9.4+矩形、菱形、正方形(练)4课时

9.4 矩形、菱形、正方形（练）4课时一．选择题（共4小题）1．（2019•江阳区一模）如图，菱形ABCD 的周长是20，对角线AC ，BD 相交于点O ，若6BD =，则菱形ABCD 的面积是( )A ．6B ．12C ．24D ．482．（2011•北仑区二模）在平面直角坐标系中，菱形OABC 的OC 边落在x 轴上，60AOC ∠=︒，OA =．若菱形OABC 内部（边界及顶点除外）的一格点(,)P x y 满足：229090x y x y -=-，就称格点P 为“好点”，则菱形OABC 内部“好点”的个数为( )（注：所谓“格点”，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．)A ．145B ．146C ．147D ．1483．（2018春•安国市期末）如图，点O 是AC 的中点，将面积为24cm 的菱形ABCD 沿对角线AC 方向平移AO 长度得到菱形OB C D '''，则图中阴影部分的面积是( )A ．21cmB ．22cmC ．23cmD ．24cm4．（2018秋•龙华区期末）如图，已知菱形ABCD 中，40A ∠=︒，则ADB ∠的度数是()A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒二．填空题（共4小题）5．（2019•河南二模）如图，四边形ABCD 是菱形，50DAB ∠=︒，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH AB ⊥于H ，连接OH ，则DHO ∠= 度．6．（2019春•鼓楼区校级月考）菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质，还具有自己的性质：①菱形的四条边都 ；②菱形的对角线 ．7．（2019秋•临泽县校级期中）已知菱形的周长为40cm ，两个相邻角度数比为1:2，则较短的对角线长为 ，面积为 ．8．（2012春•崇明区期末）如图，已知菱形ABCD 中，ABC ∠是钝角，DE 垂直平分边AB ，若2AE =，则DB = ．三．解答题（共4小题） 9．（2019•皇姑区一模）已知：如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 和DC 边上的点，且EC FC =．求证：AEF AFE ∠=∠．10．（2019春•东莞市期中）如图，已知菱形ABOD的边长是4cm，120∠=︒，求菱形BAD两条对角线的长．11．（2018•朝阳区模拟）如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF 与一组对边AB，CD分别相交于点E，F．（1）求证：AE CF=；（2）若2AB=，点E是AB中点，求EF的长．12．（2018•柳州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且2AB=．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若2AC=，求BD的长．9.4 矩形、菱形、正方形（练）4课时参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2019•江阳区一模）如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若6BD=，则菱形ABCD的面积是()A．6B．12C．24D．48【分析】由菱形ABCD的周长是20，即可求得5AB=，然后由股定理即可求得OA的长，继而求得AC的长，则可求得菱形ABCD的面积．【解答】解：菱形ABCD的周长是20，2045AB∴=÷=，AC BD⊥，132OB BD==，4 OA∴=，28AC OA∴==，∴菱形ABCD的面积是：118624 22AC BD=⨯⨯=．故选：C．2．（2011•北仑区二模）在平面直角坐标系中，菱形OABC的OC边落在x轴上，60AOC∠=︒，OA=．若菱形OABC内部（边界及顶点除外）的一格点(,)P x y满足：229090x y x y-=-，就称格点P为“好点”，则菱形OABC内部“好点”的个数为( )（注：所谓“格点”，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．)A ．145B ．146C ．147D ．148【分析】过A 作AQ OC ⊥于Q ，过B 作BH X ⊥轴于H ，求出OQ 、AQ ，根据229090x y x y -=-，求出x y =，90x y +=，求出90BH = :OA y '=（1）y x =时，有90189-=个点符合（2）90y x =-+时，令y y '=则1)x =，90y x =-+时有9032157--=个点符合，有57891145+-=个点符合，即可得到答案．【解答】解：过A 作AQ OC ⊥于Q ，过B 作BH X ⊥轴于H ，060A C ∠=︒，OA =30OAQ ∴∠=︒，OQ ∴=，由勾股定理得：90AQ =，229090x y x y -=-，()(90)0x y x y ∴-+-=，x y ∴=，90x y +=，90BH = :OA y '=（1）y x =时，令90y = 则90x =，作直线y x =的图象，交AB 于D ，90AQ =，(90,90)D ∴，边界及顶点除外y x ∴=时有90189-=个点符合(D 点除外）， （2）90y x =-+时，直线OA 的解析式为y '=，∴令y y ='则1)x =1.732≈32.9x ∴≈（取33)x =，则直线OA 于直线90y x =-+的交点是45-，135-，再令0y = 则90x =，边界及顶点除外，90y x ∴=-+时有9032157--=个点符合，∴有57891145+-=个点符合，故选：A ．3．（2018春•安国市期末）如图，点O 是AC 的中点，将面积为24cm 的菱形ABCD 沿对角线AC 方向平移AO 长度得到菱形OB C D '''，则图中阴影部分的面积是( )A ．21cmB ．22cmC ．23cmD ．24cm【分析】根据题意得，ABCD OECF ∽，且12AO OC AC ==，故四边形OECF 的面积是ABCD 面积的14． 【解答】解：由平移的性质得，ABCD OECF ∽，且12AO OC AC ==， 故四边形OECF 的面积是ABCD 面积的14．， 即图中阴影部分的面积为2lcm ．故选：A ． 4．（2018秋•龙华区期末）如图，已知菱形ABCD 中，40A ∠=︒，则ADB ∠的度数是()A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【分析】根据菱形的对角线平分一组对角即可解决问题．【解答】解：四边形ABCD 是菱形，//AB CD ∴，ADB CDB ∠=∠，180A ADC ∴∠+∠=︒，40A ∠=︒，140ADC ∴∠=︒，1140702ADB ∴∠=⨯︒=︒， 故选：D ．二．填空题（共4小题）5．（2019•河南二模）如图，四边形ABCD 是菱形，50DAB ∠=︒，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH AB ⊥于H ，连接OH ，则DHO ∠= 25 度．【分析】根据菱形的对角线互相平分可得OD OB =，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH OB =，然后根据等边对等角求出OHB OBH ∠=∠，根据两直线平行，内错角相等求出OBH ODC ∠=∠，然后根据等角的余角相等解答即可．【解答】解：四边形ABCD 是菱形，OD OB ∴=，90COD ∠=︒，DH AB ⊥，12OH BD OB ∴==， OHB OBH ∴∠=∠，又//AB CD ，OBH ODC ∴∠=∠，在Rt COD ∆中，90ODC DCO ∠+∠=︒，在Rt DHB ∆中，90DHO OHB ∠+∠=︒，1252DHO DCO DAB ∴∠=∠=∠=︒， 故答案为：25．6．（2019春•鼓楼区校级月考）菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质，还具有自己的性质：①菱形的四条边都 相等 ；②菱形的对角线 ．【分析】根据菱形的性质得出即可．【解答】解：菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质，还具有自己的性质： ①菱形的四条边都相等，②菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角，故答案为：相等，互相垂直，且每一条对角线平分一组对角．7．（2019秋•临泽县校级期中）已知菱形的周长为40cm ，两个相邻角度数比为1:2，则较短的对角线长为 10cm ，面积为 ．【分析】根据已知可求得菱形的边长及其两内角的度数，根据勾股定理可求得其对角线的长，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积．【解答】解：根据已知可得，菱形的边长10AB BC CD AD cm ====，60ABC ∠=︒，120BAD ∠=︒，ABC ∴∆为等边三角形，10AC AB cm ∴==，5AO CO cm ==，在Rt AOB ∆中，根据勾股定理得：BO ==2)BD BO cm ∴==，则11101022ABCD S AC BD =⨯⨯=⨯⨯菱形2)cm =；故答案为：10cm ，2．8．（2012春•崇明区期末）如图，已知菱形ABCD 中，ABC ∠是钝角，DE 垂直平分边AB ，若2AE =，则DB = 4 ．【分析】根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，可得出BD AD =，然后根据2AE =可求出AB 的值，继而根据菱形的四边相等的知识可得出BD 的长．【解答】解：DE 垂直平分边AB ，DB DA ∴=，AE EB =，24AB AE ∴==，4AB AD BD ∴===（菱形的四边形等）．故答案为：4．三．解答题（共4小题）9．（2019•皇姑区一模）已知：如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 和DC 边上的点，且EC FC =．求证：AEF AFE ∠=∠．【分析】由四边形ABCD 是菱形，即可求得AB AD =，B D ∠=∠，又由EC FC =知BE DF =，根据SAS ，即可证ABE ADF ∆≅∆得AE AF =，从而得证．【解答】证明：四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=，BC DC =，B D ∠=∠，EC FC =，BE DF ∴=，在ABE ∆和ADF ∆中AB AD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ADF SAS ∴∆≅∆；AE AF ∴=，AEF AFE ∴∠=∠．10．（2019春•东莞市期中）如图，已知菱形ABOD 的边长是4cm ，120BAD ∠=︒，求菱形两条对角线的长．【分析】菱形的每条对角线平分一组对角，则1602BAO BAD ∠=∠=︒，即ABC ∆是等边三角形，由此可求得6AC AB cm ==；由菱形的性质知：菱形的对角线互相垂直平分，在Rt BAO ∆中，已知了AB 、AO 的长，可由勾股定理求得BO 的长，进而可得出BD 的长．【解答】解：在菱形ABCD 中，111206022BAO BAD ∠=∠=⨯︒=︒ 又在ABC ∆中，AB BC =，60BCA BAC ∴∠=∠=︒，18060ABC BCA BAC ∠=︒-∠-∠=︒，ABC ∴∆为等边三角形4AC AB cm ∴==．在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，AOB ∴∆为直角三角形，OB ∴===2BD BO ∴==11．（2018•朝阳区模拟）如图，在菱形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，过点O 的线段EF与一组对边AB ，CD 分别相交于点E ，F ．（1）求证：AE CF =；（2）若2AB =，点E 是AB 中点，求EF 的长．【分析】（1）由四边形ABCD 是菱形，可得//AB CD ，OA OC =，继而证得AOE COF ∆≅∆，则可证得结论．（2）利用平行四边形的判定和性质解答即可．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是菱形，AO CO ∴=，//AB CD ，EAO FCO ∴∠=∠，AEO CFO ∠=∠．在OAE ∆和OCF ∆中，EAO FCO AO COAEO CFO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，AOE COF∴∆≅∆，∴=；AE CF（2）E是AB中点，BE AE CF∴==．BE CF，//∴四边形BEFC是平行四边形，2AB=，EF BC AB∴===．212．（2018•柳州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且2AB=．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若2AC=，求BD的长．【分析】（1）由菱形的四边相等即可求出其周长；（2）利用勾股定理可求出BO的长，进而解答即可．【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，2AB=，∴菱形ABCD的周长为：8；（2）四边形ABCD是菱形，2AB=AC=，2AO=，AC BD∴⊥，1∴==BO∴=BD考点卡片1．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．2．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．3．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．4．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．5．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．6．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a，b及c．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．7．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．8．菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）9．平移的性质（1）平移的条件平移的方向、平移的距离（2）平移的性质①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．。