高中数学苏教版高一必修4学业分层测评：第三章_三角恒等变换3.3 含解析

高中数学苏教版高一必修4学业分层测评：第三章_三角恒等变换3.3 含解析
学业分层测评(二十八) 几个三角恒等式
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．有下列关系式：
①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ；
②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ；
③sin 3θ－sin 5θ＝－12
cos 4θcos θ； ④sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ；
⑤sin x sin y ＝12
cos(x －y )－cos(x ＋y )]． 其中正确的等式有________．(填序号)
【解析】 只有⑤正确．
【答案】 ⑤
2．若A ＋B ＝120°，则sin A ＋sin B 的最大值是________．
【解析】 sin A ＋sin B ＝2sin A ＋B 2cos A －B 2
＝3cos A －B 2≤3，∴最大值为 3. 【答案】
3 3．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π3的最大值是________． 【解析】 y ＝2sin x cos π3
＝sin x ≤1，∴最大值为1. 【答案】 1
4．求sin 35°－sin 25°cos 35°－cos 25°
的值为________． 【解析】 原式＝2sin 5°cos 30°－2sin 30°sin 5°
＝－cos 30°sin 30°
＝－2cos 30°＝－2×
32
＝－ 3. 【答案】 － 3 5．若α是第三象限角且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－513，则tan α2
＝________. 【导学号：06460083】
【解析】 易知sin α＝－
513
，α为第三象限角， ∴cos α＝－1213
. ∴tan α2＝sin α2cos α2＝2sin α2cos α22cos 2α2
＝sin α1＋cos α＝－
5
131＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－5. 【答案】 －5
6．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13
，则cos 2α－sin 2β＝________. 【解析】 cos(α＋β)cos(α－β)＝12
(cos 2α＋cos 2β) ＝12
(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)]＝cos 2α－sin 2β. ∴cos 2α－sin 2β＝13. 【答案】 13
7．若cos 2α－cos 2β＝m ，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.
【解析】 sin(α＋β)sin(α－β)＝－12(cos 2α－cos 2β)＝－12
(2cos 2α－1－2cos 2β＋1)＝cos 2β－cos 2α＝－m .
【答案】 －m
8．函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最小值是________．
【解析】 y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6cos x ＝12sin2x －π6＋sin －π6 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14， 当sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－1时，y 取得最小值为－34. 【答案】 －34
二、解答题
9．化简：(1－sin α－cos α)⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π<α<0)．
【解】 原式＝ ⎝
⎛⎭⎪⎫2sin 2 α2－2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22×2sin 2 α2 ＝2sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪
⎪⎪sin α2 ＝sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2 α2－cos 2 α2⎪
⎪⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝－sin α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2. 因为－π<α<0，所以－π2<α2
<0， 所以sin α2
<0， 所以原式＝－sin α2cos α－sin α2
＝cos α.
10．求函数f (x )＝sin x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin x －sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最小正周期与最值． 【解】 f (x )＝sin x ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤sin x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝sin x ·2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6 ＝－sin x cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π6 ＝－12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋14
. ∴最小正周期为T ＝2π2
＝π. ∵sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π6∈－1,1]， ∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝－14
. 能力提升]
1．sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°的值是________．
【解析】 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 160°2＋32(sin 100°－sin 60°)＝1－12
(cos 40°＋cos 20°)＋32cos 10°－34＝1－cos 30°cos 10°＋32cos 10°－34＝14
. 【答案】
14 2．直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________．
【解析】 ∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12cos(A －B )－cos (A ＋B )]＝12
cos(A －B )， 又－π2＜A －B ＜π2
，∴0＜cos(A －B )≤1， ∴sin A sin B 有最大值12
. 【答案】 12
3．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan
α21－tan α2＝________. 【解析】 ∵α是第三象限角，
∴α2为第二、四象限角，∴tan α2
＜0， ∴tan α2＝－1－cos α1＋cos α
＝－1＋451－45
＝－3， ∴原式＝1－31＋3
＝－12. 【答案】 －12
4．如图3-3-1，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3
的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠
COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．
图3-3-1
【解】 在直角三角形OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α.
在直角三角形OAD 中，DA OA
＝tan 60°＝ 3. ∴OA ＝33DA ＝33
sin α， ∴AB ＝OB －OA ＝cos α－33
sin α. 设矩形ABCD 的面积为S ，则
S ＝AB ·BC ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos α－33sin αsin α ＝sin αcos α－33
sin 2α ＝12sin 2α－36
(1－cos 2α) ＝12sin 2α＋36cos 2α－36
＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫32
sin 2α＋12cos 2α－36 ＝13sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π6－36. ∵0<α<π3
， ∴当2α＋π6＝π2
， 即α＝π6时，取最大值36
. ∴当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36
.。