第四章根轨迹法4-2

P( s )Q( s ) P( s )Q( s ) 0
即 其中
P( s ) Q( s ) P( s ) Q( s )
d [ln P(s)] d [ln Q(s)]
ds
ds
P(s) (s z1 )(s z2 ) (s zm )
Q(s)- (s p1 )(s p2 ) (s pn )
的 j 值。工作在此点时，系统处于临界稳定状态。
介绍二种常用的求交点的方法。 (1) 利用特征方程求取。用 j 替代s，令虚部、实部分别等
于 零，求得 和对应的K1。 (2) 利用劳斯表求取。将劳斯表中s2行系数构造的辅助方程
求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯 阵列中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。
i1
ib
8 虚轴交点 （1）满足特征方程 1 G( j)H( j) 0 的 j 值；
（2）由劳斯判据求临界稳定时的特征根；
9
根之和与 根之积
n
pcj
n
p
j
j 1
j 1
n
j 1
pcj
1
n
n
j 1
pj
K1
m
i 1
zi
19
例1: 系统的开环传递函数 试画根轨迹。
G(s)H(s)
K1
s(s 4)(s 6)
ω4 -36ω2 K0 jω80 - 8ω2 0
ω4 -36ω2 K0 0
jω80 - 8ω2 0
求得 ω 10 , K0 260
( (4)出射角
极点-p3的出射角 ： 3 180 (2k 1) (2 90 180 2 ) 90
同理不难求得极点-p4处的出射角： 4 90
14
例 已知闭环特征方程式为
s4 8s3 36s2 80s K 0
由劳斯判据：
s4
1
36 K
s3
8
80 0
s2
26
K
s1 8260 K 0
26
s0
K
自动控制理论
当K 260时,由 辅助方程 26s2 260 0 s1,2 j 10
用s jω代入方程直接求解
ω4 -36ω2 K jω80 - 8ω2 0
P(s) Q(s)
以上分析没有考虑 K0 0 (且为实数)的约束条件，所以只有满 足 K0 0的这些解，才是真正的分离点（或会合点）。
4
例: 设系统
R(s)
K1(s 2)
C(s)
s2 2s 2
试求该系统根轨迹在实轴上的会合点。 解：系统的开环传递函数：
G(s)H (s)
K1(s 2) s2 2s 2
3
K0P(s) Q(s) 0
根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。即根轨迹上 的分离点(或会合点) 与特征方程式的重根相对应。若为二重 根，必同时满足 f (s1) 0 和 f ( s1 ) 0 。因此求得：
KK00PP((ss))
Q(s) 0 Q(s) 0
消 K0 去，可得到： P(s)Q(s) P(s)Q(s) 0或 P(s) Q'(s)
根轨迹法 (4-2)
1
6、根轨迹在实轴上的分离点与会合点
K1
K1 0
K1
会合点 K1 0
K1 K1 0
K1
K1 0 分离点
分离点或会合点： P( s )Q( s ) P( s )Q( s ) 0
2
设系统的开环传递函数
m
G(s)H (s)
K0 (s zi )
i 1 n
点
无限零点）
2 分支数 等于开环传递函数的极点数（nm）
3 对称性 关于实轴对称
渐近线 相交于实轴上的一点：
n
m
4
坐标为： pl 倾角zi 为：
l1
i 1
nm
(2k 1)
nm
实轴上 实轴上的根轨迹：实轴上某一区间内存在根轨迹， 5 分布 则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为
奇数
18
3
2 1
0 Re
1 1 1 1 s 1 s s 2 s 3
s 2.4
1 ?1
1
1
2.4 1 2.4 2.4 2 2.4 3
0.715 1.247
s 2.5
1
?
1
1
1
,
2.5 1 2.5 2.5 2 2.5 3
0.7 0.4
s 2.47
1 1 1 1 2.47 1 2.47 2.47 2 2.47 3
0.68 0.635
所以分离点的位置为 s 2.47
j
10
7、根轨迹的出射角与入射角
出射角(或入射角)是指根轨迹离开复数极 点 (或终止复零点)处切线的倾角。
11
出射角:
设一系统的开环零、极点如图所示,令试验点si十分靠近
开环复数极点 pa.如果si在根轨迹上,则有:
Im
A
a
s1
pa
3 p3
29
(3)分离点： 1 1 1 1 0
s s 3 s 1 j s 1 j
利用试探法求得 s 2.3 (4)极点-p3的出射角 3 ：不难求得极点-p1、 -p2、 -p4到-p3的 幅角分别 135、18.4、90. 所以
3 180 (2k 1) (135 18.4 90) 71.6
(s pl )
K0
P(s) Q(s)
l 1 m
P(s) (s zi ) (s z1)(s z2 ) (s zm )
i 1
n
Q(s) (s pl ) (s p1)(s p2 ) (s pn )
l 1
系统特征方程
1
G(s)H
(s)
1
K0
P(s) Q(s)
0
K0P(s) Q(s) 0
同理不难求得极点-p4处的出射角：4 71.6 (5)根轨迹与虚轴的交点：
方法一：由特征方程求：
特征方程 ：
s 4 5s3 8s 2 6s K1 0
s j
( 4 8 2 K1 ) j( -5 3 6 ) 0
30
实部方程：
虚部方程： 解得：
4 8 2 K1 0
5 3 6 0 1 0 (舍去) 2 1.1
ω4 -36ω2 K 0
jω80 - 8ω2 0
求得 ω 10 , K 260
9. 根之和与根之积
n
pcj
n
p
j
闭环极点之和等于开环极点之和
j 1
j 1
n
j 1
pcj
1
n
n
j1
pj
K1
m
i 1
zi
17
绘制根轨迹图的规则
序 内容
规则
1 起点终 起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括
5
： P( s )Q( s ) P( s )Q( s ) 0 另外两种表达形式
(1) dK0 0 ds
因为 K0P(s) Q(s) 0
Q(s) K0 P(s)
dK0 Q(s)P(s) Q(s)P(s)
ds
P2(s)
令 dK0 0 , 即得到
ds
P( s )Q( s ) P( s )Q( s ) 0
消去分母
s 2 4s 2 0
解上式得到 s1 0.586（舍去）
s2 3.414
经检验，s2是根轨迹在实轴上的分离点。
对于采用上述三种方法，所得结果完全一致。由于后面
两种方法都是从第一种方法派生出来的，所以求得的结果一定
要检验，舍去K＜0所对应的值。
9
Im
复杂情况用试探法。
在-2-3之间存在一个分离点。
渐近线与实轴的交点：
( p1 p2 p3 p4 ) 0 0 3 (1 j) (1 j) 1.25
nm
4
(2) 实轴上的根轨迹：0 -3
28
(3)分离点： 1 1 1 1 0
s s 3 s 1 j s 1 j
利用试探法求得 s 2.3 (4)极点-p3的出射角 3 ：不难求得极点-p1、 -p2、 -p4到-p3的 幅角分别 135、18.4、90. 所以
绘制根轨迹图的规则
序 内容
规则
6 分离（会 实轴上的
合）点 分离（会合）点
P' (s) Q' (s) 或 dK1 0 P(s) Q(s) ds
7 出射角
入射角
复数极点处的出射角：
m
n
a (2k 1) i l
i1
l 1
la
复数零点处的入射角：
n
m
b (2k 1) j i
j1
即
d [ln P(s)] 1 1 1
ds
s z1 s z2
s zm
所以
d
1
1
1
[ln Q(s)]
ds
s p1 s p2
s pn
m
1
n
1
i1 s zi l1 s pl
8
仍以上例说明: R(s)
K1(s 2)
C(s)
s2 2s 2
因为
1 1 1 s 2 s 1 j s 1 j
6
仍以上例说明:
R(s)
K1(s 2) s2 2s 2
C(s)
因为
1 G(s)H (s) K1 (s 2) (s 2 2s 2) 0
令 dK1 0
ds
K1
s2
2s s2
2
s 2 4s 2 0
求得
s1 0.586 (舍去)
s2 3.414
7
(2) m
1
n
1
因为 i1 s zi l1 s pl
27
例2 系统的开环传递函数为 G( s )H( s )
K1
试绘制根轨迹图
s( s 3 )( s 2 2s 2 )
解：开环极点：0、-3、-1+j、-1-j
开环零点：4个无限零点
(1)渐近线：应有n-m=4-0=4条渐近线。
渐近线的倾角：
(2k
1)
(2k
Байду номын сангаас
1)
1 , 3
nm
4
44
例4-4的根轨迹
ds
解之得s1 2, s2,3 2 j2.45
5）与虚轴交点
s4 8s3 36 s2 80 s K0 0
由劳斯判据：
s4
1
36 K0
s3
8
80 0
s2
26
K0
s1 8260 K0 0
26
s0
K0
当K0 260时,由 辅助方程 26s2 260 0
s1,2 j 10 用s jω代入方程直K0 接求解
1 z1
1
0 p1
Re
p2 2
a (2k 1) 1 (1 2 3)
12
若根轨迹的一个分支离开复极点 pa的出射角为 a，则
a (2k 1) （各零点到 pa 的向量幅角 i 之和） （其它各极点到 pa 的向量幅角 j 之和）
m
n
(2k 1) i j
i1
j 1
ja
4
44 4 4
渐近线与实轴的交点为
4 2 2 2
4
23
3） 实轴上的0至-4间的线段是根轨迹 4） 分离点，系统的特征方程为
ss 4 s2 4s 20 K0 0
K0
K0 ss 4 s2 4s 20 s4 8s3 36s2 80s
dK0 s4 8s3 36s 2 80s 0
解：起点：0，-4，-6
终点：3个无限零点
（1）渐近线的夹角：
(2k 1) 1,
30
3
渐近线与实轴的交点：
(0
4
6)
0
3.33
3
（2）分离点： 1 1 1 0
s s4 s6
即 3s 2 20s 24 0
s1 1.57
s2 5.1
（舍去）
20
（3）与虚轴的交点
系统的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0 令 s j 代入，求得
3 180 (2k 1) (135 18.4 90) 71.6
同理不难求得极点-p4处的出射角：4 71.6 (5)根轨迹与虚轴的交点：
方法一：由特征方程求：
特征方程 ：
s 4 5s3 8s 2 6s K1 0
s j
( 4 8 2 K1 ) j( -5 3 6 ) 0
实部方程: 10 2 K1 0 虚部方程：3 24 0
解得： 4.9 K1 240
0 K1 0
(舍去)
21
22
例4-4 已知
GsH
s
ss
4
K0 s2
4s
20
试画系统的根轨迹。
解： 1）有4条根轨迹分支,它们的起点分别为0，-4，-2±j4 2） 渐近线与正实轴的夹角
2k 1 , 3 , 5 , 7 , k 0,1,2,3
若根轨迹的一个分支终止于复零点 zb 的入射角为 b ，则
b (2k 1) (各极点到 zb 的向量幅角 j 之和)
(其它各零点到 zb的向量幅角 i之和)
n
m
(2k 1) j i
j 1
i1
ib
13
8. 根轨迹与虚轴交点 根轨迹与虚轴交点的纵坐标为满足特征方程 1G( j)H( j) 0
,
P(s)
s
2; Q(s)
s2
2s
2
求得：
P'(s) 1 Q'(s) 2s 2 P(s) S 2 Q(s) s2 2s 2
s1 0.586 (舍去) s2 3.414
代入特征方程1+G(s)H(s)=0检验：s1代入，求得：K1＜0，故
舍去； s2代入，求得K1＞0 。所以s2会合点。
K1 8.16
方法二：由劳斯阵列求：
列出劳斯阵列
令s1行首项为零，即
204 25K1 0 34
3 1.1
s4
1
s3
5
8 K1 6
s2
34 / 5
K1
s1 (204 25K1 ) / 34
s0
K1
求K1 =8.16得，再根据行s2系数得到辅助方程