高等数学课后习题答案--第一章

《高等数学》习题参考资料
第一篇 一元函数微积分
第一章 极限与连续 §1 函 数 习题
1.确定下列初等函数的定义域：
(1)
f
(x)
=
x2
x +1 ； −x−2
(3) f (x) = arcsin x −1 ； 2
(2) f (x) = x2 − 4 ；
(4)
f
(x)
=
lg(5 − x2
x)
；
(5) f (x) = lg(5x − x2 ) − lg 4 ；
af 1 + bf (x) = cx , 联立解方程组 x
2
af af
(x) + bf 1 x
1 + bf (x) x
= =
c, x cx,
得到
f (x) =
a2
c − b2
a − bx , x
因此函数
f (x) 是奇函数.
11．求下列函数的反函数，并指出反函数的定义域：
（1） f (x) = 2sin 3x ;
（2）
f
(x)
=
ax ; ax +1
（3） f (x) = a x − a −x ; 2
（4） f (x) = 4 arcsin 1 − x2 , D( f ) = [0,1].
11. 【答案】 (1) y = 1 arcsin x , D : −2 ≤ x ≤ 2 ; (2)
(5) D := {x | x ∈[1,4]}
U (6)
D
:=
x
|
x
∈
+∞ k =−∞

2k
+
1 4
π
,

2k
+
5 4
π

.
2. 作出下列函数的图象： （1） f (x) = sin x− | sin x | ；
（3）
f(x)= 源自x1− x − 1,3
2
y
=
log
a
x 1−
x
,
D = (0,1) ;
(3)
y = loga (x +
x2 + 1) , D = (−∞,+∞) ; (4) y = cos2 x , D := [0,2π ] . 4
§2 数列的极限 习 题
1. 证明：数列1, 1 , 1 ,L, 1 ,L为无穷小量。
x x
；
（3） f (x) = a x + a −x + x sin x ；
（4） f (x) = lg(x + 1 + x2 ) 。
3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .
4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。 4． 【答案】 设 f (x) , h(x) 是奇函数, g(x) 是偶函数, f (x) = f (x)h(x) , G(x) = f (x)g(x) , 于是 F (−x) = f (−x)h(−x) = (− f (x))(−h(x)) = f (x)h(x) = F (x) , 因此 F (x) 是偶函数. G(−x) = f (−x)g(−x) = − f (x)g(x) = −G(x) , 因此 G(x) 是奇函数.
8． 【答案】 (1) 无界 ; (2) 无界; (3) 无界; (4) 无界
3
9．设 f (x) = x2 , g(x) = 2x , 求 f o g, g o f , f o f , g o g 。 9． 【答案】 f o g = 22x ; g o f = 2 x2 ; f o f = x 4 ; g o g = 22x
5．设函数 f 满足：D（f）关于原点对称，且
af (x) + bf ( 1 ) = c ，
xx 其中 a,b,c 都是常数，| a | ≠ | b | ,试证明 f 是奇函数。
5．【答案】在已知条件中, 令 t = 1/ x , 则得到 af 1 + bf (t) = ct , 即 t
6．下列函数中，哪些是周期函数？如果是周期函数，写出它们的最小正周期： （1） f (x) = x2 sin x ； （2） f (x) = sin 2x ； （3） f (x) =| cos 2x | ； （4） f (x) = 1 + sin(πx − 2) 。 6．【答案】 (1) 不是周期函数; (2) T = π ; (3) T = π ; (4) T = 2 .
2
7．设 f 是定义于（-a,a）上的偶函数，若它在（0，a）上单调减少，证明 f 在（a,0）上是单调增加的。 7． 【答案】. 若 0 > s > t , 则 0 < −s < −t , 于是 f (−s) > f (−t) , 即 f (s) > f (t) , 即 f (x) 在 (−a,0) 单调增加的.
10．下列函数分别是由哪几个较简单的函数复合而成： （1） f (x) = 3x − 5 ；
（2） f (x) = lg x ； （3） f (x) = sin(lg(x2 + 1)) . 10.【答案】 （1） f = u ， u = 3x − 5 ; (2) f = u u = lg v , v = x (3) f = sin u u = lg v , v = x2 + 1.
2
,
x + 1,

2 【答案】 (1)
| x |≤ 1, 1 < x < 2, − 2 < x < −1.
(2) f (x) = 2− | x −1 | ；
2(2)
1
2 (3)
3.判断下列函数的奇偶性：
（1） f (x) = 1 − x + 1 + x ；
（2）
f
(x)
=
10 x 10 x
−1 lg 1 − +1 1+
8．判断下列函数在给定区间上是否有界：
（1） f (x) = x + 2 , x ∈ (2,4); x−2
（2） f (x) = x2 sin x, x ∈ (0,+∞) ；
（3） f (x) = 1 sin 1 , x ∈ (0,1) ； xx
（4） f (x) = x + sin x, x ∈ (1,+∞) 。
(6) f (x) = sin x − cos x 。
1． 【答案】
(1) D := {x | x ∈ (−∞,−1) ∪ (−1,2) ∪ (2,+∞)}
(2) D := {x | x ∈ (−∞,−2] ∪ [2,+∞)}
(3) D :;= {x | x ∈[−1,3]}
(4) D := {x | x ∈ (−∞,0) ∪ (0,5)}