数学分析第一册第一章

S的最小的上界 称作 的上确界 的最小的上界,称作 的上确界. 的最小的上界 称作S的上确界 满足： 定义2 定义 设S是R中的一个数集 若数 η 满足： 是 中的一个数集 (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ η , η 即是 的上界； 即是S的上界 的上界； (ii) 对任何 α < η , 存在x0 ∈ S , 使得 x0 > α , 即 则称数
事实上，对任何正数 无论多么大 无论多么大)， 事实上，对任何正数M(无论多么大 ，取 则 n0 ∈ N + , 且 n0
n0 = [ M ] + 1, ([ M ]表示对M 取整)
问题: 问题 设 S
有无上界; 有无上界 = [0,1]. (1) S有无上界 (2) S若有上界 有几个上界 若有上界,有几个上界 若有上界 有几个上界; (3) S有无最小的上界 有无最小的上界. 有无最小的上界
数集.确界原理 §2数集 确界原理 数集 一 区间与邻域 为开区间， 设 a, b ∈ R, 且 a < b. 称数集 {x | a < x < b} 为开区间，记作 ( a, b) 称为闭区间，记作 数集 称为闭区间，
{x | a ≤ x ≤ b}
(a, b)
数集
{x | a ≤ x < b} [a, b) 都称为半开半闭区间， 都称为半开半闭区间，分别记作 ( a, b] { x | a < x ≤ b} b
例2 设
满足： 定义2 定义 设S是R中的一个数集 若数η 满足： 是 中的一个数集 (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ η , η 即是 的上界； 即是S的上界 的上界； η 又是 的最小上界， 的最小上界 (ii) 对任何 α < η , 存在x ∈ S , 使得 x0 > α ,即 又是S的最小上界， 则称数 证明: S = [0,1]. 证明 sup S = 1. 的上界； 的上界 证: (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ 1, η = 1 是S的上界； (ii) 对任何 α < 1, 取 x0 = 1 ∈ S , 则有 x0 > α , 故 sup S = 1. 例2 设 证明: = [0,1).证明: sup S = 1. 的上界； 的上界 证: (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ 1, η = 1 是S的上界； 则有任取 x0 ∈ S , (ii) 对任何 α < 1. 若 α < 0, 1+ α , 有 α < x0 . 有 α < x0 . 若 0 ≤ α < 1, 取 x0 = 2 sup S = 1. 例3 设 S 所以
设数集S有上确界 有上确界． 例4 设数集 有上确界．证明 η = sup S ∈ S ⇔ η = max S 证： ⇒) 设 η = sup S ∈ S , 则对一切 x ∈ S 有x ≤ η 而
η ∈ S , 故η , 故 η 是数集S中最大的数，即 η = max S . 是数集 中最大的数， 中最大的数 ⇐) 设 η = max S , 则η ∈ S . 下面验证 η = sup S . (i) 对一切 x ∈ S , 有x ≤ η , 即η是S的上界. (ii) 对任何 α < η 只须取 x0 = η ∈ S , 则x0 > α . 从而满足 η = sup S 的定义
点
0 0 U − (a )与U + (a )
其中M为充分大的正数 为充分大的正数。 ∞ 邻域 U (∞ ) = { x || x |> M }, 其中 为充分大的正数。 其中M为充分大的正数 为充分大的正数。 +∞ 邻域 U ( +∞ ) = { x | x > M }, 其中 为充分大的正数。 其中M为充分大的正数 为充分大的正数。 −∞ 邻域 U ( −∞ ) = { x | x < − M }, 其中 为充分大的正数。
显然是非空有界集, 因此S的上下确界都存在 的上下确界都存在. 证: 由于 S = A U B, 显然是非空有界集 因此 的上下确界都存在 (i) 对任何 x ∈ S 有 x ∈ A 或 x ∈ B ⇒ x ≤ sup A或x ≤ sup B, 故得 x ≤ max{sup A,sup B}. 从而有 sup S ≤ max{sup A,sup B}.
a
[a, b]
a
[ a, b]
x x
b
x x
a [a, b) b
满足关系式 x
a ( a, b ] b
≥ a 的全体实数上的集合记作 [a, +∞)
∞
读作“无穷大” 读作“无穷大”，
( −∞, a ] = {x | x ≤ a} (a, +∞ ) = { x | x > a}
(−∞, a ) = {x | x < a} ( −∞, +∞ ) = {x | −∞ < x < +∞} = R
设 a ∈ R, δ 的集合称为点
> 0. 满足绝对值不等式 | x − a |< δ 的全体实数 x 邻域， a 的 δ 邻域，记作 U ( a; δ ), 简记作 U ( a ). 即 U ( a; δ ) = {x || x − a |< δ } = ( a − δ , a + δ ),
邻域， U 0 (a; δ ) = {x | 0 <| x − a |< δ }: 点 a 的空心 δ 邻域，简记作 U 0 (a)
η 又是 的最小上界， 又是S的最小上界 的最小上界，
η
为数集S的上确界， 为数集S的上确界，记作 的上确界
η = sup S
S = [0,1]. 证明 sup S = 1. 证明: 的上界； 的上界 证: (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ 1, η = 1 是S的上界； (ii) 对任何 α < 1, 取 x0 = 1 ∈ S , 则有 x0 = 1 > α , 故 sup S = 1.
为有界数集. 例6 设A、B为有界数集 、 为有界数集
证明 S = A U B 证明: (i ) sup S = max{sup A,sup B}; (ii ) infS = min{inf A,inf B};
a 的δ 右邻域 U + (a; δ ) = [a, a + δ ), 简记为 U + (a) 点 a 的 δ 左邻域 U − (a; δ ) = (a − δ , a ],简记为 U − ( a ) 右邻域， U − (a)与U + (a) 除去点 a 后, 分别为点 a 的空心δ 左、右邻域，简记为
sup S = 1, inf S = 0.
在 (α ,1) 必存在有理数 x0 , 显然有 所以supS=1. 类似地可验证 所以 类似地可验证infS=0． ．
的上界. 是 的上界 (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ 1, 即1是S的上界 (ii) 对任何 α < 1, 若 α ≤ 0, 则任取 x0 ∈ S 都有x0 > α ; 由有理数集在实数集中的稠密性， 若 α > 0, 则0 < α < 1, 由有理数集在实数集中的稠密性，
x∈S 定义1 中的一个数集． 定义 设S为R中的一个数集．若存在数 ，使得对一切 为 中的一个数集 若存在数M， 则称S为有上界的数集 为有上界的数集， 称为S的一个上界 称为 的一个上界。 都有 x ≤ M , 则称 为有上界的数集，数M称为 的一个上界。
x∈S 定义1.1 设S为R中的一个数集．若存在数 ，使得对一切 中的一个数集． 定义 为 中的一个数集 若存在数L， 则称S为有上界的数集 为有上界的数集， 称为S的一个下界 称为 的一个下界。 都有 x ≥ L, 则称 为有上界的数集，数L称为 的一个下界。
η
பைடு நூலகம்
为数集S的上确界， 为数集 的上确界，记作 的上确界
η = sup S
为数集 的下确界， 的下确界 则称数 ξ 为数集S的下确界，记作 ξ = inf S 试按上、下确界的定义验证： 例4 设 S = {x | x为区间(0,1)中的有理数}, 试按上、下确界的定义验证： 解：先验证supS=1. 先验证
例1 证明数集
有界集·确界原理 二 有界集 确界原理
若数集S既有上界又有下界，则称 为有界集 为有界集． 不是有界集， 为无界集． 若数集 既有上界又有下界，则称S为有界集．若S不是有界集，则称 为无界集． 既有上界又有下界 不是有界集 则称S为无界集 有下界而无上界． N + = {n | n为正整数} 有下界而无上界． 任何一个不大于1的实数都是 的下界， 证： 任何一个不大于 的实数都是 N + 的下界，故 N 为有下界的数集 + 无上界，按照定义只须证明：对于无论多么大的数M， 为证 N + 无上界，按照定义只须证明：对于无论多么大的数 ， 总存在某个正整数 n0 (∈ N + ), 使得 n0 > M . 无上界． > M . 这就证明了 N + 无上界．
满足： 定义2 定义 设S是R中的一个数集 若数η 满足： 是 中的一个数集 (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ η , η 即是 的上界； 即是S的上界 的上界； η 又是S的最小上界 的最小上界， (ii) 对任何 α < η , 存在x0 ∈ S , 使得 x0 > α ,即 又是 的最小上界， 则称数
η
0
为数集S的上确界， 为数集 的上确界，记作 的上确界
η = sup S
(1) 一个数集的上确界是唯一的 一个数集的上确界是唯一的; (2) 一个数集的上确界 可能属于该数集,也可能不属于该数集 一个数集的上确界,可能属于该数集 也可能不属于该数集 可能属于该数集 也可能不属于该数集; (3) 不同的数集可能有相同的上确界 不同的数集可能有相同的上确界.