2011线性代数课件-§3.2
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线性代数课本课件
最小二乘法的计算实例
直线拟合的计算实例
通过最小二乘法拟合一组数据点，得到最佳 直线方程。
多项式拟合的计算实例
通过最小二乘法拟合一组数据点，得到最佳 多项式方程。
非线性拟合的计算实例
通过最小二乘法结合适当的变换，拟合非线 性模型。
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04 特征值与特征向量
特征值与特征向量的概念
特征值
设A是n阶方阵，如果存在数λ和 非零n维列向量x，使得Ax=λx成
立，则称λ是A的特征值。
特征向量
对应于特征值λ的满足Ax=λx的非 零向量x称为A的对应于特征值λ的 特征向量。
特征空间
对应于同一特征值的所有特征向量 （包括零向量）的集合，加上零向 量后构成的线性子空间称为特征空 间。
线性方程组的应用举例
线性规划问题
图像处理
线性方程组可用于描述和解决线性规划问 题，如资源分配、生产计划等。
在计算机图像处理中，线性方程组可用于 图像滤波、图像恢复等任务。
机器学习
电路分析
在机器学习领域，线性方程组常用于线性 回归、逻辑回归等模型的参数求解。
在电路分析中，线性方程组可用于描述电路 中的电流、电压等物理量之间的关系，从而 进行电路分析和设计。
向量的线性组合关系不变。
线性变换的性质
02
线性变换具有保持线性组合、保持线性相关等性质，同时线性
变换的核与像也是重要的概念。
线性变换的运算
03
线性变换之间可以进行加法和数量乘法运算，同时线性变换的
逆变换和复合变换也是常见的运算。
线性空间的基与维数
基的概念
线性空间中的一组线性无关的向量，可以表示该空间中的任意向 量，称为该线性空间的基。
线性代数课件PPT
线性代数课件
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
线性代数第-章向量空间PPT课件
3
子空间在映射下的变化
线性映射可以导致子空间中的向量发生旋转、平 移或拉伸等变化。
子空间与线性映射的相互影响
子空间对线性映射的限制
子空间的性质可以影响线性映射的作用范围和结果。
线性映射对子空间的构造
通过选择特定的线性映射，可以构造出具有特定性质的子空间。
子空间与线性映射的关系
子空间和线性映射之间存在密切的关系，它们在许多数学问题中都 扮演着重要的角色。
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，这个子集中的向量之间同样可以进行加法运算和数乘运算，并且这些运算也 满足封闭性、结合性和交换性等性质。子空间的定义是为了研究向量空间的一个特定部分，以便更好地理解和应 用向量空间。
向量空间的基与维数
总结词
基是向量空间中线性无关的向量组，它能够生成整个向量空间；维数则是向量空间的基 所包含的向量个数。
向量空间的推广到矩阵空 间
将向量空间中的元素推广到矩阵，形成矩阵 空间，使得线性变换和矩阵运算的结合更加 紧密，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的推广到函数空 间
将向量空间的元素推广到函数，形成函数空 间，使得函数的线性组合、内积等运算成为 可能，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的应用前景
判定条件二
如果存在一个线性映射f：V→W，使得V和W的基底之间存在一一对应关系，并且 这种对应关系保持向量加法和标量乘法的运算关系，则称V和W同构。
同构的应用场景
线性变换
几何变换
同构映射可以应用于线性变换中，将 一个向量空间中的线性变换转移到另 一个向量空间中。
同构映射可以应用于几何变换中，如 旋转、平移等，将一个向量空间中的 几何变换转移到另一个向量空间中。
线性代数§3.2初等矩阵
定理2: 方阵A为可逆的充分必要条件是存在有限 个初等矩阵P1, P2,· · · , Pl , 使A=P1P2 · · · Pl . 证: 充分性. 由于A = P1P2· · · Pl , 且初等矩阵P1, P2, · · · , Pl 为可逆的, 有限个可逆矩阵的乘积仍是可逆的, 故方阵A可逆. 必要性.设矩阵A为可逆的, 且A的标准形为F, 则存 在有限个初等矩阵P1, P2, · · · , Pl 使 P1P2· · · Ps F Ps+1· · · Pl =A. 由于A可逆, 且P1, P2, · · · , Pl 也可逆, 故A的标准形F 也必 可逆, 设 Er O F O O nn 假若 r < n, 则| F | = 0, 这与F 可逆矛盾. 故有F =E. 证毕 A = P1P2· · · Pl , 从而,
由以上的证明可得: 可逆矩阵的标准形就是E, 实 际上, 可逆矩阵的行最简形也是E. 推论1: 方阵A可逆的充分必要条件是AE. 推论2: mn矩阵A B的充分必要条件是存在m阶 可逆方阵P及n阶可逆方阵Q, 使 PAQ = B. 利用初等变换求逆阵的方法: 当| A | 0时, 则由 A=P1P2· · · Pl , 得 1 P 1 A E , 及 P 1 P 1 P 1 E A1 . Pl1 Pl l l 1 1 1 1 对n2n矩阵(A E)分块为(A|E), 则 1 1 Pl1 Pl P 1 1 A | E 1 1 1 1 1 1 E | A Pl1 Pl P A | P P P E 1 1 l l 1 1 即, 对n2n矩阵(A|E)施行初等行变换, 当把A变成E的 同时, 原来的E就变成了A-1.
例2: 求矩阵X, 使AX=B, 其中 1 2 3 2 5 A 2 2 1 , B 3 1 . 3 4 3 4 3 解: 若A可逆, 则 X=A-1B. 5 1 2 3 2 5 r –2r 1 2 3 2 ( A | B) 2 2 1 3 1 2 1 0 2 5 1 9 3 4 3 4 3 r3–3r1 0 2 6 2 12 1 0 2 1 4 r –2r 1 0 0 3 2 r1+r2 0 2 5 1 9 1 3 0 2 0 4 6 r3–r2 r2–5r3 0 0 1 1 3 0 0 1 1 3 3 2 3 2 r2(–2) 1 0 0 0 1 0 2 3 . 2 3 . 所以 X r3(–1) 1 3 0 0 1 1 3
《线性代数》课件第3章
2.加法交换律 : A + B = B + A; 3. A + 0m×n = A; 4. A + (−A) = 0m×n; 5. a(A + B) = aA + bB; 6. (a + b)A = aA + bA; 7. (ab)A = a(bA).
定义1.4对于一组m × n矩阵A1,..., At和数c1,...,ct , 矩阵 c1A1 + + ctAt
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a 21
am1
a12 a 22
am 2
a 1n a 2n
amn
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
称为S
上一个m
×
n矩阵，通常简记为
(aij
) m
×n
或
(aij
).
一个n × n矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.在一个n阶矩阵中,从
左上角至右下角的一串元素a11, a22 ,..., ann称为矩阵的对角线.
+
a2
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 1 0
0
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
+
+
an
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 0
0 1
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= a 1ε1 + a 2ε2 +
+ anen .
§3.2 矩阵的乘法
( ) ( ) 定义2.1(矩阵的乘法)设A = aij 是一个m×n矩阵, B = bij 是一个
1. 把A整个分成一块,此时A就是一个1×1的分快矩阵;
2. 把A的每一行(列)或若干行(列)看成一块.比如,把A按列分
定义1.4对于一组m × n矩阵A1,..., At和数c1,...,ct , 矩阵 c1A1 + + ctAt
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a 21
am1
a12 a 22
am 2
a 1n a 2n
amn
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
称为S
上一个m
×
n矩阵，通常简记为
(aij
) m
×n
或
(aij
).
一个n × n矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.在一个n阶矩阵中,从
左上角至右下角的一串元素a11, a22 ,..., ann称为矩阵的对角线.
+
a2
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 1 0
0
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
+
+
an
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 0
0 1
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= a 1ε1 + a 2ε2 +
+ anen .
§3.2 矩阵的乘法
( ) ( ) 定义2.1(矩阵的乘法)设A = aij 是一个m×n矩阵, B = bij 是一个
1. 把A整个分成一块,此时A就是一个1×1的分快矩阵;
2. 把A的每一行(列)或若干行(列)看成一块.比如,把A按列分
线性代数行列式的概念和性质
det A a11 a12
a11 a21
a21 a22
—
a12 a22
+
a11 1 11 det S11 a12 1 12 det S12
a11a22 a12a21
当前您浏览的位置是第六页，共三十二页。
1 3
例
设
A
2
4
3 7
a11 解 det A
an1
7 3 , 计算 det A 的值. 2
注 行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个代数余子
式.
根据该定义，可重新表达行列式的值
a11
det A
a1n def
n
1 k
a1k 1 det S1k
an1 ann
k 1
n
a1k A1k
k 1
其中 A1k 是元 a1k 对A 或 det A 的代数余子式.
相当于把行列式按第一行展开
cnk bn1
bnn
a1k
b11
, D2 det(bij )
akk
bn1
b1n ,
bnn
当前您浏览的位置是第二十三页，共三十二页。
内容总结
线性代数课件行列式的概念和性质。对 n = 2, 3,。项,每一项都是位于不同行,不同列的 三个元素的乘积, 其中三项为正, 三项为负.。个不同项的代数和，其中的每一项都是处于行 列式不同行又不同列的n 个元之乘积.。说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的 性质凡是对行成立的对列也同样成立.。性质5 把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一列 (行)对应的元素上去，行列式的值不变．
AC
det U
det A det B
OB
a11 a21
a21 a22
—
a12 a22
+
a11 1 11 det S11 a12 1 12 det S12
a11a22 a12a21
当前您浏览的位置是第六页，共三十二页。
1 3
例
设
A
2
4
3 7
a11 解 det A
an1
7 3 , 计算 det A 的值. 2
注 行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个代数余子
式.
根据该定义，可重新表达行列式的值
a11
det A
a1n def
n
1 k
a1k 1 det S1k
an1 ann
k 1
n
a1k A1k
k 1
其中 A1k 是元 a1k 对A 或 det A 的代数余子式.
相当于把行列式按第一行展开
cnk bn1
bnn
a1k
b11
, D2 det(bij )
akk
bn1
b1n ,
bnn
当前您浏览的位置是第二十三页，共三十二页。
内容总结
线性代数课件行列式的概念和性质。对 n = 2, 3,。项,每一项都是位于不同行,不同列的 三个元素的乘积, 其中三项为正, 三项为负.。个不同项的代数和，其中的每一项都是处于行 列式不同行又不同列的n 个元之乘积.。说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的 性质凡是对行成立的对列也同样成立.。性质5 把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一列 (行)对应的元素上去，行列式的值不变．
AC
det U
det A det B
OB
线性代数-初等矩阵课件
§3.2 初等矩阵一、初等矩阵的定义初等矩阵的定义3阶单位阵经过一次矩阵的初等变换定义3..121n n 、，阶单位阵经过次矩阵的初等变换所得到的矩阵称定为阶即阵义初等矩n −−−−−→E B 一次初等变换行或列为一个阵等矩初2、类型及表示方法0[1,()]n i k k ≠）.E 初等倍乘矩阵0()n k i i ≠即以数乘单位矩阵的第行或第列E ⎡1⎤⎢⎥ r 1k ⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥E i i c [()]1kn n k i k ⨯−−−→=⎢⎥⎢⎥E 或i ←第行1⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣2i k +）E 初等倍加矩阵[()]0n n k j ≠ E 即将的某行(列)的倍加到另一行(列)上去.1⎡⎤1k ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ←i [())]1i jj i r kr n n c kc i j k ++⎢⎥−−−−→=+⎢⎥E E 或第行⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ←j 第行1⎢⎥⎣⎦[()]n i j i j k >+ .当 时,为下三角E[,]3n i j ）E E 初等对换矩阵 即对调的某两 行或某两列.n 1⎡⎤⎢⎥ 101⎢⎥⎢⎥⎢⎥1[,]i jr r n n c c i j ↔↔⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥ E E 行第i ←110i j⎢⎥⎢⎥⎢⎥或1⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 行第j ←1⎢⎥⎣⎦初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等阵注初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等阵.T1)E i k E i k =T )[()][()]2)[()][()]n n n n E i j k E j i k +=+T3)[,][,]n n E i j E i j =3、初等矩阵的应用揭示初等矩阵与矩阵的初等变换的关系.⎡⎤1112131411121314212223242122232411a a a a a a a a a a a a a a a a ⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥3132333431323334k a a a a ka ka ka ka ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡1112131411a a a a ⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥21222324313233341a a a a k a a a a ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎦⎣a a a a k ⎡⎤1112142122213234a a a ka ⎢⎥=⎢⎥33133234a a ka a ⎢⎥⎣⎦[())]m E i k A ，以左乘矩阵结论:11121n a a a ⎡⎤ 12(())m i i in i k ka ka ka ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥E A 行第i ←12m m mn a a a ⎢⎥⎢⎥⎣⎦；行的第乘相当于以数)(k r i A k i ⨯类似地， ))((A k i E n ，其结果矩阵右乘以).(k c i A k i ⨯列的第乘相当于以数111213141k a a a a ⎡⎤⎡⎤212223241a a a a ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥313233341a a a a ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦212223241121122213231424;a a a a ka a ka a ka a a ka +⎡⎤⎢⎥=+++31323433a a a a ⎢⎢⎣⎦⎥⎥1k ⎡⎤⎡1112131411a a a a a a a a ⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥21222324313233341a a a a ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎦a ka a a a ⎣⎡⎤+11131124212324112221a ka a a a ⎢⎥=⎢⎥+3133343231a ka a a a ⎢⎥⎣⎦+[()]m E i j k A +以左乘矩阵，⎡⎤结论21111na a a ⎢⎥1122i j i j in jn a a ka a k ka a ⎢⎥⎢⎥+++ [()]m a i j k a a ⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥E A 12j j jn ⎢⎥⎢⎥12m m mn aa a ⎢⎥⎣⎦ ().i j A j k i r kr +把的第行的倍加到第行上去[()])n E i j k A k +类似地，以右乘矩阵，其结果相当于(). j i A i k j c kc +把的第列的倍加到第列上去k [()]n i j +⎡A E 111111j i n i a ka a a a a a a ⎤⎢⎥⎥+ 222122i n j i ka a ⎢=⎢⎥+ 1m mi m mj mi n a ka a a a ⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎡11121413101a a a a a a a a ⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥212223313233344210a a a a ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11121314a a a a ⎡⎤31323334a a a a ⎢⎥=⎢⎥21222243a a a a ⎢⎥⎣⎦⎡11121314101a a a a ⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥2122232431323334101a a a a a a a a ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎦⎣a a a a ⎡1112142122213234a a a a ⎤⎢⎥=⎢⎥33132334a a a a ⎢⎥⎣⎦)]()得[,m ij m n m E i j A a ⨯=用阶初等矩阵左乘，得⎡⎤结论11121n a a a ⎢⎥ 12j j jn a a a ⎢⎥⎢⎥ 行第i ←[,]m E i j A a a a ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥第12i i in ⎢⎥⎢⎥ 行j ←12m m mn a a a ⎢⎥⎣⎦施行一次初等行变换 ).A A i r r ↔相当于对矩阵施行一次初等行变换：把的第行与第行对调()i j j类似地，[,]n n E i j A 以阶初等矩阵右乘矩阵，11111j i n a a a a ⎡⎤ 21222[,]j i n n a a a a AE i j ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥ 1m mj mi mn a a a a ⎢⎥⎢⎥⎣⎦)A 相当于对矩阵施行一次初等列变换：().i j A i j c c ↔把的第列与第列对调定理325是个矩阵对二、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系定理3.2.5设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的n m A A A 阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当阶初等矩阵m A 于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.n A 初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵12m⎡⎤A 求.01=⎢⎥⎣⎦A 设,求例解法3112[12(2)]mm m E --==+A AA A122r r m+−−−−−−−→A A由此得1m -次相同的行倍加变换121)2122.mm m m +-⋅⎡⎤⎡⎤==≥⎢A （()011⎢⎥⎥⎣⎦⎣⎦。
线性代数ppt课件
VS
线性代数的特点
线性代数具有抽象性、实用性、广泛性等 特点，是数学中重要的分支之一。
线性代数的历史背景
线性代数的起源
线性代数起源于17世纪，主要目的 是为了解决线性方程组的问题。
线性代数的发展
随着数学的发展，线性代数逐渐成为 一门独立的数学分支，并在20世纪得 到了广泛的应用和发展。
线性代数的应用领域
转置矩阵
一个矩阵A的转置矩阵是满足$A^T_{ij}=A_{ ji}$的矩阵
行列式与高斯消元
03
法
行列式的定义及性质
总结词
行列式是线性代数中重要的工具之一，它具有特殊的性质和计算规则。
详细描述
行列式是由一组方阵中的元素按照一定规则组成的，它是一个方阵是否可逆的判断标准，同时也有一 些重要的性质和计算规则，如交换两行或两列、对角线上的元素相乘等。了解行列式的定义和性质是 学习线性代数的基础。
矩阵的运算规则
加法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相加
数乘
用一个数乘以矩阵的每一个元素
减法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相减
乘法
要求两个矩阵满足乘法运算的规则，即第一 个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数
矩阵的逆与转置
逆矩阵
一个矩阵A的逆矩阵是满足$AA^{-1}=I$的矩阵，其中$I$是单位矩阵
高斯消元法的原理
总结词
高斯消元法是一种解线性方程组的直接方法 ，其原理是将方程组转化为阶梯形矩阵。
详细描述
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变 换将线性方程组转化为阶梯形矩阵，这样就 可以直接求解方程组。高斯消元法包括三种 基本的行变换：将两行互换、将一行乘以非 零常数、将一行加上另一行的若干倍。通过 这些行变换，我们可以将矩阵转化为阶梯形 矩阵，从而求解方程组。
线性代数课件-3.2 n维向量
定义36 对于给定的向量组 β , α 1 , α 2 , , α n 定义 若存在一组数
k 1 , k 2 , , k n ,使得
β = k1α 1 + k 2α 2 + + k nα n
线性表示. 则称向量 β 可由向量组α 1 ,α 2 ,,α n 线性表示. 或向量 β 是向量组 α 1 ,α 2 ,,α n 的线性组合. 的线性组合.
线性表示. 线性表示.
证明: 证明:
1 0 0 0 a1 a1 0 0 a 0 a 0 1 0 2 2 = + + ∵要证:存在一组数 +, k = …,k +,使 + + a n α = 要证:存在一组数k12, a1 n a 2 使 0 0 1 a a 0 0 ε n n α = k + k ε + + k ε
α + β = β +α α + ( β + γ ) = (α + β ) + γ α +0 =α α + ( α ) = 0
( k + t )α = k α + t α k (α + β ) = k α + k β ( kt )α = k ( t α ) 1α = α
改书P 改书 100
【例2】 已知四维向量 α 1 , α 2 , β 满足关系 】
=β
线性方程组的向量表达式: 线性方程组的向量表达式: x 1α 1 + x 2 α 2 + + x n α n = β 或
α 1 x1 + α 2 x 2 + + α n x n = β
三,向量间的线性关系
线性代数课件：3-2向量组的线性相关性
不能由其余向量线性表出。
定理3.2.2 若向量组α1,α2, …,αm无关， 而α1,α2, …,αm, β 线性相关，则β可由α1,α2, …,αm,线性表出，而且表法唯一。
证 由向量组α1,α2, …,αm, β线性相关， 即存在一组不全为零的数k1,k2, …,km,k使得
k11 k22 kmm k 0.
例3.2.4设向量组α1，α2，α3，α4的线 性无关，证明：
(1)设向量组α1- α3，2α1-α2，2α3-α2线 性相关；
(2)设向量组α1- α2，α2-α3，α3+α1线性 无关。
证（1）设
k1(1 3 ) k2(21 2 ) +k3 (23 2 ) 0 (3.2.4) 即
(k1 2k2 )1 (k2 k3 ) 2 (k1 2k3 )3 0 。
怎样用代数方式表示平行四边形法则？
§3.2 向量组的线性相关性 3.2.1 向量组的线性相关与线性无关 3.2.2 向量组线性相关性的判别法 3.2.3 向量组的线性相关性的一些性质
3.2.1 向量组的线性相关与线性无关 定义3.2.1 设α1 , α2 , … , αm, β都是
数域P上的n维向量，如果存在数域P上的 数k1,k2, …,km，使得
Very important!
设n维向量 1 1,0,,0,
2 0,1,,0 ,n 0,0,,1
则任何一个n维向量α=(a1,a2,…,an) ，都可 由ε1,ε2, …,εn线性表出：
a11 a2 2 an n
我们称ε1,ε2, …,εn为基本单位向量。
定义3.2.2 设α1,α2, …,αm是数域P上 的m个n维向量，如果存在数域P上的m 个不全为零的数k1,k2, …,km，使得
定理3.2.2 若向量组α1,α2, …,αm无关， 而α1,α2, …,αm, β 线性相关，则β可由α1,α2, …,αm,线性表出，而且表法唯一。
证 由向量组α1,α2, …,αm, β线性相关， 即存在一组不全为零的数k1,k2, …,km,k使得
k11 k22 kmm k 0.
例3.2.4设向量组α1，α2，α3，α4的线 性无关，证明：
(1)设向量组α1- α3，2α1-α2，2α3-α2线 性相关；
(2)设向量组α1- α2，α2-α3，α3+α1线性 无关。
证（1）设
k1(1 3 ) k2(21 2 ) +k3 (23 2 ) 0 (3.2.4) 即
(k1 2k2 )1 (k2 k3 ) 2 (k1 2k3 )3 0 。
怎样用代数方式表示平行四边形法则？
§3.2 向量组的线性相关性 3.2.1 向量组的线性相关与线性无关 3.2.2 向量组线性相关性的判别法 3.2.3 向量组的线性相关性的一些性质
3.2.1 向量组的线性相关与线性无关 定义3.2.1 设α1 , α2 , … , αm, β都是
数域P上的n维向量，如果存在数域P上的 数k1,k2, …,km，使得
Very important!
设n维向量 1 1,0,,0,
2 0,1,,0 ,n 0,0,,1
则任何一个n维向量α=(a1,a2,…,an) ，都可 由ε1,ε2, …,εn线性表出：
a11 a2 2 an n
我们称ε1,ε2, …,εn为基本单位向量。
定义3.2.2 设α1,α2, …,αm是数域P上 的m个n维向量，如果存在数域P上的m 个不全为零的数k1,k2, …,km，使得
线性代数§3.2
a11 L a1i + ka1 j L a21 L a2 i + ka2 j L AE n ( ji ( k )) = L L a L a + ka L mi mj m1 第i 列
a1 j L a1n a2 j L a2 n L L amj L amn 第j 列
1 O 1 E ( i ( k )) = k 第i 行 1 O 1
以Em(i (k))左乘矩阵 左乘矩阵A=(aij)m×n, 得 × a11 a12 L a1n M M M Em ( i ( k )) A = kai 1 kai 2 L kain 第i 行 M M M a am 2 L amn m1 相当于以数k乘 的第 的第i 相当于以数 乘A的第 行(ri×k). 类似地, 类似地 以En(i (k))右乘矩阵 右乘矩阵A=(aij)m×n, 其结果相 × 当于以数k乘 的第 的第i 当于以数 乘A的第 列(ci×k).
相当于对矩阵A施行第一种初等行变换 相当于对矩阵 施行第一种初等行变换: 把A的 施行第一种初等行变换 的 行与第j 行对调(r 第i 行与第 行对调 i↔rj).
阶初等矩阵E 右 用n阶初等矩阵 n(i, j)右乘A=(aij)m×n, 得 阶初等矩阵 ×
a11 L a1 j L a1i L a21 L a2 j L a2 i L AE n ( i , j ) = L L L a L a L a L mj mi m1 第j 列 第i 列
0 0 0 = 1 0 0
0 1 1 k 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 −c 11 0
( PP2 P3 ) −1 = P3−1P2−1P −1 1 1
线性代数3.2 初等矩阵
1 1 10
1 4
1 2
1 3
0 0 2 18 8 12 r3(2) 0 0 1 9 4 6
补充例题
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铃
若矩阵A可逆 则矩阵(A E)经初等行变换可化为(E A1).
例1
设
A
0 3 2
2 0 3
021 求A1.
0 E3(1, 2)A 10
1 0 0
100103
0 1 1
112
103
1 0 1
112 .
补充例题
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铃
❖定理1(初等矩阵在矩阵乘法中的作用 ) 设A是一个mn矩阵. 对A施行一次初等行变换 相当于在
A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.
结束
铃
矩阵A可逆AP1P2 Pl 其中P1 P2 Pl都是初等矩阵.
求逆矩阵的初等行变换法
设A为n阶可逆矩阵 B为ns矩阵 则存在初等矩阵P1 P2 Pl 使
P1P2 Pl (A B)(E A1B). 上式的意义
(i)取BE时 上式成为 P1P2 Pl (A E)(E A1).
0 1 0
1 0 0
100
E3(2(3))
1 0 0
0 3 0
100
阵E的第i行(列)得到初等矩阵. E(ij(k))表示把单位矩阵E的第j
行的k倍加到第i行上 或把单位矩阵
E(31(2))
1 0 2
线代3-2
而 向 量 组 1 , 2 ,, m，线 性 相 关 ，
则有不全为零的数 k1 ,k2 , ,km ,k 使 k11 k22 kmm k 0 1 由 条件知 k 0 k1 1 +k2 2 + km m k 假设 l11 +l22 + lmm r11 +r22 + rmm
2 (1,0,2)的 线 性 组 合 。
答案：不能
线性代数 第三章 线性空间
5
定义3.6
设两个向量组
1 , 2 ,, s
1 , 2 ,, t
（Ⅰ）
（Ⅱ）
若向量组(Ⅰ)中每一个向量都可以由向量组(Ⅱ)线性表示，则称 向量组(Ⅰ)可以由向量组(Ⅱ)线性表示。如果(Ⅰ)与(Ⅱ)可以相互 线性表示，则称向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，记作：(Ⅰ) （Ⅱ）
证
证明n维初始单位向量组， 2， ， n线性无关。 1
证 明 ： 若 向 量 组、、线 性 无 关 ，
设 k1 ( ) k2 ( ) k3 ( ) 0
则 , , 线 性 无 关 。
( k1 k3 ) ( k1 k2 ) ( k2 k3 ) 0
4 (0,2)的 极 大 无 关 组 。
线性代数 第三章 线性空间15 Nhomakorabea 定理3.3
设有两个n维向量组： 1 , 2 ,, r
( )
( )
1 , 2 ,, s
若（Ⅰ）线性无关，且（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，则 r ≤ s
由 ( 1 证明： ( I )可以被 II )线性表示，所以，对于， 存在数 1 , k2 ,, k s 使得 k
则有不全为零的数 k1 ,k2 , ,km ,k 使 k11 k22 kmm k 0 1 由 条件知 k 0 k1 1 +k2 2 + km m k 假设 l11 +l22 + lmm r11 +r22 + rmm
2 (1,0,2)的 线 性 组 合 。
答案：不能
线性代数 第三章 线性空间
5
定义3.6
设两个向量组
1 , 2 ,, s
1 , 2 ,, t
（Ⅰ）
（Ⅱ）
若向量组(Ⅰ)中每一个向量都可以由向量组(Ⅱ)线性表示，则称 向量组(Ⅰ)可以由向量组(Ⅱ)线性表示。如果(Ⅰ)与(Ⅱ)可以相互 线性表示，则称向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，记作：(Ⅰ) （Ⅱ）
证
证明n维初始单位向量组， 2， ， n线性无关。 1
证 明 ： 若 向 量 组、、线 性 无 关 ，
设 k1 ( ) k2 ( ) k3 ( ) 0
则 , , 线 性 无 关 。
( k1 k3 ) ( k1 k2 ) ( k2 k3 ) 0
4 (0,2)的 极 大 无 关 组 。
线性代数 第三章 线性空间15 Nhomakorabea 定理3.3
设有两个n维向量组： 1 , 2 ,, r
( )
( )
1 , 2 ,, s
若（Ⅰ）线性无关，且（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，则 r ≤ s
由 ( 1 证明： ( I )可以被 II )线性表示，所以，对于， 存在数 1 , k2 ,, k s 使得 k
线性代数第三章3.1,3.2,3.3
an1 an, j1 bnn an, j1 ann
Aj
线性代数 第三章 §3.1,3.2,3.3 (行列式展开法则)
xj
Aj A
3
例1 用Cramer则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0
7 7 2
3 3
27,
7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6
81,
线性代数 第三章 §3.1,3.2,3.3
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 108,
本节主要讨论方程的个数与未知量的个数相等时
线性方程组解的解法.
方程的个数与未知量的个数不相等时线性方程组 解的解法在3.3节讨论 .
线性代数 第三章 §3.1,3.2,3.3
1
定理3.1 (克莱姆法则 )如果方程组系数行列式
a11 a12 ... a1n
A a21 a22 ... a2n 0 ... ... ... ...
2
证明: 对于该线性方程组Ax b,若 A 0, A可逆,且
A1
A A
,由Ax b得x
A1b
A b A
(左乘)
A11
而Ab A12
A1n
A21 A22
A2n
An1 An2
Ann
b1 b2
所以，线性方 程组的解唯一
线性代数及其应用PPT课件
金融数据的线性模型分析
线性回归模型
利用线性代数中的矩阵运算和线性方 程组求解方法，对金融数据进行回归 分析，预测未来趋势。
主成分分析
通过线性代数中的特征值和特征向量 计算，将金融数据降维，提取主要影 响因素，便于分析和决策。
图像处理中的矩阵运算
图像变换
利用矩阵运算对图像进行缩放、旋转 、平移等几何变换，实现图像的精确 控制。
征值和Байду номын сангаас征向量。
特征值计算 的算法
特征值计算是矩阵分析中的重要内容，可以用于解决 许多实际问题，如振动分析、控制论、经济学等。
数据降维与可视化
数据降维的必要性
数据降维的方法
可视化的意义
可视化的工具和技术
在处理高维数据时，数据的维 度可能非常高，导致数据难以 分析和处理。数据降维可以将 高维数据降为低维数据，便于 分析和可视化。
矩阵分解与特征值计算
矩阵分解是将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易 于处理的矩阵，以便进行计算和分析。
输入 矩阵标分题解的
方法
常见的矩阵分解方法包括LU分解、QR分解、SVD分 解等。这些方法可以将一个矩阵分解为一个下三角矩 阵、一个上三角矩阵和一个正交矩阵等。
矩阵分解的 定义
特征值计算 的应用
特征值计算的常用算法有QR算法、Jacobi方法、 Power方法等。这些算法可以用于计算给定矩阵的特
数值计算稳定性
数值计算稳定性
在进行数值计算时，由于计算机的舍入误差，可能会导致 计算结果的误差。线性代数中的一些算法和技巧可以帮助 提高数值计算的稳定性，减少误差。
数值稳定性的评估
评估数值稳定性的方法包括观察计算结果的收敛性和稳定 性，以及比较不同算法的误差和稳定性。
线性代数课件PPT 第3章.线性方程组
2) (α β) γ α ( β γ（) 加法结合律）
3) 存在任意一个向量α，有α 0n α 4）存在任意一个向量α，存在负向量-α，使α (α) 0n
5) 1α α
6) k(lα) (kl)α（数乘结合律）
7) k(α β) kα kβ（数乘分配律）
m
kiai k1α1 k2α2 L kmαm
i 1
称为向量组α1, α2,L , αm在数域F上的一个线性组合。如果记
m
β kiαi，就说β可由α1, α2,L , αm线性表示。 i 1
10
3.1 n维向量及其线性相关性
线性相关性 定义：如果对m个向量α1, α2, α3, ... , αm∈Fn，有m个不全 为0的数k1,k2,...,km∈F，使
α=(a1 a2 an) 其中ai 称为α的第i个分量。
向量写成行的形式称为行向量，向量写作列的形式称为 列向量（也可记作行向量的转置）。
a1
αT
a2
M
an
3
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的定义 数域F上全体n元向量组成的集合，记作Fn。
4
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的运算
定义：设α=(a1, a2, ... , an)，β=(b1, b2, ... , bn)∈Fn，k∈F，
定义：
1）α=β,当且仅当ai=bi (i=1,...,n)； 2）向量加法（或α与β之和）为
α β (a1 b1, a2 b2 , ... , an bn )
k1α1 k2α2 L kmαm 0n
成立，则称α1, α2, α3, ... ,αm线性相关；否则，称α1, α2, α3, ... ,αm线性无关。
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8
四、对称矩阵与反对称矩阵 定义3.9 如果n阶方阵A满足AT=A，则称A为对称矩阵 (symmetric matrix)。 根据定义，对称矩阵A=(aij)mn，必有aij=aji
a11 a21 A a n1
a12 a1n 对应相等 a22 a2 n 对应相等 an 2 ann 对称轴
0 a 21 A an1
a12 a1n 互为相反数 0 a2 n 互为相反数 an 2 0 对称轴
12
反对称矩阵的性质： (1) 两个同阶反对称矩阵的和(差)仍是反对称矩阵 因为 (A+B)T=AT+BT=-A-B=-(A+B)。 (2) 数k与反对称矩阵的乘积仍是反对称矩阵 因为 (kA)T=kAT=-kA=-(kA)。
15
例4 设A为n阶方阵, 且AAT=E, A<0, 证明E+A=0。 【证】由题设, 1=E=AAT=A2=1，又A43;A=AAT+A= AAT+E=-(A+E)T=-A+E。
16
a11 a22 a nn 也记作diag(a11, a22, …, ann)，
其中a11, a22, …, ann也称为对角元(diagonal elements)。
3
对角矩阵的性质： 1、两个同阶对角矩阵的和(或差)仍为对角矩阵， 2、数k与对角矩阵的乘积仍为对角矩阵，
0 A 0 a22 0 b11 0 0 b21 b22 0 a2 n ， B ann bn1 bn 2 bnn
7
则A为n阶上三角形矩阵，B为n阶下三角形矩阵。
三角形矩阵的性质： 如果A、B是同阶的上(下)三角形矩阵，则不难验证： A+B、AB、kA(k为数)仍是同阶的上(下)三角形矩阵。
5
数量矩阵的性质： 用数量矩阵左(右)乘一矩阵，就等于用该阵的主对角线 上的同一元素乘该矩阵(如同数乘矩阵)。
6
三、三角形矩阵 定义3.8 如果n阶方阵主对角线下方元素都等于零，则 称此矩阵为上三角形矩阵(upper triangular matrix)。 如果n阶方阵主对角线上方元素都等于零，则 称此矩阵为下三角形矩阵(lower triangular matrix)。 例如 设 a11 a12 a1n
9
对称矩阵的性质： 1、如果A、B是同阶对称矩阵，则A+B也是对称矩阵。 因为 (A+B)T=AT+BT=A+B。 2、数k与对称矩阵A的乘积kA仍是对称矩阵。 因为 (kA)T=kAT=kA 。
10
【注】两个同阶对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵。 例
0 3 1 1 A 3 2 , B 1 2 都是对称矩阵
§3.2 几种特殊的矩阵
教学纲目 一、对角矩阵 二、数量矩阵 三、三角形矩阵 四、对称矩阵与反对称矩阵 教学目标 理解和掌握上述矩阵的定义与性质。
1
教学重点 上述矩阵的定义与性质。
2
一、对角矩阵 定义3.7 所有非主对角线元素全等于零的n阶方阵， 称为对角矩阵(diagonal matrix)，即
却不是反对称矩阵。
14
例1 试证对任意n阶方阵A，均有A+AT为对称矩阵 均有AAT为反对称矩阵 【证】由定义，(A+AT)T=AT+A， (AAT)T=ATA=(AAT)。 例2 设A为mn矩阵，求证 AAT为对称矩阵。 【证】 (AAT)T=AAT。
例3 设A为n阶反对称阵，X为n维列向量，求证 XTAX=0。 【证】因为XTAX为11矩阵，又(XTAX)T=-XTAX。
3、两个同阶对角矩阵乘积仍为对角矩阵, 且是可交换的。
4
二、数量矩阵 定义3.7 如果n阶对角矩阵所有主对角线的元素都相等， 则称此矩阵为n阶纯(数)量矩阵(scalar matrix)。 设数量矩阵
Ann
a a =aEn a
显然，A=aEn，对任一矩阵Bmn，有 B(aEn)=a(BEn)=aB, (aEm)B=a(EmB)=aB。
0 3 1 1 3 6 但是 AB 3 2 1 2 5 7
却不是对称矩阵。
11
定义3.10 如果n阶方阵A满足AT= -A，则称A为反对称 矩阵(anti-symmetric matrix)。 对于反对称矩阵A=(aij)nn，由定义得 aij=-aji，即 a11= -a11， a22= -a22， ，ann= -ann， 所以反对称矩阵的主对角线上的元素一定为零。
0 2 1 例如 A -2 0 -1 是一个反对称矩阵。 -1 1 0
13
【注】两个同阶反对称矩阵的乘积不一定是反对称矩阵。
0 3 0 1 例如 A , B 是反对称矩阵， 3 0 1 0 0 3 0 1 3 0 但是 AB 0 3 1 0 3 0