2021新高考一轮复习专题2.7 二次函数及幂函数(解析版)

第七讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较R R R{x|x≥0}{x|x≠0}（1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数图像R R考向一 幂函数概念及性质【例1】已知幂函数223(22)n nf x n n x －＝＋－(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________． 【答案】 1【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意． 【举一反三】1．已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m 2+2m−3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m =() A ．−1 B ．2 C ．3 D ．2或−1【答案】A【解析】∵函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+2m−3是幂函数，∴m 2−m −1=1，解得：m =2或m =−1，m =2时，f(x)=x ，其图象与两坐标轴有交点不合题意，m =−1时，f(x)=1x 4，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故m =−1，故选：A ． 2．已知函数f （x ）=(3m 2−2m )x m 是幂函数，若f （x ）为增函数，则m 等于（ ）A．−13B．−1C．1 D．−13或1【答案】C【解析】函数f（x）=（3m2-2m）x m是幂函数，则3m2-2m=1，解得m=1或m=-13，又f（x）为增函数，则m=1满足条件，即m的值为1．故选：C．3．已知幂函数f(x)=xα的图像过点(2,√2)，则下列说法正确的是（）A．f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增B．f(x)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减C．f(x)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增D．f(x)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，√2），∴√2=2α，解得α=12，故f（x）=√x，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．4．设α∈{−1，1，12，3}，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（）A．−1，1，3 B．12，1 C．−1，3 D．1，3【答案】D【解析】当α＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当α＝1时，函数y＝xα的定义域为R且为奇函数，满足要求；当α=12函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当α＝3时，函数y＝xα的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D．考向二图像问题【例2】（1）当α∈{−1,12,1,3}时，幂函数y=xα的图象不可能经过的象限是A．第二象限 B．第三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限（2）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x≥0），g（x）＝log a x的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】（1）D （2）D【解析】（1）因为y=x−1经过第一、三象限；y=x12经过第一象限；y=x1经过第一、三象限；y=x3经过第一、三象限；所以不可能经过的象限是第二、四象限，选D.（2）∵实数a＞0且a≠1，∴函数f（x）＝x a（x＞0）是上增函数，故排除A；∴当a＞1时，在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是下凹增函数，g（x）＝log a x的是增函数，观察四个选项，没有符合条件选项；当0＜a＜1时，∴在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是增函数，g（x）＝log a x是减函数，由此排除B和C，符合条件的选项只有D．故选：D．【举一反三】1．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=x 12的图象可能是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】幂函数y=x12为增函数，且增加的速度比价缓慢，只有④符合．故选：D．2．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A．①y=x 13，②y=x2，③y=x12，④y=x−1B．①y=x3，②y=x2，③y=x 12，④y=x−1C．①y=x2，②y=x3y=x3，③y=x−1，④y=x 1 2D ．①y =x 13，②y =x 12，③y =x 2，④y =x −1 【答案】B【解析】②的图象关于y 轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ故选：Ｂ．3．在同一直角坐标系中，函数f(x)=x a (x ≥0)，g(x)=log a x (a >0,且a ≠1)的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】对于A 项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A 项不满足要求； 对于B 项，幂函数a >1，对数函数0<a <1，所以B 项不满足要求；对于C 项，幂函数要求0<a <1，而对数函数要求，a >1，所以C 项不满足要求； 对于D 项，幂函数与对数函数都要求0<a <1，所以D 项满足要求；故选D. 4．如图是幂函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1<n<0,0<m<1B ．n<－1,0<m<1C ．－1<n<0，m>1D ．n<－1，m>1 【答案】B【解析】由题图知，y =x m 在[0,+∞)上是增函数，y =x n 在(0,+∞)上为减函数，∴m >0,n <0， 又当x >1时，y =x m 的图象在y =x 的下方，y =x n的图象在y =x −1的下方，∴m <1,n <−1，从而0<m <1,n <−1，故选B.考向三 比较大小【例3】设a =(35)25,b =(25)35,c =(25)25，则a,b,c 的大小关系是 A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >bD ．b >c >a【答案】A【解析】对于函数y =(25)x ，在(0,+∞)上是减函数，∵35>25，∴(25)35<(25)25，即b <c ；对于函数y =x 25，在(0,+∞)上是增函数，∵35>25，∴(35)25>(25)25，即a >c ．从而b <c <a ．故A 正确． 【举一反三】1.已知点(m,9)在幂函数f(x)=(m −2)x n的图象上，设a =f(m − 13),b =f(ln 13)， c =f(√22) 则a,b,c 的大小关系为（ ） A ．a <c <b B ．b <c <a C ．c <a <b D ．b <a <c【答案】A【解析】由f(x)=(m −2)x n 为幂函数得m −2=1,m =3, 因为点(3,9)在幂函数f(x)上，所以3n =9，n =2,即f(x)=x 2，因为a =f (m − 13)=f (3− 13),b =f (ln 13)=f (ln3),又3− 13<√22<1<ln3,所以a <c <b ，选A.2．设a =20.3，b =30.2，c =70.1，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a <c <b B ．c <a <b C ．a <b <c D ．c <b <a【答案】B【解析】由题意得：a =20.3=√2310=√810，b =30.2=√3210=√910，c =70.1=√710y =√x 10在(0,+∞)上是增函数且9>8>7∴b >a >c 本题正确选项：B 3.．已知a =(√2)125，b =925，c =4log 4e 2，则下列结论成立的是（ ） A ．a <b <c B ．c <b <a C ．b <a <c D ．a <c <b 【答案】A【解析】a =265=6415，b =345=8115，∵64<81，∴6415<8115，即a <b ，c =e 2>4>3>345=b ，故a <b <c ，选A .考向四 二次函数解析式【例4】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. (3)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.【答案】（1）f (x )＝x 2－2x ＋3 （2）x 2＋2x （3）x 2＋2x ＋1【解析】（1）由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.（2）设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .（3）设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)，又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.【举一反三】1.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 【答案】 x 2－4x ＋3【解析】因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.2.已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.3.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式． 【答案】f (x )＝x 2－4x ＋3.【套路总结】1. 求二次函数解析式的方法【解析】∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.4.已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R)．(1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b ，c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57 【解析】(1)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1.所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题，知f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧g (－3)＝5－7b >0，g (－2)＝1－5b <0，g (0)＝－1－b <0，g (1)＝b ＋1>0⇒15<b <57，即实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57. 考向五 二次函数的性质【例5】（1）设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．（2） 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________ （3） 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 【答案】（1）[0,2] （2）[－3,0] （3）38或－3【解析】（1）二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0， 又由－－2a 2a＝1得图象的对称轴是直线x ＝1，所以a >0.所以函数的图象开口向上，且在[1,2]上单调递增，f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. （2）当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． （3）f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.【举一反三】1．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝________. 【答案】 2或－1【解析】函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.2．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是______．【答案】 [7，＋∞)【解析】 函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.3．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】 [－2,0]【解析】当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，此时φ(x )单调递增，则m2≤0，即m ≤0；当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，此时φ(x )单调递增，则－m2≤1，即m ≥－2.综上，实数m 的取值范围是[－2,0]．考向六 二次函数恒成立【例6】 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．（(2)函数f (x )＝a 2x＋3a x－2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．【答案】（1） (－∞，－1) （2）2【解析】（1）设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.（2） 令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2.1.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围．【答案】【解析】(1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)解法一：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立． 设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1. ∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．解法二：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1－k >0在区间[－3，－1]上恒成立，设g (x )＝x 2＋x ＋1－k ，则g (x )在[－3，－1]上单调递减，∴g (－1)>0，得k <1.2.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞【解析】由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.3.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 【解析】 因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 考向七 二次函数根的分布【例7】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【举一反三】1.已知关于x 的方程11()()2042x x a -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是 ．【答案】[]1,0-【解析】当0a =时，方程为1()202x -+=，解得1x =-，符合；当0a ≠时，记2()2f m am m =-+，其中1()2x m =．当[1,0]x ∈-时，1()[1,2]2x m =∈，所以题目条件等价于函数2()2f m am m =-+在区间[1,2]内有零点． 当0a >时有函数对称轴102x a =>，若180a ∆=-=，即18a =，此时21()28f m m m =-+的零点为4m =，不符合．因为(2)40f a =>，180a ∆=->，即18a <，所以可知对称轴142x a=>，画图可知此时()f m 在区间[1,2]内无零点． 当0a <时有函数对称轴102x a=<，此时180a ∆=->恒成立．因为(2)40f a =<，所以有(1)10f a =+≥，解得1a ≥-．所以此时10a -≤<．综上可得，10a -≤≤．2.若方程210x mx -+=的两实根分别为,αβ，且012αβ<<<<，则m 的取值范围是 ． 【答案】5(2,)2【解析】因为关于x 的方程012=+-mx x 的两个根为,αβ，且012αβ<<<<则满足(1)020(2)0520<-<⎧⎧∴⎨⎨>->⎩⎩f m f m ，这样可以解得m 的范围5(2,)2． 3.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是 （ ）A ．()12,20B ．()12,18C ．()18,20D ．()8,18 【答案】A【解析】由题意得()()()20420{10{1000f b c f b c f c ->-+>-<⇒-+<>>，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为()()()2,0,1,0,3,2A B C ）：，而()393f b c =++，所以直线()393f b c =++过C 取最大值20，过B 点取最小值12，()3f 的取值范围是()12,20，选A ．4.已知函数()42f x x xx =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________． 【答案】()64,81【解析】根据题意，()222,442{ 6,4x x x f x x x x x x x -≥=-+=-+<，由图象可知，126,x x +=()()()1231116x x f x x x f x ∴⋅⋅=⋅-⋅ ()()2111166x x x x =⋅-⋅-+= ()22116x x -+=()22139x ⎡⎤--+⎣⎦，()()21123,398,9x x <<∴--+∈，()()12364,81x x f x ∴⋅⋅∈，故答案为()64,81．1．已知函数f(x)=(m −1)2x m2−4m+2是在(0,+∞)上单调递增的幂函数，则m =( )A ．0或4B ．0或2C ．0D ．2 【答案】C【解析】∵f （x ）是幂函数，∴（m ﹣1）2＝1，得m ＝0，或m ＝2，∵f （x ）在（0，+∞）上单调递增，∴m 2﹣4m +2＞0，则当m ＝0时，2＞0成立， 当m ＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，故选C ． 2．已知幂函数f （x ）=x a （a 是常数），则（ ） A ．f(x)的定义域为RB ．f(x)在(0,+∞)上单调递增C．f(x)的图象一定经过点(1,1)D．f(x)的图象有可能经过点(1,−1)【答案】C【解析】（1）对于A，幂函数f（x）=x a的定义域与a有关，不一定为R，A错误；（2）对于B，a＞0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递增，a＜0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递减，B错误；（3）对于C，幂函数f（x）=x a的图象过定点（1，1），C正确；（4）对于D，幂函数f（x）=x a的图象一定不过第四象限，D错误．故选：C．3．如图所示的曲线是幂函数y=xα在第一象限的图象，已知α∈{−4,−14,14,4}，相应曲线C1,C2,C3,C4对应的α值依次为（）A．−4，−14，14，4 B．4，14，−14，−4 C．−14，−4，4，14D．4，14，−4，−14【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线C1,C2,C3,C4对应的α值依次为4，14，−14，−4．故选B．4．函数y=2|x|−x2(x∈R)的图象为( )A． B． C． D．【答案】A【解析】由于函数y=2|x|﹣x2（x∈R）是偶函数，图象关于y轴对称，故排除B、D．再由x=0时，函数值y=1，可得图象过点（0，1），故排除C，从而得到应选A，故选：A．5．已知函数g（x）=log a（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象经过定点M，若幂函数f（x）=xα的图象过点M，则α的值等于（）A．﹣1 B．12C．2 D．3【答案】B【解析】∵y=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象过定点M ，∴M （4，2），∵点M （4，2）也在幂函数f （x ）=x α的图象上，∴f （4）=4α=2，解得α=12，故选：B ． 6．已知幂函数y =x n 在第一象限内的图象如图所示，则曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 值可能依次为A ．–2，–12，12，2B ．2，12，–12，–2C ．–12，–2，2，12D ．2，12，–2，–12 【答案】B【解析】由图象可知：C 1的指数n>1，C 2的指数0<n<1，C 3，C 4的指数小于0，且C 3的指数大于C 4的指数．据此可得，只有B 选项符合题意．故选B ．7．幂函数y =x n是奇函数，但图象不与坐标轴相交，则n 的值可以是 A ．3 B ．1 C ．0 D ．–1 【答案】D【解析】根据幂函数的性质判断出幂函数y =x n 是奇函数时，指数n 为奇数；幂函数y =x n 的图象与两坐标轴不相交时，幂函数的指数n 小于0，对照选项，只有D 正确．故选D ． 8．在函数y =1x 2,y =2x 2,y =x 2+x,y =3x 中，幂函数的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】显然，根据幂函数定义可知，只有y =1x 2=x −2是幂函数，故选B ． 9．已知函数y =x a ,y =x b ,y =c x 的图象如图所示，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．c <b <aB ．a <b <cC ．c <a <bD ．a <c <b【答案】A【解析】由图像可知，a >1,b =12,0<c <12，得a >b >c ，故答案为：A. 10．当α∈{−1,12,3}时，幂函数y =x α的图象不可能经过的象限是 A ．第二象限 B ．第三象限C ．第四象限 D ．第二、四象限 【答案】D 【解析】y =x−1的图象经过第一、三象限，y =x 12的图象经过第一象限，y =x 的图象经过第一、三象限，y =x 3的图象经过第一、三象限．故选D ．11．已知正实数a,b,c 满足log a 2=2，log 3b =13，c 6=172，则a,b,c 的大小关系是（ ）A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．b <a <c【答案】B【解析】由题得a 2=2,∴a 6=8,b =313,∴b 6=32=9, 因为8<172<9,a,b,c 都是正数，所以a <c <b .故选：B12．已知幂函数f （x ）=x a的图象经过点（2，√2），则函数f （x ）为（ ） A ．奇函数且在(0,+∞)上单调递增 B ．偶函数且在(0,+∞)上单调递减 C ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增 D ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数f （x ）=x a 的图象经过点（2，√2），∴2a =√2，解得a=12，∴函数f （x ）=x 12，∴函数f （x ）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．故选：C ． 13．已知函数y =x m2−5m+4（m ∈Z ）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=（ ）A ．2或3B ．3C ．2D ．1 【答案】A【解析】幂函数y =x m2−5m+4为偶函数，且在(0,+∞)递减，∴m 2−5m +4<0，且m 2−5m +4是偶数，由m 2−5m +4<0得1<m <4，又由题设m 是整数，故m 的值可能为2或3，验证知m =2或者3时，都能保证m 2−5m +4是偶数，故m =2或者3即所求．故选：A 14．已知函数f (x )为偶函数，当x >0时，f (x )=x 2−3x ，则（ ）A ．f (tan70∘)>f (1.4)>f (−1.5)B ．f (tan70∘)>f (−1.5)>f (1.4)C ．f (1.4)>f (tan70∘)>f (−1.5)D ．f (−1.5)>f (1.4)>f (tan70∘)【答案】A【解析】当x >0时，f (x )=(x −1.5)2−1.52，tan70∘−1.5>tan60∘−1.5≈0.232， 又函数f (x )为偶函数，所以f (−1.5)=f (1.5)，1.5−1.4=0.1，根据二次函数的对称性以及单调性，所以f (tan70∘)>f (1.4)>f (−1.5).故选A15．已知函数f (x )=x 2+mx +1在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则实数m 的取值范围是( ) A ．[−2,2] B ．(−∞,−2] C ．[2,+∞) D ．R【答案】A【解析】由题意，函数f (x )=x 2+mx +1表示开口向上，且对称轴的方程为x =−m2， 要使得函数f (x )在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数, 则−1≤−m 2≤1，解得−2≤m ≤2，故选A.16．幂函数f(x)=(m 2−2m +1)x 2m−1在(0,+∞)上为增函数，则实数m 的值为____________． 【答案】2【解析】由函数f(x)=(m 2−2m +1)x 2m−1是幂函数，则m 2−2m +1=1，解得m =0或m =2； 当m =0时，f(x)=x −1，在(0,+∞)上为减函数，不合题意；当m =2时，f(x)=x 3，在(0,+∞)上为增函数，满足题意．故答案为：2．17. 已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m 是幂函数，且f(x)在(0,+∞)上单调递增，则实数m =________. 【答案】2【解析】∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在区间（0，+∞）上单调递增， ∴{m 2−m −1=1m ＞0，解得m ＝2或-1（舍）．故答案为：2．18．已知幂函数f(x)=(k 2−2k −7)x k−1在(0,+∞)上是减函数，则实数k 的值为__________． 【答案】-2【解析】因为函数f(x)=(k 2−2k −7)x k−1是幂函数，所以k 2−2k −7=1，即(k +2)(k −4)=0， 解得k =−2或k =4，当k =−2时，f(x)=x −3，满足在(0,+∞)上是减函数，当k =4时，f(x)=x 3，在(0,+∞)上是增函数，所以k =−2，故答案是：−2.19．若f(x)=(m−1)2x m是幂函数且在(0,+∞)单调递增，则实数m=_______. 【答案】2【解析】f(x)=(m−1)2x m为幂函数，所以(m−1)2=1，解得m=0或2.当m=0时，f(x)=x0=1，在(0,+∞)不单调递增，舍去；当m=2时，f(x)=x2，在(0,+∞)单调递增成立.故答案为：m=2.20．已知幂函数f（x）=（m3–m+1）x 12(1−8m−m2)的图象与x轴和y轴都无交点．（1）求f（x）的解析式；（2）解不等式f（x+1）>f（x–2）．【答案】（1）f（x）=x–4；（2）{x|x<12，x≠0}．【解析】（1）因为f（x）是幂函数，所以m3–m+1=1，解得m∈{0，±1}，又f（x）的图象与x轴和y轴都无交点，经检验，只有当m=1时符合题意，所以m=1，此时f（x）=x–4；（2）f（x）=x–4是偶函数且在（0，+∞）递减，所以要使f（x+1）>f（x–2）成立，只需|x+1|<|x–2|，解得x<12，又f（x）的定义域为{x|x≠0}，所以不等式的解集为{x|x<12，x≠0}．21．已知幂函数y=f（x）=x−2m2−m+3，其中m∈[–2，2]，m∈Z，①定区间（0，+∞）的增函数；②对任意的x∈R，都有f（–x）+f（x）=0；求同时满足①、②两个条件的幂函数f（x）的解析式，并求x∈[0，3]时，f（x）的值域．【答案】f(x)=x3；[0,27].【解析】∵幂函数y=f（x）=x−2m2−m+3在区间（0，+∞）为增函数，∴–2m2–m+3>0，即2m2+m–3<0，解得m∈（−32，1），又∵m∈Z，∴m=–1或m=0，当m=–1时，y=f（x）=x2为偶函数，不满足f（–x）+f（x）=0；当m=0时，y=f（x）=x3为奇函数，满足f（–x）+f（x）=0．∴同时满足①、②两个条件的幂函数f（x）=x3，当x∈[0，3]时，f（x）∈[0，27]，即函数f（x）的值域为[0，27]．22．已知函数f(x)=(a2−2a−2)log a x是对数函数．（1）若函数g(x)=log a(x+1)+log a(3−x)，讨论函数g(x)的单调性；（2）在（1）的条件下，若x ∈[13,2]，不等式g(x)−m +3≤0的解集非空，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[4,+∞)．【解析】（1）由题意可知{a 2−2a −2=1a >0且a ≠1 ，解得a =3（负值舍去），所以f(x)=log 3x ．因为g(x)=log a (x +1)+log a (3−x)，所以{x +1>03−x >0 ，即{x >−1x <3，即−1<x <3，故g(x)的定义域为{x|−1<x <3}．由于g(x)=log 3(x +1)+log 3(3−x)=log 3(−x 2+2x +3)， 令u(x)=−x 2+2x +3(−1<x <3)，则由对称轴x =1可知，u(x)在(−1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减； 因为y =log 3u 在(0,+∞)上单调递增，所以函数g(x)的单调递增区间为(−1,1)，单调递减区间为(1,3)．（2）因为不等式g(x)−m +3≤0的解集非空，所以m −3≥g(x)min ,x ∈[13,2]， 由（1）知，当x ∈[13,2]时，函数g(x)的单调递增区间为[13,1]，单调递减区间为(1,2]，因为g(13)=log 3329,g(2)=1，所以g(x)min =1，所以m −3≥1，即m ≥4，故实数m 的取值范围为[4,+∞)． 23．设二次函数f (x )=x 2+bx +c ，b ，c ∈R ．（1）若f (x )满足：对任意的x ∈R ，均有f (−x )≠−f (x )，求c 的取值范围； （2）若f (x )在(0，1)上与x 轴有两个不同的交点，求c 2+(1+b )c 的取值范围． 【答案】(1) (0,+∞) (2) (0,116)【解析】（1）∵f (−x )+f (x )= (−x )2+b (−x )+c +x 2 +bx +c =2(x 2+c )≠0恒成立， 所以，方程x 2+c =0无实数解所以，c 取值范围为(0,+∞)（2）设f (x )=0的两根为x 1，x 2，且0<x 1<x 2<1，则f (x )=(x −x 1)(x −x 2)， 所以c 2+(1+b )c =c (1+b +c ) =f (0)f (1)=(0−x 1)(0−x 2)(1−x 1)(1−x 2)=x 1x 2(1−x 1)(1−x 2)=(−x 12+x 1)(−x 22+x 2)=[−(x 1−12)2+14] [−(x 2−12)2+14]≤116.又因为x 1，x 2不能同时取到12，所以c 2+(1+b )c 取值范围为(0,116)． 24. 已知函数f(x)=x 2−2(a −1)x +4.（Ⅰ）若f(x)为偶函数，求f(x)在[−1,2]上的值域；（Ⅱ）若f(x)在区间(−∞,2]上是减函数，求f(x)在[1,a ]上的最大值. 【答案】（Ⅰ）[4,8]；（Ⅱ）7-2a【解析】（Ⅰ）因为函数f (x )为偶函数，故f (−x )=f (x )，得a =1.f (x )=x 2+4，因为−1≤x ≤2，所以4≤f (x )≤8,故值域为：[4,8].（Ⅱ）若f (x )在区间(−∞,2]上是减函数，则函数对称轴x =a −1≥2,a ≥3因为1<a −1<a ，所以x ∈[1,a −1]时，函数f (x )递减，[a −1,a ]时，函数f (x )递增，故当x ∈[1,a ]时，f (x )max {f (1),f (a )} ，∴f(1)=7−2a,f(a)=−a 2+2a +4， f(1)−f(a)=(7−2a)−(−a 2+2a +4)=a 2−4a +3=(a −2)2−1 由于a ≥3∴f(1)≥f(a) ，故f (x )在[1,a ]上的最大值为7-2a .25．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 【答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. （2）a ＝－13或－1【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，函数图象的对称轴为x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意．综上可知，a ＝－13或－1.26.设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值． 【答案】见解析【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数， 所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2. 综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.。