绵阳市高2015级二诊数学(文理)参考解答及评分标准

绵阳市高2015级第二次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．DDCAC CCBBA BD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．95 14．106.5 15．416．三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（Ⅰ）已知，∴tan B=2tan A，tan C=3tan A，在△ABC中，tan A=-tan(B+C)=，……3分解得tan2A=1，即tan A=-1，或tan A=1．……………………………………4分若tan A=-1，可得tan B=-2，则A，B均为钝角，不合题意．……………5分故tan A=1，得A=．…………………………………………………………6分（Ⅱ）由tan A=1，得tan B=2，tan C=3，即sin B=2cos B，sin C=3cos C，…………………………………………7分结合sin2B+cos2B=1，sin2C+cos2C=1，可得sin B=，sin C=，(负值已舍) ……………………………………9分在△ABC中，由，得b=，…………11分于是S△ABC=ab sin C=．……………………………12分18．解：（Ⅰ）根据题意得：a=40，b=15，c=20，d=25，∴，……………………………4分∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下可以认为网购与年龄有关．……5分（Ⅱ）根据题意，抽取的6人中，年轻人有4人，分别记为A1，A2，A3，A4，中老年人2人，分别记为B1，B2．…………………………7分则从这6人中任意选取3人的可能有(A1，A2，A3)，(A1，A2，A4)，(A1，A2，B1)，(A1，A2，B2)，(A1，A3，A4)，(A1，A3，B1)，(A1，A3，B2)，(A1，A4，B1)，(A1，A4，B2)，(A2，A3，A4)，(A2，A3，B1)，(A2，A3，B2)，(A2，A4，B1)，(A2，A4，B2)，(A3，A4，B1)，(A3，A4，B2)，(A1，B1，B2)，(A2，B1，B2)，(A3，B1，B2)，(A4，B1，B2)，共20种，…………………………………………………………………………9分其中，至少一个老年人的有(A1，A2，B1)，(A1，A2，B2)，(A1，A3，B1)，(A1，A3，B2)，(A1，A4，B1)，(A1，A4，B2)，(A2，A3，B1)，(A2，A3，B2)，(A2，A4，B1)，(A2，A4，B2)，(A3，A4，B1)，(A3，A4，B2)，(A1，B1，B2)，(A2，B1，B2)，(A3，B1，B2)，(A4，B1，B2)，(A1，A2，B1)，(A1，A2，B2)，(A1，A3，B1)，(A1，A3，B2)，(A1，A4，B1)，共16种，………………………………………………………………………11分∴所求的概率为．……………………………………………………12分19．解：（Ⅰ）∵b n+1=1+b n，∴b n+1-b n=1(常数)，…………………………………………………………3分∴数列{b n}是以b1=log44=1为首项，1为公差的等差数列，∴b n=1+(n-1)×1=n．…………………………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n=n，于是，………………………………6分于是(-1)n kb n<2S n+n+4等价于(-1)n kn<n2+2n+4，即等价于(-1)n．……………………………………………………7分∵n为正奇数，∴原式变为，令函数f(x)=，x>0，则，当x∈(0，2)时，，当x∈(2，+∞)时，，即f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减，由f(1)=-7<f(3)=，即f(n)≥(n为奇数)，∴k>．……………………………………………………………………12分20．解：（Ⅰ）设M(x，y)，P(x0，y0)，则D(x0，0)，∴(0，y0)，=(x-x0，y)，由，得0=(x-x0)，y0=，即，………2分又点P在圆x2+y2=8上，代入得x2+2y2=8，∴曲线C的方程为：．…………………………………………4分（Ⅱ）假设存在满足题意的点Q(x Q，0) ．设直线AB的方程为y=k(x-2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程组得：整理得(2k2+1)x2-8k2x+8k2-8=0，∴x1+x2=，x1x2=，…………………………………………8分∵k QA+k QB=，将y1=k(x1-2)，y2=k(x2-2)代入整理得：2x1x2-(x Q+2)(x1+x2)+4x Q=0，…………………………………………10分即-(x Q+2)×+4x Q=0，化简得x Q=4，故此时存在点Q(4，0)使得直线AQ，BQ的斜率之和为0．………………12分21．解：（Ⅰ）对求导可得．…………………………………1分∵a>1，于是由解得，由解得，∴在(，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增，…………3分∴min===1-2ln2．令，则，由a>1知<0，于是函数在(1，+∞)单调递减，又，∴a的值是2．…………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2，，故，变形得．……………………………………………………………8分令函数h(x)=，则．令函数，则，又，，∴存在t∈(2，3)，使得．当x∈(0，t)，，故，在(1，t)单调递减；当x∈(t，+∞)，，故，在(t，+∞)单调递增．故=．…………………………………………………10分又，故，故=，又t∈(2，3)，故，故正整数k的最小值是2．……………………………………………………12分22．解：（Ⅰ）将直线l的参数方程消去参数得，即l的普通方程为．将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y2-2x-2y+1=0．…………5分（Ⅱ）将代入C：x2+y2-2x-2y+1=0中，整理得，由韦达定理：，……………………………………8分故．…………………………………………………10分23．解：(Ⅰ) m=1，当x≤时，f(x)=3-x，由f(x)<6解得x>-3，综合得-3<x≤，当x>时，f(x)=3x+1，由f(x)<6解得x<，综合得<x<，所以f(x)<6的解集是．………………………………………………5分（Ⅱ）当x>时，f(x)=(2+m)x+1．当x≤时，f(x)=(m-2)x+3，要使得f(x)有最小值，则解得-2≤m≤2，且由图像可得，f(x)在x=时取得最小值m+2．y=-x2+x+1在x=时取得最大值，方程f(x)=-x2+x+1有两个不等实根，则m+2<，解得m<-．综上所述，m的取值范围为-2≤m<-．……………………………………10分绵阳市高2015级第二次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．DBBCA CDDCA BD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．93 14．-5 15．116．①③④16题提示：③设|BM|=|BO|=m，|CN|=|CO|=n，由①得|PM|=|PN|=9．由题知圆E与x轴相切，于是圆E：x2+(y-2)2=4是△PBC的内切圆，根据公式S△PBC=(其中r为内切圆半径，a，b，c为△PBC的边长)得：|BC|•y0=×2×2(|PM|+|BO|+|CO|),即(m+n)×9=2(9+m+n)，解得，故S△PBC．④同③可得(m+n)•y0=2(y0+m+n)，解得，故S△PBC≥32．三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（Ⅰ）已知，∴tan B=2tan A，tan C=3tan A，在△ABC中，tan A=-tan(B+C)=，………3分解得tan2A=1，即tan A=-1，或tan A=1．……………………………………4分若tan A=-1，可得tan B=-2，则A，B均为钝角，不合题意．……………5分故tan A=1，得A=．…………………………………………………………6分（Ⅱ）由tan A=1，得tan B=2，tan C=3，可得sin B=2cos B，sin C=3cos C，……………………………………………7分结合sin2B+cos2B=1，sin2C+cos2C=1，可得sin B=，sin C=，(负值已舍) ……………………………………9分在△ABC中，由，得b=，…………11分于是S△ABC=ab sin C=，∴=15，解得a=5．………………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）根据题意得：a=40，b=15，c=20，d=25，∴，……………………………4分∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下可以认为网购与年龄有关．……5分（Ⅱ）根据题意，抽取的9人中，年轻人有6，中老年人3人．于是X=0，1，2，3，∴，，，，………………………………………………………10分∴X的数学期望．…………………12分19．解：（Ⅰ）∵b n+1=1+b n，∴b n+1-b n=1(常数)，…………………………………………………………3分∴数列{b n}是以b1=log44=1为首项，1为公差的等差数列，∴b n=1+(n-1)×1=n．…………………………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n=n，于是，………………………………6分于是(-1)n kb n<2S n+n+4等价于(-1)n kn<n2+2n+4，即等价于(-1)n．……………………………………………………7分①当n为偶数时，原式变为，∵≥=6（当且仅当n=，即n=2时“=”成立）∴n=2时，取最小值6，故k<6．…………………………………………………………………………9分②当n为奇数时，原式变为，令函数f(x)=，x>0，则，当x∈(0，2)时，，当x∈(2，+∞)时，，即f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减，由f(1)=-7<f(3)=，即f(n)≥(n为奇数)，∴k>．……………………………………………………………………11分综上所述，k的取值范围为(，6)．……………………………………12分20．解：（Ⅰ）设M(x，y)，P(x0，y0)，则D(x0，0)，∴(0，y0)，=(x-x0，y)，由，得0=(x-x0)，y0=，即，………2分又点P在圆x2+y2=8上，代入得x2+2y2=8，∴曲线C的方程为：．…………………………………………4分（Ⅱ）①当直线AB斜率不存在时，x轴平分∠AQB，x轴上所有点都满足条件．………………………………………………5分②当直线AB斜率存在时，假设存在满足题意的点Q(x Q，0) ．可设方程为y=k(x-2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程组得：整理得(2k2+1)x2-8k2x+8k2-8=0，∴x1+x2=，x1x2=，…………………………………………8分∵∠AQO=∠BQO，∴k QA+k QB=0，即，…………………………………10分将y1=k(x1-2)，y2=k(x2-2)代入整理得：2 x1x2-(x Q+2)(x1+x2)+x Q=0，即-(x Q+2)×+4x Q=0，化简得x Q=4，故此时存在点Q(4，0)，使得∠AQO=∠BQO．……………………………12分21．解：（Ⅰ）由已知可得．当a<0时，>0，∴在R上单调递增，且当，不合题意．当a=0时，，而-1<1-2ln2，不合题意．…………………3分当a>0时，由解得，由解得，∴在(，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增，∴min==．要使≥恒成立，则须使≥恒成立，令，则，显然当0<a<1时，>0，当a>1时，<0，于是函数在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)单调递减，∵=0，=，∴a的最大值是2．……………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2，，故．令h(x)=，(x>1，k∈N*)存在x0>1，使得h(x0)<0成立，即h(x)min<0．………………………………8分又，当k=1时，>0，h(x)在(1，+∞)上单调递增，而h(1)=>0不合题意．当k≥2时，由>0解得x>2k-1，由<0解得1<x<2k-1，即h(x)在(2k-1，+∞)上单调递增，在(1，2k-1)上单调递减，∴h(x)min=h(2k-1)=．……………………………………10分令，则，∴在上单调递减，∵≤，∴正整数k的最小值为2．……………………………………………………12分22．解：（Ⅰ）将直线l的参数方程消去参数得，即l的普通方程为．将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y2-2x-2y+1=0．…………5分（Ⅱ）将代入C：x2+y2-2x-2y+1=0中，整理得，由韦达定理：，……………………………………8分故．…………………………………………………10分23．解：(Ⅰ) m=1，当x≤时，f(x)=3-x，由f(x)<6解得x>-3，综合得-3<x≤，当x>时，f(x)=3x+1，由f(x)<6解得x<，综合得<x<，所以f(x)<6的解集是．………………………………………………5分（Ⅱ）当x>时，f(x)=(2+m)x+1．当x≤时，f(x)=(m-2)x+3，要使得f(x)有最小值，则解得-2≤m≤2，且由图像可得，f(x)在x=时取得最小值m+2．y=-x2+x+1在x=时取得最大值，方程f(x)=-x2+x+1有两个不等实根，则m+2<，解得m<-．综上所述，m的取值范围为-2≤m<-．……………………………………10分。