2014年自主招生数学模拟试题(北约联盟)
2014自主招生部分题目收集与比较
第一部分：北约联盟第2题：10个人分成3组（3、3、4），共有____种分法。
A.1070 B.2014 C.2100 D.4200.解：43106222100C C A =（种）。
（这里有平均分组问题）。
在今年寒假讲义ppt 第十三讲337页重点讲了排列组合中的“平均分组”问题：2006全国2卷12题：5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有：（A ）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种解：分两种情况：2、2、1；3、1、1。
2231335352332222150C C C C A A A A +=第5题： ,x y 均为负实数，且1x y +=-，那么1xy xy+有_______。
A. 最大值174 B 最小值174 C 最小值174- D 最大值174- 解：设,,1a x b y a b =-=-∴+=，14ab ≤211117,()224ab xy ab xy ab≥+=-+≥ 或直接取12x y ==-，得1174xy xy +=，又13,.44x y =-=-，得31626517163484+=>，故选A2014寒假讲义第十讲 ppt 第257页：2013年暑假讲义ppt 第259页：第7题. 证明：0tan3是无理数证明：反证法：假设0tan3Q ∈，因为0,,tan 61x yx y Q Q xy+∈=∈- 所以0000tan6,tan12,tan 24,tan30,Q Q Q Q ∈∈∈∈矛盾。
例：（2009年北京大学）是否存在实数x 使得tan 3x +与cot 3x +为有理数解：假设存在实数0x 使得0tan 3x +与0cot 3x +为有理数，由0tan 3x +为有理数，可知存在既约分数qp ，使得0tan 3q x p +=由0cot 3x +为有理数，可知存在既约分数nm，使得0cot 3n x m+=削去得(3)q p -(3)1n m-=，即3()2pn mq qn mp +=+所以3()pn mq +是有理数，则20pn mq qn mp +=+=解得222q p =，从而q 必为偶数，可设2q k =，于是222p k =即p 为偶数，这与q p为既约分数矛盾，所以假设不能成立，讲完这个例题后，还进行了变式训练：证明2是无理数，特别强调有理数的四则运算仍是有理数，任何一个有理数都可设成qp的形式。
2014北约自主招生试题及答案
2014北约自主招生试题及答案2014年北约自主招生试题及答案2014年北约自主招生试题及答案一、选择题在下列各题中，选出一个最佳答案，并将答题卡上对应的字母涂黑。
1. 以下哪个国家不是北约成员国？A. 美国B. 俄罗斯C. 英国D. 德国答案：B2. 北约的成立目的是什么？A. 经济合作B. 维护世界和平C. 扩大版图D. 提供军事援助答案：B3. 2014年北约峰会在哪个国家举行？A. 美国B. 德国C. 波兰D. 英国答案：C4. 北约总部位于哪个城市？A. 华盛顿DCB. 巴黎C. 伦敦D. 布鲁塞尔答案：D5. 北约的官方语言是：A. 英语B. 法语C. 西班牙语D. 俄语答案：A二、填空题根据题目要求，填写相应的信息。
6. 北约成立于______年。
答案：19497. 北约自主招生试题设有______个答题科目。
答案：58. 北约成员国中，以______为人口最多。
答案：美国9. 北约的基本原则之一是______。
答案：集体防御10. 北约的秘书长在任期内为期______年。
答案：4三、简答题根据问题要求，用简洁明确的语言回答。
11. 简述北约的主要任务是什么？答案：北约的主要任务是维护成员国的安全和稳定，促进地区和平与发展，以及加强国际安全合作。
12. 分析一下北约成立的背景和原因。
答案：北约成立的背景是第二次世界大战后世界政治格局的变化，以及西方国家面临的共产主义威胁。
北约的成立旨在通过加强军事合作和集体防御，来对抗苏联及其盟友。
13. 北约如何保障成员国的安全？答案：北约通过军事援助、军事演习、情报共享等多种方式来保障成员国的安全。
成员国之间承诺，在遭受武装攻击时给予援助和支持。
14. 请列举北约的核心价值观。
答案：北约的核心价值观包括：民主、自由、法治、人权以及民主的市场经济原则。
15. 请简要介绍一下北约自主招生考试的内容和目的。
答案：北约自主招生考试分为5个科目，测试考生在北约相关知识、国际安全、国际关系等方面的理解和能力。
华约、北约、卓越2014大学自主招生模拟试题三数学含详细解答
4 1 三.求证：16< Σ <17． i=1 k 四.)设 l，m 是两条异面直线，在 l 上有 A，B，C 三点，且 AB=BC，过 A，B，C 7 分别作 m 的垂线 AD， BE， CF， 垂足依次是 D， E， F， 已知 AD= 15， BE=2CF= 10， 求 l 与 m 的距离． 五.设 n 是自然数，fn(x)= xn+1－x－n－1 1 (x0，± 1)，令 y=x+ x． －1 x－x
n 1 n－2 n－1 i i n－i n－2i n 1 n－2 n－1 i i n－i
n
模拟三 一 1. 解 ： y=((n+1)x － 1)(nx － 1) ， ∴ 1 1 |AnBn|= n － n+1 ， 于 是
1992 |A1B1|+|A2B2|++|A1992B1992|=1993，选 B． 2. 解：(x 1－y2)=0 表示 y 轴右边的半圆，(y+ 1－x2)=0 表示 x 轴下方的半圆， 故选 D． 4 4 4 3. 解： Σ Si≤4S，故 Σ Si≤4，又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时， Σ i=1 i=1 i=1 Si 接近 2S，故选 A． 4. 解： x2=4x－4． 根为 x=2． ∴ C=2A， B=180° －3A， sinB=2sinA． sin3A=2sinA， 2 3－4sin A=2．A=30° ，C=60° ，B=90° ．选 B． 2z1 π π 1 3 5. 解： z =cos3± isin3．∴ |z2|=8，z1、z2 的夹角=60° ．S=2· 4· 8·2 =8 3．选 A． 2 6. 解：f(20－x)=f[10+(10－x)]=f[10－(10－x)]=f(x)=－f(20+x)． ∴ f(40+x)=f[20+(20+x)]=－f(20+x)=f(x)．∴ 是周期函数；
20142015重点高中自主招生数学试题及答案.doc
2014-2015重点高中自主招生数学模拟试题一．选择题（每小题5分，共40分）1.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ D ）A．2π+B ．83πC ．4πD．2π2.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数xy 1=在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721=+y y ，3512=-x x . 则=∆AOB S （ B ） A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 141323.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（ ）A ．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 0083.设2 015个整数为1x ，2x ，…，2015x .记1x +2x +…+2015x =M.不妨设M-i x =i （i =1，2，…，2014），M-2015x =A.则2014M=1+2+…+2014+A.故A 除以2014的余数为1007.从而，A=1007，M=1008.当i x =1008-i （i =1，2，…，2014），2015x =1时取到.4.有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为 ( D )A. 521.B. 27.C. 13D. 8214、解 从10个球中取出4个，不同的取法有410C 210=种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取4个编号，有45C 种选法.对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以取出的球的编号互不相同的取法有445C 280⋅=种.因此，取出的球的编号互不相同的概率为80821021=. 故选（D ）.5. 使得381n+是完全平方数的正整数n 有 （ B ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2 2 2侧（左）视222正（主）视俯视图.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5、解 当4n ≤时，易知381n +不是完全平方数.故设4n k =+，其中k 为正整数，则38181(31)n k +=+.因为381n +是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数x ，使得231k x +=，即231(1)(1)k x x x =-=+-，故1,1x x +-都是3的方幂.又两个数1,1x x +-相差2，所以只可能是3和1，从而2,1x k ==.因此，存在唯一的正整数45n k =+=，使得381n +为完全平方数.故选（B ）.6.如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，C D ⊥AB 于D ，AD=9，BD=4，以C 为圆心，CD 为半径的圆与⊙O 相交于P,Q 两点，弦PQ 交CD 于E ，则PE •EQ 的值是（ D ）A ．24 B. 9 C. 36 D. 277.已知实系数一元二次方程x 2+(1+a)x+a+b+1=0的两实根为x 1,x 2,且0 ＜x 1＜1，x 2＞1，则ab 的取值范围（ ） A -1＜a b 21-≤ B -1＜a b ＜21- C -2＜a b 21-≤ D -2＜a b ＜21-8. 图中正方形ABCD 边长为2，从各边往外作等边三角形ABE 、BCF 、CDG 、DAH ，则四边形AFGD 的周长为 ( )A.4+26+22B. 2+26+22C. 4+23 +42 D ．4+23+42 二．填空题（每小题6分，共36分） 9.设由1～8的自然数写成的数列为1a ，2a ，…，8a .则21a a -+32a a -+43a a -+54a a -+65a a -+76a a -+87a a -+18a a -的最大值为32 .由题意记S=21a a -+32a a -+43a a -+54a a -+65a a -+76a a -+87a a -+18a a -. 该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大的可能值，只须由1～4取负，由5～8取正，于是，S=2[（8+7+6+5）-（4+3+2+1）]=32.如48-+74-+17-+51-+25-+62-+36-+83-=32.10.记[]x 表示不超过实数x 的最大整数，a k =⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 2014(k=1,2,,Λ100,则在这100个整数中，不同的整数的个数为 6911.设非负实数x,y,z 满足x+y+z=1,则t=29x ++24y ++21z +12．如图所示，线段OA = OB = OC =1，∠AOB = 60º，∠B OC = 30º，以OA ，OB ，OC 为直径画3个圆，两两的交点为M ，N ，P ，则阴影部分的曲边三角形的面积是 ．解：如图，连接AC ，AN ，BN ，AM ，BM ， MP ，NP ，OM ，ON ，OP ，易知∠OP A =∠OPC =90º，∠ANO =∠BNO = 90º，∠BMO =∠CNO = 90º，所以A ，P ，C 共线；A ，N ，B 共线；B ，M ，C 共线．由OA =OB =OC =1，可知P ，M ，N 分别是AC ，BC ，AB 的中点，MPNB 为平行四边形，BN =MP ，BM =NP ，所以»BN与»MP 长度相等，¼BM 与»NP 长度相等，因此， 曲边三角形MPN 的面积= S MPNB =12S △ABC ， 而 S △ABC = S AOCB – S △AOC = S △AOB + S △BOC – S△AOC 1142-所以，曲边三角形MPN 的面积=12S △ABC 13. 将一个44⨯棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则 有 不同的染法.（用数字作答）解：第一行染2个黑格有24C 种染法.第一行染好后，有如下三种情况： （1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有24C 种染法，第四行的染法随之确定； （3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定. 因此，共有染法为()9024616=⨯++⨯种.填90.14.圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周顺时针滚动。
一道北约自招试题的解法与源流研究
摇 摇 摇 n … ·姨 姨 2 +x1x2…xn 姨 姨 2 ·姨 姨 2 · =
姨∏
i=1
n
n
（ 姨 2 +x） i
摇
姨
n i=1
i=1
∏
姨2 摇 姨 2 +xi
摇
≤
i ∑ ,i ∑ , i ∑ ,
m α1 m α2 m
ai ·
1
… · ai ·
2
Holder不等式）．实际 ai （
n
i=1
i=1
i=1 摇 摇 n 摇 摇 摇 摇 摇
摇
1 n
n i=1
（ ∑ln 姨 2 +e
n i=1 摇
摇
）≥ln （ 姨 2 +e n
摇
摇
1
n
∑a
i=1
i
）=ln （ 姨 2 +1），从
n i=1 摇
摇
而 ln ∏ （ （ （姨 2 +xi）≥ 姨 2 +e a ）≥ln 姨 2 +1）n，即 ∏
i
（ 姨 2 +1）n．
摇
（ （ （ 较 （ 姨 2 +1） 姨 2 +x1xn）与 姨 2 +x1） 姨 2 +xn）的大小， 而（姨 2 +1） （姨 2 +x1xn） （姨 2 +x1） （姨 2 +xn） = 1+x1xn-x1-xn）= 姨 2（ 1-x1） （ 1-xn）≤0，即∏ （ 姨 2（ 姨2
i=1 摇 摇 n 摇 摇 摇 摇 摇
n
n
+xi）≥ （ 姨 2 +1）n圳
n
2014年北约自主招生数学试题评析
所以底面半径为 1 ， 底面面积为 π， 故圆锥的 表面积为 6 π + π = 7 π 2 排练 组 合 基 础 题 型，部 分 均 匀 的 分 组 题2 10 个人分成 3 组， 一组 4 人， 两组 问题 每组各 3 人， 求共有几种分法？ 解： 部分均匀的分组问题： 分法为：
3 3 C4 10 C 6 C 3 = 2100 种 A2 2
2014 年第 2 期
河北理科教学研究
考试指导
2014 年北约自主招生 数学试题评析
山东省滕州市第一中学新校 试题综述： 2014 年高水平大学自主选拔学业能力 ）、 2014 年综合大学自主 测试（ 俗称“华约 ” ）、 2014 选拔录取招生联合考试 （ 俗称“北约 ” 年卓越人才培养合作高校联合自主选择录取 （ 俗称 “卓越 ” ） 三大高校联盟自主招生考试 落下帷幕． 从 2002 年以来， 自招走过了十几 年的风雨， 三大联盟试题整体难度趋于稳定 ， “三分之一高考， 维持着 三分之一边缘， 三分 之一略超纲" 的基本难度． 2014 年北约试卷的结构和 2013 年保持 都是 6 道选择加上 4 道解答． 选择题（ 1 一致， ～ 6 题） 偏常规， 难度不高， 大致相当于高考 中等或稍难一点的题目难度． 只是在个别题 目上考查学生是否有开放的数学思想， 比如 关于反三角函数的认知 （ 第 6 题 ） ． 其他的选 比如空间几何体 择题也基本属于高考难度， 的表面积问题（ 第一题 ） ， 排列组合中的分组 分配问题（ 第二题 ） ． 解答题 （ 7 ～ 10 题 ） 保持 了一定难度． 问题往往来源于一些很基本的 数学常识 （ 比如 tan3° 是无理数 ） ， 要求学生 ， 给出证明 实际上是对学生分析问题解决问 题能力的考查， 不强调复杂的计算， 但是要给 ， 出合理证明 则要求学生有一定的数学素养． 考题详析： 1 考查空间几何体表面积问题， 难度很低， π 的扇形面积为 6 π， 求 3 有利于稳定考生情绪 题1 圆心角为 张 彬 277500
2014北约自主招生数学试题及解答
2014年北约自主招生数学试题1.圆心角为60 的扇形面积为6π,求它围成的圆锥的表面积.2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法.3.如果2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ,求a 的取值范围.4.设2()2()()33a b f a f b f ++=,且(1)1,(4)7f f ==,求(2014)f .5.已知1x y +=-且,x y 都是负数,求1xy xy+的最值.6.已知22()arctan 14x f x c x +=+-在11(,)44-上是奇函数,求c .7.证明tan3 是无理数.8.已知实系数二次函数()f x 与()g x 满足3()()0f x g x +=和()()0f x g x -=都有双重实根,如果已知()0f x =有两个不同的实根,求证()0g x =没有实根.9.1213,,,a a a 是等差数列,{|113}i j k M a a a i j k =++≤<<≤,问:7160,,23是否可以同时在M 中,并证明你的结论.10.已知12,,,n x x x R +∈ ,且121n x x x = ,求证:12))1)n n x x x ≥ .2014年北约自主招生试题参考答案1.【解】设扇形的半径为r ,则由21623r ππ=⨯,得6r =.于是扇形的弧长为623l ππ=⨯=,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1,所以底面面积为21ππ⨯=,也所以圆锥的表面积为67S πππ=+=.2.【解】由题知所有分组方法有3341074222100C C C N A ==种. 3.【解】由题意22u x ax a =-+的值域包含区间(0,)+∞,则22u x ax a =-+与x 有交点, 故2(2)40a a ∆=--≥,解得1a ≥或0a ≤.4.【解】由(1)1,(4)7f f ==得421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===; 124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===,由数学归纳法可推导得*()21,f n n n N =-∈, 所以(2014)4027f =.5.【解】由0,0x y <<可知,1||1||||1x y x y x y +=-⇒+=⇒+=,所以2(||||)1||||||44x y xy x y +=⨯≤=,即1(0,]4xy ∈,令1(0,]4t xy =∈,则易知函数1y t t =+在(0,1]上递减,所以其在1(0,]4上递减,于是1xy xy +有最小值117444+=,无最大值.6.【解】奇函数(0)0f =,故arctan2c =-.7.【证明】由三角公式22tan tan tan tan 2,tan()1tan 1tan tan ααβααβααβ+=+=--⋅, 若tan3 是有理数,则tan6,tan12,tan 24 为有理数,再由tan 6 和tan 24 可得tan30 为有理数,这与tan30=!因此,tan3 是无理数. 8.【证】由题可设2211223()()(),()()()f x g x a x b f x g x a x b +=--=-,其中120,0a a ≠≠,则22221222112211()[()()],()[()3()]44f x a x b a x bg x a x b a x b =-+-=---,由()0f x =有两个不同的实根,则必有12,a a 异号,且120a a +≠,此时22212112211221()[()2()]4f x a a x a b a b x a b a b =+-+++,即2222112212112212124()4()()4()0a b a b a a a b a b a a b b ∆=+-++=-->,所以12b b ≠,故此时观察2211221()[()3()]4g x a x b a x b =---可知,12,3a a -同号,且1230a a -≠,12b b ≠,故()0g x >恒成立,即证明()0g x =没有实根.9.【解】不可以同时在M 中,下面给予证明.假设7160,,23同时在M 中,设*(113,)k a a kd k k N =+≤≤∈,其中d 为公差,则*{3()|113}{3|636,}M a i j k d i j k a md m m N =+++≤<<≤=+≤≤∈于是存在正整数6,,36x y z ≤≤,使得30,73,21633a xd a yd a zd ⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩从而7(),216()3y x d z x d ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩也所以2132y x z x -=-,由于21,32互质,且,y x z x --为整数,则有||21,||32y x z x -≥-≥, 但||36630z x -≤-=,矛盾!假设错误,即证明7160,,3不可以同时在M中.10.【证】(一法:数学归纳法)①当1n =时,111x =≥=右边,不等式成立;②假设*(1,)nk k k N=≥∈时,不等式12))1)k k x x x ≥ 成立. 那么当1n k =+时,则1211k k x x x x += ,由于这1k +个正数不能同时都大于1,也不能同时都小于1,因此存在两个数,其中一个不大于1,另一个不小于1,不妨设11,01k k x x +≥<≤, 从而111(1)(1)01k k k k k kx x x x x x+++--≤⇒+≥+,所以1212)2(2)kk x xx x + 12112)2()]kk k k x x xx x x ++=+++11212)2(2(1)1)(21)k k k k x x x x ++≥≥= 其中推导上式时利用了1211()1k k k x x x x x -+= 及n k =时的假设,故1n k=+时不等式也成立.综上①②知,不等式对任意正整数n 都成立.(二法)左边展开得12))nx x x12121212111()()k k nn n n n k i i j i i i n i i j ni i i nx x x x x x x x x ---=≤<≤≤<<<≤=+++++∑∑∑由平均值不等式得1112121212111211()(())k kknn nk k k k C C C k k k i i i ni i i nn n i i i ni i i nx x x C x x x C x x x C --≤<<<≤≤<<<≤≥==∑∏故12))nx x x1122))2)(2)(21)n n n n k kn n n nnC C C C ---≥++++ ,即证. (三法)由平均值不等式有111(nnnk kn ==≥……①;111(nnnk k n==≥……②①+②得1()nkk nn x =≥,即12))1)n n x x x ≥ 成立.。
2014高中自主对外招生数学试卷和答案
高中自主招生考试数 学(试卷满分：150分 考试时间：120分钟)准考证号 姓名 座位号注意事项：1.全卷三大题，22小题，试卷共4页，另有答题卡；2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分．一.选择题(本题有6个小题,每小题4分,共24分．每小题只有一个选项是正确的.) 1． 如果1-=ab ,那么两个实数a ,b 一定是( )A ．互为倒数B ．-1和+1C ．互为相反数D ．互为负倒数 2．下列运算正确的是（ ） A ．()b a ab 33= B ．1-=+--ba ba C ．326a a a =÷ D ．222)(b a b a +=+3．已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（ ）A ．平均数是9B ．中位数是9C ．众数是5D ．极差是5 4．长方体的主视图、俯视图如右图所示， 则其左视图面积为（ ）A ．3B ．4C ．12D ．16 5．在6张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四边形、直角梯形、双曲线、圆，在看不见图形的情况下随机摸出1张，这张卡片上的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．236．如图，已知⊙O 的半径为r ，C 、D 是直径AB 的同侧圆周上的两点，100AOC ∠=，D 是BC 的中点，动点P 在线段AB 上，则PC ＋PD 的最小值为 （ ） A ．r Br CDr CPDO BA（第6题）二．填空题(本题有8个小题，每小题5分．共40分) 7． 实数b a ,满足0132=+-b a ，则ba 的值为 ．9． 在同一坐标系中，图形a 是图形b 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位得到，如果图形a 中A 点的坐标为（4，－2），则图形b 中与A 点对应的A '点的坐标为___ ____. 10．如图，在四边形纸片ABCD 中，∠A =130°，∠C =40°，现将其右下角向内折出∆FGE ，折痕为EF ，恰使GF ∥AD ，GE ∥CD ，则∠B 的度数为 ．11．对于实数a 、b ，定义运算⊗如下：=⊗b a ⎪⎩⎪⎨⎧≠≤≠>-)0,()0,(a b a a a b a a b b， 例如1612424==⊗-. 计算 [][]=⊗-⨯⊗2)3(23 .13．已知直线1y x =，213y x =+，633+-=x y 的图象如图所示，无论x 取何值，当y 总取1y 、2y 、3y 中的最小值时， y 的最大值为14． 若关于t 的不等式组0214t a t -≥⎧⎨+≤⎩恰好有三个整数解，则关于x 的一次函数14y x a=- 的图像与反比例函数32a y x+=的图像的公共点的个数为 . （第12题）G FE DCBA（第10题）三、解答题(本题有8个小题，共86分，解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.) 15．（本题满分7分）计算01( 3.14)(sin30)4cos 45π︒-︒-++-16．（本题满分9分）已知2)2()]2()()[(22=-÷-++--y y x y y x y x ．求228242x x y x y---的值．17．（本题满分10分） 如图，直线AB 交双曲线()y 0kx x=>于A ，B 两点， 交x 轴于点C (4,0)a ， AB =2BC ，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ， 连结OA ，若OM =3MC ，S △OAC =8，则k 的值为多少？18. （本题满分10分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝23，∠A ＝60°，以点D 为圆心的⊙D 与AB 相切于点E ，与DC 相交于点F . （1）求证：⊙D 与BC 也相切；（2）求劣弧EF 的长(结果保留π)．19．（本小题满分12分）某商家计划从厂家采购A ，B 两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．（1）求A 产品的采购数量与采购单价的函数关系式；（2）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价出售A ，B 两种产品，且全部售完，在A 产品的采购数量不小于11且不大于15的条件下，求采购A 种 产品多少件时总利润最大，并求最大利润．（第18题）（第17题）ABCCDDEE FFA20．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，D 是斜边BC 上的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF .（1）若AB =AC ，BE +CF =4，求四边形AEDF 的面积。
2014高校自主招生北约模拟试题
1.函数y=f(x),定义域[1,+∞)，f(1)=e,单调递增且f(x+y)=f(x)f(y),求f(x).2. 一台计算机装置示意图如下图，J1,J2表示数据入口，C 是计算结果的出口。
计算规则：①当J1、J2分别输入1时，输出结果为1；②若J1输入数值不变，J2输入数值增大1，输出结果比原来增大2； ③若J2输入1，J1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍。
问，J1、J2分别输入自然数m 和n 时，输出结果是多少？3.求方程式w!=x!+y!+z!的所有正整数解.4.设点P,M 分别是正方形ABCD 边DC,BC 上，PM 与以A 为圆心、AB 为半径的圆相切。
线段PA 与MA 分别交对角线BD 为Q,N 。
证明：P 、Q 、N 、M 、C 五点共圆。
{}111235.,,(), 2.221.n n n n a a a a n n --==≥≥<∑nk k=1数列求证：当n 1时，a21.(),(())1,()0,()x f x e f g x x g x g x ==-≥已知且求和定义域。
121211222.(,)0,0, 1.(,),),)f x y a b a b f ax bx ay by af x y bf x y =>>+=++≤+令且求证：（（3.一个投资者有200万的资金，有以下3个投资项目：①建造摩天大楼，利润为4x-2(万元，x 为投资额)（x ≤95万元）②拍电影，利润为1612x -51x+2(万元，x 为投资额)（x ≤50万元）③投资房地产，利润为3x+1(万元，x 为投资额)（x ≤100万元）试确定投资方案。
222114.sin ,sin ,()()55n n n a b a b a bππ==++设求证：恒为正整数。
5.P1、P2为抛物线上任意两点，过两点的切线交点为Q,求证：212QF PF P F =2014高校自主招生模拟测试三1 1.a ≠-（）已知：0<a<1,x>0,且x 1.求证：a(x-1)>x2,,πππ248（）求以coscos cos 为根的三次方程式。
2014年自主招生北约模拟试题及解析
(2)设 M 为线段 AB 的中点，P 为奇质数，且点 M 到 x 轴的 距离和点 M 到准线 l 的距离均为非零整数， 求证点 M 到坐 标原点 O 的距离不可能是整数.
E O B F
M x
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2014 年自主招生数学模拟试卷(北约)
【题 13】函数 y f ( x) ， x N ， y N ，满足：
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2014 年自主招生数学模拟试卷(北约)
2014 年自主招生数学模拟试卷(北约)参考答案
【题 01】复数 Z1、Z2 满足|Z1|=2、|Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为 60° ，则 A.
Z1 Z 2 ( Z1 Z 2
).
133 7
B. 5
C.
1 5
D. 133
x2 y 2 【题 06】 如图所示， 从双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的左焦点 F 引圆 x2 y 2 a 2 的切线， 切点为 T． 延 a b 长 FT 交双曲线的右支于 P 点.若 M 为线段 FP 的中点，O 为坐标原点，则 | MO | | MT | 与 b a 的
则
1 sin 2 ) 0 ， 2
m
的取值范围是(
). C．[-1，1] D．[-1，6]
A．[-6，1] B． [4， 8] 【解析】选 A.由题意知 λ+2=2m①
2 cos2 m 2 sin ② 2 由①得 2 ， m m 2 2 2 由①②得 4m 9m 2 sin cos 4 sin 2 sin 3 ， 1 故-6≤4m2-9m≤-2，即 ≤m≤2. 4 2 从而 2 [ 6,1] . m m
2014北约自主招生数学试题(文科)
12014年北约自主招生数学试题一、选择题1. 设扇形的圆心角为60︒，面积为6π，将它围成一个圆锥，则此圆锥的表面积是_______．A 、132πB 、7πC 、152πD 、8π2. 10个人分成3组，每组人数分别为3,3,4，则不同的方法有_______种．A 、1050B 、2014C 、2100D 、42003. 函数()f x 满足：对于任意的实数,a b 有()()2233f a f b a b f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，已知()()11,47f f ==，则()2014f 的值是_______．A 、4027B 、4028C 、4029D 、40304. 已知函数()()2lg 2f x x ax a =-+的值域是(),-∞+∞，则实数a 的取值范围是_______．A 、01a <<B 、01a ≤≤C 、0,1a a <>D 、0,1a a ≤≥5. 设,x y 均为负数，且满足1x y +=-，则1xy xy +具有_______． A 、最大值174- B 、最小值174- C 、最大值174 D 、最小值1746. 使得函数()22arctan 14x f x C x -=++成为区间11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数的常数C 的值为_______． A 、0B 、arctan2-C 、arctan 2D 、不存在二、解答题 7. 求等差数列{}120041n n ≤≤+与{}120063n m ≤≤-的所有公共项的和．8. 设梯形的两条对角线的长分别是5和7，高为3，求该梯形的面积．9. 证明tan3︒为无理数．10. 设实二次函数()(),f x g x 满足方程()()()()30,0f x g x f x g x +=-=都只有一对重根，已知()0f x =有两个不同实根，证明()0g x =没有实根．。
2014年自主招生北约联盟数学真题解析
【总结】从以上可以看出，北约的数学题目更多是从思维角度的考查，上述两个题目，其实 从自然语言入手， 如果你可以用很简单的语言解释清楚， 我们需要做到的是把这些语言转化 . 成数学表达，逻辑的阐述明白
三、 备考建议
1. 以基础为主，对于基础概念要重在从直观去理解，对于数论和组合数学问题不要花费太 多时间. 2. 复习要以历届真题为核心，多从思考的层面去刷题. 3. 辅导书要以联盟内部的题型为主,多思考，不要太依赖解析. 4. 避免抱佛脚的情况发生，其实对于数学思维或者技巧的训练，应该边学边练，最晚也要 从高二下学期开始.
则 4 f x 3 f x g x f x g x 0 ，则 4 f x 最多有二等实根， 同理若对于 x R ， 3 f x g x 0 ， f x g x 0 ，也会矛盾。 故二次函数 3 f x g x ， f x g x 具有不同的开口方向. 则若 3 f x g x 0 ， f x g x 0 两个方程具有相同的重根，设其为 x0 则 3 f x g x ， f x g x 对称轴为 x x0 ，
k1 21 k 2 11
其中 k1 , k2 1, 2,3,..., 30 ，且 k1 k2 30 ，
7 16 7 k1d , k2 d ，则 2 3 2
显然不可能. 【评论】本题题号已经靠后，有两个问题，一.理解题目集合的意思，二.等差数列的条件怎 么应用，如果运用的好的话，北约考试的胜利就在眼前了.
3 是无理数，矛盾，故 tan3 是无理数，证毕. 3 【评论】 属于中档题，对于基本的三角公式以及有理数的基本性质有所把握的同学做这道 题问题会比较小。其实在早些年，外省市高考题中，出现过 cos 是有理数，证明 cos n 是
北约自主招生能力测试数学试题(含参考答案
综合性大学自主选拔录取联合考试自然科学基础——理科试卷数学部分（北约）一、选择题（每小题8分，合计48分）1．圆心角为3π的扇形的面积为6π，则它围成的圆锥的表面积为（ B ）．A ．B ．7πC ．D ．解：由2166S R ππ==扇形得6R =，由263r ππ=⨯得1r =，故它围成的圆锥的表面积为267r πππ+=．2．将10个人分为3组，一组4人，另两组各3人，共有（ C ）种分法．A ．1070B ．2014C ．2100D ．4200解：433106321002C C C N ==． 3．已知2()2()()33a b f a f b f ++=，(1)1f =，(4)7f =，则(2014)f =（ A ）． A ．4027 B ．4028 C ．4029 D ．4030 解：421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===，124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===，猜想*()21()f n n n N =-∈，假设()21f n n =-对3(1)n k k ≤≥都成立，则(31)3(1)2(1)2(31)1f k f k f k +=+-=+-，(32)3(2)2(2)2(32)1f k f k f k +=+-=+-，(33)3(3)2(3)2(33)1f k f k f k +=+-=+-，所以*()21()f n n n N =-∈．4．若2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，则a 的取值范围是（ D ）．A ．01a ≤≤B ．C ．D ．0a ≤或1a ≥解：由题知，{}2(0,)2y y x ax a +∞⊆=-+，故2(2)40a a ∆=--≥，解得：0a ≤或1a ≥．5．已知1x y +=-，且x 、y 均为负实数，则1xy xy+有（ B ）． A ．最大值174 B ．最小值174 C ．最大值174- D ．最小值174-解：1()()x y =-+-≥104xy <≤，而函数1()f t t t=+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞单调递增，故1()()4f xy f ≥，即1174xy xy +≥，当且仅当12x y ==-时取等号． 6．已知22()arctan14x f x C x +=+-在(,)44ππ-上为奇函数，则C =（ B ）． A ．0 B ．arctan 2- C ．arctan 2 D ．不存有解：由()0f x =得arctan(2)arctan 2C =-=-，此时()()f x f x +-22arctan14x x +=-22arctan 214x C x -+++4arctan()2arctan 203=--=，故arctan 2C =-符合题意．二、解答题（每题18分，共72分）7．证明：0tan3R ∉．证明：设0tan 3Q ∈，则0tan 6tan12tan 24tan 30tan(624)Q Q Q Q ∈⇔∈⇔∈⇔=+∈，这与0tan 303Q =矛盾． 8．已知实系数二次函数()f x 和()g x ，若方程()()f x g x =和3()()0f x g x +=都只有一个偶重根，方程()0f x =有两个不等的实根，求证：方程()0g x =没有实根． 解：设2()f x ax bx c =++，2()g x dx ex f =++，0ad ≠，所以2()4()()b e a d c f -=--，2(3)4(3)(3)b e a d c f +=++，所以223124b e ac df +=+，又240b ac ->，所以22()44(4)0g x e df b ac ∆=-=--<，所以方程()0g x =没有实根．9．已知1a ，2a ，…，13a 成等差数列，{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：0，72，163是否能够同时在M 中？并证明你的结论．解：设该数列的公差为d ，∴p ∃，q ，*r N ∈，130a pd +=，173()2a p q d ++=，1163()3a p q r d +++=，∴2111q r =，∴21q ≥，11p ≥，又0123p ≥++=，∴35p q r ++≥， 又12111033p q r ++≤++=，与上式矛盾，故0，72，163不能够同时在M 中．10．i x （1i =，2，…，n ）为正实数，且11nii x==∏，求证：1)1)nn i i x =≥∏．解：由AM GM -不等式得：11(n i n =≥，11(ni n =≥两式相加得：1≥，故1)1)nn i i x =≥∏．。
2014北约自主招生数学试题及详解（含文、理）
今年北约自招笔试已落下帷幕，从试题的整体难度来看，它不像我们平时觉得的有竞赛的难度，与往年相比难度也是大有降低，具体体现在试题中的前六道，属于高考基本题型，只要准备过自招考试的基本能拿满分，但也要熟悉反三角函数的处理以及无理性的证明思路.有区分度的点在最后三道，最后一题属于不等式的延伸内容，北约的考试尤其是解答题从来都不是基于课内知识点的反复强调和训练，往往来源于一些很基本的甚至是近似于数学常识的知识，比如去年考试中“任意三个数的和都是质数”的理解，的理解，和今年证明是无理数这样和今年证明是无理数这样的问题，都属于不强调复杂的计算，都属于不强调复杂的计算，只求看清楚问题的本质的处理手法。
只求看清楚问题的本质的处理手法。
只求看清楚问题的本质的处理手法。
去年和今年也都考去年和今年也都考察了对数列的理解，去年考察奇偶项和的理解，去年考察奇偶项和的理解，今年考察对数项形式的分析，今年考察对数项形式的分析，今年考察对数项形式的分析，所以北约的数所以北约的数学试题做起来如果很繁琐，说明往往已经偏离了命题人的基本想法。
下面附上试题及解析，供考完的对照以及明年参加北约考试的孩子参考。
希望对同学们有所帮助.2014北约理科数学试题北约理科数学试题1、圆心角为3p的扇形面积为6,p 求它围成圆锥的表面积.【解析】21,6,2,2S R R l R a a p =Þ===扇从而圆锥底面周长为222,,67.r S r S p p p p p p p =Þ===+=底2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.【解析】平均分堆问题.10634332100.2!C C C ××=3、()()()()22,11,47,33f a f ba b f f f ++æö===ç÷èø求()2014f . 【解析】观察等式可知，函数显然为线性一次函数，可设(),f x kx m =+()()11,47f f ==代入求得2,1,k m ==-从而()20144027.f =4、()()2lg 2f x x ax a =-+的值域为,R 求a 的取值范围.【解析】值域问题.2440,1a a a D =-³Þ³或0.a £5、已知1,x y +=-且,x y 都为负实数，求1xy xy+的取值范围. 【解析】均值不等式，对勾函数性质.()()112,0,4x y xy xy =-+-³Þ<£从而11717..4xy xy +³6、()22arctan 14x f x C x +=+-在11,44æö-ç÷èø上为奇函数，求C 的值.【解析】()00,arctan 2.f C =Þ=-下面证明：()()22224arctanarctan 2arctan 2arctan 20.14143x x f x f x C x x +-æö+-=++=--=ç÷-+èø7、求证：tan3.Q °Ï【解析】反证法.假设tan3,Q °Î则tan6,tan12,tan 24,Q Q Q °ÎÞ°ÎÞ°Î从而tan30,Q °Î矛盾.tan3.Q \°Ï8、已知实系数二次函数()f x 与()()(),g x f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.【解析】设()2,f x ax bx c =++()2,g x dx ex f =++则由()()f x g x =，可得()()()()()()220,40.a d x b e x c f b ea d c f -+-+-=D =----=由()()30f x g x +=可得 ()()()()()()223330,34330.a d xb e xc f b e ad c f +++++=D =+-++=化简得223124,b e ac df +=+即()22434e df ac b -=-又240.b ac ->240.e df \-<()g x \没有实根.9、1213a a a 是等差数列，{}|113,i j k M a a a i j k =++£<<£问：7160,,23是否可以同时在M 中，并证明你的结论.【解析】数列中的项.分析M 中项的构成，若按照从小到大的顺序排列，最小的项为123a a a ++，第二项为124a a a ++，最大的项为111213,a a a ++设n a 公差为,d 则M 中项的公差也为d ，所以M 中共有111213123131++---+=项，假设7160,,23均为M 中的项，不妨设212121217167110,,,,030,23221kk d k d k k Z k k k -=-=Þ=Î<£、、且1231,k k +£这样的k 不存在，矛盾.所以7160,,23不可以同时在M 中.10、()01,2,...,i x i n >=1 1.nii x==Õ求证：()()1221.nni i x =+³+Õ【解析】不等式；柯西不等式或AM GM -平均不等式. 法一：AM GM -不等式.调和平均值()212n nn n iniiin H G x x =£=+æöç÷ç÷+èøÕå，则()12222nni niiin x x £+æöç÷ç÷+èøÕå，()()1222nnnn i i n i ii i ii n x x x x x £+=+æöç÷ç÷+èøÕÕå可得()2222n niiniin x x æö£ç÷ç÷+èø+åÕ，()22n i niini ix nx x æö£ç÷ç÷+èø+åÕ 上述两式相加得()()212222nn in iii i niin x n x x x +æöæö£+=ç÷ç÷++èøèø+ååÕ，即()()212nni ix +£+Õ，即()()212nni ix +£+Õ法二：由11.n i i x ==Õ及要证的结论分析，由柯西不等式得()()212221ii x x æö++³+ç÷èø，从而可设1i i y x =，且111 1.n ni i i iy x ====ÕÕ从而本题也即证()()1221.n ni i y =+³+Õ从而()()212221nni ii x x æö++³+ç÷èøÕ，即()()()22221nnii ix y ++³+Õ，假设原式不成立，即()()1221,nni i x =+<+Õ则()()1221.nni i y =+<+Õ从而()()()22221nnii ix y ++<+Õ，矛盾.得证.2014北约文科数学试题北约文科数学试题1、圆心角为3p的扇形面积为6,p 求它围成圆锥的表面积.【解析】21,6,2,2S R R l R a a p =Þ===扇从而圆锥底面周长为222,,67.r S r S p p p p p p p =Þ===+=底2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.【解析】平均分堆问题.10634332100.2!C C C ××=3、()()()()22,11,47,33f a f ba b f f f ++æö===ç÷èø求()2014f . 【解析】观察等式可知，函数显然为线性一次函数，可设(),f x kx m =+()()11,47f f ==代入求得2,1,k m ==-从而()20144027.f =4、()()2lg 2f x x ax a =-+的值域为,R 求a 的取值范围.【解析】值域问题.2440,1a a a D =-³Þ³或0.a £5、已知1,x y +=-且,x y 都为负实数，求1xy xy +的取值范围.【解析】均值不等式，对勾函数性质.()()112,0,4x y xy xy =-+-³Þ<£从而117.4xy xy +³6、()22arctan14x f x C x +=+-在11,44æö-ç÷èø上为奇函数，求C 的值. 【解析】()00,arctan 2.f C =Þ=-下面证明：()()22224arctan arctan 2arctan 2arctan 20.14143x x f x f x Cx x +-æö+-=++=--=ç÷-+èø7、等比数列{}(){}()411200,631200n n m m +££-££的公共项之和.【解析】此题考察数的同余问题；设公共项为a ，1mod(4),3mod(6).a a ºº易得a 最小的数为9.4和6的最小公倍数为12,则912,.a k k N =+Î91242001,66.k k +=´+Þ=\公共项之和为()67980127135.2S +==8、梯形的对角线长分别为5和7，高是3,求梯形的面积.【解析】如图，梯形面积为()()1122S AB CD h DF EC h =+=+，易求得210,4,DF EC ==()()11421036310.22S DF EC h =+=+=+9、求证：tan3.Q °Ï【解析】反证法假设tan3,Q °Î则tan6,tan12,tan 24,Q Q Q °ÎÞ°ÎÞ°Î从而tan30,Q °Î矛盾.tan3.Q \°Ï10、已知实系数二次函数()f x 与()()(),g x f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.【解析】设()2,f x ax bx c =++()2,g x dx ex f =++则由()()f x g x =，可得()()()()()()220,40.a d xb e xc f b e ad c f -+-+-=D =----=由()()30f x g x +=可得()()()()()()223330,34330.a d xb e xc f b e ad c f +++++=D =+-++=化简得223124,b e ac df +=+即()22434e df ac b -=-又240.b ac ->240.e df \-<()g x \没有实根.FEDCBA。
2013、2014年华约北约卓越自主招生数学试题
2013年“华约”自主招生数学试题1. 已知集合{}10A x Z x =∈≥，B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件： （a ）数字两两不等;(b)任意两个数字之和不等于9;试求： （1）B 中有多少个两位数？多少个三位数？ （2）B 中是否有五位数？是否有六位数？（3）将B 中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？ 2. 已知实数,x y 满足sin x +sin y =13， cos cos x y - =15，求sin()x y -，cos().x y +3. 已知0k >，从直线y kx =和y kx =-上分别选取点(,),(,)A A B B A x y B x y ，0A B x x >，满足21OA OB k =+，其中O 为坐标原点，AB 中点M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)抛物线22(0)x py p =>与曲线C 相切于两点，求证：两点在两条定直线上，并求出两条切线方程.4. 有7个红球8个黑球，从中任取四个. ⑴求恰有一个红球的概率；⑵设四个球中黑球个数为X ，求X 的分布列及数学期望Ex ； ⑶求当四个球均为一种颜色时，这种颜色为黑色的概率. 5. 已知数列{}n a 满足10a >，21n n n a a ca +=+，1,2...n =,，其中0c >， ⑴证明：对任意的0M >，存在正整数N ，使得对于n N >，n a M >；⑵设11n n b ca =+，n S 为n b 前n 项和，证明:{}n S 有界，且对0d >，存在正整数k ，当n k >时，110.n S d ca <-< 6. 已知,,x y z 是三个大于1的正整数，且xyz 整除(1)(1)(1),xy yz xz ---求,,x y z 的所有可能值.7. 已知()(1)1xf x x e =--， ⑴证明：当0x >时，()0f x <； ⑵若数列{}n x 满足11x =，11n n x x n x ee +=-.证明:数列{}n x 递减,且12nn x ⎛⎫> ⎪⎝⎭.2013年“华约”自主招生数学试题解析1.【试题分析】本题是集合元素的计数问题，需要用到排列组合的知识，对分步思维的理解要求较高。
2014年北约自主招生数学试题评析
2014年北约自主招生数学试题评析
张彬
【期刊名称】《河北理科教学研究》
【年(卷),期】2014(000)002
【总页数】4页(P51-53,56)
【作者】张彬
【作者单位】山东省滕州市第一中学新校 277500
【正文语种】中文
【相关文献】
1.关于2014年北约自主招生考试理科试卷第19题解法的一点探讨 [J], 孟卫东;张林
2.关于2014年北约自主招生考试理科试卷第19题解法的一点探讨 [J], 崔轶斌;张林
3.2014年重点大学自主招生“北约”“华约”数学试题详解 [J], 王芝平;王坤
4.变换参考系解二体问题--以2014年北约自主招生一道物理题为例 [J], 王勇
5.返璞归真,函数为本——2014年华约自主招生数学试题评析 [J], 查正开
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一道自主招生北约联考题的猜想与证明
一道自主招生北约联考题的猜想与证明
邹生书
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2014(000)010
【摘要】2014年自主招生北约联考数学题第4题如下：题目设f（a＋2b/3）=f（a）＋2f（b）/3,且f（1）=1,f（4）=7，则f（2014）=（）．
【总页数】1页(P36)
【作者】邹生书
【作者单位】湖北省阳新县高级中学 435200
【正文语种】中文
【相关文献】
1.对一道“北约”自主招生数学压轴题的研究 [J], 梅磊
2.变换参考系解二体问题--以2014年北约自主招生一道物理题为例 [J], 王勇
3.2012年“北约”自主招生压轴题的初等证明 [J], 查正开
4.2014年“北约”自主招生压轴题的证明与推广 [J], 查正开
5.探析一道北约自主招生试题 [J], 郑日锋
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2014年“北约联盟”自主招生数学模拟试题
考试时间： 90分钟，分值：满分120分
一、选择题（每题8分，共48分）
1.点(4,0)Q ，抛物线2
24
x y =+上动点(,)P x y ，则y PQ +的最小值为（ ）
.2A + .11B
.1C + .6D
2. 若222111x yz y xz z xy ⎧-=⎪-=⎨⎪-=⎩
的解()x y z 、、（其中x y z 、、为有理数）组数（ ）
.A 无解 .3B .6C .D 无穷组
3.已知两个实数集合{}123100,,,,.A a a a a = 与{}12350,,,,.B b b b b = ，若从A 到B 的映射f 使得B 中的每一个元素都有原象，且()()()12100f a f a f a ≤≤≤ ，则这样的映射共有（ ）
(A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 4999C
4.两个数列{}{},n n a b ，满足1112,1,537,n n n a b a a b +===++
135,(1,2,)n n n b a b n +=+= ，则2014a =( )
(A) 604020152
24+- (B) 60402015223+- (C) 60402015222+- (D) 60402015221+-
5. 点(,)P x y 是曲线1:(0)C y x x
=>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，点O 是坐标原点. 给出三个命题：①PA PB =；②O A B ∆的周长有
最小值4+；③曲线C 上存在两点,M N ，使得OMN ∆为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（ ）
（A ）１ （B ）２ （C ）３ （D ）０
6.三角式35cos cos
cos 777
πππ++的值为（ ） （A ）12， (B) 1 (C) 32 (D) 2
二、解答题（每小题18，共72分）
7.把多项式432
1x x x x ++++表示为两个次数不同的实系数多项式的平方差的形式， 并在实数范围内分解因式。
8. 已知)1(17≠∈=z C z z 且．
（Ⅰ）证明0165432=++++++z z z z z z ；
（Ⅱ）设z 的辐角为α，求ααα4cos 2cos cos ++的值．
9. △ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，证明OH OA OB OC =++ ，
10.将与105互素（互质）的所有正整数从小到大排成数列，求这个数列的第1000项。