§1 1.2 用二分法求方程的近似根
第2章方程的近似解法
第二章 方程求根在许多实际问题中，常常会遇到方程f(x)=0求解的问题。
当f(x)为一次多项式时，f(x)=0称为线性方程，否则称为非线性方程。
对于非线性方程，由于f(x)的多样性，求其根尚无一般的解析方法可以使用，因此研究非线性方程的数值解法是十分必要的。
法、迭代法、牛顿法及割线法。
这些方法均是知道根的初始近似值后，进一步把根精确化，直到达到所要求的 精度为止。
也即求非线性方程根的数值方法。
第一节 第一节 增值寻根法与二分法2.1.1 增值寻根法设非线性方程f(x)=0的根为*x ，增值寻根法的基本思想是，从初始值0x 开始，按规定 的一个初始步长h 来增值。
令 1n x +=n x +h(n=0,1,2，…)，同时计算f(1n x +)。
在增值的计算过程中可能遇到三种情形：(1) f(1n x +)=0，此时1n x +即为方 程的根*x 。
(2) f(n x )和f(1n x +)同符号。
这说明区间［n x , 1n x +］内无根。
(3) f(n x )和f(1n x +)异号，f(n x )·f(1n x +)＜0此时当f(x)在区间［n x , 1n x +］上连续时，方程f(x)=0在［n x , 1n x +］ 一定有根。
也即我们用增值寻根法找到了方程根的存在区间，n x 或1n x +均可以视为根的近似值。
下一步就是设法在该区间内寻找根 *x 更精确的近似值，为此再用增值寻根法 把n x 作为新的初始近似值，同时把步长缩小，例如选新步长1100h h =，这 样会得到区间长度更小的有根区间，从而也得到使f(x)n x ，作为*x 更 精确的近似值，若精度不够，可重复使用增值寻根法，直到有根区间的长度｜1n x +-n x ｜＜ε(ε为所要求的精度)为止。
此时f(n x )或f(1n x +)就可近似认为是零。
n x 或1n x +就是满足精度的方程的近似根（如图2-1）.2—1例1 用增值寻根法求方程f(x)=324x x +-10=0的有根区间。
利用二分法求方程的近似解高中数学北师大版2019必修第一册
(2)由f(2)·f(4)<0,f(4)·f(3) >0知f(2)·f(3) <0.
故函数零点所在的区间是(2,3).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
用二分法求方程的近似解
例2求方程lg x-2-x+1=0的近似解(精确度为0.1).
分析先确定f(x)=lg x-2-x+1的零点所在的大致区间,再用二分法求解.
258111216232729355153697577
如果随机给出一个不大于100的自然数x,要让计算机查找x是否在
上面这列数中,设计怎样的查找方法,才能保证不管给出的是什么
数,都能在指定的步骤内查到结果呢?
如果让计算机将x逐一与图中的数去比较,那么在有些情况下,只要
比较1次就可以了(例如x=1),但在有些情况下,却要比较15次才能完
和大规模的互动体验结合起来,充分激发了观众的参与热情.每位
选手只要在规定时间内猜出的某商品价格在主持人展示的区间内,
就可以把它拿走.当选手说出一个价格不在规定区间内时,主持人
会提示“高了”或“低了”.
如果选手想用尽可能少的次数猜对价格,应该采用什么样的猜价
方法呢?
激趣诱思
知识点拨
二分法
1.定义:对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b].若函数y=f(x)的图象是一条
3
解:设 x= 2,则 x3-2=0.令 f(x)=x3-2,
3
则函数 f(x)零点的近似值就是 2的近似值.
以下用二分法求其零点的近似值.
由于f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取区间[1,2]为计算的初始区间.用
《用二分法求方程的近似解》教学设计
《用二分法求方程的近似解》教学设计1. 引言1.1 背景介绍二分法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于计算机科学、数学和工程领域。
它通常用于寻找数值解的逼近值，特别是在无法准确求解的情况下。
二分法的基本原理是将求解区间逐步缩小，直到满足精度要求为止。
在实际应用中，我们常常需要解决一些复杂的方程，例如非线性方程、传统解法求解困难的方程等。
这时候，二分法就成为了一种简单而有效的求解方法。
通过不断缩小求解区间，逐步逼近方程的解，我们可以快速得到一个近似解。
在本次教学设计中，我们将重点介绍二分法的原理、算法步骤和示例演示，帮助学生更好地理解和掌握这一数值计算方法。
通过本次教学，我们旨在引导学生掌握二分法的基本思想和应用技巧，提高他们的数值计算能力，为进一步学习和研究相关领域打下坚实的基础。
1.2 问题提出问题提出：在数学中，求解方程是一个常见的问题。
特别是对于非线性方程，往往无法用代数方法得到精确解析解。
我们需要借助数值计算方法来求得近似解。
二分法是一种简单且常用的数值计算方法，可以用来求解单调函数的根。
在实际应用中，我们经常遇到需要求解方程的情况，比如物理问题中的牛顿定律、化学问题中的化学反应速率等等。
掌握二分法求方程的近似解有着重要的意义。
本教学设计将重点介绍二分法的原理及应用，帮助学生掌握这一实用的数值计算方法。
1.3 目的本教学设计的目的是帮助学生了解和掌握二分法求解方程的基本原理和方法，通过实际的示例演示和练习，培养学生解决实际问题的能力和思维。
通过本教学设计，学生将能够掌握二分法的具体步骤，理解其优缺点，掌握其应用范围，并能将所学知识运用到实际生活和工作中。
通过本教学设计的学习，学生将不仅能够提高数学解题的能力，还能培养逻辑思维和分析问题的能力，为将来深入学习数学和相关领域打下扎实的基础。
本教学设计也旨在培养学生的团队合作和沟通能力，鼓励学生通过合作学习和讨论来促进自身的学习效果。
通过本教学设计，学生将不仅能够学会求解方程的方法，还能够培养自主学习和解决问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
用二分法求方程的近似解课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
- + -6<0，因此f（x）的零点在区间 ,
64 8 4
4 2
＝
7 5
,
4 2
1,
5
2
上.
上，
上.
【方法总结】通过二分法不断缩小根所在区间长度，直到符合某个选项中的区间.用二分法求方程近似解，若没有给出初
始区间，首先要选初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能小.
高中数学
必修第一册
A. 2.52
B. 2.56
C. 2.66
D. 2.75
5. ［多选题］下列函数图象均与x轴有交点，其中不能用二分法求图象所对应函数的零点的是（AC）
A
B
C
D
高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
6. 函数f（x）＝x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 a2＝4b .
7. 某同学在借助计算器求“方程lg x＝2-x的近似解（精确度0.1）”时，设f（x）＝lg x+x-2，算得f（1）<0，
第8章
8.1
二分法与求方程近似解
8.1.2
用二分法求方程的近似解
高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
学习目标
1. 通过具体实例，理解二分法的概念和适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，并从中
体会函数与方程之间的联系.
2. 借助于计算器或信息技术手段用二分法求方程的近似解.
核心素养：数学运算、逻辑推理.
∵ f（0）＝c>0，∴ a>0.
1
取区间［0，1］的中点2，则
1
2
3
3
1
用二分法求方程的近似解(很实用)通用课件
使用数学软件实现二分法
总结词
数学软件如Matlab、Mathematica等提 供了强大的符号计算和数值计算功能， 适合用于实现二分法。
VS
详细描述
这些数学软件通常提供了内置的二分法函 数，可以直接调用。用户只需要输入方程 的形式和初始区间，软件会自动调用二分 法函数来求解近似解。
使用在线工具实现二分法
二分法的原理
总结词
二分法基于函数的连续性和零点的存在性定理，通过不断缩小搜索区间来逼近零点。
详细描述
二分法利用了函数在区间端点上的函数值异号的性质，每次迭代都将搜索区间缩小一半，从而以较快 的速度逼近零点。这个过程一直持续到找到满足精度要求的零点或者搜索区间长度小于某个阈值。
二分法的适用范围
总结词
二分法适用于寻找连续函数在某个区间内的零点。
详细描述
二分法要求函数在零点所在的区间内连续，且在区间的端点上的函数值异号。对于一些不满足这些条件的函数， 如分段函数或有多个零点的函数，二分法可能无法找到正确的零点。因此，在使用二分法之前，需要先对函数进 行适当的分析和验证。
02
二分法的基本步骤
确定初始区间
首先需要确定方程有解的初始区间 ，可以通过代入法或观察法得到。
计算中点
在初始区间内取中点，并计算中点 的函数值。
判断中点性质
根据中点的函数值与区间端点的函 数值进行比较，确定下一步的搜索 区间。
迭代搜索
不断重复上述步骤，每次将搜索区 间缩小一半，直到达到所需的精度 要求。
求函数的零点
01
确定初始区间
同样需要确定函数有零点的初 始区间。
02
计算中点
在初始区间内取中点，并计算 中点的函数值。
用二分法求方程的近似解47247
借助计算器或计算机，可求得 f(1)=1>0，f(2)＝-9<0 于是有 f(1)·f(2)<0 即函数f(x)= -x3-3x+5 在区间(0,1) 内有零点
2020/1/27
借助计算器或计算机，列出表格
区间
区间长度 中点的值 中点函数近似值
(1,2) (1,1.5) (1,1.25) (1.125,1.25)
模拟实验室
哦，找到 了啊！
通过这个小实验，你能想到什 么样的方法寻找方程的近似解？
2020/1/27
区间两端点和的一半
区间(a,b)的中点为
c
a
2
b
2020/1/27
求方程lnx+2x-6=0在(2,3)内的近似解 （精确度为0.1）
解： 设函数f(x)=lnx+2x-6， 则函数零点的值即为所求方程的解。
2020/1/27
借助计算器或计算机 用二分法求方程2x 3x 7 的近似解(精确度0.1).
2020/1/27
目标： 求方程的近似解 方法： 二分法 解题过程：
2020/1/27
设函数
定区间(a,b)
取中点c
判断中点 函数值的 符号
若f(c)=0，则函数的零点x0=c； 若f (a) ·f(c)<0，则 x0∈(a,c)(令b=c)； 若f (c) ·f(b)<0，则 x0∈(c,b) (令a=c) ；
2020/1/27
取 2.5+2.75 =2.625 ，f(2.625) ≈0.215>0 2
即f(2.5)·f(2.625) <0 则x0∈（2.5，2.625）
用二分法求方程的近似解的方法
用二分法求方程的近似解的方法二分法（又称折半法）是一种常用于求解方程近似解的数值计算方法。
它基于一个非常重要的思想：如果在一个区间内的函数值在两个端点处取值的符号不同，那么在该区间内一定存在一个根，即方程在该区间内至少有一个解。
二分法的基本原理是将求解的区间不断缩小，每次将区间一分为二，并找出中间点的函数值。
根据中间点的函数值与两个端点的函数值的符号关系，确定新的区间。
通过不断缩小区间的范围，最终找到一个满足精度要求的近似解。
下面将详细介绍二分法的步骤及相关注意事项。
步骤1：选择一个区间[a,b]，其中a和b是方程的根的近似区间。
确保方程在a和b点的函数值异号，即f(a)*f(b)<0。
如果不满足这个条件，需要重新选择一个区间。
步骤2：求出区间的中点c，计算f(c)的值。
步骤3：根据f(c)的符号与f(a)的符号的关系，更新区间。
如果f(c)与f(a)的符号相同，则新的区间是[c,b]。
如果f(c)与f(a)的符号不同，则新的区间是[a,c]。
步骤4：重复步骤2和步骤3，直到满足精度要求为止。
一般可以设置一个容差范围eps，当区间的长度小于eps时，即认为求解已经足够精确。
注意事项：1.在选择初始区间[a,b]时，需要确保方程在这个区间内有一个解。
通常可以通过画出函数曲线或分析函数的性质来确定初始区间。
2.在每次更新区间时，要保证新的区间仍然满足f(a)*f(b)<0。
如果不满足，需要选择一个新的区间，并重新开始算法。
3. 二分法是一种迭代算法，需要根据精度的要求来设置迭代次数。
通常可以通过判断区间长度是否小于eps来确定迭代的终止条件。
4.二分法并不能保证找到方程在给定区间内的所有解，而只能找到一个解。
如果方程有多个解，需要根据需要修改初始区间，并多次运行二分法来找到所有的解。
总结：二分法是一种简单而有效的求解方程近似解的方法。
通过不断缩小区间的范围，并利用函数值的符号关系来确定新的区间，可以找到一个满足精度要求的近似解。
【参考教案2】《用二分法求方程的近似解》(数学人教必修一)
《用二分法求方程的近似解》教材分析本节是人教A版《普通高中标准试验教科书·数学1（必修）》第三章“函数的应用”中第一节“函数与方程”的第二节课内容，是在学习了集合与函数概念、基本初等函数后，研究函数与方程关系的内容。
本节课的教学内容是：结合函数大致图象，能够借助计算器用二分法求出相应方程的近似解，理解二分法的思想及了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
本节内容是新教材中新增的内容。
在初中，学生学习了简单的一元一次方程和一元二次方程等简单方程的求根问题，但是实际问题中，有具体求根公式的方程是很少的。
对于这类方程，我们只能根据根的存在性定理判断根的存在，在利用二分法可以求出方程给定精确度的近似解。
经过本节内容的学习，将使学生更加深入理解函数与方程的数学思想。
教学目标【知识与能力目标】通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，会用二分法求解具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用，体会程序化解决问题的思想．【过程与方法】借助计算器求二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做准备．【情感、态度与价值观】通过探究体验、展示、交流养成良好的学习品质，增强合作意识。
通过体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．教学重难点【教学重点】过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．【教学难点】恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．课前准备多媒体课件、教具等．教学过程一、问题引入实际问题：某个雷电交加的夜晚，医院的医生正在抢救一个危重病人，忽然电停了。
据了解原因是供电站到医院的某处线路出现了故障，维修工，如何迅速查出故障所在? (线路长10km ，每50m 一棵电线杆）如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。
「精品」北师大版高中数学必修一课件4-1-1~2-精品课件
∴ ff01＞ ＜00， ， f2＞0，
(6 分)
即 1a＞ －02， ＋1＜0， 4a－4＋1＞0，
解得34＜a＜1.(8 分)
(3)当 a＜0 时，设方程的两根为 x1，x2， 则 x1·x2＝1a＜0，(10 分) x1，x2 一正一负不符合题意． 综上，a 的取值范围为34，1(12 分)
1.25
f(1.25)＜0
(1.25,1.5)
1.375
f(1.375)＞0
(1.25,1.375)
1.312 5
f(1.312 5)＜0
(1.312 5,1.375)
∵|1.375－1.312 5|＝0.062 5＜0.1， 故函数 f(x)＝x3－x－1 在(1,1.5)内的一个近似零点为 1.375， 即方程 x3－x－1＝0 在(1,1.5)内的一个近似解为 1.375.
规律方法 这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零 点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值， 进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数值符 号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该 函数的单调性．
【训练 1】 求下列函数的零点： (1)f(x)＝－x2－2x＋3； (2)f(x)＝x4－1； (3)f(x)＝x3－4x.
规律方法 使用二分法求方程的近似解应转化为求其相应函数 的近似零点，当区间两个端点在满足精确度条件下的近似值相 等时，所得区间两个端点的近似值便为所求方程的根(或函数零 点)．
【训练 2】 在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸房到防洪指挥 部的电话线路发生了故障，这是一条 10 km 长的线路，每隔 50 m 有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，你能帮他找到 一个简便易行的方法吗？
高中数学 3.1.2《用二分法求方程的近似解》课件 新人教A版必修1
(1.375,1.5) 1.438
(1.375,1.43
|a－b| 1 0.5
0.25 0.125
第十六页，共24页。
由上表计算可知区间(1.375,1.438)长度小于0.1，故可在 (1.438,1.5)内取1.406 5作为函数f(x)正数的零点的近似值．
第十七页，共24页。
1．准确理解“二分法”的含义 顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不 断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附 近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值 近似地表示真正的零点．
图象可以作出，由图象确定根的大致区间，再用二分法求解．
第九页，共24页。
【解析】 作出y＝lg x，y＝3－x的图象可以发现，方程lgx＝3－x有 唯一解，记为x0，并且解在区间(2,3)内．
设f(x)=lgx+x-3，用计算器计算，得
f(2)<0，f(3)>0，
∴x0∈(2,3)； f(2.5)<0，f(3)>0⇒x0∈(2.5,3)； f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x0∈(2.5,2.75)； f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.5,2.625)； f(2.562)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.562,2.625)． ∵|2.625－2.562|＝0.063<0.1 ∴方程的近似解可取为2.625(不唯一)．
第四页，共24页。
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的 是( )
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①题中给出了函数的图象；
②二分法的概念． 解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．
高中数第3章指数函数、对数函数和幂函数3.4.1.2用二分法求方程的近似解课件苏教版必修1
x 0
0.5
0.531 25 0.562 5 0.625 0.75 1
f(x) -1.307 -0.084 -0.009
0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法求得方程ln(x+1)+2x-m=0的近似解(精确度0.05)可能是
(
). (导学号51790116)
高中数第3章指数函数、对数函
数和幂函数3.4.1.2用二分法求方
程的近似解课件苏教版必修1
学习目标
重点难点
1.会用二分法求方程的近似
解.
重点:用二分法求方程的
近似解.
2.明确函数零点的近似值的
判断方法.
难点:零点近似值的判定
方法.
1.二分法的含义
(1)满足的条件:函数y=f(x)在区间(a,b)上连续不断且f(a)·f(b)<0.
1
则当 x∈(-∞,0)时,x >0, <0,
2
1
所以- >0,所以
2 1
2 1
f(x)=x - >0 恒成立.
所以 x - =0 在(-∞,0)内无实数解.
(导学号
典例导学
即时检测
一
二
1.准确理解“二分法”的含义:
二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐
步逼近零点,直至找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确
零点,都能用二分法求函数零点,故选A.
典例导学
即时检测
一
二
1.下列图象表示的函数中,能用二分法求零点的是(
).
答案:C
解析:由题图知,只有C中有变号零点,能用二分法求零点.
用二分法求方程的近似解
用二分法求方程的近似解引言在解决一些数学问题中，经常需要求解一个方程的近似解。
其中一种常用的方法是二分法。
二分法是一种逐步逼近的算法，通过不断将搜索区间缩小来寻找方程的解。
本文将介绍二分法的基本原理，并结合一个具体的例子来演示如何使用二分法求解方程的近似解。
二分法的基本原理二分法基于一个重要的性质，即如果一个函数在某个区间上是单调递增或单调递减的，则在该区间上存在一个唯一解。
基于这个性质，二分法的基本原理可以总结为以下几步：1.确定一个初始搜索区间，该区间需要包含方程解的范围。
2.每次将搜索区间划分为两个子区间。
3.判断解是否在左子区间还是右子区间中。
4.不断重复步骤2和步骤3，直到搜索区间足够小，或者找到了近似解。
实例演示假设我们要求解方程 f(x) = 0 的近似解，其中函数 f(x) 是一个连续的单调递增函数。
下面我们使用二分法来求解方程x^2 - 4 = 0的近似解。
首先，我们需要定义初始搜索区间。
根据方程x^2 - 4 = 0的特点，我们可以发现，方程的解位于区间 [-3, 3] 内，因为 (-2)^2 = 4 和 (2)^2 = 4。
因此，我们将初始搜索区间定义为 [-3, 3]。
接下来，我们每次将搜索区间划分为两个子区间，并判断解位于哪个子区间中。
假设我们定义每个子区间的长度不超过 0.01。
然后，我们可以按照以下步骤进行迭代：1.将搜索区间 [-3, 3] 划分为两个子区间：[-3, 0] 和 [0, 3]。
2.计算子区间的中点，分别为 -1.5 和 1.5。
3.判断解是否位于左子区间 [-3, -1.5] 中。
由于方程是单调递增的，我们可以判断解不在该子区间中。
4.判断解是否位于右子区间 [-1.5, 0] 中。
由于方程是单调递增的，我们可以判断解位于该子区间中。
5.更新搜索区间为 [0, 1.5]。
6.重复步骤1到步骤5，直到搜索区间足够小。
通过不断缩小搜索区间的长度，最终我们可以得到一个足够接近方程解的近似解。
高中数学必修一《用二分法求方程的近似解》教案
3.1.2用二分法求方程的近似解【学习目标】A 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；B通过用二分法求方程的近似解，体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.C体会二分法的思想，掌握二分法求解方程根的步骤一、预习(自主预习课本P89—91)探究：二分法的思想及步骤问题：有12枚硬币中一枚质量稍轻的假币，用天平最少需几次称量才能将假币区分出来要求次数越少越好,解法：第一次，两端各放枚硬币，高的那一端一定有假币；第二次，两端各放枚硬币，高的那一端一定有假币；第三次，两端各放枚硬币，如果平衡，剩下的就是假币，否则，高的就是假币.思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求=+-的零点所在区间？如何找出这个零点？ln26y x x小组归纳：给定精度ε，用二分法求函数()f x 的零点近似值的步骤如何呢二、 例题例1 借助计算器或计算机，利用二分法求方程237x x +=的近似解.变式训练：求函数3()22f x x x x =+--的一个正数零点（精确到0.1） 零点所在区间中点函数值符号区间长度四、课后练习与提高1. 若函数()f x 在区间[],a b 上为减函数，则()f x 在[],a b 上（ ）.三、当堂练习求方程0.90.10x x -=的实数解个数及其大致所在区间.A. 至少有一个零点B. 只有一个零点C. 没有零点D. 至多有一个零点2.根据下表中的数据,可以断定方程02=--x e x 的一个根所在的区间为________x-1 0 1 2 3 x e0.37 1 2.72 7.39 20.0 2+x123453下列函数图象与x 轴有公共点,当不宜用二分法求交点横坐标的是______A B C D 4. 函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为（ ）. A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6)5. 用二分法求方程3250x x --=在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得(2)1f =-，(3)16f =，(2.5) 5.625f =，那么下一个有根区间为 .y0 xyxyxy6. 函数()lg27=+-的零点个数为，大致所在区间f x x x为.7. 借助于计算机或计算器，用二分法求函数3=-的零点（精确到0.01）.f x x()2五、自我小结（本节课的知识网络图，数学方法）。
二分法求方程近似解的过程
二分法求方程近似解的过程
二分法是一种常用的求方程近似解的有效方法，它的基本思想是
用区间法，轮流缩短解所在的区间。
这种方法的优点是速度快，准确
性高。
二分法求方程近似解的步骤如下：
首先，确定方程，并确定原函数f(x)在一段闭区间内有且仅有一个零点。
其次，取这段区间的中点作为解的猜测值（称为根）；再次，计算函数f(x)的值f(x0)，用f(x0)的值判断f(x)的根位于哪一段区间，然后以此确定新的区间范围；最后，重复上述步骤，即以新区间
为依据取中点作为猜测值，计算函数值，最终使根收敛于函数零点。
此时，舍入值可以视为对方程的近似解。
二分法求方程近似解既快又准确，因此被广泛应用于解决复杂的
数学问题。
但是，要使用二分法求方程近似解，想要取得最佳解，必
须认真地确定函数的定义域、确定函数的取值范围，同时要考虑舍入
误差的影响等内容。
只有全面综合考虑，才能使二分法求方程近似解
效果最佳。
新教材高中数学第五章函数应用1方程解的存在性及方程的近似解第2课时利用二分法求方程的近似解课后习题北
1.2 利用二分法求方程的近似解A级必备知识基础练1.已知函数f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)上的近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解落在区间()A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定2.(多选题)下列函数中,能用二分法求函数零点的有()A.f(x)=3x-1B.f(x)=x2-4x+4C.f(x)=log4xD.f(x)=e x-23.若函数f(x)=x2-4x+m存在零点,且不能用二分法求该函数的零点,则m的取值范围是()A.(4,+∞)B.(-∞,4)C.{4}D.[4,+∞)4.[x]表示不超过x的最大整数,例如[3.5]=3,[-0.5]=-1.已知x0是方程ln x+3x-15=0的根,则[x0]=()A.2B.3C.4D.55.(多选题)已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为0,a2,0,a4,0,a8,则下列说法正确的有()A.函数f(x)在区间0,a16内可能有零点B.函数f(x)在区间a16,a8内可能有零点C.函数f(x)在a16,a内无零点D.函数f(x)的零点可能是a166.(多选题)某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得部分函数值,如表所示:f(2)≈-1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈-0.084f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度0.1)可取为()A.2.52B.2.56C.2.66D.2.757.根据表格中的数据,可以判定方程e x-x-2=0的一个实数根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为.8.如图,一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A,B),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处的焊口脱落,则至多需要检测次.9.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 25)≈-0.029 f(1.550 0)≈-0.060根据上述数据,可得f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值(精确度0.01)为.10.用二分法求函数y=x3-3的一个正零点(精确度0.1).B级关键能力提升练11.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同在(0,4),(0,2),1,32,54,32内,则与f(0)符号不同的是()A.f(4)B.f(2)C.f(1)D.f3212.(2022安徽宿州高一期末)已知函数f(x)=2x-3x在区间(1,2)上有一个零点x0,如果用二分法求x0的近似值(精确度为0.01),则应将区间(1,2)至少等分的次数为()A.5B.6C.7D.813.已知f(x)=1x-ln x在区间(n,n+1)(n∈Z)上有一个零点x0,则n= ,若用二分法求x0的近似值(精确度0.1),则至少需将区间等分次.14.求方程3x+xx+1=0的近似解(精确度0.1).15.已知方程2x+2x=5.(1)判断该方程解的个数以及所在区间;(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1).参考数值:16.某公司生产A种型号的电脑,2018年平均每台电脑的生产成本为5 000元,并按纯利润为20%定出厂价.2019年开始,公司更新设备,加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成本逐年降低,2022年平均每台A种型号的电脑出厂价仅是2018年的80%,实现了纯利润50%.(1)求2022年每台A种型号电脑的生产成本;(2)以2018年的生产成本为基数,用二分法求2018~2022年间平均每年生产成本降低的百分率(精确度0.01).C级学科素养创新练x3-x2+1.17.已知函数f(x)=13(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;(2)请使用二分法,取区间的中点二次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的实数解x0在哪个较小的区间内.1.2 利用二分法求方程的近似解1.B ∵f (1)<0,f (1.5)>0,f (1.25)<0,∴f (1.25)·f (1.5)<0,因此方程的解落在区间(1.25,1.5)内,故选B .2.ACD f (x )=x 2-4x+4=(x-2)2,f (2)=0,当x<2时,f (x )>0,当x>2时,f (x )>0,在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中在函数的零点两侧函数值异号.故选ACD . 3.C 易知方程x 2-4x+m=0有实数根,且Δ=16-4m=0,知m=4. 4.C 令f (x )=ln x+3x-15, 当x=4时,f (4)=ln4+3×4-15<0, 当x=5时,f (5)=ln5+3×5-15>0,所以f (4)·f (5)<0,所以f (x )在(4,5)上有零点,即方程ln x+3x-15=0有根. 所以[x 0]=4, 故选C .5.ABD 根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在0,a16或a16,a8中,或f a 16=0,故选ABD .6.AB 由表格函数值在0的左右两侧,最接近的值,即f (2.5)≈-0.084,f (2.5625)≈0.066可知方程ln x+2x-6=0的近似根在(2.5,2.5625)内,因此选项A 中2.52符合,选项B 中2.56也符合,故选AB .7.1 记f (x )=e x-x-2,则该函数的零点就是方程e x-x-2=0的实数根.由题表可知f (-1)=0.37-1<0,f (0)=1-2<0,f (1)=2.72-3<0,f (2)=7.39-4>0,f (3)=20.09-5>0.由零点存在性定理可得f (1)·f (2)<0,故函数的零点所在的区间为(1,2).所以k=1.8.6 第1次取中点把焊点数减半为642=32,第2次取中点把焊点数减半为322=16,第3次取中点把焊点数减半为162=8,第4次取中点把焊点数减半为82=4,第5次取中点把焊点数减半为42=2,第6次取中点把焊点数减半为22=1,所以至多需要检测的次数是6.9.1.562 5(答案不唯一) 由参考数据知,f (1.5625)≈0.003>0,f (1.55625)≈-0.029<0,即f (1.5625)·f (1.55625)<0,且1.5625-1.55625=0.00625<0.01,∴f (x )=3x-x-4的一个零点的近似值可取为1.5625. 10.解∵f (1)=1-3=-2<0,f (2)=23-3=5>0,因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,见下表:从表中可知|1.5-1.4375|=0.0625<0.1, ∴函数y=x 3-3精确度为0.1的零点,可取1.44. 11.ABD 由二分法的步骤可知①零点在(0,4)内,则有f (0)·f (4)<0,不妨设f (0)>0,f (4)<0,取中点2; ②零点在(0,2)内,则有f (0)·f (2)<0,则f (0)>0,f (2)<0,取中点1; ③零点在(1,2)内,则有f (1)·f (2)<0,则f (1)>0,f (2)<0,取中点32; ④零点在1,32内,则有f (1)·f 32<0,则f (1)>0,f 32<0,则取中点54;⑤零点在54,32内,则有f54·f32<0,则f54>0,f 32<0,所以与f (0)符号不同的是f (4),f (2),f 32,故选ABD .12.C 由于每等分一次,零点所在区间的长度变为原来的12,则等分n 次后的区间长度变为原来的12n , 则由题可得12n <0.01,即n>log 2100, 又6<log 2100<7,则至少等分的次数为7. 故选C .13.1 4 因为f (x )=1x-ln x 在(0,+∞)上单调递减,在区间(n ,n+1)(n ∈Z )上有一个零点x 0,所以零点只能有一个,又f (2)=12-ln2<0,f (1)=1-0=1>0,所以f (2)·f (1)<0,所以x 0∈(1,2),所以n=1,由题意12n<0.1,所以2n >10,所以n>3,至少等分4次.14.解原方程可化为3x-1x+1+1=0,即3x=1x+1-1.令g (x )=3x,h (x )=1x+1-1,在同一平面直角坐标系中,分别画出函数g (x )=3x与h (x )=1x+1-1的简图.g (x )与h (x )图象的交点的横坐标位于区间(-1,0),且只有一个交点,∴原方程只有一个解x=x 0. 令f (x )=3x+xx+1=3x-1x+1+1, ∵f (0)=1-1+1=1>0,f (-0.5)=√3-2+1=√3√3<0,∴x 0∈(-0.5,0).用二分法逐次计算,列表如下:∵|-0.4375-(-0.375)|=0.0625<0.1, ∴原方程的近似解可取为-0.4375. 15.解(1)令f (x )=2x+2x-5.因为函数f (x )=2x+2x-5在R 上是增函数,所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.因为f(1)=21+2×1-5=-1<0,f(2)=22+2×2-5=3>0,所以函数f(x)=2x+2x-5的零点在(1,2)内.(2)用二分法逐次计算,列表如下:因为|1.375-1.25|=0.125>0.1,且|1.3125-1.25|=0.0625<0.1,所以函数的零点近似值可取1.3125, 即方程2x+2x=5的近似解为1.3125.16.解(1)设2022年每台A种型号电脑的生产成本为p元,根据题意,得(1+50%)p=5000×(1+20%)×80%,解得p=3200.故2022年每台A种型号电脑的生产成本为3200元.(2)设2018~2022年间平均每年生产成本降低的百分率为x(0<x<1),根据题意,得5000(1-x)4=3200.令f(x)=5000(1-x)4-3200,求出x与f(x)的对应值(精确到个位)如下表:所以原方程的近似解可取0.1025.故平均每年生产成本降低的百分率约为10.25%. 17.(1)证明∵f (0)=1>0,f (2)=-13<0,∴f (0)·f (2)=-13<0,函数f (x )=13x 3-x 2+1是连续函数,由函数的零点存在定理可得方程f (x )=0在区间(0,2)内有实数解.(2)解取x 1=12(0+2)=1,得f (1)=13>0,由此可得f (1)·f (2)<0,下一个有解区间为(1,2),取x 2=12(1+2)=32,得f32=-18<0,由f (1)·f32<0,则下一个有解区间为1,32.综上所述,实数解x 0在较小区间1,32内.。
二分法求方程的近似根
取
根x0
[
19 8
,
5 2
]
取x0
39 16
问题引入
1、若相距2公里AB两地的光缆线共有14个故障排 查点，某天该光缆线路发生故障，如何快速检修？
A• • • • • • • • • • • • • • B MN
2.如何确定方程x 2 2x 1 0的近似正根(精确到0.1)
y f (x) x2 2x 1
f (19) f ( 5) 0 82
取
根x0
[
19 8
,
5 2
]
取x0
39 16
重点评析:
定义1、区间的中点
一般地, 将a b 称为区间(a, b)的中点 2
定义2、二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数 y=f(x),通过不断地把函数f(x)零点所在的区间一 分为二,使区间的两个端点渐渐逼近零点,从而得 到零点近似值的方法叫做二分法
例2 求方程log3x+x=3的实根个数及其大致所 在区间.
详细阅读课本P90例2和P93---94内容
课后作业: 完成《桂冠设计》P59—P65内容
详细阅读课本P90例2和P93---94内容
课后作业: 完成《桂冠设计》P59—P65内容
知识影响格局，格局决定命运！
知识影响格局，格局决定命运！ 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
重点评析:
定义1、区间的中点
一般地, 将a b 称为区间(a, b)的中点 2
定义2、二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数 y=f(x),通过不断地把函数f(x)零点所在的区间一 分为二,使区间的两个端点渐渐逼近零点,从而得 到零点近似值的方法叫做二分法
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3.1.2 用二分法求方程的近似解 例2 借助计算器或计算机用二分法求 方程2x+3x=7 的近似解(精确到0.1).
解:令f(x)= 2x+3x-7,则把问题转化为求 函数的零点,用二分法
例2 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解(精确到0.1).
方法一： 用计数器或计算机作出x,f(x)的对应值表 方法二： 用几何画板作出函数y=f(x)的图象 用《几何画板》软件，演示 方法三： 画出y=lnx及y=-2x+6的图象
新课——把例1改写：
例1(补) 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点
(即求方程lnx+2x-6=0的实数根,精确到0.01)
3.1.2 用二分法求方程的近似解
二分法
对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所 在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步 逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做 二分法（bisection）
2.562 5
2.531 25 2.546 875 2.539 062 5
0.066
-0.009 0.029 0.01
0.125
0.0625 0.03125 0.015625
（2.531 25，2.539 062 5）
2.535 156 25
0.001
0.007813
那么我们一起来总结一下二分法的解题步骤
区间（a，b） 中点值m
f（m）的近 似值
精确度|a-b|
（2，3） （2.5，3） （2.5，2.75）
2.5 2.75 2.625
-0.084 0.512 0.215
1 0.5 0.25
（2.5，2.625）
（2.5，2.562 5） （2.531 25，2.562 5） （2.531 25，2.546 875）
给定精确度
，用二分法求函数f(x)零点近(a) f (b) 0 ,给定精确度 ⑵求区间(a,b)的中点
；
x1 ；
⑶计算f( x1 ）； ①若f( x1)=0，则 x1 就是函数的零点； ②若 f (a) f ( x1 ) 0 ，则令b= x ( 此时零点 x0 (a, x1 ) )； 1
用《EXCLE》软件，演示
例2 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解(精确到0.1).
方法二：用几何画板作出函数y=f(x)的图象
例2 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解(精确到0.1).
方法三： 画出y=lnx及y=-2x+6的图象
例3:怎样计算函数 f ( x ) lnx 2x 6 在区间 （2，3）内精确到0.01的零点近似值？
③若 f ( x1 ) f (b) 0 ，则令a= x1 (此时零点 x0 ( x1 , b))；
⑷判断是否达到精确度 ：即若|a-b|< 为a(或b);否则重复⑵~⑷
,则得到零点近似值
思考:若给定精确度ε，如何选取近似值？
当|m—n|<ε 时，区间[m，n]内的任意 一个值都是函数零点的近似值. 思考：对下列图象中的函数，能否用二 分法求函数零点的近似值？为什么？
y y o x o x
小结
这节课你学到了什么吗？ 有什么收获吗？ ——二分法求方程的根
复习内容2：
2、零点存在判定法则
如果函数y=f ( x)在区间[a, b]上的图象是 连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)<0, 那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点， 即存在c (a,b),使得f(c)=0,这个c也就是 方程f(x)=0的根.
复习内容3：
例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数
4.1.2 用二分法求方程的近似解
复习上节课内容：
4.1.1 方程的根与函数的零点 1、函数的零点的概念 2、零点存在判定法则 3、零点个数的求法
复习内容1：
1、函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点 （zero point）
结论: 方程f ( x) 0有实数根
函数y f ( x)的图象与x轴有交点 函数y f ( x)有零点