离散ds2004a

离散数学2004级A卷试题答案
一、填空题（每小题2分，共20分）
1．┐p→q
2．┐(x
∀)(L(x)→G(x)) 或 (x∃)(L(x)∧﹁G(x))
3．mn
4．5
5．吸收律（答幂等律给1分）
6．f(x y)＝f(x)*f(y) 或f(xy)＝f(x)f(y)
7．1,3,7,9
8．6
9．n（或n-1）
10．3
二、判断题（每小题2分，共20分）
1．×2．√3．×4．√5．×
6．×7．×8．×9．√10．√
三、计算题（每小题5分，共15分）
1．F(a)∧F(b)∧F(c)∧(G(a)∨G(b)∨G(c))
2．(﹁P∧Q∧R)∨(﹁P∧Q∧﹁R)∨Array (﹁P∧﹁Q∧R)∨(﹁P∧﹁Q∧﹁R)∨
(P∧Q∧R)。

或者 m0∨m1∨m2∨m3∨m7
3．有3片树叶。

T的度数应为1、1、1、2、2、3。

同构的图见右图。

四、证明题（共45分）
1．本题10分
设F(x):x为无理数，G(x):x为有理数，H(x):x能表示成分数。

前提：┐∃x(F(x)∧H(x))，∀x(G(x)→H(x))
结论：∀x(G(x)→┐F(x))
证明：
①┐∃x(F(x)∧H(x)) 前提引入
②∀x(┐F(x)∨┐H(x)) ①置换
③∀x(H(x)→┐F(x)) ②置换
④ H(y)→┐F(y) ③UI规则
⑤∀x(G(x)→H(x)) 前提引入
⑥ G(y)→H(y) ⑤UI规则
⑦ G(x)→┐F(x) ⑥④假言三段论
⑧∀x(G(x)→┐F(x)) ⑦UG规则
2．本题10分
充分性。

任取<x,y>,<y,z>∈R，
根据自反性，有<x,x>∈R。

<x,y>∈R ⇒ <x,y>∈R∧<x,x>∈R ⇒ <y,x>∈R，对称性成立。

<x,y>∈R∧<y,z>∈R ⇒ <y,x>∈R∧<y,z>∈R ⇒ <x,z>∈R，传递性成立。

所以R是等价关系。

必要性。

任取<a,b>,<a,c>∈R，有
<a,b>∈R∧<a,c>∈R ⇒ <b,a>∈R∧<a,c>∈R ⇒ <b,c>∈R
3．本题10分
设e∈G，因为e*e＝e，所以e为幂等元。

任意a∈G，且a≠e，若a*a＝a，则有a*a＝a＝e*a，由群中的消去律，有a ＝e，矛盾。

4．本题10分
(1)先证h是满射。

任意<b,d>∈B×D，则b∈B，d∈D，因为f是A到B的双射，g是C到D的双射，所以存在a∈A，c∈C，使得f(a)＝b，g(c)＝d，亦即存在<a,c>∈A×C，使得h(<a,c>)＝<f(a),g(c)>＝<b,d>，因此h是满射。

(2)再证h是单射。

任意<a1,c1>，<a2,c2>∈A×C，若h(<a1,c1>)＝h(<a2,c2>)，则
<f(a1),g(c1)>＝<f(a2),g(c2)>
所以f(a1)＝f(a2)，g(c1)＝g(c2)。

因为f是A到B的双射，g是C到D的双射
所以a1＝a2，c1＝c2 ，即<a1,c1>＝<a2,c2>，因此h是单射。

综合(1)和(2)，可知h是双射。

5．本题5分
设c的阶为k，只需证明k|m且k|n。

ab＝cba，在等式两侧均右乘b n-1，并结合bc＝cb进行考虑，有
ab n＝cbab n-1＝(cb)(ab n-1)＝(cb)(abb n-2)＝(cb)(cbab n-2)＝(cb)2(ab n-2)
＝…＝(cb)n a＝c n b n a\
因为b n＝e，所以a＝(cb)n a＝c n a，即c n＝e。

类似可得c m＝e。

由元素阶的定义，k且满足c l＝e的最小正整数，所以k|n，k|m。

因此，k是m和n的公因子，故k|mn。