江苏省淮阴中学2021届高三上学期开学练习数学试题 含答案
2021届江苏省淮安市淮阴中学高三上学期8月测试数学试题(解析版)
2021届江苏省淮安市淮阴中学高三上学期8月测试数学试题一、单选题1．设集合={1,2,3}A ，B={45}，，={x|x=a+b,a A,b B}M ∈∈，则M 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】【详解】由题意知x a b =+，,a A b B ∈∈， 则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素，故选B. 【考点定位】 集合的概念2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是 A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使20x ≤ C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使12x> 【答案】B【解析】先确定命题中是否含有特称量词，然后利用判断特称命题的真假． 【详解】对于A ，锐角三角形中的内角都是锐角，所以A 为假命题； 对于B ，为特称命题，当0x =时，20x =成立，所以B 正确；对于C ，(0=，所以C 为假命题； 对于D ，对于任何一个负数x ，都有10x<，所以D 错误． 故选B ． 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题和特称命题的定义，难度不大，属于基础题．3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：汽车启动加速过程，随时间增加路程增加的越来越快，汉使图像是凹形，然后匀速运动，路程是均匀增加即函数图像是直线，最后减速并停止，其路程仍在增加，只是增加的越来越慢即函数图像是凸形．故选A ． 【考点】函数图像的特征．4．对任意R x ∈，函数()327f x ax ax x =++不存在极值点的充要条件是（ ）A ．021a ≤≤B ． 021a <<C ． 0a ≤或21a ≥D ．0a <或21a > 【答案】A【解析】求出导函数()'f x ，由方程()0f x '=没有变号的实数解即可得．【详解】由题意()2327f x ax ax '=++，()f x 不存在极值点，0a =时，()70f x '=>，()f x 单调递增，无极值点；0a ≠时，则24840a a ∆=-≤，解得021a <≤，综上021a ≤≤． 故选：A ． 【点睛】本题考查用导数与函数的极值的关系，对于可导函数，如果导函数存在变号的零点，则原函数有极值．如果没有变号的零点，则原函数无极值．5．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝a e nt .假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有8a，则m 的值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】D【解析】由题意，函数y=f （t ）=ae nt ,满足f （5）=2a ，f （m+5）=8a , 可解出m 的值. 【详解】根据题意得2a＝a e 5n ， 令8a ＝a e nt ，即18＝e nt ， 因为12 ＝e 5n ，故18＝e 15n ，故t ＝15，m ＝15－5＝10. 故选D 【点睛】对实际情景，根据已知或建立的相应函数模型，将实际问题转换为函数的求解.，最后解决实际问题.6．函数()()log 6a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,2上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()0,1C ．(] 1,3D ．[)3+∞，【答案】A【解析】根据对数函数性质与复合函数的单调性求解． 【详解】首先6t ax =-是减函数，∴log a y t =应是增函数，()f x 才可能是减函数， ∴1a >，函数()f x 在[0,2]上减函数，由对数函数性质知620a ->，3a <， 综上13a <<． 故选：A ． 【点睛】本题考查复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键．7．如果已知0<a <1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．与a 的值有关【答案】A【解析】设,0(),()log ,0x xa xa x f x a g x x a x -⎧≥===⎨≤⎩分别作出它们的图象如图所示： 由图可知有两个交点，故选A.8．已知函数()()2ln15f x x x x =++-[]()2020,2020x ∈-的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ） A ．5- B ．10-C ．5D ．10【答案】B【解析】构造新函数()()5g x f x =+，证明它是奇函数，然后利用奇函数的性质求值． 【详解】设2()()5ln(1)g x f x x x x =+=++， 则2222()()ln(1)ln(1)ln (1)(1)0g x g x x x x x x x x x x x ⎡⎤+-=++-++=++=⎣⎦，∴()()g x g x -=，()g x 是奇函数，又min min ()()55g x f x m =+=+，max max ()()55g x f x M =+=+， ∴min max ()()550g x g x M m +=+++=，10M m +=-． 故选：B ．【点睛】本题考查函数的奇偶性，解题关键是构造新函数是奇函数，然后利用奇函数的性质求得结论．二、多选题9．下列说法中，正确的命题是（ ）． A ．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()40.8P X <=，则()240.2P X <<= B ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a =D ．若样本数据121x +，221x +，…，1621x +的方差为8，则数据1x ，2x ，…，16x 的方差为2 【答案】CD【解析】利用正态分布的对称型可以求得()24P X <<的值，进而判定A 错误;根据相关系数的意义可以判定B 错误；利用回归直线方程过样本中心点，可以求得回归常数的估计值，从而判定C 正确；利用线性相关的数据组的方差之间的关系可以求得数据1x ，2x ，…，16x 的方差，进而判定D 正确.【详解】A. 已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()40.8P X <=，则()410.80.2P X ≥=-=，所以()00.2P X ≤=，所以()04120.20.6P X <<=-⨯=, ∴()0.6240.32P X <<==，故A 错误； B. 线性相关系数r 的范围在1-到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故B 错误；C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则y 1a bx =-=，故C 正确；D. 设数据1x ，2x ，…，16x 的方差为2S ,样本数据121x +，221x +，…，1621x +的方差为222S =8，则22S =，即数据1x ，2x ，…，16x 的方差为2，故D 正确. 故选:CD. 【点睛】本题考查正态分布的概率计算问题，相关系数问题，回归直线方程问题，数据的方差关系问题，属小综合题，难度一般. 10．下列不等式，其中正确的是（ ） A ．2 32x x +>（R x ∈） B ．3322 a b a b ab +≥+（a ，R b ∈）C ．22 2a b +≥（1a b --）D ．()22211f x x x =+≥- 【答案】AC【解析】,,A B C 三个选项用作差法比较，D 选项通过举例判断． 【详解】2232(1)20x x x +-=-+>，所以232x x +>，A 正确；332222222()()()()()()a b a b ab a a b b a b a b a b a b a b +--=---=--=-+，当0a b +<时，33220a b a b ab +--≤，B 错误；22222(1)(1)(1)0a b a b a b +-+-=-+-≥，即222(1)a b a b +≥+-，C 正确；222()1f x x x =+-中(0)21f =-<+，D 错误． 故选：AC ． 【点睛】本题考查不等式的性质，考查两实数比较大小，作差法是解题的基本方法． 11．若()f x 满足对任意的实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=且()12f =，则下列判断正确的有（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在定义域上单调递增C ．当()0,x ∈+∞时，函数()1f x >D ．()()()()()()()()()()()()2462016201820202020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++= 【答案】BCD【解析】利用新定义结合函数的性质进行判断．计算出(1)f 判断A ；先利用(1)21f =>证明所有有理数p ，有()1f p >，然后用任意无理数q 都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得()1f q >，这样可判断C ，由此再根据单调性定义判断B ，根据定义计算(2)(21)f n f n -（n N ∈），然后求得D 中的和，从而判断D ．【详解】令0,1a b ==，则(1)(10)(1)(0)f f f f =+=，即22(0)f =，∴(0)1f =，()f x 不可能是奇函数，A 错；对于任意x ∈R ，()0f x ≠，若存在0x R ∈，使得0()0f x =，则0000(0)(())()()0f f x x f x f x =+-=-=，与(0)1f =矛盾，故对于任意x ∈R ，()0f x ≠，∴对于任意x ∈R ，2()022222x x x x x f x f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==> ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∵(1)21f =>，∴对任意正整数n ，11111111121nn n f n n f f f f f n n n n n n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪+++===> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪ ⎪⎝⎭个个，∴11f n ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 同理()(111)(1)(1)(1)21n f n f f f f =+++==>，对任意正有理数p ，显然有m p n=（,m n 是互质的正整数），则1()1mm f p f fn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 对任意正无理数q ，可得看作是某个有理数列123,,,p p p 的极限，而()1i f p >，i N ∈，∴()f q 与()i f p 的极限，∴()1f q >，综上对所有正实数x ，有()1f x >，C 正确， 设12x x <，则210x x ->，∴21()1f x x ->，则21211211()(())()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅->，∴()f x 是增函数，B 正确；由已知(2)(211)(21)(1)2(21)f n f n f n f f n =-+=-=-，∴(2)2(21)f n f n =-，∴()()()()()()()()()()()()10102246201620182020222210102020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++=+++=⨯=个，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能力，对学生要求较高，本题属于难题． 12．已知定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x ，()'f x 是()f x 的导函数，且恒有cos ()sin ()0xf x xf x '+<成立，则( )A．64f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B63f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D64ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD【解析】根据题意，令()()cos f x g x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，对其求导分析可得()0g x '<，即函数()g x 为减函数，结合选项分析可得答案． 【详解】解：根据题意，令()()cos f x g x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则其导数2()cos sin ()()f x x x f x g x cos x '+'=， 又由(0,)2x π∈，且恒有cos ()sin ()0x f x x f x '+<，则有()0g x '<，即函数()g x 为减函数，又由63ππ<，则有()()63g g ππ>，即()()63cos cos 63f f ππππ>，分析可得()()63f ππ>；又由64ππ<，则有()()64g g ππ>，即()()64cos cos 64f f ππππ>()()64ππ>．故选：CD ． 【点睛】本题考查函数的单调性与函数导数的关系，注意构造函数()()cos f x g x x=，并借助导数分析其单调性，属于中档题．三、填空题13．若1<a<3，－4<b<2，那么a －|b|的取值范围是_______ 【答案】(－3,3)【解析】先算出|b |的范围，再算出a +（﹣|b |）的范围． 【详解】由﹣4＜b ＜2⇒0≤|b |＜4，﹣4＜﹣|b |≤0， 又1＜a ＜3． ∴﹣3＜a ﹣|b |＜3． 所求范围为（﹣3，3）. 故答案为（﹣3，3）. 【点睛】本题考查了不等式性质的应用，注意同向不等式只能相加，不能相减的特点． 14．已知0a >，0b >，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为______ 【答案】16【解析】不等式变形后用基本不等式求最小值后可得结论． 【详解】∵0a >，0b >，3103m a b a b--≤+恒成立， ∴3133(3)()10a b m a b a b b a≤++=++， ∵0,0a b >>，33101016b a a b ++≥+=， 当且仅当33b aa b=，即a b =时，等号成立， ∴16m ≤，即m 的最大值为16．故答案为：16 【点睛】本题考查不等式恒成立，考查用基本不等式求最小值．解题方法是分离参数法．15．定义运算“⊗”22x y x y xy-⊗=，（,R x y ∈，0xy ≠）.当0x >，0y >时，()2x y y x ⊗+⊗的最小值为______【解析】根据新定义，把()2x y y x ⊗+⊗用通常的运算表示，然后用基本不等式求得最小值． 【详解】 由题意()222222422222x y y x x y x y x y y x xy xy xy y x --+⊗+⊗=+==+≥=当且仅当2x yy x=，即x =时等号成立．．． 【点睛】本题考查新定义运算，求新定义运算下的最值，解题方法是利用新定义把新定义表达式转化为通常的运算，然后由基本不等式求得最小值．四、双空题16．设1,3a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，R b ∈，()3g x ax x =-，[]1,1x ∈-，则()g x 的值域是______，函数()()f x g x b =-在[]1,1-的最大值是23，则22a b +的值是______ 【答案】[1,1]a a --19【解析】求出导数()'g x ，由已知条件得()0g x '≤，从而确定()g x 的单调性，得函数()g x 值域，由最大值得2()3f x ≤恒成立，从而2(1)32(1)3f f ⎧-≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，由此化简变形后求得,a b ，得22a b +， 【详解】由题意2()31g x ax '=-，∵13a ≤，[1,1]x ∈-，∴2()310g x ax '=-≤，()g x 在[1,1]-上单调递减，max ()(1)1g x g a =-=-，min ()(1)1g x g a ==-，∴()g x 值域为[1,1]a a --；函数()()f x g x b =-在[]1,1-的最大值是23，即2()3f x ≤在[1,1]-上恒成立， ∴()()21132113f a b f a b ⎧-=-+-≤⎪⎪⎨⎪=--≤⎪⎩，两式相加得4113a b a b -+-++-≤，又1122a b a b a -+-++-≥-，∴4223a -≤，解得1533a ≤≤， 又∵13a ≤，∴13a =，可得1213312133b b ⎧-+-≤⎪⎪⎨⎪--≤⎪⎩，即22332233b b ⎧-≤⎪⎪⎨⎪--≤⎪⎩，解得403403b b ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩，∴0b =，∴2219a b +=． 故答案为：[1,1]a a --；19． 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性与最值，研究函数恒成立问题，着重考查了逻辑推理能力，运算求解能力，难度中等．五、解答题17．已知函数y =R ．()1求a 的取值范围；()2解关于x 的不等式220x x a a --+<．【答案】()[]1?0,1；(2)见解析.【解析】()1由函数的定义域是R ，得出2210ax ax ++≥恒成立，求出a 的取值范围；()2分类讨论，即可求出不等式的解集．【详解】()1函数y =R ，2210ax ax ∴++≥恒成立．①当0a =时，10≥，不等式恒成立；②当0a ≠时，则02440a a a >⎧=-≤⎨⎩解得01a <≤．综上可知，a 的取值范围是[]0,1．()2由220x x a a --+<，得()()10x a x a ⎡⎤---<⎣⎦．01a ≤≤，∴①当1a a ->，即102a ≤<时，1a x a <<-； ②当1a a -=，即12a =时，)21(02x -<，不等式无解；③当1a a -<，即112a <≤时，1a x a -<<． 综上，当102a ≤<时，原不等式的解集为(),1a a -； 当12a =时，原不等式的解集为；当112a <≤时，原不等式的解集为()1,a a - 【点睛】本题考查了函数的性质与应用以及不等式的解法与应用问题，解题时应根据题意，适当地转化条件，从而获得解答问题的途径，是综合性题目．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据不等式的判别式的符号进行分类，最后在根存在的条件下，再根据根的大小进行分类．18．（1）已知不等式1x m -<成立的充分不必要条件是1132x <<，求实数m 的取值范围.（2）已知()2log f t t =，t ∈⎤⎦，对于()f t 值域内的所有实数m ，不等式2424x mx m x ++>+恒成立，求x 的取值范围.【答案】（1）1423m -≤<；（2）()(),12,-∞-+∞.【解析】（1）先求得不等式1x m -<解集，结合题意，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，求得()1,32f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，转化为()()2220x m x -+->对任任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令()()()222g x m m x =-+-，结合一次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，不等式1x m -<，解得11m x m -<<+，因为1x m -<成立的充分不必要条件是1132x <<，所以113112m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩①，或113112m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩②， 由①得：1423m -<≤；由②得：1423m -≤<， 综合①②得：1423m -≤<.（2）因为()2log f t t =，t ∈⎤⎦，所以()1,32f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因为2424x mx m x ++>+对任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 所以()()2220x m x -+->对任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令()()()222g x m m x =-+-，因为()()2220x m x -+->对任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，可得()()()()()()()22112202233220g x x g x x ⎧⎛⎫=-+->---* ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-+->---**⎩，由()* 可得：()()2230x x -->，则2x >或23x <； 由()**可得：()()120x x +->，则2x >或1x <-， 综上所述：x 的范围()(),12,-∞-+∞.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，二次函数的图象与性质，以及不等式的恒成立问题，其中解答中熟记绝对值不等式的解法，以及二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19．美国2018年3月挑起“中美贸易争端”，剑指“中国制造2025”，中国有“缺芯”之痛.今有三个研究机构A ，B ，C 对某“AI 芯片”做技术攻关，A 能攻克的概率34为，B 能攻克的概率为23，C 能攻克的概率为12，（1）求这一技术难题被攻克的概率；（2）先假设一年后该技术难题已被攻克，上级会奖励m 万元.奖励规则如下：若只有1个机构攻克，则此机构获得全部奖金m 万元；若只有两个机构攻克，则奖金奖给此两个机构，每个机构各得2m万元；若三个机构均攻克，则奖金奖给三个机构，每个机构各得3m万元.设A ，B 得到的奖金数为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）2324；（2）分布列见解析，()3548E X m =. 【解析】（1）对立事件是这一技术难题没有被攻克即每个队都没有攻克技术难题，由对立事件的概率公式求解；（2）根据规则X 的可能取值为：0，2m ，23m，m ，X 0=表示,A B 均未攻克技术难题，C 可能攻克也可以未攻克，2mX =表示A 未攻克，,B C 同时攻克或B 未攻克，,A C 同时 攻克，23mX =表示,,A B C 同时攻克，X m =表示C 未攻克，,A B 中至少1个机构攻克这个技术难题，由此可计算出概率，得分布列，从而可计算出期望． 【详解】（1）记这一技术难题被攻克的事件为A ；()111123114322424P A =-⨯⨯=-=.（2）X 的可能取值为：0，2m ，23m ，m 2321134324m P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；3111215243243224m P X ⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭； ()3111213211143243243224P X m ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；()1111111043243212P X ==⨯⨯+⨯⨯=X 的分布列：()15211135012224342448m m E X m m =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式和对立事件的概率公式，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题关键是确定变量X 的可能取值．20．设二次函数()2f x ax bx c =++，函数()()F x f x x =-的两个零点为m ，n（m n <）.（1）若1m =-，2n =，求不等式()0F x >的解集. （2）若0a >，且10x m n a<<<<，比较()f x 与m 的大小. 【答案】（1）答案见解析；（2）()f x m <.【解析】（1）由二次方程的根与一元二次不等式的解之间的关系直接得出结论； （2）设()()()F x a x m x n =--，得()()()f x a x m x n x =--+，作差()f x m -可得它与0的大小，从而得出()f x 与m 的大小． 【详解】（1）()0F x =的两个根分别为1-和2 当0a >时，()0F x >的解集为()(),12,-∞-+∞；当0a <时，()0F x >的解集为()1,2-；（2）()()()F x a x m x n =--，()()()f x a x m x n x =--+()()()()()1f x m a x m x n x m x m ax an -=--+-=--+∵10x m n a<<<<，∴0x m -<，10an -+>，0ax > ∴10ax an -+>，()0f x m -< ∴()f x m <. 【点睛】本题考查二次方程的根与一元二次不等式的解之间的关系，考查二次函数的解析式，掌握三个二次的关系是解题关键． 21．已知函数()1ln x f x x a-=-（1）当1a =时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 在区间()2,e 上存在零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0；（2）1,1ln 2e ⎛⎫-⎪⎝⎭. 【解析】（1）先求导数，再求导函数零点，根据导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据单调性求最大值；（2）先变量分离转化求对应函数()1ln x g x x-=值域，利用导数求其单调性，再根据单调性求其值域，即得结果. 【详解】（1）()()ln 1f x x x =--，()111x f x x x-=-='， 令0fx，得1x =所以()f x 在0,1上单调递增，1,上单调递减∴()()max 10f x f ==.（2）()f x 在区间()2,e 上存在零点，∴1ln 0x x a--=在()2,e 上有解，1ln x a x -=令()1ln x g x x-=（()2x e ∈,），()()21ln 1ln ,x x x x g +='-设2211111ln 1,(2,)0ln 2102x y x x e y y x x x x -'=-+∈∴=-=>∴>-+=> 因此0g x,∴()g x 在()2,e 上单调递增，即()()12ln 2g x g >=，()()1g x g e e <=- ∴1,1ln 2a e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数求函数单调性、利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.22．设函数()32f x x ax bx =++（a ，R b ∈）的导函数为()f x .已知1x ，2x 是()f x 的两个不同的零点. （1）证明：23a b >；（2）当0b =时，若对任意0x >，不等式()ln f x x x >恒成立，求a 的取值范围； （3）求关于x 的方程()()()1211()2x f x f x f x x x '=-++的实根的个数. 【答案】（1）证明见解析；（2）1a ≥-；（3）1.【解析】（1）先求导数，再根据导函数必有两个不同零点列不等式，解得结果；（2）先分离变量，转化为求对应函数()2ln x x F x x-=最值，利用导数确定其单调性，根据单调性确定最值，即得结果；（3）先求122x x f +⎛⎫' ⎪⎝⎭，再构造差函数()()321211()2x x G x x ax bx f x x f x +⎛⎫'=++--- ⎪⎝⎭，再利用导数确定其单调性，最后根据单调性以及()10G x =确定零点个数，即得结果. 【详解】（1）证明：()232f x x ax b '=++，令()2320f x x ax b '=++=∵0f x有两个不等的实根，∴2241203a b a b ∆=->⇒>.（2）0b =时，()32f x x ax =+，由()ln f x x x ≥得32ln x ax x x +≥∴22ln ln x x x ax x x a x-+≥⇒≥令()2ln x x F x x-=，()222212ln 1ln x x x x x x x F x x x ⎛⎫--+ ⎪--⎝⎭'== 令()21ln g x x x =--，()120g x x x'=--< ∴()g x 在0,上单调递减，注意到10g∴当01x <<时，()0gx >，()0F x '>，()F x '单调递增；当1x >时，()0g x <，()0F x '<，()F x 单调递减： ∴()()max 11F x F ==-，∴1a ≥-. （3）()()3212112x x x ax bx f x x f x +⎛⎫'++=-+⎪⎝⎭()()32121102x x x ax bx f x x f x +⎛⎫'⇒++---= ⎪⎝⎭212233x x a a f f b +⎛⎫⎛⎫''=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()()321211()2x x G x x ax bx f x x f x +⎛⎫'=++---⎪⎝⎭()()2222221211323296(3)02333x x a G x x ax b f x ax b b x ax a x a +⎛⎫''=++-=++-+=++=+≥ ⎪⎝⎭∴()G x 在R 上单调递增，故()G x 在R 上至多只有一个零点，注意到()10G x = ∴()G x 在R 上只有1个零点，即()()1211()2x x f x f x x f x '+⎛⎫=-+⎪⎝⎭的实根个数为1. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立、利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.。
2021年高三上学期开学初检测数学(理)试卷含答案
2021年高三上学期开学初检测数学（理）试卷含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）.1．设全集，，，则（）A． B．C．D．2．若复数（是虚数单位），则A．B．C．D．3. 设是数列的前项和，若，则A．5 B．7 C．9 D．11 4．设f（x）＝，则f（f（－2））＝A．－1 B．C．D．5．的展开式中的有理项且系数为正数的项有( )A．1项 B．2项C．3项 D．4项6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．3πB．4πC．2π＋4 D．3π＋47．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的（）A．B．C．D．8．设，则是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9.函数的图像与函数的图像（）A 有相同的对称轴但无相同的对称中心B 有相同的对称中心但无相同的对称轴C 既有相同的对称轴但也有相同的对称中心D 既无相同的对称中心也无相同的对称轴10．不等式组表示的点集为M，不等式组表示的点集记为N，在M中任取一点P，则的概率为( )A． B． C． D．11、已知双曲线与抛物线有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若，则点F到双曲线的渐近线的距离为( )A． B． C． D．12．对一定义域为D的函数和常数，若对任意正实数，使得恒成立，则称函数为“敛函数”，现给出如下函数：①②③④其中为“敛1函数”的有( )A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13.过函数f（x）＝－＋2x＋5图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是________________.14、已知函数的图象关于直线对称，则的值为 .15.已知函数，若方程有且仅有两个不等的实根，则实数的取值范围是 . 16．已知抛物线上一点，若以为圆心，为半径作圆与抛物线的准线交于不同的两点，设准线与x轴的交点为A，则的取值范围是 .三、解答题：(本大题共6小题，共70分).参加人数AC E17．在中，角对应的边分别是,已知23cos cos 23sin sinC 2cos B C B A +=+.(I)求角的大小；(II)若,,求△ABC 的面积.（12分）18．如图所示的多面体中，⊥平面，⊥平面ABC ，，且，是的中点． （Ⅰ）求证：⊥；（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. （12分）19．学校高一年段在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动，要求每位同学至少参加一次活动.高一（1）班50名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示.（1）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数不相等的概率.（2）从该班中任意选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望.（3）从该班中任意选两名学生，用表示 这两人参加活动次数之和，记“函数在区间（3，5）上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率. （12分）20.椭圆的上顶点为 是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由.（12分）21.已知函数.(1)若的切线方程;(2) 若函数在上是增函数,求实数m 的取值范围;(3) 设点满足,判断是否存在点P (m,0),使得以AB 为直径的圆恰好过P 点，说明理由. （12分） 请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．22．选修4-1：几何证明选讲如图，切于点，直线交于，两点，，垂足为．（I）证明：；（II）若，，求的直径．（10分）A23. 选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线C：（t为参数）， C：（为参数）。
高三开学考试数学试题(附详解)
高三上学期开学考试数学试题一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知集合{}1,2,4A =，集合{},2B a a =+，若A B B = ，则=a （）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】D【详解】由集合{}1,2,4A =，集合{},2B a a =+，因为A B B = ，可得B A ⊆，当1a =时，则23a +=，此时{}1,3B =，此时不满足B A ⊆，舍去；当2a =时，则24a +=，此时{}2,4B =，此时满足B A ⊆；当4a =时，则26a +=，此时{}4,6B =，此时不满足B A ⊆，舍去，综上可得，2a =.故选：D.2．命题：p ：R,0x x x ∀∈+≥的否定为（）A ．R,0x x x ∃∈+≥B ．,0x R x x ∃∈+≤C ．R,0x x x ∃∈+<D ．R,0x x x ∀∈+<【答案】C【详解】命题R x ∀∈，0x x +≥的否定为R x ∃∈，0x x +<.故选：C.3．下列函数为奇函数且在()0,1上为减函数的是（）A ．()()sin f x x =-B ．()tan f x x=C ．()cos f x x=D ．()sin f x x=【答案】A【详解】依题意，对于A ：()()sin sin f x x x =-=-为奇函数且在()0,1上为减函数，故A 正确；对于B ：()tan f x x =为奇函数，在()0,1上为增函数，故B 错误；对于C ：()cos f x x =为偶函数，故C 错误；对于D ：()sin f x x =为奇函数，在()0,1上为增函数，故D 错误.故选：A.4．设,a b 为实数，则“0a b <<”是“11a b <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【详解】当“0a b <<”时，则0,0b a ab ->>，则0b a ab ->，所以11a b>，所以“0a b <<”无法推出“11a b<”，当11a b<，即0b aab -<时，有可能0a b <<，但不会有0a b <<，所以“11a b>”无法推出“0a b <<”.所以“0a b <<”是“11a b>”既不充分也不必要条件.故选：D.5．若不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（）A ．()2,2-B ．(]10,2-C ．()[),22,-∞-+∞ D ．(],2-∞-【答案】B【详解】依题意，不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，即不等式()()22230m x m x -+--<恒成立，当2m =时，不等式可化为30-<恒成立，当2m <时，()()222122820m m m m ∆=-+-=+-()()1020m m =+-<，解得102m -<<，综上所述，m 的取值范围是(]10,2-.故选：B6．已知ππππ()sin 3333f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则(1)(2)(2023)++⋅⋅⋅+f f f 的值为（）A ．BC ．1D ．0【答案】B【详解】因为ππππππππ()sin cos 2sin 2sin 33333333f x x x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的周期为2π6π3=，因为π(1)2sin 3f ==2π(2)2sin3f ==3π(3)2sin 03f ==，4π(4)2sin3f ==5π(5)2sin 3f ==6π(6)2sin 03f ==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，所以[](1)(2)(2016)337(1)(2)(6)(1)++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅++=f f f f f f f ，故选：B7．已知∆ABC 中，2AC =，sin tan A B =，π(0,]3∈A ，则边AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．2D ．52【答案】B【详解】ABC 中，2AC =，sin tan A B =，则sin cos sin A B B =，则cos 2a B b ==，则22422a c a ac+-=，整理得22440a c c +--=，又ABC 中，π0,3A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2241cos ,142c a A c +-⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，整理得2222420440c a c c a c ⎧+--≥⎨+--<⎩，又2244a c c =+-，代入整理得223040c c c c ⎧-≥⎨-<⎩，解之得34c ≤<.故AB 的最小值为3.故选：B8．已知 1.4a =，0.41.1e b =，0.5e c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A【详解】构造函数()()1.5e xf x x =-，则()0.4b f =，()0.5c f =，且()()0.5e x f x x '=-，当0.5x <时，()0f x ¢>，函数()f x 在(),0.5-∞上单调递增，当0.5x >时，()0f x '<，函数()f x 在()0.5,+∞上单调递减，所以()()0.40.5b f f c =<=；设()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x <时，()0g x '<，函数()g x 在(),0∞-上单调递减，当0x >时，()0g x '>，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()e 100xx g --≥=故e 1x x ≥+，所以0.41.1e 1.11.4 1.4>⨯>，即a b <．综上，a b c <<，故选：A ．二、多选题（每小题5分，共20分）9．已知实数a ，b 满足等式1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列不可能成立的有（）A ．a b =B ．0b a >>C ．0b a >>D ．0a b>>【答案】CD【详解】作出函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象如图所示：设1123a bm ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭= ，0m >，当1m >时，由图可知0a b <<；当1m =时，由图可知0a b ==；当01m <<时，由图可知0a b >>，故选：CD.103）A 22︒︒B ．2cos 15sin15cos 75︒︒-︒C ．2tan151tan 15︒-︒D ．1tan151tan15+︒-︒【答案】AD【详解】对于A 222sin(1545)2sin 603︒︒︒︒︒=+==A 项成立；对于B 项，2223cos 15sin15cos 75cos 15sin 15cos(215)cos302︒︒︒︒︒︒︒-=-=⨯==，故B 项不成立；对于C 项，22222sin151sin 30tan15sin15cos1513cos152tan 30sin 151tan 15cos 15sin 15cos3021cos 15︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒=====---C 项不成立；对于D 项，1tan15tan 45tan15tan(4515)tan 6031tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒︒︒︒++==+==--，故D 项成立.故选：AD.11．已知函数π()cos()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数()g x 的图像，则（）A ．π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π()2cos 216g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()g x 在π5π,π(Z)1212k k k π⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ABD【详解】由图像可知函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，所以2A =，2,2362T T ππππ=-=⇒=，又22T πωω=⇒=，又(22cos(2)266f ππϕ=⇒⨯+=所以2(Z)2(Z)33k k k k ππϕπϕπ+=∈⇒=-∈，又π||2ϕ<，所以3πϕ=-所以π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得π()2cos 2++1=2cos 2+1436g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 选项正确，由2+(Z)(Z)6262k x k k x k πππππ=+∈⇒=+∈所以()g x 的图像关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 错误.由22+2(Z)6k x k k ππππ≤≤+∈即π5ππ(Z)1212k x k k π-+≤≤+∈所以选项D 正确故选：ABD.12．已知函数()f x 定义域为R ，()1f x +是奇函数，()()()1g x x f x =-，函数()g x 在[)1,+∞上递增，则下列命题为真命题的是（）A ．()()11f x f x --=-+B ．函数()g x 在(],1-∞上递减C ．若21a b <-<，则()()()1g g b g a <<D ．若()()1g a g a >+，则12a <【答案】BCD【详解】对于A ，因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，故A 错误；因为()1f x +是奇函数，所以()y f x =的图象关于点()1,0对称，即有()()=2f x f x --，所以()()()()()()()()2122121g x x f x x f x x f x g x ⎡⎤-=---=--=-=⎣⎦，所以()y g x =的图象关于直线1x =对称，函数()g x 在[)1,x ∞∈+上单调递增，所以()g x 在(],1x ∈-∞上单调递减，故B 正确；因为21a b <-<，所以()()()12g g b g a <-<，即()()()1g g b g a <<，故C 正确；因为()()1g a g a >+，且1a a <+，由函数()y g x =的图象关于直线1x =对称，得()112a a ++<，解得12a <，故C 正确.故选：BCD.三、填空题（每小题5分，共20分）13．扇形的圆心角为60︒，半径为4，则扇形的面积为；．【答案】8π3【详解】因为扇形的圆心角为60︒，转化为弧度为π3，所以该扇形的面积为21π8π4233⨯⨯=.故答案为：8π3.14．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，5()log 1f x x =+，则(5)f -=；【答案】-2【详解】()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，5()log 1f x x =+，则有()5(5)(5)log 512f f -=-=-+=-.故答案为：-215．已知函数()πcos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间7π,2π6ω⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有2个零点，则ω的取值范围是；.【答案】4[,311)6【详解】因为7π,2π6x ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，所以πππ,2π66x ωω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，因为函数()πcos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间7π,2π6ω⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有2个零点，所以5ππ7π2π262ω≤-<，解得43116ω≤<，故答案为:4[,311)6.16．已知11,23a b >>，127a b +=，则312131a b +--的最小值．【答案】20【详解】令11,2131x y a b ==--，则1226711x y a b x y +=+=++，去分母化简得：57xy x y --=，所以(1)(5)12x y --=，所以3133(1)(5)88202131x y x y a b +=+=-+-+≥+=--，当且仅当24,311a b ==时，等号成立．故答案为：20四、解答题17．（本题满分10分）∆ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c cos 2sin cos B c A A =.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若∆ABC的面积为a 是,b c 的等差中项，求∆ABC 的周长．17．【详解】（Ⅰ）cos 2sin cos B c A A =-，cos 2sin sin cos A B C A B A =-，cos cos 2sin sin 0A B B A C A +-=，()2sin sin 0A B C A +-=，2sin sin 0C C A -=，(),0,πC A ∈ ，sin 0C ∴≠，sin A ∴=π3A ∴=或23π.………5分（Ⅱ）因为ABC的面积为1sin 2S bc A ==16bc ∴=，………6分由边a 是,b c 的等差中项，得2b c a +=，且A 不是最大的角，π3A ∴=，………7分22222π2cos ()3()483a b c bc b c bc b c =+-=+-=+- ，22448a a ∴=-，216a ∴=，4a ∴=，28b c a ∴+==，所以ABC 的周长为8412b c a ++=+=.………10分18．（本题满分12分）已知数列{n a }是递增的等比数列，且23141227,a a a a +=⋅=．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{n a }的前n 项和，11++=n n n n a b S S ，求数列{n b }的前n 项和n T ．18．【详解】（Ⅰ）根据题意，设该等比数列的公比为q ，若23141227,a a a a +=⋅=，则有211122311312927a q a q a q a q a q =⎧+=⎧⇒⎨⎨==⎩⎩或121933a q q a q =⎧⇒=⎨=⎩或13q =.………3分又由数列{n a }是递增的等比数列，则3q =，则有11a =，则数列{n a }的通项公式1113n n n a a q --==；………6分（Ⅱ）由（1）可得13n n a -=，则()113112nnn a q S q--==-，则1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-，………9分则1212231111111n n n n T b b b S S S S S S +=+++=-+-++-= 111111123313131n n n n S S ++++--=-=--………12分19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，1AB =，2PA AD CD ===．E 为棱PC 上一点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．且BE PC ⊥．（Ⅰ）求证：F 为PD 的中点；（Ⅱ）求二面角B FC P --的余弦值．19．【详解】（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．在Rt PAB △中，PB ==．……1分在直角梯形ABCD 中，由1AB =，2AD CD ==，可求得BC =，所以PB BC =．………2分因为BE PC ⊥，所以E 为PC 的中点．………3分因为AB CD ∥，AB ⊄平面PCD ，所以//AB 平面PCD ．因为平面ABEF I 平面PCD EF =，所以AB EF ∥．………4分所以CD EF ∥．所以F 为PD 的中点．………5分（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．又AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系A x yz -，………6分则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(0,1,1)F ．所以(,,)120BC =uuu r ，(,,)111BF =-uuu r ，(,,)011AF =uuu r．设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0,BC BF =⎧⎪⎨=⎪⎩⋅⋅uuu r uuu rm m 即20,0.x y x y z +=⎧⎨-++=⎩令1y =-，则2x =，3z =．于是(2,1,3)=-m ．………8分因为AB ⊥平面PAD ，且AB CD ∥，所以CD ⊥平面PAD ．所以AF CD ⊥．又PA AD =，且F 为PD 的中点，所以AF PD ⊥．所以AF ⊥平面PCD ，所以AF uuu r是平面PCD 的一个法向量． (10)分cos ,7||||AF AF AF 〈〉==⋅uuu ruuu r uuu r m m m ．………11分由题设，二面角B FC P --的平面角为锐角，所以二面角B FC P --．……12分20．（本题满分12分）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．已知在单位时间内，甲、乙两种类型的无人运输机操作成功的概率分别为23和12，假设每次操作能否成功相互独立．（Ⅰ）该公司分别收集了甲型无人运输机在5个不同的地点测试的两项指标数i x ，i y （1,2,3,4,5i =），数据如下表所示：地点1地点2地点3地点4地点5甲型无人运输机指标数x 24568甲型无人运输机指标数y34445试求y 与x 间的相关系数r ，并利用r 说明y 与x 是否具有较强的线性相关关系；（若0.75r >，则线性相关程度很高）（Ⅱ）操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作．方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作．假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值．附：参考公式及数据：()()niix x y y r --=∑0.95≈．20．【详解】（Ⅰ）2456855x ++++==，3444545y ++++==，()()516iii x x yy =--=∑，==相关系数()()50.95iix x y y r --=∑，因为0.75r >，所以与具有较强的线性相关关系．………5分（Ⅱ）设方案一和方案二操作成功的次数分别为X ，Y ，则X ，Y 的所有可能取值均为0，1，2，方案一：()1211121011112322236P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()121122112111351111123223322322272P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯+⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12211125223322272P X ==⨯⨯+⨯⨯=，所以()13525850126727272E X =⨯+⨯+⨯=．………9分方案二：选择其中一种操作设备后，进行2次独立重复试验，所以()121172223226E Y =⨯⨯+⨯⨯=，………11分所以()()E X E Y >，即方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期望值．………12分21．（本题满分12分）已知曲线E 上任意一点Q到定点F 的距离与Q到定直线:14m x =的距离之比为3．（Ⅰ）求曲线E 的轨迹方程；（Ⅱ）斜率为k k ⎛> ⎝⎭的直线l 交曲线E 于B ，C 两点，线段BC 的中点为M ，点M 在x 轴下方，直线OM 交曲线E 于点N ，交直线=1x -于点D ，且满足2||||||ON OD OM =（O 为原点）．求证：直线l 过定点．21．【详解】（Ⅰ）设曲线E 上任意一点(,)Q x y3=，化简整理得22195x y -=，所以曲线E 的轨迹方程为22195x y -=；………4分（Ⅱ）设()11,B x y ，()22,C x y ，直线l的方程为3y kx t k ⎛=+> ⎝⎭，联立22195y kx tx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22259189450k x ktx t ----=，因为有两个交点，所以2590Δ0k ⎧-≠⎨>⎩，即22259095k k t ⎧-≠⎨<+⎩，所以1221859kt x x k +=-，()()22121222182591025959k t t k t y y k x x t k k +-+=++==--，即2295,5959ktt M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，………7分因为点M 在x 轴下方，所以25059t k <-，又3k >，所以0t >，所以直线OM 的斜率59OMk k =，则直线OM 的直线方程为59y x k=，将其代入双曲线E 的方程，整理得2228195Nk x k =-，所以2222222258125||18195NNNk ON x y x k k +⎛⎫=+=+= ⎪-⎝⎭，………9分将59y x k =代入直线=1x -，解得51,9D k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又因为2295,5959ktt M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，所以有||OD ==，2||95k t t OM k ==-．由2||||||ON OD OM =，解得9t k =±，因为3k >，0t >，所以9t k =，因此直线l 的方程为9(9)y kx k k x =+=+，故直线l 过定点(9,0)-．………12分22．（本题满分12分）已知函数()(0)e xa f x x a =+>.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()f x 有两个不相等的零点1x ，2x ，（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：122ln x x a +>.解：（Ⅰ）(e )(),()1e e ex x x x a a a f x x f x -'=+=-=，当0a >时，由f ’(x )=0得，ln x a =，x ，f ’(x )，f (x )的变化情况如下表：x (,ln )a -∞ln a(ln ,)a +∞f ’(x )-0+f (x )单调递减极小值单调递增所以f (x )的极小值为f (ln a )=ln a +1............................4分（Ⅱ）（i ）f (x )有两个零点的必要条件是ln a +1<0，即10e a <<；当10e a <<时，f (0)=a >0，f (-1)=-110ea -+<，ln 1a <-，所以f (x )在区间(ln ,)a +∞上有且仅有一个零点，又因为x →-∞时，()f x →+∞，（或111()0e aa f a a --=-+>）所以()f x 在区间(,ln )a -∞上有且仅有一个零点，所以()f x 有两个零点时，a 的取值范围是1(0,)e............................7分（ii ）12()()0f x f x ==，不妨设12x x <，可知12ln 1x a x <<-<，即12120e ex x a a x x +=+=，所以1212e e x x a x x =-=-，122ln a x x >+等价于122ln x a x >-，因为22ln ln x a a -<，所以212ln x a x >-等价于12()(2ln )f x f a x <-，即222ln 2ln 0a x a a x e --+>，令22222ln ()2ln 1)e a x ag x a x x -=-+>-，因为22e x a x =-，所以22221()2ln()g x x x x =-+-，2222222222121()10x x g x x x x ++'=++=>，所以2()g x 在区间(1,)-+∞上单调递增，所以2()(1)0g x g >-=，所以122ln x x a +>............................12分。
江苏高三高中数学开学考试带答案解析
江苏高三高中数学开学考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.复数的共轭复数是 ▲ .2.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则= ▲ .3.已知命题，，则为 ▲ .4.某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如右表示，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法（按年级分层）在全校学生中抽取100人，则应在高三年级中抽取的学生人数为 ▲ .5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是4的倍数的概率是 ▲ ,6.若是等差数列{}的前n 项和，且，则的值为 ▲ .7.函数(为自然对数的底数)在区间上的最大值是 ▲ .8.如图是一个算法的流程图，若输出的结果是63，则判断框中整数的值是9.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题:①若②③若则∥且∥④若其中正确的命题是▲．（写出所有真命题的序号）．10.设, , 则tan的值等于▲．11.已知双曲线的渐近线过点，则该双曲线的离心率为▲ .12.△ABC的三个内角A, B, C所对的边分别为，且，，则▲ .13.如图，是平面上的三点，向量点C是线段AB的中点，设为线段的垂直平分线上任意一点，向量，则= ▲ .14.设函数的定义域为，若存在常数使对一切实数均成立，则称函数为G函数．现给出下列函数：①，②，③，④是定义在的奇函数，且对一切，恒有．则其中是函数的序号为▲二、解答题1.（本题满分14分）设函数．（1）求的最小正周期．（2）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．2.（本题满分14分）如图,在直三棱柱中,，分别是的中点，且.(1)求证：；(2)求证：平面平面.3.（本题满分15分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，建一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为万元。
2021届江苏省淮安市淮阴中学、姜堰中学高三上学期期中联考数学试题
（3）当 时，证明：存在唯一 ，使得 ，且 .
20．正项数列 的前 项和为 ， ，且 ， （ 为常数）.
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）若 ，且 ，对任意 ， 都有 ，求 的值；
（3）若 ，是否存在正整数 ，且 ，使得 ， ， 三项成等比数列？
21．已知 ，向量 是矩阵 的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵 及另一个特征值.
（1）求 的值；
（2）若 ，求三角形 的面积.
17．如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的焦点为 ， ，点 为上顶点，直线 交椭圆于点 .
（1）若 ， ，求点 的坐标；
（2）若 ，求椭圆的离心率.
18．“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6（单位： ），游客在乘坐舱 升到上半空鸟瞰伦敦建筑 ，伦敦眼与建筑之间的距离 为12（单位： ），游客在乘坐舱 看建筑 的视角为 .
5．
【分析】
先求解总的摸球方法为 ,再求解摸出的两球颜色不同的方法 ,然后可得概率.
【详解】
从袋中4个球任意摸出2个小球共有 种方法，两球颜色不同的摸法共有 种，
所以所求概率为 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查古典概率的求解，准确求解基本事件空间和所求事件包含的基本事件是解题关键，侧重考查概率模型考查等差数列的求和，利用已知条件求解等差数列的基本量是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养，是基础题.
9．
【分析】
利用 可得函数的周期为4，把 转化为 ，然后结合解析式进行求解.
【详解】
24．若抛物线 ，焦点为 ，点 为抛物线上的一点，直线 交抛物线于 ， 两点.
2021年高三上学期开学初模拟检测数学(理)试题含答案
2021年高三上学期开学初模拟检测数学（理）试题含答案本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分100分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．第Ⅰ卷（选择题部分共24分）一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设xR，则“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（）A．若，则B．若，则C．若，则 D．若，则3．等比数列｛a n｝满足a1=3， =21，则A．21 B．42 C．63 D．844. 下列函数中，最小正周期为π的奇函数是A．y＝cos（2x＋）B．y＝sin（2x＋）C．y＝sin2x＋cos2x D．y＝sinx＋cosx5. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（）A．B．C．D．6.已知两定点，若动点P满足，则点P的轨迹所包围的图形的面积为（）（A）（B）（C）（D）7．已知双曲线M：和双曲线N：，其中，且双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M的离心率为（）（A）（B）（C）（D）8．已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得，且，则∠BAC 的值为（）（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题部分共28分)二、填空题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．9．设集合M={x|}，N={x | x2 ≤x}，则M∩N =10. 已知，则=_________.11．已知,实数满足约束条件,若的最小值为,则的值为12．若实数x，y满足x+y=6，则f(x，y)=(x2+4)(y2+4)的最小值为13．已知圆O的直径AB=2，C是该圆上异于A、B的一点，P是圆O所在平面上任一点，则的最小值为 .14．已知正方体的棱长为1，点P是线段上的动点，则四棱锥的外接球的半径R的取值范围为是．15．已知关于x的不等式的解集为A，若A中恰有两个整数，则实数a的取值范围为三、解答题：本大题共5小题， 8+10+10+10+10=48分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数在区间上的最大值为.(Ⅰ)求常数的值;(Ⅱ)在中,角所对的边长分别为,若,,面积为,求边长的值.17．如图，正方形与等边三角形所在的平面互相垂直，分别是的中点．（Ⅰ）证明：∥平面；（Ⅱ）求二面角的正切值．18. 已知函数，其中，．（Ⅰ）当时，且为奇函数，求的表达式；（Ⅱ）当时，且在上单调递减，求的值．19. 已知椭圆C：的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B 两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为、、，且、、恰好构成等比数列.（Ⅰ）求椭圆C的方程.（Ⅱ）试探究是否为定值？若是，求出这个值；否则求出它的取值范围.20. 设是等差数列的前n项和，其中，且，（Ⅰ）求常数的值，并求数列的通项公式；（Ⅱ）记，设数列的前n项和为，求最小的正整数，使得对任意的，都有成立.山东省枣庄市第九中学xx 届高三开学初模拟检测数学（理）参考答案AABA CBAA9． 10. 4 11．12．144 13． 14． 15．16．解:(1) ----1分 因为,所以所以当即时,函数在区间上取到最大值此时,,得 -----------2分(2)因为,所以,即 ,解得(舍去)或 ---------1分由得.因为面积为, 所以,即.-----②由①和②解得 ------------2分所以222222cos 31231cos 3a b c bc A π=+-⋅=+-⨯⨯⨯=7,从而 -----------2分 17．解：(Ⅰ)设CE 中点为P ，连接MP ，PB ，易知所以是平行四边形，所以MN ∥PB ，因此MN ∥平面-----------4分(Ⅱ)建立空间直接坐标系：AB 为y 轴，AD 为z 轴，平面ABE 内过A 点且与AB 垂直的线为x 轴。
江苏省淮阴中学2021届高三第一学期数学测试卷
淮阴中学2021届高三数学测试卷2020年8月29日一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合4={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈，b∈B}，则M中元素的个数为( )A. 3B. 4C.5D.62.以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是( )A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x0，使x02≤0>2C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x0，使1x03.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这-过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )4.对任意x∈R，函数f(x)=ax3+ax2+7x不存在极值点的充要条件是( )A.0≤a≤21B. 0<a<21C. a≤0或a≥21D. a<0或a> 215.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线升，则y=ae m，假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有a8m的值为( )A.7B. 8C.9D.10(6-ax)(a>0且a≠1)在[0，2] 上为减函数，则实数a的取值范围是6.函数f(x)=loga( )A. (1,3)B. (0,1)C. (1，3]D. [3，+∞)7. 如果已知0<a<1,则方程a|x|=|logx|的实根个数为( )aA.2B.3C.4D.与a的值有关8.已知函数f(x)=x+ln(√x2+1-x)-5(x∈[-2020，2020]) 的最大值为M ,最小值为m,则M+m=( )A.-5B.-10C.5D.10二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9.下列说法中，正确的命题是( )A.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，P(X<4)=0.8，则P(2<X<4)=0.2B.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强;反之，线性相关性越弱C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y=â+ b̂x，若b̂=2x⃗, x⃗=1，y⃗=3，则a=1D.若样本数据2x 1+1，2x 2+1， ... 2x 16+1的方差为8，则数据x 1,x 2，.，. x 16 的方差为210.下列不等式，其中正确的是( )A. x 2+3>2x(x∈R)B. a 3 +b 3≥a 2b + ab 2 (a,b∈R)C. a 2 +b 2≥2(a -b-1)D.f(x)=x 2+2x 2−1≥2√2+111.若f(x)满足对任意的实数a ，b 都有f(a+b)= f(a)*f(b)且f(1)=2，则下列判断正确的有( )A. f(x)是奇函数B. f(x) 在定义域上单调递增C.当x∈(0,+∞)时， 函数f(x)>1D.f(2)f(1)+f(4)f(3)+f(6)f(5)+…f(2016)f(2015)+f(2018)f(2017)+f(2020)f(2019)=2020 12.定义在(0,π2)上的函数f(x)，f , " (x) 是它的导函数，且恒有cosx.f"(x)+ sinx*f(x)<0成立，则有( )A.f(π6)> √2f(π4)B. √3f(π6)> f(π4)C. f(π6)> √3f(π3)D. √2f(π6)> √3f(π4) 三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三上学期开学初检测数学(文)试卷含答案
2021年高三上学期开学初检测数学（文）试卷含答案一. 选择题.( 本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设R为实数集，集合，，则( )A、 B、C、 D、2．设命题“任意”，则非为（）A.存在B.存在C.任意 D。
任意3．已知复数z＝a-+-bi(a,bR, 且ab≠0),若z(1-2i)为实数，则＝（）A.、2B.－2C.－D.4．某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A.10B.15C.20D.305．执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）A． B. C. D．6．若函数为奇函数，，则不等式的解集为（ ）A 、B 、C 、D 、7．点M ，N 分别是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱A 1B 1，A 1D 1的中点，用过点A ，M ，N 和点D ，N ，C 1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图所示，则该几何体的主视图、左视图、俯视图依次为( )A ．①③④B ．②④③C ．①②③D ．②③④8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋(y －3)2＝1相切，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ．. 3 C 2 D ．3 9．《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布，则第2天织的布的尺数为( )A. B. C. D.10．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3，4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1，2，3)，且法向量为n ＝(－1，－2，1)的平面的方程为( )A ． x ＋2y ＋z －2＝0B ．x ＋2y ＋z ＋2＝0C ．x ＋2y －z －2＝0D ．x －2y －z －2＝011．已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( )A ． f (1)<f (a )<f (b )B ．f (b )<f (1)<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1)D ．f (a )<f (1)<f (b ) 12．如图，已知在四棱锥中，底面是菱形, 底面， ，则四棱锥的体积的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
2021年高三上学期开学检测数学试题
2021年高三上学期开学检测数学试题一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）在复平面内，复数（其中i为虚数单位）对应的点位于第一象限．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：由复数的除法运算把复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，求出对应的点，则答案可求．解答：解：由=．所以复数（其中i为虚数单位）对应的点为．位于第一象限．故答案为一．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的几何意义，是基础题．2．（5分）已知集合M={a，0}，N={x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，则a= 1 ．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分求解二次不等式化简集合N，然后由交集的运算可得a的值．析：解答：解：由N={x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}={x|0＜x＜，x∈Z}={1}，又M={a，0}且M∩N≠∅，所以a=1．故答案为1．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了交集及其运算，是基础题．3．（5分）已知，，则=﹣．考点：两角和与差的正切函数．分析：所求式子利用诱导公式化简，将sinα算出并求出tanα带入可求出值．解答：∵∴sinα==﹣即tanα=∴tan（）==﹣故答案为：﹣点评：考查了两角和公式的应用，属于基础题．4．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n．若a1=1，a3=4，S k=63，则k=6．考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先由已知的项可求等比数列的公比，然后代入等比数列的求和公式即可求解k解答：解：由等比数列的通项公式可得，=4 又∵a n＞0∴q＞0∴q=2∵S k=63，∴∴2k=64∴k=6故答案为：6点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确命题的序号是①．①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥n，m∥β，则n∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若n⊥α，n⊥β，则α⊥β．考点：命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：对每一选择支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．解答：解：对于①，根据线面垂直的判定定理，如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．可知该命题正确；对于②，根据线面平行的判定定理可知少条件：“n不在平面β内”，故不正确；对于③，若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交．可知该命题不正确；对于④，根据面面平行的判定定理可知“α∥β”，故不正确．故答案为：①．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．6．（5分）（xx•南通二模）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为145．考点：伪代码．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28时，S的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28值．∵S=1+4+7+10+13+…+28=145，故输出的S值为145．故答案为：145．点评：本题考查的知识点是伪代码，其中根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是解答的关键．7．（5分）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的最大值为1．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建系，由向量数量积的坐标运算公式，可得得=x，结合点E在线段AB上运动，可得到x的最大值为1，即为所求的最大值．解答：解：以AB、AD所在直线为x轴、y轴，建立坐标系如图可得A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）设E（x，0），其中0≤x≤1∵=（x，﹣1），=（1，0），∴=x•1+（﹣1）•0=x，∵点E是AB边上的动点，即0≤x≤1，∴x的最大值为1，即的最大值为1故答案为：1点评：本题考查向量数量积的最大值，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．8．（5分）已知Ω={（x，y）|x+y＜6，x＞0，y＞0}，A={（x，y）|x＜4，y＞0，x﹣2y＞0}，若向区域Ω上随机投掷一点P，则点P落入区域A的概率为．考点：几何概型．专题：计算题．分析：根据二元一次不等式组表示的平面区域的原理，分别作出集合Ω和集合A对应的平面区域，得到它们都直角三角形，计算出这两个直角三角形的面积后，再利用几何概型的概率公式进行计算即可．解答：解：区域Ω={（x，y）|x+y＜6，x＞0，y＞0}，表示的图形是第一象限位于直线x+y=6的下方部分，如图的红色三角形的内部，它的面积S=；再观察集合A={（x，y）|x＜4，y＞0，x﹣2y＞0}，表示的图形在直线x﹣2y=0下方，直线x=4的左边并且在x轴的上方，如图的黄色小三角形内部可以计算出它的面积为S1==4根据几何概率的公式，得向区域Ω上随机投一点P，P落入区域A的概率为P= 故答案为：点评：本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概率模型，准确画作相应的平面区域，熟练地运用面积比求相应的概率，是解决本题的关键，属于中档题．9．（5分）函数的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移单位后，得到的图象解析式为y=sin（2x﹣）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由图知，A=1，T=π，可求ω，再由ω+φ=可求得φ，从而可得y=f（x）的解析式，利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换及可求得答案．解答：解：由图知，A=1，T=π，∴T=π，ω==2，又×2+φ=+2kπ（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=；∴y=f（x）的解析式为y=sin（2x+），∴将y=f（x）的图象向右平移单位后得y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）．故答案为：y=sin（2x﹣）．点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查识图与运算能力，属于中档题．10．（5分）已知0＜y＜x＜π，且tanxtany=2，，则x﹣y=．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由题意可得cosxcosy=，进而可得cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=，由余弦函数可知x﹣y的值．解答：解：由题意可得tanxtany==2，解得cosxcosy=，故cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny= 故x﹣y=2kπ±，k∈Z，又0＜y＜x＜π，所以﹣π＜x﹣y＜π．所以x﹣y=故答案为：点评：本题考查同角三角函数的基本关系，以及两角和与差的余弦函数，属基础题．11．（5分）（xx•黑龙江二模）求“方程（）x+（）x=1的解”有如下解题思路：设f（x）=（）x+（）x，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为{﹣1，2}．考点：类比推理．专题：规律型．分析：类比求“方程（）x+（）x=1的解的解题思路，设f（x）=x3+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x2=x+2，解之即得方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集．解答：解：类比上述解题思路，设f（x）=x3+x，由于f′（x）=3x2+1≥0，则f（x）在R上单调递增，由x6+x2=（x+2）3+（x+2）即（x2）3+x2=（x+2）3+（x+2），∴x2=x+2，解之得，x=﹣1或x=2．所以方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为{﹣1，2}．故答案为：{﹣1，2}．点评：本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．12．（5分）（2011•扬州三模）已知实数p＞0，直线3x﹣4y+2p=0与抛物线x2=2py和圆从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题．分析：设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线的焦点为F，由题得|BF|=|CF|=．由抛物线的定义得：|AB|=|AF|﹣|BF|=y1，同理|CD|=y2所以=．联立直线3x﹣4y+2p=0与抛物线x2=2py的方程且消去x解出进而得到答案．解答：解：设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线的焦点为F，由题意得|BF|=|CF|=由抛物线的定义得：|AB|=|AF|﹣|BF|=+y1﹣=y1，同理得|CD|=y2所以=．联立直线3x﹣4y+2p=0与抛物线x2=2py的方程且消去x得：8y2﹣17py+2p2=0 解得：所以．故答案为：．点评：解决此类题目的关键是对抛物线的定义要熟悉，即抛物线上的点到定点的距离与到定直线的距离相等．13．（5分）（xx•崇明县二模）设函数，函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为2．考点：函数的零点；根的存在性及根的个数判断．分析：根据函数，根据指数函数和对数函数的性质，我们可以分类讨论，化简函数函数y=f[f（x）]﹣1的解析式，进而构造方程求出函数的零点，得到答案．解答：解：∵函数，当x≤0时y=f[f（x）]﹣1=f（2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1（舍去）当0＜x≤1时y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1当x＞1时y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=log2（log2x）﹣1 令y=f[f（x）]﹣1=0，log2（log2x）=1则log2x=2，x=4故函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为2个故答案为：2点评：本题考查的知识点是函数的零点，根的存在性及根的个数判断，其中根据指数函数和对数函数的图象和性质，化简函数的解析式是解答的关键．14．（5分）（xx•南通二模）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1•x2•x3•x4•x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是9．考点：进行简单的合情推理；函数的值．专题：新定义．分析：先根据基本不等式得x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，及x2x3+x4x5≥2+≥2，再研究使三个不等式等号都成立的条件，即可得出max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值．解答：解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，同样x2x3+x4x5≥2，+≥2，使三个不等式等号都成立，则x1x2=x3x4=，x2x3=x4x5=，x1=x5即x1=x3=x5，x2=x4 x1x2=x2x3=x3x4=x4x5所以729=x13×x22=，（x1x2）3=729×x2 x2最小为1，所以x1x2最小值为9，此时x1=x3=x5=9 x2=x4=1．故答案为：9．点评：本题主要考查了进行简单的合情推理及基本不等式的应用，属于中档题．二．解答题15．（14分）（xx•朝阳区二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f （A）=．（Ⅰ）求函数f（A）的最大值；（Ⅱ）若，求b的值．考点：正弦定理；诱导公式的作用；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（A）为，根据0＜A＜π，利用正弦函数的定义域和值域求得f（A）取得最大值．（Ⅱ）由题意知，由此求得A的值，再根据C的值，求得B的值，利用正弦定理求出b的值．解答：解：（Ⅰ）=．因为0＜A＜π，所以．则所以当，即时，f（A）取得最大值，且最大值为．…（7分）（Ⅱ）由题意知，所以．又知，所以，则．因为，所以，则．由得，．…（13分）点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16．（14分）（xx•黑龙江二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．（I）若F为PE的中点，求证BF∥平面ACE；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ACE的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由题意可得E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE 是△BDF的中位线，故有BF∥OE，再根据直线和平面平行的判定定理证得BF∥平面ACE．（II）由条件证明CD⊥平面PAE，再根据三棱锥P﹣ACE的体积V P﹣ACE=V C﹣PAE=S△PAE•CD=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB，运算求得结果．解答：解：（I）若F为PE的中点，由于底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE，故E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF的中位线，故有BF∥OE，而OE在平面ACE内，BF不在平面ACE内，故BF∥平面ACE．（II）由于侧棱PA丄底面ABCD，且ABCD为矩形，故有CD⊥PA，CD⊥AD，故CD⊥平面PAE，．三棱锥P﹣ACE的体积V P﹣ACE=V C﹣PAE=S△PAE•CD=•（•S△PAD）•AB=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB=•1•2•1=．点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用等体积法求棱锥的体积，属于中档题．17．（15分）某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000（元）．设购买某商品得到的实际折扣率=．设某商品标价为x元，购买该商品得到的实际折扣率为y．（1）写出当x∈（0，1000]时，y关于x的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；（2）对于标价在[2500，3500]的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于？考点：根据实际问题选择函数类型；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由已知中的折扣办法，分x∈（0，625）和x∈[625，1000]两种情况，分别求出函数的解析式，将1000代入计算实际付款额可得实际折扣率．（2）根据（1）中解析式，结合实际折扣率低于，构造关于x的不等式，结合标价在[2500，3500]，可得答案．解答：解：（1）∵500÷0.8=625∴…（4分）当x=1000时，y==0.7…（5分）即购买标价为1000元的商品得到的实际折扣率为0.7．…（6分）（Ⅱ）当x∈[2500，3500]时，0.8x∈[xx，2800]…（7分）①当0.8x∈[xx，2500）即x∈[2500，3125）时，解得x＜3000∴2500≤x＜3000；…（10分）②当0.8x∈[2500，2800]即x∈[3125，3500]时，解得x＜3750∴3125≤x≤3500；…（13分）综上，2500≤x＜3000或3125≤x≤3500即顾客购买标价在[2500，3000）∪[3125，3500]间的商品，可得到的实际折扣率低于．…（14分）点评：本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，其中根据已知求出函数的解析式是解答的关键．18．（15分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=﹣2分别交于点M、N；（I）设直线AP、BP的斜率分别为k1，k2求证：k1•k2为定值；（Ⅱ）求线段MN长的最小值；（Ⅲ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆方程求出两个顶点A，B的坐标，设出P点坐标，写出直线AP、BP 的斜率k1，k2，结合P的坐标适合椭圆方程可证结论；（Ⅱ）分别求出M和N点的坐标，由（Ⅰ）中的结论得到两直线斜率间的关系，把|MN|用含有一个字母的代数式表示，然后利用基本不等式求最值；（Ⅲ）设出以MN为直径的圆上的动点Q的坐标，由列式得到圆的方程，化为圆系方程后联立方程组可求解圆所过定点的坐标．解答：（Ⅰ）证明：由题设椭圆C：=1可知，点A（0，1），B（0，﹣1）．令P（x0，y0），则由题设可知x0≠0．∴直线AP的斜率，PB的斜率为．又点P在椭圆上，所以，从而有=；（Ⅱ）解：由题设可得直线AP的方程为y﹣1=k1（x﹣0），直线PB的方程为y﹣（﹣1）=k2（x﹣0）．由，解得；由，解得．∴直线AP与直线l的交点N（），直线PB与直线l的交点M（）．∴|MN|=||，又．∴|MN|=||=．等号成立的条件是，即．故线段MN长的最小值为．（Ⅲ）解：以MN为直径的圆恒过定点或．事实上，设点Q（x，y）是以MN为直径圆上的任意一点，则，故有．又．所以以MN为直径圆的方程为．令，解得或．所以以MN为直径的圆恒过定点或．点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了代入法，考查了利用基本不等式求最值，考查了圆系方程，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．19．（16分）（2011•江苏）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）先求出函数f（x）和g（x）的导函数，再利用函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致即f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立，以及3x2+a＞0，来求实数b的取值范围；（2）先求出f'（x）=0的根以及g'（x）=0的根，再分别求出两个函数的单调区间，综合在一起看何时函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，进而求得|a﹣b|的最大值．解解：f'（x）=3x2+a，g'（x）=2x+b．答：（1）由题得f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立．因为a＞0，故3x2+a＞0，进而2x+b≥0，即b≥﹣2x在[﹣1，+∞）上恒成立，所以b≥2．故实数b的取值范围是[2，+∞）（2）令f'（x）=0，得x=．若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f'（0）g'（0）=ab＜0，所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．因此b≤0．现设b≤0，当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0；当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）＞0．因此，当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）g'（x）＜0．故由题设得a≥﹣且b≥﹣，从而﹣≤a＜0，于是﹣＜b＜0，因此|a﹣b|≤，且当a=﹣，b=0时等号成立，又当a=﹣，b=0时，f'（x）g'（x）=6x（x2﹣），从而当x∈（﹣，0）时f'（x）g'（x）＞0．故函数f（x）和g（x）在（﹣，0）上单调性一致，因此|a﹣b|的最大值为．点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．20．（16分）已知各项均为正数的两个无穷数列{a n}、{b n}满足a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*）．（Ⅰ）当数列{a n}是常数列（各项都相等的数列），且b1=时，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设{a n}、{b n}都是公差不为0的等差数列，求证：数列{a n}有无穷多个，而数列{b n}惟一确定；（Ⅲ）设a n+1=，S n=，求证：2＜＜6．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）设a n=a＞0，利用数列{a n}、{b n}满足a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*），可得b n+1+b n=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，b n+b n﹣1=2（n﹣1）．于是b n+1﹣b n﹣1=2．可知：数列{b n}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出；（II）设{a n}、{b n}公差分别为d1、d2，可得其通项公式，代入a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*）．可得[a1+（n﹣1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n﹣1）d2]=2n（a1+nd1），对于任意n恒成立，可得，解出即可；（III）利用，可得a n+1﹣a n=﹣a n=，于是a n＜a n+1．利用a n b n+1+a n+1b n=2na n+1＜a n+1b n+1+a n+1b n，可得2n＜b n+1+b n．又a n b n+1=（2n﹣b n）•a n+1＞0，a n+1＞0，可得2n﹣b n＞0．可得，进而得出．解答：（I）解：设a n=a＞0，∵数列{a n}、{b n}满足a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*），∴b n+1+b n=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，b n+b n﹣1=2（n﹣1）．∴b n+1﹣b n﹣1=2．∴可知：数列{b n}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，又，b1+b2=2，可得．∴=，=，即（n∈N*）．（2）证明：设{a n}、{b n}公差分别为d1、d2，则a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1+（n﹣1）d2，代入a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*）．可得[a1+（n﹣1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n﹣1）d2]=2n（a1+nd1），对于任意n恒成立，可得，解得，可得a n=na1，b n=n．∴只有取a1＞0可得数列{a n}有无穷多个，而数列{b n}惟一确定；（3）证明：∵，∴a n+1﹣a n=﹣a n=，∴a n＜a n+1．∴a n b n+1+a n+1b n=2na n+1＜a n+1b n+1+a n+1b n，可得2n＜b n+1+b n．因此=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n﹣1+b2n）＞2[1+3+…+（2n﹣1）]=2n2．又a n b n+1=（2n﹣b n）•a n+1＞0，a n+1＞0，∴2n﹣b n＞0．∴=2n（1+2n）=4n2+2n，∴，∴．点评：熟练掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、放缩法等是解题的关键．21．求展开式中的常数项．考点：二项式定理．专题：计算题；概率与统计．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项的值．解答：解：展开式的通项公式为T r+1=•x12﹣2r•x﹣r =•x12﹣3r，令12﹣3r=0，r=4，故该展开式中的常数项为=15．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．22．某舞蹈小组有2名男生和3名女生．现从中任选2人参加表演，记X为选取女生的人数，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分本题是一个超几何分步，随机变量X表示所选2人中女生的人数，X可能取的值为析：0，1，2，结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望．解答：解：依题意，X所有取值0，1，2．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==．X的分布列为：X 0 1 2 PEX=0×+1×+2×=．点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力．23．（xx•丰台区二模）如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：计算题；空间角．分析：（I）根据翻折后DE仍然与BE、PE垂直，结合线面垂直的判定定理可得DE⊥平面PEB，再由线面垂直的性质可得PB⊥DE；（II）分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系．设PE=a，可得点B、D、C、P关于a的坐标形式，从而得到向量、坐标，利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，解出平面PCD的一个法向量为=（1，1，），由PD与平面PBC所成的角为30°和向量的坐标，建立关于参数a的方程，解之即可得到线段PE的长．解答：解：（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，…．（2分）∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，又∵PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE；…．（4分）（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），…（5分）设PE=a，则B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0），P（0，0，a），…（7分）可得，，…（8分）设面PBC的法向量，∴令y=1，可得x=1，z=因此是面PBC的一个法向量，…（10分）∵，PD与平面PBC所成角为30°，…（12分）∴，即，…（11分）解之得：a=，或a=4（舍），因此可得PE的长为．…（13分）点评：本题给出平面图形的翻折，求证线面垂直并在已知线面角的情况下求线段PE的长，着重考查了线面垂直的判定与性质和利用空间向量研究直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题．24．数列{2n﹣1}的前n项组成集合，从集合A n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S n=T1+T2+…+T n．例如：当n=1时，A1={1}，T1=1，S1=1；当n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7．（Ⅰ）求S3；（Ⅱ）猜想S n，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法；归纳推理．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）当n=3时，求得A3={1，3，7}，T1、T2 、T3的值，可得S3=T1+T2+T3的值．（Ⅱ）由S1=1=21﹣1=﹣1，S2=7=23﹣1=﹣1，S3=63=26﹣1=﹣1，猜想S n=﹣1，用数学归纳法进行证明．解答：解：（Ⅰ）当n=3时，A3={1，3，7}，T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21，所以S3=11+31+21=63．（Ⅱ）由S1=1=21﹣1=﹣1，S2=7=23﹣1=﹣1，S3=63=26﹣1=﹣1，猜想S n=﹣1，下面证明：（1）易知n=1时成立．（2）假设n=k时，S n=S k=﹣1，则n=k+1时，S k+1=T1+T2+T3+…+T k+1=[T1′+（2k+1﹣1）]+[T2′+（2k+1﹣1）T1′]+[T3′+（2k+1﹣1）T2′]+…+[T k′+（2k+1﹣1）]（其中T i′，i=1，2，…，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为T k），=（T1′+T2′+T3′+…+T k′）+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）（T1′+T2′+T3′+…+T k′）=S k+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）S k =2k+1（）+（2k+1﹣1）=2k+1•=﹣1，即n=k时，S k+1=﹣1也成立，综合（1）（2）知对n∈N*，S n=﹣1成立．所以，S n=﹣1．点评：本题主要考查用数学归纳法证明等式，证明当n=k+1时命题成立，是解题的关键，属于中档题．p39084 98AC 颬20777 5129 儩27475 6B53 歓30600 7788 瞈22479 57CF 埏39446 9A16 騖g21224 52E8 勨31493 7B05 笅20416 4FC0 俀19969 4E01 丁36852 8FF4 迴。
江苏专用2021年秋季高三数学开学摸底考试卷01含解析
2021年秋季高三数学开学摸底考试卷01一、单选题1．设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈< ，则()A C B =A ．{2}B ．{2，3}C ．{-1，2，3}D ．{1，2，3，4}【答案】D 【分析】 先求AC ，再求()A C B ．【详解】 因为{1,2}AC =，所以(){1,2,3,4}A C B =.故选D ． 【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．2．设复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，134,z i +＝则12z z ＝（ ） A ．25 B ．25-C ．724i -D ．724i --【答案】A 【分析】由题意可得234z i -＝，根据复数的乘法运算即可求解. 【详解】复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，134,z i +＝则234z i -＝，所以()()12343491625z z i i +-=+=＝. 故选：A3．已知直三棱柱111ABC A B C -2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则该球的表面积为（ ）A ．4πB ．C ．8πD ．32π【答案】C 【分析】利用三棱柱111ABC A B C -2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，求出1AA ，再求出ABC ∆外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积.【详解】∵三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，∴1121sin 602AA ⨯⨯⨯︒⨯=12AA =∵2222cos604123BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-=，∴BC =. 设ABC ∆外接圆的半径为R ，则2sin 60BCR =︒，∴1R =.=248ππ⨯=.故选：C. 【点睛】本小题主要考查根据柱体体积求棱长，考查几何体外接球有关计算，属于基础题.4．函数2()sin cos f x x x x =的图象的一条对称轴为（ ） A ．12x π=B ．6x π=C ．3x π=D ．2x π=【答案】A 【分析】先化简得()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭232x k πππ+=+，k Z ∈求出对称轴即可判断. 【详解】211cos 2()sin cos sin 2sin 2223x f x x x x x x π+⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭令232x k πππ+=+，k Z ∈，解得122k x ππ=+，k Z ∈， 则可得12x π=是()f x 的一条对称轴. 故选：A.5．椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则||ON 等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．1.5【答案】B 【分析】设椭圆另一焦点为2F ,根据椭圆定义12210MF MF a +==，故28MF =，再结合中位线定理即可得答案. 【详解】设椭圆另一焦点为2F ,根据椭圆定义12210MF MF a +==，故28MF =，12MF F △中, N 是1MF 的中点，O 是12F F 的中点，故ON 是中位线，2118422ON MF ==⨯=. 故选：B.6．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos 21αα-=，则cos α的值为（ ）A ．15B C ．3D 【答案】D 【分析】利用二倍角公式化简得到2sin cos ,αα=再利用同角的平方关系求解. 【详解】由题得24sin cos 12cos 1,ααα+-= 所以24sin cos 2cos ,ααα= 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2sin cos ,αα=因为22221sin cos 1,cos cos 14αααα+=∴+=，所以24cos ,(0,),cos 52πααα=∈∴=故选：D 【点睛】方法点睛：三角函数求值常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角、变名、变式）. 7．若ln ln ln 1a a b b c c >>=，则（ ） A ．ln ln ln b c c a a b e a e b e c +++>> B ．ln ln ln c a b c a b e b e a e c +++>> C ．ln ln ln a b c a b c e c e b e a +++>> D ．ln ln ln a b b c c a e c e a e b +++>>【答案】C 【分析】构造函数()ln f x x x =，利用导数得出1a b c >>>，构造函数ln ()x x g x e =，利用导数证明ln ln ln a b c a b ce e e<<，从而得出ln ln ln a b c a b c e c e b e a +++>>. 【详解】令()ln f x x x =，则()1ln f x x '=+ 当10x e<<时，()0f x '<，当1x e >时，()0f x '>即函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增()()()1f a f b f c >>=，由图象易知，1a b c >>>令ln ()x x g x e=，则1ln ()xxx g x e -'= 由于函数1ln y x x=-在(0,)+∞上单调递减，1ln c c =，111ln 0c c c c -=-=则1ln 0x x-=在(0,)+∞上有唯一解c ，故()0g x '=在(0,)+∞上有唯一解c 即当x c >时，()0g x '<，则函数()g x 在(,)c +∞上单调递减 即()()()g a g b g c <<，即ln ln ln a b c a b ce e e<< ln ln ,ln ln b a c b e a e b e b e c ∴<<ln ln ,ln ln ln ln ln b c a c a c b c b c a c b c e a e b e b e c e a e b e c +++++++∴<<⇒<<故选：C 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于构造函数，利用导数得出函数的单调性，进而得出函数值的大小关系. 8．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、……，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠（上珠只能往下拨且每位至多拨1粒上珠，下珠只能往上拨），则算盘表示的整数能够被3整除的概率是（ ）A ．38B ．58C ．29D ．12【答案】D 【分析】从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠，利用列举法列出整数共有32个，其中能够被3整除的整数有16个，进而根据古典概型的概率计算公式可解．解：从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠，得到的整数共有32个，分别为： 11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550，1001，1005，5001，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500， 2，20，200，2000，6，60，600，6000，其中算盘表示的整数能够被3整除的整数有16个，分别为：15，51，105，501，150，510，1005，5001，1050，5010，1500，5100，6，60，600，6000， 则算盘表示的整数能够被3整除的概率为161322P ==． 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是利用列举法把从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠所得到的整数列举出来.二、多选题9．已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布()110,81N ，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有（附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()220.9545P μσξμσ-<<+=）（ ）A ．该校学生成绩的期望为110B ．该校学生成绩的标准差为9C ．该校学生成绩的标准差为81D ．该校学生成绩及格率超过95%【答案】ABD 【分析】根据正态分布的数字特征可判断ABC 选项的正误，计算出()900.97725P ξ≥>，可判断D 选项的正误. 【详解】因为该校学生的成绩服从正态分布()110,81N ，则110μ=，方差为281σ=，标准差为9σ=，21102992μσ-=-⨯=，()()()()11909222222P P P P ξξξμσμσξμσ≥>≥=≥-=+-<<+110.95450.977250.9522=+⨯=>. 所以，该校学生成绩的期望为110，该校学生成绩的标准差为9，该校学生成绩及格率超过95%. 所以，ABD 选项正确，C 选项错误.10．ABC 中，D 为边AC 上的一点，且满足12AD DC =，若P 为边BD 上的一点，且满足()0,0AP mAB nAC m n =+>>，则下列结论正确的是（ ）A ．21m n +=B ．mn 的最大值为112C ．41m n+的最小值为6+ D ．229m n +的最小值为12【答案】BD 【分析】根据平面向量共线定理可知A 错误； 根据()133mn m n =⋅，利用基本不等式可求得最大值，知B 正确； 由()41413m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得最小值，知C 错误； 利用基本不等式可得()222392m n m n ++≥，知D 正确.【详解】对于A ，3AP mAB nAC mAB nAD =+=+，,,B P D 三点共线，31m n ∴+=，A 错误；对于B ，31m n +=，()21131333212m n mn m n +⎛⎫∴=⋅≤⨯= ⎪⎝⎭（当且仅当3m n =时取等号），B 正确；对于C ，()4141123777n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭12n m m n =，即m =时取等号），C 错误； 对于D ，()22231922m n m n ++≥=（当且仅当3m n =时取等号），D 正确.故选：BD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满足12PAPB=．设点P的轨迹为C，下列结论正确的是，（）A．C的方程为（x+4）2+y2＝9B．在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得12 PDPE=C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线D．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|【答案】BC【分析】设P（x，y），运用两点的距离公式，化简可得P的轨迹方程，可判断A；假设在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得12PDPE=，设出D，E的坐标，求得轨迹方程，对照P的轨迹方程可得D，E，可判断B；当A，B，P三点不共线时，由12OA PAOB PB==，由角平分线定理的逆定理，可判断C；若在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|，可设M（x，y），运用两点的距离公式，可得M的轨迹方程，联立P 的轨迹方程，即可判断D．【详解】在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满足12 PAPB=，设P （x ，y ），则12=， 化简可得（x +4）2+y 2＝16，故A 错误；假设在x 轴上存在异于A ，B 的两定点D ，E ，使得12PDPE =， 可设D （m ，0），E （n ，0）= 化简可得3x 2+3y 2﹣（8m ﹣2n ）x +4m 2﹣n 2＝0，由P 的轨迹方程为x 2+y 2+8x ＝0，可得8m ﹣2n ＝﹣24，4m 2﹣n 2＝0，解得m ＝﹣6，n ＝﹣12或m ＝﹣2，n ＝4（舍去），即存在D （﹣6，0），E （﹣12，0），故B 正确； 当A ，B ，P 三点不共线时，由12OA PAOBPB==，可得射线PO 是∠APB 的平分线，故C 正确； 若在C 上存在点M ，使得|MO |＝2|MA |，可设M （x ，y ）=化简可得x 2+y 2163+x 163+=0，联立x 2+y 2+8x ＝0，可得方程组无解，故不存在M ，故D 错误． 故选：BC ． 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查圆方程的求法和运用，以及两点距离公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有（ ）A ．AM 与DB ''B ．过三点A 、M 、D的正方体ABCD A B C D ''''-的截面面积为92C ．四面体A C BD ''的内切球的表面积为3πD ．正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动并且使MAC PAC ''∠=∠，那么点P 的轨迹是椭圆 【答案】AB 【分析】构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角cos ,||||AM D B AM D B AM D B ''⋅''<>=''为AM 与D B ''所成角的余弦值判断A 的正误；同样设(,,0)P x y 结合向量夹角的坐标表示，且由等角的余弦值相等可得=P 的轨迹知D 的正误；由立方体的截面为梯形，分别求,,,MN AD AM D N ''，进而得到梯形的高即可求面积，判断B 的正误；由四面体的体积与内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径r ，进而求内切球表面积，判断C 的正误. 【详解】A ：构建如下图所示的空间直角坐标系：则有：(0,0,2),(1,2,2),(0,2,0),(2,0,0)A M B D ''， ∴(1,2,0),(2,2,0)AMD B ''==-，cos ,10||||5AM D B AM D B AM D B ''⋅''<>===''，故正确.B ：若N 为CC '的中点，连接MN ，则有//MN AD '，如下图示，∴梯形AMND’为过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A B C D ''''-的截面，而MNAD AM D N ''===，可得梯形的高为2，∴梯形的面积为1922S =⨯=，故正确. C ：如下图知：四面体A C BD ''的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，∴118848323V =-⨯⨯⨯=，而四面体的棱长都为有表面积为14sin 23S π=⨯⨯=，∴若其内切圆半径为r ，则有1833r ⨯=，即r =2443r ππ=.故错误. D ：正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动且MAC PAC ''∠=∠，即P 的轨迹为面A B C D ''''截以AM 、AP 为母线，AC’为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线GPK ，构建如下空间直角坐标系，(0,0,2),(22A M C '-，若(,,0)P x y ，则232(,,0),(0,22,2),(,,2)22AM AC AP x y '=-=-=-，∴cos ||||5AM AC MAC AM AC '⋅'∠==='，cos ||||AP AC PAC AP AC x '⋅'∠=='5=22(9216(0)y x y +-=>，即轨迹为双曲线的一支，故错误.故选：AB 【点睛】关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐标表示求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进而求内切球的表面积.三、填空题13．已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数，且(1)2(10)3f f -=+，则(2021)f =___________. 【答案】1 【分析】利用函数的周期性得(2021)(1)f f =-，由已知条件可知(1)2(1)3f f -=--+，即可求值. 【详解】由题意知：(2021)(36741)(1)f f f =⨯-=-，而(1)2(10)3f f -=+， ∴(1)2(331)32(1)32(1)3f f f f -=⨯++=+=--+，即3(1)3f -=， ∴()11f -=，故(2021)1f =. 故答案为：114．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过F l 交抛物线C 与A 、B 两点，若线段AB C 的方程是________. 【答案】26y x = 【分析】本题首先可设()11,A x y 、()22,B x y ，则2112y px =、2222y px =，然后两式相减，可得()()()1212122y y y y p x x -+=-，再然后根据A 、B l )122y y p +=，最后根据线段AB . 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y px =，2222y px =，两式相减得22121222y y px px -=-，即()()()1212122y y y y p x x -+=-，因为A 、B l 上，所以12123y y x x ，()()()1212122y y y y p x x -+=-)122y y p +=，因为线段AB 12y y +=2p =，3p =，抛物线C 的方程是26y x =， 故答案为：26y x =. 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线相交的相关问题的求解，考查中点坐标的相关性质，考查直线斜率的应用，考查计算能力，是中档题.15．已知函数()ln(1)f x x x =+-，()ln g x x x =，若1()12ln f x t =+，22()g x t =，则122()ln x x x t -的最小值为___________. 【答案】12e- 【分析】先证明据121ln x x -=，结合222ln x x t =，求出2122()ln ln x x x t t t -=，令2ln ()(0)h t t t t =>，根据函数的单调性求出代数式的最小值即可． 【详解】111()ln(1)12ln f x x x t =+-=+，即1121111ln(1)ln ln[(1)]x x x t e x --+-==⋅-，1121(1)x t e x -∴=-①，20t >， 2ln 22222()ln ln x g x x x t e x ===⋅②，又x y x e =⋅在[0，)+∞上单调递增，故由①②得()121ln 12121ln 1ln x xe x e x x x --=⋅⇒-=，故212222()ln ln ln ln x x x t x x t t t -=⋅=， 令2ln ()(0)h t t t t =>，则()2ln h t t t t '=+，令()0h t '>，解得：12t e ->，令()0h t '<，解得：120t e -<<， 故()h t 在12(0,)e -递减，在12(e -，)+∞递增，故12min 1()()2h t h e e-==-， 故答案为：12e-． 【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用()0f x '>或()0f x '<求单调区间；第二步：解()0f x '=；第三步：比较方程的根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较区间端点的函数值与极值的大小．16．格点是指平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点.一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的“格点距离”（如：(2,1)P -，则点P 到原点的格点距离为213+=）.格点距离为定值的点的轨迹称为“格点圆”，该定值称为格点圆的半径，而每一条最短路程称为一条半径.当格点半径为6时，格点圆的半径有______条（用数字作答）. 【答案】252 【分析】由题设，易知格点圆上的格点都在||||6x y +=上，其中每个象限有5个，且相互关于x 、y 轴或原点对称，分析可得每个格点半径条数为||||||x x y C +，进而可求所有格点的半径条数. 【详解】设格点为(,)x y ，格点半径为6，则||||6x y +=， ∴对应格点圆图象如下，每条边上有(不含端点)5个格点，以第一象限为例，格点有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)，其中(1,5)的半径有6条，(2,4)的半径有15条，(3,3)的半径有20条，(4,2)的半径有15条，(5,1)的半径有6条，∴共有62条，即对于任意格点，其半径条数有||||||x x y C +条， ∴由上，四个象限共有12345666664()248C C C C C ⨯++++=条半径，另外数轴上有(6,0),(0,6),(6,0),(0,6)--四个点，半径共有0644C =条，综上，格点半径为6时，格点圆的半径有2484252+=条. 故答案为：252. 【点睛】关键点点睛：画出格点圆的图象，确定各象限中格点坐标，分析格点半径条数与坐标值之间的关系，应用对称性求格点圆半径总条数即可.四、解答题17．已知等差数列的首项为2，前n 项和为S n ，正项等比数列{b n }的首项为1，且满足，前n 项和为a 3＝2b 2，S 5＝b 2＋b 4．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设()331log log nn n n c S b =-+，求数列{c n }的前26项和．【答案】（1）2n a n =，13n n b -=；（2）328.【分析】（1）根据题设可得关于公差和公比的方程组，求出其解后可得两个数列的通项公式. （2）利用裂项相消法和分组求和可求{}n c 的前26项和. 【详解】（1）由题意得：113111225452a d b q a d b q b q +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩即32221010d q d q q +=⎧⎨+=+⎩， ∴390q q -=，∵{}n b 是正项等比数列，∴3q =，则2d =，∴()2212n a n n =+-=，11133n n n b --==.（2）()()12212n S n n n n =+=+， 则()()()()()13331log 1log 31log 1log 11nn nn n c n n n n n -⎡⎤=-++=-+-++-⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴{}n c 的前26项和为：()()()26333333log 1log 20log 2log 31log 3log 42T =--+++++--++()()3333log 25log 2624log 26log 2725+--++++()3326025log 1log 2733253282⨯+=-++=+=.【点睛】思路点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.18．潍坊市为切实保障疫情防控期间全市食品质量安全，采取食品安全监督抽检和第三方托管快检室相结合的方式，全面加强食品安全检验检测据了解，滩坊市市场监管部门组织开展对全市部分生产企业、农贸市场、大型商超、餐饮服务场所生产经营的小麦粉、大米、食用油、调味品、肉制品、乳制品等与人民群众日常生活关系密切且消费量大的食品进行监督抽检组织抽检400批次，抽检种类涵盖8大类31个品种全市各快检室快检60209批次，其中不合格53批次．某快检室在对乳制品进行抽检中，发现某品牌乳制品质量不合格，现随机抽取其5个批次的乳制品进行质量检测，已知其中有1个批次的乳制品质量不合格下面有两种检测方案：方案甲：逐批次进行检测，直到确定质量不合格乳制品的批次；方案乙：先任取3个批次的乳制品，将他们混合在一起检测．若结果不合格，则表明不合格批次就在这3个批次中，然后再逐个检测，直到能确定不合格乳制品的批次；若结果合格，则在另外2批次中，再任取l 个批次检测．（1）方案乙中，任取3个批次检测，求其中含有不合格乳制品批次的概率； （2）求方案甲检测次数X 的分布列；（3）判断哪一种方案的效率更高，并说明理由． 【答案】（1）35；（2）答案见解析；（3）方案乙的效率更高．理由见解析. 【分析】（1）由题意即可求解；（2）先求出X 的可能取值，然后求出对应的概率，进而可以求解；（3）设方案乙的检测次数为Y ，求出Y 的可能取值，然后求出对应的概率，再求出方案甲和乙的数学期望，比较大小即可求解． 【详解】解：（1）由方案乙可知含有不合格乳制品批次的概率243535C P C ==，（2）依题意知检测次数X 的可能取值为1，2，3，4，()445511 5A P X A ===，()445512 5A P X A ===，()445513 5A P X A ===，()444455245A A P X A +===， 故方案甲检测次数X 的分布列为：（3）设方案乙检测次数为Y ，则Y 的可能取值为2，3．当2Y =时的情况为先检测3个批次为不合格，再从中逐一检测时，恰好1次检测出，或先检测3个批次为合格，再从其他2个批次中取出1个批次检测．则()2331434231325352132 5C A A A P Y A A A A ⨯⨯==⨯+=， 所以()235P Y ==． 故方案乙检测次数Y 的分布列为：()555E Y =+=， 则()12381455555E X =+++=，因为()()E Y E X<，所以方案乙的效率更高．19．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos b A a B c A +=． （1）求A ；（2）若2a =，ABC ABC 的周长． 【答案】（1）3A π=；（2）6．【分析】（1）根据cos cos 2cosb A a Bc A +=，利用正弦定理，结合两角和的正弦公式得到()sin 2sin cos A B C A +=，又A B C π+=-，由sin 2sin cos C C A =求解；（2）根据3A π=，ABC 4bc =，再结合余弦定理求得b c +即可.【详解】（1）因为cos cos 2cos b A a B c A += 所以sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=，所以()sin 2sin cos A B C A +=， 因为A B C π+=-， 所以sin 2sin cos C C A =， 因为sin 0C ≠， 所以1cos 2A =． 因为0A π<<， 所以3A π=．（2）因为3A π=，ABC所以1sin 23ABC S bc π==△ 解得4bc =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得()22243b c bc b c bc =+-=+-，所以4b c +=， 所以6a b c ++=． 所以ABC 的周长为6． 【点睛】方法点睛：（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2）解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制． 20．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，3BAD π∠=，M 是棱PB 上的点，O 是AD 中点，且PO ⊥底面ABCD ，OP =.（1）求证：BC ⊥OM ；（2）若35PM PB =，求二面角B OM C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2【分析】 (1)由底面ABCD 是菱形，3BAD π∠=，可得ABD △为等边三角形，再加上点O 是AD 中点可证OB AD ⊥，进而可得OB BC ⊥，再由PO ⊥底面ABCD ，可得OP BC ⊥，结合线面垂直的判定定理及性质定理，即可求证所求证；(2)由题意及(1)可以，以点O 为原点，,,OA OB OP 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法即可求解.【详解】证明：在菱形ABCD 中，3BAD π∠=，ABD ∴为等边三角形.又O 为AD 的中点，∴OB AD ⊥.AD //BC ，∴OB BC ⊥.PO ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴OP BC ⊥.OP OB O =，,OP OB ⊂平面POB ，∴BC ⊥平面POB .M 是棱PB 上的点，∴OM ⊂平面POB .∴BC ⊥OM .（2）解：PO ⊥底面ABCD ，OB AD ⊥，∴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，设1OA =，则==OP OB(0,0,0)O，(1,0,0)A ，B ，(C -，P ，∴(OC →=-. 由35PM PB =，得35OM OP PB →→→=+=. 设(,,)m x y z →=是平面OMC 的法向量，由00OM m OC m →→→→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩，得320,20,y z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩ 令2y =，则3x z ==-，则3)m →=-. 又平面POB 的法向量为(1,0,0)n →=，∴cos ,m n m n m n →→→→→→⋅===. 由题知，二面角B OM C --为锐二面角，所以二面角B OM C --的余弦值为4【点睛】本题考查线线垂直的证明及空间向量法求二面角，考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力及方程思想，属于中档题. 21．已知等轴双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)经过点，12). （1）求双曲线C 的标准方程；（2）已知点B (0，1).①过原点且斜率为k 的直线与双曲线C 交于E ，F 两点，求∠EBF 最小时k 的值；②点A 是C 上一定点，过点B 的动直线与双曲线C 交于P ，Q 两点，APAQ k k +为定值λ，求点A 的坐标及实数λ的值.【答案】（1）221x y -=；（2）①0k =；②),Aλ=(),A λ=. 【分析】（1）由题意a b =，代入已知点建立方程，解之可得双曲线C 的标准方程.（2）①由对称性可设()(),,,E x y F x y --，且1≥x ，运用向量数量积的坐标运算表示221BE BF x y ⋅=--+，又由221y x =-可得()2210BE BF x ⋅=-≤，由此可得EBF ∠最小时，k 的值.②设(),,A m n 过点B 的动直线为： 1.y tx =+设()()1122,,,,P x y Q x y 与双曲线的方程联立得()221220t x tx ---=，根据根的判别式和根与系数的关系可求得22t <且21t ≠，由直线的斜率公式得121211tx n tx n x m x mλ+-+-+=--，再由恒等式的思想可求得点A 的坐标及实数λ的值. 【详解】解：（1）由题意a b =，且2251441a b -=解得1a b ==， 所以双曲线C 的标准方程为22 1.x y -=（2）①由对称性可设()(),,,E x y F x y --，且1≥x ，则()()22,1,11BE BF x y x y x y ⋅=-⋅---=--+， 因为E 点在双曲线C 上，所以221x y -=，所以221y x =-，所以()2210BE BF x ⋅=-≤， 当1x =时，0,BE BF EBF ∠⋅=为直角， 当1x >吋，0,BE BF EBF ∠⋅<为钝角.因此，EBF ∠最小时，1,0x k ==.②设(),,A m n 过点B 的动直线为： 1.y tx =+设()()1122,,,,P x y Q x y 联立2211x y y tx ⎧-=⎨=+⎩得()221220t x tx ---=， 所以()22212212210Δ48102 121t t t t x x t x x t ⎧-≠⎪=+->⎪⎪-⎨+=-⎪-⎪⎪=--⎩，由210t -≠且Δ0>，解得22t <且21t ≠，AP AQ k k λ+=，即1212,y n y n x m x m λ--+=--即121211tx n tx n x m x mλ+-+-+=--， 化简得()()()2121221220t x x mt n m x x m mn m λλλ-+-+-++-+-=，所以()()222222122011t t mt n m m mn m t tλλλ--+-+-+-+-=--， 化简得()()2222212220m mn t m n t m mn m λλλλ-+--+-+-=， 由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立，所以2220102220m mn m n m mn m λλλλ⎧-=⎪--=⎨⎪-+-=⎩如果0,m =那么1,n =-此时()0,1A -不在双曲线C 上，舍去.因此0,m ≠从而22,m n =代入21m n =+解得1,n m ==.此时()A 在双曲线C 上.综上，),A λ=或者(),A λ=. 【点睛】 关键点点睛：本题考查直线与双曲线位置关系之定值问题，属于较难题，关键在于将直线与双曲线的方程联立，得出根与系数的关系，继而将目标条件转化到曲线上的点的坐标上去.22．已知函数()()()2ln 1002x f x ax a x x -=+->≥+，. （1）当12a =时，讨论函数()y f x =的单调性； （2）若不等式()1f x ≥在[0,)x ∈+∞时恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：()()*11111ln 1357212n n N n ++++<+∈+. 【答案】（1）在区间()02，上单调递减；在区间()2+∞，上单调递增；（2）[1，)+∞；（3）证明见解析.【分析】（1）求出()f x 的导数，根据导数的正负即可判断单调性；（2）求出()f x 的导数，根据a 的范围讨论单调性，求出()f x 的最小值，满足()min 1f x ≥即可求出a 的取值范围；（3）由（2）可知当1a =时，不等式()1f x >在(0,)x ∈+∞时恒成立，可得11[ln(1)ln ]122k k k <+-+，即可得证.【详解】 解：（1）当12a =时，()()()221142122212x f x x x x -'=⋅-=+++， 当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；所以()y f x =在区间()0,2上单调递减；在区间()2,+∞上单调递增；（2）()2224441(2)(1)(2)a ax a f x ax x ax x +-'=-=++++， 当1a ≥时，()0f x '≥，∴函数()y f x =在[)0+∞，上单调递增； 当01a <<时，由()0f x '>可得x > ∴函数在⎡⎫∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，在⎡⎢⎣上单调递减； ①当1a ≥时，函数()y f x =在[)0+∞，上单调递增， ()()01f x f ∴≥=，即不等式()1f x ≥，在[)0x ∈+∞，时恒成立， ②当01a <<时，函数在0⎡⎢⎣上单调递减，存在00x ⎡∈⎢⎣使得()()001f x f <=，所以不合题意，舍去. 综上可知实数a 的取值范围为[)1,+∞；（3）由（2）得当1a =时，不等式()1f x >在(0,)x ∈+∞时恒成立，即2ln(1)2x x x +>+，12ln(1)12k k ∴+>+，*()k N ∈. 即11[ln(1)ln ]122k k k <+-+， ∴11(ln 2ln1)32<-，11(ln3ln 2)52<-，11(ln 4ln3)72<-，11[ln(1)ln ]212n n n ⋯<+-+， 将上述式子相加可得()()()111111ln 1ln1ln 13572122n n n ++++<+-=++ 原不等式得证.【点睛】 结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，一般按如下规则转化，（1）对于[],x a b ∀∈，都有()f x m ≥恒成立，则()min f x m ≥；（2）对于[],x a b ∀∈，都有()f x m ≤恒成立，则()max f x m ≤.。
2021-2022学年江苏省淮阴中学、海门中学、姜堰中学高三(上)期中数学试卷(学生版+解析版)
2021-2022学年江苏省淮阴中学、海门中学、姜堰中学高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：（每题5分，共40分）1．（5分）已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，1}，若A ∪B ＝{1，2，3}，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．（5分）若复数z 的满足z （1+2i ）＝﹣3+4i （i 是虚数单位），则复数z 的实部是（ ） A ．1B ．2C ．iD ．﹣2i3．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，B ＝75°，a ＝2，则边长c 的值为（ ） A ．2√33B ．2√63C ．3√22D ．2√234．（5分）已知非零向量a →，b →满足a →⊥（a →−2b →），且|a →|＝|b →|，则向量a →，b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π35．（5分）已知函数f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2sin x ，则关于x 的不等式f （x 2﹣3）+f （2x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣3，1）B ．（﹣1，3）C ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D ．[﹣1，3]6．（5分）2sin80°−sin20°cos20°的值为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．27．（5分）函数f （x ）={log 2x −2x ，x ＞0sin(ωx +π3)，−π≤x ≤0有且仅有2个零点，则正数ω的取值范围是（ ） A ．(43，73]B ．[43，73)C ．(43，73)D ．[43，73]8．（5分）已知实数a =35，b ＝cos1，c =1−(log 52)21+(log 52)2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a二、多选题：（选错不得分，漏选得2分，每题5分，共20分） 9．（5分）已知a ＞b ，则下列结论正确的是（ ）A ．a +b ＞2bB ．1a＜1bC ．ac ＞bcD ．e a ﹣c +a ＞e b ﹣c +b10．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，已知F ，E 分别是靠近C ，D 的四等分点，则下列结论正确的是（ ）A ．EF →=12AB →B ．AF →=−34AB →+AD →C ．BE →=−34AB →+AD →D ．BE →•AF →=（AD →）2−910（AB →）211．（5分）关于函数f （x ）＝tan （|x |+π4），则下列判断正确的有（ ） A ．f （x ）的图像关于y 轴对称B ．f （x ）的最小正周期为πC ．f （x ）在区间（0，π4）上单调递增D ．f （x ）的图像关于点（3π4，0）对称12．（5分）红星照耀中国，五角星有着丰富的数学内涵与文化．如图所示，正五边形ABCDE 的边长a 1，正五边形A 1B 1C 1D 1E 1边长为a 2，正五边形A 2B 2C 2D 2E 2边长为a 3，……，依次下去，正五边形A n ﹣1B n ﹣1C n ﹣1D n ﹣1E n ﹣1边长为a n ，记∠ACE ＝α，则下列结论中正确的是（ ）A ．{a n }是公长对3−√52的等比数列B ．{a n }是公比为√5−12的等比数列C ．cos α=√5+14D ．对任意θ∈R ，cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos （θ+6α）+cos （θ+8α）＝0 三、填空题：（每题5分，共20分）13．（5分）定义R 上的函数f （x ）的周期为4，且x ∈[﹣2，2）时，f （x ）={−tan πx4，0＜x ＜2|x +12|，−2≤x ≤0，则f （f （2021））＝ ．14．（5分）函数f （x ）＝x ﹣alnx （a ≠0）与直线y ＝2x 相切，则实数a 的值为 ． 15．（5分）已知a x ＝b 2y ＝2，ab ＝4，a ＞1，b ＞1，则x +y 的最小值为 ． 16．（5分）已知函数f （x ）=1x−1+1x−2+1x−3，g （x ）＝x ﹣2，则关于x 的方程f （x ）＝g （x ）的实数根之和为 ；定义区间（a ，b ），[a ，b ），（a ，b ]，[a ，b ]的长度均为b ﹣a ，则f （x ）=1x−1+1x−2+1x−3≥1的解集全部区间长度之和为 ． 四、解答题：本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在公差不为0的等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 4＝2（a 4+1），a 22+a 62＝a 42+a 52． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =1a n ⋅a n+1，求数列{b n }的前n 项和为T n ．18．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）若f （θ）=513，求sin2θ的值．19．（12分）如图，在△ABC 中，AE →=12AB →，点D 是AC 上一点，BD 与CE 交于点P ，且AP →=25AB →+15AC →．（1）若AC →=λAD →，求实数λ的值；（2）若AP →•BC →=0，求证：tan B ＝2tan C ．20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax 2+x ．（1）若对任意实数x ∈（0，+∞），都有f （x ）＜0恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a =12时，若f （x 1）+f （x 2）＝1，求x 1+x 2的最小值．21．（12分）深圳别称“鹏城”，是中国的窗口，“深圳之光”摩天轮是中国之眼，如图Ⅰ，代表着开拓创新、包容开放的精神，向世界展示着中国自信，摩天轮的半径为6（单位：10m ），圆心O 在水平地面上的射影点为A ，摩天轮上任意一点P 在水平地面上的射影点都在直线l 上，水平地面上有三个观景点B 、C 、D ，如图Ⅱ所示，其中在三角形ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝8DC ，∠BAD ＝90°，BC ∥l ，∠OBA ＝45°，记OA ＝a （单位：10m ）． （1）求cos ∠ABC 的值；（2）因安全因素考虑，观景点B 与摩天轮上任意一点P 的之间距离不超过√239（单位：10m ），求实数a 的取值范围．22．（12分）已知函数f （x ）＝（2﹣x ）e x +（1﹣2a ）x ，g （x ）＝ax 2﹣lnx ． （1）讨论函数g （x ）＝ax 2﹣lnx 的单调性；（2）函数h （x ）＝|f （x ）|+g （x ）在x ＝1处取得极小值，求实数a 的取值范围．2021-2022学年江苏省淮阴中学、海门中学、姜堰中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：（每题5分，共40分）1．（5分）已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，1}，若A ∪B ＝{1，2，3}，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：∵集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，1}，A ∪B ＝{1，2，3}，∴实数a ＝3．故选：C ．2．（5分）若复数z 的满足z （1+2i ）＝﹣3+4i （i 是虚数单位），则复数z 的实部是（ ） A ．1B ．2C ．iD ．﹣2i【解答】解：∵z （1+2i ）＝﹣3+4i ， ∴z =−3+4i 1+2i =(−3+4i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1+2i ， ∴复数z 的实部为1． 故选：A ．3．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，B ＝75°，a ＝2，则边长c 的值为（ ） A ．2√33B ．2√63C ．3√22D ．2√23【解答】解：由题可得C ＝45°，再由正弦定理asinA =csinC可得c =asinC sinA =2×√2232=2√63，故选：B ．4．（5分）已知非零向量a →，b →满足a →⊥（a →−2b →），且|a →|＝|b →|，则向量a →，b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3【解答】解：根据题意，设向量a →，b →的夹角为θ， 若a →⊥（a →−2b →），则有a →•（a →−2b →）=a →2﹣2a →•b →=0， 又由|a →|＝|b →|，则cos θ=12， 又由0≤θ≤π，则θ=π3，故选：C ．5．（5分）已知函数f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2sin x ，则关于x 的不等式f （x 2﹣3）+f （2x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣3，1）B ．（﹣1，3）C ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D ．[﹣1，3]【解答】解：∵f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2sin x ，f （﹣x ）＝e ﹣x ﹣e x +2sin x ， ∴f （x ）＝﹣f （﹣x ），故函数f （x ）为奇函数． f ′（x ）＝e x +e ﹣x ﹣2cos x ≥2﹣2cos x ≥0，则f （x ）在R 上为增函数．则f （x 2﹣3）+f （2x ）＜0，化简得f （x 2﹣3）＜﹣f （2x ）， 即f （x 2﹣3）＜f （﹣2x ）， 又∵f （x ）为增函数， ∴x 2﹣3＜﹣2x ， 解得﹣3＜x ＜1． 故选：A ． 6．（5分）2sin80°−sin20°cos20°的值为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解答】解：原式=2sin(60°+20°)−sin20°cos20°=√3cos20°+sin20°−sin20°cos20°=√3．故选：C ．7．（5分）函数f （x ）={log 2x −2x ，x ＞0sin(ωx +π3)，−π≤x ≤0有且仅有2个零点，则正数ω的取值范围是（ ） A ．(43，73]B ．[43，73)C ．(43，73)D ．[43，73]【解答】解：x ＞0时，f （x ）＝log 2x ﹣2x ，∴f '（x ）=1xln2−2=1−xln4xln2， 令f '（x ）＝0，x =1ln4， ∴f '（x ）在（0，1ln4）递增，在（1ln4，+∞）递减．∵1ln4∈（0，1），而x ∈（0，1）时，f （x ）＜0，∴f （x ）的最大值为f （1ln4）＜0，∴x ＞0时，f （x ）无零点．∴x ≤0，f （x ）有两个零点，﹣2π＜﹣ωπ+π3≤−π，43≤ω＜73． 故选：B ．8．（5分）已知实数a =35，b ＝cos1，c =1−(log 52)21+(log 52)2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a【解答】解：∵cos x 在（0，π2）上单调递减，∴cos1≈cos57°＜cos53°＝0.6，∴cos1＜35，即b ＜a ； c =1−(log 52)21+(log 52)2=−1+21+(log 52)2；∵0＜log 52＜log 5√5=12，∴35＜−1+21+(log 52)2＜1，∴b ＜a ＜c ． 故选：B ．二、多选题：（选错不得分，漏选得2分，每题5分，共20分） 9．（5分）已知a ＞b ，则下列结论正确的是（ ） A ．a +b ＞2b B ．1a＜1bC ．ac ＞bcD ．e a ﹣c +a ＞e b ﹣c +b【解答】解：对于A ，∵a ＞b ，b ＝b ， ∴a +b ＞b +b ＝2b ，故A 正确，对于B ，令a ＝1，b ＝﹣1，满足a ＞b ，1a＞1b，故B 错误，对于C ，当c ＝0时，ac ＝bc ，故C 错误， 对于D ，∵a ﹣c ＞b ﹣c ， ∴e a ﹣c ＞e b ﹣c ，又∵a ＞b ，∴由不等式的可加性可得，e a ﹣c +a ＞e b ﹣c +b ，故D 正确．故选：AD ．10．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，已知F ，E 分别是靠近C ，D 的四等分点，则下列结论正确的是（ ）A ．EF →=12AB →B ．AF →=−34AB →+AD →C ．BE →=−34AB →+AD →D ．BE →•AF →=（AD →）2−910（AB →）2【解答】解：A ：∵F ，E 分别是靠近C ，D 的四等分点，∴EF →=12AB →，∴A 正确，B ：∵F 是靠近C 的四等分点，∴AF →=AD →+DF →=AD →+34DC →=34AB →+AD →，∴B 错误，C ：∵E 是靠近D 的四等分点，∴BE →=BC →+CE →=AD →+34CD →=−34AB →+AD →，∴C 正确，D ：∵BE →•AF →=（−34AB →+AD →）•（34AB →+AD →）=AD →2−916AB →2，∴D 错误， 故选：AC ．11．（5分）关于函数f （x ）＝tan （|x |+π4），则下列判断正确的有（ ） A ．f （x ）的图像关于y 轴对称B ．f （x ）的最小正周期为πC ．f （x ）在区间（0，π4）上单调递增D ．f （x ）的图像关于点（3π4，0）对称【解答】解：显然f （﹣x ）=tan(|−x|+π4)=tan(|x|+π4)=f （x ），故f （x ）是偶函数，故A 正确；因为f(−π4)=tan π2不存在，而f(−π4+π)=f(3π4)=tan π＝0，显然f （−π4）≠f(3π4)，故B 错误；x ∈(0，π4)时，f(x)=tan(x +π4)满足π4＜x +π4＜π2，因为y ＝tan x 在（π4，π2）上单调递增，故原函数f （x ）在区间（0，π4）上单调递增，故C 正确；因为f （−π3）=√3+11−3=−2−√3，f （3π2+π3）=tan π12，结合tan π6=2tan π121−tan 2(π12)=√33解得tanπ12=2−√3，因为f(−π3)+f(3π2+π3)≠0，故f （x ）的图像不关于点（3π4，0）对称，故D 错误． 故选：AC ．12．（5分）红星照耀中国，五角星有着丰富的数学内涵与文化．如图所示，正五边形ABCDE 的边长a 1，正五边形A 1B 1C 1D 1E 1边长为a 2，正五边形A 2B 2C 2D 2E 2边长为a 3，……，依次下去，正五边形A n ﹣1B n ﹣1C n ﹣1D n ﹣1E n ﹣1边长为a n ，记∠ACE ＝α，则下列结论中正确的是（ ）A ．{a n }是公长对3−√52的等比数列 B ．{a n }是公比为√5−12的等比数列C ．cos α=√5+14D ．对任意θ∈R ，cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos （θ+6α）+cos （θ+8α）＝0 【解答】解：由正五边形的性质得∠ACE =α=π5，所以∠D 1AC 1＝α， 作∠AD 1C 1＝α的角平分线D 1M ，取D 1C 1中点N ，连接AN ，则AN ⊥D 1C 1， 所以∠AD 1M ＝∠C 1D 1M ＝α，所以MD 1＝MA ＝D 1C 1． 令MD 1＝MA ＝D 1C 1＝1，MC 1＝x ， 则C 1M C 1D 1=C 1D 1AC 1，所以1＝x （x +1），解得x =√5−12，所以cosC 1=cos2α=C 1N C 1A =√5−14， 所以cos 2α=12(1+cos2α)=12⋅√5+34=√5+38=2√5+616=(√5+14)2， 所以cosα=√5+14，故C 选项正确；因为a 2＝1，△ABE △C 1AE ，所以AB BE=AC 1AE，即12⋅√5+12+a 2=√5+12a 1，所以a 12=(√5+2)(√5+1)2=7+3√52，所以(a2a 1)2=27+3√5=2(7−3√5)4=(3−√52)2，即q =3−√52，故A 选项正确，B 选项错误； 由于5α＝π，则10α＝2π，所以cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos （θ+6α）+cos （θ+8α）＝cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos[（θ﹣4α）+10α]+cos[（θ﹣2α）+10α] ＝cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos （θ﹣4α）+cos （θ﹣2α） ＝cos θ+2cos θcos4α+2cos θcos2α＝cos θ（1+2cos4α+2cos2α） ＝cos θ[1+2⋅（2cos 22α﹣1）+2cos2α]＝cos θ（4cos 22α+2cos2α﹣1） =cosθ[4×(√5−14)2+√5−12−1]=0，故D 选项正确． 故选：ACD ．三、填空题：（每题5分，共20分）13．（5分）定义R 上的函数f （x ）的周期为4，且x ∈[﹣2，2）时，f （x ）={−tan πx4，0＜x ＜2|x +12|，−2≤x ≤0，则f （f （2021））＝12．【解答】解：定义R 上的函数f （x ）的周期为4，且x ∈[﹣2，2）时，f （x ）={−tan πx4，0＜x ＜2|x +12|，−2≤x ≤0， 则f （f （2021））＝f （f （505×4+1））＝f （f （1））＝f （﹣tan π4）＝f （﹣1）＝|﹣1+12|=12，故答案为：12．14．（5分）函数f （x ）＝x ﹣alnx （a ≠0）与直线y ＝2x 相切，则实数a 的值为 ﹣e ． 【解答】解：设切点为（m ，n ）， 由f （x ）＝x ﹣alnx ，得f ′（x ）＝1−ax ， 则{1−am=22m =m −alnm，解得：m ＝e ，a ＝﹣e ．故答案为：﹣e ．15．（5分）已知a x ＝b 2y ＝2，ab ＝4，a ＞1，b ＞1，则x +y 的最小值为 34+√22． 【解答】解：∵a x＝2，b 2y＝2，∴a =21x （a ＞1，x ＞0），b =212y （b ＞1，y ＞0）；∵ab ＝4，∴21x×212y =4，1x+12y=2，∴x +y =12×（1x +12y ）（x +y ）=12×（32+y x +x 2y）， ∵x ＞0，y ＞0，∴y x＞0，x 2y＞0，∴yx +x2y ≥2√yx ×x2y =√2，x +y ≥12×（32+√2）=34+√22，当且仅当y x =x 2y ，1x +12y=2时取等号，∴x +y 的最小值为34+√22． 故答案为：34+√22． 16．（5分）已知函数f （x ）=1x−1+1x−2+1x−3，g （x ）＝x ﹣2，则关于x 的方程f （x ）＝g （x ）的实数根之和为 8 ；定义区间（a ，b ），[a ，b ），（a ，b ]，[a ，b ]的长度均为b ﹣a ，则f （x ）=1x−1+1x−2+1x−3≥1的解集全部区间长度之和为 3 ． 【解答】解：f （4﹣x ）=13−x +12−x +11−x =−f （x ），f （x ）关于（2，0）对称， f '（x ）=−1(x−1)2−1(x−2)2−1(x−3)2＜0，∴f （x ）在（﹣∞，1），（1，2），（2，3），（3，+∞）递减， x →1+时，x →+∞，x →2﹣时，x →﹣∞，x →2+时，x →+∞，x →3﹣时，x →﹣∞，x →3+时，x →+∞，作出f （x ）图像，作出g （x ）图像，则f （x ）与g （x ）有四个交点，四个实根设为t 1，t 2，t 3，t 4，则t 1+t 2+t 3+t 4＝4+4＝8， 令f （x ）＝1，则x 3﹣9x 2+23x ﹣17＝0，由韦达定理可知x 1+x 2+x 3＝9， ∴x 1﹣1+x 2﹣2+x 3﹣3＝9﹣6＝3． 故答案为：8；3．四、解答题：本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在公差不为0的等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 4＝2（a 4+1），a 22+a 62＝a 42+a 52． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =1a n ⋅a n+1，求数列{b n }的前n 项和为T n ．【解答】解：（1）设公差d 不为0的等差数列{a n }中，首项为a 1，满足S 4＝2（a 4+1），a 22+a 62＝a 42+a 52，所以{4a 1+4×32d =2×(a 1+3d)+2(a 1+d)2+(a 1+5d)2=(a 1+3d)2+(a 1+4d)2，解得{a 1=1d =2；故a n ＝2n ﹣1；（2）由（1）得：b n =1a n ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)；所以T n =12(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．18．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）若f （θ）=513，求sin2θ的值．【解答】解：（1）根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)的部分图象，可得A ＝1，可得：f （0）＝sin φ=√22，可得：φ=π4，可得f （x ）＝sin （ωx +π4）， 又f （−π4）＝sin （−π4ω+π4）＝0， 可得：−π4ω+π4=k π，k ∈Z ，解得ω＝1﹣4k ，k ∈Z ， 当k ＝0时，可得ω＝1，可得函数f （x ）的解析式为f （x ）＝sin （x +π4）． （2）因为f （θ）＝sin （θ+π4）=√22×（sin θ+cos θ）=513， 所以sin θ+cos θ=5√213，两边平方，可得1+sin2θ=50169， 可得sin2θ=−119169．19．（12分）如图，在△ABC 中，AE →=12AB →，点D 是AC 上一点，BD 与CE 交于点P ，且AP →=25AB →+15AC →．（1）若AC →=λAD →，求实数λ的值； （2）若AP →•BC →=0，求证：tan B ＝2tan C ．【解答】解：（1）∵AC →=λAD →，∴AP →=25AB →+15AC →=25AB →+15λAD →， ∵B ，D ，P 三点共线， ∴25+15λ＝1，∴λ＝3．（2）证明：∵AP →=25AB →+15AC →，∴AP →•BC →=（25AB →+15AC →）•（AC →−AB →）=15AC →2−25AB →2+15AB →⋅AC →=0， 即b 2﹣2c 2+ab cos A ＝0，∴b 2﹣2c 2+ab ×b 2+c 2−a 22bc=0，∴a 2﹣3b 2+3c 2＝0，即2（a 2+c 2﹣b 2）＝a 2+b 2﹣c 2，∴2c cos B ＝b cos C ， 由正弦定理得2sin C cos B ＝sin B cos C ，∴tan B ＝2tan C ． 20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax 2+x ．（1）若对任意实数x ∈（0，+∞），都有f （x ）＜0恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a =12时，若f （x 1）+f （x 2）＝1，求x 1+x 2的最小值． 【解答】解：（1）函数f （x ）＝lnx ﹣ax 2+x ，对任意实数x ∈（0，+∞），都有lnx ﹣ax 2+x ＜0恒成立，当a ≤0时，则f （1）＝1﹣a ＞0，这与f （x ）＜0在x ∈（0，+∞）上恒成立矛盾，故舍去；当a ＞0时，f '（x ）=1x−2ax +1， 因为f '（x ）在（0，+∞）上单调递减， 又f ′(12a )=2a ＞0，f′(1+1a )=a a+1−2a −1＜0， 故存在唯一的x 0∈(12a ，1+1a )，使得f '（x 0）＝0，即1x 0−2ax 0+1=0，且当x ∈（0，x 0）时，f '（x ）＞0，则f （x ）单调递增， 当x ∈（x 0，+∞）时，f '（x ）＜0，则f （x ）单调递减，故当x ＝x 0时，f （x ）取得最大值f （x 0）=lnx 0−ax 02+x 0=lnx 0−x 0+12+x 0=lnx 0+x 02−12＜0， 解得0＜x 0＜1， 故a =12(1x 0+1x 02)＞1， 所以实数a 的取值范围为（1，+∞）；（2）当a =12时，f(x)=lnx −12x 2+x ，若f （x 1）+f （x 2）＝1，则lnx 1−12x 12+x 1+lnx 2−12x 22+x 2=1， 故ln(x 1x 2)−12(x 1+x 2)2+x 1x 2+x 1+x 2=1， 所以12(x 1+x 2)2−(x 1+x 2)+1=ln （x 1x 2）+x 1x 2≤ln(x 1+x 22)2+(x 1+x 22)2， 令t =x 1+x 22，则2t 2﹣2t +1≤lnt 2+t 2，即t 2﹣2t +1﹣2lnt ≤0， 令h （t ）＝t 2﹣2t +1﹣2lnt ，则h '（t ）=2t −2−2t =2(t 2−t−1)t，令h '（t ）＝0，解得t =1+√52， 所以当0＜t ＜1+√52时，h '（t ）＜0，则h （t ）单调递减， 当t ＞1+√52时，h '（t ）＞0，则h （t ）单调递增， 又h （1）＝0，h （3）＝4﹣2ln 3＞0， 故h （t ）在(1+√52，3)上有唯一的零点t 0， 又当1≤t ≤t 0时，h （t ）≤0， 故2≤x 1+x 2≤2x 0，所以x 1+x 2的最小值为2，当且仅当x 1＝x 2＝1取等号．21．（12分）深圳别称“鹏城”，是中国的窗口，“深圳之光”摩天轮是中国之眼，如图Ⅰ，代表着开拓创新、包容开放的精神，向世界展示着中国自信，摩天轮的半径为6（单位：10m ），圆心O 在水平地面上的射影点为A ，摩天轮上任意一点P 在水平地面上的射影点都在直线l 上，水平地面上有三个观景点B 、C 、D ，如图Ⅱ所示，其中在三角形ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝8DC ，∠BAD ＝90°，BC ∥l ，∠OBA ＝45°，记OA ＝a （单位：10m ）． （1）求cos ∠ABC 的值；（2）因安全因素考虑，观景点B 与摩天轮上任意一点P 的之间距离不超过√239（单位：10m ），求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）设DC ＝m ，则BD ＝8m ， 所以在△ABD 和△ABC 中，分别利用余弦定理得：cos ∠ABC =a 8m =a 2+8lm 2−a 22⋅9m⋅a =9m 2a，所以a 2＝36m 2⇒a ＝6m ， 所以cos ∠ABC =34，（2）根据题意，观景点B 与与摩天轮上任意一点P 之间距离不超过√239， 即(PB)max ≤√239，过点P 作PQ ⊥l 于Q ，连接BQ ，PB ，要使PB 尽可能的大，则点P 摩天轮同一竖直线上，且在直线m 的上方部分，且Q 在点A 的右侧，如图，设PQ ＝h ，AQ ＝x ，a ≤h ≤a +6， 则（h −a ）2+x 2＝36⇒h 2+a 2+x 2−2ah ＝36， 所以PB =√BQ 2+PQ 2=√AB 2+AQ 2−2AB ⋅AQ(−34)+PQ 2=√a 2+x 2+32ax +ℎ2=√36+2a ℎ+32ax =√36+a(2ℎ+32x)， 令{ℎ=a +6cosθx =6sinθ，则2ℎ+32x =2a +12cosθ+9sinθ=2a +15sin(θ+φ)≤2a +15，（其中tanφ=34)， 所以(PB)max =√36+2a 2+15a ≤√239， 2a 2+15a −203≤0， 解得a ≤7，所以实数a的取值范围是（6，7]．22．（12分）已知函数f（x）＝（2﹣x）e x+（1﹣2a）x，g（x）＝ax2﹣lnx．（1）讨论函数g（x）＝ax2﹣lnx的单调性；（2）函数h（x）＝|f（x）|+g（x）在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数g（x）＝ax2﹣lnx的定义域为（0，+∞），则g'（x）=2ax−1x=2ax2−1x，所以当a≤0时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，当a＞0时，令g'（x）＝0，解得x=√12a，当x∈（0，√12a）时，g'（x）＜0，则g（x）单调递减，当x∈（√12a，+∞）时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增，所以f（x）在（0，√12a）上单调递减，在（√12a，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在（0，√12a）上单调递减，在（√12a，+∞）上单调递增．（2）因为f（1）＝e+1﹣2a，①当f（1）＝e+1﹣2a＜0，即a＞e+12时，存在x∈（1﹣σ，1+σ）（σ为足够小的正数），使得f（x）＜0，此时h（x）＝（x﹣2）e x﹣（1﹣2a）x+ax2﹣lnx，则h'（x）＝（x﹣4）e x﹣（1﹣2a）+2ax−1 x，故h'（1）＝4a﹣2＞0，这与x＝1处取得极小值矛盾；②当f（1）＝e+1﹣2a＞0，即a＜e+12时，存在x∈（1﹣σ，1+σ）（σ为足够小的正数），使得f（x）＞0，此时h（x）＝（2﹣x）e x+（1﹣2a）x+ax2﹣lnx，则h'（x）＝（1﹣x）e x+（1﹣2a）+2ax−1 x，故h'（1）＝0，又h''（x）＝﹣xe x+2a+12，所以h'''（x）＝﹣（x+1）e x−2x3＜0恒成立，则h''（x）在（0，+∞）上单调递减，（i）若h''（x）≤0，即﹣e+2a+1≤0，a≤e−12时，此时当x＞1时，h''（x）＜0，则h'（x）单调递减，则h'（x）＜h'（1）＝0，所以h（x）在（1，+∞）上单调递减，h（x）不可能在x＝1处取得极小值，故舍去；（ii）若h''（x）＞0，即﹣e+2a+1＞0，a＞e−12时，h''（2a）=−2ae2a+2a+14a2＜14a2−4a2＜0，所以存在唯一的x0∈（1，2a），使得h''（x0）＝0，且当0＜x＜x0时，h''（x）＞0，则h'（x）单调递增，注意到h'（1）＝0，则当1﹣σ0＜x＜1时，h'（x）＜0，则h（x）单调递减，当1＜x＜min{x0，1+σ0}时，h'（x）＞0，则h（x）单调递增，所以此时满足函数h（x）在x＝1处取得极小值，故实数a的取值范围为(e−12，e+12)；③当f（1）＝e+1﹣2a＝0，即a=e+12时，存在x∈（1﹣σ1，1+σ1）（σ1为足够小的正数），使得f（x）≥0，此时h（x）＝（2﹣x）e x﹣ex+e+12x2﹣lnx，则h'（x）＝（1﹣x）e x﹣e+（e+1）x−1 x，又h'（1）＝0，则h''（x）＝﹣xe x﹣e+1+1x2，h'''（x）＝﹣（x+1）e x−2x3＜0恒成立，故h''（x）在（0，+∞）上单调递减，由于h''（1）＝2＞0，h''（2）=−2e2+e+1+14＜0所以存在唯一的x1∈（1，2），使得h''（x1）＝0，则当0＜x＜x1时，h''（x）＞0，则h'（x）单调递增，注意到h'（1）＝0，故当0＜x＜1时，h'（x）＜0，则h（x）单调递减，当1＜x＜min{x1，1+σ1}时，h'（x）＞0，则h（x）单调递增，此时满足h（x）在x＝1处取得极小值．综上所述，实数a的取值范围为(e−12，e+12]．。
淮阴中学2021届高三上学期开学练习
淮阴中学2021届高三上学期开学练习英语试卷命题人：审定人：2020.08第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.What do we learn from the conversation?A.The man hates to lend his tools to other people.B.The man hasn't finished working on the bookshelf.C.The man lost those tools.2.What do we know about the man?A.He doesn't like his job.B.He will not give up his job.C.He has a large family to support.3.What's the relationship between the two speakers?A.Classmates.B.Teachers and students.C.Headmaster and teachers4.Who is worried about gaining weight?A.The son.B.Aunt Louise.C.The mother.5.Why doesn't the woman buy the coat?A.It is expensive.B.There isn't her size.D.She doesn't like the color.第二节：听下面5段对话或独白。
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淮阴中学2021届高三数学开学练习
命题人: 审题人: 2020.8
注意事项
1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2.答题前，请务必将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题纸上。
3.请用0.5毫米黑色签字笔按题号在答题纸指定区域作答，在其它位置作答一律无效。
一、单项选择题: (每题5分，共40分)
1.函数y=xcosx+sinx在区间[-π, π]的图象大致为()
2.若把单词“error"的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为( )
A.17
B.18
C.19
D. 20
3.(x+x
y 2
)(x+ y)2的展开式中x 2y 2的系数为 ( ) A.5 B.10 C.15 D.20
4.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位: °C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x,y)(i =1,2,.,.20)得到下面的散点图:
由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )
A y=a+bx B. y=a+bx 2
C. y=a+be 2
D. y=a+blnx
5.设函数f(x)为R 上的增函数，d 、 b ∈R .则a+b ≥ 0是f(a)+ f(b)≥f(-a)+ f(-b)的( )
A.充分条件
B. 必要条件
C.充要条件
D.充分不必要条件
6.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“4个人去的景点不完全相同”，事件B 为“小赵独自去-一个景点”，则P(B|A)=( ) A.3/7 B.4/7 C.7
5 D.6/7 7.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且fx+4)=-f(x),当x ∈[一2, 0)时，f(x)=e x ,
则f(2018)+(2021)+f(2 022)等于( ) A.e 1 B.一e
1 C. 一e D. e 8.已知定义在R 上的函数y= f(x)的导函数为f'(x)，满足f(x)> f '(x),且f(0)=2,
则不等式f(x)> 2e x
的解集为( )
A.(- ∞,0)
B.(0,+∞)
C.(-∞,2)
D.(2, +∞)
二、多选题: (选错不得分， 漏选得3分，每题5分，共20分)
9.对于函数f(x)=x x +1(x ∈R) ，下列判断正确的是( ) A.f(-x+1)+f(x-l)=0
B.当m ∈(0， 1)时， 方程f(x)=m 有唯一实数解
C.函数f(x)的值域为(一∞，+∞)
D. Vx ≠2x ,()()2
121x x x f x f -+>0 10.设f(x)=2x +ax+b,a,b ∈R 若f(x)=x 无实根，则下列结论成立的有
A.当x>0,时f(x)>0
B.Vx ∈R,f(x)>x
C.Vx ∈R,f(f(x))>x
D.3∃x ∈R 使得f(f(x))=x 成立
11.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f(x)相切于两点，则F(x)=f
（x ）-kx 有( )
A.1个极大值点，2个极小值点
B.2个零点
C.0个零点
D.2个极小值点，无极大值点
12.已知函数f(x)=xlnx ，若0<1x <2x ，则下列结论正确的是
A. 2x f(1x )<1x f(2x )
B. 1x +f(1x )< 2x +f(2x )
C. 0x )f(x -)f(x 2
121<-x D.当x>e
1时，1x f(1x )+2x f(2x )>22x f(1x ) 三、填空题: (每题5分，共20分)
13.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ___
14.已知A 为抛物线C ：2
y =2px(p>0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p= __
15.某个部件由三个元件按下图方
式连接而成，元件1或元件2正常工作，
且元件3正工作，则部件正常工作，设
三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1000,52
0)，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 _ _ 16.一个盒子里有2个红1 个绿2个黄球，从盒子中随机取球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设取球停止时拿出黄球的个数为随机变量ξ，则P(ξ=0)=_ _ _ _E(ξ5)= _ .
四、解答题:本大题共6小题.请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本题满分10分)
记函数f(x)=lg(1- a 2x )的定义域、值域分别为集合A,B.
(1)当a=1时，求A ∩B;
(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.
18.(本题满分12分) 设椭圆C:122
22=+b
y b x (a>b>0)的左、右焦点分别为1F ，2F ,下项点为A, 0为坐标原点，点O 到直线A 2F 的距离为
2
2，△M 1F 2F 为等腰直角三角形. (1)求椭圆C 的标准方程;
(2)若倾斜角为405的直线经过椭圆C 的右焦点2F ，且与椭圆C 交于M ，N 两点(M 点在N 点的上方)，求线段M 2F 与N 2F 的长度之比，
19. (本题满分12分)
班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18 名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
(1)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本? (写出算式即可， 不必计算出结果)
(2)如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩(单位:分)对应如下表:
(1)若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望.
②根据上表数据，求物理成绩y 关于数学成绩x 的线性回归方程(系数精确到0.01);若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分?
附:线性回归方程y=bx+a,
20.(本题满分12分)
已知函数y= f(x),若在定义域内存在0x ，使得f(-0x )=-f(0x )
成立，则称0x 为函数f(x)的局部对称点
(1)证明:函数f(x)= x 2-1在区间[-1,2]内必有局部对称点:
(2)若函数f(x)=x 4-m*12
+x +2m -3在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围
21. (本题满分12分) 己知函数k x e
2k)-(x f(x)= (1)求f(x)的单调区间:
(2)若对Vx ∈(0，+∞)， 都有f(x) ≤
e
1求k 的取值范围。
22(本题满分12分)
设函数(x)=lnx-a(x-I)x e ，其中0<a ≤
e
1 (1)证明: f(x)恰有两个零点: (2)设0x 为f(x)的极值点，1x 为f/(x)的零点， 且1x >0x 证明30x -1x >2.。