chap2-1 空间几何元素的投影-2
投影基础—基本几何元素投影(机械制图课件)
例:已知四边形ABCD的水平投影abcd及正面 投影a′b′c′,试 完成其正面投影。
模块二 投影基础
任务一 基本几何元素的投影
模块二 投影基础
任务一 基本几何元素的投影
➢投影法和三视图
一、投影法和三视图
1、投影法分类 1）中心投影法
2）平行投影法
斜投影法：投射线倾斜于投影面，所得的投影称为斜投影。 正投影法：投射线垂直于投影面，所得的投影称为正投影。
c.三视图与物体方位的关系 主视图反映物体的上、下和左、右的相对位置关系； 俯视图反映物体的前、后和左、右的相对位置关系； 左视图反映物体的前、后和上、下的相对位置关系。
2. 投影面平行面 正平面：平行于V面并与H、W面垂直的平面； 水平面：平行于H面并与V、W面垂直的平面； 侧平面：平行于W面并与V、H面垂直的平面。
3. 一般位置平面 与三个投影面都倾斜的平面。
4、平面上的点 点在平面上的一直线上，则点一定在该平面上。
例:已知属于△ABC平面的点E的正面投影e′和 点F的水平投影f，试求它们的另一面投影。
2、正投影法基本性质 1）真实性 2）积聚性 3）类似性
3. 三视图
1）三视图的形成 物体的正面投影称为主视图； 物体的水平投影称为俯视图； 物体的侧面投影称为左视图。
为了作图方 便，规定正 面不动
2）三视图之间的关系 a、三视图间的位置关系 b、三视图间的投影关系：长对正，高平齐，宽相等。
模块二 投影基础
任务一 基本几何元素的投影
点的投影
二、 点、直线、平面的投影
2.1 点的投影 1. 点的投影规律 （1）s′s⊥OX （2）s′s″⊥OZ （3）ssX＝s″sZ
Hale Waihona Puke 2. 点的投影与直角坐标的关系
高中数学必修2公开课课件-1.2.1中心投影和平行投影1.2.2空间几何体的三视图
简单组合体的三视图
正视图
侧视图
俯视图 注意：不可见的轮廓线，用虚线画出。
简单组合体的三视图
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
上图是由哪些几何体组成的简 单组合体？
小结
三视图 正视图——从正面看到的图 侧视图——从左面看到的图 俯视图——从上面看到的图 画物体的三视图时,要符合如下原则: 位置：正视图 侧视图
在画图时,看见部分的轮廓通常画成实线,
看不见部分的轮廓线通常画成虚线.
画出六棱锥的三视图
六棱锥
六棱锥的三视图
六棱锥
练习：
请同学们画下面这两个圆台的三视图，如 果你认为这两个圆台的三视图一样，画一 组就可以；如果你认为不一样，请分别画 出来。
正视图、侧视图 俯视图
俯视图
正视图、侧视图
简单组合体的三视图
从正面看到的图
正视图 侧视图
俯视图
长方体的三视图
正视图
侧视图
俯视图
下面的三视图表示的几何体是什么？
正视图
侧视图
俯图
圆柱体
正视图
侧视图
俯视图
答案：圆锥
正视图
侧视图
俯视图
球
画物体的三视图时,要符合如下原则:
A：大小： 长对正（正视图与俯视图）, 高平齐（正视图与侧视图）,
B：虚实: 宽相等（侧视图与俯视图）.
1.2.1中心投影和平行投影
1.中心投影: 由一点向外散射形成的投影
平行投影:平行光线照 射下形成的投影 可以分为:
斜投影 正投影
从上面看到的图
1.2.2空间几何体的三视图
从左边看到的图
三视图：
空间几何体的投影与展开
空间几何体的投影与展开空间几何体是指三维空间中的各种几何形体，包括立方体、圆柱体、圆锥体等。
在进行空间几何体的研究和应用过程中，常常需要进行投影与展开操作。
投影是指将三维物体投射到一个平面上，展开是指将三维物体展开成一个平面上的二维图形。
本文将探讨空间几何体的投影与展开的相关内容。
一、投影投影是指将三维空间中的几何体投射到一个平面上，常用的投影方法包括平行投影和透视投影。
1. 平行投影平行投影是指投影线与平行于投影面的直线平行，它可以保持几何体的形状和大小不变。
平行投影常用于工程制图和计算机图形学中，使得投影结果更加简洁明了。
2. 透视投影透视投影是指投影线与平行于投影面的直线不平行，它能够更加真实地模拟人眼观察物体的效果。
透视投影常用于艺术绘画和建筑设计中，使得投影结果更加生动逼真。
二、展开展开是指将三维几何体展开成一个平面上的二维图形，常用于制作几何体的模型或图纸。
1. 展开的方法展开的方法有多种，根据几何体的形状和特点选择合适的展开方法，常见的展开方法包括剖面展开、几何体展开和切纸展开。
- 剖面展开：通过对几何体进行剖面切割，然后将每个剖面展开得到一个平面图形，最后将这些展开图形拼接在一起形成整个几何体的展开图。
剖面展开常用于复杂几何体的展开，如复杂管道系统的展开制图。
- 几何体展开：直接将几何体的表面展开成一个平面图形，根据几何体的不同，展开方法也不同。
例如，将圆柱体展开成一个矩形，将球体展开成若干个扇形等。
- 切纸展开：通过在纸上切割几何体，然后展开纸，得到几何体的展开图。
切纸展开常用于折纸艺术和立体拼图等。
2. 展开的应用展开技术在工程制图、建筑设计、数学研究等领域都得到了广泛的应用。
- 工程制图：通过几何体的展开图可以制作精确的构件图纸，使得工程施工更加准确高效。
- 建筑设计：通过几何体的展开图可以得到房屋或建筑的平面图，有助于建筑师进行立体构建和空间规划。
- 数学研究：展开技术在数学几何研究中有重要意义，通过展开处理可以简化几何体的计算和分析过程。
数学复习立体几何的投影与展开
数学复习立体几何的投影与展开数学复习立体几何的投影与展开【概述】立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的图形和体形。
其中，立体的投影与展开是立体几何的基本概念之一。
本文将深入讨论立体几何的投影与展开，包括定义、性质、应用等方面的内容，并提供详细的解析和答案。
【一、投影的概念】在立体几何中，投影是指将立体图形或体形影射到平面上的过程。
通过投影，我们可以将三维的实体转化为二维的图像，方便我们进行研究和分析。
投影有两种类型：平行投影和中心投影。
【平行投影】平行投影是指在投影过程中，投影光线与视平面平行。
在平行投影中，原图形与其投影图形的相对位置和形状保持不变。
例如，当我们将一个正方体在垂直于底面的平面上进行平行投影时，我们可以得到一个与原图形形状相同的平行四边形。
【中心投影】中心投影是指在投影过程中，投影光线由立体图形的一个中心点发出。
与平行投影不同的是，中心投影会改变原图形的形状和相对位置。
通过中心投影，我们可以得到更多不同形状的投影图形。
【二、投影的性质】投影具有一些重要的性质，这些性质是我们在解决立体几何问题时的基础。
【性质一：面积关系】在投影过程中，原图形与其投影图形的面积之比保持不变。
这意味着我们可以通过比较两者的面积来推断出一些关于立体图形的性质。
【性质二：相似关系】当投影光线与视平面平行时，原图形与其投影图形相似。
这种相似关系可以帮助我们确定两个立体图形之间的比例关系。
【性质三：距离关系】在平行投影中，平行线上的点在投影后的图像中也保持平行。
这意味着我们可以通过测量两个点在投影图像中的距离来推断它们在原图形中的距离。
【三、展开的概念】在立体几何中，展开是指将一个立体图形通过切割和展开的方式转化成一个平面上的图形。
通过展开，我们可以将一个复杂的立体图形的各个面展示在平面上，方便我们进行计算和分析。
【四、展开的方法】展开一个立体图形有不同的方法，下面我们介绍两种常见且实用的展开方法。
初中数学的归纳与解析空间几何形的投影及应用分析
初中数学的归纳与解析空间几何形的投影及应用分析空间几何形的投影是初中数学中的重要内容，它不仅有助于加深对空间几何形的理解，还可以应用于实际问题的解决。
本文将就初中数学中关于空间几何形的归纳与解析的投影以及其应用进行分析和讨论。
一、空间几何形的投影在空间几何学中，几何形的投影是通过垂直于投影面的直线将其每一个点的位置影射到二维平面上形成的图形。
常见的空间几何形包括点、线、面以及一些复杂的立体几何形状。
下面将分别介绍这些空间几何形的投影方式。
1. 点的投影当一个点P在空间中的位置投影到平面上时，可以通过垂直于投影面的直线将点的位置映射到平面上的一个点P'。
在数学中，可以根据勾股定理和相似三角形的原理，利用直角三角形的关系计算出点P'的具体坐标。
2. 线的投影对于一条在空间中的直线l，它的投影是一条直线l'。
当直线l与投影面平行时，投影直线l'也与之平行。
当直线l与投影面不平行时，可以通过求解直线和平面的交点，将空间中直线上的点映射到平面上。
3. 面的投影与线类似，一个平面在投影时也可以变成另一个平面。
投影面的形状通常与原平面相似，但是大小和位置可能会发生改变。
投影过程中，可以根据原平面上点的坐标和相似三角形的原理来计算投影平面中点的坐标。
4. 立体几何形状的投影立体几何形状的投影是一种相对复杂的过程，它需要将三维空间中的形状映射到二维平面上。
常见的立体几何形状包括圆柱体、球体、锥体等。
在投影过程中，可以利用相似三角形的原理和三角函数的知识来计算投影图形的相关参数。
二、空间几何形的应用分析除了纯粹的理论研究之外，空间几何形的投影还可以应用于实际的问题解决。
以下是一些具体的应用分析：1. 地图制作与测量在地图制作和测量领域，空间几何形的投影可以将地球上的三维地理信息映射到平面上，以便人们更方便地阅读和使用地图。
例如，使用柱面投影可以在平面上呈现出地球的大致形状和地理特征，方便人们进行导航和定位。
空间几何图形的投影与展开
空间几何图形的投影与展开一、投影的概念与分类1.投影的概念：在空间几何中，投影是指将一个物体在某一平面上的影子。
a)正投影：光线垂直于投影平面时产生的投影，称为正投影。
b)斜投影：光线不垂直于投影平面时产生的投影，称为斜投影。
二、常见几何体的投影1.点、线、面的投影：a)点的投影：点在投影平面上的投影为一个点。
b)线的投影：线在投影平面上的投影为一条线段。
c)面的投影：面在投影平面上的投影为一个平面图形。
2.柱体、锥体、球体的投影：a)柱体的投影：柱体在投影平面上的投影为一个矩形。
b)锥体的投影：锥体在投影平面上的投影为一个三角形。
c)球体的投影：球体在投影平面上的投影为一个圆。
三、投影的基本性质与变化规律1.投影的基本性质：a)真实性：投影是对物体的一种真实表达，不会改变物体的形状和大小。
b)唯一性：同一物体在同一时刻，在某一平面上的投影是唯一的。
c)相似性：投影图形与原物体形状相似，但大小可能不同。
2.变化规律：a)平行投影：物体在同一时刻，在不同的投影平面上，投影的大小和形状相同，但位置可能不同。
b)中心投影：物体在同一时刻，在以物体为中心的投影平面上，投影的大小和形状相同，且位置固定。
四、展开的概念与分类1.展开的概念：展开是将一个空间几何图形沿着某一平面展开成一个平面图形的过程。
a)平面展开：将空间几何图形展开成一个平面图形。
b)立体展开：将空间几何图形展开成多个平面图形的组合。
五、常见几何体的展开1.柱体的展开：柱体的展开为一个矩形。
2.锥体的展开：锥体的展开为一个扇形。
3.球体的展开：球体的展开为多个圆的组合。
六、展开的基本性质与变化规律1.展开的基本性质：a)真实性：展开是对物体的一种真实表达，不会改变物体的形状和大小。
b)唯一性：同一物体在同一时刻，展开后的平面图形是唯一的。
c)连续性：展开后的平面图形应保持物体表面的连续性。
2.变化规律：a)顺时针展开：在展开过程中，按照顺时针方向进行展开。
投影法与几何元素的投影详解
错误原因：左视图的虚线应为粗实线，见右图。
第2章 投影法与几何元素的投影 2-4 已知点A(25,15,25)、B(35,25,20)、C(15,30,30)的坐标， 试作其三面投影图。
第2章 投影法与几何元素的投影 2-4 已知点A(25,15,25)、B(35,25,20)、C(15,30,30)的坐标， 试作其三面投影图。
（1）已知F点距H面为25mm （2）已知G点距V面为5mm
第2章 投影法与几何元素的投影 2-13 作出直线EF、GH的三面投影。
（1）已知F点距H面为25mm （2）已知G点距V面为5mm
第2章 投影法与几何元素的投影 2-14 已知CD=25mm,α=45°,作出正平线CD的三面投影(只需 作出一个解)。
第2章 投影法与几何元素的投影 2-26 在投影图中用相应的小写字母标出立体图中所指定的 平面，并补全P、Q平面的水平投影（如例1所示）。 (1)
平面 P是 平面Q是
面 面
第2章 投影法与几何元素的投影 2-26 在投影图中用相应的小写字母标出立体图中所指定的 平面，并补全P、Q平面的水平投影（如例1所示）。 (1)
平面 P是 倾斜 面 平面Q是 水平 面
第2章 投影法与几何元素的投影 2-26 在投影图中用相应的小写字母标出立体图中所指定的 平面，并补全P、Q平面的水平投影（如例1所示）。 (5)
平面 P是 平面Q是
面 面
第2章 投影法与几何元素的投影 2-26 在投影图中用相应的小写字母标出立体图中所指定的 平面，并补全P、Q平面的水平投影（如例1所示）。 (5)
第2章 投影法与几何元素的投影 2-24 已知等边三角形ABC为一侧平面，又知其AC的侧面投影和 点C的正面投影，求其三面投影。
人教版高中数学必修2第一章空间几何体-《1.2平行投影与中心投影》课件(2)
左视图
引入 俯视图 形成 大小：长对正,高平齐,宽相等. 挑战“自我”,提高画三视图的能力.
一、 基本体的视图
各种各样的机器零件，不 管结构、形状多么复杂，一般 都可以看作是由一些基本几何 体按一定方式组合而成。而基 本几何体通常分为两类：
下面的三视图表示的几何体是什么？
正视图
侧视图
俯视图 圆柱体
（1）
正视图
侧视图
俯视图
（2）
答案：圆锥
直立圆锥的V和W面投 影为同样大小的等腰三角 形。等腰三角形的两腰s‘a’ 和ｓ‘b’是圆锥面的最左和 最右转向线的投影，它们 把圆锥面分为前、后两半 圆锥面，W面投影的两腰 s“c”和s“d”是圆锥面最前 和最后转向线的投影，其 Ｖ面投影与轴线重合，它 们把圆锥面分为左、右两 半圆锥面。圆锥面的Ｈ面 投影为圆，它与圆锥底圆 的投影重合。
三视图的形成
物体向投影面投影所得到的图形称为视图。 如果物体向三个互相垂直的投影面分别投影，所得到 的三个图形摊平在一个平面上，则就是三视图。
三视图表达的意义
从前面正对着物体观察，画出主视图，主视图反 映了物体的长和高及前后两个面的实形。 从上向下正对着物体观察，画出俯视图，布置在 主视图的正下方，俯视图反映了物体的长和宽及上 下两个面的实形。 从左向右正对着物体观察，画出左视图，布置在 主视图的正右方，左视图反映了物体的宽和高及左 右两个面的实形。
三视图能反映物体真实的形状和长、宽、高。
1.投影
指光线通过物体，向选定的面投射，并在该面 上得到图形的方法。
2.投影分为中心投影和平行投影。 中心投影指投射线交于一点的投影。
空间几何的投影
空间几何的投影空间几何中的投影是指将三维物体或图形在二维平面上的映射。
投影在现实生活中有广泛的应用，例如建筑设计、地图绘制、计算机图形学等。
在本文中，将介绍空间几何的投影原理和应用。
一、投影的基本概念在空间几何中，线段、平面、立方体等物体都可以进行投影。
投影分为平行投影和透视投影两种形式。
平行投影是指平行线束投影到平面上而得到的图象，透视投影则是通过透视变换将物体的三维形态映射到平面上。
二、投影的原理1. 平行投影在平行投影中，物体上的每个点将沿着平行线束投影到平面上。
平行投影可以简化物体的形态，适用于建筑设计、地图绘制等领域。
以平行投影为基础的数学原理包括平面的投影、直线的投影等。
通过投影可计算出物体的长度、面积等几何特征。
2. 透视投影透视投影是以人眼视觉的特性为基础，通过透视变换将物体的三维形态映射到平面上。
透视投影在艺术、建筑设计等领域中常被运用。
透视投影可以使观者感受到物体的立体感。
三、投影的应用1. 建筑设计在建筑设计中，投影被广泛应用于绘制建筑图纸。
平行投影可用于绘制建筑的立面图、平面图等。
透视投影则可用于展示建筑设计效果，使人们能够更好地了解建筑的立体形态。
2. 计算机图形学在计算机图形学中，投影用于实现三维场景的呈现。
通过将三维物体进行投影，使之在计算机屏幕上呈现出逼真的图像。
计算机图形学中常用的投影方法有透视投影和平行投影。
3. 地图绘制地图是将三维地理信息进行二维展示的重要工具。
地图绘制中的投影方法决定了地图的形状和比例尺的缩放。
常用的地图投影方法有等面积投影、等角投影等。
总结：空间几何的投影是将三维物体映射到二维平面上的方法。
通过投影，我们可以将空间中的物体用更直观的方式展示出来，方便人们的观察和理解。
投影的原理有平行投影和透视投影两种，应用领域广泛，包括建筑设计、计算机图形学、地图绘制等。
投影技术的不断发展将进一步推动相关领域的进步和创新。
初中数学知识归纳立体几何的投影与剖面分析
初中数学知识归纳立体几何的投影与剖面分析在初中数学中，立体几何是一个重要的内容，其中投影与剖面分析是其中的两个重要概念。
本文将对这两个概念进行归纳总结，并进行详细说明。
一、投影投影是指三维物体在二维平面上的阴影或映像。
在立体几何中，投影有正投影和侧投影两种类型。
1. 正投影正投影是指物体相对于垂直于平面的方向进行投影。
在投影过程中，物体上的点在平面上垂直投影形成的图像称为正投影图。
在正投影图中，物体相关部分的长度、角度均保持不变。
2. 侧投影侧投影是指物体相对于平行于平面的方向进行投影。
在侧投影中，物体上的点在平面上投影形成的图像称为侧投影图。
与正投影类似，侧投影图中的长度和角度也保持不变。
二、剖面分析剖面分析是指通过剖面图了解立体物体内部结构和特征的方法。
剖面图可以将物体沿特定方向进行切割，然后观察被切割面的结构和特征。
在剖面分析中，常常使用正视图和俯视图来展示物体的内部结构。
正视图是指从正对物体正面方向来观察物体形状和结构的图像。
在正视图中，我们可以看到物体的宽度和高度，但深度信息是缺失的。
2. 俯视图俯视图是指从物体的上方向下观察物体形状和结构的图像。
在俯视图中，我们可以看到物体的长度和宽度，但深度信息同样会缺失。
三、应用示例为了更好地理解投影与剖面分析的应用，我们将通过一个简单的示例来说明。
假设有一个正方体，边长为a。
我们以正视图和俯视图的方式来展示这个正方体。
1. 正视图示例：------| || |------在这个正视图中，我们可以看到正方体的宽度和高度，但深度信息是缺失的。
2. 俯视图示例：| |------在这个俯视图中，我们可以看到正方体的长度和宽度，但深度信息同样会缺失。
通过投影与剖面分析的方法，我们可以更好地理解立体物体的形状和结构，从而进行相关的计算和分析。
投影与剖面分析在工程图纸、建筑设计等领域具有重要的应用价值。
综上所述，投影与剖面分析是初中数学中立体几何的重要内容。
2-1投影法
2-1 投影法1.投影法概念立体与其图形一一映射投射中心投射线空间点投影面（投影）（投影）空间点1.投影法概念2.投影法分类中心投影法平行投影法中心投影法中心投影法特性投射方向90°投射方向≠90°投影面投影面投影面一、与投影面处于不同位置的直线、平面的投影特性1.类似性2.实形性3.积聚性2.从属性二、反应两几何元素之间的关系的投影特性3.等比性1.平行性投影面投影面投影面一、投影法1.投影法概念2.投影法分类中心投影法平行投影法平行投影法投影特性正投影斜投影二、工程上常用的投影图1.多面正投影图问题引出：形体的一个投影，不能反映唯一的空间形状（位置)点：点的一个投影不能确定其空间位置，至少需要两个投影面。
点的一个投影，不能唯一确定其空间位置点′一、投影法1.投影法概念2.投影法分类中心投影法正投影斜投影点：点的空间位置不能唯一确定，至少需要两个投影面。
问题引出：形体的一个投影，不能反映唯一的空间形状（位置平行投影法平行投影法投影特性二、工程上常用的投影图1.多面正投影图）形体：一个(两个)投影不能确定空间几何形体，需要三个投影面。
形体只凭形体的一个（两个）投影，不能反映唯一的空间形状水平投影面正立投影面侧立投影面水平投影正面投影侧面投影一、投影法1.投影法概念2.投影法分类中心投影法平行投影法平行投影法投影特性正投影斜投影二、工程上常用的投影图1.多面正投影图问题引出：形体的一个投影，不能反映唯一的空间位置点：点的空间位置不能唯一确定，至少需要两个投影面。
形体：一个(两个)投影不能确定空间几何形体，需要三个投影面。
2.轴测投影图平行于水平投影面有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）正等轴测图斜二轴测图一、投影法1.投影法概念2.投影法分类中心投影法平行投影法平行投影法投影特性正投影斜投影二、工程上常用的投影图1.多面正投影图问题引出：形体的一个投影，不能反映唯一的空间位置点：点的空间位置不能唯一确定，至少需要两个投影面。
空间几何中的投影
在空间几何中，投影是指将一个点或一个物体映射到另一个平面或曲面上的过程。
投影在很多领域有着广泛的应用，如建筑设计、计算机图形学等。
在本文中，我们将讨论空间几何中的投影及其相关概念。
首先，我们来讨论点的投影。
在三维空间中，点的投影是指将一个三维点映射到一个二维平面上的过程。
具体来说，给定一个点P(x, y, z)和一个投影平面，我们可以通过计算点P到投影平面的垂直距离来获得它在投影平面上的投影点。
在二维平面上，点到一条直线的投影就是该点在直线上的垂足。
同样地，在三维空间中，点到一个平面的投影就是该点在该平面上的垂足。
通过计算点P到平面的垂直距离，我们可以得到点P在平面上的投影点。
在空间几何中，投影还有一个重要的概念是向量投影。
向量投影是指将一个向量映射到另一个向量上的过程。
给定一个向量A和一个投影方向B，我们可以通过计算向量A在投影方向上的投影长度来获得它在投影方向上的投影向量。
具体来说，给定一个向量A(x, y, z)和一个投影方向B(a, b, c)，我们可以通过计算两个向量的点积来得到向量A在投影方向B上的投影长度。
点积公式为：A.B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别为向量A和B的模，θ为A和B之间的夹角。
因此，向量A在投影方向B上的投影长度为：|A|cosθ。
投影在许多领域中都有着广泛的应用。
在建筑设计中，投影可以用于生成建筑物的平面图、立体图或透视图。
投影还可以用于计算机图形学中，用于生成三维模型的二维投影图。
此外，投影还可以用于测量物体的大小和形状，如医学影像学中的CT扫描。
在实际应用中，我们可以通过使用数学工具来计算点和向量的投影。
例如，在计算机图形学中，我们可以使用矩阵变换来实现点和向量的投影。
通过将点和向量表示为矩阵，并应用适当的矩阵变换，我们可以将它们从三维空间投影到二维平面上。
总之，空间几何中的投影是将一个点或一个物体映射到另一个平面或曲面上的过程。
通过计算点到平面的垂直距离或向量在投影方向上的投影长度，我们可以获得点或向量在投影平面或投影方向上的投影点或投影向量。
空间几何中的投影问题
空间几何中的投影问题在空间几何中，投影问题是一个经典而重要的内容。
投影是指将一个物体在某个方向上映射到另一个平面或空间中的操作。
在实际应用中，投影问题广泛应用于建筑设计、计算机图形学、机器人学和计算机视觉等领域。
本文将通过介绍投影的基本概念、常见的投影类型和计算方法，探讨空间几何中的投影问题。
一、基本概念在空间几何中，投影是指将一个物体的形状、大小和位置映射到另一个平面或空间中。
投影常用于描述物体在不同角度和位置下的视觉效果，有助于我们理解和分析物体的几何特征。
投影可以分为平行投影和透视投影两种类型。
平行投影是指投影线与被投影物体平行的投影方式，常见的有正交投影和斜投影。
透视投影是指投影线与被投影物体不平行的投影方式，根据投影面的不同位置，分为平面透视投影和球面透视投影。
二、常见的投影类型1. 正交投影正交投影是一种平行投影方式，投影线与被投影物体平行。
在正交投影中，被投影物体的形状和大小保持不变。
根据投影面的不同位置，正交投影又可以分为正射投影和斜投影两种类型。
2. 正射投影正射投影是指投影面与投影线垂直的投影方式。
在正射投影中，被投影物体的投影形状与实际物体的形状完全相同。
正射投影广泛应用于工程图、建筑图等领域，用于准确描述物体的形状和尺寸。
3. 斜投影斜投影是一种投影线与投影面不垂直的正交投影方式。
在斜投影中，被投影物体的形状和大小发生了变化，投影结果与实际物体的形状有所差异。
斜投影常用于计算机图形学和艺术设计等领域，用于表现出特定的视觉效果。
4. 透视投影透视投影是指投影线与被投影物体不平行的投影方式。
在透视投影中，被投影物体的形状和大小会发生变化，远离观察者的部分会变小。
透视投影常用于绘画、摄影和计算机视觉等领域，用于模拟真实的视觉效果。
三、计算方法在解决空间几何中的投影问题时，我们需要借助一些计算方法。
1. 投影变换矩阵投影变换矩阵是一种数学工具，用于描述物体在投影过程中的变化。
通过将物体的顶点坐标与投影变换矩阵相乘，可以得到物体的投影坐标。
工程图学第3章点几何元素的投影
3.1.1 点在两面投影体系中的投影
1.两面投影体系 两面投影体系
如图所示的两个互相垂直的投影面， 如图所示的两个互相垂直的投影面，处于正面直立位置的 投影面为正投影面， 表示，简称V 投影面为正投影面，以V表示，简称V面。处于水平位置的投 影面称为水平投影面， 表示，简称H 影面称为水平投影面，以H表示，简称H面。 V面与 面的交线称为 投影轴， 面与H面的交线称为 投影轴， 面与 面的交线称为OX投影轴 简称X轴 简称 轴。
两点的相对位置 两点的相对位置是根据两点相对于投影 面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐 标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；Z坐 标值大的点在上。 根据一个点相对于另一点上下、左右、 前后坐标差，可以确定该点的空间位置并作 出其三面投影。
重影点及可见性判别
若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则 这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影 面的重影点。 重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。从投 影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的 投影遮住而不可见。判断重影点的可见性时，需要看 重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可 见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。
侧平线（平行于Ｗ 侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ 水平线（平行于Ｈ面）
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
统称特殊位置直线
投影面 垂直线
正垂线（垂直于Ｖ 正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面 铅垂线（垂直于Ｈ 铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
画出A点投影图和举例 画出 点投影图和举例
V a'
X ax
az W
y A x z H a
空间形的投影与展开
空间形的投影与展开投影是指将三维物体在二维平面上的呈现，展现出其空间形态的一种方法。
空间形的投影与展开在建筑设计、工程制图、艺术设计等领域中具有重要的应用价值。
本文将探讨空间形的投影与展开的概念、方法以及其在各领域中的应用。
一、概述空间形的投影是将三维物体的形态、比例和尺寸等信息通过投影方式呈现在二维平面上，使人能够直观地观察和理解物体的形状。
而展开则是将三维物体展开成二维平面，以便更好地展示其构造和内部结构。
二、投影的方法1. 正投影：物体沿直线垂直于投影面的方向进行投影，形成的投影与物体之间保持相似的形状和比例关系。
2. 平行投影：物体与投影面平行，投影形状与物体的横截面相似，但没有比例关系。
3. 斜投影：物体沿非垂直、非平行于投影面的方向进行投影，投影形状与物体的真实形状不完全相似。
三、展开的方法将三维物体展开成二维平面时，需要根据物体的结构和形态进行合理的切割和折叠。
常见的展开方法包括立体展开、伸缩展开和全展开。
四、应用领域1. 建筑设计：在建筑设计中，通过空间形的投影和展开，可以更好地表达建筑物的形态和空间关系，帮助设计师和客户更好地理解和沟通设计意图。
2. 工程制图：在制图过程中，空间形的投影和展开是绘制准确、清晰的图纸的基础。
通过正确的投影和展开方法，可以保证工程图纸的准确性和可读性。
3. 艺术设计：在艺术设计中，空间形的投影和展开被广泛应用于立体造型和平面的转换。
通过投影和展开，可以将三维的艺术品呈现在平面上，并且可以调整形态和比例以达到艺术效果的要求。
4. 工业制造：在工业制造中，通过将三维物体展开成二维平面，可以有效地进行材料切割和制造工艺的安排，提高生产效率和产品质量。
总结：空间形的投影与展开是一种将三维物体呈现在二维平面上的方法，它在建筑设计、工程制图、艺术设计和工业制造等领域中具有重要的应用价值。
通过正确的投影和展开方法，可以更好地理解和表达物体的形态、比例和内部结构，为相关领域的工作和研究提供更准确、直观的信息。
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二、正投影的投影特性
C
C A
c a b 1. 实形性 B A
C B a c b
E
F e （ f）
A
B b a c 3. 类似形
2. 积聚性
§2.1.1 投影法与三视图的概念
三、三视图的形成
为何引入三视图？
V
单一视图不能确定物体的形状
§2.1.1 投影法与三视图的概念 投影体系的建立
主视图
三、三视图的形成
四、直线上点的投影
a c
b X a c b YH 1、点在线上，则点的投影必在直线的同面投影上； 2、点分线段成定比，其空间比等于投影比。 O Z
a
c b YW
§2.1.3 直线的投影
四、直线上的点
例1 已知线段AB的投影图，试将AB分成AC:CB=2 : 1 两段，求分点C的投影。
b c
左视图 俯视图
§2.1.1 投影法与三视图的概念 三视图的形成
三、三视图的形成
§2.1.1 投影法与三视图的概念
三视图间的投影规律 高平齐
三、三视图的形成
长对正
宽相等
§2.1 基本几何元素的投影
§2.1.2
点的投影
点 直线
平面
点、直线和平面为构成平面立体的基本几何元素。
§2.1.2
点的投影
一、点的投影规律 二、点的投影与坐标 三、两点的相对位置 四、特殊点与重影点
2）在平行投影面上的投影与坐标轴夹角反映实际倾角；
3）在另两投影面上的投影平行于坐标轴。
§2.1.3 直线的投影
各种具体投影面平行线的投影： （1）正平线
二、各种位置直线的投影特性
a
b X b a YH O
Z
a b YW b b
a a b a
§2.1.3 直线的投影 各种具体投影面平行线的投影：
三、直线的实长与倾角
b
a a b a b O
YAB
§2.1.3 直线的投影
求线段的实长及对侧平面的倾角
三、直线的实长与倾角
XAB
a b X a O Z a AB
b
YW
b
YH
§2.1.3 直线的投影
三、直线的实长与倾角
直角三角形法小结：
在空间中想象出直角三角形，为分别向三个坐标面投影形成。 实长
二、各种位置直线的投影特性
a (b)
a b
X a
O
YW a
b YH
b
§2.1.3 直线的投影
（2）铅垂线
二、各种位置直线的投影特性
c d X c (d) YH O
Z
c d YW
c d c （d）
c d
§2.1.3 直线的投影
（2）侧垂线
二、各种位置直线的投影特性
e X
f O
§2.1.2
点的投影
一、点的投影规律
a az ax a a ay ay a 1. 正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴 （长对正）； 2. 正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴（高平齐）； ax a az ay a
3. 水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离（宽相等）。
§2.1.2
（2）水平线 Z c O d YH
二、各种位置直线的投影特性
c X c
d
d c YW c
d
c d d
§2.1.3 直线的投影
各种具体投影面平行线的投影： （3）侧平线
二、各种位置直线的投影特性
f
Z
e
X f O
f
e YW
f e f e
f e
侧面投影作图方法
c a
YH
§2.1.3 直线的投影
四、直线上的点
例3. 在AB直线上取一点C, 使AC = L，求C的两投影。
b’ c’
L ZAB
O
a’
X
b c
ZAB
b0
a
L
c0
AB
§2.1.4
平面的投影
一、平面的投影表示 二、各种位置平面的投影特性 三、平面上的点和直线
§2.1.4
平面的投影
（2）斜投影（斜轴测图）
§2.1.1 投影法与三视图的概念
一.2 工程中常用投影法举例
（3）正投影图，用于工程图样与正轴测图
§2.1.1 投影法与三视图的概念
一.投影法的概念
3. 投影法的分类 画透视图 中心投影法
投影方法 平行投影法
画斜轴测图 斜投影法 正投影法
画工程图样及 正轴测图
§2.1.1 投影法与三视图的概念
§2.1.4 平面的投影
（1）正平面
二、各种位置平面的投影特性
Z
PW X PH YH 1. 正面投影显示实形; 2. 其他两面投影积聚为直线（迹线），分别平行于X轴与Z轴。 O YW PH PW
§2.1.4 平面的投影
（2）水平面 Z
二、各种位置平面的投影特性
QV QV Qw Qw
X
O
YW
YH
1. 水平投影显示实形; 2. 其他两面投影积聚为直线（迹线），分别平行于X轴与YW轴。
Z
e (f)
YW
e
f e (f)
e
f
e YH
f
§2.1.3 直线的投影
投影面上的直线的投影
Z
二、各种位置直线的投影特性
X
O
YW
YH Z
X
O
YW
YH
§2.1.3 直线的投影
3. 一般位置直线 a b X a O Z
二、各种位置直线的投影特性
a b YW
b
YH
1)直线的三个投影均为倾斜于投影轴的直线； 2)投影中不能反映直线的实长和倾角。
§2.1.4 平面的投影
（3）侧平面 Z
二、各种位置平面的投影特性
X
RH
O
YW
RH
YH 1. 侧面投影显示实形; 2. 其他两面投影积聚为直线（迹线），分别平行于Z轴与YH轴。
§2.1.4 平面的投影
4. 一般位置平面
二、各种位置平面的投影特性
a c b a b
a c
§2.1.2 点的投影
例1：已知点的正面投影a和水平投影a，求其侧面投影a Z
a
a
X
ax
O
YW
a
YH
§2.1.2 点的投影
例2：已知点的坐标求投影。A( 15, 8, 10 ), B( 15, 8, 0 ), C(15, 0, 0 ) Z a X ax O a
YW
a YH
§2.1.2 点的投影
§2.1.3 直线的投影
三、直线的实长与倾角
例：已知AB直线的正面投影及点B的水平投影, =30°, 求ab。 a’ ZAB ab a 30°
b’ X
ab b
投影长 ab a' b ' a" b "
a
坐标差 ZAB YAB XAB
倾角
实长 AB AB AB
§2.1.3 直线的投影
倾角
投影长 投影长 ab a' b ' a" b " 坐标差 ZAB YAB XAB 倾角
坐标差
实长 AB 向水平面投影形成 AB 向正平面投影形成 AB 向侧平面投影形成
四个量中，已知两个量可求出另外两个量
§2.1.3 直线的投影 直角三角形的记忆：
三、直线的实长与倾角
§2.1.3 直线的投影
例1：判断各直线对投影面的相对位置
c a
Z d d
b
c a（ b） 侧垂线 线 AB为_______ BC为_______线
一般位置
X c
a
O
d
YW
水平线 线 CD为_______
b YH
§2.1.3 直线的投影
二、各种位置直线的投影特性
例2：过点A作正平线AB，长为20mm, α ＝ 30°。
点的投影
二、点的投影和坐标
a (
) az
(
a
a
)
az a ax
ay ay a(
ax
a
)
每个投影反映点的两个坐标；
确定点的空间位置需要两个投影。
§2.1.2
点的投影
三、两点间的相对位置
如何根据AB两点的投影判断其空间相对位置？
a
b
a az a b a b
a
b
b
ax
ay
a
b
A在B的左方XA-XB处 A在B的前方YA-YB处 A在B的上方ZA-ZB处
一、平面的投影表示 1. 平面的普通表示：基本几何元素
a b x b a c 不共线三点 c o b x b a a c b o x b a d b c o x b c a d a a c o
c
c
直线和线外一点
两相交直线
两平行直线
平面图形
各种形式可以互相转换
§2.1.4
平面的投影
§2.1.3
直线的投影
一、直线的投影表示
1.直线投影的确定：由直线上两点的同面投影连线确定 a b X a O YW Z
b YH 一条直线可由其两面投影确定。
§2.1.3
直线的投影
一、直线的投影表示
2. 直线投影与实长及直线对投影面倾角的关系：一般不直接反映
§2.1.3
直线的投影
例3：已知B点的三面投影，A点在B点之右8毫米，之前5毫米， 之上9毫米，求A点的投影。 a b X O Z a