微积分求极限的方法(2·完整编辑版)
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略函数极限是微积分中的一个重要概念，它描述了一个函数在某一个点上的一种趋势或者特性。
计算函数极限可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质和行为，有助于我们在实际问题中进行数学建模和分析。
在本文中，我们将介绍一些常用的函数极限求解方法和策略，以及应用这些方法进行问题求解的一些技巧和实例。
一、基本极限1. 常函数极限：对于任何一个常数C，有lim_x→a C = C。
这个极限很容易理解，因为常数C在a点的值就是C，没有任何变化。
2. 一次函数极限：对于一个一次函数f(x) = kx+b (k≠0)，有lim_x→a f(x) = ka+b。
这个极限的求解也比较简单，就是将x代入函数，得到在a点的函数值，也就是k*a+b。
3. 幂函数极限：对于一个幂函数f(x) = x^n (n为正整数)，有lim_x→a f(x) = a^n。
这个极限可以用夹逼定理来证明，也可以通过直接代入公式进行求解。
二、极限的四则运算法则在很多实际问题中，我们需要对函数进行加减乘除等运算，因此需要了解极限的四则运算法则。
这些法则包括：1. 两个函数之和的极限等于两个函数在该点的极限之和。
三、夹逼定理在实际问题中，我们有时会遇到一些复杂的函数，无法直接进行求解，这时候就需要用到夹逼定理来求解。
夹逼定理的核心思想是，我们可以找到两个比较简单的函数，一个上界函数和一个下界函数，这两个函数都可以收敛到某一个极限，然后我们就可以根据夹逼原理，得到我们要求解的函数的极限值。
四、洛必达法则洛必达法则是一种常用的求解极限的方法，其核心思想是通过对函数求导来得到某一个点的导数，然后再求极限。
如果这个极限存在的话，那么这个极限就是函数在这个点的极限。
具体求解方法如下：1. 当极限的代数式飞涨或者现实复杂时，可以使用该方法求解。
2. 求出极限函数f(x)的导函数f'(x)，然后将x带入f'(x)求出导数。
16种求极限的方法
16种求极限的方法在微积分中，求极限是一项重要的技巧和方法，用于研究函数在其中一点或趋于其中一点时的行为。
求极限的方法有很多种，下面将介绍16种常见的求极限方法。
1.代入法：将待求极限中的变量替换成极限点处的值，如果代入后得到一个有界的数或者可数收敛，则该极限存在。
2.四则运算法则：利用加法、减法、乘法和除法的性质进行极限运算。
例如，如果两个函数的极限都存在，则它们的和、差、积以及商（除数非零）的极限均存在。
3.夹逼定理：如果两个函数在其中一点附近夹住一个函数，并且夹住的函数的极限存在，则被夹住的函数的极限也存在，并且等于夹住的函数的极限。
4.极限的唯一性：如果存在一个数L是函数f在其中一点的极限，那么该极限是唯一的。
5.极限的有界性：如果函数f在其中一点的极限存在，则函数f在该点附近必定有界。
反之，如果函数f在其中一点附近有界，那么该点处的极限必定存在。
6.无穷小量和无穷大量：无穷小量是指当自变量趋于其中一点时，函数值趋近于零的量，无穷大量是指当自变量趋于其中一点时，函数值趋近于无穷的量。
利用无穷小量和无穷大量的性质，可以简化极限的求解过程。
7. 根式求极限：使用L'Hopital法则来解决根式的极限问题，即将根式转化为分式，再求导数。
8.多项式求极限：将多项式的极限转化为无穷小量的极限，利用低阶无穷小量和高阶无穷小量的性质进行极限计算。
9.取对数法：将函数取对数后，利用对数的性质进行极限计算。
10.换元法：通过进行合适的变量替换，将待求极限转化为更容易求解的形式。
11.不等式运算法：通过使用不等式的性质，对函数进行合理的估计，从而求解极限。
12.导数法则：利用导数的性质，对函数进行极限计算。
例如，利用导数的定义和求导法则可以方便地求解一些函数的极限。
13.递推法：对于一些递归定义的数列或函数，可以通过递推法求解其极限。
14.泰勒展开法：利用函数对应点附近的泰勒展开式，将函数的极限转化为级数的极限，进而求解极限。
求函数极限的方法与技巧
求函数极限的方法与技巧求函数极限是微积分的重要内容之一，也是数学分析中的基本问题。
求函数极限需要掌握一定的方法与技巧，下面将从常用的方法、典型的技巧和注意事项等方面进行详细介绍。
1. 代入法代入法是求函数极限最简单的方法之一。
当函数在极限点附近没有特殊的性质时，可以通过直接代入极限值来求解极限。
求函数f(x)=2x-1在点x=3处的极限，直接代入x=3，即可得到f(3)=2*3-1=5，所以极限值为5。
2. 分式化简法对于复杂的函数极限，通常可以利用分式化简法来解决。
将函数化为分式形式，通过合并同类项或者提取公因式等方法，将分式化简至最简形式，然后再进行极限运算。
这样可以简化计算，并且更容易得到极限值。
3. 夹逼准则夹逼准则也是求解极限常用的方法之一。
夹逼准则是一种利用不等式来求解极限的方法，通常用于求解无穷小的极限。
利用夹逼准则可以将复杂的极限问题转化为相对简单的不等式推导问题，从而更容易求得极限值。
4. 极限换元法极限换元法是求解函数极限的一种有效方法，也是求极限的一个经典技巧。
通过将变量进行适当的换元，可以将原来复杂的极限问题转化为相对简单的形式，从而更容易求解极限值。
常见的换元方式包括三角换元、指数换元、对数换元等。
二、典型的技巧1. 分步求解有些复杂的函数极限问题可以通过分步求解来进行，先将函数进行分解或者阶段性的处理，然后逐步求解各个部分的极限值，最后将结果进行合并得到整体的极限值。
这样可以降低计算的复杂度，更容易求得极限值。
2. 极限的运算法则在进行极限运算时，可以利用极限的运算法则来简化计算。
其中包括加减法法则、乘法法则、除法法则、幂函数法则、复合函数法则等，这些运算法则可以在极限计算中起到一定的简化作用，并帮助求得极限值。
3. 利用对称性对称性在求解函数极限中也是一种常用的技巧。
对于对称性的函数或者函数的特殊性质，可以利用对称性来简化极限计算，例如利用奇偶性、周期性等性质，从而简化计算过程，更容易求得极限值。
微积分中经典求极限方法
(II) g(x) M
(M 为正整数)
则： lim g(x) f (x) 0 x x0
例: 求
lim x sin 1
x0
x
解: 由
lim x 0 而
x0
故 原式 = lim x sin 1 0
x0
x
sin 1 1 x
3
8、利用无穷小量与无穷大量的关系。
出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”
例 求极限 lim x ln(1 x) x0 1 cos x
【解】因为 x 0时，ln(1 x) ~ x,1 cos x ~ 1 x2 2
,所以
lim
x0
x ln(1 x) 1 cos x
lim x0
xx 1 x2
2
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】 lim ( x 2 3 x 2 1) lim ( x 2 3 x 2 1)( x 2 3 x 2 1)
x
x
x2 3 x2 1
lim
2
0
x x 2 3 x 2 1
例1
lim
x1
3x 1 2 x 1
解：原式= lim x1
(3)此方法在各种求极限的方法中应．作．为．首．选．。
例:求极限
lim
x0
1 x2
cos sin
x2 x2
解: sin x 2 ~ x 2 , 1 cos x 2 ~ (x 2 )2 2
(x2 )2
lim
x0
1 x2
cos sin
x2 x2
=
2 x2x2
高等数学微积分求极限的方法整理
一，求极限的方法横向总结：
1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）
2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到
2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。
3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。
4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和
5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。
6运用重要极限求极限（基本）。
7乘除法中用等价无穷小量求极限。
8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。
9常数比0型求极限：先求倒数的极限。
10根号套根号型：约分，注意别约错了。
11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos
二，求极限的方法纵向总结：
1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。
2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置
2）用无穷小量与有界变量的乘积
3）2个重要极限
4）分式解法（上述）。
求函数极限的方法和技巧
求函数极限的方法和技巧函数极限是微积分中的重要概念，它是描述函数在其中一点或在无穷远处的趋势的一种方法。
通过研究函数极限，我们可以了解函数的性质，进而解决各类数学问题。
在求解函数极限时，以下是一些常用的方法和技巧：1.代入法：对于简单的函数，我们可以尝试直接代入特定的值来求解极限。
这种方法常用于多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
2. 夹逼定理：夹逼定理是使用一个比较函数来夹住（或夹逼）所要求极限的方法。
例如，当我们需要求解 sin(x)/x 的极限x→0 时，可以使用夹逼定理将其夹住为 1/x，再求解这个极限。
3.分数化简：对于含有复杂分数形式的极限，可以尝试将其化简为更简单的形式。
常见的技巧有：分子有理化、通分、差化积等。
4.极限的性质：极限满足一些基本运算性质，如加法、减法、乘法和除法。
通过运用这些性质，我们可以将一个复杂的极限问题化简为多个简单的极限求解。
5.无穷小量与无穷大量：无穷小量和无穷大量是极限中常见的概念。
无穷小量是指在一些点附近很小的变化量，无穷大量是指在一些点附近趋向无穷大的变化量。
运用无穷小量和无穷大量的概念可以帮助我们求解一些复杂的极限。
6.洛必达法则：洛必达法则是一种求解极限的常用方法。
对于一些特定类型的不定型极限问题，可以使用洛必达法则将其化简为一个更简单的形式。
洛必达法则主要适用于求解0/0或∞/∞形式的极限值。
7.泰勒展开：泰勒展开是一种求函数极限的有力工具。
它可以将一个复杂的函数展开成无穷级数，通过截取有限项，可以近似计算函数的极限。
泰勒展开常用于求解幂函数、指数函数和三角函数等的极限。
8. 重要极限：在求解函数极限时，有一些重要的极限我们需要记住，如lim(x→∞) (1+1/x)^x = e，lim(x→0) (sin(x)/x) = 1，lim(x→0) (1-cos(x))/x = 0等。
熟记这些重要极限可以提高求解极限问题的效率。
总之，求解函数极限需要根据具体情况选择合适的方法和技巧。
微积分 求极限的方法
求极限方法一:直接代入法例一:=24例二:=类似这种您直接把x趋近的值代入到函数里面,就可以直接得到函数的极限了。
知识点1:当x趋近值代入后,分子为0,分母不为0时,函数极限等于0知识点2:当x趋近值代入后,分子不为0,分母为0时,函数极限等于方法二:因式分解法(一般就是平方差,完全平方,十字相乘)普通的就就是分子分母约去相同的项,因为x就是趋近值,所以上下就是可以约去的,不用考虑0的问题。
类似=下面讲个例知识点3:=(x-y)()例三:==方法三:分母有理化(用于分母有根式,分子无根式)例四:=方法四:分子有理化(用于分子有根式,分母无根式)例五:==1方法五:分子分母同时有理化(用于分子有根式,分母有根式)例六:知识点4:(使用这个知识点时,必须注意只能在x趋近于无穷时使用,且使用时只用瞧各项的最高次数,不用管其她)例七:=(分子的最高次就是两次,大于分母最高次一次,所以直接得出极限为无穷大)例八:=0 (分子的最高次就是一次,小于分母最高次两次,所以直接得出极限为零)例九:(分子的最高次就是一次,等于分母最高次一次,所以直接得出极限为)方法六:通分法(若函数为两个分数相加减时,通常先同分再做处理,一般情况下同分后都要进行因式分解,然后分子分母约去相同的多项式)例十:-知识点5:当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时,新函数的极限仍为无穷小。
(有限个无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍就是无穷小量)例十一:=0 函数左边用知识点4得出就是无穷小,右边3+cosx就是有界函数,所以新函数极限为无穷小,即0所有求极限的题中,代入x趋近值后,若出现或,都可以使用洛必达法则求解极限。
微积分求极限的方法
微积分求极限的方法微积分中，求极限是一个非常重要的概念和技巧。
它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
求极限的方法有很多种，下面我将介绍几种常用的方法和技巧。
1.代入法：代入法是求解极限最常用的方法之一、它的基本思想是，将极限中的自变量替换为一个特定的值，然后计算函数在这个特定值附近的取值情况。
例如，求$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$，我们可以将 $x$ 替换为$0$，然后计算 $\frac{\sin 0}{0}$，根据 $\sin 0=0$，所以这个极限等于 $1$。
2.夹逼准则：夹逼准则也是求极限常用的方法之一、它的基本思想是，如果一个函数在一些点附近有两个函数夹住，这两个函数的极限都存在且相等，那么这个点的极限也存在且等于这个共同的极限。
例如，求极限 $\lim_{x\to 0}x\sin \frac{1}{x}$，我们可以使用夹逼准则，上下界函数分别是$-x$ 和 $x$，两个函数的极限都是 $0$，所以根据夹逼准则，该极限也是 $0$。
3.分子有理化和分母有理化：有时候，如果极限的表达式中有无理数或者根式，可以尝试用有理数近似代替无理数，然后对分子和分母进行有理化。
例如，求极限$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$，我们可以对分子有理化，得到 $\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}$，然后化简得 $\lim_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}$，再代入$x=0$ 可以求得极限等于 $1$。
4. L'Hospital法则：L'Hospital法则是求解极限中常用的一个重要方法。
它适用于形式为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 的极限。
微积分求极限的方法
求极限方法一：直接代入法例一：（）=24例二：（一）=类似这种你直接把x趋近的值代入到函数里面，就可以直接得到函数的极限了。
知识点1:当x趋近值代入后，分子为0，分母不为0时，函数极限等于0知识点2 :当x趋近值代入后，分子不为0,分母为0时，函数极限等于方法二：因式分解法（一般是平方差，完全平方，十字相乘）普通的就是分子分母约去相同的项，因为x是趋近值，所以上下是可以约去的，不用考虑0的问题。
类似一= （）下面讲个例知识点3: =（x-y）（）方法三：分母有理化（用于分母有根式，分子无根式）例四：-^^=方法四：分子有理化（用于分子有根式，分母无根式）例五：_ = ------ =1方法五：分子分母同时有理化（用于分子有根式，分母有根式）例六：=一='Fo o 4癒;li JYl JS丽彳==丿％口―二伽鮫逆鱼拘御逹药炒妙闰^pXS（?j +3）ffi5 -h|i）诃仅」帧窃播3） =間2^^十爭屮4两+3_ 2反一3的曲沁赠向于卫局严8述尖如I? n<m* 加帕心+二僞戒丁慣加扪他，側节5晞&）& “阳知识点4 : （使用这个知识点时，必须注意只能在x趋近于无穷时使用, 且使用时只用看各项的最高次数，不用管其他）例七: （分子的最高次是两次，大于分母最高次一次，所以直接得出极限为无穷大）例八：——=0 （分子的最高次是一次，小于分母最高次两次，所以直接得出极限为零）例九：——（分子的最高次是一次，等于分母最高次一次，所以直接得出极限为分子最高次数项系数）分母最高次数项系数方法六：通分法（若函数为两个分数相加减时，通常先同分再做处理，一般情况下同分后都要进行因式分解，然后分子分母约去相同的多项式）例十:知识点5:当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时，新函数的极限仍为无穷小。
无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量）例^一: —（）=0 函数左边用知识点4得出是无穷小，右边3+cosx是有界函数，所以新函数极限为无穷小，即0所有求极限的题中，代入x趋近值后，若出现■或一，都可以使用洛必达法则求解极限。
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略微积分是数学中的一门重要学科，其中的函数极限是微积分中的一个重要概念。
函数极限涉及到函数在某一点或在无穷远处的变化趋势，对于理解函数的性质和计算导数、积分都有着至关重要的作用。
在微积分中，函数极限的求解有许多种常用的方法和策略，下面我们就来详细介绍一下。
一、代数法代数法是函数极限求解中最为基础的方法之一，也是最为直观的方法。
通过代数化简和变形，可以将一些复杂的函数极限问题化简成简单的极限求解问题。
代数法的基本思路是将被求极限的函数进行一系列的代数化简，将复杂的式子转化成易于求解的形式。
典型的代数法包括有理化简、分子有理函数和分式分解等。
通过这些方法，可以将原极限式子进行化简，在化简的过程中，我们可以利用一些常见的极限极限性质，如等价无穷小、夹逼定理等简化极限问题，从而达到求解极限的目的。
二、换元法换元法是函数极限求解中常用的方法之一，它主要是通过变量替换来将原极限问题转化成更简单的极限问题，进而求出原极限的值。
换元法的核心是找到适当的变量替换，将原极限问题化简成一个更容易处理的情况。
在使用换元法时，我们可以尝试使用一些常见的替换技巧，如三角函数替换、指数换元、对数换元等。
通过这些替换，可以将原极限问题转化成更加简单的形式，从而利用一些基本的极限性质求解。
在进行变量替换时，需要考虑到替换后的极限问题与原问题之间的联系，确保变换后的问题和原问题是等价的，这样才能保证求解的正确性。
三、洛必达法则洛必达法则是函数极限求解中比较常用的一种方法，它主要适用于求解不定型极限，如0/0、∞/∞等形式的极限。
根据洛必达法则，如果一个函数极限的分子和分母都趋于零或无穷大，并且两者的极限存在，那么可以利用导数的知识来求解原函数的极限。
在使用洛必达法则时，我们首先需要计算原函数的导数或导数的比值，然后再求出导数或导数的比值的极限，如果该极限存在，则可以得出原函数的极限。
需要注意的是，洛必达法则只适用于不定型极限，对于其他类型的极限并不适用，因此在使用洛必达法则时需要注意选择合适的条件。
微积分求极限
微积分求极限在微积分中，极限是一个非常重要的概念，它用来描述函数在某一点附近的行为。
我们可以通过求极限来研究函数的连续性、导数和积分等性质。
我们来介绍一下极限的定义。
对于函数f(x)，当x趋近于某一点a 时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，那么我们称L为函数f(x)当x趋近于a时的极限，记为lim(x→a) f(x)=L。
求解极限的方法有很多，我们这里介绍一些常用的方法。
1. 代入法：当函数在某一点a处有定义时，我们可以直接将x=a代入函数中计算出函数值作为极限值。
2. 四则运算法则：对于两个函数的和、差、积和商，我们可以利用它们的极限性质进行计算。
具体而言，如果lim(x→a) f(x)=L，lim(x→a) g(x)=M，那么有以下性质：- lim(x→a) [f(x)+g(x)] = L+M- lim(x→a) [f(x)-g(x)] = L-M- lim(x→a) [f(x)g(x)] = LM- lim(x→a) [f(x)/g(x)] = L/M (M≠0)3. 夹逼定理：当函数f(x)、g(x)、h(x)在某一点a的附近有定义，并且满足f(x)≤g(x)≤h(x)时，如果lim(x→a) f(x)=lim(x→a) h(x)=L，那么lim(x→a) g(x)=L。
4. 分段函数的极限：对于分段函数，我们可以分别求解各个分段函数的极限，然后根据定义来确定整个函数的极限。
5. 无穷大与无穷小的极限：对于函数f(x)，当x趋近于无穷大或负无穷大时，我们可以通过观察函数的表达式来判断函数的极限性质。
例如，当x趋近于无穷大时，如果函数f(x)的表达式中包含x 的最高次幂项，且系数为正，则lim(x→∞) f(x)=+∞；如果系数为负，则lim(x→∞) f(x)=-∞。
通过以上几种方法，我们可以求解各种不同类型的极限。
求极限的方法与技巧
求极限的方法与技巧求极限是微积分中一个重要的概念，它在数学分析、物理学、经济学等许多领域都有广泛的应用。
正确理解和应用极限的方法和技巧对于解决复杂问题至关重要。
在本文中，我将分享一些求极限的方法和技巧。
一、代入法代入法是求解极限最基本的方法之一、当函数在特定点不可求值或复杂时，我们可以通过代入该点的相邻值来近似求解极限。
例如，对于函数f(x)=x^2，要求极限lim(x->2)f(x)，我们可以尝试代入x=2附近的数字，如1.9、1.99、1.999等，通过逐渐逼近2，来估算极限的值。
当代入的数字越接近2时，得到的极限值越接近真实值。
二、基本极限法则基本极限法则是求极限过程中的重要工具，它基于一系列基本的极限结果。
以下是常用的基本极限法则：1. 常数法则：lim(x->a)c=c，其中c为常数；2. 幂函数法则：lim(x->a)x^n=a^n，其中n为正整数，a为实数；3. 指数函数法则：lim(x->0)(1+x)^n=1，其中n为正整数；4. 三角函数法则：lim(x->0)sin(x)/x=1，lim(x->0)(1-cos(x))/x=0；5. 对数函数法则：lim(x->1)ln(x)=0。
通过灵活运用这些基本极限法则，可以简化复杂的极限计算过程。
三、夹逼法夹逼法是求解极限中一种常用的思路。
当我们需要求解一个函数f(x)在特定点的极限时，可以通过构造两个函数g(x)和h(x)，使得g(x)≤f(x)≤h(x)，且lim(x->a)g(x)=lim(x->a)h(x)=L，则根据夹逼定理，可以得到lim(x->a)f(x)=L。
通过灵活选择g(x)和h(x)，我们可以利用夹逼法求解复杂的极限问题。
四、换元法换元法是极限求解中一种常用的技巧。
通过进行变量替换，可以将复杂的极限问题转化为简单的形式。
例如，对于极限lim(x->0)sin(2x)/x，我们可以进行变量替换令u=2x，得到lim(u->0)sin(u)/(u/2)，进一步化简为lim(u->0)2sin(u)/u。
函数极限的几种求解方法
函数极限的几种求解方法函数极限是微积分中的重要概念，它在分析数学、物理和工程学等领域中具有广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要求解函数极限，以帮助我们更好地理解函数在某一点的行为。
在微积分中，有多种方法可以帮助我们求解函数极限，包括代数法、夹逼法、洛必达法等。
本文将介绍这几种求解函数极限的方法，并举例说明其应用。
一、代数法代数法是求解函数极限最基本的方法之一。
对于一个给定的函数，如果其极限存在，那么我们可以通过代数运算来求解。
代数法的基本思想就是通过变形、化简等代数运算，将函数化为更易求解的形式。
一般来说，我们可以利用分子有理化、分母有理化、分子分母同时有理化等方法来求解。
下面通过一个例子来说明代数法的求解过程。
例1：求解函数极限lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)解：我们可以尝试直接代入x=2来求解：lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) = (2^2 - 4) / (2 - 2) = 0/0由于分子为0、分母也为0，无法直接求解。
此时，我们可以尝试分子有理化：(x^2 - 4) = (x+2)(x-2)可以看到，此时分母可以约去(x-2)，得到：lim(x→2) (x+2)再次代入x=2，得到极限值：lim(x→2) (x+2) = 4二、夹逼法夹逼法也是求解函数极限常用的方法之一。
当函数极限存在时，夹逼法可以通过构造两个函数，使得它们夹住原函数，并且这两个函数的极限值相等，从而求得原函数的极限值。
夹逼法的核心思想是通过构造合适的不等式来限制函数值的大小，从而求解函数极限。
下面通过一个例子来说明夹逼法的求解过程。
解：对于x*sin(1/x)函数，当x≠0时，我们可以得到不等式：-x ≤ x*sin(1/x) ≤ x两边同乘以x，得到：-x^2 ≤ x*sin(1/x) ≤ x^2显然，当x→0时，-x^2和x^2都趋近于0，根据夹逼法，我们可以求得极限：lim(x→0) x*sin(1/x) = 0通过夹逼法，我们成功求解了函数极限lim(x→0) x*sin(1/x)的值为0。
求极限方法总结
求极限方法总结求极限是微积分的重要内容之一，需要通过特定的方法来计算。
下面对常见的求极限方法进行总结。
1. 代入法：将极限中的变量直接代入函数中，求出函数在该点处的函数值，作为极限的近似值。
这种方法适用于简单的极限。
2. 分子有理化法：当极限的分子、分母含有根式时，可以通过有理化的方法，将根式分子分母有理化，然后进行化简，化简后求极限。
这种方法适用于分子分母含有根式的情况。
3. 夹逼法：当函数的极限不存在或难以直接求出时，可以通过构造一个上界函数和下界函数，使得它们的极限都存在且相等，且夹住函数的极限。
然后通过夹逼原理，求出该极限。
这种方法适用于极限存在且难以直接求出的情况。
4. L'Hopital法则：当极限为形式为“∞/∞”、“0/0”、“1^∞”、“0^0”等无穷型与无穷型的不定式时，可以通过求导的方法，将其转化为可直接计算的形式。
这种方法适用于无穷型与无穷型的不定式。
5. 推广L'Hopital法则：当极限为形式为“∞*0”、“∞-∞”等不定型不定式时，可以通过引入参数，将其转化为可直接计算的形式。
这种方法适用于不定型不定式。
6. 换元法：当极限为特殊函数形式时，可以通过换元的方法，将其转化为可直接计算的形式。
比如将极限中的自变量换成1/自变量或sin(1/自变量)等函数形式。
这种方法适用于特殊函数形式的极限。
7. Taylor展开法：当极限为函数值在某点的展开式时，可以通过泰勒展开的方法，将其转化为可直接计算的形式。
这种方法适用于函数值在某点的展开式。
8. 综合运用：对于复杂的极限问题，可以综合运用以上方法，逐步化简。
先运用代入法、分子有理化法，再运用夹逼法、L'Hopital法则等，逐步逼近极限的值。
在实际应用中，根据题目的要求和已知条件，选择适合的方法来求解极限。
对于复杂的问题，可以采用逐步化简的方法，一步步逼近极限的值。
同时，对于无法通过常见方法求解的特殊问题，还可以借助数值计算的方法，利用计算机进行近似计算。
微积分 求极限的方法
求极限方法一：直接代入法例一：=24例二：=类似这种你直接把x趋近的值代入到函数里面，就可以直接得到函数的极限了。
知识点1：当x趋近值代入后，分子为0，分母不为0时，函数极限等于0知识点2：当x趋近值代入后，分子不为0，分母为0时，函数极限等于方法二：因式分解法（一般是平方差，完全平方，十字相乘）普通的就是分子分母约去相同的项，因为x是趋近值，所以上下是可以约去的，不用考虑0的问题。
类似=下面讲个例知识点3：=(x-y)()例三：==方法三：分母有理化（用于分母有根式，分子无根式）例四：=方法四：分子有理化（用于分子有根式，分母无根式）例五：==1方法五：分子分母同时有理化（用于分子有根式，分母有根式）例六：知识点4：（使用这个知识点时，必须注意只能在x趋近于无穷时使用，且使用时只用看各项的最高次数，不用管其他）例七：=（分子的最高次是两次，大于分母最高次一次，所以直接得出极限为无穷大）例八：=0 （分子的最高次是一次，小于分母最高次两次，所以直接得出极限为零）例九：（分子的最高次是一次，等于分母最高次一次，所以直接得出极限为）方法六：通分法（若函数为两个分数相加减时，通常先同分再做处理，一般情况下同分后都要进行因式分解，然后分子分母约去相同的多项式）例十：-知识点5：当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时，新函数的极限仍为无穷小。
（有限个无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量）例十一：=0 函数左边用知识点4得出是无穷小，右边3+cosx是有界函数，所以新函数极限为无穷小，即0所有求极限的题中，代入x趋近值后，若出现或，都可以使用洛必达法则求解极限。
微积分 求极限的办法
求极限方法一：直接代入法
例一：=24
例二：=
类似这种你直接把x趋近的值代入到函数里面，就可以直接得到函数的极限了。
知识点2：当时，函数极限等于
普通的就是分子分母约去相同的项，因为x是趋近值，所以上下是可以约去的，的问题。
类似=
=(x-y)()
例三：==
方法三：分母有理化（用于分母有根式，分子无根式）
例四：=
方法四：分子有理化（用于分子有根式，分母无根式）
例五：=
方法五：分子分母同时有理化（用于分子有根式，分母有根式）
例六：
知识点4：（使用这个知识点时，必须注意只能在x趋近于无穷时使用，且使用时只用看各项的最高次数，不用管其他）
例七：=（分子的最高次是两次，大于分母最高次一次，所以直接得出极限为无穷大）
例八：=0（分子的最高次是一次，小于分母最高次两次，所以直接得出极限为零）
例九：（分子的最高次是一次，等于分母最高次一次，所以直接得出极
限为）
例十：
知识点5：当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时，
（有限个无穷小仍为无穷小
例十一：
是有界函数，所以新函数极限为无穷小，即
若出现或，。
微积分洛必达法则求极限
微积分洛必达法则求极限微积分，这个词一听就让人心里打鼓，但其实它也有很多有趣的地方，今天咱们来聊聊一个特别好用的法则——洛必达法则。
听起来有点高大上，其实它就是解决某些极限问题的“救命稻草”。
想象一下，考试前你对着题目一筹莫展，突然发现有个绝招可以派上用场，那种感觉就像是找到了一张“通行证”，瞬间无敌。
洛必达法则的核心思想就是：当你面对一个极限问题，分子和分母都无限接近零或者都趋向无穷大的时候，别慌！直接拿导数来解决。
你可能在想，什么是导数？别担心，简单来说，导数就是描述一个函数变化快慢的工具。
就像你开车，油门踩下去速度就上来了，这个速度就是导数。
运用这个法则的时候，分子和分母各自求导，再继续求极限，这样问题就简单多了，像是在化繁为简。
想象一下，咱们面对一个极限，像是一个人拼命往上爬，可不管怎么努力，都是到达不了顶峰。
这个时候，洛必达法则就像是“超级助推器”，让你一飞冲天。
你只需要轻轻松松求一下导数，就能瞬间看到极限的真面目。
哎呀，真的是太妙了。
就好比在课堂上，老师突然提问，结果你恰好记得那个知识点，心里那个乐呀，简直是天上掉馅饼的感觉。
使用洛必达法则也不是万能的，得看条件对不对。
前提就是分子和分母都得是0或者无穷大，要是其他情况，那就得另寻他法。
就像你不能在冬天穿夏装，这样可不行。
所以在使用之前，最好先确认一下条件，保证自己的“通行证”有效。
否则就像开车上路，结果车子没油，那可是要哭的。
举个简单的例子，假设我们要求一个极限，像是“当x趋向于0，sin(x)/x”这个表达式。
你可能会想，哎呀，这个0/0不是很麻烦吗？用洛必达法则就可以轻松搞定。
先求导数，sin(x)的导数是cos(x)，x的导数是1。
然后再继续求极限，cos(0)就是1。
看，这样一来，问题不就解决了吗？简直就是让人拍手叫好，太棒了！你知道吗，数学有时候真是像解谜游戏，找不到钥匙的时候可急了。
可一旦找到方法，瞬间开窍，心情那叫一个爽。
大学微积分中的极限计算
大学微积分中的极限计算在大学微积分课程中，极限是一个非常重要的概念。
它在各个数学和科学领域都有着广泛的应用。
极限计算是微积分学习的基础，为了掌握这个概念，我们需要学会如何准确地计算各种类型的极限。
一、无穷小量与无穷大量的性质无穷小量与无穷大量是极限计算中经常出现的概念。
在计算极限时，我们常用它们的性质来简化运算。
1. 无穷小量的乘法性质：若f(x)是一个无穷小量，g(x)是一个有界函数，那么f(x) • g(x)仍然是一个无穷小量。
2. 无穷小量的除法性质：若f(x)是一个无穷小量，g(x)是一个非零的有界函数，那么f(x) /g(x)仍然是一个无穷小量。
3. 无穷大量的加法性质：若f(x)是一个无穷大量，g(x)是另一个无穷大量，那么f(x) + g(x)仍然是一个无穷大量。
4. 无穷大量的乘法性质：若f(x)是一个无穷大量，g(x)是一个非零函数且其在某一区间内不为零，那么f(x) • g(x)仍然是一个无穷大量。
二、常见的极限计算方法1. 代入法：当计算函数在某一点的极限时，我们可以尝试将该点的值代入函数，并观察函数的表现。
2. 分子除以分母法：当计算一个函数的极限时，我们可以将函数的分子和分母分别进行因式分解，然后进行约分，以简化计算过程。
3. 求极限的基本定理：应用极限的基本定理可以有效地计算一些特殊形式的极限，如指数函数、对数函数、三角函数等的极限。
4. 夹逼定理：当函数f(x)被两个其他函数g(x)和h(x)夹住时，即g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，如果g(x)和h(x)的极限都等于L，那么f(x)的极限也等于L。
5. 极限的四则运算法则：在计算复杂表达式的极限时，我们可以根据极限的四则运算法则逐步简化计算过程。
三、应用举例1. 极限的存在性证明：当我们计算一个函数在某一点的极限时，有时需要先证明这个极限存在。
一种常见的方法是利用夹逼定理。
2. 极限的连续性：若函数f(x)在点a处极限存在且与f(a)的值相等，那么我们称函数f(x)在点a处连续。
微积分求极限的方法（2·完整版）
微积分求极限的⽅法（2·完整版）专题⼀求极限的⽅法【考点】求极限1、近⼏年来的考试必然会涉及求极限的⼤题⽬，⼀般为2-3题12-18分左右，⽽⽤极限的概念求极限的题⽬已不会出现。
⼀般来说涉及到的⽅法主要涉及等价量代换、洛必达法则和利⽤定积分的概念求极限，使⽤这些⽅法时要注意条件，如等价量代换是在⼏块式⼦乘积时才可使⽤，洛必达法则是在0⽐0，⽆穷⽐⽆穷的情况下才可使⽤，运⽤极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使⽤等。
2、极限收敛的⼏个准则：归结准则（联系数列和函数）、夹逼准则（常⽤于数列的连加）、单调有界准则、⼦数列收敛定理（可⽤于讨论某数列极限不存在）3、要注意除等价量代换和洛必达法则之外其他辅助⽅法的运⽤，⽐如因式分解，分⼦有理化，变量代换等等。
4、两个重要极限0sin lim 1x xx→= 101lim(1)lim(1)x x x x x e x →∞→+=+=，注意变形，如将第⼆个式⼦1lim(1)xx x e→+=中的x 变成某趋向于0的函数()f x 以构造“1∞”的形式的典型求极限题⽬。
5、⼀些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结，如：（1）利⽤归结原则将数列极限转化为函数极限（2）函数在某点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。
有时可以利⽤这点进⾏解题，如111lim x x e-→因左右极限不相等⽽在这点极限不存在。
（当式⼦中出现绝对值和e的⽆穷次⽅的结构时可以考虑从这个⾓度出发）（3）遇到⽆限项和式求极限时想三种⽅法：①看是否能直接求出这个和式(如等⽐数列求和)再求极限②夹逼定理③⽤定积分的概念求解。
（4）如果f(x)/g(x)当x →x0时的极限存在，⽽当x →x0时g(x)→0，则当x →x0时f(x)也→0（5）⼀个重要的不等式：sin x x ≤（0x >） *其中⽅法②③考到的可能性较⼤。
6、有关求极限时能不能直接代⼊数据的问题。
7、闭区间上连续函数的性质（最值定理、根的存在性定理、介值定理） 8、此部分题⽬属于基本题型的题⽬，需要尽量拿到⼤部分的分数。
微积分计算极限
微积分计算极限以微积分计算极限为标题，下面将介绍一些关于微积分中极限的计算方法。
在微积分中，极限是一个非常重要的概念，它可以帮助我们研究函数的性质以及解决各种数学问题。
我们来看一下什么是极限。
在数学中，当自变量趋于某个特定的值时，函数的值可能会趋于某个确定的值，这个确定的值就是极限。
用数学符号表示，如果当自变量x趋于a时，函数f(x)的值趋于L，我们可以写成：lim(x→a) f(x) = L在微积分中，我们主要研究函数在某个点的极限。
通过计算极限，我们可以了解函数在这个点附近的性质，比如函数的斜率、单调性、凹凸性等等。
那么，如何计算极限呢？下面我们介绍一些常用的计算方法。
1. 代入法：当函数在某个点a处有定义时，我们可以直接将a代入函数中计算得到极限的值。
这种方法适用于一些简单的函数，比如多项式函数、三角函数等。
2. 四则运算法则：对于两个函数之和、差、积、商的极限，可以通过对每个函数分别求极限，然后应用四则运算法则得到结果。
这个方法在计算复杂函数的极限时非常有用。
3. 夹逼定理：夹逼定理是一种非常重要的计算极限的方法。
当函数f(x)、g(x)、h(x)满足f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) 且lim(x→a) f(x) = lim(x→a) h(x) = L 时，我们可以得到lim(x→a) g(x) = L。
这个方法在计算一些复杂函数的极限时非常有效。
4. 无穷小量与无穷大量：在一些特殊情况下，我们可以将函数表示成无穷小量和无穷大量的形式，然后通过对它们进行比较来计算极限。
比如当x趋于无穷大时，我们可以将函数表示成f(x)/g(x)的形式，然后根据g(x)的阶数来判断极限的值。
5. 泰勒展开：泰勒展开是一种用多项式逼近函数的方法，我们可以通过泰勒展开来计算一些复杂函数的极限。
泰勒展开可以将一个函数表示成无穷个项的和，然后通过截断展开式来计算极限。
除了上述方法外，还有一些其他的计算极限的方法，比如洛必达法则、换元法等等。
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专题一 求极限的方法【考点】求极限1、 近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目，一般为2-3题12-18分左右，而用极限的概念求极限的题目已不会出现。
一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则和利用定积分的概念求极限，使用这些方法时要注意条件，如等价量代换是在几块式子乘积时才可使用，洛必达法则是在0比0，无穷比无穷的情况下才可使用，运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。
2、 极限收敛的几个准则：归结准则（联系数列和函数）、夹逼准则（常用于数列的连加）、单调有界准则、子数列收敛定理（可用于讨论某数列极限不存在）3、 要注意除等价量代换和洛必达法则之外其他辅助方法的运用，比如因式分解，分子有理化，变量代换等等。
4、 两个重要极限0sin lim 1x xx→= 101lim(1)lim(1)x x x x x e x →∞→+=+=，注意变形，如将第二个式子1lim(1)xx x e→+=中的x 变成某趋向于0的函数()f x 以构造“1∞”的形式的典型求极限题目。
5、 一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结，如： （1） 利用归结原则将数列极限转化为函数极限（2） 函数在某点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。
有时可以利用这点进行解题，如111lim x x e-→因左右极限不相等而在这点极限不存在。
（当式子中出现绝对值和e的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发）（3） 遇到无限项和式求极限时想三种方法：①看是否能直接求出这个和式(如等比数列求和)再求极限 ②夹逼定理③用定积分的概念求解。
（4）如果f(x)/g(x)当x →x0时的极限存在，而当x →x0时g(x)→0，则当x →x0时f(x)也 →0（5）一个重要的不等式：sin x x ≤（0x >） *其中方法②③考到的可能性较大。
6、 有关求极限时能不能直接代入数据的问题。
7、 闭区间上连续函数的性质（最值定理、根的存在性定理、介值定理） 8、 此部分题目属于基本题型的题目，需要尽量拿到大部分的分数。
【例题精解·求极限的方法】方法一：直接通过化简，运用极限的四则运算进行运算。
【例1】求极限 11lim 1m n x x x →--解1212111(1)()lim lim1(1)()m m mn n nx xx x x xx x x x----→→--++=--++…1…1=mn注：此题通过洛必达法则进行求解也非常方便。
还可通过变量代换构造等价量。
【例2】求极限22lim(1)xx x x→+∞+--解22221lim(1)lim21x xx x xx x x→+∞→+∞+--==++-注：1、遇到“根号加减根号”基本上有两种方法——有理化和采取倒变量的方法。
2、一个最基本的多项式极限112112limn nnm mxna x a x ab x b x b--→+∞++++++……(系数均不为0)：①若n>m，则极限为正无穷；②若n<m，则极限为0；③若n=m，则极限为11ab。
（本质为比较次数）要注意的是x是趋向于正无穷，而且分子分母遇到根号时要以根号里x的最高次的12次来计算，如21x+的次数为1。
方法二：利用单调有界准则来证明极限存在并求极限【例3】设112u≥-，112(1,2,...)n nu u n+=+=,证明lim nnu→∞存在并求之方法三：利用夹逼定理——适用于无限项求极限时可放缩的情况。
【例4】求极限(1lim123...n n n n n n→∞++++解 因 (1111=123...=n n nn n n n n n n n n⋅<++++<⋅ 而 lim1=lim =1nn n n →∞→∞故由夹逼定理(1lim 123...n n n n n n→∞++++=1方法四&方法五：等价量代换、洛必达法则——未定式极限。
（化加减为乘除！）【例5】求极限tan 0lim tan x xx e e x x→--解 原式=tan 00(1)(tan )lim lim 1tan tan x x x x x x e e e x x x x x x-→→--==--【例6】求极限1121lim ()x x x x a a+→+∞-解111111222(1)111lim ()=lim (1)lim 1(1)x x xx x x x x x x x a a x aax a-++++→+∞→+∞→+∞--=⋅⋅-=21lim 1ln ln (1)x x a a x x →+∞⋅⋅⋅=+【例7】求极限limx →解 原式=x → =()022tan sin lim4sin 23x x xx x x →-+⋅⋅ =02tan (1cos )lim sin 423x x x x x x x x →-⎛⎫+⋅⋅ ⎪⎝⎭ =302132lim 416123x xx x →=⋅⋅⋅【例8】求极限01cos cos 2cos3lim1cos x x x xx→--解：直接运用洛必达法则和等价量代换可得01cos cos 2cos3lim1cos x x x xx→--=000sin cos 2cos34cos sin 2cos39cos cos 2sin 3limlim lim23x x x x x x x x x x x x x x x→→→++=000sin cos 2cos32cos sin 2cos33cos cos 2sin 3limlim limsin sin sin x x x x x x x x x x x xx x x →→→++= 000sin cos 2cos32cos sin 2cos33cos cos 2sin 3lim lim limx x x x x x x x x x x xx x x →→→++= 000sin cos 2cos34cos sin 2cos39cos cos 2sin 3lim lim lim23x x x x x x x x x x x xx x x →→→++=1+4+9=14【例9】求极限lim log ()abx x x x →+∞+解： 由换底公式，=ln()lim ln a b x x x x →+∞+(∞∞)=lim a b a b x ax bx x x →+∞++=lim a ba bx ax bx x x →+∞++ 若a b ≥，则极限为a ；若a b <，则极限为b ，综上，极限为max{,}a b方法六：幂指函数求极限——取对数再取指数。
【例10】21lim sinnnnn→∞⎛⎫⎪⎝⎭(1)∞解222111sinlim sin=lim sin limn xtn x ttn xn x t+→∞→+∞→⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin1sinsinlim11t t tt t t tttt+-⋅⋅-→⎛⎫=+-⎪⎝⎭3200sin0cos11lim lim036t tt t tt te e e++→→--⎛⎫-⎪⎝⎭===【例11】1ln+lim arctan2xxxπ→∞⎛⎫-⎪⎝⎭(0)解+1ln arctan2ln lim()ln+lim arctan=2xxxxxx eππ→∞⎛⎫-⎪∞⎝⎭∞→∞⎛⎫-⎪⎝⎭2211()1()arctan0 21lim lim()10arctan2x xxxxxxxe eππ→+∞→+∞⋅-+--+-==221lim11xxxe e→+∞--+==【例12】求极限cot1limarc xxxex→+∞⎛⎫-⎪⎝⎭❉注意x是趋向正无穷，此时需要先分析底数和指数分别趋向于多少，分析底数易知底数趋向于正无穷。
但是指数arccotx这个函数不是很熟，可以通过图像先分析cotx再分析arccotx趋向于多少，最后得出结论是指数趋于0。
故是一个“0∞”型，所以要用“先取对数再取指数”的方法。
对于之后arccotx 的处理，若用罗比达对其求导则会发现再接下来比较难做，这里给出一个转化为熟悉的，可等加量代换的式子的方法，方法较灵活，需要对三角函数之间的转换有很深的熟悉度。
解 原式=1arccot ln lim x e x x x e⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭→+∞=1lim arccot ln x x e x x e→+∞⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=11lim arctan ln x x e x x e→+∞⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=()ln 1ln lim x x e x x e→+∞--∞⎛⎫⎪∞⎝⎭=1lim1xx x e x e e→+∞--=e❉关于第三个等号左右的变化：令cot y arc x =，则1cot tan x y y ==，故1tan y x=，1arctany x =，综上，1cot tan arc x arc x=方法七：运用泰勒定理求极限——适用于直接洛必达不好算时考虑的方法。
【例13】求极限22202lim (cos )x x x x x e →+--解2441()28x x o x =+-+0x →，,23cos 1()02!x x o x x =-+→， 2221()0x e x o x x =++→， 代入原式可得，原式=422420232222()4lim 1()1()2!x x x x o x x x o x x o x →+--++⎡⎤-+---⎢⎥⎣⎦=44044()4lim 3()2x x o x x o x →+-+=16-方法八：通过定积分的概念来求极限【例14】求22222lim (...)149n n n n nn n n n n→+∞++++++++ 解 由于此题无法直接对式子进行化简，也无法用夹逼定理，故想到用定积分的概念来求解，即原式=2222222221lim (...)149n n n n n n n n n n n →+∞++++++++=222211111lim ...1231111n n n n n n n →+∞⎤⎡⎥⎢⎥⎢++++⎥⎢⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎥⎢ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =2111lim1nn i n i n →+∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 此时由定积分的概念可将上面的和式看成被积函数21()1f x x=+在[0,1]上的定积分，故 22222lim (...)149n n n n n n n n n n →+∞++++++++=12011dx x +⎰=4π【例15】求极限1111lim ln 1[(1)(2)...21]lim (!)=lim nn i i nn n nn n n n n n e n n→+∞=→+∞→+∞∑--⋅=解1111[(1)(2)...21](1)(2)...21lim(!)=lim lim nnnn n n n n n n n n n n n n n →+∞→+∞→+∞--⋅--⋅⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11231lim (...)nn n n n n n n n→+∞-=⋅⋅⋅11231limln(...)n n n n n n n n n e→+∞-⋅⋅⋅=11lim ln nn i in n e→+∞=∑=1ln xdx e ⎰=10(ln )|1x x x e e --==【例16】2222221sin sin lim ln nn k k k n k k n n →+∞=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭∑ 【分析】此题看似复杂，其实仔细观察可以发现本质仍为无限项的和式求极限，故再次想到用定积分的概念求解。