【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题训练六 第3讲 圆锥曲线中的热点问题 理
【步步高】2015届高考数学(理科,全国通用)二轮专题配套word版练习： 立体几何]
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立体几何1．一个物体的三视图的排列规则是俯视图放在正(主)视图下面，长度与正(主)视图一样，侧(左)视图放在正(主)视图右面，高度与正(主)视图一样，宽度与俯视图一样，即“长对正，高平齐，宽相等”．在画一个物体的三视图时，一定注意实线与虚线要分明．[问题1] 如图，若一个几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均为面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为________． 答案 432．在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x 轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y 轴的线段平行性不变，长度减半．”[问题2] 如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是________． 答案 2 23．简单几何体的表面积和体积(1)S 直棱柱侧＝c ·h (c 为底面的周长，h 为高)． (2)S 正棱锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)．(3)S 正棱台侧＝12(c ′＋c )h ′(c 与c ′分别为上、下底面周长，h ′为斜高)．(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl (r 为底面半径，l 为母线)， S 圆锥侧＝πrl (同上)，S 圆台侧＝π(r ′＋r )l (r ′、r 分别为上、下底的半径，l 为母线)． (5)体积公式V 柱＝S ·h (S 为底面面积，h 为高)， V 锥＝13S ·h (S 为底面面积，h 为高)，V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S 、S ′为上、下底面面积，h 为高)．(6)球的表面积和体积 S 球＝4πR 2，V 球＝43πR 3.[问题3] 如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧(左)视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为( ) A ．4π B ．3π C ．2π D.32π 答案 D4．空间直线的位置关系：①相交直线——有且只有一个公共点．②平行直线——在同一平面内，没有公共点．③异面直线——不在同一平面内，也没有公共点．[问题4] 在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边上的中点，则直线EG 和FH 的位置关系是________． 答案 相交5．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交． ②直线与平面平行的判定定理和性质定理：判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．③直线与平面垂直的判定定理和性质定理：判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． (2)平面与平面①位置关系：平行、相交(垂直是相交的一种特殊情况)． ②平面与平面平行的判定定理和性质定理：判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． ③平面与平面垂直的判定定理和性质定理：判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．[问题5] 已知b ，c 是平面α内的两条直线，则“直线a ⊥α”是“直线a ⊥b ，直线a ⊥c ”的________条件． 答案 充分不必要 6．空间向量(1)用空间向量求角的方法步骤①异面直线所成的角若异面直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，它们所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉|. ②直线和平面所成的角利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法：方法一 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两条直线的方向向量的夹角(或其补角)．方法二 通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． ③利用空间向量求二面角也有两种方法：方法一 分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小．方法二 通过平面的法向量来求，设二面角的两个面的法向量分别为n 1和n 2，则二面角的大小等于〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．易错警示：①求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，容易误以为是线面角的余弦．②求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析． (2)用空间向量求A 到平面α的距离： 可表示为d ＝|n ·AB →||n |.[问题6] (1)已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于________．(2)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则点O 到平面ABC 1D 1的距离为________． 答案 (1)64 (2)24解析 (1)方法一 取A 1C 1的中点E ，连接AE ，B 1E ，如图． 由题意知B 1E ⊥平面ACC 1A 1，则∠B 1AE 为AB 1与侧面ACC 1A 1所成的角． 设正三棱柱侧棱长与底面边长为1， 则sin ∠B 1AE ＝B 1E AB 1＝322＝64.方法二 如图，以A 1C 1中点E 为原点建立空间直角坐标系E －xyz ，设棱长为1，则A ⎝⎛⎭⎫12，0，1，B 1⎝⎛⎭⎫0，32，0， 设AB 1与平面ACC 1A 1所成的角为θ，EB 1→为平面ACC 1A 1的法向量． 则sin θ＝|cos 〈AB 1→，EB 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫－12，32，－1·⎝⎛⎭⎫0，32，02×32＝64. (2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，C 1(0,1,1)，O ⎝⎛⎭⎫12，12，1. 设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AD 1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－x ＋z ＝0.令z ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，∴n ＝(1,0,1)，又OD 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0， ∴O 到平面ABC 1D 1的距离d ＝|n ·OD 1→||n |＝122＝24.易错点1 三视图认识不清致误例1 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80错解 由三视图知，该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4，宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是正方形，边长为4. 所以表面积S ＝42×3＋2×4＋2×12(2＋4)×4＝48＋8＋24＝80.找准失分点 不能准确把握三视图和几何体之间的数量关系，根据正视图可知，侧视图中等腰梯形的高为4，而错认为等腰梯形的腰为4.正解 由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为42＋12 ＝17.所以S 表＝42＋2×4＋12×(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋817.答案 C易错点2 对几何概念理解不透致误例2 给出下列四个命题：①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ④底面是矩形的平行六面体是长方体．其中正确的命题是__________(写出所有正确命题的序号)． 错解1 ①②③ 错解2 ②③④找准失分点 ①是错误的，因为棱柱的侧棱要都平行且相等；④是错误的，因为长方体的侧棱必须与底面垂直． 正解 ②③易错点3 对线面关系定理条件把握不准致误例3 已知m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面．给出下列命题： ①若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α，或n ⊥β； ②若α∥β，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则m ∥n ；③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线； ④若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α，且n ∥β； ⑤若m 、n 为异面直线，则存在平面α过m 且使n ⊥α. 其中正确的命题序号是________． 错解 ②③④⑤找准失分点③是错误的；⑤是错误的．正解①是错误的．如正方体中面ABB′A′⊥面ADD′A′，交线为AA′.直线AC⊥AA′，但AC不垂直面ABB′A′，同时AC也不垂直面ADD′A′.②正确．实质上是两平面平行的性质定理．③是错误的．在上面的正方体中，A′C不垂直于平面A′B′C′D′，但与B′D′垂直．这样A′C就垂直于平面A′B′C′D′内与直线B′D′平行的无数条直线．④正确．利用线面平行的判定定理即可．⑤错误．从结论考虑，若n⊥α且m⊂α，则必有m⊥n，事实上，条件并不能保证m⊥n.故错误．答案②④1．已知三条不同直线m，n，l与三个不同平面α，β，γ，有下列命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；④若m，n为异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析因为平行于同一平面的两条直线除了平行，还可能相交或成异面直线，所以命题①错误；由直线与平面平行的定义知命题②正确；由于垂直于同一个平面的两个平面可能平行还可能相交，因此命题③错误；过两条异面直线分别作平面互相平行，这两个平面是唯一存在的，因此命题④正确．故选C.2．设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是()A．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件答案 A解析当m⊂α时，若n∥α可得m∥n或m，n异面；若m∥n可得n∥α或n⊂α，所以“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件，答案选A.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A ．64B ．72C ．80D ．112答案 B解析 根据三视图，该几何体为下面是一个立方体、上面两个三棱锥，所以V ＝4×4×4＋2×13×(12·4·2)×3＝72，故选B.4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q 分别是AA 1，A 1D 1，CC 1，BC 的中点，给出以下四个结论：①A 1C ⊥MN ；②A 1C ∥平面MNPQ ；③A 1C 与PM 相交；④NC 与PM 异面．其中不正确的结论是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 C解析 作出过M ，N ，P ，Q 四点的截面交C 1D 1于点S ，交AB 于点R ，如图所示中的六边形MNSPQR ，显然点A 1，C 分别位于这个平面的两侧，故A 1C 与平面MNPQ 一定相交，不可能平行，故结论②不正确．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．2＋ 2B ．3＋ 2C ．1＋2 2D ．5答案 A解析 由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，如图所示． 该几何体的底面是边长为1的正方形，故S 1＝12＝1. 侧棱P A ⊥面ABCD ，且P A ＝1， 故S △P AB ＝S △P AD ＝12×1×1＝12，而PD ⊥DC ，CB ⊥PB ，且PB ＝PD ＝2， 所以S △PBC ＝S △PDC ＝12×2×1＝22.所以该几何体的表面积为S ＝1＋2×12＋2×22＝2＋ 2.故选A.6．如图，已知六棱锥P —ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论正确的是( ) A ．PB ⊥ADB ．平面P AB ⊥平面PBC C ．直线BC ∥平面P AED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45° 答案 D解析 若PB ⊥AD ，则AD ⊥AB ，但AD 与AB 成60°角，A 错误；平面P AB 与平面ABD 垂直，所以平面P AB 一定不与平面PBC 垂直，B 错误；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，C 错误；直线PD 与平面ABC 所成角为∠PDA ，在Rt △P AD 中，AD ＝P A ， ∴∠PDA ＝45°，D 正确．7．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题： ①若AB ＝AC ，BD ＝CD ，则BC ⊥AD ； ②若AB ＝CD ，AC ＝BD ，则BC ⊥AD ； ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ； ④若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则BC ⊥AD .其中正确的是________．(填序号) 答案 ①④解析 取线段BC 的中点E ，连接AE ，DE ， ∵AB ＝AC ，BD ＝CD ， ∴BC ⊥AE ，BC ⊥DE ， ∴BC ⊥平面ADE ， ∵AD ⊂平面ADE ， ∴BC ⊥AD ，故①正确．设点O 为点A 在平面BCD 上的射影， 连接OB ，OC ，OD ， ∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， ∴OB ⊥CD ，OC ⊥BD ， ∴点O 为△BCD 的垂心， ∴OD ⊥BC ，∴BC ⊥AD ，故④正确，易知②③不正确，填①④.8.如图，四面体ABCD 中，AB ＝1，AD ＝23，BC ＝3，CD ＝2，∠ABC ＝∠DCB ＝π2，则二面角A －BC －D 的大小为________．答案 π3解析 由∠ABC ＝∠DCB ＝π2知，BA →与CD →的夹角θ就是二面角A －BC －D 的平面角． 又AD →＝AB →＋BC →＋CD →，∴AD →2＝(AB →＋BC →＋CD →)2 ＝AB →2＋BC 2→＋CD →2＋2AB →·CD →.因此2AB →·CD →＝(23)2－12－32－22＝－2， ∴cos(π－θ)＝－12，且0<π－θ<π，则π－θ＝23π，故θ＝π3.9．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ∥m ；④若l ∥m ，则α⊥β. 其中为真命题的是________．(填序号) 答案 ①④解析 对命题①，则l ⊥α，α∥β得，l ⊥β，m ⊂β，∴l⊥m，故①正确．对命题②，l⊥mD⇒/l⊥β，则l⊥mD⇒/α∥β，故②错误．对命题③，当α⊥β时，l与m也可能相交或异面或平行，故③错误．对命题④，由l⊥α，l∥m得m⊥α，又m⊂β，∴α⊥β，故④正确．10．三棱锥D－ABC及其三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示，则棱BD的长为________．答案4 2解析由正(主)视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE＝CE＝2；由侧(左)视图知CD＝4，BE＝23，在Rt△BCE中，BC＝BE2＋EC2＝(23)2＋22＝4，在Rt△BCD中，BD＝BC2＋CD2＝42＋42＝4 2.故答案为4 2.。
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第1讲排列.组合与二项式定理2•排列、组合、两个计数原理往往通过实际问 题进行综合考查，一般以选择、填空题的形式 出现，难度中等，还经常与概率问题相结合， 出现在解答题的第一或第二个小题中，难度也 为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在 选择题或填空题中，难度为易或中等.考情解读 1 •高考中对两个计数原理、排考情解手学2F知识梳理1 •分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘.2 •排列与组合⑴排列：从光个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从死个不同元素中取出加个元素的一个排歹•从〃个不同元素中取出加个元素的排列数公式是A = n{n - 1）（〃-2）…（〃+ 1）或写成n\（2）组合：从死个不同元素中取出个元素组成一组，叫做从死个不同元素中取出加个元素的一个组 合•从〃个不同元素中取出加个元素的组合数公式是 咆d ・g+l ）或号成r -5 -」 /与秋5-应！（…）! • ⑶组合数的性质①etc ；严；②c^^c+cr 1. 3•二项式定理⑴二项式定理：(a + b)" = C%"沪 + C\a n ~lb + C%"叫2 + ••• + Gfl"~r b r + ••• + C"^b'\r = 0,1^, •••, n). (2)二项展开式的通项Tr +i = W, r = 0,U, •», n,其中 C ；叫做二项 式系数.11m\_ 亠and）二项式系数的性质①对称性:与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等cm即eg, cjzzcr1,②最大值：当"为偶数时，中间的一项的二项式系数&取得最大值;当«为奇数时，中间的两项的二项式系数C二卅1C］相等，且同时取得最大值.+ 1 + •••③各二项◎丽分类突破＞热点一两个计数原理＞热点二排列与组合＞热点三二项式定理两个例1 (1)将1,2,3,…，9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大•当思维启迪先3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为(A.6 种B.12 种C.18 种D.24 种—•O * "E解析•• •每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1，2,9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填后与之相邻的空格可填6,7,8任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法.共有2X3=6种结果，故选A・答案A⑵如果一个三位正整数“a“J满足如＜^且如《2,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275), 那么所有凸A.240B.204C.729D.920 思维启迪按中间数进行分类.解析分8类，当中间数为2时，有1X2=2种;当中间数为3时，有2X3=6种；当中间数为4时，有3X4 = 12 种；当中间数为5时，有4X5=20 种；当中间数为6时，有5X6=30 种；当中间数为7时，有6X7=42 种；（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理 时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到!■ 分类加法计数原理.（2）对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当i 玄加练1选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则 不同的选法共有（）A.60 种B.70 种C.75 种D.150 种 思或表(1)(201）有6名男医生、5名女医生，从中列出示意足这样条件的函数的个数为（A.8B.9C.26D.27ln(x 2+l)=l=»x=±A/e —1,ln(x 2+l)=2=>x=±\t 2--l,所以定义域取值即在这5个元素中选取,②当定义域中有4个元素时，C ；C]=4,③当定义域中有5个元素时，有一种情况. 所以共有4+4+1=9（个）这样的函数. 答案B数/仗2111（2 + 1）的值域为{0,1,2},则满 ①当定义域中有3个元素C ；C ；Cj=4, 解析I软诫汇排列与组合例2 （1）（2014 •重庆）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A.72B.120C.144D.168思维启迪将不能相邻的节目插空安排；—廿•: GW q「IT •解卞先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1, 小品2,相声” “小品1,相声，小品2”和“相声, 小品1,小品2"・对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2口相声丁 ,有A；CjA；=36（种）安排方法;同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“口小品1□相声□小品2□” ,有A圖=48（种）安排方法，故共有36+36+48=120（种）安排方法.答案B其中“1=(), “5 = 2, “]2 = 5,且％+ 1-加=1，R = l，2,3,…，11,则满足这种条件的不同数列的个数为（A.84B.168C.76D.152思维启迪⑵数列V\a k+x—a^ = l, jt = 1,2,3， (11)前一项总比后一项大1或小1,如到色中4个变化必然有3升1减，到如2中必然有5升2减，是组合的问题，AC1XC?=84. 答案A解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.⑵以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.变式训练2（1）在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序〃和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（）A.24 种C.96 种B.48 种D.144 种首先安排4有2种方法；第二步在剩余的5个位置选取相邻的两个排C, 有4种排法，而C位置互换有2种方法；第三步安排剩余的3个程序，有&种排法, 共有2X4X2XA；=96（种）.答案C(2)从0,1,23,4中任取四个数字组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数________ (用数字作答).且为0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位一是当0在个位的四位偶数有A；=24(个);二是当0不在个位时，先从2,4中选一个放在个位，再从余下的三个数选一个放在首位，应有A]A提=36(个),故共有四位偶数60个.丰热点三二项式定理例3 (1)在(a+x)7展开式中『的系数为35,则实数a的值为 _____ •思维启迪利用通项公式求常数项;解析通项公式：77+i=C"-匕所以展开式中J的系数为C制=35,解得尸1・P)如果(1 +X +Z)(x 一“)5(“为实常数)的展开式中所有项 的系数和为0,则展开式中含0项的系数为—_・思维启迪可用赋值法求二项展开式所有项的系数和. 解析•・・令兀=1得(1+x +x 2)(x 一“)啲展开式中所有项 的系数和为(1 + 1 + 12)(1-«)5=0, •I “ = 1, (1 +x +x 2)(x —a)5=(1 +x +x 2)(x — l)5= (Z —1)仗一1)4=兀3仗一1)4一仗一1)4, 其展开式中含『项的系数为d(-l)3-C ；(-l)°=-5.(1)在应用通项公式时，要注意以下几点：① 它表示二项展开式的任意项，只要死与厂确定， 该项就随之确定；② 7；+】是展开式中的第厂+1项，而不是第厂项； ③ 公式中，方的指数和为nRa, 〃不能随便颠 倒位置；思维升4④ 对二项式(a-by 展开式的通项公式要特别注意符号问题.(2) 在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一 种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的 经典方法. 变式训练3(1)(2014•湖北诺二项式(2工+了的展开式中］的系数 是84,则实数a 等于()A.2思维升尹叱5»r二项式(2x+-)7的展开式的通项公式为T；+1 = G(2Q7 丁白JC 旷处7巳令7—2r=—3,得厂=5・故展开式中Z的系数是C?2V=84,解得a=l.X答案C—<«>/*«J r n(2)(2014-浙江)在(1 +x)6(l +刃4的展开式中，记严尸项的系数为几n, n),贝IJ/(3,O) +/(2,1) +/(1,2) + 力0,3)等于(。
高考数学(理)二轮配套训练【专题6】(3)圆锥曲线中的热点问题(含答案)
第3讲圆锥曲线中的热点问题考情解读 1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c ＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c ＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．3．弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．4．轨迹方程问题(1)求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)． ②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系． ③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化． ④化简整理方程——简化．⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性． (2)求轨迹方程的常用方法：①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程； ③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式．步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.热点一 圆锥曲线中的范围、最值问题例1 (2013·浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．思维启迪 (1)P 点是椭圆上顶点，圆C 2的直径等于椭圆长轴长；(2)设直线l 1的斜率为k ，将△ABD 的面积表示为关于k 的函数．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离 d ＝1k 2＋1， 所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0， 故x 0＝－8k 4＋k 2.所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ， 则S ＝12|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 思维升华 求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件或图形特征列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．已知椭圆C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的离心率为12，且椭圆经过点P (1，32)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)线段PQ 是椭圆过点F 2的弦，且PF 2→＝λF 2Q →，求△PF 1Q 内切圆面积最大时实数λ的值． 解 (1)e ＝c a ＝12，P (1，32)满足1a 2＋(32)2b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，∵a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)显然直线PQ 不与x 轴重合，当直线PQ 与x 轴垂直时，|PQ |＝3，|F 1F 2|＝2， S Q PF 1∆＝3；当直线PQ 不与x 轴垂直时，设直线PQ ：y ＝k (x －1)，k ≠0代入椭圆C 的标准方程， 整理，得(3＋4k 2)y 2＋6ky －9k 2＝0，则y 1＝－3k ＋6k 2＋k 43＋4k 2，y 2＝－3k －6k 2＋k 43＋4k 2，S Q PF 1∆＝12×|F 1F 2|×|y 1－y 2|＝12k 2＋k 4(3＋4k 2)2，令t ＝3＋4k 2，∴t >3，k 2＝t －34，∴S Q PF 1∆＝3－3(1t ＋13)2＋43，∵0<1t <13，∴S Q PF 1∆∈(0,3)，∴当直线PQ 与x 轴垂直时S △PF 1Q 最大，且最大面积为3. 设△PF 1Q 内切圆半径为r ，则S Q PF 1∆＝12(|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |)·r ＝4r ≤3.即r max ＝34，此时直线PQ 与x 轴垂直，△PF 1Q 内切圆面积最大，∴PF 2→＝F 2Q →，∴λ＝1.热点二 圆锥曲线中的定值、定点问题例2 (2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．思维启迪 (1)设动圆圆心坐标，利用圆的半径、半弦长和弦心距组成的直角三角形求解；(2)设直线方程y ＝kx ＋b ，将其和轨迹C 的方程联立，再设两个交点坐标，由题意知直线BP 和BQ 的斜率互为相反数，推出k 和b 的关系，最后证明直线过定点．(1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴|O 1M |＝x 2＋42， 又|O 1A |＝(x －4)2＋y 2， ∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明 如图由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.得x 1,2＝(8－2bk )±－32kb ＋642k 2，则x 1＋x 2＝8－2bkk 2，①x 1x 2＝b 2k2，②∵x 轴是∠PBQ 的角平分线， ∴y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．思维升华 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．已知椭圆C 的中点在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线x 2＝83y 的焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (2,3)，Q (2，－3)在椭圆上，点A 、B 是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则b ＝2 3.由c a ＝12，a 2＝c 2＋b 2，得a ＝4，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)当∠APQ ＝∠BPQ 时，P A 、PB 的斜率之和为0， 设直线P A 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ，P A 的直线方程为y －3＝k (x －2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k (x －2)，x 216＋y212＝1，整理得 (3＋4k 2)x 2＋8(3－2k )kx ＋4(3－2k )2－48＝0， x 1＋2＝8(2k －3)k 3＋4k 2，同理PB 的直线方程为y －3＝－k (x －2)， 可得x 2＋2＝－8k (－2k －3)3＋4k 2＝8k (2k ＋3)3＋4k 2.∴x 1＋x 2＝16k 2－123＋4k 2，x 1－x 2＝－48k3＋4k 2， k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1－2)＋3＋k (x 2－2)－3x 1－x 2＝k (x 1＋x 2)－4k x 1－x 2＝12， ∴直线AB 的斜率为定值12.热点三 圆锥曲线中的探索性问题例3 已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：x 3 －2 4 (1)求C 1，C 2(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M ，N ，且满足OM →⊥ON →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．思维启迪 (1)比较椭圆及抛物线方程可知，C 2的方程易求，确定其上两点，剩余两点，利用待定系数法求C 1方程.(2) 联立方程，转化已知条件进行求解.解 (1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)， 则有y 2x＝2p (x ≠0)，据此验证四个点知(3，－23)，(4，－4)在C 2上， 易求得C 2的标准方程为y 2＝4x . 设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，把点(－2,0)，(2，22)代入得⎩⎨⎧4a 2＝12a 2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，所以C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)容易验证当直线l 的斜率不存在时，不满足题意． 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)， 与C 1的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k (x －1)消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0， 于是x 1,2＝8k 2±64k 4－16(1＋4k 2)(k 2－1)2(1＋4k 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，①x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2.②所以y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2[4k 2－11＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1]＝－3k 21＋4k 2.③由OM →⊥ON →，即OM →·ON →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.(*) 将②③代入(*)式，得4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0，解得k ＝±2，所以存在直线l 满足条件， 且直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.思维升华 解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型．解决问题的一般策略是先假设结论成立，然后进行演绎推理或导出矛盾，即可否定假设或推出合理结论，验证后肯定结论，对于“存在”或“不存在”的问题，直接用条件证明或采用反证法证明．解答时，不但需要熟练掌握圆锥曲线的概念、性质、方程及不等式、判别式等知识，还要具备较强的审题能力、逻辑思维能力以及运用数形结合的思想分析问题和解决问题的能力．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t .由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3. 另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12，b 2＝－3(舍去)．从而a 2＝16.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)同方法一．1．圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 2．定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果． 3．探索性问题的解法探索是否存在的问题，一般是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则可以得出相应存在的结论；若不存在，则会由条件得出矛盾，再下结论不存在即可.真题感悟(2014·北京)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．解 (1)由题意，得椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下： 设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t,2)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.当x 0＝t 时，y 0＝－t 22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±2，故直线AB 的方程为x ＝±2， 圆心O 到直线AB 的距离d ＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t (x －t )．即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离 d ＝|2x 0－ty 0|(y 0－2)2＋(x 0－t )2.又x 20＋2y 20＝4，t ＝－2y 0x 0， 故d ＝⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 2＋162x 20＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切． 押题精练已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1的直线l交椭圆C 于E 、G 两点，且△EGF 2的周长为4 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|P A →－PB →|<253时，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意知椭圆的离心率e ＝c a ＝22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△EGF 2的周长为42，即4a ＝42， ∴a 2＝2，b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0. 由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，得k 2<12. ∴x 1,2＝8k 2±64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)2(1＋2k 2)， ∴x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2， ∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)， y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4k t (1＋2k 2). ∵点P 在椭圆C 上，∴(8k 2)2[t (1＋2k 2)]2＋2(－4k )2[t (1＋2k 2)]2＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|P A →－PB →|<253，∴1＋k 2|x 1－x 2|<253， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<209， ∴(1＋k 2)[64k 4(1＋2k 2)2－4·8k 2－21＋2k 2]<209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0，∴k 2>14.∴14<k 2<12. ∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k 2， 又32<1＋2k 2<2，∴83<t 2＝8－81＋2k 2<4， ∴－2<t <－263或263<t <2， ∴实数t 的取值范围为(－2，－263)∪(263，2)．(推荐时间：50分钟)一、选择题1．已知点M 与双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点的距离之比为2∶3，则点M 的轨迹方程为( ) A ．x 2－y 2＋26x ＋25＝0B ．x 2＋y 2＋16x ＋81＝0C ．x 2＋y 2＋26x ＋25＝0D ．x 2＋y 2＋16x －81＝0答案 C解析 设点M (x ，y )，F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则由题意得|MF 1||MF 2|＝23， 将坐标代入，得(x ＋5)2＋y 2(x －5)2＋y 2＝49， 化简，得x 2＋y 2＋26x ＋25＝0.2．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( ) A.53 B.23 C.23 D.13答案 A解析 由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴|PF 2||PF 1|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a 3. 根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫2a 32＋⎝⎛⎭⎫4a 32＝(2c )2， 所以离心率e ＝c a ＝53. 3．已知抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，点P 是抛物线y 2＝8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( )A.y 22－x 23＝1 B ．y 2－x 24＝1 C.y 24－x 2＝1 D.y 23－x 22＝1 答案 C解析 由题意得，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为ax －by ＝0， ∵抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455， ∴2a a 2＋b 2＝455， ∴a ＝2b .∵P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3， ∴|FF 1|＝3，∴c 2＋4＝9，∴c ＝5，∵c 2＝a 2＋b 2，a ＝2b ，∴a ＝2，b ＝1.∴双曲线的方程为y 24－x 2＝1，故选C. 4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则 x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204， 又因为F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3 ＝14(x 0＋2)2＋2， 又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]，所以(OP →·FP →)max ＝6.5．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 依题意得F (0,2)，准线方程为y ＝－2，又∵以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM |＝|y 0＋2|，∴|FM |>4，即|y 0＋2|>4，又y 0≥0，∴y 0>2.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若双曲线上存在点P 满足a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A ．(1，2＋1) B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．(2＋1，＋∞) 答案 A解析 根据正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1， 所以由a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1可得a |PF 2|＝c |PF 1|， 即|PF 1||PF 2|＝c a＝e ， 所以|PF 1|＝e |PF 2|.因为e >1，所以|PF 1|>|PF 2|，点P 在双曲线的右支上．又|PF 1|－|PF 2|＝e |PF 2|－|PF 2|＝|PF 2|(e －1)＝2a ，解得|PF 2|＝2a e －1， 因为|PF 2|>c －a ，所以2a e －1>c －a ，即2e －1>e －1， 即(e －1)2<2，解得1－2<e <2＋1.又e >1，所以e ∈(1，2＋1)，故选A.二、填空题7．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________． 答案 m ≥1且m ≠5解析 ∵方程x 25＋y 2m＝1表示椭圆， ∴m >0且m ≠5.∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：025＋12m≤1，m ≥1，∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.8．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过定点________．答案 (0,2)解析 设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则在点A 处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得，y ＝12x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y ＝12x 2x －y 2.又点Q (t ，－2)的坐标满足这两个方程，代入得：－2＝12x 1t －y 1，－2＝12x 2t －y 2，则说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程－2＝12xt －y ，即直线AB 的方程为：y －2＝12tx ，因此直线AB 恒过定点(0,2)．9．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析 椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12.10．(2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x 2＋(y －a )2＝a ， 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0.即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1. 三、解答题11．已知点A 、B 的坐标分别是(0，－1)、(0,1)，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－12. (1)求点M 轨迹C 的方程；(2)若过点D (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 交于不同的两点E 、F ，试求△OEF 面积的取值范围．(O 为坐标原点)解 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，∵k AM ·k BM ＝－12. ∴y ＋1x ·y －1x ＝－12. 整理，得x 22＋y 2＝1(x ≠0)， 即M 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝kx ＋2，①将①代入x 22＋y 2＝1得： (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0，由Δ>0，解得k 2>32. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－4k －4k 2－62k 2＋1，x 1＝－4k ＋4k 2－62k 2＋1，则|x 1－x 2|＝24k 2－62k 2＋1. S △OEF ＝S △OED －S △OFD ＝12OD ·|x 1|－12OD ·|x 2|＝12OD ·|x 1－x 2|＝12×2·|x 1－x 2|＝|x 1－x 2| ＝ 16(k 2－32)(2k 2＋1)2. 令k 2－32＝t (t >0)，所以k 2＝t ＋32(t >0)，所以S △OEF ＝|x 1－x 2|＝ 16t (2t ＋4)2＝ 4t (t ＋2)2 ＝2t t 2＋4t ＋4＝21t ＋4t ＋4≤214＋4＝22， 故△EOF 面积的取值范围是(0，22]．12．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM →·TN →的最小值，并求此时圆T 的方程；(3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：|OR |·|OS |为定值．(1)解 依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32， 所以c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)解 点M 与点N 关于x 轴对称，设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1>0.由于点M 在椭圆C 上，所以y 21＝1－x 214.(*) 由已知得T (－2,0)，则TM →＝(x 1＋2，y 1)，TN →＝(x 1＋2，－y 1)，所以TM →·TN →＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－(1－x 214)＝54x 21＋4x 1＋3 ＝54(x 1＋85)2－15. 由于－2<x 1<2，故当x 1＝－85时，TM →·TN →取得最小值为－15. 把x 1＝－85代入(*)式，得． y 1＝35，故M (－85，35)， 又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2＝1325.故圆T 的方程为：(x ＋2)2＋y 2＝1325. (3)证明 设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为：y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)， 令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1， 故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21，(**) 又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，代入(**)式，得x R ·x S ＝4(1－y 21)y 20－4(1－y 20)y 21y 20－y 21＝4(y 20－y 21)y 20－y 21＝4. 所以|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．。
【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题训练五 第2讲 空间中的平行与垂直 理
第2讲 空间中的平行与垂直考情解读 1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理线面平行的判定定理⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ⊂αa ⊄α⇒a ∥α线面平行的性质定理⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b线面垂直的判定定理⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O l ⊥a ，l ⊥b ⇒l ⊥α线面垂直的性质定理⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理面面垂直的判定定理⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊂β⇒α⊥β面面垂直的性质定理⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝ca ⊂αa ⊥c ⇒a ⊥β面面平行的判定定理⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂βb ⊂βa ∩b ＝Oa ∥α，b ∥α⇒α∥β面面平行的性质定理⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b提醒 使用有关平行、垂直的判定定理时，要注意其具备的条件，缺一不可． 3．平行关系及垂直关系的转化热点一 空间线面位置关系的判定例1 (1)设a ，b 表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若a ⊥α且a ⊥b ，则b ∥α B ．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β C ．若a ∥α且a ∥β，则α∥β D ．若γ∥α且γ∥β，则α∥β(2)平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α思维启迪判断空间线面关系的基本思路：利用定理或结论；借助实物模型作出肯定或否定．答案(1)D (2)D解析(1)A：应该是b∥α或b⊂α；B：如果是墙角出发的三个面就不符合题意；C：α∩β＝m，若a∥m时，满足a∥α，a∥β，但是α∥β不正确，所以选D.(2)若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．对于平面α，β，γ和直线a，b，m，n，下列命题中真命题是( )A．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥αB．若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥bC．若a∥b，b⊂α，则a∥αD．若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，则β∥α答案 B解析A中：由线面垂直的判定定理知，还需m与n相交才能得a⊥α，故A错．C中：由线面平行的判定定理，还需知a⊄α，故C错．D中：由面面平行的判定定理知，还需a与b相交才能得β∥α，故D错．所以选B.热点二平行、垂直关系的证明例2如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.思维启迪(1)利用平面PAD⊥底面ABCD的性质，得线面垂直；(2)BE∥AD易证；(3)EF是△CPD 的中位线．证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE ∥AD .又因为BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以BE ∥平面PAD .(3)因为AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形． 所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD ， 由(1)知PA ⊥底面ABCD . 所以PA ⊥CD . 所以CD ⊥平面PAD . 所以CD ⊥PD .因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点， 所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF . 所以CD ⊥平面BEF . 又CD ⊂平面PCD ， 所以平面BEF ⊥平面PCD .思维升华 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型． (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行． (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直． (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直．如图所示，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点． 求证：(1)AF ∥平面BCE ； (2)平面BCE ⊥平面CDE .证明 (1)如图，取CE 的中点G ，连接FG ，BG . ∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB . 又AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .∴四边形GFAB 为平行四边形，则AF ∥BG . ∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE .(2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD .∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.热点三图形的折叠问题例3如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？请说明理由．思维启迪折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化．第(1)问证明线面平行，可以证明DE∥BC；第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明A1F⊥平面BCDE；第(3)问取A1B的中点Q，再证明A1C⊥平面DEQ.(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明由图(1)得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE ⊥A 1C .又因为P 是等腰三角形DA 1C 底边A 1C 的中点， 所以A 1C ⊥DP .所以A 1C ⊥平面DEP . 从而A 1C ⊥平面DEQ .故线段A 1B 上存在点Q ，使得A 1C ⊥平面DEQ .思维升华 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，折线同一侧线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．如图(1)，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝2AD ＝4，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，EF ∥BC ，AE ＝x .沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图(2)所示)，G 是BC 的中点．(1)当x ＝2时，求证：BD ⊥EG ；(2)当x 变化时，求三棱锥D －BCF 的体积f (x )的函数式． (1)证明 作DH ⊥EF ，垂足为H ，连接BH ，GH ，因为平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线为EF ，DH ⊂平面AEFD ， 所以DH ⊥平面EBCF ，又EG ⊂平面EBCF ，故EG ⊥DH . 因为EH ＝AD ＝12BC ＝BG ＝2，BE ＝2，EF ∥BC ，∠EBC ＝90°，所以四边形BGHE 为正方形，故EG ⊥BH .又BH ，DH ⊂平面DBH ，且BH ∩DH ＝H ，故EG ⊥平面DBH . 又BD ⊂平面DBH ，故EG ⊥BD .(2)解 因为AE ⊥EF ，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线为EF ，AE ⊂平面AEFD ， 所以AE ⊥平面EBCF .由(1)知，DH ⊥平面EBCF ，故AE ∥DH ，所以四边形AEHD 是矩形，DH ＝AE ，故以B ，F ，C ，D 为顶点的三棱锥D －BCF 的高DH ＝AE ＝x . 又S △BCF ＝12BC ·BE ＝12×4×(4－x )＝8－2x ，所以三棱锥D －BCF 的体积f (x )＝13S △BFC ·DH＝13S △BFC ·AE ＝13(8－2x )x ＝－23x 2＋83x (0<x <4)．1．证明线线平行的常用方法(1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行； (2)利用平行四边形进行转换； (3)利用三角形中位线定理证明；(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明． 2．证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行； (2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行． 3．证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行． 4．证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直； (2)利用勾股定理逆定理；(3)利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可． 5．证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直； (2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；(3)利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 6．证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决.真题感悟1．(2014·某某)已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 答案 B解析 方法一 若m ∥α，n ∥α，则m ，n 可能平行、相交或异面，A 错；若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B 正确； 若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，C 错；若m ∥α，m ⊥n ，则n 与α可能相交，可能平行，也可能n ⊂α，D 错． 方法二 如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用平面ABCD 表示α. A 项中，若m 为A ′B ′，n 为B ′C ′，满足m ∥α，n ∥α， 但m 与n 是相交直线，故A 错． B 项中，m ⊥α，n ⊂α，∴m ⊥n ，这是线面垂直的性质，故B 正确． C 项中，若m 为AA ′，n 为AB ， 满足m ⊥α，m ⊥n ，但n ⊂α，故C 错． D 项中，若m 为A ′B ′，n 为B ′C ′， 满足m ∥α，m ⊥n ，但n ∥α，故D 错．2．(2014·某某)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点． (1)求证：EF ⊥平面BCG ； (2)求三棱锥D －BCG 的体积．附：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高．(1)证明 由已知得△ABC ≌△DBC ，因此AC ＝DC . 又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD .同理BG ⊥AD ，又BG ∩CG ＝G ，因此AD ⊥平面BGC . 又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .(2)解 在平面ABC 内，作AO ⊥BC ，交CB 的延长线于O . 由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥平面BDC .又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半． 在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝3，所以V D －BCG ＝V G －BCD ＝13S △DBC ·h＝13×12BD ·BC ·sin 120°·32＝12. 押题精练1.如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：①PA ∥平面MOB ； ②MO ∥平面PAC ； ③OC ⊥平面PAC ； ④平面PAC ⊥平面PBC .其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)． 答案 ②④解析 ①错误，PA ⊂平面MOB ；②正确；③错误，否则，有OC ⊥AC ，这与BC ⊥AC 矛盾；④正确，因为BC ⊥平面PAC .2．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． (1)证明：平面ADC 1B 1⊥平面A 1BE ；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？并证明你的结论． (1)证明 如图，因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体， 所以B 1C 1⊥面ABB 1A 1. 因为A 1B ⊂面ABB 1A 1， 所以B 1C 1⊥A 1B .又因为A 1B ⊥AB 1，B 1C 1∩AB 1＝B 1， 所以A 1B ⊥面ADC 1B 1.因为A 1B ⊂面A 1BE ，所以平面ADC 1B 1⊥平面A 1BE . (2)解 当点F 为C 1D 1中点时，可使B 1F ∥平面A 1BE . 证明如下：取C 1D 1中点F ，连接EF ，B 1F 易知：EF ∥C 1D ，且EF ＝12C 1D .设AB 1∩A 1B ＝O ，连接OE ，则B 1O ∥C 1D 且B 1O ＝12C 1D ，所以EF ∥B 1O 且EF ＝B 1O ， 所以四边形B 1OEF 为平行四边形． 所以B 1F ∥OE .又因为B1F⊄面A1BE，OE⊂面A1BE.所以B1F∥面A1BE.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．(2014·某某)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定答案 D解析如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β答案 B解析根据定理、性质、结论逐个判断．因为α⊥β，m⊂α⇒m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．3．ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是( )A．BD∥平面CB1D1B．A1C⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．AC1⊥BD1答案 D解析因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以DD1∥BB1且DD1＝BB1，所以四边形DD1B1B为平行四边形，所以BD∥B1D1，因为BD⊄面CB1D1，B1D1⊂面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正确；因为AA1⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，所以AA1⊥BD，因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD，因为AC∩AA1＝A，所以BD⊥面A1ACC1，因为A1C⊂面A1ACC1，所以BD⊥A1C，故B正确．同理可证得B1D1⊥面A1ACC1，因为AC1⊂面A1ACC1，所以B1D1⊥AC1，同理可证CB1⊥AC1，因为B1D1∩CB1＝B1，所以AC1⊥平面CB1D1，故C正确．排除法应选D.4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案 D解析∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故选D.5．直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥n，n⊥α，则m∥α；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α.其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4答案 D解析对①，根据线面平行的判定定理知，m∥α；对②，如果直线m与平面α相交，则必与β相交，而这与α∥β矛盾，故m∥α；对③，在平面α内取一点A，设过A、m的平面γ与平面α相交于直线b.因为n⊥α，所以n⊥b，又m⊥n，所以m∥b，则m∥α；对④，设α∩β＝l，在α内作m′⊥β，因为m⊥β，所以m∥m′，从而m∥α.故四个命题都正确．6.在正三棱锥S－ABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝23，则正三棱锥S－ABC外接球的表面积是( )A．12π B．32πC．36π D．48π答案 C解析由MN⊥AM且MN是△BSC的中位线得BS⊥AM，又由正三棱锥的性质得BS⊥AC，∴BS⊥面ASC.即正三棱锥S－ABC的三侧棱SA、SB、SC两两垂直，外接球直径为3SA＝6.∴球的表面积S＝4πR2＝4π×32＝36π.选C.二、填空题7．已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n.其中正确的个数为_________________．答案 2解析①中m，n可能异面或相交，故不正确；②因为m∥α，n⊥β，且α⊥β成立时，m，n两直线的关系可能是相交、平行、异面，故不正确；③因为m⊥α，α∥β可得出m⊥β，再由n∥β可得出m⊥n，故正确；④分别垂直于两个垂直平面的两条直线一定垂直，正确．故③④正确．8．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案①③解析对于①，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB平行于平面MNP；对于②，注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于④，易知此时AB与平面MNP相交．综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③.9.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.答案a或2a解析由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x .易知Rt△CAF ∽Rt△FA 1D ，得AC A 1F ＝AF A 1D， 即2a x ＝3a －x a ，整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0，解得x ＝a 或x ＝2a .10．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (不含端点)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 破解此题可采用两个极端位置法，即对于F 位于DC 的中点时，t ＝1，随着F 点到C 点时，∵CB ⊥AB ，CB ⊥DK ，∴CB ⊥平面ADB ，即有CB ⊥BD ，对于CD ＝2，BC ＝1，∴BD ＝3，又AD ＝1，AB ＝2，因此有AD ⊥BD ，则有t ＝12， 因此t 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 三、解答题11．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点，(1)求证：AC ⊥BC 1；(2)求证：AC 1∥平面CDB 1.证明 (1)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴AC ⊥BC .CC 1⊥平面ABC ， AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥CC 1，又BC ∩CC 1＝C ，∴AC ⊥平面BCC 1B 1，BC 1⊂平面BCC 1B 1，∴AC ⊥BC 1.(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，∵D 是AB 的中点，E 是C 1B 的中点，∴DE ∥AC 1，∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1.12．如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D ，E 分别为A 1B 1，AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF ＝14AB .(1)求证：EF ∥平面BC 1D ；(2)在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1∶15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明 取AB 的中点M ，连接A 1M .因为AF ＝14AB ，所以F 为AM 的中点． 又E 为AA 1的中点，所以EF ∥A 1M .在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，M 分别是A 1B 1，AB 的中点，所以A 1D ∥BM ，A 1D ＝BM ，所以四边形A 1DBM 为平行四边形，所以A 1M ∥BD .所以EF ∥BD .因为BD ⊂平面BC 1D ，EF ⊄平面BC 1D ，所以EF ∥平面BC 1D .(2)解 设AC 上存在一点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为1∶15，如图所示．则V E －AFG ∶VABC －A 1B 1C 1＝1∶16，所以V E －AFG VABC －A 1B 1C 1＝13×12AF ·AG sin∠GAF ·AE 12×AB ·AC sin∠CAB ·AA 1＝13×14×12×AG AC ＝124×AG AC ， 由题意，124×AG AC ＝116，解得AG AC ＝2416＝32. 所以AG ＝32AC >AC ，所以符合要求的点G 不存在． 13．(2014·某某)如图(1)，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，作如图(2)折叠，折痕EF ∥DC .其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .(1)证明：CF ⊥平面MDF ；(2)求三棱锥M －CDE 的体积．(1)证明 如图，因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AD .又因为ABCD 是矩形，CD ⊥AD ，PD 与CD 交于点D ，PD ∩CD ＝D ，所以AD ⊥平面PCD .又CF ⊂平面PCD ，所以AD ⊥CF ，即MD ⊥CF .又MF ⊥CF ，MD ∩MF ＝M ，所以CF ⊥平面MDF .(2)解 因为PD ⊥DC ，PC ＝2，CD ＝1，∠PCD ＝60°，所以PD ＝3，由(1)知FD ⊥CF ，在直角三角形DCF 中，CF ＝12CD ＝12. 过点F 作FG ⊥CD ，垂足为G ，得FG ＝FC sin 60°＝12×32＝34， 所以DE ＝FG ＝34，故ME ＝PE ＝3－34＝334，所以MD ＝ME 2－DE 2＝ 3342－342＝62. S △CDE ＝12DE ·DC ＝12×34×1＝38. 故V M －CDE ＝13MD ·S △CDE ＝13×62×38＝216.。
【步步高】(广东专用)2015高考数学一轮复习 第2讲 导数的应用同步检测 文
第2讲 导数的应用(一)一、选择题1．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )． A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0解析 设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为2x 0， 由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0. 答案 D2．若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( )．A ．(－2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，2)解析 由条件得h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋k x2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈(－2，＋∞)． 答案 A3．函数f (x )＝(4－x )e x的单调递减区间是 ( )．A ．(－∞，4)B ．(－∞，3)C ．(4，＋∞)D ．(3，＋∞)解析 f ′(x )＝e x＋(4－x )·e x＝e x(3－x )，令f ′(x )<0，由于e x>0，∴3－x <0，解得x >3.答案 D4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1a处有极值，则ab 的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析 f ′(x )＝3ax 2＋b ，由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋b ＝0，可得ab ＝－3.故选D.答案 D5．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )． A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1)解析 不等式(x －1)f ′(x )≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，f x 或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤0，f x可知f (x )在(－∞，1)上递减，(1，＋∞)上递增，或者f (x )为常数函数，因此f (0)＋f (2)≥2f (1)．答案 C6．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．下列关于函数f (x )的命题： ①函数y ＝f (x )是周期函数； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点． 其中真命题的个数有( )．A ．4B ．3C ．2D ．1解析 依题意得，函数f (x )不可能是周期函数，因此①不正确；当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在[0,2]上是减函数，②正确；当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，依题意，结合函数f (x )的可能图象形状分析可知，此时t 的最大值是5，因此③不正确；注意到f (2)的值不明确，结合图形分析可知，将函数f (x )的图象向下平移a (1<a <2)个单位后相应曲线与x 轴的交点个数不确定，因此④不正确．综上所述，选D. 答案 D 二、填空题7．函数y ＝x －2sin x 在[0，π]上的递增区间是________．解析 y ′＝1－2cos x ，令1－2cos x ≥0，得cos x ≤12，解得2k π＋π3≤x ≤2k π＋53π，k ∈R ，又0≤x ≤π，∴π3≤x ≤π.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π 8．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．解析 f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，显然当x ＝2时f (x )取极小值．答案 29．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵f ′(x )＝5ax 4＋1x，x ∈(0，＋∞)，∴由题意知5ax 4＋1x＝0在(0，＋∞)上有解．即a ＝－15x5在(0，＋∞)上有解．∵x ∈(0，＋∞)，∴－15x 5∈(－∞，0)．∴a ∈(－∞，0)．答案 (－∞，0)10．已知函数y ＝－13x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋2－b 在R 上不是单调减函数，则b 的取值范围是________．解析 y ′＝－x 2＋2bx －(2b ＋3)，要使原函数在R 上单调递减，应有y ′≤0恒成立，∴Δ＝4b 2－4(2b ＋3)＝4(b 2－2b －3)≤0，∴－1≤b ≤3，故使该函数在R 上不是单调减函数的b 的取值范围是b <－1或b >3. 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) 三、解答题11．设函数f (x )＝ax 3－3x 2，(a ∈R )，且x ＝2是y ＝f (x )的极值点，求函数g (x )＝e x·f (x )的单调区间．解 f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)． 因为x ＝2是函数y ＝f (x )的极值点．所以f ′(2)＝0，即6(2a －2)＝0，因此a ＝1， 经验证，当a ＝1时，x ＝2是函数f (x )的极值点， 所以g (x )＝e x(x 3－3x 2)，g ′(x )＝e x (x 3－3x 2＋3x 2－6x )＝e x (x 3－6x )＝x (x ＋6)(x －6)e x.因为e x>0，所以y ＝g (x )的单调增区间是(－6，0)和(6，＋∞)；单调减区间是(－∞，－6)和(0，6)． 12．已知函数f (x )＝x 3－ax －1(1)若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在试说明理由． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－a由Δ≤0，即12a ≤0，解得a ≤0，因此当f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增时，a 的取值范围是(－∞，0]． (2)若f (x )在(－1,1)上单调递减，则对于任意x ∈(－1,1)不等式f ′(x )＝3x 2－a ≤0恒成立 即a ≥3x 2，又x ∈(－1,1)，则3x 2<3因此a ≥3函数f (x )在(－1,1)上单调递减，实数a 的取值范围是[3，＋∞)． 13．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．解 (1)根据题意知，f ′(x )＝a －xx(x ＞0)，当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a ＝0 时，f (x )不是单调函数．(2)∵f ′(2)＝－a2＝1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g t ＜0，g ＞0.由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )＜0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ＜0，g ＜0，g＞0，∴－373＜m ＜－9.14．设函数f (x )＝ln x ＋ax －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内有极值． (1)求实数a 的取值范围；(2)若x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)．求证：f (x 2)－f (x 1)>e ＋2－1e .注：e 是自然对数的底数．(1)解 易知函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)， f ′(x )＝1x－a x －2＝x －2－ax x x －2＝x 2－a ＋x ＋1x x －2.由函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内有极值，可知方程f ′(x )＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内有解，令g (x )＝x 2－(a＋2)x ＋1＝(x －α)(x －β)．不妨设0<α<1e，则β>e ，又g (0)＝1>0，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e2－a ＋2e ＋1<0，解得a >e ＋1e －2. (2)证明 由(1)知f ′(x )>0⇔0<x <α或x >β，f ′(x )<0⇔α<x <1或1<x <β，所以函数f (x )在(0，α)，(β，＋∞)上单调递增，在(α，1)，(1，β)上单调递减． 由x 1∈(0,1)得f (x 1)≤f (α)＝ln α＋aα－1，由x 2∈(1，＋∞)得f (x 2)≥f (β)＝ln β＋aβ－1，所以f (x 2)－f (x 1)≥f (β)－f (α)． 由(1)易知α·β＝1，α＋β＝a ＋2，所以f (β)－f (α)＝ln β－ln 1β＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1β－1－1α－1＝2lnβ＋a ·α－ββ－α－＝2ln β＋a ·1β－β2－a ＋＝2ln β＋β－1β.记h (β)＝2ln β＋β－1β(β>e)，则h ′(β)＝2β＋1＋1β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1β＋12>0，所以函数h (β)在(e ，＋∞)上单调递增， 所以f (x 2)－f (x 1)≥h (β)>h (e)＝2＋e －1e .。
【步步高】(广东专用)2015高考数学一轮复习 第2讲 圆的方程同步检测 文
第2讲 圆的方程一、选择题1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )． A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析 AB 的中点坐标为：(0,0)， |AB |＝[1－－2＋－1－2＝22，∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案 A2．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是( )． A ．原点在圆上 B ．原点在圆外 C ．原点在圆内D ．不确定解析 将圆的一般方程化为标准方程(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，所以原点在圆外． 答案 B3．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析 只要求出圆心关于直线的对称点，就是对称圆的圆心，两个圆的半径不变．设圆C 2的圆心为(a ，b )，则依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，对称圆的半径不变，为1.答案 B4．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )．A ．(4,6)B ．[4,6)C ．(4,6]D ．[4,6]解析 因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离为5，所以当半径r ＝4 时，圆上有1个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，当半径r ＝6时，圆上有3个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4＜r ＜6. 答案 A5．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )． A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定解析 圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2，0，即－m2＋3＝0，∴m ＝6.答案 C6．圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3的圆与直线l ：x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，且满足OP →·OQ→＝0，则圆C 的方程为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －3)2＝52 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋3)2＝52 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝254D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋3)2＝254解析 法一 ∵圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，∴设圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝r 2.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由圆方程与直线l 的方程联立得：5x 2＋10x ＋10－4r 2＝0， ∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝10－4r25.由OP →·OQ →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即： 54x 1x 2－34(x 1＋x 2)＋94＝10－4r 24＋154＝0， 解得r 2＝254，经检验满足判别式Δ>0.故圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝254.法二 ∵圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，∴设圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝r 2，在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝254，故选C. 答案 C 二、填空题7．过两点A (0,4)，B (4,6)，且圆心在直线x －2y －2＝0上的圆的标准方程是________． 解析 设圆心坐标为(a ，b )，圆半径为r ，则圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， ∵圆心在直线x －2y －2＝0上，∴a －2b －2＝0，①又∵圆过两点A (0,4)，B (4,6)，∴(0－a )2＋(4－b )2＝r 2，②且(4－a )2＋(6－b )2＝r 2，③由①②③得：a ＝4，b ＝1，r ＝5， ∴圆的方程为(x －4)2＋(y －1)2＝25. 答案 (x －4)2＋(y －1)2＝258．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0,1)．P 是圆C 上的动点，当|PA |2＋|PB |2取最大值时，点P 的坐标是________．解析 设P (x 0，y 0)，则|PA |2＋|PB |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2， 显然x 20＋y 20的最大值为(5＋1)2，∴d max ＝74，此时OP →＝－6PC →，结合点P 在圆上，解得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫185，245.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫185，245 9．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________．解析 由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ 为直角三角形，故其圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径为|PQ |2＝5，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝510．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (－1,0)，B (1,0)，点P 是圆上的动点，则d ＝|PA |2＋|PB |2的最大值为________，最小值为________．解析 设点P (x 0，y 0)，则d ＝(x 0＋1)2＋y 20＋(x 0－1)2＋y 20＝2(x 20＋y 20)＋2，欲求d 的最值，只需求u ＝x 20＋y 20的最值，即求圆C 上的点到原点的距离平方的最值．圆C 上的点到原点的距离的最大值为6，最小值为4，故d 的最大值为74，最小值为34. 答案 74 34 三、解答题11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0. ①又直径|CD |＝410，∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)，∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．解 (1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－1－b 2＝r 2，－1－a 2＋－b2＝r 2，a ＋b －2＝0，解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)因为四边形PAMB 的面积S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12|AM |·|PA |＋12|BM |·|PB |，又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |，所以S ＝2|PA |， 而|PA |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4， 即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小， 所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 所以四边形PAMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5. 13．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． (1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值．解 (1)设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2，令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，∴PQ →·MQ →＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2， 所以PQ →·MQ →的最小值为－4.14．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图， 由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ， 则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16， 当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4.。
【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题突破训练三 第2讲 三角变换与解三角形 理(含
第2讲 三角变换与解三角形考情解读 1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简． (2)等式的两边同时变形为同一个式子． (3)将式子变形后再证明． 4．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .5．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .6．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解．热点一 三角变换例1 (1)已知sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos(α＋2π3)等于( )A ．－45B ．－35C.45D.35(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2思维启迪 (1)利用和角公式化简已知式子，和cos(α＋23π)进行比较．(2)先对已知式子进行变形，得三角函数值的式子，再利用X 围探求角的关系． 答案 (1)C (2)B解析 (1)∵sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，∴32sin α＋32cos α＝－435， ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴cos(α＋2π3)＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3＝－12cos α－32sin α＝45.(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现X 冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的X 围，要根据已知条件将所求角的X 围尽量缩小，避免产生增解．设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；(2)若θ是第二象限角，且f (θ2)＝0，求cos 2θ1＋cos 2θ－sin 2θ的值．解 (1)f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x .所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，最大值为1＋32.(2)因为f (θ2)＝0，所以12－32sin θ＝0，即sin θ＝33，又θ是第二象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－63.所以cos 2θ1＋cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ2cos 2θ－2sin θcos θ＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ2cos θcos θ－sin θ＝cos θ＋sin θ2cos θ＝－63＋332×－63＝6－326＝2－24. 热点二 解三角形例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a ＝2sin A ，cos B cos C ＋2a c ＋bc ＝0.(1)求边c 的大小； (2)求△ABC 面积的最大值．思维启迪 (1)将cos B cos C ＋2a c ＋bc＝0中的边化成角，然后利用和差公式求cos C ，进而求c .(2)只需求ab 的最大值，可利用cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab和基本不等式求解．解 (1)∵cos B cos C ＋2a c ＋bc ＝0，∴c cos B ＋2a cos C ＋b cos C ＝0，∴sin C cos B ＋sin B cos C ＋2sin A cos C ＝0， ∴sin A ＋2sin A cos C ＝0， ∵sin A ≠0，∴cos C ＝－12，∵C ∈(0，π)∴C ＝2π3，∴c ＝a sin A ·sin C ＝ 3.(2)∵cos C ＝－12＝a 2＋b 2－32ab ，∴a 2＋b 2＋ab ＝3，∴3ab ≤3，即ab ≤1. ∴S △ABC ＝12ab sin C ≤34.∴△ABC 的面积最大值为34. 思维升华 三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破． 几种常见变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径； (3)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C .(1)(2014·某某)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C＋c cos B ＝2b ，则a b＝________.(2)(2014·某某)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932C.332D ．3 3 答案 (1)2 (2)C解析 (1)方法一 (1)因为b cos C ＋c cos B ＝2b ，所以b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝2b ，化简可得ab＝2.方法二 因为b cos C ＋c cos B ＝2b ， 所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ， 故sin(B ＋C )＝2sin B ，故sin A ＝2sin B ，则a ＝2b ，即a b＝2. (2)∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.热点三 正、余弦定理的实际应用例3 (2013·某某)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么X 围内？ 思维启迪 (1)直接求sin B ，利用正弦定理求AB .(2)利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t 的函数．解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得 AB ＝ACsin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)． 所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537 min 时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)X 围内．思维升华 求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答．如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东60°方向的B 地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C 地行驶，企图抓捕正在C 地捕鱼的中国渔民．此时，C 地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？(2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解 过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D . 因为∠CAD ＝45°，AC ＝10海里， 所以△ACD 是等腰直角三角形． 所以AD ＝CD ＝22AC ＝22×10＝52(海里)． 在Rt△ABD 中，因为∠DAB ＝60°，所以BD ＝AD ×tan 60°＝52×3＝56(海里)． 所以BC ＝BD －CD ＝(56－52)(海里)．因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，所以中国海监船到达C 点所用的时间t 1＝AC 30＝1030＝13(小时)，某国军舰到达C 点所用的时间t 2＝BC 13＝5×6－213≈5× 2.45－1.4113＝0.4(小时)．因为13<0.4，所以中国海监船能及时赶到．1．求解恒等变换问题的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心．(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”．(3)再次观察代数式的结构特点． 2．解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R (其中2R 为三角形外接圆的直径)，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角．(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sin A ＋B2＝cos C2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等．3．利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题，抽象出三角形模型．真题感悟1．(2013·某某)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于() A.43 B.34 C ．－34 D ．－43 答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.2．(2014·某某)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 答案6－24解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a ＋2b242ab＝34a 2＋12b 2－2ab 22ab≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2ab 22ab＝6－24， 故6－24≤cos C <1，且3a 2＝2b 2时取“＝”． 故cos C 的最小值为6－24. 押题精练1．如果cos α＝15，且α是第一象限的角，那么cos(α＋3π2)＝________.答案265解析 ∵cos α＝15，α为第一象限角，∴sin α＝1－cos 2α＝1－152＝265，∴cos(α＋3π2)＝sin α＝265.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )，且q ∥p .(1)求sin A 的值；(2)求三角函数式－2cos 2C1＋tan C＋1的取值X 围．解 (1)∵q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )且q ∥p ，∴2b －c ＝2a cos C ， 由正弦定理得2sin A cos C ＝2sin B －sin C ， 又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C . ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又∵0<A <π，∴A ＝π3，∴sin A ＝32. (2)原式＝－2cos 2C 1＋tan C ＋1＝1－2cos 2C －sin 2C 1＋sin C cos C＝1－2cos 2C ＋2sin C cos C ＝sin 2C －cos 2C＝2sin(2C －π4)，∵0<C <23π，∴－π4<2C －π4<1312π，∴－22<sin(2C －π4)≤1， ∴－1<2sin(2C －π4)≤2，即三角函数式－2cos 2C1＋tan C＋1的取值X 围为(－1，2]．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．(2014·某某)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位答案 C解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin(3x ＋π4)＝2sin[3(x ＋π12)]，又y ＝2cos 3x ＝2sin(3x ＋π2)＝2sin[3(x ＋π6)]，所以应由y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位得到．2．已知α∈(π2，π)，sin(α＋π4)＝35，则cos α等于( )A ．－210B.7210C ．－210或7210D ．－7210答案 A解析 ∵α∈(π2，α)．∴α＋π4∈(34π，54π)．∵sin(α＋π4)＝35，∴cos(α＋π4)＝－45， ∴cos α＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin(π4)＝－45×22＋35×22＝－210. 3．在△ABC 中，若sin C sin A ＝3，b 2－a 2＝52ac ，则cos B 的值为() A.13B.12C.15D.14答案 D解析 由正弦定理：c a ＝sin C sin A＝3， 由余弦定理：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2－52ac 2ac ＝12×c a －54＝32－54＝14. 4．(2013·某某)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝ a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形． 5．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( ) A.6365B.3365C.1365D.6365或3365答案 A解析 依题意得sin β＝45，cos β＝35.注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sin β＝6365. 6．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( )A.32B.3－1 C ．2 D ．2－ 3答案 D解析 由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|cos B＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac， 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12ac⇒a 2＋c 2－b 2＝1， 所以tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2＝2－3，故选D. 二、填空题7．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 答案 －255解析 由tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13. 又－π2<α<0，可得sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α ＝22sin α＝－255. 8．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＝5，b ＝523，A ＝π4，则cos B ＝________.答案 223解析 sin B ＝b sin A a ＝13. 又在△ABC 中，a >b ，所以cos B ＝23 2. 9．已知0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45，则cos(α＋π4)＝________. 答案 82－315解析 因为0<α<π2<β<π， 所以π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2. 所以sin(β－π4)>0，cos(α＋β)<0. 因为cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45， 所以sin(β－π4)＝223，cos(α＋β)＝－35. 所以cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)] ＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4) ＝－35×13＋45×223＝82－315. 10．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现X 角∠ABC ＝120°；从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ，发现X 角∠ADC ＝150°；从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为________米．答案 40013解析 如题图，在△ABD 中，BD ＝400米，∠ABD ＝120°.因为∠ADC ＝150°，所以∠ADB ＝30°.所以∠DAB ＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得BD sin∠DAB ＝ADsin∠ABD. 所以400sin 30°＝AD sin 120°，得AD ＝4003(米)． 在△ADC 中，DC ＝800米，∠ADC ＝150°，由余弦定理，可得 AC 2＝AD 2＋CD 2－2×AD ×CD ×cos∠ADC＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，解得AC ＝40013(米)．故索道AC 的长为40013米．三、解答题11．(2014·某某)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值． 解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac. 因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3. (2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13. 由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26. 12．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1(ω>0)的最小正周期是π. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1 ＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π6)． 最小正周期是2π2ω＝π，所以，ω＝1， 从而f (x )＝2sin(2x －π6)． 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z . 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递增区间为[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )．(2)当x ∈[π8，3π8]时，2x －π6∈[π12，7π12]， f (x )＝2sin(2x －π6)∈[6－22，2]， 所以f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值分别为2，6－22. 13．已知角A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，若向量m ＝(1－cos(A ＋B )，cos A －B 2)，n ＝(58，cos A －B 2)，且m ·n ＝98. (1)求tan A tan B 的值；(2)求ab sin C a 2＋b 2－c 2的最大值． 解 (1)m ·n ＝58－58cos(A ＋B )＋cos 2A －B 2＝98－18cos A cos B ＋98sin A sin B ＝98， ∴cos A cos B ＝9sin A sin B 得tan A tan B ＝19. (2)tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝98(tan A ＋tan B )≥98·2tan A tan B ＝34. (∵tan A tan B ＝19>0， ∴A ，B 均是锐角，即其正切值均为正)ab sin C a 2＋b 2－c 2＝sin C 2cos C ＝12tan C ＝－12tan(A ＋B )≤－38， 所求最大值为－38.。
【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习专题训练三第1讲
【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习专题训练三第1讲1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．1．三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．sin α22(2)同角关系：sinα＋cosα＝1＝tan α.cos α(3)诱导公式：在yxkπ2＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．2．三角函数的图象及常用性质3.三角函数的两种常见变换向左φ或向右φ(1)y＝sin xD―――――――D→平移|φ―|个单位y＝sin(x＋φ)纵坐标变为原来的A倍y＝sin(ωx＋φ)D―――――――D→ 横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)．(2)y＝sin xy＝sin ωx向左φ或向右φφD――――D→平移|个单位ω纵坐标变为原来的A倍y＝sin(ωx＋φ)D―――――――D→ 横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)．热点一三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系2π22例1 (1)点P从(1,0)出发，沿单位圆x＋y＝1逆时针方向运动Q点，则Q点3的坐标为( ) 13A．(－)2213C．(－22B．(－D．(－31) 2231) 22(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(－4,3)，则πα211π－α2－π－α9πα2的值为________．思维启迪(1)准确把握三角函数的定义．(2)利用三角函数定义和诱导公式． 3答案(1)A (2)－4解析(1)设Q点的坐标为(x，y)，2π12π3则x＝cos＝－，y＝sin＝__∴Q点的坐标为(－，．22－sin αsin α(2)原式＝tan α.－sin αcos α根据三角函数的定义，y3得tan α＝＝－，x43∴原式＝－4思维升华(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．(1)如图，以Ox为始边作角α(0απ)，终边与单位圆相sin 2α＋cos 2α＋1 34 交于点P，已知点P的坐标为－，则＝1＋tan α 55 ________.3π3π (2)已知点P sin ，cos 落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，44 则θ的值为( ) π3π5π7πA.__答案(1) (2)D25解析(1)由三角函数定义，34得cos α，sin α＝，552sin αcos α＋2cosα2cos αα＋cosα∴原式＝sin αsin α＋cos α1＋cos αcos α2__＝2cosα＝2× ＝.5 253πcos －cos44(2)tan θ＝＝－1，3πsin πsin443π3π又sin 0，cos ，447π所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝. 4热点二函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及解析式π例2 (1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|)的部分图象如图所示，则将y＝2f(x)的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为()π6A．y＝sin 2x 2πC．y＝sin(2x＋3B．y＝cos 2x πD．y＝sin(2x－)6π(2)若函数y＝cos 2x＋3sin 2x＋a在[0，上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为2________．π思维启迪(1)先根据图象确定函数f(x)的解析式，再将得到的f(x)中的“x”换成“x－6即可．(2)将零点个数转换成函数图象的交点个数．答案(1)D(2)(－2，－1]3T11ππ2π解析(1)由图知，A＝1，＝，故T＝π4126ωπ所以ω＝2，又函数图象过点(，1)，代入解析式中，6πππ得sin(＋φ)＝1，又|φ|，故φ＝.326ππ则f(x)＝sin(2x＋)向右平移后，66πππ得到y＝sin[2(x－)＋＝sin(2x－)，选D.666π(2)由题意可知y＝2sin(2x＋)＋a，6πππ该函数在[0上有两个不同的零点，即y＝－a，y＝2sin(2x＋在上有两个不同262的交点．结合函数的图象可知1≤－a2，所以－2a≤－1.思维升华(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．π(1)如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A0，ω0，|φ|≤)与坐标轴的三2π个交点P、Q、R满足P(2,0)，∠PQR＝，M为QR的中点，PM＝25，则A的值为()4A.83 3B.163 3C．8 D．16(2)若将函数y＝tan(ωx＋ω0)y＝tan(ωx＋46π)的图象重合，则ω的最小正值为( ) 61A.61C.3答案(1)B (2)D解析(1)由题意设Q(a,0)，R(0，－a)(a0)．1B. 41D. 2则M，－，由两点间距离公式得，22aaPM＝－2a2＋a22Tπ＝25，解得a＝8，由此得，＝8－2＝6，即T＝12，故ω26由P(2,0)得φ＝－，代入f(x)＝Asin(ωx＋φ)得，3f(x)＝Asin(x－，π从而f(0)＝Asin(－)＝－8，316得A＝3.3πππωπ(2)y＝tan(ωx＋)得到y＝tan(ωx＋－的图象，与y＝tan(ωx4646ππωππ1＋)重合，得＝kπ＋，故ω＝－6k＋，k∈Z，__∴ω的最小正值为.2热点三三角函数的性质例3 设函数f(x)＝2cosx＋sin 2x＋a(a∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；π(2)当x∈[0，时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的对称轴方程．6思维启迪先化简函数解析式，然后研究函数性质(可结合函数简图)．π2解(1)f(x)＝2cosx＋sin 2x＋a＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a2sin(2x ＋)＋1＋a，42π则f(x)的最小正周期T＝π，2πππ3π且当2kπxkπ＋k∈Z)时f(x)单调递增，即kπ－π≤x≤kπ＋k∈Z)．__ππ所以[kπ－，kπ＋](k∈Z)为f(x)的单调递增区间．88πππ7π(2)当x∈[0，时≤2x＋≤__ππππ当2x＋＝，即x＝时sin(2x)＝1.4284所以f(x)max＝2＋1＋a＝2 a＝12. ππkππ由2x＋＝kπx(k∈Z)，42282π6π3故y＝f(x)的对称轴方程为x＝kππ＋，k∈Z. 28思维升华函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋23sinωx3(ω0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调增区间；π(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)6的图象；若y＝g(x)在[0，b](b0)上至少含有10个零点，求b的最小值．解(1)由题意得：f(x)＝2sin ωxcos ωx＋23sinωx－3 π＝sin 2ωx3cos 2ωx＝2sin(2ωx－)，3π由周期为π，得ω＝1，得f(x)＝2sin(2x，3函数的单调增区间为2kπ－πππ≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，23222π5π整理得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，1212π5π所以函数f(x)的单调增区间是[kπ－，kπ＋]，k∈Z.1212π(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到y＝2sin 2x6＋1的图象，所以g(x)＝2sin 2x＋1，7π11π令g(x)＝0，得x＝kπ＋x＝kπ＋k∈Z)，1212所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为11π59π4π＋12121．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ)，或y＝Atan(ωx＋φ))的单调区间(1)将ω化为正．(2)将ωx＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解．2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0)的图象求解析式(1)A＝ymax－ymin22，ymax＋yminB＝.2π(2)由函数的周期T求ω，ω＝T(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．4．求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，进而结合三角函数的性质求解．(2)将三角函数式化为关于sin x，cos x的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解．5．特别提醒进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身．真题感悟ππ1．(2022年辽宁)将函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函32数( )π7πA．在区间[，上单调递减1212π7πB．在区间[，上单调递增1212ππC．在区间[上单调递减63ππD．在区间[上单调递增63答案B解析y＝3sin(2x＋23sin(2x－π)．3π2ππ7令2kπ－≤2x－π≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ，k∈Z，则y＝3sin(2x__-__ππππ)的图象向右平移个单位长度得到y＝3sin[2(x－)＋]＝3223－)的增区间为[kπ＋kπ]，k∈Z. __π7令k＝0得其中一个增区间为[，]，故B正确．__ππ画出y＝3sin(2x－π)在[－，上的简图，如图，3632ππ可知y＝3sin(2x－π)在[－，上不具有单调性，363故C，D错误．2．(2022年北京)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A0，ω0)．若f(x)在区间π，π上具有单调性，且f π＝f 2π＝－f π，则f(x)的最小正周期为________．2 3 6 62ππ上具有单调性，62答案π 解析∵f(x)在Tππ∴，2262π∴T≥3π 2π∵f ＝f ，2 3π2π237π∴f(x)的一条对称轴为x＝.π π又∵f ＝－f ，2 6ππ26π∴f(x)的一个对称中心的横坐标为.2317πππ∴＝＝T＝π. __押题精练1．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0)的部分图象如图，其中M(m,0)，N(n,2)，P(π，0)，且mn0，则f(x)在下列哪个区间中是单调的()πA．(0，)4π2πB．(43π3πC．)24答案B2πD．(，π)解析∵mn0，所以当左右移动图象，当图象过原点时，即M 点在原点时，此时T＝π，则ωπ3ππ＝2，∴f(x)＝2sin(2x)，在(，上为减函数，(0，)上为增函数；当图象的最高点在444y轴上时，即N点在y轴上，T＝π，ω＝f(x)＝2sin()，在(0，(2ππ2π，π)上为增函数．所以f(x)在(，上是单调的．34323__π)上是减函数，32．已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx3cosωx－π图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为4(1)求f(x)的表达式；3(ω0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)2π(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[02上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．11＋cos 2ωx3解(1)f(x)ωx＋__π＝ωxcos 2ωx＝sin(2ωx＋)，223ππ由题意知，最小正周期T＝2×42Tπ 2πππ ω＝2，∴f(x)＝sin 4x＋. 3 2ωω2ππy＝sin(4x)的图象，86(2)将f(x)的图象向右平移再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，π得到y＝sin(2x－)的图象．6π所以g(x)＝sin(2x－)．6πππ5π令2x－＝t，∵0≤x≤≤t≤.6266g(x)＋k＝0在区间[0，上有且只有一个实数解，π2即函数g(t)＝sin t与y＝－k在区间[－上有且只有一个交66点．如图，11由正弦函数的图象可知－k或－k＝1.2211k≤或k＝－1.22(推荐时间：50分钟)一、选择题1．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x，y)．若初始位置为P031，，当秒针从P0(此时t＝220)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( ) A．y＝sinπt＋π6 30π πB．y＝sin －－6 60π πC．y＝sin －＋6 30π πD．y＝sin －－3 30答案Cππ解析由三角函数的定义可知，初始位置点P0的弧度为630针尖位置P到坐标原点的距离为1，故点P的纵坐标y与时间t 的函数关系可能为y＝π πsin －＋.6 30π2．将函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短21到原来的倍(纵坐标不变)，得到的函数解析式为( )2A．y＝cos 2x C．y＝－2sin 4x答案DB．y＝－2cos x D．y＝－2cos 4x解析函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到y＝2cos 2(x＝2cos(2x－π)221＝2cos(π－2x)＝－2cos 2x，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不2变)，得到y＝－2cos[2(2x)]，即y＝－2cos 4x.ππ2π3．函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0且|φ|)在区间[]上单调递减，且函数值从1减小263到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为( ) 1A.2C.3 2B.D.2 26＋24答案AT2ππ2ππ解析依题意知－T＝π＝，∴ω＝2，将点(1)代入y＝sin(2x＋φ)得236ω6ππππ1φ)＝1，又|φφy＝sin(2x，与y.4．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|)在一个周期内的图象如2→→图所示，M，N分别是这段图象的最高点与最低点，且OMON ＝0，则Aω等于( )π7π7π7πA. C.__答案CTππ解析由题中图象知4312所以T＝π，所以ω＝2.π 7πA 则M A ，N12 127π→→2由OMON＝02A，12所以A＝7π7πAω＝. 126π)|对x∈R恒成立，且625．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中|φ|π，若f(x)≤|f((π)，则下列结论正确的是( )π211A．f()＝－1127ππB．f(f105C．f(x)是奇函数ππD．f(x)的单调递增区间是[kπ－kπ＋k∈Z)36答案Dππππ解析由f(x)≤|f()|恒成立知x＝是函数的对称轴，即2×＋φ＋kπ，k∈Z，所6662ππ以φ＝＋kπ，k∈Z，又f()f(π)，所以sin(π＋φ)sin(2π＋φ)，即－sin φsin62φ.所以sin φ0，得φ＝ππf(x)＝sin(2x＋)，66πππ2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，262ππkπ≤xkπ，k∈Z，36ππ即函数的单调递增区间是[kπ－，kπ＋k∈Z)．36π6．已知A，B，C，D，E是函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0,0φ一个周期内的图象上的五个2π点，如图所示，A(－，0)，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个6π→对称中心，B与D关于点E对称，CD在xω，φ的值为()12πA．ω＝2，φ＝31πC．ω＝，φ＝23答案Aπ解析因为A，B，C，D，E是函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0,0φ)一个周期内的图象上的五个点，A(－，0)，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，6πB．ω＝2，φ＝61πD．ω＝φ＝26B与D关于点E对称，CD在x轴上的投影为，所以T＝4×(＋＝π，所以ω＝2，πππππ因为A(－，0)，所以f(－)＝sin(－＋φ)＝0,0φ，φ＝.__二、填空题π7．(2022年安徽)若将函数f(x)＝sin(2x＋的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴4对称，则φ的最小正值是________．答案3π8→π12ππ126解析∵函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位得到g(x)＝sin[2(x－φ)44π＝sin(2x＋－2φ)，4ππ又∵g(x)是偶函数，∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)．42∴φ＝－kπ2－πk∈Z)．83π当k＝－1时，φ取得最小正值8ππ8．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|)的部分图象如图所示，若x1，x226π)，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________. 3答案解析观察图象可知，A＝1，T＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)．ππππ将(－0)代入上式得sin(－＋φ)＝0，由已知得φ＝，故f(x)＝sin(2x．6333ππ－63π函数图象的对称轴为x＝＝212ππ又x1，x2∈(－，)，且f(x1)＝f(x2)，63ππππ3∴f(x1＋x2)＝f(2×＝f()＝sin(2×＋)＝.__π9．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，6π若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________．23答案[－，3]解析由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)ππππ5π＝3sin(2x－)，那么当x∈[0，]时，－≤2x－≤，__π3所以－x－)≤1，故f(x)∈[－，3]．262ππ10．给出命题：①函数y＝2sin(x)－x)(x∈R)的最小值等于－1；②函数y＝36ππsin πxcosπx是最小正周期为2的奇函数；③函数y＝sin(x ＋)在区间[0，]上单调递42增的；④若sin 2α0，cos α－sin α0，则α一定为第二象限角．则真命题的序号是________．答案①④ππ解析对于①，函数y＝2sin(－x)－x)36π＝sin(x)，所以其最小值为－1；3对于②，函数y＝sin πxcos πx＝sin 2πx是奇函数，但其最小正周期为1；2ππππ对于③，函数y＝sin(x＋)在区间[0，]上单调递增，在区间[]上单调递减；4442sin 2α0对于④，由cos α－sin α0cos α0，sin α0，所以α一定为第二象限角．三、解答题π11．已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A0，x∈(－∞，＋∞)，0φπ)在x时取得最大值124.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的解析式；2π12(3)若f(α＋＝，求sin α.3125解(1)f(x)的最小正周期T＝2π(2)由函数的最大值为4，可得A＝4. 所以f(x)＝4sin(3x＋φ)．当x＝ππ1212＋φ)＝4，所以sin(π4＋φ)＝1，所以φ＝2kπ＋π4，k∈Z，因为0φπ，所以φ＝π4所以f(x)的解析式是f(x)＝4sin(3x＋π4)．(3)因为f(23π12＝125，故sin(2α＋ππ34＋4＝5.所以cos 2α＝351－2sin2α35故sin2α＝155所以sin α＝±512．已知函数f(x)＝sin2x＋23sin xcos x＋3cos2x，x∈R.求：(1)函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)函数f(x)在区间[－ππ63]上的值域．解(1)由二倍角的正、余弦公式及其变形，得f(x)＝1－cos 2x3sin 2x＋cos 2x2＋2＝23sin 2x＋cos 2x ＝2＋2(32sin 2x＋12cos 2x) ＝2sin(2x＋π6)＋2.∴函数f(x)的最小正周期T＝2π2π，π22kπ≤2x＋ππ6≤2kπ＋2，k∈Z，即kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z时f(x)为单调递增函数，∴f(x)的单调递增区间为[kπ－ππ3，kπ＋6，k∈Z.(2)由题意得－π6x≤π3，∴2x＋π6π65π6]，。
【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题训练八 第1讲 几何证明选讲 理
第1讲几何证明选讲考情解读本讲主要考查相似三角形与射影定理，圆的切线及圆内接四边形的性质与判定定理，圆周角定理及弦切角定理，相交弦、切割线、割线定理等，本部分内容多数涉及圆，并且多是以圆为背景设计的综合性考题，考查逻辑推理能力．1．(1)相似三角形的判定定理判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．(2)相似三角形的性质①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方．(3)直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．2．(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．3．(1)圆内接四边形的性质定理①圆的内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)圆内接四边形判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．4．(1)圆的切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．(2)圆的切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (4)相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． (5)切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 5．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．6．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．热点一 相似三角形及射影定理例1 如图所示，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，且AD ∶BD ＝9∶4，则AC ∶BC 的值为________． 答案 3∶2解析 方法一 因为∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， 所以由射影定理，得AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB . 所以(AC BC)2＝AD ·AB BD ·AB ＝ADBD.又AD ∶BD ＝9∶4， 所以AC ∶BC ＝3∶2.方法二 因为AD ∶BD ＝9∶4， 所以可设AD ＝9k ，BD ＝4k ，k ∈R ＋. 又∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， 由射影定理，得CD 2＝AD ·BD ， 所以CD ＝6k .由勾股定理，得AC ＝313k 和BC ＝213k ， 所以AC ∶BC ＝3∶2.思维升华 含斜边上的高的直角三角形是相似三角形中的基本图形，本题中出现多对相似三角形，这为解决问题提供了许多可以利用的有效信息．另外，直角三角形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角形中的一个经典应用，在类似问题中应用射影定理十分简捷．如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD＝12，BE 的长为________． 答案 4 2解析 ∵AC ＝4，AD ＝12，∠ACD ＝90°， ∴CD 2＝AD 2－AC 2＝128， ∴CD ＝8 2.又∵AE ⊥BC ，∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AD ＝BE CD ，∴BE ＝AB ·CD AD ＝6×8212＝4 2. 热点二 相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用 例2 如图所示，AB 为⊙O 的直径，P 为BA 的延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ，且PA ＝4，PC ＝8，则tan∠ACD 和sin P 的值为________． 答案 12，35解析 连接OC ，BC .因为PC 为⊙O 的切线，所以PC 2＝PA ·PB . 故82＝4·PB ，所以PB ＝16.所以AB ＝16－4＝12. 由条件，得∠PCA ＝∠PBC ， 又∠P ＝∠P ， 所以△PCA ∽△PBC . 所以AC BC ＝PCPB.因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ACB ＝90°. 又CD ⊥AB ，所以∠ACD ＝∠B . 所以tan∠ACD ＝tan B ＝AC BC ＝PC PB ＝816＝12. 因为PC 为⊙O 的切线，所以∠PCO ＝90°. 又⊙O 直径为AB ＝12，所以OC ＝9，PO ＝10.所以sin P ＝OC PO ＝610＝35.思维升华 (1)求非特殊角的函数值的关键是将这些角归结到直角三角形中，利用直角三角形的边之比表示出角的三角函数值，然后根据已知条件将这些比值转化为已知线段的比值． (2)线段成比例的证明，一般利用三角形相似进行转化，在圆中的相关问题，应注意灵活利用圆中的切割线定理、相交弦定理等求解相关线段的长度或构造比例关系．(2013·某某)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝____________.答案 2 3解析 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ，故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6，∴AE ＝4，DE ＝2，又AE AC＝AC AD⇒AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26，在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.热点三 圆的有关性质的综合应用例3 如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E . 若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，则∠BAC 的大小为________．答案 90°解析 由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角， 所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC .所以AB AE ＝ADAC， 即AB ·AC ＝AD ·AE .又S ＝12AB ·AC sin∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin∠BAC ＝AD ·AE ，则sin∠BAC ＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC ＝90°.思维升华 高考中对几何证明的命题集中在圆和三角形、四边形相结合的综合性题目上，这类试题往往要综合运用多个定理和添加一定的辅助线才能解决．已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．同时注意四点共圆的判定及性质的应用．(2013·某某)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则CE EO的值为________． 答案 8解析 易知△CDO ∽△CED ， ∴CD CE ＝CO CD，设圆O 半径为R ，则AD ＝23R ，OD ＝13R ，∴CD 2＝R 2－(13R )2＝89R 2，∴CE ＝CD 2CO ＝89R ，EO ＝19R ，故CEEO＝8.1．证明两角相等，关键是确定两角之间的关系，多利用中间量进行转化，可以通过证明三角形相似或全等，利用平行线的有关定理，如同位角相等、内错角相等等，也可利用特殊平面图形的性质，如利用等腰三角形的两个底角相等、圆中同弧或等弧所对的圆周角相等寻找中间量进行过渡．2．证明或寻找圆内接图形中的角之间的关系，除了注意平面图形中的垂直、平行关系之外，还应注意弦切角、同弧所对角等性质的灵活运用．真题感悟1．(2014·某某)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．答案 32解析 如图，延长AO 交圆O 于点D ，连接BD ，则AB ⊥BD . 在Rt△ABD 中，AB 2＝AE ·AD . ∵BC ＝22，AO ⊥BC ，∴BE ＝ 2. ∵AB ＝3，∴AE ＝1， ∴AD ＝3，∴r ＝32.2．(2014·某某)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝_________________________.答案 9解析 在平行四边形ABCD 中，因为EB ＝2AE ，所以AE AB ＝13＝AE CD ，故CDAE＝3.因为AE ∥CD ，所以△AEF ∽△CDF ，所以S △CDF S △AEF ＝(CD AE)2＝9. 押题精练1.如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________. 答案 a2解析 连接DE ，由于E 是AB 的中点， 故BE ＝a 2.又CD ＝a2，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，∴四边形EBCD 是矩形． 在Rt△ADE 中，AD ＝a ，F 是AD 的中点，故EF ＝a2.2．(2014·某某)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝____________. 答案 3解析 ∵∠A ＝∠A ，∠AEF ＝∠ACB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AC AE ＝BC EF ，∴2＝BC EF，∴EF ＝3.3．(2014·某某改编)如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ；②FB 2＝FD ·FA ；③AE ·CE ＝BE ·DE ；④AF ·BD ＝AB ·BF .则所有正确结论的序号是________． 答案 ①②④解析 对于①，∵BF 是圆的切线， ∴∠CBF ＝∠BAC ，∠4＝∠1. 又∵AD 平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2.又∠2＝∠3，∴∠3＝∠4， 即BD 平分∠CBF ，故①正确；对于②，根据切割线定理有FB 2＝FD ·FA ， 故②正确；对于③，∵∠3＝∠2，∠BED ＝∠AEC ， ∴△BDE ∽△ACE .∴AE BE ＝CE DE，即AE ·DE ＝BE ·CE ，故③错误； 对于④，∵∠4＝∠1，∠BFD ＝∠AFB ， ∴△BFD ∽△AFB ，∴BF AF ＝BD AB， 即AF ·BD ＝AB ·BF ，故④正确．(推荐时间：40分钟)1．(2014·某某)如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B .过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点．若QC ＝1，CD ＝3，则PB ＝________.答案 4解析 由切割线定理得QA 2＝QC ·QD ＝4，解得QA ＝2.则PB ＝PA ＝2QA ＝4.2．(2014·某某)过圆外一点P 作圆的切线PA (A 为切点)，再作割线PBC 依次交圆于B ，C .若PA ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝________.答案 4解析 由切割线定理得PA 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )，即62＝PB ·(PB ＋9)，解得PB ＝3(负值舍去)．由弦切角定理知∠PAB ＝∠PCA ，又∠APB ＝∠CPA ，故△APB ∽△CPA ，则AB CA ＝AP CP ，即AB8＝63＋9，解得AB ＝4.3．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB PA＝12，PC PD ＝13，则BCAD 的值为________． 答案66解析 ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠PAD ，∴△PCB ∽△PAD .∴PB PD ＝PC PA ＝BC AD .∵PB PA ＝12，PC PD ＝13， ∴BC AD ＝66. 4．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．答案 43解析 因为AF ·BF ＝EF ·CF ，解得CF ＝2， 所以34＝2BD ，即BD ＝83.设CD ＝x ，AD ＝4x ，所以4x 2＝649，所以x ＝43.5.如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，则BF FC的值为______． 答案 12解析 过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点， ∴在△BDM 中，BF ＝FM ， 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.6．(2013·某某)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________.答案 2 3解析 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ，故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6，∴AE ＝4，DE ＝2，又AE AC＝AC AD⇒AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26，在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.7.如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB ＝1，则圆O 的半径R ＝________. 答案3解析 由切割线定理可得PA 2＝PB ·PC ，即PC ＝PA 2PB ＝41＝4，所以BC ＝PC －PB ＝3， 因为AC 是圆O 的直径， 所以∠ABC ＝90°， 所以AB 2＝BC ·BP ＝3，所以AC 2＝BC 2＋AB 2＝9＋3＝12， 即AC ＝12＝23， 所以2R ＝23，即R ＝ 3.8．如图，AB ，CD 是圆O 内的两条平行弦，BF ∥AC ，BF 交CD 于点E ，交圆O 于点F ，过A 点的切线交DC 的延长线于点P ，若PC ＝ED ＝1，PA ＝2，则AC 的长为________．答案2解析 ∵PA 是⊙O 的切线， ∴由切割线定理得PA 2＝PC ·PD . ∵PA ＝2，PC ＝1， ∴PD ＝4. 又∵PC ＝ED ＝1，∴CE ＝2，由题意知四边形ABEC 为平行四边形， ∴AB ＝CE ＝2，连接BC ，如图， ∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAC ＝∠CBA .∵AB ，CD 是圆的两条平行弦， ∴∠PCA ＝∠CAB ，∴△PAC ∽△CBA ，∴PC CA ＝CA AB， ∴AC 2＝PC ·AB ＝2，∴AC ＝ 2.9．如图，已知AD ＝5，DB ＝8，AO ＝310，则圆O 的半径OC 的长为________．答案 5解析 由圆的割线定理得，AE ·AC ＝AD ·AB ，即(AO －OE )·(AO ＋OC )＝AD ·(AD ＋DB )，即(310－OC )·(310＋OC )＝5×(5＋8)，解得OC ＝5.10．如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°得到OD ，则PD 的长为________．答案7解析 ∵PA 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理，得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7，故PD ＝7.11．如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，它们相交于点P ，连接AD ，BD ，已知AD ＝BD ＝4，PC ＝6，则PA ·PB ＝________.答案 12解析 由AD ＝BD ＝4，得∠PAD ＝∠B ，又∠B ＝∠C ，所以∠PAD ＝∠C ，又∠ADP ＝∠CDA ，所以△ADP ∽△CDA .又PC ＝6，设PD ＝x ，由CD AD ＝AD PD ，得6＋x 4＝4x，解得x ＝2或x ＝－8(舍去)， 即PD ＝2，由相交弦定理，得PA ·PB ＝PC ·PD ＝6×2＝12.12.如图，Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，则AD ∶BC ＝________. 答案 2∶5解析 设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ，∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴AC 2＝CD ·BC ，∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ， ∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5. 13.如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连接BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为________． 答案 6解析 过点E 作EN ⊥DB 交DB 的延长线于点N ，在Rt△DFB 中，DF ＝3，FB ＝1，则BD ＝10，由Rt△DFB ∽Rt△ENB ，知EN DF ＝BE BD，所以EN ＝31010，又BD ∥EC ，所以EN 为△BCD 底边BD 上的高，故S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·DF ＋12BD ·EN ＝12×3×3＋12×10×31010＝6. 14.如图，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F .若CD ＝2，则AB ＝________， EF ＝________.答案 3 233解析 ∵AB 为圆O 的直径，∴AC ⊥BC .∵CD ⊥AB 于D ，∴由射影定理得CD 2＝AD ·BD .∵AD ＝2BD ，CD ＝2，∴(2)2＝2BD ·BD ，解得BD ＝1，∴AD ＝2BD ＝2，∴AB ＝AD ＋BD ＝2＋1＝3.在Rt△CDE 中，∵E 为AD 的中点，∴DE ＝12AD ＝1，又CD ＝2， ∴CE ＝CD 2＋DE 2＝3，又AE ＝DE ＝1，EB ＝2，由相交弦定理得EF ＝AE ·EB CE ＝233. 15.如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于点D ，若AD ＝1，∠ABC ＝30°，则圆O 的面积是________．答案 4π解析 ∠ACD ＝∠ABC ＝30°，AC ＝ADsin∠ACD ＝2，AB ＝ACsin∠ABC ＝4，故圆O 的面积为π·22＝4π.。
新广东高考数学理科步步高二轮复习专题突破6.3圆锥曲线中的热点问题(含答案解析)
第3讲 圆锥曲线中的热点问题(推荐时间：50分钟)一、选择题1．已知点M 与双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点的距离之比为2∶3，则点M 的轨迹方程为( ) A ．x 2－y 2＋26x ＋25＝0B ．x 2＋y 2＋16x ＋81＝0C ．x 2＋y 2＋26x ＋25＝0D ．x 2＋y 2＋16x －81＝0答案 C解析 设点M (x ，y )，F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则由题意得|MF 1||MF 2|＝23， 将坐标代入，得x ＋2＋y 2x －2＋y 2＝49， 化简，得x 2＋y 2＋26x ＋25＝0.2．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( ) A.53 B.23 C.23 D.13答案 A解析 由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴|PF 2||PF 1|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a 3. 根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫2a 32＋⎝⎛⎭⎫4a 32＝(2c )2， 所以离心率e ＝c a ＝53.3．已知抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，点P 是抛物线y 2＝8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( )A.y 22－x 23＝1 B ．y 2－x 24＝1 C.y 24－x 2＝1 D.y 23－x 22＝1 答案 C解析 由题意得，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为ax －by ＝0， ∵抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455， ∴2a a 2＋b 2＝455， ∴a ＝2b .∵P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3， ∴|FF 1|＝3，∴c 2＋4＝9，∴c ＝5，∵c 2＝a 2＋b 2，a ＝2b ，∴a ＝2，b ＝1.∴双曲线的方程为y 24－x 2＝1，故选C. 4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则 x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204， 又因为F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3 ＝14(x 0＋2)2＋2， 又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]，所以(OP →·FP →)max ＝6.5．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 依题意得F (0,2)，准线方程为y ＝－2，又∵以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM |＝|y 0＋2|，∴|FM |>4，即|y 0＋2|>4，又y 0≥0，∴y 0>2.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若双曲线上存在点P 满足a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A ．(1，2＋1)B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．(2＋1，＋∞) 答案 A解析 根据正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1， 所以由a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1可得a |PF 2|＝c |PF 1|， 即|PF 1||PF 2|＝c a＝e ， 所以|PF 1|＝e |PF 2|.因为e >1，所以|PF 1|>|PF 2|，点P 在双曲线的右支上．又|PF 1|－|PF 2|＝e |PF 2|－|PF 2|＝|PF 2|(e －1)＝2a ，解得|PF 2|＝2a e －1， 因为|PF 2|>c －a ，所以2a e －1>c －a ，即2e －1>e －1， 即(e －1)2<2，解得1－2<e <2＋1.又e >1，所以e ∈(1，2＋1)，故选A.二、填空题7．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．答案 m ≥1且m ≠5解析 ∵方程x 25＋y 2m＝1表示椭圆， ∴m >0且m ≠5.∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：025＋12m≤1，m ≥1， ∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.8．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过定点________．答案 (0,2)解析 设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则在点A 处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得，y ＝12x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y ＝12x 2x －y 2.又点Q (t ，－2)的坐标满足这两个方程，代入得：－2＝12x 1t －y 1，－2＝12x 2t －y 2，则说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程－2＝12xt －y ，即直线AB 的方程为：y －2＝12tx ，因此直线AB 恒过定点(0,2)．9．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析 椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12.10．(2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2x 2＋y －a 2＝a ，得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0.即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1. 三、解答题11．已知点A 、B 的坐标分别是(0，－1)、(0,1)，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－12. (1)求点M 轨迹C 的方程；(2)若过点D (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 交于不同的两点E 、F ，试求△OEF 面积的取值范围．(O 为坐标原点)解 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，∵k AM ·k BM ＝－12. ∴y ＋1x ·y －1x ＝－12. 整理，得x 22＋y 2＝1(x ≠0)， 即M 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝kx ＋2，①将①代入x 22＋y 2＝1得： (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0，由Δ>0，解得k 2>32.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－4k －4k 2－62k 2＋1，x 1＝－4k ＋4k 2－62k 2＋1，则|x 1－x 2|＝24k 2－62k 2＋1. S △OEF ＝S △OED －S △OFD ＝12OD ·|x 1|－12OD ·|x 2|＝12OD ·|x 1－x 2|＝12×2·|x 1－x 2|＝|x 1－x 2|＝ k 2－32k 2＋2.令k 2－32＝t (t >0)，所以k 2＝t ＋32(t >0)， 所以S △OEF ＝|x 1－x 2|＝ 16t t ＋2＝ 4t t ＋2 ＝2t t 2＋4t ＋4＝21t ＋4t ＋4≤214＋4＝22， 故△EOF 面积的取值范围是(0，22]．12．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM →·TN →的最小值，并求此时圆T 的方程；(3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：|OR |·|OS |为定值．(1)解 依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32， 所以c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)解 点M 与点N 关于x 轴对称，设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1>0.由于点M 在椭圆C 上，所以y 21＝1－x 214.(*) 由已知得T (－2,0)，则TM →＝(x 1＋2，y 1)，TN →＝(x 1＋2，－y 1)， 所以TM →·TN →＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－(1－x 214)＝54x 21＋4x 1＋3 ＝54(x 1＋85)2－15. 由于－2<x 1<2，故当x 1＝－85时，TM →·TN →取得最小值为－15. 把x 1＝－85代入(*)式，得． y 1＝35，故M (－85，35)， 又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2＝1325. 故圆T 的方程为：(x ＋2)2＋y 2＝1325. (3)证明 设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为：y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)， 令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1， 故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21，(**) 又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，代入(**)式，得x R ·x S ＝－y 21y 20－－y 20y 21y 20－y 21＝y 20－y 21y 20－y 21＝4. 所以|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．。
【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题突破训练四 第1讲 等差数列和等比数列 理(含
第1讲 等差数列和等比数列考情解读 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．1．a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．等差数列和等比数列等差数列 等比数列定义 a n －a n －1＝常数(n ≥2) a na n －1＝常数(n ≥2) 通项公式a n ＝a 1＋(n －1)da n ＝a 1q n －1(q ≠0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ≥1)⇔{a n }为等差数列(3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p 、q为常数)⇔{a n }为等差数列 (4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }为等差数列 (5){a n }为等比数列，a n >0⇔{log a a n }为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ≥1)(a n ≠0)⇔ {a n }为等比数列(3)通项公式法：a n ＝c ·q n (c 、q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列(4){a n }为等差数列⇔{aa n }为等比数列(a >0且a ≠1)性质(1)若m 、n 、p 、q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q(2)a n ＝a m ＋(n －m )d(3)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，仍成等差数列(1)若m 、n 、p 、q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q (2)a n ＝a m qn －m(3)等比数列依次每n 项和(S n ≠0)仍成等比数列前n 项和S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d(1)q ≠1，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q(2)q ＝1，S n ＝na 1热点一 等差数列例1 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6＝12，则S 7的值是( ) A ．21 B ．24 C ．28 D ．7(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若－1<a 3<1,0<a 6<3，则S 9的取值X 围是________． 思维启迪 (1)利用a 1＋a 7＝2a 4建立S 7和已知条件的联系；(2)将a 3，a 6的X 围整体代入． 答案 (1)C (2)(－3,21)解析 (1)由题意可知，a 2＋a 6＝2a 4，则3a 4＝12，a 4＝4，所以S 7＝7×a 1＋a 72＝7a 4＝28.(2)S 9＝9a 1＋36d ＝3(a 1＋2d )＋6(a 1＋5d ) 又－1<a 3<1,0<a 6<3，∴－3<3(a 1＋2d )<3,0<6(a 1＋5d )<18， 故－3<S 9<21.思维升华 (1)等差数列问题的基本思想是求解a 1和d ，可利用方程思想； (2)等差数列的性质①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，仍成等差数列； ③a m －a n ＝(m －n )d ⇔d ＝a m －a n m －n(m ，n ∈N *)； ④a n b n ＝A 2n －1B 2n －1(A 2n －1，B 2n －1分别为{a n }，{b n }的前2n －1项的和)．(3)等差数列前n 项和的问题可以利用函数的性质或者转化为等差数列的项，利用性质解决．(1)已知等差数列{a n }，满足a 3＝1，a 8＝6，则此数列的前10项的和S 10＝________.(2)在等差数列{a n }中，a 5<0，a 6>0且a 6>|a 5|，S n 是数列的前n 项的和，则下列说法正确的是( )A ．S 1，S 2，S 3均小于0，S 4，S 5，S 6…均大于0B ．S 1，S 2，…S 5均小于0，S 6，S 7，…均大于0C ．S 1，S 2，…S 9均小于0，S 10，S 11…均大于0D ．S 1，S 2，…S 11均小于0，S 12，S 13…均大于0 答案 (1)35 (2)C解析 (1)因为a 1＋a 10＝a 3＋a 8＝7， 所以S 10＝a 1＋a 10×102＝a 3＋a 8×102＝7×102＝35.(2)由题意可知a 6＋a 5>0，故S 10＝a 1＋a 10×102＝a 5＋a 6×102>0，而S 9＝a 1＋a 9×92＝2a 5×92＝9a 5<0，故选C.热点二 等比数列例2 (1)(2014·某某)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝_____________________.(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n 等于( )A ．4n －1B ．4n－1 C ．2n －1D ．2n－1思维启迪 (1)列方程求出d ，代入q 即可；(2)求出a 1，q ，代入化简． 答案 (1)1 (2)D解析 (1)设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1， ∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1. (2)∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，∴q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×(12)n －1＝42n ，∴S n ＝2×1－12n1－12＝4(1－12n )，∴S n a n＝41－12n42n ＝2n－1，故选D. 思维升华 (1){a n }为等比数列，其性质如下：①若m 、n 、r 、s ∈N *，且m ＋n ＝r ＋s ，则a m ·a n ＝a r ·a s ； ②a n ＝a m qn －m；③S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列(q ≠－1)． (2)等比数列前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q q ≠1.①能“知三求二”；②注意讨论公比q 是否为1；③a 1≠0.(1)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8(2)在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝34，a 2·a n －1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 (1)D (2)B解析 (1)∵a 4－2a 27＋3a 8＝0，∴2a 27＝a 4＋3a 8，即2a 27＝4a 7，∴a 7＝2，∴b 7＝2，又∵b 2b 8b 11＝b 1qb 1q 7b 1q 10＝b 31q 18＝(b 7)3＝8，故选D.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2a n －1＝a 1a n ＝64，又a 1＋a n ＝34，解得a 1＝2，a n ＝32或a 1＝32，a n ＝2.当a 1＝2，a n ＝32时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q1－q ＝62，解得q ＝2.又a n ＝a 1q n －1，所以2×2n －1＝2n ＝32，解得n ＝5.同理，当a 1＝32，a n ＝2时，由S n ＝62，解得q＝12.由a n ＝a 1q n －1＝32×(12)n －1＝2，得(12)n －1＝116＝(12)4，即n －1＝4，n ＝5.综上，项数n 等于5，故选B.热点三 等差数列、等比数列的综合应用例3 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，某某数λ的取值X 围．思维启迪 (1)利用方程思想求出a 1，代入公式求出a n 和S n ；(2)将恒成立问题通过分离法转化为最值．解 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，∴a 1＝4，∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n 9－n2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1， 设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m ＝4[1－12m]1－12＝8[1－(12)m]，∵(12)m随m 增加而递减， ∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n 9－n2＝－12(n 2－9n )＝－12[(n －92)2－814]，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ，则10<4＋λ，得λ>6.即实数λ的取值X 围为(6，＋∞)． 思维升华 等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．(2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问题，求解时用等差(比)数列的相关知识，将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可．已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)，求证：1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n <12.(1)解 ∵12，a n ，S n 成等差数列，∴2a n ＝S n ＋12，当n ＝1时，2a 1＝S 1＋12，∴a 1＝12，当n ≥2时，S n ＝2a n －12，S n －1＝2a n －1－12，两式相减得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a na n －1＝2， ∴数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，∴a n ＝12×2n －1＝2n －2.(2)证明 b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)＝log 222n ＋1－2×log 222n ＋3－2＝(2n －1)(2n ＋1)，1b n ＝12n －1×12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)， 1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)<12(n ∈N *)． 即1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n <12.1．在等差(比)数列中，a 1，d (q )，n ，a n ，S n 五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d (公比q )这两个基本量的有关运算． 2．等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．3．等差、等比数列的单调性 (1)等差数列的单调性 d >0⇔{a n }为递增数列，S n 有最小值． d <0⇔{a n }为递减数列，S n 有最大值． d ＝0⇔{a n }为常数列．(2)等比数列的单调性 当⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1时，{a n }为递增数列，当⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }为递减数列． 4．常用结论(1)若{a n }，{b n }均是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则{ma n ＋kb n }，{S n n}仍为等差数列，其中m ，k 为常数．(2)若{a n }，{b n }均是等比数列，则{ca n }(c ≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }，{ma n b n }(m 为常数)，{a 2n }，{1a n}仍为等比数列．(3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…，成等比数列，且公比为a 3－a 2a 2－a 1＝a 2－a 1qa 2－a 1＝q . (4)等比数列(q ≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，成等比数列，其公差为q k.等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，成等差数列，公差为k 2d . 5．易错提醒(1)应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起． (2)三个数a ，b ，c 成等差数列的充要条件是b ＝a ＋c2，但三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .真题感悟1．(2014·大纲全国)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案 C解析 数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.2．(2014·)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8解析 ∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0. ∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<－a 8<0. ∴数列的前8项和最大，即n ＝8. 押题精练1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列一定成立的是( ) A ．若a 3>0，则a 2 013<0 B ．若a 4>0，则a 2 014<0 C ．若a 3>0，则a 2 013>0 D ．若a 4>0，则a 2 014>0 答案 C解析 因为a 3＝a 1q 2，a 2 013＝a 1q2 012，而q 2与q2 012均为正数，若a 3>0，则a 1>0，所以a 2 013>0，故选C.2．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a n a n.若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值X 围为________． 答案 (－8，－7)解析 a n ＝a ＋(n －1)×1＝n ＋a －1，所以b n ＝1＋a n a n ＝n ＋a n ＋a －1，因为对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，即n ＋a n ＋a －1≥8＋a 8＋a －1(n ∈N *)恒成立，即n －8a ＋7n ＋a －1≤0(n ∈N *)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7<0，1－a <9，解得－8<a <－7.3．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14恰好是等比数列{b n }的前三项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，(T n ＋32)k ≥3n －6恒成立，某某数k 的取值X 围．解 (1)当n ≥2时，由题设知4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1， ∴4a n ＝4S n －4S n －1＝a 2n ＋1－a 2n －4， ∴a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2， ∵a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2.∴当n ≥2时，{a n }是公差d ＝2的等差数列． ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴a 25＝a 2·a 14，(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3， 由条件可知，4a 1＝a 22－5＝4，∴a 1＝1， ∵a 2－a 1＝3－1＝2，∴{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. ∵等比数列{b n }的公比q ＝a 5a 2＝2×5－13＝3，∴等比数列{b n }的通项公式为b n ＝3n.(2)T n ＝b 11－q n 1－q ＝31－3n 1－3＝3n ＋1－32，∴(3n ＋1－32＋32)k ≥3n －6对任意的n ∈N *恒成立，∴k ≥2n －43n 对任意的n ∈N *恒成立，令＝2n －43n ，－－1＝2n －43n －2n －63n －1＝－22n －73n， 当n ≤3时，>－1； 当n ≥4时，<－1.∴()max ＝c 3＝227，∴k ≥227.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 B解析 ∵3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，两式相减得3a 3＝a 4－a 3，∴a 4＝4a 3，∴q ＝a 4a 3＝4. 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝6＋a 7，则S 9的值是( ) A ．27 B ．36 C ．45 D ．54 答案 D解析 由2a 6＝6＋a 7得a 5＝6，所以S 9＝9a 5＝54.故选D.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C解析 由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝－2，又S m ＝a 1－a m q1－q＝－11，故a 1＝－1，又a m ＝a 1·qm －1＝－16，代入可求得m ＝5.4．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )A ．0B ．3C ．8D ．11 答案 B解析 ∵{b n }为等差数列，设其公差为d ， 由b 3＝－2，b 10＝12，∴7d ＝b 10－b 3＝12－(－2)＝14，∴d ＝2， ∵b 3＝－2，∴b 1＝b 3－2d ＝－2－4＝－6， ∴b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋7×62·d＝7×(－6)＋21×2＝0，又b 1＋b 2＋…＋b 7＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝a 8－a 1＝a 8－3， ∴a 8－3＝0，a 8＝3.故选B. 5．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2 014等于( )A.16B ．－16 C ．6 D ．－6 答案 D 解析 由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1得a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，而a 1＝2，所以a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，则数列是以4为周期，且a 1a 2a 3a 4＝1，所以T 2 014＝(a 1a 2a 3a 4)503a 1a 2＝1503×2×(－3)＝－6，故选D. 6．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4 000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，Q (2 011，a 2 011)，则OP →·OQ →等于( )A ．2 011B ．－2 011C ．0D ．1 答案 A解析 由S 21＝S 4 000得a 22＋a 23＋…＋a 4 000＝0， 由于a 22＋a 4 000＝a 23＋a 3 999＝…＝2a 2 011， 所以a 22＋a 23＋…＋a 4 000＝3 979a 2 011＝0， 从而a 2 011＝0，而OP →·OQ →＝2 011＋a 2 011a n ＝2 011. 二、填空题7．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝________. 答案 3解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝8，a 1q 4＋a 1q 6＝4，解得q 4＝12.又a 9＋a 11＝a 1q 8＋a 3q 8＝(a 1＋a 3)q 8＝8×(12)2＝2，a 13＋a 15＝a 1q 12＋a 3q 12＝(a 1＋a 3)q 12＝8×(12)3＝1，所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3.8．(2014·某某)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝______.答案 50解析 因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n ＝________.答案 6解析 设等差数列的公差为d ，则由a 4＋a 6＝－6得2a 5＝－6，∴a 5＝－3.又∵a 1＝－11，∴－3＝－11＋4d ，∴d ＝2，∴S n ＝－11n ＋n n －12×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36， 故当n ＝6时，S n 取最小值．10．已知数列{a n }的首项为a 1＝2，且a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＝________，a n ＝________.答案 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1⎩⎪⎨⎪⎧ 2 n ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2 n ≥2解析 由a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，可得a n ＋1＝12S n ，所以S n ＋1－S n ＝12S n ，即S n ＋1＝32S n ，由此可知数列{S n }是一个等比数列，其中首项S 1＝a 1＝2，公比为32，所以S n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1， 由此得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2 n ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2 n ≥2.三、解答题11．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列． (1)解 设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d .依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15.解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54. 所以b n ＝b 1·q n －1＝54·2n －1＝5·2n －3， 即数列{b n }的通项公式b n ＝5·2n －3.(2)证明 由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝541－2n 1－2＝5·2n －2－54， 即S n ＋54＝5·2n －2. 所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2. 因此{S n ＋54}是以52为首项，2为公比的等比数列． 12．若数列{b n }对于n ∈N *，都有b n ＋2－b n ＝d (常数)，则称数列{b n }是公差为d 的准等差数列，如数列{}，若＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4n －1，n 为奇数，4n －9，n 为偶数，则数列{}是公差为8的准等差数列．设数列{a n }满足a 1＝a ，对于n ∈N *，都有a n ＋a n ＋1＝2n .(1)求证：{a n }为准等差数列；(2)求{a n }的通项公式及前20项和S 20.(1)证明 ∵a n ＋1＋a n ＝2n ，①∴a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋2.②由②－①得a n ＋2－a n ＝2(n ∈N *)，∴{a n }是公差为2的准等差数列．(2)解 已知a 1＝a ，a n ＋1＋a n ＝2n (n ∈N *)，∴a 1＋a 2＝2，即a 2＝2－a .∴由(1)可知a 1，a 3，a 5，…，成以a 为首项，2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…，成以2－a 为首项，2为公差的等差数列．∴当n 为偶数时，a n ＝2－a ＋(n 2－1)×2＝n －a ， 当n 为奇数时，a n ＝a ＋(n ＋12－1)×2＝n ＋a －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋a －1，n 为奇数，n －a ，n 为偶数.S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 19＋a 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝2×1＋2×3＋…＋2×19＝2×1＋19×102＝200. 13．(2013·某某)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18.即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q 1＋q ＋q 2＝－18， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝－2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3[1－－2n ]1－－2＝1－(－2)n .假设存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，得n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}．。
【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题九 第3讲 分类讨论思想配套课件 理
解析 f(x)的图象如图，由图象知，满足 f(f(a))≤2 时，得 f(a)≥－2，而满足 f(a)≥－2 时，得 a≤ 2.
答案 a≤ 2
3 9 (2)在等比数列{an}中，已知 a3＝ ，S3＝ ，则 a1＝ 2 2 ________.
3 解析 当 q＝1 时，a1＝a2＝a3＝ ， 2 9 S3＝3a1＝ ，显然成立； 2 2 3 a1q ＝a3＝ ， 2 当 q≠1 时，由题意，得 3 9 a11－q ＝S3＝ . 2 1－ q
1 由图形可知斜率 k 的值为 0 或－ . 2
答案 D
三角形.
x y (2)设 F1，F2 为椭圆 ＋ ＝1 的两个焦点，P 为椭圆 9 4 上一点.已知 P，F1，F2 是一个直角三角形的三个顶 |PF1| 点，且|PF1|>|PF2|，则 的值为________. |PF2|
解析 若∠PF2F1＝90°，
a q2＝3， 1 2 所以 9 2 a11＋q＋q ＝ ， 2
2
① ②
1＋q＋q 2 由①②，得 ＝3，即 2q －q－1＝0， 2 q 1 所以 q＝－ 或 q＝1(舍去). 2 1 a3 3 当 q＝－ 时，a1＝ 2＝6.综上可知，a1＝ 或 a1＝6. 2 2 q 3 答案 或 6 2
所以所求的切线的斜率为3. 又f(0)＝0，所以切点为(0,0)，
故所求的切线方程为y＝3x.
(2)判断函数f(x)的单调性.
ax 解 因为 f(x)＝ln(x＋1)＋ (x>－1)， x＋ 1
1 ax＋1－ax x＋1＋a 所以 f′(x)＝ ＋ 2 ＝ 2. x＋ 1 x＋1 x＋1
－x≤y≤x＋3， 由图形及不等式组，知 3 － ≤x≤2，且x∈Z. 2
【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题训练二 第2讲 函数的应用 理
第2讲 函数的应用考情解读 1.函数零点所在区间、零点个数及参数的取值X 围是高考的常见题型，主要以选择、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点． (2)函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.热点一 函数的零点例1 (1)已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f (12)>f (－3)>0，则方程f (x )＝0的根的个数为________．(2)(2014·某某)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈[0，12]，2x －1，x ∈12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A ．[14，23]∪[43，74]B ．[－34，－13]∪[14，23]C ．[13，34]∪[43，74]D ．[－34，－13]∪[13，34]思维启迪 (1)根据零点存在性原理，进行判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决． 答案 (1)2 (2)A解析 (1)由于函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且f (－3)＝－f (3)>0， 故f (3)<0，因为函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，且f (12)>0，由零点存在性定理知，存在c ∈(12，3)，使得f (c )＝0，即函数f (x )在(0，＋∞)有唯一零点，由奇函数图象的特点知，函数f (x )在(－∞，0)也有一个零点，故方程f (x )＝0的根的个数为2. (2)先画出y 轴右边的图象，如图所示．∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称，∴可画出y 轴左边的图象，再画直线y ＝12.设与曲线交于点A ，B ，C ，D ，先分别求出A ，B 两点的横坐标． 令cos πx ＝12，∵x ∈[0，12]，∴πx ＝π3，∴x ＝13.令2x －1＝12，∴x ＝34，∴x A ＝13，x B ＝34.根据对称性可知直线y ＝12与曲线另外两个交点的横坐标为x C ＝－34，x D ＝－13.∵f (x －1)≤12，则在直线y ＝12上及其下方的图象满足，∴13≤x －1≤34或－34≤x －1≤－13，∴43≤x ≤74或14≤x ≤23. 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(1)已知函数f (x )＝(14)x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知a 是函数f (x )＝2x－log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)>0C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)的符号不确定 答案 (1)C (2)C解析 (1)f (x )在[0,2π]上的零点个数就是函数y ＝(14)x和y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的交点个数，而函数y ＝(14)x和y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的交点有3个，故选C.(2)∵f (x )＝2x －log 12x 在(0，＋∞)上是增函数，又a 是函数f (x )＝2x－log 12x 的零点，即f (a )＝0，∴当0<x 0<a 时，f (x 0)<0. 热点二 函数的零点与参数的X 围例2 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值X 围是( ) A ．(－2,1) B ．[0,1] C ．[－2,0) D ．[－2,1)思维启迪 先确定函数f (x )的解析式，再利用数形结合思想求k 的X 围． 答案 D解析 解不等式：x 2－1－(4＋x )≥1，得：x ≤－2或x ≥3，所以，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈－∞，－2]∪[3，＋∞，x 2－1，x ∈－2，3.函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点转化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同交点．如图，所以－1<－k ≤2，故－2≤k <1.思维升华 已知函数的零点个数求解参数X 围，可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解．定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)的单调增区间为(－1,1)，若方程3a (f (x ))2＋2bf (x )＋c ＝0恰有6个不同的实根，则实数a 的取值X 围是________． 答案 a <－12解析 ∵函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)的单调增区间为(－1,1)，∴－1和1是f ′(x )＝0的根，∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋1＝－2b3a－1×1＝c3a，∴b ＝0，c ＝－3a ，∴f (x )＝ax 3－3ax ，∵3a (f (x ))2＋2bf (x )＋c ＝0，∴3a (f (x ))2－3a ＝0，∴f 2(x )＝1，∴f (x )＝±1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1>1f－1<－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －3a >1－a ＋3a <－1，∴a <－12.热点三 函数的实际应用问题例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝|xx 2＋1－a |＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈[0，12]，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．(1)令t ＝xx 2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值X 围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？思维启迪 (1)分x ＝0和x ≠0两种情况，当x ≠0时变形使用基本不等式求解．(2)利用换元法把函数f (x )转化成g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，再把函数g (t )写成分段函数后求M (a )．解 (1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x ≤24时，x ＋1x≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝xx 2＋1＝1x ＋1x∈(0，12]， 即t 的取值X 围是[0，12]．(2)当a ∈[0，12]时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，则g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12.∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在(a ，12]上单调递增，且g (0)＝3a ＋23，g (12)＝a ＋76，g (0)－g (12)＝2(a －14)．故M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g12，0≤a ≤14，g0，14<a ≤12.即M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12.当0≤a ≤14时，M (a )＝a ＋76<2显然成立；由⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋23≤2，14<a ≤12，得14<a ≤49， ∴当且仅当0≤a ≤49时，M (a )≤2.故当0≤a ≤49时不超标，当49<a ≤12时超标．思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去． (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10.8－130x 20<x ≤10，108x －1 0003x 2x >10.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本) 解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .∴W ＝⎩⎪⎨⎪⎧8.1x －x 330－10 0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x x >10.(2)①当0<x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，且当x ∈(0,9)时，W ′>0；当x ∈(9,10)时，W ′<0，∴当x ＝9时，W 取得最大值， 且W max ＝8.1×9－130·93－10＝38.6.②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎪⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x·2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38.综合①②知：当x ＝9时，W 取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．1．函数与方程(1)函数f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点． (2)函数f (x )的零点存在性定理如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.①如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f (x )在区间[a ，b ]上是一个单调函数，那么当f (a )·f (b )<0时，函数f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.②如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点．2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决． 3．应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.真题感悟1．(2014·某某)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3， x ∈－1，0]，x ， x ∈0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 答案 A解析 作出函数f (x )的图象如图所示，其中A (1,1)，B (0，－2)．因为直线y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)恒过定点C (－1,0)，故当直线y ＝m (x ＋1)在AC 位置时，m ＝12，可知当直线y ＝m (x ＋1)在x 轴和AC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与AC 重合但不能与x 轴重合)，此时0<m ≤12，g (x )有两个不同的零点．当直线y ＝m (x ＋1)过点B 时，m ＝－2；当直线y ＝m (x ＋1)与曲线f (x )相切时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ＋1－3，y ＝m x ＋1，得mx2＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，由Δ＝(2m ＋3)2－4m (m ＋2)＝0，解得m ＝－94，可知当y ＝m (x ＋1)在切线和BC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与BC 重合但不能与切线重合)，此时－94<m ≤－2，g (x )有两个不同的零点．综上，m 的取值X 围为(－94，－2]∪(0，12]，故选A.2．(2014·)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a 、b 、c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟 答案 B解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.0.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15(t 2－152t ＋22516)＋4516－2＝－15(t －154)2＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟． 押题精练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )＋1]的零点有________个．答案 4解析 当f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1，故f [f (x )＋1]＝0时，f (x )＋1＝－1或1.当f (x )＋1＝－1，即f (x )＝－2时，解得x ＝－3或x ＝14；当f (x )＋1＝1，即f (x )＝0时，解得x ＝－1或x ＝1.故函数y ＝f [f (x )＋1]有四个不同的零点．2．函数f (x )＝x e x－a 有两个零点，则实数a 的取值X 围是________． 答案 (－1e，0)解析 令f ′(x )＝(x ＋1)e x＝0，得x ＝－1， 则当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，要使f (x )有两个零点，则极小值f (－1)<0，即－e －1－a <0，∴a >－1e，又x →－∞时，f (x )>0，则a <0，∴a ∈(－1e，0)．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 答案 5 8解析 由题意知每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－(x ＋25x)，而x >0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在的区间为( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2,3) 答案 C解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数．f (12)＝log 212－112＝－1－2＝－3<0，f (1)＝log 21－11＝0－1<0， f (2)＝log 22－12＝1－12＝12>0， f (3)＝log 23－13>1－13＝23>0，即f (1)·f (2)<0，∴函数f (x )＝log 2x －1x的零点在区间(1,2)内．2．函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1，下列区间中，可能存在零点的是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(1,2)与(2,3) 答案 B解析 f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)，函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，且为递减函数，当1<x <2时，ln(x －1)<0，2x>0，所以f (x )>0，故函数在(1,2)上没有零点；f (2)＝22－ln 1＝1>0，f (3)＝23－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83， 因为8＝22≈2.828，所以8>e ，故ln e<ln 8，即1<12ln 8，所以2<ln 8，即f (3)<0，f (4)＝24－ln 3＝12－ln 3<0.故f (x )在(2,3)存在零点．3．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 B解析 ∵2sin πx －x ＋1＝0，∴2sin πx ＝x －1，图象如图所示，由图象看出y ＝2sin πx 与y ＝x －1有5个交点，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若方程f (x )＝m 有三个不同的实根，则实数m 的取值X 围为( )A ．[－12，1]B ．[－12，1]C ．(－14，0)D ．(－14，0]答案 C解析 作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示．当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝(x －12)2－14≥－14，所以要使函数f (x )＝m 有三个不同的零点，则－14<m <0，即m 的取值X 围为(－14，0)． 5．(2013·某某)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于E 、D 两点．设弧FG 的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析 如图所示，连接OF ，OG ，过点O 作OM ⊥FG ，过点A 作AH ⊥BC ，交DE 于点N .因为弧FG 的长度为x ，所以∠FOG ＝x ， 则AN ＝OM ＝cos x2，所以AN AH ＝AE AB ＝cos x2，则AE ＝233cos x 2，∴EB ＝233－233cos x2.∴y ＝EB ＋BC ＋CD ＝433－433cos x 2＋233＝－433cos x 2＋23(0<x <π)．6．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1，2－x 2，x ∈[－1，0，且f (x ＋2)＝f (x )，g (x )＝2x ＋5x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为( ) A ．－5 B ．－6 C ．－7 D ．－8 答案 C解析 由题意知g (x )＝2x ＋5x ＋2＝2x ＋2＋1x ＋2＝2＋1x ＋2，函数f (x )的周期为2，则函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的图象如图所示：由图形可知函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的交点为A ，B ，C ，易知点B 的横坐标为－3，若设C 的横坐标为t (0<t <1)，则点A 的横坐标为－4－t ，所以方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为－3＋(－4－t )＋t ＝－7.二、填空题7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值X 围是________．答案 (0,1]解析 当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1. 因为函数f (x )有两个不同的零点， 则当x ≤0时，函数f (x )＝2x－a 有一个零点， 令f (x )＝0得a ＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以0<a ≤1， 所以实数a 的取值X 围是0<a ≤1.8．(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1， x <1，13x ， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值X围是________．答案 (－∞，8]解析 当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，13x ≤2，x ≤23＝8,1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]． 9．已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值X 围为________． 答案 m >1解析 函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根． ∵1x ＋2＝m |x |⇔1m＝|x |(x ＋2)，作函数y ＝|x |(x ＋2)的图象，如图所示，由图象可知m 应满足：0<1m<1，故m >1.10．我们把形如y ＝b|x |－a(a >0，b >0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg|x |的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 4解析 由题意知，当a ＝1，b ＝1时，y ＝1|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1x ≥0且x ≠1，－1x ＋1x <0且x ≠－1.在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．三、解答题11．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，某某数a 的取值X 围． 解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3， 令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. ∴函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根． ∴b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立， 所以有(－4a )2－4(4a )<0⇒a 2－a <0，所以0<a <1. 因此实数a 的取值X 围是(0,1)．12．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解 设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则y ＝(2a －x )(b ＋0.01bx )－0.4bx ＝－b100[x 2－2(a －70)x ]＋2ab . 依题意得2a －x ≥34·2a ，所以0<x ≤a2.又140<2a <420，即70<a <210.(1)当0<a －70≤a2，即70<a ≤140时，x ＝a －70，y 取到最大值；(2)当a －70>a 2，即140<a <210时，x ＝a2，y 取到最大值．故当70<a <140时，公司应裁员(a －70)人，经济效益取到最大， 当140<a <210时，公司应裁员a2人，经济效益取到最大．13．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值X 围；若不存在，说明理由． 解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9(a －89)2＋89>0，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1. (2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a <－15或a >1.。
【步步高】(广东专用)2015高考数学一轮复习 第3讲 导数的应用同步检测 文
第3讲 导数的应用(二)一、选择题1．若函数y ＝f (x )可导，则“f ′(x )＝0有实根”是“f (x )有极值”的 ( )． A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f ′(x )＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)＞0，解得a ＜－3或a ＞6. 答案 B3．设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( )．A ．f (1)与f (－1)B ．f (－1)与f (1)C ．f (－2)与f (2)D ．f (2)与f (－2)解析 由图象知f ′(2)＝f ′(－2)＝0.∵x >2时，y ＝x ·f ′(x )>0，∴f ′(x )>0，∴y ＝f (x )在(2，＋∞)上单调递增；同理f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，∴y ＝f (x )的极大值为f (－2)，极小值为f (2)，故选C. 答案 C4．设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln2B ．－ln2 C.ln22 D.－ln22解析 f ′(x )＝e x －a e －x，这个函数是奇函数，因为函数f (x )在0处有定义，所以f ′(0)＝0，故只能是a ＝1.此时f ′(x )＝e x －e －x，设切点的横坐标是x 0，则e x 0－e －x 0＝32，即2(e x 0)2－3e x 0－2＝0，即(e x 0－2)(2e x 0＋1)＝0，只能是e x 0＝2，解得x 0＝ln2.正确选项为A. 答案 A5．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )．解析 若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则易得a ＝c .因选项A 、B 的函数为f (x )＝a (x ＋1)2，则[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝a (x ＋1)(x ＋3)e x，∴x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，满足条件；选项C 中，对称轴x ＝－b2a ＞0，且开口向下，∴a＜0，b ＞0，∴f (－1)＝2a －b ＜0，也满足条件；选项D 中， 对称轴x ＝－b2a ＜－1，且开口向上，∴a ＞0，b ＞2a ，∴f (－1)＝2a －b ＜0，与 图矛盾，故答案选D. 答案 D6．已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，6 C ．[3,12]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 解析 因为f (x )有两个极值点x 1，x 2，所以f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ＝0有两个根x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f－，f －，f ，f，即⎩⎪⎨⎪⎧12－8b ＋c ≥0，3－4b ＋c ≤0，3＋4b ＋c ≤0，12＋8b ＋c ≥0，画出可行域如图所示．因为f (－1)＝2b －c ，由图知经过点A (0，－3)时，f (－1)取得最小值3，经过点C (0，－12)时，f (－1)取得最大值12，所以f (－1)的取值范围为[3,12]．答案 C 二、填空题7．函数f (x )＝x 2－2ln x 的最小值为________．解析 由f ′(x )＝2x －2x＝0，得x 2＝1.又x ＞0，所以x ＝1.因为0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，x ＞1时f ′(x )＞0，所以当x ＝1时，f (x )取极小值(极小值唯一)也即最小值f (1)＝1. 答案18．若f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围________． 解析 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， 由已知条件Δ>0，即36a 2－36(a ＋2)>0， 解得a <－1，或a >2.答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)9．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________． 解析 由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上， 故－m ＋n ＝2.①又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则f ′(－1)＝－3， 故3m －2n ＝－3.②联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2， 令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0， 则[t ，t ＋1]⊆[－2,0]，故t ≥－2且t ＋1≤0， 所以t ∈[－2，－1]． 答案 [－2，－1]10．已知函数f (x )＝1－x ax＋ln x ，若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a 的取值范围为________．解析 ∵f (x )＝1－x ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝ax －1ax2(a >0)，∵函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，∴f ′(x )＝ax －1ax 2≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立，∴ax －1≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立，即a ≥1x对x ∈[1，＋∞)恒成立，∴a ≥1.答案 [1，＋∞) 三、解答题11．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在点x 0处取得极大值5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过(1,0)，(2,0)点，如图所示．(1)求x 0的值； (2)求a ，b ，c 的值．解析 (1)由f ′(x )随x 变化的情况0(2)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a >0由已知条件x ＝1，x ＝2为方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0，的两根，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝5，－2b 3a＝3，c 3a ＝2，解得a ＝2，b ＝－9，c ＝12.12．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋x －2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x)的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 13．设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两根分别为1,4.(1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围． 解 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0，(*)(1)当a ＝3时，由(*)式得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0，解得b ＝－3，c ＝12.又因为曲线y ＝f (x )过原点， 所以d ＝0.故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a >0，所以f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点等价于f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a .又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a －a －得a ∈[1,9]．即a 的取值范围是[1,9]． 14．已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2.(1)求f (x )的解析式及单调区间；(2)若f (x )≥12x 2＋ax ＋b ，求(a ＋1)b 的最大值．解 (1)由已知得f ′(x )＝f ′(1)ex －1－f (0)＋x .所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′(1)e －1，所以f ′(1)＝e.从而f (x )＝e x －x ＋12x 2.由于f ′(x )＝e x－1＋x ，故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.从而，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)由已知条件得e x －(a ＋1)x ≥b .①(i)若a ＋1<0，则对任意常数b ，当x <0，且x <1－b a ＋1时，可得e x－(a ＋1)x <b ，因此①式不成立．(ii)若a ＋1＝0，则(a ＋1)b ＝0. (iii)若a ＋1>0，设g (x )＝e x－(a ＋1)x ， 则g ′(x )＝e x－(a ＋1)．当x ∈(－∞，ln(a ＋1))时，g ′(x )<0； 当x ∈(ln(a ＋1)，＋∞)时，g ′(x )>0.从而g (x )在(－∞，ln(a ＋1))上单调递减，在(ln(a ＋1)，＋∞)上单调递增． 故g (x )有最小值g (ln(a ＋1))＝a ＋1－(a ＋1)ln(a ＋1)． 所以f (x )≥12x 2＋ax ＋b 等价于b ≤a ＋1－(a ＋1)·ln(a ＋1)．②因此(a ＋1)b ≤(a ＋1)2－(a ＋1)2ln(a ＋1)． 设h (a )＝(a ＋1)2－(a ＋1)2ln(a ＋1)，则h ′(a )＝(a ＋1)[1－2ln(a ＋1)]．所以h (a )在(－1，e 12－1)上单调递增，在(e 12－1，＋∞)上单调递减，故h (a )在a ＝e 12－1处取得最大值．从而h (a )≤e 2，即(a ＋1)b ≤e2.当a ＝e 12－1，b ＝e 122时，②式成立．故f (x )≥12x 2＋ax ＋b .综上得，(a ＋1)b 的最大值为e2.。
【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题训练三 第3讲 平面向量 理
第3讲 平面向量考情解读 1.平面向量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用的基础，高考中常以小题形式进行考查.2.平面向量的线性运算和数量积是高考的热点，有时和三角函数相结合，凸显向量的工具性，考查处理问题的能力．1．平面向量中的五个基本概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为a|a |.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)向量的投影：|b |cos 〈a ，b 〉叫做向量b 在向量a 方向上的投影． 2．平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底． 3．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 4．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.热点一 平面向量的概念及线性运算例1 (1)(2014·某某)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)(2)如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值X 围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,0)思维启迪 (1)根据平面向量基本定理解题．(2)构造三点共线图形，得到平面向量的三点共线结论，将此结论与OC →＝mOA →＋nOB →对应． 答案 (1)B (2)D解析 (1)由题意知，A 选项中e 1＝0，C 、D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a ＝(3,2)＝2e 1＋e 2)．(2)依题意，由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λBA →(λ>1)，则OD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →. 又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ>1)，则OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ>1，μ>1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ.故m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)．故选D.思维升华 对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆．如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则．同时，要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．(1)(2014·某某)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.(2)如图，在△ABC 中，AF ＝13AB ，D 为BC 的中点，AD 与CF 交于点E .若AB →＝a ，AC →＝b ，且CE →＝x a ＋y b ，则x ＋y ＝________.答案 (1)12 (2)－12解析 (1)因为a ∥b ，所以sin 2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.(2)如图，设FB 的中点为M ，连接MD .因为D 为BC 的中点，M 为FB 的中点，所以MD ∥CF . 因为AF ＝13AB ，所以F 为AM 的中点，E 为AD 的中点．方法一 因为AB →＝a ，AC →＝b ，D 为BC 的中点， 所以AD →＝12(a ＋b )．所以AE →＝12AD →＝14(a ＋b )．所以CE →＝CA →＋AE →＝－AC →＋AE →＝－b ＋14(a ＋b )＝14a －34b . 所以x ＝14，y ＝－34，所以x ＋y ＝－12.方法二 易得EF ＝12MD ，MD ＝12CF ，所以EF ＝14CF ，所以CE ＝34CF .因为CF →＝CA →＋AF →＝－AC →＋AF →＝－b ＋13a ，所以CE →＝34(－b ＋13a )＝14a －34b .所以x ＝14，y ＝－34，则x ＋y ＝－12.热点二 平面向量的数量积例2 (1)如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49(2)(2013·某某)在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，72 C.⎝⎛⎦⎥⎤52，2D.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2 思维启迪 (1)图O 的半径为1，可对题中向量进行转化FD →＝FO →＋OD →，FE →＝FO →＋OE →； (2)利用|OP →|<12，寻找OP →，OA →的关系．答案 (1)B (2)D解析 (1)∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝(13)2＋0－1＝－89.(2)∵AB 1→⊥AB 2→，∴AB 1→·AB 2→＝(OB 1→－OA →)·(OB 2→－OA →) ＝OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＋OA →2＝0，∴OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＝－OA →2. ∵AP →＝AB 1→＋AB 2→.∴OP →－OA →＝OB 1→－OA →＋OB 2→－OA →， ∴OP →＝OB 1→＋OB 2→－OA →. ∵|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，∴OP →2＝1＋1＋OA →2＋2(OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OB 2→·OA →) ＝2＋OA →2＋2(－OA →2)＝2－OA →2，∵|OP →|<12，∴0≤|OP →|2<14，∴0≤2－OA →2<14，∴74<OA →2≤2，即|OA →|∈⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2. 思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．(1)(2014·某某)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________． (2)已知点G 是△ABC 的重心，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →|的最小值是________． 答案 (1)22 (2)23解析 (1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22. (2)在△ABC 中，延长AG 交BC 于D ，∵点G 是△ABC 的重心，∴AD 是BC 边上的中线，且AG ＝23AD ，∵AB →·AC →＝|AB →|×|AC →|×cos 120°＝－2，∴|AB →|×|AC →|＝4，∵AG →＝23AD →，2AD →＝AB →＋AC →，∴AG →＝13(AB →＋AC →)，∴AG →2＝[13(AB →＋AC →)]2＝19[AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2]≥19[2|AB →|×|AC →|＋2×(－2)]＝49，∴AG →2≥49，∴|AG →|≥23，∴|AG →|的最小值是23.热点三 平面向量与三角函数的综合例3 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．思维启迪 (1)应用向量的数量积公式可得f (x )的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x 值．(2)由夹角公式及a ⊥c 可得关于角α的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果． 解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α ＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )． 令t ＝sin x ＋cos x ⎝⎛⎭⎪⎫π4<x <π，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2. 则y ＝t 2＋2t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋222－32，－1<t <2， ∴t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22， 即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<54π， ∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0， ∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0，∴tan 2α＝－35. 思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos(2A ＋π6)(x ∈[0，π3])的取值X 围． 解 (1)∵a ∥b ，∴34cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－34.∴co s 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得sin A ＝22，∴A ＝π4.∴f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12，∵x ∈[0，π3]，∴2x ＋π4∈[π4，11π12]．∴32－1≤f (x )＋4cos(2A ＋π6)≤2－12. 故所求X 围为[32－1，2－12]．1．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量AB →＝OB →－OA →(其中O 为任意一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．2．根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 互相垂直． 3．两个向量夹角的X 围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．4．平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系．真题感悟1．(2014·某某)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 答案7＋1解析 设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1， 即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆．又O A →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y ) ＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD →|＝x －12＋y ＋32.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为3－12＋0＋32＝7，故x －12＋y ＋32的最大值为7＋1.2．(2014·某某)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ等于( )A.12B.23C.56D.712答案 C解析 ∵AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋μDC →， ∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋μDC →) ＝AB →·AD →＋μAB →·DC →＋λBC →·AD →＋λμBC →·DC → ＝2×2×(－12)＋4μ＋4λ＋2×2×(－12)λμ＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1. ∴2(λ＋μ)－λμ＝32.①∵CE →·CF →＝(1－λ)CB →·(1－μ)CD → ＝(λμ－λ－μ＋1)CB →·CD →＝2×2×(－12)(λμ－λ－μ＋1)＝－2[λμ－(λ＋μ)＋1]＝－23，∴λμ－(λ＋μ)＋1＝13，即λμ－(λ＋μ)＝－23.②由①②解得λ＋μ＝56.押题精练1．在Rt△ABC 中，∠BCA ＝90°，CA ＝CB ＝1，P 为AB 边上的点，且AP →＝λAB →，若CP →·AB →≥PA →·PB →，则λ的取值X 围是( ) A ．[12，1] B ．[2－22，1]C ．[12，1＋22]D ．[1－22，1＋22]答案 B解析 因为CP →·AB →＝(AP →－AC →)·AB →＝AP →·AB →－AC →·AB →＝λAB →·AB →－AC →·AB →＝2λ－1×2×cosπ4＝2λ－1，PA →·PB →＝－AP →·PB →＝－λAB →·(1－λ)AB →＝2λ(λ－1)，因为CP →·AB →≥PA →·PB →，所以2λ－1≥2λ(λ－1)，解得2－22≤λ≤2＋22，又因为P 为AB 边上的点，所以0≤λ≤1，所以2－22≤λ≤1，故选B.2．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →最小值是__________．答案 －116解析 因为OP →＝OB →＋BP →，所以OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋(BP →)2.又因为∠AOB ＝60°，OA ＝OB ，∴∠OBA ＝60°.OB ＝1.所以OB →·BP →＝|BP →|cos 120°＝－12|BP →|.所以OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝(|BP →|－14)2－116≥－116.故当且仅当|BP →|＝14时，OP →·BP →最小值是－116.3．已知向量m ＝(sin x ，cos x )，n ＝(32，32)，x ∈R ，函数f (x )＝m ·n .(1)求f (x )的最大值；(2)在△ABC 中，设角A ，B 的对边分别为a ，b ，若B ＝2A ，且b ＝2af (A －π6)，求角C 的大小．解 (1)f (x )＝32sin x ＋32cos x ＝3sin(x ＋π6)，所以f (x )的最大值为 3.(2)因为b ＝2af (A －π6)，由(1)和正弦定理，得sin B＝23sin 2A .又B ＝2A ，所以sin 2A ＝23sin 2A ， 即sin A cos A ＝3sin 2A ， 而A 是三角形的内角，所以sin A ≠0，故cos A ＝3sin A ， tan A ＝33， 所以A ＝π6，B ＝2A ＝π3，C ＝π－A －B ＝π2.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(4，m )，且a ⊥b ，则向量5a －3b 等于( )A ．(－7，－16)B ．(－7，－34)C ．(－7，－4)D ．(－7,14)答案 A解析 ∵a ·b ＝4－2m ＝0，∴m ＝2，∴5a －3b ＝(5，－10)－(12,6)＝(－7，－16)．2．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，点P 在x 轴上，AP →·BP →取最小值时P 点坐标是( )A ．(－3,0)B ．(1,0)C ．(2,0)D ．(3,0)答案 D解析 依题意设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，所以AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，当x ＝3时AP →·BP →取得最小值1.此时P 点坐标为(3,0)．3．已知|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝π3，则|a ＋b |为( ) A ．9 B ．7 C ．3 D.7答案 D解析 |a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝1＋4＋2|a |·|b |·cos〈a ，b 〉＝5＋2×1×2×12＝7，所以|a ＋b |＝7.4．(2013·某某)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10答案 C解析 ∵AC →·BD →＝0，∴AC ⊥BD .∴四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →||BD →|＝12×5×25＝5. 5．等腰直角三角形ABC 中，A ＝π2，AB ＝AC ＝2，M 是BC 的中点，P 点在△ABC 内部或其边界上运动，则BP →·AM →的取值X 围是( )A ．[－1,0]B ．[1,2]C ．[－2，－1]D ．[－2,0]答案 D解析 以点A 为坐标原点，射线AB ，AC 分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (2,0)，M (1,1)．设P (x ，y )，由于点P 在△ABC 内部或其边界上运动，故x ≥0，y ≥0且x＋y ≤2，BP →·AM →＝(x －2，y )·(1,1)＝x －2＋y ，所以BP →·AM →的取值X 围是[－2,0]．6．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A.15B.25C.35D.925答案 C解析 设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →， 也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35. 二、填空题7．在Rt△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝3，D 在边BC 上，BD ＝23，则AB →·AD →＝________. 答案 23解析 ∵Rt△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝3，∴∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，∵BD ＝23，BC ＝2，得到BD BC ＝13，∴BD →＝13BC →，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AC →＋23AB →， ∴AB →·AD →＝AB →·(13AC →＋23AB →)＝13AB →·AC →＋23AB →2＝0＋23×12＝23. 8．(2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．答案 90°解析 ∵AO →＝12(AB →＋AC →)， ∴点O 是△ABC 中边BC 的中点，∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈AB →，AC →〉＝90°.9．已知e 1，e 2为相互垂直的单位向量，若向量λe 1＋e 2与e 1＋λe 2的夹角等于60°，则实数λ＝________.答案 2± 3解析 因为e 1，e 2为相互垂直的单位向量，则不妨设e 1，e 2分别为直角坐标系中x ，y 轴的正方向的单位向量，则向量λe 1＋e 2与e 1＋λe 2的坐标为(λ，1)，(1，λ)，因为向量λe 1＋e 2与e 1＋λe 2的夹角等于60°，所以由向量数量积的定义可得cos 60°＝λe 1＋e 2·e 1＋λe 2|λe 1＋e 2|·|e 1＋λe 2|⇒12＝2λλ2＋1λ2＋1⇒λ＝2± 3. 10．在△ABC 中，sin A ＝35，AB →·AC →＝8，则△ABC 的面积为( ) A ．3 B ．4C ．6 D.125答案 A解析 ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝8>0，∵|AB →|>0，|AC →|>0，∴cos A >0，∴cos A ＝1－sin 2A ＝ 1－352＝45， ∴|AB →|·|AC →|＝8cos A ＝8×54＝10， ∴S △ABC ＝12|AB |·|AC |·sin A＝12×10×35＝3， 即△ABC 的面积为3. 三、解答题 11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为3π4，|OB |＝2，设∠AOB ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4. (1)用θ表示点B 的坐标及|OA |；(2)若tan θ＝－43，求OA →·OB →的值． 解 (1)由题意，可得点B 的坐标为(2cos θ，2sin θ)．在△ABO 中，|OB |＝2，∠BAO ＝π4，∠B ＝π－π4－θ＝3π4－θ. 由正弦定理，得|OB |sin π4＝|OA |sin B ， 即|OA |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ. (2)由(1)，得OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos θ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θcos θ. 因为tan θ＝－43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4， 所以sin θ＝45，cos θ＝－35. 又sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝sin 3π4cos θ－cos 3π4sin θ ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×45＝210， 故OA →·OB →＝42×210×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－1225. 12．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若向量m ＝(cos B,2cos 2C2－1)与向量n ＝(2a －b ，c )共线．(1)求角C 的大小；(2)若c ＝23，S △ABC ＝23，求a ，b 的值．解 (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，m ∥n ，∴c cos B ＝(2a －b )cos C ，∴sin C cos B ＝(2sin A －sin B )cos C ，sin A ＝2sin A cos C ，∴cos C ＝12， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3. (2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴a 2＋b 2－ab ＝12，①∵S △ABC ＝12ab sin C ＝23， ∴ab ＝8，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝2.13．在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →. (1)求|AB →－AC →|；(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x·y ，求k 的最小值．解 (1)由AD →＝511DB →，且A ，B ，D 三点共线，可知|AD →|＝511|DB →|. 又AD ＝5，所以DB ＝11.在Rt△ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝75，在Rt△BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196，所以BC ＝14.所以|AB →－AC →|＝|CB →|＝14.(2)由(1)，知|AB →|＝16，|AC →|＝10，|BC →|＝14.由余弦定理，得cos A ＝102＋162－1422×10×16＝12. 由x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，知k ＝x ·y＝(AB →＋tAC →)·(tAB →＋AC →)＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB →＋t |AC →|2＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×12＋100t ＝80t 2＋356t ＋80.由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增，所以当t＝1时，k取得最小值516.。
【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题突破训练四 第3讲 推理与证明 理(含2014
第3讲推理与证明考情解读 1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题．1．合情推理(1)归纳推理①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②归纳推理的思维过程如下：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②类比推理的思维过程如下：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论2．演绎推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．3．直接证明(1)综合法用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(2)分析法用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件4．间接证明反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用如图所示的框图表示．肯定条件p否定结论q→导致逻辑矛盾→“既p，又綈q” 为假→“若p，则q” 为真5．数学归纳法数学归纳法证明的步骤：(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，对任意n≥n0，且n∈N*时，命题都成立．热点一归纳推理例1(1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A．26 B．31C．32 D．36(2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位符合要求的应当是( )A．48,49 B．62,63C．75,76 D．84,85思维启迪(1)根据三个图案中的正六边形个数寻求规律；(2)靠窗口的座位能被5整除或者被5除余1.答案(1)B (2)D解析(1)有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件．思维升华归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察——归纳——猜想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．(1)四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第______号座位上．1鼠2猴3兔4猫开始1兔2猫3鼠4猴1猫2兔3猴4鼠1猴2鼠3猫4兔A．1 B．2C．3 D．4(2)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则有________________． 答案 (1)B (2)f (2n)>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)解析 (1)考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在1号位上，第二次坐在2号位上，第三次坐在4号位上，第四次坐在3号位上，第五次坐在1号位上，因此小兔的座位数更换次数以4为周期，因为202＝50×4＋2，因此第202次互换后，小兔所在的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同，因此小兔坐在2号位上，故选B. (2)由题意得f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22.故填f (2n)>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)．热点二 类比推理例2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.(2)已知双曲正弦函数sh x ＝e x－e －x2和双曲余弦函数ch x ＝e x ＋e－x2与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角．．．．．公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个．．类似的正确结论________． 思维启迪 (1)平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；(2)可利用和角或差角公式猜想，然后验证．答案 (1)127(2)ch(x －y )＝ch x ch y －sh x sh y解析 (1)平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以V 1V 2＝127. (2)ch x ch y －sh x shy ＝e x＋e －x2·e y ＋e －y 2－e x －e －x 2·e y －e－y2＝14(e x ＋y ＋e x －y ＋e －x ＋y ＋e －x －y －e x ＋y ＋e x －y ＋e －x ＋y －e －x －y) ＝14(2e x －y ＋2e －(x －y ))＝e x －y＋e －x －y2＝ch(x －y )，故知ch(x ＋y )＝ch x ch y ＋sh x sh y ，或sh(x －y )＝sh x ch y －ch x sh y ， 或sh(x ＋y )＝sh x ch y ＋ch x sh y .思维升华 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比，例2即属于此类题型．一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等．(1)若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋nB ．d n ＝c 1·c 2·…·nC ．d n ＝12nnnn n c c c ++⋅⋅⋅D ．d n ＝nc 1·c 2·…·(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.那么对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝________.答案 (1)D (2)b 2a2解析 (1)由{a n }为等差数列，设公差为d ， 则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝a 1＋n －12d ，又正项数列{}为等比数列，设公比为q ， 则d n ＝nc 1·c 2·…·＝221n n nnc q-c 112n q-，故选D.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y22.将A ，B 代入双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中得x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1， 两式相减，得x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b2，即x 1－x 2x 1＋x 2a2＝y 1－y 2y 1＋y 2b2，即y 1－y 2y 1＋y 2x 1－x 2x 1＋x 2＝b 2a2，即k OM ·k AB ＝b 2a2.热点三 直接证明和间接证明例3 已知数列{a n }满足：a 1＝12，31＋a n ＋11－a n ＝21＋a n1－a n ＋1，a n a n ＋1<0 (n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．思维启迪 (1)利用已知递推式中的特点构造数列{1－a 2n }；(2)否定性结论的证明可用反证法． (1)解 已知31＋a n ＋11－a n ＝21＋a n 1－a n ＋1化为1－a 2n ＋11－a 2n ＝23，而1－a 21＝34，所以数列{1－a 2n }是首项为34，公比为23的等比数列，则1－a 2n ＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，则a 2n ＝1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，由a n a n ＋1<0，知数列{a n }的项正负相间出现， 因此a n ＝(－1)n ＋11－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. (2)证明 假设存在某三项成等差数列，不妨设为b m 、b n 、b p ，其中m 、n 、p 是互不相等的正整数，可设m <n <p ，而b n ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1随n 的增大而减小，那么只能有2b n ＝b m ＋b p ，可得2×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23m －1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23p －1，则2×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －m ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23p －m.(*)当n －m ≥2时，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －m ≤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝89，(*)式不可能成立，则只能有n －m ＝1，此时等式为43＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23p －m，即13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23p －m ，那么p －m ＝log 2313，左边为正整数，右边为无理数，不可能相等． 所以假设不成立，那么数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．思维升华 (1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可． (2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解 由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)，n ∈N *. (2)证明 由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ≠q ≠r )成等比数列，则b 2q ＝b p b r . 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∵(p ＋r2)2＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r 与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列． 热点四 数学归纳法例4 已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足S 2n －1＝12a 2n ，n ∈N *，数列{b n }满足b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，12a n －1，n 为偶数，T n 为数列{b n }的前n 项和．(1)求a n ，b n ；(2)试比较T 2n 与2n 2＋n3的大小． 思维启迪 (1)利用{a n }的前n 项确定通项公式(公差、首项)，{b n }的通项公式可分段给出； (2)先求T n ，归纳猜想T n 与2n 2＋n3的关系，再用数学归纳法证明．解 (1)设{a n }首项为a 1，公差为d ，在S 2n －1＝12a 2n 中，令n ＝1,2得⎩⎪⎨⎪⎧a 21＝2S 1，a 22＝2S 3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＝2a 1，a 1＋d 2＝23a 1＋3d ，解得a 1＝2，d ＝4，所以a n ＝4n －2.所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，2n －3，n 为偶数.(2)T 2n ＝1＋2×2－3＋22＋2×4－3＋24＋…＋22n －2＋2×2n －3＝1＋22＋24＋…＋22n －2＋4(1＋2＋…＋n )－3n ＝1－4n 1－4＋4·nn ＋12－3n ＝4n3－13＋2n 2－n .所以T 2n －(2n 2＋n 3)＝13(4n －4n －1)．当n ＝1时，13(4n －4n －1)＝－13<0，当n ＝2时，13(4n －4n －1)＝73>0，当n ＝3时，13(4n －4n －1)＝513>0，…猜想当n ≥2时，T 2n >2n 2＋n3，即n ≥2时，4n>4n ＋1.下面用数学归纳法证明：①当n ＝2时，42＝16,4×2＋1＝9,16>9，成立； ②假设当n ＝k (k ≥2)时成立，即4k>4k ＋1. 则当n ＝k ＋1时，4k ＋1＝4·4k>4·(4k ＋1)＝16k ＋4>4k ＋5＝4(k ＋1)＋1， 所以n ＝k ＋1时成立．由①②得，当n ≥2时，4n>4n ＋1成立． 综上，当n ＝1时，T 2n <2n 2＋n3，当n ≥2时，T 2n >2n 2＋n3.思维升华 在使用数学归纳法证明问题时，在归纳假设后，归纳假设就是证明n ＝k ＋1时的已知条件，把归纳假设当已知条件证明后续结论时，可以使用综合法、分析法、反证法．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n2，n ∈N *.(1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小关系； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明． 解 (1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1， 所以f (1)＝g (1)，当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)<g (2)，当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)<g (3)．(2)由(1)，猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明 ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立 ②假设当n ＝k (k ≥3)时不等式成立， 即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2，那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1k ＋13<32－12k 2＋1k ＋13，因为12k ＋12－(12k 2－1k ＋13)＝k ＋32k ＋13－12k2＝－3k －12k ＋13k2<0.所以f (k ＋1)<32－12k ＋12＝g (k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立．1．合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理．归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式．类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式．2．直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式．在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．3．数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，在遇到与正整数有关的数学命题时，要考虑是否可以使用数学归纳法进行证明．(1)在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明n ＝k ＋1时要用上n ＝k 时的假设，其次要明确n ＝k ＋1时证明的目标，充分考虑由n ＝k 到n ＝k ＋1时，命题形式之间的区别和联系，化异为同，中间的计算过程千万不能省略． (2)注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少，切忌忘记归纳结论．真题感悟1．(2014·某某)若集合{a ，b ，c ，d }＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4.有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．答案 6解析 由题意知①②③④中有且只有一个正确，其余三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数：(1)若①正确，即a ＝1，则②③④都错误，即b ＝1，c ≠2，d ＝4.其中a ＝1与b ＝1矛盾，显然此种情况不存在；(2)若②正确，即b ≠1，则①③④都错误，即a ≠1，c ≠2，d ＝4，则当b ＝2时，有a ＝3，c ＝1；当b ＝3时，有a ＝2，c ＝1，此时有2种有序数组．(3)若③正确，即c ＝2，则①②④都错误，即a ≠1，b ＝1，d ＝4，则a ＝3，即此种情况有1种有序数组．(4)若④正确，即d ≠4，则①②③都错误，即a ≠1，b ＝1，c ≠2，则当d ＝2时，有a ＝3，c ＝4或a ＝4，c ＝3，有2种有序数组；当d ＝3时，有c ＝4，a ＝2，仅1种有序数组． 综上可得，共有2＋1＋2＋1＝6(种)有序数组． 2．(2014·某某)观察分析下表中的数据：多面体 面数(F ) 顶点数(V )棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是____________． 答案 F ＋V －E ＝2解析 观察F ，V ，E 的变化得F ＋V －E ＝2. 押题精练1．圆周上2个点可连成1条弦，这条弦可将圆面划分成2部分；圆周上3个点可连成3条弦，这3条弦可将圆面划分成4部分；圆周上4个点可连成6条弦，这6条弦最多可将圆面划分成8部分．则n 个点连成的弦最多可把圆面分成________部分．( ) A ．2n －1B ．2nC ．2n ＋1D ．2n ＋2答案 A解析 由已知条件得：圆周上的点数连成的弦数 把圆面分成的部分数2 1＝2×122＝21＝22－13 3＝3×224＝22＝23－14 6＝4×328＝23＝24－15 10＝5×4216＝24＝25－1………由此可以归纳出，当点数为n 时，连成的弦数为n n －12；弦把圆面分成的部分数为2n －1，故选A.2．在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项，k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，…n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]．相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)·(n ＋2)”的结果为____________． 答案 14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)解析 类比k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，可得到k (k ＋1)(k ＋2)＝14[k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)－(k －1)k (k ＋1)(k ＋2)]，先逐项裂项，然后累加即得14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)．(推荐时间：50分钟)一、选择题1．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．以上均不正确 答案 B解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理． 2．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( ) A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 答案 C解析 观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…，第十项为123，即a 10＋b 10＝123. 3．已知x >0，观察不等式x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x2＝3，…，由此可得一般结论：x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a 的值为( ) A ．n n B ．n 2C ．3nD ．2n 答案 A解析 根据已知，续写一个不等式：x ＋33x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋33x 3≥44x 3·x 3·x 3·33x3＝4，由此可得a ＝n n .故选A. 4．已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3>0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( )A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负 答案 A解析 由已知得f (0)＝0，a 1＋a 5＝2a 3>0， 所以a 1>－a 5.由于f (x )单调递增且为奇函数， 所以f (a 1)＋f (a 5)>f (－a 5)＋f (a 5)＝0， 又f (a 3)>0，所以f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)>0. 故选A.5．在平面内点O 是直线AB 外一点，点C 在直线AB 上，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝1；类似地，如果点O 是空间内任一点，点A ，B ，C ，D 中任意三点均不共线，并且这四点在同一平面内，若DO →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．±1 答案 B解析 在平面内，由三角形法则， 得AB →＝OB →－OA →，BC →＝OC →－OB →. 因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数t ，使AB →＝tBC →，即OB →－OA →＝t (OC →－OB →)，所以OC →＝－1t OA →＋(1t＋1)OB →.因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以λ＝－1t ，μ＝1t＋1，所以λ＋μ＝1.类似地，在空间内可得OD →＝λOA →＋μOB →＋ηOC →，λ＋μ＋η＝1. 因为DO →＝－OD →，所以x ＋y ＋z ＝－1.故选B. 6．已知f (n )＝32n ＋2－8n －9，存在正整数m ，使n ∈N *时，能使m 整除f (n )，则m 的最大值为( ) A ．24 B ．32 C ．48 D ．64 答案 D解析 由f (1)＝64，f (2)＝704＝11×64，f (3)＝6 528＝102×64， 所以f (1)，f (2)，f (3)均能被64整除，猜想f (n )能被64整除． 下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，由上得证； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，f (k )＝32k ＋2－8k －9＝9k ＋1－8k －9能被64整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝9(k ＋1)＋1－8(k ＋1)－9＝9×9k ＋1－8k －17＝9f (k )＋64(k ＋1)．由归纳假设，f (k )是64的倍数，又64(k ＋1)是64的倍数，所以f (k ＋1)能被64整除，所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立． 因为f (1)不能被大于64的数整除， 所以所求m 的最大值等于64.故选D. 二、填空题7．如图所示的是由火柴棒拼成的一列图形，第n 个图形由n 个正方形组成，通过观察可以发现第4个图形中，火柴棒有________根；第n 个图形中，火柴棒有________根．答案 13,3n ＋1解析 易得第四个图形中有13根火柴棒，通过观察可得，每增加一个正方形，需增加三根火柴棒，所以第n 个图形中的火柴棒为4＋3(n －1)＝3n ＋1.8．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为________．答案n 2＋n ＋22解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n n ＋12＝n 2＋n ＋22个区域．9．(2014·课标全国Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此判断乙去过的城市为________． 答案 A解析 由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A.10．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩⎪⎨⎪⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m ＝________.答案 8解析 由已知可观察出m 3可分裂为m 个连续奇数，最小的一个为(m －1)m ＋1.当m ＝8时，最小的数为57，第二个便是59.所以m ＝8. 三、解答题11．已知a ，b ，m 为非零实数，且a 2＋b 2＋2－m ＝0，1a 2＋4b2＋1－2m ＝0.(1)求证：1a2＋4b2≥9a 2＋b 2； (2)求证：m ≥72.证明 (1)(分析法)要证1a 2＋4b2≥9a 2＋b 2成立， 只需证(1a 2＋4b2)(a 2＋b 2)≥9，即证1＋4＋b 2a 2＋4a 2b 2≥9，即证b 2a 2＋4a 2b2≥4.根据基本不等式，有b 2a 2＋4a 2b2≥2b 2a 2·4a 2b 2＝4成立， 所以原不等式成立．(2)(综合法)因为a 2＋b 2＝m －2，1a 2＋4b2＝2m －1，由(1)，知(m －2)(2m －1)≥9， 即2m 2－5m －7≥0， 解得m ≤－1或m ≥72.又∵a 2＋b 2＝m －2>0 ∴m >2,故m ≤－1舍去， ∴m ≥72.12．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．解 方法一 当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13＋1>a24，即2624>a24，所以a <26. 而a 是正整数，所以取a ＝25， 下面用数学归纳法证明 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. ①当n ＝1时，已证得不等式成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524. 则当n ＝k ＋1时， 有1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋13k ＋1＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1>2524＋[13k ＋2＋13k ＋4－23k ＋1]．因为13k ＋2＋13k ＋4－23k ＋1＝6k ＋13k ＋23k ＋4－23k ＋1＝18k ＋12－29k 2＋18k ＋83k ＋23k ＋43k ＋3＝23k ＋23k ＋43k ＋3>0，所以当n ＝k ＋1时不等式也成立． 由①②知，对一切正整数n ，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524， 所以正整数a 的最大值为25. 方法二 设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1 则f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋2＋13n ＋3＋13n ＋4－1n ＋1＝13n ＋2＋13n ＋4－23n ＋3＝23n ＋23n ＋43n ＋3>0，∴数列{f (n )}为递增数列， ∴f (n )min ＝f (1)＝12＋13＋14＝2624，∴1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立可转化为a 24<f (n )min ，∴a 24<2624，∴a <26.故正整数a 的最大值为25.。
【步步高】(广东专用)2015高考数学大一轮复习 6.5 数列的综合应用导学案 理
数列的综合应用导学目标： 1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生活中的应用．自主梳理1．数列的综合应用数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会．(1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法．(2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题．(3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的．(4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由S n求a n时，要对______________进行分类讨论．2．数列的实际应用数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型．(1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求a n还是求S n.(2)分期付款中的有关规定①在分期付款中，每月的利息均按复利计算；②在分期付款中规定每期所付款额相同；③在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值；④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和．自我检测1．(原创题)若S n是等差数列{a n}的前n项和，且S8－S3＝10，则S11的值为 ( ) A．12 B．18C ．22D ．442．(2011·汕头模拟)在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6a 16等于 ( )A.23B.32 C ．－16D ．－563．若{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，把{a n }的每一项都减去2后，得到一个新数列{b n }，设{b n }的前n 项和为S n ，对于任意的n ∈N *，下列结论正确的是 ( )A ．b n ＋1＝3b n ，且S n ＝12(3n－1)B ．b n ＋1＝3b n －2，且S n ＝12(3n－1)C ．b n ＋1＝3b n ＋4，且S n ＝12(3n－1)－2nD ．b n ＋1＝3b n －4，且S n ＝12(3n－1)－2n4．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是 ( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟5．(2011·台州月考)已知数列{a n }的通项为a n ＝n n 2＋58，则数列{a n }的最大项为( )A ．第7项B ．第8项C ．第7项或第8项D ．不存在6．(2011·南京模拟)设数列{a n }，{b n }都是正项等比数列，S n ，T n 分别为数列{lg a n }与{lg b n }的前n 项和，且S n T n ＝n2n ＋1，则log b 5a 5＝________.探究点一 等差、等比数列的综合问题例1 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .变式迁移1 假设a 1，a 2，a 3，a 4是一个等差数列，且满足0<a 1<2，a 3＝4.若b n ＝2a n (n ＝1,2,3,4)．给出以下命题：①数列{b n }是等比数列；②b 2>4；③b 4>32；④b 2b 4＝256.其中正确命题的个数是 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．4探究点二 数列与方程、函数、不等式的综合问题例2 (2011·温州月考)已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，n∈N *，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n ； (3)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0012对一切n ∈N *成立，求最小正整数m .变式迁移2 已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围．探究点三 数列在实际问题中的应用例3 (2011·福州模拟)有一个下岗职工，1月份向银行贷款10 000元，作为启动资金开店，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳所得税为该月月利润的10%，每月的生活费为300元，余款作为资金全部投入下个月的经营，如此继续，问到这年年底这个职工有多少资金？若贷款年利息为25%，问这个职工还清银行贷款后纯收入多少元？变式迁移3 假设某市2011年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)1．数列实际应用问题：(1)数学应用问题已成为中学数学教学与研究的一个重要内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型．(2)在试题中常用的数学模型有①构造等差、等比数列的模型，然后再去应用数列的通项公式求解；②通过归纳得到结论，用数列知识求解．2．解决数列综合问题应体会以下思想及方法：(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．(2)数列与不等式结合时需注意放缩．(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·湖北)已知等比数列{}a n 中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8的值为 ( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 22．(2011·漳州模拟)数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有 ( )A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定 3．有限数列A ：a 1，a 2，…，a n ，S n 为其前n 项和，定义S 1＋S 2＋…＋S nn为A 的“凯森和”，若有99项的数列a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为1 000，则有100项的数列1，a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为( )A ．1 001B ．991C ．999D ．9904．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要 ( )A ．6秒B ．7秒C ．8秒D ．9秒5．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．646．(2011·丽水月考)若数列{a n }的通项公式a n ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫252n －2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1，数列{a n }的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则x ＋y ＝________.7．(2010·江苏)函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________.8．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若a ij ＝2 009，则i 与j 的和为________．1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 ……………………………………三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·湘潭模拟)已知点(1，13)是函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若数列{1b n b n ＋1}的前n 项和为T n ，问满足T n >1 0002 009的最小正整数n 是多少？10．(12分)沿海地区甲公司响应国家开发西部的号召，对西部地区乙企业进行扶持性技术改造．乙企业的经营现状是：每月收入为45万元，但因设备老化，从下月开始需付设备维修费，第一个月为3万元，以后每月递增2万元．甲公司决定投资400万元扶持改造乙企业．据预测，改造后乙企业第一个月收入为16万元，在以后的4个月中，每月收入都比上个月增长50%，而后每个月收入都稳定在第5个月的水平上．若设备改造时间可忽略不计，那么从下个月开始至少经过多少个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益？11．(14分)(2011·广东执信中学模拟)已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12. (1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式；(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2；(3)设b n ＝(9－n )f n ＋1f n，n ∈N *，S n 为{b n }的前n 项和，当S n 最大时，求n 的值．答案 自主梳理1．(4)n ＝1或n ≥2 自我检测1．C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.919 课堂活动区例 1 解题导引 1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．2．利用等比数列前n 项和公式时注意公比q 的取值．同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的思维难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2， 可得a 1＝2q，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q >1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由(1)得a 3n ＋1＝23n， ∴b n ＝ln a 3n ＋1＝ln 23n ＝3n ln 2. 又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2.故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2.变式迁移1 D [设a 1，a 2，a 3，a 4的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，又0<a 1<2，所以1<d <2.易知数列{b n }是等比数列，故(1)正确；a 2＝a 3－d ∈(2,3)，所以b 2＝2a 2>4，故(2)正确；a 4＝a 3＋d >5，所以b 4＝2a 4>32，故(3)正确；又a 2＋a 4＝2a 3＝8，所以b 2b 4＝2a 2＋a 4＝28＝256，故(4)正确．]例2 解题导引 这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项a n ，观察T n 特点，求出T n .由a n 再求b n 从而求S n ，最后利用不等式知识求出m .解 (1)∵a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＝2a n ＋33a n＝2＋3a n 3＝a n ＋23， ∴{a n }是以23为公差的等差数列．又a 1＝1，∴a n ＝23n ＋13.(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1) ＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·n ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n )．(3)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋13＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，又b 1＝3＝92×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝92×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝9n2n ＋1， ∵S n <m －2 0012对一切n ∈N *成立．即9n 2n ＋1<m －2 0012， 又∵9n 2n ＋1＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1递增，且9n 2n ＋1<92.∴m －2 0012≥92， 即m ≥2 010.∴最小正整数m ＝2 010.变式迁移2 解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2n.(2)b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n.①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.②∴①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n)1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.由S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0， 即2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立，∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1对任意正整数n ，m <12n －1恒成立．∵12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]． 例3 解 依题意，第1个月月余款为a 1＝10 000(1＋20%)－10 000×20%×10%－300＝11 500，第2个月月底余款为a 2＝a 1(1＋20%)－a 1×20%×10%－300， 依此类推下去，设第n 个月月底的余款为a n 元，第n ＋1个月月底的余款为a n ＋1元，则a n ＋1＝a n (1＋20%)－a n ×20%×10%－300＝1.18a n －300.下面构造一等比数列． 设a n ＋1＋xa n ＋x＝1.18，则a n ＋1＋x ＝1.18a n ＋1.18x ， ∴a n ＋1＝1.18a n ＋0.18x . ∴0.18x ＝－300.∴x ＝－5 0003，即a n ＋1－5 0003a n －5 0003＝1.18.∴数列{a n －5 0003}是一个等比数列，公比为1.18，首项a 1－5 0003＝11 500－5 0003＝29 5003. ∴a n －5 0003＝29 5003×1.18n －1，∴a 12－5 0003＝29 5003×1.1811，∴a 12＝5 0003＋29 5003×1.1811≈62 396.6(元)，即到年底该职工共有资金62 396.6元． 纯收入有a 12－10 000(1＋25%) ＝62 396.6－12 500＝49 896.6(元)．变式迁移3 解 (1)设中低价房的面积形成的数列为{a n }， 由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50， 则a n ＝250＋(n －1)·50＝50n ＋200，S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n ， 令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．(2)设新建住房面积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400·(1.08)n －1.由题意可知a n >0.85b n ，即50n ＋200>400·(1.08)n －1·0.85.当n ＝5时，a 5<0.85b 5，当n ＝6时，a 6>0.85b 6，∴满足上述不等式的最小正整数n 为6.∴到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 课后练习区1．C 2.B 3.B 4.B 5.D6．3 7.21 8.1079．解 (1)∵f (1)＝a ＝13，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .…………………………………………………(1分) a 1＝f (1)－c ＝13－c ，a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29，a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227；又数列{a n }成等比数列，a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ， ∴c ＝1；……………………………………………………………………………………(2分)公比q ＝a 2a 1＝13，a n ＝－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，n ∈N *；………………………………(3分)∵S n －S n －1＝()S n －S n －1()S n ＋S n －1 ＝S n ＋S n －1(n >2)，……………………………………………………………………(4分) 又b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1.数列{S n }构成一个首项为1、公差为1的等差数列，S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2.当n ≥2，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1；又当n ＝1时，也适合上式，∴b n ＝2n －1，n ∈N *.……………………………………………………………………(6分)(2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)×(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.……………………………………………(10分) 由T n ＝n 2n ＋1>1 0002 009，得n >1 0009， ∴满足T n >1 0002 009的最小正整数为112.…………………………………………………(12分)10．解 设乙企业仍按现状生产至第n 个月所带来的总收益为A n (万元)，技术改造后生产至第n 个月所带来的总收益为B n (万元)．依题意得A n ＝45n －[3＋5＋…＋(2n ＋1)]＝43n －n 2，………………………………………………………………………………(4分) 当n ≥5时，B n ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫325－132－1＋ 16⎝ ⎛⎭⎪⎫324(n －5)－400＝81n －594，…………………………………………………………(8分)∴当n ≥5时，B n －A n ＝n 2＋38n －594，令n 2＋38n －594>0，即(n ＋19)2>955，解得n ≥12，∴至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益．……………………………………………………………………………………………(12分)11．解 (1)令x ＝n ，y ＝1，得到f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )，……………………………………………………………(2分)∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列， 即f (n )＝(12)n .………………………………………………………………………………(5分)(2)记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·(12)n ，……………………………………………………………………(6分)∴S n ＝12＋2×(12)2＋3×(12)3＋…＋n ×(12)n ， 12S n ＝(12)2＋2×(12)3＋3×(12)4＋…＋(n －1)×(12)n ＋n ×(12)n ＋1， 两式相减得12S n ＝12＋(12)2＋…＋(12)n －n ×(12)n ＋1， 整理得S n ＝2－(12)n －1－n (12)n <2.…………………………………………………………(9分)(3)∵f (n )＝(12)n ，而b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )＝(9－n )(12)n ＋1(12)n ＝9－n 2.…………………………………………………………………(11分)当n ≤8时，b n >0；当n ＝9时，b n ＝0；当n >9时，b n <0，∴n ＝8或9时，S n 取到最大值．……………………………………………………(14分)。
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第3讲圆锥曲线中的热点问题考情解读 1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by ＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by ＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．3．弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．4．轨迹方程问题(1)求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)． ②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系． ③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化． ④化简整理方程——简化．⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性． (2)求轨迹方程的常用方法：①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程； ③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式．步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.热点一 圆锥曲线中的范围、最值问题例1 (2013·浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．思维启迪 (1)P 点是椭圆上顶点，圆C 2的直径等于椭圆长轴长；(2)设直线l 1的斜率为k ，将△ABD 的面积表示为关于k 的函数．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4， 故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4.消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0， 故x 0＝－8k 4＋k 2.所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k 2， 所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 思维升华 求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件或图形特征列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．已知椭圆C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的离心率为12，且椭圆经过点P (1，32)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)线段PQ 是椭圆过点F 2的弦，且PF 2→＝λF 2Q →，求△PF 1Q 内切圆面积最大时实数λ的值．解 (1)e ＝c a ＝12，P (1，32)满足1a 2＋322b2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，∵a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)显然直线PQ 不与x 轴重合，当直线PQ 与x 轴垂直时，|PQ |＝3，|F 1F 2|＝2，S Q PF 1∆＝3；当直线PQ 不与x 轴垂直时，设直线PQ ：y ＝k (x －1)，k ≠0代入椭圆C 的标准方程， 整理，得(3＋4k 2)y 2＋6ky －9k 2＝0，则y 1＝－3k ＋6k 2＋k 43＋4k 2，y 2＝－3k －6k 2＋k 43＋4k 2， S Q PF 1∆＝12×|F 1F 2|×|y 1－y 2|＝12k 2＋k 4＋4k22，令t ＝3＋4k 2，∴t >3，k 2＝t －34，∴S Q PF 1∆＝3－1t ＋132＋43， ∵0<1t <13，∴S Q PF 1∆∈(0,3)，∴当直线PQ 与x 轴垂直时S △PF 1Q 最大，且最大面积为3. 设△PF 1Q 内切圆半径为r ，则S Q PF 1∆＝12(|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |)·r ＝4r ≤3.即r max ＝34，此时直线PQ 与x 轴垂直，△PF 1Q 内切圆面积最大，∴PF 2→＝F 2Q →，∴λ＝1.热点二 圆锥曲线中的定值、定点问题例2 (2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．思维启迪 (1)设动圆圆心坐标，利用圆的半径、半弦长和弦心距组成的直角三角形求解；(2)设直线方程y ＝kx ＋b ，将其和轨迹C 的方程联立，再设两个交点坐标，由题意知直线BP 和BQ 的斜率互为相反数，推出k 和b 的关系，最后证明直线过定点．(1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得|O 1A |＝|O 1M |， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴|O 1M |＝x 2＋42， 又|O 1A |＝x －2＋y 2，∴x －2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明 如图由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0. 得x 1,2＝－2bk－32kb ＋642k2，则x 1＋x 2＝8－2bkk2，① x 1x 2＝b 2k2，②∵x 轴是∠PBQ 的角平分线， ∴y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．思维升华 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．已知椭圆C 的中点在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线x 2＝83y 的焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (2,3)，Q (2，－3)在椭圆上，点A 、B 是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则b ＝2 3.由c a ＝12，a 2＝c 2＋b 2，得a ＝4，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)当∠APQ ＝∠BPQ 时，PA 、PB 的斜率之和为0， 设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ，PA 的直线方程为y －3＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k x －，x 216＋y 212＝1，整理得(3＋4k 2)x 2＋8(3－2k )kx ＋4(3－2k )2－48＝0，x 1＋2＝k －k3＋4k2， 同理PB 的直线方程为y －3＝－k (x －2)， 可得x 2＋2＝－8k －2k －3＋4k2＝8kk ＋3＋4k2.∴x 1＋x 2＝16k 2－123＋4k 2，x 1－x 2＝－48k3＋4k2，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k x 1－＋3＋k x 2－－3x 1－x 2＝k x 1＋x 2－4k x 1－x 2＝12，∴直线AB 的斜率为定值12.热点三 圆锥曲线中的探索性问题例3 已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求C 1，C 2(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M ，N ，且满足OM →⊥ON →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．思维启迪 (1)比较椭圆及抛物线方程可知，C 2的方程易求，确定其上两点，剩余两点，利用待定系数法求C 1方程.(2) 联立方程，转化已知条件进行求解. 解 (1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，则有y 2x＝2p (x ≠0)，据此验证四个点知(3，－23)，(4，－4)在C 2上， 易求得C 2的标准方程为y 2＝4x .设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，把点(－2,0)，(2，22)代入得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝12a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，所以C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)容易验证当直线l 的斜率不存在时，不满足题意． 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)， 与C 1的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k x －消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0， 于是x 1,2＝8k 2±64k 4－＋4k 2k 2－＋4k2，则x 1＋x 2＝8k21＋4k ，①x 1x 2＝4k 2－11＋4k2.② 所以y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2[4k 2－11＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1]＝－3k 21＋4k2.③由OM →⊥ON →，即OM →·ON →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.(*)将②③代入(*)式，得k 2－1＋4k －3k 21＋4k ＝k 2－41＋4k＝0，解得k ＝±2，所以存在直线l 满足条件， 且直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.思维升华 解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型．解决问题的一般策略是先假设结论成立，然后进行演绎推理或导出矛盾，即可否定假设或推出合理结论，验证后肯定结论，对于“存在”或“不存在”的问题，直接用条件证明或采用反证法证明．解答时，不但需要熟练掌握圆锥曲线的概念、性质、方程及不等式、判别式等知识，还要具备较强的审题能力、逻辑思维能力以及运用数形结合的思想分析问题和解决问题的能力． 错误！未找到引用源。