最新的年高考数学(理科)专题十八离心率精准培优专练(含答案)
2021高三数学(理)精准培优专项训练《18离心率》教师版
二、双曲线的离心率
例 2：已知双曲线 C : x2 ay2 3a a 0 ，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． a
B． 3
C． a 1 a
D． 2 3 a 0 ，得双曲线标准方程为 x2 y2 1 ， a 0 ，
3a 3
c2 3a 3 ，e 3a 3 a 1 ，故本题正确选项 C．
C． 8
D． 2 2
3
【答案】C
【解析】∵椭圆方程为 x2 y2 1 ，∴ a 2 ， 4
由椭圆定义知 △ABF2 的周长为 AB AF2 BF2 AF1 BF1 AF2 BF2 4a 8 ．
故选 C．
7．已知双曲线
y2 m2
x2 n2
1
(m 0, n 0) 的渐线方程为 y 2 x ，则此双曲线的离心率为（ 3
5．已知双曲线 x2 y2 a2 b2
1a 0,b 0 的离心率为
5 ，点 4,1 在双曲线上，则该双曲线的方程
2
为（ ）
A． x2 y2 1 4
B． x2 y2 1 20 5
C． x2 y2 1 12 3
D． x2 y2 1 8
【答案】C
【解析】因为离心率为 5 ，所以 c 5 ①；
2
2
故选 C．
10．经过双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0，b
0) 的右焦点，倾斜角为 60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交
点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．2,
B． 1, 2
C． 1, 2
D． 2,
【答案】A
【解析】已知双曲线
x2 a2
y2 b2
3．已知椭圆
x2 a2
高考离心率的常用解法及配套习题与答案
高考离心率的常用解法及配套习题与答案前言：椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线方程是23=x ，则该双曲线的离心率为（ ）A. 23B. 23C. 26D. 332解：双曲线右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D 变式练习1.1：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26 C. 23D 2 二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 324+B.13- C.213+ D. 13+ 解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2c-，由焦半径公式a ex PF p --=1，即a c a c c -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=2，得0222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a c ，解得31+==ace （31-舍去），故选D变式练习2.1：设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.332 变式练习2.2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）A3 B26 C 36D 33三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
上海市2019年高考数学(理科)专题十八离心率精准培优专练(含答案)
培优点十八 离心率1．离心率的值例1：设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ） ABC ．13D ．16【答案】A【解析】本题存在焦点三角形12PF F △，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴， 从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=︒，则直角三角形12PF F △中，1212::2PF PF F F = 且122a PF PF =+，122c F F =，所以121222F F c c e a a PF PF ∴====+A ．2．离心率的取值范围例2：已知F 是双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C．(1,1D．(2,1【答案】B【解析】从图中可观察到若ABE △为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角．由对称性可得只需π0,4AEF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭即可．且AF ，FE 均可用a ，b ，c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a =，FE ac =+，所以()()222tan 1112AFb c a c aAEF e FE a a c a a c a--==<⇒<⇒<⇒<++，即()1,2e ∈，故选B ．对点增分集训一、单选题1．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线经过点()2,1-，则该双曲线C 的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】双曲线的渐近线过点()2,1-，∴代入b y x a =-，可得：21ba -=-，即12b a =，e ∴==，故选D ． 2．倾斜角为π4的直线经过椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ） A．3B．2CD【答案】A【解析】设直线的参数方程为x c y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩，代入椭圆方程并化简得2222411022a b t ct b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以12t t +=，412222b t t a b ⋅=-+，由于2AF FB =，即122t t =-，代入上述韦达定理， 化简得2228c a b =+，即2229c a =，c a =A ．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用， 还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △的“勾”“股”，且124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D【答案】D【解析】由双曲线的定义得122PF PF a -=，所以()22124PF PF a -=，即222121224PF PF PF PF a +-⋅=，由题意得12PF PF ⊥，所以222212124PF PF F F c +==，又124PF PF ab ⋅=，所以22484c ab a -=，解得2b a =，从而离心率ce a==D ． 4．已知双曲线()2212210,0:x y C a b a b-=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A B C 1D ．2【答案】C【解析】设双曲线1C 的左焦点坐标为()',0F c -，由题意可得：(),0F c ，2pc =， 则,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即(),2A c c ，(),2B c c -，又：'2AF AF a -=，'AF ===，据此有：22c a -=，即)1c a =，则双曲线的离心率：1c e a ==．本题选择C 选项． 5．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】由题意PO PM ⊥，所以点P 在以OM 为直径的圆上，圆心为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2a ，所以圆的方程为：22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与椭圆方程联立得：222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，此方程在区间()0,a 上有解，由于a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于2a与a 之间，所以22221a a a b a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合222a b c =+，解得221122a c <<，1e <<．故选C ． 6．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（ ） ABCD ．34【答案】C【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB ∠≥∠=︒，即60AMO ∠≥︒， 因为tan a OMA b ∠=，所以tan60a b ≥︒=，a ∴，()2223a a c ≥-，2223a c ∴≤，223e ≥，e ≥选C ．7．已知双曲线22221x y a b -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】B【解析】由双曲线的定义知122PF PF a -= ①；又124PF PF =， ②联立①②解得183PF a =，223PF a =，在12PF F △中，由余弦定理，得222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅，要求e 的最大值，即求12cos F PF ∠的最小值， 当12cos 1F PF ∠=-时，解得53e =，即e 的最大值为53，故选B ． 解法二：由双曲线的定义知122PF PF a -= ①，又124PF PF =， ②，联立①②解得183PF a =，223PF a =，因为点P 在右支所以2PF c a ≥-，即23a c a ≥-故53a c ≥，即e 的最大值为53，故选B ．8．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若1212OP F F =，且212PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．34BC ．12D【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，122PF PF a +=，又212PF PF a ⋅=，可得12PF PF a ==，即P 为椭圆的短轴的端点，OP b =，且1212OP F F c ==，即有c b ==a =，c e a =．故选D ． 9．若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b -=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A．( B．(C．)+∞D．)+∞【答案】D【解析】双曲线()222210x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点，则有2b a >，即有c e a =>=，则双曲线的离心率的取值范围为)+∞，故选D ．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，1260F PF ∠=︒，则双曲线的离心率2e =（ ） AB ．2 CD ．3【答案】C【解析】设()1,0F c -，()2,0F c ，椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ， 可得122PF PF a +=，122PF PF m =-，可得1PF a m =+，2PF a m =-， 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF -⋅=+︒， 即有()()()()2222243c a m a m a m a m a m =++--+-=+，由离心率公式可得2212134e e +=，121e e =，即有4222430e e -+=，解得2e =C ． 11．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆()()222:211C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝⎦ D．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C【解析】直线:210l kx y k --+=，即()210k x y --+=， 直线l 恒过定点()2,1，∴直线l 过圆2C 的圆心，AC DB =，22AC C B ∴=，2C ∴的圆心为A 、B 两点中点， 设()11,A x y ，()22,B x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩， 上下相减可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，化简可得2121221212x x y y b k y y a x x +--⋅==+-，222b k a -⋅=， 221,122b k a ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，e ⎛= ⎝⎦，故选C ． 12．已知点P 为双曲线()222210x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,3【答案】D 【解析】设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得122PF PF a -=，122F F c =，1112PF S PF r =⋅△，2212PF S PF r =⋅△，12122PF F S c r cr =⋅⋅=△，由题意得12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥，故()12332c PF PF a ≤-=， 故3ce a=≤，又1e >，所以，双曲线的离心率取值范围是(]1,3，故选D ．二、填空题13．已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF ______．【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为1F ，由于AF 60BAF ∠=︒，且AF AB =，所以ABF △是等边三角形，所以130F BF ∠=︒，所以1BF =，4BF c =， 所以2221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=，所以1AF =，由双曲线的定义可知24a c =-． 14．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点，满足123MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】设M 点的横坐标为x ，∵123MF MF =，M 在双曲线右支上()x a ≥，根据双曲线的第二定义，可得223a a e x e x c c ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ex a ∴=，x a ≥，ex ea ∴≥，2a ea ∴≥，2e ∴≤，1e >，12e ∴<≤，故答案为(]1,2．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S =△△，则该椭圆的离心率为_______．【解析】根据题意，因为2AF x ⊥轴且()2,0F c ，假设A 在第一象限，则2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，过B 作BC x ⊥轴于C ，则易知121AF F BFC △～△， 由14PAB PBF S S =△△得113AF BF =，所以23AF BC =，1213F F CF =， 所以25,33b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222225199c b a a +=，即222259c b a +=，又222b a c =-，所以223c a =，所以椭圆离心率为c e a ==． 16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．【答案】111,,1322⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设P 在第一象限，11PF PF >，当1122PF F F c ==时，21222PF a PF a c =-=-， 即222a a c >-，解得12e >， 又因为1e <，所以112e <<， 当2122PF F F c ==时，12222PF a PF a c =-=-，即222a c c ->且2c a c >-，解得：1132e <<，综上112e <<或1132e <<．三、解答题17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>（1）求双曲线C 的渐进线方程．（2）当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．【答案】（1）y =；（2）1m =±． 【解析】（1）由题意，得ce a==223c a ∴=， ∴22222b c a a =-=，即222b a=，∴所求双曲线C的渐进线方程by x a=±=．（2）由（1）得当1a =时，双曲线C 的方程为2212y x -=．设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ， 由22120y x x y m -⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得22220x mx m ---=（判别式0Δ>）， ∴1202x x x m +==，002y x m m =+=， ∵点()00,M x y 在圆225x y +=上，∴()2225m m +=，∴1m =±．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，离心率e ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=，PB BF μ=．求证：λμ+为定值；②若OA OB ⊥，求OAB △面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）①见解析，②32OAB S ≤<△．【解析】（1）由题设知，c a =1c =，所以22a =，1c =，21b =， 所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）①由题设知直线l 斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+，则()0,P k ．设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 代入椭圆2212x y +=得()2222124220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+，由PA AF λ=，PB BF μ=知111x x λ=-+，221xx μ=-+，2222121222121222444212124422111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--++++++=-=-=--++++-+++． ②当直线OA ，OB分别与坐标轴重合时，易知OAB S △． 当直线OA ，OB 斜率存在且不为0时，设:OA y kx =，1:OB y x k =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线y kx =代入椭圆C 得到222220x k x +-=，所以212212x k =+，2212212k y k =+，同理2222212k x k =+，212212y k =+212OAB S OA OB =⨯==△， 令211t k =+>，则OABS ==△因为()10,1t ∈，所以291192424t ⎛⎫<--≤ ⎪⎝⎭，故32OAB S ≤<△，综上32OAB S ≤<△．。
2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题(含答案解析)
2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题（含答案解析）一、单选题1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线C ：2221x y a −=()0a >的右焦点为F ，点()0,A a −，若双曲线的左支上存在一点P ，使得7PA PF +=，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(C ．2⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．)+∞【答案】C 【解析】设双曲线左焦点为1F ，因为点P 在双曲线左支上，所以有12PF PF a −=， 即12PF PF a =+.由已知得，存在点P ，使得7PA PF +=，即172PA PF a +=−，显然720a −>，所以72a <.又11PA PF AF +≥=P 位于图中1P 位置时，等号成立，72a −，又221c a =+，72a −，整理可得，214240a a −+≥，解得2a ≤或12a ≥（舍去）， 所以02a <≤，则204a <≤，则2114a ≥，所以2222211514c a a a a +==+≥，所以c e a ===. 故选：C.2．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过Fl 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ） A ．2 BCD【答案】C【解析】因为F 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>的下焦点，不妨设()0,F c −，所以过Fy x c =−，所以),0B . 因为1l 是C 的斜率大于0的渐近线，所以可设1:al y x b=.由y ca y x b⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立解得：A .因为||||OA OB =，所以2223c +=，解得：a .所以离心率c e a ====.故选：C3．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，22NF =，则椭圆C 的离心率为（ ） AB ．12CD【答案】C【解析】依题意作图，由于12MN F F =，并且线段MN ，12F F 互相平分，∴四边形12MF NF 是矩形，其中12π2F MF ∠=，12NF MF =， 设2MF x =，则12MF a x =−，根据勾股定理，2221212MF MF F F +=，()22224a x x c −+=，整理得22220x ax b −+=，由于点M 在第一象限，x a =由22NF =，得23MN MF =，即(32a c =，整理得227690c ac a +−=，即27690e e +−=，解得37e =． 故选：C ．4．（2022春·江苏南通·高三期末）如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，若直线AC 与BD 的斜率之积为14−，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B C D ．34【答案】C【解析】设内层椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由离心率相同可知，外层椭圆的方程为22221()()x y ma mb +=，如图，设切线AC 的方程为1()y k x ma =−， 则1222()()()()y k x ma bx ay ab =−⎧⎨+=⎩， 消去y 得22223224222111()20b a k x ma k x m a k a b +−+−=由Δ0=，得2212211b k a m =⋅−，设切线BD 的方程为2y k x mb =+， 联立2222()()()y k x mb bx ay ab =+⎧⎨+=⎩，消去y 得222222222222()20b b a k x ma k x m a b a b +++−=，由Δ0=得22222(1)b k m a=⋅−，422124,b k k a∴⋅=又直线AC 与BD 的斜率之积为14−，2214b a ∴=2,,a b c ∴=e ∴故选：C5．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，A ，B 分别为C 的左右顶点，222:()(0)G x y m m m +−=>e 与y 轴的一个交点为D ，直线AD ，BG 的交点为M ，且MF x ⊥轴，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】解法一：由题意可知(,0),(,0),(0,2),(0,),(,0)A a B a D m G m F c −−， 故直线AD 的方程为2020()m y m x a −−=−−，即22my x m a=+， 直线BG 的方程为00m y m x a −−=−，即my x m a=+−， 联立直线AD ，BG 的方程，解得3M ax =−.又MF x ⊥轴，所以,33ac a c −=−=，所以C 的离心13c e a ==， 故选：A.解法二：设O 为坐标原点，由题意知(,0),(,0),(0,),(,0),(0,2),//A a B a G m F c D m MF OD −−， 故OAD FAM ，所以||||||||MF AF OD OA =，即2MF a c m a−=，解得2()m a c MF a −=. 又OGB FMB ，所以||||||||MF BF OG OB =，即MF a cm a+= ， 解得()||m a c MF a +=，则()()2m a c m a c a a+−=，得3a c =，所以C 的离心率13c e a == 故选：A.6．（2022春·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知如图，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若AN NM MB ==，则椭圆C 的离心率e 为（ ）A ．12 BCD【答案】C【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ， ∵AN NM MB ==，∴()1,0M x −，10,2y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭．则112,2y B x ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，得211222x x y y =−⎧⎪⎨=−⎪⎩，由22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +−+−+=， 即2121221212y y y y b x x x x a−+⋅=−−+， 其中121212y y x x −=−，且11112121113122232y yy y y x x x x x +−===−+，解得：111y x =， 故111121121111122222y y y y y y x x x x x x −+===−=−+−−， 故221122b a ⎛⎫⋅−=− ⎪⎝⎭，解得2214b a =， 故22214a c a −=，∴e =故选：C7．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 过坐标原点并交椭圆于,P Q 两点（P 在第一象限），点A 是x 轴正半轴上一点，其横坐标是点P 横坐标的2倍，直线QA 交椭圆于点B ，若直线BP 恰好是以PQ为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A ．12 BCD【答案】D【解析】依题意，设()()()()1111221,,,,,,2,0P x y Q x y B x y A x −−，直线,(),PQ QB QA BP 的斜率一定存在,分别为123,,k k k ， 直线BP 恰好是以PQ 为直径的圆的切线,则PQ PB ⊥,则131k k =−, 则()()112111101233y y k k x x x −−===−−，∴3213k k =−，∵2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减得22221212220x x y y a b −−+=， ∴2121221212y y y y b x x x x a +−⋅=−+−，即2232b k k a=−， ∴2213b a −=−，∴2213b a =，∴22222213c b e a a ==−=，∴椭圆的离心率e =， 故选:D ．8．（2022春·浙江金华·高三期末）设O 为坐标原点，12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的两个焦点，12,l l 为双曲线的两条渐近线，1F A 垂直1l 于1,A F A 的延长线交2l 于B ，若2OA OB AB +=，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的渐近线方程为：0bx ay ±=，不妨令12:0,:0l bx ay l bx ay +=−=，因为直线1F A 垂直1l ，则111F A l k k ⋅=−，故1F A ak b=，又1(,0)F c −，1OF c = 则点1(,0)F c −到直线1:0l bx ay +=的距离为1AFb =，所以OA a ===，1F A a k b=，又1(,0)F c −，可知直线1F A 的方程为：()ay x c b =+，与2l 联立方程组可得：()ay x c bb y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()b a x x c a b =+ ，解得22222a cx b a abc y b a ⎧=⎪⎪−⎨⎪=⎪−⎩，故22222,a c abc B b a b a ⎛⎫ ⎪−−⎝⎭, 由||||2||OA OB AB +=,则222||ac OB b a ==−, Rt OAB 中，由勾股定理可得:()()()()224222244222222222222224a c a b a a ca b AB OB OA a bababa −−=−=−==−−−,故2222||ba AB b a =−；又||||2||OA OB AB +=,则2222224ac ba a b a b a +=−−，即2222241c ab b a b a +=−−，因为1F A 的延长线交2l 于B ，此时B 点的纵坐标大于0，即220abcb a>−，故220b a −>，所以2222b a b a −=− ，所以2222241c ab b a b a +=−−化简得2224b a c ab −+=.则224b ab =，故2b a =，则c e a ===故选：B.9．（2022春·广东广州·高三校考期中）已知1F 、2F 为双曲线()222210,0x ya b a b−=>>的左、右焦点，P 为双曲线的渐近线上一点，满足1260F PF ∠=︒，12OP F （O 为坐标原点），则该双曲线的离心率是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由题可知，()1,0F c −，()2,0F c ， 根据对称性，不妨设P 为渐近线b y x a =上一点，坐标为,b m m a ⎛⎫⎪⎝⎭，0m >，因为12OP F =2c ，则222212b m c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故m ，故)P，在12PF F △中，1260F PF ∠=︒，由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+−⋅⋅∠， 即222224))))c c c =+++−+122−，即22224424c a c b =++则22c =4422498c c a c =−， 即22485a c c =，即2285a c =，即2285c a =，所以c e a ==故选：A.10．（2022春·江苏·高三校联考阶段练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 交于,A B 两点.若23,2AB a AF AB =⊥，则C 的离心率为（ ）A B C ．23D ．13【答案】A【解析】令1213,2,,2aAF m AF a m BF m ==−=−则 则212BF a m =+， 又22,Rt AF AB ABF ⊥中，222196(2),245a a m a a m m ⎛⎫+=+−∴=⎪⎝⎭， 1264,55a aAF AF ∴==， 12Rt AF F 中，22223616524252525a a a c =+=，所以，离心率e =故选：A. 二、多选题11．（2022春·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知双曲线2221(0)4x y b b −=>右焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，点()4,0F −，若ABF △为锐角三角形，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线过点()2,0−B ．直线30x y −=与双曲线有两个公共点C ．双曲线的一条渐近线2b y x =D．双曲线的离心率取值范围为⎛ ⎝⎭【答案】ACD【解析】A 选项：将点()2,0−代入双曲线，得到2222014b−=，符合，所以双曲线过()2,0−点，故A 选项正确；D 选项：因为ABF △是锐角三角形，所以14AFF π∠<，则212tan tan 144b AFFc π∠=<=+，即282b c <+.因为双曲线22214x y b−=中2a =，所以22224b c a c =−=−，所以2482c c −<+，解得11c <c a <.因为1c e a =>，则1e <<，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝⎭，D 选项正确；C 选项：双曲线的一条渐近线为2b y x =，则斜率为2b ，22241444b c c −==−，又2c c a =<则221144b c =−−=4，所以2942b <<，即2b <故C 选项正确，B 选项：联立2221(0)430x y b b x y ⎧−=>⎪⎨⎪−=⎩，得()222314x x b −=，即()2224360b x b −−=，则()2260316b b ∆−=+，由C 选项得，6b <，此时Δ0<，故B 选项错误. 故选：ACD.12．（2022春·江苏常州·高三统考阶段练习）如图，椭圆1C 与椭圆2C 有公共的左顶点和左焦点，且椭圆2C 的右顶点为椭圆1C 的中心，设椭圆1C 与椭圆2C 的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e 和2e ，则以下结论中正确的是（ ）A ．2121e e =−B ．1221a c a c >C ．1221a c a c +=+D ．122122a c a c −>−【答案】ACD【解析】由题知1222112,,a a a c a c =⎧⎨−=−⎩①②，由②两边同时加21c c +得1221a c a c +=+，故C 正确； 将①代入②得21222a c a c −=−， 两边同时除以2a 得：112212211222222c c ca a c a a −=−=−=−，即2121e e =−，故A 正确； 由②得11222222c a a c a c c =−+=+>，③③式两边同乘以2a 得1222122c a a c a c >=，故B 错误；由③式得122c c −<−，故两边同加1a 得21111222a c a c c a =−<−−，故D 正确. 故选：ACD13．（2022·浙江·模拟预测）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，且AB ⊥BF ，则C 的离心率为（ ）A ．BF AFB ．22||||AB AFC ．2||AF BF AB ⋅ D【答案】ABD 【解析】由题意知，(,0)A a −，(0,)B b ，(c,0)F ，则(,)AB a b =，(,)BF c b =−， ∵ AB BF ⊥，∴0AB BF ⋅=，即：20ac b −=， ① 又∵ 222b a c =−，②∴由①②得：220c ac a +−=，即：210e e +−=， 又∵ 01e <<，∴e =，故D 项正确；∴c =，∴222222)b a c a =−=−=，∴||||BF aeAF a c=====+，故A 项正确；∴2222222||||()a AB a b e AF a c +====+，故B 项正确；∴222()||||()1||a aAF BF a c a e AB a b ⋅+==≠+，故C 项错误； 故选：ABD.14．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）如图，P是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n −=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论不正确的是（ ）A ．12,PF m a PF m a =+=−B ．若60θ=︒，则2221314e e += C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2b nθ=【答案】ACD【解析】依题意，121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，解得12,PF a m PF a m =+=-，A 不正确；令12||2F F c =，由余弦定理得：22222222212122212||||||()()42cos 2||||2()()PF PF F F a m a m c a m c PF PF a m a m a m θ+−++−−+−===+−−，当60θ=︒时，22234a m c +=，即22()3()4a m c c+=，因此2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2222a m c +=，即22()()2a m c c+=，有2212112e e +=，而221201e e <<<，则有22222222121122()22e e e e e e +<+=，解得22122e e >+，C 不正确； 22222222222222222221()2()()cos ()()1()n a m c a c c m b n b n a m a c c m b n bθ−+−−−−−====−−+−++， 22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222θθθθθθθθθ−−=−==++，于是得22221()1tan 21tan 1()2n b n bθθ−−=++，解得22tan()2n b θ=，而tan 0,02n b θ>>，因此tan 2nbθ=，D 不正确. 故选：ACD15．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左、右焦点，过点2F 的直线与双曲线的右支交于AB 、两点，记12AF F △的内切圆1I 的半径为112,r BF F 的内切圆2I 的半径为2r ，若212r r a =，则（ ）A ．1I 、2I 在直线x a =上B ．双曲线的离心率2e =C ．1ABF 内切圆半径最小值是32aD ．12r r +的取值范围是2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABC 【解析】对A ：过1I 分别作1AF 、2AF 、12F F 的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则1122,,AD AE F D F F F E F F ===，∵122AF AF a −=，则()()112122AD DF AE EF F F F F a +−+=−=， 又∵12122F F F F F F c =+=，则11FF OF OF a c =+=+， ∴OF a =，即1I 在直线x a =上， 同理可得：2I 在直线x a =上， A 正确； 对B ：∵2212121221，A B I F I F F I F I F F ∠∠∠∠==，则1221212121222I F I F I F F I F F F I A B I ∠∠∠∠∠++==， ∴122π2I F I ∠=， 又∵1222I F F F F FI F=，则2122I F I F F F =，即2212()r r c a a =−=，∴2c a =，故离心率为2ce a==，B 正确； 对C ：∵2e =，则2,c a b =，∴()22,0F a，双曲线的渐近线方程为y =，则直线AB 的倾斜角π2π,33θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设AB 直线方程为2x my a =+，()()1122,,,,m A x y B x y ⎛∈ ⎝⎭，联立方程2222213x my ax y a a=+⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去x 得：()222311290m y may a −++=，∴2121222129,3131ma a y y y y m m +=−=−−，则()2121226113a m y y AB y m +−==−=−， 设1ABF 内切圆半径为r ，其周长()()()1112122242L AF BF AB AF AF BF BF AF BF AB a AB =++=−+−+++=+()2221211641313a m a a m m +=+=−−，根据1ABF 的面积可得：1212112222Lr c y y a y y =⨯⨯−=−，则122431316213a y y m r a a L m −−==≥−，C 正确； 对D ：由题意不妨设12I F F ∠α=，ππ,32θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∵2παθ+=，则πππ,243θα−⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，令tan t α⎡=∈⎣，∴12tan r FF at α==，22πtan 2a r FF t α⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，121r r a t t ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又∵1y t t=+在⎡⎣上单调递增，∴1212r r a t a t ⎡⎫⎛⎫+=+∈⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭，D 错误； 故选：ABC.16．（2022春·福建厦门·高三厦门双十中学校考期中）已知1F ，2F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30°的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ） A ．21π3PF F B ．2112MF PF =C ．ED ．E 的渐近线方程为y =【答案】BD【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以21π2PF F ∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知222221PF ca b−=，所以22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac −=220e −，解得：e =C 错误；所以==c e a 223c a =，所以22222b c a a =−=，所以ba= 所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BD ．三、填空题17．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线2222:1x yC a b−=上，点H 在直线x a =上，且满足122340HP HF HF ++=.若存在实数λ使得122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，则双曲线C 的离心率为_____________ 【答案】2【解析】设直线PH 交x 轴于点Q ，如图，设12PF F △的外接圆半径为R ，由122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，有12211222sin 2sin PF PF OH OP R R PF F R PF F λ⎛⎫=+⋅+ ⎪∠∠⎝⎭，故12122PF PF PH R PF PF λ⎛⎫⎪=⋅+ ⎪⎝⎭，所以直线PH 过12PF F △的内心， 设12PF F △的内切圆圆心为I ，内切圆圆I 分别切1PF 、2PF 、12F F 于点M 、N 、T ，由切线长定理可得11F M FT =，22F N F T =，PM PN =， 所以，()()1212122PF PF PM F M PN F N FT F T a −=+−+=−=， 结合图形可得()()22T T T x c c x x a +−−==，所以，T x a =， 故12PF F △的内心的横坐标为a ，因为点H 在直线x a =上，所以点H 为12PF F △的内心.由122340HP HF HF ++=可得()()122340PH PF PH PF PH −+−+−=， 所以，12934PH PF PF =+，记12934777PH PF PF =+，设123477PG PF PF =+，则()()214377PG PF PF PG −=−，所以，2134F G GF =， 所以，点G 在直线12F F 上，又因为12PH F F Q =，故点G 与点Q 重合，且有12934777PH PF PF PQ =+=，由角平分线的性质可知点Q 到直线1PF 、2PF 的距离相等， 故12112243PF Q PF QS PF FQ S PF F Q===△△，同理可得1212PH PF PF HQ FQ F Q ==，令23PF m =，则14PF m =，且1212121272PH PF PF PF PF HQFQ F QFQ F Q +====+， 故12122FQ F Q F F m +==. 则双曲线C 的离心率12122243F F c me a PF PF m m====−−.故答案为：2.18．（2022·河南·模拟预测）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的左、右焦点12,F F ，M 是它们的一个交点，且12π4F MF ∠=，记1C 和2C 的离心率分别为12,e e ，则12e e 的最小值是___________.【解析】不妨设M 为第一象限的点．如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义知1212MF MF a +=，1222MF MF a −=， 所以112MF a a =+，212MF a a =−， 设122=F F c 在12MF F △中，12π4∠=F MF ， 由余弦定理得，()()()()22212121212π42cos4=++−−+−c a a a a a a a a ，化简得((22212224a a c +=，124=()1201,1e e <<>，所以124=≥所以12e e12=2212==e e 等号成立， 所以12e e．19．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于916−，则椭圆的离心率为______．【解析】设内层椭圆方程为22221x y a b +=()0a b >>，由于内外椭圆离心率相同，由题意可设外层椭圆方程为()()22221x y ma mb +=()1m >.所以A 点坐标为(),0ma −，B 点坐标为()0,mb ，设切线AC 的方程为()1y k x ma =+，切线BD 的方程为2y k x mb =+，联立直线AC 的方程与内层椭圆方程()222211x y a b y k x ma ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()2222322242211120k ab x ma k x m k a a b +++−=，因为直线AC 与椭圆相切，所以()()()23222222422111Δ240ma k k a b m k a a b =−+−=，整理可得，2212211b k a m =⋅−.同理，联立直线BD 的方程与内层椭圆方程222221x y a b y k x mb⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可推出()222221b k m a =−，所以()224222122224111b b b k k m a m a a=⋅⨯−=−.因为12916k k =−，所以22916b a =，则222222c a b e a a −==227116b a =−=，所以e =.20．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）双曲线 22221(00)x y a b a b−=>>，的左顶点为A ， 右焦点()0F c ，， 若直线x c =与该双曲线交于B C 、两点，ABC 为等腰直角三角形， 则该双曲线离心率为__________ 【答案】2【解析】联立 22222221x cx y a b c a b =⎧⎪⎪−=⎨⎪=+⎪⎩， 可得2b y a =±， 则22b BC a =，因为点 B C 、关于x 轴对称， 且F 为线段BC 的中点， 则AB AC =.又因为 ABC 为等腰直角三角形， 所以，2BC AF =， 即()222b c a a=+， 即 ()222a c abc a +==−， 所以，a c a =−， 可得2c a =，因此， 该双曲线的离心率为 2ce a==． 故答案为：221．（2022·上海崇明·统考一模）已知椭圆1Γ与双曲线2Γ的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点1F 、2F ，P 是1Γ与2Γ在第一象限的交点，当12π6F PF ∠=时，双曲线2Γ的离心率等于______.【答案】2【解析】设椭圆1Γ标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，椭圆离心率为1e ，设双曲线2Γ标准方程为()2222222210,0x y a b a b −=>>，双曲线离心率为2e ，由题可知：121e e ⋅=．设1PF m =，2PF n =，则122222,2,π42cos ,6m n a m n a c m n mn ⎧⎪+=⎪−=⎨⎪⎪=+−⋅⎩①②③， 由①②得，12m a a =+，12n a a =−，代入③整理得，((22212422c a a =+，两边同时除以2c得，124=即(22242e =即(42222420e e −+=，解得222(2e =，即2e=2故答案为：222．（2022·广东广州·统考一模）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为4和2，球心距离12O O =面分别与球1O ，球2O 相切于点,E F （,E F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.【答案】13【解析】设12O O EF D ⋂=，由22112112O D O F O D O E O D O D ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得21O D O D =所以42,33DE DF ====， 所以4222,133c c =+==， 设直线EF 与圆锥的母线相交于点A ， 圆锥的母线与球相切于,B C 两点，如图所示， 则,AB AE AC AF ==，两式相加得2AB AC AE AF a c a c a +=+=−++=，即2BC a =， 过2O 作21O G O B ⊥，垂直为G ， 则四边形2BGO C 为矩形，所以26a BC ===，3a =，所以椭圆的离心率为13c a=. 故答案为：13。
高中数学《圆锥曲线的离心率问题》基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《圆锥曲线的离心率问题》基础知识与练习题（含答案解析）离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。
一、基础知识： 1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：222a b c =+，① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 （2）双曲线：222c b a =+① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a −=② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。
从而可求解 （2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。
如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题：例1：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ） A ．33 B ．36C ．13D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+ 答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。
高三数学精准培优专题练习18：离心率
培优点十八 离心率1．离心率的值例1：设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．3 C ．13D ．16【答案】A【解析】本题存在焦点三角形12PF F △，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=︒，则直角三角形12PF F △中，1212::2:1:3PF PF F F =，且122a PF PF =+，122c F F =，所以1212232F F c c e a a PF PF ∴====+，故选A ． 2．离心率的取值范围例2：已知F 是双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C ．(1,12+D ．(2,12【答案】B【解析】从图中可观察到若ABE △为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角．由对称性可得只需π0,4AEF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭即可．且AF ，FE 均可用a ，b ，c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a =，FE a c =+，所以()()222tan 1112AFb c a c aAEF e FE a a c a a c a--==<⇒<⇒<⇒<++，即()1,2e ∈，故选B ．一、单选题1．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线经过点()2,1-，则该双曲线C 的离心率为（ ） ABCD【答案】D【解析】Q 双曲线的渐近线过点()2,1-，∴代入b y x a =-，可得：21ba -=-，即12b a =，e ∴==，故选D ． 2．倾斜角为π4的直线经过椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =u u u r u u u r，则该椭圆的离心率为（ ） ABCD【答案】A【解析】设直线的参数方程为x c y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩，代入椭圆方程并化简得2222411022a b t ct b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以12t t +=，412222b t t a b ⋅=-+，由于2AF FB =u u u r u u u r ，即122t t =-，代入上述韦达定理，化简得2228c a b =+，即2229c a =，c a =A ．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设对点增分集训1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △的“勾”“股”，且124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D【答案】D【解析】由双曲线的定义得122PF PF a -=，所以()22124PF PF a -=，即222121224PF PF PF PF a +-⋅=，由题意得12PF PF ⊥，所以222212124PF PF F F c +==，又124PF PF ab ⋅=，所以22484c ab a -=，解得2b a =，从而离心率ce a=D ． 4．已知双曲线()2212210,0:x y C a b a b -=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A B C 1D ．2【答案】C【解析】设双曲线1C 的左焦点坐标为()',0F c -，由题意可得：(),0F c ，2pc =， 则,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即(),2A c c ，(),2B c c -，又：'2AF AF a -=，'AF ，据此有：22c a -=，即)1c a =，则双曲线的离心率：1c e a ==．本题选择C 选项． 5．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】由题意PO PM ⊥，所以点P 在以OM 为直径的圆上，圆心为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2a ，所以圆的方程为：22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与椭圆方程联立得：222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，此方程在区间()0,a 上有解，由于a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于2a与a 之间，所以22221a a a b a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合222a b c =+，解得221122a c <<，1e <<．故选C ． 6．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（ ） ABCD ．34【答案】C【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB ∠≥∠=︒，即60AMO ∠≥︒， 因为tan a OMA b ∠=，所以tan60a b ≥︒=，a ∴，()2223a a c ≥-，2223a c ∴≤，223e ≥，e ≥，故选C ． 7．已知双曲线22221x y a b -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】B【解析】由双曲线的定义知122PF PF a -= ①；又124PF PF =， ② 联立①②解得183PF a =，223PF a =，在12PF F △中，由余弦定理，得222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅，要求e 的最大值，即求12cos F PF ∠的最小值， 当12cos 1F PF ∠=-时，解得53e =，即e 的最大值为53，故选B ． 解法二：由双曲线的定义知122PF PF a -= ①，又124PF PF =， ②，联立①②解得183PF a =，223PF a =，因为点P 在右支所以2PF c a ≥-，即23a c a ≥-故53a c ≥，即e 的最大值为53，故选B ．8．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点， 若1212OP F F =，且212PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ） A ．34B ．3 C ．12D ．2 【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，122PF PF a +=，又212PF PF a ⋅=，可得12PF PF a ==，即P 为椭圆的短轴的端点，OP b =，且1212OP F F c ==，即有22c b a c ==-，即为2a c =，2c e a ==．故选D ． 9．若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b -=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A ．()1,5 B ．(1,5⎤⎦C ．)5,⎡+∞⎣ D ．()5,+∞【答案】D【解析】双曲线()222210x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点，则有2b a >，即有21+145c b e a a ⎛⎫==>+= ⎪⎝⎭，则双曲线的离心率的取值范围为()5,+∞，故选D ．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，1260F PF ∠=︒，则双曲线的离心率2e =（ ）AB ．2 CD ．3【答案】C【解析】设()1,0F c -，()2,0F c ，椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ， 可得122PF PF a +=，122PF PF m =-，可得1PF a m =+，2PF a m =-， 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF -⋅=+︒， 即有()()()()2222243c a m a m a m a m a m =++--+-=+， 由离心率公式可得2212134e e +=，121e e =，即有4222430e e -+=，解得2e =，故选C ． 11．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆()()222:211C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =u u u r u u u r，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝⎦ D．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C【解析】直线:210l kx y k --+=，即()210k x y --+=， Q 直线l 恒过定点()2,1，∴直线l 过圆2C 的圆心，AC DB =u u u r Q u u u r，22AC C B ∴=，2C ∴的圆心为A 、B 两点中点， 设()11,A x y ，()22,B x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩， 上下相减可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，化简可得2121221212x x y y b k y y a x x +--⋅==+-，222b k a -⋅=， 221,122b k a ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，e ⎛= ⎝⎦，故选C ． 12．已知点P 为双曲线()222210x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,3【答案】D 【解析】设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得122PF PF a -=，122F F c =， 1112PF S PF r =⋅△，2212PF S PF r =⋅△，12122PF F S c r cr =⋅⋅=△， 由题意得12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥，故()12332c PF PF a ≤-=， 故3ce a=≤，又1e >，所以，双曲线的离心率取值范围是(]1,3，故选D ． 二、填空题13．已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF 的斜率为3，则双曲线的离心率为______． 【答案】72+ 【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为1F ，由于AF 360BAF ∠=︒，且AF AB =，所以ABF △是等边三角形， 所以130F BF ∠=︒，所以13BF c =，4BF c =， 所以2221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=，所以1AF =，由双曲线的定义可知24a c =-． 14．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点， 满足123MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】设M 点的横坐标为x ，∵123MF MF =，M 在双曲线右支上()x a ≥，根据双曲线的第二定义， 可得223a a e x e x c c ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ex a ∴=，x a ≥Q ，ex ea ∴≥，2a ea ∴≥，2e ∴≤，1e >Q ，12e ∴<≤，故答案为(]1,2．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S =△△，则该椭圆的离心率为_______．【解析】根据题意，因为2AF x ⊥轴且()2,0F c ，假设A 在第一象限，则2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，过B 作BC x ⊥轴于C ，则易知121AF F BFC △～△， 由14PAB PBF S S =△△得113AF BF =，所以23AF BC =，1213F F CF =， 所以25,33b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222225199c b a a +=，即222259c b a +=，又222b a c =-，所以223c a =，所以椭圆离心率为c e a ==．． 16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．【答案】111,,1322⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【解析】椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称， 设P 在第一象限，11PF PF >，当1122PF F F c ==时，21222PF a PF a c =-=-， 即222a a c >-，解得12e >， 又因为1e <，所以112e <<， 当2122PF F F c ==时，12222PF a PF a c =-=-， 即222a c c ->且2c a c >-，解得：1132e <<，综上112e <<或1132e <<．三、解答题17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>（1）求双曲线C 的渐进线方程．（2）当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．【答案】（1）y =；（2）1m =±．【解析】（1）由题意，得ce a=223c a ∴=， ∴22222b c a a =-=，即222b a=，∴所求双曲线C 的渐进线方程by x a=±=．（2）由（1）得当1a =时，双曲线C 的方程为2212y x -=．设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，由2212yxx y m-⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得22220x mx m---=（判别式0Δ>），∴1202x xx m+==，002y x m m=+=，∵点()00,M x y在圆225x y+=上，∴()2225m m+=，∴1m=±．18．已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左焦点为()1,0F-，离心率2e=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l交椭圆C于A，B两点．①若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足PA AFλ=u u u r u u u r，PB BFμ=u u u r u u u r．求证：λμ+为定值；②若OA OB⊥，求OAB△面积的取值范围．【答案】（1）2212xy+=；（2）①见解析，②322OABS≤<△．【解析】（1）由题设知，2ca=1c=，所以22a=，1c=，21b=，所以椭圆C的标准方程为2212xy+=．（2）①由题设知直线l斜率存在，设直线l方程为()1y k x=+，则()0,P k．设()11,A x y，()22,B x y，直线l代入椭圆2212xy+=得()2222124220k x k x k+++-=，所以2122412kx xk+=-+，21222212kx xk-=+，由PA AFλ=u u u r u u u r，PB BFμ=u u u r u u u r知111xxλ=-+，221xxμ=-+，2222121222121222444212124422111212k kx x x x k kk kx x x xk kλμ--++++++=-=-=--++++-+++．高三数学总复习精准培优专题练习11 ②当直线OA ，OB分别与坐标轴重合时，易知OAB S =△． 当直线OA ，OB 斜率存在且不为0时，设:OA y kx =，1:OB y x k=-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，直线y kx =代入椭圆C 得到222220x k x +-=， 所以212212x k =+，2212212k y k =+，同理2222212k x k =+，212212y k =+212OAB S OA OB =⨯==△， 令211t k =+>，则OAB S ==△ 因为()10,1t∈，所以291192424t ⎛⎫<--≤ ⎪⎝⎭，故32OAB S ≤△，综上32OAB S ≤<△．。
《离心率》专题复习(含答案)
圆锥曲线的离心率圆锥曲线求离心率范围问题一致是近几年高考的重点和热点，尤其是新课标卷在选择题中出现的次数比较频繁。
下面本文将对求离心率问题的常见求法进行较为系统的总结，希望能对同学们有所帮助。
一.直接利用条件寻找,a c 的关系求解例1设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ▲ )（A（B（C（D解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b -=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：b c -，()1b ba c∴⋅-=-，2b ac ∴= 220c a ac --=，解得c e a ==. 例2 斜率为2的直线过中心在原点且焦点在x 轴上的双曲线的右焦点，与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，则双曲线的离心率的取值范围是( ▲ )A.2>e B.31<<e C.51<<e D.5>e解析 设双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，右焦点的坐标为)0,(c ，直线l 的方程为)(2c x y -=.由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)(212222c x y b y a x ，得0)4(8)4(2222222=+-+-b c a cx a x a b .根据题意得⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=>+-+=∆04)4(0)4)(4(46422222212222224a b b c a x x b c a b a c a ，5.05,042222>>->-e a c a b . 小结 将直线的方程与双曲线的方程联立后，使判别式大于零，同时注意021<x x .二、利用圆锥曲线的定义求解例1设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=o且123AF AF =，则双曲线的离心率为( ▲ )ABCD解1222221222()()(2)AF AF AF a a e AF AF c ì-==ïï??íï+=ïî例2 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，若P 为其上一点，||2||21PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是( ▲ )A.)3,1(B.]3,1(C.),3(+∞D.),3[+∞解析 由双曲线的定义得a PF PF a PF PF PF 4||2||,2||||||21221====-. ∴||||||2121F F PF PF ≥+.∴3,26≤≥acc a . 故双曲线离心率的取值范围是]3,1(，选B.三、利用圆锥曲线的范围(有界性)求解例1 椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆M 上的任意一点，且21PF PF ⋅的最大取值范围是]3,[22c c ，其中22b a c -=，则M 的离心率e 的范围为( ▲ )A.]21,41[B.]22,21[ C.)1,22[ D.)1,21[ 解析设),(),0,(),0,(21y x P c F c F -，则22221c y x PF PF -+=⋅.又12222=+b y a x ， ∴22222220,a x a x b b y ≤≤-=.∴222222222221)1(c b x ac c b x a b PF PF -+=-+-=⋅， ],0[22a x ∈.当22a x =时，2max 21||b PF PF =⋅，22213222≤≤⇒≤≤e c b c .选B.小结 确定椭圆上点),(y x P 与c b a ,,的等量关系，由椭圆的范围，即b y a x ≤≤||,||建立不等关系.如果涉及到曲线上的点到焦点的距离的有关问题，可用曲线的焦半径公式分析.四、利用数形结合求解例1 如右图所示，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 和圆222)2(c by x +=+(其中c 为椭圆的半焦距)有四个不同的交点，求椭圆的离心率的取值范围.解析 要使椭圆与圆有四个不同的交点，只需满足a c bb <+<2，即⎪⎩⎪⎨⎧+-<<⇒⎩⎨⎧-<<222224844222cac a b c b c a b c b ()()53555350535484422222222222<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>1>⇒⎩⎨⎧<--<⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-<-<-⇒e c a a c c a c a c a cac a c a c c a . 小结 将数用形来体现，直接得到c b a ,,的关系，这无疑是解决数学问题最好的一种方法，也是重要的解题途径.例2 如图，F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( ▲ ) A. 3B. 5C.52D.1＋ 3yxO从以上四种求圆锥曲线离心率的范围的策略来看，我们要明确求离心率的范围的关键是建立一个c b a ,,的不等关系，然后利用椭圆与双曲线中222,,c b a 的默认关系以及本身离心率的限制范围，最终求出离心率的范围.【高考题回顾】1．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点分别为F 、2F ，以1F 、2F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e 为 （ B ）A ．312+ B ．31- C ．4(23)- D ．324+ 解析：设点P 为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图， 由平面几何知识可得2112||:||:||1:3:2PF PF F F =，所以由椭圆的定义及cea=得： 1212||22312||||31F F c e a PF PF ====-++，故选B ． 变式提醒：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率31e =+．2. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =u u u r u u u r，则双曲线的离心率是 ( )A ．2B ．3C ．5D ．10【解析】对于(),0A a ，则直线方程为x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭u u u r u u u r ， 因此222,4,5AB BC a b e =∴=∴=u u u r u u u r ．答案：C3. （09江西理）过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．33 C ．12 D ．13【解析】因为2(,)b P c a -±，再由1260F PF ∠=o有232,b a a =从而可得33c e a ==，故选B 1F 2F xOyP4．B 设()()1122,,,P x y Q x y ，依题意直线PQ 的方程为3y x =，代入双曲线方程并化简得222222222223,333a b a b x y x b a b a ===--，故221212220,,3a b x x x x b a-+=⋅=- 12y y ⋅= 221222333a b x x b a-⋅=-，设焦点坐标为(),0F c ，由于以PQ 为直径的圆经过点F ，故0FP FQ ⋅=u u u v u u u v ，即()()1122,,0x c y x c y -⋅-=，即21240x x c +=，即4224630b a b a --=，两边除以4a 得42630b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2323b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故2142331b e a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，故选B. 5．D ∵点,2a N c ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆的外部，∴222214c a a b +＞，2212b a ＜ ，由椭圆的离心率22121122c b e a a ==--=＞ ，122MF MN a MF MN +=-+， 又因为2MF MN -+≤2NF ，且22aNF =，要11232MF MN F F +<恒成立，即22a MF MN -+≤32222a a c +<⨯，则椭圆离心率的取值范围是5,16⎛⎫⎪⎝⎭．故选D ． 6．C 如图：由题意得：112AF F F =，所以1212F AF F F A ∠=∠， 又12F B F B =，所以1221BF F BF F ∠=∠， 又2F B 是21AF F ∠的平分线，所以122BF F AF B ∠=∠， 所以221~BAF AF F V V ，所以2212||AF AB F F =⋅，即2(22)||2c a AB c -=⋅，所以22()||c a AB c-=，由角平分线定理知，2112||AF AB BF F F =，则112211||BF F F AB AF +=+， 所以21122||AF AB AF F F AF =+，所以2222()2()||22222c a c c a c a AB c c a c c a c---=⋅==-+-，故2223303102c ac a e e e +-+=⇒-+=⇒=． 7．D 依题意有m 2﹣4＝a 2+4，即m 2＝a 2+8，∴()()22222212224222244432288a m a e e m a a a a a +-++=+==+++ ，12121TF TF TF TF 2|a |,TF |a |4+=-==<，解得24242421132501,089,,28989a a a a a a a <∴<+<∴>∴+>++ 22123250299e e ∴+>+=.。
离心率练习(含答案)
一、填空题1. 过双曲线22221(0,0)xy a b ab-=>>的左焦点(,0)F c -作圆222x y a +=的切线,切点为E,延长FE 交抛物线24y cx =于点P ,若E 为线段FP 的中点,则双曲线的离心率为 .2. 已知双曲线22221x y ab-=()0,0a b >>的半焦距为c ，若240b ac -<，则它的离心率的取值的范围是______ ____.3. 设21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左,右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P +=（O 为坐标原点），且12PF =，则双曲线的离心率是 .4. 双曲线1422=-kyx的离心率)2,1(∈e ，则实数k 的取值范围是．二、选择题 5. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左右焦点分别为21,F F , P 为双曲线右支上的任意一点，若||||221PF PF 的最小值为a 8，则双曲线离心率的取值范围是( )A. (1，+)∞B.]2,1(C.]3,1(D.(1,3]6. 如果椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的离心率为2，那么双曲线22221x y ab-=的离心率为（ ）A．2B ．54CD ．27. 已知双曲线22221x y ab-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为( )A ．53B．3C ．54D．28. 双曲线C 的方程为212222,),0,0(1l l b a by ax >>=-为其渐近线，F 为右焦点，过F 作2//l l 且l 交双曲线C 于R ，交1l 于M 。
若)32,21(,∈=λλ且FM FR ，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A ．)2,1(B ．)3,2(C ．)5,3(D ．),5(+∞9. 设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，其中F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且12||2||PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B C 2D 10. 设点P 是双曲线22221(,0)x y a b ab-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且12||3||PF PF =，则双曲线的离心率A ．B ．2C D 211.线的离心率等于 （A ）22 （B ）2 （C ） 2 +1 （D ）312. 已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为 A.2B. 21+C. 3D. 31+13. 若在双曲线22221(0,0)xya b a b-=>>的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. e >B. 1e <<C. 2e >D. 12e <<14. 已知点12F F 、分别是双曲线22221x y ab-=的左右焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B、两点，若1ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．1,)+∞B ．C ．(1,1+D ．)+∞15. 已知F 1、F 2分别是双曲线22221x y ab-=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B两点，若△ABF 2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ．（1，+∞）B ．C ．(1,1+D ．(1)++∞16. F1和F2分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB F 2∆是等边三角形，则双曲线的离心率为A ．3B ．5C ．25D ．31+17. 直线L 经过双曲线2221xab2y －＝（a>0，b>0）右焦点F 与其一条渐近线垂直且垂足为A ，与另一条渐近线交于B 点，AF＝12FB ，则双曲线的离心率为（A）4 （B）3（C（D ）2 18. 已知F 1、F 2分别是双曲线C ：2221x ab2y －＝（a>0，b>0）的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，且∠F 1MF 2＝90°，则双曲线的离心率为 （A）（B（C ）2 （D ）319. 已知双曲线22221(0)x y a b ab-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为左支一点，P 到左准线的距离为d ，若12,||,||d PF PF 成等比数列，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A．12⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭B．11,2⎛+⎝⎦C．)1⎡++∞⎣D．(1,1+20. 在平面直角坐标系xoy 中，设椭圆22221x y ab+=（a >b > 0）的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过点P （2ac，0）作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12B2C4D21. 已知椭圆222:1(03)9xy C b b+=<<的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 为椭圆C 短轴的一个端点，直线AF 1与C 的另一个交点为B ，若|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12B2C3D ．2322. 以椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（A）2（B）2（C）2（D）223. 椭圆的长轴为A 1A 2，B 为短轴的一个端点，若∠A 1BA 2=120°，则椭圆的离心率为A ．36 B ．21 C ．33 D ．2324. 椭圆M: )0(1a2222>>=+b a by x的左，右焦点分别为,,21F F 且1F P ·2F P 的最大值的取值范围是〔223,2C C 〕，则椭圆M 的离心率的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,23 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,22 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,23 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,31 25. 如图所示，已知椭圆的方程为22221(0)x y a b ab+=>>，A 为椭圆的左顶点，B ，C 在椭圆上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝45°，则椭圆的离心率等于()A2B3C3D326. 已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A3B．3C．2D227. 过椭圆左焦点F 且倾斜角为60 的直线与椭圆交于A 、B 两点，若32AFFB =，则椭圆的离心率等于（A ）25（B）3（C ）12（D ）23答案1.22. (1,2+3.1+ 4. （0，12 ）5. D 6. A 7. A 8. B . B 10. D 11. B 12. D 13. C 14. C 15. D 16. D 17.B 18.C 19.D 20. B 21. B 22. A 23. A 24. A 25. C 26. A 27. A。
高三优质精准培优 离心率
高三精准培优专练1．离心率的值例1：设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．2．离心率的取值范围例2：已知是双曲线的左焦点，是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．一、单选题1．若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2．倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．1F2F()2222:10x yC a ba b+=>>P C 1PF y1230PF F∠=︒33361316F22221x ya b-=()0,0a b>>EF x A B ABE△e()1,+∞()1,2()1,12+()2,12+()2222:10,0x yC a ba b-=>>()2,1-C 10513252π4()222210x ya ba b+=>>F A B 2AF FB=23223332离心率对点增分集训3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设、分别是双曲线，的左、右焦点，是该双曲线右支上的一点，若，分别是的“勾”“股”，且，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D4．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，它们交于，两点，且直线过点，则双曲线的离心率为（ ） ABCD ．25．已知点在椭圆上，若点为椭圆的右顶点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ． 6．已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的最小值为（ ） ABCD ．7．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为（ ） A ．B ．C ．2D ．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，为坐标原点，1F 2F ()222210,0x y a b a b -=>>P 1PF 2PF 12Rt F PF △124PF PF ab ⋅=()2212210,0:x y C a b a b-=>>F ()2220:C y px p =>A B AB F 1C 1()()000,P x y x a ≠±()2222:10x y C a b a b+=>>M C PO PM ⊥O C e ⎛ ⎝⎭()0,1⎫⎪⎪⎝⎭⎛ ⎝⎭()222210x y a b a b+=>>A B P 120APB ∠=︒3422221x y a b-=1F 2F P 124PF PF =e 435373()222210x y a b a b+=>>1F 2F P O若，且，则该椭圆的离心率为（ ） A ．BC ． D9．若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知，是一对相关曲线的焦点，，分别是椭圆和双曲线的离心率，若P 为它们在第一象限的交点，，则双曲线的离心率（ ） AB ．2C D ．311．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 12．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题13．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，若直线______．14．已知双曲线，其左右焦点分别为，，若是该双曲线右支上一点，1212OP F F =212PF PF a =34122y x =()222210x y a b a b-=>>(()+∞)+∞1F 2F 1e 2e 1260F PF ∠=︒2e =:210l kx y k --+=()22122:10x y C a b a b+=>>A B ()()222:211C x y -+-=C D []2,1k ∈--AC DB =1C 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎛ ⎝⎦⎫⎪⎪⎣⎭P ()222210x y a b a b-=>>1F 2F I 12PF F △121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△(]1,2()1,2(]0,3(]1,3()220y px p =>()222210,0x y a b a b-=>>F AAF ()222210,0x y a b a b-=>>1F 2F M满足，则离心率的取值范围是__________．15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，的两点，且轴，若为椭圆上异于，的动点且，则该椭圆的离心率为_______．16．在平面直角坐标系中，记椭圆的左右焦点分别为，，若该椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．三、解答题17．已知双曲线（1）求双曲线的渐进线方程．（2）当时，已知直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求的值．18．已知椭圆的左焦点为，离心率．123MF MF =e ()222210x y a b a b+=>>1F 2F 1F A B 2AF x ⊥P A B 14PAB PBF S S =△△xOy ()222210x y a b a b+=>>1F 2F P 12F F P △()2222:10,0x y C a b a b-=>>C 1a =0x y m -+=C A B AB 225x y +=m ()2222:10x y C a b a b +=>>()1,0F -e（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线交椭圆于，两点．①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，．求证：为定值；②若，求面积的取值范围．C l C A B l C F y P PA AF λ=PB BF μ=λμ+OA OB ⊥OAB △。
高考数学专题十八圆锥曲线综合精准培优专练文
学习资料精品资料培优点十八圆锥曲线综合1．直线过定点例1：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为22，过左焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，且22PQ．（1）求C 的方程；（2）若直线l 是圆228xy上的点2,2处的切线，点M 是直线l 上任一点，过点M 作椭圆C 的切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，设切线的斜率都存在．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）22184xy；（2）证明见解析，2,1．【解析】（1）由已知，设椭圆C 的方程为222210x y a b ab，因为22PQ ，不妨设点,2P c ，代入椭圆方程得22221cab，又因为22c ea，所以21212b，b c ，所以24b，2228a b ，所以C 的方程为22184x y．（2）依题设，得直线l 的方程为22y x ，即40x y ，设00,M x y ，11,A x y ，22,B x y ，由切线MA 的斜率存在，设其方程为11yy k xx ，联立1122184yy k x x xy得，2221111214280kxk y kx x y kx ，由相切得222211111682140Δk y kx ky kx ，化简得221184y kx k，即22211118240x kx y ky，因为方程只有一解，所以1111122111822x y x y x kxyy ，所以切线MA 的方程为11112x yy xx y ，即1128x xy y ，同理，切线MB 的方程为2228x x y y ，学习资料精品资料又因为两切线都经过点00,M x y ，所以101020202828x x y y x x y y ，所以直线AB 的方程为0028x x y y ，又004x y ，所以直线AB 的方程可化为00248x x x y ，即02880x xy y ，令2088x y y，得21x y，所以直线AB 恒过定点2,1．2．面积问题例2：已知椭圆222210x y a bab的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为4，直线1:b l yxc与椭圆相交于A 、B 两点，2F 关于直线1l 的对称点E 在椭圆上．斜率为1的直线2l 与线段AB 相交于点P ，与椭圆相交于C 、D 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形ACBD 面积的取值范围．【答案】（1）22184xy；（2）3232,93．【解析】（1）由椭圆焦距为4，设12,0F ，22,0F ，连结1EF ，设12EF F ，则tanb c ，又222abc ，得sinb a ，cosc a，12122sin9012||sinsin 90F F c a c eb c aEF EF bca aa，解得222abc c b c ，28a，所以椭圆方程为22184xy．（2）设直线2l 方程：+y x m ，11,C x y 、22,D x y ，。
高考数学专题十八离心率精准培优专练理
培长处十八离心率1．离心率的值22例 1：设 F 1 ， F 2 分别是椭圆x y的左、右焦点，点P 在椭圆 C 上，线段C :a 2b 21 a b 0PF 1 的中点在 y 轴上，若PF 1 F 230 ，则椭圆的离心率为（）A ．3B ． 3C ．1D ．13636【答案】 A【分析】 此题存在焦点三角形△PF 1F 2 ，由线段 PF 1 的中点在 y 轴上， O 为 F 1F 2 中点可得PF 2∥y 轴，进而 PF 2F 1 F 2 ，又因为 PF 1F 2 30 ，则直角三角形 △PF 1F 2 中，PF 1 : PF 2 : F 1 F 2 2:1: 3 ，且 2a PF 1PF 2 ， 2cF 1F 2 ，因此ec 2c F 1F 23，应选 A ．a 2aPF 1 PF 232．离心率的取值范围例 2：已知 F 是双曲线x2 2ya 0,b 0 的左焦点，E 是该双曲线的右极点，过点Fa 2b 21且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若 △ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围为（）A ． 1,B ． 1,2C ． 1,1 2D ． 2,12【答案】 B【分析】 从图中可察看到若 △ABE 为锐角三角形， 只要要AEB 为锐角． 由对称性可得只要0,π即可．且 AF ，FE 均可用 a ，b ，c 表示， AF 是通径的一半， 得： AF2AEFb ，FE a c ，AF b 2 c 2 a 2 c a ，即 e1,2 ，应选 B ．因此 tan AEFa a c1c 11 e 2FEa aa对点增分集训一、单项选择题1．若双曲线 C :x 2 y 20,b 0的一条渐近线经过点 2, 1 ，则该双曲线 C 的离心率22 1 aab为（ ）A ． 10B ． 5C ．13 D ．522【答案】 D【分析】 Q 双曲线的渐近线过点2, 1 ，代入 ybx ，可得：12b ，aa即b1 ，225，应选 D ．ec 1ba2a 2a 222．倾斜角为 πx 2 y 2 1 a b0 右焦点 F ，与椭圆交于 A 、 B 两点，且的直线经过椭圆 224a buuur uuurAF 2 FB ，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．3 D ．3 3232【答案】 Axc2 t【分析】 设直线的参数方程为2 ，代入椭圆方程并化简得2yt21 212224 ，2abt2b ct b 02因此 t 1t 2 2 2b 2 c ， t 1 t 22b 4uuuruuur2t 2 ，代入上述韦达定理，a 2b 2 22 ，因为 AF2 FB ，即 t 1a b22 ， c 2．应选 A ．化简得 8c 2 a 2b 2 ，即c2a 9a33．《九章算术》 是我国古代内容极为丰富的数学名著， 第九章“勾股”， 叙述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设F1、 F2分别是双曲线2y 2x2 1 a 0,b0 ，的左、右焦点，P是该双曲线右支上的一点，若PF1， PF2分别2ba是 Rt△F1 PF2的“勾”“股”，且PF1 PF2 4ab ，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C． 2D．5【答案】 D【分析】由双曲线的定义得PF1 PF22a ，因此PF1PF224a 2，222 PF1 PF24a 2，由题意得PF1PF222F1F22即 PF1PF2，因此 PF1PF24c2，又 PF1PF24ab ，因此 4c28ab4a2，解得 b2a ，进而离心率 e c 5 ，应选 D．a22x y1 a0,b0的一个焦点 F 与抛物线C2: y2 2 px p 04．已知双曲线 C1 : 22的焦点a b同样，它们交于A，B 两点，且直线AB 过点 F ，则双曲线 C1的离心率为（）A．2B．3C． 2 1D． 2【答案】 C【分析】设双曲线 C1的左焦点坐标为 F 'c,0，由题意可得：F c,0， c p ，2则 A p, p ， B p ,p ，即 A c,2c， B c,2c ，22又： AF'AF2a ， AF ' F ' F 222222c ，AF2c2c据此有： 22c2c2a，即 2 1 c a ，则双曲线的离心率：c12 1 ．此题选择 C 选项．e21a225．已知点 P x0 , y0 x0ax y0 上，若点M为椭圆 C 的右极点，在椭圆 C : a2 b 2 1 a b且 PO PM （ O 为坐标原点），则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是（）3B ． 0,1C ．2D ． 0,2 A ． 0,,1232【答案】 C【分析】 由题意 POPM ，因此点 P 在以 OM 为直径的圆上，圆心为a,0 ，半径为 a，22因此圆的方程2y2为： xaa ，224b 2 2 20,a 上有解，与椭圆方程联立得：12 x ax b 0 ，此方程在区间a因为 a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，因此对称轴要介于a与 a 之间，2因此aaa ，联合 abc ，解得121 ，2a2222 b 22 2c 21a 2依据离心率公式可得21 ．应选 C ．e2226．已知椭圆x2y 2 1 a b 0 ，点 A ， B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得abAPB 120 ，则该椭圆的离心率的最小值为（）A ．2 B ． 3C ．6D ．32234【答案】 C【分析】 设 M 为椭圆短轴一端点，则由题意得AMB APB120 ，即 AMO60 ，因为 tanOMAa a tan603 ， a222， 2a 23c 222 b，因此3b ，a 3 a c，e，b3e6，应选 C ．3x 227．已知双曲线y1的左，右焦点分别为F 1， F 2，点P 在双曲线的右支上，且a 2b 2PF 1 4 PF 2 ，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ． 2D ．7333【答案】 B【分析】 由双曲线的定义知 PF 1 PF 2 2a①；又 PF 1 4 PF 2 ，②联立①②解得 PF 18 a ， PF 2 2 a ，3364 a 2 4 a 24c 29在 △PF 1F 2 中，由余弦定理，得 cos F 1PF 29 917 2，828 e2 a a833要求 e 的最大值，即求 cos F 1 PF 2 的最小值，当 cos F 1 PF 21 时，解得 e5，即 e 的最大值为5，应选 B ．33解法二：由双曲线的定义知 PF 1 PF 2 2a ①，又 PF 1 4 PF 2 ，②，联立①②解得PF 18a ， PF 22a ，因为点 P 在右支因此 PF 2c a ，即 2a ca 故 5a c ，即 e 的3333最大值为 5，应选 B ．3228．已知椭圆x2y2 1 ab0 的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，点 P 在椭圆上， O 为坐标ab原点，若 OP12）F 1 F 2 ，且 PF 1 PF 2a ，则该椭圆的离心率为（2A ．3B ． 3C ．1D ．2 4222【答案】 D【分析】 由椭圆的定义可得， PF 1 PF 2 2a ，又 PF 1 PF 2a 2 ，可得 PF 1PF 2a ，即 P 为椭圆的短轴的端点，OPb ，且 OP1 c ，即有 c ba 2c22c ， ec 2 F 1F 2，即为 aa．应选 D ．22 229．若直线 y2 x 与双曲线x2y 21 ab0 有公共点， 则双曲线的离心率的取值范围为ab（ ）A ．1,5B ．1,5C ．5,D ．5,22bx ，【分析】 双曲线xy 1 ab 0 的渐近线方程为 ya 2b 2abcb2由双曲线与直线 y2 x 有交点，则有 2 ，即有 e 1+ 1 45 ，aaa则双曲线的离心率的取值范围为 5,，应选 D ．10．我们把焦点同样且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“有关曲线”．已知 F 1，F 2是一对有关曲线的焦点，e 1 ， e 2 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点， F 1 PF 2 60 ，则双曲线的离心率 e 2（ ）A ． 2B ． 2C ． 3D ． 3【答案】 C【分析】 设 F 1 c,0 ， F 2 c,0 ，椭圆的长半轴长为 a ，双曲线的实半轴长为 m ，可得 PF 1PF 2 2a ， PF 1 PF 2 2m ，可得 PF 1 a m ， PF 2 a m ，由余弦定理可得 F 1 F 2 2PF 1 2PF 2 22PF 1 PF 2 cos60 ，即有 4c 2a m2a m23m 2 ，a m a m a 2由离心率公式可得 13 4 ， e 1 e 2 423 0 ，解得 e 23 ，应选 C ．e2e21，即有 e 24e 21 211．又到了大家最喜（ tao ）爱（ yan ）的圆锥曲线了．已知直线 l : kxy 2k 1 0 与椭圆x 2y 21 a b 0 交于 A 、B 两点，与圆 C2 : x22y 21交于 C 、D 两点．若C 1: 221abuuur uuur存在 k 2, 1 ，使得 AC DB ，则椭圆 C 1 的离心率的取值范围是（）A ． 0,1B ． 1,1C ． 0,2 D ．2,12222【答案】 C【分析】 直线 l : kx y 2k 1 0 ，即 k x 2y 1 0 ，Q 直线 l 恒过定点 2,1 ， 直线 l 过圆 C 2 的圆心，uuur uuurC 2 B ， C 2 的圆心为 A 、 B 两点中点，Q AC DB ， AC 2x 1 2 y 121 ， 设 A x 1 , y 1 ， B x2 , y 2 ， a 2 b 2x 2 2 y 2 21a2b2上下相减可得：x 1x 2 x 1 x 2 y 1 y 2 y 1y2，a 2b 2化简可得x 1 x 2b 2 y 1 y 2k ， 2b 2 k ，y 12x 1x 2a 2y 2 a22b 2 k 1 ,1 ， e b0, 2 ，应选 C ． a22a 222212．已知点 P 为双曲线xy 1 ab 0 右支上一点，点F 1 ， F 2 分别为双曲线的左右焦a 2b 2点，点 I 是 △PF 1 F 2 的心里（三角形内切圆的圆心） ，若恒有 S △ IPF 1S △ IPF 2 1S △IF 1 F 2 建立，则3双曲线的离心率取值范围是（）A ． 1,2B ． 1,2C ． 0,3D ． 1,3【答案】 D【分析】设 △PF 1F 2 的内切圆半径为 r ，由双曲线的定义得 PF 1PF 2 2a ， F 1F 22c ，S △ PF 1 PF 1 r ，S △ PF1PF 2r ， S △PF F1222c r cr ，1221 2由题意得 1 PF 1 r1 PF2 r 1 cr ，故 c3 PF 1 PF 2 3a ，2 23 2故 ec3 ，又 e 1 ，因此，双曲线的离心率取值范围是1,3 ，应选 D ．a二、填空题2 213．已知抛物线 y 2 2 px p 0 与双曲线xyF ，点A 是22 1 a 0, b 0 有同样的焦点a b两曲线的一个交点，若直线 AF 的斜率为 3 ，则双曲线的离心率为 ______．【答案】7 23【分析】 如下图，设双曲线的此外一个焦点为 F 1 ，因为 AF 的斜率为 3 ，因此BAF60 ，且 AFAB ，因此 △ABF 是等边三角形，因此F 1 BF 30 ，因此 BF 12 3c ， BF4c ，216c 2 4c 2 2 4c 2c cos120 28 ，因此 AF 1因此 AF 1 2 7 c ，由双曲线的定义可知2a 2 7c 4c ，因此双曲线的离心率为7 2 ．32214．已知双曲线xy1 a0,b0 ，其左右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，若 M 是该双曲线右支a 2b 2上一点，知足 MF 13，则离心率 e 的取值范围是 __________ ．MF 2【答案】 1,2【分析】 设 M 点的横坐标为x ，∵ MF 13 ， M 在双曲线右支上 x a，依据双曲线的第MF 2二定义，22可得 3e xaa， ex2a ，e xccQ x a ， ex ea ， 2a ea ， e 2 ， Q e 1 ， 1 e 2 ，故答案为 1,2 ．2 215．已知椭圆xy0 的左、右焦点分别为F 1，F 2 ，过 F 1 的直线与椭圆交于A ，a2b 21 a bB 的两点，且 AF 2x 轴，若 P 为椭圆上异于 A ， B 的动点且 S △ PAB 4S △ PBF 1 ，则该椭圆的离心率为 _______．【答案】33【分析】 依据题意，因为 AF 2x 轴且 F 2 c,0 ，假定 A 在第一象限，则 Ac,b 2，a过B 作 BC x 轴于 C ，则易知 △AF 1F 2 ～△ 1BFC ，由 △PAB△得 AF3 BF，因此 AF2 3 BC，F F3 CF，S 4 S PBF 1111 21因此 B5 c, b 2 ，代入椭圆方程得 25c 2 b 21 ，即 25c2 b 2 9a 2 ，3 3a 9a 2 9a 2又 b 2a 2 c 2 ，因此 3c 2a 2 ，因此椭圆离心率为 ec3 ．a3故答案为3 ．3x 2 216．在平面直角坐标系 xOy 中，记椭圆y 1 ab 0 的左右焦点分别为F 1，F 2，若a22b该椭圆上恰巧有 6 个不一样的点 P ，使得 △F 1F 2 P 为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范 围是 ____________ ．【答案】1 1 1 3 , U ,122【分析】 椭圆上恰巧有 6 个不一样的点 P ，使得 △F 1 F 2 P 为等腰三角形， 6 个不一样的点有两个为椭圆短轴的两个端点，此外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设 P 在第一象限， PF 1 PF 1 ，当 PF 1 F 1 F 2 2c 时， PF 2 2a PF 1 2a 2c ，即 2a 2a 2c ，解得 e1 ，2又因为 e 1 ，因此1e 1 ，2当 PF 2 F 1 F 2 2c 时， PF 1 2a PF 2 2a 2c ，即 2a 2c 2c 且 2ca c ，解得： 1e1 ，32综上1e 1 或1e1 ．2 32三、解答题x2 217．已知双曲线y1 a 0,b 0 的的离心率为3 ，则C :2b 2a（1）求双曲线 C 的渐进线方程．（2）当 a 1 时，已知直线 xy m0 与双曲线 C 交于不一样的两点 A ， B ，且线段 AB 的中点在圆 x 2y 25 上，求 m 的值．【答案】（ 1） y 2x ；（ 2） m1 ．【分析】（ 1）由题意，得 ec 3 ，c 2 3a 2 ，a2∴ b2c2a22a 2 ，即b22 ，a∴所求双曲线 C 的渐进线方程yb x 2x ．a2（2）由（ 1）适当 a1 时，双曲线2yC 的方程为 x1 ．2设 A ， B 两点的坐标分别为x 1 , y 1 ， x 2 , y 2 ，线段 AB 的中点为 M x 0 , y 0 ，由x2y 2 12 22 ，得 x 2 0 （鉴别式0 ），2mx mx ym 0∴x 0x 1 x 2m ， y 0x 0 m 2m ，2∵点 M x 0 , y 0 在圆 x 2 y 25 上，∴ m 225 ，∴ m 1 ．2mx 2 y 2218．已知椭圆2 1 a b 0 的左焦点为 F C : 2b 1,0 ，离心率 e ．a2（ 1）求椭圆 C 的标准方程；（ 2）已知直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点．uuur uuur uuur uuur①若直线 l 经过椭圆 C 的左焦点 F ，交 y 轴于点 P ，且知足 PA AF ，PBBF ．求证：为定值；②若 OAOB ，求 △OAB 面积的取值范围．2 32 ．【答案】（ 1）xy21 ；（ 2）①看法析，② S △OAB222【分析】（ 1）由题设知， c2 ， c 1，因此 a22 ， c 1 ， b 2 1 ，a 22因此椭圆 C 的标准方程为x2 1 ．2y（2）①由题设知直线 l 斜率存在，设直线l 方程为 y kx 1，则P0,k ．2设 A x 1 , y 1 ， B x 2 , y 2 ，直线 l 代入椭圆 xy 2 1 得 1 2k 2 x 2 4k 2 x 2k 2 2 0 ，222uuur uuur uuur uuur因此 x 1x 24k 2 ， x 1 x 2 2k 22，由 PA AF ，PBBF 知1 2k1 2kx 1 ， x 2 ，x 21 x 11x 1 x 22x 1 x 24k 2 4k 2 41 2k 21 2k 24 ．1 x 1x 2x 1 x 24k22 k 2 212k 212k 21②当直线 OA ， OB 分别与坐标轴重合时，易知S△ OAB2 ．2当直线 OA ， OB 斜率存在且不为0 时，设 OA : ykx ，OB : y 1，xk设 A x 1 , y 1 ， B x 2 , y 2 ，直线 ykx 代入椭圆 C 获得 x 22k 2 x 2 2 0 ，22因此 x1212， y122k，同理 x222k， y1222k212k 212k212k2S△ OAB 11k 21k 22OA OB1 2k2 2 k 22k45k 2，22令 t 1k2 1 ，则S△OABt 2t2112，2 t 1222t2t 1 1 195 t 121 1t24t2t2因为10,1，因此 29119，故 3S△ OAB2，综上3S△ OAB 2 ．t4t242222。
高三精准培优专练十八 离心率(理) 考试版
7．已知双曲线 的渐线方程为 ，则此双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
8．如图，点 在以 ， 为焦点的双曲线 上，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，若四边形 为菱形，则该双曲线的离心率为（）
A． B．2C． D．
9．椭圆 ： 的右焦点为 ，过 作 轴的垂线交椭圆 于 ， 两点，
∴ ，离心率 ，∴ ，故选A．
二、填空题
11．【答案】
【解析】根据椭圆的方程可得： ， 题意，双曲线 的一条渐近线方程为 ，
所以 ，所以 ，所以 ．
故答案为 ．
13．【答案】
【解析】∵ 垂直于 ，∴可得 ，
又∵ 为等腰三角形，∴ ，即 ，
整理得 ，解得 ．
若 是直角三角形( 为坐标原点)，则 的离心率为（）
A． B． C． D．
10．经过双曲线 的右焦点，倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题
11．椭圆 的离心率为______．
12．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率
（1）若直线 的斜率为 ，求 的离心率；
（2）若直线 在 轴上的截距为2，且 ，求 ， ．
16．已知双曲线的中心在原点，焦点 ， 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 ．
（1）求双曲线的方程；
（2）若点 在双曲线上，求证： ；
例1：【答案】C
【解析】∵ ，∴ ，∴ ．故选C．
例2：【答案】C
【解析】由 ，得双曲线标准方程为 ， ，
因此双曲线的渐近线方程为 ，即 ，
，得 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 ，故选B．
8．【答案】C
2019届高考数学专题十八离心率精准培优专练理(1)
培优点十八 离心率1．离心率的值例1：设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）ABC ．13D ．16【答案】A【解析】本题存在焦点三角形12PF F △，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=︒，则直角三角形12PF F △中，1212::2PF PF F F =且122a PF PF =+，122c F F =，所以121222F F c c e a a PF PF ∴====+，故选A ．2．离心率的取值范围例2：已知F 是双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C．(1,1+D．(2,1【答案】B【解析】从图中可观察到若ABE △为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角．由对称性可得只需π0,4AEF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭即可．且AF ，FE 均可用a ，b ，c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a =，FE a c =+，所以()()222tan 1112AFb c a c aAEF e FE a a c a a c a--==<⇒<⇒<⇒<++，即()1,2e ∈，故选B ．一、单选题1．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线经过点()2,1-，则该双曲线C 的离心率为（ ） ABCD【答案】D【解析】双曲线的渐近线过点()2,1-，∴代入b y x a =-，可得：21ba -=-，即12b a =，e ∴==，故选D ． 2．倾斜角为π4的直线经过椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】设直线的参数方程为x c y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩，代入椭圆方程并化简得2222411022a b t ct b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以12t t +=，412222b t t a b ⋅=-+，由于2AF FB =，即122t t =-，代入上述韦达定理，化简得2228c a b =+，即2229c a =，c a =A ．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定对点增分集训理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △的“勾”“股”，且124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ） A B C ．2 D【答案】D【解析】由双曲线的定义得122PF PF a -=，所以()22124PF PF a -=，即222121224PF PF PF PF a +-⋅=，由题意得12PF PF ⊥，所以222212124PF PF F F c +==， 又124PF PF ab ⋅=，所以22484c ab a -=，解得2b a =，从而离心率ce a=D ． 4．已知双曲线()2212210,0:x y C a b a b -=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ） A B C 1D ．2【答案】C【解析】设双曲线1C 的左焦点坐标为()',0F c -，由题意可得：(),0F c ，2pc =， 则,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即(),2A c c ，(),2B c c -，又：'2AF AF a -=，'AF ，据此有：22c a -=，即)1c a =，则双曲线的离心率：1c e a ==．本题选择C 选项． 5．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C．⎫⎪⎪⎝⎭D．⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】由题意PO PM ⊥，所以点P 在以OM 为直径的圆上，圆心为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2a ，所以圆的方程为：22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与椭圆方程联立得：222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，此方程在区间()0,a 上有解，由于a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于2a与a 之间，所以22221a a a b a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合222a b c =+，解得221122a c <<，根据离心率公式可得12e <<．故选C ． 6．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（ ） ABCD ．34【答案】C【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB ∠≥∠=︒，即60AMO ∠≥︒， 因为tan a OMA b ∠=，所以tan60a b ≥︒=，a ∴，()2223a a c ≥-，2223a c ∴≤，223e ≥，e ≥，故选C ． 7．已知双曲线22221x y a b -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】B【解析】由双曲线的定义知122PF PF a -= ①；又124PF PF =， ② 联立①②解得183PF a =，223PF a =，在12PF F △中，由余弦定理，得222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅，要求e 的最大值，即求12cos F PF ∠的最小值， 当12cos 1F PF ∠=-时，解得53e =，即e 的最大值为53，故选B ． 解法二：由双曲线的定义知122PF PF a -= ①，又124PF PF =， ②，联立①②解得183PF a =，223PF a =，因为点P 在右支所以2PF c a ≥-，即23a c a ≥-故53a c ≥，即e 的最大值为53，故选B ．8．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点， 若1212OP F F =，且212PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ） A ．34BC ．12D【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，122PF PF a +=，又212PF PF a ⋅=，可得12PF PF a ==，即P 为椭圆的短轴的端点，OP b =，且1212OP F F c ==，即有c b ==a =，c e a ==．故选D ． 9．若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b -=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A．( B．(C．)+∞D．)+∞【答案】D【解析】双曲线()222210x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点，则有2b a >，即有c e a ==>则双曲线的离心率的取值范围为)+∞，故选D ．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，1260F PF ∠=︒，则双曲线的离心率2e =（ ） AB ．2 CD ．3【答案】C【解析】设()1,0F c -，()2,0F c ，椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ， 可得122PF PF a +=，122PF PF m =-，可得1PF a m =+，2PF a m =-， 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF -⋅=+︒， 即有()()()()2222243c a m a m a m a m a m =++--+-=+，由离心率公式可得2212134e e +=，121e e =，即有4222430e e -+=，解得2e =，故选C ． 11．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>交于A 、B 两点，与圆()()222:211C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝⎦ D．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C【解析】直线:210l kx y k --+=，即()210k x y --+=， 直线l 恒过定点()2,1，∴直线l 过圆2C 的圆心，AC DB =，22AC C B ∴=，2C ∴的圆心为A 、B 两点中点，设()11,A x y ，()22,B x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩， 上下相减可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，化简可得2121221212x x y y b k y y a x x +--⋅==+-，222b k a -⋅=， 221,122b k a ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，e ⎛= ⎝⎦，故选C ． 12．已知点P 为双曲线()222210x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,3【答案】D 【解析】设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得122PF PF a -=，122F F c =， 1112PF S PF r =⋅△，2212PF S PF r =⋅△，12122PF F S c r cr =⋅⋅=△， 由题意得12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥，故()12332c PF PF a ≤-=， 故3ce a=≤，又1e >，所以，双曲线的离心率取值范围是(]1,3，故选D ．二、填空题13．已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF ______．【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为1F ，由于AF 60BAF ∠=︒，且AF AB =，所以ABF △是等边三角形，所以130F BF ∠=︒，所以1BF =，4BF c =， 所以2221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=，所以1AF =，由双曲线的定义可知24a c =-． 14．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点， 满足123MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】设M 点的横坐标为x ，∵123MF MF =，M 在双曲线右支上()x a ≥，根据双曲线的第二定义，可得223a a e x e x c c ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ex a ∴=，x a ≥，ex ea ∴≥，2a ea ∴≥，2e ∴≤，1e >，12e ∴<≤，故答案为(]1,2．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S =△△，则该椭圆的离心率为_______．【解析】根据题意，因为2AF x ⊥轴且()2,0F c ，假设A 在第一象限，则2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，过B 作BC x ⊥轴于C ，则易知121AF F BFC △～△， 由14PAB PBF S S =△△得113AF BF =，所以23AF BC =，1213F F CF =， 所以25,33b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222225199c b a a +=，即222259c b a +=，又222b a c =-，所以223c a =，所以椭圆离心率为c e a ==．． 16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．【答案】111,,1322⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设P 在第一象限，11PF PF >，当1122PF F F c ==时，21222PF a PF a c =-=-， 即222a a c >-，解得12e >， 又因为1e <，所以112e <<， 当2122PF F F c ==时，12222PF a PF a c =-=-，即222a c c ->且2c a c >-，解得：1132e <<，综上112e <<或1132e <<．三、解答题17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>（1）求双曲线C 的渐进线方程．（2）当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值． 【答案】（1）y =；（2）1m =±． 【解析】（1）由题意，得ce a==223c a ∴=， ∴22222b c a a =-=，即222b a=，∴所求双曲线C的渐进线方程by x a=±=．（2）由（1）得当1a =时，双曲线C 的方程为2212y x -=．设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ， 由22120y x x y m -⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得22220x mx m ---=（判别式0Δ>）， ∴1202x x x m +==，002y x m m =+=， ∵点()00,M x y 在圆225x y +=上，∴()2225m m +=，∴1m =±．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，离心率e ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=，PB BF μ=．求证：λμ+为定值；②若OA OB ⊥，求OAB △面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）①见解析，②32OAB S ≤<△．【解析】（1）由题设知，c a =1c =，所以22a =，1c =，21b =， 所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）①由题设知直线l 斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+，则()0,P k ．设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 代入椭圆2212x y +=得()2222124220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+，由PA AF λ=，PB BF μ=知111x x λ=-+，221xx μ=-+，2222121222121222444212124422111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--++++++=-=-=--++++-+++．②当直线OA ，OB分别与坐标轴重合时，易知OAB S =△． 当直线OA ，OB 斜率存在且不为0时，设:OA y kx =，1:OB y x k=-，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线y kx =代入椭圆C 得到222220x k x +-=，所以212212x k =+，2212212k y k =+，同理2222212k x k =+，212212y k =+212OAB S OA OB =⨯==△， 令211t k =+>，则OABS ==△因为()10,1t∈，所以291192424t ⎛⎫<--≤ ⎪⎝⎭，故32OAB S≤△，综上32OAB S ≤<△．。
2020届高考数学专题十八离心率精准培优专练(理)
培优点十八离心率例1倍，则该椭圆的离心率为（）A．13B．3CD．3【答案】C【解析】∵22ab=ba=，∴3cea===．故选C．例2：已知双曲线()22:30C x ay a a-=>，则双曲线C的离心率为（）A B C D．3【答案】C【解析】由()2230x ay a a-=>，得双曲线标准方程为22133x ya-=，0a>，233c a∴=+，e∴==C．对点增分集训二、双曲线的离心率一、椭圆的离心率1．已知焦点在x 轴上的椭圆2213x y m +=的离心率为12，则m =（）A ．6 BC ．4D ．2【答案】C【解析】焦点在x 轴上的椭圆2213x y m +=，可得a =，c =，椭圆的离心率为1212=，解得4m =．故选C ． 2．已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为（）A BC D ．2【答案】C【解析】由双曲线的方程得29a =，23b =，又根据2229312c a b =+=+=，解得3a =，c =，所以c e a ==，故选C ．3．已知椭圆22221x y a b+=的长轴长为6，短轴长为A ．3B ．3C ．6D ．3【解析】因为椭圆22221x y a b+=的长轴长为6，短轴长为，所以26a =，2b =，解得3a =，b =所以c ===c e a ==， 故选A ．4．已知双曲线222:116x y E m-=的离心率为54，则双曲线E 的焦距为（）A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】D【解析】由已知可得54c a =， 又4a =，5c ∴=，∴焦距210c =，故选D ．5．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>()4,1在双曲线上，则该双曲线的方程为（）A ．2214x y -= B ．221205x y -= C ．221123x y -= D ．2218x y -= 【答案】C【解析】c a =因为点(4，1)在双曲线上，所以221611a b -=②； 因为222c a b =+③，联立①②③可得212a =，23b =，故选C ．6．过椭圆2214x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，则AB 和椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF △的周长为（）A ．2B ．4C ．8D ．【答案】C【解析】∵椭圆方程为2214x y +=，∴2a =，由椭圆定义知2ABF △的周长为22112248AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==． 故选C ．7．已知双曲线22221(0,0)y x m n m n-=>>的渐线方程为23y x =±，则此双曲线的离心率为（）A ．134B C D 【答案】B【解析】Q 双曲线方程为22221(0,0)y x m n m n-=>>，22a m ∴=，22b n =，因此双曲线的渐近线方程为ay x b =±，即m y x n=±，23m n ∴=，得23n m =，所以c ==所以双曲线的离心率c e a ===，故选B ． 8．如图，点P 在以1F ，2F 为焦点的双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，若四边形12F F PQ 为菱形，则该双曲线的离心率为（）A B ．2 C D ．1【答案】C【解析】由题意得：四边形12F F PQ 的边长为2c ，连接2QF ，由对称性可知，21||||2QF QF c ==，则三角形2QPF 为等边三角形．过点P 作PH x ⊥轴于点H ，则260PF H ∠=︒，2||2PF c =Q ，∴在直角三角形2PF H 中，||PH =，2||HF c =，则(2)P c ，连接1PF ，则1PF =．由双曲线的定义知，122||||21)a PF PF c c =-=-=，所以双曲线的离心率为12c e a ===． 故选C ．9．椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A ，B 两点，若OAB △是直角三角形(O 为坐标原点)，则C 的离心率为（）A 2B 1C D 【答案】C【解析】过(),0F c 作x 轴的垂线交椭圆C 于A ，B 两点，故2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于三角形OAB 是直角三角形，故OA OB ⊥u u u r u u u r，即0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，也即22422,,0b b b c c c a a a ⎛⎫⎛⎫⋅-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得422430c a c a -+=，42310e e -+=，解得232e =，12e =， 故选C ．10．经过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点，倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（） A ．[)2,+∞ B ．()1,2C ．(]1,2D ．()2,+∞【答案】A【解析】已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba，∴b a≥2222224c a b e a a +==≥，∴2e ≥，故选A ．二、填空题11．椭圆2214x y +=的离心率为______．【答案】2【解析】根据椭圆的方程可得：2a =，1b =，故c所以椭圆的离心率2c e a ==． 12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为30x y +=，则该双曲线的离心率为________．【解析】由题意，双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为30x y +=，所以3b a =，所以c ==，所以ce a==．13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为椭圆上一点，2AF 垂直于x 轴，且12AF F △为等腰三角形，则椭圆的离心率为__________．1【解析】∵2AF 垂直于x ，∴可得22bAF a=，又∵12AF F ∆为等腰三角形，∴212AF F F =，即22b c a=，整理得2210e e +-=，解得1e =．14．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率是________．【答案】2【解析】由矩形ABCD ，所以22||||b AB CD a ==，12||||2BC AD F F c ===，又由23AB BC =，所以246b c a=，又222b c a =-，所以22320e e --=，解得2e =或12e =-（舍去）．三、解答题15．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，M 是C 在第一象限上一点且2MF 与x轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ．（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ，b ．【答案】（1）12；（2）7a =，b = 【解析】（1）根据c =2,b M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由134MN MF k k ==，得23()4b ac c -=--，即223b ac =． 将222b a c =-代入，解得12c a =，2ca=-（舍去）． 故C 的离心率为12． （2）由题意，原点O 为12F F 的中点，2MF y ∥轴，所以直线1MF 与y 轴的交点(0,2)D 是线段1MF 的中点，故24ba=，即24b a =．①由15MN F N =，得112DF F N =．设()11N x y ,，由题意知10y <，则()11222c x c y ⎧--=⎨-=⎩，即11321x cy ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，代入C 的方程，得2229114c a b+=．②将①及c =()22941144a a a a-+=，解得7a =，2428b a ==，故7a =，b =16．已知双曲线的中心在原点，焦点1F ，2F ，且过点(4,P ．（1）求双曲线的方程； （2）若点()3,M m 在双曲线上，求证：120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ；【答案】（1）226x y -=；（2）证明见解析．【解析】（1）∵e =22x y λ-=．∵过点(4,P ，∴1610λ-=，即6λ=． ∴双曲线方程为226x y -=．（2）证明：1(3,)MF m =--Q u u u u r ，23,)MF m =-u u u u r ，2212(3(33MF MF m m ∴⋅=+⨯-+=-+u u u u r u u u u r ，∵M 点在双曲线上，∴296m -=，即230m -=，120MF MF ∴⋅=u u u u r u u u u r ．。
新牛津版2019年高考数学(理科)专题十八离心率精准培优专练(含答案)
培优点十八 离心率1．离心率的值例1：设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）ABC ．13D ．16【答案】A【解析】本题存在焦点三角形12PF F △，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=︒，则直角三角形12PF F △中，1212::2PF PF F F =且122a PF PF =+，122c F F =，所以121222F F c c e a a PF PF ∴====+，故选A ．2．离心率的取值范围例2：已知F 是双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（）A ．()1,+∞B ．()1,2C．(1,1+D．(2,1+【答案】B【解析】从图中可观察到若ABE △为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角．由对称性可得只需π0,4AEF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭即可．且AF ，FE 均可用a ，b ，c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a=，FE a c =+，所以()()222tan 1112AFb c a c aAEF e FE a a c a a c a--==<⇒<⇒<⇒<++，即()1,2e ∈，故选B ．一、单选题1．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线经过点()2,1-，则该双曲线C 的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】 双曲线的渐近线过点()2,1-，∴代入b y x a =-，可得：21ba-=-，即12b a =，e ∴===，故选D ．2．倾斜角为π4的直线经过椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB = ，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】设直线的参数方程为x c y ⎧⎪=⎨=⎪⎪⎪⎩，代入椭圆方程并化简得2222411022a b t ct b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以12t t +=，412222b t t a b ⋅=-+，由于2AF FB = ，即122t t =-，代入上述韦达定理，化简得2228c a b =+，即2229c a =，c a =A ．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △的“勾”“股”，且124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D 【答案】D对点增分集训【解析】由双曲线的定义得122PF PF a -=，所以()22124PF PF a-=，即222121224PF PF PF PF a +-⋅=，由题意得12PF PF ⊥，所以222212124PF PF F F c +==，又124PF PF ab ⋅=，所以22484c ab a -=，解得2b a =，从而离心率ce a==D ．4．已知双曲线()2212210,0:x y C a b a b-=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A B C 1+D ．2【答案】C【解析】设双曲线1C 的左焦点坐标为()',0F c -，由题意可得：(),0F c ，2pc =，则,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即(),2A c c ，(),2B c c -，又：'2AF AF a -=，'AF ==，据此有：22c a -=，即)1c a -=，则双曲线的离心率：1c e a ===．本题选择C 选项．5．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎭D ．⎛ ⎝【答案】C【解析】由题意PO PM ⊥，所以点P 在以OM 为直径的圆上，圆心为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2a ，所以圆的方程为：22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与椭圆方程联立得：222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，此方程在区间()0,a 上有解，由于a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于2a与a 之间，所以22221a a a b a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合222a b c =+，解得221122a c <<，1e <<．故选C ．6．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（ ）ABCD ．34【答案】C【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB ∠≥∠=︒，即60AMO ∠≥︒，因为tan a OMA b ∠=，所以tan60a b ≥︒=，a ∴≥，()2223a a c ≥-，2223a c ∴≤，223e ≥，e ≥选C ．7．已知双曲线22221x y a b -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】B【解析】由双曲线的定义知122PF PF a -= ①；又124PF PF =， ②联立①②解得183PF a =，223PF a =，在12PF F △中，由余弦定理，得222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅，要求e 的最大值，即求12cos F PF ∠的最小值，当12cos 1F PF ∠=-时，解得53e =，即e 的最大值为53，故选B ．解法二：由双曲线的定义知122PF PF a -= ①，又124PF PF =， ②，联立①②解得183PF a =，223PF a =，因为点P 在右支所以2PF c a ≥-，即23a c a ≥-故53a c ≥，即e 的最大值为53，故选B ．8．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若1212OP F F =，且212PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．34BC ．12D【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，122PF PF a +=，又212PF PF a ⋅=，可得12PF PF a ==，即P 为椭圆的短轴的端点，OP b =，且1212OP F F c ==，即有c b ==，即为a =，c e a ==．故选D ．9．若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b -=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A．(B．(C．)+∞D．)+∞【答案】D【解析】双曲线()222210x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点，则有2b a >，即有c e a ==>=，则双曲线的离心率的取值范围为)+∞，故选D ．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，1260F PF ∠=︒，则双曲线的P 离心率2e =（ ）AB ．2CD ．3【答案】C【解析】设()1,0F c -，()2,0F c ，椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ，可得122PF PF a +=，122PF PF m =-，可得1PF a m =+，2PF a m =-，由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF -⋅=+︒，即有()()()()2222243c a m a m a m a m a m =++--+-=+，由离心率公式可得2212134e e +=，121e e =，即有4222430e e -+=，解得2e =C ．11．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆()()222:211C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝D．⎫⎪⎪⎭【答案】C【解析】直线:210l kx y k --+=，即()210k x y --+=， 直线l 恒过定点()2,1，∴直线l 过圆2C 的圆心，AC DB =，22AC C B ∴=，2C ∴的圆心为A 、B 两点中点，设()11,A x y ，()22,B x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩，上下相减可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，化简可得2121221212x x y y b k y y a x x +--⋅==+-，222b k a -⋅=，221,122b k a ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，e ⎛= ⎝，故选C ．12．已知点P 为双曲线()222210x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,3【答案】D 【解析】设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得122PF PF a -=，122F F c =，1112PF S PF r =⋅△，2212PF S PF r =⋅△，12122PF F S c r cr =⋅⋅=△，由题意得12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥，故()12332c PF PF a ≤-=，故3ce a=≤，又1e >，所以，双曲线的离心率取值范围是(]1,3，故选D ．二、填空题13．已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF ______．【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为1F ，由于AF ，所以60BAF ∠=︒，且AF AB =，所以ABF △是等边三角形，所以130F BF ∠=︒，所以1BF =，4BF c =，所以2221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=，所以1AF =，由双曲线的定义可知24a c =-．14．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点，满足123MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】设M 点的横坐标为x ，∵123MF MF =，M 在双曲线右支上()x a ≥，根据双曲线的第二定义，可得223a a e x e x c c ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ex a ∴=，x a ≥ ，ex ea ∴≥，2a ea ∴≥，2e ∴≤，1e > ，12e ∴<≤，故答案为(]1,2．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S=△△，则该椭圆的离心率为_______．【解析】根据题意，因为2AF x ⊥轴且()2,0F c ，假设A 在第一象限，则2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，过B 作BC x ⊥轴于C ，则易知121AF F BF C △～△，由14PAB PBF S S=△△得113AF BF =，所以23AF BC =，1213F F CF =，所以25,33b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222225199c b a a +=，即222259c b a +=，又222b a c =-，所以223c a =，所以椭圆离心率为c e a ==．．16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．【答案】111,,1322⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设P 在第一象限，11PF PF >，当1122PF F F c ==时，21222PF a PF a c =-=-，即222a a c >-，解得12e >，又因为1e <，所以112e <<，当2122PF F F c ==时，12222PF a PF a c =-=-，即222a c c ->且2c a c >-，解得：1132e <<，综上112e <<或1132e <<．三、解答题17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>，则（1）求双曲线C 的渐进线方程．（2）当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．【答案】（1）y =；（2）1m =±．【解析】（1）由题意，得ce a==223c a ∴=，∴22222b c a a =-=，即222b a=，∴所求双曲线C的渐进线方程by x a=±=．（2）由（1）得当1a =时，双曲线C 的方程为2212y x -=．设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，由22120y x x y m -⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得22220x mx m ---=（判别式0Δ>），∴1202x x x m +==，002y x m m =+=，∵点()00,M x y 在圆225x y +=上，∴()2225m m +=，∴1m =±．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为()1,0F -，离心率e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ= ，PB BF μ=．求证：λμ+为定值；②若OA OB ⊥，求OAB △面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）①见解析，②32OAB S ≤<△．【解析】（1）由题设知，c a =1c =，所以22a =，1c =，21b =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）①由题设知直线l 斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+，则()0,P k ．设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 代入椭圆2212x y +=得()2222124220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k-=+，由PA AF λ= ，PB BF μ= 知111x x λ=-+，221xx μ=-+，22221212221212444212124422111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--++++++=-=-=--++++-+++．②当直线OA ，OB分别与坐标轴重合时，易知OAB S =△．当直线OA ，OB 斜率存在且不为0时，设:OA y kx =，1:OB y x k=-，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线y kx =代入椭圆C 得到222220x k x +-=，所以212212x k =+，2212212k y k =+，同理2222212k x k =+，212212y k =+12OAB S OA OB =⨯==△，令211t k =+>，则OABS ====△因为()10,1t∈，所以291192424t ⎛⎫<--≤⎪⎝⎭，故32OAB S≤<△，综上32OAB S ≤<△．。
2019届高考数学专题十八离心率精准培优专练理 - 副本
培优点十八 离心率1．离心率的值例1：设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A B C ．13 D ．162．离心率的取值范围例2：已知F 是双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C ．(1,1+D ．(2,1 1．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过点()2,1-，则该双曲线C 的离心率为（ ）A B C D 2．倾斜角为π4的直线经过椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．3 B ．2 C D 3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用， 还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设1F 、2F 分别是双曲线 ()222210,0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △的“勾”“股”，且124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D4．已知双曲线()2212210,0:x y C a b a b-=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A B C 1 D ．25．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭6．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（ ）A B C D ．347．已知双曲线22221x y a b-=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =， 则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．43 B ．53C ．2D ．73 8．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点， 若1212OP F F =，且212PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．34BC ．12D 9．若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b-=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．(C ．)+∞D ．)+∞ 10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，1260F PF ∠=︒，则双曲线的离心率2e =（ ）A B ．2 C D ．311．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆()()222:211C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．2⎫⎪⎪⎣⎭12．已知点P 为双曲线()222210x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A ．(]1,2B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,3二、填空题13．已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF ______．14．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点， 满足123MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S =△△，则该椭圆的离心率为_______．16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>> （1）求双曲线C 的渐进线方程．（2）当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，离心率2e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=，PB BF μ=．求证：λμ+为定值； ②若OA OB ⊥，求OAB △面积的取值范围．。
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培优点十八 离心率1．离心率的值例1：设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ） A ．3B ．3 C ．13D ．16【答案】A【解析】本题存在焦点三角形12PF F △，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴， 从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=︒，则直角三角形12PF F △中，1212::2:1:3PF PF F F =， 且122a PF PF =+，122c F F =，所以1212232F F c c e a a PF PF ∴====+，故选A ．2．离心率的取值范围例2：已知F 是双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C ．(1,12+D ．(2,12【答案】B【解析】从图中可观察到若ABE △为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角．由对称性可得只需π0,4AEF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭即可．且AF ，FE 均可用a ，b ，c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a =，FE a c =+， 所以()()222tan 1112AFb c a c aAEF e FE a a c a a c a--==<⇒<⇒<⇒<++，即()1,2e ∈，故选B ．一、单选题1．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线经过点()2,1-，则该双曲线C 的离心率为（ ）A 10B 5C 13D 5 【答案】D【解析】双曲线的渐近线过点()2,1-，∴代入b y x a =-，可得：21ba -=-，即12b a =，222251c b e a a ∴==+，故选D ． 2．倾斜角为π4的直线经过椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ） A 2B 2C 3D 3 【答案】A【解析】设直线的参数方程为22x c y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩，代入椭圆方程并化简得22224112022a b t b ct b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以21222b ct t +=，412222b t t a b ⋅=-+，由于2AF FB =，即122t t =-，代入上述韦达定理，化简得2228c a b =+，即2229c a =，23c a =．故选A ．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △对点增分集训的“勾”“股”，且124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2 D 5【答案】D【解析】由双曲线的定义得122PF PF a -=，所以()22124PF PF a -=，即222121224PF PF PF PF a +-⋅=，由题意得12PF PF ⊥，所以222212124PF PF F F c +==， 又124PF PF ab ⋅=，所以22484c ab a -=，解得2b a =，从而离心率5ce a=D ． 4．已知双曲线()2212210,0:x y C a b a b -=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ） A 2 B 3C 21+D ．2【答案】C【解析】设双曲线1C 的左焦点坐标为()',0F c -，由题意可得：(),0F c ，2pc =， 则,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即(),2A c c ，(),2B c c -，又：'2AF AF a -=，()()2222''2222AF F F AF c c c ++，据此有：2222c c a -=，即)21c a =，则双曲线的离心率：2121c e a ==-．本题选择C 选项． 5．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．3⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．2⎫⎪⎪⎝⎭D ．2⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】由题意PO PM ⊥，所以点P 在以OM 为直径的圆上，圆心为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2a ，所以圆的方程为：22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与椭圆方程联立得：222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，此方程在区间()0,a 上有解，由于a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于2a与a 之间，所以22221a a a b a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合222a b c =+，解得221122a c <<， 21e <<．故选C ． 6．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（ ） A 2 B 3 C 6 D ．34【答案】C【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB ∠≥∠=︒，即60AMO ∠≥︒， 因为tan a OMA b ∠=，所以tan603a b ≥︒，3a b ∴≥，()2223a a c ≥-，2223a c ∴≤，223e ≥，6e ≥故选C ．7．已知双曲线22221x y a b -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】B【解析】由双曲线的定义知122PF PF a -= ①；又124PF PF =， ②联立①②解得183PF a =，223PF a =，在12PF F △中，由余弦定理，得222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅，要求e 的最大值，即求12cos F PF ∠的最小值， 当12cos 1F PF ∠=-时，解得53e =，即e 的最大值为53，故选B ． 解法二：由双曲线的定义知122PF PF a -= ①，又124PF PF =， ②，联立①②解得183PF a =，223PF a =，因为点P 在右支所以2PF c a ≥-，即23a c a ≥-故53a c ≥，即e 的最大值为53，故选B ．8．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若1212OP F F =，且212PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．34B 3C ．12D 2 【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，122PF PF a +=，又212PF PF a ⋅=，可得12PF PF a ==，即P 为椭圆的短轴的端点，OP b =，且1212OP F F c ==，即有22c b a c ==-，即为2a c =，2c e a ==．故选D ． 9．若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b -=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A ．(5B ．(5 C ．)5,⎡+∞⎣ D ．)5,+∞【答案】D【解析】双曲线()222210x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点，则有2b a >，即有21+145c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭则双曲线的离心率的取值范围为)5,+∞，故选D ．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，1260F PF ∠=︒，则双曲线的离心率2e =（ ） A 2 B ．2 C 3D ．3【答案】C【解析】设()1,0F c -，()2,0F c ，椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ， 可得122PF PF a +=，122PF PF m =-，可得1PF a m =+，2PF a m =-， 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF -⋅=+︒， 即有()()()()2222243c a m a m a m a m a m =++--+-=+，由离心率公式可得2212134e e +=，121e e =，即有4222430e e -+=，解得23e =C ． 11．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>交于A 、B 两点，与圆()()222:211C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．2⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C【解析】直线:210l kx y k --+=，即()210k x y --+=， 直线l 恒过定点()2,1，∴直线l 过圆2C 的圆心，AC DB =，22AC C B ∴=，2C ∴的圆心为A 、B 两点中点， 设()11,A x y ，()22,B x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩，上下相减可得：()()()() 1212121222x x x x y y y ya b+-+-=-，化简可得2121221212x x y ybky y a x x+--⋅==+-，222bka-⋅=，221,122b ka⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，2220,bea⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，故选C．12．已知点P为双曲线()222210x ya ba b-=>>右支上一点，点1F，2F分别为双曲线的左右焦点，点I是12PF F△的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF FS S S-≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（）A．(]1,2B．()1,2C．(]0,3D．(]1,3【答案】D【解析】设12PF F△的内切圆半径为r，由双曲线的定义得122PF PF a-=，122F F c=，1112PFS PF r=⋅△，2212PFS PF r=⋅△，12122PF FS c r cr=⋅⋅=△，由题意得12111223PF r PF r cr⋅-⋅≥，故()12332c PF PF a≤-=，故3cea=≤，又1e>，所以，双曲线的离心率取值范围是(]1,3，故选D．二、填空题13．已知抛物线()220y px p=>与双曲线()222210,0x ya ba b-=>>有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，若直线AF3______．【答案】72+ 【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为1F ，由于AF 360BAF ∠=︒，且AF AB =，所以ABF △是等边三角形， 所以130F BF ∠=︒，所以13BF c =，4BF c =， 所以2221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=，所以127AF c =，由双曲线的定义可知2274a c c =-72+． 14．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点，满足123MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】设M 点的横坐标为x ，∵123MF MF =，M 在双曲线右支上()x a ≥，根据双曲线的第二定义，可得223a a e x e x c c ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ex a ∴=，x a ≥，ex ea ∴≥，2a ea ∴≥，2e ∴≤，1e >，12e ∴<≤，故答案为(]1,2．15．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S =△△，则该椭圆的离心率为_______．3 【解析】根据题意，因为2AF x ⊥轴且()2,0F c ，假设A 在第一象限，则2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，过B 作BC x ⊥轴于C ，则易知121AF F BFC △～△， 由14PAB PBF S S =△△得113AF BF =，所以23AF BC =，1213F F CF =， 所以25,33b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222225199c b a a +=，即222259c b a +=，又222b a c =-，所以223c a =，所以椭圆离心率为3c e a ==3． 16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．【答案】111,,1322⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设P 在第一象限，11PF PF >，当1122PF F F c ==时，21222PF a PF a c =-=-， 即222a a c >-，解得12e >， 又因为1e <，所以112e <<， 当2122PF F F c ==时，12222PF a PF a c =-=-， 即222a c c ->且2c a c >-，解得：1132e <<，综上112e <<或1132e <<．三、解答题17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的的离心率为3，则（1）求双曲线C 的渐进线方程．（2）当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．【答案】（1）2y x =±；（2）1m =±． 【解析】（1）由题意，得3ce a==，223c a ∴=， ∴22222b c a a =-=，即222b a=，∴所求双曲线C 的渐进线方程2by x x a=±=±．（2）由（1）得当1a =时，双曲线C 的方程为2212y x -=．设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ， 由22120y x x y m -⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得22220x mx m ---=（判别式0Δ>）， ∴1202x x x m +==，002y x m m =+=， ∵点()00,M x y 在圆225x y +=上，∴()2225m m +=，∴1m =±．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，离心率22e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=，PB BF μ=．求证：λμ+为定值；②若OA OB ⊥，求OAB △面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）①见解析，②322OAB S ≤<△． 【解析】（1）由题设知，2c a =1c =，所以22a =，1c =，21b =， 所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=． （2）①由题设知直线l 斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+，则()0,P k ．设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 代入椭圆2212x y +=得()2222124220k x k x k +++-=， 所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+，由PA AF λ=，PB BF μ=知 111x x λ=-+，221x x μ=-+， 2222121222121222444212124422111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--++++++=-=-=--++++-+++． ②当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知2OAB S =△． 当直线OA ，OB 斜率存在且不为0时，设:OA y kx =，1:OB y x k=-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，直线y kx =代入椭圆C 得到222220x k x +-=，所以212212x k =+，2212212k y k =+，同理2222212k x k =+，212212y k =+ ()2224222112252122OAB k S OA OB k k k k +=⨯=++++△， 令211t k =+>，则()()22222211112121512911242OAB t t S t t t t t t t =+--+-+⎛⎫+--- ⎪⎝⎭△因为()10,1t ∈，所以291192424t ⎛⎫<--≤ ⎪⎝⎭，故322OAB S ≤△322OAB S ≤△．。