wz
F
Fl 3 sin 自由端 wy 3EI z
方向
Fl 3 cos wz 3EI y
t an
wy wz
Iy Iz
t an
结论
挠度
中性轴
t an
一、概念
z
Fy
φ
F
Fz
外力：作用线不与形心主 惯性轴重合； 内力: 弯矩矢不与形心主 惯性轴重合（可分解成两 y 个形心主惯性轴方向的弯 矩）； 变形：挠曲线不与载荷线 共面。
斜弯曲
F1
平面弯曲
F2
二、正应力强度条件
例：分析图示斜弯曲变形
z
z
y φ
y
F
A
F φ
B
l
z
y
1.分类：
平面弯曲（绕 y 轴） + 平面弯曲（绕 z 轴）
图中力F是否使梁产生平面弯曲？
F
z y
F
F
z z y
y
弯曲中心的意义
非对称截面梁平面弯曲的条件： 1.外力平行于形心主惯性平面 保证 Iyz=0
（推导弯曲正应力时要求满足Iyz=0）
F
M
2.外力作用线通过弯曲中心 保证 不扭转
图中力F使梁产生平面弯曲， 同时还产生扭转。
A
y
C
z
§9.3 拉（压）弯组合
A
D1
t max
D2
M y max M z max t max 单向应力状态 W c max Wz y
y
中性轴
Fl
另一条类似。
四、挠度的方向
z F wy
l
x
y
w φ β wz
F
Fl 3 sin 自由端 wy 3EI z
方向
Fl 3 cos wz 3EI y
t an
wy wz
Iy Iz
t an
结论
挠度
中性轴
t an
一、概念
z
Fy
φ
F
Fz
外力：作用线不与形心主 惯性轴重合； 内力: 弯矩矢不与形心主 惯性轴重合（可分解成两 y 个形心主惯性轴方向的弯 矩）； 变形：挠曲线不与载荷线 共面。
斜弯曲
F1
平面弯曲
F2
二、正应力强度条件
例：分析图示斜弯曲变形
z
z
y φ
y
F
A
F φ
B
l
z
y
1.分类：
平面弯曲（绕 y 轴） + 平面弯曲（绕 z 轴）
图中力F是否使梁产生平面弯曲？
F
z y
F
F
z z y
y
弯曲中心的意义
非对称截面梁平面弯曲的条件： 1.外力平行于形心主惯性平面 保证 Iyz=0
（推导弯曲正应力时要求满足Iyz=0）
F
M
2.外力作用线通过弯曲中心 保证 不扭转
图中力F使梁产生平面弯曲， 同时还产生扭转。
A
y
C
z
§9.3 拉（压）弯组合
A
D1
t max
D2
M y max M z max t max 单向应力状态 W c max Wz y
第九章 组合变形
一、是非题9.1 斜弯曲时，危险截面上的危险点是距形心主轴最远的点。
（）9.2 工字形截面梁发生偏心拉伸变形时，其最大拉应力一定在截面的角点处。
（）9.3 对于偏心拉伸或偏心压缩杆件，都可以采用限制偏心矩的方法，以达到使全部截面上都不出现拉应力的目的。
（）9.4 直径为d 的圆轴，其危险截面上同时承受弯矩M 、扭矩T 及轴力N 的作用。
若按第三强度理论计算，则危险点处的9.5 图示矩形截面梁，其最大拉应力发生在固定端截面的a 点处。
（）二、选择题9.6 图（ a ）杆件承受轴向拉力F ，若在杆上分别开一侧、两侧切口如图（ b ）、图（ c ）所示。
令杆（ a ）、（ b ）、（ c ）中的最大拉应力分别为和，则下列结论中（）是错误的。
A. B.C. D.9.7 对于偏心压缩的杆件，下述结论中（）是错误的。
A. 截面核心是指保证中性轴不穿过横截面的、位于截面形心附近的一个区域B. 中性轴是一条不通过截面形心的直线C. 外力作用点与中性轴始终处于截面形心的相对两边D. 截面核心与截面的形状、尺寸及载荷大小有关三. 计算题9.8材料为灰铸铁HT 15－33的压力机框架如图所示。
许用拉应力为，许用压应力为，试校核该框架立柱的强度。
9.9图示皮带轮传动轴，传递功率N =7kW ，转速n =200 r/min 。
皮带轮重量Q =1.8 kN 。
左端齿轮上啮合力与齿轮节圆切线的夹角（压力角）为。
轴的材料为A5钢，其许用应力。
试分别在忽略和考虑皮带轮重量的两种情况下，按第三强度理论估算轴的直径。
答案9.1 × 9.2 √ 9.3 × 9.4 √ 9.5 √ 9.6 C 9.7 D9.8解：9.9解：。
材料力学 第九章组合变形杆件强度计算
cos sin y0 + z0 = 0 Iz Iy
—— 中性轴方程(过截面形心的直线) 中性轴方程(过截面形心的直线)
b 中性轴 α
cos sin y0 + z0 = 0 Iz Iy
z
d
设中性轴与水平对称轴 z 的夹角为 ,则: 的夹角为α,
y0 tan α = z0
I z sin I y cos
=9.57mm
§9-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合 拉伸(压缩)
当杆受轴向力F和横向力 共同作用时 当杆受轴向力 和横向力q共同作用时,杆将产 和横向力 共同作用时, 生拉伸(压缩)和弯曲组合变形. 生拉伸(压缩)和弯曲组合变形. q F
A B
F
对于弯曲刚度EI较大的杆, 对于弯曲刚度 较大的杆,由横向力引起的弯 较大的杆 曲变形与截面尺寸相比很小,因此, 曲变形与截面尺寸相比很小,因此,由轴向力在弯 曲变形上引起的附加弯矩可以忽略不计. 曲变形上引起的附加弯矩可以忽略不计. 附加弯矩可以忽略不计 q F F A B w x FA q FS M=FAx-qx2/2-Fw F A M w FN x 附加弯矩 FA
第九章 组合变形杆件 的强度计算
作者:黄孟生
§ 9 -1 概 述
构件发生两种或两种以上基本变形的组合, 构件发生两种或两种以上基本变形的组合,若几种变 形所对应的应力(或变形)属于同一数量级. 形所对应的应力(或变形)属于同一数量级.则构 件的变形称为组合变形. 组合变形.
组合变形的实例: 组合变形的实例
F
y
=
Iz = tan Iy
斜弯曲时, 注:① 当 Iy≠Iz 时,则α≠ .斜弯曲时,中性轴与外力作用
线不垂直. 线不垂直. ② 当Iy = Iz 时,则α= 只发生平面弯曲,而不发生斜 .只发生平面弯曲, 弯曲. 弯曲.
组合变形
MT WT
在杆的根部a处取一单元体分析
y 0, x B , x T
计算主应力
1 B B 2 2 ( ) T 2 3 2
2 0
第三、第四强度理论
r 3 4
2 B 2 T
2 2 r4 B 3 T
即最大安全载荷为 790N。
r3
M 2 T2 W
(0.2Q ) 2 (0.18Q ) 2 6 80 10 0.033 32 Q 790N
例8-5 某齿轮轴，n=265r/min、NK=10kW、D1=396mm， D2=168mm， =20o ， d=50mm，[]= 50MPa。校核轴的强度。
C max
N M max c A Wz
例8-1 悬臂吊车,横梁由 25 a 号工字钢制成，l=4m，电葫芦重 Q1=4kN，起重量Q2=20kN, =30º , []=100MPa，试校核强度。
（1）外力计算
取横梁AB为研究对象，受力如 图b所示。
梁 上载荷为 P =Q1+Q2 = 24kN， 斜杆的拉力S 可分解为XB和YB
f
f f
2 y
2 z
如悬臂梁自由端挠度等于P的分量 平面内挠度的几何叠加。
py , pz
在各自弯曲
pl 3 fy cos 3 EI z 3 EI z pz l 3 pl 3 fz sin 3 EI y 3 EI y
pyl 3
故自由端的总挠度：
f
f f
2 y
2 z
总挠度 f 的方向线与y轴之间的夹角 可由下式求得
如图b所示。
（2）作内力图
建筑力学与结构——组合变形
现以矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲的应力和变形的计算。 如下图右所示悬臂梁，在自由端受集中力F作用，F通过截面形心并 与y轴成φ角。 选取坐标系如下图右所示，梁轴线作为x轴，两个对称轴分别作为y轴 和z轴
一、应力 将力F沿y轴和z轴分解为两个分量Fy和Fz，得：
这两个分量分别引起沿铅垂面和水平面的平面弯曲。求距 自由端为x的截面上任意点K的正应力，该点的坐标为z和y。
课题2 斜弯曲变形的应力和强度计算
在前面曾经指出，对于横截面具有对称轴的梁，当外力作用在纵向 对称平面内时，梁的轴线在变形后将变成为一条位于纵向对称面内的平 面曲线。这种变形形式称为平面弯曲。
但当外力不作用在纵向对称平面内时，如下图所示。实验及理论研 究表明，此时梁的挠曲线并不在梁的纵向对称平面内，即不属于平面弯 曲，这种弯曲称为斜弯曲。
σmax发生在D1点，最小正应力σmin发生在D2点，且ymax = |ymin|, Zmax=|Zmin|，σmax=|σmin| ,因此
若材料的抗拉与抗压强度相同，其强度条件就可以写为：
对于不易确定危险点的截面，例如边界没有棱角而呈 弧线的截面，如下图左所示，则需要研究应力的分布规律， 确定中性轴位置。为此，将斜弯曲正应力表达式改写为
在作强度计算时，须先确定危险截面，然后在危险截面上确定危险 点。对斜弯曲来说，与平面弯曲一样，通常也是由最大正应力控制。所 以对如上图右所示的悬臂梁来说，危险截面显然在固定端，因为该处弯 矩Mz和My的绝对值达到最大。至于要确定该截面上的危险点的位置，则 对于工程中常用的具有凸角而又有两条对称轴的截面，如矩形、工字形 等，根据对变形的判断，可知最大正应力
由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线。设它 与z轴的夹角为α， 如下图所示，则有
一、应力 将力F沿y轴和z轴分解为两个分量Fy和Fz，得：
这两个分量分别引起沿铅垂面和水平面的平面弯曲。求距 自由端为x的截面上任意点K的正应力，该点的坐标为z和y。
课题2 斜弯曲变形的应力和强度计算
在前面曾经指出，对于横截面具有对称轴的梁，当外力作用在纵向 对称平面内时，梁的轴线在变形后将变成为一条位于纵向对称面内的平 面曲线。这种变形形式称为平面弯曲。
但当外力不作用在纵向对称平面内时，如下图所示。实验及理论研 究表明，此时梁的挠曲线并不在梁的纵向对称平面内，即不属于平面弯 曲，这种弯曲称为斜弯曲。
σmax发生在D1点，最小正应力σmin发生在D2点，且ymax = |ymin|, Zmax=|Zmin|，σmax=|σmin| ,因此
若材料的抗拉与抗压强度相同，其强度条件就可以写为：
对于不易确定危险点的截面，例如边界没有棱角而呈 弧线的截面，如下图左所示，则需要研究应力的分布规律， 确定中性轴位置。为此，将斜弯曲正应力表达式改写为
在作强度计算时，须先确定危险截面，然后在危险截面上确定危险 点。对斜弯曲来说，与平面弯曲一样，通常也是由最大正应力控制。所 以对如上图右所示的悬臂梁来说，危险截面显然在固定端，因为该处弯 矩Mz和My的绝对值达到最大。至于要确定该截面上的危险点的位置，则 对于工程中常用的具有凸角而又有两条对称轴的截面，如矩形、工字形 等，根据对变形的判断，可知最大正应力
由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线。设它 与z轴的夹角为α， 如下图所示，则有
组合变形
三向受拉应力状态。
1 b
断裂破坏仅与最大正应力有关。适用于脆性材料的二向或
2最大正应变理论（第二强度理论） ：
由于
1 1 [ 1 ( 2 3 )] E
1 b
当最大正应变等于强度极限对应的正应变时，断裂破坏。
b
b
E
1 ( 2 3 ) b
m
x
m m
Pz
z Py y
m
z
P
P
y
Py P sin Pz P cos
矩形截面梁，作用集中力P与Z轴成角，确定m—m截面的应力
m
m
Mz
z
Mz My
m
z
My
m
M
y
y
Py P sin Pz P cos M yz Iy
Mzy Iz
M y Pz x Px cos M cos M z Py x Px sin M sin
z y cos sin 0 Iy Iz
过形心的斜直线
最大、最小正应力，a、b两点。
斜弯曲时中性轴斜率与弯矩作用面的关系
z y cos sin 0 中性轴方程 Iy Iz z Iy tan tan y Iz
z
y
中性轴
当 I y I z 时， 说明载荷作用面与中性层不垂直 当 Iy Iz 时
1 3 2
对应第四强度理论
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 3 2
复杂应力状态危险点单元体的强度条件：
ri [ ]
ri
1 b
断裂破坏仅与最大正应力有关。适用于脆性材料的二向或
2最大正应变理论（第二强度理论） ：
由于
1 1 [ 1 ( 2 3 )] E
1 b
当最大正应变等于强度极限对应的正应变时，断裂破坏。
b
b
E
1 ( 2 3 ) b
m
x
m m
Pz
z Py y
m
z
P
P
y
Py P sin Pz P cos
矩形截面梁，作用集中力P与Z轴成角，确定m—m截面的应力
m
m
Mz
z
Mz My
m
z
My
m
M
y
y
Py P sin Pz P cos M yz Iy
Mzy Iz
M y Pz x Px cos M cos M z Py x Px sin M sin
z y cos sin 0 Iy Iz
过形心的斜直线
最大、最小正应力，a、b两点。
斜弯曲时中性轴斜率与弯矩作用面的关系
z y cos sin 0 中性轴方程 Iy Iz z Iy tan tan y Iz
z
y
中性轴
当 I y I z 时， 说明载荷作用面与中性层不垂直 当 Iy Iz 时
1 3 2
对应第四强度理论
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 3 2
复杂应力状态危险点单元体的强度条件：
ri [ ]
ri
组合变形
第九章 组合变形授课学时：8学时主要内容：拉弯、斜弯曲和弯扭组合变形的强度和变形的校核和计算。
§9–1 概 述1．定义在复杂外载荷作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合变形。
2．组合变形形式两个平面弯曲的组合；拉伸或压缩与弯曲的组合；扭转与弯曲。
3．组合变形的研究方法 —— 叠加原理 对于线弹性状态的构件，将其组合变形分解为基本变形，考虑在每一种基本变形下的应力和变形，然后进行叠加。
4．解题步骤外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解内力分析：求出每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。
应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度条件。
§9–2拉(压)弯组合例 起重机的最大吊重kN P 12=，[]2/100m kN =σ。
试为横梁AB 选择适用的工字钢。
解：（1）受力分析由0=∑AM得kN T y 18=，kN T T y x 245.12==（2）作AB 的弯矩图和剪力图，确定C（3）确定工字钢型号按弯曲强度确定工字钢的抗弯截面系数[]363120101001012cm MW =⨯⨯=≥σ查表取3141cm W =的16号工字钢，其横截面积为21.26cm 。
在C 左侧的下边缘压应力最大，需要进行校核。
+=MPaMPa W M A N 1003.94101411012104.2610246343max max <=⨯⨯+⨯⨯=+=--σ固所选工字钢为合适。
§9–3斜弯曲1．斜弯曲概念：梁的横向力不与横截面对称轴或形心主惯性轴重合，这时杆件将在形心主惯性平面内发生弯曲，变形后的轴线与外力不在同一纵向平面内，2．解题方法1）分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。
2）叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。
例 矩形截面悬臂梁，求根部的最大应力和梁端部的位移。
009-第九章-强度理论与组合变形
试：全面校核（主应力）梁的强度。
F
F=100kN
Z
0.32m
0.32m
Fs
100kN
X
100kN M
32kNm
X
第11页，共85页。
7K 100
88.6 11.4
I z 2370 104 mm4
Wz 237 103 mm3
Iz
/
S
z
max
17.2cm
解：1、画内力图
11
2、最大正应力校核
max
3、最大切应力理论（第三强度理论）
强度条件： 1 3
4、最大形状改变比能理论： （第四强度理论；均方根理论；歪形能理论；畸形能理论）
强度条件：
1
2
(1 2 )2
( 2
3 )2
( 3
1)2
22
第22页，共85页。
三、结论： xd ( ; r )
r1 1 r 2 1 ( 2 3 )
9
第9页，共85页。
强度理论的应用——
x
max
min
x
2
( x )2
2
xy 2
1
3
xy
r3 x2 4 xy2
r4 x2 3 xy2
使用条件：屈服破坏， 2 0 。
10
第10页，共85页。
例：如图所示工字型截面梁，已知〔σ〕=180MPa〔τ 〕 =100MPa
29
第29页，共85页。
§8—5 斜弯曲
一、斜弯曲的概念
梁上的外力都垂直于轴线，外力的作用面不在梁的纵向对称面 内,变形后梁的轴线不在外力的作用平面内由直线变为曲线（梁上的 外力都垂直于轴线且过弯曲中心，但不与形心主轴重合或平行）。
F
F=100kN
Z
0.32m
0.32m
Fs
100kN
X
100kN M
32kNm
X
第11页，共85页。
7K 100
88.6 11.4
I z 2370 104 mm4
Wz 237 103 mm3
Iz
/
S
z
max
17.2cm
解：1、画内力图
11
2、最大正应力校核
max
3、最大切应力理论（第三强度理论）
强度条件： 1 3
4、最大形状改变比能理论： （第四强度理论；均方根理论；歪形能理论；畸形能理论）
强度条件：
1
2
(1 2 )2
( 2
3 )2
( 3
1)2
22
第22页，共85页。
三、结论： xd ( ; r )
r1 1 r 2 1 ( 2 3 )
9
第9页，共85页。
强度理论的应用——
x
max
min
x
2
( x )2
2
xy 2
1
3
xy
r3 x2 4 xy2
r4 x2 3 xy2
使用条件：屈服破坏， 2 0 。
10
第10页，共85页。
例：如图所示工字型截面梁，已知〔σ〕=180MPa〔τ 〕 =100MPa
29
第29页，共85页。
§8—5 斜弯曲
一、斜弯曲的概念
梁上的外力都垂直于轴线，外力的作用面不在梁的纵向对称面 内,变形后梁的轴线不在外力的作用平面内由直线变为曲线（梁上的 外力都垂直于轴线且过弯曲中心，但不与形心主轴重合或平行）。
09组合变形_2弯拉弯压_少课时_机
危险点的最大拉应力
m
t max
M
Wz
FN A
A
l
m
t max
cmax
B
F
t max
M
Wz
FN A
5. 根据危险点的应力状态，建立 强度条件
危险点为单向拉伸应力状态，故得 弯曲与拉伸组合变形的强度条件
m
t max
cmax m
A
l
tmax
M Wz
FN A
≤
t
m
t max
式中， M、FN 分别为危险截面上的弯矩、轴力。
强度计算
Fy
Fx
P
对于塑性材料，弯压组合变形的强度条件为
max
M Wz
FN A
≤[ ]
在确定工字钢型号时，可先不考虑轴力的影响，得
W
M
≥
10 103 N m 0.1103 m3 100 cm3
z [ ] 100 106 Pa
W ≥ 100 cm3 z
查型钢表，初选 No 14 工字钢，其
Wz 102 cm3
A 21.5 cm2
再代入强度条件进行校核
M
max Wz
FN A
10103 N 102 106
m m3
26103 N 21.5104 m2
110106 Pa 110 MPa [ ] 100 MPa
强度条件不符合要求
重选 No 16 工字钢，其
Wz 141 cm3
B
F
二、弯曲与压缩组合
类似可得，弯曲与压缩组合变形 的强度条件
对于塑性材料：
max
M Wz
FN A
≤
对于脆性材料：
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d
200 300 200 P
2max
11.7 MP a
M
图（1）
图（2）
P A 350000 8.75MP a 0.20.2
3、组合变形的分解方法 （1）荷载的等效处理法
将作用在杆件上的外力进行平移或分解，使之简化后的荷 载符合基本变形的外力特征，从而判断组合变形的类型。
一般地，将横向力向杆件截面形心进行简化，并沿形心主 惯性轴方向分解，将纵向力向杆件截面形心进行简化。 例如：
（2）截面内力判断法 根据截面上的内力，判断组合变形的类型。 y
z1 sin j
y1 cosj
max
Fl (
z3 sin
y3 cos
) )
M max (
z3 sin j
y3 cosj
斜弯曲梁的位移——叠加法 中性轴 z y
Fz l 3 F sin jl 3 fz , 3EI y 3EI y
总挠度：
fz
3 F cos j l fy 3EI z 3EI z f f y j fzk
N M
3、建立强度条件
max
min
FN M max [ ] A Wz
例1 旋转式悬臂吊车架，由18号工字钢制成横梁AB，A处为 光滑铰链，BC杆为拉杆，F=25KN， 试校核横梁强度。 C L A D
30º
[ ] 100MPa
1.3m F
1.3m
B
偏心拉（压）
x F x F
z
o
z
D(ey , ez )
y
my
o
mz
y
my Fez , mz Fey
FN
x F
Mz
z
my
o l
mz
My l
y m
o
n
k
k
n 轴力：
m
FN F
弯矩：
M y my Fe z , M z mz Fe y
F
z
My l
m
o
Mz E ( y, zk )
n
利用叠加原理： l y m
z
3( y3 , z3 )
根部截面上的最大正应力: z sin y cos c ( y, z ) Fl ( ) Iy Iz
j
压
中性轴
max
Fl (
z1 sin Iy Iy Iy Iy
y1 cos Iz Iz Iz Iz
) )
F
M max (
F1
My
Fsy
Mx
X
FN
F2
Z
Fsz
Mz
*在横力弯曲时，剪力在实心截面杆上产生的剪应力较小，可忽略。
§9–2 两相互垂直平面的弯曲 （斜弯曲） 一、斜弯曲：杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横
向力）不共面。 二、斜弯曲的研究方法 ： 1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交 的平面弯曲。
L (-h/6,0)
3 A
1
h
n(-b/6,0)
C
m(b/6,0) K(h/6,0)
z
2 4
b
2 y 3
例 图示不等截面与等截面杆，受力P=350kN，试分别求出两柱内
的绝对值最大正应力。 解：两柱均为压应力
P P
P M P 1max A1 Wz1
350000 350 506 0.20.3 0.20.32
j
F
压
中性轴
（3）当截面为圆形、正方形、正三角形或正多边形时，
I y I z , （所有通过形心的轴均为主惯轴） j
所以中性轴垂直于外力作用面。即外力无论作用在哪 个纵向平面内，产生的均为平面弯曲。
拉 z y
j
F 压 中性轴
对于圆形截面
y
z
j
F 中性轴
拉
y
1( y1 , z1 )
截面核心的确定： 作若干条与截面边界相切的中性轴，分别求出其截距
y, z
，然后代人下式
iz ez , ey az ay iy
2 2
求得偏心力的作用点 (ez , ey ) ，这些点的连线就是截 面核心的周界线。
例2 分别确定圆截面与矩形截面的截面核心. D y (a)圆截面
根据对称性,它的截面核心亦为一圆.
K 如中性轴与C点相切,则 D a y , az 2 2
z
截面核心 C 中性轴
D 相应的载荷作用点在K (0, ) ,截面核心为一直径为D/4的圆. 8
D 2 iz D 16 ey , D ay 8 2 2 iy ez 0 az
(b)矩形截面 4 1
力 m
M y M cos j
x z Pz
j
P
z y
x
m
L
Pz P
Py
Py
y
② 应 力
My引起的应力： M z引起的应力： 合应力： m
Myz Iy
Mz cos j Iy
Mz y M y sinj Iz Iz
z Iy y Iz
M ( cosj sinj )
+
拉伸
A
F
B
F
1、求内力
q A x L B
Fs FAy qx(剪力 ),
1 M FAy x qx 2 (弯矩 ), 2
FAy
FBy
A F x L
B
), F FN F (轴力
2、求应力
N
FN (均布 ), A
M
My (线性分布), Iz FN My A Iz
中性轴的确定：
令 0,
拉 z y
z sin j y cosj 0 Iy Iz
则
y Iz tg tg z Iy
j
F 压 中性轴
（1）中性轴只与外力F的倾角j及截面的几何形状与 尺寸有关；
（2）一般情况下， I y I z
j
y
即中性轴并不垂直于外力作用面。
拉 z
L max D 2
⑤变形计算
y max D 1
2 z
fz
f f f
2 y
tg
fy fz
f fy
当j = 时，即为平面弯曲。
斜弯曲
当外力作用面不通过主惯性平面时,则弯曲变形后,梁 的轴线不在外力作用面内.
——斜弯曲
z
F y
Fz
z xz平面内的平面弯曲
Fz
z y
x
Py
P z j z
D2 P 变形计算 Py y
b
D1
fz
f
fy
z
L 最大正应力
P
y
Mz My Lmax D1 D 2 Wz Wy
当Iy = Iz时，即发生平面弯曲。
3 P L f f y2 f z2 ( ) 2 ( z ) 2 3EI z 3EI y fy Iy tg tgj fz Iz
基本变形的内力、应力的分析与计算；
应力状态的分析与应用，强度理论
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理 将组合变形分解成若干个基本变形，分别计算出每个基本变 形下的内力和应力，然后进行应力叠加。 关键：
分解
叠加
①外力分析：外力向形心(后弯心)简化并沿主惯性轴分解
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确 定危险面。 ③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强 度条件。
x
z P L
j
Pz
z
y
x
m
L
Pz P
Py
Py
y
③中性轴方程
M (
z0 y cos j 0 sinj )0 Iy Iz
中性轴
y0 I z tg ctg j z0 I y
P z j z
Py
D2
可见：只有当Iy = Iz时，中性轴与外力才垂直。 D1 P ④最大正应力
y 在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点。
Fy l 3
f
F
j
fy
大小为：
f
f y fz
2
2
设总挠度与y轴夹角为 ：
一般情况下，I y I z 而不是平面弯曲。
fz Fz I z Iz tg tgj tg fy Fy I y Iy j
即挠曲线平面与荷载作用面不相重合，为斜弯曲，
例1结构如图，P过形心且与z轴成j角，求此梁的最大应力与挠度。 解：危险点分析如图 中性轴 h Pz
中性轴
y C(y,z) z z C(y,z)
y
Mz
My
C1
所以
Myz Iy
C2
Myz
Mzy Iz
Mz y C ( y , z ) C1 C 2 Iy Iz Fx sin jz Fx cosjy z sin j y cosj Fx( ) Iy Iz Iy Iz
max
[ ]
中性轴的确定：
令 ( z , y ), 则
即
F M yz Mz y 0 A Iy Iz F Fe z z Fe y y 0 A Iy Iz 1 ez z ey y 0 A Iy Iz
即
z
令 y 0, 则
压
D(ey , ez )