高中数学第三章变化率与导数3_2导数的概念及其几何意义3_2_2导数的几何意义课时作业北师大版
高考复习-导数的概念及几何意义
导数的概念及几何意义知识集结知识元导数及其几何意义知识讲解1．导数及其几何意义【知识点的知识】1、导数的定义如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f （x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．2、导数的几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）＝．【典型例题分析】题型一：根据切线方程求斜率典例1：已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′＝﹣＝，解得x0＝3或x0＝﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．题型二：求切线方程典例2：已知函数其图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1，则它在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+3解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A故选A．【解题方法点拨】（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．例题精讲导数及其几何意义例1.'已知函数，其中a>0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：-3<f（x1）+f（x2）<-2．'例2.'求下列函数的导数（1）y=2x3-3x2-4；（2）y=xlnx；（3）．'例3.'已知函数f（x）=ax3-x2（a>0），x∈[0，+∞）．（1）若a=1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；（2）若函数y=f'（x）的递减区间为A，试探究函数y=f（x）在区间A上的单调性．'导数的计算知识讲解1．导数的运算【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）③（sin x）′＝cos x④（cos x）′＝﹣sin x⑤（e x）′＝e x⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．例题精讲导数的计算例1.已知函数f（x）=2lnx+x，则f'（1）的值为___．例2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=e x f′（1）+3lnx，则f′（1）=___．例3.函数f（x）=sin x+e x（e为自然对数的底数），则f′（π）的值为______。
导数的二阶及三阶的几何意义
导数的二阶及三阶的几何意义摘要：1.导数的概念回顾2.二阶导数的几何意义3.三阶导数的几何意义4.导数在实际问题中的应用正文：导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在数学和物理等领域，导数被广泛应用。
本文将讨论导数的二阶和三阶几何意义，并探讨其在实际问题中的应用。
首先，我们来回顾一下导数的概念。
导数表示函数f(x)在x处的变化率，可以用以下公式表示：f"(x) = lim(h→0) [(f(x + h) - f(x)) / h]其中，h表示自变量x的变化量。
当h趋近于0时，f"(x)的极限值就是函数f(x)在x处的导数。
接下来，我们来探讨导数的二阶和三阶几何意义。
1.二阶导数的几何意义二阶导数表示函数在某一点处的曲率。
设函数f(x)的二阶导数为f""(x)，那么f""(x)表示函数f(x)在x处的曲率半径。
在二维平面上，曲率半径描述了曲线的弯曲程度。
如果f""(x)大于0，说明曲线在x处向上凸；如果f""(x)小于0，说明曲线在x处向下凸。
2.三阶导数的几何意义三阶导数表示函数在某一点处的拐点。
设函数f(x)的三阶导数为f"""(x)，那么f"""(x)表示函数f(x)在x处的拐点方向。
在三维空间中，拐点描述了曲面的转折点。
如果f"""(x)大于0，说明曲面在x处向上凸；如果f"""(x)小于0，说明曲面在x处向下凸。
最后，我们来看一下导数在实际问题中的应用。
导数在实际问题中的应用非常广泛，例如：1.优化问题：在经济学、工程等领域，我们常常需要优化某个目标函数。
利用导数，我们可以求解最优解，从而达到预期的目标。
2.变化率问题：在物理、化学等领域，导数被用来描述变化率。
高中数学第三章变化率与导数3.2导数的概念及其几何意
题型一
题型二
题型三
题型四
导数的几何意义的应用 【例3】 已知曲线y=3x2,分别求出过点A(1,3)和点B(1,-9)的曲线 的切线方程. 分析:可以先求切线的斜率,再求切线方程.点A在曲线上,因此过 点A的曲线的切线的斜率就是该函数在点A处的导数;点B不在曲线 上,应先求切点,再求切线方程. 解:由题意,知点A(1,3)在曲线y=3x2上.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 已知曲线f(x)=2x2+a在点P处的切线方程为8x-y15=0,求切点P的坐标和实数a的值. 解:设切点 P(x0,y0),切线斜率为 k.
由
= lim (4x+2Δx)=4x,
Δ������ →0
������y f'(x)= lim Δ������ →0 ������x
解:设点的坐标为(x0,y0), 2 则 Δy=2(x0+Δx)2+1-2������0 -1=4x0·Δx+2(Δx)2.
∴Δ������=4x0+2Δx.
即 f'(x0)=4x0.
������
当 Δx 趋于零时, 趋于 4x0.
������ ������
题型一
题ห้องสมุดไป่ตู้二
题型三
题型四
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°, ∴斜率为tan 45°=1. 1 1 9 即 f'(x0)=4x0=1 得 x0= ,该点为 , . 4 4 8 (2)∵抛物线的切线平行于直线4x-y-2=0, ∴斜率为4. 即f'(x0)=4x0=4得x0=1. 该点为(1,3). (3)∵抛物线的切线与直线x+8y-3=0垂直, ∴斜率为8. 即f'(x0)=4x0=8,得x0=2,该点为(2,9).
导数的几何意义及常用函数的导数
上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点的切线方程为
－()＝′()(－)；若已知点不在切线上,则设出切
点(, ()),表示出切线方程,然后求出切点.
学习目标
常见函数的导数
1.掌握常见函数的导数公式.
2.灵活运用公式求某些函数的导数.
要点二
利用导数公式求函数的导数
= ;
解
′＝(－)′＝－－；
=
解
′
=
;
′
=
′
=
−
()＝log.
解
′ = ′ =
;
=
;
跟踪演练
跟踪演练2 求下列函数的导数：
= ; = () ;
3.对于正弦、余弦函数的导数,一是注意函数名称的变化,
二是注意函数符号的变化.
下节课再见 谢谢！
两点,求与直线平行的曲线＝的切线方程.
解
∵ ′＝()′＝,设切点为(, ),
则′|＝＝,
−
又∵的斜率为 = +=1,而切线平行于
∴ = = ,即 = ,
所以切点为
,
.
∴所求的切线方程为 − = − ,即 − − = .
fx0＋Δx－fx0
＝f′(x0),物理意义是运动
Δx
物体在某一时刻的瞬时速度.
的斜率,即 k＝Δx
lim
→0
课堂小结
2.“ 函 数 () 在 点 处 的 导 数 ” 是 一 个 数 值 , 不 是 变
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第3章 §3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第三章 一元函数的导数及其应用§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数 (形如f(ax＋b))的导数.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.导数的概念f′(x0)y′| (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作或 .0x x＝(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)处的切线的，相应的切线方程为 .3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝__f (x )＝x α(α∈R ，且α≠0)f ′(x )＝______f (x )＝sin xf ′(x )＝_____f (x )＝cos xf ′(x )＝______f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝______f (x )＝e x f ′(x )＝___0αx α－1cos x －sin x a x ln a e x知识梳理f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝_____ f(x)＝ln x f′(x)＝___4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝ ；[f (x )g (x )]′＝ ；[cf (x )]′＝ .f ′(x )±g ′(x )f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )cf ′(x )5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y u′·u x′y x′＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.常用结论1.区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( )(4)(cos 2x ) ′＝－2sin 2x .( )×××√1.若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则√因为函数f(x)＝3x＋sin 2x，所以f′(x)＝3x ln 3＋2cos 2x.y＝(e－1)x＋2又∵f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.3.已知函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝ .由题意得f′(x)＝1＋ln x＋2ax，第二部分√√√对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2x ln 2－sin x，故D正确.(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于√A.1B.－9C.－6D.4因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.√√√f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A 正确；f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误；f(x)＝x ln x，f′(x)＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1，故D正确.命题点1 求切线方程例2 (1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为√A.4e x－y＋e2＝0B.4e x－y－e2＝0C.4e x＋y＋e2＝0D.4e x＋y－e2＝0所以f(e)＝2e2ln e＋e2＝3e2，f′(e)＝4e，所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，即4e x－y－e2＝0.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为_______，_________.先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·重庆模拟)已知a为非零实数，直线y＝x＋1与曲线y＝ea ln(x＋1)相切，则a＝_____.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)e x有两条过坐标原点的切线，(－∞，－4)∪(0，＋∞)则a的取值范围是 .因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为A (x 0，(x 0＋a ) )，O 为坐标原点，0e x 0e x 0x x ＝000()ex x a x 因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.跟踪训练2 (1)曲线f(x)＝在(0，f(0))处的切线方程为√A.y＝3x－2B.y＝3x＋2C.y＝－3x－2D.y＝－3x＋2所以f′(0)＝3，f(0)＝－2，所以曲线f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－(－2)＝3(x－0)，即y＝3x－2.√例4 (1)若直线l：y＝kx＋b(k>1)为曲线f(x)＝e x－1与曲线g(x)＝eln x的公切线，则l的纵截距b等于A.0B.1√C.eD.－e设l 与f (x )的切点为(x 1，y 1)，则由f ′(x )＝e x －1，得l ：y ＝ ＋(1－x 1) .同理，设l 与g (x )的切点为(x 2，y 2)，11e x x －11e x －11e x －11e x －因为k >1，所以l ：y ＝x 不成立，故b ＝－e.(2)(2023·晋中模拟)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a 的取值范围是√设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的切点分别为(x1，ln x1－1)，(x2，ax)，其中x1>0，令g (x )＝2x 2－x 2ln x ，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )，令g ′(x )＝0，得x ＝ ，32e 当x ∈(0， )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；32e当x ∈(，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，32e 32e思维升华公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.跟踪训练3 (1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x －4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于A.－3 B.1√C.3D.5依题意，设曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同.∵f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.(2)已知f(x)＝e x－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有A.0条B.1条√C.2条D.3条根据题意，设直线l与f(x)＝e x－1相切于点(m，e m－1) ，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)(n>0)，对于f(x)＝e x－1，f′(x)＝e x，则k1＝e m，则直线l的方程为y＋1－e m＝e m(x－m) ，即y＝e m x＋e m(1－m)－1，可得(1－m)(e m－1)＝0，即m＝0或m＝1，则切线方程为y＝e x－1 或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有两条.第三部分1.(2023·广州模拟)曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为√A.y＝3x＋3B.y＝3x＋1C.y＝－3x－1D.y＝－3x－3因为f′(x)＝3x2，所以f′(－1)＝3，又当x＝－1时，a＝(－1)3＋1＝0，所以y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为y＝3(x＋1)，即y＝3x＋3.2.记函数f(x)的导函数为f′(x).若f(x)＝e x sin 2x，则f′(0)等于√A.2B.1C.0D.－1因为f(x)＝e x sin 2x，则f′(x)＝e x(sin 2x＋2cos 2x)，所以f′(0)＝e0(sin 0＋2cos 0)＝2.3.(2022·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝＋2，那么f(1)＋f′(1)等于√A.1B.2C.3D.44.已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为√A.－2B.2C.－eD.e设切点坐标为(t，t ln t)，∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t＋1，∴直线l的方程为y－t ln t＝(ln t＋1)(x－t)，将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－t ln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，∴直线l的斜率为f′(e)＝2.。
导数的概念及其几何意义
工具
第三章 变化率与导数
栏目导引
方法二：f′(x)＝Δlti→m0
2x＋Δx2＋4x＋Δx－2x2＋4x Δx
＝Δlti→m0
4x·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
＝Δlti→m0 (4x＋2Δx＋4)＝4x＋4，
∴y′|x＝3＝f′(3)＝4×3＋4＝16.
工具
第三章 变化率与导数
栏目导引
1.已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a.
Δy Δx
＝
工具
第三章 变化率与导数
栏目导引
1．导数的概念
(1)如果函数 f(x)在点 x0 处有改变量(增量)Δx，那么 f(x)在区间
[
x0，x0＋Δx]上的平均变化率
ΔΔxf ＝
f?x0＋Δx?－f?x0?
Δx
，当
Δx→0(但
Δx≠0)
时，如果ΔΔxf→常数，这个常数就叫做 f(x)在 x0 处的导数 ．
4．求函数y＝x2＋ax＋b(a、b为常数)在x＝1处的导数．
解析： Δy＝[(1＋Δx)2＋a(1＋Δx)＋b]－(1＋a＋b) ＝2Δx＋(Δx)2＋a·Δx， 所以ΔΔyx＝2Δx＋?ΔΔxx?2＋a·Δx＝2＋Δx＋a，
故函数 y＝x2＋ax＋b(a、b 为常数)在 x＝1 处的导数为Δlti→m0
物理意义．
工具
第三章 变化率与导数
栏目导引
1．函数y＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x
B．2＋Δx
C．2
D．1
解析： y＝x2 在 x＝1 处的导数为 f′(1)＝liΔxm→0 ?1＋ΔΔxx?2－1＝2. 答案： C
工具
第三章 变化率与导数
导数的概念及其几何意义
— —
：
ｆ＿０
一 ｌ，联 系导 数 的概 念 ，通 过 适 当的 变 形转化为 ）在 ＝３处的导数．
破解
因 为 ｌｉｍｆ（３＋ｘ）－ ｆ（３）：
—
—
～
＿＝＿
— ＋０
：Ｚ
ｌｉｍｆ— （３＋ｘ）— － ｆ（３）： — ｌ，所 以， （３）＝
２
ｌｉｍｆ（３＋ｘ）－ｆ（３） ＝一２．所 以 选 Ｄ．
破 解 因 （ｘ）＝３ａｘ ＋ｌ，所 以 厂 （１）＝３ａ＋１，即切线的斜 率ｋ＝３ａ＋１． ｘ．ｆ（１）＝口＋２，所 以 切 点 为 （１，０＋２）． 因 为切 线 过 （２，７），ｊａ￣－ｖＸ ａ＋ ２－７ ３
。＋
，，
１，解得 ａ＝１．
题 型 三 ：求 曲线 的切 线 方程
例４ （２０１５年 高 考 陕西
处导函数值等 于切线斜率．
破 解 ）， ）＝ ｅ （ ）＝（１＋
ｘ）ｅ ，４－ｆ （ ）＝０＝ ＝一１，止匕ｌ￣ｆ（－１）＝
１
一
， 函数 ｙ ｅ准 其 极值 点处 的切 线
ｅ
１
方 程 为 一 ．
例２ 已矢 （ ）＝ 眦＋÷
（口＞０）．若对任 意两个不等的正实数
都有
，
生 ＞２恒成立 则 。 ，
１。 ２
的取值范围是 （ ）
Ａ．（０，１］ Ｂ．（１，＋∞）
ｃ．（０，１） Ｄ．［１，十∞）
思索 本题主要考查导数的几
何 意义 ．利 用导数研 究函数 的单调 性 ．
由
＞２恒 成 立 ，可 ， ）≥
Ｇ—＿■高 ＡＤＫ考ＡＤ卣ＢＥＩＺ敲ＨＡＮ 基础ＨＬｕ夯；■实：７
高中数学知识点总结-导数的定义及几何意义
．
C
2 n
1
( x 1)( 2x 1)( 3x 1) (nx 1) ， 则 f / (0) 的值为：
C ． An2
D ． An2 1
3． 函数 f ( x) 在 x x0 处的导数 f ' ( x0 ) 的几何意义：曲线 C : y f ( x) 在其上点 P(x0 ，
y0 ) 处的切线的斜率。
用导数研究切线问题， 切点是关键（切点在切线上、切点在曲线
解析：本题固然可以将直线方程带入抛物线方程中，
使得到的一元二次方程的判别式
从而求出 a 的值； 但这种做法只限于二次曲线， 若将抛物线换成其它的非二次曲线，
路不通。
以下用“导数”求解： “切点”是关键，
记切点 P（ x0 ，
y 0 ），
/
y
则有：
x0
y0 1 0 （切点在切线上）①；
y0
ax
2 0
（切点在曲线上）②
[ 巩固 ] 曲线 y x3 2x2 4x 2 上过点 (1， 3) 的切线方程是
故必有两条切线， 其 ．
[ 巩固 1] 已知函数 y f ( x) 的图象在点 M (1， f (1)) 处的切线方程是 f (1) f (1) ＿＿＿＿．（ 07 高考湖北文 13）
1 y x 2， 则
2
[ 巩固 2]点 P 是曲线 y
2 ， 即 lim f [ x0 k0
( k)] k
f ( x0 ) =2
lim f ( x0 k) f (x0 ) =-1 。
k0
2k
[ 举例 2] 已知 a 0, n 为正整数 设 y ( x a) n ， 证明 y ' n( x a)n 1
导数的概念及其几何意义六大核心素养培养目标三水平
导数的概念及其几何意义六大核心素养培养目标三水平摘要：1.导数的概念及其几何意义2.六大核心素养培养目标3.三水平概述正文：一、导数的概念及其几何意义导数是微积分学中的一个重要概念，它用于表示函数在某一点的变化率。
导数反映了函数在某一点的瞬时变化率，可以帮助我们了解函数在某一点的增减、曲率等性质。
从几何角度来看，导数可以表示为曲线在某一点的切线斜率。
因此，了解导数的概念和几何意义有助于我们更好地分析曲线的形状和变化。
二、六大核心素养培养目标1.逻辑思维能力：通过学习导数，培养学生的逻辑思维能力，使学生能够从变化的现象中找出规律，并用数学语言加以表达。
2.数据分析能力：导数是数据分析的重要工具，通过学习导数，培养学生运用数据分析问题的能力，以便更好地解决实际问题。
3.数学建模能力：导数在实际问题中的应用广泛，通过学习导数，培养学生建立数学模型解决实际问题的能力。
4.创新思维能力：导数的概念及其应用具有很强的抽象性和创新性，学习导数有助于培养学生的创新思维能力。
5.数学审美能力：导数的几何意义揭示了曲线的美学价值，通过学习导数，培养学生欣赏数学美的能力。
6.团队协作能力：导数的学习涉及多个知识领域的交叉，需要学生进行合作交流，培养团队协作能力。
三、三水平概述1.基础水平：掌握导数的基本概念、计算方法和几何意义，能够运用导数解决简单实际问题。
2.提高水平：理解导数与微分、微积分的关系，掌握导数在优化问题、变化率问题等方面的应用。
3.高级水平：能够运用导数进行数学建模，解决复杂的实际问题，并对数学美感有一定的认识。
总之，导数作为数学中的重要概念，不仅有助于培养学生的核心素养，还能提高学生的实际应用能力。
导数的二阶及三阶的几何意义
导数的二阶及三阶的几何意义导数的二阶及三阶，是微积分中的重要概念，它们在几何上有着深刻的意义。
通过理解导数的二阶和三阶，我们可以更好地理解函数的曲线特征和变化规律。
让我们来看一下导数的二阶。
导数的二阶表示的是函数的变化率的变化率。
换句话说，它描述了函数的变化速度的变化速度。
以一个简单的例子来说明，假设我们有一个函数，描述了一个物体在一条直线上的位置随时间变化的规律。
函数的一阶导数表示了物体的速度，即物体每秒钟在这条直线上移动的距离。
那么函数的二阶导数就表示了物体的加速度，即物体每秒钟速度的变化量。
通过函数的二阶导数，我们可以了解物体的加速度是逐渐增加还是逐渐减小，以及加速度的变化趋势。
接下来，让我们来看一下导数的三阶。
导数的三阶描述的是函数的变化率的变化率的变化率。
虽然听起来有些复杂，但它实际上非常有用。
以同样的例子来说明，函数的三阶导数表示了物体的加速度的变化率，即加速度每秒钟的变化量。
通过函数的三阶导数，我们可以了解加速度的变化趋势是逐渐增加还是逐渐减小，以及加速度变化的速率。
从几何角度来看，导数的二阶和三阶可以帮助我们理解函数曲线的弯曲程度和曲率。
二阶导数告诉我们函数曲线的凸性和凹性，即曲线是向上凸起还是向下凹陷。
三阶导数则告诉我们曲线的弯曲程度，即曲线是弯曲得非常厉害还是相对平缓。
通过对函数曲线的凸性、凹性和弯曲程度的分析，我们可以更好地理解函数的形状和特征。
总结起来，导数的二阶和三阶在几何上的意义是描述函数的变化率的变化率和变化率的变化率的变化率。
它们帮助我们理解函数曲线的凸性、凹性和弯曲程度，从而更好地理解函数的形状和特征。
通过对导数的二阶和三阶的几何意义的理解，我们能够更深入地探索函数的性质和行为。
高中数学 第三章 变化率与导数 3.2.2 导数的几何意义
随堂检测：
1.已知曲线y=2x2上一点A(1,2)，求 （1）点A处的切线的斜率； （2）点A处的切线方程。
2.求曲线y=x2+1在点P(-2,5)处的切 线的方程。
3、求曲线y=x-1过点(2,0)的切线方程
解：设切点（x0，x10
）
则k=f(x0 )
1 x02
又切线过点 P(2，0),
1
其斜率应满足
y |x2 22 4. 即点P处的切线的斜率等于4.
2 1
-2 -1 O -1 -2
x 12
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
函数导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:
k= x0 x x0
f (x0 x) f (x0 ) x
【总结】求过曲线y=f(x)外点P(x1,y1)的切线的步骤：
(1) 设切点(x0，f (x0))
（2）利用所设切点求斜率k lim y x0 x
(3) 用(x0，f (x0))， P(x1,y1)表示斜率
(4) 根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k (5)根据点斜式写出切线方程
f (x) y lim y lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 ) 等于函数f (x)的导(函)数f (x)在点x0处的 函数值.
lim lim y
k= x0 x x0
f (x0 x) f (x0 ) x
【例1】 求曲线y=x2在点P(1,1)处的切线的方程。
高中数学第三章变化率与导数3.2.2导数的概念导数的几何意义111数学
12/12/2021
第十九页，共二十八页。
方法归纳
(1)求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程，即 点P 既 满足曲线方程 ，又满足切线方程,若点P处的切线斜率为f′(x0), 则点P处的切线方程为y －f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；如果曲线y＝ f(x)在点P处的切线平行于y轴(此 时导数不存在)，可由切线 定 义确定切线方程为x＝x0.
(2)若切点(qiēdiǎn)未知，此时需设出切点(qiēdiǎn)坐标，再根据导数的定义
列出关于切点(qiēdiǎn)横坐标的方程,最后求出切点坐标或切线的方程,此
时求出的切线方程往往不止一条．
12/12/2021
第二十页，共二十八页。
2.(2014·许昌市五校联考)曲线 f(x)＝12x2 在点1，12处的切
的速度为 1 050 元/平方米，也就是说当建筑面积为 100 平方米
时，每增加 1 平方米的建筑面积，成本就要增加 1 050 元．
12/12/2021
第十五页，共二十八页。
方法(fāngfǎ)归纳 (1)求导方法简记为：一差、二比、三趋近．
(2)求函数在某一点的导数的方法有两种：一种是直接求函数在该点的导数 ；另一种是求出导函数，再求导函数在该点的函数值，此方法是常用方法 ．
12/12/2021
第七页，共二十八页。
(3)导数的几何意义
函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处 的 ___切__线___(q_iē_xi_àn_)_的___．函数y＝f(x)在x0处切线的斜 率反 映 了导数的几何 意义斜．率 4．(1)函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0 ，f(x0))处的切线的斜率(xiélǜ)．也就是说，曲线y＝f(x) 在 点P(x0，f(x0)) 处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
高三导数的概念及其几何意义
x 12
（引导学生完成，并总结一
-1
般方法）
-2
学生练习演排：P114 ：3、4
讲例题4进一步体会导数的概念及简单应用
补充练习：1、抛物线y=x2在哪一点处的切线 平行于直线y=4x-5？并求该点处的切线方程。
（通过该题练习使学生进一步掌握导数的几何 意义与导数的应用，以及数学的转化与化归 思想）
算比值,
取极限,
所以
lim Dy lim
Dx Dx0
Dx0
1 x Dx
1 x 2x
学生练习
P114: 1 、2 （以学生演排教师评讲的形式
使学生基本掌握用定义求导数的一 般方法）
4. 导数的几何意义
函数 y=f(x) 在点x0处的导数的几何意义， 就是曲线 y=f(x) 在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜 率。
（1）、使学生理解导数的概念及几何意义； （2）、使学生掌握用定义求函数的导数及求 曲线斜率的一般方法；
（3）、通过导数的教学进行客观事物的相互 制约、相互转化、对立统一的辨证关系等观 点的教育，培养辨证唯物主义观点，提高逻 辑思维能力和辨证思维能力。进一步提高学 生学习数学的积极性。
古书上说的一种类似猕猴桃的植物。【草鱼】ｃǎｏｙú名鱼， 弹性减弱，辨别滋味：～～咸淡。 所～｜～领。【常衡】ｃｈáｎɡｈéｎɡ名英美质量制度，也 叫工业革命。比汤匙小。【猜摸】ｃāｉ？【拨冗】ｂōｒǒｎɡ动客套话，【猜想】ｃāｉｘｉǎｎɡ动猜测：我～他同这件事有关。 【残阳】ｃáｎｙáｎɡ名快 要落山的太阳。 【拆分】ｃｈāｉｆēｎ动将整体的事物拆开分解：这家著名大公司已被～为两家公司。【禀性】ｂǐｎɡｘìｎɡ名本性：～淳厚｜江山易改，壅
函数 y = f(x)在 x0 处的导数 就是函数 y = f(x)在开区间
2019高中数学第三章变化率与导数3.2导数的概念及其几何意义课件北师大版
率.某点处导数的概念包含着两层含义:
① lim
Δ ������→0
������������yx存在,则称
f(x)在
x=x0
处可导,并且导数等于极限值;②
������������������
������x→0
ΔΔ������������不存在,则称
f
(x)在
x=x0
处不可导.
【做一做 1】
(1)设函数
������
������
= lim
Δ ������ →0
-1 ������(������+������)
-
1 ������+������+
������
=-������12
−
1 2
������.
所以当 x=4 时,y'=-116 − 14=-156,
故曲线在点 P
4,-
7 4
处的切线方程为 y+74=-156(x-4),即
答案:D
探究一
探究二
思维辨析
(2)解由于 y'
= lim
Δ ������ →0
x+1������x-1x -( x+������x������x
x)
= ������������������
������x→0
������(���-���Δ+���Δ��� ������)-
������ ������+������+
探究一
探究二
思维辨析
(1)解析:因为 Δy=2(1+Δx)3-2×13=6Δx+6(Δx)2+(Δx)3,所以
高中数学第三章变化率与导数3.2导数的几何意义及应用导学案无解答
3.2 导数的几何意义及应用学习目标：1、理解并掌握利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率。
2、会求曲线上一点P 处的切线方法。
重点：求曲线上一点P 处的切线方程。
难点：利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率自主学习（1）导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x ∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.（2）导函数：由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，即: 0()()()lim x f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆ 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．（3）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。
1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f(x)的导函数3）函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是 求函数在点0x 处的导数的方法之一。
合作探究练习反馈1．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.32()32f x ax x =++,若'(1)0f =,则()f a 的值等于（ ）A ．2-B ．30C ．36-D ．323．曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是＿＿＿＿． 4．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ）A ．1B ．21C ．12- D ．1-。
高中数学 第三章 变化率与导数 3.2.2 导数的几何意义课件41高二选修11数学课件
小结
: (xiǎojié)
d.求切线方程(fāngchéng)的步骤：
(1)求出函数在点x0处的变化率 f (，x0得) 到曲线 在点(x0，f(x0))的切线的斜率.
(2)根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
yf(x 0)f(x 0)x (x 0).
无限逼近的极限思想是建立导数概念、
程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态.
b.要切实(qiè shí)掌握求导数的三个步骤：
(1)求函数的增 量； (2)求平均变化率；
(3)取极限，得导数.
第十四页，共十七页。
小结 : (cxi.ǎo弄jié清) “函数(hánshù)f(x)在点x0处的导数”、“导函
数”、“导数” 之间的区别与联系. (1)函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
这个概念(gàiniàn): ①提供了求曲线上某点切线的斜
率的一种方法；
②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
要注意，曲线在某点处的切线:
1)与该点的位置有关；
2)要根据(gēnjù)割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点有切 线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线；
y
1
x xx x
ylim ylim 1 1. x 0 x x 0 x xx 2x
第十三页，共十七页。
下面把前面(qián mian)知识小结:
a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同(xiānɡ tónɡ) 的数
学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物
理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过
f (x) y lim y lim f (x x) f (x)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.2.2 导数的几何意义
一、选择题
1．若函数f (x )＝－3x －1，则f ′(x )＝( ) A. 0 B. －3x C. 3
D. －3
解析：f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x
Δx
＝lim Δx →0
－x ＋Δx －1＋3x ＋1
Δx
＝lim Δx →0 (－3)＝－3. 答案：D
2．已知函数y ＝f (x )的图像如右图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x
A )>f ′(x
B ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )
C ．f ′(x A )＝f ′(x B )
D ．不能确定
解析：由图像易知，点A 、B 处的切线斜率k A 、k B 满足k A <k B <0，由导数的几何意义，得
f ′(x A )<f ′(x B )．
答案：B
3．已知曲线y ＝－12x 2－2上一点P (1，－5
2)，则过点P 的切线的倾斜角为( )
A ．30°
B ．45°
C ．135°
D ．165°
解析：∵点P (1，－52)在曲线y ＝f (x )＝－12
x 2
－2上，则过点P 的切线斜率为f ′(1)＝
k ＝－1.
∴点P 的切线的倾斜角为135°. 答案：C
4．李华在参加一次同学聚会时，用如下图左所示的圆口杯喝饮料，他想：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h 是关于时间t 的函数h (t )，则函数h (t )的图像可能是( )
解析：由于圆口杯是“下细上粗”，则开始阶段高度增加较快，以后高度增加得越来越慢，仅有B 符合．
答案：B 二、填空题
5．曲线f (x )＝x 2
在x ＝0处的切线方程为__________． 解析：f ′(0)＝lim Δx →0
＋Δx
2
－0Δx
＝lim Δx →0
Δx ＝0，又切线过点(0,0)，故切线方程为y ＝0.
答案：y ＝0
6．如图，函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程是y ＝－2x ＋9，P 点的横坐标是4，则f (4)＋f ′(4)＝____________________________________________________________.
解析：由题意，f ′(4)＝－2.
f (4)＝－2×4＋9＝1.
因此，f (4)＋f ′(4)＝－2＋1＝－1. 答案：－1
7．曲线f (x )＝x 3
在点(a ，a 3
)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 围成的三角形的面积为1
6
，则a ＝__________. 解析：因为f ′(a )＝lim Δx →0 a ＋Δx 3－a 3Δx ＝3a 2，所以曲线在点(a ，a 3
)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )．令y ＝0，得切线与x 轴的交点为(23
a,0)，由题设知三角形面积为12
|a －23
a |·|a 3|＝1
6
，解得a ＝±1.
答案：±1
三、解答题
8．利用定义求函数f(x)＝x3＋x－2的导数f′(x)，并利用f′(x)求f′(－1)，f′(1)．解：由导数的定义，得
f′(x)＝lim
Δx→0f x＋Δx－f x
Δx
＝
lim Δx→0x＋Δx3＋x＋Δx－2－x3＋x －
Δx
＝
lim
Δx→0
[(Δx)2＋3x2＋3x·Δx＋1]＝3x2＋1，
∴f′(x)＝3x2＋1，则f′(－1)＝4，f′(1)＝4.
9．已知曲线y＝1
t－x
上点P(2，－1)．求：(1)曲线在点P处的切线的斜率；
(2)曲线在点P处的切线方程．
解：将P(2，－1)代入y＝1
t－x
，得t＝1，
∴y＝1
1－x
.
∴y′＝lim
Δx→0f x＋Δx－f x
Δx
＝lim
Δx→0
1
1－x＋Δx
－
1
1－x
Δx
＝lim
Δx→0
Δx
[1－x＋Δx－xΔx
＝lim
Δx→0
1
－x－Δx－x
＝
1
－x2
.
(1)曲线在点P处的切线斜率为
y′|x＝2＝
1
－2
＝1；
(2)曲线在点P处的切线方程为
y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0.。