2017-2018学年河北省石家庄市辛集中学高三(下)期中数学试卷和答案(文科)

2017-2018学年河北省石家庄市辛集中学高三（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，1，2}，集合B={k∈A|y=kx在R上为增函数}，则A∩B的子集个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）设a为i﹣1的虚部，b为（1+i）2的实部，则a+b=（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．03．（5分）已知具有线性相关的变量x，y，设其样本点为A i（x i，y i）（i=1，2，……，8），回归直线方程为，若，（O为原点），则a=（）A．B．C．D．4．（5分）已知非向量，则x＜0或x＞4是向量与夹角为锐角的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知，则¬p为（）A．∀n∈N，5n＜100 B．∀n∈N，5n≥100C．D．6．（5分）2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则=（）A．B．C． D．7．（5分）如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）既是二次函数又是幂函数，函数g（x）是R上的奇函数，函数，则h（2018）+h（2017）+h（2016）+…+h（1）+h（0）+h（﹣1）+…h（﹣2016）+h（﹣2017）+h（﹣2018）=（）A．0 B．2018 C．4036 D．40379．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．+6B．6+4 C．6D．310．（5分）已知向量，向量，函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）的一条对称轴为直线C．f（x）的最小正周期为2πD．f（x）在上为减函数11．（5分）已知双曲线=1（b＞0）的左顶点为A，虚轴长为8，右焦点为F，且⊙F与双曲线的渐近线相切，若过点A作⊙F的两条切线，切点分别为M，N，则|MN|=（）A．8 B．4 C．2 D．412．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=﹣2x+1，设函数g（x）=（）|x﹣1|（﹣1＜x＜3），则函数f（x）与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上的点P（﹣2，a）到焦点的距离为3，则a=．14．（5分）甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后，甲说：我做错了；乙说：丙做对了；丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了．”请问他们三个人中做对了的是．15．（5分）已知实数x，y满足，若z=3x﹣2y取得最小值时的最优解（x，y）满足ax+by=2（ab＞0），则的最小值为．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=3，b=2，且，则B=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知数列{a n}满足：，且a1=1，a2=2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，且b1=1．求数列{b n}的通项公式，并求其前n项和T n．18．（12分）某大学导师计划从自己所培养的研究生甲、乙两人中选一人，参加雄安新区某部门组织的计算机技能大赛，两人以往5次的比赛成绩统计如下：（满分100分，单位：分）．（1）试比较甲、乙二人谁的成绩更稳定；（2）在一次考试中若两人成绩之差的绝对值不大于2，则称两人“实力相当”．若从上述5次成绩中任意抽取2次，求恰有一次两人“实力相当”的概率．19．（12分）如图，四棱台A1B1C1D1﹣ABCD中，A1A⊥底面ABCD，A1B1=A1A=，AC=2，平面A1ACC1⊥平面C1CDD1，M为C1C的中点．（1）证明：AM⊥D1D；（2）若∠ABC=30°，且AC≠BC，求点A到平面B1BCC1的距离．20．（12分）椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设P（x，y）为椭圆C上任一点，F为其右焦点，点P'满足．①证明：为定值；②设直线与椭圆C有两个不同的交点A、B，与y轴交于点M．若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列，求m的值．21．（12分）已知函数．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设函数g（x）=lnx+1，证明：当x∈（0，+∞）且a＞0时，f（x）＞g（x）．选考题：共10分．请考生从第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρcosθ﹣ρsinθ+b=0与⊙C2：ρ=﹣4cosθ相交于A、B两点，且∠AOB=90°．（1）求b的值；（2）直线l与曲线C1相交于M、N，证明：|C2M|•|C2N|（C2为圆心）为定值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣x2+1＞0；（2）若函数g（x）=f（x﹣1）+f（x+m），当且仅当0≤x≤1时，g（x）取得最小值，求x∈（﹣1，2）时，函数g（x）的值域．2017-2018学年河北省石家庄市辛集中学高三（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，1，2}，集合B={k∈A|y=kx在R上为增函数}，则A∩B的子集个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：集合B={k∈A|y=kx在R上为增函数}={k∈A|k＞0}={1，2}，则A∩B={1，2}，故A∩B的子集个数为4个，故选：D．2．（5分）设a为i﹣1的虚部，b为（1+i）2的实部，则a+b=（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．0【解答】解：i﹣1==﹣i，则a=﹣1．（1+i）2=1﹣1+2i=2i．∴b=0，则a+b=﹣1+0=﹣1．故选：A．3．（5分）已知具有线性相关的变量x，y，设其样本点为A i（x i，y i）（i=1，2，……，8），回归直线方程为，若，（O为原点），则a=（）A．B．C．D．【解答】解：计算=×（x1+x2+…+x8）==，=×（y1+y2+…+y8）==；回归直线方程为，∴=×+a，解得a=﹣．故选：B．4．（5分）已知非向量，则x＜0或x＞4是向量与夹角为锐角的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：非向量，∴cos＜，＞===，由向量与夹角为锐角，则＞0，解得x＜0或x＞4．反之由x＜0或x＞4，向量与夹角不一定为锐角．例如x=﹣1时，向量与夹角为0．因此x＜0或x＞4是向量与夹角不一定为锐角的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）已知，则¬p为（）A．∀n∈N，5n＜100 B．∀n∈N，5n≥100C．D．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，，则¬p为：∀n∈N，5n≥100．故选：B．6．（5分）2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则=（）A．B．C． D．【解答】解：根据题意，大正方形边长=10，小正方形的边长=2．可得三角形的面积=（100﹣4）÷4=24．设三角形两直角边为a、b，则ab=24．又a2+b2=102，联立解得：，或，所以cosθ=，sinθ=．可得：=cosθ+sinθ=．故选：A．7．（5分）如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：通过分析知该算法是求和2cosπ+22cos2π+23cos3π+…+2100cos100π，由于2cosπ+22cos2π+23cos3π+…+2100cos100π=﹣2+22﹣23+24﹣…+2100==．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）既是二次函数又是幂函数，函数g（x）是R上的奇函数，函数，则h（2018）+h（2017）+h（2016）+…+h（1）+h（0）+h（﹣1）+…h（﹣2016）+h（﹣2017）+h（﹣2018）=（）A．0 B．2018 C．4036 D．4037【解答】解：函数f（x）既是二次函数又是幂函数，∴f（x）=x2，∴f（x）+1为偶函数；函数g（x）是R上的奇函数，m（x）=为定义域R上的奇函数；函数，∴h（x）+h（﹣x）=[+1]+[+1]=[+]+2=2，∴h（2018）+h（2017）+h（2016）+…+h（1）+h（0）+h（﹣1）+…+h（﹣2016）+h（﹣2017）+h（﹣2018）=[h（2018）+h（﹣2018）]+[h（2017）+h（﹣2017）]+…+[h（1）+h（﹣1）]+h （0）=2+2+…+2+1=2×2018+1=4037．故选：D．9．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．+6B．6+4 C．6D．3【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，由已知可得，底面为腰长是2的等腰三角形，侧棱PA⊥底面ABC，且三棱锥的高为，取BC中点O，连接AO，PO，可得PO=5．∴该几何体的表面积为S==．故选：C．10．（5分）已知向量，向量，函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）的一条对称轴为直线C．f（x）的最小正周期为2πD．f（x）在上为减函数【解答】解：向量，向量，函数=sin4+cos4=（sin2+cos2）2﹣2sin2cos2=1﹣（2sin cos）2=1﹣sin2x=1﹣•（1﹣cos2x）=（3+cos2x），由f（﹣x）=（3+cos（﹣2x））=（3+cos2x）=f（x），可得f（x）为偶函数，则A错；由2x=kπ，可得x=kπ（k∈Z），则B错；f（x）的最小正周期为T==π，则C错；由x∈（，）可得2x∈（，π），则f（x）在上为减函数，D 正确．故选：D．11．（5分）已知双曲线=1（b＞0）的左顶点为A，虚轴长为8，右焦点为F，且⊙F与双曲线的渐近线相切，若过点A作⊙F的两条切线，切点分别为M，N，则|MN|=（）A．8 B．4 C．2 D．4【解答】解：双曲线﹣=1（b＞0）的左顶点为A，虚轴长为8，∴2b=8，解得b=4，∵a=3，∴c2=a2+b2=25，即c=5，∴F（5，0），A（﹣3，0），∴双曲线的渐近线方程为y=±x，∵⊙F与双曲线的渐近线相切，∴⊙F的半径r==4，∴|MF|=4，∵|AF|=a+c=5+3=8，∴|AM|==4，=2×|AM|•|MF|=|AF|•|MN|，∵S四边形AMFN∴2×4×4=8•|MN|，解得|MN|=4，故选：D．12．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=﹣2x+1，设函数g（x）=（）|x﹣1|（﹣1＜x＜3），则函数f（x）与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），∴f（x）的周期为2．∴f（1﹣x）=f（x﹣1）=f（x+1），故f（x）的图象关于直线x=1对称．又g（x）=（）|x﹣1|（﹣1＜x＜3）的图象关于直线x=1对称，作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在（﹣1，3）上共有4个交点，∴所有交点的横坐标之和为1×2×2=4．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上的点P（﹣2，a）到焦点的距离为3，则a=．【解答】解：由题意设抛物线方程为y2=﹣2px，（p＞0），其准线方程为x=，∵抛物线上一点P（﹣2，a）到焦点的距离为3，∴2+=3，解得p=2，∴此抛物线的方程为y2=﹣4x．可得：a2=8，解得a=．故答案为：．14．（5分）甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后，甲说：我做错了；乙说：丙做对了；丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了．”请问他们三个人中做对了的是甲．【解答】解：假设三人中做对的是甲，则甲、乙说错了，丙说对了，符合题意；假设三人中做对的是乙，则乙说错了，皿和丙说对了，不符合题意；假设三人中做对的是丙，则甲、乙、丙都说对了，不符合题意．综上，他们三个人中做对的是甲．故答案为：甲．15．（5分）已知实数x，y满足，若z=3x﹣2y取得最小值时的最优解（x，y）满足ax+by=2（ab＞0），则的最小值为9．【解答】解：实数x，y满足，作出不等式组所对应的可行域，变形目标函数可得y=x﹣，a＞0，平移目标函数，当经过点A时，z取得最小值，由，解得x=y=2∴a+b=2，∴a+b=1，∵ab＞0，∴a＞0，b＞0，∴=+=+，设f（a）=+，∴f′（a）=﹣+=﹣令f′（a）=0，解得a=2（舍去），或a=，当0＜a＜时，f′（a）＜0，函数f（a）单调递减，当＜a＜1时，f′（a）＞0，函数f（a）单调递增，∴f（a）min=f（）=+=9，故的最小值为9，故答案为：9．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=3，b=2，且，则B=．【解答】解：根据题意，△ABC中，则有ac×=a2﹣b2+bc，变形可得：a2+c2﹣b2=2a2﹣2b2+bc，则有=，即cosA=，则sinA==，又由=，则sinB=，又由a=3，b=2，则sinB==，又由a＞b，则B＜，则B=；故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知数列{a n}满足：，且a1=1，a2=2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，且b1=1．求数列{b n}的通项公式，并求其前n项和T n．【解答】解：（1）由知数列{a n}为等差数列，且首项为1，公差为a2﹣a1=1，所以a n=n；（2）∵2nb n=（n+1）b n，+1∴，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，，从而，，，∴，所以．18．（12分）某大学导师计划从自己所培养的研究生甲、乙两人中选一人，参加雄安新区某部门组织的计算机技能大赛，两人以往5次的比赛成绩统计如下：（满分100分，单位：分）．（1）试比较甲、乙二人谁的成绩更稳定；（2）在一次考试中若两人成绩之差的绝对值不大于2，则称两人“实力相当”．若从上述5次成绩中任意抽取2次，求恰有一次两人“实力相当”的概率．【解答】解：（1）∵，，，∴甲的成绩更稳定．（2）解法一：考试有5次，任选2次，基本事件有10个，分别为：（87，100）和（87，80），（87，100）和（84，85），（87，100）和（100，95），（87，100）和（92，90），（87，80）和（84，85），（87，80）和（100，95），（87，80）和（92，90），（84，85）和（100，95），（84，85）和（92，90），（100，95）和（92，90），其中符合条件的事件有6个，分别为：（87，100）和（84，85），（87，100）和（92，90），（87，80）和（84，85），（87，80）和（92，90），（84，85）和（100，95），（100，95）和（92，90），则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为p=．解法二：这5次考试中，分数差的绝对值分别为13，7，1，5，2，则从中任取两次，分差绝对值的情况为：（13，7），（13，1），（13，5），（13，2），（7，1），（7，5），（7，2），（1，5），（1，2），（5，2）共10种，其中符合条件的情况有（13，1），（13，2），（7，1），（7，2），（1，5），（5，2）共6种情况，则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为p=．19．（12分）如图，四棱台A1B1C1D1﹣ABCD中，A1A⊥底面ABCD，A1B1=A1A=，AC=2，平面A1ACC1⊥平面C1CDD1，M为C1C的中点．（1）证明：AM⊥D1D；（2）若∠ABC=30°，且AC≠BC，求点A到平面B1BCC1的距离．【解答】（1）证明：连接AC1，∵A1B1C1D1﹣ABCD为四棱台，四边形A1B1C1D1～四边形ABCD，∴，由AC=2得，A1C1=1，又∵A1A⊥底面ABCD，∴四边形A1ACC1为直角梯形，可求得C1A=2，又AC=2，M为CC1的中点，所以AM⊥C1C，又∵平面A1ACC1⊥平面C1CDD1，平面A1ACC1∩平面C1CDD1=C1C，∴AM⊥平面C1CDD1，D1D⊂平面C1CDD1，∴AM⊥D1D；（2）解：在△ABC中，，利用余弦定理可求得，BC=4或BC=2，由于AC≠BC，所以BC=4，从而AB2+AC2=BC2，知AB⊥AC，又∵A1A⊥底面ABCD，则平面A1ACC1⊥底面ABCD，AC为交线，∴AB⊥平面A1ACC1，所以AB⊥CC1，由（1）知AM⊥CC1，AB∩AM=A，∴CC1⊥平面ABM（连接BM），∴平面ABM⊥平面B1BCC1，过点A作AN⊥BM，交BM于点N，则AN⊥平面B1BCC1，在Rt△ABM中可求得，所以，所以，点A到平面B1BCC1的距离为．20．（12分）椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设P（x，y）为椭圆C上任一点，F为其右焦点，点P'满足．①证明：为定值；②设直线与椭圆C有两个不同的交点A、B，与y轴交于点M．若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列，求m的值．【解答】解：（1）由得3a2=4b2，把点代入椭圆方程为，∴得a2=4，∴b2=3，椭圆的标准方程为；（2）由（1）知，，而，∴为定值；②直线与椭圆C联立，得x2+mx+m2﹣3=0，△=m2﹣4（m2﹣3）＞0⇒﹣2＜m＜2，设，则，由①知，∴，∵|AF|，|MF|，|BF|成等差数列，∴|AF|+|BF|=2|MF|，即解得或，又因为﹣2＜m＜2，所以．21．（12分）已知函数．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设函数g（x）=lnx+1，证明：当x∈（0，+∞）且a＞0时，f（x）＞g（x）．【解答】解：（1）因为，①若a≤0，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）为增函数；②若a＞0，则或，，∴函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明：令，，设p（x）=x2﹣x﹣a=0的正根为x0，所以，∵p（1）=1﹣1﹣a=﹣a＜0，∴x0＞1，h（x）在（0，x0）上为减函数，在（x0，+∞）上为增函数，，令F（x）=2x﹣lnx﹣2（x＞1），恒成立，所以F（x）在（1，+∞）上为增函数，又∵F（1）=2﹣0﹣2=0，∴F（x）＞0，即h（x）min＞0，所以，当x∈（0，+∞）时，f（x）＞g（x）．选考题：共10分．请考生从第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρcosθ﹣ρsinθ+b=0与⊙C2：ρ=﹣4cosθ相交于A、B两点，且∠AOB=90°．（1）求b的值；（2）直线l与曲线C1相交于M、N，证明：|C2M|•|C2N|（C2为圆心）为定值．【解答】解：（1）直线l和圆C2的普通方程分别为x﹣y+b=0，（x+2）2+y2=4，∠AOB=90°，∴直线l过圆C2的圆心C2（﹣2，0），∴﹣2+b=0，解得b=2．证明：（2）曲线，可知直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C1得，恒成立，设M、N两点对应的参数分别为t1、t2，则，|C2M|•|C2N|=|t1•t2|=8为定值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣x2+1＞0；（2）若函数g（x）=f（x﹣1）+f（x+m），当且仅当0≤x≤1时，g（x）取得最小值，求x∈（﹣1，2）时，函数g（x）的值域．【解答】解：（1）|x+1|﹣x2+1＞0⇒|x+1|＞x2﹣1，①，②，所以，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜2}；（2）g（x）=|x|+|x+m+1|=|﹣x|+|x+m+1|≥|﹣x+x+m+1|=|m+1|，当且仅当（﹣x）•（x+m+1）≥0时取等号，∴1+m+1=0，得m=﹣2，∴g（x）=|x|+|x﹣1|，故当x∈（﹣1，2）时，，所以g（x）在x∈（﹣1，2）时的值域为[1，3）．。