高中数学第一章三角函数1.1.2弧度制练习新人教A版必修4

1.1.2 弧度制
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分) 1．把－8π
3化成角度是( )
A ．－960°
B ．－480°
C ．－120°
D ．－60°
2．把2100°化成弧度是( ) A.35π
3
B ．10π C.
28π3 D.25π
3
3．已知α＝9
8π，则角α的终边在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．终边在y 轴的非负半轴上的角的集合是( ) A ．{α|α＝k π，k∈Z }
B.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π
2，k∈Z
C ．{α|α＝2k π，k ∈Z }
D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π
2，k ∈Z
5．扇形的圆心角为π
3，且所在圆的半径长为a ，则该扇形内切圆的面积与该扇形的面
积之比为( )
A ．1∶3
B ．2∶3
C ．4∶3
D ．4∶9
6．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为( )
A.
π3 B.2π3
C. 3 D ．2
7．集合⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π
2，k ∈Z 中的角的终边所表示的范围是( )
图L1­1­3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
8．上午8点时，时钟的时针、分针所成的较小的角的弧度数为________．
9．圆的半径变为原来的1
2，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的________倍．
10．在直径为20 cm 的圆中，圆心角为150°时所对的弧长为________．
11．某扇形所在圆的半径为2，如果扇形的周长等于它所在圆的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________弧度，扇形面积是________．
12．(12分)将下列各角转化成2k π＋α(k ∈Z ，且0≤α<2π)的形式，并指出它们是第几象限角．
(1)－1725°；(2)64π
3
.
13.(13分)一个扇形的周长为l ，扇形的圆心角、扇形所在圆的半径各取何值时，此扇形的面积最大？
14．(5分)若α，β满足－
π2<α<β<π
2
，则α－β的取值范围是________． 15．(15分)如图L1­1­4所示，动点P ，Q 从点A(4，0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3 rad ，点Q 按顺时针方向每秒钟转π
6 rad ，求P ，Q 两点第一次相遇时经
过的时间及P ，Q 两点各自走过的弧长．
图L1­1­4
1．B [解析] －8π3＝－8
3
×180°＝－480°.
2．A [解析] 2100°＝2100×π180＝35π
3
.
3．C [解析] ∵π<98π<3
2
π，∴角α的终边在第三象限．
4．D [解析] A 选项表示的角的终边在x 轴上；B 选项表示的角的终边在y 轴上；C 选项表示的角的终边在x 轴的非负半轴上；D 选项表示的角的终边在y 轴的非负半轴上．故选D.
5．B [解析] 如图，设该扇形内切圆的半径为r ，则sin ∠O′OC＝r OO′＝r a －r ＝sin π
6，
即r a －r ＝12，∴a ＝3r.故S 扇＝12a 2·π3＝16πa 2
，S 圆＝π·(a 3)2＝a 2
π9， ∴S 圆∶S 扇＝2∶3.
6．C [解析] 设该圆弧所在圆的半径为r ，则圆内接正三角形的边长为2rsin 60°＝
3r ，所以该圆弧长为3r ，其圆心角的弧度数的绝对值为3r
r
＝ 3.
7．C [解析] 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π
2
；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，
2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π
2.故选C.
8.2π
3
[解析] 8点时，时钟的时针正好指向刻度8，分针正好指向刻度12，此时时针、分针所成的较小的角的弧度数是2π
3.
9．2 [解析] 由公式θ＝l r 知，半径r 变为原来的1
2
，而弧长不变，则该弧所对的圆心
角变为原来的2倍．
10.25π3 cm [解析] 150°＝150×π180＝5π6，∴l ＝5π6×10＝25π3
(cm)．
11．π－2 2(π－2) [解析] 设该扇形的面积为S ，圆心角为θ.由题意可知，2×2
＋2θ＝2π，所以θ＝π－2，故S ＝12
×(π－2)×22
＝2(π－2)．
12．解：(1)－1725°＝－5×360°＋75°＝－10π＋5π
12
.
∵－1725°与5π
12
终边相同，
又∵5π
12是第一象限角，∴－1725°是第一象限角．
(2)64π3＝20π＋4π3.∵64π3与4π3终边相同，
又∵4π3是第三象限角，∴64π3
是第三象限角．
13．解：设扇形的面积为S ，所在圆的半径为r ，圆心角为α，则扇形弧长为l －2r ，所以
S ＝12(l －2r)·r＝－(r －l 4)2＋l 2
16，故当r ＝l
4，且α＝l －2·l 4l
4
＝2时，扇形的面积最大． 14．(－π，0) [解析] 由题意，得－π2<α<π2，－π2<－β<π
2
，∴－π<α－β<π.
又α<β，∴α－β<0，∴－π<α－β<0.
15．解：设P ，Q 两点第一次相遇时经过了t s ，则t·π3＋t·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4，所以第一次相遇时经过了4 s ，所以P 点走过的弧长为43π×4＝16
3
π，Q 点走过的弧长
为46π×4＝83
π.。