湖南师大附中2018届高考模拟卷(一)(文数)

湖南师大附中2018届高考模拟卷（一）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共10页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知复数z满足i z＝|3＋4i|－i，则z的虚部是(A)(A)－5 (B)－1 (C)－5i (D)－i【解析】复数z满足i z＝|3＋4i|－i，∴－i·i z＝－i(5－i)，∴z＝－1－5i，则z的虚部是－5.故选：A.(2)命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是(D)(A)a≥9 (B)a≤9 (C)a≤8 (D)a≥8【解析】命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题，∴a≥[x2]max＝9.∴命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是a≥8，故选：D.(3)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(D)(A)y＝x(B)y＝lg x(C)y＝2x(D)y＝1 x【解析】根据题意得，函数y＝10lg x的定义域为：(0，＋∞)，值域为：(0，＋∞)，A项，y＝x，定义域和值域都是R，不符合题意．B项，y＝lg x，定义域为(0，＋∞)，值域是R，不符合题意．C项，y＝2x，定义域是R，值域是(0，＋∞)，不符合题意．D项，y＝1x，定义域是(0，＋∞)，值域是(0，＋∞)，与y＝10lg x的定义域和值域都相同，符合题意，故选D.(4)图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入m＝209，n＝121，则输出m的值等于(B)(A)10 (B)11 (C)12 (D)13【解析】当m ＝209，n ＝121，m 除以n 的余数是88， 此时m ＝121，n ＝88，m 除以n 的余数是33， 此时m ＝88，n ＝33，m 除以n 的余数是22， 此时m ＝33，n ＝22，m 除以n 的余数是11， 此时m ＝22，n ＝11，m 除以n 的余数是0， 此时m ＝11，n ＝0，退出程序，输出结果为11，故选：B.(5)已知log ab ＝－1，2a >3，c >1，设x ＝－log b a ，y ＝log bc ，z ＝13a ，则x 、y 、z 的大小关系正确的是(A)(A)z ＞x ＞y (B)z ＞y ＞x (C)x ＞y ＞z (D)x ＞z ＞y 【解析】∵log ab ＝－1，2a >3，c >1，∴x ＝－log b a ＝－12log ba ＝－12×1－1＝12，2a ＞3，a ＞log23＞1，b ＝1a ∈(0，1)．y ＝log bc ＜0，z ＝13a ＞13log23>13×log28＝12，∴z ＞x ＞y .故选：A.(6)等差数列x 1、x 2、x 3、…、x 11的公差为1，若以上述数据x 1、x 2、x 3、…、x 11为样本，则此样本的方差为(A)(A)10 (B)20 (C)55 (D)5【解析】∵等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 11的公差为1， x 1，x 2，x 3，…，x 11的平均数是x 6，∴以数据x 1，x 2，x 3，…，x 11为样本，则此样本的方差： S 2＝111[(x 1－x 6)2＋(x 2－x 6)2＋(x 3－x 6)2＋(x 4－x 6)2＋(x 5－x 6)2＋(x 6－x 6)2＋(x 7－x 6)2＋(x 8－x 6)2＋(x 9－x 6)2＋(x 10－x 6)2＋(x 11－x 6)2]＝111(25＋16＋9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＋16＋25)＝10.故选：A.(7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(B)(A)8(π＋4) (B)8(π＋8) (C)16(π＋4) (D)16(π＋8)【解析】由三视图还原原几何体如右图：该几何体为两个空心半圆柱相切，半圆柱的半径为2，母线长为4， 左右为边长是4的正方形．∴该几何体的表面积为2×4×4＋2π×2×4＋2(4×4－π×22)＝ 64＋8π＝8(π＋8)． 故选：B.(8)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标的取值范围为(A)(A)⎣⎡⎦⎤0，125 (B)[0，1] (C)⎣⎡⎦⎤1，125 (D)⎝⎛⎭⎫0，125 【解析】设点M (x ，y )，由MA ＝2MO ，知：x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2， 化简得：x 2＋(y ＋1)2＝4，∴点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ， 又∵点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切，∴1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2，∴1≤a 2＋（2a －3）2≤3， 化简可得 0≤a ≤125，故选A.(9)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，若存在x 1、x 2、…、xn 满足0≤x 1＜x 2＜…＜xn ≤4π，且|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (2)－f (x 3)|＋…＋|f (xn －1)－f (xn )|＝16(n ≥2，n ∈N *)，则n 的最小值为(C)(A)8 (B)9 (C)10 (D)11【解析】∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3对任意xi ，xj (i ，j ＝1，2，3，…，n )，都有|f (xi )－f (xj )|≤f (x )max －f (x )min ＝2，要使n 取得最小值，尽可能多让xi (i ＝1，2，3，…，n )取得最高点，考虑0≤x 1＜x 2＜…＜xn ≤4π，|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (xn －1)－f (xn )|＝16， 按下图取值即可满足条件，即有|1＋12|＋2×7＋|1－12|＝16.则n 的最小值为10.故选：C.(10)如图所示，两个非共线向量OA →、OB →的夹角为θ，M 、N 分别为OA 与OB 的中点，点C 在直线MN 上，且OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为(B)(A)24 (B)18 (C)22 (D)12【解析】解法一：特殊值法，当θ＝90°，|OA →|＝|OB →|＝1时，建立直角坐标系， ∴OC →＝xOA →＋yOB →得x ＋y ＝12，所以x 2＋y 2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C 、M 、N 共线，所以OC →＝λOM →＋μON →，有λ＋μ＝1， 又因为M 、N 分别为OA 与OB 的中点， 所以OC →＝λOM →＋μON →＝12λOA →＋12μOB →∴x ＋y ＝12λ＋12μ＝12原题转化为：当x ＋y ＝12时，求x 2＋y 2的最小值问题，∵y ＝12－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫12－x 2＝2x 2－x ＋14结合二次函数的性质可知，当x ＝14时，取得最小值为18.故选B.(11)已知双曲线：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，点P为双曲线右支上一点，若|PF1|2＝8a|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是(A)(A)(1，3] (B)[3，＋∞) (C)(0，3) (D)(0，3]【解析】设|PF1|＝m，|PF2|＝n，根据双曲线定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|2＝8a|PF2|，∴m－n＝2a，m2＝8an，∴m－nm2＝2a8an，∴m2－4mn＋4n2＝0，∴m＝2n，∴n＝2a，m＝4a，在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|＋|PF2|，∴2c＜4a＋2a，∴ca＜3，当P为双曲线顶点时，ca＝3又∵双曲线e＞1，∴1＜e≤3，故选：A.(12)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x2－f(－x)．当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜2x；若f(m＋2)－f(－m)≤4m＋4，则实数m的取值范围是(C)(A)(－∞，－1] (B)(－∞，－2] (C)[－1，＋∞) (D)[－2，＋∞)【解析】解：令g(x)＝f(x)－x2，g′(x)＝f′(x)－2x，当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜2x，∴g(x)在(－∞，0)递减，而g(－x)＝f(－x)－x2，∴f(－x)＋f(x)＝g(－x)＋x2＋g(x)＋x2＝2x2，∴g(－x)＋g(x)＝0，∴g(x)是奇函数，g(x)在R上递减，若f(m＋2)－f(－m)≤4m＋4，则f(m＋2)－(m＋2)2≤f(－m)－m2，∴g(m＋2)≤g(－m)，∴m＋2≥－m，解得：m≥－1，故选：C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≥0，2x －y ≥0，8－x －y ≥0则目标函数z ＝3x －2y ＋1的最小值为__－53__．【解析】作出可行域，则当直线z ＝3x －2y ＋1过点A ⎝⎛⎭⎫83，163时z 取最小值－53.(14)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被y ＝3sin π4x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为__18__．【解析】根据题意，大圆的直径为y ＝3sin π4x 的周期，且T ＝2ππ4＝8，面积为S ＝π·⎝⎛⎭⎫822＝16π，一个小圆的面积为S ′＝π·12＝π，根据几何概型概率公式可得在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P ＝2S ′S ＝2π16π＝18.(15)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若2sin B ＝sin A ＋sin C ，cos B ＝35，且S △ABC ＝6，则b ＝__4__． 【解析】已知等式2sin B ＝sin A ＋sin C ，利用正弦定理化简得：2b ＝a ＋c ，∵cos B ＝35，∴可得sin B ＝1－cos2 B ＝45，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac ×45＝6，可解得ac ＝15，∴余弦定理可得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝()a ＋c 2－2ac ()1＋cos B ＝4b 2－2×15×⎝⎛⎭⎫1＋35，∴可解得b ＝4，故答案为4. (16)已知f ()x ＝25－x ，g ()x ＝x ＋t ，设h ()x ＝max {}f ()x ，g ()x .若当x ∈N ＋时，恒有h ()5≤h ()x ，则实数t 的取值范围是__[]－5，－3__．【解析】设y ＝f ()x 与y ＝g ()x 交点横坐标为x 0，则h ()x ＝⎩⎨⎧f ()x ，x ≤x 0g ()x ，x >x 0，∵x ∈N ＋时，总有h ()5≤h ()x ，所以若h ()5＝f ()5，必有h ()6＝g ()6，只需g ()6≥f ()5，t ＋6≥1，即t ≥－5，若h ()5＝g ()5，必有h ()4＝f ()4，只需f ()4≥g ()5，2≥t ＋5，t ≤－3，综上，－5≤t ≤－3，故答案为[]－5，－3.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分)某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了100位顾客购物的相关数据如下表：统计结果显示100位顾客中购物款不低于150元的顾客占30%，该商场每日大约有4 000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品．(Ⅰ)试确定a ，b 的值，并估计每日应准备纪念品的数量；(Ⅱ)为了迎接春节，商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次购物不超过200元的按购物款的百分比返利，具体见下表：请问该商场日均大约让利多少元？【解析】(Ⅰ)由已知，100位顾客中购物款不低于150元的顾客有b ＋20＝100×30%，b ＝10；2分a ＝100－()20＋30＋20＋10＝20.4分该商场每日应准备纪念品的数量大约为4000×60100＝2 400. 6分(Ⅱ)设顾客一次购物款为x 元．当x ∈(]50，100时，顾客约有4000×20%＝800人； 当x ∈(]100，150时，顾客约有4000×30%＝1200人； 当x ∈(]150，200时，顾客约有4000×20%＝800人； 当x ∈[)200，＋∞时，顾客约有4000×10%＝400人.10分 该商场日均大约让利为：800×75×6%＋1200×125×8%＋800×175×10%＋400×30＝41 600(元).12分(18)(本小题满分12分)在公比为q 的等比数列{an }中，已知a 1＝16，且a 1，a 2＋2，a 3成等差数列． (Ⅰ)求q ，an ；(Ⅱ)若q ＜1，求满足a 1－a 2＋a 3－…＋(－1)2n －1a 2n >10的最小的正整数n 的值． 【解析】(Ⅰ)由16＋16q 2＝2(16q ＋2)得4q 2－8q ＋3＝0，q ＝12或322分当q ＝12时，an ＝25－n ，4分当q ＝32时，an ＝16⎝⎛⎭⎫32n －1.6分(Ⅱ)q ＜1，an ＝25－n ，a 1－a 2＋a 3＋…＋(－1)2n －1a 2n ＝16⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－122n1－⎝⎛⎭⎫－128分＝323⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－122n >10，10分 ⎝⎛⎭⎫122n<116，2n >4，n >2，正整数n 的最小值为3.12分(19)(本小题满分12分)如图，几何体ABC －A 1DC 1由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得，AB ＝4，AA 1＝32，A 1D ＝1，AA 1⊥平面ABC ，M 为AB 的中点，E 为棱AA 1上一点，且EM ∥平面BC 1D .(Ⅰ)若N 在棱BC 上，且BN ＝2NC ，证明：EN ∥平面BC 1D ；(Ⅱ)过A 作平面BCE 的垂线，垂足为O ，确定O 的位置(说明作法及理由)，并求线段OE 的长．【解析】(Ⅰ)证明：∵EM ∥平面BC 1D ，EM 平面ABDA 1， 平面ABDA 1∩平面BC 1D ＝BD ， ∴BD ∥EM .过D 作DH ⊥AB 于H ，连接CH ，则CH ∥C 1D ，则HM ＝12AB －14AB ＝14AB ，∴HM ∶MB ＝CN ∶NB ＝1∶2， ∴MN ∥CH ，则MN ∥C 1D .∵EM ∩MN ＝M ，∴平面EMN ∥平面BC 1D . ∵EN 平面EMN ，∴EN ∥平面BC 1D .6分(Ⅱ)解：在线段AB 上取一点F ，使BF ＝A 1D ＝1，则A 1F ∥BD ， 由(Ⅰ)知EM ∥BD ，∴EM ∥A 1F ，∴AE AA 1＝AM AF ＝23，∴AE ＝23×32＝2 2.取BC 的中点G ，连接AG ，EG ，过A 作AO ⊥EG 于O ，则AO ⊥平面BCE .9分 证明如下：由题意可知，△ABC 为等边三角形，则AG ⊥BC ， 又AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥BC .∵AG ∩AA 1＝A ，∴BC ⊥平面AEG ，∴BC ⊥AO .又EG ∩BC ＝G ，∴AO ⊥平面BCE .由射影定理可得，AE 2＝OE ×EG ， 又AG ＝23，EG ＝25，∴OE ＝455.12分(20)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 为椭圆C 上的任意一点，MF →1·MF 2→的最小值为2.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)已知椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，点D (a ，t )为第一象限内的点，过F 2作以BD 为直径的圆的切线交直线AD 于点P ，求证：点P 在椭圆C 上．【解析】(Ⅰ)设M (x 0，y 0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， 则MF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，MF 2→＝(c －x 0，－y 0)，MF →1·MF 2→＝(－c －x 0，－y 0)(c －x 0，－y 0)＝x 20－c 2＋y 20，由∵x 20a 2＋y 20b 2＝1(a >b >0)，y 20＝b 2－b 2a 2x 20，MF →1·MF 2→＝(1－b 2a 2)x 20＋b 2－c 2，由－a ≤x 0≤a ，则x 0＝0，则MF 1→·MF 2→取最小值，最小值为b 2－c 2， ∴b 2－c 2＝2，又椭圆的离心率为12∴a 2＝4，b 2＝3，则椭圆的标准方程：x 24＋y 23＝1；4分(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知F 2(1，0)，D (2，t )，B (2，0)，设以BD 为直径的圆E ，其圆心E ⎝⎛⎭⎫2，t 2， 则圆E ：(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －t 22＝t 24， (6分) 直线AD 的方程为y ＝t4(x ＋2)，设过点F 2与圆E 相切的直线方程设为x ＝my ＋1， 则|2－mt 2－1|1＋m 2＝丨t2丨，则m ＝4－t 24t ，(8分)解方程组⎩⎨⎧y ＝t4（x ＋2），x ＝4－t 24t y ＋1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24－2t 212＋t 2，y ＝12t12＋t 2， (10分)将⎝ ⎛⎭⎪⎫24－2t 212＋t 2，12t 12＋t 2代入椭圆方程成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫24－2t 212＋t 224＋⎝⎛⎭⎫12t 12＋t 223＝1，∴点P 在椭圆C 上．(12分)(21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln xx ，g (x )＝b (x ＋1)，其中a ≠0，b ≠0(Ⅰ)若a ＝b ，讨论F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(Ⅱ)已知函数f (x )的曲线与函数g (x )的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，证明：x 1＋x 2ag (x 1＋x 2)>2.【解析】(Ⅰ)由已知得F (x )＝f (x )－g (x )＝a (ln xx －x －1)，∴F ′(x )＝ax 2(1－x 2－ln x )当0＜x ＜1时，∵1－x 2＞0，－ln x ＞0，∴1－x 2－ln x ＞0，； 当x ＞1时，∵1－x 2＜0，－ln x ＜0，∴1－x 2－ln x ＜0.故若a ＞0，F (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；故若a ＜0，F (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(4分)(Ⅱ)不妨设x 1＞x 2，依题意a ln x 1x 1＝b (x 1－1)， ∴a ln x 1＝b (x 21－x 1)………①，同理得a ln x 2＝b (x 22－x 2)………②，由①－②得a ln x 1x 2＝b (x 1－x 2)(x 1＋x 2－1)， ∴lnx 1x 2（x 1－x 2）＝b a (x 1＋x 2－1)，(8分) ∴x 1＋x 2a g (x 1＋x 2)＝(x 1＋x 2)b a (x 1＋x 2－1)＝（x 1＋x 2）x 1－x 2ln x 1x 2. 故只需证（x 1＋x 2）x 1－x 2ln x 1x 2>2， 取t ＝x 1x 2>1即只需证明t ＋1t －1ln t >2，对任意的t >1成立， 即只需证p (t )＝ln t －2·t －1t ＋1>0对t >1成立，p ′(t )＝（t －1）2t （t ＋1）2>0. ∴p (t )在区间[1，＋∞)上单调递增，∴p (t )＞p (1)＝0，t ＞1成立，故原命题得证．(12分)请考生在第(22)～(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数) (Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝14，求直线的倾斜角α的值．【解析】(Ⅰ)∵ρ＝4cos θ，而ρcos θ＝x ，∴曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ可化为：ρ2＝4ρcos θ∴.(x －2)2＋y 2＝4(5分)(Ⅱ)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4得： 化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，t 1＋t 2＝2cos α，t 1·t 2＝－3∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos2α＋12＝14可得cos α＝±22.∴α＝π4或α＝3π4. ∴直线的倾斜角为α＝π4或α＝3π4.(10分)(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1.(Ⅰ)若ab ≤m 恒成立，求m 的取值范围；(Ⅱ)若 4a ＋1b≥|2x －1|－|x ＋2|恒成立，求x 的取值范围． 【解析】(Ⅰ)∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝14，当且仅当a ＝b ＝12时“＝”成立， 由ab ≤m 恒成立，故m ≥14；(5分) (Ⅱ)∵a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1， ∴4a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫4a ＋1b (a ＋b )≥9， 故4a ＋1b≥|2x －1|－|x ＋2|恒成立，则|2x －1|－|x ＋2|≤9， 当x ≤－2时，解得－6≤x ≤－2，当－2<x <12，解得－2<x <12， 当x ≥12时，解得12≤x ≤12， 综上所述x 的取值范围为[－6，12]．(10分)。