数学人教A版选修2-3优化课件：第一章 排列与组合

答案：B
排列组合的综合应用 [典例] (本小题满分 12 分)从 1,3,5,7,9 中任取 3 个数字，从 0,2,4,6,8 中任取 2 个数字， 一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？ [解析] (1)五位数中不含数字 0. 第 1 步，选出 5 个数字，共有 C35C24种选法.1 分 第 2 步，排成偶数，先排末位数，有 A12种排法，再排其他四位数字，有 A44种排法． ∴N1＝C35·C24·A12·A44.4 分
(2)一人得 4 本，一人得 3 本，一人得 2 本，这件事分两步完成． 第一步：按 4 本、3 本、2 本分成三组，有 C49C35C22种方法； 第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有 A33种方法． 根据分步计数原理知，共有不同的分法 C49C35C22A33＝7 560(种)，即一人得 4 本，一人 得 3 本，一人得 2 本的分法共有 7 560 种．
1．若从 1,2,3，…，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取
法共有( )
A．60 种
B．63 种
C．65 种
D．66 种
解析：和为偶数共有 3 种情况，取 4 个数均为偶数有 C44＝1 种取法，取 2 奇数 2 偶数 有 C24·C25＝60 种取法，取 4 个数均为奇数有 C45＝5 种取法，故共有 1＋60＋5＝66 种 不同的取法．
3．有大小形状相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球，排成一排，共有多少种不同的 排列方法？ 解析：8 个小球排好后对应着 8 个位置，题中的排法相当于在 8 个位置中选出 3 个位 置给红球，剩下的位置给白球，由于这 3 个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问 题，这样共有 C38＝56 种．
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/9
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谢谢欣赏！
2019/7/9
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答案：D
2．从 0,2,4 中取一个数字，从 1,3,5 中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所 有不同的三位数的个数是________． 解析：从 0,2,4 中取一个数字，从 1,3,5 中取两个数字进行排列，然后在得到的排列中 去掉首数字为 0 的即满足题意，因此共有 C13C23A33－A23＝3×3×6－6＝48 个． 答案：48
置上的数字相同的信息个数为( )
A．10
B．11
C．12
D．15
解析：解法一 分 0 个相同、1 个相同、2 个相同讨论．
(1)若 0 个相同，则信息为：1001.共 1 个．
(2)若 1 个相同，则信息为：0001,1101,1011,1000.共 4 个．
(3)若 2 个相同，又分为以下情况： ①若位置一与二相同，则信息为：0101； ②若位置一与三相同，则信息为：0011； ③若位置一与四相同，则信息为：0000； ④若位置二与三相同，则信息为：1111； ⑤若位置二与四相同，则信息为：1100； ⑥若位置三与四相同，则信息为：1010. 共有 6 个． 故与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 1＋4＋6＝11.
解决有重复元素的排列组合问题的方法： 有重复元素的排列组合问题，在解决时一般要抓住具体问题所含重复元素的个数进行 分类．在排列时注意重复元素的排列是无序的．
1．在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，
不同排列表示不同信息．若所用数字只有 0 到 1，则与信息 0110 至多有两个对应位
[解析] (1)根据分步乘法计数原理得 C26C24C22＝90(种)． (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本，有 C26C24C22种分法，这个过程可以分两步完成：第一 步，分为三份，每份两本，设有 x 种分法；第二步，将这三份分给甲、乙、丙三名同学， 有 A33种分法．根据分步乘法计数原理可得 C26C24C22＝xA33，所以 x＝C26AC3243C22＝15. 因此分为三份，每份两本，一共有 15 种分法． (3)这是不均匀分组问题，一共有 C16C25C33＝60 种分法． (4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有 C16C25C33A33＝360 种分法． (5)可以分为三类情况：①“2、2、2”型，即(1)中的分配情况，有 C26C24C22＝90 种分法； ②“1、2、3”型，即(4)中的分配情况，有 C16C25C33A33＝360 种分法；③“1、1、4”型， 有 C46A33＝90 种分法． 所以一共有 90＋360＋90＝540 种分法．
四、听方法。

在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
(2)五位数中含有数字 0. 第 1 步，选出 5 个数字，共有 C35·C14种选法.5 分 第 2 步，排顺序又可分为两小类： ①末位排 0，有 A11·A44种排列方法；6 分 ②末位不排 0.这时末位数有 C11种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有 A13种排 法，其余 3 个数字有 A33种排法． ∴N2＝C35·C14(A11·A44＋A13·A33).8 分 ∴符合条件的偶数的个数为 N＝N1＋N2＝C35C24A12A44＋C35C14(A11A44＋A13A33)＝4 560.12 分
[规范与警示] 讨论五位数中含“0”与否，是解答本题的关键． 末位排 0 与否，应分类讨论，否则极易出错． 本题是分类情况下的分步排列、组合问题，必须将所讨论的各种结果相加，否则会 丢分． 解题过程中要注意分析特殊元素、特殊情况对结果的影响，并注意总结、避免因考 虑问题不全面而失分.
[随堂训练]
解法二 若 0 个相同，共有 1 个； 若 1 个相同，共有 C14＝4(个)； 若 2 个相同，共有 C24＝6(个)； 故共有 1＋4＋6＝11(个)． 答案：B
探究二 分组与分配问题 [典例 2] 6 本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？ (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本； (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； (5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
2．有 9 本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，在下列条件下，各有多少种不 同的分法？ (1)甲得 4 本，乙得 3 本，丙得 2 本； (2)一人得 4 本，一人得 3 本，一人得 2 本． 解析：(1)甲得 4 本，乙得 3 本，丙得 2 本，这件事分三步完成． 第一步：从 9 本不同的书中，任取 4 本分给甲，有 C49种方法； 第二步：从余下的 5 本书中，任取 3 本分给乙，有 C35种方法； 第三步：把剩下的 2 本书给丙，有 C22种方法． 根据分步乘法计数原理，共有不同的分法 C49C35C22＝1 260(种)，即甲得 4 本，乙得 3 本，丙得 2 本的分法共有 1 260 种．
课时作业
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。

一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
排列与组合(习题课)
01 课堂 合作探究 02 课后 巩固提升
课时作业
探究一 有重复元素的排列组合问题 [典例 1] 有 6 个球，其中有 3 个一样的黑球，红、白、蓝球各 1 个，现从中取出 4 个球排成一列，共有多少种不同的排法？
[解析] 分三类： (1)若取 1 个黑球，和另三个球排 4 个位置，不同的排法为 A44＝24； (2)若取 2 个黑球，从另三个球中选 2 个排 4 个位置，2 个黑球是相同的，自动进入， 不需要排列，即不同的排法种数为 C23A24＝36； (3)若取 3 个黑球，从另三个球中选 1 个排 4 个位置，3 个黑球是相同的，自动进入， 不需要排列，即不同的排法种数为 C13A14＝12. 综上，不同的排法种数为 24＋36＋12＝72.
二、听思路。

思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
解决排列组合的综合问题应遵循的原则是什么？ 本题是一道“既选又排”的排列、组合综合题，解决这类问题的方法是“先选后排”， 同时要注意特殊元素、特殊位置优先安排的原则．
3．(2015 年高考四川卷)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000
大的偶数共有( )
A．144 个
求解分组与分配问题的方法： (1)解决这类问题的关键是分清其为分组问题还是分配问题． (2)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有 n 组均匀，最后必须除以 n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (3)分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．