《高等数学(I)》教学大纲

《高等数学(I)》教学大纲
1. 课程代码：22116002
2. 学时、学分：96＋120学时，6+6学分（注本课程分两个学期讲授）
3. 适用专业：物理、计算机、信息、光电子等专业
4．课程说明：
本课程是为物理、计算机、信息、光电子等专业在本科一年级开设的必修基础理论课，本课程不仅注重对微积分的实用分析方法和运算能力的培养，同时也适度地顾及结构的完整性和逻辑的严谨性。

本课程以讲授为主，无需预修其它高等数学内容。

通过本课程的学习，要使学生获得：一元函数微积分；向量代数和空间解析几何；多元函数微积分学；无穷级数(含傅里叶级数)；常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

通过该课程的教学，要逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和具备一定的自学能力，并注意培养学生的数学建模能力和运用所学的理论知识解决简单的应用问题的能力，培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

5．建议选用教材：
首选教材：同济大学应用数学系，高等数学，高等教育出版社，2000
6. 课程教学内容与要求
I. 篇章目录
第一章函数与极限
第二章导数与微分
第三章中值定理与导数的应用
第四章不定积分
第五章定积分
第六章定积分的应用
第七章空间解析几何与向量代数
第八章多元函数微分法及其应用
第九章重积分
第十章曲线积分与曲面积分
第十一章无穷极数
第十二章微分方程
II. 第一学期教学内容与要求（16×6＝96学时）
第一章函数与极限（20学时）理解函数概念及其表示法、函数概念的两要素；掌握函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性及其数学表示；理解复合函数和反函数的
概念；掌握基本初等函数的性质和图象；会建立简单实际问题中的函数关系。

掌
握数列极限和函数极限的定义和用定义证明简单极限的方法；掌握数列极限和函
数极限的基本性质，理解极限存在的两个准则；了解数列极限的柯西收敛准则：掌握利用极限的四则运算和两个重要极限来求极限的方法；理解无穷小和无穷大
的概念、无穷小的阶、利用无穷小刻划极限，了解无穷小和无穷大的关系，会
用等价无穷小求极限。

理解函数在一点连续的概念，会判别间断点及其类型，掌
握初等函数的连续性，会讨论给定函数的连续性；掌握闭区间上连续函数的有界
性、最值性、介值性，了解一致连续性概念和闭区间上连续函数的一致连续性，并对上述性质会作一些简单的应用，如会用介值定理证明根的存在性等。

第二章导数与微分（16学时）理解导数的几何和物理模型，掌握导数和微分的概念及其几何意义，函数的连续性、可导性、可微性的关系；掌握导数的四则运算法则、反函数和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，能熟练的进行求
导数和微分的运算；理解一阶微分形式不变性；会用微分进行简单的近似计算；
会求基本初等函数的高阶导数；了解隐函数概念，掌握隐函数和参数方程所确定
的函数的求导法。

第三章中值定理与导数的应用（20学时）理解罗尔定理和拉格朗日中值定理，掌握它们的简单应用，了解柯西中值定理，理解泰勒定理并掌握其简单应用；掌握函数
极值的概念，会用导数判别函数的单调性和极值、判别函数图形的凹凸性和求拐
点，能描绘一些简单函数的图形；掌握一些简单的最值应用问题的求解方法；掌
握用洛必达法则求不定式的极限的方法；掌握曲率和曲率半径的概念及求法。

第四章不定积分（14学时）理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式以及不定积分的换元积分式和分部积分法，会求有理函数、三角函数有理
式及简单的无理函数的积分。

第五章定积分（16学时）理解定积分的概念和性质，理解变上限的定积分作为上限的函数及其性质，掌握牛顿一莱布尼茨公式，掌握定积分的换元积分法和分部积分
法，了解定积分的近似计算，理解广义积分的概念，会用定义判别广义积分的收
敛性和计算简单广义积分。

III. 第二学期教学内容与要求（20×6＝120学时）
第六章定积分的应用 (12学时) 掌握定积分的元素法，掌握定积分的几何应用一求平面图形面积、平面曲线弧长和已知平行截面面积的立体的体积(旋转体的体积)，以及求变力作功、压力和引力的物理应用。

第七章空间解析几何与向量代数 (15学时) 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示，掌握向量的坐标表示，掌握向量线性运算、数量积和向量积，和用坐标
进行向量的运算，表示两个向量互相垂直、平行的条件；掌握单位向量、方向余
弦、两向量的夹角；理解曲面方程和空间曲线方程的概念，掌握平面方程和直线
方程及其求法，了解常见的二次曲面、以坐标轴为旋转轴的旋转曲面、母线平行
于坐标轴的柱面的方程及图形；了解空间曲线的参数方程和一般方程。

第八章多元函数微分法及其应用 (18学时) 了解平面点集的一些基本概念，如邻域、内点、边界点、区域等，理解多元函数的概念；了解二元函数的极限与连续的概
念、有界闭区域上二元连续函数的性质；理解偏导数和全微分的概念，连续、偏
导数存在、可微的关系，了解可微的必要和充分条件；理解方向导数与梯度的概
念并掌握其计算方法；掌握复合函数偏导数、全微分的求法，会求复合函数的高
阶偏导数，会求隐函数的偏导数(包括由方程组所确定的隐函数)，会求空间曲线
的切线和法平面、曲面的切平面和法线；理解多元函数极值和条件极值的概念，
掌握二元函数极值的必要条件和充分条件，掌握求条件极值的拉格朗日乘数法，
会求简单的多元函数的最大最小值，会解决一些简单的应用问题。

第九章重积分（15学时）理解二重，三重积分的概念，掌握能用积分处理的问题的特点和解决问题的思想方法；了解重积分的基本性质；掌握在直角坐标和极坐标下
二重积分的计算方法；在直角坐标、柱坐标和球坐标下三重积分的计算方法；掌
握重积分的几何应用一求平面图形面积、立体体积、曲面面积，及物理应用一求
质量、重心，转动惯量、吸引力等。

第十章曲线积分和曲面积分（20学时）理解两类曲线积分和两类曲面积分的概念，了解它们线性性质和可加性，第二类曲线积分和曲面积分的有向性，两类曲线积分、
两类曲面积分的关系；会计算两类曲线积分和两类曲面积分；掌握格林公式和平
面曲线积分与路线无关的条件，会求全微分的原函数；掌握高斯公式并用来计算
积分，了解斯托克斯公式，了解散度和旋度的概念；会用曲线积分和曲面积分求
一些几何量与物理量一曲线弧长、曲面面积。

质量、重心、转动惯量、功、流量
和吸引力等。

第十一章无穷极数（16学时）理解无穷级数收敛发散以及和的概念、基本性质及收敛的必要条件；掌握几何级数和P一级数的收敛性，掌握正项级数收敛的比较审
敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握交错级数收敛的莱布尼茨判别法；掌握无
穷级数绝对收敛和条件收敛的概念、绝对收敛定理：理解函数级数的收敛性、收
敛域、和函数的概念；理解幂级数收敛域的结构、收敛半径与收敛区间的概念和
求法，了解幂级数在其收敛区间内的分析性质，会利用逐项求导和逐项积分求一
些幂级数的和函数；了解函数展开成泰勒级数的充要条件，掌握几个基本的展开
式，会用间接方法将一些函数展开成幂级数；了解幂级数在近似计算上的应用；
理解函数展开成傅里叶级数的狄里克雷充分条件，掌握将函数展开成傅里叶级数
的方法，并会将定义在某区间上的函数展开成正弦或余弦级数。

第十二章微分方程（12学时）了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解的概念；掌握可分离变量的方程、齐次方程、一阶线性微分方程、贝努里方程和全
微分方程的解法，掌握用降阶法求解特殊的高阶方程；理解线性微分方程的解的
结构定理，掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，会解二阶常系数非齐次线
性微分方程，了解微分方程的幂级数解法。

IV 教学建议
(1)本课程以课堂讲授为主，精讲多练。

在本课程讲授前，先安排学生看一次有关
微积分发展史及其应用的录像片，加深学生的感性认识。

各章中均选择部分内
容引导学生自学。

(2)在教学过程将逐步引入现代化教学手段。

鼓励使用多媒体教学或直接使用现成
的教学课件。

在教学过程中向学生介绍Mathematica，Mathlab、Mathcad等优
秀数学软件并进行应用示范。

适当介绍数学建模或数学实验等。

(3)除教材之外，给学生指定相关的参考书，以拓宽学生的知识面。

在教学过程中，
任课教师还要向学生介绍主要专业词汇的英语单词，为学生阅读外文数学文献
打基础。

7．课程考核与成绩评定说明：
期末考试为闭卷笔试，其成绩占总成绩的70％，学期中间安排一次期中考试，其成绩占总成绩的10％，平时作业成绩占总成绩的20％。

期末考试由数学科学学院统一命题。

8．教学参考数目：
[1] 四川大学，高等数学，高等教育出版社。