高新一中初三数学期中试卷文档1.pdf
2020-2021西安高新第一中学初中校区东区初级中学初三数学下期中试题(附答案)
2020-2021西安高新第一中学初中校区东区初级中学初三数学下期中试题(附答案)一、选择题1．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．a C．a D．a2．如图，在正方形ABCD中，N为边AD上一点，连接BN．过点A作AP⊥BN于点P，连接CP，M为边AB上一点，连接PM，∠PMA＝∠PCB，连接CM，有以下结论：①△PAM∽△PBC；②PM⊥PC；③M、P、C、B四点共圆；④AN＝AM．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．13．观察下列每组图形，相似图形是（）A．B．C．D．4．如图，过反比例函数的图像上一点A作AB⊥轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．在同一直角坐标系中，函数k y x=和y=kx ﹣3的图象大致是（ ） A ． B ． C ．D ．6．下列命题是真命题的是（ ）A ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为2:3B ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9C ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为2:3D ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为4:97．如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD ，则下列结论成立的是（ ）A ．△PAB ∽△PCAB ．△ABC ∽△DBA C ．△PAB ∽△PDAD ．△ABC ∽△DCA 8．如图，在ABC ∆中，//DE BC ，9AD =，3DB =，2CE =，则AC 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．99．在平面直角坐标系中，点E （﹣4，2），点F （﹣1，﹣1），以点O 为位似中心，按比例1：2把△EFO 缩小，则点E 的对应点E 的坐标为（ ）A ．（2，﹣1）或（﹣2，1）B ．（8，﹣4）或（﹣8，4）C ．（2，﹣1） D ．（8，﹣4） 10．如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ）A．12B．24C．14D．1311．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元12．下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题13．如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数y＝kx的图象过点A，则k＝_____．14．如图，P（m，m）是反比例函数9yx在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为_____．15．一个4米高的电线杆的影长是6米，它临近的一个建筑物的影长是36米．则这个建筑的高度是_____m．16．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为________．17．如图，是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体分别从正面看和从上面看得到的平面图形，则搭成该几何体的小正方体最多是_______个．18．如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为_____．19．已知线段AB的长为10米，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），则AP的长_____米．（精确到0.01米）20．若函数y＝(k－2)2k5x-是反比例函数，则k＝______.三、解答题21．已知：△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，用尺规求作一条过点B的直线，使得截出的一个三角形与△ABC相似．（保留作图痕迹，不写作法）22．已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G.(1)如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：DE AD CF CD=；(2)如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得DE ADCF CD=成立？并证明你的结论．23．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AC=米后，斜坡AB改造为AB=米，坡度为1:3；将斜坡AB的高度AE降低20200斜坡CD，其坡度为1:4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）24．赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为________米．25．为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y 与x的函数关系式呢？（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，∵△ABD的面积为a，∴△ACD的面积为a，故选C．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相关性质是本题的解题关键．2．A解析：A【解析】【分析】根据互余角性质得∠PAM＝∠PBC，进而得△PAM∽△PBC，可以判断①；由相似三角形得∠APM＝∠BPC，进而得∠CPM＝∠APB，从而判断②；根据对角互补，进而判断③；由△APB∽△NAB得AP ANBP AB，再结合△PAM∽△PBC便可判断④．【详解】解：∵AP⊥BN，∴∠PAM+∠PBA＝90°，∵∠PBA+∠PBC＝90°，∴∠PAM＝∠PBC，∵∠PMA＝∠PCB，∴△PAM∽△PBC，故①正确；∵△PAM∽△PBC，∴∠APM＝∠BPC，∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC，故②正确；∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°，∴B、C、P、M四点共圆，∴∠MPB＝∠MCB，故③正确；∵AP⊥BN，∴∠APN＝∠APB＝90°，∴∠PAN+∠ANB＝90°，∵∠ANB+∠ABN＝90°，∴∠PAN＝∠ABN，∵∠APN＝∠BPA＝90°，∴△PAN∽△PBA，∴AN PA BA PB=，∵△PAM∽△PBC，∴Al AP BC BP=，∴AN AM AB BC=，∵AB＝BC，∴AM＝AN，故④正确；故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质、四点共圆，同角的余角相等，判断出PM⊥PC是解题的关键．3．D解析：D【解析】【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．【详解】解：A、两图形形状不同，故不是相似图形；B、两图形形状不同，故不是相似图形；C、两图形形状不同，故不是相似图形；D、两图形形状相同，故是相似图形；故选：D．【点睛】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．4．C解析：C【解析】试题分析：观察图象可得，k＞0，已知S△AOB=2，根据反比例函数k的几何意义可得k=4，故答案选C.考点：反比例函数k的几何意义.5．A解析：A【解析】【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．【详解】分两种情况讨论：①当k＞0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，没有图像符合要求；②当k＜0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A符合要求．故选A．【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．6．B解析：B【解析】【分析】根据相似三角形的性质分别对每一项进行分析即可．【详解】解：A、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是假命题；B、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是真命题；C、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命题；D、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命题；故选B．【点睛】此题考查了命题与定理，用到的知识点是相似三角形的性质，关键是熟练掌握有关性质和定理．7．B解析：B【解析】【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．【详解】∵∠APD =90°，而∠P AB ≠∠PCA ，∠PBA ≠∠P AC ，∴无法判定△P AB 与△PCA 相似，故A 错误；同理，无法判定△P AB 与△PDA ，△ABC 与△DCA 相似，故C 、D 错误；∵∠APD =90°，AP =PB =BC =CD ，∴AB =P A ，AC =P A ，AD =P A ，BD =2P A ，∴=，∴，∴△ABC ∽△DBA ，故B 正确．故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法． 8．C解析：C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DE ∥BC 得AD AE DB EC =，然后利用比例性质求EC 和AE 的值即可【详解】∵//DE BC ， ∴AD AE DB EC =，即932AE =， ∴6AE =，∴628AC AE EC =+=+=．故选：C ．【点睛】此题考查平行线分线段成比例，解题关键在于求出AE9．A解析：A【解析】【分析】利用位似比为1：2，可求得点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1），注意分两种情况计算．【详解】∵E（-4，2），位似比为1：2，∴点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1）．故选A．【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．注意位似的两种位置关系．10．D解析：D【解析】【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．【详解】过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB=13 CDBD，∴tanB′=tanB=13．故选D．【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．11．C解析：C【解析】【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【详解】3m×2m=6m2，∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元，故选C．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．12．D解析：D【解析】解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；②球的主视图与左视图都是圆；③圆锥主视图与左视图都是三角形；④圆柱的主视图和左视图都是长方形；故选D．二、填空题13．-3【解析】【分析】根据比例系数k的几何含义：在反比例函数y=的图象中任取一点过这一个点向x轴和y轴分别作垂线与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|即可解题【详解】解：∵矩形ABOC的面积为3∴|k|解析：-3【解析】【分析】根据比例系数k的几何含义：在反比例函数y=kx的图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|即可解题．【详解】解：∵矩形ABOC的面积为3,∴|k|=3.∴k=±3.又∵点A在第二象限,∴k<0,∴k=−3.故答案为：−3.【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,反比例函数图象上点的坐标特征,属于简单题,熟悉反比例函数的图像和性质是解题关键.14．【解析】【详解】如图过点P作PH⊥OB于点H∵点P（mm）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点∴9=m2且m＞0解得m=3∴PH=OH=3∵△PAB是等边三角形∴∠PAH=60°∴根据锐角三解析：933+．【解析】【详解】如图，过点P作PH⊥OB于点H，∵点P（m，m）是反比例函数y=9x在第一象限内的图象上的一个点，∴9=m2，且m＞0，解得，m=3.∴PH=OH=3.∵△P AB是等边三角形，∴∠P AH=60°.∴根据锐角三角函数，得3∴OB3∴S△POB=12OB•PH933+.15．24米【解析】【分析】先设建筑物的高为h米再根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可【详解】设建筑物的高为h米由题意可得：则4：6=h：36解得：h=24（米）故答案为24米【点睛】本题解析：24米．【解析】【分析】先设建筑物的高为h米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可．【详解】设建筑物的高为h米，由题意可得：则4：6=h：36，解得：h=24（米）．故答案为24米．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．16．【解析】已知BC=8AD是中线可得CD=4在△CBA和△CAD中由∠B=∠DAC∠C=∠C可判定△CBA∽△CAD根据相似三角形的性质可得即可得AC2=CD•BC=4×8=32解得AC=4解析：42【解析】已知BC=8， AD是中线，可得CD=4，在△CBA和△CAD中，由∠B=∠DAC，∠C=∠C，可判定△CBA∽△CAD，根据相似三角形的性质可得AC CDBC AC=，即可得AC2=CD•BC=4×8=32，解得AC=42.17．7【解析】【分析】首先利用从上面看而得出的俯视图得出该几何体的第一层是由几个小正方体组成然后进一步根据其从正面看得出的主视图得知其第二层最多可以放几个小正方体然后进一步计算即可得出答案【详解】根据俯解析：7【解析】【分析】首先利用从上面看而得出的俯视图得出该几何体的第一层是由几个小正方体组成，然后进一步根据其从正面看得出的主视图得知其第二层最多可以放几个小正方体，然后进一步计算即可得出答案.【详解】根据俯视图可得出第一层由5个小正方体组成；再结合主视图，该正方体第二层最多可放2个小正方体，∴527+=，∴最多是7个，故答案为：7.【点睛】本题主要考查了三视图的运用，熟练掌握三视图的特性是解题关键.18．2+3【解析】【分析】连接OA过点A作AC⊥OB于点C由题意知AC=1OA=OB=2从而得出OC=OA2-AC2=3BC=OB﹣OC=2﹣3在Rt△ABC中根据tan∠ABO=ACBC可得答案【详解解析：2+．【解析】【分析】连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出OC==、BC=OB﹣OC=2﹣，在Rt△ABC中，根据tan∠ABO=可得答案．【详解】如图，连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，则AC=1，OA=OB=2，∵在Rt△AOC中，OC==，∴BC=OB﹣OC=2﹣，∴在Rt△ABC中，tan∠ABO==2+．故答案是：2+．【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题意构建一个以∠ABO为内角的直角三角形是解题的关键．19．18【解析】【分析】根据黄金分割定义：列方程即可求解【详解】解：设AP为x米根据题意得整理得x2+10x﹣100＝0解得x1＝5﹣5≈618x2＝﹣5﹣5（不符合题意舍去）经检验x＝5﹣5是原方程的解析：18【解析】【分析】根据黄金分割定义：AP BPAB AP=列方程即可求解．【详解】解：设AP为x米，根据题意，得x10 10x x -=整理，得x2+10x﹣100＝0解得x1＝5﹣5≈6.18，x2＝﹣55（不符合题意，舍去）经检验x＝55是原方程的根，∴AP的长为6.18米．故答案为6.18．【点睛】本题考查了黄金分割的概念,熟练掌握黄金比是解答本题的关键.20．-2【解析】【分析】根据反比例函数的定义列出方程解出k的值即可【详解】解：若函数y＝(k－2)是反比例函数则解得k＝﹣2故答案为﹣2解析：-2【解析】【分析】根据反比例函数的定义列出方程2k-5=-1k-20⎧⎨≠⎩，解出k的值即可．【详解】解：若函数y＝(k－2)2k5x-是反比例函数，则2k-5=-1 k-20⎧⎨≠⎩解得k＝﹣2，故答案为﹣2．三、解答题21．答案见解析.【解析】【分析】根据三角形相似的作图解答即可．【详解】解：如图，直线BD即为所求．【点睛】此题主要考查相似图形的作法，关键是根据三角形相似的作图．22．（1）详见解析；（2）当∠B＋∠EGC＝180°时，DE ADCF DC=成立，理由详见解析.【解析】【分析】(1)根据矩形的性质可得∠A＝∠ADC＝90°，由DE⊥CF可得∠ADE＝∠DCF，即可证得△ADE∽△DCF，从而证得结论；(2)在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．根据平行线的性质可得∠A＝∠CDM，再结合∠B+∠EGC＝180°，可得∠AED＝∠FCB，进而得出∠CMF＝∠AED即可证得△ADE∽△DCM，从而证得结论；【详解】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴DE AD CF DC=(2)当∠B＋∠EGC＝180°时，DE ADCF DC=成立，证明如下：在AD 的延长线上取点M ，使CM ＝CF ，则∠CMF ＝∠CFM.∵AB ∥CD.∴∠A ＝∠CDM.∵AD ∥BC ，∴∠CFM ＝∠FCB.∵∠B ＋∠EGC ＝180°，∴∠AED ＝∠FCB ，∴∠CMF ＝∠AED ，∴△ADE ∽△DCM ，∴DE AD CM DC =，即DE AD CF DC =. 【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．23．斜坡CD 的长是8017【解析】【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得AE 的长，进而得到CE 的长，再根据锐角三角函数可以得到ED 的长，最后用勾股定理即可求得CD 的长．【详解】∵90AEB =︒∠，200AB =，坡度为3 ∴3tan 3ABE ∠==， ∴30ABE ∠=︒， ∴11002AE AB ==， ∵20AC =，∴80CE =，∵90CED ∠=︒，斜坡CD 的坡度为1:4， ∴14CE DE =， 即8014ED =， 解得，320ED =， ∴22803208017CD +=米，答：斜坡CD 的长是8017【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．24．10【解析】试题分析：根据相似的性质可得：1:1.2=x ：9.6，则x=8，则旗杆的高度为8+2=10米. 考点：相似的应用25．（1）()3084{?48(8)x x y x x≤≤=>；（2）至少需要30分钟后生才能进入教室．（3）这次消毒是有效的．【解析】【分析】（1）药物燃烧时，设出y 与x 之间的解析式y=k 1x ，把点（8，6）代入即可，从图上读出x 的取值范围；药物燃烧后，设出y 与x 之间的解析式y=2k x ，把点（8，6）代入即可； （2）把y=1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x ；（3）把y=3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x ，两数之差与10进行比较，大于或等于10就有效．【详解】解：（1）设药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为y=k 1x （k 1＞0）代入（8，6）为6=8k 1 ∴k 1=34设药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为y=2k x （k 2＞0）代入（8，6）为6=2k 8， ∴k 2=48 ∴药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为3y x 4=（0≤x≤8）药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为48y x=（x ＞8） ∴()30x 84y 48(8)xx x ⎧≤≤⎪⎪⎨=⎪>⎪⎩ （2）结合实际，令48y x =中y≤1.6得x≥30 即从消毒开始，至少需要30分钟后生才能进入教室．（3）把y=3代入3y x 4=，得：x=4 把y=3代入48y x=，得：x=16∵16﹣4=12所以这次消毒是有效的．【点睛】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．。
初中数学山东省泰安市高新区九年级上期中数学考试卷含答案解析 .docx
xx学校xx学年xx学期xx 试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:2sin60°的值等于（）A．1 B． C． D．试题2:下面四个图案：不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图形中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个试题3:如图，在△ABC中，DE∥BC，=，BC=12，则DE的长是（）评卷人得分A．3 B．4 C．5 D．6试题4:如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2试题5:如图，在平面直角坐标系中，A（2，4）、B（2，0），将△OAB以O为中心缩小一半，则A对应的点的坐标（）A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，2）或（﹣1，﹣2） D．（2，1）或（﹣2，﹣1）试题6:如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④试题7:如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（）A． B． C． D．试题8:如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．试题9:在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（）A．4 B．6 C．8 D．10试题10:在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为（）A．90° B．145° C．90°或270° D．270°或145°试题11:用反证法证明命题：在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°．证明的第一步是（）A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°试题12:一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A．10海里/小时 B．30海里/小时 C．20海里/小时 D．30海里/小时试题13:如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且==，则S△ADE：S四边形BCED的值为（）A．1： B．1：3 C．1：8 D．1：9试题14:如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（）A．60° B．70° C．120° D．140°试题15:在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定试题16:如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（）A．40mm B．45mm C．48mm D．60mm试题17:如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=15，则△PCD的周长为（）A．15 B．30 C．18 D．25试题18:如图，在平行四边形ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形（全等除外）有（）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对试题19:如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=3，tan∠OAB=，则AB的长是（）A．12 B．6 C．8 D．3试题20:如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（）A．π﹣1 B．2π﹣1 C．π﹣1 D．π﹣2试题21:如图所示，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件（只填一个条件），使△ADE与原△ABC相似．试题22:已知三角形的三边分别是5、12、13，则其内切圆的直径与外接圆的直径之比是．试题23:．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E= ．试题24:在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2016次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是．试题25:如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=5，AB=8，求的值．试题26:如图，山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．在高楼的顶端竖立一块倒计时牌CD，在点B处测量计时牌的顶端C的仰角是45°，在点A处测量计时牌的底端D的仰角是60°，求这块倒计时牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）试题27:如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，（1）求证：CF=BF；（2）若CD=12，AC=16，求⊙O的半径和CE的长．试题28:如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．试题29:如图1，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．（1）操作：如图2，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．求证：BH•GD=BF2（2）操作：如图3，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG ∥CE，交FE于点G，连接DG．探究：FD+DG= ．请予证明．试题1答案:C【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据sin60°=解答即可．【解答】解：2sin60°=2×=．故选C．试题2答案:D【考点】相似图形．【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．【解答】解：两个不等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故A选项不符合要求；两个等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；两个正方形形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求；故选：D．试题3答案:B【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】因为DE∥BC，所以可以判断△ADE∽△ABC，根据AD：BD=1：2即可得出结论．【解答】解：∵AD：BD=1：2，∴AD：AB=1：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴==，∵BC=12，∴DE=4，故选B．试题4答案:D【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴两个相似三角形的周长比是1：2，故选：D．试题5答案:C【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行解答．【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2：1，将△OAB以O为中心缩小一半，A（2，4），则顶点A的对应点A′的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，2），故选：C．试题6答案:C【考点】相似三角形的判定．【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，即可完成题目．【解答】解：①和③相似，∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，=，即==，∴两三角形的三边对应边成比例，∴①③相似．故选C．试题7答案:D【考点】锐角三角函数的定义．【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），∴OD=3，OC=4，∵∠COD=90°，∴CD==5，连接CD，如图所示：∵∠OBD=∠OCD，∴sin∠OBD=sin∠OCD==．故选：D．D【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．试题9答案:D【考点】解直角三角形．【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入求出AB的长即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA==，BC=6，∴AB===10，故选DC【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．【分析】根据勾股定理的逆定理可知，的弦与半径围成的三角形是直角三角形．【解答】解：由题意可知：半径r=1，弦长为，根据勾股定理的逆定理可知：（）2=12+12，∴长度等于的弦所对的弧有优弧、劣弧，∴长度等于的弦所对弧的度数为90°或者270°．故选（C）试题11答案:B【考点】反证法．【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．【解答】解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°，∴第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60°．故选：B．试题12答案:D【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】易得△ABC是直角三角形，利用三角函数的知识即可求得答案．【解答】解：∵∠CAB=10°+20°=30°，∠CBA=80°﹣20°=60°，∴∠C=90°，∵AB=20海里，∴AC=AB•cos30°=10（海里），∴救援船航行的速度为：10÷=30（海里/小时）．故选D．试题13答案:C【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，继而求得S△ADE：S四边形BCED的值．【解答】解：∵==，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC=1：9，∴S△ADE：S四边形BCED=1：8，故选C．试题14答案:D【考点】圆周角定理．【分析】过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出θ=2α+2β．【解答】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D；在△OAB中，OA=OB，则∠BOD=∠OBA+∠OAB=2×32°=64°，同理可得：∠COD=∠OCA+∠OAC=2×38°=76°，故∠BOC=∠BOD+∠COD=140°．故选D试题15答案:A【考点】直线与圆的位置关系．【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，得出d＜r，根据直线和圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5，∵△ABC的面积=AC×BC=AB×CD，∴3×4=5CD，∴CD=2.4＜2.5，即d＜r，∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交；故选A．试题16答案:【分析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．【解答】解：设正方形的边长为xmm，则AK=AD﹣x=80﹣x，∵EFGH是正方形，∴EH∥FG，∴△AEH∽△ABC，∴=，即=，解得x=48mm，故选C．试题17答案:B【考点】切线的性质．【分析】由切线长定理可知AC=EC，BD=ED，且PA=PB，则可把△PCD的周长转化成PA+PB的长，可求得答案．【解答】解：∵CD、PA、PB是⊙O的切线，∴CA=CE，BD=ED，PB=PA=15，∴PC+CD+PD=PC+CE+PD+DE=PC+AC+PD+BD=PA+PB=2PA=30，即△PCD的周长为30，故选B．试题18答案:D【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质．【分析】根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形．【解答】解：∵AD∥BC，∴△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，△ABC∽△CDA，∵AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB．∴共有6对，故选D．试题19答案:A【考点】切线的性质；垂径定理．【分析】连接OC，利用切线的性质知OC⊥AB，由垂径定理得AB=2AC，因为tan∠OAB的值，易得OC：AC的值，进而可求出AC的长，而AB的长也可求出．【解答】解：连接OC，∵大圆的弦AB切小圆于点C，∴OC⊥AB，∴AB=2AC，∵OD=3，∴OC=3，∵tan∠OAB=，∴AC=6，∴AB=12，故选A．试题20答案:A【考点】扇形面积的计算．【分析】已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．【解答】解：在Rt△ACB中，AB==2，∵BC是半圆的直径，∴∠CDB=90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，∴D为半圆的中点，S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=π×22﹣×（）2=π﹣1．故选A．试题21答案:∠B=∠AED【考点】相似三角形的判定．【分析】根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案．【解答】解：已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件∠B=∠AED（只填一个条件），使△ADE与原△ABC相似，故答案为：∠B=∠AED．试题22答案:4：13 ．【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理的逆定理；三角形的外接圆与外心．【分析】先根据勾股定理的逆定理判定这个三角形是直角三角形，所以它的外接圆的直径就是斜边13，根据内切圆半径公式计算其半径的长，从而得结论．222∴这个三角形是直角三角形，∴内切圆半径==2，∴它的内切圆的直径为4，∴内切圆的直径与外接圆的直径之比是4：13；故答案为：4：13．试题23答案:50°．【考点】切线的性质．【分析】连接DF，连接AF交CE于G，由AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，得到，由于EF是⊙O 的切线，推出∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°根据外角的性质和圆周角定理得到∠EFG=∠EGF=65°，于是得到结果．【解答】解：连接DF，连接AF交CE于G，∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴，∵EF是⊙O的切线，∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，∵∠DFE=∠DCF，∠GFD=∠AFC，∠EFG=∠EGF=65°，∴∠E=180°﹣∠EFG﹣∠EGF=50°，故答案为：50°．方法二：连接OF，易知OF⊥EF，OH⊥EH，故E，F，O，H四点共圆，又∠AOF=2∠ACF=130°，故∠E=180°﹣130°=50°试题24答案:3024π．【考点】轨迹；旋转的性质．【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．【解答】解：∵AB=4，BC=3，∴AC=BD=5，转动一次A的路线长是：=2π，转动第二次的路线长是：=π，转动第三次的路线长是：=π，转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四次循环，故顶点A转动四次经过的路线长为：π+π+2π=6π，2016÷4=504，顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．故答案为：3024．．试题25答案:【考点】相似形综合题．【分析】（1）根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可；（2）根据直角三角形的性质得到CE=BE=AE，根据等腰三角形的性质得到∠EAC=∠ECA，根据平行线的判定定理证明即可；（3）证明△AFD∽△CFE，根据相似三角形的性质定理列出比例式，解答即可．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=BE=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×8=4，∵AD=5，∴=，∴=．试题26答案:【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】首先作BF⊥DE于点F，BG⊥AE于点G，得出四边形BGEF为矩形，进而求出CF，EF，DE的长，进而得出答案．【解答】解：作BF⊥DE于点F，BG⊥AE于点G，∵CE⊥AE，∴四边形BGEF为矩形，∴BG=EF，BF=GE，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE=，∴DE=AE•tan∠ADE=15，∵山坡AB的坡度i=1：，AB=10，∴BG=5，AG=5，∴EF=BG=5，BF=AG+AE=5+15，∵∠CBF=45°∴CF=BF=5+15，∴CD=CF+EF﹣DE=20﹣10≈20﹣10×1.732=2.68≈2.7（m），答：这块宣传牌CD的高度为2.7米．试题27答案:【考点】圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】（1）由AB是⊙O的直径，CE⊥AB，易得∠2=∠A，又由C是的中点，可得∠1=∠A，即可得∠1=∠2，判定CF=BF；（2）由C是的中点，可得BC=CD=12，又由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，即可求得AB的长，然后由三角的面积，求得CE的长．【解答】解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠2=90°﹣∠ABC=∠A，又∵C是弧BD的中点，∴∠1=∠A，∴∠1=∠2，∴CF=BF；（2）∵C是弧BD的中点，∴=，∴BC=CD=12，又∵在Rt△ABC中，AC=16，∴由勾股定理可得：AB=20，∴⊙O的半径为10，∵S△ABC=AC•BC=AB•CE，∴CE==9.6．试题28答案:【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OD，OE，由AB为圆的直径得到三角形BCD为直角三角形，再由E为斜边BC的中点，得到DE=BE=DC，再由OB=OD，OE为公共边，利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等，由全等三角形的对应角相等得到DE与OD垂直，即可得证；（2）在直角三角形ABC中，由∠BAC=30°，得到BC为AC的一半，根据BC=2DE求出BC的长，确定出AC的长，再由∠C=60°，DE=EC得到三角形EDC为等边三角形，可得出DC的长，由AC﹣CD即可求出AD的长．【解答】（1）证明：连接OD，OE，BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴DE=BE，在△OBE和△ODE中，，∴△OBE≌△ODE（SSS），∴∠ODE=∠ABC=90°，则DE为圆O的切线；（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴BC=AC，∵BC=2DE=4，∴AC=8，又∵∠C=60°，DE=CE，∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，则AD=AC﹣DC=6．试题29答案:【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质；旋转的性质．【分析】（1）根据菱形的性质以及相似三角形的判定得出△BFH∽△DGF，即可得出答案；（2）利用已知以及平行线的性质证明△ABF≌△ADG，即可得出FD+DG的关系．【解答】证明：（1）∵将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，∴∠B=∠D，∵将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，∴BF=DF，∵∠HFG=∠B，又∵∠HFD=∠HFG+∠GFD=∠B+∠BHF∴∠GFD=∠BHF，∴△BFH∽△DGF，∴，∴BH•GD=BF2；（2）∵AG∥CE，∴∠FAG=∠C，∵∠CFE=∠CEF，∴∠AGF=∠CFE，∴AF=AG，∵∠BAD=∠C，∴∠BAF=∠DAG，又∵AB=AD，∴△ABF≌△ADG，∴FB=DG，∴FD+DG=BD，故答案为：BD．。
2016-2017某高新一中初三第一学期期中考试数学试卷(答案)
【解答】解：灯光下，涉及中心投影，根据中心投影的特点灯光下影子与物体离灯源距离 有关，此距离越大，影子才越小．
故答案为：变小．
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【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据 S△ DEF：S△ABF=4：10：25 即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 的值，由 AB=CD 即可得出结论．
比例函数的增减性必须强调在每一个象限内．
9．（3 分）如图，将四根长度相同的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ABCD，转动这个 四边形，使它形状改变．当∠B=90°时，如图①测得 AC=5．当∠B=30°时，如图②，△ABC 的面积为（ ）
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A．
B． C． D．以上都不对
【分析】如图 1，连接 AC，由根据题意知 AB=BC=CD=DA 且∠B=90°可得四边形 ABCD 是正 方形，则∠ACB=45°，由 AC=5 可得 BC=ACcos∠ACB=5× = ，再如图②，作 AE⊥
【分析】易证△AEB∽△ADC，利用相似三角形的对应边成比例，列出方程求解即可．
【解答】解：因为 BE∥CD，所以△AEB∽△ADC，
于是 = ，即
= ，解得：CD=12m．
旗杆的高为 12m．
二、填空题 11．（3 分）如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一
2020-2021西安高新一中初中校区初三数学下期中模拟试卷(附答案)
2020-2021西安高新一中初中校区初三数学下期中模拟试卷(附答案)一、选择题1．有一块直角边AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A．67B．3037C．127D．60372．如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．①和④3．如图，△ABC的三个顶点A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原点O为位似中心，将△ABC 扩大得到△A1B1C1,且△ABC 与△A1B1C1的位似比为1 :3.则下列结论错误的是 ( )A．△ABC∽△A1B1C1B．△A1B1C1的周长为6+32C．△A1B1C1的面积为3D．点B1的坐标可能是(6，6)4．已知反比例函数y＝﹣6x，下列结论中不正确的是（）A．函数图象经过点（﹣3，2）B．函数图象分别位于第二、四象限C．若x＜﹣2，则0＜y＜3D．y随x的增大而增大5．已知两个相似三角形的面积比为 4：9，则周长的比为 ( )A．2：3B．4：9C．3：2D．2:36．在小孔成像问题中，如图所示，若为O到AB的距离是18 cm，O到CD的距离是6 cm，则像CD的长是物体AB长的（）A．13B．12C．2倍D．3倍7．下列命题是真命题的是（）A．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为2:3B．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9C．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为2:3D．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为4:98．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：3，则AC的长是( )A．10米B．53米C．15米D．103米9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（）A15B．5C．15D．810．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为（）A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m11．如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影子长DE＝1.8m，窗户下沿到地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（）A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m12．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元二、填空题13．如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数y＝kx的图象过点A，则k＝_____．14．如图，P（m，m）是反比例函数9yx在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为_____．15．如图，是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体分别从正面看和从上面看得到的平面图形，则搭成该几何体的小正方体最多是_______个．16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A 、B 的坐标分别为（8，0）、（0，23），C 是AB 的中点，过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，动点P 从点D 出发，沿DC 向点C 匀速运动，过点P 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接BP 、EC ．当BP 所在直线与EC 所在直线垂直时，点P 的坐标为____17．已知点(,)P m n 在直线2y x =-+上，也在双曲线1y x=-上，则m 2+n 2的值为______． 18．如图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为________．（结果保留π）19．已知线段AB 的长为10米，P 是AB 的黄金分割点（AP ＞BP ），则AP 的长_____米．（精确到0.01米）20．如图所示的网格是正方形网格，点P 到射线OA 的距离为m ，点P 到射线OB 的距离为n ，则m __________ n ．（填“>”，“=”或“<”）三、解答题21．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a 经过三个景点A 、B 、C ，•景区管委会又开发了风景优美的景点D ，经测量，景点D 位于景点A 的北偏东30′方向8km 处，•位于景点B 的正北方向，还位于景点C 的北偏西75°方向上，已知AB=5km.（1）景区管委会准备由景点D 向公路a 修建一条距离最短的公路，不考试其他因素，求出这条公路的长．（结果精确到0.1km ）．（2）求景点C 与景点D 之间的距离．（结果精确到1km ）35，sin53°=0.80，sin37°=0.60，tan53°=1.33，tan37°=0.75，sin38°=0.62，sin52°=0.79，tan38°=0.78，tan52°=1.28，sin75°=0.97，cos75°=0.26，tan75°=3.73）．22．如图，∠ABD ＝∠BCD ＝90°，AB •CD ＝BC •BD ，BM ∥CD 交AD 于点M ．连接CM 交DB 于点N ．（1）求证：△ABD ∽△BCD ；（2）若CD ＝6，AD ＝8，求MC 的长．23．如图，已知反比例函数11k y x=（k 1＞0）与一次函数2221(0)y k x k =+≠相交于A 、B 两点，AC ⊥x 轴于点C . 若△OAC 的面积为1，且tan ∠AOC ＝2 .（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出B 点的坐标，并指出当x 为何值时，反比例函数y 1的值大于一次函数y 2的值.24．如图所示，双曲线()10,0k y x k x=>>与直线()20y kx b k =+≠(b 为常数)交于()2,4A ，(),2B a 两点.(1)求双曲线()10,0k y x k x=>>的表达式； (2)根据图象观察，当21y y <时，求x 的取值范围；(3)求AOB ∆的面积.25．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB 所示，他在地面上的影子如图中线段AC 所示，小亮的身高如图中线段FG 所示，路灯灯泡在线段DE 上．（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．（2）如果小明的身高AB ＝1.6m ，他的影子长AC ＝1.4m ，且他到路灯的距离AD ＝2.1m ，求灯泡的高．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题解析：如图，过点B 作BP ⊥AC ，垂足为P ，BP 交DE 于Q ．∵S △ABC =12AB•BC=12AC•BP ，∴BP=·341255 AB BCAC⨯==．∵DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，∴△BDE∽△BAC，∴DE BQ AC BP=．设DE=x，则有：1251255xx-=，解得x=60 37，故选D．2．D解析：D【解析】【分析】设小长方形的长为2a，宽为a．利用勾股定理求出三角形的三边长即可判断．【详解】由题意可知：小长方形的长是宽的2倍，设小长方形的宽为a，则长为2a，∴图①中的三角形三边长分别为2a==；图②中的三角形三边长分别为5a ==；图③中的三角形三边长分别为==；==、5a=，∴①和②图中三角形不相似；∵22aa≠≠∴②和③图中三角形不相似；∵22aa≠≠∴①和③图中三角形不相似；===∴①和④图中三角形相似．故选D【点睛】本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握熟练掌握基本知识．3．C解析：C【解析】【分析】根据位似图的性质可知，位似图形也是相似图形，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方，对应边之比等于位似比，据此判断即可.【详解】A. △ABC∽△A1B1C1，故A正确；B. 由图可知，AB=2-1=1，BC=2-1=1，，所以△ABC的周长为，由周长比等于位似比可得△A1B1C1的周长为△ABC周长的3倍，即6+B正确；C. S△ABC=1111=22⨯⨯,由面积比等于位似比的平方，可得△A1B1C1的面积为△ABC周长的9倍，即19=4.52⨯，故C错误；D. 在第一象限内作△A1B1C1时，B1点的横纵坐标均为B的3倍，此时B1的坐标为（6,6），故D正确；故选C.【点睛】本题考查位似三角形的性质，熟练掌握位似的定义，以及位似三角形与相似三角形的关系是解题的关键.4．D解析：D【解析】【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．【详解】A、∵当x＝﹣3时，y＝2，∴此函数图象过点（﹣3，2），故本选项正确；B、∵k＝﹣6＜0，∴此函数图象的两个分支位于第二、四象限，故本选项正确；C、∵当x＝﹣2时，y＝3，∴当x＜﹣2时，0＜y＜3，故本选项正确；D、∵k＝﹣6＜0，∴在每个象限内，y随着x的增大而增大，故本选项错误；故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．5．A解析：A【解析】【分析】由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知了两个相似三角形的面积比，即可求出它们的相似比；再根据相似三角形的周长比等于相似比即可得解．【详解】∵两个相似三角形的面积之比为4：9，∴两个相似三角形的相似比为2：3，∴这两个相似三角形的周长之比为2：3．故选：A【点睛】本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．6．A解析：A【解析】【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，根据题意得到△AOB∽△COD，根据相似三角形的对应高的比等于相似比计算即可．【详解】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，由题意得,AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴CDAB=OFOE=13，∴像CD的长是物体AB长的1 3 .故答案选：A.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用. 7．B解析：B【解析】【分析】根据相似三角形的性质分别对每一项进行分析即可．【详解】解：A、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是假命题；B、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是真命题；C、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命题；D、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命题；故选B．【点睛】此题考查了命题与定理，用到的知识点是相似三角形的性质，关键是熟练掌握有关性质和定理．8．B解析：B【解析】【分析】Rt△ABC中，已知了坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长．【详解】Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1；∴AC=BC÷故选：B．【点睛】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．9．C解析：C【解析】【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA－AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=12OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出【详解】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣AP=2，在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=30°，∴OH=12OP=1，在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，∴22=15OC OH-∴15故选C．【点睛】本题主要考查圆中的计算问题，熟练掌握垂径定理、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，掌握数形结合的思想是解答的关键10．D解析：D【解析】【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．【详解】∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，∴△DEF∽△DCB，∴BC DC EF DE=，∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，∴由勾股定理求得DE=40cm，∴20 0.30.4 BC=，∴BC=15米，∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）．故答案为16.5m．本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．11．A解析：A【解析】∵BE∥AD，∴△BCE∽△ACD，∴CB CEAC CD=，即CB CEAB BC DE EC=++，∵BC=1，DE=1.8，EC=1.2∴1 1.21 1.8 1.2 AB=++∴1.2AB=1.8，∴AB=1.5m．故选A．12．C解析：C【解析】【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【详解】3m×2m=6m2，∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元，故选C．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．二、填空题13．-3【解析】【分析】根据比例系数k的几何含义：在反比例函数y=的图象中任取一点过这一个点向x轴和y轴分别作垂线与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|即可解题【详解】解：∵矩形ABOC的面积为3∴|k|解析：-3【分析】根据比例系数k的几何含义：在反比例函数y=kx的图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|即可解题．【详解】解：∵矩形ABOC的面积为3,∴|k|=3.∴k=±3.又∵点A在第二象限,∴k<0,∴k=−3.故答案为：−3.【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,反比例函数图象上点的坐标特征,属于简单题,熟悉反比例函数的图像和性质是解题关键.14．【解析】【详解】如图过点P作PH⊥OB于点H∵点P（mm）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点∴9=m2且m＞0解得m=3∴PH=OH=3∵△PAB是等边三角形∴∠PAH=60°∴根据锐角三解析：933+．【解析】【详解】如图，过点P作PH⊥OB于点H，∵点P（m，m）是反比例函数y=9x在第一象限内的图象上的一个点，∴9=m2，且m＞0，解得，m=3.∴PH=OH=3.∵△P AB是等边三角形，∴∠P AH=60°.∴根据锐角三角函数，得3∴OB3∴S△POB=12OB•PH933+.15．7【解析】【分析】首先利用从上面看而得出的俯视图得出该几何体的第一层是由几个小正方体组成然后进一步根据其从正面看得出的主视图得知其第二层最多可以放几个小正方体然后进一步计算即可得出答案【详解】根据俯 解析：7【解析】【分析】首先利用从上面看而得出的俯视图得出该几何体的第一层是由几个小正方体组成，然后进一步根据其从正面看得出的主视图得知其第二层最多可以放几个小正方体，然后进一步计算即可得出答案.【详解】根据俯视图可得出第一层由5个小正方体组成；再结合主视图，该正方体第二层最多可放2个小正方体，∴527+=，∴最多是7个，故答案为：7.【点睛】本题主要考查了三视图的运用，熟练掌握三视图的特性是解题关键.16．(1)【解析】【分析】先根据题意求得CD 和PE 的长再判定△EPC ∽△PDB 列出相关的比例式求得DP 的长最后根据PEDP 的长得到点P 的坐标【详解】由题意可知OB=2AO=8∵CD ⊥BOC 是AB 的中点∴解析：(1,3)【解析】【分析】先根据题意求得CD 和PE 的长，再判定△EPC ∽△PDB ，列出相关的比例式，求得DP 的长，最后根据PE 、DP 的长得到点P 的坐标．【详解】由题意可知，OB=23，AO=8，∵CD ⊥BO ，C 是AB 的中点，∴BD=DO=12BO==PE ，CD=12AO=4. 设DP=a ，则CP=4﹣a ，当BP 所在直线与EC 所在直线第一次垂直时，∠FCP=∠DBP ， 又∵EP ⊥CP ，PD ⊥BD ，∴∠EPC=∠PDB=90°，∴△EPC ∽△PDB.DP DB PE PC ∴= 343a=-，∴a1=1，a2=3（舍去）.∴DP=1，∵PE=3，∴P（1，3）.考点：1相似三角形性质与判定；2平面直角坐标系.17．6【解析】分析：直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值再利用完全平方公式将原式变形得出答案详解：∵点P（mn）在直线y=-x+2上∴n+m=2∵点P（m解析：6【解析】分析：直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．详解：∵点P（m，n）在直线y=-x+2上，∴n+m=2，∵点P（m，n）在双曲线y=-1x上，∴mn=-1，∴m2+n2=（n+m）2-2mn=4+2=6．故答案为6．点睛：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m，n之间的关系是解题关键．18．24π【解析】解：由图可知圆柱体的底面直径为4高为6所以侧面积=4π×6=24π故答案为24π点睛：本题考查了立体图形的三视图和学生的空间想象能力圆柱体的侧面积公式根据主视图判断出圆柱体的底面直径与解析：24π【解析】解：由图可知，圆柱体的底面直径为4，高为6，所以，侧面积=4π×6=24π．故答案为24π．点睛：本题考查了立体图形的三视图和学生的空间想象能力，圆柱体的侧面积公式，根据主视图判断出圆柱体的底面直径与高是解题的关键．19．18【解析】【分析】根据黄金分割定义：列方程即可求解【详解】解：设AP为x米根据题意得整理得x2+10x﹣100＝0解得x1＝5﹣5≈618x2＝﹣5﹣5（不符合题意舍去）经检验x ＝5﹣5是原方程的解析：18【解析】【分析】 根据黄金分割定义：AP BP AB AP =列方程即可求解． 【详解】解：设AP 为x 米，根据题意，得 x 1010x x-= 整理，得x 2+10x ﹣100＝0解得x 1＝55 ﹣5≈6.18，x 2＝﹣55﹣5（不符合题意，舍去）经检验x ＝55﹣5是原方程的根，∴AP 的长为6.18米．故答案为6.18．【点睛】本题考查了黄金分割的概念,熟练掌握黄金比是解答本题的关键.20．>【解析】【分析】由图像可知在射线上有一个特殊点点到射线的距离点到射线的距离于是可知利用锐角三角函数即可判断出【详解】由题意可知：找到特殊点如图所示：设点到射线的距离点到射线的距离由图可知【点睛】本 解析：>【解析】【分析】由图像可知在射线OP 上有一个特殊点Q ,点Q 到射线OA 的距离2QD =，点Q 到射线OB 的距离1QC =，于是可知AOP BOP ∠>∠ ,利用锐角三角函数sin sin AOP BOP ∠>∠ ,即可判断出m n >【详解】由题意可知：找到特殊点Q ，如图所示：设点Q 到射线OA 的距离QD ，点Q 到射线OB 的距离QC由图可知2QD =1QC =∴ 2sin QD AOP OP OP ∠== ,1sin QC BOP OP OP ∠== ∴sin sin AOP BOP ∠>∠,∴m n OP OP> ∴m n >【点睛】本题考查了点到线的距离，熟知在直角三角形中利用三角函数来解角和边的关系是解题关键.三、解答题21．（1）景点D 向公路a 修建的这条公路的长约是3.1km ；（2）景点C 与景点D 之间的距离约为4km ．【解析】【详解】解：（1）如图，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，过点A 作AF ⊥DB ，交DB 的延长线于点F ，在Rt △DAF 中，∠ADF=30°，∴AF=12AD=12×8=4，∴DF=22228443AD AF -=-=， 在Rt △ABF 中BF=2222AB AF 54-=-=3， ∴BD=DF ﹣BF=43﹣3，sin ∠ABF=45AF AB =， 在Rt △DBE 中，sin ∠DBE=DB BD ，∵∠ABF=∠DBE ，∴sin ∠DBE=45， ∴DE=BD•sin ∠DBE=45×（43﹣3）=16312-≈3.1（km ），∴景点D 向公路a 修建的这条公路的长约是3.1km ；（2）由题意可知∠CDB=75°，由（1）可知sin ∠DBE=45=0.8，所以∠DBE=53°， ∴∠DCB=180°﹣75°﹣53°=52°， 在Rt △DCE 中，sin ∠DCE=DB DC ，∴DC= 3.1sin 520.79DE ︒=≈4（km ）， ∴景点C 与景点D 之间的距离约为4km ．22．（1）见解析；（2）MC ＝.【解析】【分析】（1）由两组边成比例，夹角相等来证明即可；（2）由相似三角形的性质得边成比例，进而利用勾股定理求得BC ，再判定∠MBC ＝90°，最后由勾股定理求得MC 的值即可．【详解】（1）证明：∵AB •CD ＝BC •BD ∴AB BC ＝BD CD在△ABD 和△BCD 中，∠ABD ＝∠BCD ＝90°∴△ABD ∽△BCD ；（2）∵△ABD ∽△BCD ∴AD BD ＝BD CD，∠ADB ＝∠BDC 又∵CD ＝6，AD ＝8∴BD 2＝AD •CD ＝48∴BC ∵BM ∥CD∴∠MBD ＝∠BDC ，∠MBC ＝∠BCD ＝90°∴∠ADB ＝∠MBD ，且∠ABD ＝90°∴BM ＝MD ，∠MAB ＝∠MBA∴BM ＝MD ＝AM ＝4∴MC ．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理与勾股定理的运用.23．（1）12y x =；21y x =+；（2）B 点的坐标为（－2，－1）；当0＜x ＜1和x ＜－2时，y 1＞y 2.【解析】【分析】（1）根据tan ∠AOC ＝AC OC＝2，△OAC 的面积为1，确定点A 的坐标，把点A 的坐标分别代入两个解析式即可求解；（2）根据两个解析式求得交点B 的坐标，观察图象，得到当x 为何值时，反比例函数y 1的值大于一次函数y 2的值．【详解】解：（1）在Rt △OAC 中，设OC ＝m ．∵tan ∠AOC ＝AC OC ＝2，∴AC ＝2×OC ＝2m ． ∵S △OAC ＝12×OC×AC ＝12×m×2m ＝1，∴m 2＝1．∴m ＝1（负值舍去）． ∴A 点的坐标为（1，2）．把A 点的坐标代入11k y x=中，得k 1＝2． ∴反比例函数的表达式为12y x =． 把A 点的坐标代入221y k x =+中，得k 2＋1＝2，∴k 2＝1．∴一次函数的表达式21y x =+．（2）B 点的坐标为（－2，－1）．当0＜x ＜1和x ＜－2时，y 1＞y 2．【点睛】本题考查反比例及一次函数的的应用；待定系数法求解析式；图象的交点等，掌握反比例及一次函数的性质是本题的解题关键．24．(1)18y x =；(2)02x <<或4x >；(3)6. 【解析】【分析】（1）把点A 坐标代入反比例函数解析式即可求得k 的值；（2）根据点B 在双曲线上可求出a 的值，再结合图象确定双曲线在直线上方的部分对应的x 的值即可；（3）先利用待定系数法求出一次函数的解析式，再用如图的△AOC 的面积减去△BOC 的面积即可求出结果.【详解】解(1)：双曲线()10,0k y x k x=>>经过()2,4A ，∴248k =⨯=， ∴双曲线的解析式为18y x =. (2)∵双曲线()10,0k y x k x =>>经过(),2B a 点， ∴82a=，解得4a =，∴()4,2B ， 根据图象观察，当21y y <时，x 的取值范围是02x <<或4x >.(3)设直线AB 的解析式为y mx n =+，∴2442m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得16m n =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为6y x =-+，∴直线AB 与x 轴的交点()6,0C， ∴AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=-116462622=⨯⨯-⨯⨯=. 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，重点考查了待定系数法求函数的解析式、一次函数与反比例函数的交点问题和三角形的面积计算，属于中档题型，熟练掌握一次函数与反比例函数的基本知识是解题的关键.25．(1)画图见解析；(2)DE=4.【解析】【分析】（1）连接CB 延长CB 交DE 于O ，点O 即为所求．连接OG ，延长OG 交DF 于H ．线段FH 即为所求．（2）根据AB CA OD CD =，可得1.6 1.41.4 2.1DO =+ ，即可推出DO =4m ． 【详解】（1）解：如图，点O 为灯泡所在的位置，线段FH 为小亮在灯光下形成的影子．（2）解：由已知可得，AB CA OD CD =， ∴1.6 1.41.4 2.1DO =+，∴OD=4m，∴灯泡的高为4m．【点睛】本题考查中心投影、解题的关键是正确画出图形，记住物长与影长的比的定值，属于基础题，中考常考题型．。
陕西省西安市西安高新第一中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
陕西省西安市西安高新第一中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．．．．2．如图，在ABC 中，点D 在AB 上，1:2AD =，DE BC ∥于E ，下列结论中不正确．．．的是（）A ．3BC DE =BD CE 13ADE ABC S S =△△3．如图，在Rt ABC △3=，AC 那么cos BCD ∠=（）A ．434．已知一次函数y =们在同一坐标系中的图像可能是（．．．．4A ．1B ．3-8．二次函数(2y ax bx c a =++≠点()2,0，下列说法：①0abc <；是抛物线上的两点，则12y y <；⑤A．①②④B．①②⑤C．②③⑤D．①③④⑤二、填空题-12．如图，点E是矩形ABCD上．若1sin3DFE∠=，则tan13．如图，在ABC中，16．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段ABAC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．(1)当移动2秒时，BPQ V (2)当移动几秒时，以B 18．通过心理专家实验研究发现：而变化，指标达到36为认真听讲，学生注意力指标如图所示，当010x ≤<一部分．(1)分别求当010x ≤<和20x ≤<(2)李老师在一节课上讲一道数学综合题需成任务，请说明理由．19．如图，在ABC 中，边AB 绕点上，60ADE ∠=︒，若1BD =，20．如图，在Rt △点D ．求（1）边AB 的长；（2）tan ∠ABD 的值．21．某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图）无人机测得操控者A和教学楼BC距离为考数据：sin37°≈0.60(1)求一次函数与反比例函数的表达式；x>时，直接写出不等式(2)观察图象，当0、，求三角形(3)连接PO QO23．如图，现打算用60m25．某商店购进一批成本为每件（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于使销售该商品每天获得的利润（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于多少件？26．问题提出种功能．某湿地公园有一块长BC为80米，宽AB为60米的矩形湿地，如图②所示．为使游客更方便游览，现需要建一个观光游览平台EFMD，其中点E、F、M分别在AD、AC、CD上，AE FE=，180.∠+∠=︒要使观光平台容纳更多游客，想让四DEF DMF边形EFMD的面积尽可能的大．请问，是否存在符合设计要求的面积最大的四边形观光平台EFMD？若存在，求四边形EFMD面积的最大值及这时AF的长度；若不存在，请说明理由．。
2020_2021学年山东济南高新区初三上学期期中数学试卷(含答案解析)
2020~2021学年山东济南高新区初三上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1、如图所示，该几何体的俯视图是（）．A.B.C.D.2、下列函数是y关于x的反比例函数的是（）．A. y=1x+1B. y=1x2C. y=−12xD. y=−x23、已知ab =25，则a+bb的值为（）．A. 25B. 35C. 75D. 234、如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子（）．A. 越长B. 越短C. 一样长D. 随时间变化而变化5、反比例函数y=k的图象经过点A(−2,3)，则此图象一定经过下列哪个点（）．xA. (3,2)B. (−3,−2)C. (−3,2)D. (−2,−3)6、若两个相似多边形的面积之比为1:4，则它们的周长之比为（）．A. 1:4B. 1:2C. 2:1D. 1:167、如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE//BC，AE=3CE，AB=8，则AD的长为（）．A. 3B. 4C. 5D. 68、若点A(−1,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)都在反比例函数y=−10的图象上，则y1，y2，y3的大小关x系是（）．A. y3<y1<y2B. y3<y2<y1C. y2<y3<y1D. y1<y2<y39、如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0,0)，A(4,3)，B(3,0)，以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为1的位似图形△OCD，则点C坐标为（）．3A. (−1,−1),−1)B. (−43)C. (−1,−43D. (−2,−1)10、如图，曲线表示温度T(°C)与时间t(ℎ)之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支．当温度T⩽2°C时，时间t应（）．ℎA. 不小于23ℎB. 不大于23ℎC. 不小于32ℎD. 不大于32(x>0)经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形11、如图，已知双曲线y=kxOEBF的面积为2．则k=（）．C. 1D. 4A. 2B. 1212、如图，在矩形ABCD中，AB=√2，E是BC的中点，若AE⊥BD于点F、M是DF的中点，连接CM、AM，则下列正确的结论是（）．①FC=CD②∠DBC=∠FAMCM③EF=12④矩形ABCD的面积是2A. ①②③B. ②③C. ①②③④D. ①④二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13、如图：已知直线y=mx与双曲线y=k的一个交点坐标为(3,4)，则它们的另一个交点坐标x是．14、如图，请补充一个条件：使△ACB∽△ADE．(x<0)的图象如图所示，则m的取值范围为．15、反比例函数y=m+2x16、如图，在菱形ABCD中，点E是AD的中点，点F为对角线的交点，若菱形ABCD的周长是24，则EF=．17、如图，甲楼AB高18米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1:√2，已知两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE=米．（结果保留根号）18、如图，正方形ABCD的边长为10，点A的坐标为(−8,0)，点B在y轴上，若反比例函数y=k(k≠0)的图象过点C，则该反比例函数的解析式为．x三、解答题（本大题共9小题，共78分）19、已知平行四边形ABCD中AB=6，AB与BC延长线相交于E、与CD相交于F，EF=2AF，求FD的长度．20、如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=k的图象交于M(2,m)，N(−1,−4)两点．x(1) 求这两个函数的解析式．(2) 根据图象写出使反比例函数值小于一次函数值x的取值范围．21、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−3,1)，B(−1,1)，C(0,3)．(1) 画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．(2) 画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2，△ABC与△A2B2C2的位似比为1:2．22、某班在学习《利用相似三角形测高》时开展了“测量学校操场上旗杆的高度”的活动．小明将镜子放在离旗杆AB底端点A距离32m的点C处（即AC=32m），且AB⊥AD，然后沿直线AC后退，在点D处恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图），根据物理学知识可知：法线l⊥AD，∠1=∠2．若小明的眼睛离地面的高度DE为1.5m，CD=3m，且DE⊥AD，求旗杆AB的高度．23、如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？24、如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？25、某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）成反比例函数关系缓慢减弱．(1) 这场沙尘暴的最高风速是千米/小时，最高风速维持了小时．(2) 当x⩾20时，求出风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数关系式．(3) 在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/小时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么在沙尘暴整个过程中，求“危险时刻”共有几小时．26、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE=BD，连接AD、DE、AE．(1) 如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数．(2) 如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．(3) 在（2）的条件下，若AB=6，求CF的最大值．(x>0)的图象上，过点A作AC⊥x轴于C，27、如图1，点A(8,1)、B(n,8)都在反比例函数y=mx过点B作BD⊥y轴于D．(1) 求m的值和直线AB的函数关系式．(2) 动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段OD向点D运动，同时动点Q从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OC向C点运动，当动点P运动到点D时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．如图2，当点P运动时，如果作△OPQ关于直线PQ的对称图形△O′PQ，是否存在某时刻t，使得点O′恰好落在反比例函数的图象上？若存在，求O′的坐标和t的值；若不存在，请说明理由．1 、【答案】 B;【解析】由几何体可知，其俯视图为：，∴A、C、D选项错误，不符合题意，∴答案为：B．2 、【答案】 C;【解析】 A选项 : y=1x+1是y与x+1成反比例，故此选项不符合题意；B选项 : y=1x2，是y与x2成反比例，不符合反比例函数的定义，故此选项不合题意；C选项 : y=−12x，符合反比例函数的定义，故此选项符合题意；D选项 : y=−x2是正比例函数，故此选项不合题意．3 、【答案】 C;【解析】∵ab =25，∴设a=2x，b=5x，∴a+bb =2x+5x5x=75，故选C．4 、【答案】 B;【解析】由图易得AB<CD，那么离路灯越近，它的影子越短．5 、【答案】 C;【解析】 A选项 : ∵反比例函数y=kx经过点A(−2,3)，故k=(−2)×3=−6，则y=−6x．3×2=6不在y=−6x上．故A错误．B选项 : ∵反比例函数y=kx经过点A(−2,3)，故k=(−2)×3=−6，则y=−6x．(−3)×(−2)=6不在y=−6x上．故B错误．C选项 : ∵反比例函数y=kx经过点A(−2,3)，故k=(−2)×3=−6，则y=−6x．(−3)×2=−6在y=−6x上，故C正确；D选项 : ∵反比例函数y=kx经过点A(−2,3)，故k=(−2)×3=−6，则y=−6x．(−2)×(−3)=6不在y=−6x上．故D错误．6 、【答案】 B;【解析】∵两个相似多边形面积比为1:4，∴周长之比为√14=1:2．故选B．7 、【答案】 D;【解析】∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB =AEAC，∵AE=3CE，∴AEAC =34，∴AD8=34，∴AD=6．故选D．8 、【答案】 C;【解析】∵点A、B、C都在反比例函数y=−10x上，∴xy=−10，∴(−1)⋅y1=−10，y1=10，y2=−10，2y3=−10，y3=−5．∴y1>y3>y2．故选：C．9 、【答案】 B;【解析】方法一 : 由题可知：△AOB与△COD位似，即：△AOB∽△COD，位似比为：1:3，即相似比为：1:3，∵A点的对应点为C，A(4,3)，C在第三象限，∴C(−43,−1)，故选B．方法二 : ∵以O为位似中心，位似比为13且A(4,3)，∴A的对应点C的坐标为(−43,−1)．故选B．10 、【答案】 C;【解析】设函数解析式为T=kt，∵经过点(1,3)，∴k=1×3=3，∴函数解析式为T=3t,当T⩽2°C时，t⩾32ℎ，∴A、B、D选项错误，不符合题意．故选C．11 、【答案】 A;【解析】设B点坐标为(a,b)，∵矩形OABC的边AB的中点为F，∴F点的坐标为(a,b2)，∴S△OAF=S△OEC=12|k|=12a⋅b2，∴ab=2k．∵S矩形=S四边形OEBF+S△OAF+S△OEC，∴ab=2+12k+12k，∴2k=k+2，∴k=2．故选A．12 、【答案】 A;【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=√2，AD=BC，AD//CB．∵E是BC的中点，M是DF的中点，∴BC=2BE=2EC．DF=2FM=2DM，∵AD//BC，∴△ADF∽△EBF，∴BEAD =BFDF=12，∴DF=2BF，∴BF=FM=DM．∵BE=EC，BF=FM，∴EF//CM，EF=12CM，故③符合题意；∴∠BFE=∠BMC=90°，且FM=MD，∴CM是DF的垂直平分线．∴CF=CD，故①符合题意；∵∠ABD+∠DBC=∠ABC=90°，∠ABD+∠BAF=90°，∴∠DBC=∠BAF．∵BF=FM，∠AFB=∠AFD=90°，AF=AF，∴△ABF≌△AMF(SAS)，∴∠BAF=∠FAM，∴∠DBC=∠FAM，故②符合题意；∵∠BDC=∠BDC，∠DCB=∠DMC，∴△BCD∽△CMD，∴CDBD =DMCD，∴CD2=BD⋅DM=3DM2=2，∴DM=√63，∴BD=3DM=√6，∴BC=√BD2−CD2=√6−2=2，∴矩形ABCD的面=AB×BC=2√2，故④不合题意；故选A．13 、【答案】(−3,−4);【解析】因为直线y=mx过原点，双曲线y=kx的两个分支关于原点对称，所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为(3,4)，另一个交点的坐标为(−3,−4)．14 、【答案】∠ADE=∠ACB或∠AED=∠B或ADAC =AEAB;【解析】可添加条件：①∠ADE=∠ACB，又∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，可证明△ACB∽△ADE，②∠AED=∠B，又∠AED=∠B，∠A=∠A，可证明△ACB∽△ADE，③ADAC =AEAB，又∠A=∠A，可证明△ACB∽△ADE．15 、【答案】m<−2;【解析】由图可知，反比例函数图象过二、四象限，∴m+2<0，∴m<−2．16 、【答案】3;【解析】在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA，周长为24，∴AB=244=6，又∵F为对角线交点，∴F为BD的中点，且E是AD的中点，∴EF=//12AB，∴EF=12×6=3．故答案为：3．17 、【答案】(18−10√2);【解析】设冬天太阳最低时，甲楼最高处A点的影子落在乙楼的E处，那么图中ED的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设FE⊥AB于点F，那么在△AEF中，∠AFE=90°，EF=20米．∵物高与影长的比是1:√2，∴AFEF =√2，则AF=√22EF=10√2，故DE=FB=18−10√2．答：甲楼的影子落在乙楼上有(18−10√2)m．18 、【答案】y=12x;【解析】如图，过点C作CE⊥y轴于E，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=10，∠ABC=90°，∴OB=√AB2−AO2=√100−64=6，∵∠ABC=∠AOB=90°，∴∠ABO+∠CBE=90°，∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠CBE，又∵∠AOB=∠BEC=90°，∴△ABO≌△BCE(AAS)，∴CE=OB=6，BE=AO=8，∴OE=2，∴点C(6,2)，(k≠0)的图象过点C，∵反比例函数y=kx∴k=6×2=12，．∴反比例函数的解析式为y=12x．故答案为：y=12x19 、【答案】2．;【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BE，AB=CD=6，∴∠DAE=∠AEB，∠DCE=∠D，∴△ADF∽△ECF，∴AFFE =DFFC=12，∴FD=2．20 、【答案】 (1) y=4x，y=2x−2．;(2) −1<x<0或x>2．;【解析】 (1) ∵点N(−1,−4)在反比例函数y=kx的图象上，∴k=(−1)×(−4)=4，∴反比例函数的关系式为y=4x，∵点M(2,m)在反比例函数y=4x的图象上，∴点M(2,2)，将M(2,2)、N(−1,−4)代入y=ax+b中，得：{2=2a+b−4=−a+b ，解得：{a=2b=−2，∴一次函数的关系式为y=2x−2．(2) 当反比例函数图象在一次函数图象下方时，−1<x<0，x>2故答案为：−1<x<0或x>2．21 、【答案】 (1) 画图见解析．;(2) 画图见解析．;【解析】 (1) 如图所示：．(2) 如图所示：22 、【答案】16m．;【解析】∵法线l⊥AD，∠1=∠2，∴∠ECD=∠BCA，又∵∠EDC=∠BAC=90°，∴△ECD∽△BCA，∴EDAB =DCAC，∵DE=1.5m，CD=3m，AC=32m，∴1.5AB =332，解得：AB=16．答：旗杆AB的高度为16m．23 、【答案】见解析;【解析】解：设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则AQ=AC−CQ=16−3t(cm)，当△APQ∽△ABC时，APAB =AQAC，即2t8=16−3t16，解得：t=167．当△APQ∽△ACB时，APAC =AQAB，即2t16=16−3t8，解得：t=4．故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：167s或4s．24 、【答案】48mm．;【解析】∵四边形EGHF为正方形．∴BC//EF，∴△AEF∽△ABC；设正方形零件的边长为xmm，则KD=EF=xmm，AK=(80−x)mm，∵△AEF∽△ABC，∴EFBC =AKAD∴x120=80−x80解得：x=48．答：正方形零件的边长为48mm．25 、【答案】 (1) 32;10;(2) y=640x．;(3) 59.5小时．;【解析】 (1) 0∼4时，风速平均每小时增加2千米，所以4时风速为8千米/时；4∼10时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为8+6×4=32千米/时，10∼20时，风速不变，最高风速维持时间为20−10=10小时；故答案为：32，10．(2) 设y=k，x，将(20,32))代入，得32=k20解得k=640．所以当x⩾20时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为y=640．x (3) ∵4时风速为8千米/时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米，∴4.5时风速为10千米/时，将y=10代入y=640，x，解得x=64，64−4.5=59.5（小时）．故在沙尘暴整个过程中，“危险时刻“共得10=640x有59.5小时．故答案为：59.5小时．26 、【答案】 (1) ∠ADE=30°．;(2) （1）中结论成立．证明见解析．;(3) 9．2;【解析】 (1) ∠ADE=30°，证明△ABD≌△ACE即可．(2) （1）中结论成立．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠ACB=∠ACE，∴∠B=∠ACE，∵AB=AC，BD=CE，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，∴∠DAE =∠BAC =120°，∴∠ADE =30°．(3) 设CD =x ，BD =BC −CD =6√3−x ，∵∠CFD =∠BDA ，∠B =∠BCA∴△BDA ∽△CFD ，则有CF BD =CD AB ，即63−x =x 6，得CF =−16(x −3√3)2+92， 所以当CD =3√3时，CF 取最大值为92． 方法二：∵△ADF ∽△ACD ，∴ADAC =AFAD ， 即AD 2=AC ⋅AF ，变形得AD 2=AC (AC −CF ),故CF =AC 2−AD 2AC =36−AD 26，当AD 取最小值时，CF 有最大值； 当AD ⊥BC 时，AD 取最小值，此时CF 取最大值为92． 27 、【答案】 (1) 8，y =−x +9．; (2) 存在；(4,2)，52．;【解析】 (1) ∵点A(8 , 1)、B(n , 8)都在反比例函数y =πx 的图象上，∴m =8×1=8，∴y =8x ，∴8=8n，即n =1， 设AB 的解析式为y =kx +b ， 把(8 , 1)、B(1 , 8)代入上式得：{8k +b =1k +b =8，解得{k =−1b =9． ∴直线AB 的解析式为y =−x +9．(2) 存在．当O ′在反比例函数的图象上时，作PE ⊥y 轴，O ′F ⊥x 轴于F ，交PE 于E ，则∠E =90°，PO ′=PO =2t ，QO ′=QO =t ．由题意知：∠PO ′Q =∠POQ ，∠QO ′F =90°−∠PO ′E ，∠EPO ′=90°−∠PO ′E ， ∴△PEO ′∽△O ′FQ ，∴PEO ′F =EO ′QF =PO ′QO ′． 设QF =b ，O ′F =a ，则PE −OF =t +b ，O ′E =2t −a ，∴t+b a =2t−a b=2， 解得：a =45t ，b =35t ，∴O ′(85t,45t)；当O ′在反比例函数的图象上时，8t 5⋅4t 5=8，解得：t =±52．∵反比例函数的图形在第一象限，∴t >0，∴t=5，2∴O′(4,2)，当t=5秒时，O′恰好落在反比例函数的图象上．2。
2020-2021学年江苏省苏州市高新区九年级上学期期中数学试卷 解析版
2020-2021学年江苏省苏州市高新区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为（）A．3B．C．D．2．方程x2＝x的解为（）A．x＝1B．x＝±1C．x＝0或1D．x＝03．若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（）A．45°B．60°C．72°D．90°4．平面内有一点P到圆上最远的距离是6，最近的距离是2，则圆的半径是（）A．2B．4C．2 或4D．85．在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（）A．B．C．D．6．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（）A．8B．4C．10D．57．如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为（）A．B．C．D．8．如图，矩形OCDE内接于扇形AOB，若点C是OA的中点，则∠BAD等于（）A．15°B．18°C．22.5°D．30°9．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，tan A＝2，则k的值为（）A．4B．8C．﹣4D．﹣810．如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB ＝60°，则点C的纵坐标为（）A．+B．2+C．4D．2+2二、填空题（每题3分，共24分）11．已知a是关于x方程x2﹣2x﹣8＝0的一个根，则2a2﹣4a的值为．12．一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为．13．小明用一张扇形纸片做一个圆锥的侧面，已知该扇形的半径是10cm，弧长是12πcm，那么这个圆锥的高是cm．14．一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+3x1x2的值为．15．如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB＝度．16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝4，则⊙O的直径为．17．如图，在平面直角坐标系中，已知C（6，8），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B 在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为．18．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D 两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从B点出发顺时针运动到D点时，点F经过的路径长为．三、解答题（共76分）19．计算题：（1）﹣22+﹣2cos60°+（）﹣1．（2）2cos30°﹣tan45°﹣．20．解方程：（1）（x﹣1）2＝4；（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）；（3）3x2﹣6x+1＝0（用配方法）．21．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？22．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i＝1：的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．计算结果保留根号）23．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D 作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝6，AE＝，求⊙O的半径；（3）在第（2）小题的条件下，则图中阴影部分的面积为．24．某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．25．如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．（1）求证：＝；（2）若CE＝2，EB＝6，求⊙O的半径．26．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以原点O为圆心，半径为3的⊙O上，连接OC，过点O作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C，O，D按逆时针方向排列），连接AB．（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为；（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC面积的最大值．（3）连接AD，当OC∥AD，点C位于第二象限时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？并说明理由．27．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A（﹣3，0），B（0，3）．（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；（2）如图2，已知直线l2：y＝3x﹣3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2为半径画圆．①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2020-2021学年江苏省苏州市高新区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为（）A．3B．C．D．【分析】根据锐角三角函数的定义求出即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，∴∠A的正切值为＝＝3，故选：A．2．方程x2＝x的解为（）A．x＝1B．x＝±1C．x＝0或1D．x＝0【分析】利用因式分解法解方程即可．【解答】解：原方程变形为：x2﹣x＝0，∴x（x﹣1）＝0，∴x＝0或x＝1．故选：C．3．若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（）A．45°B．60°C．72°D．90°【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出正多边形的一个外角．【解答】解：∵正多边形的内角和是540°，∴多边形的边数为540°÷180°+2＝5，∵多边形的外角和都是360°，∴正多边形的一个外角＝360÷5＝72°．故选：C．4．平面内有一点P到圆上最远的距离是6，最近的距离是2，则圆的半径是（）A．2B．4C．2 或4D．8【分析】分两种情况：点在圆外，直径等于两个距离的差；点在圆内，直径等于两个距【解答】解：∵点P到⊙O的最近距离为2，最远距离为6，则：当点在圆外时，则⊙O的直径为6﹣2＝4，半径是2；当点在圆内时，则⊙O的直径是6+2＝8，半径为4，故选：C．5．在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（）A．B．C．D．【分析】连接OA、OB，求出圆心角∠AOB的度数，代入弧长公式求出即可．【解答】解：连接OA、OB，∵OA＝OB＝AB＝2，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴的长为：＝，故选：C．6．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（）A．8B．4C．10D．5【分析】连接OA，即可证得△OAM是直角三角形，根据垂径定理即可求得AM，根据勾股定理即可求得OA的长．【解答】解：连接OA，∵M是AB的中点，∴OM⊥AB，且AM＝4在直角△OAM中，OA＝＝57．如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为（）A．B．C．D．【分析】首先由切线的性质得出OB⊥BC，根据锐角三角函数的定义求出cos∠BOC的值；连接BD，由直径所对的圆周角是直角，得出∠ADB＝90°，又由平行线的性质知∠A＝∠BOC，则cos∠A＝cos∠BOC，在直角△ABD中，由余弦的定义求出AD的长．【解答】解：连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°．∵OC∥AD，∴∠A＝∠BOC，∴cos∠A＝cos∠BOC．∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，∴cos∠BOC＝＝，∴cos∠A＝cos∠BOC＝．又∵cos∠A＝，AB＝4，∴AD＝．故选：B．8．如图，矩形OCDE内接于扇形AOB，若点C是OA的中点，则∠BAD等于（）A．15°B．18°C．22.5°D．30°【分析】根据矩形的性质得出∠AOB＝∠OCD＝90°，求出∠CDO，求出∠DOB，根据圆周角定理求出即可．【解答】解：连接OD，∵点C是OA的中点，∴OD＝OA＝2OC，∵四边形OCDE是矩形，∴∠AOB＝∠OCD＝90°，CD∥OB，∴∠CDO＝30°，∴∠DOB＝∠CDO＝30°，∴由圆周角定理得：∠BAD＝DOB＝15°，故选：A．9．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，tan A＝2，则k的值为（）A．4B．8C．﹣4D．﹣8【分析】作BC⊥x轴于C，AD⊥x轴于D，如图，利用反比例函数系数的几何意义得到S△AOD＝1，再根据正切的意义得到tan A＝＝2，接着证明Rt△AOD∽Rt△OBC，利用相似三角形的性质得S△OBC＝2S△AOD＝4，所以•|k|＝4，然后根据反比例函数的性质确定k的值．【解答】解：作BC⊥x轴于C，AD⊥x轴于D，如图，则S△AOD＝×2＝1，在Rt△AOB中，tan A＝＝2，∵∠AOD+∠BOC＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠BOC＝∠OAD，∴Rt△AOD∽Rt△OBC，∴＝（）2＝4，∴S△OBC＝4S△AOD＝4，∴•|k|＝4，而k＜0，∴k＝﹣8．故选：D．10．如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（）A．+B．2+C．4D．2+2【分析】连接P A，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，根据圆周角定理得到∠APB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠P AB＝∠PBA＝30°，由垂径定理得到AD ＝BD＝3，解直角三角形得到PD＝，P A＝PB＝PC＝2，根据勾股定理得到CE＝＝＝2，于是得到结论．【解答】解：连接P A，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°，∵P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA＝30°，∵A（﹣5，0），B（1，0），∴AB＝6，∴AD＝BD＝3，∴PD＝，P A＝PB＝PC＝2，∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°，∴四边形PEOD是矩形，∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，∴CE＝＝＝2，∴OC＝CE+OE＝2+，∴点C的纵坐标为2+，故选：B．二．填空题（共8小题）11．已知a是关于x方程x2﹣2x﹣8＝0的一个根，则2a2﹣4a的值为16．【分析】根据方程的解的定义把x＝a代入一元二次方程x2﹣2x﹣8＝0，得到a2﹣2a＝8，然后将其整体代入所求的代数式进行求值．【解答】解：∵a是一元二次方程x2﹣2x﹣8＝0的一个根，∴a2﹣2a﹣8＝0，∴a2﹣2a＝8，∴2a2﹣4a＝2（a2﹣2a）＝2×8＝16．故答案为：16．12．一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为或．【分析】可分4cm为腰长和底边长两种情况，求得直角三角形中底角的邻边与斜边之比即可．【解答】解：①4cm为腰长时，作AD⊥BC于D．∴BD＝CD＝3cm，∴cos B＝；②4cm为底边时，同理可得BD＝CD＝2cm，∴cos B＝＝，故答案为或．13．小明用一张扇形纸片做一个圆锥的侧面，已知该扇形的半径是10cm，弧长是12πcm，那么这个圆锥的高是8cm．【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和圆的周长公式计算出r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝12π，解得r＝6，所以圆锥的高＝＝8（cm）．故答案为8．14．一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+3x1x2的值为2．【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出x12﹣4x1＝﹣1，x1x2＝1，将其代入x12﹣4x1+3x1x2中即可求出结论．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1，x2，∴x12﹣4x1＝﹣1，x1x2＝1，∴x12﹣4x1+3x1x2＝﹣1+3×1＝2．故答案为：2．15．如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB＝50度．【分析】由圆周角定理易求∠BOC的度数，再根据切线的性质定理可得∠OBC＝90°，进而可求出∠OCB的度数．【解答】解：∵∠A＝20°，∴∠BOC＝40°，∵BC是⊙O的切线，B为切点，∴∠OBC＝90°，∴∠OCB＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50．16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝4，则⊙O的直径为4．【分析】连接OB，OC，依据△BOC是等腰直角三角形，即可得到BO＝CO＝BC•cos45°＝2，进而得出⊙O的直径为4．【解答】解：如图，连接OB，OC，∵∠A＝45°，∴∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，又∵BC＝4，∴BO＝CO＝BC•cos45°＝2，∴⊙O的直径为4，故答案为：4．17．如图，在平面直角坐标系中，已知C（6，8），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B 在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为32．【分析】连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，根据勾股定理和题意求得OP＝16，则AB的最大长度为32．【解答】解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，∵C（6，8），∴OC＝＝10，∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为6，∴OP＝OA＝OB＝16，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴AB长度的最大值为32，故答案为32．18．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D 两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从B点出发顺时针运动到D点时，点F经过的路径长为π．【分析】连接AC，AG，由OG垂直于AB，利用垂径定理得到O为AB的中点，由G的坐标确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AG与OG的长，利用勾股定理求出AO 的长，进而确定出AB的长，由CG+GO求出OC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，CO⊥AE，此时F 与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在直角三角形ACO中，利用锐角三角函数定义求出∠ACO的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长．【解答】解：连接AC，AG，∵GO⊥AB，∴O为AB的中点，即AO＝BO＝AB，∵G（0，1），即OG＝1，∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AO＝＝，∴AB＝2AO＝2，又CO＝CG+GO＝2+1＝3，∴在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC＝＝2，∵CF⊥AE，∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A 重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在Rt△ACO中，tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝30°，∴度数为60°，∵直径AC＝2，∴的长为＝π，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长π．故答案为：π．三．解答题19．计算题：（1）﹣22+﹣2cos60°+（）﹣1．（2）2cos30°﹣tan45°﹣．【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：（1）﹣22+﹣2cos60°+（）﹣1＝﹣4+3﹣2×+3＝﹣4+3﹣1+3＝1；（2）2cos30°﹣tan45°﹣＝2×﹣1﹣（﹣1）＝﹣1﹣+1＝0．20．解方程：（1）（x﹣1）2＝4；（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）；（3）3x2﹣6x+1＝0（用配方法）．【分析】（1）移项，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）把常数项移项、二次项系数化为1后，利用配方法求解即可．【解答】解：（1）（x﹣1）2＝4，开方得：x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，∴x1＝3，x2＝﹣1；（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2），3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，（x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]＝0，∴x﹣2＝0或2x﹣6＝0，∴x1＝2，x2＝3；（3）3x2﹣6x+1＝0，x2﹣2x＝﹣，x2﹣2x+1＝﹣+1，即（x﹣1）2＝，则x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣．21．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．【解答】（1）解：设每千克核桃应降价x元．…1分根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）＝2240．…4分化简，得x2﹣10x+24＝0 解得x1＝4，x2＝6．…6分答：每千克核桃应降价4元或6元．…7分（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为：60﹣6＝54（元），设按原售价的m折出售，则有：60×＝54，解得m＝9答：该店应按原售价的九折出售．22．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i＝1：的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．计算结果保留根号）【分析】延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD＝90°，Rt△CDF中求得CF＝CD cos ∠DCF＝2、DF＝CD＝2，作EG⊥AB，可得GE＝BF＝4、GB＝EF＝3.5，再求出AG＝GE tan∠AEG＝4•tan37°可得答案．【解答】解：如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD＝90°，∵tan∠DCF＝i＝＝，∴∠DCF＝30°，∵CD＝4，∴DF＝CD＝2，CF＝CD cos∠DCF＝4×＝2，∴BF＝BC+CF＝2+2＝4，过点E作EG⊥AB于点G，则GE＝BF＝4，GB＝EF＝ED+DF＝1.5+2＝3.5，又∵∠AED＝37°，∴AG＝GE tan∠AEG＝4•tan37°，则AB＝AG+BG＝4•tan37°+3.5＝3+3.5，故旗杆AB的高度为（3+3.5）米．23．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D 作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝6，AE＝，求⊙O的半径；（3）在第（2）小题的条件下，则图中阴影部分的面积为8π﹣12．【分析】（1）首先由等腰三角形的性质，可得∠OAD＝∠ODA，易证得DO∥MN，即可得DE⊥OD，即得DE是⊙O的切线；（2）由勾股定理可求得AD的长，由相似三角形性质可求得AC的长，得到圆的半径；（3）根据阴影部分的面积等于扇形面积减去等边三角形OAB的面积求解即可．【解答】解：（1）连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠CAM，∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠DAE，∴DO∥MN，∵DE⊥MN，∴DE⊥OD，∵D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵∠AED＝90°，DE＝6，AE＝2，∴AD＝＝＝4，连接CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠AED＝90°，∵∠CAD＝∠DAE，∴△ACD∽△ADE，∴，∴，∴AC＝8，∴⊙O的半径是4；（3）过点O作OF⊥AB于F，∵cos∠DAE＝，∴∠DAE＝60°，∴∠DAC＝60°，∴∠CAB＝60°，∴∠AOF＝30°，∴∠AOB＝60°，∴cos∠CAB＝＝，∴AF＝2，∴OF＝6，∴S阴影＝S扇形﹣S△OAB＝8π﹣12．24．某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【分析】作AD⊥BC于D，根据题意求出∠ABD＝45°，得到AD＝BD＝30海里，求出∠C＝60°，根据正切的概念求出CD的长，得到答案．【解答】解：作AD⊥BC于D，∵∠EAB＝30°，AE∥BF，∴∠FBA＝30°，又∠FBC＝75°，∴∠ABD＝45°，又AB＝60（海里），∴AD＝BD＝30（海里），∵∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝75°，∠ABC＝45°，∴∠C＝60°，在Rt△ACD中，∠C＝60°，AD＝30（海里），则tan C＝，∴CD＝＝10（海里），∴BC＝（30+10）海里，故该船与B港口之间的距离CB的长为（30+10）海里．25．如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．（1）求证：＝；（2）若CE＝2，EB＝6，求⊙O的半径．【分析】（1）根据等腰三角形的性质、平行线的性质证明∠OBC＝∠CBD，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；（2）连接AC，证明△ACE∽△BCA，根据相似三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出AB，得到答案．【解答】（1）证明：∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD，∴∠OBC＝∠CBD，∴＝；（2）连接AC，∵CE＝2，EB＝6，∴BC＝8，∵＝，∴∠CAD＝∠ABC，∵∠ACB＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴＝，即＝，解得，AC＝2，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝4，∴⊙O的半径为2．26．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以原点O为圆心，半径为3的⊙O上，连接OC，过点O作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C，O，D按逆时针方向排列），连接AB．（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为45°或135°；（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC面积的最大值．（3）连接AD，当OC∥AD，点C位于第二象限时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？并说明理由．【分析】（1）易证△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA＝45°，由OC∥AB，当C点在y轴左侧时，有∠BOC＝∠OBA＝45°；当C点在y轴右侧时，有∠BOC＝180°﹣∠OBA ＝135°；（2）先由等腰直角三角形的性质得AB＝6，再由三角形面积公式得到当点C到AB 的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O 于C，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，然后利用等腰直角三角形的性质求出OE，计算△ABC的面积；（3）①过C点作CF⊥x轴于F，先证Rt△OCF∽Rt△AOD，则＝，解得CF＝，再利用勾股定理计算出OF的长，则可得到C点坐标；②先证∠COF＝30°，则可得到BOC＝60°，∠AOD＝60°，再证△BOC≌△AOD（SAS），得∠BCO＝∠ADO＝90°，然后由切线的判定定理可确定直线BC为⊙O的切线．【解答】解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），∴OA＝OB＝6，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OBA＝45°，∵OC∥AB，∴当C点在y轴左侧时，∠BOC＝∠OBA＝45°；当C点在y轴右侧时，∠BOC＝90°+∠OBA＝135°；综上所述，∠BOC的度数为45°或135°，故答案为：45°或135°；（2）∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB＝OA＝6，∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图：此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，∴OE＝AB＝3，∴CE＝OC+OE＝3+3，∴△ABC的面积＝CE•AB＝×（3+3）×6＝9+18；即当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9+18；（3）①过C点作CF⊥x轴于F，如图：∵OC∥AD，∴∠COF＝∠DAO，又∵∠ADO＝∠CFO＝90°，∴△OCF∽Rt△AOD，∴＝，即＝，解得：CF＝，在Rt△OCF中，OF＝＝＝，∴C点坐标为（﹣，）；②直线BC是⊙O的切线．理由如下：由①得：（﹣，），在Rt△OCF中，OC＝3，CF＝，∴CF＝OC，∴∠COF＝30°，∴∠OAD＝30°，∴∠BOC＝60°，∠AOD＝60°，∵在△BOC和△AOD中，，∴△BOC≌△AOD（SAS），∴∠BCO＝∠ADO＝90°，∴OC⊥BC，∴直线BC为⊙O的切线．27．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A（﹣3，0），B（0，3）．（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；（2）如图2，已知直线l2：y＝3x﹣3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2为半径画圆．①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）证明△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长＝BC＝AB，即可求解；（2）证明CM＝AC sin45°＝4×＝2＝圆的半径，即可求解；（3）分点M、N在两条直线交点的下方、点M、N在两条直线交点的上方两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）如图1，连接BC，∵∠BOC＝90°，∴点P在BC上，∵⊙P与直线l1相切于点B，∴∠ABC＝90°，而OA＝OB，∴△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长＝BC＝AB＝3；（2）过点作CM⊥AB，由直线l2：y＝3x﹣3得：点C（1，0），则CM＝AC sin45°＝4×＝2＝圆的半径，故点M是圆与直线l1的切点，即：直线l1与⊙Q相切；（3）如图3，①当点M、N在两条直线交点的下方时，由题意得：MQ＝NQ，∠MQN＝90°，设点Q的坐标为（m，3m﹣3），则点N（m，m+3），则NQ＝m+3﹣3m+3＝2，解得：m＝3﹣；②当点M、N在两条直线交点的上方时，同理可得：m＝3；故点Q的坐标为（3﹣，6﹣3）或（3+，6+3）．。
2020高新区九上数学期中答卷
0000306
123
45
678910
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
11．12．
13．14．
15．16．
17．18．
三、解答题
19.（1）－22＋9-2cos60°＋113-⎛⎫
⎪⎝⎭
（2）2cos30°－tan45°－()2
1tan 60-︒请在各题规定的黑色矩形区域内作答，超出该区域的答案无效！请在各题规定的黑色矩形区域内作答，超出该区域的答案无效！(请将客观题答案填涂在以下选项卡中)请在各题规定的黑色矩形区域内作答，超出该区域的答案无效！
22.
23.苏州高新区第一初级中学校
2020-2021学年第一学期期中测试答卷九年级数学
2020.1120.（1）23(2)(2)x x x -=-；（2）23610x x -+=（用配方法）．21.缺考考生由监考教师填涂左侧
的缺考标记
26.
（1）．（2）
（3
）
24.
25.
27.
（1）
(2)
请在各题规定的黑色矩形区域内作答，超出该区域的答案无效！请在各题规定的黑色矩形区域内作答，超出该区域的答案无效！
请在各题规定的黑色矩形区域内作答，超出该区域的答案无效！。
陕西省西安市高新一中2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
陕西省西安市高新一中2020-2021学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知2x=3y(y≠0)，则下面结论成立的是（）A．32xy=B．23xy=C．23xy=D．23x y=2．下面四幅图是同一天四个不同时刻的影子，其时间由早到晚的顺序（）A．①②③④B．④③①②C．③④②①D．④②③①3．若反比例函数32myx-=的图象在二、四象限，则m的值可以是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．如图是一个空心圆柱体，其俯视图是（）A．B．C．D．5．如图是教学用直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，∠BAC＝30°，则BC长为（）A．B．C．cm D．6．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则I与R的函数表达式为（）A．I＝12RB．I＝8RC．I＝6RD．I＝4R7．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为()A．tantanαβB．sinsinβαC．sinsinαβD．coscosβα8．在同一直角坐标系中，函数y=kx和y=kx+k的大致图象是（）A．B．C．D．9．如图，以某点为位似中心，将△OAB进行位似变换得到△DFE，若△OAB与△DFE的相似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为（）A．（2，2），2 B．（0，0），2 C．（2，2），12D．（0，0），1210．如图，∠AOB＝90°，且OA，OB分别与反比例函数y＝3x（x＞0）、y＝﹣4x（x＜0）的图象交于A，B两点，则sin∠OAB的值是（）A ．45BC D二、填空题11．某河堤横断面如图所示，AC ＝9米，迎水坡AB 的坡度为1BC ＝___米．12．长方体的主视图与左视图如图所示，则这个长方体的表面积是________cm 2.13．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条边DF=50cm ，EF=30cm ，测得边DF 离地面的高度AC=1.5m ，CD=20m ，则树髙AB 为_____．14．若A （﹣1，y 1），B （1，y 2），C （3，y 3）．A ，C 在反比例函数y ＝﹣5x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是____． 15．如图，A ，B ，C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则cos ∠BAC 的值为____．16．如果一个正比例函数的图象与反比例函数y ＝﹣4x 的图象交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，那么（x 2﹣x 1）（y 2﹣y 1）的值为_____．17．如图，点M 是正方形ABCD 内一点，△MBC 是等边三角形，连接AM 、MD ．对角线BD 交CM 于点N ，现有以下结论：①∠AMD ＝150°；②MA 2＝MN •MC ；③BN DN=④ADM BMC S S ∆∆=，其中正确的结论有____（填写序号）．三、解答题18．计算：（12）﹣1﹣2tan45°+4sin60°19．如图，已知在正方形ABCD 中，M 是BC 边上一定点，连接AM ，请用尺规作图法，在AM 上求作一点P ，使得△DP A ∽△ABM （不写做法保留作图痕迹）20．为了计算湖中小岛上凉亭P 到岸边公路l 的距离，某数学兴趣小组在公路l 上的点A 处，测得凉亭P 在北偏东60°的方向上；从A 处向正东方向行走200米，到达公路l 上的点B 处，再次测得凉亭P 在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P 到公路l 的距离．）21．如图，在△ABC 中，AD 是角平分钱，点E 在AC 上，且∠EAD=∠ADE ．（1）求证：△DCE ∽△BCA ；（2）若AB=3，AC=4．求DE 的长．22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝k 1x +b 的图象与反比例函数y ＝2k x的图象交于A （3，﹣2）、B （﹣2，n ）两点，与x 轴交于点C ．（1）求k 2，n 的值；（2）请直接写出不等式k 1x +b ＞2k x的解集； （3）将x 轴下方的图象沿x 轴翻折，点A 落在点A ′处，连接A 'B 、A 'C ，求△A 'BC 的面积．23．如图，矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一点，连接BP ，CP 过点B 作射线交线段CP 的延长线于点E ，交AD 边于点M ，且使∠ABE ＝∠CBP ，AB ＝2，BC ＝5．（1）证明：△ABM ∽△APB ；（2）当AP ＝3时，求sin ∠EBP 的值；（3）如果△EBC 是以BC 为底边的等腰三角形，求AP 的长．24．（1）如图1，Rt △ABM 和Rt △ADN 的斜边分别为正方形的边AB 和AD ，其中AM ＝AN ，线段MN 与线段AD 相交于点T ，若AD ＝3AT ，则tan ∠ABM ＝ ；（2）如图2，在菱形ABCD中，CD＝6，∠ADC＝60°，菱形形内部有一动点P，满足S△P AB＝13S菱形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和P A+PB的最小值为．25．如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB＝90°．将△ADP 沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．（1）求证：AD2＝DP•PC；（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC分别交PM、PB于点E、F．若AD＝3DP，探究EF与AE之间的的数量关系．参考答案1．A【解析】试题解析：A、两边都除以2y，得32xy=，故A符合题意；B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；C、两边都除以2y，得32xy=，故C不符合题意；D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；故选A．2．B【解析】【分析】由于太阳早上从东方升起，则早上树的影子向西；傍晚太阳在西边落下，此时树的影子向东，于是可判断四个时刻的时间顺序．【详解】时间由早到晚的顺序为④③①②．故选：B．【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．3．D【分析】由于反比例函数的图像在第二、四象限，所以反比例函数kyx=的k<0.【详解】解：∵反比例函数y=32mx-的图象在二、四象限，∴3-2m<0,解得32 m>.所以选择D. 【点睛】掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键.4．D【解析】【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】该空心圆柱体的俯视图是：故选D．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．5．C【分析】根据∠BAC的正切值，即可求出BC的长度．【详解】解：在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知：tan∠BAC＝BC AC，又∵AC＝30cm，tan∠BAC＝tan30°＝∴BC＝AC·tan∠BAC＝cm）．故选：C．【点睛】本题考查了三角函数的应用，熟练掌握正切的概念并熟记特殊角三角函数值是解题关键. 6．A【解析】【分析】根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为I=kR，再把（6，2）代入可得k的值，进而可得函数解析式．【详解】设用电阻R表示电流I的函数解析式为I=kR，∵过（6，2），∴k=6×2=12，∴I=12R，故选A．【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．7．B【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；【详解】在Rt△ABC中，AB=AC sinα，在Rt△ACD中，AD=AC sinβ，∴AB：AD=ACsinα：ACsinβ=sinsinβα，故选B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．8．D【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行分析．【详解】①当k＞0时，一次函数y=kx-k经过一、二、三象限，反比例函数的y=kx（k≠0）的图象经过一、三象限，故D选项的图象符合要求；②当k＜0时，一次函数y=kx-k经过二、三、四象限，反比例函数的y=kx（k≠0）的图象经过二、四象限，没有符合该条件的选项．故选D．【点睛】考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．9．A【解析】【分析】两对对应点的连线的交点即为位似中心；找到任意一对对应边的边长，让其相比即可求得k．【详解】连接OD、BE，延长OD交BE的延长线于点O′，点O′也就是位似中心，坐标为（2，2），k=OA：FD=8：4=2．故选A．【点睛】本题考查了位似变换、坐标与图形的性质等知识，记住两对对应点的连线的交点为位似中心；任意一对对应边的比即为位似比．10．B【分析】根据反比例函数的几何意义，可求出△AOM，△BON的面积，由于∠AOB＝90°，可证出△AOM∽△BON，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，进而求出相似比，即直角三角形AOB两条直角边的比，可求出斜边，进而求sin∠OAB【详解】过点A、B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，∵点A在反比例函数y＝3x（x＞0）的图象上，∴S△AOM＝12×3＝32，∵点B在反比例函数y＝﹣4x（x＜0）的图象上，∴S△BON＝12×4＝2，∵∠AOB＝90°∴△BON∽△AOM，∴（BOAO）2＝BONAOMSS＝43，∴OA OB在Rt△AOB中，设OB＝2m，则OA，∴ABm，∴sin∠OAB＝OBAB7，故选：B．【点睛】考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的性质和判定、以及直角三角形的边角关系，把反比例函数的几何意义与相似三角形的性质和直角三角形的边角关系结合在一起是解决问题的关键．11．【分析】根据坡度的定义即可求解.【详解】迎水坡AB 的坡度为1， ∴BCAC ，即BC 9，解得，BC ＝故答案为：【点睛】此题主要考查坡度的应用，解题的关键是熟知坡度的定义.12．94【解析】【分析】由所给的视图判断出长方体的长、宽、高,根据长方体的表面积公式计算即可.【详解】由主视图可知,这个长方体的长和高分别为5和3,由左视图可知,这个长方体的宽和高分别为4和3,因此这个长方体的长、宽、高分别为5、4、3,因此这个长方体的表面积为253243254294cm ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故答案为：94.【点睛】本题是由两种视图考查长方体的特征,这种类型问题在中考试卷中经常出现,本题所用的知识是:主视图主要反映物体的长和高,左视图主要反映物体的宽和高.13．16.5m【分析】根据题意与图形可知△DEF∽DCB，再根据对应成比例即可求解.【详解】∵DE⊥EF,BC⊥CD，DF=50cm，EF=30cm，∴40cm=又∠EDF=∠CDB∴△DEF∽DCB，∴ED CDEF CB=，即0.4200.3CB=，解得BC=15m,∴AB=BC+AC=16.5m故填：16.5m.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知对应成比例. 14．y2＜y3＜y1．【分析】把x依次代入解析式求解y,即可比较.【详解】∵点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣5x的图象上，∴y1＝5，y2＝﹣5，y3＝﹣53，∴y2＜y3＜y1，故答案为y2＜y3＜y1．【点睛】此题主要考查函数值的大小，解题的关键把x代入求解.15【分析】根据网格求出AB,BC,AC ，得到△ABC 是直角三角形，再进行求解.【详解】∵每个小正方形的边长均为1，∴AB BC AC ，∴AB 2+BC 2＝AC 2，∴△ABC 是直角三角形，∴cos ∠BAC ＝ABAC ＝2，故答案为：2． 【点睛】 此题主要考查余弦的求解，解题的关键熟知勾股定理的运用.16．﹣16【解析】【分析】正比例函数的图象与反比例函数y=-4x 的图象交于的两交点坐标关于原点对称，依此可得x 1=-x 2，y 1=-y 2，将（x 2-x 1）（y 2-y 1）展开，依此关系即可求解．【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数y=-4x 的图象交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，关于原点对称，依此可得x 1=-x 2，y 1=-y 2，∴（x 2-x 1）（y 2-y 1）=x 2y 2-x 2y 1-x 1y 2+x 1y 1=x 2y 2+x 2y 2+x 1y 1+x 1y 1=-4×4=-16．故答案为：-16．【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称．17．①②③④．【分析】①先根据等边三角形得∠CMB＝60°，再根据等腰三角形的性质得∠AMB＝∠CMD＝75°，最后根据周角的定义可得结论；②证明△MND∽△MDC，列比例式可得结论；③如图1，作辅助线，设NH＝x，根据平行线分线段成比例定理得结论．④如图2，设MG＝x，根据直角三角形30度角的性质和勾股定理分别计算BC、AG、BG的长，根据面积公式计算可得结论；【详解】∵△MBC是等边三角形，∴∠MBC＝∠MCB＝∠CMB＝60°，BM＝BC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝BC，∴∠ABM＝∠DCM＝30°，∵AB＝BM，∴∠AMB＝∠BAM＝12（180°﹣30°）＝75°，同理∠CMD＝∠CDM＝75°，∴∠AMD＝360°﹣75°﹣75°﹣60°＝150°；故①正确；∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，∴∠MDN＝∠CDM﹣∠BDC＝75°﹣45°＝30°，∵∠CMD＝∠CMD，∠MDN＝∠DCM＝30°，∴△MND∽△MDC，∴MNDM＝DMMC，∴DM 2＝MN •MC ，∵∠BAD ＝∠ADC ，∠BAM ＝∠CDM ，∴∠MAD ＝∠MDA ，∴MA ＝DM ，∴MA 2＝MN •MC ，故②正确；过N 作NH ⊥CD 于H ，设NH ＝x ，如图1所示：则NH ⊥BC ，∠NDH ＝∠DNH ＝45°，∴NH ＝DH ＝x ，∵∠NCH ＝30°，∠CHN ＝90°∴CN ＝2x ，CH，∵NH ∥BC ， ∴BN DN ＝CH DH故③正确；过M 作MG ⊥AB 于G ，如图2所示：设MG ＝x ，Rt △BGM 中，∠GBM ＝30°，∴BM ＝BC ＝AB ＝2x ，BG，∴AG ＝2xx ， ∴AMD BMC S S ＝1AD AG 21BC BG 2⋅⋅＝AG BG，故④正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理，设未知数，表示各边长是本题的关键．18．0．【分析】根据实数的性质进行化简即可求解.【详解】原式＝2﹣2×＝2﹣＝0．【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知实数的性质.19．作图见解析.【解析】【分析】根据尺规作图的方法过点D作AM的垂线即可得【详解】如图所示，点P即为所求作的点.【点睛】本题考查了尺规作图——作垂线，熟练掌握作图的方法是解题的关键.20．凉亭P到公路l的距离为273.2m．【分析】分析：作PD⊥AB于D，构造出Rt△APD与Rt△BPD，根据AB的长度．利用特殊角的三角函数值求解．【详解】详解：作PD⊥AB于D．设BD=x，则AD=x+200．∵∠EAP=60°，∴∠PAB=90°﹣60°=30°．在Rt△BPD中，∵∠FBP=45°，∴∠PBD=∠BPD=45°，∴PD=DB=x．在Rt△APD中，∵∠PAB=30°，∴PD=tan30°•AD，即200+x），解得：x≈273.2，∴PD=273.2．答：凉亭P到公路l的距离为273.2m．【点睛】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答．21．（1）、证明过程见解析；（2）、12 7【解析】试题分析：（1）已知AD 平分∠BAC ，可得∠EAD=∠ADE ，再由∠EAD=∠ADE ，可得∠BAD=∠ADE ，即可得AB ∥DE ，从而得△DCE ∽△BCA ；（2）已知∠EAD=∠ADE ，由三角形的性质可得AE=DE ，设DE=x ，所以CE=AC ﹣AE=AC ﹣DE=4﹣x ，由（1）可知△DCE ∽△BCA ，根据相似三角形的对应边成比例可得x ：3=（4﹣x ）：4，解得x 的值，即可得DE 的长．试题解析：（1）证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠DAC ，∵∠EAD=∠ADE ，∴∠BAD=∠ADE ，∴AB ∥DE ，∴△DCE ∽△BCA ；（2）解：∵∠EAD=∠ADE ，∴AE=DE ，设DE=x ，∴CE=AC ﹣AE=AC ﹣DE=4﹣x ，∵△DCE ∽△BCA ，∴DE ：AB=CE ：AC ，即x ：3=（4﹣x ）：4，解得：x=，∴DE 的长是． 考点：相似三角形的判定与性质．22．（1）k 2＝﹣6，n ＝3；（2）x ＜﹣2或0＜x ＜3；（3）△A 'BC 的面积为6．【分析】（1）将A 点坐标代入y ＝2k x求得k 2，然后代入B （−2，n ）即可求得n ； （2）用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题；（3）求出对称点坐标，根据S △A 'BC ＝S △A 'AB -S △A 'AC 即可求面积．【详解】（1）将A （3，﹣2）代入y ＝2k x ，得k 2＝﹣6． ∴y ＝﹣6x， 将（﹣2，n ）代入y ＝﹣6x，求得n ＝3． ∴k 2＝﹣6，n ＝3； （2）根据函数图象可知：不等式k 1x +b ＞2k x 的解集为x ＜﹣2或0＜x ＜3； （3）如图，将A （3，﹣2），B （﹣2，3）代入y ＝k 1x +b ，得k 1＝﹣1，b ＝1，∴一次函数的关系式为y ＝﹣x +1，与x 轴交于点C （1，0）∴图象沿x 轴翻折后，得A ′（3，2），S △A 'BC ＝S △A 'AB -S △A 'AC ＝12（3+2）×4﹣12×4×（3﹣1）＝6 ∴△A 'BC 的面积为6．【点睛】本题是一次函数和反比例函数综合题，使用的待定系数法，考查用函数的观点解决不等式问题．23．（1）见解析；（2）sin ∠EBP ＝513；（3）AP 的值为4 【分析】（1）根据矩形的性质与相似三角形的判定即可求解；（2）过点M 作MH ⊥BP 于H ，由AP ＝x ＝4可求出MP 、AM 、BM 、BP ，然后根据面积法可求出MH ，从而可求出BH ，就可求出∠EBP 的正弦值；（3）可分EB＝EC和CB＝CE两种情况讨论：①当EB＝EC时，可证到△AMB≌△DPC，则有AM＝DP，从而有x−y＝5−x，即y＝2x−5，代入（1）中函数解析式就可求出x的值；②当CB＝CE时，可得到PC＝EC−EP＝BC−MP＝5−y，在Rt△DPC中根据勾股定理可得到x与y的关系，然后结合y关于x的函数解析式，就可求出x的值．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝∠ABC＝∠DCB＝∠D＝90°，AB＝DC，∴∠APB＝∠CBP，∵∠ABM＝∠CBP，∴∠ABM＝∠APB，∵∠A＝∠A．∴△ABM∽△APB；（2）解：过点M作MH⊥BP于H，如图所示：∵△ABM∽△APB，∴ABAP＝AMAB，即23＝AM2，解得：AM＝43，∴MP＝AP﹣AM＝53，∴BMBP∵S△BMP＝12MP•AB＝12BP•MH，∴MH＝MP ABBP⋅52⨯∴sin∠EBP＝MHBM＝513．（3）解：设AP＝x，PM＝y．由（1）得：△ABM∽△APB，∴ABAP＝AMAB，即2x＝2x y-，解得：y＝x﹣4 x①若EB＝EC，则有∠EBC＝∠ECB，∴∠ABM＝∠DCP，在△AMB和△DPC中，A DAB DCABM DCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMB≌△DPC（ASA），∴AM＝DP，∴x﹣y＝5﹣x，∴y＝2x﹣5，∴x﹣4x＝2x﹣5，解得：x＝1，或x＝4，∵2＜x≤5，∴AP＝x＝4；②若CE＝CB，则∠EBC＝∠E，∵AD∥BC，∴∠EMP＝∠EBC＝∠E，∴PE＝PM＝y，∴PC＝EC﹣EP＝5﹣y，∴在Rt△DPC中，（5﹣y）2﹣（5﹣x）2＝22，∴3x2﹣10x﹣4＝0，解得：xx（舍去），∴AP＝x，终上所述：AP 的值为4【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、解一元二次方程、三角函数等知识，证到△ABM ∽△APB 是解决第（1）小题的关键，把∠EBP 放到直角三角形中是解决第（2）小题的关键，运用勾股定理建立x 与y 的等量关系是解决第（3）小题的关键．24．（1）tan ∠ABM ＝13；（2）P A +PB 的最小值为 【分析】 (1)先利用HL 证明Rt △ABM ≌Rt △AND ，再证明△DNT ∽△AMT ，可得AM DN ＝AT DT，由AD ＝3AT ，推出AM DN ＝13，在Rt △ABM 中，tan ∠ABM ＝AM BM ＝AM DN ＝13；(2) 首先由S △P AB ＝13S 菱形ABCD ，，得出动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是l 上，作A 关于直线l 的对称点A ′，连接AA ′，连接BA ′，则BA ′的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABA ′中，由勾股定理求得BA ′的值，即PA ＋PB 的最小值.【详解】（1）∵AD ＝AB ，AM ＝AN ，∠AMB ＝∠AND ＝90°，∴Rt △ABM ≌Rt △AND （HL ）．∴∠DAN ＝∠BAM ，DN ＝BM ，∵∠BAM +∠DAM ＝90°；∠DAN +∠ADN ＝90°，∴∠DAM ＝∠ADN ，∴ND ∥AM ，∴△DNT ∽△AMT ， ∴AM DN ＝AT DT，∵AT ＝13AD ， ∴AM DN ＝13， 在Rt △ABM 中，tan ∠ABM ＝AM BM ＝AM DN ＝13； 故答案为：13； （2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ＝6，连接AC ，BD 交于O ，∴AC ⊥BD ，∵∠ADC ＝60°，∴∠CDO ＝30°，∴DO ＝OC ＝3，∴BD ＝，AC ＝6，∴S 菱形ABCD ＝12×6× 设△ABP 中AB 边上的高是h ，∵S △P AB ＝13S 菱形ABCD ，∴12AB •h ＝13×＝∴h ＝，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点A ′，连接AA ′，连接BA ′，则BA ′的长就是所求的最短距离．在Rt △ABE 中，∵AB ＝6，AA ′＝∴BA ′即P A +PB 的最小值为故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、解直角三角形、三角形的面积，菱形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键．25．（1）见解析；（2）四边形PMBN 是菱形；理由见解析；（3）919EF AE . 【分析】（1）过点P 作PG ⊥AB 于点G ，易知四边形DPGA ，四边形PCBG 是矩形，所以AD ＝PG ，DP ＝AG ，GB ＝PC ，易证△APG ∽△PBG ，所以PG 2＝AG •GB ，即AD 2＝DP •PC ；（2）DP ∥AB ，所以∠DPA ＝∠PAM ，由题意可知：∠DPA ＝∠APM ，所以∠PAM ＝∠APM ，由于∠APB−∠PAM ＝∠APB−∠APM ，即∠ABP ＝∠MPB ，从而可知PM ＝MB ＝AM ，又易证四边形PMBN 是平行四边形，所以四边形PMBN 是菱形；（3）由于AD ＝3DP ，可设设DP ＝1，则AD ＝3，由（1）可知：AG ＝DP ＝1，PG ＝AD ＝3，从而求出BG ＝PC ＝9，AB ＝AG +BG ＝10，由于CP ∥AB ，从而可证△PCF ∽△BAF ，△PCE ∽△MAE ，从而可得AF AC ＝1019，AE AC ＝514，从而可求出EF ＝AF ﹣AE ＝1019AC ﹣514AC ＝45166AC ，从而可得EF AE ＝45AC 1665AC 14＝919． 【详解】（1）证明：过点P 作PG ⊥AB 于点G ，如图1所示：则四边形DPGA 和四边形PCBG 是矩形，∴AD＝PG，DP＝AG，BG＝PC，∵∠APB＝90°，∴∠APG+∠GPB＝∠GPB+∠PBG＝90°，∴∠APG＝∠PBG，∴△APG∽△PBG，∴PGAG＝BGPG，∴PG2＝AG•BG，即AD2＝DP•PC；（2）解：四边形PMBN是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵BM∥PN，BN∥MP，∴四边形PMBN是平行四边形，∵DP∥AB，∴∠DP A＝∠P AM，由题意可知：∠DP A＝∠APM，∴∠P AM＝∠APM，∵∠APB﹣∠P AM＝∠APB﹣∠APM，即∠ABP＝∠MPB∴AM＝PM，PM＝MB，∴PM＝MB，∴四边形PMBN是菱形；（3）解：∵AD＝3DP，∴设DP＝1，则AD＝3，由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝3，∵PG2＝AG•BG，∴32＝1•BG，∴BG＝PC＝9，AB＝AG+BG＝10，∵CP∥AB，∴△PCF∽△BAF，∴CFAF＝PCAB＝910，∴AFAC＝1019，∵PM＝MB，∴∠MPB＝∠MBP，∵∠APB＝90°，∴∠MPB+∠APM＝∠MBP+∠MAP＝90°，∴∠APM＝∠MAP，∴PM＝MA＝MB，∴AM＝12AB＝5，∵AB∥CD，∴△PCE∽△MAE，∴CEAF＝PCAM＝95，∴AEAC＝514，∴EF＝AF﹣AE＝1019AC﹣514AC＝45166AC，∴EFAE＝45AC1665AC14＝919．【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．。
陕西省西安高新第一中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题
陕西省西安高新第一中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．ABC V 在正方形网格中的位置如图所示，则tan CAB ∠的值是（）A ．35B ．45C ．34D ．432．下列各组中的四条线段成比例的是（）A ．1，1，2，3B ．2，3，6，9C ．5，6，7，8D ．3，6，9，43．下面的三视图对应的物体是（）A ．B ．C ．D ．4．已知点()12,A y -，()21,B y -，()33,C y 在反比例函数2y x=-的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y <<5．如图1是古希腊时期的巴合农神庙，把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形ABCD ，当以矩形ABCD 的宽AB 为边作正方形ABEF 时，惊奇地发现矩形CDFE 与矩形ABCD 相似，则ECBE等于（）A ．12B ．12C ．12+D ．326．今年央视春晚上，刘谦十分钟的魔术节目《守岁共此时》：每位观众手中都有四张牌，从中间撕开……让观众们大开眼界．现有2张扑克牌，从中间撕开（如图），将其背面朝上，打乱顺序后放在桌面上，若从中随机抽取两张，则能拼成同一张牌的概率是（）A ．112B ．16C ．13D ．127．如图，ABC V ∽ADE V ，ABC S ：1BDEC S =四边形：2，其中CB =DE 的长为（）AB ．C ．D ．68．小丽要把一篇文章录入电䐱，如图是录入时间y （分钟）与录字速度x （字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点()150,10．根据图象可知，下列说法不正确的是（）A ．这篇文章一共1500字B ．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟C ．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了20%，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务D ．小丽在19:20开始录入，要求完成录入时不超过19:35，则小丽每分钟至少应录入90字9．甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，二人同时从点B 出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍．当甲到达点E ，乙到达点F 时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点B 处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线BD 上，则CE 的长为（）A ．4mB ．8mC ．12mD ．16m10．如图，在Rt ABC 中，90ACB CE ∠=︒,是斜边AB 上的中线，过点E 作EF AB ⊥交AC 于点F ．若4,BC AEF =△的面积为5，则sin CEF ∠的值为（）A ．35B ．5C ．45D ．5二、填空题11．已知32x y =，则x yy -的值为．12．2tan 6045︒︒=．13．为了鼓励学生培养创新思维，某校为1000名学生各准备了一件创新作品盲盒，小星为了估计汽车模型盲盒的个数，对30位同学的盲盒统计，发现有9位同学抽中小汽车模型，由此可估计小汽车模型的总数为件．14．如图，点()4,2E -，()2,2F --，以O 为位似中心，将EFO △放大2倍，则点E 的对应点1E 的坐标是．15．如图，AD 是ABC V 的中线，AE EF FC BE ==，交AD 于点G ，则BGBE=．16．如图，在平面直角坐标系中，OAB △的边OA 在x 轴正半轴上，其中90OAB ∠=︒，AO AB =，点C 为斜边OB 的中点，反比例函数k y x=（0k >，0x >）的图象过点C 且交线段AB 于点D ，连接CD ，OD ，若3OCD S = ，则k 的值为．17．如图，四边形ABCD 是边长为5的正方形，点P 是BD 上一动点，以AP 为斜边在AP 边的右侧作等腰Rt APQ △，90AQP ∠=︒，连接DQ 、CQ ．则DQ 最小值为．三、解答题18．某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的直径为4．请补全三视图并求出该几何体的体积．19．如图，在ABC V 中，点D 、E 分别在边AC 、AB 上，2AB AD =，2AC AE =．若6BC =，求DE 的长．20．如图是两个可以自由转动的转盘A ，B ，A 转盘中数字1所对扇形区域的圆心角为90︒，B 转盘被分成面积相等的三个扇形，依次转动转盘A ，B ，当转盘停止后，若指针指向的两个区域的数字之和大于5，则甲获胜；否则乙获胜；如果落在分割线上，则需要重新转动转盘．(1)转动转盘B ，指向的数字为3的概率是________；(2)试用列表或画树状图的方法说明游戏是否公平．若公平，请说明理由；若不公平，谁获胜的可能性更大？21．在一次海上救援中，专业救助船B 接收到基地C 的指示，在专业救助船B 的正南方向上有一艘遇险渔船A 需要救援，现在已知专业救助船B 在基地C 的北偏西48.3︒的方向上，且相距20海里，遇险渔船A 在基地C 的南偏西30︒的方向上，若专业救助船B 以40海里/小时的速度前去救援，问能否在1小时内赶到救授位置？（结果保留整数，参考数崌：sin 48.30.75︒≈，cos 48.30.67︒≈，sin 78.30.98︒≈1.73≈）22．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶．其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场淍查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利43200元，同时尽可能让利于顾客，赢得市场，那么每千克茶叶应降价多少元？23．如图，是小明晚上散步回家的场景，图中线段AB 表示站在路灯左侧的小明，线段MN 表示直立在地面上的路灯，此时小明的影长BE 为0.8m ，当小明步行5.4m 至路灯右侧点D 处时，此时影长DF 为1m ，已知小明的身高为1.6m ，则路灯MN 的高为多少米？24．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数2y x=的图象与性质，其探究过程如下：(1)绘制函数图象，如图．列表：如表是x 与y 的几组对应值，其中m =________；描点：根据表中各组对应值(),x y ，在平面直角坐标系中描出了各点．连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象请你把图象补充完整．x…3-2-1-12-12123…y…231-24421m23…(2)通过观察图象，写出该函数的两条性质：①________；②________．(3)若点()1,P m 在函数2y x =的图象上，在函数2y x=的图象的第一象限内是否存在点Q ，使得OPQ △的面积为32，若存在求出Q 点的坐标，若不存在请说明理由．25．问题提出（1）如图1，四边形ABCD 为矩形，点E 为边BC 上的一点，连接AE ，过E 作EF AE ⊥交边CD 于点F ．若4AB =，3EC =，则BECF的值为________；问题探究（2）如图2，在矩形ABCD 中，6AB =，AD =Rt AEF 的直角顶点E 在边BC 上，顶点F 在边CD 上，若cos EAF ∠=CF 的长；问题解决（3）如图3，是四边形ABCD 是某科技园示意图，其中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，200m AD =，400m AB =，500m BC =，点F 是大门，300m CF =，现需要在边BC 上安装一个监控E ，对道路AD 、DF 进行全天监控，监控E 的角度为AEF ∠，且4tan 3AEF ∠=，监控E 是否存在符合要求的安装位置，若存在，请求出BE 的长；若不存在，请说明理由．。
2020-2021西安高新第一中学初中校区东区初级中学初三数学上期中试题(附答案)
2020-2021西安高新第一中学初中校区东区初级中学初三数学上期中试题(附答案)一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＞0 3．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣45．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①c ＞0；②若点B （32-，1y ）、C （52-，2y ）为函数图象上的两点，则12y y <； ③2a ﹣b=0； ④244ac b a-＜0，其中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．若α，β是一元二次方程x 2﹣x ﹣2018＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣2β+3的值为（ ）A ．2020B ．2019C ．2018D ．20177．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y ＝14x ﹣42（x ≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ） A ．252元/间 B ．256元/间 C ．258元/间 D ．260元/间8．在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，:BC 23=AB ， 5AC =，则AB =（ ）． A ．52B 10 C 5D 159．解一元二次方程 x 2﹣8x ﹣5＝0，用配方法可变形为（ ）A ．（x +4）2＝11B ．（x ﹣4）2＝11C ．（x +4）2＝21D ．（x ﹣4）2＝21 10．如图，已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b ＜0；③213a -≤≤-； ④248acb a ->；其中正确的结论是（ ）A．①③④B．①②③C．①②④D．①②③④11．用1、2、3三个数字组成一个三位数，则组成的数是偶数的概率是（）A．13B．14C．15D．1612．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AB=BC C．AC⊥BD D．AC=BD二、填空题13．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．若1211+x x＝﹣1，则k的值为_____．14．若关于x的方程x2＋2x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是_______.15．写出一个二次函数的解析式，且它的图像开口向下，顶点在y轴上______________ 16．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图11所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，则P，Q的大小关系是______．17．如图，矩形ABCD对角线AC、BD交于点O，边AB=6，AD=8，四边形OCED为菱形，若将菱形OCED绕点O旋转一周，旋转过程中OE与矩形ABCD的边的交点始终为M，则线段ME的长度可取的整数值为___________________．18．有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．19．如图所示过原点的抛物线是二次函数2231y ax ax a=-+-的图象，那么a的值是_____．20．一元二次方程x2=3x的解是：________．三、解答题21．（1）解方程：x2﹣2x﹣8=0；（2）解不等式组3(2)1 112x xx--<⎧⎪⎨-<⎪⎩22．“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“卓黑宝”的种植面积达到196亩.（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？23．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣2x+80（20≤x≤40），设这种健身球每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，4OC=，42AC=．(1)求点O到AC的距离；(2)求ADC∠的度数．25．我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件.设每件童装降价x元(0)x >时，平均每天可盈利y 元．()1写出y 与x 的函数关系式；()2当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？()3该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠AOD 即可解决问题．【详解】解：∵∠AOD=2∠ACD ，∠ACD=25°，∴∠AOD=50°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°，故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，2．B解析：B【解析】【分析】利用抛物线开口方向确定a 的符号，利用对称轴方程可确定b 的符号，利用抛物线与y 轴的交点位置可确定c 的符号．【详解】∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴x ＝﹣2b a＞0， ∴b ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．3．B解析：B【解析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A 、C 、D 都不是中心对称图形，只有B 是中心对称图形.故选B.4．D解析：D【解析】试题分析：抛物线y=x 2+2x ﹣3与x 轴的两交点横坐标分别是﹣3、1；抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1．选项A ，无法确定点A 、B 离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y 1与y 2的大小，该选项错误；选项B ，无法确定点A 、B 离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y 1与y 2的大小，该选项错误；选项C ，y 的最小值是﹣4，该选项错误；选项D ，y 的最小值是﹣4，该选项正确．故答案选D.考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．5．B解析：B【解析】【分析】【详解】∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，①正确；∵对称轴为直线x=﹣1，∴x ＜﹣1时，y 随x 的增大而增大，∴y 1＞y 2②错误；∵对称轴为直线x=﹣1， ∴﹣2b a=﹣1， 则2a ﹣b=0，③正确；∵抛物线的顶点在x 轴的上方，∴244ac b a-＞0，④错误； 故选B.6．B解析：B【解析】【分析】根据方程的解的定义及韦达定理得出α+β=1、α2-α=2018，据此代入原式=α2-α-2（α+β）+3计算可得．【详解】解：∵α，β是一元二次方程x 2﹣x ﹣2018＝0的两个实数根，∴α+β＝1、α2﹣α＝2018，则原式＝α2﹣α﹣2（α+β）+3＝2018﹣2+3＝2019，故选：B ．【点睛】考查根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理及方程的解的定义和整体代入思想的运用．7．B解析：B【解析】【分析】根据：总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．【详解】设每天的利润为W 元，根据题意，得：W=（x-28）（80-y ）-5000()128804245000x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎭ 2112984164x x =-+- ()2125882254x =--+， ∵当x=258时，12584222.54y =⨯-=，不是整数， ∴x=258舍去，∴当x=256或x=260时，函数取得最大值，最大值为8224元，又∵想让客人得到实惠，∴x=260（舍去）∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元． 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．8．B解析：B【解析】【分析】 依题意可设2=AB x ，3BC x =，根据勾股定理列出关于x 的方程，解方程求出x 的值，进而可得答案.【详解】解：如图，设2=AB x ，3BC x =，根据勾股定理，得：222325+=x x ，解得5x =，∴10AB =.故选B.【点睛】本题考查了勾股定理和简单的一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握勾股定理是解题的关键.9．D解析：D【解析】【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．【详解】解：∵x 2-8x=5，∴x 2-8x+16=5+16，即（x-4）2=21，故选D ．【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程的能力，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．10．B解析：B【解析】【分析】①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当x ＞3时，y ＜0，故①正确；②抛物线开口向下，故a ＜0，∵12b x a=-=，∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a ＜0，故②正确；③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则223y ax ax a =--，令x=0得：y=﹣3a ．∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴233a ≤-≤．解得：213a -≤≤-，故③正确； ④．∵抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由248acb a ->得：248ac a b ->，∵a ＜0，∴224b c a -<，∴c ﹣2＜0，∴c ＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误． 【详解】解:①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当x ＞3时，y ＜0，故①正确；②抛物线开口向下，故a ＜0， ∵12b x a=-=， ∴2a+b=0． ∴3a+b=0+a=a ＜0，故②正确；③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则223y ax ax a =--，令x=0得：y=﹣3a ．∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴233a ≤-≤． 解得：213a -≤≤-， 故③正确；④．∵抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由248ac b a ->得：248ac a b ->，∵a ＜0， ∴224b c a-<， ∴c ﹣2＜0，∴c＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误．故选B．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系,结合图像,数形结合的思想的运用是本题的解题关键.．11．A解析：A【解析】【分析】【详解】解：用1，2，3三个数字组成一个三位数的所有组合是：123，132，213，231，312，321，是偶数只有2个，所以组成的三位数是偶数的概率是13；故选A．12．D解析：D【解析】【分析】四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．【详解】添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选D．【点睛】考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．二、填空题13．【解析】【分析】利用根与系数的关系结合＝﹣1可得出关于k的方程解之可得出k的值由方程的系数结合根的判别式△＞0可得出关于k的不等式解之即可得出k的取值范围进而可确定k的值此题得解【详解】∵关于x的一解析：【解析】【分析】 利用根与系数的关系结合1211+x x ＝﹣1可得出关于k 的方程，解之可得出k 的值，由方程的系数结合根的判别式△＞0可得出关于k 的不等式，解之即可得出k 的取值范围，进而可确定k 的值，此题得解．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k +3）x +k 2＝0的两根为x 1，x 2，∴x 1+x 2＝﹣（2k +3），x 1x 2＝k 2， ∴1211+x x ＝1212x x x x +＝﹣223k k+＝﹣1， 解得：k 1＝﹣1，k 2＝3．∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k +3）x +k 2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（2k +3）2﹣4k 2＞0，解得：k ＞﹣34， ∴k 1＝﹣1舍去．∴k =3.故答案为：3．【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练运用根与系数的关系及根的判别式是解决问题的关键.14．【解析】【分析】根据方程没有实数根得出判别式小于0列出关于m 的不等式求解即可【详解】∵关于x 的方程x2＋2x ＋m ＝0没有实数根∴解得：故填：【点睛】本题主要考查根的判别式和解一元一次不等式熟练运用根 解析：1m >【解析】【分析】根据方程没有实数根得出判别式小于0，列出关于m 的不等式求解即可.【详解】∵关于x 的方程x 2＋2x ＋m ＝0没有实数根∴2=240m ∆-<解得：1m >故填：1m >.【点睛】本题主要考查根的判别式和解一元一次不等式，熟练运用根的判别式进行根的情况的判断是关键.15．【解析】【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足由此举例得出答案即可【详解】解：设所求二次函数解析式为：∵图象开口向下∴∴可取∵顶点在轴上∴对称轴为∴∵顶点的纵坐标可取任意实数∴取任意实数∴可取∴二 解析：2y x =-【解析】【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足0a <、02b a -=，由此举例得出答案即可． 【详解】解：设所求二次函数解析式为：2y ax bx c =++∵图象开口向下∴0a <∴可取1a =-∵顶点在y 轴上 ∴对称轴为02b x a =-= ∴0b =∵顶点的纵坐标可取任意实数∴c 取任意实数∴c 可取0∴二次函数解析式可以为：2y x =-．故答案是：2y x =-【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，涉及到的知识点有：二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2b x a =-；当0a >时，抛物线开口向上、当0a <时，抛物线开口向下；二次函数的图象与y 轴交于()0,c ．16．P ＞Q 【解析】∵抛物线的开口向下∴a＜0∵∴b＞0∴2a -b ＜0∵∴b+2a=0x=-1时y=a-b+c ＜0∴∴3b -2c ＞0∵抛物线与y 轴的正半轴相交∴c ＞0∴3b+2c＞0∴P=3b -2cQ=b解析：P ＞Q【解析】∵抛物线的开口向下，∴a ＜0， ∵02b a-> ∴b ＞0，∴2a-b ＜0， ∵02b a-= ∴b+2a=0， x=-1时，y=a-b+c ＜0． ∴102b bc --+< ∴3b-2c ＞0， ∵抛物线与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，∴3b+2c ＞0，∴P=3b-2c ，Q=b-2a-3b-2c=-2a-2b-2c ，∴Q-P=-2a-2b-2c-3b+2c=-2a-5b=-4b ＜0∴P ＞Q ，故答案是：P ＞Q ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，去绝对值，二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键．17．345【解析】【分析】连接OE 交CD 与点M 根据矩形与菱形的性质由勾股定理求出OE 的长在旋转过程中求出OM 的取值范围进而得出ME 的取值范围进而求解【详解】如图连接OE 交CD 与点M∵矩形ABCD 对角线A解析：3，4，5【解析】【分析】连接OE 交CD 与点M ，根据矩形与菱形的性质，由勾股定理求出OE 的长，在旋转过程中，求出OM 的取值范围，进而得出ME 的取值范围，进而求解．【详解】如图，连接OE 交CD 与点M ，∵矩形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，边AB=6，AD=8，∴90BAD ︒∠=，OA OB OC OD ===，∴由勾股定理知，10BD =，∴5OA OB OC OD ====，∵四边形OCED 为菱形，∴OE CD ⊥，132DM CD ==， ∴由勾股定理知，4OM =，即8OE =，∵菱形OCED 绕点O 旋转一周，旋转过程中OE 与矩形ABCD 的边的交点始终为M ， ∴当OE AD ⊥或OE BC ⊥时，OM 取得最小值3，当OE 与OA 或OB 或OC 或OD 重合时，OM 取得最大值5，∴35OM ≤≤，∵8OE =，∴35ME ≤≤，∴线段ME 的长度可取的整数值为3，4，5，故答案为：3，4，5．【点睛】本题考查矩形与菱形的性质，勾股定理，旋转的性质，将求ME 的取值范围转化为求OM 的取值范围是解题的关键．18．【解析】【分析】根据题意使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目根据概率的计算方法计算可得答案【详解】根据题意从有4根细木棒中任取3根有234；345；23 解析：34【解析】【分析】根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．【详解】根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得P=34. 故其概率为：34． 【点睛】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19．-1【解析】∵抛物线过原点∴解得又∵抛物线开口向下∴解析：-1【解析】∵抛物线2231y ax ax a =-+-过原点，∴210a -=，解得1a =±，又∵抛物线开口向下，∴1a =-. 20．x1=0x2=3【解析】【分析】先移项然后利用因式分解法求解【详解】x2=3xx2-3x=0x(x-3)=0x=0或x-3=0∴x1=0x2=3故答案为：x1=0x2=3【点睛】本题考查了解一元二次解析：x1=0，x2=3【解析】【分析】先移项，然后利用因式分解法求解．【详解】x2=3xx2-3x=0，x(x-3)=0，x=0或x-3=0，∴x1=0，x2=3．故答案为：x1=0，x2=3【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解三、解答题21．（1）x=﹣2或x=4；（2）52＜x＜3【解析】【分析】（1）用因式分解法求解；（2）分别求不等式，再确定公共解集．【详解】解：（1）∵（x+2）（x﹣4）=0，∴x+2=0或x﹣4=0，解得：x=﹣2或x=4；（2）解不等式x﹣3（x﹣２）＜1，得：x＞52，解不等式12x＜1，得：x＜3，∴不等式组的解集为52＜x＜3．【点睛】考核知识点：解一元二次方程方程，解不等式组．掌握解不等式组和一元二次方程的基本方法是关键．22．（1）该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%.（2）售价应降低3元【解析】【分析】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x ，根据题意列出关于x 的一元二次方程，求解方程即可；（2）设售价应降低y 元，则每天售出（200+50y ）千克，根据题意列出关于y 的一元二次方程，求解方程即可.【详解】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x ，根据题意得2100(1)196x +=解得10.440%x ==，2 2.4x =-（不合题意，舍去）答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%.（2）设售价应降低y 元，则每天可售出(20050)y +千克根据题意，得(2012)(20050)1750y y --+=整理得，2430y y -+=，解得11y =，23y =∵要减少库存∴11y =不合题意，舍去，∴3y =答：售价应降低3元.【点睛】本题考查一元二次方程与销售的实际应用，明确售价、成本、销量和利润之间的关系，正确用一个量表示另外的量然后找到等量关系是列出方程的关键.23．（1）w 与x 的函数关系式为w=-2x 2+120x-1600.（2）销售单价定为30元时,每天销售利润最大,最大销售利润200元.（3）该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润,销售单价定为25元.【解析】试题分析：（1）用每件的利润()20x -乘以销售量即可得到每天的销售利润，即()()()2020280w x y x x =-=--+，然后化为一般式即可；（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式()2230200y x =--+，然后根据二次函数的最值问题求解；（3）求函数值为150所对应的自变量的值，即解方程()2230200150x --+=，然后利用销售价不高于每件28元确定x 的值．试题解析：（1）根据题意可得：()20w x y =-⋅, ()()20280x x =--+,221201600x x =-+-，w 与x 之间的函数关系为：221201600w x x =-+-；（2）根据题意可得：()2221201*********w x x x =-+-=--+，∵20-<，∴当30x =时，w 有最大值，w 最大值为200.答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.（3）当150w =时，可得方程()2230200150x --+=.解得1225,35x x ==，∵3528>，∴235x =不符合题意，应舍去.答：该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润，销售单价定为25元.24．(1)22；(2)135°． 【解析】【分析】（1）作OM ⊥AC 于M ，根据等腰直角三角形的性质得到AM=CM=22，根据勾股定理即可得到结论；（2）连接OA ，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC=∠MCO=45°，求得∠AOC=90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．【详解】(1)作OM AC ⊥于M ，∵42AC =，∴22AM CM ==，∵4OC =，∴2222OM OC MC =-=；(2)连接OA ，∵OM MC =，090OMC ∠=，∴045MOC MCO ∠=∠=，∵OA OC =，∴045OAM ∠=，∴090AOC ∠=，∴045B ∠=，∵0180D B ∠+∠=，∴0135D ∠=．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25．（1）2220400y x x =-++；（2）10元：（3）不可能，理由见解析【解析】【分析】()1根据总利润=每件利润⨯销售数量，可得y 与x 的函数关系式；()2根据()1中的函数关系列方程，解方程即可求解；()3根据()1中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得．【详解】解：()1根据题意得，y 与x 的函数关系式为()()22026040220400y x x x x =+--=-++； ()2当400y =时，2400220400x x =-++，解得110x =，20(x =不合题意舍去)．答：当该专卖店每件童装降价10元时，平均每天盈利400元；()3该专卖店不可能平均每天盈利600元．当600y =时，2600220400x x =-++，整理得2101000x x -+=，2(10)411003000=--⨯⨯=-<Q V ，∴方程没有实数根，答：该专卖店不可能平均每天盈利600元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用、一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键．。
2022-2023学年陕西省西安市雁塔区高新一中九年级(上)期中数学试卷
2022-2023学年陕西省西安市雁塔区高新一中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，计30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x2+1＝0B．2x﹣＝0C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣3D．2x﹣10y＝02．（3分）下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（）A．B．C．D．3．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，可变形为（）A．（x+3）2＝16B．（x﹣3）2＝16C．（x+3）2＝2D．（x﹣3）2＝24．（3分）已知△ABC的三边长分别为6cm，8cm，9cm，△DEF的两边长分别为12cm，18cm，若这两个三角形相似，则△DEF的第三条边长是（）A．14cm B．16cm C．21cm D．27cm5．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB ＝5：3，那么CF：BF的值为（）A．5：3B．3：8C．3：5D．3：26．（3分）4件外观相同的产品中只有1件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的概率是（）A．B．C．D．7．（3分）如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD 沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（）A．0.618B．C．D．28．（3分）在△ACB中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A．B．C．D．9．（3分）设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+3a+2b的值为（）A．2020B．2021C．2022D．202310．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝6．现分别作△ABC的内接矩形P1Q1M1N1，P2Q2M2N2，P3Q3M3N3，设这三个内接矩形的周长分别为c1、c2、c3，则c1+c2+c3的值是（）A．18B．18C．18+9D．36二、填空题（每小题3分，计21分）11．（3分）若a：b：c＝1：3：5，则＝．12．（3分）我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．”意思是一块田是矩形，矩形面积为864m2，长比宽多12m，如果设宽为xm，则列出的方程为．13．（3分）如图是康康的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为10cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.65左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为cm2．14．（3分）在比例尺为1：40000的地图上，某经济开发区的面积为20cm2，那么，该经济开发区的实际面积为km2．15．（3分）有一个底面为正三角形的直三棱柱，三视图如图所示，则这个直棱柱的体积为．16．（3分）如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格中，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点是小正方形的顶点），若以格点P，A，B为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外），则格点P的坐标是．17．（3分）如图，已知平行四边形ABCD的面积为24，以B为位似中心，作平行四边形ABCD的位似图形平行四边形EBFG，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG．则△ADG的面积为．三、解答题（共8小题，计69分）18．（8分）（1）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0（公式法）；（2）解方程3x（x﹣2）＝2x﹣4（因式分解法）．19．（7分）美术张老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把几何体放置在桌面，小聪同学已经画出了它的主视图，请你帮助她完成这个几何体的其它视图．20．（7分）从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中选择了地理，则她选择生物的概率是多少；（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图或者列表的方法求他在“2”中选化学、生物的概率．21．（7分）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋，一天，小明和小刚去青龙守游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆EF，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC＝1.6米；然后，小明在地面上放一个镜子，恰好在G处时，小刚刚好能从镜子里看到树的顶端B．已知EF＝3.2米，CF＝3米，CG＝2米，点小C、F、G在一条直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，AB⊥AC．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树AB的高度．22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2m﹣4＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．23．（10分）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？24．（10分）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上的一个动点（不与点A，B重合），以CD为边作等边△EDC，AC与DE交于点F，连接AE．（1）求证：△ADF∽△BCD；（2）若AB：BD＝5：2，且AB＝20，求△ADF的面积．25．（12分）问题提出：（1）数学课本上有这样一道题目：如图①，一块材料的形状是锐角△ABC，边BC＝60cm，高AD＝40cm．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？初步探究：（2）李华同学通过探究发现，如果要把△ABC按照图②加工成三个相同大小的正方形零件，△ABC的边BC与高AD需要满足一定的数量关系，则这一数量关系是：.（直接写出结论，不用说明理由）深入探究：（3）若△ABC可以按照图③加工成四个大小相同的正方形，且∠B＝30°，试探究△ABC的边BC与边AB之间满足的数量关系，并说明理由．参考答案一、选择题（每小题3分，计30分）1．A；2．B；3．B；4．B；5．C；6．B；7．B；8．C；9．A；10．D；二、填空题（每小题3分，计21分）11．﹣；12．x（x+12）＝864；13．65；14．3.2；15．8；16．（1，4）或（3，4）；17．4；三、解答题（共8小题，计69分）18．（1）x1＝，x2＝；（2）x1＝2，x2＝．；19．见解答．；20．（1）；（2）．；21．这棵樱花树AB的高度为8m．；22．；23．（1）20%；（2）4元．；24．（1）证明见解析；（2）．；25．AD＝BC。
江苏省苏州市高新区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
江苏省苏州市高新区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知一组数据：2，3，2，5，2，2，4，这组数据的众数是（）A ．2B ．3C ．4D ．52．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标为()A ．()1,2-B ．()1,2C ．()1,2-D ．()2,13．关于x 的一元二次方程2x a =的一个根是2-，则另一个根为()A ． 4-B ．2-C ．2D ．44．袋子里有8个红球，m 个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m 的值不可能是（）A ．1B ．3C ．5D ．105．将抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的图象向右平移3个单位，下列说法正确的是（）A ．对称轴没有改变B ．顶点坐标没有改变C ．开口方向改变了D ．函数最值没有改变6．某校学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面进行，五方面按3:2:2:2:1确定最终成绩．小明同学本学期五方面得分如图所示，则小明期末操行最终得分为（）A ．9B ．9.1C ．45D ．917．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？依题意得，长比宽多（）步A ．15B ．12C ．9D ．68．函数22||3y x x =-++的自变量x 的取值范围为全体实数，其中0x ≥部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于y 轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当1x <-时，y 随x 的增大而增大；④当34m <<时，关于x 的方程22||3x x m -++=有4个实数根．其中正确的结论个数是（）A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题11．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：2 2.1S =甲，2 3.5S =乙，2S 丙或丙或丁）12．若一元二次方程2x -13．已知二次函数(y m =14．校生物小组有一块长两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，三、解答题17．()()421321x x x +=+．18．已知关于x 的方程2(2)10x m x m -++-=，求证：无论m 取何值，方程恒有两个不相等的实数根．19．已知二次函数223y x x =--的图象与x 轴负半轴交于点A ，点B 为抛物线的顶点，点(4,)C m 是抛物线上一点．(1)求m 的值；(2)求ABC 的面积．20．在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的14000元/平方米下降到12月份的11340元/平方米．(1)求11、12两月平均每月降价的百分率是多少？(2)如果房价继续回落，按此降价的白分率，你预测到今年2月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/平方米？请说明理由．21．有同型号的A ，B 两把锁和同型号的a ，b ，c 三把钥匙，其中a 钥匙只能打开A 锁，b 钥匙只能打开B 锁，c 钥匙不能打开这两把锁．(1)从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c 钥匙的概率等于___________；(2)从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．22．第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生．为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n 名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x 表示）：A ：7075x ≤<，B ：7580x ≤<，C ：8085x ≤<，D ：8590x ≤<，E ：9095x ≤<，F ：95100x ≤≤，并绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：已知八年级测试成绩D 组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88请根据以上信息，完成下列问题：(1)n ＝______，a ＝______；(2)八年级测试成绩的中位数是______﹔(3)若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由．23．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m ，跨度为12m ．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．(1)求这条抛物线的解析式．(2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？24．阅读材料，回答下列问题：阿尔·花拉子米（约780—约850），著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程22350x x +-=的一个正根．他的构思为：将边长为x 的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为x ，宽为1，拼合在一起面积就是22211x x +⋅⋅+，即221x x ++，而由原方程22350x x +-=变形得221351x x ++=+，即边长为1x +的正方形面积为36．所以2(1)36x +=，则5x =．(1)上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的________．A ．直接开平方法B ．公式法C ．配方法D ．因式分解法(2)他所用的最主要数学思想方法是________．A ．分类讨论思想B ．数形结合思想C ．转化思想D ．整体思想(3)运用上述方法构造出符合方程2670x x +-=的一个正根的正方形．（画出拼接的正方形并求出正根）25．如图，利用135︒的墙角修建一个梯形ABCD 的储料场，其中BC CD ∥，并使90C ∠=︒，新建墙BC 上预留一长为2米的门EF ．如果新建墙BE FC CD --总长为16米，设CD 的长为x 米．(1)边AD 的长（x 的代数式表示）；(1)求(,)L A B ；(2)求抛物线1y 的表达式；(3)已知22y tx =是该坐标系内的一个一次函数．若且4DE =，求CDE 面积的最大值．。