bav-xqj_y高中数学 排列组合方法汇总素材 新人教A版选修2
高二数学 期末备考专题排列组合、二项式定理 新人教A版选修23
（4）方法一先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A 种，然后将甲、乙按条件插入站队，有3A 种，故共有A ·（3A ）=144（种）站法.
方法二先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A 种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有A 种方法，最后对甲、乙进行排列，有A 种方法，故共有A ·A ·A =144（种）站法.
（6）方法一甲在左端的站法有A 种，乙在右端的站法有A 种，且甲在左端而乙在右端的站法有A 种，共有A -2A +A =504（种）站法.
方法二以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有A 种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A ·A ·A 种，故共有A +A ·A ·A =504（种）站法.
例2, 解（1）第一步：选3名男运动员，有C 种选法.
方法二先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A 种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有A 种方法，最后让甲、乙全排列，有A 种方法，共有A ·A ·A =240（种）.
（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A 种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A 种站法，故共有站法为A ·A =480（种）.
A，70 种 B，80种 C，100 种 D，140 种
解析：分为2男1女，和1男2女两大类，共有 =70种，
解题策略：合理分类与准确分步的策略。
2，广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）
新人教A版高中数学(选修2-3)1.2《排列与组合》(排列)ppt课件
例2．解方程
A
3 2x
100Ax
2
解：原方程可化为2x(2x-1)(2x-2)=100x(x-1) ∵x≠0,x≠1 ∴ 2x-1=25 解得x=13 经检验x=13 是原方程的根。 例3．证明：A m
=A +mA n+1
。 。
m n
m-1 n
n! n! 证明：右边 m (n m )! (n m 1)! n ! (n m 1) n ! m (n 1)n ! (n m 1)! (n m 1)! (n 1)! Anm1 左 [(n 1) m ]!
一列，共有多少种不同的排法？
解决这个问题，需分3个步骤： 第1步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法； 第2步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有3种方法； 第3步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，有2种方法． 根据分步计数原理，共有4×3×2＝24
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一 定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个排列． 注意： 1.我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有 重复元素，也没有重复抽取相同的元素． 2.排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是 “按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关，这也 是判断一个问题是不是排列问题的重要标志． 3.根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元 素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．也就是说，如 果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的 排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同， 那么也是不同的排列． 4.如果m＜n，这样的排列（也就是只选一部分元素作排列）， 叫做选排列；如果m＝n，这样的排列（也就是取出所有元素 作排列），叫做全排列．
高中数学 排列与组合综合(二)挡板法和插空法讲义 新人教A版选修2-3
排列与组合综合(二) ——挡板法和插空法金题精讲题一：(1)有5个插班生要分配给3所学校，每校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？(2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名额分配方法？题二：某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种.题三：5个男生到一排12个座位上就座，两个之间至少隔一个空位．共有多少种排法？题四：15个相同．．的球，按下列要求放入4个写上了1、2、3、4编号的盒子，各有多少种不同的放法?(1)将15个球放入盒子内，使得每个盒子都不空；(2)将15个球放入盒子内，每个盒子的球数不小于盒子的编号数；(3)将15个球放入盒子内，每个盒子不必非空；(4)任取5个球，写上1-5编号，再放入盒内，使每个盒子都至少有一个球；(5)任取10个球，写上1-10编号，奇数编号的球放入奇数编号的盒子，偶数编号的球放入偶数编号的盒子．题五：某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A．4种B．10种C．18种D．20种排列与组合综合(二)——挡板法和插空法讲义参考答案金题精讲题一：(1) 150 (2) 6 题二：60，48题三：6720种题四：(1) 364 (2) 56 (3) 816 (4) 240 (5) 210题五：B精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
人教版高中数学选修2-3《排列组合问题的常用方法》
A2 A3
（相邻不相邻）综合练习：7名学生站并排成一 排，在下列情况下各有多少种不同的排法？ 3 4 （1）A、B、C三人互不相邻； A5 A4 （2）A、B、C三人相邻； A33 A55 2 4 2 A （3）A、B相邻，但C不与A、B相邻。 2 A4 A5
题型三：定序问题
解题策略： 第一步：元素全排 第二步：除去特殊元素的相对顺序
排列组合问题的常用方法
复习回顾
解排列组合题要求我们合理运用加 法原理和乘法原理，准确的区分排 列与组合，仔细推敲题中的关键字， 词，正确分清施加条件。本节将排 列组合问题中的有“特殊要求”的 问题加以归纳总结。用好这些原则 会使许多复杂的问题变得简单明了。
（排列）题型一：相邻问题
解决策略：捆绑法
5 9
2 4 2 2
2 2
C C C 3 A3 2268 A
5 9
2 4 2 2
2 2
题型二：相同元素有序分组
解决策略：隔板法
例5：十个相同的小球分给七人，每人至少分的一个球，不同 的分法有多少种？ 6 9
C
练习：现从高二理科7个班中挑选12人组成校代表 队,参加全疆数学竞赛每班至少选一人,问有多少 种选法? 6 11
例3：某车队有A,B,C,D,E,F六辆车，现在调出4辆且按一定的顺序 去执行任务，要求A,B两辆车必须参加且A车排在B车之前出发，则 不同的调度方法有多少种？ 2 4 C4 A4 2
变式：若要求六辆车全部去执行任务,A车在B车前 面出发且B车在C车前面出发，则不同的派车方案 6 有多少种？ A6
7 7
3 4 A3 A4 (插空法)
（8）7人站成前后两排，前排3人，后排4人的站 7 法 A (分步计数)
高中数学选修2-3基础知识归纳(排列组合、概率问题)
高中数学选修2-3基础知识归纳（排列组合、概率问题）一．基本原理1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为。
四．处理排列组合应用题1.①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。
2．解排列、组合题的基本策略（1）两种思路：①直接法：②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。
注意：分类不重复不遗漏。
即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。
（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。
在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。
其原则是先分类，后分步。
（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。
3．排列应用题：（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；(2) 特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；例1. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有种；中间4个为不同的商业广告有种，从而应当填＝48. 从而应填48．例2. 6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？解一：间接法：即解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类.（3）相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。
高中数学 1.2 2排列与组合教案 新人教A版选修选修2-3
2013年高中数学 1.2 2排列与组合教案新人教A版选修选修2-3
教学内容背景材料：
义务教育课程标准实验教科书（人教版）二年级上册第八单元的排列与组合
教学目标：
1、通过观察、猜测、操作等活动，找出最简单的事物的排列数和组合数。
2、经历探索简单事物排列与组合规律的过程。
3、培养学生有顺序地全面地思考问题的意识。
4、感受数学与生活的紧密联系，激发学生学好数学的信心。
教学重点：经历探索简单事物排列与组合规律的过程
教学难点：初步理解简单事物排列与组合的不同
教具准备：教学课件
学具准备：每生准备3张数字卡片，学具袋
教学过程：
能写出几个两位数？问题刚说完小
个，小狗说
学生活动教师巡视。
同学写出的个数不同，怎样
力、情感。
2
小熊、小猪一共握几次手？怎样握？
的同与不同，师：刚才我们帮森林学校的小动物们
直夸同学们聪明呢！通过解决这两个
？
计一下共有多少种穿法。
如果需要的。
人教版数学高二选修2-3 1.2解决排列组合问题常用哪些手段
解决排列组合问题常用哪些手段山东省利津县第一中学 胡彬 257400排列、组合问题是高中数学的重要知识之一,且排列、组合的概念具有广泛的实际意义. 由于解这类问题时方法灵活，切入点多，且抽象性强，在做题过程中发生重复或遗漏现象不易被发现，所以成为学习的难点之一.解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。
复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。
1.特殊元素（位置）用优先法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有14A 种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有55A 种站法，故站法共有：4805514=A A （种） 解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有25A 种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有44A 种，故站法共有：（种）2. 相邻问题用捆绑法对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。
例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？ 解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有66A 种，然后女生内部再进行排列，有33A 种，所以排法共有：43203366=A A （种）。
3. 不相邻用插空法对于一些元素（或位置）不相邻的排列、组合问题，应先将其他元素（或位置）排好，再把不相邻的元素（或位置）在已排好的元素（或位置）间插空。
高中数学 解排列组合应用题的21种策略学案 新人教A版选修2
2008高考数学复习 解排列组合应用题的21种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种 D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =ð共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A ð中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种. 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
数学人教A版选修2-3教材梳理：1.2排列与组合 含解析 精品
庖丁巧解牛知识·巧学一、排列、排列数公式1.排列一般地，从ｎ个不同的元素中任取ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列.(1)“一定的顺序”说明如果两个排列相同，那么不但所有元素相同，而且排列的顺序也要相同.如三个数的排列123与132虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.(2)“ｎ个不同的元素”，所给的ｎ个元素不同，所取出的元素也就各不相同，也就是说如果某个元素被取出，就不能再取了，即无重复的排列.深化升华 判断一个具体问题是不是排列问题，就看从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素后，再安排这ｍ个元素时是有序还是无序，有序就是排列，无序就不是排列.也就是说，排列问题与元素的顺序有关，与顺序无关的不是排列.如取出两个数做乘法就与顺序无关，就不是排列，做除法就与顺序有关，就是排列.2.排列数从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有不同排列的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数，用符号A m n 表示.排列数概念可以从集合的角度进行解释.例如：从ａ、ｂ、ｃ这三个不同的元素中任取两个元素的排列数的问题，就是集合A={ab,bc,ca,ba,cb,ac}的元素个数问题，显然card(A)=6.这里，由排列的定义知，集合A 中的元素ａｂ与ｂａ应视为不同的元素.辨析比较 “排列”与“排列数”是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数；排列数是所有排列的个数.它是一个数.在写具体排列时，要按一定规律写，以免造成重复或遗漏.3.排列数公式（1）排列数公式：①连乘表示式：m n A =n(n-1)(n-2)…(n -m+1).其中,n ，m ∈N *，且ｍ≤ｎ；②阶乘表示式：)!(!m n n A m n -=，其中n,m ∈N *，且ｍ≤ｎ. （2）全排列：ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个不同元素的一个全排列.（3）阶乘：ｎ个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到ｎ的连乘积，叫做ｎ的阶乘，用n!表示，即n n A =n!.规定0!=1.（4）排列数性质：①m n A =n 11--m n A ；②m n A =m n m n A A 111---+.记忆要诀 排列数的连乘表示式的右边是ｍ个数的连乘积，其特点是：第一个因数是ｎ，后面的每一个因数都比它前面的因数少1；最后一个因数是ｎ-ｍ+1，一共有ｍ个连续自然数的连乘积.方法归纳 对于排列数的两个形式的公式，连乘表示式常用于计算具体的含有数字的排列数的值；阶乘表示式则常用于含字母的排列数的变形和证明有关等式.二、组合、组合数公式1.组合一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素合成一组，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合.组合定义中包含了两点：一是“取出元素”，二是“并成一组”.即与元素的顺序无关.如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同，即使只有一个元素不相同，就不是相同的组合.疑点突破 组合与排列的共同点是都要“从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素”.不同点是前者是“不管顺序并成一组”，而后者要“按照一定顺序排成一列”.区分某一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关.在写出某个排列问题的所有排列时，采用“树形图”的写法较好；在写出某个组合问题的所有组合时，设计好程序，一般采用递进式的写法比较好，在书写时，要做到不重不漏.2.组合数从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有不同组合的个数，叫做从ｎ个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是一个具体的事件，不是一个数；而“组合数”是符合条件的所有组合的个数，它是一个数.方法归纳 处理排列组合应用题常用的方法有：①相邻元素归并法（捆绑法）；②相离元素插空法；③定位元素优先安排法；④有序分配依次分组法；⑤多元素不相容情况分类法；⑥交叉问题集合法；⑦混合问题先组合后排列法；⑧“至少”“至多”问题间接排除法.3.组合数公式（1）组合数的连乘表示式：由于m mm n m n A C A ∙=，因此， !)1()2)(1(m m n n n n A A C m m m n m n+---== ,这里，n,m ∈N *，并且ｍ≤ｎ. （2）组合数的阶乘表示式：)!(!!m n m n C m n -=，这里，n,m ∈N *，并且ｍ≤ｎ.可得1=n n C ,10=n C . （3）组合数的两个性质：①m n n m n C C -=；②11-+=m nm n m n C C C 深化升华 利用排列数公式和组合数公式进行计算、证明时，要正确地选用公式，同时注意m nm n C A ,中ｍ≤ｎ这个隐含条件.在利用组合数公式计算、化简时，要灵活运用组合数的性质，一般地，计算m n C 时，若ｍ比较大，可利用性质①，不计算m n C 而改为计算m n n C -，在计算组合数之和时，常利用性质②.问题·探究问题1 某年中国足球超级联赛共有12个队参加，每队都要与其他各队在主客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？思路:将参加比赛的12个队看作12个元素，每一场比赛即为从12个不同元素中任取2个元素的一个排列，其中设排在前面的队为主场比赛.总共比赛的场次，就是从12个不同元素中任取2个元素的排列数，则212A =12×11=132场.探究：在解排列、组合应用问题时，要注意三点：①仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，或者是二者的混合；要按元素的性质分类，按事件发生的过程分步；②深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，不重不漏，要多角度分析，分类考虑；③对于有限制条件的比较复杂的排列组合问题，要通过分析设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单问题后运用分类加法或分步乘法计数原理来解决.问题2A 、B 、C 三地之间都有直达的汽车，某客运公司独家经营三地之间的客运直达业务，三地之间距离各不相同，而车票价格取决与路程的远近，并且任意两地之间的来回票价相同，问客运公司需要准备多少种票价的车票？需要准备多少种车票？思路:汽车票的种数与起点站、终点站有关，从A 地到B 地和从B 地到A 地是不同的，所以车票也不相同，也就是票的种数与顺序有关.而无论从哪儿到哪儿，票价不变，如从A 地到B 地和从B 地到A 地的票价相同，也就是票价与顺序无关.所以多少票价的车票，是从三个不同的元素A 、B 、C 中任取两个，不管怎样的顺序并成一组，是一个组合问题，种数为22323⨯=C =3种.而车票的种数相当于从三个元素中任取两个，然后按一定顺序排列，即23A =3×2=6种.探究：对于有附加条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按事件发生的过程进行分步.解决此类的实际应用题，通常从三个途径考虑：一是以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.二是以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.三是先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数.典题·热题例1（2005辽宁高考）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有________个（用数字作答）思路分析:组成这样的八位数可以分成三步：第一步是把1与2、3与4、5与6捆绑看作三个整体排成一列，共有33A 种排法；第二步是把7与8插入第一步中的三个整体之间，共有24A 种排法；第三步是第一步当中的1与2、3与4、5与6之间的位置可以交换，共有222222A A A ∙∙种排法.所以组成这样的八位数共有2222222433A A A A A ∙∙∙∙=576个. 答案:576方法归纳 元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列，而元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的元素的普通元素全排列，然后在普通元素之间及两端插入不相邻元素.上述方法可归纳为：元素要相邻，看成一整体；元素不相邻，见缝插进去.例2(2005浙江高考)从集合{P ，Q ，R ，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任限2个元素排成一排(字母和数字均不能重复).每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________________.(用数字作答)思路分析:本题若直接求解，则“每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个”要分“每排中字母Q 和数字0都不出现、只出现字母Q 、只出现数字0”三类考虑；若间接求解，则只须将总数4421024A C C ∙∙减去字母Q 和数字0都出现的排法种数441913A C C ，即不同的排法种数是4419134421024A C C A C C -∙∙=5 832答案:5 832拓展延伸 (2005福建高考)从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）A.300种B.240种C.144种D.96种思路分析:若直接求解，则“6人中甲、乙两人不去巴黎游览”要分为“甲、乙没有被选中；被选中一人但是去其他三个城市游览；被选中2人但是去其他三个城市游览”三类来考虑，显然较为复杂.若间接求解，则只须将总数46A 中减去甲、乙中有1人去巴黎游览的方案种数352A ，即不同的选择方案共有46A -235A =240种. 答案:B方法归纳 对排列问题或组合问题，当正面考虑较繁或难以下手时，不妨从反面入手，即用间接法.用间接法求解的常见题型有：至少型、至多型、否定型、重复型等.例3判断下列各事件是排列问题，还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.（1）10个人相互各写一封信，共写多少封信？（2）10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？（3）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛需要进行多少场次？（4）从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？（5）从10个人里选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？思路分析:根据排列与组合的定义进行判断，问题的关键是看这一事件有没有顺序.解:（1）是排列问题.因为发信人与收信人是有区别的.排列数为210A =90种.（2）是组合问题.因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别.组合数为210C =45种.（3）是组合问题.因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别.组合数为210C =45种.（4）是组合问题.因为三个代表之间没有顺序的区别.组合数为310C =120种.（5）是排列问题.因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的.排列数为310A =720种.方法归纳 区别排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合.例4用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（3）能组成多少个比1 325大的四位数？思路分析:该例中的每一个小题都是有限制条件的排列问题，除了应注意题目中要求的明显条件外，还应注意隐含条件“0不能排在首位”.我们采取先特殊后一般的原则，将问题分解为几个易求解的简单问题.解:（1）符合条件的四位偶数可以分为三类：第一类：0在个位时有35A 个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个，有14A 种.十位和百位从余下的数字中选，有24A 种，于是共有14A ·24A 个.第三类：4在个位时，与第二类同理，也有14A ·24A 个.由分类加法计数原理知，共有四位偶数的个数为35A +14A ·24A +14A ·24A =156个.（2）五位数中5的倍数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有54A 个；个位数上的数字是5的五位数有3414A A ∙个.故满足条件的五位数的个数共有54A +3414A A ∙=216个. （3）比1 325大的四位数可分为三类：第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□,5□□□，共3514A A ∙个； 第二类：形如14□□,15□□，共有2412A A ∙个；第三类：形如134□,135□，共有2312A A ∙个.由分类加法计数原理知，比1 325大的四位数共有：3514A A ∙+2412A A ∙+2312A A ∙=270个. 深化升华 不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题，其常见的附加条件有：奇偶数、位数关系、大小关系等，也可以有相邻问题、插空问题，也可以与数列等知识相联系等.解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件；然后按特殊元素（位置）的性质分类（每一类的各种方法都能保证事件的完成），按事件发生的连续过程合理分步来解决.例5有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？（1）甲不在中间也不在两端；（2）甲、乙两人必须排在两端；（3）男、女生分别排在一起；（4）男女相间；（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定.思路分析:本例集排列组合多种类型于一题，应充分利用元素分析法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法、捆绑法、插空法、等机会法等常见的解题思路.解:（1）方法一：元素分析法先排甲有6种，其余有88A 种.故共有6×88A =241 920种排法.方法二：位置分析法中间和两端有38A 种排法，包括甲在内的其余6人有66A 种排法，故共有38A ·66A =336×720=241 920种排法.方法三：等机会法9个人的全排列有99A 种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是99A ×96=241 920种.方法四：间接法99A -3×88A =688A =241 920种.（2）先排甲、乙，再排其余7人，共有7722A A ∙=10 080种排法. （3）捆绑法：554422A A A ∙∙=5 760种. （4）插空法：先排4名男生有44A 种方法，再将5名女生插空，有55A 种方法，故共有44A ·55A =5 760种.（5）方法一：9人共有99A 种排法，其中甲、乙、丙三人有33A 种排法，因而在99A 种排法中每33A 种对应一种符合条件的排法，故共有3399A A =60 480种排法. 方法二：6639A C ∙=60 480种. 深化升华 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则：（1）按事情发生的过程进行分步；（2）按元素的性质进行分类，具体地说，解排列组合的应用题，通常有以下途径： ①以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素;②以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置;③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.例6求证：!111321443322n A n A A A n n-=-++++ 思路分析:等式左边是ｎ-1项的和，右边是两项的差，联想数列求和，与数列求和类似，考虑把它的一般项)!1(+m m 进行拆项，使中间的很多项相消，以求得它们的和. 解:!1!43!32!211321443322n n A n A A A n n-++++=-++++ ∵)!1(1!1)!1(1)1()!1(+-=+-+=+m m m m m m .所以左边=!11]!1)!1(1[)!41!31()!31!21()!211(n n n -=--++-+-+- 方法归纳 关于排列数的恒等式证明，一般都要选用排列数的阶乘表示式n n A =n!和)!(!m n n A m n -=.。
新人教A版高中数学(选修2-3)1.2《排列与组合》(组合)
例6．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至
周五的5天中参加某项志愿者活动，要求
每人参加一天且每天至多安排一人，并要
求甲安排在另外两位前面。不同的安排方
法共有（ ）
种方法，
所以，一共有90+360+90＝540种方法．
元素相同问题隔板策略
例.有10个运动员名额，再分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板， 可把名额分成７份，对应地分给７个 班级，每一种插板方法对应一种分法 将n个相同共的有元__素__分__成__m__份_种（分n，法m。为正整数）,每 份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
组合数性质1： 2：
特别地：
练习一
（1） （2）
（3） （4） （5）求
0 7
1,或5
的值 511
例题解读
求证： 证明：因为
左边= =左边，所以等式成立
评注： 注意阶乘的变形形式：
练习精选： 证明下列等式 ： （1）
（2）
例题解读：
例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种 不同的选法： （1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；
你发现ad了b bda dba
acd
什么ac?d cad dac
adc cda dca
bcd cbd dbc
bcd
bdc cdb dcb
（三个元素的）1个组合，对应着6个排列
对于 ，我们可以按照以下步骤进行
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的
【K12教育学习资料】高中数学 排列组合方法精讲毒素材 新人教A版选修2-3
排列组合方法精讲——思维方法的衍生法或派生法我们在高中数学中已经学了排列组合的基础知识了，因此大家对“排列组合”这概念应该不会是陌生的。
宇宙中的万事万物严格地说就是元素、分子、细胞等基本单元排列组合的结果，如所有分子都是由原子排列组合而成的，复杂的化学反应也是由简单的化学反应排列组合而成的；所有生物都是由不同的细胞排列组合而成的，可见排列组合知识是多么的重要 !为此下面就简单介绍一下高中代数中所讲到的排列组合的一些基础知识元素通常人们把被取的对象 (不管它是什么)叫做元素。
如若我们研究对象为数字 (如1、2、3、4、5等)那么，这些数字也叫做元素；若我们研究的对象为地名(如：北京、上海、广州、南京等)，那么这些地名也一样可叫做元素；若我们研究的对象为字母(如：a、b、c、d等)，那么这些字母也可叫做元素；若我们研究的对象为分子(如：Cl２、Br2、H2、HCl等)，那么这些分子也一样可叫做元素；若我们研究的对象为一个人(如：张三、李四、王五等)，那么这些人也可叫做元素……排列那么，一般地说，从 n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，这就叫做从几个不同元素中取m个元素的一个排列。
例如：已知 a、b、c、d这四个元素，写出每次取出3个元素的所有排列。
对于初学者可以先画下图来算出：看上图 V所指的字母及第二排字母三个排成一列即可得到下列排列(这就是a、b、c、d这四个元素中每次取3个元素所得的所有排列)：有共 24个排列，这个数值24是可以根据乘法原理算出来的。
数学中的乘法原理为：做一件事，完成它需要分成几个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……，做第n步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m2×m1×m3×……×m n种不同的方法。
据此从a、b、c、d这四个元素中每次取出三个排成三位数的方法共有N＝４×３×２＝２４种。
新课标人教A版选修2-3高中数学《排列与组合》难题二十一种方法
高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
人教A版选修2-3排列组合问题的常见模型.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作排列组合问题的常见模型一、相异元素不许重复的排列组合问题这类问题有两个条件限制，一是给出的元素是不同的，即不允许有相同的元素；二是取出的元素也是不同的，即不允许重复使用元素。
这类问题有如下一些常见的模型。
模型１：从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定某k 个元素都包含在内，则：组合数：1m k n k N C --= 排列数：2m m k m n k N A C --=例１．全组有12个同学，其中有３个女同学，现要选出５个，如果３个女同学都必须当选，试问在下列情形中，各有多种不同的选法？（１）组成一个文娱小组；（２）分别担任不同的工作．解：（１）由于要选出的５人中，３个女同学都必须当选，因此还需要选２人．这可从９个男同学中选出，故不同的选法有：53112336(N C --==种)（２）在上述组合的基础上，因为还需要考虑选出５人的顺序关系，故不同的选法有：553522512359120364320(N A C A C --===⨯=种)模型２．从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定某k 个元素都不包含在内，则： 组合数：1m n k N C -= 排列数：2m m m m n k n k N A C A --==例２．某青年突击队有15名成员，其中有５名女队员，现在选出７人，如果５名女队员都不当选，试问下列情形中，各有多少种不同的选法？(1)组成一个抢修小组；（２）分别但任不同的抢修工作．解：（１）由于５名女队员都不当选，因此只能从10名男同学选出，故不同的选法有：77311551010120N C C C -====（种）（２）由于还需考虑选出的７个人的顺序问题，故不同的选法有：7721551010987654604800N A A -===⨯⨯⨯⨯⨯⨯=（种）模型３．从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定每一个排列或组合，都只包含某k 个元素中的某s 个元素。
高中数学 排列 1.2.2 排列的应用教学设计 新人教A版选修23
教学目标：掌握解排列问题的常用方法教学重点：掌握解排列问题的常用方法教学过程一、复习引入：1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的．．．顺序．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一．个排列．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘） 二、讲解新课：解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．互斥分类——分类法先后有序——位置法反面明了——排除法相邻排列——捆绑法分离排列——插空法例1在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？分析符合条件的奇数有两类．一类是以1、9为尾数的，共有P21种选法，首数可从3、4、5、6、7中任取一个，有P51种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有P82种选法，根据乘法原理知共有P21P51P82个；一类是以3、5、7为尾数的共有P31P41P82个．解符合条件的奇数共有P21P51P82+P31P41P82=1232个．答在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个．例2 某小组6个人排队照相留念．(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？分析 (1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．(2)先确定甲的排法，有P21种；再确定乙的排法，有P41种；最后确定其他人的排法，有P44种．因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P21·P41·P44种不同排法．(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P55种不同排法．然后甲、乙两人之间再排队，有P22种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P55·P22种排法．(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法．(5)采用“插入法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有P43种排法，女生有P33种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43·P33种排法．(6)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法，中间4个位置无限制有P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P41P41P44种排法．解 (1)P66=720(种)(2)P21·P41·P44=2×4×24=192(种)(3)P55·P22=120×2=240(种)(4)P66=360(种)(5)P43·P33=24×6=144(种)(6)P55+P41P41P44=120+4×4×24=504(种)或法二：(淘汰法)P66-2P55+P44=720-240+24=504(种)课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导课堂练习：1、六人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端； (2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间恰间隔两人；(5)甲、乙站在两端；(6)甲不站左端，乙不站右端．解题导引(1)求排列应用题最基本的方法有直接法：把符合条件的从正面考虑解决，直接列式计算；间接法：根据正难则反的解题原则，如果问题从正面考虑情况比较多，容易重或漏，那么从整体中去掉不符合题意的情况，就得到满足题意的排列种数．(2)相邻问题，一般用捆绑处理的方法．(3)不相邻问题，一般用插空处理的方法．(4)分排问题，一般用直排处理的方法．(5)“小集团”排列问题中，先整体后局部的处理方法．解(1)方法一要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A14种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列，有A55种站法，根据分步乘法计数原理，共有A14·A55＝480(种)站法．方法二若对甲没有限制条件共有A66种站法，甲在两端共有2A55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数即得所求的站法数，共有A66－2A55＝480(种)站法．(2)先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有A22种站法，根据分步乘法计数原理，共有A55·A22＝240(种)站法．(3)因为甲、乙不相邻，所以可用“插空法”．第一步，先让甲、乙以外的4个人站队，有A44种站法；第二步，再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中，有A25种站法，故共有A44·A25＝480(种)站法．(4)先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A24种；然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列，有A33种站法；最后对甲、乙进行排列，有A22种站法，故共有A24·A33·A22＝144(种)站法．(5)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种站法，再让其他4人在中间位置作全排列，有A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有A22·A44＝48(种)站法．(6)甲在左端的站法有A55种站法，乙在右端的站法有A55种，且甲在左端而乙在右端的站法有A44种站法，共有A66－2A55＋A44＝504(种)站法．2、用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，求这样的六位数的种数．解依题意先排列除1和2外的剩余4个元素有2A22·A22＝8(种)方案，再向这排好的4个元素中选1空位插入1和2捆绑的整体，有A15种插法，∴不同的安排方案共有2A22·A22·A15＝40(种)．。
人教A版高中数学选修23 .1 排列课件
例4 解方程 A42x＋1＝140A3x.
解 根据题意，原方程等价于
2x ＋1≥4， x ≥3， x ∈N*， 2x ＋1·2x ·2x －12x －2＝140x x －1x －2，
A84 3 9A84
1 27
例3（1）Anm 17 16 15 5 4 ，则 m 14，
n 17 ．
(2) 用 排 列 数 表 示 (55 － n)(56 － n)…(69 － n)(n∈N* 且 n<55)；
解 因为55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n， 且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)元素，
思考：上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般？ (1)都是从整体中取出部分（或全部）按照顺序排列 (2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等
能推广到一般
知识点一 排列的定义
排列：一般的，从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ） 个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从ｎ个不 同元素中取出ｍ个元素的一个排列。
例1、下列问题中哪些是排列问题？ （1）10名学生中抽2名学生开会 （2）10名学生中选2名做正、副组长 （3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘 （4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除 （5）在1，2，2中，任选两个做除法 （6）20位同学互通一次电话
（7）20位同学互通一封信 （8）以圆上的10个点为端点作弦 （9）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个 点的射线
事不应共同用有的两方种N法原。理m解1 题m：2 （1）分m清n 要完成的事情是什么种
（2）是分类完成还是分步完成
探究新知
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下 午的活动，有多少种不同的选法？
高中数学 组合教案及教学设计 新人教A版选修2-
1.2.2组合一、内容分析：排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高. 二、教学目标 1、知识与技能:（1）理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合.明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题.（2）了解组合数的意义，理解排列数mn A 与组合数C mn 之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算. 2、过程与方法:通过探索排列与组合的关系.这一教学活动，得到求组合数的方法，即AC=Amm nn mm，并使学生利用这一方法解决一些简单的组合问题.3、情感态度与价值观:让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.三、教学重点：组合的概念和组合数公式.四、教学难点：组合的概念和组合数公式.五、授课类型：新授课.六、教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率.七、教学流程:八、教学过程设计：教学环节教学内容设计意图师生互动情境创设问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？通过两个问题的比较，在引出组合概念的同时，让学生体会组合与排列的联系与区别.1、学生合作与交流解答教师所提出的问题.2、教师适当点评，引出课题.新课导学概念导学一组合问题1、组合的概念是什么？学习概念1、学生阅读教材.2、学生教师共同辨析概念.问题2、排列与组合的区别于联系？理解概念思考：①ab与ba是相同的排列吗？是相同的组合吗？②两个相同的排列有什么特点？两个相同组合呢?辨析概念学生讨论、交流、归纳、总结.练习应用概念学生独立思考解答，出现的错误有其他学生纠正.教学内容设计意图师生互动概念导学二组合数问题1：组合数的概念是什么？学习概念学生阅读教材教学环节新课导学概念导学二组合数问题2：组合数公式的推导过程问题：写出从a、b、c、d四个元素中任取三个元素的所有组合和排列为推导组合数公式做铺垫1、学生动手自觉完成，2、教师巡视并个别指导，3、学生回答推理过程，教师板演，共同完成公式推导.推导组合数公式培养学生的观察能力，由特殊到一般的归纳推理能力.例题研讨讲解例1．计算：①37C；②47C；③98100C1、组合数公式的应用，2、总结归纳组合数的性质:m n mn nC C-=.学生先自主完成，然后由教师引导学生发现规律.变式练习：计算：（1）3468C C÷；（2）已知1121nnC-+=，那么n= ．1、巩固组合数公式，2、加深对组合数性质的理解.学生独立完成，找学生代表到黑板板演，然后学生共同纠错.教学环节教学内容设计意图师生互动例题研例2．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛，按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。
人教版数学高二选修2-3 1.2排列组合应用题解法盘点
排列组合应用题解法盘点河南省滑县第六高级中学（456400）王红敢排列组合应用题历来是高中数学的难点，也是高考必考内容。
要想准确无误地解决排列组合问题，关键是熟悉各类问题的类型及其相应解法，因此本文结合典型试题行剖析，旨在揭示题型规律，揭示解题方法一、分类法当问题中元素多，取出的情况也较多时，可按要求分成互不相容的几类情况，即适用于多元问题。
另外，含“至少”、“至多”的排列组合问题，一般也分类解决，从而避免遗漏和重复。
例1、从集合{O ，P ，Q ，R ，S }与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O ，Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_____（数字作答）解析：由题意可分类如下：①每排字母中只有数字0的排法有：442319A c c ；②每排字母中只有字母O 的排法有：442913A c c ③每排字母中只有字母P 的排法有：442913A c c ④每排字母中无0，O ，P 的排法有：442923A c c故满足题意的不同排法种数是442319A c c +442913A c c +442913A c c +442923A c c =8424二、间接法对于某些排列组合问题，正面情况较复杂而反面情况较简单时，可用此法例2、过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线A ．18对B ．24对C ．30对D ．36 解析：两直线共面的情况有两类：①每个侧面共有6条直线，共有3个侧面，两条直线共面的情况有326⋅c②上、下底面每个面有3条直线，经过底面一边与侧面的两条对角线这样的面共有6个面，每个面上共面的直线有23c 对，8个面中两条直线共面的情况238c 对。
∴15条直线中共面直线69832326=⋅+⋅c c 对，而从15条直线中任取2条直线共有215c 对。
故异面直线对数为；215c -69=36，故选D 三、优先法含有限制条件的排列组合问题，被限制的元素（位置）称为特殊元素（位置），可以优先考虑特殊元素或者特殊位置。
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世界上有两种人，一种人，虚度年华；另一种人，过着有意义的生
活。
在第一种人的眼里，生活就是一场睡眠，如果在他看来，是睡在既温暖又柔和的
床铺上，那他便 十分心满意足了；在第二种人眼里，可以说，生活就是建立功绩……
人就在完成这个功绩中享到自己的幸福。
－－别林斯基
排列组合的常见题型及其解法
排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与
元素的顺序有关。
复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基
本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。
一. 特殊元素（位置）用优先法
把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元
素（位置）优先安排的方法。
例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？
分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方
法。
解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的
任一位置上，有A 41种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有A 55种站法，
故站法共有：A A 415
5⋅＝480（种） 解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两
人站在左右两端，有A 52种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有A 44
种，
故站法共有：A A 5244480⋅=（种）
二. 相邻问题用捆绑法
对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一
个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。
例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？
解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A 66种，然后女生内部再进
行排列，有A 33种，所以排法共有：A A 66334320⋅=（种）。
三. 相离问题用插空法
元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已
排好的元素位置之间和两端的空中。
例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？
解：先将其余4人排成一排，有A 44种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、
丙插入，有A 53种，所以排法共有：A A 44531440⋅=（种）
四. 定序问题用除法
对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。
解题方法是：先将n 个元素进行
全排列有A n n 种，m m n ()≤个元素的全排列有A m m 种，由于要求m 个元素次序一定，因此
只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中
m 个元素次序一定，则有A A n n m
m 种排列方法。
例4. 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？
解：不考虑限制条件，组成的六位数有A A 515
5⋅种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有：
A A A 51552
2300⋅=（个）
五. 分排问题用直排法
对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。
例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？
解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，
不同的坐标共有A 99种。
六. 复杂问题用排除法
对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。
在应用此法时要注意做到不重不漏。
例6. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）
A. 150种
B. 147种
C. 144种
D. 141种
解：从10个点中任取4个点有C 104
种取法，其中4点共面的情况有三类。
第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有464C 种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。
以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：C C 10464463141---=（种）。
七. 多元问题用分类法
按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总数。
例7. 已知直线ax by c ++=0中的a ，b ，c 是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。
解：设倾斜角为θ，由θ为锐角，得tan θ=-
>a b
0，即a ，b 异号。
（1）若c ＝0，a ，b 各有3种取法，排除2个重复（330x y -=，220x y -=，x y -=0），故有：3×3－2＝7（条）。
（2）若c ≠0，a 有3种取法，b 有3种取法，而同时c 还有4种取法，且其中任意两条直线均不相同，故这样的直线有：3×3×4＝36（条）。
从而符合要求的直线共有：7＋36＝43（条）
八. 排列、组合综合问题用先选后排的策略
处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。
例8. 将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？
解：可分两步进行：第一步先将4名教师分为三组（1，1，2），（2，1，1），（1，
2，1），共有：C C C A 4221112
26⋅⋅=（种），第二步将这三组教师分派到3种中学任教有A 33种方法。
由分步计数原理得不同的分派方案共有：C C C A A 4221112
23336⋅⋅⋅=（种）。
因此共有36种方案。
九. 隔板模型法
常用于解决整数分解型排列、组合的问题。
例9. 有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？
解：6个班，可用5个隔板，将10个名额并排成一排，名额之间有9个空，将5个隔
板插入9个空，每一种插法，对应一种分配方案，故方案有：C 95126=（种）。