[精品]2015-2016年广东省广州市番禹区仲元中学高一(上)数学期末试卷带答案PDF

2015-2016学年广东省广州市番禹区仲元中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）直线x+y﹣1=0的倾斜角α为（）A．B．C．D．2．（5.00分）不等式﹣x2+3x﹣2≥0的解集是（）A．{x|x＞2或x＜1}B．{x|x≥2或x≤1}C．{x|1≤x≤2}D．{x|1＜x＜2} 3．（5.00分）下列函数中,在区间（0,+∞）上为增函数的是（）A．B．y=（x﹣1）2 C．y=2﹣x D．y=log0.5x4．（5.00分）设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若l∥α,l∥β,则α∥β B．若α∥β,l∥α,则l∥βC．若l⊥α,l∥β,则α⊥β D．若α⊥β,l∥α,则l⊥β5．（5.00分）已知两直线l1：x+my+4=0,l2：（m﹣1）x+3my+2m=0．若l1∥l2,则m 的值为（）A．4 B．0或4 C．﹣1或 D．6．（5.00分）若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m＞C．m＜0 D．m≤7．（5.00分）函数f（x）=（）x﹣x+2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣1,0）B．（0,1）C．（1,2）D．（2,3）8．（5.00分）在空间直角坐标系中,给定点M（2,﹣1,3）,若点A与点M关于xOy 平面对称,点B与点M关于x轴对称,则|AB|=（）A．2 B．4 C．D．9．（5.00分）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为（）A．B．C． D．10．（5.00分）点M（x0,y0）是圆x2+y2=a2（a＞0）外一点,则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．相切或相交11．（5.00分）若,则P,Q,R的大小关系是（）A．Q＜P＜R B．P＜Q＜R C．Q＜R＜P D．P＜R＜Q12．（5.00分）设函数,对于给定的正数K,定义函数f g（x）=,若对于函数定义域内的任意x,恒有f g（x）=f （x）,则（）A．K的最小值为1 B．K的最大值为1C．K的最小值为D．K的最大值为二、填空题：（本大题共4小题,每小题5分,满分20分）．13．（5.00分）P为圆x2+y2=1的动点,则点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最大值为．14．（5.00分）已知直线y=kx﹣2k+1与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=3相交于M,N两点,则|MN|等于．15．（5.00分）若函数f（x）=log a（x﹣1）+m（a＞0,且a≠1）恒过定点（n,2）,则m+n的值为．16．（5.00分）设f（x）为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f（x）=a x+1﹣4（a为常数）,则f（﹣1）的值为．三、解答题：本大题共6小题,满分共70分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程.17．（10.00分）设函数的定义域为集合A,已知集合B={x|1＜x＜3},C={x|x≥m},全集为R．（1）求（∁R A）∩B；（2）若（A∪B）∩C≠∅,求实数m的取值范围．18．（10.00分）直线l经过点P（5,5）,且和圆C：x2+y2=25相交,截得弦长为,求l的方程．19．（12.00分）如图所示,已知AB⊥平面BCD,M,N分别是AC,AD的中点,BC⊥CD．（1）求证：MN∥平面BCD；（2）求证：平面ABC⊥平面ACD．20．（12.00分）如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AD=a,AB=2a,E为C1D1的中点．（1）求证：DE⊥平面BEC；（2）求三棱锥C﹣BED的体积．21．（12.00分）已知圆O：x2+y2=4,圆O与x轴交于A,B两点,过点B的圆的切线为l,P是圆上异于A,B的一点,PH垂直于x轴,垂足为H,E是PH的中点,延长AP,AE 分别交l于F,C．（1）若点P（1,）,求以FB为直径的圆的方程,并判断P是否在圆上；（2）当P在圆上运动时,证明：直线PC恒与圆O相切．22．（14.00分）函数f（x）=log a（x﹣4）﹣1（a＞0,a≠1）所经过的定点为（m,n）,圆C的方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2=r2（r＞0）,直线被圆C所截得的弦长为．（1）求m、n以及r的值；（2）设点P（2,﹣1）,探究在直线y=﹣1上是否存在一点B（异于点P）,使得对于圆C上任意一点T到P,B两点的距离之比（k为常数）．若存在,请求出点B坐标以及常数k的值,若不存在,请说明理由．2015-2016学年广东省广州市番禹区仲元中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）直线x+y﹣1=0的倾斜角α为（）A．B．C．D．【解答】解：直线x+y﹣1=0 即y=﹣x+,故直线的斜率等于﹣,设直线的倾斜角等于α,则0≤α＜π,且tanα=﹣,故α=,故选：D．2．（5.00分）不等式﹣x2+3x﹣2≥0的解集是（）A．{x|x＞2或x＜1}B．{x|x≥2或x≤1}C．{x|1≤x≤2}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：不等式﹣x2+3x﹣2≥0化为x2﹣3x+2≤0,因式分解为（x﹣1）（x﹣2）≤0,解得1≤x≤2．∴原不等式的解集为{x|1≤x≤2},故选：C．3．（5.00分）下列函数中,在区间（0,+∞）上为增函数的是（）A．B．y=（x﹣1）2 C．y=2﹣x D．y=log0.5x【解答】解：对于A,函数y=在定义域[0,+∞）上为单调增函数,满足题意；对于B,函数y=（x﹣1）2在区间（﹣∞,1）上是单调减函数,（1,+∞）上是单调增函数,不满足题意；对于C,函数y=2﹣x在定义域R上为单调减函数,不满足题意；对于D,函数y=log0.5x在定义域（0,+∞）上为单调减函数,不满足题意．故选：A．4．（5.00分）设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若l∥α,l∥β,则α∥β B．若α∥β,l∥α,则l∥βC．若l⊥α,l∥β,则α⊥β D．若α⊥β,l∥α,则l⊥β【解答】解：对于A项,在长方体中,任何一条棱都有和它相对的两个平面平行,但这两个平面相交,所以A不对；对于B项,若α、β分别是长方体的上下底面,在下底面所在平面中任选一条直线l,都有l∥α,但l⊂β,所以B不对；对于D项,在长方体中,令下底面为β,左边侧面为α,此时α⊥β,在右边侧面中取一条对角线l,则l∥α,但l与β不垂直,故D不对；对于C项,设平面γ∩β=m,且l⊂γ,∵l∥β,所以l∥m,又∵l⊥α,所以m⊥α,由γ∩β=m 得m⊂β,∴α⊥β．故选：C．5．（5.00分）已知两直线l1：x+my+4=0,l2：（m﹣1）x+3my+2m=0．若l1∥l2,则m 的值为（）A．4 B．0或4 C．﹣1或 D．【解答】解：①当m=0时,两条直线分别化为：x+4=0,﹣x=0,此时两条直线相互平行,因此m=0．②当m≠0时,两条直线分别化为：y=﹣x﹣,y=﹣x﹣,由于两条直线相互平行可得：=﹣,,解得m=4．综上可得：m=0或4．故选：B．6．（5.00分）若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m＞C．m＜0 D．m≤【解答】解：方程x2+y2﹣x+y+m=0即=﹣m,此方程表示圆时,应有﹣m＞0,解得m＜,故选：A．7．（5.00分）函数f（x）=（）x﹣x+2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣1,0）B．（0,1）C．（1,2）D．（2,3）【解答】解：函数,可得：f（﹣1）=5＞0,f（0）=3＞0,f（1）=＞0,f（2）=＞0,f（3）=﹣0,由零点定理可知,函数的零点在（2,3）内．故选：D．8．（5.00分）在空间直角坐标系中,给定点M（2,﹣1,3）,若点A与点M关于xOy 平面对称,点B与点M关于x轴对称,则|AB|=（）A．2 B．4 C．D．【解答】解：∵点M（2,﹣1,3）关于平面xoy对称点A它的横坐标与纵坐标不变,竖坐标相反,所以A（2,﹣1,﹣3）；M（2,﹣1,3）关于x轴的对称点分别为B,它的横坐标不变,纵坐标相反,竖坐标相反,有B（2,1,﹣3）,∴|AB|==2,故选：A．9．（5.00分）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为（）A．B．C． D．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M,则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R,根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm,而圆M的半径为4,由球的截面圆性质,得R2=（R﹣2）2+42,解出R=5,∴根据球的体积公式,该球的体积V===．故选：A．10．（5.00分）点M（x0,y0）是圆x2+y2=a2（a＞0）外一点,则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．相切或相交【解答】解：∵点M（x0,y0）是圆x2+y2=a2（a＞0）外一点,∴+＞a2．圆心O到直线x0x+y0y=a2与的距离为d=＜=a（半径）,故直线和圆相交,故选：B．11．（5.00分）若,则P,Q,R的大小关系是（）A．Q＜P＜R B．P＜Q＜R C．Q＜R＜P D．P＜R＜Q【解答】解：∵5＜x＜6,∵P=＜1．利用几何画板可得：y=log2x,y=的图象．可知：当x=4时,=log2x=2．当x=16时,=log2x=4．当4＜x＜16时,2＜＜log2x．综上可得：P＜R＜Q．故选：D．12．（5.00分）设函数,对于给定的正数K,定义函数f g（x）=,若对于函数定义域内的任意x,恒有f g（x）=f （x）,则（）A．K的最小值为1 B．K的最大值为1C．K的最小值为D．K的最大值为【解答】解：若对于函数定义域内的任意x,恒有f g（x）=f（x）,则f（x）≥K恒成立,∵≥20=1,故K≤1,即K的最大值为1,故选：B．二、填空题：（本大题共4小题,每小题5分,满分20分）．13．（5.00分）P为圆x2+y2=1的动点,则点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最大值为3．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心（0,0）到直线3x﹣4y﹣10=0的距离等于=2,故圆x2+y2=1上的动点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最大值为2+1=3,故答案为：3．14．（5.00分）已知直线y=kx﹣2k+1与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=3相交于M,N两点,则|MN|等于．【解答】解：直线y=kx﹣2k+1恒过（2,1）点,即直线y=kx﹣2k+1恒过圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=3的圆心,故|MN|=2R=；故答案为：15．（5.00分）若函数f（x）=log a（x﹣1）+m（a＞0,且a≠1）恒过定点（n,2）,则m+n的值为4．【解答】解：∵函数f（x）=log a（x﹣1）+m（a＞0,且a≠1）的图象经过定点A （n,2）,可得log a（n﹣1）+m=2为定值,可得n﹣1=1,n=2,故m=2,m+n=4,故答案为：4．16．（5.00分）设f（x）为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f（x）=a x+1﹣4（a为常数）,则f（﹣1）的值为﹣12．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f（x）=a x+1﹣4（a为常数）,∴f（0）=0,即f（x）=a﹣4=0,则a=4,则当x≥0时,f（x）=4x+1﹣4,则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（42﹣4）=﹣12,故答案为：﹣12三、解答题：本大题共6小题,满分共70分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程.17．（10.00分）设函数的定义域为集合A,已知集合B={x|1＜x＜3},C={x|x≥m},全集为R．（1）求（∁R A）∩B；（2）若（A∪B）∩C≠∅,求实数m的取值范围．【解答】解：（1）因0＜a＜1,由log a（x﹣2）≥0得0＜x﹣2≤1,所以A={x|2＜x≤3},…（2分）C R A={x|x≤2或x＞3},…（4分）（C R A）∩B={x|x≤2或x＞3}∩{x|1＜x＜3}={x|1＜x≤2},…（6分）（2）由（1）知A={x|2＜x≤3},因B={x|1＜x＜3},所以A∪B={x|1＜x≤3},…（8分）又C={x|x≥m},（A∪B）∩C≠ϕ,所以m≤3,…（10分）18．（10.00分）直线l经过点P（5,5）,且和圆C：x2+y2=25相交,截得弦长为,求l的方程．【解答】解：如图易知直线l的斜率k存在,设直线l的方程为y﹣5=k（x﹣5）圆C：x2+y2=25的圆心为（0,0）半径r=5,圆心到直线l的距离在Rt△AOC中,d2+AC2=OA2,∴2k2﹣5k+2=0,∴k=2或l的方程为2x﹣y﹣5=0或x﹣2y+5=0．19．（12.00分）如图所示,已知AB⊥平面BCD,M,N分别是AC,AD的中点,BC⊥CD．（1）求证：MN∥平面BCD；（2）求证：平面ABC⊥平面ACD．【解答】证明：（1）∵M,N分别是AC,AD的中点,∴MN∥CD,又∵MN⊄平面BCD,CD⊂平面BCD,∴MN∥平面BCD．（2）∵AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD,又∵BC⊥CD,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC,又∵CD⊂平面ACD,∴平面ABC⊥平面ACD．20．（12.00分）如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AD=a,AB=2a,E为C1D1的中点．（1）求证：DE⊥平面BEC；（2）求三棱锥C﹣BED的体积．【解答】（1）证明：如图,∵BC⊥侧面CDD1C1,DE⊂侧面CDD1C1,又DE⊂侧面CDD1C1,∴DE⊥BC,在△CDE中,由已知得,则有CD2=CE2+DE2,∴∠DEC=90°,即DE⊥EC,又∵BC∩EC=C,∴DE⊥平面BCE；（2）∵BC⊥侧面CDD1C1且CE⊂侧面CDD1C1,∴CE⊥BC,则,又∵DE⊥平面BCE,∴DE就是三棱锥D﹣BCE的高,则．21．（12.00分）已知圆O：x2+y2=4,圆O与x轴交于A,B两点,过点B的圆的切线为l,P是圆上异于A,B的一点,PH垂直于x轴,垂足为H,E是PH的中点,延长AP,AE 分别交l于F,C．（1）若点P（1,）,求以FB为直径的圆的方程,并判断P是否在圆上；（2）当P在圆上运动时,证明：直线PC恒与圆O相切．【解答】（1）证明：由P（1,）,A（﹣2,0）∴直线AP的方程为．令x=2,得F（2,）．（2分）由E（1,）,A（﹣2,0）,则直线AE的方程为y=（x+2）,令x=2,得C（2,）．（4分）∴C为线段FB的中点,以FB为直径的圆恰以C为圆心,半径等于．∴圆的方程为,且P在圆上；（2）证明：设P（x0,y0）,则E（x0,）,则直线AE的方程为在此方程中令x=2,得C（2,）直线PC的斜率为=﹣=﹣若x0=0,则此时PC与y轴垂直,即PC⊥OP；（13分）若x0≠0,则此时直线OP的斜率为,∵×（﹣）=﹣1∴PC⊥OP∴直线PC与圆O相切．（16分）22．（14.00分）函数f（x）=log a（x﹣4）﹣1（a＞0,a≠1）所经过的定点为（m,n）,圆C的方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2=r2（r＞0）,直线被圆C所截得的弦长为．（1）求m、n以及r的值；（2）设点P（2,﹣1）,探究在直线y=﹣1上是否存在一点B（异于点P）,使得对于圆C上任意一点T到P,B两点的距离之比（k为常数）．若存在,请求出点B坐标以及常数k的值,若不存在,请说明理由．【解答】解：（1）在函数f（x）=log a（x﹣4）﹣1（a＞0,a≠1）中,当x=5时,y=﹣1,∴必经过的定点为点（5,﹣1）,即m=5,n=﹣1,由于直线AP被圆C所截得的弦长为,圆C半径为r,设圆心到直线AP的距离为d,由于圆心（5,﹣1）到直线的距离为,∴,代入d值解方程可得r=5；（2）假设在直线y=﹣1上存在一点B（异于点P）,使得对于圆C上任意一点T到P,B两点的距离之比（k为常数）．圆与直线y=﹣1的交点为S（0,﹣1）,Q（10,﹣1）,设B（m,﹣1）（m≠2）,而若点T在S和Q时,则有,即,解得,下面证明：设T（x,y）为圆上任意一点,则：,=,∴在直线y=﹣1上存在一点,使得对于圆C上任意一点T到P,B两点的距离之比．。