高考数学复习点拨：充分必要条件常见题型

x3 (a c), x4 ( c a) ，可以发现， x1 x3 ，所以方程有公共根。
必要性：设 x0 是方程的公共根，则
x
2 0
2ax0 b 2
0
x
2 0
2cx0 b 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
(1) (2)
由（ 1）＋（ 2）得 x0 (a c) 代入（ 1）并整理可得 a 2 b 2 c2 .
所以 A 900. ，所以结论成立。
（ 2）若 Q P ，则 p 为 q 的必要条件，其中当 Q P 时， p 为 q 的必要不充分条件。
（ 3）若 P Q ，且 Q P ，即 P＝Q，则 p 为 q 的充要条件。
（ 4）如果以上三种关系均不成立，即 P、 Q 之间没有包含或相等关系（ P Q 且 Q P）
此时 P Q
或 P、 Q 既有公共元素，也有非公共元素，则 p 既不是 q 的充分条件，
2
b
0 可化为
2
x
2
2ax a
2
c
0，
所以 x2 2ax (a c)(a c) 0 ，所以 [ x (a c)][ x (a c)] 0 ，
该方程有二根 x1 (a c), x2 (a c) ， 同样另一方程 x2 2cx b 2 0 也可化为 x2 2cx (a2 c 2 ) 0 ，即 [ x (a c)][ x (c a)] 0 ，也有二根
例 4、设 a， b， c 为▲ ABC的三边，求证：方程 x 2 2ax b 2 0 与 x2 2cx b 2 0
有公共根的充要条件是
A 900.
分析：区分条件与结论，证明充分性是由条件
结论，证明必要性是由结论
证明：充分性：因为
A 900. ，所以 a 2 b 2 c2 .
条件。
于是方程
2
x
2ax
也不是 q 的必要条件。 三、传递法判断型
若 A B, B C, C D ，则 A D ，即 A 是 D 的充分条件， 利用这一结论可研究
多个命题之间的充要关系。
例 3、已知 p ，q 都是 r 的必要条件， s 是 r 的充分条件， q 是 s 的充分条件，你们 s，r，
p 分别是 q 的什么条件？
点评：对于求充要条件问题，一般地要先求出必要条件后，再证明具有充分性。
A、充分不必要条件 C、充要条件
解：当 a＝ 1 且 x [1,
B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
) 时， f (x) | x 1 | ＝ x－ 1，显然函数 f（ x）＝ x－ 1 在区间
[1, ) 上为增函数，而当 a 1时，函数 f (x) | x a |＝ x－ a 在区间 [1, ) 为增函数，故
选 A.
点评：在判断充分条件、必要条件、充要条件时，首先应弄清哪一个是“条件”
，哪一
个是“结论” ，因为同样是 A B，如果 A 是条件， B 是结论，则 A 是 B 成立的充分条件；
如果 B 是条件， A 是结论，则 B 是 A 成立的必要条件，其次，再判断是条件蕴含结论，还是
结论蕴含条件， 即判断到底向哪一边推结论才成立， 明确了这两点， 就不难对问题作出正确
当 m＝ 0 时，方程②为 x2 5 0 ，无整数根；
当 m＝ 1 时，方程①为 x2 4 x 4 0 ，方程② x2 4 x 5 0 ，①和②均有整数根。
从而，①和②均有整数根
m＝1；
反之， m ＝ 1，方程①为 x2 4 x 4 0 ，方程②为 x 2 4 x 5 0 ，①和②均有整数根，
所以①和②均有整数根的充要条件是 m ＝ 1.
②
求方程①和②的根都是整数的充要条件
分析：根据方程①和②有实根且实根为整数，先求出整数
m，然后再确定它是否具有充
分性。
解：方程①有实数根的充要条件
16m2 4(4m2 4m 5) 0 ，解得 m
5 .
4
所以 5 m 1 ，而 m Z ，故 m＝－ 1 或 m＝ 0 或 m＝1 4
当 m＝－ 1 时，方程①为 x 2 4 x 4 0 ，无整数根；
解析：用箭头符号“
”画出表示题设条件的图形（如图） ，由图，知 s r q，
所以 s q，又 q s，所以 s q ，即 s 是 q 的充要条件。
由 r q，q s r，得 r q，即 r 是 q 的充要条件。
由 q s r p，得 q p，故 p 是 q 的必要条件。
四、条件证明型
关键是弄清条件与结论之间的关系，分两步证明，即证明充分性和必要性。
充分必要条件常见题型
山东 胡大波 一、直接判断型 直接判断型即利用充分必要条件的定义，其思路为： （ 1）首先分清条件是什么，结论是什么； （ 2）然后尝试用条件推结论，或用结论推条件； （举反例说明其不成立是常用的推理方 法） （ 3）最后再指出条件是结论的什么条件。
例 1、 “a＝ 1”是“函数 f ( x) | x a | 在区间 [1, ) 上为增函数”的（ ）
点评：对论证充要条件要分清“充分性”和“必要性”
，然后分别作出相应的证明。
五、条件探索型
探求充要条件的问题一般有两种处理方法，一是将题意等价转化，进而化简求得，二
是先由题意求出条件，再证明充分性。
例 5、已知关于 x 的一元二次方程（ m Z ），
mx2 4x 4 0
①
2
2
x 4mx 4m 4m 5 0
由
0
x
|x| 2
2或 x 2或 1 x 1，即 q { x | x
2或 x 2或 1 x 1} ，
显然 p q ，则 p 是 q 的充分不必要条件，故选 A.
点评：充要条件可以从集合的包含关系的角度来理解它们之间的对应关系，设满足条 件 p 的对象组成集合 p，满足条件 q 的对象组成集合 Q.
（ 1）若 P Q ，则 p 为 q 的充分条件，其中当 P Q 时， p 为 q 的充分不必要条件。
的判断。
二、集合判断型
例 2、设 p ： x 2 x 20 0 ， q： 1 x2 0 ，则 p 是 q 的（ ） |x| 2
A、充分不必要条件 C、充要条件
B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
解：由 x2 x 20 0 x 4 或 x 5 ，即 p { x | x 4或 x 5} ；
1 x2