单摆的周期与摆角的关系
单摆实验研究实验报告
一、实验目的1. 了解单摆的基本原理和运动规律；2. 掌握单摆实验的基本操作步骤和测量方法；3. 通过实验验证单摆的周期与摆长、摆角的关系；4. 测定当地的重力加速度。
二、实验原理单摆是一种理想化的物理模型，它由一根不可伸长的细线和一个小球组成。
当小球从某一角度被释放后，在重力作用下，小球将进行周期性的往返运动。
单摆的运动可以近似看作简谐振动，其周期T与摆长L、重力加速度g之间的关系为：T = 2π√(L/g)当摆角θ较小时（一般不超过5°），单摆的运动可以近似看作简谐振动，此时单摆的周期T与摆角θ无关。
但当摆角较大时，单摆的运动将偏离简谐振动，周期T将随摆角θ的增加而增加。
三、实验仪器1. 单摆装置：由一根细线和一个小球组成；2. 秒表：用于测量单摆的周期；3. 水平仪：用于调节摆线水平；4. 刻度尺：用于测量摆长；5. 游标卡尺：用于测量小球直径。
四、实验步骤1. 装置单摆：将细线固定在支架上，将小球悬挂在细线末端，调节摆线水平；2. 测量摆长：使用刻度尺测量摆线长度，即为摆长L；3. 测量小球直径：使用游标卡尺测量小球直径，即为小球直径D；4. 测量周期：将小球拉至一定角度，释放后，使用秒表测量单摆完成N次往返运动所需时间t；5. 计算周期：周期T = t/N；6. 重复上述步骤，进行多次测量，以减小误差。
五、实验数据及处理1. 测量摆长L：L1 = 100.0 cm，L2 = 100.1 cm，L3 = 100.2 cm，平均摆长L = (L1 + L2 + L3)/3 = 100.1 cm；2. 测量小球直径D：D1 = 1.00 cm，D2 = 1.01 cm，D3 = 1.02 cm，平均直径D = (D1 + D2 + D3)/3 = 1.01 cm；3. 测量周期T：T1 = 2.01 s，T2 = 2.02 s，T3 = 2.03 s，平均周期T = (T1 + T2 + T3)/3 = 2.02 s；4. 计算重力加速度g：g = 4π²L/T² = 4π²×100.1 cm/(2.02 s)² ≈ 9.81m/s²。
初三物理知识点单摆周期公式推导
以下是为⼤家整理的关于初三物理知识点单摆周期公式推导的⽂章，希望⼤家能够喜欢！公式推导M = - m * g * l * Sin x.其中m为质量，g是重⼒加速度，l是摆长，x是摆⾓。
我们希望得到摆⾓x的关于时间的函数，来描述单摆运动。
由⼒矩与⾓加速度的关系不难得到，M = J * β。
其中J = m * l^2是单摆的转动惯量，β = x''（摆⾓关于时间的2阶导数）是⾓加速度。
于是化简得到x'' * l = - g * Sin x.我们对上式适当地选择⽐例系数，就可以把常数l与g约去，再移项就得到化简了的运动⽅程x'' + Sin x = 0.因为单摆的运动⽅程（微分⽅程）是x'' + Sin x = 0 (1)⽽标准的简谐振动（如弹簧振⼦）则是x'' + x = 0 (2)相关解释我们知道（1）式是⼀个⾮线性微分⽅程，⽽（2）式是⼀个线性微分⽅程。
所以严格地说上⾯的（1）式描述的单摆的运动并不是简谐运动。
不过，在x⽐较⼩时，近似地有Sin x ≈ x。
（这⾥取的是弧度制。
即当x -> 0时有Sin x / x = o（1）。
）因⽽此时（1）式就变为（2）式，单摆的⾮线性的运动被线性地近似为简谐运动。
然后说⼀下为什么是10°。
由于Sin x ≈ x这个近似公式只在⾓度⽐较⼩的时候成⽴（这⼀个可以从正弦函数的在原点附近的图象近似看出），所以只有在⼩⾓度下（1）式化作（2）式才是合理的。
事实上5°≈0.087266弧度，Sin 5°≈0.087155，⼆者相差只有千分之⼀点⼏，是⼗分接近的。
在低精度的实验中，这种系统误差可以忽略不计（因为实验操作中的偶然误差就⽐它⼤）。
但如果换成25°，误差⾼达百分之三，就不宜再看成是简谐振动了。
由于正弦函数的性质，这个近似是⾓度越⼩，越精确，⾓度越⼤越不精确。
单摆周期公式推导简析
单摆周期公式推导简析单摆的周期公式T=2π√Lg是通过一系列物理原理和数学推导得出的。
以下是一个简化的推导过程：假设与前提1.摆角很小：通常假设摆角θ很小（小于5∘），这样摆球的运动轨迹可以近似为圆弧，且摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分量（即回复力）可以近似为mgsinθ。
由于θ很小，sinθ可以近似为θ（以弧度为单位）。
2.无摩擦和空气阻力：为了简化问题，通常假设摆球在运动过程中不受摩擦和空气阻力的影响。
推导步骤1.确定回复力：2.摆球在摆动过程中受到的回复力F为重力沿圆弧切线方向的分量，即3. F=−mgsinθ≈−mgθ4.其中负号表示回复力的方向与位移方向相反。
5.建立动力学方程：6.根据牛顿第二定律，摆球的加速度a与回复力F成正比，即7. ma=−mgθ8.化简得9. a=−gθ10.转化为角加速度：11.由于θ是摆角，它是时间的函数θ(t)。
角加速度α定义为角速度ω的变化率，即α=dωdt。
同时，角速度ω与线速度v和摆长L的关系为v=Lω。
因此，加速度a可以表示为12. a=dvdt=d(Lω)dt=Ldωdt=Lα13.将a=−gθ代入上式得14. Lα=−gθ15. 求解角加速度与摆角的关系：16. 由于 α=dωdt 和 ω=dθdt （在角速度较小的情况下近似成立），我们有17. d 2θdt 2=α=−g Lθ 18. 这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，其解为19. θ(t)=Acos(√g L t +φ)20. 其中 A 和 φ 是由初始条件确定的常数。
21. 确定周期：22. 由于 θ(t) 是周期性函数，其周期为 T ，满足 θ(t +T)=θ(t)。
从解 θ(t)=Acos(√g L t +φ) 可以看出，周期 T 是23. T =2π√g L=2π√L g 以上就是单摆周期公式的推导过程。
注意，这个推导过程是基于一些简化和假设的，如摆角很小、无摩擦和空气阻力等。
高中物理单摆知识点总结
高中物理单摆知识点总结
高中物理单摆知识点总结如下:
1. 单摆概述：单摆是由一个轻细的摆针和一个重球组成的简单机械系统，摆针在重力和弹性力作用下，绕摆针轴做圆周运动。
2. 单摆周期：单摆的运动周期与摆针长度、摆球重量和摆动角度有关，周期公式为 T=2π√(L/g)。
3. 单摆摆角：单摆摆动时，摆针偏离平衡位置的夹角称为摆角，摆角大小取决于摆球重量和摆动角度。
4. 单摆运动规律：单摆的运动规律是摆针速度随摆动角度增大而减小，随摆动时间延长而增大。
5. 单摆的利用：单摆可以被用于测量重力加速度、测量摆球质量、测量微小角度等。
6. 单摆的弹性：单摆的弹性是指摆针在运动过程中受到的空气阻力和摩擦阻力等。
7. 单摆的振动：单摆的振动是指摆针在平衡位置附近来回振动的现象，振动频率与摆球重量、摆针长度和振动角度有关。
8. 单摆的强化训练：为了提高单摆的测量精度，可以进行单摆强化训练，如调整摆球重量、改善测量环境等。
1 实验十一 探究单摆周期与摆长的关系
得 g＝9.86 m/s2.
[答案] (1)见解析图 (2)1.05 9.86
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实验微讲座4 选修实验
18
某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素． (1)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹 牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图所示．这样做的目的是 ________(填字母代号)． A．保证摆动过程中摆长不变 B．可使周期测量得更加准确 C．需要改变摆长时便于调节 D．保证摆球在同一竖直平面内摆动
4gπ2·(T21－T22)，因此，g＝T412π－2ΔTL22.
[答案]
(1)BC
4π2ΔL (2)T21－T22
Lg1，T2＝2π Lg2，则ΔL＝
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实验微讲座4 选修实验
11
(1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不 超过 5°. (2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静 止释放． (3)测周期的方法 ①要从摆球过平衡位置时开始计时．因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、 计时误差大．②要测多次全振动的时间来计算周期．如在摆球从某一方向经过平衡位置 时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时 计数 1 次．
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实验微讲座4 选修实验
21
解析：(1)用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线的目的是保证摆动过程中摆长不变，需要改变 摆长时便于调节，A、C 正确． (2)根据游标卡尺读数规则，摆球直径为 12.0 mm，单摆摆长为 L－d2＝0.999 0 m－ 0.006 0 m＝0.993 0 m. (3)单摆测量周期，必须从平衡位置开始计时，且摆角小于 10°，所以合乎实验要求且误 差最小的是 A.
专题22 实验：探究单摆的摆长与周期的关系-2020年浙江高考物理(选考)二轮终极专题复习(解析版)
专题22 实验：探究单摆的摆长与周期的关系 1.实验原理当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T ＝2π l g ，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g ＝4π2l T 2.因此，只要测出摆长l 和振动周期T ，就可以求出当地的重力加速度g 的值．2．实验器材带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球，不易伸长的细线（约1米）、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺．3．实验步骤（1）让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆．（2）把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处作上标记，如实验原理图所示．（3）用毫米刻度尺量出摆线长度l ′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r ，计算出摆长l ＝l ′＋r .（4）把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度（不超过5°），然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t ，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T ＝t N （N 为全振动的次数），反复测3次，再算出周期T ＝T 1＋T 2＋T 33. （5）根据单摆周期公式T ＝2π l g 计算当地的重力加速度g ＝4π2l T 2.（6）改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值．（7）将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因．1．注意事项 （1）构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°. （2）要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放． （3）测周期的方法：①要从摆球过平衡位置时开始计时．因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大．②要测多次全振动的时间来计算周期．如在摆球过平衡位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次．（4）本实验可以采用图象法来处理数据．即用纵轴表示摆长l ，用横轴表示T 2，将实验所得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率k ＝g 4π2.这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要办法．2．数据处理处理数据有两种方法：（1）公式法：测出30次或50次全振动的时间t ，利用T ＝t N 求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值T ，然后代入公式g ＝4π2l T 2求重力加速度．（2）图象法：由单摆周期公式不难推出：l ＝g 4π2T 2，因此，分别测出一系列摆长l 对应的周期T ，作l －T 2的图象，图象应是一条通过原点的直线，求出图线的斜率k ＝Δl ΔT 2，即可利用g ＝4π2k 求得重力加速度值，如图1所示．图13．误差分析（1）系统误差的主要来源：悬点不固定，球、线不符合要求，振动是圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等．（2）偶然误差主要来自时间的测量上，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计振动次数．1．在用单摆测定重力加速度实验中，除了铁架台、铁夹、游标卡尺外，还提供了如下器材A.长度约为100cm的细线B.长度约为30cm的细线C.直径约为2cm的带孔铁球D.直径约为2cm的塑料球E.秒表F.打点计时器G.最小刻度是1cm的直尺H.最小刻度是1mm的直尺为了较精确测量重力加速度的数值（1）应该选择的器材有_____________________。
探究影响单摆摆动频率因素
实验名称：探究影响单摆摆动频率因素日期:2022.12.12一、实验目的（1）能够通过“控制变量”的方法进行实验设计，并用实验进行验证。
（2）探究摆摆动的频率与摆角的大小、摆球的轻重和摆线长短之间的关系。
二、实验器材铁架台、线绳、钩码、量角器、卷尺、秒表二、实验过程（1）探究单摆频率与摆角的关系a)用摆线钩住1个钩码，使钩码成为摆锤。
使摆线长50厘米，摆线的另一端缠绕在铁架台上。
b)向一边拉开摆锤，使摆角为30度，松手。
数出并记录10秒钟摆锤摆动的次数，前后3次，计算平均值。
c)使用同一个摆，将摆角设置为45度，像刚才那样记录10秒钟摆锤摆动的次数。
d)将摆角设置为60度，像刚才那样记录10秒钟摆锤摆动的次数。
（2）探究单摆周期与摆球质量的关系a)用摆线钩住2个钩码，使钩码成为摆锤。
使摆线长50厘米，摆角为30度，松手。
数出并记录10秒钟摆锤摆动的次数，前后3次，计算平均值。
b)用摆线钩住3个钩码，使钩码成为摆锤。
使摆线长50厘米，摆角为30度，松手。
数出并记录10秒钟摆锤摆动的次数，前后3次，计算平均值。
（3）探究单摆周期与摆长的关系a)用摆线钩住1个钩码，使钩码成为摆锤。
使摆线长30厘米，摆角为30度，松手。
数出并记录10秒钟摆锤摆动的次数，前后3次，计算平均值。
b)使用同一个摆，使摆线长10厘米，摆角为30度，松手。
数出并记录10秒钟摆锤摆动的次数，前后3次，计算平均值。
注意：实验中摆来回一次算作摆动1次，对于不足1次或是超过1次的可以视摆动过程采用四舍五入的方法T=t/x t；所用时间 x:摆动次数三、实验现象（1）探究单摆频率与摆角的关系（2）探究单摆周期与摆球质量的关系（3）探究单摆周期与摆长的关系四、实验结论（1）摆的摆动频率与摆角的大小没有关系（2）摆的摆动频率与摆锤轻重没有关系（3）摆的摆动频率与摆线的长度有关：摆线越长，摆动频率越慢；摆线越短，摆动频率越快。
单摆周期测量
实验一 单摆实验【实验目的】1. 用单摆测定重力加速度g;2. 学习用最小二乘法作直线拟合;3. 学习使用计时仪器（秒表、电子计时器） 【实验原理】 1) 周期与摆角的关系在忽略空气阻力和浮力的情况下，由单摆振动时能量守恒，可以得到质量为m 的小球在摆角为θ处动能和势能之和为常量，即：022E )cos 1(mgL dt d mL 21=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛θθ （1） 式中，L 为单摆摆长，θ为摆角，g 为重力加速度，t 为时间，0E 为小球的总机械能。
因为小球在摆幅为m θ处释放，则有：)cos 1(0m mgL E θ-=代入（1）式，解方程得到⎰-=m0mcos cos d gL T 42θθθθ （2） （2）式中T 为单摆的振动周期。
令)2/sin(m k θ=，并作变换ϕθsin )2/sin(k =有⎰-=2/022sin 14T πϕϕk d gL这是椭圆积分,经近似计算可得到 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 2sin 411g L 2T m 2θπ＝ （3） 在传统的手控计时方法下，单次测量周期的误差可达0.1-0.2s ，而多次测量又面临空气阻尼使摆角衰减的情况，因而（3）式只能考虑到一级近似，不得不将)2(sin 412mθ项忽略。
但是，当单摆振动周期可以精确测量时，必须考虑摆角对周期的影响，即用二级近似公式。
在此实验中，测出不同的m θ所对应的二倍周期T 2，作出)2(sin 22mT θ-图，并对图线外推，从截距2T 得到周期T ，进一步可以得到重力加速度g 。
2) 周期与摆长的关系如果在一固定点上悬挂一根不能伸长无质量的线，并在线的末端悬一质量为m 的质点，这就构成一个单摆。
当摆角θm 很小时（小于3°），单摆的振动周期T 和摆长L 有如下近似关系；gL T π2=或g L T 224π= （4）当然，这种理想的单摆实际上是不存在的，因为悬线是有质量的，实验中又采用了半径为r 的金属小球来代替质点。
单摆公式的推导过程
单摆公式的推导过程
我们要推导单摆的周期公式。
首先，我们需要了解单摆的运动性质和相关的物理量。
假设单摆的长度为 L，质量为 m，摆角为θ（θ 很小时，可以认为θ ≈ sinθ）。
1. 单摆在摆动过程中，受到重力和绳子的拉力。
由于绳子是刚性的，所以拉力始终与摆线垂直。
2. 重力沿绳子方向的分量提供向心力，而垂直于绳子方向的分量则使摆角减小。
3. 当摆角很小（θ < 10°）时，可以认为sinθ = θ。
4. 重力沿绳子方向的分量大小为mgsinθ，垂直于绳子方向的分量大小为mgcosθ。
5. 摆动的周期是 T，它等于摆角从0° 到最大角度再回到0° 的时间。
6. 在摆动过程中，单摆的动能和势能相互转化。
当摆角为θ 时，摆的动能E_k = (1/2)Iω^2 = (1/2)mL^2(θ')^2，势能 E_p = mgL(1 - cosθ)。
7. 由于摆动是周期性的，所以动能和势能在整个周期内相互转化。
在一个周期内，它们的总和保持不变。
8. 利用能量守恒和微积分的知识，我们可以推导出单摆的周期公式。
综上所述，我们可以通过能量守恒和微积分的知识来推导单摆的周期公式。
1 实验十一 探究单摆周期与摆长的关系
实验十一探究单摆周期与摆长的关系一、实验目的1．知道把单摆的运动看做简谐运动的条件．2．会探究与单摆的周期有关的因素．3．会用单摆测定重力加速度．二、实验原理单摆在摆角小于10°时，其振动周期跟摆角的大小和摆球的质量无关，单摆的周期公式是T＝2πlg，由此得g＝4π2lT2，因此测出单摆的摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度值．三、实验器材带孔小钢球一个、细丝线一条(长约1 m)、毫米刻度尺一把、秒表、游标卡尺、带铁夹的铁架台．四、实验步骤1．做单摆：取约1 m 长的细丝线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂．2．测摆长：用米尺量出摆线长l (精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D (也精确到毫米)，则单摆的摆长l ′＝l ＋D2.3．测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于10°)，然后释放小球，记下单摆做30～50次全振动的总时间，算出平均每一次全振动的时间，即为单摆的振动周期．反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值．4．改变摆长，重做几次实验． 五、数据处理1．公式法：将测得的几次的周期T 和摆长l 代入公式g ＝4π2lT 2中算出重力加速度g 的值，再算出g 的平均值，即为当地的重力加速度的值．2．图象法：由单摆的周期公式T ＝2π·l g 可得l ＝g4π2T 2，因此以摆长l 为纵轴、以T 2为横轴作出的l －T 2图象是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k ，即可求出g 值．g ＝4π2k ，k ＝lT 2＝Δl ΔT 2.六、注意事项1．选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m 左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm.2．单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象．3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过10°.可通过估算振幅的办法掌握． 4．摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆．5．计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记．以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时按下秒表，开始计时计数．七、误差分析1．系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求．即：悬点是否固定，摆球是否可看做质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等．只要注意了上面这些问题，就可以使系统误差减小到远小于偶然误差而达到忽略不计的程度．2．偶然误差：主要来自时间(即单摆周期)的测量上．因此，要注意测准时间(周期)．要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4，3，2，1，0，1，2，…在数“零”的同时按下秒表开始计时．不能多计或漏计振动次数．为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值．对实验原理操作及误差分析的考查【典题例析】某同学利用单摆测量重力加速度．(1)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是________．A．组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球B．组装单摆须选用轻且不易伸长的细线C．实验时须使摆球在同一竖直面内摆动D．摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大(2)如图所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1 m的单摆．实验时，由于仅有量程为20 cm、精度为1 mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL.用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g＝________．[解析](1)应选用密度较大且直径较小的摆球，A错．在摆动中要尽力保证摆长不变，故应选用不易伸长的细线，B对．摆动中要避免单摆成为圆锥摆，摆球要在同一竖直面内摆动，C对．摆动中摆角要控制在5°以内，所以D错．(2)设两次摆动时单摆的摆长分别为L1和L2，则T1＝2πL1g，T2＝2πL2g，则ΔL＝g4π2·(T21－T22)，因此，g＝4π2ΔLT21－T22.[答案](1)BC(2)4π2ΔLT21－T22(1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°.(2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放．(3)测周期的方法①要从摆球过平衡位置时开始计时．因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大．②要测多次全振动的时间来计算周期．如在摆球从某一方向经过平衡位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次．某实验小组在探究单摆周期与摆长的关系的实验中：(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图所示，则该摆球的直径为________cm.(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________(填选项前的字母)．A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为t100C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小解析：(1)主尺刻度加游标尺刻度的总和等于最后读数，0.9 cm＋7×110mm＝0.97 cm，不需要估读．(2)单摆在摆角较小时才能看做简谐运动，其周期公式才成立，为减小计时误差，应从摆球速度最大的最低点瞬间计时，A错误；通过最低点100次的过程中，经过的时间是50个周期，B错误；应选用密度较大、直径较小的球以减小空气阻力的影响，D错误；悬线的长度加摆球的半径才等于摆长，由单摆周期公式T＝2πl＋rg可知，若摆长记录值偏大，测定的重力加速度也偏大，C正确．答案：(1)0.97(2)C对实验数据处理的考查【典题例析】(2020·湖州调研)下表是探究单摆周期与摆长的关系实验中获得的有关数据：(2)利用图象，取T2＝4.2 s2时，l＝________m．重力加速度g＝________m/s2.[解析](1)由T＝2πl g得g＝4π2·lT2或l＝g4π2·T2，所以图象是过原点且斜率为g4π2的一条直线．l－T2图象如图所示．(2)T2＝4.2 s2时，从图中画出的直线上可读出其摆长l＝1.05 m，将T2与l代入公式g＝4π2l2.T2，得g＝9.86 m/s[答案](1)见解析图(2)1.059.86某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素．(1)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图所示．这样做的目的是________(填字母代号)．A．保证摆动过程中摆长不变B．可使周期测量得更加准确C．需要改变摆长时便于调节D．保证摆球在同一竖直平面内摆动(2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L ＝0.999 0 m ，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图所示，则该摆球的直径为________mm ，单摆摆长为________m.(3)下列振动图象真实地描述了对摆长约为1 m 的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始，A 、B 、C 均为30次全振动的图象，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是______(填字母代号)．解析：(1)用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线的目的是保证摆动过程中摆长不变，需要改变摆长时便于调节，A 、C 正确．(2)根据游标卡尺读数规则，摆球直径为12.0 mm ，单摆摆长为L －d2＝0.999 0 m －0.0060 m ＝0.993 0 m.(3)单摆测量周期，必须从平衡位置开始计时，且摆角小于10°，所以合乎实验要求且误差最小的是A.答案：(1)AC(2)12.00.993 0(3)A[随堂检测]1．(2020·丽水质检)在“用单摆测定重力加速度”的实验中：(1)下面所给器材中，选用哪些器材较好，请把所选用器材前的字母依次填写在题后的横线上．A．长1 m左右的细线B．长30 cm左右的细线C．直径2 cm的铅球D．直径2 cm的铝球E．秒表F．时钟G．最小刻度是厘米的直尺H．最小刻度是毫米的直尺所选用的器材是________．(2)实验时对摆线偏离竖直线的偏角要求是___________________________________．解析：本实验的原理：振动的单摆，当摆角＜10°时，其振动周期与摆长的平方根成正比，与重力加速度的平方根成反比，而与偏角的大小(振幅)、摆球的质量无关，周期公式为T＝2πlg，变换这个公式可得g＝4π2lT2.因此，本实验中测出单摆的摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值，本实验的目的是测量重力加速度g的值，而非验证单摆的振动规律．因此实验中应选用较长的摆长l，这样既能减小摆长的测量误差，又易于保证偏角θ不大于10°，而且由于振动缓慢，方便计数和计时．本实验所用的实际摆要符合理论要求，摆长要有1 m左右，应选用不易伸长的细线，摆球直径要小于2 cm，应选用较重的小球，故选A、C.由于重力加速度g与周期的平方成反比，周期T的测量误差对g的影响是较大的，所用计时工具应选精确度高一些的，故选E.由于摆长l 应是悬点到铅球的边缘的距离l 加上铅球的半径r .铅球半径用游标卡尺测量出(也可由教师测出后提供数据)，因此l 应读数准确到毫米位．实验中应用米尺或钢卷尺来测量，故选H.答案：(1)A 、C 、E 、H (2)小于10°2．(2016·10月浙江选考)在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，测量单摆的周期时，图中________(填“甲”“乙”或“丙”)作为计时开始与终止的位置更好些．答案：乙3．某同学在做“利用单摆测重力加速度”的实验时，先测得摆线长为101.00 cm ，摆球直径为2.00 cm ，然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间为101.5 s ，则(1)他测得的重力加速度g ＝________m/s 2.(2)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l 并测出相应的周期T ，从而得出一组对应的l 与T 的数据，再以l 为横坐标、T 2为纵坐标将所得数据连成直线，并求得该直线的斜率k .则重力加速度g ＝________．(用k 表示)解析：(1)本次实验中的摆长l ＝L ＋r ＝(101.00＋1.00)cm ＝1.020 0 m ，周期T ＝t N ＝101.550s ＝2.03 s ，由公式g ＝4π2lT2可以解得g ＝9.76 m/s 2.(2)由公式g ＝4π2l T 2得：T 2＝4π2g l ，这是一条T 2关于l 的一元一次函数(如y ＝kx )，所以它的斜率是k ＝4π2g ，所以g ＝4π2k.答案：(1)9.76 (2)4π2k4．(2020·湖州质检)在做“用单摆测定重力加速度”的实验过程中：(1)小李同学用游标卡尺测得摆球的直径如图所示，则摆球直径d ＝________cm.(2)小张同学实验时却不小心忘记测量小球的半径，但测量了两次摆线长和周期，第一次测得悬线长为L 1，对应振动周期为T 1，第二次测得悬线长为L 2，对应单摆的振动周期为T 2，根据以上测量数据也可导出重力加速度的表达式为________．解析：(1)游标卡尺为20分度，精确度为0.05 mm ，主尺读数为20 mm ，游标尺读数为0.05×6＝0.30 mm ，所以测得摆球的直径d ＝2.030 cm.(2)设摆球半径为r ，则：T 1＝2πL 1＋r g ，T 2＝2π L 2＋r g 联立两式解得：g ＝4π2（L 1－L 2）T 21－T 22. 答案：(1)2.030 (2)4π2（L 1－L 2）T 21－T 22。
[讲解]单摆法重力加速度的测定
![[讲解]单摆法重力加速度的测定](https://img.taocdn.com/s3/m/b5da46cfac51f01dc281e53a580216fc700a5383.png)
重力加速度的测定单摆法实验内容1．学习使用秒表、米尺。
2．用单摆法测量重力加速度。
教学要求1.理解单摆法测量重力加速度的原理。
2.研究单摆振动的周期与摆长、摆角的关系。
3.学习在实验中减小不确定度的方法。
实验器材单摆装置（自由落体测定仪），秒表，钢卷尺重力加速度是物理学中一个重要参量。
地球上各个地区重力加速度的数值，随该地区的地理纬度和相对海平面的高度而稍有差异。
一般说，在赤道附近重力加速度值最小，越靠近南北两极，重力加速度的值越大，最大值与最小值之差约为1/300。
研究重力加速度的分布情况，在地球物理学中具有重要意义。
利用专门仪器，仔细测绘各地区重力加速度的分布情况，还可以对地下资源进行探测。
伽利略在比萨大教堂内观察一个圣灯的缓慢摆动，用他的脉搏跳动作为计时器计算圣灯摆动的时间，他发现连续摆动的圣灯，其每次摆动的时间间隔是相等的，与圣灯摆动的幅度无关，并进一步用实验证实了观察的结果，为单摆作为计时装置奠定了基础。
这就是单摆的等时性原理。
应用单摆来测量重力加速度简单方便，因为单摆的振动周期是决定于振动系统本身的性质，即决定于重力加速度g和摆长L，只需要量出摆长，并测定摆动的周期，就可以算出g值。
实验原理单摆是由一根不能伸长的轻质细线和悬在此线下端体积很小的重球所构成。
在摆长远大于球的直径，摆球质量远大于线的质量的条件下，将悬挂的小球自平衡位置拉至一边（很小距离，摆角小于5°），然后释放，摆球即在平衡位置左右作周期性的往返摆动，如图2-1所示。
f =P sinθfθT=P cosθP = mg L摆球所受的力f 是重力和绳子张力的合力，f 指向平衡位置。
当摆角很小时（θ<5°），圆弧可近似地看成直线，f 也可近似地看作沿着这一直线。
设摆长为L ，小球位移为x ，质量为m ，则sin θ=L xf=psin θ=-mg L x =-m L gx （2-1）由f=ma ，可知a=-Lgx式中负号表示f 与位移x 方向相反。
单摆实验报告
单摆实验报告实验目的：通过对单摆实验的观测和计算，研究单摆的周期与摆长、摆角、重力加速度之间的关系，并验证单摆的周期公式。
实验仪器和材料：1. 单摆装置（包括支架、线、球等）2. 计时器3. 尺子4. 毛笔或其他标识工具实验原理：单摆是指一个自由悬挂物体在固定点围绕垂直于摆线的转动轴作周期性振动的现象。
对于单摆，其周期T与摆长L、摆角θ以及重力加速度g之间存在如下关系：T = 2π * √(L / g)实验步骤：1. 将单摆装置安装在支架上，并调整线的长度，使得摆球能够自由悬挂、摆动。
2. 将单摆的摆长L测量出来，并记录下来。
3. 将摆球拉至一侧，然后释放，开始计时。
4. 当摆球摆回原位置时，停止计时，并记录下时间t。
5. 重复上述步骤3-4，进行多次实验，并记录下不同时间t对应的摆长L和摆角θ的值。
数据处理与分析：1. 根据所记录的不同时间t对应的摆长L和摆角θ的值，可以使用三角函数关系计算出cosθ的值。
2. 利用周期公式：T = 2π * √(L / g) ，可以求解得到摆长L与周期T的关系。
3. 将摆长L与周期T的关系绘制成图表，以直观地观察二者之间的关系。
4. 利用数据拟合方法，拟合出摆长L与周期T的函数关系，验证周期公式。
实验注意事项：1. 实验过程中要保证摆球的起始位置与摆面做垂直线，以保证摆动的准确性。
2. 在做多次实验时，要尽量保证每次实验的摆角θ接近于相同的角度，以减小误差的影响。
3. 实验中应注意观察和记录，保证数据的准确性。
实验结果与结论：通过实验观察和数据处理，我们可以得到摆长L与周期T之间存在线性关系，即符合周期公式。
实验结果验证了单摆的周期公式，并且证明了重力加速度对单摆周期的影响。
实验探究单摆的摆长和周期的关系
实验十四 探究单摆的摆长与周期的关系1.实验原理当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T ＝2πlg，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g ＝4π2lT 2.因此，只要测出摆长l 和振动周期T ，就可以求出当地的重力加速度g 的值. 2.实验器材带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1 m)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺. 3.实验步骤(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆. (2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图1所示.图1(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l ′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r ，计算出摆长l ＝l ′＋r .(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t ，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T ＝tN (N 为全振动的次数)，反复测3次，再算出周期的平均值T ＝T 1＋T 2＋T 33.(5)根据单摆周期公式T ＝2πl g ，计算当地的重力加速度g ＝4π2l T2. (6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值.(7)将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因.1.注意事项(1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°.(2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放.(3)测周期的方法：①要从摆球过平衡位置时开始计时.因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大.②要测多次全振动的时间来计算周期.如在摆球过平衡位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次.(4)本实验可以采用图象法来处理数据.即用纵轴表示摆长l ，用横轴表示T 2，将实验所得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率k ＝g4π2.这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要方法. 2.数据处理处理数据有两种方法：(1)公式法：测出30次或50次全振动的时间t ，利用T ＝tN 求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值T ，然后利用公式g ＝4π2lT2求重力加速度.(2)图象法：由单摆周期公式不难推出：l ＝g4π2T 2，因此，分别测出一系列摆长l 对应的周期T ，作l －T 2的图象，图象应是一条通过原点的直线，如图2所示，求出图线的斜率k ＝ΔlΔT 2，即可利用g ＝4π2k 求重力加速度.图23.误差分析(1)系统误差的主要来源：悬点不固定，球、线不符合要求，振动是圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等.(2)偶然误差主要来自时间的测量，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计全振动次数.命题点一教材原型实验例1某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素.(1)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图3所示，这样做的目的是________(填字母代号).图3A.保证摆动过程中摆长不变B.可使周期测量更加准确C.需要改变摆长时便于调节D.保证摆球在同一竖直平面内摆动(2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L＝0.999 0 m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图4所示，则该摆球的直径为________ mm，单摆摆长为________ m.图4(3)下列振动图象真实地描述了对摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程.图中横坐标原点表示计时开始，A、B、C均为30次全振动的图象，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是________(填字母代号).答案 (1)AC (2)12.0 0.993 0 (3)A解析 (1)橡皮的作用是使摆线摆动过程中悬点位置不变，从而保证摆长不变，同时又便于调节摆长，A 、C 正确；(2)根据游标卡尺读数规则可得摆球直径为d ＝12 mm ＋0.1 mm ×0＝12.0 mm ，则单摆摆长为L 0＝L －d2＝0.993 0 m(注意统一单位)；(3)单摆摆角不超过5°，且计时位置应从最低点(即速度最大位置)开始，故A 项的操作符合要求.变式1 某同学用单摆测当地的重力加速度.他测出了摆线长度L 和摆动周期T ，如图5(a)所示.通过改变悬线长度L ，测出对应的摆动周期T ，获得多组T 与L ，再以T 2为纵轴、L 为横轴画出函数关系图象如图(b)所示.由图象可知，摆球的半径r ＝________ m ，当地重力加速度g ＝________ m/s 2；由此种方法得到的重力加速度值与实际的重力加速度值相比会________(选填“偏大”“偏小”或“一样”)图5答案 1.0×10－2 9.86 一样 命题点二 实验拓展与创新例2 (2015·天津理综·9(2))某同学利用单摆测量重力加速度. (1)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是________. A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球 B.组装单摆须选用轻且不易伸长的细线 C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动D.摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大(2)如图6所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1 m的单摆.实验时，由于仅有量程为20 cm、精度为1 mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL.用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g＝________.图6答案(1)BC(2)4π2ΔLT21－T22解析(1)在利用单摆测重力加速度实验中，为了使测量误差尽量小，须选用密度大、半径小的摆球和不易伸长的细线，摆球须在同一竖直面内摆动，摆长一定时，振幅尽量小些，以使其满足简谐运动条件，故选B、C.(2)设第一次摆长为L，第二次摆长为L－ΔL，则T1＝2πLg，T2＝2πL－ΔLg，联立解得g＝4π2ΔLT21－T22.变式2为了研究滑块的运动，选用滑块、钩码、纸带、毫米刻度尺、带滑轮的木板以及由漏斗和细线构成的单摆等组成如图7甲所示装置，实验中，滑块在钩码作用下拖动纸带做匀加速直线运动，同时让单摆垂直于纸带运动方向做小摆幅摆动，漏斗可以漏出很细的有色液体，在纸带上留下的痕迹记录了漏斗在不同时刻的位置，如图乙所示.图7(1)漏斗和细线构成的单摆在该实验中所起的作用与下列哪个仪器相同？________(填写仪器序号).A.打点计时器B.秒表C.毫米刻度尺D.电流表(2)已知单摆周期T＝2 s，在图乙中AB＝24.10 cm，BC＝27.90 cm、CD＝31.90 cm、DE＝36.10 cm，则单摆在经过D点时，滑块的瞬时速度为v D＝________ m/s，滑块的加速度为a＝________ m/s2(结果保留两位有效数字).答案(1)A(2)0.340.040解析(1)单摆振动具有周期性，摆球每隔半个周期经过纸带中线一次，单摆在该实验中所起的作用与打点计时器相同，故选A.(2)在匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度大小等于该过程中的平均速度大小，故有v D＝x CET＝0.34 m/s据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2，有：a＝CD＋DE－(AB＋BC)T2＝0.040 m/s2。
单摆周期原理及公式推导精编版
单摆周期原理及公式推导精编版单摆是一种由质点悬挂于绳线或细线上，并沿垂直方向摆动的装置。
它是一种简谐振动系统，周期取决于摆长和重力加速度。
单摆的周期原理可以通过以下公式推导得出：首先，考虑单摆的平衡位置，设质点离开平衡位置的位移为x，取向右为正方向，摆长为L，质点的质量为m，重力加速度为g。
质点受到的重力作用为mg，沿切线方向分解为mg*sinθ，其中θ为摆角。
根据牛顿第二定律，质点受到的合力可以表示为m*a，其中a为质点沿切线方向的加速度。
根据几何关系，sinθ=x/L，对θ进行求导得到cosθ*dθ/dt=(1/L)*dx/dt，其中t为时间。
由于质点沿切线方向的速度dx/dt可以表示为a*L*cosθ，代入上式可得：cosθ*dθ/dt=(1/L)*a*L*cosθ。
将此式化简，得到dθ/dt=(g/L)*sinθ，再将此式求解，得到dθ/sinθ=(g/L)dt。
对上式从θ=0到θ=θ，t从0到T积分，得到∫(1/sinθ)dθ=(g/L)∫dt。
对左边积分结果进行换元，将1/sinθ转换为2/cos(θ/2)sin(θ/2)，得到2ln[cos(θ/2)+sin(θ/2)]。
对右边积分结果进行替换，得到∫dt=T，代入上式化简得到：2ln[cos(θ/2)+sin(θ/2)]=T*(g/L)。
再对上式两边取指数，得到exp(2ln[cos(θ/2)+sin(θ/2)])=exp(T*(g/L))，化简得到：cos(θ/2)+sin(θ/2)=exp(T*(g/L)/2)。
再应用三角恒等式，cos(θ/2)+sin(θ/2)=sqrt(2)sin(θ/4+π/4)，得到sqrt(2)sin(θ/4+π/4)=exp(T*(g/L)/2)。
对上式两边取平方，得到2sin^2(θ/4+π/4)=exp(T*(g/L))。
利用三角恒等式sin^2x=(1-cos2x)/2，代入上式化简得到：1-cos(θ/2+π/2)=exp(T*(g/L))。
单摆在不同角度下的周期变化
单摆在不同角度下的周期变化引言：单摆是物理学中一种经典的力学系统，其周期变化是一个有趣且复杂的现象。
本文将探讨单摆在不同角度下的周期变化规律，并分析其背后的原理和影响因素。
一、周期定义和基本原理周期是指一个物理量在一定时间内完成一个完整的循环或重复运动的时间间隔。
对于单摆而言，周期即为摆动一次所需要的时间。
单摆的周期与摆长、重力加速度以及摆角有关。
二、小角度下的周期变化当单摆摆角较小（通常小于10°）时，可以近似认为单摆的运动是简谐振动。
根据简谐振动的特性，周期与摆长成正比，与重力加速度和摆角无关。
换言之，无论摆角如何变化，单摆的周期都保持不变。
三、中等角度下的周期变化当单摆摆角较大（通常在10°-30°之间）时，简谐振动的近似不再成立。
此时，周期与摆角的大小有关，呈现出一定的变化规律。
实验表明，摆角越大，周期越长。
这是因为摆角增大会导致摆锤在摆动过程中受到空气阻力的影响增大，从而减缓了摆动的速度，进而延长了周期。
四、大角度下的周期变化当单摆摆角大于30°时，周期的变化规律更为复杂。
此时，摆角的变化不仅会受到空气阻力的影响，还会产生非线性效应。
实验观测发现，摆角增大到一定程度后，周期会出现明显的变化，呈现出周期倍增、周期减半等现象。
这是由于非线性效应导致周期变得不规则，无法简单地用摆角来描述。
五、影响周期的其他因素除了摆角的大小，还有一些其他因素会影响单摆的周期。
首先是摆长的变化，摆长越大，周期越长。
其次是重力加速度的变化，重力加速度越大，周期越短。
此外，温度、摆锤质量等因素也会对周期产生一定的影响。
六、应用和实际意义单摆周期的研究不仅是对力学规律的探索，也有一定的应用价值。
例如，单摆的周期计时装置被广泛应用于钟表、钟摆等领域。
此外，研究单摆周期的变化规律还可以帮助我们更好地理解其他复杂的振动系统，如摆钟、摆线等。
结论：单摆在不同角度下的周期变化呈现出不同的规律。
实验十二探究单摆周期与摆长的关系
后,测出几组不同摆长L和周期T旳
数值,画出如图7旳T2—L图象,并算
出图线旳斜率为k,则本地旳重力加 图7
速度g=
(用符号表达).
(3)丙、丁两同学合作测量重力加速度,也测出
几组不同摆长L和周期T旳数值.丙用T2—L图象
法处理求得重力加速度为g丙;丁用公式法T=
2π
L g
处理求得重力加速度为g丁,试验后他们发
图4
(1)既有如下测量工具:A.时针;B.秒表;C.天平;
D.毫米刻度尺.本试验所需旳测量工具有
.
(2)假如试验中所得到旳T2-L关系图象如图乙所
示,那么真正旳图象应该是a、b、c中旳
.
(3)由图象可知,小筒旳深度h=
m;本地旳
重力加速度g= m/s2.
解析 本试验主要考察用单摆测重力加速度旳
试验环节、试验措施和数据处理措施.
卡尺测出摆球旳直径d,即得出小球旳半径为d ,
计算出摆长l=l′+ d .
2
4.把单摆从平衡位置处2 拉开一种很小旳角度(不超
过5°),然后放开小球,让小球摆动,待摆动平稳
后测出单摆完毕N(一般为30～50)次全振动所
用
旳时间t,计算出小球完毕1次全振动所用旳时间,
这个时间就是单摆旳振动周期,即T=
大旳小球,摆角不超出5°. 2.要使摆球在同一竖直面内摆动,不能形成圆锥摆,
措施是将摆球拉到一定位置后由静止释放. 3.测周期旳措施：
(1)要从摆球过平衡位置时开始计时,因为此处速 度大、计时误差小,而最高点速度小、计时误差大. (2)要测屡次全振动旳时间来计算周期.如在摆 球过平衡位置开始计时,且在数“零”旳同步按 下秒表,后来摆球从同一方向经过最低位置时计 数1次.
探索单摆的周期与摆幅关系
探索单摆的周期与摆幅关系单摆是一种简单而又优雅的物理现象，它可以帮助我们理解周期与摆幅之间的关系。
在这篇文章中，我们将探索单摆的周期与摆幅之间的关系，并试图找到一个数学表达式来描述它们之间的规律。
单摆是由一个质点通过一根不可伸长的细线悬挂在固定支点上形成的，它可以在重力的作用下来回摆动。
重力与绳线的张力共同作用在质点上，导致质点沿着一个弧线运动。
我们将假设摆长为L，质点的摆幅为θ。
摆幅是指质点离开平衡位置的最大角度。
首先，我们先来考虑单摆的周期与摆幅之间的关系。
周期是指单摆从一个极端位置摆动到另一个极端位置所需要的时间。
根据观察，我们可以发现，周期随着摆幅的增大而增大。
这是因为较大的摆幅意味着质点需要更长的时间来完成一次完整的振动。
进一步研究我们可以使用数学来描述它们之间的规律。
根据单摆的动力学方程，可以得到摆动周期T和摆幅θ的关系为：T = 2π√(L/g) 公式1其中，g代表重力加速度。
这个公式告诉我们，单摆的周期与其摆长的开方成正比。
也就是说，如果我们增大单摆的摆长L，那么其周期T也会随之增大。
这和我们之前的观察是一致的。
接下来，让我们看一下摆长和摆幅之间的关系。
观察可以发现，当摆长较小的时候，摆幅较大；而当摆长较大的时候，摆幅较小。
这是因为较大的摆长意味着质点的运动范围更大，这导致质点挥动的角度更小。
为了数学上描述这种关系，我们可以使用正弦函数。
正弦函数是一个周期性的函数，它的图像是一条波浪线。
我们可以用正弦函数来表示摆幅和角度之间的关系，公式如下：θ = A sin(ωt) 公式2其中，A是摆幅，ω是角速度，t是时间。
通过将这个公式应用到单摆中，我们可以得到摆幅和摆长之间的关系为：θ = A sin(√(g/L) *t) 公式3通过这个公式，我们可以看出，摆幅与摆长有一个反比关系。
也就是说，当摆长增大时，摆幅减小。
这与我们之前的观察是一致的。
综上所述，单摆的周期与摆幅之间存在着一定的关系。
单摆的周期与摆角的关系
g sin θ = l
将（2）分离变量
& & dθ & dθ dθ & dθ =l = lθ dt dθ dt dt
mg
θ&dθ& =
两边积分
θ&
g sin θdθ l g
θ
（3）
∫ θ&dθ& = l ∫θ sinθdθ ，
0
m
由此可得
θ& =
dθ = dt
2g (cosθ m − cosθ ) l
dθ =
2k cosϕ 1 − k 2 sin 2 ϕ T = 4∫
dϕ 。将上述各式代入（6） ，可得 l π /2 dϕ ∫ 0 g 1 − k 2 sin 2 ϕ
2 2
T /4
0
dt = 4
（9）
（9）式的积分无解析解，由于 k 、 sin
ϕ 很小，可对被积函数作泰勒级数展开，
（10）
1 1 − k sin ϕ
单摆的周期与摆角的关系
单摆在摆角小于 50时，周期可认为与偏向角无关， T0 = 2π
l 。但当偏向角变大时， g
单摆的周期则与偏向角有关。如图，单摆在任一摆角θ时的运动方程为：
mgl sin θ = ml 2
d 2θ dt 2
（1） θ l m （2）
dθ & 令 = θ ，方程（1）可写为 dt
2 2
= 1+
1 2 2 1⋅ 3 4 4 k sin ϕ + k sin ϕ + L 2 2⋅4
将（10）式代入（9）式，得
T =4
l π /2 1 1⋅ 3 4 4 (1 + k 2 sin 2 ϕ + k sin ϕ + L)dϕ ∫ g 0 2 2⋅ 4
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（4）
式中，θ m 为偏向角的最大值。将（4）分离变量，dt =
l 2g
dθ (cosθ m − cosθ )
（5）
当单摆从最低处摆到最高处时，摆角从 0→θm，需要时间为T/4，故对（5）积分，可得
T = 4∫
T /4
0
dt = 4
l θm dθ ∫ 2 g 0 (cosθ m − cosθ )
2 θm 2θ
单摆的周期与摆角的关系
单摆在摆角小于 50时，周期可认为与偏向角无关， T0 = 2π
l 。但当偏向角变大时， g
单摆的周期则与偏向角有关。如图，单摆在任一摆角θ时的运动方程为：
mgl sin θ = ml 2
d 2θ dt 2
（1） θ l m （2）
dθ & 令 = θ ，方程（1）可写为 dt
2 2
= 1+
1 2 2 1⋅ 3 4 4 k sin ϕ + k sin ϕ + L 2 2⋅4
将（10）式代入（9）式，得
T =4
l π /2 1 1⋅ 3 4 4 (1 + k 2 sin 2 ϕ + k sin ϕ + L)dϕ ∫ g 0 2 2⋅ 4
l π 1 π 2 1 32 π 4 =4 ( + k + 2 2 k + L) g 2 22 2 2 4 2
（6）
由于 cosθ m − cosθ =
2(sin
2
− sin
2
) = in 2 sin
2
θ
2 2
（7）
θm
sin
令
θ
2 = sin ϕ , 2 sin
sin
θm
θm
2
=k
（8）
则（6）式中的 cosθ m − cosθ =
2k cos ϕ ， θ = 2 sin −1 ( k sin ϕ ) ，
dθ =
2k cosϕ 1 − k 2 sin 2 ϕ T = 4∫
dϕ 。将上述各式代入（6） ，可得 l π /2 dϕ ∫ 0 g 1 − k 2 sin 2 ϕ
2 2
T /4
0
dt = 4
（9）
（9）式的积分无解析解，由于 k 、 sin
ϕ 很小，可对被积函数作泰勒级数展开，
（10）
1 1 − k sin ϕ
g sin θ = l
将（2）分离变量
& & dθ & dθ dθ & dθ =l = lθ dt dθ dt dt
mg
θ&dθ& =
两边积分
θ&
g sin θdθ l g
θ
（3）
∫ θ&dθ& = l ∫θ sinθdθ ，
0
m
由此可得
θ& =
dθ = dt
2g (cosθ m − cosθ ) l
θ 1 1 32 2 θm + 2 2 sin 4 m + L) = T0 (1 + 2 sin 2 2 2 4 2
此即为课本 15 页（15-12）式的来历。
（11）