平面力系的简化与平衡方程 ppt

● F′ =0，MO≠0 R ● F′ ≠ 0，MO=0 R ● F′ =0，MO=0 R
● F′ ≠ 0，MO ≠0 R
（1） 平面任意力系简化为一个力偶的情形
● F′ =0，MO≠0 R
M O M O (Fi )
i 1
n
因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同，因此当力 系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。
M A (F ) 0 M B (F ) 0
（A、B两点的 连线不得与各力 平行）
例题6
已知：F = 2kN，q = 1kN/m； 求： A、B支座反力。 解：取梁ABCD为研究对象。
q
M B(F) 0 , P 1 FNA 2 F 1 0 1m FNA 250N Y 0, FNA FNB F P 0
（续）
主矢：
FR ( X ) ( Y )
2
2
X Y cos( FR , i ) , cos( FR , j ) FR FR
主矩：
M O M O (Fi ) ( xiYi yi X i )
i 1 i 1
n
n
§4-2 平面任意力系简化结果讨论
2aFB sin 45 FTE r P a r 0
P FTE
FB D 45° B
A
r
FAy 6kN
FAy
P
例题4
已知：如图，a=3m，q=4kN/m，P=12kN 求：A处的反力。 解：取刚架AB为研究对象。 a B （可求得 F1＝12kN，F2=6kN） q X 0 FAx F1 F2 0 a
（续）
（2 ） 平面任意力系简化为一个合力的情形
● F′ ≠ 0，MO=0 R ● F′ ≠ 0，MO ≠0 R
FR ′
Mo
O O′ O d O′
合力的作用线通过简化中心
′ FR FR
FR
MO d FR
O d
O′
′′ FR
（续）
（3）合力矩定理及其应用： 平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩 等于力系中各力对同一点矩的代数和。
MA FAx
FCx
FCy
解得:
FAx 0, FAy 3.5kN, M A 4kN m
例题13
P P
B a 2a a a a C 2a
求：A、D的约束反力。 解：(1)取BC杆为研究对象 M C (F ) 0, Pa FBy 2a 0 (1)

A
B

F
M D F 0
FM 2a sin Fa cos 0
1 FM F cot 2
D
FBA
E F
C
M
B

C
FM
§4-4 平面平行力系的平衡方程
F3
y
二力矩式
F2 F1 Fn
x
o
X 0
二个方程只能 求解二个未知量
Y 0 M o (F ) 0
A
FA
E D C r P P B
FBx FBy
例题3
已知：如图，a=4m，r=1m，P=12kN 求：A、B处的反力。 E 解：取梁图示部分为研究对象。 M A F 0 A
o
C
D
r a
45° B a
FB 6 2kN X 0 FAx FTE FB cos 45o 0 FAx 18kN o Y 0 FAy P FB sin 45 0 FAx
FAy
B A
D a
E a
FAx
解得：
2 FC qa 2
FC FDy
FE
FDx
D
例题12
解：(1) 取BC为研究对象
FAy
已知：M = 10kN· m； 求：支座A反力和C的内力。 q
M
C 1m 1m 1m
X 0 , FCx 0 M B ( F ) 0 , q 1 1.5 FCy 2 0
M
B
(F ) 0,
M
C
(F ) 0
（A、B、C 三点不得共线）
思考：有三投影式吗？
例题1
已知：P＝8kN，m＝4kN.m 求：A、B处的反力。 解：取刚架AB为研究对象，则
P
A 4m
m
FAx P 8kN M F 0 FB .4 m P 2.5 0 m P 2.5 FB 6kN P 4 Y 0 FB FAy 0 F FAy FB 6kN
土木工程学科的专业基础课
工程力学
第 4 章
平面力系的简化 与平衡方程
§4-1 平面任意力系向一点的简化
1. 力系向作用面内一点的简化 · 主矢和主矩
F2 F1 F2′
M2
O O
F1′
M1
FR′ MO
O
F3
F3′
M3
O
简化中心
F1 =F1′ M1=MO(F1) F2 =F′2 M2=MO(F2) F3 =F3′ M3=MO(F3)
（续）
′ ′ ′ ′ FR=F1+F2+F3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3)
y
FR′
FR Fi
i 1
n
MO
O
x
M O M O (Fi )
i 1
n
F′ R MO
主矢 主矩
平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力 偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个力 偶的矩等于力系对于点O的主矩。
q
a a C
Y 0,
FAy FE qa 0
q
a
M E (F ) 0, FAy a qa 1.5a 0
解得： FAx 0 FAy 1.5qa FE 2.5qa (2) 取折杆CD为研究对象
C
M D ( F ) 0, qa 0.5a FC a sin 45 0
（4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。
§4-3 平面任意力系平衡方程的形式
基本形式（一力矩式）
X 0, Y 0, M
二力矩式
A
(F ) 0
FR
X 0, M
三力矩式 M A (F ) 0,
A
(F ) 0,
M
B
(F ) 0
B A
（x 轴不得垂直于A、B 两点的连线）
n
平衡方程
平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任 选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各 力对于任意一点矩的代数和也等于零。
（续）
几点说明：
（1）三个方程只能求解三个未知量； （2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行 即可； （3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直； （5）平衡方程除了上述的“一矩式”，还有“二矩 式”和“三矩式”。
MO(FR) = FRd = MO = ∑ MO(Fi) MO(FR) = ∑MO(Fi) 1）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩； 2）求分布力的合力作用线位置。
§4-3 平面任意力系的平衡条件
只有当主矢与主矩都等于零时，力系才能平衡。
′ FR=0
o
｝ M =0
Xi 0 i 1 n Yi 0 i 1 n M O (Fi ) 0 i 1
A
E

Q FCy
C
FAy

FAx
P
FCx
FBy
B
FAy 0.2kN, FCy 0.6kN 由⑴⑵式解得 (2) 取AB为研究对象。 解得: FAx 0.3kN M B (F ) 0, 代入（3）式，得 l FCx 1.2kN FAxl sin P cos FAy cos 0 2
1 ：合力 P 其中 ql 1.5kN 2
F
D C A B 2m 1m
FNB 3750N
例题7
求欲使起重机满载和空载时均不翻倒，平衡锤的重量。 解：取起重机为研究对象
P2
a
e l
（1）满载时，其限制条件是：FNA≥0 M B (F ) 0, P2 (a b) FNAb Pe P l 0 1
解得:
FB
B
MA A FAx
1m
FCx 0, FCy 1.5kN
(2)取AC为研究对象
FCy
C
q
X 0, FAx FCx 0 FB Y 0, FAy FCy q 1 0
B
FAy
A
M
q
FCx
C
M A ( F ) 0, M A M q 11.5 FCy 2 0
解得:
P1
P2
P
Pe P l 1 ab
（2）空载时，其限制条件是：FNB≥0 M A (F ) 0, P2 a FNB b P(e b) 0
解得:
A B
b
P2
因此，P2必须满足：
FNA
FNB
Pe P l P (e b) 1 P2 ab a
P (e b ) a
§4-5 物体系的平衡问题
静定体系：未知量数目等于独立平衡方程数目。 超静定体系：未知量数目多于独立平衡方程数 q 目。
A B
F
D C 1m A 2m B E B 1m